資源簡(jiǎn)介

考點(diǎn) 29 解三角形及其應(yīng)用舉例（2 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題
2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問(wèn)題.
3.通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
【知識(shí)點(diǎn)】
測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)
術(shù)語(yǔ)名稱(chēng) 術(shù)語(yǔ)意義 圖形表示
在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂
平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線
仰角與俯角
上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下
方的叫做俯角
從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻?br/>方位角 目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位
角 θ 的范圍是 0°≤θ<360°
正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的
方向角 例：(1)北偏東 α：
銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α
(2)南偏西 α：
坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ
為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比
坡角與坡比
h
叫坡比(坡度)，即 i＝ ＝tan θ
l
【核心題型】
題型一　解三角形的應(yīng)用舉例
命題點(diǎn) 1　測(cè)量距離問(wèn)題
【例題 1】（2023 高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知兩座燈塔A 和 B 與海洋觀察站C 的距離都
等于 2km，燈塔A 在觀察站C 的北偏東 20°，燈塔 B 在觀察站C 的南偏東 40°，則燈塔A 與
燈塔 B 的距離為（）
A． 2km B． 4km C． 2 2km D．2 3km
【變式 1】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某景區(qū)為方便游客，計(jì)劃在兩個(gè)山頭 M，N 間
架設(shè)一條索道．為測(cè)量 M，N 間的距離，施工單位測(cè)得以下數(shù)據(jù)：兩個(gè)山頭的海拔高度
MC =100 3m, NB = 50 2m，在 BC 同一水平面上選一點(diǎn) A，測(cè)得 M 點(diǎn)的仰角為60o ，N 點(diǎn)
的人仰角為30o，以及 MAN = 45o， 則 M，N 間的距離為（ ）
A．100 2m B．120m C．100 3m D．200m
【變式 2】（2022·山東青島·二模）如圖所示，A，B，C 為三個(gè)村莊， AB = 7km，
AC = 5km，BC = 8km，則∠ACB = ；若村莊 D 在線段 BC 中點(diǎn)處，要在線段 AC
上選取一點(diǎn) E 建一個(gè)加油站，使得該加油站到村莊 A，B，C，D 的距離之和最小，則該最
小值為 km .
【變式 3】（2023 高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A、B 兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，若在
河岸選取相距 20 米的 C、D 兩點(diǎn)，測(cè)得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝
60°，那么此時(shí) A，B 兩點(diǎn)間的距離是多少？
命題點(diǎn) 2　測(cè)量高度問(wèn)題
【例題 2】（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓
的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位
置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡子的距離為a1 = 1.00m，之后將小鏡子前移a = 6.00m，重復(fù)之前的操
作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為a2 = 0.60m，已知人的眼睛距離地面的高度為 h = 1.75m，
則鐘樓的高度大約是（ ）
A． 27.75m B．27.25m C． 26.75m D． 26.25m
【變式 1】（2024·湖南岳陽(yáng)·二模）岳陽(yáng)樓地處岳陽(yáng)古城西門(mén)城墻之上，下瞰洞庭，前望君
山．因范仲淹的《岳陽(yáng)樓記》著稱(chēng)于世，自古有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù)．小明為
了測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度 AB ，他首先在C 處，測(cè)得樓頂A 的仰角為60°，然后沿BC 方向行走
22.5 米至D處，又測(cè)得樓頂A 的仰角為30°，則樓高 AB 為 米．
【變式 2】（2024·廣東湛江·二模）財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)，是湛江
經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，
小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn) A，點(diǎn) A 在大廈底部的射影為點(diǎn) O，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn) B、C 與 O
在同一水平面上，他測(cè)得BC =102 7 米， BOC =120°，在點(diǎn) B 處測(cè)得點(diǎn) A 的仰角為q
（ tanq = 2），在點(diǎn) C 處測(cè)得點(diǎn) A 的仰角為 45°，則財(cái)富匯大廈的高度OA = 米.
【變式 3】（2022·貴州安順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為測(cè)量某雕像 AB 的高度（B，C，D，F(xiàn) 在同
一水平面上，雕像垂直該水平面于點(diǎn) B，且 B，C，D 三點(diǎn)共線），某校研究性學(xué)習(xí)小組同學(xué)
在 C，D，F(xiàn) 三點(diǎn)處測(cè)得頂點(diǎn) A 的仰角分別為60°，30°，45°，CD = 20米．
(1)求雕像 AB 的高度；
(2)當(dāng)觀景點(diǎn) C 與 F 之間的距離為多少米時(shí)，△CDF 的面積最大？并求出最大面積．
命題點(diǎn) 3　測(cè)量角度問(wèn)題
【例題 3】（2024·上海嘉定·二模）嘉定某學(xué)習(xí)小組開(kāi)展測(cè)量太陽(yáng)高度角的數(shù)學(xué)活動(dòng)．太陽(yáng)高
度角是指某時(shí)刻太陽(yáng)光線和地平面所成的角．測(cè)量時(shí)，假設(shè)太陽(yáng)光線均為平行的直線，地面
為水平平面．如圖，兩豎直墻面所成的二面角為 120°，墻的高度均為 3 米．在時(shí)刻 t ，實(shí)地
測(cè)量得在太陽(yáng)光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬度分別為 1 米、1.5 米．在線查閱嘉定的
天文資料，當(dāng)天的太陽(yáng)高度角和對(duì)應(yīng)時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，則時(shí)刻 t 最可能為（ ）
太陽(yáng)高度角 時(shí)間 太陽(yáng)高度角 時(shí)間
43.13° 08:30 68.53° 10:30
49.53° 09:00 74.49° 11:00
55.93° 09:30 79.60° 11:30
62.29° 10:00 82.00° 12:00
A．09 : 00 B．10 : 00 C．11:00 D．12 : 00
【變式 1】（2023·四川綿陽(yáng)·三模）《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五彈
箜篌，十六誦詩(shī)書(shū).”箜篌歷史悠久、源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，音域?qū)拸V、音色柔美清撤，表現(xiàn)力強(qiáng).如圖是
箜篌的一種常見(jiàn)的形制，對(duì)其進(jìn)行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)A ， B 處分別
作切線相交于點(diǎn)C ，測(cè)得切線 AC = 99.9cm，BC =100.2cm ， AB = 180cm ，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)
可估算出該圓弧所對(duì)圓心角的余弦值為（ ）
A．0.62 B．0.56 C．-0.56 D．-0.62
【變式 2】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一款訂書(shū)機(jī)，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為如圖模型.使用時(shí)
將 B 下壓，E 接觸平臺(tái)，D 緊鄰 E，此時(shí)鈍角b 增大了（ ）（參考數(shù)據(jù)：
x22 + x3 x3 - 2x2 cosa = 3 x2 2 2， 1 + x2 + x3 - 2x1x3 sina - 2x2x3 cosa = 4，
x sina x2x3x4 x2x+ + 3 cosa3 - x = 3x x x 1 .）1 5 1
A．15° B．30° C．60° D．75°
【變式 3】（2022·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）瀑布是廬山的一大奇觀，唐代詩(shī)人李白曾在《望廬山
瀑布中》寫(xiě)道：日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川，飛流直下三千尺，疑是銀河落九天.為
了測(cè)量某個(gè)瀑布的實(shí)際高度，某同學(xué)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：沿一段水平山道步行至與瀑布底
3
端在同一水平面時(shí)，在此位置測(cè)得瀑布頂端的仰角正切值為 ，沿山道繼續(xù)走 20 m，測(cè)得
2
π
瀑布頂端的仰角為 .已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角
3
π
為 .根據(jù)這位同學(xué)的測(cè)量數(shù)據(jù)，可知該瀑布的高度為 m；若第二次測(cè)量后，繼續(xù)
3
π
行進(jìn)的山道有坡度，坡角大小為 ，且兩段山道位于同一平面內(nèi)，若繼續(xù)沿山道行進(jìn)
4
20 2m ，則該同學(xué)望向瀑布頂端與底端的視角正切值為 .（此人身高忽略不計(jì)）
題型二　解三角形中的最值和范圍問(wèn)題
解三角形中最值(范圍)問(wèn)題的解題策略
利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡(jiǎn)整理，構(gòu)造關(guān)于某一個(gè)角或某一條邊的函數(shù)或不等式，
利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍)．
【例題 4】（2024·江西南昌·三模）如圖，在扇形 OAB 中，半徑OA = 4， AOB = 90°，C 在
半徑 OB 上，D 在半徑 OA 上，E 是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形 BCDE
的周長(zhǎng)的取值范圍是（ ）
A． 8,12 B． 8 2,12ù
C． 8,8 2 ù D． 4,8 2 ù
【變式 1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，滿(mǎn)足
sin B -sinC 2b - a
= ，sin Asin B 2= ，且 S△ABC =1，則邊 c = ．
sin A b + c 5
【變式 2】（2024·山西·三模）已知VABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，滿(mǎn)足
2cos Acos B = 2sin2 C ．
2
(1)試判斷VABC 的形狀；
(2)若VABC 的外接圓半徑為 2，求VABC 周長(zhǎng)的最大值．
【變式 3】（2024·山東濟(jì)寧·三模）在△ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c ，已知
(1- cos 2C)(sin A +1) - cos Asin 2C = 0 .
π
(1)求證: B = C + ；
2
a = 4,C π π (2)若 , ÷，求VABC 面積的取值范圍.
è 8 6
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2022·吉林·模擬預(yù)測(cè)）位于燈塔 A 處正西方向相距 5 3 - 5 n mile 的 B 處有一艘甲船需
要海上救援，位于燈塔 A 處北偏東 45°相距5 2 n mile 的 C 處的一艘乙船前往營(yíng)救，則乙船
的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是南偏西（ ）
A．30° B．60° C．75° D．45°
2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）為了測(cè)量西藏被譽(yù)稱(chēng)為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，
通常采用人工攀登的方式進(jìn)行，測(cè)量人員從山腳開(kāi)始，直到到達(dá)山頂分段測(cè)量過(guò)程中，已知
豎立在 B 點(diǎn)處的測(cè)量覘標(biāo)高 20米，攀登者們?cè)贏 處測(cè)得，到覘標(biāo)底點(diǎn) B 和頂點(diǎn)C 的仰角分
別為 45°,75°，則 A, B的高度差約為（ ）
A．7.32 米 B．7.07 米 C．27.32 米 D．30 米
3．（2024·云南昆明·一模）早期天文學(xué)家常采用“三角法”測(cè)量行星的軌道半徑．假設(shè)一種理
想狀態(tài)：地球 E 和某小行星 M 繞太陽(yáng) S 在同一平面上的運(yùn)動(dòng)軌道均為圓，三個(gè)星體的位置
2π
如圖所示．地球在E0 位置時(shí)，測(cè)出 SE0M = ；行星 M 繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)一周回到原來(lái)位置，3
3π π
地球運(yùn)動(dòng)到了E1位置，測(cè)出 SE1M = ， E1SE0 = ．若地球的軌道半徑為 R，則下列選4 3
項(xiàng)中與行星 M 的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)： 3 1.7）（ ）
A．2.1R B．2.2R C． 2.3R D． 2.4R
4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在100m高的樓頂A 處，測(cè)得正西方向地面上B、C 兩點(diǎn) B、C
與樓底在同一水平面上）的俯角分別是75o和15o，則B、C 兩點(diǎn)之間的距離為（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
二、多選題
5．（2023·重慶·三模）如圖，為了測(cè)量障礙物兩側(cè) A，B 之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)
確定 AB 長(zhǎng)度的是（ ）
A．a(chǎn)，b，g B．a(chǎn) ，b ，g
C．a(chǎn)，b ，g D．a(chǎn) ，b ，b
6．（2024·河北邯鄲·三模）已知VABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別是 a，b，c，面積為
3 a2 + c2 - b2 ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）4
1 1
A． cos AcosC

的取值范圍是 - , ÷
è 2 4
B．若D為邊 AC 的中點(diǎn)，且BD =1，則VABC 3的面積的最大值為
3
1
C．若V
a
ABC 是銳角三角形，則 的取值范圍是 , 2

c ֏ 2
D．若角 B 的平分線 BE 與邊 AC 相交于點(diǎn)E ，且BE = 3 ，則a + 4c的最小值為 10
三、填空題
7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N ，選擇 A 和另一座山的山頂 C 為測(cè)量觀測(cè)
點(diǎn)，從點(diǎn) A 測(cè)得點(diǎn) M 的仰角 MAN = 45°，點(diǎn) C 的仰角 CAB = 60°，以及 MAC = 75° .從
點(diǎn) C 測(cè)得 MCA = 45° ,已知山高BC = 300m，則山高M(jìn)N = m.
8．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）《海島算經(jīng)》是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測(cè)量學(xué)著作，書(shū)中
有一道測(cè)量山上松樹(shù)高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識(shí)測(cè)量某
建筑物上面一座信號(hào)塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點(diǎn) C，D，CD 與地面垂直，小李先
在地面上選取點(diǎn) A，B，測(cè)得 AB = 20 3m，在點(diǎn) A 處測(cè)得點(diǎn) C，D 的仰角分別為30°， 60°，
在點(diǎn) B 處測(cè)得點(diǎn) D 的仰角為30°，則塔高 CD 為 m．
VABC BAC π9．（2024·寧夏·一模）在 中，BC = 3AC ， = ，點(diǎn) D 與點(diǎn) B 分別在直線 AC3
的兩側(cè)，且 AD =1，DC = 3 ，則 BD 的長(zhǎng)度的最大值是 ．
四、解答題
10．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選
取 A，B，C，D 四個(gè)點(diǎn)，使得 AD = 2 2BC ，測(cè)得 BAD = 30o ， BCD = 45o ，
ADC =120o．
(1)若 B，D 選在兩個(gè)村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且BD =10 2km，CD = 20km，
求 A，C 兩點(diǎn)間距離；
(2)求 tan BDC 的值．
11．（2024·四川·三模）三角形 ABC 中，角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，且
1+ sin 2B + cos 2B 3
= .
sin 2B + 2sin2 B 3
(1)求 B ；
(2)若 AC 邊上的中線長(zhǎng)為 2，求b 的最小值.
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2022·北京通州·一模）太陽(yáng)高度角是太陽(yáng)光線與地面所成的角（即太陽(yáng)在當(dāng)?shù)氐难?br/>角）．設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為q ，d 為此時(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度，j 為當(dāng)?shù)鼐暥戎担?br/>那么這三個(gè)量滿(mǎn)足q = 90° - j -d ．通州區(qū)某校學(xué)生科技社團(tuán)嘗試估測(cè)通州區(qū)當(dāng)?shù)鼐暥戎担╦
取正值），選擇春分當(dāng)日（d = 0°）測(cè)算正午太陽(yáng)高度角．他們將長(zhǎng)度為 1 米的木桿垂直立
于地面，測(cè)量木桿的影長(zhǎng)．分為甲、乙、丙、丁四個(gè)小組在同一場(chǎng)地進(jìn)行，測(cè)量結(jié)果如下：
組別 甲組 乙組 丙組 丁組
木桿影長(zhǎng)度（米） 0.82 0.80 0.83 0.85
則四組中對(duì)通州區(qū)當(dāng)?shù)鼐暥裙罍y(cè)值最大的一組是（ ）
A．甲組 B．乙組 C．丙組 D．丁組
2．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽(yáng)市南明區(qū)甲秀路，是該市的標(biāo)志性
建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來(lái)閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復(fù)
原名、現(xiàn)存建筑是宣統(tǒng)元年（1909 年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進(jìn).某研究
小組將測(cè)量甲秀樓最高點(diǎn)離地面的高度，選取了與該樓底 B 在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)
C 與D，現(xiàn)測(cè)得 BCD = 23°， CDB = 30°，CD = 11.2m ，在C 點(diǎn)測(cè)得甲秀樓頂端A 的仰角
為72.4°，則甲秀樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)： tan 72.4° 3.15， sin53° 0.8）（ ）
A． 20m B． 21m C．22m D． 23m
3．（2023·陜西寶雞·二模）在銳角△ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，且 c = 4，
A π=
3 ，則 a 的取值范圍為（ ）
A． 0,4 3 B． 2,4 3
C． 2 3,4 3 D． 0,2 3
4．（2024·吉林·二模）如圖，位于某海域A 處的甲船獲悉，在其北偏東 60o 方向C 處有一艘
漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救. 甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東15o，且與甲船相距
2nmile的B處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需
要航行的距離為（ ）
A． 2nmile B． 2nmile
C． 2 2nmile D．3 2nmile
5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）湖南省衡陽(yáng)市的來(lái)雁塔，始建于明萬(wàn)歷十九年（1591 年），因鴻
雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983 年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為
測(cè)量來(lái)雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇 C 點(diǎn)和一建筑物 DE 的樓頂 E 為測(cè)量觀
測(cè)點(diǎn)，已知點(diǎn) A 為塔底， A,C , D 在水平地面上，來(lái)雁塔 AB 和建筑物 DE 均垂直于地面（如
圖所示）.測(cè)得CD =18m, AD =15m，在 C 點(diǎn)處測(cè)得 E 點(diǎn)的仰角為 30°，在 E 點(diǎn)處測(cè)得 B 點(diǎn)
的仰角為 60°，則來(lái)雁塔 AB 的高度約為（ ）（ 3 1.732，精確到0.1m）
A．35.0m B．36.4m C．38.4m D．39.6m
6．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，若
a sin A + C = bsin A，b =1，則VABC 面積的最大值為（ ）
2
A 3． B 3 3 1． C． D．
2 4 6 2
7．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，已知
c 6, sinB 6a - b= = ，則VABC 面積的最大值為（
sinA b ）
19 21A． B． C．12 D．15.2 2
8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC 3BC外接圓的半徑為 ，D為邊BC 的中點(diǎn)，
3
AD 1= ， BAC 為鈍角，則 2AC - AB的取值范圍是（ ）2
A． -2,2 B． -2,2 C． -1,2 D． -1,2
二、多選題
9．（2024·甘肅蘭州·一模）某學(xué)校開(kāi)展測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，學(xué)生需通過(guò)建立模型、
實(shí)地測(cè)量，迭代優(yōu)化完成此次活動(dòng)．在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度
的方案有
A．在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)A ， B ，分別測(cè)量旗桿頂端的仰角a ，b ，再測(cè)量A ， B
兩點(diǎn)間距離
B．在旗桿對(duì)面找到某建筑物（低于旗桿），測(cè)得建筑物的高度為 h ，在該建筑物底部和
頂部分別測(cè)得旗桿頂端的仰角a 和b
C．在地面上任意尋找一點(diǎn)A ，測(cè)量旗桿頂端的仰角a ，再測(cè)量A 到旗桿底部的距離
D．在旗桿的正前方A 處測(cè)得旗桿頂端的仰角a ，正對(duì)旗桿前行 5m 到達(dá) B 處，再次測(cè)量
旗桿頂端的仰角b
10．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）已知 VABC 三個(gè)內(nèi)角A 、 B 、C 的對(duì)應(yīng)邊分別為 a、b 、 c，
A π且 = 3 ，
a = 4 .則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．VABC 面積的最大值為 4 3
B．bcosC + ccosB = 2 2
uuur uuur
C 16 3．BA × BC 的最大值為8 +
3
cosB 1
D． 的取值范圍為 - , -2 - , + cosC ÷è 2
11．（2024·貴州黔南·二模）已知銳角 VABC 的三個(gè)內(nèi)角A ， B ，C 的對(duì)邊分別是 a，b ， c，
且VABC 3的面積為 a2 + c2 - b2 .則下列說(shuō)法正確的是（ ）4
A． B
π
=
3
π π
B．A 的取值范圍為 , ÷
è 6 2
C．若b = 3 ，則VABC 的外接圓的半徑為 2
3 3 3 3
D．若 a = 3，則VABC 的面積的取值范圍為 ,8 2 ÷÷è
三、填空題
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別是 a，b，
c，且 2a - b cosC = c cos B,a = 2，則VABC 的面積 S 的取值范圍為 ．
13．（2024·上海金山·二模）某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段
BC 、CD 是救生棧道的一部分，其中 BC = 300m，CD = 800m， B 在 A 的北偏東 30°方向，
C 在A 的正北方向，D在A 的北偏西80°方向，且 B = 90°．若救生艇在A 處載上遇險(xiǎn)游客
需要盡快抵達(dá)救生棧道B - C - D ，則最短距離為 m．(結(jié)果精確到 1 m)
14．（2024·福建莆田·二模）如圖，點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為 1 的正六邊形 ABCDEF 的中心， l是過(guò)點(diǎn)O
的任一直線，將此正六邊形沿著 l折疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值
為 ．
四、解答題
π
15．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形 ABCD中， DAB = B π， = ，且VABC6 的2
外接圓半徑為 4.
(1)若 BC = 4 2 ， AD = 2 2 ，求VACD的面積；
D 2π(2)若 = ，求BC - AD 的最大值.
3
16．（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）汾陽(yáng)文峰塔建于明末清初，位于山西省汾陽(yáng)市城區(qū)以東 2
公里的建昌村，該塔共十三層，雄偉挺拔，高度位于中國(guó)磚結(jié)構(gòu)古塔之首.如圖，某測(cè)繪小
組為了測(cè)量汾陽(yáng)文峰塔的實(shí)際高度 AB，選取了與塔底 B 在同一水平面內(nèi)的三個(gè)測(cè)量基點(diǎn) C，
D，E，現(xiàn)測(cè)得 BCD = 30°， BDC = 70°， BED =120°，BE =17.2m，DE =10.32m，在
點(diǎn) C 測(cè)得塔頂 A 的仰角為62° .參考數(shù)據(jù)：取 tan 62° =1.88， sin 70° = 0.94，
144.9616 =12.04 .
(1)求BD；
(2)求塔高 AB （結(jié)果精確到 1m）.
17．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某班級(jí)學(xué)生用皮尺和測(cè)角儀（測(cè)角儀的高度為 1.7m）測(cè)
量重慶瞰勝樓的高度，測(cè)角儀底部 A 和瞰勝樓樓底 O 在同一水平線上，從測(cè)角儀頂點(diǎn) C 處
測(cè)得樓頂 M 的仰角， MCE =16.5°（點(diǎn) E 在線段 MO 上）．他沿線段 AO 向樓前進(jìn) 100m 到
達(dá) B 點(diǎn)，此時(shí)從測(cè)角儀頂點(diǎn) D 處測(cè)得樓頂 M 的仰角 MDE = 48.5°，樓尖 MN 的視角
MDN = 3.5°（N 是樓尖底部，在線段 MO 上）．
(1)求樓高 MO 和樓尖 MN；
(2)若測(cè)角儀底在線段 AO 上的 F 處時(shí)，測(cè)角儀頂 G 測(cè)得樓尖 MN 的視角最大，求此時(shí)測(cè)角
儀底到樓底的距離 FO．
sin16.5°sin48.5° 2 8 8
參考數(shù)據(jù)： ， tan16.5° ， tan48.5° ， 40 35 37.4,
sin32° 5 27 7
18．（2024·四川德陽(yáng)·二模）VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，已知
sinB 2 3cos2 A + C= .
2
(1)求 B ；
(2)若VABC 為銳角三角形，且 c =1，求VABC 面積的取值范圍.
19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記銳角三角形 ABC 的內(nèi)角 A ， B ，C 的對(duì)邊分別為 a，b ， c，
已知b cos A = 3 - a cos B ， 2a sin C = 3 .
(1)求A .
(2)求VABC 面積的取值范圍.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（23-24 高三上·安徽銅陵·階段練習(xí)）鎮(zhèn)國(guó)寺塔亦稱(chēng)西塔，是一座方形七層樓閣式磚塔，
頂端塔剎為一青銅鑄葫蘆，葫蘆表面刻有“風(fēng)調(diào)雨順 國(guó)泰民安”八個(gè)字，是全國(guó)重點(diǎn)文物保
護(hù)單位 國(guó)家 3A 級(jí)旅游景區(qū)，小胡同學(xué)想知道鎮(zhèn)國(guó)寺塔的高度 MN，他在塔的正北方向找到
一座建筑物 AB，高為 7.5 m，在地面上點(diǎn) C 處（B，C，N 在同一水平面上且三點(diǎn)共線）測(cè)
得建筑物頂部 A，鎮(zhèn)國(guó)寺塔頂部 M 的仰角分別為 15°和 60°，在 A 處測(cè)得鎮(zhèn)國(guó)寺塔頂部 M 的
仰角為 30°，則鎮(zhèn)國(guó)寺塔的高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)： 3 1.73）
A．31.42m B．33.26m C．35.48m D．37.52m
2．（2023·貴州·二模）鏡面反射法是測(cè)量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中．已
知人眼距離地面高度 h =1.5m，某建筑物高 h1 = 4.5m，將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后
退至從鏡中能夠看到建筑物的位置，測(cè)量人與鏡子的距離 a1 =1.2m ，將鏡子后移 a 米，重
復(fù)前面中的操作，則測(cè)量人與鏡子的距離 a2 = 3.2m，則鏡子后移距離 a 為（ ）
A．6m B．5m C．4m D．3m
3．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，角A 、 B 、C 所對(duì)的邊分別為 a、b 、 c，已知
B = 60o ，b = 4 ，則VABC 面積的最大值為（ ）
A．3 3 B． 4 3 C．5 3 D．6
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC 是銳角三角形，內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a，
2 2 bb，c．若 a - b = bc ，則 的取值范圍是（ ）a + c
3 2
A． , ÷÷ B． 2 - 3,1 C．3 2 2 - 3, 2 -1 D． 2 +1, 3 + 2 è
二、多選題
5．（2022·廣東佛山·一模）在VABC 中，A 、 B 、C 所對(duì)的邊為 a、b 、 c，設(shè)BC 邊上的中
點(diǎn)為M ，VABC 的面積為S ，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A p．若 A = ，則 S = 3 3 B．S3 的最大值為3 3
p
C． AM = 3 D．角A 的最小值為
3
6．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，三邊長(zhǎng)分別為 a，b，c，且 abc = 2，則下列結(jié)
論正確的是（ ）
A．a(chǎn)2b < 2 + ab2 B．a(chǎn)b + a + b > 2 2
C．a(chǎn) + b2 + c2 4 D．a(chǎn) + b + c 2 2
三、填空題
7．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某城市有一條公路從正西方向 AO 通過(guò)路口O后轉(zhuǎn)向
西北方向OB，圍繞道路OA,OB打造了一個(gè)半徑為 2km的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)
相切的觀光道MN ，則MN 的最小值為 km．
8．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形 ABCD中，
AB = 2, DA × DC = 6, ABC 2π= , ACB π= ，則四邊形 ABCD的面積的最大值為 ．
3 6
四、解答題
9．（2024·山西·一模）VABC 中角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，其面積為S ，且
4S = b2 + c2 - a2 .
(1)求A ；
(2)已知 a = 2 2 ，求S 的取值范圍.
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在① 2 - sinA cosB -1 = cosAsinB - 2cosBsinC ；②
2a - c cosB = bcosC 兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題．在VABC
中，內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別是 a，b，c ，且______．
(1)求角 B 的大小；
uuur uuur
(2)若點(diǎn)D滿(mǎn)足BD = 2BC ，且線段 AD = 3，求VABC 面積的最大值．
11．（2023·四川達(dá)州·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 所對(duì)的邊分別為 a、b 、 c，
b c a 3a
+ = + .
cosB cosC cosA cosBcosC
(1)求 tan B tan C；
(2)若bc = 3，求VABC 面積S 的最小值.考點(diǎn) 29 解三角形及其應(yīng)用舉例（2 種核心題型+基礎(chǔ)保分練+
綜合提升練+拓展沖刺練）
【考試提醒】
1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題
2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問(wèn)題.
3.通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
【知識(shí)點(diǎn)】
測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)
術(shù)語(yǔ)名稱(chēng) 術(shù)語(yǔ)意義 圖形表示
在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂
平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線
仰角與俯角
上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下
方的叫做俯角
從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻?br/>方位角 目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位
角 θ 的范圍是 0°≤θ<360°
正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的
方向角 例：(1)北偏東 α：
銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α
(2)南偏西 α：
坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ
為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比
坡角與坡比
h
叫坡比(坡度)，即 i＝ ＝tan θ
l
【核心題型】
題型一　解三角形的應(yīng)用舉例
命題點(diǎn) 1　測(cè)量距離問(wèn)題
【例題 1】（2023 高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知兩座燈塔A 和 B 與海洋觀察站C 的距離都
等于 2km，燈塔A 在觀察站C 的北偏東 20°，燈塔 B 在觀察站C 的南偏東 40°，則燈塔A 與
燈塔 B 的距離為（）
A． 2km B． 4km C． 2 2km D．2 3km
【答案】D
【分析】利用余弦定理求得正確的.
【詳解】依題意 ACB =180° - 20° - 40° =120°，
所以 AB = 22 + 22 - 2 2 2 cos120° = 2 3km .
故選：D
【變式 1】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某景區(qū)為方便游客，計(jì)劃在兩個(gè)山頭 M，N 間
架設(shè)一條索道．為測(cè)量 M，N 間的距離，施工單位測(cè)得以下數(shù)據(jù)：兩個(gè)山頭的海拔高度
MC =100 3m, NB = 50 2m，在 BC 同一水平面上選一點(diǎn) A，測(cè)得 M 點(diǎn)的仰角為60o ，N 點(diǎn)
的人仰角為30o，以及 MAN = 45o， 則 M，N 間的距離為（ ）
A．100 2m B．120m C．100 3m D．200m
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，在直角△ACM 和直角VABN 中，分別求得 AM = 200 和 AM =100 2 ，
再在VAMN 中，利用余弦定理，即可求解.
【詳解】由題意，可得 MAC = 60o , NAB = 30o , MC =100 3, NB = 50 2, MAN = 45o ，
且 MCA = NBA = 90o ，
MC
在直角△ACM 中，可得 AM = o = 200 ，sin 60
在直角VABN 中，可得 AM
NB
= o =100 2 ，sin 30
在VAMN 中，由余弦定理得 AN 2 = AM 2 + AN 2 - 2AM × AN cos MAN = 20000，
所以MN =100 2m .
故選：A.
【變式 2】（2022·山東青島·二模）如圖所示，A，B，C 為三個(gè)村莊， AB = 7km，
AC = 5km，BC = 8km，則∠ACB = ；若村莊 D 在線段 BC 中點(diǎn)處，要在線段 AC
上選取一點(diǎn) E 建一個(gè)加油站，使得該加油站到村莊 A，B，C，D 的距離之和最小，則該最
小值為 km .
p
【答案】 60°/ 5 + 4 7 / 4 7 + 5
3
【分析】利用余弦定理以及點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)進(jìn)行處理.
【詳解】在VABC 中，由余弦定理有：
AC 2cos ACB + BC
2 - AB2 25 + 64 - 49 1
∠ = = =
2AC × BC 80 2
又∠ACB (0。,180。)，所以∠ACB=60。.
如圖，作 D 關(guān)于 AC 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) F，則 DE=FE，DC=FC=4，
∠ACB =∠ACF = 60。，所以∠BCF =120。，當(dāng)且僅當(dāng)
B，E，F(xiàn) 三點(diǎn)共線時(shí)，BE+EF 最小.
BF 2 = BC 2 + FC 2 - 2FC × BC cos∠FCB
= 82 + 42 - 2 8 4 ( 1- ) =112 .
2
所以BF = 4 7 ，所以 AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF AC + BF = 4 7 + 5，
當(dāng)且僅當(dāng) B，E，F(xiàn) 三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：60。， 4 7 + 5 .
【變式 3】（2023 高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A、B 兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，若在
河岸選取相距 20 米的 C、D 兩點(diǎn)，測(cè)得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝
60°，那么此時(shí) A，B 兩點(diǎn)間的距離是多少？
【答案】10 6 米
【分析】根據(jù)正弦定理，分別在VACD和△BCD中求出 AC，BC，然后在VABC 中，由余弦
定理求得 AB.
【詳解】根據(jù)正弦定理，
CD sin 45° + 60°
在VACD中，有 AC = =
sin é 180
° - 30° + 45° + 60° ù
20(sin 45° cos 60° + cos 45°sin 60°)
=10(1+ 3) (米)，
sin 45°
CD sin 45°
在△BCD中，有BC = = 20sin é ° 180 - 30° + 45° + 60° ù
(米)．

在VABC 中，由余弦定理得 AB＝ AC 2 + BC 2 - 2AC × BC cos BCA ＝10 6 (米)．
所以 A，B 兩點(diǎn)間的距離為10 6 米
命題點(diǎn) 2　測(cè)量高度問(wèn)題
【例題 2】（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓
的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位
置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡子的距離為a1 = 1.00m，之后將小鏡子前移a = 6.00m，重復(fù)之前的操
作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為a2 = 0.60m，已知人的眼睛距離地面的高度為 h = 1.75m，
則鐘樓的高度大約是（ ）
A． 27.75m B．27.25m C． 26.75m D． 26.25m
【答案】D
ah
【分析】設(shè)鐘樓的高度為 PQ，根據(jù)相似得到PQ = a - a ，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.1 2
【詳解】如下圖，設(shè)鐘樓的高度為 PQ，
由△MKE :△PQE，可得：EQ
PQ × KE a
= = 1
× PQ
，
MK h
由△NTF : PQF
PQ ×TF PQ × a
△ ，可得：FQ = = 2 ，
NT h
EQ FQ a1 × PQ PQ ×a故 - = - 2 = a ，
h h
故PQ
ah 6 1.75 10.5
= = = = 26.25m
a1 - a2 1- 0.6 0.4
，
故選：D.
【變式 1】（2024·湖南岳陽(yáng)·二模）岳陽(yáng)樓地處岳陽(yáng)古城西門(mén)城墻之上，下瞰洞庭，前望君
山．因范仲淹的《岳陽(yáng)樓記》著稱(chēng)于世，自古有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù)．小明為
了測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度 AB ，他首先在C 處，測(cè)得樓頂A 的仰角為60°，然后沿BC 方向行走
22.5 米至D處，又測(cè)得樓頂A 的仰角為30°，則樓高 AB 為 米．
45 3
【答案】
4
【分析】在 Rt△ABC 中，用 AB 表示 BC ，在 Rt△ABD 中，用 AB 表示 BD，根據(jù)CD 的長(zhǎng)，
可求解 AB .
AB
【詳解】Rt△ABC o 3AB中， ACB = 60 o ， = tan 60 = 3 ，
BC BC =
，
3
Rt ABD AB 3△ 中， ADB = 30o ， = tan 30o = ，BD = 3AB ，
BD 3
因?yàn)镃D = 22.5米，所以BD BC 3AB 3AB 2 3- = - = AB = 22.5，
3 3
45 3
解得： AB =
4
45 3
故答案為：
4
【變式 2】（2024·廣東湛江·二模）財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)，是湛江
經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，
小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn) A，點(diǎn) A 在大廈底部的射影為點(diǎn) O，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn) B、C 與 O
在同一水平面上，他測(cè)得BC =102 7 米， BOC =120°，在點(diǎn) B 處測(cè)得點(diǎn) A 的仰角為q
（ tanq = 2），在點(diǎn) C 處測(cè)得點(diǎn) A 的仰角為 45°，則財(cái)富匯大廈的高度OA = 米.
【答案】204
【分析】根據(jù)仰角設(shè)出長(zhǎng)度，再根據(jù)余弦定理列出△OBC 的邊長(zhǎng)關(guān)系，解方程求解即可.
OA h
【詳解】設(shè)OA = h米，因?yàn)樵邳c(diǎn) B 處測(cè)得點(diǎn) A 的仰角為q ，所以 = 2 ，所以O(shè)B = .
OB 2
因?yàn)樵邳c(diǎn) C 處測(cè)得點(diǎn) A 的仰角為 45°，所以O(shè)C = h米.
由余弦定理，可得BC 2 = OB2 + OC 2 - 2OB ×OC ×cos BOC ，
即1022 7=
1
h2 + h2 1 7+ h2 = h2 ，解得 h = 204 .
4 2 4
故答案為：204
【變式 3】（2022·貴州安順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為測(cè)量某雕像 AB 的高度（B，C，D，F(xiàn) 在同
一水平面上，雕像垂直該水平面于點(diǎn) B，且 B，C，D 三點(diǎn)共線），某校研究性學(xué)習(xí)小組同學(xué)
在 C，D，F(xiàn) 三點(diǎn)處測(cè)得頂點(diǎn) A 的仰角分別為60°，30°，45°，CD = 20米．
(1)求雕像 AB 的高度；
(2)當(dāng)觀景點(diǎn) C 與 F 之間的距離為多少米時(shí)，△CDF 的面積最大？并求出最大面積．
【答案】(1) AB =10 3
(2) CF = 20時(shí)，VCDF 的面積最大，最大值為100 3
【分析】（1）根據(jù)已知條件，在VACD中，可求出 AC = CD = 20 .然后在Rt△ABC 中，根據(jù)
已知即可求得答案；
（2）根據(jù)（1）可求出BC =10 .由已知可得出BF = AB =10 3 .進(jìn)而根據(jù)面積公式表示出VCDF
的面積 S =100 3 sin DBF .即可得出面積的最大值以及BF ^ BC ，由勾股定理即可求出
CF .
【詳解】（1）由已知可得，
在VACD中，有 ADC = 30°， ACD =180° - ACB =120°，CD = 20，
所以， DAC =180° - ADC - ACD = 30° = ADC ，
所以，VACD為等腰三角形， AC = CD = 20 .
在Rt△ABC 中，有 ACB = 60°， ABC = 90°， AC = 20，
所以， sin ACB AB AB 3= = = ，
AC 20 2
所以， AB =10 3 .
（2）由（1）可得，BC = AC sin 60° =10，
在RtVABF 中， AFB = 45°，所以BF = AB =10 3 .
因?yàn)閂CBF 的BC 邊上的高 h = BF sin DBF =10 3 sin DBF ，
且VCDF 的CD 邊上的高也等于 h =10 3 sin DBF ，
V S 1 CD h 1所以 CDF 的面積為 = × = 20 10 3 sin DBF
2 2 =100 3 sin DBF
.
當(dāng) sin DBF =1，即BF ^ BC 時(shí)，面積最大，最大值為100 3 .
此時(shí)有CF = BF 2 + BC 2 = 20 .
命題點(diǎn) 3　測(cè)量角度問(wèn)題
【例題 3】（2024·上海嘉定·二模）嘉定某學(xué)習(xí)小組開(kāi)展測(cè)量太陽(yáng)高度角的數(shù)學(xué)活動(dòng)．太陽(yáng)高
度角是指某時(shí)刻太陽(yáng)光線和地平面所成的角．測(cè)量時(shí)，假設(shè)太陽(yáng)光線均為平行的直線，地面
為水平平面．如圖，兩豎直墻面所成的二面角為 120°，墻的高度均為 3 米．在時(shí)刻 t ，實(shí)地
測(cè)量得在太陽(yáng)光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬度分別為 1 米、1.5 米．在線查閱嘉定的
天文資料，當(dāng)天的太陽(yáng)高度角和對(duì)應(yīng)時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，則時(shí)刻 t 最可能為（ ）
太陽(yáng)高度角 時(shí)間 太陽(yáng)高度角 時(shí)間
43.13° 08:30 68.53° 10:30
49.53° 09:00 74.49° 11:00
55.93° 09:30 79.60° 11:30
62.29° 10:00 82.00° 12:00
A．09 : 00 B．10 : 00 C．11:00 D．12 : 00
【答案】B
【分析】作出示意圖形，在四邊形 ABCD中利用正弦定理與余弦定理，算出四邊形 ABCD的
外接圓直徑大小，然后在Rt△BDE 中利用銳角三角函數(shù)定義，算出 DBE 的大小，即可得
到本題的答案.
【詳解】如圖所示，
設(shè)兩豎直墻面的交線為DE ，點(diǎn)E 被太陽(yáng)光照射在地面上的影子為點(diǎn) B ，
點(diǎn) A,C 分別是點(diǎn) B 在兩條墻腳線上的射影，連接 AC ，BD， BE ，
由題意可知 DBE 就是太陽(yáng)高度角.
∵四邊形 ABCD中， BAD = BCD = 90o ， ADC =120o，
∴ ABC = 360o - BAD + BCD + ADC = 60o ，
∴ VABC AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB × BC cos 60o 2 2
1
中， =1.5 +1 - 2 1.5 1 =1.75，
2
可得 AC = 1.75 1.32，
∵四邊形 ABCD是圓內(nèi)接四邊形，BD是其外接圓直徑，
AC
∴設(shè)VABC 的外接圓半徑為 R ，則BD = 2R = 1.53，
sin 60o
ED 3
在Rt△BDE 中， tan DBE = = 1.96，
BD 1.53
所以 DBE = arc tan1.96 63.02o，
對(duì)照題中表格，可知時(shí)刻 t =10 : 00時(shí)，太陽(yáng)高度角為62.29o ，與63.02o 最接近.
故選：B.
【變式 1】（2023·四川綿陽(yáng)·三模）《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五彈
箜篌，十六誦詩(shī)書(shū).”箜篌歷史悠久、源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，音域?qū)拸V、音色柔美清撤，表現(xiàn)力強(qiáng).如圖是
箜篌的一種常見(jiàn)的形制，對(duì)其進(jìn)行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個(gè)端點(diǎn)A ， B 處分別
作切線相交于點(diǎn)C ，測(cè)得切線 AC = 99.9cm，BC =100.2cm ， AB = 180cm ，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)
可估算出該圓弧所對(duì)圓心角的余弦值為（ ）
A．0.62 B．0.56 C．-0.56 D．-0.62
【答案】A
【分析】由圖形可知 AOB + ACB =180o ，由余弦定理求出 cos ACB，可得 cos AOB .
【詳解】由題意， OAC = OBC = 90o，所以 AOB + ACB =180o ，
切線 AC = 99.9cm，BC =100.2cm ，由切線長(zhǎng)定理，不妨取 AC = BC =100cm ，
又 AB = 180cm ，由余弦定理，
2
cos ACB AC + BC
2 - AB2 1002 +1002 -1802
有 = = = -0.62，
2AC × BC 2 100 100
cos AOB = cos 180o - ACB = -cos ACB = 0.62 .
故選：A
【變式 2】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一款訂書(shū)機(jī)，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為如圖模型.使用時(shí)
將 B 下壓，E 接觸平臺(tái)，D 緊鄰 E，此時(shí)鈍角b 增大了（ ）（參考數(shù)據(jù)：
x22 + x3 x3 - 2x2 cosa = 3 x2 + x2 2， 1 2 + x3 - 2x1x3 sina - 2x2x3 cosa = 4，
x sina x x x+ 2 3 4 x2x3 cosa3 + - xx x x 1
= 3 .）
1 5 1
A．15° B．30° C．60° D．75°
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.
【詳解】如圖 1，過(guò)點(diǎn) A 作 AM ^ CF ， AN ^ BC ，垂足為M ， N ，則
AM = x3 sina , MF = x3 cosa , BN = CM = x2 - x3 cosa , AN = x3 sina - x1 ，
故
AB = AN 2 + BN 2 = x3 sina - x
2
1 + x - x
2 2 2 2
2 3 cosa = x1 + x2 + x3 - 2x1x3 sina - 2x2x3 cosa = 2
，
連接 AC ，在△ACF 中，由余弦定理可得：
AC 2 = CF 2 + AF 2 - 2AF ×CF cosa = x22 + x
2
3 - 2x2x3 cosa = 3，即 AC = 3 ，
∵ AC < AB ，即此時(shí)b 為銳角，
如圖 2 ，設(shè)GH 平臺(tái)，即D, E,G 三點(diǎn)重合，則
cos FH x GFH = = 4 , cos AFC = cos π x- GFH = -cos GFH = - 4
GF x x ，5 5
連接 AC ，在△ACF 中，由余弦定理可得：
AC 2 = CF 2 + AF 2 - 2AF ×CF cos AFC = x22 + x
2 2x+ 2x3x43 x ，5
在VABC 中，由余弦定理可得：
AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB × BC cos ABC = 4 + x21 - 4x1 cos ABC ，
則
x2 x2 2x x x2 + 3 + 2 3 4 = 4 + x
2 2 2
1 - 4x1 cos ABC = x1 + x2 + x
2
3 - 2x
2
x 1
x3 sina - 2x2x3 cosa + x1 - 4x1 cos ABC
5
，
2cos ABC x sina x2x3x4 x2x3 cosa 3整理得- = 3 + + - x = 3x x x 1 ，即 cos ABC = - ，1 5 1 2
又∵ ABC 0, π ，則 ABC 5= π ，
6
5 π π
此時(shí)鈍角b 增大的值大于 π - = ，符合題意的只有 D 選項(xiàng).
6 2 3
故選：D.
【變式 3】（2022·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）瀑布是廬山的一大奇觀，唐代詩(shī)人李白曾在《望廬山
瀑布中》寫(xiě)道：日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川，飛流直下三千尺，疑是銀河落九天.為
了測(cè)量某個(gè)瀑布的實(shí)際高度，某同學(xué)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：沿一段水平山道步行至與瀑布底
3
端在同一水平面時(shí)，在此位置測(cè)得瀑布頂端的仰角正切值為 ，沿山道繼續(xù)走 20 m，測(cè)得
2
π
瀑布頂端的仰角為 .已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角
3
π
為 .根據(jù)這位同學(xué)的測(cè)量數(shù)據(jù)，可知該瀑布的高度為 m；若第二次測(cè)量后，繼續(xù)
3
π
行進(jìn)的山道有坡度，坡角大小為 ，且兩段山道位于同一平面內(nèi)，若繼續(xù)沿山道行進(jìn)
4
20 2m ，則該同學(xué)望向瀑布頂端與底端的視角正切值為 .（此人身高忽略不計(jì)）
【答案】 60 3
2 3
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)高度為 h ，則可表示出 AC = h, BC = h，在VABC 中利
3 3
用余弦
定理即可求出 h 的值；由已知數(shù)據(jù)易知CG = CA = 40，則 EF = 40，則可得到
tan DFE =1, tan CFE 1= ，再由兩角和的正切公式計(jì)算出結(jié)果.
2
【詳解】如圖，設(shè)瀑布頂端為D，底端為C ，高為 h ，
該同學(xué)第一次測(cè)量的位置為A ，第二次測(cè)量的位置為 B ，
tan DAC 3則 = , AB = 20， DBC = CAB
π
= ,
2 3
2 3
所以 AC = h, BC = h，
3 3
在VABC 中由余弦定理可知：BC 2 = AC 2 + AB2 - 2AC × AB ×cos CAB
h2 4
即 = h2 400 2 2 1+ - h 20 ，
3 9 3 2
解得： h = 60 ;
如圖，兩段山道為 BF ,過(guò)F 作 FE ^ CD 于點(diǎn)E ，
由題意知： FBG
π
= ，
4 BF = 20 2
，
所以BG = FG = 20，
在VABC 中 AC = 40, BC = 20 3，AB = 20，即 AB2 + BC 2 = AC 2 ，
所以CB ^ BG，
所以CG = CB2 + BG2 = 40，
所以EF = CG = 40，
又EC = FG = 20，
所以 DE = 40 ，
tan DFE DE 1, tan CFE CE 1= = = = ，
EF EF 2
1 1+
所以 tan DFC = tan DFE CFE tan DFE + tan CFE + = = 2 = 3 .
1- tan DFE × tan CFE 1 1-
2
故答案為：60；3.
題型二　解三角形中的最值和范圍問(wèn)題
解三角形中最值(范圍)問(wèn)題的解題策略
利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡(jiǎn)整理，構(gòu)造關(guān)于某一個(gè)角或某一條邊的函數(shù)或不等式，
利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍)．
【例題 4】（2024·江西南昌·三模）如圖，在扇形 OAB 中，半徑OA = 4， AOB = 90°，C 在
半徑 OB 上，D 在半徑 OA 上，E 是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形 BCDE
的周長(zhǎng)的取值范圍是（ ）
A． 8,12 B． 8 2,12ù
C． 8,8 2 ù D． 4,8 2 ù
【答案】A
【分析】由于點(diǎn) E 在弧上運(yùn)動(dòng)，引入恰當(dāng)?shù)淖兞?AOE = 2q ，從而表達(dá) ABE = q ，再利用
正弦定理來(lái)表示邊，來(lái)求得周長(zhǎng)關(guān)于角q 的函數(shù)，然后求出取值范圍；也可以建立以圓心為
原點(diǎn)的坐標(biāo)系，同樣設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)E 4cos 2q , 4sin 2q ，用坐標(biāo)法求出距離，然后同樣把周
長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角q 的函數(shù)，進(jìn)而求出取值范圍.
【詳解】
（法一）如圖，連接OE，AB．設(shè) AOE = 2q ，則 BOE
π
= - 2q ， ABE = q ，
2
BE OE
OBE q π
=
故 = + ．在△OBE中，由正弦定理可得 sin π π- 2q ，4 2 ÷
sin q + ÷
è è 4
OE sin π - 2q ÷ OE sin
2q π+
2 è è 2 ÷ π
則BE = = = 8cos q + ．
sin q π+ sin q π+
4 ֏

è 4 ÷ è 4 ÷
DE OE
=
在Rt△ODE中，由正弦定理可得 sin 2q sin π ，則DE = OE sin 2q = 4sin 2q ．
2
平行四邊形BCDE 的周長(zhǎng)為
2 BE + DE =16cos q π+ ÷ + 8sin 2q =16cos

q
π π
+ ÷ -8cos

2q +

÷
è 4 è 4 è 2
2
π π é π 1 ù
= -16cos2 q + +16cos ÷ q +

÷ + 8 = -16

êcos q + ÷ - +12 ．è 4 è 4 è 4 2
ú

0 2q π 0 q π π q π π因?yàn)?< < ，所以 < < ，所以 < + < ，所以0 < cos q π+ 2 < ，2 4 4 4 2 è 4 ÷ 2
2 2
é
所以0 cos ê q
π 1 ù 1 é π 1 ù+ ÷ - ú < ，則8 < -16 êcos q + ÷ - +12 12，
è 4 2 4 è 4 2
ú

即平行四邊形 BCDE 的周長(zhǎng)的取值范圍是 8,12 ．
（法二）以 O 為原點(diǎn)，OB，OA所在直線分別為 x，y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè) BOE = 2q ，則E 4cos 2q , 4sin 2q ，q 0,
π
4 ÷
，
è
從而DE = 4cos 2q ，OD = 4sin 2q ，OC = 4 - 4cos 2q ，
DC = OC 2 + OD2 = 4 - 4cos 2q 2 + 4sin 2q 2 = 8sinq ，
2
故平行四邊形BCDE 的周長(zhǎng)為 2 DE + DC = 2 4cos 2q 1+ 8sinq = -16 sinq - 2 ÷ +12 ．è
π 2
因?yàn)? < q < 1 1，所以
4 0 < sinq
2
< ，所以0 sinq -

÷ < ，2 è 2 4
2
則8 < -16 sinq
1
- ÷ +12 12 ，即平行四邊形BCDE 的周長(zhǎng)的取值范圍是 8,12 ．
è 2
故選：A.
【變式 1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC 的內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，滿(mǎn)足
sin B -sinC 2b - a 2
= ，sin Asin B = ，且 S△ABC =1，則邊 c = ．
sin A b + c 5
【答案】 5
π
【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理可得C = ，由面積公式可得
4 ab = 2 2
，由正弦定理得
c
2
a b
÷ = × ，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
è sinC sinA sinB
sin B -sinC 2b - a b - c 2b - a
【詳解】因?yàn)?= ，由正弦定理可得： = ，
sin A b + c a b + c
2 2
2 2 2 a + b - c
2 2
所以 a + b - c = 2ab，由余弦定理可得： cosC = = ，
2ab 2
因?yàn)镃 (0,π)
π
，所以C = ，
4
S 1因?yàn)?VABC = absinC = 1，所以2 ab = 2 2
，
2
c a b c a b 2 2= × = =10
由正弦定理可得： = = ，
sinC sinA sinB è sinC
÷
sinA sinB 2 ，
5
c c
= = 10
所以 sinC 2 ，即 c = 5
2
故答案為： 5
【變式 2】（2024·山西·三模）已知VABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，滿(mǎn)足
2cos Acos B = 2sin2 C ．
2
(1)試判斷VABC 的形狀；
(2)若VABC 的外接圓半徑為 2，求VABC 周長(zhǎng)的最大值．
【答案】(1) VABC 為等腰三角形
(2) 6 3
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換可得 cos A - B =1，結(jié)合 A, B 0, π 分析求解；
（2）利用正弦定理可得VABC 周長(zhǎng) L = 8sin A + 4sin 2A，構(gòu)建函數(shù)
f x = 8sin x + 4sin 2x, x 0, π ÷，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得結(jié)果.
è 2
2 C
【詳解】（1）由題意可知： 2cos Acos B = 2sin =1- cosC =1+ cos A + B
2
=1+ cos Acos B - sin Asin B ，
整理得 cos Acos B + sin Asin B = cos A - B =1，
且 A, B 0, π ，則 A - B -π, π ，可知 A - B = 0，即 A = B ，
所以VABC 為等腰三角形.
a b c
（2）由正弦定理 = = = 4 ，可得 a = 4sin A,b = 4sin B,c = 4sin C ，
sin A sin B sin C
則VABC 周長(zhǎng) L = a + b + c = 4sin A + 4sin B + 4sin C = 4sin A + 4sin B + 4sin A + B ，
π1 由（ ）可知： A = B 0, 2 ÷，è
可得 L = 4sin A + 4sin A + 4sin 2A = 8sin A + 4sin 2A，
構(gòu)建函數(shù) f x = 8sin x + 4sin 2x, x π 0, 2 ÷，è
則 f x = 8cos x + 8cos 2x = 8 cos x +1 2cos x -1 ，
x 0, π 因?yàn)? ÷ ，則 cos x 0,1 ，
è 2
當(dāng) x

0,
π
÷ 時(shí)， cos x
1
,1

3 2 ÷
，則 f x > 0；
è è
x π , π 當(dāng) ÷ 時(shí)， cos x 0,
1 f x < 0
3 2 ÷ ，則 ；è è 2
可知 f x π π在 0, π 3 ÷內(nèi)單調(diào)遞增，在è , ÷內(nèi)單調(diào)遞減，è 3 2
f x π則 f 3 ÷ = 6 3，è
所以當(dāng)且僅當(dāng)VABC 為等邊三角形時(shí)，VABC 周長(zhǎng)取到最大值6 3 .
【變式 3】（2024·山東濟(jì)寧·三模）在△ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c ，已知
(1- cos 2C)(sin A +1) - cos Asin 2C = 0 .
B C π(1)求證: = + ；
2
π
(2)若 a = 4,C ,
π
÷，求VABC 面積的取值范圍.
è 8 6
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2) 4,4 3
【分析】（1）根據(jù)兩角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得 2sinC(sinC + cos B) = 0 ，
結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算即可證明；
π π
（2）由（1）得 A
π
= - 2C 且 < A <2 ，根據(jù)正弦定理、三角形的面積公式和三角恒等變換6 4
化簡(jiǎn)可得 SVABC = 4 tan 2C ，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1） (1- cos 2C)(sin A +1) - cos Asin 2C = 0，
sin A +1- cos2C sin A - cos2C - cos Asin 2C = 0，
sin A - cos2C +1- sin(A + 2C) = 0，又 A + C = π - B，
則 sin(B + C) - cos2C +1- sin(B - C) = 0，
sin BcosC + sinC cos B -1+ 2sin2 C +1- sin BcosC + sinC cos B = 0，
2sin2 C + 2sinC cos B = 0，即 2sinC(sinC + cos B) = 0 ，
又 sin C > 0，所以 sinC + cos B = 0 ，即 cos B = -sinC cos(π= + C)2 ，
又0 < B < π,0 < C < π
π
，所以 B = + C2 ；
π
（2
π
）由（1）知 B = + C ， A + B + C = π，得 A = - 2C2 2 ，
π π π π a c
由 < C < ，得 < A <8 6 ，由正弦定理得 = ，6 4 sin A sin C
c asinC asinC 4sinC= = =
得 sin A sin(π - 2C) cos2C ，
2
S 1所以 VABC = acsin B
1 42 sinC= sin(π C) 1+ = 42 sinC cosC 4sin 2C= = 4 tan 2C
2 2 cos2C 2 2 cos2C cos2C ，
π π π
又 < C
π π π
< ，所以 < 2C < ，又 y = tan x (- , )8 6 4 3 在 上單調(diào)遞增，2 2
則 tan 2C (1, 3) ，所以 4 tan 2C (4,4 3) ，
即VABC 的面積我取值范圍為 (4, 4 3) .
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2022·吉林·模擬預(yù)測(cè)）位于燈塔 A 處正西方向相距 5 3 - 5 n mile 的 B 處有一艘甲船需
要海上救援，位于燈塔 A 處北偏東 45°相距5 2 n mile 的 C 處的一艘乙船前往營(yíng)救，則乙船
的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是南偏西（ ）
A．30° B．60° C．75° D．45°
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，找出要求的角為 BCD，運(yùn)用解三角形的知識(shí)進(jìn)行求解.
【詳解】依題意，過(guò)點(diǎn)C 作CD ^ BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，如圖，
則 AB = 5 3 - 5， AC = 5 2 ， ACD = 45o ，
在RtVADC 中， AD = DC = 5，
在RtVBDC 中，BD = 5 3，DC = 5，
π
\ tan BCD BD= = 3 又Q BCD 0,
DC ֏ 2
\ BCD π= ，
3
則乙船的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是南偏西 60°.
故選：B.
2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）為了測(cè)量西藏被譽(yù)稱(chēng)為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，
通常采用人工攀登的方式進(jìn)行，測(cè)量人員從山腳開(kāi)始，直到到達(dá)山頂分段測(cè)量過(guò)程中，已知
豎立在 B 點(diǎn)處的測(cè)量覘標(biāo)高 20米，攀登者們?cè)贏 處測(cè)得，到覘標(biāo)底點(diǎn) B 和頂點(diǎn)C 的仰角分
別為 45°,75°，則 A, B的高度差約為（ ）
A．7.32 米 B．7.07 米 C．27.32 米 D．30 米
【答案】A
【分析】畫(huà)出示意圖，結(jié)合三角函數(shù)的定義和正切展開(kāi)式求解即可.
【詳解】
模型可簡(jiǎn)化為如上圖，在RtVADC 中， BAD = 45°, CAD = 75°，
BD
所以 tan 75° - BD = 20，而
tan 45°
3
tan 75 tan 45 30 tan 45° + tan 30°
1+
3 3 + 3° = ° + ° = = = ，
1- tan 45° tan 30°
1 3 3 - 3-
3
代入上式并化簡(jiǎn)可得BD = 7.32米，
故選：A.
3．（2024·云南昆明·一模）早期天文學(xué)家常采用“三角法”測(cè)量行星的軌道半徑．假設(shè)一種理
想狀態(tài)：地球 E 和某小行星 M 繞太陽(yáng) S 在同一平面上的運(yùn)動(dòng)軌道均為圓，三個(gè)星體的位置
E SE M 2π如圖所示．地球在 0 位置時(shí)，測(cè)出 0 = ；行星 M 繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)一周回到原來(lái)位置，3
地球運(yùn)動(dòng)到了E SE M
3π π
1位置，測(cè)出 1 = ， E1SE0 = ．若地球的軌道半徑為 R，則下列選4 3
項(xiàng)中與行星 M 的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)： 3 1.7）（ ）
A．2.1R B．2.2R C． 2.3R D． 2.4R
【答案】A
【分析】連接E0E1，根據(jù)給定條件，在VME0E1 中利用正弦定理求出ME1 ，再在VSME1中利
用余弦定理求解即得.
【詳解】連接E0E
π
1，在VSE0E1 中， SE0 = SE1 = R，又 E1SE0 = ，則VSE0E1 是正三角形，3
E0E1 = R ，
由 SE0M
2π SE M 3π π 5π= ， 1 = ，得 E1E0M = ， E0E1M = ，3 4 3 12
E1M E0E
3
1 R
在VME
π = 2 3
0E1 中， E0ME1 = ，由正弦定理得 E4 sin
π sin π ，則 1
M = = R ，
3 4 2 2
2
在VSME1中，由余弦定理得
SM = R2 + ( 3 R)2 2R 3 R ( 2 5- × × - ) = R2 + 3R2 4.2R 2.1R .
2 2 2 2
故選：A
4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在100m高的樓頂A 處，測(cè)得正西方向地面上B、C 兩點(diǎn) B、C
與樓底在同一水平面上）的俯角分別是75o和15o，則B、C 兩點(diǎn)之間的距離為（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
【答案】D
【分析】根據(jù)圖形，利用直角三角形求解即可.
【詳解】由題意，
BC 100 100 100 tan 75° - tan15°= - = =100 tan 60°(1+ tan15° tan 75°)
tan15° tan 75° tan15° tan 75° tan15° tan 75°
而 tan15 tan 75
sin15° sin 75° sin15° cos15°
° ° = × = × =1，
cos15° cos 75° cos15° sin15°
所以BC =100 2 3 = 200 3 .
故選：D
二、多選題
5．（2023·重慶·三模）如圖，為了測(cè)量障礙物兩側(cè) A，B 之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)
確定 AB 長(zhǎng)度的是（ ）
A．a(chǎn)，b，g B．a(chǎn) ，b ，g
C．a(chǎn)，b ，g D．a(chǎn) ，b ，b
【答案】ACD
【分析】由三角形全等的條件或者正、余弦定理即可判定.
【詳解】法一、根據(jù)三角形全等的條件 SAS , ASA, AAS 可以確定 A、C、D 三項(xiàng)正確，它們都
可以唯一確定三角形；
法二、對(duì)于 A 項(xiàng)，由余弦定理可知 c2 = a2 + b2 - 2ab cosg ，可求得 c，即 A 正確；
對(duì)于 B 項(xiàng)，知三個(gè)內(nèi)角，此時(shí)三角形大小不唯一，故 B 錯(cuò)誤；
a c c a sin g對(duì)于 C 項(xiàng)，由正弦定理可知 = =sin π - b - g sin g sin π - b - g ，即 C 正確；
bsin π -a - b
對(duì)于 D 項(xiàng)，同上由正弦定理得 c = ，即 D 正確；
sin b
故選：ACD.
6．（2024·河北邯鄲·三模）已知VABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別是 a，b，c，面積為
3 a2 + c2 - b2 ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）4
1 1
A． cos AcosC 的取值范圍是 - , ÷
è 2 4
B．若D為邊 AC 3的中點(diǎn)，且BD =1，則VABC 的面積的最大值為
3
a 1VABC , 2 C．若 是銳角三角形，則 的取值范圍是
c 2 ֏
D．若角 B 的平分線 BE 與邊 AC 相交于點(diǎn)E ，且BE = 3 ，則a + 4c的最小值為 10
【答案】ABC
π
【分析】借助面積公式與余弦定理由題意可得B = ，對(duì) A：借助三角恒等變換公式可將其
3
化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可得；對(duì) B：借助向量數(shù)量積公式與基本不等
式即可得；對(duì) C：借助正弦定理可將其化為與角有關(guān)的函數(shù)，結(jié)合角度范圍即可得解；對(duì)
D：借助等面積法及基本不等式計(jì)算即可得.
1 2
【詳解】由題意知 S = ac sin B 3= a2 + c2 - b2 2 2 2，整理得 a + c - b = ac sin B，2 4 3
由余弦定理知 a2 + c2 - b2
π
= 2ac cos B ，\ tan B = 3 ，QB 0, π ，\B = ．3
對(duì) A， cos AcosC = cos Acos 2π A 3 1 2 - ÷ = sin Acos A - cos A
è 3 2 2
3 sin 2A 1+ cos 2A 1 π 1= - = sin
4 4 2
2A - ÷ - ，
è 6 4
Q A 0, 2π 2A π π , 7π \ - - π 1 ù 3 ÷， 6 ÷，
\sin 2A - ÷ - ,1 ，
è è 6 6 è 6 è 2 ú
1 1
\cos AcosC ù的取值范圍為 - , ，故 A 正確；
è 2 4 ú
uuur uuur uuur
對(duì) B，QD為邊 AC 的中點(diǎn)，\2BD = BC + BA，
uuur uuur
則 4 = a2 + c2 + 2BA × BC = a2 + c2 + ac 3ac，
\ac 4 ，當(dāng)且僅當(dāng) a = c 時(shí)，等號(hào)成立，
3
\S 1 3 3 4 3△ABC = acsin B = ac = ，故 B 正確；2 4 4 3 3
sin 2π - C 3 cosC 1 3
對(duì)于 C， a sin A 3 ÷ + sin C= = è 1 ，= 2 2 = 2 +
c sin C sin C sin C tan C 2
QV π πABC 是銳角三角形，\ < C < ，
6 2

\ tan C 3 , +
a
\
1 ,2 ， ，故 C 正確；
è 3
÷÷
c
÷
è 2
對(duì)于 D，由題意得 S△ABE + S△BCE = S△ABC ，
1 c BE sin π 1 a BE sin π 1 c a sin π即 + = ，
2 6 2 6 2 3
整理得 a + c = ac
1 1
，即 + =1，
a c
a 4c (a 4c) 1 1 5 4c a 5 2 4c a\ + = + + ÷ = + + + × = 9，
è a c a c a c
當(dāng)且僅當(dāng) a = 2c 時(shí)，等號(hào)成立，故 D 錯(cuò)誤．
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角形中的最值與范圍問(wèn)題，主要思考方向有兩個(gè)，一個(gè)是
借助余弦定理得到邊之間的關(guān)系，從而通過(guò)基本不等式求解，一個(gè)是借助正弦定理將邊化為
角，通過(guò)三角形中角的關(guān)系將多個(gè)變量角化為單變量，借助函數(shù)性質(zhì)得到范圍或最值.
三、填空題
7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N ，選擇 A 和另一座山的山頂 C 為測(cè)量觀測(cè)
點(diǎn)，從點(diǎn) A 測(cè)得點(diǎn) M 的仰角 MAN = 45°，點(diǎn) C 的仰角 CAB = 60°，以及 MAC = 75° .從
點(diǎn) C 測(cè)得 MCA = 45° ,已知山高BC = 300m，則山高M(jìn)N = m.
【答案】 200
【分析】在VABC 中，求得 AC = 200 3，再在VAMC 中，利用那個(gè)正弦定理，求得
AM = 200 2 ，進(jìn)而在直角VAMN 中，即可求解.
【詳解】在VABC 中，因?yàn)?CAB = 60°, ABC = 90°, BC = 300 AC
300
，所以 = = 200 3，
sin 60°
在VAMC 中，因?yàn)?MAC = 75°， MCA = 45° ，可得∠AMC = 60°，
AC AM
因?yàn)?= ，所以 AM
AC ×sin 45°
= = 200 2 ，
sin AMC sin ACM sin 60°
在直角VAMN 中，可得MN = AM ×sin MAN = 200 2 sin 45° = 200 .
故答案為： 200 .
8．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）《海島算經(jīng)》是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測(cè)量學(xué)著作，書(shū)中
有一道測(cè)量山上松樹(shù)高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識(shí)測(cè)量某
建筑物上面一座信號(hào)塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點(diǎn) C，D，CD 與地面垂直，小李先
在地面上選取點(diǎn) A，B，測(cè)得 AB = 20 3m，在點(diǎn) A 處測(cè)得點(diǎn) C，D 的仰角分別為30°， 60°，
在點(diǎn) B 處測(cè)得點(diǎn) D 的仰角為30°，則塔高 CD 為 m．
【答案】20
【分析】確定VACD,VBAD 每個(gè)角的大小，可得VACD,VBAD 均為等腰三角形，在VACD中，
設(shè) | CD |= x，通過(guò)余弦定理計(jì)算 | AB |= 3x 即可.
【詳解】在VACD中，延長(zhǎng)DC 與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E，如圖所示.
由題意可知， CAE = 30° , DAE = 60° , DBA = 30°，
因?yàn)樾±钔瑢W(xué)根據(jù)課本書(shū)中有一道測(cè)量山上松樹(shù)高度的題目受此題啟發(fā)，
所以 A, B, E 三點(diǎn)在同一條直線上.
所以 DAC = 30° , DCA =120° , ADC = 30° , BDA = 30° ，
所以VACD,VBAD 為等腰三角形，
即 | CD |=| CA |,| AD |=| AB | .
設(shè) | CD |= x，即 | CA |= x， DCA = 120°，
在VACD中，由余弦定理得
| AD |2 =| CD |2 + | CA |2 -2 | CD || CA | cos DCA ,
| AD |2 = x2 + x2即 - 2x × x × (
1
- )， | AD |= 3x，
2
所以 | AB |= 3x ，
又因?yàn)?| AB |= 20 3 ，
所以 x = 20 .
故答案為： 20 .
9．（2024·寧夏·一模）在VABC 中，BC = 3AC ， BAC
π
= ，點(diǎn) D 與點(diǎn) B 分別在直線 AC
3
的兩側(cè)，且 AD =1，DC = 3 ，則 BD 的長(zhǎng)度的最大值是 ．
【答案】3 3
【分析】先判斷VABC 為直角三角形，設(shè) ADC = q ， AC = x，由正弦定理得到 ACD與q
sinq
之間的數(shù)量關(guān)系 sin ACD = ，由余弦定理得到 x 與q 之間的數(shù)量關(guān)系 x2x = 4 - 2 3 cosq
，
最后在VBDC 中，由余弦定理及所得結(jié)論得到BD2 = 6sinq - 6 3 cosq +15，利用正弦型函
數(shù)的值域即得 BD 的長(zhǎng)度的最大值.
【詳解】
如圖，在VABC
BC AC
中，由正弦定理： = 可得： sin ABC
1
= ，因
sin BAC sin ABC 2
BAC π π ACB π = ，則 ABC = ，即 = .
3 6 2
AD AC
設(shè) AC = x，則 BC = 3x ，在△ADC 中，設(shè) ADC = q ，由正弦定理， = ，則sin ACD sinq
得： sin ACD
sinq
= ，
x
由余弦定理可得： AC 2 = AD2 + DC 2 - 2AD × DC cosq ，即 x2 = 4 - 2 3 cosq .
在VBDC 中，由余弦定理，BD2 = BC 2 + CD2 - 2BC ×CD cos BCD
= 3x2 π+ 3- 6x cos( + ACD) = 3x22 + 3+ 6x sin ACD
= 3x2 + 3 6x sinq π+ × = 3(4 - 2 3 cosq ) + 3+ 6sinq
x = 6sinq - 6 3 cosq +15
=12sin(q - ) +15 ,
3
π π 2π
0 π q q π π因 < q < ，則- < - < ，則當(dāng) - = 時(shí)，即q =
5π
時(shí)，BD2max = 27，此時(shí)3 3 3 3 2 6
BDmax = 3 3 .
故答案為：3 3 .
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查利用正、余弦定理求邊長(zhǎng)的最大值問(wèn)題，屬于難題.
解決此類(lèi)題型的思路就是，要善于在圖形中選設(shè)與已知條件和所求結(jié)論都相關(guān)的角，借助于
正、余弦定理將所求量表示成關(guān)于角的三角函數(shù)式，最后根據(jù)三角函數(shù)的值域求得最值.
四、解答題
10．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選
取 A，B，C，D 四個(gè)點(diǎn)，使得 AD = 2 2BC ，測(cè)得 BAD = 30o ， BCD = 45o ，
ADC =120o．
(1)若 B，D 選在兩個(gè)村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且BD =10 2km，CD = 20km，
求 A，C 兩點(diǎn)間距離；
(2)求 tan BDC 的值．
【答案】(1) 20 7km
(2) 4 + 3
13
【分析】（1）由正弦定理證得△BCD為等腰直角三角形，再由余弦定理求 AC 即可；
（2）設(shè) BDC = q o，利用正弦定理可得 sin 30 +q = 2sinq ，展開(kāi)化簡(jiǎn)即可得其正切值.
CD BD
【詳解】（1）在△BCD中，由正弦定理得 =sin CBD sin ， BCD
20 10 2
即 = ，
sin CBD sin 45o
解得 sin CBD =1，所以 CBD = 90o ，
則△BCD為等腰直角三角形，所以BC =10 2 ，
則 AD = 2 2BC = 40．
在VACD中，由余弦定理得
AC 2 = AD2 + CD2 - 2AD CD cos ADC =1600 + 400 2 1- 40 20 -

÷ = 2800，
è 2
故 AC = 20 7 ．
故 A，C 兩點(diǎn)間距離為 20 7km ．
（2）設(shè) BDC = q ，則由題意可知， ADB =120o -q ， ABD = 30o +q ．
BD AD
在△ABD
AD o
中，由正弦定理得 = ，即 = 2sin 30 +qsin BAD sin ABD BD ，
BC BD BC
在△BCD中，由正弦定理得 = ，即 = 2 sinq ，
sin BDC sin BCD BD
AD 2 2BC 2sin 30o q 2 2 2 sinq 1 3又 = ，所以 + = cosq + sinq = 2sinq ，2 2
tanq 4 + 3 tan BDC 4 + 3解得 = ，所以 = ．
13 13
11．（2024·四川·三模）三角形 ABC 中，角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，且
1+ sin 2B + cos 2B 3
= .
sin 2B + 2sin2 B 3
(1)求 B ；
(2)若 AC 邊上的中線長(zhǎng)為 2，求b 的最小值.
π
【答案】(1) B = 3
(2) 4 3
3
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式化簡(jiǎn)即可得解；
（2）利用向量化及余弦定理結(jié)合基本不等式即可得解.
1 1+ sin 2B + cos 2B 3【詳解】（ ）由 = ，
sin 2B + 2sin2 B 3
2sin B cos B + 2cos2 B 3 2cos B sin B + cos B 3
得 = ，即 = ，
2sin B cos B + 2sin2 B 3 2sin B cos B + sin B 3
cos B 3
所以 = ，即 tan B = 3 ，
sin B 3
又B 0, π π，所以 B = 3 ；
（2）設(shè) AC 的中點(diǎn)為D，
uuur uur uuur
則 2BD = BA + BC ，
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
平方得 4BD = BA + BC + 2BA × BC ，即16 = a2 + c2 + ac 3ac，
16 4 3
所以 ac ，當(dāng)且僅當(dāng)
3 a = c =
時(shí)取等號(hào)，
3
2 2 2 π 2
由余弦定理得b = a + c - 2ac cos = a + c2 - ac =16 - 2ac ，
3
16 2 16 16
因?yàn)?ac ，所以b 16 - 2 = ，
3 3 3
4 3 4 3
即b 的最小值為 ，當(dāng)且僅當(dāng) a = c = 時(shí)取等號(hào).
3 3
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2022·北京通州·一模）太陽(yáng)高度角是太陽(yáng)光線與地面所成的角（即太陽(yáng)在當(dāng)?shù)氐难?br/>角）．設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為q ，d 為此時(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度，j 為當(dāng)?shù)鼐暥戎担?br/>那么這三個(gè)量滿(mǎn)足q = 90° - j -d ．通州區(qū)某校學(xué)生科技社團(tuán)嘗試估測(cè)通州區(qū)當(dāng)?shù)鼐暥戎担╦
取正值），選擇春分當(dāng)日（d = 0°）測(cè)算正午太陽(yáng)高度角．他們將長(zhǎng)度為 1 米的木桿垂直立
于地面，測(cè)量木桿的影長(zhǎng)．分為甲、乙、丙、丁四個(gè)小組在同一場(chǎng)地進(jìn)行，測(cè)量結(jié)果如下：
組別 甲組 乙組 丙組 丁組
木桿影長(zhǎng)度（米） 0.82 0.80 0.83 0.85
則四組中對(duì)通州區(qū)當(dāng)?shù)鼐暥裙罍y(cè)值最大的一組是（ ）
A．甲組 B．乙組 C．丙組 D．丁組
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到j(luò) = 90° -q ，設(shè)木桿的影長(zhǎng)為m ，得到 tanq
1
= ，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)
m
得到當(dāng)m = 0.85時(shí)，q 取得最小值，此時(shí)j 求得最大值，即可求解.
【詳解】如圖所示，地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為q ，d 為此時(shí)太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度，j 為當(dāng)
地緯度值，那么這三個(gè)量滿(mǎn)足q = 90° - j -d ，
當(dāng)d = 0°且j 為正值，可得q = 90° -j ，即j = 90° -q ，
1
設(shè)木桿的影長(zhǎng)為m ，可得 tanq = ，
m
因?yàn)榧住⒁摇⒈⒍∷膫€(gè)小組在同一場(chǎng)地進(jìn)行，得到影長(zhǎng)分別為0.82,0.80,0.83,0.85，
所以當(dāng)m = 0.85時(shí)，q 取得最小值，此時(shí)j 求得最大值，
所以四組中對(duì)通州區(qū)當(dāng)?shù)鼐暥裙罍y(cè)值最大的一組是丁組.
故選：D.
2．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽(yáng)市南明區(qū)甲秀路，是該市的標(biāo)志性
建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來(lái)閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復(fù)
原名、現(xiàn)存建筑是宣統(tǒng)元年（1909 年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進(jìn).某研究
小組將測(cè)量甲秀樓最高點(diǎn)離地面的高度，選取了與該樓底 B 在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)
C 與D，現(xiàn)測(cè)得 BCD = 23°， CDB = 30°，CD = 11.2m ，在C 點(diǎn)測(cè)得甲秀樓頂端A 的仰角
為72.4°，則甲秀樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)： tan 72.4° 3.15， sin53° 0.8）（ ）
A． 20m B． 21m C．22m D． 23m
【答案】C
【分析】利用正弦定理在△DBC 中取得CB的長(zhǎng)，根據(jù)正切函數(shù)的定，可得答案.
【詳解】由題意可知， BCD = 23°， CDB = 30°，所以 CBD = 127°，又因CD = 11.2m ，
CD CB 11.2 CB
由正弦定理 = ，可得： = ，解得CB = 7m ，
sin CBD sin CDB sin127° sin 30°
又因?yàn)?ACB = 72.4°，所以 AB = BC tan ACB = 7 3.15 = 22.05 22m ，
故選:C.
3．（2023·陜西寶雞·二模）在銳角△ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，且 c = 4，
A π=
3 ，則 a 的取值范圍為（ ）
A． 0,4 3 B． 2,4 3
C． 2 3,4 3 D． 0,2 3
【答案】C
【分析】確定C 角范圍后，由正弦定理表示出 a，再利用三角函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．
【詳解】因?yàn)閂ABC 是銳角三角形，所以 A + C
π C π π C π> ， > ，所以 < < ，
2 6 6 2
sin C (1 ,1)，
2
a c 4sin π
由正弦定理得 = ，所以 a c sin Asin A sin C = = 3
2 3
= (2 3,4 3)．
sin C sin C sin C
故選：C．
4．（2024·吉林·二模）如圖，位于某海域A 處的甲船獲悉，在其北偏東 60o 方向C 處有一艘
漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救. 甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東15o，且與甲船相距
2nmile的B處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需
要航行的距離為（ ）
A． 2nmile B． 2nmile
C． 2 2nmile D．3 2nmile
【答案】B
【分析】由圖可知，由正弦定理即可求出 BC 的值.
【詳解】由題意知， AB = 2 ， sin BAC = 45o ,sin BCA = 30o
AB BC
由正弦定理得， =
sin BCA sin BAC
BC AB 2所以 = sin BAC = sin 45o = 2 .
sin BCA sin 30o
故乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為 2nmile .
故選：B.
5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）湖南省衡陽(yáng)市的來(lái)雁塔，始建于明萬(wàn)歷十九年（1591 年），因鴻
雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983 年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為
測(cè)量來(lái)雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇 C 點(diǎn)和一建筑物 DE 的樓頂 E 為測(cè)量觀
測(cè)點(diǎn)，已知點(diǎn) A 為塔底， A,C , D 在水平地面上，來(lái)雁塔 AB 和建筑物 DE 均垂直于地面（如
圖所示）.測(cè)得CD =18m, AD =15m，在 C 點(diǎn)處測(cè)得 E 點(diǎn)的仰角為 30°，在 E 點(diǎn)處測(cè)得 B 點(diǎn)
的仰角為 60°，則來(lái)雁塔 AB 的高度約為（ ）（ 3 1.732，精確到0.1m）
A．35.0m B．36.4m C．38.4m D．39.6m
【答案】B
【分析】現(xiàn)從四棱錐C - ABED 中提取兩個(gè)直角三角形VECD 和△BEF 的邊角關(guān)系，進(jìn)而分
別解出兩個(gè)三角形邊DE, BF 的長(zhǎng)，求出來(lái)雁塔 AB 的高度即可.
【詳解】過(guò)點(diǎn)E 作EF ^ AB，交 AB 于點(diǎn)F ，
在直角三角形VECD 中，因?yàn)?ECD = 30°，
所以DE = CD × tan DCE =18 tan30° = 6 3 ，
在直角三角形△BEF 中，因?yàn)?BEF = 60°，
所以BF = EF × tan FEB =15 tan60° =15 3 ，
則 AB = BF + AF = BF + ED =15 3 + 6 3 = 21 3 36.4 m .
故選：B.
6．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，若
a sin A + C = bsin A，b =1，則VABC 面積的最大值為（ ）
2
A 3 B 3 C 3 D 1． ． ． ．
2 4 6 2
【答案】B
B π
【分析】利用正弦定理邊化角可化簡(jiǎn)已知等式求得 sin ，進(jìn)而得到 B = 3 ；利用余弦定理和2
基本不等式可求得 ac 1，代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.
A + C
【詳解】由正弦定理得： sin Asin = sin B sin A，
2
\sin Asin π - B = sin Acos B B B= 2sin cos sin A，
2 2 2 2
Q A 0, π B 0, π ， B ÷，\sin A 0， cos 0，\sin
B 1
= ，
2 è 2 2 2 2
B π
\ = ，解得： B
π
=
3 ；2 6
由余弦定理得：b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = a2 + c2 - ac =1，
Qa2 + c2 2ac（當(dāng)且僅當(dāng) a = c 時(shí)取等號(hào)），\1 2ac - ac = ac，
\ SVABC
1 3 3
= 1 = .
max 2 2 4
故選：B.
7．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，已知
c 6, sinB 6a - b= = ，則VABC 面積的最大值為（
sinA b ）
A 19
21
． B． C．12 D．15.2 2
【答案】C
【分析】先利用正弦定理化邊為角，可得出 ab的關(guān)系，再利用余弦定理求出 cosC ，進(jìn)而可
得出 sin C ，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
sinB 6a - b b 6a - b
【詳解】由 = ，由正弦定理得 = ，即 b - 2a b + 3a = 0，
sinA b a b
所以b = 2a，
a2 + b2 - c2 5a2 - 36
由余弦定理得 cosC = =
2ab 4a2
，
所以 2
2
5a2 - 36 4 2
sin C = 1- cos C = 1 -9a + 360a -1296- = ，
16a4 4a2
4 2
2
所以 S 1 absin C -9a + 360a
2 -1296 -9 a - 20 + 2304
VABC = = a
2 × 2 =
，
2 4a 4
當(dāng) a2 = 20，即a = 2 5 時(shí)， SVABC 取得最大值12 .
故選：C.
8．（2024· · VABC 3BC全國(guó) 模擬預(yù)測(cè)）已知 外接圓的半徑為 ，D為邊BC 的中點(diǎn)，
3
AD 1= ， BAC 為鈍角，則 2AC - AB的取值范圍是（
2 ）
A． -2,2 B． -2,2 C． -1,2 D． -1,2
【答案】C
【分析】解法一：利用正弦定理和外接圓的半徑可求得 BAC =120o ，設(shè) BAE = a ，利用
正弦定理將 AC ， AB 用角a 的三角函數(shù)表示出來(lái)，再利用三角恒等變換及三角函數(shù)的值域
即可求解；
uuur uuur uuur
解法二：利用正弦定理和外接圓的半徑可求得 BAC =120o ，利用向量 2AD = AB + AC 可得
1 = b2 + c2 - bc，令 t = 2AC - AB = 2b - c，再由關(guān)于b 的方程3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0至少有 1 個(gè)
正根，利用判別式可得其范圍；
解法三：利用正弦定理和外接圓的半徑可求得 BAC =120o ，在VABC 和△ABD 中，分別利
用余弦定理可得1 = b2 + c2 - bc，令 t = 2AC - AB = 2b - c，再由關(guān)于b 的方程
3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0至少有 1 個(gè)正根，利用判別式可得其范圍.
【詳解】解法一：
2 3BC BC 3
根據(jù)正弦定理得 = ，所以 sin BAC = ，
3 sin BAC 2
因?yàn)? BAC 為鈍角，所以 BAC =120o ；
延長(zhǎng) AD 到E ，使得 AD = DE ，連接BE,CE ，如下圖所示：
易知四邊形 ABEC 為平行四邊形，且 ABE =180o - BAC = 60o ．
BE AB AE
設(shè) BAE = a ，則 BEA =120o -a ，所以 = =sina sin 120o -a sin60o ，
2 1
即 AC AB 2= = 2 = ，
sina sin 120o -a sin60o 3
AC 2 sina AB 2所以 = ， = sin 120° -a ，
3 3
2AC AB 4所以 - = sina
2
- sin 120o -a = 3sina - cosa = 2sin a - 30o ，
3 3
o o o o o 1因?yàn)? < a <120 ，所以-30 < a - 30 < 90 ，所以- < sin a - 30o <1，2
所以-1 < 2sin a - 30o < 2，
可得 2AC - AB的取值范圍是 -1,2 ．
解法二：
2 3BC BC
根據(jù)正弦定理得 = ，
3 sin BAC
所以 sin BAC 3= ，因?yàn)? BAC 為鈍角，所以 BAC =120o
2
uuur uuur uuur
因?yàn)镈為邊BC
uuur uuur uuur uuur uuur
的中點(diǎn)，所以 2AD = AB + AC 2 2 2，可得 4AD = AB + 2AB × AC + AC ，
設(shè) AC = b, AB = c ，則1 = b2 + c2 - bc ①．
設(shè) t = 2AC - AB = 2b - c，則 c = 2b - t ，
將其代入①得3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0 ②，
所以關(guān)于b 的方程3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0至少有 1 個(gè)正根；
Δ = 9t 2 -12 t 2當(dāng) -1 = 0，即 t = ±2，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) t = 2時(shí)，方程②即b2 - 2b +1 = 0，解得b =1，則 c = 2b - t = 0，不合題意；
當(dāng) t = -2時(shí)，方程②即b2 + 2b +1 = 0 ，解得b = -1，不符合題意；
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
t
所以 í t 或 í < 0 ，解得-1 < t < 2，
0 2 2 t
2 -1< 0
故 2AC - AB的取值范圍是 -1,2 ．
解法三：
2 3BC BC
根據(jù)正弦定理得 = ，
3 sin BAC
所以 sin BAC 3= ，因?yàn)? BAC 為鈍角，所以 BAC =120o ；
2
設(shè)BC = a, AC = b, AB = c，根據(jù)余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccos BAC = b2 + c2 + bc ，
a2 + c2 - b2
在VABC 中易知 cosB = ，
2ac
2
a 2
÷ + c
2 - AD2 a c2 1+ -
又在△ABD 中可得 cosB = è 2 a =
4 4 ，
2 c ac
2
a2 2 1
2
所以可得 a + c2 - b2 + c -4 4 ，即1 = 2b2 + 2c2 - a2= ，
2ac ac
將 a2 = b2 + c2 + bc 代入，得1 = b2 + c2 - bc ①，
設(shè) t = 2AC - AB = 2b - c，則 c = 2b - t ，
將其代入①得3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0 ②，
所以關(guān)于b 的方程3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0至少有 1 個(gè)正根；
當(dāng)Δ = 9t 2 -12 t 2 -1 = 0，即 t = ±2，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) t = 2時(shí)，方程②即b2 - 2b +1 = 0，解得b =1，則 c = 2b - t = 0，不合題意；
當(dāng) t = -2時(shí)，方程②即b2 + 2b +1 = 0 ，解得b = -1，不符合題意；
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
t
所以 í t 或 í < 0 ，解得-1 < t < 2，
0 2
2
t 2 -1< 0
故 2AC - AB的取值范圍是 -1,2 ．
故選：C
【點(diǎn)睛】解三角形中的最值或范圍問(wèn)題主要有兩種解決方法：
一是將所求量表示為與邊有關(guān)的形式，利用函數(shù)知識(shí)或基本不等式求得最值或范圍；
二是將所求量用三角形的某一個(gè)角的三角函數(shù)表示，結(jié)合角的范圍確定最值或范圍．
二、多選題
9．（2024·甘肅蘭州·一模）某學(xué)校開(kāi)展測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，學(xué)生需通過(guò)建立模型、
實(shí)地測(cè)量，迭代優(yōu)化完成此次活動(dòng)．在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度
的方案有
A．在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)A ， B ，分別測(cè)量旗桿頂端的仰角a ，b ，再測(cè)量A ， B
兩點(diǎn)間距離
B．在旗桿對(duì)面找到某建筑物（低于旗桿），測(cè)得建筑物的高度為 h ，在該建筑物底部和
頂部分別測(cè)得旗桿頂端的仰角a 和b
C．在地面上任意尋找一點(diǎn)A ，測(cè)量旗桿頂端的仰角a ，再測(cè)量A 到旗桿底部的距離
D．在旗桿的正前方A 處測(cè)得旗桿頂端的仰角a ，正對(duì)旗桿前行 5m 到達(dá) B 處，再次測(cè)量
旗桿頂端的仰角b
【答案】BCD
【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的描述，結(jié)合正余定理的邊角關(guān)系判斷所測(cè)數(shù)據(jù)是否可以確定旗桿高度
即可.
【詳解】對(duì)于 A：如果A ， B 兩點(diǎn)與旗桿底部不在一條直線上時(shí)，就不能測(cè)量出旗桿的高度，
故 A 不正確．
對(duì)于 B：如下圖， △ABD 中由正弦定理求 AD ，則旗桿的高CD = h + AD sin b ，故 B 正確；
對(duì)于 C：在直角三角形△ADC 直接利用銳角三角函數(shù)求出旗桿的高DC = AC tana ，故 C 正
確；
對(duì)于 D：如下圖，△ABD 中由正弦定理求 AD ，則旗桿的高CD = AD sina ，故 D 正確；
故選：BCD.
10．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）已知 VABC 三個(gè)內(nèi)角A 、 B 、C 的對(duì)應(yīng)邊分別為 a、b 、 c，
A π且 = 3 ，
a = 4 .則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．VABC 面積的最大值為 4 3
B．bcosC + ccosB = 2 2
uuur uuur
C．BA × BC 的最大值為8
16 3
+
3
cosB 1
D． 的取值范圍為 - , -2 - , +
cosC ֏ 2
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式、余弦定理可求得bc的最大值，結(jié)合三角形的面積公式可判斷 A
選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷 B 選項(xiàng)；利用正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、三角恒等變換
uuur uuur 16 3 π
化簡(jiǎn)BA × BC = sin 2B + ÷ + 8，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷 C 選項(xiàng)；利用三角恒3 è 3
cosB 3
等變換可得出 = tan C 1- ，結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷 D 選項(xiàng).
cosC 2 2
π
【詳解】對(duì)于 A 選項(xiàng)，因?yàn)?A = ， a = 43 ，由余弦定理和基本不等式可得
16 = a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = b2 + c2 - bc 2bc - bc = bc，即bc 16，
當(dāng)且僅當(dāng)b = c = 4時(shí)，等號(hào)成立，
S 1 bc sin A 1 bc sin π 3 3故 ABC = = = bc 16 = 4 3，△ 2 2 3 4 4
所以，VABC 的面積的最大值為 4 3 ，A 對(duì)；
2 2 2 2 2 2
對(duì)于 B 選項(xiàng)，bcosC + ccosB = b a + b - c c a + c - b× + × = a = 4，B 錯(cuò)；
2ab 2ac
c a 4 8 3
= = =
對(duì)于 C 8 3選項(xiàng)，由正弦定理可得 sin C sin A 3 3 ，則 c = sin C ，3
2
A π
2π π π 5π
因?yàn)?= 3 ，則
0 < B < ，所以， < 2B + < ，
3 3 3 3
uuur uuur
由平面向量數(shù)量積的定義可得BA × BC = ca cos B 32 3= 4c cos B = sin C cos B
3
32 3 π = sin B + ÷cos B
32 3 1
= sin B
3
+ cos B ÷÷cos B3 è 3 3 è 2 2
16 3
= sin B cos B +16cos2 B 8 3= sin 2B + 8 cos 2B +1
3 3
8 3
= sin 2B + 8cos 2B + 8 16 3= sin 2B
π
+
16 3
3 3 3 ÷
+ 8 8 + ，
è 3
π π π
當(dāng)且僅當(dāng) 2B + = 時(shí)，即當(dāng)B = 時(shí)，等號(hào)成立，
3 2 12
uuur uuur 16 3
故BA × BC 的最大值為8 + ，C 對(duì)；
3
π 2π
對(duì)于 D 選項(xiàng)，因?yàn)?A = 3 ，則
0 < C < ，
3
π π 2π
由題意可知， cosC 0 ，所以，C 0, 2 ÷
U , ÷，
è è 2 3
cos 2π - C 1 3
cosB 3 ÷ - cosC + sin C= è 3 1 ，= 2 2 = tan C -
cosC cosC cosC 2 2
π cosB 3 1 1
當(dāng) 0 < C < tan C > 02 時(shí)， ，則 = tan C - > - ；cosC 2 2 2
π 2π
當(dāng) < C < tan C 3 cosB 3 tan C 1 3 1時(shí)， < - ，則 = - < - - = -2 .2 3 cosC 2 2 2 2
cosB 1
綜上所述， 的取值范圍為 - , -2 - , +
cosC 2 ÷
，D 對(duì).
è
故選：ACD.
11．（2024·貴州黔南·二模）已知銳角 VABC 的三個(gè)內(nèi)角A ， B ，C 的對(duì)邊分別是 a，b ， c，
且VABC 3的面積為 a2 + c2 - b2 .則下列說(shuō)法正確的是（ ）4
π
A． B = 3
π π
B．A 的取值范圍為 ,
è 6 2 ÷
C．若b = 3 ，則VABC 的外接圓的半徑為 2
3 3 3 3
D．若 a = 3，則VABC 的面積的取值范圍為 ,8 2 ÷÷è
【答案】ABD
【分析】對(duì) A：借助面積公式與余弦定理計(jì)算即可得；對(duì) B：借助銳角三角形定義與三角形
內(nèi)角和計(jì)算即可得；對(duì) C：借助正弦定理計(jì)算即可得；對(duì) D：借助正弦定理，結(jié)合面積公式
將面積用單一變量A 表示出來(lái)，結(jié)合A 的范圍即可得解.
1 3
【詳解】對(duì) A：由題意可得 ac sin B = a2 + c2 - b2 ，由余弦定理可得2 4
a2 + c2 - b2 = 2ac cos B ，
1
即有 ac sin B 3= 2ac cos B 3= ac cos B ，即 sin B = 3 cos B ，
2 4 2

由B 0,
π π
2 ÷
，故 tan B = 3 ，即 B = 3 ，故 A 正確；è
A 0, π對(duì) B：則

，C = π - A
2 π π π
- B = π - A 0, ，解得 A
, ，故 B 正確；
è 2 ÷ 3 è 2 ÷ ÷ è 6 2
2R b 3= = = 2
對(duì) C：由正弦定理可得 sin B 3 ，即R =1，故 C 錯(cuò)誤；
2
D a 3 S 1 ac sin B 1 3c 3 3c對(duì) ：若 = ，則 = = = ，
2 2 2 4
a c
= c a sin C 3 sin C由正弦定理可得 ，即sin A sin C = × =
，
sin A sin A
sin A
π
+ 1 3
即 S 3c 3 3 sin C 3 3= = = × è 3
÷ sin A + cos A
3 3= × 2 2
4 4 sin A 4 sin A 4 sin A
3 3 9
= + ，
8 8 tan A

由 A
π π 3 3 3 3 3
,

÷，則 tan A ,+ ÷÷，故 S , ÷÷，故 D 正確.è 6 2 è 3 è 8 2
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D 選項(xiàng)關(guān)鍵點(diǎn)在于借助正弦定理，結(jié)合面積公式將面積用單一變量A
表示出來(lái)，結(jié)合A 的范圍即可得解.
三、填空題
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別是 a，b，
c，且 2a - b cosC = c cos B,a = 2，則VABC 的面積 S 的取值范圍為 ．
3
【答案】 , 2 32 ÷÷è
【分析】利用正弦定理解三角形，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求三角形的面積的取值范圍.
【詳解】由題意及正弦定理，得 2sin AcosC = sin B cosC + sin C cos B = sin B + C ．
因?yàn)?A + B + C = π，所以 2sin AcosC = sin A．
π 1
因?yàn)?A 0, 2 ÷
，所以 sin A > 0，所以 cosC = ．
è 2
因?yàn)镃
0, π π ÷，所以C = ，
è 2 3
a b 2sin 2π
é π ù
= - A÷ 2sin êπ - A + ÷ú 2sin
A π+
由正弦定理 ，得 ÷ ，
sin A sin B b 3= è 3 = è = è 3
sin A sin A sin A
3 sin A π +

所以 1 ÷S = ab ×sin C = è 3 3 3 ，= +
2 sin A 2 2 tan A
ì
0 < A
π
< ,
因?yàn)閂ABC
2 π π
是銳角三角形，所以 í < A <
2π π
解得 6 2 ，
0 < - A < ,
3 2
tan A 3 3 3 3
3
所以 > ，所以0 < < ，從而 S ,2 3 ÷ ．
3 2 tan A 2 è 2
13．（2024·上海金山·二模）某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段
BC 、CD 是救生棧道的一部分，其中 BC = 300m，CD = 800m， B 在 A 的北偏東 30°方向，
C 在A 的正北方向，D在A 的北偏西80°方向，且 B = 90°．若救生艇在A 處載上遇險(xiǎn)游客
需要盡快抵達(dá)救生棧道B - C - D ，則最短距離為 m．(結(jié)果精確到 1 m)
【答案】 475
【分析】先在VABC 中求出 AC，再利用正弦定理，在△ADC 中求出 sin D ，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到△ACE
中求解即可.
【詳解】解：作 AE ^ CD 交于 E，由題意可得如圖：
B = 90o , CAB = 30o , BC = 300m，
AB BC 300= = = 300 3m
所以 tan 30o 3 ，
3
AC BC= = 600m，
sin CAB
在△ADC 中，由正弦定理可得：
CD AC o
= sin D 3sin80= ，
sin ACD sin D 4
o
所以 cos 3sin80 EAD = 0.735，
4
所以 sin EAD 0.68，
cos CAE = cos(80o - EAD) 0.17 0.735 + 0.98 0.68 = 0.79135，
在直角△ACE中， AE = AC ×cos CAE AE = 600 0.79135 475，
故答案為：475.
14．（2024·福建莆田·二模）如圖，點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為 1 的正六邊形 ABCDEF 的中心， l是過(guò)點(diǎn)O
的任一直線，將此正六邊形沿著 l折疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值
為 ．
【答案】6 3 - 9
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)性，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形面積最大值問(wèn)題，結(jié)合基
本不等式求出最值即可.
【詳解】
如圖，由對(duì)稱(chēng)性可知，折疊后的圖形與另外一半不完全重合時(shí)比完全重合時(shí)面積大，
1
此時(shí)，折疊后面積為正六邊形面積的 2 與VPMN 面積的 3 倍的和.
由正六邊形的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)性知，PM + PN + MN =1， MPN =120o ，
在VPMN 中，由余弦定理可得：
MN 2 = 1- PM - PN 2 =PM 2 + PN 2 - 2 × PM × PN cos120o ，
得 2 PM + PN - PM × PN -1 = 0，
由基本不等式可知PM + PN 2 PM × PN ，則0 4 PM × PN - PM × PN -1，
故PM × PN - 4 PM × PN +1 0 ，
2
因0 < PM <1，0 < PN <1，解得PM × PN 2 - 3 = 7 - 4 3 ，
當(dāng)且僅當(dāng)PM = PN = 2 - 3時(shí)等號(hào)成立，
1 3
故 S oVPMN = PM × PN ×sin120 7 - 4 3 ，2 4
S 6 3 3 3又正六邊形的面積 = = ，
4 2
3 1 3 3
所以折疊后的面積最大值為： 7 - 4 3 3+ = 6 3 - 9 .4 2 2
故答案為：6 3 - 9 .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，分析得折疊后所成圖形的面積要取得最大值時(shí)的
狀態(tài)，從而得解.
四、解答題
π
15．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形 ABCD中， DAB = π， B = 6 ，且VABC 的2
外接圓半徑為 4.
(1)若 BC = 4 2 ， AD = 2 2 ，求VACD的面積；
2π
(2)若D = ，求BC - AD 的最大值.
3
【答案】(1)4；
(2) 8 3 .
3
【分析】（1）在三角形 ABC 中，根據(jù)正弦定理求得 AC, CAB，再在三角形 ADC 中，利用
三角形面積公式即可求得結(jié)果；
（2）設(shè) DAC = q ，在三角形 ADC, ABC 中分別用正弦定理表示BC, AD ，從而建立BC - AD
關(guān)于q 的三角函數(shù)，進(jìn)而求三角函數(shù)的最大值，即可求得結(jié)果.
π AC
【詳解】（1）因?yàn)?B = ，VABC6 的外接圓半徑為 4，所以 = 8，解得 AC = 4 .sin B
BC 4 2
在VABC 中， BC = 4 2 ，則 = = 8 2，解得 sin CAB = .
sin CAB sin CAB 2
又 CAB
0, π π ÷ ，所以 CAB = ；
è 2 4
π π
在VACD中， AC = 4， DAC = - CAB = ， AD = 2 2 ，
2 4
S 1 2所以 DACD = 4 2 2 = 4 .2 2
π
（2）設(shè) DAC = q ，q 0, 3 ÷ .è
D 2π π又 = ，所以 ACD = -q .
3 3
π π
因?yàn)?DAB = ，所以 CAB = -q .
2 2
AC AD
在△DAC 中， AC = 4，由正弦定理得 = ，
sin D sin ACD
4 AD
=
即 3 sin π q ，解得 AD
8 3 sin π= -q
8 3 3 cosq 1÷ = - sinq ÷
2
-
3 ÷ 3 3 3 2 2
÷
è è è
4cosq 4 3= - sinq .
3
在VABC
AC BC
中， AC = 4，由正弦定理得 = ，
sin B sin CAB
4 BC
1 = π即 sin π q ，解得BC = 8sin

-q

÷ = 8cosq- ，
2 ÷è 2 è
2

BC AD 4 cosq 3

- = + sinq 8 3 sin q π 所以 3 ÷÷
=
3
+ ÷ .
è è 3
π π π 2π
又q 0, q + ,
è 3 ÷
，所以 ，
3 3 3 ֏
π π π π
當(dāng)且僅當(dāng)q + = q = sin
q + ，即 時(shí)， ÷取得最大值 1，3 2 6 è 3
8 3
所以BC - AD 的最大值為 .
3
16．（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）汾陽(yáng)文峰塔建于明末清初，位于山西省汾陽(yáng)市城區(qū)以東 2
公里的建昌村，該塔共十三層，雄偉挺拔，高度位于中國(guó)磚結(jié)構(gòu)古塔之首.如圖，某測(cè)繪小
組為了測(cè)量汾陽(yáng)文峰塔的實(shí)際高度 AB，選取了與塔底 B 在同一水平面內(nèi)的三個(gè)測(cè)量基點(diǎn) C，
D，E，現(xiàn)測(cè)得 BCD = 30°， BDC = 70°， BED =120°，BE =17.2m，DE =10.32m，在
點(diǎn) C 測(cè)得塔頂 A 的仰角為62° .參考數(shù)據(jù)：取 tan 62° =1.88， sin 70° = 0.94，
144.9616 =12.04 .
(1)求BD；
(2)求塔高 AB （結(jié)果精確到 1m）.
【答案】(1) 24.08m
(2)85m
【分析】（1）在△BDE 中，由余弦定理即可得解；
（2）在△BCD中，先利用正弦定理求出BC ，再解Rt△ABC 即可.
【詳解】（1）在△BDE 中，由余弦定理得BD2 = BE2 + DE2 - 2BE × DE ×cos BED，
則BD = 17.22 +10.322 - 2 17.2 10.32cos120°
= 579.8464 = 2 144.9616 = 2 12.04 = 24.08m；
BCD BD BC（2）在△ 中，由正弦定理得 = ，
sin BCD sin BDC
BC BD ×sin BDC 24.08 0.94= = 1 = 45.27m則 sin BCD ，
2
在Rt△ABC 中， ACB = 62°，
所以 AB = BC × tan ACB = 45.27 1.88 = 85.1076 85m，
故塔高 AB 為 85m.
17．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某班級(jí)學(xué)生用皮尺和測(cè)角儀（測(cè)角儀的高度為 1.7m）測(cè)
量重慶瞰勝樓的高度，測(cè)角儀底部 A 和瞰勝樓樓底 O 在同一水平線上，從測(cè)角儀頂點(diǎn) C 處
測(cè)得樓頂 M 的仰角， MCE =16.5°（點(diǎn) E 在線段 MO 上）．他沿線段 AO 向樓前進(jìn) 100m 到
達(dá) B 點(diǎn)，此時(shí)從測(cè)角儀頂點(diǎn) D 處測(cè)得樓頂 M 的仰角 MDE = 48.5°，樓尖 MN 的視角
MDN = 3.5°（N 是樓尖底部，在線段 MO 上）．
(1)求樓高 MO 和樓尖 MN；
(2)若測(cè)角儀底在線段 AO 上的 F 處時(shí)，測(cè)角儀頂 G 測(cè)得樓尖 MN 的視角最大，求此時(shí)測(cè)角
儀底到樓底的距離 FO．
sin16.5°sin48.5° 2
參考數(shù)據(jù)： ， tan16.5
8
° ， tan48.5
8
° ， 40 35 37.4,
sin32° 5 27 7
【答案】(1) 41.7m ，5m
(2)FO 為 37．4m
100sin 48.5°
【分析】（1）法一：在VCDM 中，由正弦定理得，可得CM = ，進(jìn)而求得ME，
sin 32°
MO，進(jìn)而求得 CE，計(jì)算可求得樓離 MO 和樓尖 MN；
CE ME ME法二：利用 = ，DE = ，可求得 ME，進(jìn)而計(jì)算可求得樓離 MO 和
tan MCE tan MDE
樓尖 MN；
（2）設(shè)FO = x m ， tan
40
MGE = ， tan NGE
35
= ，進(jìn)而可得
x x
40 35
-
tan MGN = tan MGE - NGE = x x40 35 ，利用基本不等式可求得樓尖 MN 的視角最大1+ ×
x x
時(shí) x 的值．
【詳解】（1）法一： MCE =16.5°， MDE = 48.5°，∴ DMC = 32°．
CD sin CDM
在VCDM 中，由正弦定理得，CM = ，
sin DMC
100sin 180° - 48.5°
又CD =100m ∴ CM 100sin 48.5°， = = ．
sin 32° sin 32°
ME CM sin MCE 100sin 48.5°sin16.5°∴ = = = 40m ，
sin 32°
∴ MO = ME + EO = 40m +1.7m = 41.7m．
CE ME 40 40= = = =135
tan MCE tan16.5° 8 （m）．
27
∴ DE = CE - CD = 35m．
∵ NDE = MDE - MDN = 45°，∴ NE = DE = 35m ，MN = ME - NE = 5m ．
法二：CE
ME ME
= ，DE = ，
tan MCE tan MDE
∴ CE DE
ME ME
- = - =100，
tan MCE tan MDE
ME 27 7 即 - ÷ =100，∴ ME = 40m ，
è 8 8
∴ MO = ME + EO = 40m +1.7m = 41.7m．
CE ME 40 40= = = =135
tan MCE tan16.5° 8 m．
27
∴ DE = CE - CD = 35m．
∵ NDE = MDE - MDN = 45°，∴ NE = DE = 35m ，MN = ME - NE = 5m ．
（2）設(shè)FO = x m ， tan MGE
40 tan NGE 35 = ， = ，
x x
∴ tan
tan MGE - tan NGE
MGN = tan MGE - NGE =
1+ tan MGE × tan NGE
40 35
-
x x 5 5 5=
1 40 35
=
x 40 35
=
+ × + 2 x 40 35 2 40
，
35
x x x × x
x 40 35當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 x 37.4 時(shí)，等號(hào)成立．
x
∴測(cè)角儀底到樓底的距離 FO 為 37．4m 處時(shí)，測(cè)得樓尖 MN 的視角最大．
18．（2024·四川德陽(yáng)·二模）VABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，已知
sinB = 2 3cos2 A + C .
2
(1)求 B ；
(2)若VABC 為銳角三角形，且 c =1，求VABC 面積的取值范圍.
π
【答案】(1)
3
3 3
(2) ,8 2 ÷÷è
B 3
【分析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)已知等式，可得 tan = ，即可
2 3
求得答案；
（2）利用正弦定理求出 a 的表達(dá)式，并結(jié)合恒等變換公式化簡(jiǎn)，利用 VABC 為銳角三角形，
求出角 C 的范圍，即可求得 a 的取值范圍，再利用三角形面積公式，即可求得答案.
2 A + C
【詳解】（1）因?yàn)閂ABC 中， sinB = 2 3cos ，即
2
2sin B cos B 2 3 cos2 π - B 2 3 sin2 B= = ，
2 2 2 2
而0 < B < π,\sin
B B B
> 0，故 cos = 3 sin ，
2 2 2
B π
故 tan B 3= ，又0 < B < π,\0 < < ，
2 3 2 2
B π π
則 = ,\B = ；
2 6 3
（2）由（1 1 3）以及題設(shè)可得 S△ABC = ac sin B = a；2 4
c sin 2π - C c ÷ sin
2π cosC 2π- cos sin C
由正弦定理得 a c sin A
÷
= = è 3 = è 3 3
sin C sin C sin C
3 cosC 1+ sin C
= 2 2 3 1= + ，
sin C 2 tan C 2
因?yàn)閂ABC π π為銳角三角形， 0 < A < 2 ，
0 < C <
2 ，
0 2π π則 < - C < ,
π C π\(zhòng) < < ，
3 2 6 2
tan C 3 , 0 1 3 1 3 1則 > \ < < ，則 < + < 2，
3 tan C 2 2 tan C 2
1
< a < 2 3即 ，則 < S 3VABC < ，2 8 2
3 3
即VABC 面積的取值范圍為 ,8 2 ÷÷ .è
19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記銳角三角形 ABC 的內(nèi)角 A ， B ，C 的對(duì)邊分別為 a，b ， c，
已知b cos A = 3 - a cos B ， 2a sin C = 3 .
(1)求A .
(2)求VABC 面積的取值范圍.
π
【答案】(1) A = ；
6
3 3
(2) ,
3
÷÷ .
è 8 2
【分析】（1）方法一：由余弦定理角化邊求解；方法二：由正弦定理邊化角求解.
2 c sin B 3 sin A + Cb 3 3（ ）利用正弦定理得 = = = + ，結(jié)合VABC 為銳角三角形，
sin C sin C 2 tan C 2
π π 3
求得 < C < ，進(jìn)而求得 < b < 2，即可求解.
3 2 2
1 b
2 + c2 - a2 a2 + c2 - b2
【詳解】（ ）方法一：由余弦定理，得b = 3 - a ，解得 c = 3 .
2bc 2ac
a sin C 1
又 2a sin C = 3，所以由正弦定理，得 sin A = = . c 2
又V
π
ABC 為銳角三角形，所以 A = .
6
方法二：由題意知，bcos A = 2a sin C - a cos B .
由正弦定理得 sin B cos A = 2sin Asin C - sin Acos B ，
所以 sin B cos A + cos B sin A = 2sin Asin C ，
所以 sin B + A = 2sin Asin C ，即 sin C = 2sin Asin C ；
sin C 0 sin A 1 A 0,
π π
又因?yàn)? ，所以 = ，又因?yàn)? ÷ ，所以 A = .2 è 2 6
2 c sin B 3 sin A + C（ ）由正弦定理，得b = =
sin C sin C
3 sin AcosC + 3 cos Asin C 3 3
= = + ；
sin C 2 tan C 2
ì π
0 < C <
因?yàn)閂ABC
2
為銳角三角形，所以 í
0 B 5π π
，
< = - C <
6 2
π π 3
解得 < C < ，所以 tanC > 3，所以 < b < 2 .
3 2 2
c 3 S 1 bc sin A 3 3 3 3因?yàn)?= ，所以 △ABC = = b，所以 < S < .2 4 8 △ABC 2
3 3 3
故VABC 面積的取值范圍為 ,8 2 ÷÷ .è
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（23-24 高三上·安徽銅陵·階段練習(xí)）鎮(zhèn)國(guó)寺塔亦稱(chēng)西塔，是一座方形七層樓閣式磚塔，
頂端塔剎為一青銅鑄葫蘆，葫蘆表面刻有“風(fēng)調(diào)雨順 國(guó)泰民安”八個(gè)字，是全國(guó)重點(diǎn)文物保
護(hù)單位 國(guó)家 3A 級(jí)旅游景區(qū)，小胡同學(xué)想知道鎮(zhèn)國(guó)寺塔的高度 MN，他在塔的正北方向找到
一座建筑物 AB，高為 7.5 m，在地面上點(diǎn) C 處（B，C，N 在同一水平面上且三點(diǎn)共線）測(cè)
得建筑物頂部 A，鎮(zhèn)國(guó)寺塔頂部 M 的仰角分別為 15°和 60°，在 A 處測(cè)得鎮(zhèn)國(guó)寺塔頂部 M 的
仰角為 30°，則鎮(zhèn)國(guó)寺塔的高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)： 3 1.73）
A．31.42m B．33.26m C．35.48m D．37.52m
【答案】C
6 AB
【分析】由已知，在△ACM 中應(yīng)用正弦定理得MN = ，再由倍角余弦公式求
2 sin15°
sin15°，進(jìn)而求鎮(zhèn)國(guó)寺塔的高度.
【詳解】在△ACM 中 ACM =105°, CAM = 45°，則 AMC = 30°，
AC MC AB
所以 = 3，而 ， AC = ，
sin 30 sin 45 MN = MC° ° 2 sin15°
6 AB 1- cos30° ( 3 -1)2 6 - 2
所以MN = ，又 sin15° = = = ，
2 sin15° 2 8 4
MN 6 7.5 4 15(3+ 3)則 = = 35.48m .
2 6 - 2 2
故選：C
2．（2023·貴州·二模）鏡面反射法是測(cè)量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中．已
知人眼距離地面高度 h =1.5m，某建筑物高 h1 = 4.5m，將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后
退至從鏡中能夠看到建筑物的位置，測(cè)量人與鏡子的距離 a1 =1.2m ，將鏡子后移 a 米，重
復(fù)前面中的操作，則測(cè)量人與鏡子的距離 a2 = 3.2m，則鏡子后移距離 a 為（ ）
A．6m B．5m C．4m D．3m
【答案】A
【分析】設(shè)建筑物底部O到第一次觀察時(shí)鏡面位置 B 之間的距離為 a0，根據(jù)光線反射性質(zhì)列
出關(guān)于 a0 , a, a1, a2 , h, h1 的方程組，求解即可.
【詳解】
如圖：設(shè)建筑物最高點(diǎn)為 A，建筑物底部為O，第一次觀察時(shí)鏡面位置為 B ，第一次觀察時(shí)
人眼睛位置為 C 處，第二次觀察時(shí)鏡面位置為D，
設(shè)O到 B 之間的距離為 a0，
h1 h
由光線反射性質(zhì)得 ABO = CBD ，所以 tan ABO = tan CBD，即 =a ，①0 a1
h1 h
同理可得 =a0 + a a
，②
2
a
①② 0
+ a a
= 2 a a1 ×a兩式相比得 a a ，解得 0
=
0 1 a2 - a
，
1
h
① a 1 a2 - a1 4.5 3.2 -1.2 代入 得 = = = 6m，
h 1.5
故選：A．
3．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，角A 、 B 、C 所對(duì)的邊分別為 a、b 、 c，已知
B = 60o ，b = 4 ，則VABC 面積的最大值為（ ）
A．3 3 B． 4 3 C．5 3 D．6
【答案】B
【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得 ac 的最大值，再利用三角形的面積公式可求
得VABC 面積的最大值.
【詳解】由余弦定理可得16 = b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = a2 + c2 - ac 2ac - ac = ac ，即
ac 16，
1 3 3
當(dāng)且僅當(dāng) a = c = 4 時(shí)，等號(hào)成立，故 SVABC = ac sin B = ac 16 = 4 3 .2 4 4
因此，VABC 面積的最大值為 4 3 .
故選：B.
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC 是銳角三角形，內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a，
b
b，c．若 a2 - b2 = bc ，則 的取值范圍是（ ）a + c
3
A． ,
2
÷÷ B． 2 - 3,1 C．3 2 2 - 3, 2 -1 D． 2 +1, 3 + 2 è
【答案】C
【分析】由余弦定理和正弦定理，結(jié)合正弦和角公式得到 sin B = sin(A - B)，結(jié)合VABC 為
π π b 1
銳角三角形，得到 A = 2B，故 < B < ，再利用正弦定理得到 = ，
6 4 a + c 4cos2 B + 2cos B -1
求出取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)?a2 - b2 = bc ，得 a2 = b2 + bc ．
由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
所以b2 + bc = b2 + c2 - 2bc cos A，即b = c - 2bcos A．
由正弦定理得 sin B = sinC - 2sin B cos A，
因?yàn)镃 = π - (A + B)，則 sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B，
所以 sin B = sin Acos B - cos Asin B ，即 sin B = sin(A - B)．
VABC 0 A π因?yàn)?是銳角三角形，所以 < < ，0
π π π
< B <
2 ，所以
- < A - B < ．
2 2 2
y sin x π , π= - 又 在 2 2 ÷上單調(diào)遞增，所以B = A - B，則 A = 2B．è
因?yàn)閂
π
ABC 是銳角三角形，所以0 < B < ，0 < A = 2B
π
< ，0
π
< C = π - 3B < ，
2 2 2
π π
所以 < B < ，
6 4
b sin B sin B sin B
由正弦定理得 = = =a + c sin A + sin C sin 2B + sin(π - 3B) sin 2B + sin 3B
sin B 1
= =
sin 2B + sin 2B cos B + cos 2B sin B 2cos B + 2cos2 B + 2cos2 B -1
1
= ，
4cos2 B + 2cos B -1
π π 2 3
令 cos B = t ，因?yàn)?< B < ，所以 t , ÷÷．6 4 è 2 2
2 2 3
y = 4t 2 + 2t -1 = 4 t
1 5+ ÷ - 在 t
è 4 4
, ÷÷上單調(diào)遞增，
è 2 2
t 2當(dāng) = 時(shí)， y =1+ 2 3，當(dāng) t = 時(shí)， y = 2 + 3 ，
2 2
b 1 1 , 1 故 = = 2 - 3, 2 -1
a + c 4t 2 + 2t -1 è 2 + 3 1+ 2 ÷
故選：C．
【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)
的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，
常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，
或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.
二、多選題
5．（2022·廣東佛山·一模）在VABC 中，A 、 B 、C 所對(duì)的邊為 a、b 、 c，設(shè)BC 邊上的中
點(diǎn)為M ，VABC 的面積為S ，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A p．若 A = 3 ，則 S = 3 3 B．S 的最大值為3 3
p
C． AM = 3 D．角A 的最小值為
3
【答案】ABC
【分析】利用余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可判斷 A 選項(xiàng)的正誤；利用基本不等式結(jié)合
三角形的面積公式可判斷 B 選項(xiàng)的正誤；利用余弦定理可判斷 C 選項(xiàng)的正誤；利用余弦定
理結(jié)合基本不等式可判斷 D 選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于 A，由余弦定理可得12 = a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = 24 - bc ，得bc =12 ，
S 1故 = bcsin A = 3 32 ，
A 對(duì)；
對(duì)于 B，由基本不等式可得 24 = b2 + c2 2bc，即bc 12，
當(dāng)且僅當(dāng)b = c = 2 3 時(shí)，等號(hào)成立，
b2 + c2 - a2 24 -12 6
由余弦定理可得 cos A = = = ，
2bc 2bc bc
則 S
1
= bc sin A 1= bc 1 1 1- cos2 A = bc 2 - 36 122 - 36 = 3 3 ，B 對(duì)；
2 2 2 2
對(duì)于 C，Q AMB + AMC = p ，則 cos AMB = cos p - AMC = -cos AMC ，
2 2
AM 2 a+ - c2 AM 2 a+ - b2
由余弦定理可得 cos AMB = 4 ， cos AMC = 4 ，
AM × a AM × a
AM 2 a
2 a2
+ - c2 AM 2 + - b2 b2 + c2 a2
所以， 4 = - 4 ，整理可得 AM
2 = - = 9 ，
AM × a AM ×a 2 4
則 AM = 3，C 對(duì)；
b2 + c2D - a
2 12 12 1
對(duì)于 ，由余弦定理可得 cos A = = 2 2 = ，2bc 2bc b + c 2
當(dāng)且僅當(dāng)b = c = 2 3 時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)?A 0,p 且函數(shù) y = cos x在 0,p p上單調(diào)遞減，故0 < A ，D 錯(cuò).
3
故選：ABC.
6．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在VABC 中，三邊長(zhǎng)分別為 a，b，c，且 abc = 2，則下列結(jié)
論正確的是（ ）
A．a(chǎn)2b < 2 + ab2 B．a(chǎn)b + a + b > 2 2
C．a(chǎn) + b2 + c2 4 D．a(chǎn) + b + c 2 2
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意得 ab(a - b) < 2 = abc，結(jié)合邊的關(guān)系即可判斷 A；根據(jù)邊的關(guān)系及基本不
等式即可判斷 BC；用邊長(zhǎng)為1, 2, 2 的三角形的周長(zhǎng)判斷 D
【詳解】對(duì)于 A，a2b < 2 + ab2，即a2b - ab2 < 2，也就是 ab(a - b) < 2 = abc，
另一方面，在VABC 中，ab > 0,a - b < c ，則ab(a - b) < abc成立，故 A 正確；
對(duì)于 B，ab + a + b > ab + c 2 abc = 2 2 ，故 B 正確；
對(duì)于 C，a + b2 + c2 a + 2bc 2 2abc = 4，當(dāng)且僅當(dāng) a = 2b = 2c = 2時(shí)取等號(hào)，故 C 正確；
對(duì)于 D，邊長(zhǎng)為1, 2, 2 的三角形，滿(mǎn)足 abc = 2，但a + b + c = 1+ 2 2 > 2 2 ，故 D 錯(cuò)
誤．
故選：ABC．
三、填空題
7．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某城市有一條公路從正西方向 AO 通過(guò)路口O后轉(zhuǎn)向
西北方向OB，圍繞道路OA,OB打造了一個(gè)半徑為 2km的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)
相切的觀光道MN ，則MN 的最小值為 km．
【答案】 4 2 + 4
2
【分析】在VOMN 中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得MN 2 + 2 ab ，利用正弦定
4
理可得 ab = sinasin 45° -a ，利用三角函數(shù)的有界性建立不等式，即可求解.
【詳解】如圖，設(shè)切點(diǎn)為 P ，連接OP．由題意得 MON =135°，
設(shè)OM = akm,ON = bkm ，
在VOMN 中，
MN 2 = a2 + b2 - 2ab cos135°
= a2 + b2 + 2ab 2 + 2 ab ,
當(dāng)且僅當(dāng) a = b時(shí)取等號(hào)．
設(shè) OMN = a ，則 ONM = 45° -a ，
2 2
所以 a = ,b =sina sin 45° -a ，
4
故 ab = sinasin 45° -a
16 16
=
2sin 2a + 45° - 2 2 - 2
（當(dāng)且僅當(dāng)a = 22.5°時(shí)取等號(hào)），
16 2 + 2
所以MN 2 =16( 2 +1)2 ，
2 - 2
解得MN 4 2 +1 ，所以MN 的最小值為 4 2 + 4 km．
故答案為： 4 2 + 4 .
8．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形 ABCD中，
AB = 2, DA × DC = 6, ABC 2π= , ACB π= ，則四邊形 ABCD的面積的最大值為 ．
3 6
【答案】6
【分析】在VABC 中，利用正弦定理可得 AC = 2 3，進(jìn)而可求得VABC 的面積 S△ABC = 3，
π
在VACD中，由余弦定理可得 ADC ，進(jìn)而可得VACD的面積 S△ACD 3，即可得結(jié)果.2
V AC AB【詳解】在 ABC 中，由正弦定理 = ，可得
sin ABC sin ACB
3
AC AB sin ABC
2
= = 2 = 2 3 ，
sin ACB 1
2
所以VABC 1 1 3的面積 S△ABC = AC × BC sin ACB = 2 3 2 = 3；2 2 2
2 2 2 2
在VACD cos AD + DC - AC 2AD × DC - AC 12 -12中，由余弦定理 ADC = = = 0，
2AD × DC 2AD × DC 12
當(dāng)且僅當(dāng) AD = DC = 6 時(shí)，等號(hào)成立，
π
即 cos ADC 0 ，且 ADC 0, π ，則 ADC 0,
ù
，
è 2 ú
1
所以VACD的面積 S△ACD = AD × DC sin ADC
1
6 1 = 3；
2 2
顯然當(dāng) B、D 位于直線 AC 的兩側(cè)時(shí)，四邊形 ABCD 的面積較大，
此時(shí)四邊形 ABCD的面積 SABCD = S△ABC + S△ACD 3+ 3 = 6 .
所以四邊形 ABCD的面積的最大值為6 .
故答案為：6.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與解三角形有關(guān)的交匯問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)
（1）根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正弦、余弦定理完成邊角互化；
（2）結(jié)合三角恒等變換、三角函數(shù)以及基本不等式分析運(yùn)算．
四、解答題
9．（2024·山西·一模）VABC 中角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c，其面積為S ，且
4S = b2 + c2 - a2 .
(1)求A ；
(2)已知 a = 2 2 ，求S 的取值范圍.
π
【答案】(1) A =
4
(2) 0 < S 2 2 + 2
π
【分析】（1）根據(jù)面積公式以及余弦定理即可求解 tan A =1，進(jìn)而可求解 A = ，
4
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合不等式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)槿切蔚拿娣e為 4S = b2 + c2
1
- a2 = 4 bcsin A
2 ，
b2 + c2 - a2
則 sin A = = cos A，
2bc
所以 tan A =1，又 A (0, π) A
π
，則 = ；
4
2 2 2
2 cos A b + c - a 2（ ）由于 = = ，所以b2 + c2 - 8 = 2bc 2bc - 8，
2bc 2
即 2 - 2 bc 8 bc 8 + 4 2 ，b = c 取等號(hào)，
S 1 bc sin A 1 2 bc 1 2故 = = 8 + 4 2 = 2 2 + 2 ，2 2 2 2 2
故0 < S 2 2 + 2
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在① 2 - sinA cosB -1 = cosAsinB - 2cosBsinC ；②
2a - c cosB = bcosC 兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題．在VABC
中，內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別是 a，b，c ，且______．
(1)求角 B 的大小；
uuur uuur
(2)若點(diǎn)D滿(mǎn)足BD = 2BC ，且線段 AD = 3，求VABC 面積的最大值．
π
【答案】(1) B = 3
(2) 9 3
8
【分析】（1）①由三角恒等變換可得；②由正弦定理和正弦展開(kāi)式可得；
9
（2）由余弦定理和基本不等式求出 ac ，再求出面積最值即可.
2
【詳解】（1）選①，
2cosB -1 = sinAcosB + cosAsinB - 2cosBsinC = sin A + B - 2cosBsinC = 1- 2cosB sinC ，
所以 1+ sinC 2cosB -1 = 0．
1
因?yàn)?+ sinC 0 ，所以 2cosB -1 = 0，即 cosB = ，0 < B < π ，
2
B π所以 = 3 ．
選②．由 2a - c cosB = bcosC 及正弦定理得 sinBcosC = 2sinA - sinC cosB ，
所以 2sinAcosB = sinBcosC + cosBsinC = sin B + C = sinA．
因?yàn)锳 ，B 0, π ，所以 sinA > 0，
所以 cosB
1
= ,0 < B < π ，
2
B π所以 = 3 ．
（2）如圖，
uuur uuur
點(diǎn)D滿(mǎn)足BD = 2BC ，則BC = CD ，故BD = 2a ，又 AD = 3，
AD2 = c2故 + 2a 2 π- 2c ×2a ×cos = c2 + 4a2 - 2ac = 9，
3
2 2 9即 c + 4a - 9 = 2ac 4ac - 9，即 ac ，當(dāng)且僅當(dāng) c = 2a = 3時(shí)，取等號(hào)，2
S 1 9 3 9 3故 VABC = acsinB ，即VABC 面積的最大值為 ．2 8 8
11．（2023·四川達(dá)州·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 所對(duì)的邊分別為 a、b 、 c，
b c a 3a
+ = + .
cosB cosC cosA cosBcosC
(1)求 tan B tan C；
(2)若bc = 3，求VABC 面積S 的最小值.
【答案】(1) 12
(2) 2
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)可得出 2sinBsinC = cosBcosC ，即可
求得 tan B tan C的值；
（2）分析可知 B 、C 均為銳角，利用兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式可得出
tan A - 2 ，求出 sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.
b c a 3a
【詳解】（1）解：Q + = + ，
cosB cosC cosA cosBcosC
\ bcosC + ccosB cosA = a cosBcosC + 3cosA .
由正弦定理得 sinBcosC + cosBsinC cosA = sinA cosBcosC + 3cosA .
\sin B + C cosA = sinA cosBcosC + 3cosA .
因?yàn)? < A < π ，則 sin A > 0，
Q A + B + C = π ， sin B + C = sinA，
則 cosA = -cos B + C = sinBsinC - cosBcosC ，
所以， cos A = cos B cosC + 3cos A，即 2cos A + cos B cosC = 0，
所以， 2 sinBsinC - cosBcosC + cos B cosC = 0，
\2sinBsinC = cosBcosC ，即 tanBtanC
1
= .
2
（2）解：由（1）得 tanBtanC
1
= .
2
ìtan B < 0
若 í Btan C 0，則 、
C 均為鈍角，則B + C > π ，矛盾，
<
所以， tan B > 0， tan C > 0，此時(shí) B 、C 均為銳角，合乎題意，
\ tanA = -tan B + C tanB + tanC= = -2 tanB + tanC -4 tanBtanC = -2 2 ，
tanBtanC -1
當(dāng)且僅當(dāng) tanB 2= tanC = 時(shí)，等號(hào)成立，且A 為鈍角.
2
Q tan A -2 2 ，則 tan π - A 2 2 ，且 π - A為銳角，
ì sin π - A
tan π - A = 2 2
cos π - A
由 ísin2 π - A + cos2 π - A =1 sin π A 2 2 2 2，解得 - ，即 sin A ，

cos π - A > 0
3 3
sin π - A > 0
當(dāng)且僅當(dāng) tanB = tanC 2= 時(shí)，等號(hào)成立，
2
Qbc = 3 S 1 bc sin A 3 sin A 3 2 2，\ = = = 2 .
2 2 2 3
因此，VABC 面積的最小值為 2

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