資源簡介

專題 01 集合（八大題型+模擬精練）
目錄：
01 集合的概念
02 元素與集合
03 集合中元素的特性
04 集合的方法、求集合（個數）
05 集合的基本關系
06 Venn 圖
07 集合的基本運算
08 高考壓軸新考法——新定義集合綜合
01 集合的概念
1．（21-22 高一上·廣東廣州·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．與定點 A，B 等距離的點不能構成集合
B．由“title”中的字母構成的集合中元素的個數為 5
C．一個集合中有三個元素 a，b，c，其中 a，b，c 是VABC 的三邊長，則VABC 不可能是等邊三角形
D．高中學生中的游泳能手能構成集合
【答案】C
【分析】根據集合元素的特征判斷可得；
【解析】解：對于 A：與定點 A，B 等距離的點在線段 AB 的中垂線上，故可以組成集合，即 A 錯誤；
對于 B：由集合元素的互異性可知，由“title”中的字母構成的集合中元素的個數為 4，故 B 錯誤；
對于 C：因為集合的元素具有互異性，所以 a，b，c 互不相等，故VABC 不可能是等邊三角形，即 C 正確；
對于 D：游泳能手模棱兩可，不具有確定性，故 D 錯誤；
故選：C
2．（21-22 高一上·江蘇常州·期中）下列四個命題中，其中真命題的個數為（ ）
①與 0 非常接近的全體實數能構成集合；
② -1, (-1)2 表示一個集合；
③空集是任何一個集合的真子集；
④任何一個非空集合至少有兩個子集．
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．3 個
【答案】C
【分析】根據集合定義，空集性質以及非空集合子集個數為2n 即可得結果.
【解析】①與 0 非常接近的全體實數不確定，所以不能構成集合，錯誤；
② -1, (-1)2 = -1,1 ，正確；
③空集是任何非空集合的真子集，錯誤；
④對于非空集合，至少有一個元素，所以子集的個數為 2n 2，正確.
故選：C
3．（（21-22 高一上·河南商城·階段練習）下列命題中正確的是（ ）
① 與 0 表示同一個集合
②由 1，2，3 組成的集合可表示為 1,2,3 或 3,2,1
③方程 (x -1)2 (x - 2) = 0的所有解的集合可表示為 1,1,2
④集合{x∣4 < x < 5}可以用列舉法表示
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都對
【答案】C
【分析】由集合的表示方法判斷①，④；由集合中元素的特點判斷②，③．
【解析】解：對于①，由于“0”是元素，而“ 0 ”表示含 0 元素的集合，而 f 不含任何元素，所以①不正確；
對于②，根據集合中元素的無序性，知②正確；
對于③，根據集合元素的互異性，知③錯誤；
對于④，由于該集合為無限集、且無明顯的規律性，所以不能用列舉法表示，所以④不正確.
綜上可得只有②正確.
故選：C.
4．（21-22 高三上·河北保定·階段練習）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {(3,2)}， N = {(2,3)} B．M = (x, y) x + y =1 ， N = y x + y =1
C．M = {1,2}， N = {(1,2)} D．M = y | y = x2 + 3 ， N = x | y = x - 3
【答案】D
【分析】根據集合的定義，依次分析選項即得.
【解析】對于 A，兩個集合都為點集， (3, 2) 與 (2,3) 是不同點，故 M、N 為不同集合，故 A 錯誤；
對于 B，M 是點集，N 是數集，故 M、N 為不同集合，故 B 錯誤；
對于 C，M 是數集，N 是點集，故 M、N 為不同集合，故 C 錯誤；
2
對于 D，M = y | y = x + 3 = [3,+ ) ， N = x | y = x - 3 = [3, + )，故 M、N 為同一集合，故 D 正確.
故選：D.
ì b ü
5．（2020 高三·全國·專題練習）設 a,b R ，集合{-1, a + b, -a} = í0, ,b ，則 a + b =（a ）
A．1 B．－1
C．0 D．－2
【答案】C
【分析】根據集合相等即可得出答案.
ì b ü
【解析】因為{-1, a + b, -a} = í0, ,b ， a 0，所以 a + b = 0 .經檢驗滿足題意
a
故選：C
【點睛】本題主要考查了由集合相等求參數的值，屬于基礎題.
02 元素與集合
6．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知集合 A = {x | x2 - x = 0}，則 -1與集合A 的關系為（ ）
A．-1 A B．-1 A C．-1 A D．-1 A
【答案】B
【分析】把集合 A 用列舉法表示出來，利用元素和集合是屬于或不屬于的關系，就能判斷選項.
【解析】Q A = {x | x2 - x = 0} = 0,1
\-1 A
故選：B
7．（2024·四川成都·三模）設全集U = 1,2,3,4,5 ，若集合M 滿足 1,4 U M ，則（ ）
A． 4 M B．1 M
C． 2 M D．3 M
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用集合的包含關系及補集的定義判斷即得.
【解析】全集U = 1,2,3,4,5 ，由 1,4 U M ，知1 U M , 4 U M ，則1 M , 4 M ，A 錯誤，B 正確；
不能判斷 2 M ，也不能判斷3 M ，CD 錯誤.
故選：B
8．（23-24 高三下·四川雅安· 2階段練習）若集合 A = -2,1,4,8 ，B = x - y∣x A, y A ，則 B 中元素的最大
值為（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【答案】C
【分析】根據 B 2中元素的特征，只需滿足 xmax - y min 即可得解.
【解析】由題意，
x - y2 = x - y2 = 8 -12 = 7
max max min .
故選：C
9．（2024·貴州貴陽·模擬預測）若集合 A = {x | 2mx - 3 > 0, m R}，其中2 A且1 A，則實數 m 的取值范圍
是（ ）
3 3
A , ù B é
3 , 3 3 3 3 3． ú ． ê ÷ C
é ù
4 2 ．4 2
, ÷ D．
è è 4 2 ê
,
4 2ú
【答案】A
【分析】借助元素與集合的關系計算即可得.
ì2m 2 - 3 > 0 3 m 3【解析】由題意可得 í ，解得 <
2m
.
1- 3 0 4 2
故選：A.
10．（23-24 2 2高三下·重慶大足·階段練習）已知集合 A = x x - 3x - 4 < 0 ，B = x x - ax = 0 ，若 A B 中有
且僅有兩個元素，則實數 a的范圍為（ ）
A． -1,4 B． -1,0 C． 0,4 D． -1,0 U 0,4
【答案】D
【分析】求出集合 B 中元素，代入集合A 即可.
【解析】因為 A B 中有且僅有兩個元素，
則B = x x2 - ax = 0 = 0, a ， a 0，
ì0 - 0 - 4 < 0
所以 í 2 ，解得-1 < a < 4，且 a 0a 3a 4 0 . - - <
故選：D.
11．（23-24 高三上·云南昆明·階段練習）若集合 A = x Z m < x < 4 有 15 個真子集，則實數 m 的取值范圍
為（ ）
A． -1,0 B． -1,0 C． -1,0 D． -1,0
【答案】A
【分析】根據真子集的定義可得集合 A 中有 4 個元素，得解.
【解析】因為集合 A 有 15 個真子集，所以集合 A 中有 4 個元素，所以-1 m < 0 .
故選：A．
03 集合中元素的特性
12．（2024·全國·模擬預測）已知集合 A = 1,16,8a ，B = 1, a4 ，則滿足 AI B = B 的實數 a 的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據集合運算得集合關系，結合集合元素的性質分類討論求解即可.
【解析】依題意，B A，若 a4 = 16 ，解得 a = -2 （ a = 2時不滿足集合的互異性，舍去），
若 a4 = 8a ，解得 a = 0（ a = 2時不滿足集合的互異性，舍去），
綜上所述， a = 0或 a = -2 .
故選：B
ì 8 ü
13．（2024·陜西榆林·二模）設集合 A = íx Z Z , B = {x∣1< x <10}，則 A B 中元素的個數為（x ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
先求出集合A ，再求交集即可.
【解析】
依題意可得 A = -8, -4, -2, -1,1,2,4,8 ，
則 A B = 2,4,8 ，則 A B 中元素的個數為3 .
故選：B.
14．（23-24 高三上·福建泉州·階段練習）若集合 A = x | x -1 2, x N ，B = x | ln x 0 ，則 A B 的元素
的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D． 4
【答案】A
【分析】結合解不等式以及對數函數的單調性，求得集合 A, B，根據集合的交集運算，即可得答案.
【解析】由題意得 A = x | x -1 2, x N = x | -1 x 3, x N = {0,1,2,3}，
B = x | ln x 0 = {x | 0 < x 1}，
故 A B = {1}，即 A B 的元素的個數是 1 個，
故選：A
15．（23-24 高三上·北京大興·期末）設無窮等差數列 a *n 的公差為d ，集合T = ∣t t = sinan , n N .則（ ）
A．T 不可能有無數個元素
B．當且僅當 d = 0 時，T 只有 1 個元素
C．當T 只有 2 1個元素時，這 2 個元素的乘積有可能為 2
2π
D *．當 d = ,k 2,k N 時，T 最多有 k 個元素，且這 k 個元素的和為 0
k
【答案】D
【分析】對于A ，B選項，可取特殊數列驗證即可；對于C 可假設成立，結合圖象推出與已知矛盾；對于
D ，結合正弦函數的周期，即可判斷.
【解析】選項A ，取 an = n ，則 d =1，由 t = sin an ，因為 an 是無窮等差數列，正弦函數是周期為 2π的函
數，所以 t = sin an 在每個周期上的值不相同，故A 錯誤；
選項B，取 an = πn，即 d = π ，則 t = sin an = sin nπ=0 ，只有一個元素，故B錯誤；
選項C ，假設T 只有 2 個元素 t1 ， t2 ，這 2
1
個元素的乘積為 ，如圖可知當 t 等于 t2 1 或 t2 時，顯然 an 不是
等差數列，與已知矛盾，故C 錯誤；
2π
選項D ，當 d = 時,
k
t1 = sin a1 ，
t2 = sin

a
2π
1 + ÷，
è k
t3 = sin

a1 + 2
2π
÷，
è k
L，
tk = sin
é
êa1 + k -1
2π ù
，
k ú
tk +1 = sin
a 2π 1 + k ×

÷ = sin a1 ，L，所以T 最多有 k 個元素，
è k
a d 2π又因為正弦函數的周期為 2π，數列 n 的公差為 = ，k
*
所以 ak k 2,k N 把周期 2π平均分成 k 份，所以 k 個元素的和為 0，故D 正確.
故選: D .
【點睛】方法點睛：本題考查等差數列與正弦函數性質相結合，采用特例法，數形結合的方法判斷.
04 集合的方法、求集合（個數）
16．（2023·北京海淀·模擬預測）設集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，則實數 m=（ ）
A．0 B． -1 C．0 或 -1 D．0 或 1
【答案】C
【分析】根據元素與集合的關系，分別討論 2m -1 = -3和m - 3 = -3兩種情況，求解m 并檢驗集合的互異性，
可得到答案.
【解析】設集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，
Q-3 M ，\2m -1 = -3或m - 3 = -3，
當 2m -1 = -3時，m = -1，此時M = -3, -4 ；
當m - 3 = -3時，m = 0，此時M = -3, -1 ；
所以m = -1或 0 .
故選：C
ì 2 ü
17．（2024·山東聊城·二模）已知集合M = íx - < x 1 , N = x 2x Z ，則M N =（3 ）
A． 0,1 ì 1B． í- , 1 ü ì 1C． - ,1, 1 ü ì 1 1D． - ,0, ,1ü
2 2
í í
2 2 2 2


【答案】D
【分析】由交集的定義求解.
ì 2 ü
【解析】集合M = íx - < x 1 , N = x 2x Z ì 1，則M N = í- ,0, 1 ,1ü .
3 2 2


故選：D
18．（2024· 2山東濟南·二模）已知集合 x | x - a x -1 = 0 的元素之和為 1，則實數 a 所有取值的集合為
（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
【答案】D
【分析】根據集合中元素和為 1，確定一元二次方程的根，即可得出 a的取值集合.
【解析】因為集合 x | x - a2 x -1 = 0 的元素之和為 1，
2
所以一元二次方程 x - a x -1 = 0有等根時，可得 x = a2 =1，即 a = ±1，
當方程有兩不相等實根時， x = a2 = 0，即 a = 0，
綜上，實數 a 所有取值的集合為 0,1,-1 .
故選：D
19．（23-24 高三下·黑龍江·階段練習）已知集合P = 1,2 ，Q = 2,3 ，若M = x x P, x Q ，則M =
（ ）
A． 1 B． 2 C． 1,3 D． 1,2,3
【答案】A
【分析】根據集合M 的定義可得集合M .
【解析】因為集合P = 1,2 ，Q = 2,3 ，則M = x x P, x Q = 1 .
故選：A.
ì kπ
20．（2023·新疆·一模）已知集合 A = ísin k N ,且0 k 4
ü
，則集合A 的元素個數為（4 ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【分析】將 k 的所有可能取值逐個代入計算即可得出集合A ，即可得集合A 的元素個數.
【解析】當 k = 0時， sin
kπ
= sin0 = 0，
4
當 k =1時， sin kπ = sin π 2= ，
4 4 2
sin kπ 2π當 k = 2時， = sin = sin
π
=1，
4 4 2
當 k = 3 kπ時， sin = sin 3π 2= ，
4 4 2
當 k = 4時， sin
kπ
= sin 4π = sinπ = 0，
4 4
ì ü
故 A =
0, 2 ,1 í ，共三個元素.
2
故選：A.
05 集合的基本關系
21．（22-23 高一上·江蘇南京·階段練習）下列關系正確的是（ ）
A．0 B． = 0 C． 0 D． 0
【答案】D
【分析】根據已知條件，結合空集的定義，即可判斷各選項的正誤.
【解析】0 ， 0 ， 0 ， 0 .
故選：D.
ì x -1 ü
22．（2024·全國·模擬預測）設集合M = íx Z < 0 ，則集合 M 的真子集個數為（x ） + 3


A．8 B．7 C．32 D．31
【答案】B
【分析】根據不等式的解法，求得集合M = {-2,-1,0}，結合集合真子集的求法，即可求解.
x -1
【解析】由不等式 < 0，解得-3 < x <1，
x + 3
因為 x Z，所以M = {-2,-1,0}，
所以集合 M 的真子集個數為 23 -1 = 7 .
故選：B．
23．（23-24 高三上·福建龍巖·階段練習）給出下列關系：①高三（22）班的所有高個子同學可以構成一個
集合；② 2；③ 1, -2 x, y∣ y = x - x - 2 ，其中正確的個數為（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用集合的意義判斷①；元素與集合、集合與集合的關系判斷②③.
【解析】對于①，高個子同學的身高沒有界定，即研究的對象不確定，①錯誤；
對于②， ，②正確；
對于③，集合 x, y ∣y = x2 - x - 2 的元素是有序數對，而 1, -2 的元素是兩個單實數，③錯誤，
所以正確命題的個數為 1.
故選：D
π π 1
24．（2024·全國·模擬預測）已知集合 A = {x | sin( x - ) }, B = -1,0,1,2,3 ，則集合 A B 的子集個數為
2 6 2
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根據題意，結合正弦函數的性質，分別 x = -1,0,1,2,3依次代入 f x = sin( π x π- )，確定 x 的取值，
2 6
結合交集的運算和子集的個數的計算方法，即可求解.
x = -1,0,1,2,3 f x sin( π π【解析】根據題意，將 依次代入 = x - )，
2 6
可得 f 1 3 , f 0 1 , f 1 3 1 3- = - = - = , f 2 = , f 3 = - ，
2 2 2 2 2
所以只有 x =1,2時，滿足不等式 f x 1≥ ，
2
所以 AI B = 1,2 ，則集合 A B 的子集個數為 22 = 4 .
故選：B.
25．（2024·四川德陽·三模）已知集合 A = x |1 < x < 2024 ，B = x | x < a ，若 A B ，則實數 a 的取值范圍
是（ ）
A． (2024,+ ) B．[2024, + ) C． (- , 2024] D． (- , 2024)
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用集合的包含關系求解即得.
【解析】集合 A = x |1 < x < 2024 ，B = x | x < a ，又 A B ，則 a 2024，
所以實數 a 的取值范圍是[2024, + ) .
故選：B
26．（2024·全國· 2模擬預測）已知集合 A = x log2x 2 ，B = m ．若 AI B = B ，則m 的取值范圍是（ ）
A． - , 2 B． -2,2
C． - , 2 U 2,+ D． -2,0 U 0,2
【答案】D
【分析】根據對數函數單調性求集合 A，由題意可知B A，即可得結果.
【解析】由題意可得 A = x 0 < x2 22 = -2,0 0,2 ，
因為 AI B = B ，則B A，所以m -2,0 0,2 ．
故選：D．
06 Venn 圖
27．（2024·全國·模擬預測）已知全集U = 1,2,3,4,5,6 ，集合 A = 1,2,3,4 , B = 2,4,6 ，則圖中陰影部分表
示的集合為（ ）
A． 2,4 B． 1,3 C． 1,3,4 D． 2,3,4
【答案】B
【分析】根據 Venn 圖可知圖中陰影部分表示的集合為 A UB ，結合交集與補集運算的概念與運算即可求
解.
【解析】由題意，圖中陰影部分表示的集合為 A UB ，
因為U = 1,2,3,4,5,6 , B = 2,4,6 ，所以 UB = 1,3,5 ，
又 A = 1,2,3,4 ，所以題圖中陰影部分表示的集合為 AI UB = 1,3 .
故選：B．
28．（2024 高三·全國·專題練習）已知全集U = x x > 0 ，集合 A = x 3 < x < 8 ，B = x x -1 > 5 ，則圖中陰
影部分表示的集合為（ ）
A． x 3 < x 6 B． x 3 < x < 6 C． x 6 x < 8 D． x 6 < x < 8
【答案】A
【分析】由題圖可知圖中陰影部分表示的集合為 AI U B，再根據補集和交集的定義即可得解.
【解析】由題圖可知圖中陰影部分表示的集合為 AI U B，
因為U = x x > 0 ， A = x 3 < x < 8 ，B = x x -1 > 5 = x x > 6 ，
所以 U B = x 0 < x 6 ，則 A U B = x 3 < x 6 .
故選：A．
29．（2024·江蘇·一模）已知全集 U 與集合 A，B 的關系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． AI U B B． AU U B C．B U A D． B U U A
【答案】A
【分析】
利用韋恩圖表示的集合運算，直接寫出結果即可.
【解析】
觀察韋恩圖知，陰影部分在集合 A 中，不在集合 B 中，所以所求集合為 AI U B .
故選：A
30．（23-24 高三下·湖南岳陽·開學考試）如圖， I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 個子集，則陰影部分所表示的
集合是（ ）
A． M P S B． M P S C． M P I S D． M P I S
【答案】C
【分析】
直接根據陰影部分的位置得答案.
【解析】圖中陰影部分不在集合S 中，在集合M , P中，
故陰影部分所表示的集合是 M P I S .
故選：C.
二、填空題
31．（2024·全國·模擬預測）已知集合 A = x x2 - 5 0 ，B = x x2 + 4x + 3 > 0 ，則 AI B = .
【答案】 x -1 < x 5
【分析】根據題意解一元二次不等式可求得集合 A, B，再利用交集運算可得答案.
【解析】由題知 A = x x2 - 5 0 = x - 5 x 5 ，
B = x x2 + 4x + 3 > 0 = x | x < -3或 x > -1 ，
于是 A B = x -1 < x 5 .
故答案為： x -1 < x 5
32．（2024·全國· 2 x模擬預測）已知U = R ， A = x y = x + x - 2 ，B = y y = 3 , x R ，則
U A B = ．
【答案】 -2, +
【分析】根據根號下大于等于 0 得到集合A ，再根據指數函數值域得到集合 B ，再結合集合交并補運算即可.
2
【解析】由題意可得 A = x x + x - 2 0 = x x -2或 x 1 = - , -2 1,+ ，
B = y y > 0 = 0,+ ，所以 U A = -2,1 ，所以 U A B = -2, + ．
故答案為： -2, + .
1
33．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知集合M = {x | x2 - 5x + 6 0}， N = {x | cos x < - }，則
2
M N = .
2π
【答案】{x | < x 3}
3
【分析】求出集合 A, B中元素范圍，然后求交集即可.
【解析】M = {x | x2 - 5x + 6 0} = {x | 2 x 3}，
N {x | cos x 1} {x | 2π= < - = + 2kπ 4π< x < + 2kπ,k Z}，
2 3 3
則M N = {x |
2π
< x 3} .
3
2π
故答案為：{x | < x 3}
3
34．（2024·全國·模擬預測）設集合 A = {x | x 3}, B = {x | log2 x + a 1}，若 A B = x -1 x 3 ，則實數 a
的值為 ．
【答案】3
【分析】根據不等式的解法和對數函數的性質，分別求得 A = x -3 x 3 和B = {x | x 2 - a}，再結合
A B = x -1 x 3 ，列出方程，即可求解.
【解析】由不等式 x 3，解得 -3≤ x ≤ 3，所以 A = x -3 x 3 ，
又由 log2 x + a 1，可得 x + a 2，所以 x 2 - a ，所以B = {x | x 2 - a}，
因為 A B = x -1 x 3 ，所以 2 - a = -1，解得 a = 3．
故答案為：3 .
三、解答題
08 高考壓軸新考法——新定義集合綜合
35．（2024·北京西城·二模）已知數列 A : a1, a2 ,L, an ，從A 中選取第 i1項、第 i 2 項、…、第 i k 項 i 1< i 2成數列 B : ai ,a1 i ,L,a2 i k ， B 稱為A 的 k 項子列．記數列 B 的所有項的和為T(B)．當 k 2時，若 B 滿足：對任
意 s {1,2,L,k -1}， is+1 - is = 1，則稱 B 具有性質 P ．規定：A 的任意一項都是A 的 1項子列，且具有性質
P ．
(1)當 n = 4時，比較A 的具有性質 P 的子列個數與不具有性質 P 的子列個數的大小，并說明理由；
(2)已知數列 A :1,2,3,L,n (n≥ 2) ．
n
（?。┙o定正整數 k ，對A 的 k 項子列 B ，求所有T(B)的算術平均值；
2
（ⅱ）若A 有m 個不同的具有性質 P 的子列 B1, B2 ,L, Bm ，滿足："1≤ i < j ≤ m ，Bi 與 Bj 都有公共項，且公共
項構成A 的具有性質 P 的子列，求m 的最大值．
【答案】(1) A 的具有性質 P 的子列個數大于不具有性質 P 的子列個數；理由見解析
k(n +1)
(2) ⅰ ⅱ n
2 + 2n
（ ） ；（ ）
2 4
【分析】（1）根據定義得出 n = 4時，A 共有15個子列，結合性質 P 的內容即可判斷；
（2）（ⅰ）根據 ai ,ai ,L,ai 是A 的 k (
n
k ≤ ) 項子列， n +1- ai ,n +1- ai ,L,n +1- a
n
1 2 k 1 2 i k 也是A 的 k (k ≤ )2 2 項子列，
k k
k
可得T (B ) + T (B ) = ai + (n +1- aj i ) = k(n +1)j ，又A 有Cn 個 k 項子列，即可求出結果；
j=1 j=1
（ⅱ）設 B ( k = 1,2,L,m ) 的首項為 xk ，末項為 yk ，記 xk = max{x }k 0 k ，則可得對任意 j =1,2,L, m，都有
y j ≥ xk ，故共有 xk ( n +1- x )0 0 k 0 種不同的情況，又 xk ( n +1- xk )≥m n0 0 ，所以分 為奇數或者偶數兩種情況進行分
析即可.
【解析】（1）當 n = 4時，A 共有 24 -1 =15個子列，
其中具有性質 P 的子列有 4 + 3 + 2 +1 =10個，
故不具有性質 P 的子列有5個，
所以A 的具有性質 P 的子列個數大于不具有性質 P 的子列個數．
（2）（?。┤?B : ai ,ai ,L,a
n
1 2 i k 是A 的 k (k ≤ )2 項子列，
則 B : n +1- ai ,n +1- ai ,L,n +1- a
n
1 2 i k 也是A 的 k (k ≤ )2 項子列．
k k
所以T (B ) + T (B ) = ai + (n +1- ai ) = k(n +1)j j ．
j=1 j=1
n k
因為給定正整數 k ，A 有Cn 個 k 項子列，2
1 1 k k(n +1)
所以所有T(B)的算術平均值為 k × Cn × k(n +1) =C 2 2 ． n
（ⅱ）設 B ( k = 1,2,L,m ) 的首項為 xk ，末項為 yk ，記 xk = max{xk }k 0 ．
若存在 j =1,2,L, m，使 y j < xk B0 ，則 j 與 Bk 0 沒有公共項，與已知矛盾．
所以，對任意 j =1,2,L, m，都有 y j ≥ xk 0 ．
因為對于 k =1,2,L, m， xk {1,2,L, xk }0 ， yk {xk , xk +1,L ,n}0 0 ，
所以共有 xk ( n +1- x0 k )0 種不同的情況．
因為 B1, B2 ,L, Bm 互不相同，
所以對于不同的子列 Bi , B j ， xi = x j 與 yi = y j 中至多一個等式成立．
所以 xk ( n +1- x )≥m0 k 0 ．
n +1 n +1 n + 3
當 n是奇數時，取 xk {1,2,L, } y { , ,L ,n}2 ， k 2 2 ，
n +1 (n 1 n +1) (n +1)
2
共有 × + - = 個滿足條件的子列．
2 2 4
當 n是偶數時，取 xk {1,2,L,
n } y { n , n， k +1,L ,n}2 2 2 ，
n 2(n n n + 2n共有 × +1- ) = 個滿足條件的子列．
2 2 4
n (n +1)
2 n2 + 2n
綜上， 為奇數時，m 的最大值為 ； n為偶數時，m 的最大值為 ．
4 4
【點睛】方法點睛：（1）閱讀理解能力考查；（2）分類討論思想；（3）數列和集合概念的理解.
36．（2024·云南昆明·一模）若非空集合 A 與 B，存在對應關系 f，使 A 中的每一個元素 a，B 中總有唯一的
元素 b 與它對應，則稱這種對應為從 A 到 B 的映射，記作 f：A→B．
設集合 A = -5, -3, -1,1,3,5 ，B = b1,b ,L,b （ n N*2 n ， n 6 ），且B A．設有序四元數集合
P = {X X = x1, x2 , x3 , x4 , xi A且 i =1,2,3,4}，Q = Y Y = y1, y2 , y3 , y4 ．對于給定的集合 B，定義映射 f：
P→Q，記為Y = f X ，按映射 f，若 xi B（ i =1,2,3,4），則 yi = xi +1；若 xi B（ i =1,2,3,4），則
4
yi = xi．記 SB Y = yi ．
i=1
(1)若B = -5,1 ， X = 1,-3,-3,5 ，寫出 Y，并求 SB Y ；
(2)若B = b1,b2 ,b3 ， X = 1,-3,-3,5 ，求所有 SB Y 的總和；
4
(3)對于給定的 X = x1, x2 , x3 , x4 ，記 xi = m，求所有 SB Y 的總和（用含 m 的式子表示）．
i=1
【答案】(1)Y = 2,-3,-3,5 ， SB Y =1
(2) 40
(3) 63m +128
【分析】（1）根據題意中的新定義，直接計算即可求解；
（2）對 1，-3，5 是否屬于 B 進行分類討論，求出對應所有 Y 中的總個數，進而求解；
（3）由題意，先求出在映射 f 下得到的所有 y1 的和，同理求出在映射 f 下得到的所有 yi （ i = 2,3,4）的和，
即可求解.
【解析】（1）由題意知，Y = f X = f 1, -3, -3,5 = 1+1,-3,-3,5 = 2,-3,-3,5 ，
所以 SB Y = 2 - 3- 3+ 5 =1．
（2）對 1，-3，5 是否屬于 B 進行討論：
① 2含 1 的 B 的個數為C5 =10，此時在映射 f 下， y1 =1+1 = 2；
不含 1 的 B 3的個數為C5 =10，此時在映射 f 下， y1 =1；
所以所有 Y 中 2 的總個數和 1 的總個數均為 10；
② 2含 5 的 B 的個數為C5 =10，此時在映射 f 下， y4 = 5 +1 = 6；
不含 5 的 B 3的個數為C5 =10，此時在映射 f 下， y4 = 5；
所以所有 Y 中 6 的總個數和 5 的總個數均為 10；
② -3 B C2含 的 的個數為 5 =10，此時在映射 f 下， y2 = -3+1 = -2， y3 = -3+1 = -2；
不含-3的 B C3的個數為 5 =10，此時在映射 f 下， y2 =-3， y3 = -3；
所以所有 y 中-2的總個數和-3的總個數均為 20．
綜上，所有 SB Y 的總和為10 1+ 2 + 5 + 6 + 20 -2 - 3 =140 -100 = 40．
（3）對于給定的 X = x1, x2 , x3 , x4 ，考慮x1在映射 f 下的變化．
由于在 A 的所有非空子集中，含有x1的子集 B 共 25個，
所以在映射 f 下x1變為 y1 = x1 +1；
不含x1的子集 B 共 25 -1個，在映射 f 下x1變為 y1 = x1；
所以在映射 f 5 5下得到的所有 y1 的和為 2 x1 +1 + 2 -1 x1 = 63x1 + 32．
5 5
同理，在映射 f 下得到的所有 yi （ i = 2,3,4）的和 2 xi +1 + 2 -1 xi = 63xi + 32．
所以所有 SB Y 的總和為63 x1 + x2 + x3 + x4 + 32 4 = 63m +128．
【點睛】方法點睛：
學生在理解相關新概念、新法則(公式)之后，運用學過的知識，結合已掌握的技能，通過推理、運算等解決
問題.在新環境下研究“舊”性質.主要是將新性質應用在“舊”性質上，創造性地證明更新的性質，落腳點仍然
是集合的有關知識點.
一、單選題
1．（2024·北京海淀·一模）已知全集U = {x | -2 x 2}，集合 A = x -1 x < 2 ，則 U A =（ ）
A． (-2,-1) B．[-2,-1] C． (-2,-1) U{2} D．[-2,-1) U{2}
【答案】D
2．（2024·全國· 2模擬預測）已知集合 A = x 2x - 3x - 5 0 , B = x x2 - 2x -8 0, x N ，則 R A B =
（ ）
ì 5 ü
A． íx -1 < x < B． x -2 x 4 C． 0,1,2 D． 1,2
2
【答案】C
3．（2024· 2全國·二模）已知集合 A = -2, -1,0,1,2 ，集合B = x x - x - a < 0 ，則滿足 AI B = 0,1 的實數 a
的取值范圍是（ ）
A． 0,2 B． 2,6 C． 0,2 D． 0,6
【答案】C
4．（2024·全國·模擬預測）已知集合 A = 1,16,8a ，B = 1, a4 ，則滿足 AI B = B 的實數 a 的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
ì
A x x2 2x 8 , B x 1
x
ü
5．（2024·河南三門峽·模擬預測）已知全集U = R ，集合 = ∣ - > = í ÷ < 3 ，則圖中陰影
è 3
部分表示的集合為（ ）
A．{x∣-1< x 2} B．{x∣-1< x < 2}
C．{x∣-1< x 4} D． x∣-1 x 4
【答案】C
A ìx x +1 ü6．（2024·陜西咸陽·二模）已知集合 = í 0 ，B = x y = log 22 x -16 ，則 A R B = （5 x ） -
A． -1,4 B． -1,4 C． -1,5 D． 4,5
【答案】B
7．（2024·青?！ざ＃┮阎?Z A 表示集合 A 中整數元素的個數，若集合M = x x - 9 2x +1 < 0 ，集合
N = x 2x >1 ，以下選項錯誤的是（ ）
A．Z M = 9 B．M N = x 0 < x < 9
C．Z M I N = 9 D． R N M = x x < 9
【答案】C
8．（2023·全國·模擬預測）已知集合A 和集合 B 滿足： A B 有 2 個元素， A B 有 6 個元素，且集合A 的
元素個數比集合 B 的元素個數多 2 個，則集合A 的所有子集個數比集合 B 的所有子集個數多（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
二、多選題
12
9．（2024· 2遼寧遼陽·一模）已知集合 A = {x | N, x N}, B = {x | x - 6x < 7}，則（ ）
x +1
A． A B = 1,2,3,5 B． A B = -1,7 11
C．12 x - y∣x A, y B D．$a A, y∣y = lg x2 - ax + 9 = R
【答案】BCD
10 2．（2024·甘肅定西·一模）設集合 A = x∣x - x 6 , B = xy∣x A, y A ，則（ ）
A． AI B = B
B．B Z的元素個數為 16
C． A B = B
D． AIZ 的子集個數為 64
【答案】BCD
11．（2024·全國·模擬預測）設 A1， A2，× × × ， An n 4 為集合 S = 1,2, × × ×, n 的 n個不同子集，為了表示這些
ì0, i Aj
子集，作 n行 n列的數陣，規定第 i行第 j 列的數為 aij = í1, i A ．則下列說法中正確的是（ ） j
A．數陣中第一列的數全是 0，當且僅當 A1 =
B．數陣中第 n列的數全是 1，當且僅當 An = S
C．數陣中第 j 行的數字和表明集合 Aj 含有幾個元素
D．數陣中所有的 n2 個數字之和不超過 n2 - n +1
【答案】ABD
三、填空題
12．（2023·河南駐馬店·一模）設全集U = {x N* | x 4}，集合 A = 1,4 , B = 2,4 ，則 U AI B = .
【答案】{1,2,3}
ì 3 - 2x ü
13．（2024·河北滄州·一模）已知全集U = R ，集合 A = íx | 0 ，集合B = x x > 2 ，則
x + 5
AI U B = ．
ì
【答案】 íx | -2
3
x ü
2
14．（2024·上海嘉定·二模）若規定集合E = 0,1,2,LL,n 的子集 a1,a2 ,a3 ,L,am 為E 的第 k 個子集，其中
k = 2a1 + 2a2 + 2a3 +LL+ 2am ，則E 的第 211 個子集是 ．
【答案】{0,1,4,6,7}
四、解答題
ì m
15．（2024·浙江嘉興·二模）已知集合 A = í 2a 0 a a ü∣i 1 < 2 i=1
所有的數從小到大排列成數列 b(t)n ，數列 b(t)n 的前 n項和為 S(t)n .例如： t = 2時，
b(2) 0 1 0 21 = 2 + 2 = 3,b(2)2 = 2 + 2 = 5,b(2)
1 2 0 3
3 = 2 + 2 = 6,b(2)4 = 2 + 2 = 9,L，
S(2)4 = b(2)1 + b(2)2 + b(2)3 + b(2)4 = 23 .
(1)寫出b(2)5 ,b(2)6，并求 S(2)10 ；
(2)判斷 88 是否為數列 b(3)n 中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；
(3)若 2024 是數列 b(t)n 中的某一項b t0 n ，求 t0 ,n0及 S t0 n 的值.0 0
【答案】(1)b(2)5 =10,b(2)6 =12， S(2)10 =124；
(2)88 是數列 b(3)n 的第 30 項；
(3) t0 = 7 ， n0 = 329， S t0 = 427838n0
a a
【分析】當m = 2 時，此時 A = 2 1 + 2 ∣2 0 a1 < a2 ,a1,a2 N ，由集合新定義中的規則代入計算即可；
根據集合新定義，由88 = 26 + 24 + 23 ，再列舉出比它小的項即可；
方法一：由 2024 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 可得 t0 = 7 ，再列舉出比它小的項分別有以下 7 種情況，再求
和；方法二：由 2024 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 可得 t0 = 7 ，求得集合A 中的元素個數和最大的一個，可
得 n0 ，再求和可得 S t0 n .0
【解析】（1）因為m = 2 a，此時 A = 2 1 + 2a∣2 0 a1 < a2 ,a1,a2 N ，
b(2) = 235 + 2
1 =10,b(2)6 = 2
3 + 22 =12，
\S(2) = 4 20 + 2110 + 22 + 23 + 24 =124 .
（2）當m = 3時， A = 2a1 + 2a2 + 2a∣3 0 a1 < a2 < a3 , a1, a2 ,a3 N ，
Q88 = 26 + 24 + 23 ,\88是數列 b(3)n 中的項，
a a a
比它小的項分別有 2 1 + 2 2 + 2 3 ,0 a1 < a2 < a3 5,a1,a2 ,a3 N,C
3
6 個，
2a1 + 2a有 2 + 26 ,0 a1 < a2 3,a1,a2 N,C
2
4 個，
有 2a1 + 24 + 26 ,0 a1 2,a1 N,C
1
3個，
3 2 1
所以比 88 小的項共有C6 +C4 +C3 = 29個，故 88 是數列 b(3)n 的第 30 項.
（3）Q2024 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 ,\2024是數列 b(7)n 中的項，故 t0 = 7 ，
則當m = 7 A = 2a1 + 2a時， 2 +L+ 2a∣7 0 a1 < a2 方法一：比它小的項分別有以下 7 種情況：
① 2a1 + 2a2 +L+ 2a7 ,0 a1 < a2 7
7 N,10 個數字任取 7 個得C10個，
② 2a1 + 2a2 +L+ 2a6 + 210 ,0 a1 < a2 6
，得 9個，
③ 2a1 + 2a2 +L+ 2a5 + 29 + 210 ,0 a1 < a2 5
，得 8個，
④ 2a1 + 2a2 +L+ 2a4 + 28 + 29 + 210 ,0 a 41 < a2 ⑤ 2a1 + 2a2 + 2a3 + 27 + 28 + 29 + 210 ,0 a 31 < a2 < a3 5, a1, a2 ,a3 N，得C6個，
⑥ 2a1 + 2a2 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 ,0 a1 < a2 4,a
2
1,a2 N ，得C5 個，
⑦ 2a1 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 ,0 a1 2,a1 N C
1
，得 3個，
2024 C7 +C6 +C5 +C4所以比 小的項共有 10 9 8 7 +C
3 2 1
6 +C5 +C3 個，
C7 +C6 5其中 10 9 +C8 +C
4
7 +C
3
6 +C
2 +C15 3 = C
3
10 +C
3 +C3 +C3 +C39 8 7 6 +C
3
5 +3
= C3 +C310 9 +C
3
8 +C
3
7 +C
3 +C36 5 +C
4
5 +3-C
4
5
= C411 - 2
= 328
故 2024 是數列 b(7)n 的第 329 項，即 n0 = 329 .
方法二： A = 2a1 + 2a2 +L+ 2a∣7 0 a1 < a2 最大的是 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24，其次為 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 = 2024，
7
所以 2024 是數列 b(7)n 的第C11 -1= 329項，即 n0 = 329 .
C7 = 330 20 C6在總共 項中，含有 的項共有 個，同理 21, 2211 10 ,L210
6
都各有C10個，所以
S(7) 6330 = C10 × 20 + 21 +L+ 210 = 210 2047 = 429870，則
S t0 = S(7)329 = S(7)330 - b(7)330 = 429870 - 2032 = 427838n .0
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于解讀集合A 的定義計算，并聯想到88 = 26 + 24 + 23 和
2024 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 輔助思考.專題 01 集合（八大題型+模擬精練）
目錄：
01 集合的概念
02 元素與集合
03 集合中元素的特性
04 集合的方法、求集合（個數）
05 集合的基本關系
06 Venn 圖
07 集合的基本運算
08 高考壓軸新考法——新定義集合綜合
01 集合的概念
1．（21-22 高一上·廣東廣州·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．與定點 A，B 等距離的點不能構成集合
B．由“title”中的字母構成的集合中元素的個數為 5
C．一個集合中有三個元素 a，b，c，其中 a，b，c 是VABC 的三邊長，則VABC 不可能是等邊三角形
D．高中學生中的游泳能手能構成集合
2．（21-22 高一上·江蘇常州·期中）下列四個命題中，其中真命題的個數為（ ）
①與 0 非常接近的全體實數能構成集合；
② -1, (-1)2 表示一個集合；
③空集是任何一個集合的真子集；
④任何一個非空集合至少有兩個子集．
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．3 個
3．（（21-22 高一上·河南商城·階段練習）下列命題中正確的是（ ）
① 與 0 表示同一個集合
②由 1，2，3 組成的集合可表示為 1,2,3 或 3,2,1
③方程 (x -1)2 (x - 2) = 0的所有解的集合可表示為 1,1,2
④集合{x∣4 < x < 5}可以用列舉法表示
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都對
4．（21-22 高三上·河北保定·階段練習）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {(3,2)}， N = {(2,3)} B．M = (x, y) x + y =1 ， N = y x + y =1
C．M = {1,2}， N = {(1,2)} D．M = y | y = x2 + 3 ， N = x | y = x - 3
5．（2020 高三·全國·專題練習）設 a,b R ，集合{-1, a + b,
b
-a} = ì0, ,büí ，則 a + b =（ ）
a
A．1 B．－1
C．0 D．－2
02 元素與集合
6．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知集合 A = {x | x2 - x = 0}，則 -1與集合A 的關系為（ ）
A．-1 A B．-1 A C．-1 A D．-1 A
7．（2024·四川成都·三模）設全集U = 1,2,3,4,5 ，若集合M 滿足 1,4 U M ，則（ ）
A． 4 M B．1 M
C． 2 M D．3 M
8．（23-24 2高三下·四川雅安·階段練習）若集合 A = -2,1,4,8 ，B = x - y∣x A, y A ，則 B 中元素的最大
值為（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
9．（2024·貴州貴陽·模擬預測）若集合 A = {x | 2mx - 3 > 0, m R}，其中2 A且1 A，則實數 m 的取值范圍
是（ ）
3 3 3A ù é． , ú B． ê ,
3 3
÷ C． ,
3
D é
3 3ù
÷ ． ,
è 4 2 4 2 è 4 2 ê4 2ú
10．（23-24 高三下·重慶大足·階段練習）已知集合 A = x x2 - 3x - 4 < 0 2，B = x x - ax = 0 ，若 A B 中有
且僅有兩個元素，則實數 a的范圍為（ ）
A． -1,4 B． -1,0 C． 0,4 D． -1,0 U 0,4
11．（23-24 高三上·云南昆明·階段練習）若集合 A = x Z m < x < 4 有 15 個真子集，則實數 m 的取值范圍
為（ ）
A． -1,0 B． -1,0 C． -1,0 D． -1,0
03 集合中元素的特性
12．（2024·全國·模擬預測）已知集合 A = 1,16,8a ，B = 1, a4 ，則滿足 AI B = B 的實數 a 的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
ì 8 ü
13．（2024·陜西榆林·二模）設集合 A = íx Z Z , B = {x∣1< x <10}，則 A B 中元素的個數為（x ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（23-24 高三上·福建泉州·階段練習）若集合 A = x | x -1 2, x N ，B = x | ln x 0 ，則 A B 的元素
的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D． 4
15．（23-24 *高三上·北京大興·期末）設無窮等差數列 an 的公差為d ，集合T = ∣t t = sinan , n N .則（ ）
A．T 不可能有無數個元素
B．當且僅當 d = 0 時，T 只有 1 個元素
C 1．當T 只有 2 個元素時，這 2 個元素的乘積有可能為 2
d 2πD．當 = ,k 2,k N* 時，T 最多有 k 個元素，且這 k 個元素的和為 0
k
04 集合的方法、求集合（個數）
16．（2023·北京海淀·模擬預測）設集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，則實數 m=（ ）
A．0 B． -1 C．0 或 -1 D．0 或 1
M ìx 2 x 1ü17．（2024·山東聊城·二模）已知集合 = í - < , N = x 2x Z ，則M N =（3 ）
0,1 ì 1- , 1 ü ì 1A． B． í C． í- ,1, 1 ü ì 1 1 D． í- ,0, ,1ü
2 2 2 2 2 2
18．（2024· 2山東濟南·二模）已知集合 x | x - a x -1 = 0 的元素之和為 1，則實數 a 所有取值的集合為
（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
19．（23-24 高三下·黑龍江·階段練習）已知集合P = 1,2 ，Q = 2,3 ，若M = x x P, x Q ，則M =
（ ）
A． 1 B． 2 C． 1,3 D． 1,2,3
A ìsin kπ= k N , 0 k 4ü20．（2023·新疆·一模）已知集合 í 且4 ，則集合
A 的元素個數為（ ）

A．3 B．2 C．4 D．5
05 集合的基本關系
21．（22-23 高一上·江蘇南京·階段練習）下列關系正確的是（ ）
A．0 B． = 0 C． 0 D． 0
M ì22．（2024·全國·模擬預測）設集合 = íx Z
x -1 ü
< 0 ，則集合 M 的真子集個數為（ ）
x + 3
A．8 B．7 C．32 D．31
23．（23-24 高三上·福建龍巖·階段練習）給出下列關系：①高三（22）班的所有高個子同學可以構成一個
集合；② ；③ 1, -2 x, y∣ y = x2 - x - 2 ，其中正確的個數為（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
π π 1
24．（2024·全國·模擬預測）已知集合 A = {x | sin( x - ) }, B = -1,0,1,2,3 ，則集合 A B 的子集個數為
2 6 2
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
25．（2024·四川德陽·三模）已知集合 A = x |1 < x < 2024 ，B = x | x < a ，若 A B ，則實數 a 的取值范圍
是（ ）
A． (2024,+ ) B．[2024, + ) C． (- , 2024] D． (- , 2024)
26．（2024·全國· 2模擬預測）已知集合 A = x log2x 2 ，B = m ．若 AI B = B ，則m 的取值范圍是（ ）
A． - , 2 B． -2,2
C． - , 2 U 2,+ D． -2,0 U 0,2
06 Venn 圖
27．（2024·全國·模擬預測）已知全集U = 1,2,3,4,5,6 ，集合 A = 1,2,3,4 , B = 2,4,6 ，則圖中陰影部分表
示的集合為（ ）
A． 2,4 B． 1,3 C． 1,3,4 D． 2,3,4
28．（2024 高三·全國·專題練習）已知全集U = x x > 0 ，集合 A = x 3 < x < 8 ，B = x x -1 > 5 ，則圖中陰
影部分表示的集合為（ ）
A． x 3 < x 6 B． x 3 < x < 6 C． x 6 x < 8 D． x 6 < x < 8
29．（2024·江蘇·一模）已知全集 U 與集合 A，B 的關系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． AI U B B． AU U B C．B U A D． B U U A
30．（23-24 高三下·湖南岳陽·開學考試）如圖， I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 個子集，則陰影部分所表示的
集合是（ ）
A． M P S B． M P S C． M P I S D． M P I S
二、填空題
07 集合的基本運算
31．（2024· 2全國·模擬預測）已知集合 A = x x - 5 0 ，B = x x2 + 4x + 3 > 0 ，則 AI B = .
32．（2024· · U = R A = x y = x2全國 模擬預測）已知 ， + x - 2 ，B = y y = 3x , x R ，則
U A B = ．
2 N {x | cos x 133．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知集合M = {x | x - 5x + 6 0}， = < - }，則
2
M N = .
34．（2024·全國·模擬預測）設集合 A = {x | x 3}, B = {x | log2 x + a 1}，若 A B = x -1 x 3 ，則實數 a
的值為 ．
三、解答題
08 高考壓軸新考法——新定義集合綜合
35．（2024·北京西城·二模）已知數列 A : a1, a2 , , an ，從A 中選取第 i1項、第 i 2 項、…、第 i k 項 i 1< i 2成數列 B : ai ,ai , ,a1 2 i k ， B 稱為A 的 k 項子列．記數列 B 的所有項的和為T(B)．當 k 2時，若 B 滿足：對任
意 s {1,2,L,k -1}， is+1 - is = 1，則稱 B 具有性質 P ．規定：A 的任意一項都是A 的 1項子列，且具有性質
P ．
(1)當 n = 4時，比較A 的具有性質 P 的子列個數與不具有性質 P 的子列個數的大小，并說明理由；
(2)已知數列 A :1,2,3, ,n (n≥ 2) ．
n
（?。┙o定正整數 k ，對A 的 k 項子列 B ，求所有T(B)的算術平均值；
2
（ⅱ）若A 有m 個不同的具有性質 P 的子列 B1, B2 , , Bm ，滿足："1≤ i < j ≤ m ，Bi 與 Bj 都有公共項，且公共
項構成A 的具有性質 P 的子列，求m 的最大值．
36．（2024·云南昆明·一模）若非空集合 A 與 B，存在對應關系 f，使 A 中的每一個元素 a，B 中總有唯一的
元素 b 與它對應，則稱這種對應為從 A 到 B 的映射，記作 f：A→B．
設集合 A = -5, -3, -1,1,3,5 ，B = b1,b2 ,L,bn （ n N* ， n 6 ），且B A．設有序四元數集合
P = {X X = x1, x2 , x3 , x4 , xi A且 i =1,2,3,4}，Q = Y Y = y1, y2 , y3 , y4 ．對于給定的集合 B，定義映射 f：
P→Q，記為Y = f X ，按映射 f，若 xi B（ i =1,2,3,4），則 yi = xi +1；若 xi B（ i =1,2,3,4），則
4
yi = xi．記 SB Y = yi ．
i=1
(1)若B = -5,1 ， X = 1,-3,-3,5 ，寫出 Y，并求 SB Y ；
(2)若B = b1,b2 ,b3 ， X = 1,-3,-3,5 ，求所有 SB Y 的總和；
4
(3)對于給定的 X = x1, x2 , x3 , x4 ，記 xi = m，求所有 SB Y 的總和（用含 m 的式子表示）．
i=1
一、單選題
1．（2024·北京海淀·一模）已知全集U = {x | -2 x 2}，集合 A = x -1 x < 2 ，則 U A =（ ）
A． (-2,-1) B．[-2,-1] C． (-2,-1) U{2} D．[-2,-1) U{2}
2 2 2．（2024·全國·模擬預測）已知集合 A = x 2x - 3x - 5 0 , B = x x - 2x -8 0, x N ，則 R A B =
（ ）
ìx 5 üA． í -1 < x < B． x -2 x 4 C． 0,1,2 D． 1,2
2
3．（2024·全國·二模）已知集合 A = -2, -1,0,1,2 ，集合B = x x2 - x - a < 0 ，則滿足 AI B = 0,1 的實數 a
的取值范圍是（ ）
A． 0,2 B． 2,6 C． 0,2 D． 0,6
4．（2024·全國·模擬預測）已知集合 A = 1,16,8a B = 1, a4， ，則滿足 AI B = B 的實數 a 的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
x
U R A = x x2 - 2x > 8 , B =
ì 1 ü
5．（2024·河南三門峽·模擬預測）已知全集 = ，集合 ∣ íx ÷ < 33
，則圖中陰影
è
部分表示的集合為（ ）
A．{x∣-1< x 2} B．{x∣-1< x < 2}
C．{x∣-1< x 4} D． x∣-1 x 4
ì x +1 ü
6．（2024· · A = x 0 2陜西咸陽 二模）已知集合 í ，B = x y = log2 x -16 ，則 A R B = （5 x ） -
A． -1,4 B． -1,4 C． -1,5 D． 4,5
7．（2024·青?！ざ＃┮阎?Z A 表示集合 A 中整數元素的個數，若集合M = x x - 9 2x +1 < 0 ，集合
N = x 2x >1 ，以下選項錯誤的是（ ）
A．Z M = 9 B．M N = x 0 < x < 9
C．Z M I N = 9 D． R N M = x x < 9
8．（2023·全國·模擬預測）已知集合A 和集合 B 滿足： A B 有 2 個元素， A B 有 6 個元素，且集合A 的
元素個數比集合 B 的元素個數多 2 個，則集合A 的所有子集個數比集合 B 的所有子集個數多（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
二、多選題
12
9 2．（2024·遼寧遼陽·一模）已知集合 A = {x | N, x N}, B = {x | x - 6x < 7}，則（ ）
x +1
A． A B = 1,2,3,5 B． A B = -1,7 11
C．12 x - y∣x A, y B D．$a A, y∣y = lg x2 - ax + 9 = R
10．（2024· 2甘肅定西·一模）設集合 A = x∣x - x 6 , B = xy∣x A, y A ，則（ ）
A． AI B = B
B．B Z的元素個數為 16
C． A B = B
D． AIZ 的子集個數為 64
11．（2024·全國·模擬預測）設 A1， A2，× × × ， An n 4 為集合 S = 1,2, × × ×, n 的 n個不同子集，為了表示這些
ì0, i A
子集，作 n行 n列的數陣，規定第 i行第 j 列的數為 a = jij í1, i A ．則下列說法中正確的是（ ） j
A．數陣中第一列的數全是 0，當且僅當 A1 =
B．數陣中第 n列的數全是 1，當且僅當 An = S
C．數陣中第 j 行的數字和表明集合 Aj 含有幾個元素
D．數陣中所有的 n2 個數字之和不超過 n2 - n +1
三、填空題
12．（2023·河南駐馬店·一模）設全集U = {x N* | x 4}，集合 A = 1,4 , B = 2,4 ，則 U AI B = .
ì 3 - 2x ü
13．（2024·河北滄州·一模）已知全集U = R ，集合 A = íx | 0 ，集合B = x x > 2 ，則
x + 5
AI U B = ．
14．（2024·上海嘉定·二模）若規定集合E = 0,1,2,LL,n 的子集 a1,a2 ,a3 ,L,am 為E 的第 k 個子集，其中
k = 2a1 + 2a2 + 2a3 +LL+ 2am ，則E 的第 211 個子集是 ．
四、解答題
ì m
15 a．（2024·浙江嘉興·二模）已知集合 A = í 2∣i 0 a1 < a2 i=1
所有的數從小到大排列成數列 b(t)n ，數列 b(t)n 的前 n項和為 S(t)n .例如： t = 2時，
b(2) = 201 + 2
1 = 3,b(2)2 = 2
0 + 22 = 5,b(2) 1 2 0 33 = 2 + 2 = 6,b(2)4 = 2 + 2 = 9,L，
S(2)4 = b(2)1 + b(2)2 + b(2)3 + b(2)4 = 23 .
(1)寫出b(2)5 ,b(2)6，并求 S(2)10 ；
(2)判斷 88 是否為數列 b(3)n 中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；
(3)若 2024 是數列 b(t)n 中的某一項b t0 n ，求 t0 ,n0及 S t0 0 n 的值.0專題 01 集合
目錄
01 思維導圖
02 知識清單
03 核心素養分析
04 方法歸納
1．集合的有關概念
(1)集合元素的三個特性：
確定性、無序性、互異性
(2)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．
(3)元素與集合的兩種關系：屬于，記為∈；不屬于，記為 .
(4)五個特定的集合及其關系圖：
N*或 N＋表示正整數集，N 表示自然數集，Z 表示整數集，Q 表示有理數集，R 表示實數集．
名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N N*或 N＋ Z Q R
2．集合間的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合 A，B，如果集合 A 中任意一個元素都是集合 B 中的元素，則稱 A 是 B
的子集，記作 A B(或 B A)．
(2)真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，但集合 B 中至少有一個元素不屬于 A，則稱 A 是 B 的真子集.
(3)集合相等：如果 A B，并且 B A，則 A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集．記作 .
3．集合間的基本運算
(1)交集：一般地，由屬于集合 A 且屬于集合 B 的所有元素組成的集合，稱為 A 與 B 的交集，記作
A∩B，即 A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有屬于集合 A 或屬于集合 B 的元素組成的集合，稱為 A 與 B 的并集，記作
A∪B，即 A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}．
(3)補集：對于一個集合 A，由全集 U 中不屬于集合 A 的所有元素組成的集合稱為集合 A 相對于全集 U
的補集，簡稱為集合 A 的補集，記作 UA，即 UA＝{x|x∈U，且 x A}．
集合的并集 集合的交集 集合的補集
若全集為 U，則集合 A
符號表示 A∪B A∩B
的補集為 UA
Venn圖表示
集合表示 {x|x∈A，或 x∈B} {x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且 x A}
4.集合的運算性質
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
1.若有限集 A 中有 n個元素，則 A的子集有 2n個，真子集有 2n－1個，非空子集有 2n－1個，非空真子集有
2n－2個.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
在高中數學課程中，集合是刻畫一類事物的語言和工具。本單元的學習，可以幫助學生使用集合的語
言簡潔、準確地表述數學的研究對象，學會用數學的語言表達和交流，積累數學抽象的經驗。
能夠在現實情境或數學情境中，概括出數學對象的一般特征，并用集合語言予以表達。初步學會用三
種語言（自然語言、圖形語言、符號語言）表達數學研究對象，并能進行轉換。掌握集合的基本關系與基
本運算在數學表達中的作用。
1. 用圖示法解決集合運算問題
①．數集或抽象集合間的運算，常常借助 Veen 圖解；
②．連續的實數組成的集合，常常借助數軸求解，同時注意端點值能否取到的情況。
2. 根據兩集合的關系求參數范圍的一般方法
①．明確集合中的元素，同時注意空集是否存在；
②．利用數形結合的方法—若集合中的元素是一 一列舉出來的，常根據集合的關系化為方程組求解，同時
注意集合中元素的互異性，若集合表示的是不等式（組）的解集，常利用數軸求解，同時注意端點是否能
取到。

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