資源簡介

考點 32 平面向量的數量積（3 種核心題型+基礎保分練+綜合
提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.理解平面向量數量積的含義及其幾何意義.
2.了解平面向量的數量積與投影向量的關系.
3.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算.
4.能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.
5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題
【知識點】
1．向量的夾角
→ →
已知兩個非零向量 a，b，O 是平面上的任意一點，作O A＝a，O B＝b，則 ＝
θ(0≤θ≤π)叫做向量 a 與 b 的夾角．
2．平面向量的數量積
已知兩個非零向量 a 與 b，它們的夾角為 θ，我們把數量 叫做向量 a 與 b 的數量
積，記作 .
3．平面向量數量積的幾何意義
→ →
設 a，b 是兩個非零向量，它們的夾角是 θ，e 是與 b 方向相同的單位向量，A B＝a，C D＝b，
→ → —→
過A B的起點 A 和終點 B，分別作C D所在直線的垂線，垂足分別為 A1，B1，得到A 1B1，我們
—→
稱上述變換為向量 a 向向量 b ，A 1B1叫做向量 a 在向量 b 上的 ．記為 .
4．向量數量積的運算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ ．
(3)(a＋b)·c＝ .
5．平面向量數量積的有關結論
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 與 b 的夾角為 θ.
幾何表示 坐標表示
數量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝__________
模 |a|＝_______ |a|＝_________
夾角 cos θ＝_____ cos θ＝___________
a⊥b 的充要條件 a·b＝0
|a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| |x 21x2＋y1y2|≤ x1＋y21 x22＋y22
常用結論
1．平面向量數量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有關向量夾角的兩個結論
(1)若 a 與 b 的夾角為銳角，則 a·b>0；若 a·b>0，則 a 與 b 的夾角為銳角或 0.
(2)若 a 與 b 的夾角為鈍角，則 a·b<0；若 a·b<0，則 a 與 b 的夾角為鈍角或 π.
【核心題型】
題型一　平面向量數量積的基本運算
計算平面向量數量積的主要方法
(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐標運算，若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求數量積．
(4)靈活運用平面向量數量積的幾何意義
【例題 1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知平行四邊形 ABCD中，
uuur uuur uuur uuur
AB = 4, AD = 3, BAD = 60°, DP = l DC(l > 0), AP × BP = 9 ，則l 的值為（ ）
4 3 2
A B C D 1． ． ． ．
5 4 3 2
r r r r r r r r r
【變式 1】（2024·浙江金華·三模）已知 a = 4， b = 3， a + b = a - b ，則 a × a - b = （ ）
A．-16 B．16 C．-9 D．9
r r r r r r
【變式 2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知向量 a,b 的夾角為 60°，若 (4a - b) ×b = -8,| a |= 1，
r
則 | b |= .
【變式 3】（2024·遼寧丹東·一模）記VABC 內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知VABC
面積為 S，且 a2 + b2 - c2 = 4 3S ．
(1)求 C；
uuur uuur
(2)若 a = 2 3 ，BA × BC = 6 ，求 S．
題型二　平面向量數量積的應用
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝ a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②幾何法：利用向量的幾何意義．
(2)求平面向量的夾角的方法
a·b
①定義法：cos θ＝ ；
|a||b|
②坐標法．
(3)兩個向量垂直的充要條件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中 a≠0，b≠0)
命題點 1　向量的模
r r r r r r
【例題 2】（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知向量 a，b 滿足 a =1， b = 3 ，且 a與b 的夾
5π r r
角為 ，則 2a - b =（ ）
6
A 1． 2 B． 13 C．1 D．13
r r π r 3 1 r r
【變式 1】（2024·河北·三模）已知非零向量 a ，b 的夾角為 ， a = - , ÷÷， a - b =12 2 ，則3 è
r r
a + b =（ ）
A 1 B 3． ． C． 2 D． 3
2
【變式2】（2024·河南·三模）已知VABC 的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，C = 60°，
c = 7，若 a - b = 3, D 為 AB 中點，則CD = ．
【變式 3】（2023·福建福州·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且
asinC 2p= csinB ,C = ．
3
(1)求 B ；
(2)若VABC 3 3面積為 ，求BC 邊上中線的長．
4
命題點 2　向量的夾角
r r r r
【例題 3】（2024· r北京·三模）若 | a |=1,| b | 2 , (ar b ) ar= - ^ ，則向量 a與b 的夾角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
r r r r r r r r
【變式 1】（2024·江蘇南通·三模）已知三個單位向量 a,b,c滿足 a = b + c，則向量b,c的夾角
為（ ）
p p 2p 5p
A． B． C． D．
6 3 3 6
r r 1 r
【變式 2】（2024·江西·模擬預測）已知平面內非零向量 a在向量b 上的投影向量為- b ，且2
ar
r
3 b r r= ，則 a與b 夾角的余弦值為 ．
【變式 3】（2024·江西·模擬預測）如圖，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， P 是棱 A1B1 的中點，Q
是棱 AC AQ 3上一點，且 = ， AB = 2BB1 = 2 .
AC 3
(1)求證：BP ^ B1C ；
(2)求平面PQB1與平面BPB1的夾角的余弦值.
命題點 3　向量的垂直
r r r r r r r
【例題 4】（2024·江蘇連云港·模擬預測）若向量m ， n滿足 m =1， n = 2，且 m - n ^ m，
mr r則 - n =（ ）
A．1 B． 3 C． 7 D．2
r r r r r r r r
【變式 1】（2024·重慶·模擬預測）已知 | a |=1,| b |= 2，且 a與b 不共線，若向量a + kb 與a - kb
互相垂直，則實數 k 的值為（ ）
1
A 1
1
．- B． C．±2 D．±22 2
ar ar r
r r r
【變式 2】（2024·寧夏銀川·三模）已知 是單位向量，且 與 a + b 垂直， a與b 的夾角為
r r
135° ar，則 + b 在b 上的投影數量為 .
【變式 3】（2023 高三·全國·專題練習）四面體 ABCD中， AB2 + CD2 = AD2 + BC 2 ，求證：
AC ^ BD ．
題型三　平面向量的實際應用
　用向量方法解決實際問題的步驟
【例題 5】（2024·廣東梅州·二模）如圖，兩根繩子把物體 M 吊在水平桿子 AB 上.已知物體 M
的重力大小為 20 牛，且 AOM =150°，在下列角度中，當角q 取哪個值時，繩OB承受的
拉力最小.（ ）
A． 45° B．60° C．90° D．120°
【變式 1】（2020·寧夏中衛·二模）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部
分．某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態時，若兩只胳膊的夾角為60°，每只
胳膊的拉力大小均為 400N ，則該學生的體重（單位： kg ）約為（ ）
（參考數據：取重力加速度大小為 g＝10m / s2，3 1.732 ）
A．63 B．69 C．75 D．81
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）如圖，某物體作用于同一點O的三個力F1，F2，F3 使物體
處于平衡狀態，已知F1 =1N，F2 = 2N ，F1與F2 的夾角為120°，則F3 的大小為 ．（牛
頓N是物理的力學單位）
【變式 3】（2022·內蒙古赤峰·三模）如圖所示，把一個物體放在傾斜角為30o的斜面上，物
ur uur
體處于平衡狀態，且受到三個力的作用，即重力G ，垂直斜面向上的彈力F1 ，沿著斜面向
uur uur ur uur
上的摩擦力F2 .已知： F1 = 80 3N, G =160N ，則F2 的大小為 .
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
r r r r r 1 r r
1．（2024· r山西太原·模擬預測）已知單位向量 a，b 滿足 a - b × a = ，則2 a - 2b 與b 的夾角
為（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
r r r ar
r
b 1, cr2 2024· · a,b ,c = = = 3 ar
r r
．（ 四川眉山 三模）已知向量 滿足 ，且 +b + c = 0，則
r
cos ar cr- ,b r- c =（ ）
13 13
A． B 3 3 C 3 3． ．
14 -
D．-
14 14 14
3．（2024·安徽合肥·模擬預測）記 VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若b = 2 ，
cos B cos A + cosC uuuur uuuur uuuur
= ，
b a + c 2AM = MC
，則 BM 可能是（ ）
1 2A． 2 B． C．1 D．23
4．（2024·重慶·模擬預測）如圖，圓 O 內接邊長為 1 的正方形 ABCD, P 是弧BC （包括端點）
uuur uuur
上一點，則 AP × AB的取值范圍是（ ）
é 4 + 2 ù é 2 + 2 ù é 1+ 2 ù é 2 ù
A． ê1, ú B． ê1, ú C． ê1, ú D． ê ,1ú
4 2 2 4
二、多選題
r r
5．（2024·江西宜春·模擬預測）已知向量 a = (-1,2)，b = (6,-2)，則（ ）
r r r r r
A． (2a + b) ^ a B． | a - b |= 65
r r π r r 1 r
C． a 與b 的夾角為 D． a 在b 上的投影向量為- b4 4
r r r
6．（2024·浙江溫州·模擬預測）已知單位向量 a,b ,c 共面，則下列說法中正確的是（ ）
r r r r r r r r r r r
A．若 a
r
+ b = a - b ，則a / /b B．若 a + b = a - b ，則a ^ b
r r r r r r π r r r r r r 2π
C．若 a + b + c = 0 ，則 a,c = D．若3 a + b + c = 0
，則 b,c =
3
三、填空題
r r r r
7．（2024·遼寧丹東·二模）設向量 a ，b 的夾角為60o ，且 a =1， b = 2，則
r r ra + 2b ×b = ．
8．（2021·云南昆明·三模）兩同學合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則F1與F2 大
小之比為 ．
r r r r r r r r
9．（2024·重慶·模擬預測）已知非零向量 a、b 滿足 a = 2 b , a + b ^ b ，則向量 ar與b 的夾
角為 ．
四、解答題
10．（23-24 高三下·山東菏澤·階段練習）記VABC 的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ，
c r r r r，向量m = b,sinA + sinC ， v = sinA + sinB, a - c 且m ^ v ．
(1)求角C 的大小；
3
(2)若VABC 3的面積為 ， cosAcosB = ，求 c．
4 4
11．（2024·江蘇南通·模擬預測）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，已
uuur uuur
知 a = 2， c2 = BA × BC - 2 3S ，其中S 為VABC 的面積.
(1)求角A 的大小；
(2)設D是邊BC 的中點，若 AB ^ AD ，求 AD 的長.
【綜合提升練】
一、單選題
r r r r r
1．（2024·寧夏固原· r一模）已知向量 a = (1, -1),b = (0, t) ，若 a ^ a + 2b ，則 b = （ ）
A 2． B．1 C． 2 D．2
2
r r r r r
2．（2024·福建泉州·模擬預測）已知 | a |= 2，b = (1, 2) | ar， - 2b |= 2，則向量 a與b 的夾角
為（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
r r r r r r r
3．（2024· r吉林長春·模擬預測）已知兩個向量 a,b 滿足 a ×b = b =1， a - b = 3 ，則 a =
（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
ur uur r ur uur
4．（2024·浙江紹興·二模）已知 e1 ， e2 是單位向量，且它們的夾角是60°，若 a = 2e1 + e2 ，
r ur uur r r
b = le1 - e2 ，且 a ^ b，則l =（ ）
2 4
A． B． C．1 D． 2
5 5
5．（2024·河北衡水·模擬預測）在VABC 中，
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
BAC = 60o , AB = 6, AC = 3, AM = 2MB,CN = NM ，則 AN ×CB =（ ）
17
A．-9 B． C．9 D．18
2
r r r
6．（2024·河南·模擬預測）已知向量 a,b
r
滿足 a = b = a ×b = 2，又非零向量 c滿足
cr ar cr
r r r
× = ×b ，則b 與 c 的夾角為（ ）
π π π 2π π 5π
A． B． C． 或 D． 或
6 3 3 3 6 6
r r r r r r
7．（2024·
r
湖北黃岡·二模）已知 e 為單位向量，向量 a滿足 a ×e = 3, le - a =1，則 a 的最大
值為（ ）
A．9 B．3 C． 10 D．10
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
8．（2024·云南曲靖·二模）已知O是VABC 的外心， AB + AC = 2AO， OA = AB ，則向量 AC
uuur
在向量BC 上的投影向量為（ ）
1 uuur 2 uuur 3 uuur 3 uuurA．- BC B．- BC C． BC D．4 4 4
BC
4
二、多選題
r r r r r r r r r r r
9．（2024·全國·模擬預測）已知向量a = 1,-1 ,b = 2,k ,a ^ b,c = a - tb．若 a,c = b,c ，
則（ ）
r 1 r r r
A． a = b B．
2 b ×c = 4
r r r r 2 2
C．b 在 c方向上的投影向量為 c D．與b 反向的單位向量是 ,2 2 ÷÷è
r r
10．（23-24 高三下·山東菏澤·開學考試）已知單位向量 a，b 的夾角為q ，則下列結論正確
的有（ ）
r
A (ar b) r
r
． + ^ (a - b)
r r r r
B r． a在b 方向上的投影向量為 (a ×b)b
r rC．若 | a + b |=1，則q = 60o
r r r
D．若 (ar + b) r× a = (ar b) ar ar- × ，則 // b
11．（2024·貴州黔東南·二模）拋物線C : y2 = -2 px( p > 0) 的焦點F 到準線的距離為 1，經過
點 P m,0 的直線 l與C 交于 A, B兩點，則（ ）
2 2
A．當m =1時，直線 l斜率的取值范圍是 - ,2 2 ÷÷è
1 1
B．當點 P 與點F 重合時， + = 2FA FB
uuur uuur
C．當m = -2時，FA與FB的夾角必為鈍角
D．當m = -2時， AOB 為定值（O為坐標原點）
三、填空題
r r r r r12．（2024·遼寧沈陽·三模）已知向量 a,b 滿足 a = 2， 4a + b r r r×b = 4，則 2a + b = .
13．（2020·河北張家口·二模）如圖，某班體重為 70kg 的體育老師在做引體向上示范動作，
兩只胳膊的夾角為60°，拉力大小均為F ，若使身體能向上移動，則拉力F 的最小整數值為
N．（取重力加速度大小為g =10m / s2 ， 3 1.732）
π
14．（2024·吉林長春·模擬預測）在VABC 中，已知 A = , BC = 2 3 ，當邊 BC 的中線 AD = 7
3
時，VABC 的面積為 ．
四、解答題
π
15．（2024·貴州·模擬預測）在 VABC 中， AB = 13， AC = 2， C = ， N 為 AB 的中點，6
A的角平分線 AM 交CN 于點O .
(1)求CN 的長；
(2)求VAOC 的面積.
r r 1
16．（22-23 高三上·河南安陽·階段練習）已知 a = sin x + cos x, 2cosq ,b = 2sinq , sin 2x2 ÷.è
r π r r
(1)若 c = (-3,4)且 x = ,q 0, π 時， a 與 c的夾角為鈍角，求 cosq 的取值范圍；4
π r r
(2)若q = ，函數 f x = a ×b，求 f x 的最小值.
3
17．（2024·全國·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為
a,b,c, a - b = c ．
cosB - cosA
(1)試判斷VABC 的形狀，并說明理由；
uuur uuur 3
(2)若 a = 3b ，點 P 在VABC 內，PA × PC = 0 ， tan PCB = ，求 tan APB．4
18．（2024·福建寧德·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c .已知
a2 + c2 = 9 + 2ac cos B，且 sin B = 3 sin AsinC .
(1)若BD ^ AC ，垂足為D，求 BD 的長;
uuur uuur
(2)若BA × BC = 3，求 a + c的長.
19．（2024·湖北·二模）已知VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b， c a < b ，
c = 2a cos Acos B - b cos 2A．
(1)求 A；
uuur 1 uuur uuur
(2)者BD = BC ， AD = 2，求b + c 的取值范圍．
3
【拓展沖刺練】
一、單選題
r r r r r r r r r
1．（2024·江蘇·模擬預測）已知向量 a ，b 滿足 a =1， b = 2 3 ，b × 2a - b = -18，則 a 與b
的夾角等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
r r r r r r r r
2．（2024·浙江·三模）已知單位向量 a,b滿足 a ×b = 0 ，則 cos 3a + 4b, a + b =（ ）
A 0 B 7 2 C 2． ． ． D．1
10 10
r r r
3．（2024· r陜西·模擬預測）已知兩個向量 a = (2,-1),b = ( 3,m) r，且 (a + b) ^ (ar - b) ，則m 的
值為（ ）
A． ±1 B．± 2 C．±2 D．±2 3
2 2
4．（2023 · · x y高三 全國 專題練習）已知橢圓 + =1，F
9 6 1
, F2 為兩個焦點，O 為原點，P 為橢
3
圓上一點， cos F1PF2 = ，則 | PO |=（5 ）
2
A B 30
3 35
． ． C． D．
5 2 5 2
二、多選題
r r
5．（2024·貴州·模擬預測）已知 a = (3, -1) ，b = (2,1)，則下列結論正確的是（ ）
r r rA． a - b ^ b
r r
B． a + 2b = 5 10
r r p
C． a 與b 的夾角為 4
r r r
D． a 在b 方向上的投影向量是 5b
r r
6．（2022·湖北·模擬預測）已知向量 a = -2，1 ，b = -1, t ，則下列說法正確的是（ ）
A ar
r
．若 ^ b ，則 t 的值為-2
r
B ar
1
．若 //b ，則 t 的值為 2
r
C．若0 r< t < 2，則 a與b 的夾角為銳角
r r r r r r r r
D．若 a + b ^ a - b ，則 a + b = a - b
三、填空題
r r r r r r r r r7．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知非零向量 a,b滿足 2 a = b ，且 a ^ a - b ，則 a，b的夾
角大小為 ．
uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur | AB |
8．（2024·安徽合肥·三模）在VABC 中，若BA × BC = CA ×CB = 3AC × AB，則 uuur = .
| BC |
9．（2023·上海閔行·二模）平面上有一組互不相等的單位向量OA1，OA2 ，…，OAn ，若存在
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
單位向量OP 滿足OP × OA1 + OP × OA2 +L + OP ×OAn = 0 ，則稱OP 是向量組OA1，OA2 ，…，
uuur uuuur π uuur uuur uuuur uuuurOAn 的平衡向量．已知 OA1,OA2 = ，向量OP 是向量組OA1 ，OA2 ，OA3 的平衡向量，當3
uuur uuuur uuur uuuur
OP ×OA3 取得最大值時，OA1 ×OA3 值為 ．
四、解答題
10．（2024·山東棗莊·一模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
a sinAtan C= ．
2c 2
(1)求C ；
uuur uur uuur
a 8,b 5,CH m(2)若 = = 是邊 AB 上的高，且CH = mCA + nCB，求 ．n
11．（2023·河北衡水·模擬預測）已知VABC ，D 為邊 AC 上一點， AD =1，CD = 2 .
uuur uuur 3 uuur uuur
(1)若BA × BD = ，BC × BD = 0 ，求 S4 VABC
；
(2)若直線 BD 平分 ABC ，求△ABD 與△CBD內切圓半徑之比的取值范圍.考點 32 平面向量的數量積（3 種核心題型+基礎保分練+綜合
提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.理解平面向量數量積的含義及其幾何意義.
2.了解平面向量的數量積與投影向量的關系.
3.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算.
4.能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.
5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題
【知識點】
1．向量的夾角
→ →
已知兩個非零向量 a，b，O 是平面上的任意一點，作O A＝a，O B＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
叫做向量 a 與 b 的夾角．
2．平面向量的數量積
已知兩個非零向量 a 與 b，它們的夾角為 θ，我們把數量|a||b|cos θ 叫做向量 a 與 b 的數量積，
記作 a·b.
3．平面向量數量積的幾何意義
→ →
設 a，b 是兩個非零向量，它們的夾角是 θ，e 是與 b 方向相同的單位向量，A B＝a，C D＝b，
→ → —→
過A B的起點 A 和終點 B，分別作C D所在直線的垂線，垂足分別為 A1，B1，得到A 1B1，我們
—→
稱上述變換為向量 a 向向量 b 投影，A 1B1叫做向量 a 在向量 b 上的投影向量．記為|a|cos θ
e.
4．向量數量積的運算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量數量積的有關結論
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 與 b 的夾角為 θ.
幾何表示 坐標表示
數量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ a·a |a|＝ x21＋y21
a·b x1x2＋y1y2
夾角 cos θ＝ cos θ＝
|a||b| x21＋y21 x22＋y22
a⊥b 的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x12＋y21 x22＋y22
常用結論
1．平面向量數量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有關向量夾角的兩個結論
(1)若 a 與 b 的夾角為銳角，則 a·b>0；若 a·b>0，則 a 與 b 的夾角為銳角或 0.
(2)若 a 與 b 的夾角為鈍角，則 a·b<0；若 a·b<0，則 a 與 b 的夾角為鈍角或 π.
【核心題型】
題型一　平面向量數量積的基本運算
計算平面向量數量積的主要方法
(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐標運算，若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求數量積．
(4)靈活運用平面向量數量積的幾何意義
【例題 1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知平行四邊形 ABCD中，
uuur uuur uuur uuur
AB = 4, AD = 3, BAD = 60°, DP = l DC(l > 0), AP × BP = 9 ，則l 的值為（ ）
4 3 2
A． B． C D 1．
5 4 3
． 2
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【分析】用向量 AB, AD表示向量 AP, BP，再結合數量積的運算律計算即得.
uuur uuur
【詳解】平行四邊形 ABCD中，由 AB = 4, AD = 3, BAD = 60°，得 AB × AD
1
= 4 3 = 6，
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由DP = lDC(l > 0)，得 AP = AD + DP = l AB + AD, BP = BC + CP = (l -1)AB + AD ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因此 AP × BP = (l AB + AD) ×[(l -1)AB + AD] =16l(l -1) + 6(2l -1) + 9 = 9，
3
整理得8l 2 - 2l - 3 = 0，即 (2l +1)(4l - 3) = 0，所以l = .4
故選：B
r r r r r r r r r
【變式 1】（2024·浙江金華·三模）已知 a = 4， b = 3， a + b = a - b ，則 a × a - b = （ ）
A．-16 B．16 C．-9 D．9
【答案】B
r 2 r r r2 r r r r2 r r r2 r r
【分析】由已知可得 a + 2bga + b = a - 2bga + b ，可求得bga = 0 ，進而計算可求 a × a - b .
r r r r
a + b = a - b r 2 r r r2 r 2 r r r2【詳解】由 ，兩邊平方可得 a + 2bga + b = a - 2bga + b ，
r r r r r r 2 r r
所以bga = 0 ，所以 a × a - b = a - agb = 42 - 0 =16 .
故選：B.
r r r r
【變式 2】（2024· r r陜西西安·模擬預測）已知向量 a,b 的夾角為 60°，若 (4a - b) ×b = -8,| a |= 1，
r
則 | b |= .
【答案】4
r r r
【分析】對 (4a - b) ×b = -8化簡結合已知條件可得答案.
r r r
【詳解】因為向量 a,b 的夾角為 60°， | a |=1，
r ra b ar
r r
所以 × = × b cos 60
1
° = b
2
r r r r r r r r
所以由 (4a - b) ×b = -8，得 4a ×b - b 2
2
= 2 b - b = -8
r r r r
| b |2 -2 | b | -8 = 0,得 | b |= 4，或 | b |= -2（舍去），
故答案為：4
【變式 3】（2024·遼寧丹東·一模）記VABC 內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知VABC
面積為 S，且 a2 + b2 - c2 = 4 3S ．
(1)求 C；
uuur uuur
(2)若 a = 2 3 ，BA × BC = 6 ，求 S．
π
【答案】(1)
6
(2) 3
【分析】（1）由余弦定理及面積公式可得結果.
（2）根據向量數量積的定義及余弦定理可得結果.
【詳解】（1）因為 a2
1
+ b2 - c2 = 4 3S ，即 a2 + b2 - c2 = 4 3 absinC ，2
a2 + b2 - c2
整理得 = 3sinC ，即 cosC = 3sinC 3，所以 tanC = ，
2ab 3
又C 0, π π，所以C = .
6
uuur uuur uuur uuur a2 + c2 - b22 a
2 + c2 - b2
（ ）因為 a = 2 3 ，BA × BC = BA × BC cosB = accosB = ac = = 6，
2ac 2
即b = c ，又 a
2 + b2 - c2 = 4 3S ，所以 S = 3
題型二　平面向量數量積的應用
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝ a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②幾何法：利用向量的幾何意義．
(2)求平面向量的夾角的方法
a·b
①定義法：cos θ＝ ；
|a||b|
②坐標法．
(3)兩個向量垂直的充要條件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中 a≠0，b≠0)
命題點 1　向量的模
r r r r r r
【例題 2】（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知向量 a，b 滿足 a =1， b = 3 ，且 a與b 的夾
5π r
角為 ，則 2a
r
- b =（ ）
6
A 1． 2 B． 13 C．1 D．13
【答案】B
r r r r 2
【分析】根據 2a - b = 2a - b ，結合數量積運算求解.
r r r r
【詳解】根據題意， a ×b = a b cos
5π 3 3
=1 3
6
- ÷÷ = - ，
è 2 2
r r r 2 r 2 r r r2
則 2a - b = 2ar - b = 4a - 4a ×b + b = 4 + 6 + 3 = 13 .
故選：B
r r π r 3 1 r r
【變式 1】（2024·河北·三模）已知非零向量 a ，b 的夾角為 ， a = - , ÷÷， a - b =12 2 ，則3 è
r r
a + b =（ ）
A 3．1 B． C． 2 D． 3
2
【答案】D
r r r r ra 1 π ar b 2ar【分析】分析可知 = ，向量 a ， a - b的夾角為 ，根據 + = - r
r
a - b 結合數量積的3
運算求解.

【詳解】因為 a
r 3
= - ,
1 r
÷÷，則 a =1，
è 2 2
r r π r r r r r π
且非零向量 a ，b 的夾角為 ， a - b =1，可知向量 a ， a - b的夾角為 ，3 3
r r r則 a × a - b 1 1=1 1 = ，2 2
ar
r r r r r r r
所以 + b = 2a - a - b = 4a2 r r r- 4a × a - b + a - b 2 = 3 .
故選：D
【變式2】（2024·河南·三模）已知VABC 的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ， c，C = 60°，
c = 7，若 a - b = 3, D 為 AB 中點，則CD = ．
129
【答案】
2
129
【分析】根據余弦定理可得 ab = 40，即可利用向量的模長求解CD = .
2
【詳解】由余弦定理， c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = (a - b)2 + ab ，將 a - b = 3代入解得 ab = 40，
uuur 1 uuur uuur uuurCD CA CB 2
2 2
= + CD b + a + ab (a - b)
2 + 3ab 129
因為 ，所以 = = = 129，所以
2 CD =
．
4 4 4 2
129
故答案為： 2
【變式 3】（2023·福建福州·模擬預測）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別是 a,b,c，且
asinC = csinB ,C 2p= ．
3
(1)求 B ；
(2)若VABC 3 3面積為 ，求BC 邊上中線的長．
4
π
【答案】(1) B =
6
(2) 21
2
【分析】（1）由正弦定理邊化角即可得到角 B ；
（2）根據 A = B ，得 a = b，結合三角形面積公式即可得到 a = b = 3 ，再由正弦定理得邊
uuur uuur uuur
c，以及 2AD = AB + AC ，即可得到答案．
【詳解】（1）Qasin C = csin B，由正弦定理邊化角得 sin Asin C = sin C sin B ，
Qsin C 0，\sin A = sin B ，
\ A = B或 A + B = π （舍），
2π π
又Q C = ，\ B = ；
3 6
π 2π π
（2）Q B = ，C = ， A = ，\a = b，
6 3 6
\ S 1VABC = absin C
3 3 1 a2 3，即 = × ，解得2 a = b = 3
，
4 2 2
a c
由正弦定理 = ，
sin A sin C
c a sin C得 = = 3，
sin A
設BC 邊的中點為D，連接 AD ，如下圖：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Q 2AD = AB + AC ，即 (2AD)2 = (AB + AC)2，
即 4AD2 = c2 + b2 + 2bc cos A = 9 3+ 3+ 2 3 3 ，
2
AD 21=
解得 2
命題點 2　向量的夾角
r r r r r
【例題 3】（2024·北京·三模）若 | a |=1,| b |= 2 , (ar - b ) ^ ar ，則向量 a與b 的夾角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
r r r r r r r r
【分析】根據 (a - b) ^ a ，得 (a - b)×a = 0，結合數量積的運算律求出 a ×b ，再根據向量的夾
角公式即可得解.
r r r r r r
【詳解】因為 (a - b) ^ a ，所以 (a - b)×a = 0，
r 2 r r r r r 2
即 a - a ×b = 0 ，所以 a ×b = a =1，
r r r
所以 cos a
r,b a ×br 1= =
ar b 2 ，
r r
又0° a,b 180°，
ar
r
所以向量 與b 的夾角為60° .
故選：B
r r r r r r r r
【變式 1】（2024·江蘇南通·三模）已知三個單位向量 a,b,c滿足 a = b + c，則向量b,c的夾角
為（ ）
p p 2p 5p
A． B． C． D
6 3 3
． 6
【答案】C
r r 1
【分析】對等式兩邊同時平方即可得到b × c = - ，再利用向量數量積定義和向量夾角的范
2
圍即可得到答案.
r r r r
【詳解】 a2 = b 2 r+ c 2 + 2b cr r× ，即1 =1+1+ 2b ×c ，
r r r
\b ×cr 1 1 1cosb ,cr 1 cosb ,cr 1= - ，即 = - ，則 = - ，
2 2 2
r r
因為b ,c
r
0, π 2π，\b ,cr 的夾角為 ，
3
故選：C
ar
r 1 r
【變式 2】（2024·江西·模擬預測）已知平面內非零向量 在向量b 上的投影向量為- b ，且2
r
ar 3 b r= ，則 ar與b 夾角的余弦值為 ．
1
【答案】-
6
【分析】利用投影向量公式計算即可.
r r
【詳解】設 a與b 的夾角為q ，
r r r r r r ra ×b b a ×b r a × b cosq r a
r cosq r 1 r
因為 r × r = r 2 ×b = r 2 ×b = r ×b = - b ，b b | b | | b | b 2
ar cosq
r 1 r
r
即 = - 2 ，又 a = 3 bb ，
則3cosq
1
= - ，即 cosq
1
= - ．
2 6
1
-
故答案為： 6
【變式 3】（2024·江西·模擬預測）如圖，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， P 是棱 A1B1 的中點，Q
是棱 AC AQ 3上一點，且 = ， AB = 2BB1 = 2 .
AC 3
(1)求證：BP ^ B1C ；
(2)求平面PQB1與平面BPB1的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2) 2 .
2
【分析】（1）取 AB 的中點O，連接OC ，OP，OB1，利用面面垂直證明OC ^ BP，再證明
BP ^ 平面OB1C 即可；
（2）建立適當的空間直角坐標系，利用空間向量的坐標表示求解面面角.
【詳解】（1）證明：取 AB 的中點O，連接OC ，OP，OB1，
Q正三棱柱 ABC - A1B1C1 ，\ OC ^ AB，OP ^ AB .
Q平面 ABB1A1 ^平面 ABC ，平面 ABB1A1 I平面 ABC = AB， OC 平面 ABC ，
所以OC ^平面 ABB1A1，
又BP 平面 ABB1A1，所以OC ^ BP，
因為BB1 = PB1 = OB =1， BB1 ^ AB ，BB1 ^ PB1，
所以四邊形OBB1P為正方形，所以BP ^ OB1，
又OB1 IOC = O ，OB1 平面OB1C ，OC 平面OB1C ，所以BP ^ 平面OB1C ，
又 B1C 平面OB1C ，所以BP ^ B1C ；
（2）由（1）知OA，OP，OC 兩兩垂直，故以O為坐標原點，以OA，OP，OC 所在直
線分別為 x 軸， y 軸， z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則O 0,0,0 ，B -1,0,0 ，P 0,1,0 ，B1 -1,1,0 ， A 1,0,0 ，C 0,0, 3 ，
uuur uuur uuur
所以 AC = (-1,0, 3)，B1P = (1,0,0)，OA = (1,0,0)，
AQ 3 uuur 3 uuur 3
由 = ，得 AQ = AC = - ,0,1÷÷，AC 3 3 è 3
uuur uuur uuur
所以OQ = OA + AQ 1
3
= - ,0,1÷÷，
è 3
uuur
所以Q 1
3
- ,0,1 3
3 ÷÷
，所以PQ = 1- , -1,1÷÷，
è è 3
r
設平面PQB1的一個法向量 n = x, y, z ，
uuur
ìB P nr1 × = x = 0,
則 íuuur r 3
PQ × m = 1- ÷÷ x - y + z = 0,
è 3
令 y =1
r
，得 x = 0， z =1，所以 n = 0,1,1 ，
BPB mr易知平面 1的一個法向量為 = 0,0,1 ，
設平面PQB1與平面BPB1的夾角為q ，
r r
cosq cos nr r
n × m 1 2
所以 = ,m = r r = = ，n × m 2 1 2
2
所以平面PQB1與平面BPB1的夾角的余弦值為 2
命題點 3　向量的垂直
r r r r r r r
【例題 4】（2024·江蘇連云港·模擬預測）若向量m ， n滿足 m =1， n = 2，且 m - n ^ m，
r r
則 m - n =（ ）
A．1 B． 3 C． 7 D．2
【答案】B
r
【分析】根據 (m - n
r) r× m = 0求出 cosq r r r r，根據 m - n = (m - n)2 即可求解.
r r r r
【詳解】因為 m - n ^ m，所以 (m - nr) r× m = 0，
r r r
所以 | m |2 r r- | m || n | cosq = 0，所以 cosq
1
= ，其中q 是m, n的夾角，
2
r r
所以 m - n = (mr - nr)2 = 1+ 4 1- 2 2 1 = 3 .
2
故選：B
r r r r r
【變式 1】（2024·重慶·模擬預測）已知 | ar |=1,| b |= 2 r r，且 a與b 不共線，若向量a + kb 與a - kb
互相垂直，則實數 k 的值為（ ）
1 1
A．- B 1． 2 C．± D．±22 2
【答案】C
r r r
【分析】依題意可得 a + kb ar× - kb = 0，根據數量積的運算律計算可得.
r r r
【詳解】因為向量a + kb ar與 - kb 互相垂直，
r r r r r所以 a + kb × a - kb = 0 r，即 a2 - k 2b 2 = 0 ，
即12
1
- k 2 22 = 0，解得 k = ± .2
故選：C
r r r r r
【變式 2】（2024·寧夏銀川·三模）已知 a r是單位向量，且 a與 a + b 垂直， a與b 的夾角為
135° ar
r r
，則 + b 在b 上的投影數量為 .
2
【答案】
2
r r r r r r
【分析】由 a與 a + b 垂直，結合 a與b 的夾角為 135°，利用數量積的定義得到 b = 2 ，再
r r r
利用 a + b 在b 上的投影的定義求解.
r r
【詳解】解：因為 a與 ar + b 垂直，
所以 a
r
× r r ra + b = 0 r，即 a2 r+ a ×b = 0，
r r
解得 a ×b = -1，
r r
又因為 a與b 的夾角為 135°，
ar
r r r r
所以 ×b = a × b ×cos135o = -1，解得 b = 2 ，
r r
r r r b × a
r
+ b r r2 r
r b +ra ×b 2 -1 2所以 a + b 在b 上的投影數量為 = = = ，
b b 2 2
2
故答案為： 2
【變式 3】（2023 高三·全國·專題練習）四面體 ABCD中， AB2 + CD2 = AD2 + BC 2 ，求證：
AC ^ BD ．
【答案】證明見解析
uuur uuur
【分析】根據題目條件，利用向量運算法則即可求得 AC × BD = 0，即可證明 AC ^ BD .
【詳解】證明：如下圖所示：
uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
由條件得 AB - BC = AD - CD ，即
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB - BC × AB + BC = AD - CD × AD + CD ，
則 uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB - BC × AC = AC × AD + CD ，
uuur
移項得 AC × uuur uuur uuur uuurAB - BC - AD - CD = 0，
uuur uuur uuur uuur
即 AC × 2BD = 0，即 AC × BD = 0，
所以 AC ^ BD
題型三　平面向量的實際應用
　用向量方法解決實際問題的步驟
【例題 5】（2024·廣東梅州·二模）如圖，兩根繩子把物體 M 吊在水平桿子 AB 上.已知物體 M
的重力大小為 20 牛，且 AOM =150°，在下列角度中，當角q 取哪個值時，繩OB承受的
拉力最小.（ ）
A． 45° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
uuur
【分析】由題意作出圖形，在△ ONQ 中利用正弦定理列式，得到 | OQ |的表達式，結合正弦
uuur
函數的性質算出 | OQ |的最小值.
uuur uuur
【詳解】作出示意圖，設與物體M 平衡的力對應的向量為ON ，則 | ON |= 20，
uuur uuur uuur uuur
以ON 為對角線作平行四邊形OPNQ，則ON = OP + OQ ， | OQ |是繩OB承受的拉力大小，
由 AOM =150°，得 AON = 30°，所以 ONQ = AON = 30° ，
ON OQ 20 OQ
△ ONQ 中，由正弦定理得 = =sin OQN sin ONQ ，即 sin(180° -q ) sin 30° ，
uuur
| OQ | 20sin 30° 10可得 = OQ = =sin(180° -q ) sinq ，
uuur
結合0° < q <180°，可知當q = 90°時， | OQ |達到最小值 10.
綜上所述，當角q = 90°時，繩OB承受的拉力最小.
故選：C
【變式 1】（2020·寧夏中衛·二模）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部
分．某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態時，若兩只胳膊的夾角為60°，每只
胳膊的拉力大小均為 400N ，則該學生的體重（單位： kg ）約為（ ）
（參考數據：取重力加速度大小為 g＝10m / s2，3 1.732 ）
A．63 B．69 C．75 D．81
【答案】B
【分析】根據平行四邊形法則得到該學生的體重 |G| = |F | ,利用余弦定理即可求出 | F |得解.
【詳解】
如圖，設該學生的體重為G ,則G = F .
| F |2 = 4002由余弦定理得 + 4002 - 2 400 400 cos(
2p ) = 3 4002 ,\| F |= 400 3 .
3
所以 | G |= 400 3 69 kg .
故選：B
【點睛】本題主要考查向量的平行四邊形法則和余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知
識的理解掌握水平
【變式 2】（2024·全國·模擬預測）如圖，某物體作用于同一點O的三個力F1，F2，F3 使物體
處于平衡狀態，已知F1 =1N，F2 = 2N ，F1與F2 的夾角為120°，則F3 的大小為 ．（牛
頓N是物理的力學單位）
【答案】 3N
uur uur uur
【分析】根據三力平衡得到F1 + F2 = -F3 ，然后通過平方將向量式數量化得到
uur 2 uur uur uur 2 uur 2
F1 + 2 F1 ·F2 cos120° + F2 = F3 ，代入數據即可得到答案.
uur uur uur r uur uur uur
【詳解】由題意知三力平衡得F1 + F2 + F3 = 0，化簡得F1 + F2 = -F3 ，
uur2 uur uur uur2 uur2 uur 2 uur uur uur 2 uur 2
兩邊同平方得F1 + 2F1·F2 + F2 = F3 ，即 F1 + 2 F1 ·F2 cos120° + F2 = F3 ，
uur 2 uur2
即1 + 2
1
1 2 2 - + 2 = 3 = F ，解得 F2 ÷ 3 3
= 3 .
è
故答案為： 3N
【變式 3】（2022·內蒙古赤峰·三模）如圖所示，把一個物體放在傾斜角為30o的斜面上，物
ur uur
體處于平衡狀態，且受到三個力的作用，即重力G ，垂直斜面向上的彈力F1 ，沿著斜面向
uur uur ur uur
上的摩擦力F2 .已知： F1 = 80 3N, G =160N ，則F2 的大小為 .
【答案】80 N
ur uur
【分析】物體處于平衡狀態，則重力G 沿斜面上的分量與F2 方向相反，大小相同，即可求
值.
uur ur
【詳解】由題設， | F2 |=| G | cos 60° =160
1
= 80 N，
2
故答案為：80 N.
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
r r r r r 1 r r
1．（2024·山西太原·模擬預測）已知單位向量 a，b 滿足 a - b × a = r，則2 a - 2b 與b 的夾角
為（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】D
r r 1 r r
【分析】根據題意結合數量積的運算律可得 a ×b = ，進而可得 a - 2b = 3 ，
2
r r ra 3- 2b ×b = - ，結合夾角公式分析求解.2
r r
【詳解】由題意可知： a = b = 1，
因為 r r r rar - b ar r× = a 2 r r- a ×b =1- a ×b 1= ，解得 ar ×b 1= ，2 2
r r 2 r 2 r r r2 ar
r
則 a - 2b = a - 4a ×b + 4b = 3，即 - 2b = 3 ，
r r r r ra - 2b r×b = a ×b - 2b 2 3= - ，2
r r r 3
r r r a - 2b ×b - 3
可得 cos a - 2b ,b = r r r =
2 = - ，
a - 2b b 3 1 2
r r r
且 a
r
- 2b ,b 0, π r r 5π，所以 a - 2b 與b 的夾角為 6 ．
故選：D．
2 r
r r r r r r r r
．（2024·四川眉山·三模）已知向量 a,b ,c 滿足 a = b =1, c = 3，且a +b + c = 0，則
r
cos ar - cr,b cr- =（ ）
13 3 3 3 3 13A． B． C．- D．-14 14 14 14
【答案】A
r r r r r r r r r r r r
【分析】根據數量積的運算律求出 a ×b 、 a ×c 、b ×c ，即可求出 a - c × b - c 、 a - c 、
r
b - cr ，再根據夾角公式計算可得.
r r r r r r r 1
【詳解】由題意得 a +b = -c ，則 (a
r b)2 r+ = c 2有12 + 2ar ×b +12 = ( 3)2 ，解得 a ×b = ，
2
r r r r r r2 2 2 r r 2 2 ar r 3又由 a + c = -b ，則 (a + c) = b 有1 + 2a ×c + ( 3) =1 ，解得 ×c = - ，
2
r r 3
同理可得b ×c = - ，
2
r r r r a c b cr ar b ar cr rb cr cr2 13所以 - × - = × - × - × + = ，2
ar - cr = ar2 r r r- 2a ×c + c 2 = 7 ，
r r r
b - cr b 2 r r= - 2b ×c + c 2 = 7 ，
r 13
r ar r r- c × b - c
所以 cos ar cr r- ,b - c = r = 2 13= .
ar - cr b cr× - 7 7 14
故選：A
3．（2024·安徽合肥·模擬預測）記 VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若b = 2 ，
cos B cos A + cosC uuuur uuuur uuuur
= ， 2AM = MC ，則 BM 可能是（b a c ）+
A 1
2
． 2 B． C．1 D3 ．2
【答案】C
cos B cos A + cosC p
【分析】利用余弦定理對 = 整理得到B = ，即可得到動點 B 的軌跡，然
b a + c 3
后利用正弦定理和平面向量得到OB，OM 即可得到 BM 是關于q 的函數，最后根據函數求
uuuur
BM 的范圍即可.
【詳解】
b2 + c2 - a2 a2 + b2 - c2
2 2
由余弦定理得 a + c - b2 += 2bc 2ab ，
2acb a + c
2 2 2
整理得 a + c a - ac + c = a + c b ，
因為a + c 0，所以 a2 - ac + c2 = b2，即 a2 + c2 - b2 = ac，
2 2 2
所以 cos B a + c - b 1= = ，
2ac 2
因為B 0, π p，所以B = ，
3
又b = 2 ，則設VABC 的外接圓圓心為O，則動點 B 的軌跡為優弧 AC （不包括A 、點C ）．
1 2 2 3
設 MOB = q (0 < q p )，在VOBM OB = =中， 2 sin π 3
，
3
uuuur 2 2 uuur 1 uuur 2
2 2 2

OM OA OC 4 2 3 2 1 2 3 2π 1 2 3 4= + =
3 3 9 3 ÷÷
+ 2 ÷÷ cos + = ，
è 3 3 è 3
÷÷
3 9 è 3 9
2
則OM = ，
3
由余弦定理得BM 2 = OB2 + OM 2 - 2 ×OB ×OM ×cosq ，則 BM 是關于q 的函數，且是增函數，
當q = p ，即 B，O，M 三點共線時， BM 最大，此時BM = OM +OB 2+ 2 3= ，
3
2 uuuur 2 2 + 2 3 ù
當B A時，BM AM ，即BM ，所以 BM 的取值范圍為 ,3 è 3 3
ú ．

故選：C.
4．（2024·重慶·模擬預測）如圖，圓 O 內接邊長為 1 的正方形 ABCD, P 是弧BC （包括端點）
uuur uuur
上一點，則 AP × AB的取值范圍是（ ）
é 4 + 2 ù é 2 + 2 ù é 1+ 2 ù é 2 ù
A． ê1, 4 ú
B． ê1, 2 ú
C． ê1, ú D． ê ,12 ú 4
【答案】C
【分析】法一：以 A 為坐標原點， AB, AD所在直線分別為 x 軸、y 軸，建立平面直角坐標
系，應用向量的坐標運算即可求解；法二：連接 AC,CP，設 PAB q ,0 q
π
= ，則
4
π uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PAC = -q ， AP × AB =| AP || AB | cosq = | AB | × | AC | cos PAC ，即可求解.
4
【詳解】方法一：如圖 1，以 A 為坐標原點， AB, AD所在直線分別為 x 軸、y 軸，建立平面
直角坐標系，則 A(0, 0), B (1, 0) ）．
uuur uuur uuur uuur
設P(x, y) ，則 AP = (x, y)．因為 AB = (1,0) ，所以 AP × AB = x ．
O r 2由題意知，圓 的半徑 = ．因為點 P 在弧BC （包括端點）上，
2
1 2 uuur uuur é1,1+ 2
ù
所以1 x + ，所以 AP × AB的取值范圍是 ê ．
2 2 2
ú

方法二：如圖 2，連接 AC,CP．易知 BAC
π
= ，
4
設 PAB = q ,0 q
π π
，則 PAC = -q ．
4 4
uuur uuur uuur uuur π
由已知可得 | AB |=1,| AC | 2,
π
= APC = ，所以 | AP |=| AC | cos PAC = 2 cos -q ，
2 ֏ 4
uuur uuur uuur uuur
2 cos π
2
所以 AP × AB =| AP || AB | cosq = -q ÷cosq = 2 cosq
2
+ sinq
4 2 2 ÷è ÷
cosq
è
cosq sinq cosq cos2 q sinq cosq 1+ cos 2q sin 2q= + = + = + = 1 2+ sin 2q π+ ．
2 2 2 2 è 4 ÷
0 q p π 2q π 3π 2 π 因為 ，所以 + ，所以 sin 2q + ÷ 1，4 4 4 4 2 è 4
1 2 π 1+ 2 uuur uuur é1,1+ 2
ù
所以1 + sin 2q + ÷ ，即 AP × AB的取值范圍是 ê ú .2 2 è 4 2 2
故選：C．
二、多選題
r r
5．（2024·江西宜春·模擬預測）已知向量 a = (-1,2)，b = (6,-2)，則（ ）
r r r r r
A． (2a + b) ^ a B． | a - b |= 65
r r π r r 1 r
C． a 與b 的夾角為 D． a 在b 上的投影向量為- b4 4
【答案】ABD
r r r r r
【分析】A 選項，根據 (2a + b) ×a = 0得到垂直關系；B 選項，求出 a - b = (-7,4)，根據模長
r r 2 r r r
r
b 1 r
公式求出答案；C 選項，根據 cosáa,b = - 得到答案；D 選項，利用 | a | cosáa,b × r = - b
2 | b | 4
得到 D 正確.
r r
【詳解】A 選項，因為 a = (-1,2)，b = (6,-2)．
r r r r r r r r
所以 2a + b = (4, 2)．則 (2a + b) × a = -1 4 + 2 2 = 0．所以 (2a + b) ^ a ．故 A 正確：
r r r r
B 選項，因為 a - b = (-7,4)．所以 a - b = (-7)2 + 42 = 65 ．故 B 正確；
r r r ra ×b -10 2 r r
C 選項，因為 cosáa,b = r r = = - ．且 áa,b [0, π]．
| a | × | b | 5 2 10 2
r r 3π
所以 áa,b = ．故 C 錯誤；
4
r r r r rr r
| a | cos a,b b
2 b 1 r
a 在b 上的投影向量為 á × r = 5 - ÷ = - b．故 D 正確．| b | è 2 2 10 4
故選：ABD．
r r r
6．（2024·浙江溫州·模擬預測）已知單位向量 a,b ,c 共面，則下列說法中正確的是（ ）
r r r r r r r r r r r r
A．若 a + b = a - b ，則a / /b B．若 a + b = a - b ，則a ^ b
r r r r r r r r r r r r
C．若 a + b + c = 0 ，則 a,c
π 2π
= D．若 a + b + c = 0 ，則 b,c =3 3
【答案】BD
【分析】根據題意，結合向量的運算法則，以及向量的夾角公式，逐項判定，即可求解.
r r r r r r r r
【詳解】由 a + b = a - b
r r r r r r r r
，可得 (a + b)2 = (a - b)2 2 2，即 a + b 2 + 2a ×b = a + b 2 - 2a ×b ，
r r r r
可得 a ×b = 0 ，所以a ^ b ，所以 A 不正確，B 正確；
r r r r r r
因為向量 a,b ,c 為單位向量，可得 a = b = c =1，
r r r r r r r r r r r r r 2 r 2 r 2 r r
又由 a + b + c = 0 ，可得b = -(a + c)，則b 2
2 2
= a + c + 2a ×c ，即 b = a + c + 2a ×c ，
r r r rr r 1 a ×c
可得 a ×c = - ，所以 cos a,c = r r
1
= - ，
2 a c 2
r r r r
因為 a,c [0, π]
2π
，所以 a,c = ，所以 C 錯誤；
3
r r r r r r r r 2 r 2 r r r r 1
由 a + b + c = 0 ，可得 a = -(b + c)
2
，則 a = b + c + 2b ×c，可得b ×c = - ，
2
r r r r r r r r
所以 cos b,c
br ×cr 1= = -
2 ，因為 b,c [0, π]，所以 b,c
2π
=
b c ，所以
D 正確.
3
故選：BD.
三、填空題
r r r r
7．（2024·遼寧丹東·二模）設向量 a ，b 的夾角為60o ，且 a =1， b = 2，則
r r ra + 2b ×b = ．
【答案】9
r r r r
【分析】法 1：由數量積的幾何意義可知b 在向量 a 上的投影的數量為1，可得a ×b =1，即
可求解；
法 2：根據數量積的定義即可求解；
r r
法 3：根據題意設 a ，b 的坐標，利用坐標運算即可求解.
【詳解】法 1：由向量數量積的幾何意義得，
r r r
b 在向量 a 上的投影的數量為 b cos 60o =1，
r r r r r
所以a ×b =1，所以 a + 2b ×b = 9；
r r r r
法 2：根據數量積定義有 a ×b = a b cos 60o =1，
所以 r r ra + 2b ×b = 9；
r r r r法 3：設 a = 1,0 ，b = 1, 3 ， a + 2b = 3,2 3 ，
r r r
所以 a + 2b ×b = 3 + 6 = 9 .
故答案為：9 .
8．（2021·云南昆明·三模）兩同學合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則F1與F2 大
小之比為 ．
6
【答案】
2
【分析】物體處于平衡狀態，所以水平方向的合力為 0，然后可算出答案.
【詳解】物體處于平衡狀態，所以水平方向的合力為 0
uur 3
uur uur F1 cos30° 6
所以 F1 cos 45° = F2 cos30°，所以 uur = = 2 =
F cos 45°2 2 2
2
6
故答案為：
2
r r r r r
9．（2024·重慶·模擬預測）已知非零向量 a、b 滿足 a
r
= 2 b , ar b b r r+ ^ ，則向量 a與b 的夾
角為 ．
2π
【答案】
3
【分析】由向量垂直的數量積表示和數量積的定義式運算即可.
r r r
【詳解】因為 a + b ^ b ，
r r
設向量 a與b 的夾角為q q 0, π ，
r r r r r r r 2\ a + b ×b = ar ×b + b 2 = ar b cosq + b = 0
r r
又因為 a = 2 b ，
r 2 r 2
\2 b cosq 1 2π+ b = 0,\cosq = - ,\q = ，
2 3
r r 2π
所以向量 a與b 的夾角為 .3
2π
故答案為： .
3
四、解答題
10．（23-24 高三下·山東菏澤·階段練習）記VABC 的內角A ， B ，C 的對邊分別為 a，b ，
c r，向量m = b,sinA + sinC ， vr sinA r r= + sinB, a - c 且m ^ v ．
(1)求角C 的大小；
3
(2)若VABC 3的面積為 ， cosAcosB = ，求 c．
4 4
2π
【答案】(1)
3
(2) 3
【分析】（1）利用向量垂直的坐標表示，結合正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解；
（2）利用三角形面積公式得到 ab，利用三角函數的和差公式得到sinAsinB，再利用正弦定
理即可得解.
r
【詳解】（1）因為m = b,sinA sinC vr+ ， = sinA + sinB, a r r- c ，m ^ v ，
所以b sinA + sinB + sinA + sinC a - c = 0 ，
由正弦定理得b a + b + a + c a - c = 0，化簡得 a2 + b2 - c2 = -ab，
2 2 2
cosC a + b - c -ab 1所以 = = = - ，
2ab 2ab 2
C 2π又0 < C < π，所以 = .
3
2 1 absin 2π 3（ ）由題意得 = ，則ab =1，
2 3 4
由-cosC = cos π - C = cos A + B = cosAcosB - sinAsinB ，
1 3
得 = - sinAsinB ，則 sinAsinB
1
= ，
2 4 4
c
2
ab c
因為 ÷ = = 4，所以 = 2，
è sinC sinAsinB sinC
所以 c = 2sin C = 3 .
11．（2024·江蘇南通·模擬預測）在VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，已
uuur uuur
知 a = 2， c2 = BA × BC - 2 3S ，其中S 為VABC 的面積.
(1)求角A 的大小；
(2)設D是邊BC 的中點，若 AB ^ AD ，求 AD 的長.
【答案】(1) A
5
= π
6
(2) 13
13
【分析】（1）由向量的數量積和三角形的面積公式以及正弦定理化簡已知等式可得
sinC = sinAcosB - 3sinAsinB ，再由兩角和的正弦展開式結合特殊角的三角函數化簡整理即
可；
CD AD
（2）法一：結合已知由正弦定理可得 = ，代入數據化簡后可得
sin CAD sinC
sinB 2 sin π= - B
13
÷ ，再由兩角差的正弦展開式和同角三角函數關系求出 sinB = ，即3 è 6 13
可得到結果；
法二：由三角形的面積公式結合已知可得 c 3= b ，再在VABC 中，據余弦定理得
2
b2 + c2 + 3bc = 4，解出b,c，然后在Rt△ABD 中，據勾股定理解出結果即可；
法三：延長BA到點 H ，使得CH ^ AB，由三角形中位線的性質結合勾股定理和三角函數定
義關系求出即可；
法四：延長 AD 到E ，使 AD = DE ，連結EB， EC ，由已知結合三角函數的定義和勾股定理
解出即可；
uuur uuur
1 c2 = BA × BC - 2 3S c2【詳解】（ ）據 ，可得 = c × a ×cosB - 2 3
1
acsinB ，
2
即 c = acosB - 3asinB ，
結合正弦定理可得 sinC = sinAcosB - 3sinAsinB .
在VABC 中， sinC = sin éπ - A + B ù = sin A + B = sinAcosB + cosAsinB ，
所以 sinAcosB + cosAsinB = sinAcosB - 3sinAsinB，
整理得 cosAsinB = - 3sinAsinB .
B 0, π sinB > 0 cosA 3sinA tanA 3因為 ， ，故 = - ，即 = - ，
3
5
又 A 0, π ，所以 A = π .
6
（2）
法一：因為D是邊BC 的中點， a = 2，所以BD = CD =1 .
在△ABD 中， AB ^ AD ，則 AD = BDsinB = sinB .
在VACD中， CAD
5π π π 5π π
= - = ，C = π - - B = - B ，CD =1，
6 2 3 6 6
1 AD
CD AD =
據正弦定理可得， = ，即 π π ，
sin CAD sinC sin sin - B3 ֏ 6
2
所以 AD = sin
π
- B

÷ .3 è 6
2 π 3 1 3
所以 sinB = sin - B ÷ ，即6 sinB = cosB - sinB，3 è 2 2 2
所以 cosB = 2 3sinB，
又 sin2B + cos2B =1，B 0, π ，
所以 sin2B + 22 3sinB =1 13，解得 sinB = ，13
所以 AD 13= .
13
法二：因為D是邊BC 的中點，故 SVABD = SVACD ，
1 1 1
所以 c AD
1
× = b × AD ×sin DAC ，即 c × AD = b × AD ×sin
5π
2 2 2 2
π - ÷ ，
è 6
3
整理得 c = b ①
2
在VABC 中，據余弦定理得， a2 = b2 + c2 - 2bccos BAC ，
即b2 + c2 + 3bc = 4 ②
4 2 3
聯立①②，可得b = ， c = .
13 13
2

在Rt△ABD 中，據勾股定理得， AD2 = BD2 - AB2 =1 2 3 1- ÷÷ = ，
è 13 13
AD 13所以 = .
13
法三：延長BA到點 H ，使得CH ^ AB .
在Rt△CHB 中， AD ^ AB，CH ^ AB，故 AD∥CH ，
又D是BC 的中點，所以A 是BH 的中點，
所以 AH = AB = c ，CH = 2AD，且HB2 + HC 2 = a2 = 4 .
CAH π BAC π 5 π在Rt△CHA中， = - = - π = ， AC = b ， AH = c ，
6 6
所以CH = bsin CAH
1
= b ，且
2 c = bcos CAH
3
= b .
2
2
2c 2 1
2 3 1 2
所以 + b÷ = 4，即 2 b

÷÷ + b÷ = 4
4 13
，解得b = （負舍），
è 2 è 2 è 2 13
AD 1 CH 1 1 1 13所以 = = b = b = .
2 2 2 4 13
法四：延長 AD 到E ，使 AD = DE ，連結EB， EC .
因為D是BC 的中點，且 AD = DE ，
故四邊形 ABEC 是平行四邊形，BE = AC = b .
又 BAC
5
= π ，所以 ABE = π - BAC
5 π
= π - π = .
6 6 6
π
在Rt△BAE 中， AB ^ AD ， ABE = ， AB = c，BE = AC = b，
6
所以 AE = BE ×sin ABE
1
= b ，且
2 c = BE ×cos ABE
3
= b .
2
1 1 1
在Rt△BAD中， AB ^ AD ， AB = c， AD = AE = b ，BD = a =1，
2 4 2
2
據勾股定理 AB2
1
+ AD2 = BD2，可得 c2 + b4 ÷
=1，
è
c 3 4 13將 = b 代入上式，可得b = （負舍），
2 13
AD 1 13= b =
所以 4 13
【綜合提升練】
一、單選題
r r r r r r1．（2024·寧夏固原·一模）已知向量 a = (1, -1),b = (0, t) ，若 a ^ a + 2b ，則 b = （ ）
A 2． B．1 C． 2 D．2
2
【答案】B
r r
【分析】根據給定條件，利用垂直關系的向量表示求出 a ×b ，再利用數量積與模的坐標表示
求解即得.
r r
【詳解】由題意知， a ×b = -t ，
r r r r r r r
由 a ^ (ar 2b) ar r r r r+ ，得 × (a + 2b) = a2 + 2a ×b = 2 + 2a ×b = 0，解得 a ×b = -1，
r
因此-t = -1，解得 t =1，即b = (0,1) ，
r
所以 | b |=1 .
故選：B
| ar
r r r r
2．（2024·福建泉州· r模擬預測）已知 |= 2，b = (1, 2)， | a - 2b |= 2，則向量 a與b 的夾角
為（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】A
r r r r
【分析】首先求出 b ，然后對 a
r
- 2b = 2 r r兩邊平方即可求出 a ×b 的值，然后即可求出 cos a,b
的值，最后得出答案．
r r
【詳解】因為b = (1, 2)，所以 b = 12 + 22 = 3 ，
r r r r r ra 2b 2 r r r r r又 a = 2， - = ，\ a2 + 4b 2 - 4a ×b = 4 +12 - 4a ×b = 4 ，解得a ×b = 3，
r
cos ar
r r
\ ,b
a ×b 3 3 r
= r r πr r = = r2 3 2 ，且 a,b [0, π]，
\ a,b =
a b ，6
r r π
即向量 a與b 的夾角為 ．6
故選：A．
r r r r r r r
3．（2024· r吉林長春·模擬預測）已知兩個向量 a,b 滿足 a ×b = b =1， a - b = 3 ，則 a =
（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】D
r r
【分析】將 a - b = 3 兩邊平方，結合數量積的運算律計算可得.
r r r r
【詳解】因為 a ×b = b =1， a
r
- b = 3 ，
r r r 2 r r
所以 ar2 - 2ar ×b + b 2 = 3，即 a - 2 1+12 = 3，解得 a = 2或 a = -2（舍去）.
故選：D
ur uur r ur uur
4．（2024·浙江紹興·二模）已知 e1 ， e2 是單位向量，且它們的夾角是60°，若 a = 2e1 + e2 ，
r ur uur r r
b = le1 - e2 ，且 a ^ b，則l =（ ）
2 4
A． B． C．1 D． 2
5 5
【答案】B
r r r r
【分析】由 a ^ b得 a ×b = 0 ，列出方程求解即可．
r r r r ur uur ur uur ur2 ur uur uur2
【詳解】由 a ^ b得， a ×b = (2e1 + e2 ) × (le1 - e2 ) = 2le1 + l - 2 e1 ×e2 - e2 = 0 ，即
2l l - 2 4+ -1 = 0 ，解得l= ，
2 5
故選：B．
5．（2024·河北衡水·模擬預測）在VABC 中，
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
BAC = 60o , AB = 6, AC = 3, AM = 2MB,CN = NM ，則 AN ×CB =（ ）
17
A．-9 B． C．9 D．18
2
【答案】C
uuur uuur uuur uuur
【分析】將把 AN 與CB用 AB, AC 來表示，進而利用平面向量的數量積即可求解.
uuur 1 uuur 1 uuuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
【詳解】 AN = AC + AM = AC + AB， ，
2 2 2 3 CB = AB - AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AN ×CB = 1 AC
1
+ AB AB - AC
è 2 3 ÷


1 uuuur 1 uuur uuur uuuur
= AB2 + AB AC 1 AC 2 1 1 9× - =12 + 6 3 - = 9 .
3 6 2 6 2 2
故選：C.
r r
6．（2024·河南·模擬預測）已知向量 a,b
r r
滿足 a = b = a ×b = 2，又非零向量 c滿足
r r r r r rc ×a = c ×b ，則b 與 c 的夾角為（ ）
π π π 2π π 5π
A． B． C． 或 D． 或
6 3 3 3 6 6
【答案】D
r r r r r r r r r
【詳解】根據 a = b = a ×b = 2求出 cos a,b ar,b cr ar r
r r
，求出 ，根據 × = c ×b 證明 c ^ a - b ，
根據向量證明VOAB是等邊三角形，據此即可求解.
r r rr r r r a ×b 1
【分析】由 a = b = a
r
×b = 2，可得 cos a,b = ar
r =
b 2 ，
r r r
又 a,b 0, π r π r r r r，所以 a,b = ，又 ，
3 c ×a = c ×b
r r r r r r uuur r uuur所以 c × a - b = 0 ，所以 c ^ a - b r，如圖，令 a = OA，b = OB，
uuur
BA ar
r
則 = - b ，易得VOAB是等邊三角形，
取 AB 的中點D，連接OD ，則有OD ^ AB ，
r uuur rc r π 5π所以 與OD 共線，所以 c 與b 的夾角為 或 .6 6
故選：D．
r r ar er 3, ler ar r7．（2024·湖北黃岡·二模）已知 e 為單位向量，向量 a滿足 × = - =1，則 a 的最大
值為（ ）
A．9 B．3 C． 10 D．10
【答案】C
r 2 2 2
【分析】根據條件得到 | a | = - l - 6l -1 = -(l - 3) +10 ，利用二次函數的性質，即可求出
結果.
r r 2 r 2 2 r r 2 r 2
【詳解】根據條件得 (a - le) = a | +l - 2a ×el = l - 6l + a | =1，
r 2
得到 | a | = - l 2 - 6l -1 r= -(l - 3)2 +10 10 ar，所以 10 ，即 a 的最大值為 10 ，
故選：C.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
8．（2024·云南曲靖·二模）已知O是VABC 的外心， AB + AC = 2AO， OA = AB ，則向量 AC
uuur
在向量BC 上的投影向量為（ ）
1 uuur 2 uuur 3 uuur uuurA．- BC B．- BC C． BC D 3．4 4 BC4 4
【答案】C
【分析】依題意可知O是BC 的中點，從而得到 BAC = 90o ， ACB = 30o，解法一：過點A
作 AD ^ BC ，垂足為D，即可得到CD
3
= BC ，結合投影向量的定義即可得解；解法二：
4
uuur uuur
uuur uuur uuur AC × BC uuur
設 BC = 2，根據向量 AC 在向量BC 上的投影向量等于 uuur 2 BC 計算可得.BC
uuur uuur uuur
【詳解】由 AB + AC = 2AO，所以O是BC 的中點，又O是VABC 的外心，
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur
則 BAC = 90o ，再由 OA = AB ， OA = OB = OC = BC ，2
則VABO 為正三角形， ACB = 30o，
1 1
角度一：如圖，過點A 作 AD ^ BC ，垂足為D，則BD = BO = BC ，CD
3
= BC ，
2 4 4
uuur uuur uuur 3 uuur
所以向量 AC 在向量BC 上的投影向量等于DC = BC .4
uuur uuur uuur
BC = 2 AB =1 AC = 22 -12角度二：設 ，則 ，所以 = 3 ，
uuur uuur
o
uuur uuur AC × BC uuur 3 2 cos30 uuur uuur
所以向量 AC 在向量BC 上的投影向量等于 uuur 2 BC = 2 BC
3
= BC
BC 2 4
.
故選：C.
二、多選題
r r r r r r r r r r r
9．（2024·全國·模擬預測）已知向量a = 1,-1 ,b = 2,k ,a ^ b,c = a - tb．若 a,c = b,c ，
則（ ）
r r r
A． a
r 1
= b B．
2 b ×c = 4
r r r r 2 2
C．b 在 c方向上的投影向量為 c D．與b 反向的單位向量是 ,
è 2 2
÷÷

【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐標運算及投影向量、單位向量的定義一一判定選項即可.
r r r r r r
【詳解】Qa = 1,-1 ,b = 2,k ,c = a - tb ,\c = 1- 2t, -1- tk ．
r r rQa b , 2 k 0, r^ \ - = \k = 2,\b = 2,2 ,c = 1- 2t,-1- 2t ．
r r r r
Qar,cr
r r a ×c b ×c
= b ,cr,\cosar,cr = cosb ,cr，即 r r = r ra c b c ．
r r ra c b cr× r
\ r = r
× 2 -8t
a ，即 = ，解得 t
1
= - ，則 c =b 2,0 ．2 2 2 2
r r r
對于 A， a = 2, b 2 2, a
r 1
= \ = b ，故 A 正確；
2
r r
對于 B，因為b ×c = 2,2 × 2,0 = 4，故 B 正確；
r r r
r
b coscr
r
,b c
r b r r×c c 4 1 r r
對于 C，b 在 c方向上的投影向量為 × r = r ×c c cr
= c = c
2 2 ，故C 正確；
r
r b 2 2
對于 D，與b 反向的單位向量是- r = - ,-2 2 ÷÷，故 D 錯誤．b è
故選:ABC．
r r
10．（23-24 高三下·山東菏澤·開學考試）已知單位向量 a，b 的夾角為q ，則下列結論正確
的有（ ）
r
A (ar b) (ar
r
． + ^ - b)
r r r
B． ar r在b 方向上的投影向量為 (a ×b)b
r
C．若 | ar + b |=1，則q = 60o
r r r r r rD．若 (a + b) × a = (a - b) × ar ar，則 // b
【答案】AB
r r r r r r
【分析】由題意可得 a = b = 1，根據 a + b × ar r- b = a2 - b 2 ar r可判斷 A；根據 在b 方向上
r
r
的投影向量為 a cosq
b
× r r r
b 可判斷 B
r r
；根據 a2 + 2a ×b + b 2 =1可判斷 C；根據數量積的運算律可
判斷 D.
ar
r r r
【詳解】因為 ，b 都是單位向量，所以 a = b = 1，
r r r r r所以 ar b ar+ × - b ar2 r r= - b 2 = 0，即 a + b ^ a - b ，故 A 正確；
r r r r
r r r b r a ×b b r r ra在b 方向上的投影向量為 a cosq r = a × r r × r = a ×b bb a b b ，故 B 正確；
r r r r
若 | ar + b |=1，則 ar2
r 1
+ 2ar ×b + b 2 =1，即 a ×b = - ，即 cosq
1
= - ，
2 2
因為0° q 180° ，所以q =120°，故 C 錯誤；
r r r r
若 (a
r
+ b) r× a = (ar b) ar- × r，則 a2 r+ a × b ar= 2 - ar ×b ，
ar
r r
所以 ×b = 0，即 ar ^ b ，故 D 錯誤.
故選：AB
11．（2024·貴州黔東南·二模）拋物線C : y2 = -2 px( p > 0) 的焦點F 到準線的距離為 1，經過
點 P m,0 的直線 l與C 交于 A, B兩點，則（ ）
2 2
A．當m =1時，直線 l斜率的取值范圍是 - , ÷÷
è 2 2
1 1
B．當點 P 與點F 重合時， + = 2FA FB
uuur uuur
C．當m = -2時，FA與FB的夾角必為鈍角
D．當m = -2時， AOB 為定值（O為坐標原點）
【答案】BCD
【分析】根據條件，得到 p = 1， y2 = -2x ，再結合各個選項的條件，聯立直線與拋物線方
程，逐一分析判斷，即可求出結果.
【詳解】依題意可得 p = 1，
對于選項 A，當m =1時，設直線 l的方程為 y = k x -1 ，代入 y2 = -2x ，
k 2x2 2得 + 2 - 2k 2 x + k 2 = 0，則 2 - 2k 2 - 4k 4 > 0 2 1k 0 k 2，得到 < 且 k 0，2

所以 k
2 2
- ,02 ÷÷
0, ÷÷，故選項 A 錯誤，
è è 2
1
對于選項 B，當點 P 與點F 重合時，直線 l的方程為 y = k x + ，代入 y2 ÷ = -2x ，
è 2
2
得 k x2 + 2 + k 2 x 1+ k 2 = 0，設 A x4 1, y1 , B x2 , y2 ，
2 + k 2 1
則 x1 + x2 = - 2 , xk 1
+ x2 = ，4
1 2 + k
2
1 1 1 1 1- x + x + 2
則 + = 1 + 1 =
1 2 k
1 1 = = 21 1 2 ，所以選項
B 正確，
FA FB - x - x - x + x + x x + k
2
2 1 2 2 4 2 1 2 1 2 + 2 2 k 2
當m = -2時，直線 l的方程為 y = k x + 2 ，代入 y2 = -2x ，
2 2
得 k x + 2 + 4k 2 x + 4k 2 = 0 2，則 x1x2 = 4， y1y2 = -2x1 × -2x2 = 4x1x2 =16，易知 y1, y2
uuur uuur
異號，所以 y1y2 = -4，則OA ×OB = x1x2 + y1 y2 = 0，
所以OA ^ OB
π
，得到 AOB = 2 ，所以選項D 正確，
VAOB AFB AOB π又當m = -2時，F 在 內，則 > = ，
2
uuur uuur
又 A, F , B三點不可能共線，所以FA與FB的夾角必為鈍角，所以選項 C 正確，
故選：BCD.
三、填空題
r r r r r r r
12．（2024· r遼寧沈陽·三模）已知向量 a,b 滿足 a = 2， 4a + b ×b = 4，則 2a + b = .
【答案】 2 5
r r r r r r r 2
【分析】根據數量積的運算律得到 4a ×b + b 2 = 4，再由 2a + b = 2a + b 計算可得.
4ar r r r r【詳解】因為 + b ×b = 4 r，所以 4a ×b + b 2 = 4，
r
又 a = 2，
2ar
r r r 2 r 2 r r r2
所以 + b = 2a + b = 4a + 4a ×b + b
= 4 22 + 4 = 2 5 .
故答案為： 2 5
13．（2020·河北張家口·二模）如圖，某班體重為 70kg 的體育老師在做引體向上示范動作，
兩只胳膊的夾角為60°，拉力大小均為F ，若使身體能向上移動，則拉力F 的最小整數值為
N．（取重力加速度大小為g =10m / s2 ， 3 1.732）
【答案】405
【分析】根據向量的加法運算，兩個拉力的合力大于體重即可．
uuur uuur uuur
【詳解】設 AB, AD是兩個拉力F ，合力為 AC ，由于 BAD = 60°，在菱形 ABCD中知
uuur uuur
AC = 3 AB F 70 10，所以 3F > mg ， > 404.16，所以F 的最小整數為 405 N ．
1.732
故答案為：405．
【點睛】本題考查向量加法的物理意義，力的合成與向量加法是等價的．
π
14．（2024·吉林長春·模擬預測）在VABC 中，已知 A = , BC = 2 3 ，當邊 BC 的中線 AD = 7
3
時，VABC 的面積為 ．
【答案】 2 3
uuur uuur uuur uuur
【分析】用兩種方法表示 AB × AC ，求得 AB AC = 8，代入面積公式中計算即可.
【詳解】
uuur uuur uuur uuur
因為邊 BC 的中線 AD = 7 ，BC = 2 3 ，所以DC = -DB， DB = DC = 3，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 AB × AC = AD + DB × AD + DC = AD + DB × AD - DB = AD - DB = 7 - 3 = 4 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又 AB × AC = AB AC cos BAC = AB AC cos
π
，
3
uuur uuur uuur uuur
所以 AB AC cos
π
= 4， AB AC = 8，
3
S 1
uuur uuur
VABC = AB AC sin
π 1
= 8 3 = 2 3 .
2 3 2 2
故答案為： 2 3 .
四、解答題
π
15．（2024·貴州·模擬預測）在 VABC 中， AB = 13， AC = 2， C = ， N 為 AB 的中點，6
A的角平分線 AM 交CN 于點O .
(1)求CN 的長；
(2)求VAOC 的面積.
CN 7【答案】(1) =
2
(2) S△AOC = 4 3 - 39
uuur uuur uuur
【分析】（1）利用余弦定理求出BC ，再由 2CN = CA + CB 將兩邊平方，結合數量積的定義
及運算律計算可得；
S△AON AN
（2）首先求出 SVACN ，再由 =S AC 且
S△AON + S△AOC = S△ACN 計算可得.
△AOC
【詳解】（1）∵ AB2 = AC 2 + BC 2 - 2AC × BC ×cos ACB ，
即13 = 4 + BC 2 2 2 BC 3- × ，
2
∴ BC 2 - 2 3BC - 9 = 0，
∴ BC + 3 BC - 3 3 = 0 ，
∴ BC = - 3（舍）或BC = 3 3 ，
∵ N 為 AB 的中點，
uuur uuur uuur
∴ 2CN = CA + CB ，
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
∴ 4CN = CA + CB + 2 CA CB cos ACB
2 22 3 3 2 2 3 3 3= + + = 49，2
∴ CN
7
= .
2
2 ∵ S 1 AC BC sin ACB 1 2 3 3 1 3 3（ ） VABC = × × = = ，2 2 2 2
∴ S 1 S 3 3△ACN = 2 △ABC
= ，
4
1
S AN × AO sin NAO
13

∵ △AON 2 AN 2 13= = = = ，
S 1△AOC AC × AO sin CAO AC 2 4
2
且 S△AON + S△AOC = S△ACN ，
13
∴ +1÷÷ S
3 3
= ，
è 4
VAOC
4
∴ S△AOC = 4 3 - 39 .
r r
16．（22-23 高三上·河南安陽·階段練習）已知 a = sin x + cos x, 2cosq ,b = 2sinq ,
1 sin 2x
2 ÷
.
è
r π r r
(1)若 c = (-3,4)且 x = ,q 0, π 時， a 與 c的夾角為鈍角，求 cosq 的取值范圍；4
π r r
(2)若q = ，函數 f x = a ×b，求 f x 的最小值.
3
(1) ( 1, 2 2 ) ( 2 2 , 3 2【答案】 - - - )；
3 3 8
1
(2) - 6 .
2
【分析】（1）根據給定條件，利用向量數量積及共線向量的坐標表示列式，求出 cosq 范圍
作答.
（2）利用數量積的坐標表示求出函數 f x ，再利用換元法結合二次函數性質求解作答.
x π
r r r
【詳解】（1）當 = 時， a = 2, 2cosq4 ， a 與 c的夾角為鈍角，
r r r r
于是 a ×c < 0，且 a 與 c不共線，
r r 3 2
則 a ×c = -3 2 + 8cosq < 0，解得 cosq < ，又q 0, π ，即 cosq -1,1 ，
8
1 cosq 3 2
r r 2 2
則有- < < ，又當 a 與 c共線時， 4 2 + 6cosq = 0，解得 cosq = - ，
8 3
r r 2 2
因此 a 與 c不共線時， cosq - ，
3
所以 cosq ( 1, 2 2 ) ( 2 2 3 2的取值范圍是 - - - , ) .
3 3 8
π r r
（2）依題意，當q = 時， f x = a ×b = sin x 1+ cos x,1 × ( 3, sin 2x)
3 2
= 3 sin x
1
+ 3 cos x + sin 2x = 3(sin x + cos x) + sin x cos x，
2
t sin x cos x 2 sin(x π
2
令 = + = + ) [- 2, 2]，則 sin x cos x t -1= ，
4 2
t 2f x 3t -1 1
2 1 2
于是 = + = t + 3 - 2，而函數 y = t + 3 - 2在 t é - 2, 2 ù 上為增函2 2 2
數，
1
則當 t = - 2 時，y 有最小值 - 6 ，2
所以 f x 1的最小值為 - 6.
2
17．（2024·全國·模擬預測）在VABC 中，內角 A, B,C 所對的邊分別為
a,b,c, a - b = c ．
cosB - cosA
(1)試判斷VABC 的形狀，并說明理由；
uuur uuur 3
(2)若 a = 3b ，點 P 在VABC 內，PA × PC = 0 ， tan PCB = ，求 tan APB．4
【答案】(1) VABC 為直角三角形
(2) 3 - 4
3
【分析】（1）先利用正弦定理將題給條件轉化為 sinA - sinB = sinCcosB - sinCcosA，再依據
誘導公式和兩角和差正弦公式化簡，解之即可得到C = 90°，進而得到VABC 為直角三角形；
uuur uuur
（2）先由PA × PC = 0 ，得到 APC = 90°，再利用正弦定理和題給條件得到 tan APB和
tan PCB 3= 之間的關系，進而求得 tan APB的值．
4
a b c a - b
【詳解】（1）由正弦定理 = = ，可將 = c化為
sinA sinB sinC cosB - cosA
sinA - sinB
= sinC ，即 sinA - sinB = sinCcosB - sinCcosA．
cosB - cosA
因為 A + B + C = π，
所以 sin B + C - sin A + C = sinCcosB - sinCcosA．
即 sinBcosC + cosBsinC - sinAcosC - cosAsinC = sinCcosB - sinCcosA，
即 sinBcosC = sinAcosC ．
所以 sinB = sinA或 cosC = 0．所以 a = b或C = 90°．
又 cosB - cosA 0 ，即 cosB cosA，所以 A B，即 a b ．
所以C = 90°，則VABC 為直角三角形．
（2）因為 a = 3b,C = 90°，所以 c2 = a2 + b2 = 4b2 ,c = 2b．
uuur uuur
因為PA × PC = 0 ，所以 APC = 90°．
在Rt△ACB 中， ACP + PCB = ACP + CAP = 90°，
所以 PCB = CAP ．所以 tan PCB = tan CAP
3
= ．
4
4 3
在 Rt△ACP中， AC = b ，所以 AP = b,CP = b．
5 5
在VBCP 中，設 BPC = q , PCB = a sina
3 ,cosa 4，則 = = ．
5 5
PC BC 3
= b由正弦定理，知 3bsin q +a sinq ，即 5 = ．sin q +a sinq
3
化簡，得 3 - 4 sinq = 3cosq ．所以 tanq = ．3 - 4
3π 3π 1 3 - 4
因為 APB = -q ，所以 tan APB = tan -q = = ．2 è 2 ÷ tanq 3
18．（2024·福建寧德·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c .已知
a2 + c2 = 9 + 2ac cos B，且 sin B = 3 sin AsinC .
(1)若BD ^ AC ，垂足為D，求 BD 的長;
uuur uuur
(2)若BA × BC = 3，求 a + c的長.
【答案】(1) BD = 3
(2) a + c = 3 3
【分析】（1）根據題意，由余弦定理可得b = 3，再由正弦定理結合三角形的面積公式即可
得到結果；
π
（2）根據題意，由數量積的定義以及三角形面積公式可得 ABC = ，即可得到 ac,a2 + c2
3
的值，從而得到結果.
【詳解】（1）由a2 + c2 = 9 + 2ac cos B及余弦定理，得
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = 9, b = 3.
由 sin B = 3 sin AsinC 及正弦定理，
得b = 3a sinC ，
因為V
1
ABC 的面積 S = b × BD
1
= absinC ，
2 2
3
所以BD = a sinC = = 3 .
3
uuur uuur
（2）由BA × BC = 3得ac cos ABC = 3 ①.
因為 S
1 1
VABC = acsin ABC = 3 3，2 2
所以 ac sin ABC = 3 3 ②，
由①②得 tan ABC = 3，
ABC (0, π) ABC π又 ，故 = .
3
ac = 6,a2 + c2從而 = 9 + 2 6
1
= 15 .
2
得 (a + c)2 = a2 + c2 + 2ac = 27 ，
所以 a + c = 3 3 .
19．（2024·湖北·二模）已知VABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b， c a < b ，
c = 2a cos Acos B - b cos 2A．
(1)求 A；
uuur 1 uuur uuur
(2)者BD = BC ， AD = 2，求b + c 的取值范圍．
3
π
【答案】(1) A = 3
(2) 12 7 < b + c < 6
7
【分析】（1）借助正弦定理、三角形內角和與兩角差的正弦公式計算即可得；
（2）借助向量的模長與平方的關系，結合數量積公式計算可得 (b + c)2 + 3c2 = 36，借助三角
函數的性質，可令b + c = 6cosa
12 7
， 3c = 6sina ，結合余弦定理計算可得 < 6cosa < 6 ，即
7
可得解.
【詳解】（1）由正弦定理得 sin C = 2sin Acos Acos B - sin B cos 2A，
則 sin C = sin 2Acos B - sin B cos 2A，
則 sin C = sin 2A - B ，QC = π - A + B ，\sin A + B = sin 2A - B ．
即 A + B = 2A - B或 A + B = π - 2A - B π，解得 A = 2B或 A = 3 ．
因為 a < b π，所以 A < B ，所以 A = 2B舍去，即 A = 3 ；
uuur uuur uuur uuur
BD 1 BC AD AB 1
uuur uuur
（2）由 = 得 - = AC - AB3 3
uuur 1 uuur 2 uuur
，則 AD = AC + AB ，
3 3
uuur
| AD |2 1 4 4則 = b2 + c2 + bccos A9 9 9 ，
4 1 b2 4則 = + c2
2
+ bc，則b29 9 9 + 4c
2 + 2bc = 36，即 (b + c)2 + 3c2 = 36．
c 0 0 a π令b + c = 6cosa ， 3c = 6sina ，因為 > ，b + c > 0，所以 < < ．2
π
因為b = 6cosa - 2 3 sina > 0，所以 tana < 3，解得0 < a < ．3
A π由（1）得 = ，則 a2 = b23 + c
2 - 2bc cos A = b2 + c2 - bc ，
又因為 a < b ．所以 a2 < b2 ，所以b2 + c2 - bc < b2，
3
解得 c < b ，所以 2 3 sina < 6cosa - 2 3 sina ，解得 tana < ，
2
所以 0
3
< tana < ．
2
π
令 tana
3
1 = ，則 0 < a < a < ，則 cosa < cosa < 1．2 1 3 1
cosa 2 7 12 7 12 71 = < 6cosa < 6 < b + c < 6
因為 7 ，所以 7 ，即 7
【拓展沖刺練】
一、單選題
r r r r r r r r r1．（2024·江蘇·模擬預測）已知向量 a ，b 滿足 a =1， b = 2 3 ，b × 2a - b = -18，則 a 與b
的夾角等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
r r
【分析】根據平面向量數量積公式求出 a ×b = -3，進而由夾角余弦公式求出答案
r r r r r r2 r r r r
【詳解】b × 2a - b = 2a ×b - b = 2a ×b -12 = -18，故 a ×b = -3，
r r r r
cos a,b ra ×br -3 3= = = - r r則 2 3 2 ，所以 a 與b 的夾角等于150° .a × b
故選：D
r r r r r r r r
2．（2024·浙江·三模）已知單位向量 a,b滿足 a ×b = 0 ，則 cos 3a + 4b, a + b =（ ）
A 0 B 7 2 C 2． ． ． D．1
10 10
【答案】B
r r r r r r r r
【分析】計算出 3a + 4b × a + b = 7， 3a + 4b = 5， a + b = 2 ，利用向量夾角余弦公式求
出答案.
r r r r r 2 r r r2【詳解】 3a + 4b × a + b = 3a + 7a ×b + 4b = 3 + 0 + 4 = 7，
r r 2 r 2 r r r2
r r
3a + 4b = 9a + 24a ×b +16b = 9 + 0 +16 = 25，故 3a + 4b = 5，
r r 2 r 2 r r r2 r r a + b = a + 2a ×b + b =1+1 = 2，故 a + b = 2 ，
r r r rr r r r 3a + 4b × a + b
所以 cos 3a + 4b, a + b = r r r r
7 7 2
= = .
3a + 4b × a + b 5 2 10
故選：B
3 r
r r r r r
．（2024·陜西·模擬預測）已知兩個向量 a = (2,-1),b = ( 3,m)，且 (a + b) ^ (a - b) ，則m 的
值為（ ）
A． ±1 B．± 2 C．±2 D．±2 3
【答案】B
【分析】利用垂直關系的向量表示，結合模的坐標表示求解即得.
r r r r r r r r r r
【詳解】由 (a + b) ^ (a - b) ，得 (a + b) × (a - b) = 0 ar，則 2 = b 2，即 | a
r |=| b |，
因此 22 + (-1)2 = ( 3)2 + m2 ，所以m = ± 2 .
故選：B
x2 24 y．（2023 高三·全國·專題練習）已知橢圓 + =1，F1, F2 為兩個焦點，O 為原點，P 為橢9 6
cos F PF 3圓上一點， 1 2 = ，則 | PO |=（5 ）
2
A B 30
3
C 35． ． ． D．
5 2 5 2
【答案】B
2 2
【分析】根據橢圓的定義結合余弦定理求出 PF1 PF2 , PF1 + PF2 的值，利用
uuur 1 uuur uuuurPO = PF1 + PF2 ，根據向量模的計算即可求得答案.2
x2 y2
【詳解】由題意橢圓 + =1，F1, F2 為兩個焦點，可得 a = 3,b = 6,c = 3，9 6
則 PF1 + PF2 = 2a = 6 ① PF
2 2
，即 1 + PF2 + 2 PF1 PF2 = 36，
2 2 2
由余弦定理得 F1F2 = PF1 + PF2 - 2 PF1 PF2 cos F
2
1PF2 = (2 3) ，
cos F PF 3= ( PF + PF )21 2 ，故 1 2 - 2 PF1 PF2 (1
3
+ ) =12，②
5 5
15 2 2
聯立①②，解得： PF1 PF2 = ,\ PF1 + PF2 = 21，2
uuur 1 uuur uuuur uuur 1 uuur uuuur而PO = PF1 + PF2 ，所以 PO = PO = PF1 + PF2 2 2 ，
uuur 1 uuur uuuur uuur 2 uuur uuuur uuuur 2
即 PO = PF1 + PF
1
2 = PF1 + 2PF1 × PF2 + PF
1
2 = 21+ 2
15 3 30
= ，
2 2 2 2 5 2
故選：B
【點睛】方法點睛：本題綜合考查了橢圓和向量知識的結合，解答時要注意到 O 為F1F2 的
中點，從而可以利用向量知識求解 | PO | .
二、多選題
r r
5．（2024·貴州·模擬預測）已知 a = (3, -1) ，b = (2,1)，則下列結論正確的是（ ）
r r r
A． a - b ^ b
r r
B． a + 2b = 5 10
r r p
C． a 與b 的夾角為 4
r r r
D． a 在b 方向上的投影向量是 5b
【答案】AC
【分析】已知向量的坐標，證明向量垂直，求向量的模長、夾角、投影等都比較簡單，根據
公式求解即可.
r r r
【詳解】因為 a = 3, -1 ，b = 2,1 r，所以 a - b = 1, - 2 ，
r r r r r r
則 (a - b) ×b =1 2 + (-2) 1 = 0，所以 (a - b) ^ b ，故 A 正確；
r r r r
因為 a + 2b = (7，1)，所以 | a + 2b |= 72 +12 = 5 2 ，故 B 錯誤；
r r r ra × b 2 r r r rcos π= r r = ，因為 [0，π]，所以= ，故 C 正確；
| a | × | b | 2 4
r r r r r rr r r r b r a ×b a
r
×b b r
a 在b 方向上的投影向量是 a cos a,b r = a ×b ar
r = r = b
× b b 5 ，故 D 錯誤.
故選:AC.
r r
6．（2022·湖北·模擬預測）已知向量 a = -2，1 ，b = -1, t ，則下列說法正確的是（ ）
r
A．若 ar ^ b ，則 t 的值為-2
r
B 1．若 ar//b ，則 t 的值為 2
r r
C．若0 < t < 2，則 a與b 的夾角為銳角
r r
D．若 a + b r r r r^ a - b ，則 ar + b = ar - b
【答案】AB
【分析】根據向量共線和垂直的的坐標表示，向量數量積和向量的模的坐標表示及向量夾角
的坐標表示一一判斷即可．
r r r r
【詳解】對于 A：若 a ^ b ，則 a ×b = -2 -1 +1 t = 0，解得 t = -2，故 A 正確；
r r 1
對于 B：若 a //b ，則-2t = -1 1，解得 t = ，故 B 正確；2
t 1= ar
r r r
對于 C：當 時， 與b 同向，此時 a與b 的夾角為0°，故 C 錯誤；2
r ra b ar r對于 D：若 + ^ - b ，則 r rar + b × ar - b r= 0 r，即 a2 - b 2 = 0，即 (-2)2 +12 = (-1)2 + t 2 ，
解得 t = ±2，
ar
r r r r r r
當 t = 2時， = -2，1 ，b = -1，2 ， ar + b 3 3 ar= - ， ， - b = -1，-1 ，顯然 a + b ar - b ，
r r r r r
當 t = -2時， a
r
= -2，1 r r，b = -1 r r，- 2 ， a + b = -3，-1 ， a - b = -1，3 ，此時 a + b = a - b ，
故 D 錯誤．
故選：AB．
三、填空題
r r r r r r r
7．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知非零向量 a,b滿足 2 a = b ，且 a
r
^ ar - b ，則 a，b的夾
角大小為 ．
π
【答案】
3
【分析】由向量垂直的數量積表示和數量積的定義式運算即可.
r r r r r
【詳解】因為 a ^ a - b ，設向量 a 與b 的夾角為 6，
r r r r
所以 a × (a
r
- b) = ar2 r r- a ×b = a 2 - ar × b cosq = 0，
r
又因為 2 a
r
= b ，
ar 2 r r
1
所以 - 2 a × a cosq = 0，所以 cosq = .
2
π
因為0 q < π，所以q = .
3
r r π
所以向量 a，b的夾角大小為 .3
π
故答案為： .
3
uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
VABC | uAB |8．（2024·安徽合肥·三模）在 中，若BA × BC = CA ×CB = 3AC × AB，則 uur = .
| BC |
6
【答案】
3
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】根據題意，求得 BA = CA 和BA
1× CB
3
+ CA ÷ = 0，設D為線段 AB 上靠近A 的四
è 4 4
等分點，得到CD ^ AB ，設 AD = t ，求得CD = 15t, BC = 2 6t ，即可求解.
uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur
【詳解】由BA × BC = CA ×CB，可得BC × (BA + CA) = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
即 (BA + AC) × (BA - AC) = 0 2 2，可得BA - AC = 0，所以 BA = CA ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 3 uuur
又由BA × BC = 3AC × AB，可得BA × (BC + 3AC) = 0，即BA × CB + CA

÷ = 0，
è 4 4
設D為線段 AB 上靠近A 的四等分點，則CD ^ AB ，
設 AD = t ，則BD = 3t, AC = 4t ，
所以CD = AC 2 - AD2 = 15t ，則BC = BD2 + CD2 = 2 6t ，
uuur
|
所以 u
AuBur | 4t 6= = .
| BC | 2 6t 3
6
故答案為： .
3
9．（2023·上海閔行·二模）平面上有一組互不相等的單位向量OA1，OA2 ，…，OAn ，若存在
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
單位向量OP 滿足OP × OA1 + OP × OA2 +L + OP ×OAn = 0 ，則稱OP 是向量組OA1，OA2 ，…，
uuur uuuur π uuur uuur uuuur uuuurOAn 的平衡向量．已知 OA1,OA2 = ，向量OP 是向量組OA1 ，OA2 ，OA3 的平衡向量，當3
uuur uuuur uuur uuuur
OP ×OA3 取得最大值時，OA1 ×OA3 值為 ．
-3 ± 6
【答案】
6
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur
【分析】設OA1 = AB,OA2 = BC,OA3 = CD，結合題意可得OP × AD = 0 ，為使OP ×OA3 最大，
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
則OP,OA3 兩向量的方向相同，即OP,CD 兩向量的方向相同，也即OP = CD，設直線 AB 與
直線CD 交于點E ，再分如圖所示兩種情況討論即可得解.
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
【詳解】設OA1 = AB,OA2 = BC,OA3 = CD，
uuur uuuur uuur uuur
由 OA ,OA
π π 2π
1 2 = ，得 AB, BC = ，即 ABC = ，3 3 3
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
由題意可得OP ×OA1 + OP ×OA2 + OP ×OA3 = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur即OP × AB + OP × BC + OP ×CD = OP × AB + BC + CD = OP × AD = 0 ，即OP ^ AD，
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur
為使OP ×OA3 最大，則OP,OA3 兩向量的方向相同，即OP,CD 兩向量的方向相同，
uuur uuur
也即OP = CD，所以 AD ^ CD ，
設直線 AB 與直線CD 交于點E ，
uuur uuur uuur
AB = BC = CD =1, ABC 2π= , π BAC = BCA = , AD ^ CD, AC = 3 ，
3 6
則 sin CAD 3= , cos CAD 6= ，
3 3
因為 sin CAD 3 1 = > = sin π ，所以 CAD > BAC ，
3 2 6
如圖1所示，
cos AED = sin DAE = sin CAD + CAB 3 3 6 1 3 + 6= + = ，
3 2 3 2 6
uuur uuur uuur uuur
所以 AB ×CD =1 1 cos AB,CD cos AED -3 - 6= - = ，
6
uuur uuuur -3 - 6
即OA1 ×OA3 = ，6
如圖 2所示，
cos AEC = cos EAD + ADE = -sin EAD = -sin CAD - BAC
3 3 6 1 -3 + 6
= - - ÷÷ = ，
è 3 2 3 2 6
uuur uuur uuur uuur
所以 AB ×CD =1 1 cos AB,CD = cos -3 + 6 AED = ，
6
uuur uuuur
OA OA -3 + 6即 1 × 3 = ，6
uuur uuuur -3 ± 6
綜上所述，OA1 ×OA3 = .6
-3 ± 6
故答案為： .
6
.
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
【點睛】關鍵點睛：設OA1 = AB,OA2 = BC,OA3 = CD，結合題意可得OP ^ AD，根據OP × OA3
uuur uuuur uuur uuur
最大，說明OP,OA3 兩向量的方向相同，即OP = CD，是解決本題的關鍵所在.
四、解答題
10．（2024·山東棗莊·一模）在VABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c，且
a
= sinAtan C ．
2c 2
(1)求C ；
uuur uur uuur m
(2)若a = 8,b = 5,CH 是邊 AB 上的高，且CH = mCA + nCB，求 ．n
π
【答案】(1) C =
3
m 44
(2) =
n 5
a
【分析】（1）由 = sinAtan
C
，利用正弦定理邊化角，再切化弦由倍角公式化簡，得
2c 2
sin2 C 1= ，可求C 的值.
2 4
uuur uuur uuur uuur
（2）以CA,CB 為基底，由CH × AB = 0，代入數據運算得m, n的關系；或利用余弦定理和勾
股定理，求出CH , AH ，由平面向量基本定理求m, n的值.
a C
【詳解】（1）VABC 中， = sinAtan ，由正弦定理和同角三角函數的商數關系，
2c 2
C C
sinA sinA ×sin 2 sinA
sinA ×sin
得 =2sinC C ，由倍角公式得
= 2 ．
cos 4sin C ×cos C cos C
2 2 2 2
C
又因為 A,C 為VABC 的內角，所以 A 0, π ， 0,
π
2 2 ÷，è
所以 sinA 0,cos
C
0．
2
sin2 C 1 sin C 1所以 = ， = ，
2 4 2 2
C π π
則有 = ，得C = ．
2 6 3
uuur uuur uuur uuur
（2）方法一 ： a = 8,b = 5，C
π
= ，CA ×CB = CA × CB ×cosC = abcosC = 5
π
8 cos = 20，
3 3
uuur2 uuur2
所以CA = b2 = 25,CB = a2 = 64 ，
uuur uuur
由題意知CH ^ AB，所以CH × AB = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2即 mCA + nCB × CB - CA = m - n CB ×CA - mCA + nCB = 20 m - n - 25m + 64n = 0．
m 44
所以5m = 44n ，所以 = ．
n 5
VABC c2 = a2 + b2方法二 ： 中，由余弦定理得 - 2abcosC = 82 + 52 - 2 8
1
5 = 49 ，
2
所以 c = 7．
1 1
又因為 S△ABC = absinC = c ×CH ，2 2
3
所以CH absinC
8 5 20 3
= = 2 = ．
c 7 7
所以 AH = CA2 - CH 2
5 AH 5
= ， = ．
7 AB 49
uuur uuur uuur uuur 5 uuur uuur 44 uuur 5 uuur
所以CH = CA + AH = CA + CB - CA = CA + CB．49 49 49
m 44 ,n 5由平面向量基本定理知， = = ，
49 49
m 44
所以 = ．
n 5
11．（2023·河北衡水·模擬預測）已知VABC ，D 為邊 AC 上一點， AD =1，CD = 2 .
uuur uuur
BA BD 3
uuur uuur
(1)若 × = ，
4 BC × BD = 0
，求 SVABC ；
(2)若直線 BD 平分 ABC ，求△ABD 與△CBD內切圓半徑之比的取值范圍.
3 7
【答案】(1)
8
3
(2) ,1

4 ֏
uuur 3 uuur 1 uuur
【分析】（1）先利用平面向量的加減運算得到BA = BD - BC ，再利用平面向量的數量積
2 2
2
運算法則求得BD = ，又利用余弦定理與數量積運算求得 AB = 2 ，由此利用三角形面
2
積公式即可得解；
AB 1
（2）先由角平分線性質定理得到 = ，再利用余弦定理與數量積運算求得
BC 2 BD = 2c
2 - 2 ，
r 1 c +1
從而利用三角形面積公式與內切圓的性質得到 = 1+R 2 2 ÷
，進而利用換元法
è c + 2c - 2 +1
r
與不等式的性質求得 的范圍，由此得解.
R
【詳解】（1）如圖 1， AD =1，CD = 2，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
所以BA = BD + DA = BD + CD = BD + BD - BC2 2
3 uuur 1 uuur
= BD - BC ，
2 2
uuur uuur 3 uuur uuur
因為BA × BD = ，
4 BC × BD = 0
，
uuur uuur 3 uuur 1 uuur uuur 3 uuur2 1 uuur uuur 3 uuur 2 3
所以BA × BD = BD - BC

÷ × BD = BD - BC × BD = BD = ，
è 2 2 2 2 2 4
uuur 2
BD 1
uuur
= 2 2故 ，則 BD = ，即
2 BD =
，
2 2
uuur uuur 14
又BC × BD = 0 ，則BC ^ BD，故BC = CD2 - BD2 = ，
2
m2 1+ -1
不妨記 ABD = a ， AB = m，則 cosa AB
2 + BD2 - AD2 2m2 -1
= = 2 = ，
2AB × BD 2m 2 2m
uuur uuur uuur uuur
因為BA × BD = BA BD cosa
3
= ，
4
2 2m2 -1 3 2 2 -1 3
所以m = ，解得m = 2 ，則 cosa = = ，
2 2 2m 4 2 2 2 4
0 < a < π sina 1 cos2 a 7因為 ，所以 = - = ，
4
S 1所以 VABC = SVABD + SVBCD = AB × BD sina
1
+ BD × BC
2 2
1 2 2 7 1 2 14 3 7= + = .
2 2 4 2 2 2 8
.
（2）如圖 2，不妨設△ABD 與△CBD內切圓的半徑分別為 r 與 R ，
因為直線 BD 平分 ABC ，
AB AD 1
所以由角平分線性質定理得 = = ，記 AB = c，則BC = 2c ，
BC CD 2
2 2 2 2 2 2
記 ABC = b ，則 cos b AB + BC - AC c + 4c - 9 5c - 9= = =
2AB × BC 2 c 2c 4c2
，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur因為BD = BA + AD = BA + AC = BA + BC - BA 2= BA 1+ BC ，3 3 3 3
uuur2 4 uuur2 uuur2BD BA 1 BC 4
uuur uuur 2
所以 = + + BA BC cos b 4= c2 1 4 5c - 9+ 4c2 + c 2c = 2c2 - 2，
9 9 9 9 9 9 4c2
因為 AB + BC > AC, BC - AB < AC ，即 c + 2c > 3,2c - c < 3，則3 > c >1，
uuur
BD = 2c2所以 - 2 ，即BD = 2c2 - 2 ，
1
S AD × h
因為 VABD = 2
1
1 = （ h 為頂點 B 到 AC 的距離），SVBCD CD ×h 2
2
S 1又 VABD = AB + BD + AD r
1
= c + 2c2 - 2 +12 2 r ，
S 1 1 2VBCD = BC + BD + CD R = 2c + 2c - 2 + 2 R，2 2
c + 2c2 - 2 +1 r 1 r 1 2c + 2c2 - 2 + 2 1 1 c +1 所以 = ，則 = = + ÷，2c + 2c2 - 2 + 2 R 2 R 2 c + 2c2 - 2 +1 2 è c + 2c2 - 2 +1
令 t = c +1，則 c = t -1， 2 < t < 4，
c +1 t 1
= =
所以 c + 2c2 - 2 +1 t + 2 t -1 2 - 2 1 4+ 2 - ，
t
1 1 1 4
因為 2 < t < 4，所以 < < ，則0 < 2 - <1，故1<1 4+ 2 - < 2，
4 t 2 t t
1 1
< <1 1 c +1
所以 2 1 2 4 ，即
< <1
+ - 2 2 ，
t c + 2c - 2 +1
3 1
所以 < 1
c +1
+ ÷ <1
3 r
，故 < <1，
4 2 è c + 2c2 - 2 +1 4 R
3
所以△ABD 與△CBD 內切圓半徑之比的取值范圍為 ,14 ÷ .è

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