資源簡(jiǎn)介

特訓(xùn) 09 多面體與求內(nèi)切外接問(wèn)題（八大題型）
一、 外接球問(wèn)題
若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球?yàn)榇硕嗝骟w的外接球。簡(jiǎn)單多面 體的外接球問(wèn)
題是立體幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn)，此類問(wèn)題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心位置 問(wèn)題，其中球心位置的確定
是關(guān)鍵，下面介紹幾種常見的球心位置的確定方法。
如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡(jiǎn)單多面體的外接球
的球心。由此，可以得到確定簡(jiǎn)單多面體外接球的球心位置有如下結(jié)論：
結(jié)論 1： 正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)。
結(jié)論 2 ：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn)。
結(jié)論 3 ：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線的中點(diǎn)。
結(jié)論 4： 正棱錐外接球的球心在其高上，具體位置通過(guò)構(gòu)造直角三角形計(jì)算得到。
結(jié)論 5 ：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。
二、 內(nèi)切球問(wèn)題
若一個(gè)多面體的各個(gè)面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這
個(gè)多面體的內(nèi)切球。因此，多面體內(nèi)切球球心到該多面體各個(gè)面的距離相等。 并非所有多面體都有內(nèi)切球，
下面介紹幾種常見多面體內(nèi)切球問(wèn)題：
1. 正多面體內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，內(nèi)切球的半徑為球心到多面體任一面的距離。
2. 正棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上，但不一定重合。
目錄：
01 ：三棱柱
02 ：四棱錐
03 ：棱臺(tái)
04 ：側(cè)棱垂直于底面
05 ：正方體、長(zhǎng)方體
06 ：其他多面體
07 ：三棱錐
08 ：折疊問(wèn)題
01 ：三棱柱
1．在一個(gè)封閉的直三棱柱 ABC - A1B1C1 內(nèi)有一個(gè)體積為 V 的球，若 AB ^ BC ， AB = 6， AC =10，
AA1 = 5，則球的體積的最大值為（ ）
125 32
A． π B． π C． 27π D．36π
6 3
2．在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = AA1 = 4，E 為線段CC1 上動(dòng)點(diǎn)，D為BC 邊中點(diǎn)，則三棱錐 A - BDE
外接球表面積的最小值為 .
3．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為 4 3 ，高為 6，經(jīng)過(guò)上底面棱的中點(diǎn)與下底面的頂點(diǎn)截去該三棱柱的三個(gè)角，
如圖 1，得到一個(gè)幾何體，如圖 2 所示，若所得幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為
（ ）
A．80π B 4 5． π C 80 5 160 5． π D． π
3 3 3
4．如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，側(cè)棱長(zhǎng)為 2， AC ^ BC ， AC = BC =1，點(diǎn)D在上底面 A1B1C1（包含
邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐D - ABC 外接球半徑的取值范圍為（ ）
é
1, 6
ù é9 6 ù é9 3 ù é5 3 ù
A． ê ú B． ê , C．2 8 2 ú ê
, ú D． , 8 2 ê 4 2 ú
02 ：四棱錐
5．四棱錐P- ABCD中，平面PAD ^平面 ABCD，底面 ABCD為矩形，PA = PD， AB = 2 ，BC = 2 3 ，若
四棱錐P- ABCD的外接球表面積為20π，則四棱錐P- ABCD的體積為（ ）
A． 4 3 B．12 3 C 4 3． 或 4 3 D． 4 3 或12 3
3
6．已知正四棱錐P- ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為 10 ，且二面角P- AB-C 的正切值為 2 2 ，則它的外接球表面積
為（ ）
A．12π
40
B π C D 25． ．8π ． π
3 2
03 ：棱臺(tái)
7．已知正四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1, AB = 2，半球的球心O在底面 A1B1C1D1的中心，且半球與該棱臺(tái)的各棱
均相切，則半球的表面積為（ ）
A．9π B．18π C． 27π D．36π
8 2 5．在正三棱臺(tái) ABC - A1B1C1 中， A1B1 = 2 3 ， AB = 4 3 ，二面角B1 - BC - A的正弦值為 ，則5
ABC - A1B1C1 的外接球體積為（ ）
80π
A B 160 5π． ． C．
3 40 5π
D 65 65π．
3 6
04 ：側(cè)棱垂直于底面
9．如圖，四棱錐P- ABCD中，PA ^面 ABCD，四邊形 ABCD為正方形， PA = 4 ，PC 與平面 ABCD所成
2 2
角的大小為q ，且 tanq = ，則四棱錐P- ABCD的外接球表面積為（ ）
3
A．26π B．28π
C．34π D．14π
10．如圖，在四面體 ABCD中，△ABD 與△BCD均是邊長(zhǎng)為 2 3 的等邊三角形，二面角 A - BD - C 的大小
為90°，則四面體 ABCD的外接球表面積為 .
05 ：正方體、長(zhǎng)方體
11．已知正方體 ABCD - A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 4，點(diǎn)E 是棱CD 的中點(diǎn)， P 為四邊形CDD1C1 內(nèi)（包括邊界）的一
動(dòng)點(diǎn)，且滿足B1P / / 平面BA1E ，B1P 的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（ ）
A．8 6π B．24π C．18π D．3 2π
12．已知一個(gè)長(zhǎng)方體的封閉盒子，從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為 3，4，5，盒內(nèi)有一個(gè)半徑為 1 的小球，
若將盒子隨意翻動(dòng)，則小球達(dá)不到的空間的體積是（ ）
A．36
20
- π B．32
22
- π
3 3
40
C．60 -12π D．60 - π
3
06 ：其他多面體
13．如圖 1，一圓形紙片的圓心為O，半徑為 4 3 ，以O(shè)為中心作正六邊形 ABCDEF ，以正六邊形的各邊
為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點(diǎn)恰好落在圓O上，現(xiàn)沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖
形如圖 2 所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺(tái)．若該
正六棱臺(tái)的高為 6 ，則其外接球的表面積為（ ）
11π 22π 35π 35π
A． B． C． D．
4 3 4 2
14．六氟化硫，化學(xué)式為SF6 ，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在
電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作
是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體E - ABCD - F 的棱長(zhǎng)為
a，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①異面直線 AE 與 BF 所成的角為 45°；
②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為3 3；
③若點(diǎn) P 為棱EB上的動(dòng)點(diǎn)，則 AP + CP 的最小值為 2 3a ；
④若點(diǎn)O為四邊形 ABCD
a
的中心，點(diǎn)Q為此八面體表面上動(dòng)點(diǎn)，且 OQ = ，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為
2
8 3 aπ .
3
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)
07 ：三棱錐
15．若三棱錐 S - ABC 的所有頂點(diǎn)都在半徑為 2 的球O的球面上， SB 為球O的直徑，且 AC = 2 2 ，則該三
棱錐的最大體積為（ ）
4 8 16
A． B． C．3 D．
3 3 3
16．在正三棱錐 A - BCD中，M N 分別為 AC BC 的中點(diǎn)， P 為棱CD 上的一點(diǎn)，且PC = 2PD，
MN ^ MP，若 BD = 6 ，則此正三棱錐 A - BCD的外接球的表面積為（ ）
A．3π B．6π C．8π D．9π
17（多選）．已知三棱錐P - ABC 的底面 ABC 是直角三角形，PA ^平面 ABC ，PA = AB = AC = 2 ，則
（ ）
A．三棱錐P - ABC 外接球的表面積為12π
B．三棱錐P - ABC 外接球的表面積為 48π
C P - ABC 3 - 3．三棱錐 內(nèi)切球的半徑為
3
D．三棱錐P - ABC 3- 3內(nèi)切球的半徑為
9
18（多選）．如圖，在正三棱錐P - ABC 中，PB = 2AC = 2 6 ，D, E 分別是棱 AC, PB的中點(diǎn)，M 是棱
PC 上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．PB ^ AC
1
B．異面直線DE 與 AB 所成角的余弦值為
3
C． AM + MB的最小值為 42
5 21 -1D ．三棱錐P - ABC 內(nèi)切球的半徑是
10
19．如圖，正三棱錐P - ABC 的側(cè)面和底面 ABC 所成角為a ，正三棱錐Q - ABC 的側(cè)面和底面 ABC 所成角
為 b , AB = 2 3, P和Q位于平面 ABC 的異側(cè)，且兩個(gè)正三棱錐的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則
PBQ = ， tan a + b 的最大值為 .
08 ：折疊問(wèn)題
20．在VABC 中， AB = AC = 2, BAC =120°，過(guò)點(diǎn)A 作 AM ^ BC ，垂足為點(diǎn)M ，將VABC 沿直線 AM 翻折，
使點(diǎn) B 與點(diǎn)C 間的距離為 3，此時(shí)四面體 ABCM 的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）
A 5 10π B 10π C 13 13π． ． ． D．13π
3 6
21．如圖 1，在矩形 ABCD 中， AB =1，BC = 2，M 是邊 BC 上的一點(diǎn)，將VABM 沿著 AM 折起，使點(diǎn) B
到達(dá)點(diǎn) P 的位置.
(1)如圖 2，若 M 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 是線段 PD 的中點(diǎn)，求證：CN ∥平面 PAM；
(2)如圖 3，若點(diǎn) P 在平面 AMCD 內(nèi)的射影 H 落在線段 AD 上.
①求證：CD ^平面 PAD；
②求點(diǎn) M 的位置，使三棱錐P - HCD的外接球的體積最大，并求出最大值.
一、單選題
1．（2024·新疆·三模）設(shè)四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1 的上、下底面積分別為 S1， S2 ，側(cè)面積為S ，若一個(gè)小球
與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則（ ）
A S2． = S1S2 B． S = S1 + S2
C． S = 2 S1S2 D． S = S1 + S2
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為 2 的扇形，則此圓錐內(nèi)切球
的表面積為（ ）
52 3
A．13π B． π C 15． D． π
81 π50 5
π
3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐 S - ABC 中， AB = BC = SC = 2， CAB = ，D為BC 的
3
SA π中點(diǎn)， SD ^ BC ， 與平面 ABC 所成的角為 ，則三棱錐 S - ABC 外接球的表面積為（ ）
4
π 5π 20π 22π
A． B． C． D．
3 3 3 3
4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）建盞是福建省南平市建陽(yáng)區(qū)的特產(chǎn)，是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底
小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺(tái)與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建
盞的上半部分抽象成圓臺(tái)O1O2 ，已知該圓臺(tái)的上 下底面積分別為16πcm2 和9πcm2 ，高超過(guò)1cm，該圓臺(tái)上
下底面圓周上的各個(gè)點(diǎn)均在球O的表面上，且球O的表面積為100πcm2 ，則該圓臺(tái)的體積為（ ）
259π 260π
A 80πcm3 B cm3 C cm3． ． ． D．3 3 87πcm
3
5．（2024·江西鷹潭·三模）在菱形 ABCD中， AB = 2 ， AC = 2 3，將VABC 沿對(duì)角線 AC 折起，使點(diǎn) B 到
達(dá)B 的位置，且二面角B - AC - D 為直二面角，則三棱錐 B - ACD的外接球的表面積為（ ）
A．5π B．16π C．20π D．100π
6．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐P - ABC 的四個(gè)頂點(diǎn)在球 O 的球面上， AB = 6， BC = 8， AC =10，
頂點(diǎn) P 到VABC 的三邊距離均等于 4，且頂點(diǎn) P 在底面的射影在VABC 的內(nèi)部，則球 O 的表面積等于（ ）
304π 316π 320
A．100π B． C． D． π
3 3 3
7．（2024·河北滄州·三模）《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立
方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體P - ABC 的棱長(zhǎng)為
2 3 ，M 為棱PA上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐M - ABC 的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐M - ABC 的體積為
（ ）
A 4 6． B． 4 2 C． 4 3 D．8 3
3
1
8．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖 1，直角梯形 ABCD中， AB∥DC, DCB = 90o , DC = BC = AB = 2，取 AB
2
中點(diǎn)E ，將VBCE 沿 EC 翻折（如圖 2），記四面體B - ECD的外接球?yàn)榍騉（O為球心）. P 是球O上一動(dòng)
點(diǎn)，當(dāng)直線 AO 與直線 AP 所成角最大時(shí)，四面體P - AEC 體積的最大值為（ ）
A 4 5 B 4 5 C 4 10 4 10． ． ． D．
5 15 5 15
二、多選題
9．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1 中，G 為BB1的中點(diǎn)，則下列
結(jié)論正確的有（ ）
A．CG 與 A1C
10
1所成角的余弦值為
5
B．DB1與平面 A1BC1的交點(diǎn) H 是VA1BC1的重心
C．三棱錐D1 - BB1C1的外接球的體積為 4 3p
D．BB 61與平面 A1BC1所成角的正弦值為
3
10．（2024·浙江紹興·三模）平行四邊形 ABCD 中 AB = 2AD = 2，且 BAD = 60°，AB、CD 的中點(diǎn)分別為
E、F，將VADE 沿 DE 向上翻折得到△ PDE ，使 P 在面 BCDE 上的投影在四邊形 BCDE 內(nèi)，且 P 到面 BCDE
6
的距離為 ，連接 PC、PF、EF、PB，下列結(jié)論正確的是（ ）
3
A．PD = PF
B．PD ^ BC
C．三棱錐P - DEF 的外接球表面積為3p
D．點(diǎn) Q 在線段 PE 上運(yùn)動(dòng)，則 | DQ | + | QB |的最小值為 2 + 3
11．（2024·山東濟(jì)寧·三模）如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = BC = 2， AA1 = 3，D E 分別是棱
AA1，CC1 上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）， AD = C1E ，F(xiàn) 為 B1C1 的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．直三棱柱 ABC - A1B1C1 體積的最大值為3 3
B．三棱錐B1 - DEF 與三棱錐 A - DEF 的體積相等
2 28π
C．當(dāng) ABC = 60°，且 AD = AA1 時(shí)，三棱錐D - ABC 外接球的表面積為3 3
D．設(shè)直線DF ， EF 與平面 ABC
1
分別相交于點(diǎn) P ，Q，若 cos ABC = ，則 AP + CQ的最小值為
4 2 2
三、填空題
12．（2024·安徽蕪湖·三模）在棱長(zhǎng)為 4 的正方體 ABCD - A1B1C1D1 中，點(diǎn)E 是棱BB1的中點(diǎn)，則四面體 A1C1EB
的外接球的體積為 ．
13．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中P - ABC ， AB = BC = 2 2 ，且 AB ^ BC .記直線PA，PC 與
平面 ABC 所成角分別為a ，b ，已知 b = 2a = 60°，當(dāng)三棱錐P - ABC 的體積最小時(shí)，則三棱錐P - ABC 外
接球的表面積為 .
14．（2024·江西新余·二模）如圖 1，在直角梯形 ABCD中， AB P CD， AB ^ AD ， AB = 6 3 ，CD = 8 3，
AD = 6，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別為邊 AB ，CD 上的點(diǎn)，且EF∥ AD ， AE = 4 3 .將四邊形 AEFD 沿 EF 折起，如圖
2，使得平面 AEFD ^平面EBCF ，點(diǎn) M 是四邊形 AEFD 內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且直線MB與平面 AEFD 所
成的角和直線MC 與平面 AEFD 所成的角相等，則當(dāng)三棱錐M - BEF 的體積最大時(shí)，三棱錐M - BEF 的外
接球的表面積為 .特訓(xùn) 09 多面體與求內(nèi)切外接問(wèn)題（八大題型）
一、 外接球問(wèn)題
若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球?yàn)榇硕嗝骟w的外接球。簡(jiǎn)單多面 體的外接球問(wèn)
題是立體幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn)，此類問(wèn)題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心位置 問(wèn)題，其中球心位置的確定
是關(guān)鍵，下面介紹幾種常見的球心位置的確定方法。
如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡(jiǎn)單多面體的外接球
的球心。由此，可以得到確定簡(jiǎn)單多面體外接球的球心位置有如下結(jié)論：
結(jié)論 1： 正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)。
結(jié)論 2 ：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn)。
結(jié)論 3 ：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線的中點(diǎn)。
結(jié)論 4： 正棱錐外接球的球心在其高上，具體位置通過(guò)構(gòu)造直角三角形計(jì)算得到。
結(jié)論 5 ：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。
二、 內(nèi)切球問(wèn)題
若一個(gè)多面體的各個(gè)面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這
個(gè)多面體的內(nèi)切球。因此，多面體內(nèi)切球球心到該多面體各個(gè)面的距離相等。 并非所有多面體都有內(nèi)切球，
下面介紹幾種常見多面體內(nèi)切球問(wèn)題：
1. 正多面體內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，內(nèi)切球的半徑為球心到多面體任一面的距離。
2. 正棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上，但不一定重合。
目錄：
01 ：三棱柱
02 ：四棱錐
03 ：棱臺(tái)
04 ：側(cè)棱垂直于底面
05 ：正方體、長(zhǎng)方體
06 ：其他多面體
07 ：三棱錐
08 ：折疊問(wèn)題
01 ：三棱柱
1．在一個(gè)封閉的直三棱柱 ABC - A1B1C1 內(nèi)有一個(gè)體積為 V 的球，若 AB ^ BC ， AB = 6， AC =10，
AA1 = 5，則球的體積的最大值為（ ）
125
A． π
32
B． π C． 27π D．36π
6 3
【答案】B
【分析】設(shè)VABC 的內(nèi)切圓O的半徑為 r ，由等面積法得 AC + AB + BC r = 6 8，解得 r = 2．由于
AA1 = 5，所以球的最大半徑為 2，由此能求出結(jié)果．
【解析】由題知，球的體積要盡可能大時(shí)，球需與三棱柱內(nèi)切．
所以球在底面VABC 內(nèi)的投影的圓面最大不能超出VABC 的內(nèi)切圓.
設(shè)圓O與VABC 內(nèi)切，設(shè)圓O的半徑為 r .
由 AB ^ BC ， AB = 6， AC =10，則BC=8
由等面積法得 AC + AB + BC r = 6 8，得 r = 2 .
由于三棱柱高 AA1 = 5，若球的半徑R=2，此時(shí)能保證球在三棱柱內(nèi)部，
所以直三棱柱 ABC - A1B1C1 的內(nèi)切球半徑的最大值為 2 .
4p 3 4p 3 32π
所以球的體積的最大值為： r = 2 = .
3 3 3
故選：B
2．在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = AA1 = 4，E 為線段CC1 上動(dòng)點(diǎn)，D為BC 邊中點(diǎn)，則三棱錐 A - BDE
外接球表面積的最小值為 .
【答案】 48π
【分析】建立邊長(zhǎng)CE和 O 到平面 ABD 距離為 OF 的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式，求解出OF 最小值，建立
外接球半徑R2 = h2 + 4的函數(shù)，從而求解外接球半徑的最小值，從而求出外接球表面積的最小值.
【解析】由正三棱錐的側(cè)棱垂直于底面的性質(zhì)，設(shè)球心 O 到平面 ABD 距離為OF ，設(shè)OF = h ，
有因?yàn)椤鰽BD 為直角三角形，則OF 經(jīng)過(guò)直角三角形斜邊中點(diǎn)，即F 為 AB 中點(diǎn).
故取 AB 的中點(diǎn)設(shè)為F ，則由正三角形求解高知CF = 2 3 ,如圖，設(shè)CE = x ，
設(shè)球心 O 到平面 ABD 距離為 OF，設(shè)OF = h
Q OE = OA = R，\OE2 = OF - CE 2 + CF 2 = (h - x)2 + (2 3)2 = OA2 = OF 2 + AF 2 = h2 + 22，
x2h + 8 x 4\ = = + 2 2 ，
2x 2 x
當(dāng)且僅當(dāng) x = 2 2 時(shí)即CE = 2 2 取“=”.
\R2 = h2 + 4 8 + 4 =12，\S = 4πR2 48π .
故最小為 48π .
故答案為： 48π .
【點(diǎn)睛】立體圖形平面化，結(jié)合函數(shù)和基本不等式的知識(shí)求解是問(wèn)題的關(guān)鍵.
3．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為 4 3 ，高為 6，經(jīng)過(guò)上底面棱的中點(diǎn)與下底面的頂點(diǎn)截去該三棱柱的三個(gè)角，
如圖 1，得到一個(gè)幾何體，如圖 2 所示，若所得幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為
（ ）
A 80π B 4 5 π C 80 5． ． ． π D 160 5． π
3 3 3
【答案】D
【分析】根據(jù)幾何體特征、勾股定理及其外接球體積公式計(jì)算即可.
【解析】設(shè)M、N 分別為正棱柱上下底面的中心，即MN = 6，
由幾何體的特征易知其外接球球心O在MN 上，如圖所示，
2 2 2
根據(jù)正三角形的中心性質(zhì)可知 AN = 4 3 - 2 3 = 4，同理DM = 2，3
設(shè)外接球半徑為R, MO = h,則ON = 6 - h ，
所以有 22 + h2 = R2 = 42 + 6 - h 2 h = 4, R = 2 5 ，
4 160 5
則外接球體積V = πR3 = π .
3 3
故選：D
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于幾何體外接球問(wèn)題，第一步先確定球心位置，可以先通過(guò)確定一面的外接圓圓心
去確定，本題幾何體比較規(guī)則，容易得出球心在上下中心連線上；第二步，由點(diǎn)在球上及球體的特征結(jié)合
勾股定理構(gòu)建方程組解方程求半徑即可.
4．如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，側(cè)棱長(zhǎng)為 2， AC ^ BC ， AC = BC =1，點(diǎn)D在上底面 A1B1C1（包含
邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐D - ABC 外接球半徑的取值范圍為（ ）
é
1, 6
ù é9 6 ù, é9 3 ù é5 3 ùA． ê ú B．2 ê ú
C． ê , D． ,
8 2 8 2
ú ê 4 2 ú
【答案】B
【分析】由條件確定球心位置，建立關(guān)于球的半徑的表達(dá)式，從而求出半徑的取值范圍即可.
【解析】因?yàn)閂ABC 為等腰直角三角形， AC = BC =1，
所以VABC 的外接圓的圓心為 AB 的中點(diǎn)O1，
且 AO 21 = ，2
設(shè) A1B1 的中點(diǎn)為E ，連接O1E ，
則O1E / / AA1，O1E ^ 平面 ABC ，
設(shè)三棱錐D - ABC 外接球的球心為O，
2
由球的性質(zhì)可得點(diǎn)O在O1E 上，設(shè)OO1 = x，DE = t 0 t ，
è 2
÷÷

外接球的半徑為 R ，因?yàn)镺A = OD = R，
2
所以 x2
2 7
+ ÷÷ = (2 - x)
2 + t 2 2，即 t = 4x - ，
è 2 2
2 7
又0 t ，則 x 1，
2 8
R2 x2 1 81 R2 3因?yàn)?= + ，所以 ，
2 64 2
9 R 6則 ；
8 2
故選：B .
3
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見幾何體的外接球半徑求法：（1）棱長(zhǎng)為的正方體的外接球半徑為R = a ；
2
2 2 2
（2 a +b + c）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為 a，b ， c，則其外接球的半徑為R = ；
2
2
（3）直棱柱的高為 h h，底面多邊形的外接圓半徑為 r ，則其外接球半徑為 R = r2 + .
4
02 ：四棱錐
5．四棱錐P- ABCD中，平面PAD ^平面 ABCD，底面 ABCD為矩形，PA = PD， AB = 2 ，BC = 2 3 ，若
四棱錐P- ABCD的外接球表面積為20π，則四棱錐P- ABCD的體積為（ ）
A． 4 3 B．12 3 C 4 3． 或 4 3 D． 4 3 或12 3
3
【答案】C
【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可求解O O =1，即可求解四棱錐的高，由體積公式即可求
解.
【解析】取 AD 的中點(diǎn)E ，連接PE，
又因?yàn)镻A = PD，所以PE ^ AD，
又因?yàn)槠矫鍼AD ^平面 ABCD，且交線為 AD ，PE 平面PAD ，
所以PE ^平面 ABCD .
設(shè) ABCD的中心為O ，球心為O，則OO ^平面 ABCD ,
1 1 2
于是O B = BD = 2 + 2 3 = 2 ，OO / /PE .2 2
設(shè)四棱錐P- ABCD的外接球半徑為 R ，其表面積為 4πR2 = 20π ,故R = 5 .
過(guò)O作OM / /O E ，則四邊形OO EM 為矩形，
1
故O O = ME ,OM = O E = AB =1，
2
在RtVOO B和RTVOMP中，
R2 = O O2 + O B2
2
= 5 = PM 2 + OM 2 ，
O B = 2，OM =1 ,
所以O(shè) O =1，PM = 2，ME = OO =1 .
當(dāng)O在平面 ABCD的上方，此時(shí)四棱錐的高為PE = PM + ME = 3 ,
\ 1四棱錐P- ABCD的體積 2 2 3 3 = 4 3 ．
3
當(dāng)O在平面 ABCD的下方，此時(shí)四棱錐的高為PE = PM - ME =1 ,
\四棱錐P- ABCD 1的體積 2 2 3 1 4 3 = ．
3 3
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵要注意外心即可能在平面 ABCD上方，也可能在下方，思考問(wèn)題要周密.
6．已知正四棱錐P- ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為 10 ，且二面角P- AB-C 的正切值為 2 2 ，則它的外接球表面積
為（ ）
12π 40A． B． π C 25．8π D． π
3 2
【答案】D
【分析】如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理可得PO ^平面 ABCD，則 PHO 為二面角P- AB-C 的平面角，
設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 a a > 0 ，利用銳角三角函數(shù)求出 a，即可求出PO， AO ，再設(shè)球心為G ，則球
心在直線PO上，設(shè)球的半徑為 R ，利用勾股定理求出 R ，最后再由球的表面積公式計(jì)算可得.
【解析】設(shè)正方形 ABCD中心為O，取 AB 中點(diǎn) H ，連接PO、PH 、OH ，
則PH ^ AB,OH ^ AB, PH IOH = H , PH、OH 平面 ABCD，得PO ^平面 ABCD，
PO
所以 PHO 為二面角P- AB-C 的平面角，即 tan PHO = = 2 2 ，
OH
設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 a a > 0 ，則PO = 2a，
1 1 2
又 AO = AC = a2 + a2 = a，PA = 10 ，由PO2 + AO2 = PA2，
2 2 2
2
即 2a 2 2 + a ÷÷ =10，解得 a = 2（負(fù)值已舍去），
è 2
則PO = 2 2 ， AO = 2 ，設(shè)球心為G ，則球心在直線PO上，設(shè)球的半徑為 R ，
R2
2 2
= 2 + 2 2 - R R 5 2則 ，解得 = ，4
2

所以外接球的表面積 S = 4πR2
5 2 25
= 4π 4 ÷÷
= π .
è 2
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是確定二面角的平面角，利用銳角三角函數(shù)求出底面邊長(zhǎng)與高，再
由正四棱錐的性質(zhì)確定球心在PO上.
03 ：棱臺(tái)
7．已知正四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1, AB = 2，半球的球心O在底面 A1B1C1D1的中心，且半球與該棱臺(tái)的各棱
均相切，則半球的表面積為（ ）
A．9π B．18π C． 27π D．36π
【答案】C
【分析】分析半球與各棱的切點(diǎn)位置，利用球的切線性質(zhì)，用 R 表示出側(cè)棱長(zhǎng)，從不同角度表示出棱臺(tái)的高，
從而建立關(guān)于 R 的方程，然后可得.
【解析】由題意可知， A1B1C1D1為下底面，
記上底面 ABCD的中心為O1，過(guò)C 作CH 垂直于平面 A1B1C1D1，垂足為 H ，
易知點(diǎn) H 在 A1C1上，記半球與BC,CC1,B1C1分別相切于點(diǎn)E, F ,G ，
由正四棱臺(tái)和球的對(duì)稱性可知，E,G為BC, B1C1的中點(diǎn)，
因?yàn)?AB = 2 ，所以 AC = 2 2 ，CE = CF =1，
記半球的半徑為 R ，則C1F = C1G = OG = R ，
所以CC1 = R +1，HC1 = OC1 - OH = 2R - 2 ，
分別在VOO1E,VCC H 2 2 2 21 中，由勾股定理得OO1 = OE - O1E = R -1，
CH 2 = CC 2 2
2
1 - C1H = R +1
2 - 2R - 2 ，
2 2
因?yàn)镺O1 = CH ，所以 R +1 - 2R - 2 = R2 -1，
解得R = 3或R = 0 （舍去），
1 2 2 2
所以半球的表面積為 4πR + πR = 3πR = 27π .
2
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的直觀想象能力，解題關(guān)鍵在于利用球的切線性質(zhì)，用 R 表示出側(cè)棱，然
后根據(jù)棱臺(tái)的高距離方程求出半徑即可.
8．在正三棱臺(tái) ABC - A1B1C1 中， A1B1 = 2 3 ， AB
2 5
= 4 3 ，二面角B1 - BC - A的正弦值為 ，則5
ABC - A1B1C1 的外接球體積為（ ）
80π
A B 160 5π 65 65π． ． C． D．
3 40 5π3 6
【答案】B
【分析】記正三棱臺(tái)上下底面的中心分別為O1,O2 ，BC, B1C1的中點(diǎn)分別為 D, D1，O2D的中點(diǎn)為E ，先判斷
ADD1為二面角B1 - BC - A的平面角，然后求出棱臺(tái)的高，判斷球心位置，利用勾股定理求解可得半徑，
然后可得體積.
【解析】記正三棱臺(tái)上下底面的中心分別為O1,O2 ，BC, B1C1的中點(diǎn)分別為 D, D1，O2D的中點(diǎn)為E ，
如圖，因?yàn)锽CC1B1為等腰梯形， D, D1分別為BC, B1C1的中點(diǎn)，
所以，由等腰梯形性質(zhì)可知DD1 ^ BC ，
又VABC 為正三角形，所以 AD ^ BC ，
所以 ADD1為二面角B1 - BC - A的平面角，
由正棱臺(tái)性質(zhì)可知，OO1 ^平面 ABC ，
因?yàn)?A1B1 = 2 3 ， AB = 4 3 ，所以 A1D1 = 3, AD = 6 ，
所以 A1O1 = 2O1D1 = 2, AO2 = 2O2D = 4，O2E = ED =1
易知O1D1 / /O2E ，所以O(shè)1O2ED1為平行四邊形，
所以O(shè)1O2 / /D1E ，所以D1E ^平面 ABC ，
由題知 sin D
2 5
1DE = , D1DE
π
5
0, ÷，
è 2
所以 cos D DE 5= ，所以 tan D1DE = 21 ，5
所以O(shè)1O2 = D1E = DE tan D1DE = 2，
易知，正三棱臺(tái) ABC - A1B1C1 的外接球的球心在射線O1O2 上，記為O，半徑為 R
2
若球心O在線段O1O2 上，則OO2 + O 2 2 22 2 A = R = A1O1 + 2 - OO2 ，
即OO22 +16 = 4 + 2 - OO
2
2 ，解得O2O = -2，不符合題意；
若球心O在下底面下方，則OO2 2 2 22 + O2 A = R = A1O1 + 2 + OO2
2
，
即OO22 +16 = 4 + 2 + OO
2
2 ，解得O O = 2，則R = OO22 2 + O2 A2 = 2 5 ，
ABC 3- A B C 4 πR3 4 π 2 5 160 5π所以 1 1 1 的外接球體積為 = = .3 3 3
故選：B
04 ：側(cè)棱垂直于底面
9．如圖，四棱錐P- ABCD中，PA ^面 ABCD，四邊形 ABCD為正方形， PA = 4 ，PC 與平面 ABCD所成
2 2
角的大小為q ，且 tanq = ，則四棱錐P- ABCD的外接球表面積為（ ）
3
A．26π B．28π
C．34π D．14π
【答案】C
【分析】依題意可將四棱錐P- ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體PEFG - ABCD ，則四棱錐P- ABCD的外接球也是長(zhǎng)方體
PEFG - ABCD tanq 2 2的外接球，由 = 可求出 AC 的長(zhǎng)，進(jìn)而可求PC ，即為外接球的直徑，從而可得外
3
接球的表面積.
【解析】如圖，因?yàn)镻A ^面 ABCD，四邊形 ABCD為正方形，
所以可將四棱錐P- ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體PEFG - ABCD ，
則四棱錐P- ABCD的外接球也是長(zhǎng)方體PEFG - ABCD 的外接球.
由PA ^面 ABCD，所以 PCA就是PC 與平面 ABCD所成的角q ，
tanq PA 4 2 2則 = = = ，所以 AC = 3 2 ，
AC AC 3
設(shè)四棱錐P- ABCD的外接球的半徑為 R ，
因?yàn)殚L(zhǎng)方體PEFG - ABCD 的對(duì)角線PC 的長(zhǎng)即為其外接球的直徑，
2
所以PC = 2R = AC 2 + PA2 = 3 2 42 34 R 34+ = ，所以 = ，2
所以四棱錐P- ABCD的外接球的表面積為 4πR2 = 34π .
故選：C
10．如圖，在四面體 ABCD中，△ABD 與△BCD均是邊長(zhǎng)為 2 3 的等邊三角形，二面角 A - BD - C 的大小
為90°，則四面體 ABCD的外接球表面積為 .
【答案】20π
【分析】設(shè)O1為△BCD的中心，O為四面體 ABCD的外接球的球心，過(guò)O作OG ^ AM ，然后在Rt△AGO
中，由GA2 + GO2 = OA2 求出外接球的半徑，再由球的表面積公式計(jì)算可得.
【解析】如圖所示：設(shè)O1為△BCD的中心，O為四面體 ABCD的外接球的球心，
則OO1 ^平面BDC ．
因?yàn)槎娼?A - BD - C 的大小為90°，即平面 ABD ^平面BCD，
設(shè)M 為線段BD的中點(diǎn)，外接球的半徑為 R ，
連接 AM ,CM ,OA，
過(guò)O作OG ^ AM 于點(diǎn)G ，
易知G 為△ABD 的中心，則OO1 = OG = MO1 = MG ，
MA 3因?yàn)?= 2 3 = 3，
2
故MG = OG
1
= 3 =1，GA = 2，
3
在Rt△AGO中，GA2 + GO2 = OA2 ，
故12 + 22 = R2，則R = 5 ．
所以外接球的表面積為 S = 4πR2 = 20π ，
故答案為：20π .
05 ：正方體、長(zhǎng)方體
11．已知正方體 ABCD - A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 4，點(diǎn)E 是棱CD 的中點(diǎn)， P 為四邊形CDD1C1 內(nèi)（包括邊界）的一
動(dòng)點(diǎn)，且滿足B1P / / 平面BA1E ，B1P 的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（ ）
A．8 6π B．24π C．18π D．3 2π
【答案】A
【分析】作出輔助線，得到平面 A1BE / / 平面B1MN ，確定當(dāng) P 在線段MN 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足B1P / / 平面
BA1E ，B1P 的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐C1 - B1MN ，
求出外接球半徑，得到外接球體積.
【解析】分別取C1D1,CC1的中點(diǎn)M , N ，連接ME,CD1 ，
故MN / /CD1，
因?yàn)?A1D1 / /BC ， A1D1 = BC ，
所以四邊形 A1D1CB 為平行四邊形，
所以 A1B / /D1C ，故MN / / A1B ，
因?yàn)镸N 平面B1MN ， A1B 平面B1MN ，
所以 A1B / / 平面B1MN ，
又點(diǎn)E 是棱CD 的中點(diǎn)，所以ME = BB1，BB1 / /ME ，
故四邊形B1BEM 為平行四邊形，
所以BE / /B1M ，
又B1M 平面B1MN ，BE 平面B1MN ，
所以BE / /平面B1MN ，
因?yàn)?A1B I BE = B， A1B, BE 平面 A1BE ，
所以平面 A1BE / / 平面B1MN ，
故當(dāng) P 在線段MN 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足B1P / / 平面BA1E ，
B1P 的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐C1 - B1MN ，
其中C1M ,C1N ,C1B1 兩兩垂直，且C1M = C1N = 2, B1C1 = 4，
22 + 22 + 42
故其外接球半徑為 = 6 ，
2
4 3
故較小部分的外接球的體積為 π 6 = 8 6π .
3
故選：A
【點(diǎn)睛】特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問(wèn)題，常常進(jìn)行補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和
半徑的幾何體，比如墻角模型，對(duì)棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來(lái)進(jìn)行求解.
12．已知一個(gè)長(zhǎng)方體的封閉盒子，從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為 3，4，5，盒內(nèi)有一個(gè)半徑為 1 的小球，
若將盒子隨意翻動(dòng)，則小球達(dá)不到的空間的體積是（ ）
36 20A． - π B．32
22
- π
3 3
40
C．60 -12π D．60 - π
3
【答案】B
【分析】分別計(jì)算小球在 8 個(gè)頂點(diǎn)和 12 條棱不能到達(dá)的空間體積，然后進(jìn)行相加即可.
【解析】小球在 8 個(gè)頂點(diǎn)不能到達(dá)的空間相當(dāng)于棱長(zhǎng)為 2 的正方體挖去一個(gè)半徑為 1 的球，
8 4其體積為 - π，
3
小球在 AB ，CD ， A1B1 ，C1D1這 4 條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)為 3，寬為 2，高為 2 的長(zhǎng)方體挖去
一個(gè)底面半徑為 1，高為 3 的圓柱，
其體積為3 2 2 - 3π =12 - 3π，
小球在BC ， AD ， B1C1 ， A1D1這 4 條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個(gè)棱長(zhǎng)為 2 的正方體挖去一個(gè)底面半徑為
1，高為 2 的圓柱，
其體積為 2 2 2 - 2π = 8 - 2π，
小球在 AA1，BB1，CC1 ，DD1這 4 條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)為 2，寬為 2，高為 1 的長(zhǎng)方體挖去一
個(gè)底面半徑為 1，高為 2 的圓柱，
其體積為 2 2 1- π = 4 - π，
8 4所以小球不能到達(dá)的空間的體積為 - π +12 - 3π + 8 - 2π + 4 - π = 32
22
- π，
3 3
故選：B.
06 ：其他多面體
13．如圖 1，一圓形紙片的圓心為O，半徑為 4 3 ，以O(shè)為中心作正六邊形 ABCDEF ，以正六邊形的各邊
為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點(diǎn)恰好落在圓O上，現(xiàn)沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖
形如圖 2 所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺(tái)．若該
正六棱臺(tái)的高為 6 ，則其外接球的表面積為（ ）
11π 22π 35π 35π
A． B． C． D．
4 3 4 2
【答案】D
【分析】根據(jù)側(cè)面積與底面積的關(guān)系求出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，進(jìn)而利用外接球的性質(zhì)求出半徑，從而求出外接球
的表面積.
【解析】如圖 1，設(shè)以 AB 為底邊的等腰三角形的中位線為 A1B1 ，連接OA ，分別交 A1B1, AB 于點(diǎn)M , N ，
則點(diǎn)M , N 分別為 A1B1, AB 的中點(diǎn)．
設(shè) AB = 2a，則 A1B1 = a ，ON =2a sin60°= 3a MN 4 3 - 3a， = ①．
2
折疊后形成的正六棱臺(tái)如圖 2 所示，設(shè)上底面 A1B1C1D1E1F1的中心為O1，連接O1M ，
則O1M = a sin60
3a
° = ．
2
連接O1O，則O1O是正六棱臺(tái) ABCDEF - A1B1C1D1E1F1的高，即O1O = 6 ．
過(guò)點(diǎn)M 作MG ^ ON ，垂足為G ，則MG ^ 底面 ABCDEF ，故MG = O1O = 6．
RtVMNG MN MG2 NG2 24 + 3a
2
在 中， = + = MG2 + ON - O1M
2 = ②，
2
①② 4 3 - 3a 24 + 3a
2
由 得 = ，解得 a =1，
2 2
所以正六棱臺(tái) ABCDEF - A1B1C1D1E1F1的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為 1 和 2．
由O1O = 6 ，可知正六棱臺(tái)的外接球球心O2 必在線段O1O上，
連接O2D,O2D1,OD,O1D1，則O2D,O2D1為外接球的半徑，設(shè)為 r ．
ìOO2 + OD2 = r2
在 Rt△O2OD和 Rt△O2OD 21 1中，由勾股定理得 í ，
O1O
2
2 + O1D
2 2
1 = r
可得OO22 +OD
2 =O 21O2 +O
2
1D1 ，
又因?yàn)镺1O = O1O2 +OO2 = 6，O1D1 =1，OD = 2，
2
即OO22 + 2
2 = 6 - OO2 +1 6，解得OO2 = ，4
2
r 2 OO2 OD2
6 22 35則 = 2 + = 4 ÷÷
+ = ，
è 8
2 35π
所以所求外接球的表面積為 4πr = ．
2
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面圖形的折疊，幾何體外接球的半徑，解題關(guān)鍵在于平面圖形折疊成立
體圖形后，要明確變化的量和沒(méi)有變的量，以及線線的位置，線面的位置關(guān)系，對(duì)于幾何體的外接球的問(wèn)
題，關(guān)鍵在于確定外接球的球心的位置.
14．六氟化硫，化學(xué)式為SF6 ，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在
電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作
是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體E - ABCD - F 的棱長(zhǎng)為
a，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①異面直線 AE 與 BF 所成的角為 45°；
②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為3 3；
③若點(diǎn) P 為棱EB上的動(dòng)點(diǎn)，則 AP + CP 的最小值為 2 3a ；
a
④若點(diǎn)O為四邊形 ABCD的中心，點(diǎn)Q為此八面體表面上動(dòng)點(diǎn)，且 OQ = ，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為
2
8 3 aπ .
3
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)
【答案】B
【分析】對(duì)①：借助等角定理，找到與 AE 平行，與 BF 相交的線段，計(jì)算即可得；對(duì)②：借助外接球與內(nèi)
切球的性質(zhì)計(jì)算即可得；對(duì)③：空間中的距離和的最值問(wèn)題可將其轉(zhuǎn)化到同意平面中進(jìn)行計(jì)算.對(duì)④，計(jì)算
r 2 - OQ 2 , r1的值，并比較它們的大小，即可得出當(dāng)點(diǎn)Q在平面BCE 內(nèi)時(shí)，點(diǎn)Q在三角形BCE 的內(nèi)切圓上
運(yùn)動(dòng)，結(jié)合對(duì)稱性即可驗(yàn)算.
【解析】對(duì)①：連接 AC ，取 AC 中點(diǎn)O，連接OE、OF ，
由題意可得OE、OF 為同一直線，A 、E 、C 、F 四點(diǎn)共面，
又 AE = EC = CF = FA，故四邊形 AECF 為菱形，
故 AE / /CF ，故異面直線 AE 與 BF 所成的角等于直線CF 與 BF 所成的角，
即異面直線 AE 與 BF 所成的角等于 CFB = 60o ，故①錯(cuò)誤；
對(duì)②：由四邊形 ABCD為正方形，有 AC 2 = BC 2 + AB2 = EC 2 + AE2 = 2a2，
故四邊形 AECF 亦為正方形，即點(diǎn)O到各頂點(diǎn)距離相等，
2
即此八面體的外接球球心為O，半徑為R 2a 2a= = ，
2 2
設(shè)此八面體的內(nèi)切球半徑為 r ，
V 1 1 2 2a 1則有 2 6E- ABCD-F = S表 r = 2VE- ABCD = 2 a = 2 3a r，化簡(jiǎn)得 r = a ，3 3 2 3 6
3
2a
R
3

則此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為 = 2
÷
÷ ÷ = 3 3 ，故②正確；
è r 6 ÷
a
è 6 ÷
對(duì)③：將△ AEB 延EB折疊至平面EBC 中，如圖所示：
則在新的平面中，A 、 P 、C 三點(diǎn)共線時(shí)， AP + CP 有最小值，
則 AP + CP 3= a 2 = 3a，故③錯(cuò)誤.min 2
④ BCE r 1 1 3對(duì)于 ，設(shè)三角形 的內(nèi)切圓半徑為 1，則由等面積法，有 ×3a × r1 = a
2 × ，
2 2 3
r 3解得 1 = a ，6
由②可知，點(diǎn)O到平面BCE 的距離為 r 6= a ，
6
2 2
OQ 2 r 2 a a 3a所以 - = - = = r1，4 6 6
這表明當(dāng)點(diǎn)Q在平面BCE 內(nèi)時(shí)，點(diǎn)Q在三角形BCE 的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，
它的周長(zhǎng)是 2πr1，
3a 8 3
根據(jù)對(duì)稱性可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為8 2πr1 = 8 2π = aπ ，故④正確.6 3
正確的編號(hào)有②④.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題④中，關(guān)鍵點(diǎn)在于得出當(dāng)點(diǎn)Q在平面BCE 內(nèi)時(shí)，點(diǎn)Q在三角形BCE 的內(nèi)切圓上
運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性即可順利得解.
07 ：三棱錐
15．若三棱錐 S - ABC 的所有頂點(diǎn)都在半徑為 2 的球O的球面上， SB 為球O的直徑，且 AC = 2 2 ，則該三
棱錐的最大體積為（ ）
4 8 16
A． B． C．3 D．
3 3 3
【答案】B
1
【分析】由勾股定理逆定理得到OA ⊥ OC ，故 SVAOC = OA ×OC = 2，要想該三棱錐的體積最大，則 SB ⊥平2
面 AOC ，從而求出最大體積.
【解析】 SB 的中點(diǎn)為O，連接OA,OC ，則OA = OB = OC = OS = 2，
因?yàn)?AC = 2 2 ，故OA2 + OC 2 = AC 2 ，
1
故OA ⊥ OC ， SVAOC = OA ×OC = 2，2
要想該三棱錐的體積最大，則 SB ⊥平面 AOC ，
1 1 8
故最大體積V = S
3 VAOC
× SB = 2 4 =
3 3
故選：B
16．在正三棱錐 A - BCD中，M N 分別為 AC BC 的中點(diǎn)， P 為棱CD 上的一點(diǎn)，且PC = 2PD，
MN ^ MP，若 BD = 6 ，則此正三棱錐 A - BCD的外接球的表面積為（ ）
A．3π B．6π C．8π D．9π
【答案】D
【分析】如圖，根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證明 AB ^ AC ， AB ^ AD ， AC ^ AD，將三棱
錐 A - BCD補(bǔ)成以 AB、AD、AC 為棱的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐 A - BCD的外接球，求出外接球
的半徑，結(jié)合球的體積和表面積公式計(jì)算即可求解.
【解析】如圖，取 CD 的中點(diǎn) Q，連接 AQ、BQ，則MN // AB ，
由MN ^ MP，得 AB ^ MP ，
因?yàn)槿忮F A - BCD為正三棱錐，所以 AC = AD, BC = BD ，
而 Q 是 CD 的中點(diǎn)，所以 AQ ^ CD, BQ ^ CD ，
又 AQ BQ = Q, AQ、BQ 平面 ABQ，所以CD ^平面 ABQ，
由 AB 平面 ABQ，得 AB ^ CD ，又 AB ^ MP ，
MP CD = P, MP、CD 平面 ACD，所以 AB ^ 平面 ACD，
由 AC、AD 平面 ACD，所以 AB ^ AC ， AB ^ AD ，
根據(jù)正三棱錐的特點(diǎn)可得 AC ^ AD，
故可將三棱錐 A - BCD補(bǔ)成以 AB、AD、AC 為棱的正方體，如圖，
所以正方體的外接球即為三棱錐 A - BCD的外接球.
2 2 2由 BD = 6 得 AB = 3 ，可得正方體的棱長(zhǎng)為 3，所以 (2R) = 6 + 3 ，
2 9 2 9
即 R = 4 ，所以正三棱錐
A - BCD的外接球的表面積為 S = 4πR = 4π = 9π .
4
故選：D
17．已知三棱錐P - ABC 的底面 ABC 是直角三角形，PA ^平面 ABC ，PA = AB = AC = 2 ，則（ ）
A．三棱錐P - ABC 外接球的表面積為12π
B．三棱錐P - ABC 外接球的表面積為 48π
C 3 - 3．三棱錐P - ABC 內(nèi)切球的半徑為
3
D 3- 3．三棱錐P - ABC 內(nèi)切球的半徑為
9
【答案】AC
【分析】根據(jù)三棱錐特征構(gòu)造長(zhǎng)方體求出外接球半徑，求得表面積，再由等體積法求出內(nèi)切球半徑.
【解析】由題意可知 AB ， AC ， AP 兩兩垂直，
2
則三棱錐P - ABC 外接球的半徑 R 滿足 2R = AB2 + AC 2 + AP2 =12 ，
從而三棱錐P - ABC 外接球的表面積為 4πR2 =12π，
故 A 正確，B 錯(cuò)誤.
1 1
由題意可得三棱錐P - ABC 的體積V = 2 2 2
4
= ，
3 2 3
2
三棱錐P - ABC S 1 2 2 3 3的表面積 = + 2 2 = 6 + 2 3 .
2 4
設(shè)三棱錐P - ABC 內(nèi)切球的半徑為 r ，
V 1因?yàn)?= Sr ，
3
r 3V 4 3- 3所以 = = = ，則 C 正確，D 錯(cuò)誤.
S 6 + 2 3 3
故選：AC
18．如圖，在正三棱錐P - ABC 中，PB = 2AC = 2 6 ，D, E 分別是棱 AC, PB的中點(diǎn)，M 是棱PC 上的任
意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．PB ^ AC
1
B．異面直線DE 與 AB 所成角的余弦值為
3
C． AM + MB的最小值為 42
D．三棱錐P - ABC
5 21 -1
內(nèi)切球的半徑是
10
【答案】ACD
【分析】對(duì)于 A，易知 AC ^ BD ， AC ^ PD ，可證 AC ^平面 PBD ，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；對(duì)
于 B，取BC 中點(diǎn)F ，連接DF ， EF ，由DF / / AB，知 EDF 即為異面直線DE 和 AB 所成角，由
PC ^ AB，可推出EF ^ DF ，再由三角函數(shù)的知識(shí)即可求解；對(duì)于 C，將平面PAC 和平面PBC 平鋪展開，
形成四邊形PACB，連接 AB ，交PC 于點(diǎn)M ，此時(shí) AM + MB = AB是最小值，再結(jié)合二倍角公式與余弦定
理即可求解；對(duì)于 D，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，點(diǎn) P 在平面 ABC 內(nèi)的投影為O1，O1為VABC 的重心，球O與
平面PAC 相切于點(diǎn)G ，設(shè)三棱錐P - ABC 內(nèi)切球的半徑為 r ，由 VPOG 相似于VPDO1，即可求解.
【解析】對(duì)于 A，如圖 1 所示，連接BD，PD，
由正三棱錐的性質(zhì)可知PA = PC = 2 6 ， AB = BC = AC = 2 3 ，
因?yàn)镈為 AC 中點(diǎn)，
所以 AC ^ BD ， AC ^ PD ，
又因?yàn)锽D I PD = D，BD, PD 平面 PBD ，
所以 AC ^平面 PBD ，
又因?yàn)镻B 平面 PBD
所以PB ^ AC ，故 A 正確；
對(duì)于 B，如圖①，取BC 中點(diǎn)F ，連接DF ， EF ，
因?yàn)镈、F 分別為 AC ，BC 的中點(diǎn)，
所以DF / / AB，DF = 3 ，
所以 EDF 即為異面直線DE 和 AB 所成角或其補(bǔ)角，
因?yàn)镋 、F 分別為 PB，BC 的中點(diǎn)，
所以EF = 6 ，
由選項(xiàng) A 知，PB ^ AC ，同理可得PC ^ AB，
所以EF ^ DF ，
所以DE2 = EF 2 + DF 2 = 6 + 3 = 9 ,
所以 DE = 3，
所以 cos EDF DF 3= = ，
DE 3
即異面直線DE 和 AB 3所成角的余弦值為 ，故 B 錯(cuò)誤；
3
對(duì)于 C，將平面PAC 和平面PBC 平鋪展開，形成四邊形PACB，
如圖②所示，連接 AB ，交PC 于點(diǎn)M ，此時(shí) AM + MB = AB是最小值，
CF 3 2
連接PF ，則 cos PCF = = = ，
PC 2 6 4
所以 cos ACB = 2cos2
3
PCF -1 = - ，
4
在VABC 中，由余弦定理知，
AB2 = AC 2 + BC 2 - 2AC × BC ×cos ACB 3=12 +12 - 2 12 (- ) = 42，
4
所以 AB = 42 ，
即 AM + MB的最小值是 42 ，故 C 正確；
對(duì)于 D，如圖③所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，點(diǎn) P 在平面 ABC 內(nèi)的投影為O1，O1為VABC 的重心，
球O與平面PAC 相切于點(diǎn)G ，則G 在PD上，且OG ^ PD，
在VPAD中，PD = PA2 - AD2 = 24 - 3 = 21，
在VABC 中，BD = AB2 - AD2 = 12 - 3 = 3 ,
1
因?yàn)镺1為VABC 的重心，所以DO1 = BD =1，3
在!PO1D 中，PO1 = PD2 - DO21 = 21-1 = 2 5 ，
設(shè)三棱錐P - ABC 內(nèi)切球的半徑為 r ，
OG PO
由 VPOG 相似于VPDO1，得 =DO ,1 PD
r 2 5 - r
= r 5( 21 -1)即 ，解得 = ，故 D 正確；
1 21 10
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了異面直線所成角、最短距離及內(nèi)切球，解題關(guān)鍵是作出異面直線所成角、
平面展開求最值以及通過(guò)相似三角形求內(nèi)切球的半徑.
19．如圖，正三棱錐P - ABC 的側(cè)面和底面 ABC 所成角為a ，正三棱錐Q - ABC 的側(cè)面和底面 ABC 所成角
為 b , AB = 2 3, P和Q位于平面 ABC 的異側(cè)，且兩個(gè)正三棱錐的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則
PBQ = ， tan a + b 的最大值為 .
4
【答案】 90o - 3
【分析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知 PQ為外接球直徑即得 PBQ = 90o ；先設(shè)PN = h1,QN = h2 ，外接球半徑為
R，則由PQ2 = PB2 + BQ2以及已知條件可求得 h1h2 = 4，再根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征得
tana PN= = h1, tanb
QN
= = h2 ，再結(jié)合兩角和正切公式以及基本不等式即可求解.MN MN
【解析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知 PQ為外接球直徑，所以 PBQ = 90o ；
連接 PQ，交平面 ABC 于點(diǎn) N ，取 AB 中點(diǎn)M ，連接CM ，
2 2 2 2 2 2 2由正棱錐性質(zhì)知 N CM ，且CN = CM = BC - BM = 2 3 - 3 = 2，3 3 3
則BN = 2、CM = 3，MN =1，設(shè)PN = h1,QN = h2 ，外接球半徑為 R，
PB2 = BN 2 + PN 2 =1+ h2 BQ2 = BN 2 + NQ2 =1+ h2則 1 ， 2
所以由PQ2 = PB2 + BQ2得 h 2 21 + h2 =1+ h1 +1+ h22 ， h1h2 = 4，
又 tana
PN
= = h , tanb QN= = h ，
MN 1 MN 2
故 tan a b
tana + tan b h + h h + h
+ = = 1 2 = 1 2
1- tana tan b 1- h ，1h2 -3
而 h1 + h2 2 h1h2 = 4，當(dāng)且僅當(dāng)h1 = h2 = 2 時(shí)取等，
故 tan(a b )
4
+ max = - .3
4
故答案為：90o；- .3
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解 tan(a + b) 的關(guān)鍵是由PQ2 = PB2max + BQ2以及已知數(shù)據(jù)求出 h1h2 = 4 .
08 ：折疊問(wèn)題
20．在VABC 中， AB = AC = 2, BAC =120°，過(guò)點(diǎn)A 作 AM ^ BC ，垂足為點(diǎn)M ，將VABC 沿直線 AM 翻折，
使點(diǎn) B 與點(diǎn)C 間的距離為 3，此時(shí)四面體 ABCM 的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）
A 5 10π B 10π C 13 13π． ． ． D．13π
3 6
【答案】D
【分析】如圖，根據(jù)余弦定理求出 BC，根據(jù)正弦定理求出△BCD的外接圓半徑，結(jié)合球的性質(zhì)和勾股定理
求出球的半徑，利用球的表面積公式計(jì)算即可.
【解析】如圖，
將VABC 沿直線 AM 翻折，得到滿足題意的幾何體為三棱錐 A - BCM ，
因?yàn)?AB = AC = 2, BAC =120° ,過(guò)點(diǎn)A 作 AM ^ BC ，則
BM 3
BAM = 60°， ABM = 30°， = , AM 1= , BM = 3, AM = 1,
AB 2 AB 2
在VBCM 中，BM = 3,CM = 3 ，BC = 3，
2 2 2
由余弦定理，得 cos BMC BM + CM - BC 1= = - ,，所以， BMC =120°
2BM ×CM 2
設(shè)VBCM 的外接圓圓心為 D，半徑為 r，則DB = DC = MD = r ，
BC
由正弦定理，得 ° = 2r ，解得 r = 3 ，即MD = 3 ，sin120
易知 AM ^ 平面BCM ，又 AM 是球 O 的弦，OA = OM ， AM =1，
所以O(shè)D
1
= AM 1=
2 2 ，
OM (1)2 ( 3)2 13得球的半徑為 = + = ，
2 2
2 13
所以球的表面積為 S = 4π ×OM = 4π = 13π .
4
故選：D.
21．如圖 1，在矩形 ABCD 中， AB =1，BC = 2，M 是邊 BC 上的一點(diǎn)，將VABM 沿著 AM 折起，使點(diǎn) B
到達(dá)點(diǎn) P 的位置.
(1)如圖 2，若 M 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 是線段 PD 的中點(diǎn)，求證：CN ∥平面 PAM；
(2)如圖 3，若點(diǎn) P 在平面 AMCD 內(nèi)的射影 H 落在線段 AD 上.
①求證：CD ^平面 PAD；
②求點(diǎn) M 的位置，使三棱錐P - HCD的外接球的體積最大，并求出最大值.
【答案】(1)證明見解析
4π
(2)①證明見解析；②M 位于點(diǎn) C，
3
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定即可得證；
（2）①根據(jù)線面垂直判定可證；②先分析得 O 是三棱錐P - HCD外接球的球心，再求得直徑
PC 4= 6 - ，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值，進(jìn)而利用球的體積公式求出球的體積的最大值即可
x
【解析】（1）如圖，取 PA 的中點(diǎn) E，連接 ME 和 EN，則 EN 是VPAD的中位線，
1
所以EN ∥ AD 且EN = AD，
2
1
又MC∥ AD且MC = AD，
2
所以EN ∥MC 且EN = MC ，
所以四邊形 ENCM 是平行四邊形，所以CN ∥MF ，
又CN 平面 PAM，EM 平面 PAM，
所以CN ∥平面 PAM.
（2）①由PH ^平面 AMCD，CD 平面 PFH，得CD ^ PH ，
又已知CD ^ AD ，且 AD，PH 是平面 PAD 內(nèi)兩條相交直線，
所以CD ^平面 PAD.
②，由①知CD ^平面 PAD，又PD 平面 PAD，
所以CD ^ PD，所以△PDC 是RtV，
由PH ^平面 AMCD，HC 平面 AMCD，
所以 PH ^ HC ，VPHC 是RtV .
如圖，取 PC 的中點(diǎn) O，則點(diǎn) O 到三棱錐P - HCD各頂點(diǎn)的距離都相等，
所以 O 是三棱錐P - HCD外接球的球心.
如圖，過(guò)點(diǎn) P 作PF ^ AM 于 F，連 HF 和 BF，
因?yàn)镻H ^平面 AMCD， AM 平面 AMCD，
所以PH ^ AM ，又 PF，PH 是平面 PHF 內(nèi)兩條相交直線，
所以 AM ^ 平面 PFH，又HF 平面 PFH，所以 AM ^ HF ，
由PF ^ AM 和翻折關(guān)系知 AM ^ BF ，所以 B，F(xiàn)，H 三點(diǎn)共線，且 AM ^ BH ，
x
設(shè)PM = BM = x(0 < x 2)，則 AM = 1+ x2 ，BF = PF = ，1+ x2
2 2
又BA2 BA 1+ x= BF × BH ，所以BH = = ，
BF x
2
AH = BH 2 - BA2 1= ，HF BH BF
1+ x x 1
= - = - = ，
x x 1+ x2 x 1+ x2
由PF > HF ，得1< x 2，
2
PH 2 PA2 AH 2 1 1 x -1
2
所以 = - = - 2 = PH
x -1
， = ，
x x2 x2
x2 -1 1 2PD2 PH 2 HD2 2 5x
2 - 4x 5x - 4
所以 = + = +
x2
- ÷ = 2 = ，è x x x
PC 2 PD2 CD2 5x - 4 4= + = +12 = 6 - ，
x x
因?yàn)?f (x)
4
= 6 - 在1< x 2時(shí)單調(diào)遞增，x
所以 x = 2時(shí)，PC 2 = f (x) 有最大值 f (2) = 4 ，
此時(shí)，點(diǎn) M 位于點(diǎn)的 C 位置，
4π 3 4π
所以 2R = PC = 2，R =1，V = R = .
3 3
4π
所以點(diǎn) M 位于點(diǎn)的 C 時(shí)，三棱錐P - HCD外接球的體積的最大值為V = 3 .
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：
①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長(zhǎng)方體中
去求解；
②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；
③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則
球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；
④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求
出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.
一、單選題
1．（2024·新疆·三模）設(shè)四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1 的上、下底面積分別為 S1， S2 ，側(cè)面積為S ，若一個(gè)小球
與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則（ ）
A 2． S = S1S2 B． S = S1 + S2
C． S = 2 S1S2 D． S = S1 + S2
【答案】D
【分析】利用體積相等可得答案.
【解析】設(shè)內(nèi)切球的球心為O，連接OA,OB,OC,OD,OA1,OB1,OC1,OD1，
則OA,OB,OC,OD,OA1,OB1,OC1,OD1把四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1 分割成六個(gè)四棱錐，
且六個(gè)四棱錐的高都為內(nèi)切球的半徑 R ，
四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1 的高為 2R ，所以
V 1 1ABCD- A B C D = S + S + S S ×2R = S + S + S × R四棱臺(tái) ，1 1 1 1 3 1 2 1 2 3 1 2
化簡(jiǎn)可得 S1 + S2 + 2 S1S2 = 2S1 + S2 = S .
故選：D.
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為 2 的扇形，則此圓錐內(nèi)切球
的表面積為（ ）
13π 52 π 15
3
A． B． C． D． π
81 π50 5
【答案】D
【分析】先計(jì)算出圓錐底面圓的半徑，再由勾股定理求出圓錐的高，然后利用等面積法計(jì)算內(nèi)切球半徑，
最后再計(jì)算球的表面積即可.
π 1
【解析】側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)為 2 =π，圓錐底邊的半徑 r 滿足 2πr = π，解得 r = ，
2 2
1 2 15
所以該圓錐軸截面是一個(gè)兩腰長(zhǎng)為 2，底邊長(zhǎng)為 1 的等腰三角形，底邊上的高為 22 - ÷ = ，
è 2 2
15 15
設(shè)內(nèi)切球半徑為 R ，由等面積法可得R(1+ 2 + 2) =1 ，則R = ．
2 10
所以內(nèi)切球的表面積為 4πR2
3
= π．
5
故選：D．
π
3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐 S - ABC 中， AB = BC = SC = 2， CAB = ，D為BC 的
3
SA π中點(diǎn)， SD ^ BC ， 與平面 ABC 所成的角為 ，則三棱錐 S - ABC 外接球的表面積為（ ）
4
π 5π 20π 22π
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】C
【分析】根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定可得平面 ABC
π
^ 平面 SAD，結(jié)合交線可確定線面角 SAD = ，
4
進(jìn)而證得 AD ^ 平面 SBC ；分別取△SBC ，VABC 外接圓圓心，根據(jù)球的性質(zhì)可確定球心位置，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)
系可求得半徑，進(jìn)而得到外接球表面積.
【解析】QD為BC 的中點(diǎn)， SD ^ BC ，\SB = SC ，即△SBC 為等腰三角形，
Q AB = BC = SC = 2， CAB
π
= ，\VSBC,VABC 均為邊長(zhǎng)為 2的等邊三角形，
3
\ AD ^ BC ，又 SD I AD = D， SD, AD 平面 SAD，\BC ^平面 SAD，
Q BC 平面 ABC ，\平面 ABC ^ 平面 SAD，
Q平面 ABC 平面 SAD = AD，\ AD 為SA在平面 ABC 內(nèi)的射影，
π
\ SAD 即為SA與平面 ABC 所成的角，即 SAD = ，4
π
Q AD = SD = 22 -12 = 3 ，\ DSA = SAD = ，\ AD ^ SD，4
又 AD ^ BC ， SD I BC = D， SD, BC 平面 SBC ，\ AD ^平面 SBC .
設(shè)三棱錐 S - ABC 外接球的球心為O，△SBC 外接圓的圓心為O1，VABC 外接圓的圓心為O2 ，
連接OO1,OO2 ,OD,OB，則OO1 ^平面 SBC ，OO2 ^ 平面 ABC ，
QVSBC,VABC 均為邊長(zhǎng)為 2的等邊三角形，
OO OO 3 6 15\ 1 = 2 = ，\OD = OO
2
1 + OO
2 2
2 = ，\OB = OD + BD
2 = ，
3 3 3
\三棱錐 S - ABC 15外接球的半徑R = ，
3
\三棱錐 S - ABC 2
20π
外接球的表面積 S = 4πR = .
3
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中多面體外接球的求解問(wèn)題，本題的解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)面面垂
直關(guān)系確定已知中所給線面角，從而確定幾何體的基本結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而根據(jù)外接球的性質(zhì)來(lái)確定球心位置.
4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）建盞是福建省南平市建陽(yáng)區(qū)的特產(chǎn)，是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底
小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺(tái)與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建
盞的上半部分抽象成圓臺(tái)O1O2 ，已知該圓臺(tái)的上 下底面積分別為16πcm2 和9πcm2 ，高超過(guò)1cm，該圓臺(tái)上
下底面圓周上的各個(gè)點(diǎn)均在球O的表面上，且球O的表面積為100πcm2 ，則該圓臺(tái)的體積為（ ）
3 259πA．80πcm B． cm3
260π
C 3． cm D．
3 3 87πcm
3
【答案】B
【分析】畫出圖形，首先根據(jù)球的表面積公式計(jì)算得球的半徑為R = 5，通過(guò)勾股定理得OO2 ,OO1的值，進(jìn)
而得圓臺(tái)的高，結(jié)合圓臺(tái)的體積公式即可得解.
【解析】
設(shè)球O的半徑為Rcm，上 下底面分別為圓O1,O2 （這里上底面是指大的那個(gè)底面），
依題意， 4πR2 =100π，解得R = 5，
O A2因?yàn)?2 = 9 = 3
2
，
則OO = R2 - 32 = 4cm，同理可得，OO2 1 = 3cm ，因?yàn)閳A臺(tái)的高超過(guò)1cm，則該圓臺(tái)的高為 7cm ，該圓臺(tái)的
1 259π 3
體積為 9π +16π +12π 7 = cm .
3 3
故選：B.
5．（2024·江西鷹潭·三模）在菱形 ABCD中， AB = 2 ， AC = 2 3，將VABC 沿對(duì)角線 AC 折起，使點(diǎn) B 到
達(dá)B 的位置，且二面角B - AC - D 為直二面角，則三棱錐 B - ACD的外接球的表面積為（ ）
A．5π B．16π C．20π D．100π
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐 B - ACD的外接球的球心位置，再求出球半徑即可計(jì)算作答.
【解析】如圖所示：
由題意在菱形 ABCD中， AC, BD 互相垂直且平分，點(diǎn)E 為垂足，
AB = BC = CD = DA = 2, EC = EA 1= AC = 3，
2
由勾股定理得BE = DE = BC 2 - CE2 = 4 - 3 =1，
所以 ADC
2π
= ，
3
設(shè)點(diǎn)O1為VACD外接圓的圓心，
AC 2 3
VACD r = O D = = = 2則 外接圓的半徑為 1 1 2sin ADC 3 ，O1E = O1D - DE = 2 -1 =1，2
2
設(shè)點(diǎn)O2 為△ACB 外接圓的圓心，同理可得△ACB 外接圓的半徑為 r2 = O2B = 2，
O2E = O2B - B E = 2 -1 =1，
如圖所示：
設(shè)三棱錐 B - ACD的外接球的球心、半徑分別為點(diǎn)O, R ，
而DE, B E均垂直平分 AC ，
所以點(diǎn)O在面 ADC ，面 ACB 內(nèi)的射影O1,O2 分別在直線DE, B E上，
即OO1 ^ DE,OO2 ^ B E，
由題意 AC ^ DE, AC ^ B E ，且二面角B - AC - D 為直二面角，
即面DAC ^ 面 ACB ，DE B E = E ，
所以B E ^ ED，即O2E ^ EO1，可知四邊形O1OO2E為矩形，所以O(shè)1O = O2E = 1，
2 2 2 2
由勾股定理以及OD = O1O + O1D = 5 = R ，
所以三棱錐 B - ACD的外接球的表面積為 S = 4πR2 = 4π 5 = 20π .
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)
題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相
等且為半徑；
（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些
元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
6．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐P - ABC 的四個(gè)頂點(diǎn)在球 O 的球面上， AB = 6， BC = 8， AC =10，
頂點(diǎn) P 到VABC 的三邊距離均等于 4，且頂點(diǎn) P 在底面的射影在VABC 的內(nèi)部，則球 O 的表面積等于（ ）
304π 316π 320
A．100π B． C． D． π
3 3 3
【答案】C
【分析】先分析出 AB ⊥ BC ，作出輔助線，得到O點(diǎn)在底面的射影為 AC 的中點(diǎn)D，點(diǎn) P 在底面的投影 N
為VABC 的內(nèi)心，先求出直角三角形的內(nèi)切圓半徑 r = 2，由勾股定理得到方程，求出球的半徑，得到球的
表面積.
【解析】因?yàn)?AB = 6， BC = 8， AC =10，所以 AB2 + BC 2 = AC 2 ，故 AB ⊥ BC ，
取 AC 的中點(diǎn)D，則O點(diǎn)在底面的射影為D，連接OP,OC ，則OP = OC ，
又 P 到VABC 的三邊距離均等于 4，故點(diǎn) P 在底面的投影 N 為VABC 的內(nèi)心，
過(guò)點(diǎn) N 作 NS ⊥ AB ，垂足為S ，作 NT ⊥ BC ，垂足為T ，作 NM ⊥ AC ，垂足為M ，
故四邊形BSNT 為矩形，又 NT = NS ，故四邊形BSNT 為正方形，
設(shè) NT = NS = BS = BT = r ，則 AS = AM = 6 - r,CT = CM = 8 - r ，
所以 AC = AM + CM = 6 - r + 8 - r =10，解得 r = 2，則PN = 42 - 22 = 2 3 ，
過(guò)點(diǎn)O作OW ⊥ PN ，垂足為W ，
設(shè)OD = h，則WN = h, PW = PN -WN = 2 3 - h ，
如圖，以BC ， AB 所在直線分別為 x, y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則 N 2,2 , D 4,3 ，則DN = 4 - 2 2 + 3- 2 2 = 5 ，
其中OW = DN = 5 ，
由勾股定理得R2 = OD2 + CD2 = h2 + 25，
2 2OP = OW 2 + PW 2 = 5 + 2 3 - h ，故 h2 2+ 25 = 5 + 2 3 - h 2 3，解得 h = ，3
R2則 = h2
4 79 79 316π
+ 25 = + 25 = 2，則外接球的表面積為 4πR = 4π × = .
3 3 3 3
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；
對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、
小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑
7．（2024·河北滄州·三模）《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立
方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體P - ABC 的棱長(zhǎng)為
2 3 ，M 為棱PA上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐M - ABC 的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐M - ABC 的體積為
（ ）
A 4 6． B． 4 2 C． 4 3 D．8 3
3
【答案】A
【分析】由題意確定三棱錐M - ABC 的外接球的體積最小時(shí)球心的位置，由此可求出三棱錐M - ABC 的高，
利用體積公式，即可求得答案.
【解析】如圖，在正四面體P - ABC 中，假設(shè)PH ^底面 ABC ，則點(diǎn) H 為VABC 外心.
在PH 上取一點(diǎn)O，滿足OA = OM ，則OA = OM = OB = OC ，
則O為三棱錐M - ABC 的外接球球心，
\當(dāng)OA取得最小值時(shí)，OM 最小，三棱錐M - ABC 的外接球體積最小，
此時(shí)點(diǎn)O與點(diǎn) H 重合.作MN ^ AH ，垂足為 N ，\MN ∥PH ，
\MN 為三棱錐M - ABC 的高.
2 3
由正四面體P - ABC 的棱長(zhǎng)為 2 3 ，知PA = 2 3 ， AH = 2 3 = 2 = MH ，
3 2
PH = PA2 - AH 2 = 2 2 ，.
AN MN
設(shè) AN = x ，則 = ，故
AH PH MN = 2x
，HN = 2 - x .
2
由HM 2 = MN 2 + HN 2，得 22 = 2x + 2 - x 2 ，
x 4= . MN 4 2解得 3 \ =
，
3
V 1 3
2 4 2 4 6
\ M - ABC = 2 3 = .三棱錐 3 4 3 3
故選：A.
1
8．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖 1，直角梯形 ABCD中， AB∥DC, DCB = 90o , DC = BC = AB = 2，取 AB
2
中點(diǎn)E ，將VBCE 沿 EC 翻折（如圖 2），記四面體B - ECD的外接球?yàn)榍騉（O為球心）. P 是球O上一動(dòng)
點(diǎn)，當(dāng)直線 AO 與直線 AP 所成角最大時(shí)，四面體P - AEC 體積的最大值為（ ）
A 4 5 B 4 5 C 4 10 D 4 10． ． ． ．
5 15 5 15
【答案】D
【分析】首先得到球心O在 EC 的中點(diǎn)，然后當(dāng) AP 與球O相切時(shí)直線 AO 與直線 AP 所成角的最大，過(guò) P 作
PH ^ AO垂足為 H ，當(dāng)PH ^平面 ADE 時(shí)四面體P - AEC 體積取得最大值，即可求出答案.
【解析】由題意可知，VCDE,VBCE 均為等腰直角三角形，所以四面體B - ECD的外接球的球心O在 EC 的
中點(diǎn)，
因?yàn)?P 是球O上的動(dòng)點(diǎn)，若直線 AO 與直線 AP 所成角的最大，則 AP 與球O相切， APO = 90o ，此時(shí)，
PAO最大，
1
因?yàn)镺P = EC = 2 ， AO = 4 + 2 - 2 2 2
2
- = 10 ，所以2 2 ÷÷ sin PAO
5
= ，
è 5
過(guò) P 作PH ^ AO垂足為 H ，則 P 在以 H 為圓心，PH 為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).
所以當(dāng)PH ^平面 ADE 時(shí)四面體P - AEC 的體積取得最大值.
5 2 10
因?yàn)?AP = 2 2 ，所以PH = 2 2 = ，
5 5
V 1 1 2 10 1所以 P- ADE = ×h × SVACE = 2 2
4 10
= ，
3 3 5 2 15
故選：D.
二、多選題
9．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1 中，G 為BB1的中點(diǎn)，則下列
結(jié)論正確的有（ ）
A．CG 與 A1C
10
1所成角的余弦值為
5
B．DB1與平面 A1BC1的交點(diǎn) H 是VA1BC1的重心
C．三棱錐D1 - BB1C1的外接球的體積為 4 3p
D 6．BB1與平面 A1BC1所成角的正弦值為
3
【答案】ABC
【分析】對(duì)于 A，連接 AC ，可得 ACG即為異面直線CG 與 A1C1所成角或其補(bǔ)角；對(duì)于 B，可得四面體
D - A1BC1為正四面體，證明DB1 ^平面 A1BC1即可判斷；對(duì)于 C，三棱錐D1 - BB1C1和正方體有相同的外接
球，求出即可；對(duì)于 D，可得 B1BH 為直線BB1與平面 A1BC1所成的角，即可求出判斷.
【解析】對(duì)于 A，連接 AC ，則由正方體的性質(zhì)可知 AC∥A1C1 ，
所以 ACG即為異面直線CG 與 A1C1所成角或其補(bǔ)角，
連接 AG, BD，設(shè) AC I BD = O ，則O為 AC 的中點(diǎn)，
連接OG ，則 AG = CG = BC 2 + BG2 = 4 +1 = 5, AC = 2 2,OG ^ AC ，
在RtVCOG中， cos OCG
OC 2 10
= = = = cos ACG ，
CG 5 5
即CG 與 A1C
10
1所成角的余弦值為 ，故 A 正確；
5
對(duì)于 B，連接DA1, DC1，則DA1 = DC1 = DB = A1B = A1C1 = BC1 ，
則四面體D - A1BC1為正四面體，
因?yàn)?A1C1 ^ D1B1, A1C1 ^ B1B, D1B1 I B1B = B1，D1B1, B1B 平面 BB1D1D，
所以 A1C1 ^ 平面 BB1D1D， 因?yàn)镈B1 平面 BB1D1D，所以 A1C1 ^ DB1，
同理可得 A1B ^ DB1 ，因?yàn)?A1C1 I A1B = A1 ， A1C1, A1B 平面 A1BC1
所以DB1 ^平面 A1BC1，垂足為 H ，又四面體D - A1BC1為正四面體，
所以 H 為VA1BC1 的中心，即 H 為VA1BC1 的重心，故 B 正確；
對(duì) C，由于三棱錐D1 - BB1C1的頂點(diǎn)均為正方體的頂點(diǎn)，
所以三棱錐D1 - BB1C
1 1
1和正方體有相同的外接球，所以外接球半徑R = DB1 = 2 3 = 3 ，2 2
V 4 πR3 4體積為 = = π( 3)3 = 4 3π，故 C 正確；
3 3
對(duì) D，連接BH ，并延長(zhǎng)交 A1C1于點(diǎn)O1，由選項(xiàng) B 知B1H ^平面 A1BC1，
所以 B1BH 為直線BB1與平面 A1BC1所成的角，由VA1BC1 為正三角形，
且 H 為VA1BC1 的重心，所以O(shè)1為 A1C1的中點(diǎn)，也是D1B1的中點(diǎn)，
在RtVO1B1B中，OB1 = O B
2 + B B21 1 1 = 2 + 4 = 6 ，
sin B BH sin B BO B1O1 2 3所以 1 = 1 1 = = = ，故 D 錯(cuò)誤.O1B 6 3
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查空間角中的線線角的余弦值的求法，線面角的正弦值的求法，
法一：作出空間角再利用解三角形的知識(shí)求解，法二建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解.
10．（2024·浙江紹興·三模）平行四邊形 ABCD 中 AB = 2AD = 2，且 BAD = 60°，AB、CD 的中點(diǎn)分別為
E、F，將VADE 沿 DE 向上翻折得到△ PDE ，使 P 在面 BCDE 上的投影在四邊形 BCDE 內(nèi)，且 P 到面 BCDE
6
的距離為 ，連接 PC、PF、EF、PB，下列結(jié)論正確的是（ ）
3
A．PD = PF
B．PD ^ BC
C．三棱錐P - DEF 的外接球表面積為3p
D．點(diǎn) Q 在線段 PE 上運(yùn)動(dòng)，則 | DQ | + | QB |的最小值為 2 + 3
【答案】ABD
【分析】記DE 的中點(diǎn)為M ，過(guò)點(diǎn) P 作PN ^ MF ，證明點(diǎn) N 為點(diǎn) P 在平面BCDE 上的投影，
解三角形求PF ，判斷 A，證明BC ^平面 PBD ，判斷 B，根據(jù)正四面體性質(zhì)求三棱錐P - DEF 的外接球半
徑，結(jié)合球的表面積公式判斷 C，通過(guò)翻折，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 DB 的問(wèn)題，求其值，判斷 D.
【解析】由已知 PD = PE = DE = DF = FC = BE = BC =1，
CDE = 60o , DCB = 60o ， DEB = 120o ，
記DE 的中點(diǎn)為M ，連接PM , FM ，
因?yàn)?PD = PE ，M 為DE 的中點(diǎn)，所以PM ^ DE，
因?yàn)?DF = DE =1， FDE = 60o ，所以 EF =1，
故 FD = FE ，又M 為DE 的中點(diǎn)，所以FM ^ DE ，
又PM FM = M ，PM , FM 平面PFM ，
所以DE ^ 平面PFM ，又DE 平面BCDE ，
所以平面 PFM ^ 平面BCDE ，
過(guò)點(diǎn) P 作PN ^ MF ， N 為垂足，
因?yàn)槠矫鍼FM I平面BCDE = FM ，PN 平面PFM ，
所以PN ^平面BCDE ，即點(diǎn) N 為點(diǎn) P 在平面BCDE 上的投影，
6 6
因?yàn)?P 到面 BCDE 的距離為 ，所以 PN = ，
3 3
由已知 PD = PE = DE =1， DF = EF =1，
PM 3 FM 3 6所以 = ， = ，又 PN = ，
2 2 3
所以 MN 3 2 3= - = 3，所以 FN = ，
4 3 6 3
2 1
所以 PF = + =1，故 PF = PD =1，A 正確，
3 3
因?yàn)?PD = PE = PF ，所以點(diǎn) N 為VDEF 的外心，又VDEF 為等邊三角形，
所以點(diǎn) N 為VDEF 的中心，
連接DN 并延長(zhǎng)，交 EF 與點(diǎn) H ，則DH ^ EF ， H 為 EF 的中點(diǎn)，
連接BH ，因?yàn)?BE = BF ，故BH ^ EF ，
所以D, H , B三點(diǎn)共線，且DB ^ EF ，又EF∥BC ，
所以BC ^ DB，
又PN ^平面BCDE ，BC 平面BCDE ，故BC ^ PN ，
因?yàn)镻N BD = N ，PN , BD 平面 PBD ，
所以BC ^平面 PBD ，PD 平面 PBD ，
所以PD ^ BC ，B 正確；
因?yàn)镻DEF 為正四面體，且棱長(zhǎng)為1，
3 3 6 6
所以其外接球的半徑為 PN = = ，
4 4 3 4
3
所以三棱錐P - DEF 的外接球表面積為 π ，C 錯(cuò)誤；
2
2 3 6
因?yàn)?BN = ， PN = ，所以 PB = 2 ，
3 3
2 2
所以 PE + BE = PB 2 ，故PE ^ BE ，
將VPDE,VPBE 翻折到同一平面，如圖
所以 | DQ | + | QB |的最小值為 DB ，且 DE =1, BE =1, DEB =150o ，
所以 DB 6 + 2= 2sin 75o = 8 + 4 3 6 + 2，又 2 + 3 = = ，D 正確，
2 4 2
故選：ABD.
11．（2024·山東濟(jì)寧·三模）如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = BC = 2， AA1 = 3，D E 分別是棱
AA1，CC1 上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）， AD = C1E ，F(xiàn) 為 B1C1 的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．直三棱柱 ABC - A1B1C1 體積的最大值為3 3
B．三棱錐B1 - DEF 與三棱錐 A - DEF 的體積相等
2 28π
C．當(dāng) ABC = 60°，且 AD = AA1 時(shí)，三棱錐D - ABC 外接球的表面積為3 3
1
D．設(shè)直線DF ， EF 與平面 ABC 分別相交于點(diǎn) P ，Q，若 cos ABC = ，則 AP + CQ的最小值為
4 2 2
【答案】BCD
【分析】A 選項(xiàng)：根據(jù)三棱柱體積公式，結(jié)合三角函數(shù)值域可得最值；B 選項(xiàng)：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可判斷；C
選項(xiàng)：結(jié)合正弦定理確定正三角形外心，進(jìn)而確定球心及半徑；D 選項(xiàng)：根據(jù)相似及基本不等式可得最值.
1
【解析】A 選項(xiàng)：由已知可得VABC-A B C = SVABC ×AA1 1 1 1 = BA×BC×sin ABC×AA2 1
= 6sin ABC ，又
ABC 0,p ，
所以 sin ABC 0,1 ，即體積的最大值為6，A 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B 選項(xiàng)：如圖所示，
由點(diǎn)F 為 B1C1 的中點(diǎn)，則VB1-DEF =VC1-DEF =VF -C1DE ，設(shè)點(diǎn)F 到平面 AA1C1C 的距離為 h ，
1
則VB -DEF =VF -C DE = SVC DE ×h V V
1
， B-DEF = F -ADE = SVADE ×h，1 1 3 1 3
又 AD = C1E ，所以 SVADE = SVC1DE ，所以VF -C =V1DE F -ADE ，B 選項(xiàng)正確；
C 選項(xiàng)：如圖所示，
由已知VABC 為正三角形，設(shè)外接球球心為O，VABC 中心為O1， AD 中點(diǎn)為M ，則OO1 ^平面 ABC ，且
OO 11 = AD
1
= AA =1 2O A AB 4 3 O A 2 3， ，即 ，2 3 1 1 = = =sin ACB 3 1 3
21 2 28π
所以外接球半徑為R = OO21 + O A
2
1 = ，外接球表面積為 4πR = 3 ，C 選項(xiàng)正確；3
D 選項(xiàng)：如圖所示，
取BC 中點(diǎn) N ，可知 P 在 NA的延長(zhǎng)線上，Q在BC 的延長(zhǎng)線上，
AN 2 = BA2則 + BN 2
1
- 2BA × BN ×coc ABC = 4 +1- 2 2 1 = 4，即 AN = 2，
4
設(shè) AD = C1E = l AA1，l 0,1 ，
易知VPAD :VPNF ，VQCE :VFC1E ，
PA AD QC CE
則 = ， =FC C E ，PN NF 1 1
則PA = lPN = l PA + AN = l PA + 2 2l 1- l 1- l，PA = ,QC = FC = ，
1- l l 1 l
AP CQ 2l 1- l所以 + = + 2 2 ，
1- l l
2l 1- l
當(dāng)且僅當(dāng) = ，即l = 2 -1時(shí)取等號(hào)，故 D 選項(xiàng)正確；1- l l
故選：BCD.
三、填空題
12．（2024·安徽蕪湖·三模）在棱長(zhǎng)為 4 的正方體 ABCD - A1B1C1D1 中，點(diǎn)E 是棱BB1的中點(diǎn)，則四面體 A1C1EB
的外接球的體積為 ．
76 19
【答案】 π
3
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)四面體 A1C1EB 的外接球的球心為O(x, y,z) ，列式求解可得
x =1, y =1, z =1，即可求得外接球的半徑，由球的體積公式即可求得答案.
【解析】以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA, DC, DD1所在直線為 x, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則 A1(4,0, 4),C1(0, 4, 4), E(4, 4, 2), B(4, 4,0)，
設(shè)四面體 A1C1EB 的外接球的球心為O(x, y,z) ，
則OA1 = OC1 = OE = OB ,即得 (x - 4)2 +y2 +(z - 4)2 = x2 + y - 4 2 +(z - 4)2
= (x - 4)2 + y - 4 2 +(z - 2)2 = x - 4 2 + y - 4 2 +z2 ，
ì x - 4 2 +y2 = x2 + y - 4 2
2 2
整理得 íy +(z - 4) = y - 4 2 +z2 ，解得 x =1, y =1, z =1，

z - 2
2 = z2
故四面體 A1C1EB 的外接球的半徑為 (x - 4)2 +y2 +(z - 4)2 = 19 ，
故四面體 A1C1EB
4 3
的外接球的體積為 π 19 76 19= π ，3 3
76 19
故答案為： π
3
13．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中P - ABC ， AB = BC = 2 2 ，且 AB ^ BC .記直線PA，PC 與
平面 ABC 所成角分別為a ，b ，已知 b = 2a = 60°，當(dāng)三棱錐P - ABC 的體積最小時(shí)，則三棱錐P - ABC 外
接球的表面積為 .
【答案】16π
【分析】根據(jù)給定條件，探求點(diǎn) P 在平面 ABC 內(nèi)的投影P 的軌跡，確定當(dāng)三棱錐體積最小時(shí)點(diǎn)P 的位置，
進(jìn)而可得 APC = 90o 并求出外接球半徑，求出球的表面積.
【解析】設(shè)點(diǎn) P 在平面 ABC 內(nèi)的投影為P ，由直線PA, PC 與平面 ABC 所成角分別為a , b ，且 b = 2a = 60°，
則a = 30°， | P P |= 3 | P C |， | P P | 3= | P A |，于是3 | P C |=| P A |，
3
以 AC 為 x 軸，線段 AC 的中垂線為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
令P x, y ，由 AB = BC = 2 2 ， AB ^ BC ，得 A(-2,0)，B(0, 2)，C(2,0) ，
5 9
則3 (x - 2)2 + y2 = (x + 2)2 + y2 2 2，化簡(jiǎn)得 (x - ) + y = ，2 4
5 3
因此點(diǎn)P 在以 ( ,0)為圓心， 為半徑的圓上，2 2
當(dāng) | P C |最小時(shí)， | P P |最小，即三棱錐P - ABC 的體積最小，
此時(shí)P (1,0)
3
， | P C |min = - (
5
- 2) =1， | P P |min = 3， | P B |= 5 ，2 2
因此點(diǎn) P 在底面 ABC 上的射影P 在 AC 上，且 APC = 90o ，又 ABC = 90o ，
顯然 AC 的中點(diǎn)到點(diǎn)B, P, A,C 的距離相等，此時(shí)三棱錐P - ABC 的外接球的球心為 AC 的中點(diǎn)，
R 1外接球的半徑 = AC = 2，表面積為 4π 22 =16π .2
故答案為：16π
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再求出球半徑即可.
14．（2024·江西新余·二模）如圖 1，在直角梯形 ABCD中， AB P CD， AB ^ AD ， AB = 6 3 ，CD = 8 3，
AD = 6，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別為邊 AB ，CD 上的點(diǎn)，且EF∥ AD ， AE = 4 3 .將四邊形 AEFD 沿 EF 折起，如圖
2，使得平面 AEFD ^平面EBCF ，點(diǎn) M 是四邊形 AEFD 內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且直線MB與平面 AEFD 所
成的角和直線MC 與平面 AEFD 所成的角相等，則當(dāng)三棱錐M - BEF 的體積最大時(shí)，三棱錐M - BEF 的外
接球的表面積為 .
【答案】60π
【分析】先結(jié)合線面角的定義與已知條件可得 BME = CMF ，從而知MF = 2EM ，過(guò)點(diǎn)M 作MN ^ EF
于點(diǎn) N ，根據(jù)三棱錐的體積公式，將條件轉(zhuǎn)化為MN 取得最大值，再結(jié)合勾股定理確定點(diǎn)M 的位置，然后
利用補(bǔ)形法求外接球的半徑即可．
【解析】翻折前，BE ^ EF ，
因?yàn)槠矫?AEFD ^平面EBCF ，平面 AEFD 平面EBCF = EF ，BE 平面EBCF ，
所以BE ^平面 AEFD ，
所以 BME 即為直線MB與平面 AEFD 所成的角，
同理可得， CMF 即為直線MC 與平面 AEFD 所成的角，
因?yàn)橹本€MB與平面 AEFD 所成的角和直線MC 與平面 AEFD 所成的角相等，
所以 BME = CMF ，
而 tan BME
BE 2 3
= = ， tan CMF
EF 4 3
= = ，
EM EM MF MF
2 3 4 3
所以 = ，即MF = 2EM ，
EM MF
設(shè)EM = x ，則MF = 2x ，
過(guò)點(diǎn)M 作MN ^ EF 于點(diǎn) N ，
因?yàn)槠矫?AEFD ^平面EBCF ，平面 AEFD 平面EBCF = EF ，MN 平面 AEFD ，
所以MN ^平面EBCF ，
即點(diǎn)M 到平面EBCF 的距離為MN ，
1
因?yàn)槿忮FM - BEF 的體積V = SVBEF × MN3 ，且 SVBEF 為定值，
所以要使三棱錐M - BEF 的體積取得最大值，則需MN 取得最大值，
設(shè)MN = h，EN = y ，則 FN = EF - EN = 6 - y ，
由勾股定理知，EM 2 = EN 2 + MN 2 ，MF 2 = MN 2 + FN 2 ，
所以 x2 = y2 + h2 ， 4x2 = h2 + (6 - y)2，
消去 x 整理得， h2 = -y2 - 4y +12 = -(y + 2)2 +16 ， y [0，6]，
當(dāng) y = 0 時(shí)， h2 取得最大值 12，即 h 取得最大值 2 3 ，此時(shí)點(diǎn)M 在線段 AE 上，且 EM = h = 2 3 ，
所以EB， EF ，EM 兩兩垂直，
所以三棱錐M - BEF 的外接球就是以EB， EF ，EM 為鄰邊構(gòu)成的長(zhǎng)方體的外接球，
所以 2R = EB2 + EF 2 + EM 2 = (2 3)2 + 62 + (2 3)2 = 2 15 ，
所以外接球的半徑R = 15 ，
所以當(dāng)三棱錐M - BEF 的體積最大時(shí)，三棱錐M - BEF 的外接球的表面積為 4πR2 = 4π × ( 15)2 = 60π ．
故答案為：60π．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)
題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相
等且為半徑；
（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些
元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

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