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第02講 常用邏輯用語
(
考綱導(dǎo)向
小
)
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 充分條件與必要條件 (2) 全稱量詞與存在量詞 2024年Ⅱ卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2020年I卷，5分 （1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題為主，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大. （2）重點(diǎn)是充分、必要條件的判斷和全稱量詞與存在量詞，主要考查充分、必要條件的判斷，全稱量詞命題和存在量詞命題的否定及真假判斷，常與一元二次不等式解法、分式不等式解法、數(shù)列、三角函數(shù)結(jié)合. （3）適當(dāng)關(guān)注集合與充要條件相結(jié)合的解題方法.
(
考試要求
小
)
1、理解充分條件、必要條件、充分必要條件的意義；
2、理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系；
3、理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定；
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
(
考點(diǎn)梳理
小
)
知識(shí)點(diǎn)1:充要條件與必要條件
1、充分條件與必要條件
“若，則”為真命題，是指由推出，記作，即是的 ，是的 .
“若，則”為假命題，那么由推不出，記作，則不是的充分條件，不是的必要條件.
2、充要條件
如果“若，則”和它的逆命題“若則”均是真命題，即既有，又有，記作，則是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為 .
“是的充要條件”,也說成“等價(jià)于”或“當(dāng)且僅當(dāng)”等.
3、充分、必要條件的判斷
關(guān)系 判斷方法 用集合表示的判斷方法
是的充分不必要條件 且 是的真子集
是的必要不充分條件 且 是的真子集
是的充要條件 且
是的既不充分也不必要條件 且
知識(shí)點(diǎn)2:全稱量詞與存在量詞
1、全稱量詞
短語“所有的”，“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做 ，并用符號(hào)“ ”表示.常見的全稱量詞還有“一切”，“每一個(gè)”，“任給”，“所有的”等.
含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.
全稱量詞命題“對(duì)中的任意一個(gè)，有成立”
可用符號(hào)簡(jiǎn)記為:，，讀作“ ”.
2、存在量詞
短語“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”在邏輯中叫做 ，用符號(hào)“ ”表示.
常見的存在量詞還有“有些”，“有一個(gè)”，“對(duì)某個(gè)”，“有的”等.
含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.
存在量詞命題“存在中的元素，使成立”
可用符號(hào)簡(jiǎn)記為:，，讀作“ ”.
知識(shí)點(diǎn)3:命題的否定
1、全稱量詞命題的否定
全稱量詞命題：，，它的否定： .
全稱量詞命題的否定是 .
2、存在量詞命題的否定
存在量詞命題：，，它的否定： .
存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.
(
題型展示
小
)
題型一:充分條件與必要條件的判斷
【例1】設(shè)， ，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1】（2023·全國甲卷）設(shè)甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
題型二:命題的否定
【例2】設(shè)命題，則為
A． B．
C． D．
【變式2】命題“且的否定形式是（ ）
A．且 B．或
C．且 D．或
題型三:命題的真假判斷
【例3】（2020·全國新Ⅰ卷）下列命題為真命題的是（ ）
A．且 B．或
C．， D．，
【變式3】（2024·全國新Ⅱ卷）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
(
考場(chǎng)演練
)
題型1 充分、必要條件
【題1】（2024·全國甲卷）設(shè)向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【題2】（2020全國新Ⅰ卷）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題3】（2024·天津）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題4】（2024·北京）設(shè) ，是向量，則“”是“或”（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題5】（2023·北京）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題6】（2023·天津）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題7】（2023·全國新Ⅰ卷）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【題8】（2022·浙江）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題9】（2022·北京）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【題10】（2021·全國甲卷）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
題型2 全稱量詞與存在量詞
【題11】（2024·全國新Ⅱ卷）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
【題12】（2016·浙江）命題“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
【題13】（2015·浙江）命題“且的否定形式是（ ）
A．且 B．或
C．且 D．或
【題14】（2015·全國）設(shè)命題，則為
A． B．
C． D．
【題15】（2015·湖北）命題“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第02講 常用邏輯用語
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考綱導(dǎo)向
小
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考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 充分條件與必要條件 (2) 全稱量詞與存在量詞 2024年Ⅱ卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2020年I卷，5分 （1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題為主，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大. （2）重點(diǎn)是充分、必要條件的判斷和全稱量詞與存在量詞，主要考查充分、必要條件的判斷，全稱量詞命題和存在量詞命題的否定及真假判斷，常與一元二次不等式解法、分式不等式解法、數(shù)列、三角函數(shù)結(jié)合. （3）適當(dāng)關(guān)注集合與充要條件相結(jié)合的解題方法.
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考試要求
小
)
1、理解充分條件、必要條件、充分必要條件的意義；
2、理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系；
3、理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定；
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考點(diǎn)突破考綱解讀
)
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考點(diǎn)梳理
小
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知識(shí)點(diǎn)1:充要條件與必要條件
1、充分條件與必要條件
“若，則”為真命題，是指由推出，記作，即是的充分條件，是的必要條件.
“若，則”為假命題，那么由推不出，記作，則不是的充分條件，不是的必要條件.
2、充要條件
如果“若，則”和它的逆命題“若則”均是真命題，即既有，又有，記作，則是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件.
“是的充要條件”,也說成“等價(jià)于”或“當(dāng)且僅當(dāng)”等.
3、充分、必要條件的判斷
關(guān)系 判斷方法 用集合表示的判斷方法
是的充分不必要條件 且 是的真子集
是的必要不充分條件 且 是的真子集
是的充要條件 且
是的既不充分也不必要條件 且
知識(shí)點(diǎn)2:全稱量詞與存在量詞
1、全稱量詞
短語“所有的”，“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示.常見的全稱量詞還有“一切”，“每一個(gè)”，“任給”，“所有的”等.
含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.
全稱量詞命題“對(duì)中的任意一個(gè)，有成立”
可用符號(hào)簡(jiǎn)記為:，，讀作“對(duì)任意屬于，有成立”.
2、存在量詞
短語“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”在邏輯中叫做存在量詞，用符號(hào)“”表示.
常見的存在量詞還有“有些”，“有一個(gè)”，“對(duì)某個(gè)”，“有的”等.
含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.
存在量詞命題“存在中的元素，使成立”
可用符號(hào)簡(jiǎn)記為:，，讀作“存在中的元素，使成立”.
知識(shí)點(diǎn)3:命題的否定
1、全稱量詞命題的否定
全稱量詞命題：，，它的否定：，.
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.
2、存在量詞命題的否定
存在量詞命題：，，它的否定：，.
存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.
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題型展示
小
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題型一:充分條件與必要條件的判斷
【例1】設(shè)， ，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
：，即，充分性成立；
：或，即，必要性不成立；
故是的充分不必要條件；答案為A.
【變式1】（2023·全國甲卷）設(shè)甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【解析】
甲乙：當(dāng)時(shí)，例如，但，即不能使成立；
乙甲：當(dāng)時(shí)，，即 .甲是乙的必要不充分條件.答案為B
題型二:命題的否定
【例2】設(shè)命題，則為
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
命題的否命題為，答案為C.
【變式2】命題“且的否定形式是（ ）
A．且 B．或
C．且 D．或
【答案】D
【解析】
由定義，可知命題“且的否定形式是或，答案選D.
題型三:命題的真假判斷
【例3】（2020·全國新Ⅰ卷）下列命題為真命題的是（ ）
A．且 B．或
C．， D．，
【答案】D
【解析】
A選項(xiàng)：因?yàn)椋郧沂羌倜}，A錯(cuò)；
B選項(xiàng)：根據(jù)、，可得B錯(cuò)；
C選項(xiàng)：由余弦函數(shù)性質(zhì)，，C錯(cuò)；
D選項(xiàng)：恒大于等于，D正確，答案為D.
【變式3】（2024·全國新Ⅱ卷）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
【答案】B
【解析】
對(duì)，取，則，故是假命題，是真命題；
對(duì)，取，則，故是真命題，是假命題，
故和都是真命題.答案為B.
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考場(chǎng)演練
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題型1 充分、必要條件
【題1】（2024·全國甲卷）設(shè)向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【答案】C
【解析】
根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示得到方程.
對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，則，解得，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故，所以，即充分性成立，故C正確；
對(duì)D，當(dāng)時(shí)，不滿足，所以不成立，即充分性不成立，故D錯(cuò)誤.
答案為C.
【題2】（2020全國新Ⅰ卷）已知，若集合，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】直接求解法
當(dāng)時(shí)，集合，，可得，滿足充分性，
若，則或，不滿足必要性，則“”是“”的充分不必要條件，答案選A.
【題3】（2024·天津）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，和都當(dāng)且僅當(dāng)，故二者互為充要條件，答案為C.
【題4】（2024·北京）設(shè) ，是向量，則“”是“或”（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
，，即，可等價(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；故“”是“且”的必要不充分條件.答案為B.
【題5】（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】直接求解法
充分性：，且，所以，
，充分性成立；
必要性：，且，
，必要性成立.
故“”是“”的充要條件.答案為C.
【題6】（2023·天津）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
由，則，當(dāng)時(shí)不成立，充分性不成立；
由，則，即，故成立，必要性成立；
是的必要不充分條件.答案為B
【題7】（2023·全國新Ⅰ卷）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】
甲乙：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，
為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
乙甲：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，甲是乙的充要條件，答案為C.
【題8】（2022·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
可得：
當(dāng)時(shí)，，充分性成立；
當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；
則當(dāng)，是的充分不必要條件.答案為A.
【題9】（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).
若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，， “是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；
若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列. “是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.
故 “是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.答案為C.
【題10】（2021·全國甲卷·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【解析】
由題意，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿足，但是不是遞增數(shù)列，甲不是乙的充分條件．
若是遞增數(shù)列，則有成立，若不成立，會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，矛盾，則成立，所以甲是乙的必要條件．答案為B．
題型2 全稱量詞與存在量詞
【題11】（2024·全國新Ⅱ卷）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
【答案】B
【解析】
對(duì)，取，則，故是假命題，是真命題；
對(duì)，取，則，故是真命題，是假命題，
故和都是真命題.答案為B.
【題12】（2016·浙江）命題“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
【答案】D
【解析】
的否定是，的否定是，的否定是．答案選D．
【題13】（2015·浙江）命題“且的否定形式是（ ）
A．且 B．或
C．且 D．或
【答案】D
【解析】
由定義，可知命題“且的否定形式是或，答案選D.
【題14】（2015·全國）設(shè)命題，則為
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
命題的否命題為，答案為C.
【題15】（2015·湖北）命題“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
由定義可知，命題的否定為：，，答案為C.
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