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第01講 集合
考點要求 考題統計 考情分析
(1)集合的概念與表示(2)集合的基本關系(3)集合的基本運算 2024年I卷第1題，5分2023年I卷第1題，5分2023 年II卷第2題，5分2022年I卷II卷第1題，5分2021年I卷I卷第1題，5分2020年I卷II卷第1題，5分 本講為高考命題熱點，題型主要為選擇題，其考查的主要內容、頻率、題型以及難度都保持相對穩定。核心在于集合間的基本運算，重點考查了集合的交集、并集和補集運算。這些運算經常與一元二次不等式、一元一次不等式、分式不等式以及指數和對數不等式的解法相結合。此外，也應適當關注集合運算與充要條件結合的解題技巧。
1．（2024·全國·高考真題）若集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津·高考真題）集合，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高考真題）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
知識點1：元素與集合
1、集合的概念指的是將某些特定的對象匯集成一部分或整體，這些對象可以是數學中的數字、點等常見對象，也可以是其他類型的實體。集合的元素不僅限于傳統的數學對象，它們可以是任何種類的對象，只要它們滿足集合的構成條件。
2、集合元素的是三個特征
(1) ：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.
(2 ：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復出現.
(3) ：集合與其組成元素的順序無關.
3、元素與集合的關系是 (用符號“∈”表示)或不屬于(用符號“ ”表示).
4、常用數集及其符號表示：
集合 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*(或N＋) Z Q R
5、集合的表示方法： 、描述法、圖示法.
知識點 2：集合的基本關系
1、子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作 (或B A)．
2、真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且 ，就稱集合A是集合B的真子集，記作 (或B A)．
3、相等：若A B，且 ，則A＝B.
4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .空集是 的子集，是 的真子集．
知識點 3：集合的基本運算
表示運算 文字語言 集合語言 圖形語言 記法
并集 所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，或x∈B}
交集 所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，且x∈B}
補集 全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合 {x|x∈U，且x A}
【常用結論】
1．三種集合運用的性質
(1)并集的性質：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性質：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
(3)補集的性質：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
【易錯總結】
(1)忽視集合中元素的互異性致誤；
(2)忽視空集的情況致誤；
(3)忽視區間端點值致誤．
題型一：集合的概念與表示
【典例1-1】設集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，則B中的元素有(　　)
A．5個 B．4個
C．3個 D．無數個
【答案】C
【解題思路】依題意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3個元素．
【變式1-1】已知全集，集合和，則集合的元素個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4．
【典例1-2】已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B A，則m＝________．
【答案】0或3
【解題思路】因為B A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根據集合元素的互異性可知，m≠1，所以m＝0或3.
【變式1-2】若，則的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
題型二：集合的基本關系
【典例2-1】已知集合，則集合的子集的個數為（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】C
【解題思路】，集合A的子集為：，，，，共4個.故選：C.
【變式2-1】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
【典例2-2】設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解題思路】由題知,對比選項知，正確,錯誤.故選:.
【變式2-2】已知集合，則集合的子集的個數為（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【典例 2-3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，則實數m的取值范圍為________．
【答案】(－∞，3]
【解題思路】因為B A，
所以①若B＝ ，則2m－1②若B≠ ，則2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.
由①②可得，符合題意的實數m的取值范圍為m≤3.
【變式2-3】已知集合A＝{1，3，}，B＝{2－x，1}．
(1) 記集合M＝{1，4，y}，若集合A＝M，求實數x＋y的值；
(2) 是否存在實數x，使得B A？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
題型三：集合的基本運算
【典例3-1】已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－2【答案】C
【解題思路】由題可得N＝{x|－2因為－3 N，所以－3 M∩N，排除A，B；
因為2.5 M，所以2.5 M∩N，排除D.故選C.
【變式3-1】設集合，則（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠ ，則實數a的取值范圍是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C. D．(1，＋∞)
【答案】C
【解題思路】由題意可得3a－1≥1，解得a≥，即實數a的數值范圍是.故選C.
【變式3-2】已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．若A∪B＝B，求實數a的取值范圍．
【典例3-3】設A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
【答案】（1）a＝－8，b＝－5，A＝{2,6}，B＝{2，－5}．(2)(A∪B)∩C＝{2}．
【解題思路】
(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．
【變式3-3】已知集合，集合．
（1）當時，求；
（2）若，求實數的取值范圍．
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全國·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·青海西寧·二模）已知集合，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15個真子集，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·貴州貴陽·二模）設全集，集合滿足，則的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．（2024·黑龍江牡丹江·一模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·新疆烏魯木齊·三模），運算“”為，則（ ）
A． B．
C． D．若，則
10．（2024·全國·二模）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江西宜春·模擬預測）已知，如果實數滿足對任意的，都存在，使得，則稱為集合的“開點”，則下列集合中以0為“開點”的集合有（ ）
A．， B．，
C． D．
12．（2024·廣西南寧·二模）若表示集合M和N關系的Venn圖如圖所示，則M，N可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·江西·模擬預測）已知集合，，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．當時，
C．當時， D．，使得
三、填空題
14．（2006·上海·高考真題）已知集合，集合，若，則實數 .
15．（2024·廣西南寧·三模）集合子集的個數是 ．
16．（2024·全國·模擬預測）已知集合，則的子集個數為 .
17．（2024·湖北·模擬預測）設是絕對值不大于10的整數，函數滿足，則的所有可能取值組成的集合為 .
18．（2024·山西運城·三模）給定集合，定義中所有不同值的個數為集合兩個元素的容量，用表示.
①若，則 ；
②定義函數其中表示不超過的最大整數，如，，當時，函數的值域為，若，則 ；
四、解答題
19．（2023·安徽·模擬預測）已知集合.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數的取值范圍.
20．（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知函數，記的值域為集合，的值域為集合.
(1)求；
(2)若，求實數的取值范圍.
高考動向
考綱導向小
真題在線小
考點突破
考點梳理小
題型展示小
考場演練
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第01講 集合
考點要求 考題統計 考情分析
(1)集合的概念與表示(2)集合的基本關系(3)集合的基本運算 2024年I卷第1題，5分2023年I卷第1題，5分2023 年II卷第2題，5分2022年I卷II卷第1題，5分2021年I卷I卷第1題，5分2020年I卷II卷第1題，5分 本講為高考命題熱點，題型主要為選擇題，其考查的主要內容、頻率、題型以及難度都保持相對穩定。核心在于集合間的基本運算，重點考查了集合的交集、并集和補集運算。這些運算經常與一元二次不等式、一元一次不等式、分式不等式以及指數和對數不等式的解法相結合。此外，也應適當關注集合運算與充要條件結合的解題技巧。
1．（2024·全國·高考真題）若集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【真題答案】C
【真題解析】依題意得，對于集合中的元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選：C
2．（2024·天津·高考真題）集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【真題答案】B
【真題解析】因為集合，，所以，故選：B
3．（2024·全國·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【真題答案】A
【真題解析】因為，且注意到，從而.故選：A.
4．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【真題答案】C
【真題解析】方法一：因為，而，所以．故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．
5．（2023·全國·高考真題）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【真題答案】B
【真題解析】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.
知識點1：元素與集合
1、集合的概念指的是將某些特定的對象匯集成一部分或整體，這些對象可以是數學中的數字、點等常見對象，也可以是其他類型的實體。集合的元素不僅限于傳統的數學對象，它們可以是任何種類的對象，只要它們滿足集合的構成條件。
2、集合元素的是三個特征
(1)確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.
(2)互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復出現.
(3)無序性：集合與其組成元素的順序無關.
3、元素與集合的關系是屬于(用符號“∈”表示)或不屬于(用符號“ ”表示).
4、常用數集及其符號表示：
集合 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*(或N＋) Z Q R
5、集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
知識點 2：集合的基本關系
1、子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A B(或B A)．
2、真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A B (或B A)．
3、相等：若A B，且B A，則A＝B.
4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
知識點 3：集合的基本運算
表示運算 文字語言 集合語言 圖形語言 記法
并集 所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
補集 全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合 {x|x∈U，且x A} UA
【常用結論】
1．三種集合運用的性質
(1)并集的性質：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性質：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
(3)補集的性質：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
【易錯總結】
(1)忽視集合中元素的互異性致誤；
(2)忽視空集的情況致誤；
(3)忽視區間端點值致誤．
題型一：集合的概念與表示
【典例1-1】設集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，則B中的元素有(　　)
A．5個 B．4個
C．3個 D．無數個
【答案】C
【解題思路】依題意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3個元素．
【變式1-1】已知全集，集合和，則集合的元素個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4．
【答案】B
【解析】因為所以，又因為，所以，.故選：B.
【典例1-2】已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B A，則m＝________．
【答案】0或3
【解題思路】因為B A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根據集合元素的互異性可知，m≠1，所以m＝0或3.
【變式1-2】若，則的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【答案】C
【解析】，則，符合題設；時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設；時，則，符合題設；∴或均可以.故選：C
題型二：集合的基本關系
【典例2-1】已知集合，則集合的子集的個數為（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】C
【解題思路】，集合A的子集為：，，，，共4個.故選：C.
【變式2-1】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】因為A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A C B，則集合C可以為{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4個．
【典例2-2】設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解題思路】由題知,對比選項知，正確,錯誤.故選:.
【變式2-2】已知集合，則集合的子集的個數為（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】C
【解析】，集合A的子集為：，，，，共4個.故選：C.
【典例 2-3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，則實數m的取值范圍為________．
【答案】(－∞，3]
【解題思路】因為B A，
所以①若B＝ ，則2m－1②若B≠ ，則2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.
由①②可得，符合題意的實數m的取值范圍為m≤3.
【變式2-3】已知集合A＝{1，3，}，B＝{2－x，1}．
(1) 記集合M＝{1，4，y}，若集合A＝M，求實數x＋y的值；
(2) 是否存在實數x，使得B A？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）19；（2）不存在，見解析
【解析】 (1) 因為A＝M，A＝{1，3，}，M＝{1，4，y}，
所以解得
所以x＋y＝16＋3＝19.
(2) 假設存在實數x，使得B A.
①當2－x＝3，即x＝－1時，不存在，不符合題意；
②當2－x＝時，解得x＝1.
又≠1，所以不符合題意．
綜上所述，不存在實數x，使得B A.
題型三：集合的基本運算
【典例3-1】已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－2【答案】C
【解題思路】由題可得N＝{x|－2因為－3 N，所以－3 M∩N，排除A，B；
因為2.5 M，所以2.5 M∩N，排除D.故選C.
【變式3-1】設集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，所以．故選：A.
【典例3-2】已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠ ，則實數a的取值范圍是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C. D．(1，＋∞)
【答案】C
【解題思路】由題意可得3a－1≥1，解得a≥，即實數a的數值范圍是.故選C.
【變式3-2】已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．若A∪B＝B，求實數a的取值范圍．
【答案】[－，－1]∪(3，＋∞)
【解析】由題意，得B＝{x|x2＋x－6≤0}＝[－3，2].
因為A∪B＝B，所以A B.
①當A＝ ，即2a>a＋3時，解得a>3；
②當A≠ ，即a≤3時，
有解得－≤a≤－1.
綜上，實數a的取值范圍是[－，－1]∪(3，＋∞).
【典例3-3】設A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
【答案】（1）a＝－8，b＝－5，A＝{2,6}，B＝{2，－5}．(2)(A∪B)∩C＝{2}．
【解題思路】
(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．
【變式3-3】已知集合，集合．
（1）當時，求；
（2）若，求實數的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，；
（2）或，
當，即得，滿足，
當時，使即或，
解得：．
綜上所述，的取值范圍是．
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意得.故選：C.
2．（2024·全國·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，則， 故選：D
3．（2023·北京·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意，，，根據交集的運算可知，.故選：A
4．（2024·青海西寧·二模）已知集合，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，所以，所以，即圖中陰影部分表示的集合為.故選：A
5．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15個真子集，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若集合有15個真子集，則中含有4個元素，
結合，可知，即，且區間,中含有4個整數，
①當時，,的區間長度，此時,中不可能含有4個整數；
②當時，,,，其中含有4、5、6、7共4個整數，符合題意；
③當時，,的區間長度大于3，
若,的區間長度，即．
若是整數，則區間,中含有4個整數，根據，可知，，
此時,,，其中含有5、6、7、8共4個整數，符合題意．
若不是整數，則區間,中含有5、6、7、8這4個整數，則必須且，解得；
若時，,,，其中含有5、6、7、8、9共5個整數，不符合題意；
當時，,的區間長度，此時,中只能含有6、7、8、9這4個整數，
故，即，結合可得．
綜上所述，或或，即實數的取值范圍是,,．
故選：D．
6．（2024·貴州貴陽·二模）設全集，集合滿足，則的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由題意得，解得.故選：A.
7．（2024·黑龍江牡丹江·一模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因為，，所以，
因為，所以．故選：B．
8．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知，
，故，
所以．故選：A．
二、多選題
9．（2024·新疆烏魯木齊·三模），運算“”為，則（ ）
A． B．
C． D．若，則
【答案】ABCD
【解析】對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，
，
所以，故C正確；
對于D，若，則，，
要證，只需要證，即證，
即證，即證，即證，
因為，，所以上式成立，所以，故D正確.
故選：ABCD.
10．（2024·全國·二模）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】，，選項錯誤；
，選項B錯誤；
，選項正確；
，選項D正確.
故選：CD
11．（2024·江西宜春·模擬預測）已知，如果實數滿足對任意的，都存在，使得，則稱為集合的“開點”，則下列集合中以0為“開點”的集合有（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】AC
【解析】對于，對任意的，存在，使得，故正確；
對于，假設集合，以0為“開點“，則對任意的，存在，，
使得，當時，該式不成立，故錯誤；
對于，假設集合以0為“開點“，則對任意的，存在，
使得，故正確；
對于，集合，，，當時，，
時，使得不成立，故錯誤．
故選：．
12．（2024·廣西南寧·二模）若表示集合M和N關系的Venn圖如圖所示，則M，N可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由題意可知：集合N是集合M的真子集，
對于選項A：可知集合N是集合M的真子集，故A正確；
對于選項B：因為，
可知集合M是集合N的真子集，故B錯誤；
對于選項C：因為，
且，則，當且僅當，即時，等號成立，
可得，
可知集合N是集合M的真子集，故C正確；
對于選項D：因為，
可知集合N是集合M的真子集，故D正確；
故選：ACD.
13．（2024·江西·模擬預測）已知集合，，則下列結論正確的是（ ）
A．， B．當時，
C．當時， D．，使得
【答案】AB
【解析】對于選項A：因為表示過定點，且斜率不為0的直線，
可知表示直線上所有的點，
所以，故A正確；
對于選項B：當時，則，，
聯立方程，解得，所以，B正確；
對于選項C：當時，則有：
若，則；
若，可知直線與直線平行，且，
可得，解得；
綜上所述：或，故C錯誤；
對于選項D：若，由選項C可知，且，無解，故D錯誤．
故選：AB．
三、填空題
14．（2006·上海·高考真題）已知集合，集合，若，則實數 .
【答案】1
【解析】因為，所以，
即，所以.
當時，，，滿足，故.
故答案為：1.
15．（2024·廣西南寧·三模）集合子集的個數是 ．
【答案】64
【解析】由題可知，，有6個元素，
所以該集合的子集有個，
故答案為：64．
16．（2024·全國·模擬預測）已知集合，則的子集個數為 .
【答案】4
【解析】令，即，可得，解得，
則，
可得，共兩個元素，
所以其子集的個數為.
故答案為：4.
17．（2024·湖北·模擬預測）設是絕對值不大于10的整數，函數滿足，則的所有可能取值組成的集合為 .
【答案】
【解析】首先，我們來證明一元三次方程的韋達定理，
我們設一元三次方程的三個根分別為，
而可化為，
也可以寫成，
將展開，合并同類項，
得到，
所以，，，
所以一元三次方程的韋達定理得證，
接著證明是的零點.
事實上，設，則，
其中是整數，假設，即，
而，
而是整數且是無理數，所以，
故，必定是整數，
且整數相減的結果不可能在，從而，
因為，
，
故，而，矛盾.
故，即，所以.
設的三個根為，其中，
則，，
得，所以.
由及，
所以我們得到，解得，
也可得到，解得，
而是絕對值不大于10的整數，
得到，所以.
故答案為：.
18．（2024·山西運城·三模）給定集合，定義中所有不同值的個數為集合兩個元素的容量，用表示.
①若，則 ；
②定義函數其中表示不超過的最大整數，如，，當時，函數的值域為，若，則 ；
【答案】
【解析】①：因為，
所以
其中不同值的個數為，故，
②：當，則，所以，
則的值域為，
任取兩個元素相加，不同的結果有（個），
則，解得.
故答案為：；.
四、解答題
19．（2023·安徽·模擬預測）已知集合.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）由題意知，
因為，所以，
則，解得，則實數的取值范圍是；
（2）因為“”是“”的必要不充分條件，所以是A的真子集，
當時，解得；
當時，（等號不能同時取得），解得，
綜上，.
20．（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知函數，記的值域為集合，的值域為集合.
(1)求；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），
當且僅當，即時等號成立，
故的值域為，即.
（2），
當且僅當時等號成立，
所以，
由（1）知，又，所以，
所以，解得，
故實數的取值范圍是
高考動向
考綱導向小
真題在線小
考點突破
考點梳理小
題型展示小
考場演練
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