資源簡介

特訓 01 函數的周期性與對稱性及應用（九大題型）
一 、函數圖象的對稱性
1.對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數的定義域 要關于對稱軸(或對稱中心)對稱。
2.函數圖象對稱性的結論
（a x） （b x） a b
(1)函數 f(x)滿 足 f(a+x)=f(b-x) y=f(x)的圖象關于直線 x=
2 2
a b
(2)函數 f(x)滿足 f(a+x)+f(b-x)=2c y=f(x)的圖像關于點（ ，c）對稱
2
二 、函數奇偶性與對稱性間的關系
(1)若函數 y= (x+a)是偶函數，即 f(a-x)=f(a+x),則函數 y=f(x)的圖象關于直線 x=a 對稱.
一般的，若對于 R 上的任意 x 都有 f(a-x)=f(a+x), 則 y=f(x)的圖象關于直線 x=a 對稱.
(2)若函數 y= (x+a)是奇函數，即 (-x+a)+f(x+a)=0,則函數 y=f(x)的圖象關于點(a,0) 對稱.
一般的，若對于 R 上的任意 x 都有 f(-x+a)+f(x+a)=2b, 則 y=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱。
三、函數的周期性
1.周期函數的定義
對于函數y=f(x),如果存在一個常數T≠0,能使得當x取定義域內的所有值時，都有 f(x+T)= (x),則函數y=f(x)
叫做以 T 為周期的周期函數.
2. 函數周期性的結論
(1)若函數 f（x）恒滿足 f（x+a）=f（x+b），則 f（x）是周期函數， 2 a b 是它的一個周期.
(2)若函數 f（x）恒滿足 f（x+a）= -f（x），則 f（x）是周期函數， 2 a 是它的一個周期.
推論：若函數(x)恒滿足/(x+a)= -f（x+b）(a≠b)，則 f（x）是周期函數， 2 a b 是它的一個周期.
1
(3)若函數 f（x）恒滿足 f（x+a）= (a≠0)，則 f（x）是周期函數， 2 a 是它的一個周期.
f（x）
1
推論：若函數(x)恒滿足 f (x+a)= (a≠b)，則 f（x）是周期函數， 2 a b 是它的一個周期.
f（x b）
1
(4)若函數 f（x）恒滿足 f（x+a）= - (a≠0)，則 f（x）是周期函數， 2 a 是它的一個周期.f（x）
1
推論：若函數(x)恒滿足 f (x+a)= - (a≠b)，則 f（x）是周期函數， 2 a b 是它的一個周期.f（x b）
1 f（x）
(5)對于定義域中的任意 x,恒有 f（x T） （T 0）,則 f(x)為周期函數， 4 T 是它的一個周期.
1 f（x）
1 f（x）
(6)對于定義域中的任意 x,恒有 f（x T） （T 0）,則 f(x)為周期函數， 2 T 是它的一個周期.
1 f（x）
(7)如果(x)=f(x-a)-f(x-2a)(a=0),等價于(x)=-f(x-3a),則 f(x)為周期函數，且6 a 是它的一個周期.
四、函數的對稱性與周期性間的關系(多對稱性產生周期性)
2 a
(1)若函數 f(x)是偶函數，且關于直線 x=a(a≠0)對稱，則 f(x)是周期函數， 是它的一個周期
2 a b
推論：若函數 f (x)關于直線 x=a,x=b(a≠b)對稱，則 f (x)是周期函數， 是它的一個周期 .
4 a
(2)若函數 f(x) 是奇函數，且關于直線 x=a(a≠0)對稱，則 f(x) 是周期函數， 是它的一個周期
4 a b
推論：若函數 f(x)關于點(a,0)、直線 x=b(a≠b)對稱，則 f(x)是周期函數， 是它的一個周期.
2 a
(3)若函數 f(x)是奇函數，且關于點(a,0)(a≠0) 對稱，則 f(x) 是周期函數 是它的一個周期
2 a b
推論：若函數關于點 ( a , 0 ) , ( b , 0 ) ( a ≠ b )對稱，則 f ( x )是周期函數， 是它的一個周期
目錄：
01 函數周期性的定義與求解
02 由周期性求函數的解析式
03 判斷證明抽象函數的周期性
04 由函數的周期性求函數值
05 判斷或證明函數的對稱性
06 由對稱性求函數的解析式
07 由對稱性研究函數的單調性
08 由對稱性求參數
09 函數周期性、對稱性有關的零點、交點、方程的根、圖像對稱等問題
01 函數周期性的定義與求解
1．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數 f 2x 5 的周期是 3，則 f x 的周期為（ ）．
3
A． B．3 C．6 D．9
2
【答案】C
【分析】根據函數周期的定義，求解即可．
【解析】因為 f 2x 5 的周期是 3，
所以 f 2x 5 f [2 x 3 5] f (2x 11) ，令 2x y ，
則 f (y 5) f (y 11)，所以 f (x) 的周期為 6，
故選：C．
2．（2021 高一·上海·專題練習）函數 f (x) 為定義在 R 上的奇函數，且滿足 f (x) f (2 x)，則 f (x) 的周期
為 ．
【答案】4
【分析】利用奇函數及周期函數的定義即可求解.
【解析】Q f (x) f (2 x)，\ f (x 2) f ( x)，又 f (x) 為奇函數，
\ f (x 2) f ( x) f (x), f (x 4) f (x 2) f (x)
\ f (x)是周期為 4的周期函數.
故答案為：4.
3．（20-21 高二上·廣東汕頭·期末）已知函數 f x 是奇函數，且滿足 f (x) f (x 3) 3 ，若當 x 0, ÷時，
è 2
f (x) x ，則 f (2021) .
【答案】 1
【分析】根據函數周期性和奇函數的基本性質化簡原式求解即可.
【解析】因為 f (x) f (x 3) ，所以奇函數 f x 的周期為3 .
所以 f (2021) f 673 3 2 f 2 f 2 f 2 3 f 1 1
故答案為: 1
4．（2024·廣東茂名·一模）函數 y f x 和 y f x 2 均為R 上的奇函數，若 f 1 2 ，則 f 2023
（ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】由奇函數性質推導出 y f x 的周期為 4，利用周期性、奇偶性求函數值.
【解析】因為 y f x 2 為奇函數，所以 y f x 關于 2,0 對稱，即 f ( x) f (x 4) 0，
又 y f x 關于原點對稱，則 f ( x) f (x) ，有 f (x) f (x 4) f (x 4) f (x)，
所以 y f x 的周期為 4，故 f 2023 f 1 2024 f 1 f 1 2 .
故選：A
5．（23-24 高三上·四川成都·階段練習）已知函數 f x 的定義域為R, f x 1 為偶函數， f 4 x f x ，
則（ ）
A．函數 f x 為偶函數 B． f 3 0
C f
1
． ÷ f
5
÷ D． f 2023 0
è 2 è 2
【答案】A
【分析】由函數的對稱性，可求出周期，可證得函數為偶函數.
【解析】已知函數 f x 的定義域為R ， f x 1 為偶函數，則 f x 1 f x 1 ，
函數圖像關于直線 x 1對稱，有 f x f 2 x ，
又 f 4 x f x ，則 f 4 x f 2 x ，
令 2 x t ，有 f 2 t f t ，所以函數周期為 2.
f x f 2 x f x ，函數為偶函數，A 選項正確；
f 1 f 1 2 f 5 2 ÷ 2 ÷ ÷
，C 選項錯誤；
è è è 2
已知中沒有可以求函數值的條件，BD 選項錯誤；
故選：A
02 由周期性求函數的解析式
6．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f (x) 滿足 f (x 2) f (x) ，當 x ( 1,0)時，有 f (x) 2x ，則當 x∈
（-3，-2）時， f (x) 等于（ ）
A． 2x B． 2x C． 2x 2 D． 2 (x 2)
【答案】C
【解析】令 x ( 3， 2)，則 x 2 ( 1,0)，根據 x ( 1,0)時，f（x）＝2x，可求得 f（x+2）的解析式，再
根據 f（x+2）＝f（x），即可求得 f（x）解析式．
【解析】令 x ( 3， 2)，則 x 2 ( 1,0)，
∵當 x ( 1,0)時，有 f (x) 2x ，
∴f（x+2）＝2x+2，
∵f（x+2）＝f（x），
∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2， x ( 3， 2)．
故選：C．
【點睛】本題考查函數解析式的求法，求函數解析式常見的方法有：待定系數法，換元法，湊配法，消元
法等，考查學生的計算能力，屬于基礎題．
7．（22-23 高三·全國·對口高考）函數 y f x 的周期為 2，且當 x 1,1 時， f x x，則 y f x ，
x 2k 1,2k 1 k Z 的解析式為 ．
【答案】 f x x 2k / f x 2k x
【分析】由 x 2k 1,2k 1 k Z 求出 x 2k 的取值范圍，再結合函數 f x 的周期性可求得 f x 在
2k 1,2k 1 上的解析式.
【解析】因為函數 y f x 的周期為 2，當 x 1,1 時， f x x，
且 k Z ，當 2k 1 x < 2k 1時，則 1 x 2k <1，
故當 x 2k 1,2k 1 k Z 時， f x f x 2k x 2k .
故答案為： f x x 2k .
8．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 y f x 是定義在 R 上奇函數，且滿足 f x 2 f x 0 ,當
x 2,0 時， f x x2 2x，則當 x 2018,2020 時 y f x 的最大值為
A． 8 B． 1 C．1 D．0
【答案】C
【解析】根據 f x 2 f x 0 可以確定函數的周期，根據周期性和配方法進行求解即可.
【解析】由 f x 2 f x 0 f x f (x 2) f (x 2) f (x 2 2)，因此可以得到：
f x f x 4 2，所以函數的周期為 4，當 x 2,0 時， f x x 2x (x 1)2 1，
當 x 2018,2020 時，
y f x f x 2020 (x 2020 1)2 1 (x 2019)2 1，顯然當 x 2019時，函數 y f x 的最大值為
1.
故選：C
【點睛】本題考查了函數周期性的應用，考查了配方法，屬于基礎題.
9．（21-22 高三上·上海浦東新·階段練習）設 f (x) 是定義在 R 上周期為 4 的偶函數，且當 x 0,2 時，
f (x) log2 x 1 ，則函數 f (x) 在 2,4 上的解析式為 .
【答案】 f (x) log2 5 x ， x 2,4 .
【分析】設 x 2,4 ，則 x 4 2,0 ，則有 4 x 0,2 ，由函數的解析式可得 f (4 x)的表達式，結合函
數的奇偶性與周期性可得 f (x) f (x 4) f (4 x)，即可求出結果.
【解析】解：根據題意，設 x 2,4 ，則 x 4 2,0 ，則有 4 x 0,2 ，
當 x 0,2 時， f (x) log2 x 1 ，
則 f (4 x) log2 (4 x) 1 log2 (5 x)，
又 f (x) 為周期為 4 的偶函數，
所以 f (x) f (x 4) f (4 x) log2 (5 x)， x 2,4 ，
則有 f (x) log2 5 x ， x 2,4 ；
故答案為： f (x) log2 5 x ， x 2,4 .
10．（2021·新疆巴音郭楞·模擬預測）設 f (x)是定義在 R 上周期為 4 的奇函數，若在區間[－2，0)∪(0，2]上，
ìax b, 2 x < 0,
f (x)＝ í ax 1,0 x 2, 則 f (2019)＝ . <
1
【答案】 2
【分析】先根據 f (x)是周期為 4 的奇函數，求得其解析式，再利用周期性求解.
【解析】因為 f (x)是奇函數，
所以 f 1 f 1 ，即 a b a 1，
解得 b 1，
又因為 f (x)的周期為 4，
所以 f 2 f 2 ，即 2a 1 2a 1，
1
解得 a ，
2
ì1
x 1, 2 x < 0
所以 f x 2í1 ， x 1,0 < x 2
2
所以 f 2019 f 4 504 3 f 3 1 1 f 1 1 1 2 2 ，
1
故答案為： 2
03 判斷證明抽象函數的周期性
11．（2022 高三·全國·專題練習）設 f (x) 是定義在 R 上的奇函數，且對任意實數 x ，恒有 f (x 2) f (x) ．當
x [0 ， 2]時， f (x) 2x x2 ．
（1）求證： f (x) 是周期函數；
（2）當 x [2， 4]時，求 f (x) 的解析式；
（3）計算 f (0) f (1) f (2) L f (2008) 的值．
【答案】（1）證明見解析；（2） f (x) x2 6x 8；（3）1.
【分析】（1）根據函數周期的定義進行證明即可；
（2）根據奇函數的性質，結合函數的周期性進行求解即可；
（3）根據函數的周期性進行求解即可.
【解析】（1）證明：Q f (x 2) f (x)，\ f (x 4) f (x 2) f (x) ．
\ f (x)是周期為 4 的周期函數．
（2）當 x [ 2， 0]時， x [0， 2]，由已知得 f ( x) 2( x) ( x)2 2x x2，
又 f (x) 是奇函數，\ f ( x) f (x) 2x x2 ，\ f (x) x2 2x ．
又當 x [2， 4]時， x 4 [ 2， 0]，\ f (x 4) (x 4)2 2(x 4)．
又 f (x) 是周期為 4 的周期函數，
\ f (x) f (x 4) (x 4)2 2(x 4) x2 6x 8 ．
從而求得 x [2， 4]時， f (x) x2 6x 8．
（3） f (0) 0， f （2） 0， f （1） 1， f （3） 1．又 f (x) 是周期為 4 的周期函數，
\ f (0) f （1） f （2） f （3） f （4） f （5） f （6） f （7）
f (2 008) f (2 009) f (2 010) f (2 011)
f (2 012) f (2 013) f (2 014) f (2 015) 0 ．
而 f (2016) f (2017) f (2008) f (0) f (1) f (2) 1，
所以 f (0) f (1) f (2) L f (2008) 1 .
12．（23-24 高一上·山西運城·期末）已知定義在R 上的函數 f (x) 滿足"x, y R，都有
f (x y) f (x y) 2 f (x) f ( y), f (1) 0且當 x [0,1) 時， f (x) > 0.
(1)求 f (0), f ( 1)；
(2)證明： f (x) 為周期函數；
(3)判斷并證明 f (x) 在區間( 0, 1)上的單調性．
【答案】(1) f ( 1) 0, f (0) 1
(2)證明見解析
(3)函數 f (x) 在 0,1 上單調遞減，證明見解析
【分析】（1）分別令 x 0， y 0 即可得出答案;
（2）令 y 1可得： f (x 1) f (x 1) 2 f (x) f (1) 0，得出 f (x) f (x 4) ，即可得出周期性；
（3）結合（2）的結論，利用定義證明單調性即可.
【解析】（1）令 y 0 ，得 2 f (x) 2 f (x) f (0)，由于當 x [0,1) 時 f (x) > 0 ，因此 f (0) 1
令 x 0，得 f (y) f ( y) 2 f (y) f (0)，即 f (y) f ( y)，因此 f ( 1) f (1) 0．
（2）證明：令 y 1，得 f (x 1) f (x 1) 2 f (x) f (1) 0，
因此 f (x 1) f (x 1) f (x 3)，所以 f (x) f (x 4)
由周期性的定義可知，函數 f (x) 是以 4 為周期的周期函數．
（3）函數 f x 在 0,1 上單調遞減，證明如下：
任取 0 < x1 < x2 <1，有
f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1 2)
é x
f 2
x1 2 x 2 x1 2 ù é x f 2 x1 2 x2 x1 2 ùê ú ê 2 2 2 2 ú
2 f ( x1 x2 1) f ( x2 x 1 1)
2 2
x x x x
由于 2 1 (0,1) ，故 2 1 1 ( 1,0) ,由（1）知 f (x) f ( x)，
2 2
f ( x2 x因此 1
x x
1) > 0，又 1 2 (0,1) ，
2 2
f ( x1 x2 1) f ( x1 x因此 2 1) < 0
2 2
故 f (x2 ) f (x1) < 0 ，因此 f (x) 在( 0, 1)上單調遞減.
13．（23-24 高三上·重慶·階段練習）定義在R 上的函數 f x 滿足:對任意 x R ，都有 f 4 2x f 2x ，
且 f x 1 為奇函數，則下列選項正確的是（ ）
A． f 2x 1 f 2x B． f 2 x =f x
C． f x 2 為偶函數 D． f 2x 為奇函數
【答案】C
【分析】根據已知條件推出 f x 是周期為 4，關于 (1,0)、 x 2對稱的偶函數，再結合 f 2x 、 f x 2 與
f x 的平移伸縮關系判斷各項的正誤.
【解析】由 f x 1 為奇函數，則 f x 1 f (x 1) ，即 f 2 x f (x) ，B 錯；
所以 f x 關于 (1,0)對稱，
由 f 4 2x f 2x ，令 t 2x，則 f 4 t f t ，即 f 4 x f x ，
所以 f x 關于 x 2對稱，則 f x 2 關于 x 0，即 y 軸對稱，C 對；
所以 f 2 x f (x) f (4 x)，則 f x f (x 2) ，故 f x 2 f (x 4)，
則 f x f (x 4) ，即 f x 的周期為 4，則 f 4 x f ( x) f x ，
綜上， f x 是周期為 4，關于 (1,0)、 x 2對稱的偶函數，
將 f x 所有橫坐標縮短為原來的一半得到函數 f 2x ，
所以 f 2x 1是周期為 2，關于 ( ,0)、 x 1對稱的偶函數，D 錯；
2
則 f [2(x 2)] f (2x 4) f (2x) ，A 錯；
故選：C
14．（22-23 高二下·上海黃浦·期末）已知函數 y f x x R ，其導函數記為 y f x x R ，有以下
四個命題：
①若 y f x 為偶函數，則 y f x 為奇函數；
②若 y f x 為偶函數，則 y f x 為奇函數；
③若 y f x 為周期函數，則 y f x 也為周期函數；
④若 y f x 為周期函數，則 y f x 也為周期函數.
其中真命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用偶函數的定義和復合函數求導可判斷選項 A；通過舉反例可判斷選項 B；由周期函數的定義和
復合函數求導可判斷選項 C；通過舉反例可判斷選項 D.
【解析】對于①，若 y f x 為偶函數，則 f x f x ，
兩邊取導，得 é f x ù f x ，即 f x f x ，
函數 y f x 為奇函數，故①為真命題；
對于②，若 y f x 為偶函數，則 y f x 不一定為奇函數.
例如 f (x) x 1， f (x) 1，
此時 y f x 為偶函數， y f x 不是奇函數，故②為假命題；
對于③，若 y f x 為周期函數，
即 f (x T ) f (x)，則 f (x +T )× (x +T ) = f (x)，
得 f (x +T ) = f (x)，故③為真命題；
對于④，若 y f x 為周期函數，則 y f x 不一定為周期函數.
比如 f (x) cos x 1，但 f (x) sin x x ，
顯然 y f x 為周期函數，則 y f x 不是周期函數，
故④為假命題.
真命題的個數有 2 個.
故選：B
04 由函數的周期性求函數值
15．（23-24 高一下·河南南陽·階段練習）函數 f x 2sin wx j w > 0, j < π 的圖象如圖所示，直線
y x 3經過函數 f x 圖象的最高點M 和最低點 N ，則 f 0 f 1 f 2 f 3 L f 2026 （ ）
A． 2 2 B．0 C． 2 2 D． 2 2 2
【答案】D
【分析】根據圖象得到M 1,2 ， N 5, 2 π，從而得到函數最小正周期，故w ，代入特殊點坐標，得到
4
j π
4 ，得到函數解析式，結合函數的周期求出答案
.
【解析】由 f x 的解析式可知， yM 2, yN 2，
y x 3中，令 y 2得 x 1，令 y= 2 得 x 5，
故M 1,2 ， N 5, 2 ，即 f 1 2 ， f 5 2．
2π π
故 f x 的周期T 2 5 1 8．即 8，解得w ，
w 4
故 f x 2sin π x j

÷，則 f 1 2sin
π j π ÷ 2，得j 2kπ ， k Z．
è 4 è 4 4
因為 j < π j
π π π
，所以 ．則 f x 2sin x 4 ．è 4 4 ÷
f 0 2sin π 2 ， f 1 2sin π 2， f 2 2sin 3π 2 ，
4 2 4
f 3 2sin π 0 f 4 2sin 5π 2 f 5 2sin 3π， ， 2，
4 2
f 6 2sin 7π 2 ， f 7 2sin 2π 0 ， f 8 f 0 2 ……，
4
因為 f 0 f 1 f 2 f 3 L f 7 0，8 253 3 2027．
所以 f 0 f 1 f 2 f 3 L f 2026 253 0 2 2 2 2 2 2 ．
故選：D．
16．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 與 g x 及其導函數 f x 和 g x 的定義域都為
R, f x g 2 x , f x 2 g x ，且 f 1 x 為奇函數，則下列等式一定正確的是（ ）
A． f 2023 0 B． f 2024 0 C． f 2023 0 D． f 2024 0
【答案】C
【分析】首先對 f x g 2 x 兩邊求導，得 f x g 2 x ，與 f x 2 g x 聯立可得：
f x f 4 x ，這樣就知道 f x 圖象關于 x 2對稱，再由 f 1 x 為奇函數，又知道 f x 圖象關于點
(1,0)對稱，這樣由雙對稱性質可知 f x 是周期函數且周期為 4，然后即可用賦值法得到結果.
【解析】對 f x g 2 x 兩邊求導，得 f x g 2 x ，
又由 f x 2 g x ，得 f 4 x g 2 x ，
所以 f x f 4 x ，可得 f 1 f 3 ．
由 f 1 x 為奇函數，得 f 1 x f 1 x ，則 f 4 x f x 2 ，
令 x 0得： f 1 f 1 f 1 0，
則由上面兩式可得： f x f x 2 f x 4 ，即 f x 是以 4 為周期的周期函數，
則 f 2023 f 3 f 1 0．
故選：C．
17．（2024·山西晉中·模擬預測）已知函數 f x , g x 的定義域均為
2024
R, f x g 2 x 5, g x f x 4 3，若 g x 2 是偶函數且 f 0 0，則 f k （ ）
k 1
A．0 B．4 C．2023 D．2024
【答案】D
【分析】根據條件得到 f (x) f (x 4)，從而得到 f (x) 的一個周期為T 4，進而求得
f (1) f (2) f (3) f (4) 4 ，即可求解.
【解析】因為 g x 2 是偶函數，所以 g x 2 g x 2
又 f x g 2 x 5，所以 f x g(x 2) 5 ①，
又因為 g x f x 4 3，所以 g x 2 f x 2 3②，
由① ②得到 f (x) f (x 2) 2 ③，所以 f (x 2) f (x 4) 2 ④，
由③ ④得到 f (x) f (x 4) 0 ，即 f (x) f (x 4)，所以 f (x) 的一個周期為T 4，
又 f 0 0，由 f (x) f (x 2) 2，得到 f 2 2，且 f (1) f (3) 2， f (4) f (0)，
2024
所以 f (1) f (2) f (3) f (4) 4 ，則 f k 506[ f (1) f (2) f (3) f (4)] 506 4 2024，
k 1
故選：D.
【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于通過條件得到 f (x) f (x 4) 0 ，進而得出 f (x) 的一個周期為T 4，
從而解決問題.
05 判斷或證明函數的對稱性
2x 2
18．（2024·山西臨汾·二模）已知函數 f (x) | x 1| ，則下列結論正確的是（ ）
A．函數 f (x) 在 (1, )上單調遞增
B．函數 f (x) 的圖象關于直線 x 1對稱
C．"m > 2 ，方程 f (x) m都有兩個不等的實根
D．不等式 f (x) > x 1恒成立
【答案】C
【分析】利用反例可以判斷 A,B,D，結合函數值域可判斷 C.
【解析】因為 f 2 6, f 3 4， f 2 > f 3 ，所以 A 不正確；
若函數 f (x) 的圖象關于直線 x 1對稱，則 f 0 f 2 ，而 f 0 2, f 2 6，
所以函數 f (x) 的圖象不關于直線 x 1對稱，B 不正確；
x 1 f (x) 2x 2 4當 > 時， 2 ，此時 f x 的值域為 2, ；
x 1 x 1
當 x <1時， f (x)
2x 2 2 4 ，此時 f x 的值域為 2, ；
1 x 1 x
簡圖如下：
所以"m > 2 ，方程 f (x) m都有兩個不等的實根，C 正確；
f 1 0，顯然 f ( 1) < 1 1 2，所以 D 不正確.
故選：C
19．（2024 高三·全國·專題練習）若函數 y＝f(x)的定義域為 R，則函數 y＝f(x－1)與 y＝f(1－x)的圖象關于
直線（ ）
A．x＝0 對稱 B．y＝0 對稱 C．x＝1 對稱 D．y＝1 對稱
【答案】C
【解析】
因為函數 f(x－1)的圖象是 f(x)的圖象向右平移 1 個單位長度得到，f(1－x)＝f(－(x－1))的圖象是 f(－x)的圖象
也向右平移 1 個單位長度得到；因為 f(x)與 f(－x)的圖象是關于 y 軸(直線 x＝0)對稱，所以函數 y＝f(x－1)與
y＝f(1－x)的圖象關于直線 x＝1 對稱．故選 C.
ì1 m
, x是有理數 m,n是互質的正整數 20．（2024·浙江溫州·二模）已知定義在 0,1 上的函數 f x ín n ，則
1,x是無理數
下列結論正確的是（ ）
A． f x 1 1 1 的圖象關于 x 對稱 B． f x 的圖象關于 , ÷對稱2 è 2 2
C． f x 在 0,1 單調遞增 D． f x 有最小值
【答案】A
【分析】利用特殊值可排除 B、C，利用函數的性質可確定 A、D.

【解析】對于 BC，由題意可知： f 2
1
÷ f
3
2

÷ 12 ，è è 2
f x 1 , 1 3 1顯然 的圖象不關于 ÷對稱，而 2 < 2 ，故 B、C 錯誤；
è 2 2 2 2
1
對于 D，若 x 為有理數，則 f x ，顯然 n ，函數無最小值，故 D 錯誤；
n
m 1 n m
對于 A，若 x
m

n 是有理數，即
m, n m < n 互質，則 n m,n 也互質，即 f n ÷ fn n ÷ ，è è
若 x 為無理數，則1 x也為無理數，即 f x f 1 x 1，
所以 f x 1的圖象關于 x 對稱，故 A 正確.
2
下證：m, n互質，則 n m,n 也互質.
反證法：若m, n互質， n m,n 不互質，不妨設 n m ka, n kb ，
則m k b a ,n kb，此時與假設矛盾，所以 n m,n 也互質.
故選：A
【點睛】思路點睛：根據抽象函數的對稱性結合互質的定義去判定 A、B，而作為抽象函數可以適當選取特
殊值驗證選項，提高正確率.
06 由對稱性求函數的解析式
21．（2023·新疆·二模）設 f x 是定義在 R 上的以 2 為周期的偶函數，在區間 1,2 上單調遞減，且滿足
ì0 x 1
f π 1， f 2π 0，則不等式組 í
0 f x 1
的解集為（ ）
é1A ù． ê ,1ú B． 0,4 π C． 2π 6,1 D． 2π 6,4 π 2
【答案】D
【分析】根據題意，由函數的周期性與奇偶性分析可得 f x f x 2 ，則函數 f x 關于直線 x 1對稱，
0 x 1
據此可得 f x 在 0,1 上遞增，且 f 4 p
ì
1， f 2p 6 0，則進而分析 í
0 f x 1
可得答案．
【解析】根據題意， f x 為周期為 2 的偶函數，
則 f x f x 2 且 f x =f x ，
則有 f x f x 2 ，
則函數 f x 關于直線 x 1對稱，
又由 f x 在區間 1,2 上單調遞減，且 f π 1， f 2π 0，
因為周期為 2 得 f p 2 1， f 2p 6 0，
又 f x 關于直線 x 1對稱，則 f 4 π 1，
則 f x 在 0,1 上遞增，且 f 2π 6 0 ， f 4 π 1，
ì0 x 1
則 í
0 f x
2π 6,4 π1 ，即不等式組的解集為 2π 6,4 π .
故選：D．
22．（2023·河南·模擬預測）已知函數 f x 對任意 x R 都有 f x f x 2 ，且函數 f x 1 的圖象關于
1,0 對稱，當 x 1,1 時， f x tanx .則下列結論正確的是（ ）
A．函數 y f x 的圖象關于點 k,0 k Z 對稱
B．函數 y f x 的圖象關于直線 x 2k k Z 對稱
C．函數 y f x 的最小正周期為 2
D．當 x 2,3 時， f x tan x 2
【答案】C
【分析】根據題中條件可得 f x 的周期為 4 且關于 0,0 對稱，結合 x 1,1 時， f x tanx，即可畫出
函數的圖象，由圖象即可逐一判斷.
【解析】因為函數 f x 對任意 x R 都有 f x f x 2 ，即 f x - f x 2 =- é- f x 4 ù =f x 4 恒
成立，所以 f x 的周期為 4.
因為函數 f x 1 的圖象關于 1,0 對稱，所以將 y f x 1 的圖象向右平移一個單位，得到 y f x 的圖
象，所以 y f x 的圖象關于 0,0 對稱，
故 f x 2 =- f x f x ，因此 f x 的圖象關于 x 1對稱，
設 x 1,3 ，則 x 2 1,1 ，
因為函數 f x 對任意 x R 都有 f x f x 2
所以 f x f x 2 tan x 2 ，
ìtanx, 1 x 1,
所以 f x í tan x 2 ,1 < x 3, 所以選項 D 錯誤.
作出 y f x 的圖象如圖所示：
由圖象可知，函數 y f x 的圖象關于點 2k,0 k Z 中心對稱，關于直線 x 2k 1 k Z 對稱，故 A，B
錯誤；
對于 C：函數 y f x 的圖象可以看成 y f x 的圖象 x 軸上方的圖象保留，把 x 軸下方的圖象翻折到 x 軸
上方，所以函數 y f x 的最小正周期為 2.故 C 正確.
故選：C
23．（2023 高三·全國·專題練習）已知定義在 R 上的函數 y f x 滿足 f x f x ，函數 y f x 1 為
偶函數，且當 x 0,1 時， f x log2 x a ，則下列結論不正確的是（ ）
A．函數 y f x 是周期為 4 的周期函數 B． f 2020 f 2021 1
C．當 x (1, 2t]時， f x log2 x 1
1
D．不等式 f x > 的解集為 2 1 4k,3 2 4k ,k Z2
【答案】C
【分析】根據函數 y f x 1 為偶函數知函數 y f x 的對稱軸為 x 1，進而由對稱軸得
f x f 2 x ，結合 f x f x 求得函數 y f x 是周期為 4 的函數，由奇函數知 f 0 0求出
a 1，然后根據分段函數求解析式即可求出在 x 1,2 上的解析式，接下來解不等式即可，最后選項逐個排
除即可選出正確結果.
【解析】對于選項 A，由函數 y f x 1 為偶函數得函數 y f x 的對稱軸為 x 1，
故得 f x f 2 x ，
又 f x f x ，
所以 f 2 x f x ，
從而得 f 4 x f x ，
所以函數 y f x 是周期為 4 的周期函數，故選項 A 正確；
對于選項 B，又奇函數 y f x 當 x 0,1 時， f x log2 x a ，
故得 f 0 log2 a 0，解得 a 1，
所以當 x 0,1 時， f x log2 x 1 .
所以 f 2020 f 2021 f 0 f 1 1，故選項 B 正確；
對于選項 C，當 x 1,2 時， 2 x 0,1 ，
所以 f x f 2 x log2 é 2 x 1ù log2 3 x ，故選項 C 不正確；
對于選項 D，根據函數的周期性，只需考慮不等式在一個周期 2,2 上解的情況即可.
當 x 0,1 時，由 log2 x 1 1> log2 2 ，解得 x > 2 1，故得2 2 1 < x 1；
1
當 x 1,2 時，由 log2 3 x > log2 2 ，解得 x < 3 2 ，故得2 1 < x < 3 2 ；
因為函數 y f x 滿足 f x f x ，且 log2 x 1 在 x 0,1 上大于等于 0， log2 3 x 在 x 1,2 上大
于等于 0，
則函數 y f x 在 x 2,0 上小于 0，
則當 x 1,2 時， f x 1> 無解，
2
1
綜上可得不等式 f x > 在一個周期 2,2 上的解集為 2 1,3 2 ，2
所以不等式在定義域上的解集為 2 1 4k,3 2 4k ， k Z，故選項 D 正確.
綜上 C 不正確.
故選：C.
07 由對稱性研究函數的單調性
2
24．（2024·遼寧·一模）已知函數 f (x 2)為偶函數，且當 x 2時， f x log 1 x 4x 7 ，若
7
f (a) > f (b) ，則（ ）
A． (a b 4)(a b) < 0 B． (a b 4)(a b) > 0
C． (a b 4)(a b) < 0 D． (a b 4)(a b) > 0
【答案】A
【分析】由題意判斷 f (x) 的圖象關于直線 x 2對稱，結合當 x 2時的函數解析式，判斷其單調性，即可判
斷 f (x) 在直線 x 2兩側的增減，從而結合 f (a) > f (b) ，可得 | a 2 |<| b 2 |，化簡，即得答案.
【解析】因為函數 f (x 2)為偶函數，故其圖象關于 y 軸對稱，則 f (x) 的圖象關于直線 x 2對稱，
當 x 2時， f x log 1 x2 4x 7 ，因為 y x2 4x 7 在[2, )上單調遞增且 y 7，
7
而 y log 1 x 在 (0, )上單調遞減，故 f x 在[2, )上單調遞減，
7
則 f x 在 ( , 2]上單調遞增，
故由 f (a) > f (b) 可得 | a 2 |<| b 2 |，即 | a 2 |2 <| b 2 |2 ，
則 a2 4a 4 < b2 4b 4，故 (a b 4)(a b) < 0，
故選：A
25．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x ln x2 1 x 2x3 , g x 是定義在R 上的偶函數，且 g x
在 ,0 上單調遞增，則下列判斷正確的是（ ）
A． f x × g x 是偶函數
B． f x × g x 是奇函數
C． f g 2023 < f g 2024
D． g f 2023 > g f 2024
【答案】D
【分析】根據函數 f x 的解析式易判斷其在 0, 上的單調性，利用奇偶函數的定義判斷 f x 的奇偶性，
從而得到函數 f x 在R 上單調遞增，結合函數 g x 的奇偶性和在 ,0 與 0, 上的單調性，分別判斷
各選項即得.
【解析】易知函數 f x , g x 的定義域均為R ．當 x 0 時，易得函數 f x 在 0, 上單調遞增，
又 f ( x) f (x) ln x2 1 x 2x3 ln x2 1 x 2x3 ln1 0 ，所以 f x 為奇函數，
易知 f 0 0，所以函數 f x 在R 上單調遞增．
因為 g x 是定義在R 上的偶函數，且在 ,0 上單調遞增，所以 g x 在 0, 上單調遞減．
對于選項 A：因為 f ( x)× | g( x) | f (x)× | g(x) |，所以 f x × g x 是奇函數，所以 A 錯誤；
對于選項 B：因為 | f ( x) | ×g( x) | f (x) | ×g(x)，所以 f x × g x 是偶函數，所以 B 錯誤；
對于選項 C：因為 g(2023) > g(2024)，所以 f (g(2023)) > f (g(2024)) ，所以 C 錯誤；
對于選項 D：因為0 f (0) < f (2023) < f (2024),所以 g f 2023 > g f 2024 ，所以 D 正確．
故選：D.
26．（23-24 高三上·遼寧丹東·期中）已知函數 f x 的定義域為R, f x 2 為偶函數， f x 1 為奇函數，
當 x 1,2 時， f x ax b，若 f 2 f 3 1 ，則（ ）
2
1
A． f x 在區間 0,1 上是增函數，且有最小值為
2
B． f x 在區間 0,1 1上是減函數，且有最大值為 2
C． f x 在區間 2, 1 1上是增函數，且有最大值為 2
D． f x 在區間 2, 1 1上是減函數，且有最小值為
2
【答案】A
【分析】利用抽象函數的奇偶性推出函數的周期性與對稱性，再根據賦值法結合單調性一一判定選項即可.
【解析】因為 f x 2 為偶函數，所以 f x 2 f x 2 ①，且函數 f x 關于 x 2軸對稱，
又 f x 1 為奇函數，所以 f x 1 f x 1 ②，且函數 f x 關于 1,0 中心對稱，
所以有 f x f x 2 f x 2 f x f x 4 ，
即 f x 的一個周期為T 4，
令 x 0代入②得 f 1 0 f 3 ，即 f 2 1 ，
2
ìa b 0
令 x 3代入①得 f 1 f 5 f 3 0 ，所以 í 1 ，
2a b 2
ìa 1
2
解之得 í ，所以 f x 1 x 1 1 x 1,2 ， b 2 2
2
如圖所示，根據函數的對稱性與周期性可知：
f x 關于 x 2軸對稱，關于 3,0 中心對稱，可得 f x 在區間 4,4 的圖象，
易知 f x 在區間 0,1 上是增函數，
1
且有最小值為 f 0 f 2 f 2 ，故 A 正確，B 錯誤；
2
f x 在區間 2, 1 上是減函數，
f 2 f 2 1且有最大值為 ，最小值為 f 1 f 1 0，故 C，D 都不正確．
2
故選：A
08 由對稱性求參數
1
27．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x x 的圖象關于點 1, f 1 對稱，則a （e a ）
A．1 B．2 C． e D． e2
【答案】C
【分析】利用函數中心對稱的性質，代入化簡解方程即可求得 a e .
【解析】由對稱中心性質可知函數 f x 滿足 f x f 2 x 2 f 1 ，
1 1 2
即
ex a e2 x
，
a e a
整理可得 e3 x ex 1 2ae 2e2 aex ae2 x ，即 e e2 x ex 2e a ex e2 x 2e ，
解得 a e .
故選：C
x
28．（2024·湖南衡陽· 2e模擬預測）已知函數 f x sin πx 在 x a, a a > 0 x 存在最大值與最小值分e 1
1
別為M 和m ，則函數 g x M m x M m x 1，函數 g x 圖像的對稱中心是（ ）
1, 1 1, 2A B 1 1 2C ． ． ÷ ． , 13 2 ÷ D． , è è è 2 3 ÷
【答案】C
【分析】通過分析函數 f x f x 2，得出最大值與最小值的和，得出函數 g x 的表達式，利用對勾函
數 h x 2x 1 1 的對稱點即可得出函數 g x 的對稱點.
2x 1
【解析】由題意，
x x
在 f x sin πx 2e 2e 2 x 中， f x sin πx sin πx ，e 1 e x 1 ex 1
∴ f x f x 2，
∵最大值與最小值分別為M 和m ，
∴ M m f x f x 2
1
在對勾函數 h x 2x 1 1 1 中，對稱軸為 x ，對稱點為 ,0 ，2x 1 2 è 2 ÷
在 g x M m x
1
1 1
M m x 1中， g x 2x 2x 1 1 ，2x 1 2x 1
1
∴ 2x 1 1 0 即 x ，對稱軸為 x ，
2 2
1
函數 g x 為對勾函數 h x 2x 1 向下平移 1 個單位得到，
2x 1
g x 1∴函數 對稱點為 , 1

，
è 2 ÷
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查.函數的性質，構造函數，對稱中心，函數的最值（和），考查學生的分析
和處理問題的能力，計算能力，具有一定的綜合性.
09 函數周期性、對稱性有關的零點、交點、方程的根、圖像對稱等問題
29．（23-24 高三下·重慶九龍坡·階段練習）設關于 x 的方程 x2 2a | x a | 2ax 1 0 有 3 個互不相同的實
根，則實數 a的取值范圍是 .
【答案】{1}
【分析】
設 f (x) | x a |2 2a | x a | a2 1，判斷其對稱性，根據根的個數可得 f (a) 0，求出 a 的取值，驗證后可
確定答案.
【解析】
由 | x a |2 2a | x a | a2 1 0，設 f (x) | x a |2 2a | x a | a2 1，
由于 f (2a x) | 2a x a |2 2a | 2a x a | a2 1 f (x)，
故 f (x) 關于 x a對稱，若有 3 個互不相同的實根，則 f (a) 0，其余兩根關于 x a對稱，
由 f (a) 0得 a2 1 0,\a ±1，
經檢驗，當 a 1時， f (x) | x 1|2 2 | x 1| 0，解得 x 1或 1或 3，符合題意；
當 a 1時， f (x) | x 1|2 2 | x 1| 0 ，解得 x= 1，不符合題意；
故實數 a的取值范圍是{1}，
故答案為：{1}
30．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在 0, 上的增函數 f x 滿足:對任意的 a,b 0, 都有
f ab f a f b 且 f 4 2，函數 g x 滿足 g x g 4 x 2 ， g 4 x g x 2 . 當 x 0,1 時，
g x f x 1 1，若 g x 在 0, m 上取得最大值的 x 值依次為x1，x2，…， xk ，取得最小值的 x 值依次為
k n
x1 ， x2 ，…， xn ，若 éxi g xi ù éxi g xi ù 21，則m 的取值范圍為
i 1 i 1
【答案】 9,11 .
【分析】由 f x 的性質得 f 2 1， f 1 0，由 g x 滿足的條件得 g 0 1， g 1 0， g x 的圖象關
于點 2,-1 對稱，關于直線 x 3對稱， g x 的一個周期是 4，可得 g x 的最值點與最值的結果，結合已知
分析求解.
【解析】定義在 0, 上的增函數 f x ，對任意的 a,b 0, 都有 f ab f a f b 且 f 4 2，
則 f 4 f 2 2 f 2 f 2 2，得 f 2 1，
f 2 f 1 2 f 1 f 2 1，得 f 1 0，
當 x 0,1 時， g x f x 1 1，則 g x 在 0,1 上單調遞增，且 g 0 1， g 1 0，
函數 g x 滿足 g x g 4 x 2 ，則 g x 的圖象關于點 2,-1 對稱，
得 g x 在 3,4 上單調遞增，且 g 4 1， g 3 2，
g 4 x g x 2 ，則 g x 的圖象關于直線 x 3對稱，
得 g x 在 1,2 和 2,3 上單調遞減，且 g 2 1，
由 g x g 4 x 2 和 g 4 x g x 2 ，得 g x g x 2 2，
則有 g x 2 g x 4 2， g x 4 g x ，
故 g x 的一個周期是 4，且在 x 4t 1 t Z 時取最大值 0，在 x 4t 3 t Z 時取最小值-2，
若 g x 在 0, m 上取得最大值的 x 值依次為x1，x2，…， xk ，取得最小值的 x 值依次為 x1 ， x2 ，…， xn ，
有 k n 或 k n 1，
k n
éxi g xi ù é xi g xi ù 1 5 L 4k 3 3 7 L 4n 1 2n 2k 2 k 2n2 n 21，
i 1 i 1
當 k n 時，有 4k 2 2k 21 0，方程無正整數解；
當 k n 1時，有 2n2 n 10 0，解得 k 3,n 2；
則有 x3 m < x3 ，即9 m <11，
所以m 的取值范圍為 9,11 .
故答案為： 9,11
【點睛】方法點睛：
本題以抽象函數為載體綜合考查函數的性質，關鍵是根據已知條件判斷出的周期及其在一個周期內的單調
性和最值.
以下是抽象函數周期性質的一些總結，可以適當總結記憶：
設函數 y f (x), x R,a > 0,a b ．
（1）若 f (x a) f (x a) ，則函數的周期為 2a ；
（2）若 f (x a) f (x)，則函數的周期為 2a ；
（3）若 f x a
1

f x ，則函數的周期為 2a ；
（4）若 f x a
1

f x ，則函數的周期為 2a ；
（5）若 f (x a) f (x b)，則函數的周期為 a b ；
（6）若函數 f (x) 的圖象關于直線 x a與 x b 對稱，則函數 f (x) 的周期為 2 | b a |；
（7）若函數 f (x) 的圖象既關于點 (a,0) 對稱，又關于點 (b,0) 對稱，則函數 f (x) 的周期為 2 | b a |；
（8）若函數 f (x) 的圖象既關于直線 x a對稱，又關于點 (b,0) 對稱，則函數 f (x) 的周期為 4 | b a |．
31．（23-24 高二上·浙江杭州·期末）設函數 y f x 的圖象既關于點 1,1 對稱，又關于直線 x y 0軸對
稱．當 x 0,1 時， f x log2 x 1 ，則 f log2 12 的值為 ．
11 3 2【答案】 /
3 3
【分析】根據函數的對稱性，結合對數的運算法則進行求解即可.
【解析】設函數 y f x 的圖象為C ，
對任意的 x0 0,1 ，令 y0 log2 x0 1 0,1 ，則 x0 , y0 在C 上，
因為 y f x 的圖象既關于點 1,1 對稱，又關于直線 x y 0軸對稱．
所以由 x0 , y0 在C 上，可得 2 x0 , 2 y0 ， y0 2, x0 2 ， 4 y0 , 4 x0 都在C 上，而
log 12 4 log 1 12

2 3 ÷
，
è
x 1所以取 0 ，此時 f log2 12 f 4 y0 4 x
1 11
3 0
4 ，
3 3
11
故答案為：
3
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用函數的對稱性.
32．（2024·河北秦皇島·三模）已知奇函數 f x 的定義域為R ， f x 3 f x ，且 f 2 0 ，則 f x
在 0,6 上的零點個數的最小值為 .
【答案】9
【分析】由 f x 3 f x 結合 f x 是奇函數可求出 f x 的周期為 3，即可求出
f 0 f 3 f 6 0 ，再由 f x 的對稱性和周期性可得 f 2 f 5 f 1 f 4 f 1.5 f 4.5 =0 .
3
【解析】由 f x 3 f x ，可得 f x 的圖象關于點 ,0÷對稱，
è 2
又 f x 是奇函數，所以 f x 3 f x f x ，
則 f x 的周期為 3，所以 f 0 f 3 f 6 0 ，
f 5 f 2 0, f 4 f 1 f 2 f 2 0，
而 f 1.5 f 1.5 f 1.5 ，則 f 1.5 f 4.5 0 .
故 f x 在 0,6 上的零點個數的最小值為 9.
故答案為：9.
ì 3 1 x
a ÷ , x 0,33．（23-24 高一上·河南商丘·期末）已知函數 f x í 4 x è 3 若 f x 的圖象上存在關于直線

log9x, x > 0,
y x 對稱的兩個點，則 a的最大值為 .
1
【答案】 /0.5
2
3 1
【分析】由 y log9 x
1 x 1 x x
與 y ( ) 的圖象關于直線 y x 對稱，得出函數 y ( ) 與 y a( ) 的圖象
9 9 4 x 3
3x 1 1 3x 1
x 0 a ( )x 1在 時有交點， 在 x 0 時有解，令 g(x) ( )x（ x 0 ），由單調性求出 g(x)的
4 x 3 4 x 3
范圍或最大值即可得．
【解析】 y log x y (
1
9 與 )
x
的圖象關于直線 y x 對稱，因此函數 y f (x) 的圖象上存在關于直線 y x
9
的對稱點，
3 1
則函數 y (
1)x與 y a( )x 的圖象在 x 03 時有交點，9 4 x
3 a(1
x 1
)x (1即 )x
3 1 x
3 9 在
x 0 時有解， a ( ) 在 x 0 時有解，
4 x 4 x 3
g(x) 3
x 1 1
令 ( )x（ x 0 ），設 x1 < x2 0 (
1)x (1 x，則 1 > ) 2 ，
4 x 3 3 3
3x1 1 3x2 1
0 < 3x1 1 < 3x2 1， 4 x <1 > 4 x2 > 0 ，∴ 4 x1 4 x
，
2
3x1 1 (1 3
x2 1
)x 11 < ( )x2從而 ，∴ g(x)在 ( ,0]4 上是增函數， x1 3 4 x2 3
由題意 g(x) g(0)
3
1 1 1，所以 a的最大值是
2 2 2
．
1
故答案為： 2 ．
【點睛】方法點睛：兩個函數的圖象關于直線 y x 對稱，則它們互為反函數，而函數圖象上存在兩個點關
于直線 y x 對稱可以轉化為反函數（需有反函數的部分）的圖象與函數圖象（函數的另一部分）有公共點，
從而轉化為方程有解．
34．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在 R 上的偶函數 f x 滿足 f (x) f (2 x)，當 x [0,1]時，
f x 2x . g x e x 1函數 1< x < 3 ，則 f (x) 與 g(x)的圖象所有交點的橫坐標之和為 .
【答案】4
【分析】在同一坐標系內作出 f x 與 g x 的圖象，再利用圖象的對稱性即可求得 f x 與 g x 的圖象所有
交點的橫坐標之和.
y e x【解析】函數 是偶函數，圖象對稱軸為 x 0，則函數 y e x 1 的圖象有對稱軸 x 1，
所以函數 g x e x 1 1< x <3 的圖象有對稱軸 x 1，
x 1
g 1 1， x 1,3 時 g x e x 1 = 1 ÷ ，在 1,3 上單調遞減且 g x > 0，
è e
定義在 R 上的偶函數 f x 滿足 f (x) f (2 x)，
則函數 f x 有對稱軸 x 0, x 1，又當 x [0,1]時， f x 2x，
在同一坐標系在 ( 1,3)內作出 f x 與g x 的圖象，
由圖象可得， f x 與 g x 的圖象有 4 個交點，
又 f x 與 g x 的圖象均有對稱軸 x 1，
則兩函數所有交點的橫坐標之和為 4.
故選：B
35．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 滿足 f x 2 f x ，且當 x 1,1 時， f x x ，有以下四
個結論：① f x 的值域是 0,1 ；② f x 在 0,10 上有 8 個零點；③若方程 f x lg x 3 a 有 4 個不相
等的實數根，則這 4 個實數根之和為 12；④若方程 f x ax a > 0 有 4 個不相等的實數根，則
1 1
< a < ．所有正確結論的序號是 ．
5 3
【答案】①③④
【分析】由已知，畫出函數的簡圖，結合圖形即可判斷.
【解析】由題意可作出函數 f x 的大致圖象如圖所示，
數形結合可知 f x 的值域是 0,1 ， f x 在 0,10 上的零點分別為 2，4，6，8，共 4 個，故①正確，②錯
誤；
易知函數 f x 與 y lg x 3 a的圖象都關于直線 x 3對稱，故若方程 f x lg x 3 a 有 4 個不同的實
數根，則這 4 個實數根之和為 12，故③正確；
3a <1
作出直線 y ax a 0 ì> ，數形結合可知，若方程 f x ax a > 0 有 4 個不相等的實數根，則 í5a ，得 >1
1 1
< a < ，故④正確．
5 3
故所有正確結論的序號是①③④．
故答案為：①③④.
36．（23-24 高一下·湖南長沙·開學考試）我們知道，設函數 f x 的定義域為 I ，如果對任意 x I ，都有
2a x I ，且 f x f 2a x 2b，那么函數 y f x 的圖象關于點 P a,b 成中心對稱．若函數
f x 2x3 c x 的圖象關于點 0,1 成中心對稱，則實數 c的值為 ；若 f t 2 f 5t 6 > 2，則實e 1
數 t 的取值范圍是 ．
【答案】 2 , 1 6,
【分析】
由題意可得 f x f x 2，代入計算即可得 c，結合函數的單調性與對稱性即可求得實數 t 的取值范圍.
【解析】因為函數 f x 2x3 c x 的圖象關于點 0,1 成中心對稱，e 1
所以 f x f x 2，
2x3 c 3 c即
ex
2x x 2， 1 e 1
c ex 1
即 2 ，所以 c 2，
ex 1
f x 2x3 2所以 x 在定義域R 上單調遞減，e 1
令 g x f x 1 2 2x3
ex
1，
1
因為函數 f x 的圖象關于點 0,1 成中心對稱，
所以 g x 的圖象關于 0,0 對稱，
且 g x f x 2 1 2x3 x 1單調遞減，e 1
因為 f t 2 f 5t 6 > 2 f t 2，即 1 > f 5t 6 1，
2
即 g t > g 5t 6 2，也即 g t > g 5t 6 ，
所以 t 2 < 5t 6，則 t 2 5t 6 < 0，解得 t < 1或 t > 6，
故實數 t 的取值范圍是 , 1 6, ．
故答案為：2； , 1 6, .
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 與 g x 及其導函數 f x 和 g x 的定義域都為
R, f x g 2 x , f x 2 g x ，且 f 1 x 為奇函數，則下列等式一定正確的是（ ）
A． f 2023 0 B． f 2024 0 C． f 2023 0 D． f 2024 0
【答案】C
【分析】首先對 f x g 2 x 兩邊求導，得 f x g 2 x ，與 f x 2 g x 聯立可得：
f x f 4 x ，這樣就知道 f x 圖象關于 x 2對稱，再由 f 1 x 為奇函數，又知道 f x 圖象關于點
(1,0)對稱，這樣由雙對稱性質可知 f x 是周期函數且周期為 4，然后即可用賦值法得到結果.
【解析】對 f x g 2 x 兩邊求導，得 f x g 2 x ，
又由 f x 2 g x ，得 f 4 x g 2 x ，
所以 f x f 4 x ，可得 f 1 f 3 ．
由 f 1 x 為奇函數，得 f 1 x f 1 x ，則 f 4 x f x 2 ，
令 x 0得： f 1 f 1 f 1 0，
則由上面兩式可得： f x f x 2 f x 4 ，即 f x 是以 4 為周期的周期函數，
則 f 2023 f 3 f 1 0．
故選：C．
2．（2024·安徽·模擬預測）若定義在R 上的函數 f x ，滿足 2 f x y f x y f 2x f 2y ，且
f 1 1，則 f 0 f 1 f 2 ××× f 2024 （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
【答案】D
1
【分析】利用賦值法，先后求出 f 0 1 f 1， ÷ 0，再令 y x ，得到 f x f x 1 0，即可求解.
è 2 2
1
【解析】令 x y ，則有 2 f 1 f 0 f 1 f 1 ，
2
又 f 1 1 1，∴ f 0 1.令 x ， y 0 .
2
2 f 1 則有 ÷ f
1
f 1 f 0 1 1 0 f
1
，∴
0 .
è 2 è 2 ÷ ÷ è 2
令 y
1
x ，則有 2 f
2x 1 1 ÷ f ÷ f 2x f 2x 1 .2 è 2 è 2
f 1∵ ÷ 0，∴ f 2x f 2x 1 0，∴ f x f x 1 0，
è 2
∴ f 0 f 1 f 2 ××× f 2024
f 0 é f 1 f 2 ù ××× é f 2023 f 2024 ù 1 1012 0 1 .
故選：D.
3．（2024·四川南充·三模）已知函數 f x 、g x 的定義域均為 R，函數 f (2x 1) 1的圖象關于原點對稱，
函數 g(x 1)的圖象關于 y 軸對稱， f (x 2) g(x 1) 1, f ( 4) 0，則 f (2030) g(2017) （ ）
A． 4 B． 3 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用題設得到 f x f 2 x 2 ①和 g x 1 g x 1 ②，又由 f (x 2) g(x 1) 1，結合
①式，推得 g(x)的周期為 12，利用 f ( 4) 0求得 f 2 2和 g(1) 1，最后利用 g(x)的周期性即可求得.
【解析】由函數 f (2x 1) 1的圖象關于原點對稱， f 2x 1 1 f 2x 1 1，
即 f ( x 1) 2 f (x 1)，即 f x f 2 x 2 ①，
由函數 g(x 1)的圖象關于 y 軸對稱，可得 g x 1 g x 1 ②，
由 f x 2 g x 1 1可得 f x g x 1 1，又得 f 2 x g x 3 1，
兩式相加， f x f 2 x g x 1 g x 3 2，將①式代入，得 g x 1 g x 3 0，
則得 g x 5 g x 1 0，將②式代入得， g x 1 g x 5 ，則 g x 6 g x ，
于是 g x 12 g x 6 g(x)，即 g(x)的周期為 12.
又 f ( 4) 0，由①可得 f 2 f 4 2 ，得 f 2 2，
又由 f x 2 g x 1 1可得 f (2) g(1) 1，即得 g(1) 1.
因 f 2030 g 2029 1，可得， f 2030 1 g 2029 ，
于是， f (2030) g(2017) 1 g 2029 g(2017) 1 g(1) g(1) 1 2g(1) 3.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查抽象函數的對稱性應用，屬于難題.
解題關鍵在于根據中心對稱和軸對稱得出函數關系式： f x f 2 x 2 ①和 g x 1 g x 1 ②，
再由 f (x 2) g(x 1) 1利用消元思想，轉化為關于 g(x)的關系式是最關鍵之處，其次是利用 g(x)的關系
式求得 g(x)的周期是第二關鍵，之后賦值求得 g(1) 1即可得解.
4．（2024·貴州畢節·三模）已知函數 f (x) 的圖象在 x 軸上方，對"x R ，都有 f (x 2) × f (x) 2 f (1)，若
y f (x 1)的圖象關于直線 x 1對稱，且 f (0) 1，則 f (2023) f (2024) f (2025) （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先由函數 y f (x 1)的圖象關于直線 x 1對稱，得函數 y f (x) 的圖象關于直線 x 0對稱，即函
數是偶函數，可得 f ( x) f (x)．再把 x 2 代入，可得函數周期為 4，求得 f (1) 2， f (3) 2，即可求
解．
【解析】因為 y f (x 1)的圖象關于直線 x 1對稱，
所以函數 y f (x) 的圖象關于直線 x 0對稱，即函數 y f (x) 是偶函數，故有 f ( x) f (x)．
因為"x R ，都有 f (x 2) × f (x) 2 f (1)，所以 f (x 4) × f (x 2) 2 f (1)，
所以 f (x 2) × f (x) f (x 4) × f (x 2) ，又函數 f (x) 的圖象在 x 軸上方，
所以 f (x) 0，所以 f (x 4) f (x) ，即函數 y f (x) 的周期為 4．
當 x 1，可得 f (3) × f (1) 2 f (1)，所以 f (3) 2，
當 x= 1，可得 f ( 1 2) × f ( 1) 2 f (1)，所以 f ( 1) 2，所以 f (1) 2，
所以 f (2023) f (2024) f (2025) f (3) f (0) f (1) 2 1 2 5 .
故選：C．
5．（2024·江西·模擬預測）已知定義域為 R 的函數 f x , g x 滿足： g 0 0 ，
f x g y f y g x f x y ，且 g x g y f x f y g x y ，則下列說法不正確的是（ ）
A． g 0 1 B． f x 是奇函數
C．若 f 1 g 1 1，則 f 2024 g 2024 1 D． g x 是奇函數
【答案】D
【分析】B 選項，根據 f x g y f y g x f x y 得到 f y x f x y ，故 f x 為奇函數；A 選
項，由 B 可知 f 0 0，賦值得到 ég
2 2
0 ù é f 0 ù g 0 ，故 g 0 1；D 選項，由
g x g y f x f y g x y 得到 g y x g x y ，D 正確；C 選項，化簡得到
f x y g x y é f y g y ù é f x g x ù ，結合 f 1 g 1 1，求出
f x 1 g x 1 f x g x ，得到 f 2024 g 2024 1 .
【解析】B 選項，由 f x g y f y g x f x y 得 f y g x f x g y f y x ，
所以 f y x f x y ，故 f x 是奇函數，故 B 正確；
A 選項，由 f x 是奇函數得 f 0 0，令 x y 0 ，
由 g x g y f x f y g x y 2 2可得 ég 0 ù é f 0 ù g 0 ，
又 g 0 0，得 g 0 1，故 A 正確；
D 選項，由 g x g y f x f y g x y 得 g y g x f y f x g y x ，所以 g y x g x y ，
故 g x 是偶函數，所以 D 錯誤；
C 選項，由題意得 f x y g x y f x g y f y g x g x g y f x f y
é f y g y ù é f x g x ù ，
令 y 1得 f x 1 g x 1 é f 1 g 1 ù é f x g x ù ，
當 f 1 g 1 1時， f x 1 g x 1 f x g x ，
故 f 2 g 2 f 1 g 1 ， f 3 g 3 f 2 g 2 ，依次求出，
f 2024 g 2024 é f 0 g 0 ù 1，所以 C 正確．
故選：D
【點睛】賦值法處理抽象函數，是解決抽象函數問題的關鍵，需要賦值法求出一些關鍵函數值，并結合函
數單調性和奇偶性定義進行求解.
é 1 3 ù
6．（2024·山東聊城·三模）設函數 f x 的圖象與函數 y 2cosπx x , ÷的圖象關于 x 軸對稱，將 f x
è ê 2 2 ú
1 1
的圖象向右平移 2 個單位長度后得到函數
g x 的圖象，則函數 y 的圖象與 y g x 的圖象的所有交
x 1
點的橫坐標之和為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用軸對稱求得函數 f x ，利用三角函數平移變換得到函數 g x ，再利用函數的對稱中心計算得
到結果.
【解析】由題意得 f x 2cosπx x
1
éê ,
3 ù
ú ÷ ，則 g x 2cos
éπ(x 1 )ù 2sinπx x 0,2 .
è 2 2 ê 2 ú
1 1
函數 y 的圖象由函數 y x 圖形向右平移 1 個單位得到.x 1
1
由函數 y 的圖象與 y g(x) 的圖象關于點 (1,0)對稱，在定義域內有 4 個交點.
x 1
1
所以函數 y 的圖象與 y g(x) 的圖象的所有交點的橫坐標之和為
x 1 2 2 4
故選：C.
7．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x e2x 1 e1 2x sin π x π ÷ 1，則不等式 f 2x 1 f 2 x 2
è 2 4
的解集為（ ）
A． , 2 B． 2, C． 2,2 D． 2,
【答案】D
1
【分析】根據函數解析式特征，判斷其圖象關于點 ,1÷中心對稱；通過求導判斷導函數為正得 f x 在2 Rè
上單調遞增；再利用對稱性將 f 2x 1 f 2 x 2進行等價轉化，最后利用單調性求解抽象不等式即得.
f x e2x 1 e1 2x sin π π【解析】因為 x ÷ 1，
è 2 4
所以 f 1 x e2 1 x 1 e1 2 1 x sin é π 1 x πê
ù 1 e1 2x e2x 1 sin π x π 1，
2 4 ú ÷ è 2 4
所以 f 1 x f x 1 2 ，即 f x 的圖像關于點 ,1÷中心對稱．
è 2
f x 2e2x 1 2e1 2x π cos π x π 2 2e2x 1 2e1 2x π cos π x π 4 π cos π x π ÷ ÷ ÷（當且僅當2 è 2 4 2 è 2 4 2 è 2 4
x 1 時等號成立）．
2
π π
因為 1 cos
x ÷ 1
π
，所以 f x 4 > 0，所以 f x 在R 上單調遞增．
è 2 4 2
由 f 1 x f x 2，得 f 2 x f 1 x 2．
由 f 2x 1 f 2 x 2可得 f 2x 1 f 2 x f 2 x f 1 x ，即 f 2x 1 f 1 x ，
所以 2x 1 1 x ，解得 x 2．
故選：D．
【點睛】關鍵點點睛：根據函數式判斷出函數圖象的中心對稱特點，利用導數判斷函數的單調性；此外，
還得會利用對稱性將不等式進行簡化.
8．（2024·陜西西安·模擬預測）已知 f x 的定義域為R ，函數 f x 滿足
f x f 4 12x 2023 x 6, g x ， f x , g x 圖象的交點分別是 x1, y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , x4 , y4 ,LL，4x 8
xn , yn ，則 y1 y2 LL yn可能值為（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
【答案】C
【分析】可以分別說明 f x , g x 的對稱中心為 2,3 ，從而兩個函數的圖象交點關于 2,3 對稱，即
y1 y2 LL yn應為 6 的倍數，由此即可逐一判斷.
【解析】因為函數 f x 滿足 f x f 4 x 6，所以 f x 的對稱中心為 2,3 ，
12 2 x 2023 12g 2 x g 2 x 2 x 2023注意到 4 2 x 8 4 2 x 8
12 2 x 2023 12 2 x 2023
6，
4x 4x
g x 12x 2023所以 的對稱中心也是 2,3 ，
4x 8
故兩個函數的圖象交點關于 2,3 對稱，
故 y1 y2 LL yn應為 6 的倍數，對比選項可知 C 選項符合題意.
故選：C.
二、多選題
9．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知直線 x 1是函數 f x 圖象的對稱軸，則函數 f x 的解析式可以是
（ ）
f x 1A B f x ex 1 e1 x． x 1 ．
C． f x cosπx D 2． f x x 2 x
【答案】ABC
【分析】根據函數圖象的平移變換即可判斷 AB；令 πx kπ, k Z ，即可判斷 C；根據 f 1 f 3 即可判
斷 D.
1
【解析】A：函數圖象由 y x 圖象沿
x 軸向右平移 1 個單位，
再把 x 軸下方的圖象關于 x 軸對稱翻折到 x 軸上方，故關于直線 x 1對稱，故 A 正確；
B f x ex 1：函數 e1 x 的圖象是由 y ex e x圖象沿 x 軸向右平移 1 個單位得到的，
而函數 y ex e x是偶函數，關于 y 軸對稱，
其圖象沿 x 軸向右平移 1 個單位后的圖象剛好關于直線 x 1對稱，故 B 正確；
C：令 πx kπ, k Z ，則該函數的對稱軸為直線 x k,k Z ，故 x 1符合題意，故 C 正確；
D： f 1 1, f 3 3，顯然 f 1 f 3 ，
故此函數不是關于直線 x 1對稱的，故 D 錯誤.
故選：ABC.
10．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知函數 f x 及其導函數 f x 的定義域均為R ，記
g x f x ．若 f 2x 1 與 g x 2 均為偶函數，且 g 2 2，則下列選項正確的是（ ）
A． g x 是周期 4 的周期函數 B． g x 圖象關于點 1,0 對稱
1999
C． g i 2 D． f x 圖象關于點 2,0 對稱
i 1
【答案】AB
【分析】由周期函數的定義即可求解 A，根據函數奇偶性的定義，結合函數的對稱性的性質即可求解 B，根
據原函數與導數的關系即可求解 C，根據函數周期性的性質即可求解 D.
【解析】對于 A、B，因為 g x 2 為偶函數，所以 g x 2 g x 2 ，即 g x g 4 x ，
所以函數 g x 的圖象關于 x 2對稱，又 f 2x 1 為偶函數，
所以 f 2x 1 f 2x 1 ，兩邊求導得 2 f 2x 1 2 f 2x 1 ，
所以 f 2x 1 f 2x 1 ，即 f x f x 2 ，即 g x g 2 x ， g x 關于 1,0 對稱，
所以 g 4 x g 2 x ，即 g x 4 g x ，所以 g x 是周期為 4 的函數；
故 A、B 正確；
對于 C，由 g x g 2 x ，令 x 0，得 g 0 g 2 0，令 x 1，得 g 1 0，
因為 g x g 4 x ，所以 g 1 g 3 0，即 g 1 g 2 g 3 g 4 0，
1999
又 g x 周期為 4，所以 g i g 1 g 2 g 3 2，故 C 錯誤；
i 1
對于 D，又因為 g x 周期為 4，故 g 4 x g x ，即 f 4 x f x f x 2 ，
所以 f 4 x f 2 x c，因此 f 4 x f 2 x c，
又 f x 2 f x 2 ，則 f x 2 f x 2 c ，
所以 f 4 x f x 2 f x 2 c，所以 c = 0 ，即得 f 4 x f 2 x ，
所以函數 f x 的圖象關于直線 x 3對稱，結合 A、B 結論，選項 D 錯誤.
故選：AB.
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用函數的奇偶性以及合理賦值確定函數的對稱性及周期性.
11．（2024·湖北·模擬預測）設定義在R 上的函數 f x 與 g x 的導函數分別為 f x 和 g x .若
f x 4 g x 2， g x 2 f x ，且 f x 2 為奇函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數 f x 的圖象關于直線 x 1對稱 B． g 2023 g 2025 2
2023 2023
C． f k 0 D． g k 0
k 1 k 1
【答案】AC
【分析】對于 A：由 g x f x 2 可設 g x f x 2 a ，根據題意分析可得 a 2 ， f x f 2 x ，
即可得結果；對于 C：結合奇偶性可得函數 f x 的周期T 4，結合周期性分析求解；對于 B：分析可知
g x f x 2，根據周期性分析求解；對于 D：結合選項 BC 中的結論運算求解.
【解析】對于選項 A：因為 g x f x 2 ，則 g x f x 2 a ，
可得 g 4 x f 2 x a，
又因為 f x g 4 x 2，可得 f x f 2 x a 2 .
令 x 1，可得 f 1 f 1 a 2，解得 a 2 ，
可得 f x f 2 x ，所以函數 f x 的圖象關于直線 x 1對稱，A 正確；
對于選項 C：因為 f x 2 為奇函數，
可知 y f x 的圖象關于點 2,0 對稱，且 f 2 x f 2 x 0，
令 x 0，可得 2 f 2 0，即 f 2 0 ；
令 x 1，可得 f 1 f 3 0；
令 x 1，可得 f 4 f 0 0；
由函數 f x 的圖象關于直線 x 1對稱，可得 f 0 0；
所以 f 4 0 ，
又因為 f x 2 f x 2 f x ，則 f x f x 2 f x 4 ，
可知函數 f x 的周期T 4，
2023
所以 f k 505 é f 1 f 2 f 3 f 4 ù f 1 f 2 f 3 0 ，故 C 正確；
k 1
對于選項 B：由 AC 可知 g x f x 2 2 f x 2 2 f x 2，
可得 g 2023 f 2021 2 f 1 2， g 2025 f 2023 2 f 3 2 ，
所以 g 2023 g 2025 f 1 2 f 3 2 4，故 B 錯誤；
2023 2023 2023
對于選項 D：可得 g k é f k 2 ù f k 2 2023 4046 ，故 D 錯誤.
k 1 k 1 k 1
故選：AC.
【點睛】方法點睛：函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性和周期性以及函數圖象的對稱性，在解題中
根據問題的條件通過變換函數的解析式或者已知的函數關系，推證函數的性質，根據函數的性質解決問
題．
三、填空題
12．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為R 的函數 f (x) 滿足 f (x 2) f (x) ，且當0 < x < 2時，
f (x) 3x ln x，則 f (211) .
【答案】 3
【分析】利用函數的奇偶性與周期性計算即可.
【解析】由已知可得 f x 2 f x 0，所以 f x 4 f x 2 0，
所以 f x 4 f x ，即T 4是函數 f x 的一個周期，
所以 f 211 f 3 f 1 31 ln1 3 .
故答案為： 3
13．（2023·海南海口·一模）已知定義在R 上的偶函數 f x 滿足 f 4 x f x ，且當 x 0,2 時，
ì3x 1,0 x <1
f (x) í ，則 f 18 .
log2 (x 2),1 x 2
【答案】2
【分析】根據奇偶性推出周期，再利用周期性可求出結果.
【解析】∵ f 4 x f x f x ，∴ f x 4 f x ，即 4 為函數 f x 的周期，
∴ f 18 f 4 4 2 f 2 log2 4 2 .
故答案為：2
14．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在 0, 上的增函數 f x 滿足:對任意的 a,b 0, 都有
f ab f a f b 且 f 4 2，函數 g x 滿足 g x g 4 x 2 ， g 4 x g x 2 . 當 x 0,1 時，
g x f x 1 1，若 g x 在 0, m 上取得最大值的 x 值依次為x1，x2，…， xk ，取得最小值的 x 值依次為
k n
x1 ， x2 ，…， xn ，若 éxi g xi ù éxi g xi ù 21，則m 的取值范圍為
i 1 i 1
【答案】 9,11 .
【分析】由 f x 的性質得 f 2 1， f 1 0，由 g x 滿足的條件得 g 0 1， g 1 0， g x 的圖象關
于點 2,-1 對稱，關于直線 x 3對稱， g x 的一個周期是 4，可得 g x 的最值點與最值的結果，結合已知
分析求解.
【解析】定義在 0, 上的增函數 f x ，對任意的 a,b 0, 都有 f ab f a f b 且 f 4 2，
則 f 4 f 2 2 f 2 f 2 2，得 f 2 1，
f 2 f 1 2 f 1 f 2 1，得 f 1 0，
當 x 0,1 時， g x f x 1 1，則 g x 在 0,1 上單調遞增，且 g 0 1， g 1 0，
函數 g x 滿足 g x g 4 x 2 ，則 g x 的圖象關于點 2,-1 對稱，
得 g x 在 3,4 上單調遞增，且 g 4 1， g 3 2，
g 4 x g x 2 ，則 g x 的圖象關于直線 x 3對稱，
得 g x 在 1,2 和 2,3 上單調遞減，且 g 2 1，
由 g x g 4 x 2 和 g 4 x g x 2 ，得 g x g x 2 2，
則有 g x 2 g x 4 2， g x 4 g x ，
故 g x 的一個周期是 4，且在 x 4t 1 t Z 時取最大值 0，在 x 4t 3 t Z 時取最小值-2，
若 g x 在 0, m 上取得最大值的 x 值依次為x1，x x 2，…， xk ，取得最小值的 值依次為 x1 ， x2 ，…， xn，
有 k n 或 k n 1，
k n
éxi g xi ù éxi g xi ù 1 5 L 4k 3 3 7 L 4n 1 2n 2k 2 k 2n2 n 21，
i 1 i 1
當 k n 時，有 4k 2 2k 21 0，方程無正整數解；
當 k n 1時，有 2n2 n 10 0，解得 k 3,n 2；
則有 x3 m < x3 ，即9 m <11，
所以m 的取值范圍為 9,11 .
故答案為： 9,11
【點睛】方法點睛：
本題以抽象函數為載體綜合考查函數的性質，關鍵是根據已知條件判斷出的周期及其在一個周期內的單調
性和最值.
以下是抽象函數周期性質的一些總結，可以適當總結記憶：
設函數 y f (x), x R,a > 0,a b ．
（1）若 f (x a) f (x a) ，則函數的周期為 2a ；
（2）若 f (x a) f (x)，則函數的周期為 2a ；
（3）若 f x a
1

f x ，則函數的周期為 2a ；
（4）若 f x a
1

f x ，則函數的周期為 2a ；
（5）若 f (x a) f (x b)，則函數的周期為 a b ；
（6）若函數 f (x) 的圖象關于直線 x a與 x b 對稱，則函數 f (x) 的周期為 2 | b a |；
（7）若函數 f (x) 的圖象既關于點 (a,0) 對稱，又關于點 (b,0) 對稱，則函數 f (x) 的周期為 2 | b a |；
（8）若函數 f (x) 的圖象既關于直線 x a對稱，又關于點 (b,0) 對稱，則函數 f (x) 的周期為 4 | b a |．
四、解答題
15．（2023·上海徐匯·一模）若函數 y f (x), x R 的導函數 y f (x), x R 是以T (T 0)為周期的函數，則稱
函數 y f (x), x R 具有“T 性質”．
(1)試判斷函數 y = x2 和 y sin x 是否具有“ 2π性質”，并說明理由；
(2)已知函數 y h(x)，其中 h(x) ax2 bx 2sinbx(0 < b < 3)具有“ π性質”，求函數 y h(x)在[0, p]上的極小值點；
(3)若函數 y f (x), x R 具有“T 性質”，且存在實數M > 0使得對任意 x R 都有 | f (x) |< M 成立，求證：
y f (x), x R 為周期函數．
（可用結論：若函數 y f (x), x R 的導函數滿足 f (x)=0, x R ，則 f (x) C （常數）．）
【答案】(1) f (x) x2 不具有“ 2π性質”， g(x) sin x 具有“ 2π性質”，理由見解析
2π
(2)
3
(3)證明見解析
【分析】
（1）根據所給定義計算可得；
（2）法一：依題意可得 h (x π) h (x) cosbx cosb(x π)
aπ π
可得 對 x Rb 恒成立，再令 x 0、 x 求出
a、
b
b bπ bπ aπ bπ的值，再利用導數求出函數的極小值點；法二：依題意可得 sin(bx ) × sin( ) 2 2 2b ，所以 sin( ) 02 且
aπ
0
2b ，即可求出
a、b 的值，再利用導數求出函數的極小值點；
（3）令 h x f x T f x ，則 h x 0，從而得到 h x c（ c為常數），法一：分 c = 0 、 c > 0、 c < 0
c 0 c 0 n é
M ù
三種情況討論；法二：分 = 和 c 0兩種情況討論，當 c 0時，不妨令 > ，記 ê 1，推出矛盾即 c ú
可得解.
【解析】（1）
f (x) x2 不具有“ 2π性質”．理由是： f (x) 2x ， f 2π f (0) 4π 0，\ f 2π f (0)；
g(x) sin x 具有“ 2π性質”．理由是： g (x) cos x， g (x 2π) g (x) ．
（2）
法一： h(x) ax2 bx 2sinbx(0 < b < 3)，則 h (x) 2ax b 2bcosbx(0 < b < 3)，
由 h (x π) h (x)可得 cosbx cosb(x π)
aπ
x R
b 對 恒成立．
令 x 0，得1 cosbπ aπ ① π；令 x ，得 1 cosbπ aπ ②．
b b b
2aπ
① ②得 0 ，因此 a 0，從而 cosbx cos(bx bπ)恒成立，
b
\bπ 2kπ 即有b 2k,k Z 且b 0 ．
π 2π
由0 < b < 3得b=2，所以 h (x) 2 4cos 2x ，當 x [0, π]時，令 h (x) 0可得 x , x ，列表如下：
3 3
[0, π) π (p 2p 2π (2πx , ) , π]
3 3 3 3 3 3
h (x) + 0 0 +
h(x) Z 極大值 ] 極小值 Z
2π
函數 h(x) 在[0, p]的極小值點為 ．
3
法二： h (x) 2ax b 2bcosbx(0 < b < 3)，
由 h (x π) h (x)，可得 cosbx cosb(x π)
aπ

b ，
cos é bx bπ bπ ù cos é bx bπ bπ ù aπ所以 ê ÷ ÷ ，
è 2 2 ú ê è 2 2 ú b
bπ
即 cos bx ÷cos
bπ sin bx bπ bπ sin cos ÷ bx
bπ
÷cos
bπ
sin bx bπ sin bπ aπ 2 2 2 2 2 2 2 ÷
，
è è è è 2 b
所以 sin(bx
bπ bπ aπ bπ aπ
) × sin( ) ，所以 sin( ) 0且 0，所以 a 0且b=2k(k Z) b 02 2 2b 2 2b 且 ．
h (x) 2 4cos 2x x [0, π] h (x) 0 x π 2π由0 < b < 3得b=2，所以 ，當 時，令 可得 , x ，列表如下：
3 3
[0, π) π (p , 2p 2π 2πx ) ( , π]
3 3 3 3 3 3
h (x) + 0 0 +
h(x) Z 極大值 ] 極小值 Z
函數 h(x) 在[0, p]
2π
的極小值點為 ．
3
（3）
令 h x f x T f x ，因為 y f x , x R 具有“T ”性質
\ f x T f x ，
\h x f x T f x 0，
\h x c f x T f x （ c為常數），
法一：
① 若 c = 0 ， f (x) 是以T 為周期的周期函數；
②若 c > 0，由 f (nT ) f (0) nc ，
當 n
M f (0)
時， f (nT ) f (0) nc f (0) M f (0) M ，這與 f x < M 矛盾，舍去；
c
③若 c < 0，由 f (nT ) f (0) nc ，
n M f (0)當 時， f (nT ) f (0) nc f (0) M f (0) M ，這與 f x < M 矛盾，舍去．
c
綜上， c = 0 ． f x T f x 0，所以 f x 是周期函數．
法二：
當 c = 0 時， f x T f x 0，所以 f x 是周期函數．
é M ù
當 c 0時，不妨令 c > 0，記 n ê ú 1，其中[x]表示不大于 x 的最大整數．（ c < 0同理可證）， c
若存在 f x0 > 0，這 f x0 nT f x0 nc nc
M
> é ù ê ú 1÷c > M ．è c
這與 f x < M 矛盾．
f x 0 f x nT | f x nc | nc é M ù若存在 0 < ，這 0 0 > ê ú 1

÷c > M ．
è c
這與 f x < M 矛盾．
若不存在 x0 R ，使得 f x0 > 0或 f x0 < 0，則 f x =0, x R ，此時 c = 0 ，與 c 0矛盾，故舍去．
綜上， c = 0 ． f x T f x 0，所以 f x 是周期函數．
【點睛】方法點睛：函數新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；
（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；
（3）發現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規律；
（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用
書上的概念.特訓 01 函數的周期性與對稱性及應用（九大題型）
一 、函數圖象的對稱性
1.對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數的定義域 要關于對稱軸(或對稱中心)對稱。
2.函數圖象對稱性的結論
（a x） （b x） a b
(1)函數 f(x)滿 足 f(a+x)=f(b-x) y=f(x)的圖象關于直線 x=
2 2
a b
(2)函數 f(x)滿足 f(a+x)+f(b-x)=2c y=f(x)的圖像關于點（ ，c）對稱
2
二 、函數奇偶性與對稱性間的關系
(1)若函數 y= (x+a)是偶函數，即 f(a-x)=f(a+x),則函數 y=f(x)的圖象關于直線 x=a 對稱.
一般的，若對于 R 上的任意 x 都有 f(a-x)=f(a+x), 則 y=f(x)的圖象關于直線 x=a 對稱.
(2)若函數 y= (x+a)是奇函數，即 (-x+a)+f(x+a)=0,則函數 y=f(x)的圖象關于點(a,0) 對稱.
一般的，若對于 R 上的任意 x 都有 f(-x+a)+f(x+a)=2b, 則 y=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱。
三、函數的周期性
1.周期函數的定義
對于函數y=f(x),如果存在一個常數T≠0,能使得當x取定義域內的所有值時，都有 f(x+T)= (x),則函數y=f(x)
叫做以 T 為周期的周期函數.
2. 函數周期性的結論
(1)若函數 f（x）恒滿足 f（x+a）=f（x+b），則 f（x）是周期函數， 2 a b 是它的一個周期.
(2)若函數 f（x）恒滿足 f（x+a）= -f（x），則 f（x）是周期函數， 2 a 是它的一個周期.
推論：若函數(x)恒滿足/(x+a)= -f（x+b）(a≠b)，則 f（x）是周期函數， 2 a b 是它的一個周期.
1
(3)若函數 f（x）恒滿足 f（x+a）= (a≠0)，則 f（x）是周期函數， 2 a 是它的一個周期.
f（x）
1
推論：若函數(x)恒滿足 f (x+a)= (a≠b)，則 f（x）是周期函數， 2 a b 是它的一個周期.
f（x b）
1
(4)若函數 f（x）恒滿足 f（x+a）= - (a≠0)，則 f（x）是周期函數， 2 a 是它的一個周期.f（x）
1
推論：若函數(x)恒滿足 f (x+a)= - (a≠b)，則 f（x）是周期函數， 2 a b 是它的一個周期.f（x b）
1 f（x）
(5)對于定義域中的任意 x,恒有 f（x T） （T 0）,則 f(x)為周期函數， 4 T 是它的一個周期.
1 f（x）
1 f（x）
(6)對于定義域中的任意 x,恒有 f（x T） （T 0）,則 f(x)為周期函數， 2 T 是它的一個周期.
1 f（x）
(7)如果(x)=f(x-a)-f(x-2a)(a=0),等價于(x)=-f(x-3a),則 f(x)為周期函數，且6 a 是它的一個周期.
四、函數的對稱性與周期性間的關系(多對稱性產生周期性)
2 a
(1)若函數 f(x)是偶函數，且關于直線 x=a(a≠0)對稱，則 f(x)是周期函數， 是它的一個周期
2 a b
推論：若函數 f (x)關于直線 x=a,x=b(a≠b)對稱，則 f (x)是周期函數， 是它的一個周期 .
4 a
(2)若函數 f(x) 是奇函數，且關于直線 x=a(a≠0)對稱，則 f(x) 是周期函數， 是它的一個周期
4 a b
推論：若函數 f(x)關于點(a,0)、直線 x=b(a≠b)對稱，則 f(x)是周期函數， 是它的一個周期.
2 a
(3)若函數 f(x)是奇函數，且關于點(a,0)(a≠0) 對稱，則 f(x) 是周期函數 是它的一個周期
2 a b
推論：若函數關于點 ( a , 0 ) , ( b , 0 ) ( a ≠ b )對稱，則 f ( x )是周期函數， 是它的一個周期
目錄：
01 函數周期性的定義與求解
02 由周期性求函數的解析式
03 判斷證明抽象函數的周期性
04 由函數的周期性求函數值
05 判斷或證明函數的對稱性
06 由對稱性求函數的解析式
07 由對稱性研究函數的單調性
08 由對稱性求參數
09 函數周期性、對稱性有關的零點、交點、方程的根、圖像對稱等問題
01 函數周期性的定義與求解
1．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數 f 2x 5 的周期是 3，則 f x 的周期為（ ）．
3
A． B．3 C．6 D．9
2
2．（2021 高一·上海·專題練習）函數 f (x) 為定義在 R 上的奇函數，且滿足 f (x) f (2 x)，則 f (x) 的周期
為 ．
3
3．（20-21

高二上·廣東汕頭·期末）已知函數 f x 是奇函數，且滿足 f (x) f (x 3) ，若當 x 0, 2 ÷時，è
f (x) x ，則 f (2021) .
4．（2024·廣東茂名·一模）函數 y f x 和 y f x 2 均為R 上的奇函數，若 f 1 2 ，則 f 2023
（ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．2
5．（23-24 高三上·四川成都·階段練習）已知函數 f x 的定義域為R, f x 1 為偶函數， f 4 x f x ，
則（ ）
A．函數 f x 為偶函數 B． f 3 0
f 1C
5
． 2 ÷
f ÷ D． f 2023 0
è è 2
02 由周期性求函數的解析式
6．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f (x) 滿足 f (x 2) f (x) ，當 x ( 1,0)時，有 f (x) 2x ，則當 x∈
（-3，-2）時， f (x) 等于（ ）
A． 2x B． 2x C． 2x 2 D． 2 (x 2)
7．（22-23 高三·全國·對口高考）函數 y f x 的周期為 2，且當 x 1,1 時， f x x，則 y f x ，
x 2k 1,2k 1 k Z 的解析式為 ．
8．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 y f x 是定義在 R 上奇函數，且滿足 f x 2 f x 0 ,當
x 2,0 時， f x x2 2x，則當 x 2018,2020 時 y f x 的最大值為
A． 8 B． 1 C．1 D．0
9．（21-22 高三上·上海浦東新·階段練習）設 f (x) 是定義在 R 上周期為 4 的偶函數，且當 x 0,2 時，
f (x) log2 x 1 ，則函數 f (x) 在 2,4 上的解析式為 .
10．（2021·新疆巴音郭楞·模擬預測）設 f (x)是定義在 R 上周期為 4 的奇函數，若在區間[－2，0)∪(0，2]上，
ìax b, 2 x < 0,
f (x)＝ í
ax 1,0 < x 2,
則 f (2019)＝ .
03 判斷證明抽象函數的周期性
11．（2022 高三·全國·專題練習）設 f (x) 是定義在 R 上的奇函數，且對任意實數 x ，恒有 f (x 2) f (x) ．當
x [0 ， 2]時， f (x) 2x x2 ．
（1）求證： f (x) 是周期函數；
（2）當 x [2， 4]時，求 f (x) 的解析式；
（3）計算 f (0) f (1) f (2) L f (2008) 的值．
12．（23-24 高一上·山西運城·期末）已知定義在R 上的函數 f (x) 滿足"x, y R，都有
f (x y) f (x y) 2 f (x) f ( y), f (1) 0且當 x [0,1) 時， f (x) > 0.
(1)求 f (0), f ( 1)；
(2)證明： f (x) 為周期函數；
(3)判斷并證明 f (x) 在區間( 0, 1)上的單調性．
13．（23-24 高三上·重慶·階段練習）定義在R 上的函數 f x 滿足:對任意 x R ，都有 f 4 2x f 2x ，
且 f x 1 為奇函數，則下列選項正確的是（ ）
A． f 2x 1 f 2x B． f 2 x =f x
C． f x 2 為偶函數 D． f 2x 為奇函數
14．（22-23 高二下·上海黃浦·期末）已知函數 y f x x R ，其導函數記為 y f x x R ，有以下
四個命題：
①若 y f x 為偶函數，則 y f x 為奇函數；
②若 y f x 為偶函數，則 y f x 為奇函數；
③若 y f x 為周期函數，則 y f x 也為周期函數；
④若 y f x 為周期函數，則 y f x 也為周期函數.
其中真命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
04 由函數的周期性求函數值
15．（23-24 高一下·河南南陽·階段練習）函數 f x 2sin wx j w > 0, j < π 的圖象如圖所示，直線
y x 3經過函數 f x 圖象的最高點M 和最低點 N ，則 f 0 f 1 f 2 f 3 L f 2026 （ ）
A． 2 2 B．0 C． 2 2 D． 2 2 2
16．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 與 g x 及其導函數 f x 和 g x 的定義域都為
R, f x g 2 x , f x 2 g x ，且 f 1 x 為奇函數，則下列等式一定正確的是（ ）
A． f 2023 0 B． f 2024 0 C． f 2023 0 D． f 2024 0
17．（2024·山西晉中·模擬預測）已知函數 f x , g x 的定義域均為
2024
R, f x g 2 x 5, g x f x 4 3，若 g x 2 是偶函數且 f 0 0，則 f k （ ）
k 1
A．0 B．4 C．2023 D．2024
05 判斷或證明函數的對稱性
f (x) 2x 218．（2024·山西臨汾·二模）已知函數 | x ，則下列結論正確的是（ ） 1|
A．函數 f (x) 在 (1, )上單調遞增
B．函數 f (x) 的圖象關于直線 x 1對稱
C．"m > 2 ，方程 f (x) m都有兩個不等的實根
D．不等式 f (x) > x 1恒成立
19．（2024 高三·全國·專題練習）若函數 y＝f(x)的定義域為 R，則函數 y＝f(x－1)與 y＝f(1－x)的圖象關于
直線（ ）
A．x＝0 對稱 B．y＝0 對稱 C．x＝1 對稱 D．y＝1 對稱
ì1 , x m是有理數 m,n是互質的正整數
20．（2024·浙江溫州·二模）已知定義在 0,1 上的函數 f x ín n ，則
1,x是無理數
下列結論正確的是（ ）
A． f x 1 1 1 的圖象關于 x 對稱 B． f x 的圖象關于 , ÷對稱2 è 2 2
C． f x 在 0,1 單調遞增 D． f x 有最小值
06 由對稱性求函數的解析式
21．（2023·新疆·二模）設 f x 是定義在 R 上的以 2 為周期的偶函數，在區間 1,2 上單調遞減，且滿足
ì0 x 1
f π 1， f 2π 0，則不等式組 í0 f x 1的解集為（ ）
A é
1 ù
． ê ,1ú B． 0,4 π C． 2π 6,1 D． 2π 6,4 π 2
22．（2023·河南·模擬預測）已知函數 f x 對任意 x R 都有 f x f x 2 ，且函數 f x 1 的圖象關于
1,0 對稱，當 x 1,1 時， f x tanx .則下列結論正確的是（ ）
A．函數 y f x 的圖象關于點 k,0 k Z 對稱
B．函數 y f x 的圖象關于直線 x 2k k Z 對稱
C．函數 y f x 的最小正周期為 2
D．當 x 2,3 時， f x tan x 2
23．（2023 高三·全國·專題練習）已知定義在 R 上的函數 y f x 滿足 f x f x ，函數 y f x 1 為
偶函數，且當 x 0,1 時， f x log2 x a ，則下列結論不正確的是（ ）
A．函數 y f x 是周期為 4 的周期函數 B． f 2020 f 2021 1
C．當 x (1, 2t]時， f x log2 x 1 D．不等式 f x
1
> 的解集為 2 1 4k,3 2 4k ,k Z2
07 由對稱性研究函數的單調性
2
24．（2024·遼寧·一模）已知函數 f (x 2)為偶函數，且當 x 2時， f x log 1 x 4x 7 ，若
7
f (a) > f (b) ，則（ ）
A． (a b 4)(a b) < 0 B． (a b 4)(a b) > 0
C． (a b 4)(a b) < 0 D． (a b 4)(a b) > 0
25．（2024 2 3高三·全國·專題練習）已知函數 f x ln x 1 x 2x , g x 是定義在R 上的偶函數，且 g x
在 ,0 上單調遞增，則下列判斷正確的是（ ）
A． f x × g x 是偶函數
B． f x × g x 是奇函數
C． f g 2023 < f g 2024
D． g f 2023 > g f 2024
26．（23-24 高三上·遼寧丹東·期中）已知函數 f x 的定義域為R, f x 2 為偶函數， f x 1 為奇函數，
當 x 1,2 時， f x ax b，若 f 2 f 3 1 ，則（ ）
2
1
A． f x 在區間 0,1 上是增函數，且有最小值為
2
B． f x 1在區間 0,1 上是減函數，且有最大值為 2
C． f x 在區間 2, 1 1上是增函數，且有最大值為 2
D． f x 1在區間 2, 1 上是減函數，且有最小值為
2
08 由對稱性求參數
1
27．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x x 的圖象關于點 1, f 1 對稱，則a （e a ）
A．1 B．2 C． e D． e2
x
28．（2024· 2e湖南衡陽·模擬預測）已知函數 f x sin πx 在 x a, a a > 0 x 存在最大值與最小值分e 1
1
別為M 和m ，則函數 g x M m x M g x m x 1，函數 圖像的對稱中心是（ ）
A． 1, 1 B 2 1． 1, ÷ C． , 1
1 , 2D ÷ ．
è 3 è 2 è 2 3 ÷
09 函數周期性、對稱性有關的零點、交點、方程的根、圖像對稱等問題
29．（23-24 高三下·重慶九龍坡·階段練習）設關于 x 的方程 x2 2a | x a | 2ax 1 0 有 3 個互不相同的實
根，則實數 a的取值范圍是 .
30．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在 0, 上的增函數 f x 滿足:對任意的 a,b 0, 都有
f ab f a f b 且 f 4 2，函數 g x 滿足 g x g 4 x 2 ， g 4 x g x 2 . 當 x 0,1 時，
g x f x 1 1，若 g x 在 0, m 上取得最大值的 x 值依次為x1，x2，…， xk ，取得最小值的 x 值依次為
k n
x1 ， x2 ，…， xn ，若 éxi g xi ù é xi g xi ù 21，則m 的取值范圍為
i 1 i 1
31．（23-24 高二上·浙江杭州·期末）設函數 y f x 的圖象既關于點 1,1 對稱，又關于直線 x y 0軸對
稱．當 x 0,1 時， f x log2 x 1 ，則 f log2 12 的值為 ．
32．（2024·河北秦皇島·三模）已知奇函數 f x 的定義域為R ， f x 3 f x ，且 f 2 0 ，則 f x
在 0,6 上的零點個數的最小值為 .
ì 3 x
a 1 , x 0,
33．（23-24 ÷高一上·河南商丘·期末）已知函數 f x í 4 x è 3 若 f x 的圖象上存在關于直線

log9x, x > 0,
y x 對稱的兩個點，則 a的最大值為 .
34．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在 R 上的偶函數 f x 滿足 f (x) f (2 x)，當 x [0,1]時，
f x 2x .函數 g x e x 1 1< x < 3 ，則 f (x) 與 g(x)的圖象所有交點的橫坐標之和為 .
35．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 滿足 f x 2 f x ，且當 x 1,1 時， f x x ，有以下四
個結論：① f x 的值域是 0,1 ；② f x 在 0,10 上有 8 個零點；③若方程 f x lg x 3 a 有 4 個不相
等的實數根，則這 4 個實數根之和為 12；④若方程 f x ax a > 0 有 4 個不相等的實數根，則
1 1
< a < ．所有正確結論的序號是 ．
5 3
36．（23-24 高一下·湖南長沙·開學考試）我們知道，設函數 f x 的定義域為 I ，如果對任意 x I ，都有
2a x I ，且 f x f 2a x 2b，那么函數 y f x 的圖象關于點 P a,b 成中心對稱．若函數
f x 2x3 c 2x 的圖象關于點 0,1 成中心對稱，則實數 c的值為 ；若 f t f 5t 6 > 2，則實e 1
數 t 的取值范圍是 ．
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 與 g x 及其導函數 f x 和 g x 的定義域都為
R, f x g 2 x , f x 2 g x ，且 f 1 x 為奇函數，則下列等式一定正確的是（ ）
A． f 2023 0 B． f 2024 0 C． f 2023 0 D． f 2024 0
2．（2024·安徽·模擬預測）若定義在R 上的函數 f x ，滿足 2 f x y f x y f 2x f 2y ，且
f 1 1，則 f 0 f 1 f 2 ××× f 2024 （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
3．（2024·四川南充·三模）已知函數 f x 、g x 的定義域均為 R，函數 f (2x 1) 1的圖象關于原點對稱，
函數 g(x 1)的圖象關于 y 軸對稱， f (x 2) g(x 1) 1, f ( 4) 0，則 f (2030) g(2017) （ ）
A． 4 B． 3 C．3 D．4
4．（2024·貴州畢節·三模）已知函數 f (x) 的圖象在 x 軸上方，對"x R ，都有 f (x 2) × f (x) 2 f (1)，若
y f (x 1)的圖象關于直線 x 1對稱，且 f (0) 1，則 f (2023) f (2024) f (2025) （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024·江西·模擬預測）已知定義域為 R 的函數 f x , g x 滿足： g 0 0 ，
f x g y f y g x f x y ，且 g x g y f x f y g x y ，則下列說法不正確的是（ ）
A． g 0 1 B． f x 是奇函數
C．若 f 1 g 1 1，則 f 2024 g 2024 1 D． g x 是奇函數

6．（2024·山東聊城·三模）設函數 f x 的圖象與函數 y 2cosπx x
é 1 3 ù ê , ú ÷的圖象關于 x 軸對稱，將 f x è 2 2
1 1
的圖象向右平移 g x2 個單位長度后得到函數 的圖象，則函數 y 的圖象與 y g x 的圖象的所有交x 1
點的橫坐標之和為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7 2024· · f x e2x 1 e1 2x．（ 全國 模擬預測）已知函數 sin π π x ÷ 1，則不等式 f 2x 1 f 2 x 2
è 2 4
的解集為（ ）
A． , 2 B． 2, C． 2,2 D． 2,
8．（2024·陜西西安·模擬預測）已知 f x 的定義域為R ，函數 f x 滿足
f x f 4 x 6, g x 12x 2023 ， f x , g x 圖象的交點分別是 x1, y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , x4x 8 4
, y4 ,LL，
xn , yn ，則 y1 y2 LL yn可能值為（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
二、多選題
9．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知直線 x 1是函數 f x 圖象的對稱軸，則函數 f x 的解析式可以是
（ ）
A． f x
1

x 1 B． f x e
x 1 e1 x

C． f x cosπx D． f x x2 2 x
10．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知函數 f x 及其導函數 f x 的定義域均為R ，記
g x f x ．若 f 2x 1 與 g x 2 均為偶函數，且 g 2 2，則下列選項正確的是（ ）
A． g x 是周期 4 的周期函數 B． g x 圖象關于點 1,0 對稱
1999
C． g i 2 D． f x 圖象關于點 2,0 對稱
i 1
11．（2024·湖北·模擬預測）設定義在R 上的函數 f x 與 g x 的導函數分別為 f x 和 g x .若
f x 4 g x 2， g x 2 f x ，且 f x 2 為奇函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數 f x 的圖象關于直線 x 1對稱 B． g 2023 g 2025 2
2023 2023
C． f k 0 D． g k 0
k 1 k 1
三、填空題
12．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為R 的函數 f (x) 滿足 f (x 2) f (x) ，且當0 < x < 2時，
f (x) 3x ln x，則 f (211) .
13．（2023·海南海口·一模）已知定義在R 上的偶函數 f x 滿足 f 4 x f x ，且當 x 0,2 時，
ì3x 1,0 x <1
f (x) í ，則 f 18 .
log2 (x 2),1 x 2
14．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在 0, 上的增函數 f x 滿足:對任意的 a,b 0, 都有
f ab f a f b 且 f 4 2，函數 g x 滿足 g x g 4 x 2 ， g 4 x g x 2 . 當 x 0,1 時，
g x f x 1 1，若 g x 在 0, m 上取得最大值的 x 值依次為x1，x2，…， xk ，取得最小值的 x 值依次為
k n
x1 ， x2 ，…， xn ，若 é xi g xi ù éxi g xi ù 21，則m 的取值范圍為
i 1 i 1
四、解答題
15．（2023·上海徐匯·一模）若函數 y f (x), x R 的導函數 y f (x), x R 是以T (T 0)為周期的函數，則稱
函數 y f (x), x R 具有“T 性質”．
(1)試判斷函數 y = x2 和 y sin x 是否具有“ 2π性質”，并說明理由；
(2)已知函數 y h(x)，其中 h(x) ax2 bx 2sinbx(0 < b < 3)具有“ π性質”，求函數 y h(x)在[0, p]上的極小值點；
(3)若函數 y f (x), x R 具有“T 性質”，且存在實數M > 0使得對任意 x R 都有 | f (x) |< M 成立，求證：
y f (x), x R 為周期函數．
（可用結論：若函數 y f (x), x R 的導函數滿足 f (x)=0, x R ，則 f (x) C （常數）．）

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