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三角函數(shù)高考大題的類型與解法
三角函數(shù)問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是數(shù)學(xué)高考試卷，都必有一個(gè)三角函數(shù)問題的12分大題或兩到三個(gè)三角函數(shù)問題的5分小題。從題型上看是17或18題的12分大題或選擇題（也可能是填空題）的5分小題；難度系數(shù)為中，低檔，一般考生都會(huì)拿到7到12分。縱觀近幾年高考試卷，歸結(jié)起來三角函數(shù)大題主要包括：①正弦定理與余弦定理之間的綜合，求三角形的邊，內(nèi)角（或內(nèi)角的三角函數(shù)值），三角形的面積（或周長）；②正弦定理與余弦定理之間的綜合，求三角形兩邊之和（或三角形周長，面積）的最值（或取值范圍）；③正弦型函數(shù)與正弦函數(shù)之間的綜合；④三角函數(shù)與平面向量之間的綜合等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答三角函數(shù)大題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細(xì)解析來回答這個(gè)問題。
【典例1】解答下列問題：
1、 記ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=cosB, +-= ab。
（1） 求B；
（2） 若ABC 的面積為3+，求C（2024全國高考新高考I）。
2、 記ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=2。
（1）求A；
（2）若a=2，bsinC=csin2B，求ABC的周長（2024全國高考新高考II）。
3、記ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知=2。
（1）求bc；
（3） 若-=1，求ABC的面積（2023全國高考甲卷文）
4、在ABC中，已知BAC=，AB=2，AC=1。
（1）求sinABC；
（2）若D為BC上一點(diǎn)，且BAD=，求ADC的面積（2023全國高考乙卷理）
5、 已知在ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB。
（1）求sinA；
（2）設(shè)AB=5，求AB邊時(shí)的高（2023全國高考新高考I）。
6、=，D為BC中點(diǎn)，AD=1。
（1）若ADC=，求tanB；
（2）若+=8，求b，c（2023全國高考新高考II）
7、記ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知=sinC+cosC。
（1）求A的大小；
（2）若2sinB=3sinC，再從下列條件①，條件②中任選一個(gè)作為已知，求ABC的面。積條件①：asinC=2；條件②：ac=2。
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分（成都市高2020級高三一診）
8、已知ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c+a=bcosC-ccosB。
（1）求角B的大小；
（2）若D是AC上一點(diǎn)，且BD=CD=b，求cosBDA（成都市高2020級高三三珍）
『思考問題1』
（1）【典例1】是正弦定理，余弦定理的綜合運(yùn)用問題，解答這類問題需要理解和掌握正弦定理，余弦定理并能夠靈活運(yùn)用兩個(gè)定理解答相關(guān)的數(shù)學(xué)問題；
（2）運(yùn)用正弦定理，余弦定理解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，還需要注意三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，三角形面積公式等基本知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用。
［練習(xí)1］解答下列問題：
1、記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)。
（理）（1）證明：2=+；
（2）若a=5，cosA=，求ABC的周長。
（文）（1）若A=2B,求C；
（2）證明：2=+（2022全國高考乙卷）
2、記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，，，已知-+=，sinB=。
（1）求ABC的面積；
（2）若sinA sinC= ，求b（2022全國高考新高考II卷）
3、已知ABC中的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，角B為鈍角，且2asin(-B)
= （成都市2019級高三三珍）
（1）求角B的大小；
（2）若點(diǎn)D在邊AC上，滿足AC=4AD，且AB=4，BD=3，求BC邊的長。
4、記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知=ac，點(diǎn)D在邊AC上，Bdsin
ABC=asinC。
（1）證明：BD=b；
（2）若AD=2DC，求cosABC（2021全國高考新高考I卷）。
5、在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，b=a+1，c=a+2。
（1）若2sinC=3sinA，求ABC的面積；
（2）是否存在正整數(shù)a，使得ABC為銳角三角形？若存在，求a；若不存在，請說明理由（2021全國高考新高考II卷）
6、在ABC中，點(diǎn)M在邊AC上，CM=3MA，tanABM=，tanBMC=-。
（1）求角A的大小；
（2）若BM=，求ABC的面積（2021成都市高三一診）
7、ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知（b-a）cosC=ccosA。
（1）求角C的大小；
（2）若a=，c(acosB-bcosA)=，求ABC的面積（2021成都市高三二診）。
8、在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且+-=bc。
（1）求sinA的值；
（2）若ABC的面積為，且sinB=3sinC，求ABC的周長（2020成都市高三一珍）
9、ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知B=。
（1）若a=c，b=2，求ABC的面積；
（2）若sinA+sinC=，求C（2020全國高考新課標(biāo)I文）。
10、在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知A=，+-abc=。
（1）求a的值；
（2）若b=1，求ABC的面積（2019成都市高三一珍）
11、已知ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且acosB=b+c。
（理）（1）求角A的大小；
（2）求sinB+sinC+sinBsinC的值。
（文）（1）求角A的大小；
（2）記ABC的外接圓半徑為R，求的值（2019成都市高三三珍）
【典例2】解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cosx-1，在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足f(A)=1。（成都市高2021級高三一診 ）
（1）求A的值；
（2）若b=1，求2+bc的取值范圍。
2、記ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知=。
（1）若C=，求B；
（2）求的最小值（2022全國高考新高考I卷）
3、在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且（a-c）sin（A+B）=（a-b）(sinA
+sinB)。
（1）求角B的大小；
（2）若b=4，求a+c的最大值（2020成都市高三三珍）
4、（理）ABC中，sinA-sinB-sinC=sinBsinC。
（1）求A；
（2）若BC=3，求ABC周長的最大值。
（文）ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知cos（+A）+cosA=。
（1）求A；
（2）若b-c=a，證明：ABC是直角三角形（2020全國高考新課標(biāo)II）。
『思考問題2』
（1）【典例2】是正弦定理，余弦定理與基本不等式，三角函數(shù)的最值等知識(shí)綜合問題，解答這類問題需要理解和掌握正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函數(shù)最值的求法等基本知識(shí)點(diǎn)，并能夠靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)解答相關(guān)的數(shù)學(xué)問題；
（2）運(yùn)用正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函數(shù)最值等基本知識(shí)點(diǎn)解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要注意三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，三角形面積公式等基本知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用。
［練習(xí)2］解答下列問題：
1、（理）在ABC中， +=-ac。
（1）求B的大小；
（2）求cosA+cosC的最大值。
（文）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+cos2x(＞0)的最小正周期為。
（1）求的值；
（2）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間（2016全國高考北京卷）
2、ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asin=bsinA。
（1）求B；
（2）若ABC為銳角三角形，且c=1，求ABC面積的取值范圍（2019全國高考新課標(biāo)III）
【典例3】解答心里問題：
1、知函數(shù)f(x)= sinxcosx+sinx，其中0<<6，且f（）=。
（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若（，），且f()=，求sin2的值（成都市2019級高三二診）
2、已知函數(shù)f(x)=sinx+sinxcosx。
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）若f(x)在區(qū)間［-，m］上的最大值為，求m的最小值（2018全國高考北京卷（文））
『思考問題3』
（1）【典例3】是正弦函數(shù)（或正弦型函數(shù)）的圖像和性質(zhì)的綜合運(yùn)用問題，解答這類問題需要理解和掌握正弦函數(shù)（或正弦型函數(shù)）的圖像和性質(zhì)，同時(shí)還需要掌握正弦型函數(shù)處理的基本方法 ；
（2）解答該類問題時(shí)，經(jīng)常與二倍角公式，輔助角公式等基本知識(shí)點(diǎn)融合在一起，因此理解和掌握二倍角公式，輔助角公式也顯得尤為重要。
［練習(xí)3］解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)= sincos-cos+。
（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，f(A)= ，a=，sinB=2sinC，求c（2018成都市高三二診）
【典例4】解答下列問題：
1、（理）已知向量=(cos,sin)，=（cos,sin），=(-1,0)。
（1）求向量+的長度的最大值；
（2）設(shè)=，且⊥（+），求cos的值；
（文）已知向量=(sin ,cos -2sin )，=（1,2），
(1)若∥，求tan的值；
（2）若||=||，0＜＜，求的值。
『思考問題4』
（1）【典例4】是正弦函數(shù)（或正弦型函數(shù)）的圖像和性質(zhì)，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法綜合運(yùn)用的問題，解答這類問題需要理解和掌握正弦函數(shù)（或正弦型函數(shù)）的圖像和性質(zhì)，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，還需要掌握正弦型函數(shù)處理的基本方法 ；
（2）解答該類問題時(shí)，經(jīng)常與平面向量平行與垂直等基本知識(shí)點(diǎn)融合在一起，因此理解和掌握平面向量平行與垂直的充分必要條件也顯得尤為重要。
［練習(xí)4］解答下列問題：
1、已知向量=（cosx，sinx），=（3，-），x［0，］。
（1）若//，求x的值；
（2）記f(x)= .，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值（2017全國高考江蘇卷）
三角函數(shù)高考大題的類型與解法
三角函數(shù)問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是數(shù)學(xué)高考試卷，都必有一個(gè)三角函數(shù)問題的12分大題或兩到三個(gè)三角函數(shù)問題的5分小題。從題型上看是17或18題的12分大題或選擇題（也可能是填空題）的5分小題；難度系數(shù)為中，低檔，一般考生都會(huì)拿到7到12分。縱觀近幾年高考試卷，歸結(jié)起來三角函數(shù)大題主要包括：①正弦定理與余弦定理之間的綜合，求三角形的邊，內(nèi)角（或內(nèi)角的三角函數(shù)值），三角形的面積（或周長）；②正弦定理與余弦定理之間的綜合，求三角形兩邊之和（或三角形周長，面積）的最值（或取值范圍）；③正弦型函數(shù)與正弦函數(shù)之間的綜合；④三角函數(shù)與平面向量之間的綜合等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答三角函數(shù)大題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細(xì)解析來回答這個(gè)問題。
【典例1】解答下列問題：
1、記ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=cosB, +-= ab。
（1）求B；
（2）若ABC 的面積為3+，求c（2024全國高考新高考I）。
【解析】
【考點(diǎn)】①三角形余弦定理及運(yùn)用；②三角形正弦定理及運(yùn)用；③三角形內(nèi)角和定理及運(yùn)用；④三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及運(yùn)用；⑤三角形面積公式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)三角形余弦定理，結(jié)合問題條件求出cosB的值,從而就可求出B的值；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形正弦定理，運(yùn)用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和三角形面積公式，結(jié)合問題條件求出sinA的值，從而得到關(guān)于a，c的方程組，求解方程組就可求出c的值。
【詳細(xì)解答】（1）+-= ab，cosC===，C=，
sinC=cosB,0, cosB=，0=，ABC 的面積為acsinB=ac=3+，ac=4（+1）①，
=，==②，聯(lián)立①②得：=2（+1）（-1）=4，c=2。
2、記ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=2。
（1）求A；
（2）若a=2，bsinC=csin2B，求ABC的周長（2024全國高考新高考II）。
【解析】
【考點(diǎn)】①三角函數(shù)輔助角公式及運(yùn)用；②正弦型三角函數(shù)定義與性質(zhì)；③處理正弦型三角函數(shù)的基本方法；④三角形正弦定理及運(yùn)用；⑤三角形內(nèi)角和定理及運(yùn)用；⑥三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)三角函數(shù)輔助角公式和正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用處理正弦型三角函數(shù)的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于A的方程，求解方程就可求出A的值；（2）根據(jù)三角形正弦定理和內(nèi)角和定理，運(yùn)用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合問題條件求出cosB，sinB，sinC的值，從而求出b，c的值，就可求出ABC的周長。
【詳細(xì)解答】（1）sinA+cosA=2sin（A+）=2，sin（A+）=1，A+=，A+=-=；（2）bsinC=csin2B，sinBsinC=2sinCsinBcosB，
cosB=，sinB=，A+B+C=，A=，B=，C=-A-B，sinC=sin（A+B）=+=，==，a=2，b==2，
c==+，出ABC的周長為a+b+c=2+2++=2+3+。
3、記ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知=2。
（1）求bc；
（2）若-=1，求ABC的面積（2023全國高考甲卷文）
【解析】
【考點(diǎn)】①三角形正弦定理及運(yùn)用；②三角形余弦定理及運(yùn)用；③三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及運(yùn)用；④三角形面積公式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)三角形余弦定理，結(jié)合問題條件得到關(guān)于bc的方程，求解方程就可求出bc的值；（2）根據(jù)三角形正弦定理和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合問題條件求出sinA的值，運(yùn)用三角形面積公式就可求出ABC的面積。
【詳細(xì)解答】（1）cosA=，=2bccosA，
==2bc=2，bc=1；（2）===2R，-=1，
-=-=1，2sinBcosA+sinB=sinB(2cosA+1)=0，sinB>0，2cosA+1
=0，cosA=-，sinA==，=1=。
4、在ABC中，已知BAC=，AB=2，AC=1。
（1）求sinABC；
（2）若D為BC上一點(diǎn)，且BAD=，求ADC的面積（2023全國高考乙卷理）
【解析】
【考點(diǎn)】①三角形正弦定理及運(yùn)用；②三角形余弦定理及運(yùn)用；③直角三角形定義與性質(zhì)；④三角形面積公式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)三角形余弦定理，結(jié)合問題條件求出a的值，運(yùn)用三角形正弦定理就可求出sinABC的值；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出AD的值，運(yùn)用三角形面積公式就可求出ADC的面積。
【詳細(xì)解答】（1）在ABC中，BAC=，AB=2，AC=1，BC=
=，=，sinABC===；（2）
D為BC上一點(diǎn)，且BAD=，sinABC=，cosABC==，
tanABC==，AD=AB.tanABC=2=，DAC=BAC
-DAB=-=，=1=。
5、 已知在ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB。
（1）求sinA；
（2）設(shè)AB=5，求AB邊時(shí)的高（2023全國高考新高考I）。
【解析】
【考點(diǎn)】①三角形內(nèi)角和定理及運(yùn)用；②三角函數(shù)差角公式及運(yùn)用；③同角三角函數(shù)基本關(guān)系及運(yùn)用；④三角形正弦定理及運(yùn)用；⑤三角形面積公式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合問題條件求出C的值，運(yùn)用三角函數(shù)差角公式和同角基本關(guān)系求出sinA的值，從而就可求出sinA的值；（2）根據(jù)三角形正弦定理和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合問題條件求出sinA的值，運(yùn)用三角形面積公式就可求出ABC的面積。
【詳細(xì)解答】（1）A+B=3C，A+B+C=3C+C=4C=，C=，B=-A，2sin(A-C)
=sinB，sin(A-C)=sin(A-)=（sinA-cosA），sinB=sin（-A）=（cosA+sinA），
sinA=cosA，sinA=3cosA，sinA+cosA=sinA=1，0sinA==；（2）設(shè)AB邊上的高為h，AB=5，=,BC=
==3，sinB=2sin(A-C)=（sinA-cosA）=（-）=，
=53=5h，h=6。
6、=，D為BC中點(diǎn)，AD=1。
（1）若ADC=，求tanB；
（2）若+=8，求b，c（2023全國高考新高考II）
【解析】
【考點(diǎn)】①三角形中線定義與性質(zhì)；②直角三角形定義與性質(zhì)；③三角形面積公式公式及運(yùn)用；④三角形余弦定理及運(yùn)用。
【解題思路】（1）如圖，過點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E，根據(jù)三角形中線和直角三角形的性質(zhì)，運(yùn)用三角形面積公式，結(jié)合問題條件求出AE，BE的值就可求出tanB的值；（2）如圖，設(shè)ADB=，根據(jù)三角形余弦定理，結(jié)合問題條件求出BC的值，從而求出bccosBAC的值，運(yùn)用三角形面積公式求出bcsinBAC的值，從而求出bc的值就可求出b，c的值。
【詳細(xì)解答】（1）如圖，過點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E， A
EMBED Equation.DSMT4 D為BC中點(diǎn)，AD=1，ADC=，AE=1
=，DE=1=，=2=2DC B D E C
1=DC=，DC=2，BE=AD+DE=2+=，tanB===；（2）如圖，設(shè)ADB=，D為BC中點(diǎn)，AD=1，+=8，=1+DC+2DCcos，=1+BD-2BDcos，2+2DC=8，DC=，BC=2DC=2，12=8-2bccosBAC，bccosBAC=-2，=bcsinBAC=，bcsinBAC=2，tanBAC
=-，0b=c=2。
7、記ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知=sinC+cosC。
（1）求A的大小；
（2）若2sinB=3sinC，再從下列條件①，條件②中任選一個(gè)作為已知，求ABC的面積。條件①：asinC=2；條件②：ac=2。
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分（成都市高2020級高三一診）
【解析】
【考點(diǎn)】①三角形內(nèi)角和定理及運(yùn)用；②三角形正弦定理及運(yùn)用；③三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及運(yùn)用；④三角形余弦定理及運(yùn)用；⑤三角形面積公式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形正弦定理，運(yùn)用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于sinC，sinA，cosA的等式，從而得到關(guān)于sinA，cosA的等式就可求出A的值；（2）根據(jù)三角形余弦定理，結(jié)合已知條件求出c關(guān)于a的表示式，從而求出b，c的值，運(yùn)用三角形面積公式就可求出ABC的面。
【詳細(xì)解答】（1） =sinC+cosC，sinB=sinAsinC+sinAcosC，sinAcosC+cosAsinC
=sinAsinC+sinAcosC，sinC(sinA-cosA)=0，sinC>0，sinA-cosA=0，tanA=1，
A=；（2）若選條件①：asinC=2，2sinB=3sinC，==，由（1）知A=， RsinC=c=2，c=2，b=3，=bcsinA=32
=3。若選條件②：ac=2，2sinB=3sinC，==，由（1）知A=，
=+-bc=+-=，a=c，c=2，b=3，
=bcsinA=32=3。
8、已知ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c+a=bcosC-ccosB。
（1）求角B的大小；
（2）若D是AC上一點(diǎn)，且BD=CD=b，求cosBDA（成都市高2020級高三三珍）
【解析】
【考點(diǎn)】①三角形內(nèi)角和定理及運(yùn)用；②三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及運(yùn)用；③三角形正弦定理及運(yùn)用；④三角形余弦定理及運(yùn)用；⑤求解三角形的基本方法。
【解題思路】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，運(yùn)用三角形正弦定理，結(jié)合問題條件得到關(guān)于cosB的等式，從而求出cpsB的值，就可求出角B的大小；（2）如圖，根據(jù)三角形余弦定理，得到關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b關(guān)于c的表示式，就可求出cosBDA 的值。
【詳細(xì)解答】（1）===2R，c+a=bcosC-ccosB sinC+sinA
=sinBcosC-sinCcosB，sinC(+2 cosB) =0 ，sinC>0，+2 cosB =0 ， cosB =-，0=b，cosB==-， cosBDC A
=，cosBDA =， D
cosBDC +cosBDA =，=2+， B C
『思考問題1』
（1）【典例1】是正弦定理，余弦定理的綜合運(yùn)用問題，解答這類問題需要理解和掌握正弦定理，余弦定理并能夠靈活運(yùn)用兩個(gè)定理解答相關(guān)的數(shù)學(xué)問題；
（2）運(yùn)用正弦定理，余弦定理解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，還需要注意三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，三角形面積公式等基本知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用。
［練習(xí)1］解答下列問題：
1、記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)。
（理）（1）證明：2=+；
（2）若a=5，cosA=，求ABC的周長。
（文）（1）若A=2B,求C；
（2）證明：2=+（2022全國高考乙卷）
（答案：（理）（1）提示：運(yùn)用三角形正弦定理和余弦定理；（2）ABC的周長為14.（文）（1）C=；（2）提示：運(yùn)用三角形正弦定理和余弦定理.）
2、記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，，，已知-+=，sinB=。
（1）求ABC的面積；
（2）若sinA sinC= ，求b（2022全國高考新高考II卷）
（答案：（1）ABC的面積為；（2）b=。）
3、已知ABC中的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，角B為鈍角，且2asin(-B)
= （成都市2019級高三三珍）
（1）求角B的大小；
（2）若點(diǎn)D在邊AC上，滿足AC=4AD，且AB=4，BD=3，求BC邊的長。
（答案：（1）B=；（2）BC=12。）
4、記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知=ac，點(diǎn)D在邊AC上，且dsinABC=asinC。
（1）證明：BD=b；
（2）若AD=2DC，求cosABC（2021全國高考新高考I卷）。
（答案：（1）提示：運(yùn)用三角形正弦定理；（2）cosABC=。）
5、在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，b=a+1，c=a+2。
（1）若2sinC=3sinA，求ABC的面積；
（2）是否存在正整數(shù)a，使得ABC為銳角三角形？若存在，求a；若不存在，請說明理由（2021全國高考新高考II卷）
（答案：（1）ABC的面積為；（3）存在a=3的正整數(shù)，，使得ABC為銳角三角形。）
6、在ABC中，點(diǎn)M在邊AC上，CM=3MA，tanABM=，tanBMC=-。
（1）求角A的大小；
（2）若BM=，求ABC的面積（2021成都市高三一診）
（答案：（1）A=；（2）ABC的面積為6.）
7、ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知（b-a）cosC=ccosA。
（1）求角C的大小；
（2）若a=，c(acosB-bcosA)=，求ABC的面積（2021成都市高三二診）。
（答案：（1）C=；（2）ABC的面積為。）
8、在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且+-=bc。
（1）求sinA的值；
（2）若ABC的面積為，且sinB=3sinC，求ABC的周長（2020成都市高三一珍）
（答案：（1）sinA=；（2）a+b+c=+3+2。）
9、ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知B=。
（1）若a=c，b=2，求ABC的面積；
（2）若sinA+sinC=，求C（2020全國高考新課標(biāo)I文）。
（答案：（1）ABC的面積為；（2）。）
10、在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知A=，+-abc=。
（1）求a的值；
（2）若b=1，求ABC的面積（2019成都市高三一珍）
(答案：（1）a的值為；（2）ABC的面積為。。)
11、已知ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且acosB=b+c。
（理）（1）求角A的大小；
（2）求sinB+sinC+sinBsinC的值。
（文）（1）求角A的大小；
（2）記ABC的外接圓半徑為R，求的值（2019成都市高三三珍）
a=c，b=c，cosBDA ===。
（答案：（理）（1）A=；（2）sinB+sinC+sinBsinC的值為 。（文）（1）A=；
（2）的值為。）
【典例2】解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cosx-1，在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足f(A)=1。（成都市高202111級高三一診 ）
（1）求A的值；
（2）若b=1，求2+bc的取值范圍。
【解析】
【考點(diǎn)】①三角函數(shù)二倍角公式及運(yùn)用；②三角函數(shù)輔助角公式及運(yùn)用；③三角形正弦定理及運(yùn)用；④三角形余弦定理及運(yùn)用；⑤三角形面積公式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)三角函數(shù)二倍角和輔助角公式，結(jié)合問題條件得到函數(shù)f(x)正弦型三角函數(shù)的表示式，就可求出A的值；（2）根據(jù)三角形余弦定理，結(jié)合已知條件求出c關(guān)于a的表示式，從而求出b，c的值，運(yùn)用三角形面積公式就可求出ABC的面。
【詳細(xì)解答】（1）函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cosx-1=sin2x+cos2x=2sin(2x+)，
f(A)=2sin(2A+)=1，sin(2A+)=，2A+=2k+，或2A+=2k+，
A=k，或A=k+（kZ），ABC是銳角三角形，A=；（2）b=1，A=，=1+-2c=-c+1，2+bc=2-2c+2+c=2-c+2，02+bc=2-c+2在（，2）上單調(diào)遞增，2-+2=2<2+bc=2-c+2<24-2+2
=8，2+bc的取值范圍是（2，8）。
2、記ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知=。
（1）若C=，求B；
（2）求的最小值（2022全國高考新高考I卷）
【解析】
【考點(diǎn)】①三角形內(nèi)角和定理及運(yùn)用；②三角函數(shù)二倍角公式及運(yùn)用；③三角函數(shù)和角公式及運(yùn)用；④三角函數(shù)差角公式及運(yùn)用；⑤三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及運(yùn)用；⑥正弦定理及運(yùn)用；⑦基本不等式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到A+B=，從而得到A=-B，運(yùn)用三角函數(shù)二倍角公式，和角公式與差角公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于cosB，sinB的等式，從而求出sinB的值，就可求出B的值；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)二倍角公式，和角公式與差角公式，結(jié)合問題條件得到sinA，sinB關(guān)于C的三角函數(shù)表示式，運(yùn)用正弦定理，得到關(guān)于C的三角函數(shù)式，利用基本不等式，就可求出的最小值。
【詳細(xì)解答】（1） C=， =，sinB+sinA sinB = cosA cosB， sinB =cos(A+B)=--cosC= ， 0=，sin2B+sinA sin2B =cosA+cosA cos2B， cosA - sin2B +cos(A+2B)= - cosCcosB-+sinCsinB-2sinBcosB- cosCcosB- sinCsinB=-2cosCcosB--2sinBcosB=-2cosB(cosC
+sinB)=0，1+cos2B=1+2 cosB-1=2 cosB0，cosB0， cosC+sinB=0， sinB
=- cosC，C=+B， sinA=sin(B+C)=sin(2C-)=-cos2C，
= = =2R，==
===+4 sinC-5 2 -54-5，當(dāng)且僅當(dāng)=4 sinC，即sinC=時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為4-5。
3、在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且（a-c）sin（A+B）=（a-b）(sinA
+sinB)。
（1）求角B的大小；
（2）若b=4，求a+c的最大值（2020成都市高三三珍）
【解析】
【考點(diǎn)】①正弦定理及運(yùn)用；②余弦定理及運(yùn)用；③三角形面積公式及運(yùn)用；④基本不等式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）運(yùn)用正弦定理，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a，b，c的等式，根據(jù)余弦定理求出cosB的值，從而求出B的值；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a，c的等式，利用基本不等式得到關(guān)于a+c的不等式，求解不等式就可得出a+c的最大值。
【詳細(xì)解答】（1） A+B+C=，= = =2R，（a-c）sin（A+B）=（a-b）(sinA+sinB)，（a-c）c=（a-b）（a+b），+-=ac，cosB===
，00，c>0， a+c2，ac，16=+-2ac=-3ac-，
a+c8，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)，a+c取得最大值為8，a+c的最大值為8。
4、（理）ABC中，sinA-sinB-sinC=sinBsinC。
（1）求A；
（2）若BC=3，求ABC周長的最大值。
（文）ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知cos（+A）+cosA=。
（1）求A；
（2）若b-c=a，證明：ABC是直角三角形（2020全國高考新課標(biāo)II）。
【解析】
【考點(diǎn)】①正弦定理及運(yùn)用；②余弦定理及運(yùn)用；③同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及運(yùn)用；④三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及運(yùn)用；⑤基本不等式及運(yùn)用；⑥直角三角形的定義與性質(zhì)。
【解題思路】（理）（1）運(yùn)用正弦定理得到關(guān)于a，b，c的等式，根據(jù)余弦定理，結(jié)合問題條件求出求出cosA的值，從而求出A的值；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a，c的等式，利用基本不等式得到關(guān)于a+c的不等式，求解不等式就可得出a+c的最大值從而求出ABC周長的最大值；（文）（1）運(yùn)用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合問題條件得到關(guān)于cosA的一元二次方程，求解方程求出cosA的值，從而求出A的值；（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合問題條件得到關(guān)于sinB，cosB，的等式，從而求出sin（B-）的值，證明B=就可證明結(jié)論。
【詳細(xì)解答】（理）（1） sinA-sinB-sinC=sinBsinC，= = =2R，
--=bc，+-=-ac， cosA= = =-，00，c>0，b+c2，bc，9=++2bc=-bc-，b+c2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時(shí)，a+c取得最大值為2，ABC周長的最大值為3+2；（文）
（1）cos（+A）=-sinA，cos（+A）+cosA=， sinA+cosA=，cosA-cosA
+=0， cosA=，0『思考問題2』
（1）【典例2】是正弦定理，余弦定理與基本不等式，三角函數(shù)的最值等知識(shí)綜合問題，解答這類問題需要理解和掌握正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函數(shù)最值的求法等基本知識(shí)點(diǎn)，并能夠靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)解答相關(guān)的數(shù)學(xué)問題；
（2）運(yùn)用正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函數(shù)最值等基本知識(shí)點(diǎn)解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要注意三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，三角形面積公式等基本知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用。
［練習(xí)2］解答下列問題：
1、（理）在ABC中， +=-ac。
（1）求B的大小；
（2）求cosA+cosC的最大值。
（文）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+cos2x(＞0)的最小正周期為。
（1）求的值；
（2）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間（2016全國高考北京卷）
（答案：（理）（1）B=；（2）cosA+cosC的最大值為1。（文）（1）=1；（2）函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是：［k-，k+］（kZ）。）
2、ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asin=bsinA。
（1）求B；
（2）若ABC為銳角三角形，且c=1，求ABC面積的取值范圍（2019全國高考新課標(biāo)III）
（答案：（1）B=；（2）ABC面積的取值范圍是（，）。）
【典例3】解答心里問題：
1、知函數(shù)f(x)= sinxcosx+sinx，其中0<<6，且f（）=。
（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若（，），且f()=，求sin2的值（成都市2019級高三二診）
【解析】
【考點(diǎn)】①三角函數(shù)二倍角公式及運(yùn)用；②三角函數(shù)輔助角公式及運(yùn)用；③正弦三角函數(shù)定義與性質(zhì)；④正弦型三角函數(shù)定義與性質(zhì)；⑤處理正弦型三角函數(shù)的基本方法；⑥同角三角函數(shù)基本關(guān)系及運(yùn)用；⑦三角函數(shù)和角公式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）根據(jù)三角函數(shù)二倍角公式和三角函數(shù)輔助角公式，結(jié)合問題條件得到函數(shù)f(x)的正弦型三角函數(shù)式，運(yùn)用處理正弦型三角函數(shù)的基本方法就可求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，結(jié)合問題條件求出cos（2 -）的值，運(yùn)用三角函數(shù)和角公式就可求出sin2的值。
【詳細(xì)解答】（1） f(x)= sinxcosx+sinx= sin2x-cos2x+
= sin（2x -）+，f（）= sin（ -）+=， sin（ -）=0， -=k， =6k+1(kZ)，0<<6，=1， f(x)= sin（2x -）+，由2 k- 2x -2 k+解得： k- x k+(kZ)， 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k-，k+](kZ)；（2） f()=sin（2 -）+=，（，）， sin（2 -）=，2 -（0，），cos（2 -）==,2=（2 -）+， sin2= sin[（2-）+]= sin（2 -）cos+ cos（2 -）sin=+=。
2、已知函數(shù)f(x)=sinx+sinxcosx。
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）若f(x)在區(qū)間［-，m］上的最大值為，求m的最小值（2018全國高考北京卷（文））
【解析】
【考點(diǎn)】①二倍角公式及運(yùn)用；②輔助角公式及運(yùn)用；③正弦型三角函數(shù)最小正周期的定義與求法；④正弦函數(shù)的定義，圖像與性質(zhì)。
【解題思路】（1）運(yùn)用二倍角公式，輔助角公式，結(jié)合問題條件得到函數(shù)f(x)的正弦型三角函數(shù)式，根據(jù)正弦型三角函數(shù)最小正周期的求法就可求出函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）運(yùn)用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，結(jié)合問題條件就可求出m的最小值。
【詳細(xì)解答】（1） f(x)=sinx+sinxcosx= + sin2x= sin2x-cos2x
+=sin(2x-)+，T==，函數(shù)f(x)的最小正周期是；（2）x［-，m］，2x+［-，2m-］，當(dāng)且僅當(dāng)2x-=2k+（kZ）時(shí)，函數(shù)f(x)=1+=，
2m-=，即m=為最小，函數(shù)f(x)在區(qū)間［-，m］上的最大值為，m的最小值為。
『思考問題3』
（1）【典例3】是正弦函數(shù)（或正弦型函數(shù)）的圖像和性質(zhì)的綜合運(yùn)用問題，解答這類問題需要理解和掌握正弦函數(shù)（或正弦型函數(shù)）的圖像和性質(zhì)，同時(shí)還需要掌握正弦型函數(shù)處理的基本方法 ；
（2）解答該類問題時(shí)，經(jīng)常與二倍角公式，輔助角公式等基本知識(shí)點(diǎn)融合在一起，因此理解和掌握二倍角公式，輔助角公式也顯得尤為重要。
［練習(xí)3］解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)= sincos-cos+。
（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，f(A)= ，a=，sinB=2sinC，求c（2018成都市高三二診）
（答案：（1）函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是［2k+，2k+］（kZ）；（2）c=1。
【典例4】解答下列問題：
1、（理）已知向量=(cos,sin)，=（cos,sin），=(-1,0)。
（1）求向量+的長度的最大值；
（2）設(shè)=，且⊥（+），求cos的值；
（文）已知向量=(sin ,cos -2sin )，=（1,2），
(1)若∥，求tan的值；
（2）若||=||，0＜＜，求的值。
【解析】
【考點(diǎn)】①同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及運(yùn)用；②輔助角公式及運(yùn)用；③平面向量坐標(biāo)的定義
與性質(zhì)；④平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法；⑤求三角函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】（理）（1）運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于sin，cos的等式，根據(jù)向量模長的定義得到關(guān)于sin，cos的三角函數(shù)式，利用求三角函數(shù)最值的基本方法就可求出向量+的長度的最大值；（2）運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于sin，cos的三角函數(shù)式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系就可求出cos的值；（文）（1）運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于sin ,cos 的三角函數(shù)式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系就可求出tan的值；（2）運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于sin ,cos 的三角函數(shù)式，求出cos ，tan的值，從而求出的值。
【詳細(xì)解答】（理）（1）=（cos,sin），=(-1,0)，+=（cos-1,sin），｜+｜==，當(dāng)且僅當(dāng)cos=-1時(shí)，｜+｜取得最大值為2，向量+的長度的最大值是2；（2）=，且⊥（+），.（+）= cos（cos-1）+ sinsin= （cos+ sin-1）=0， cos+ sin=1， cos=0或cos=1；（文）（1）向量=(sin ,cos -2sin )，=（1,2），∥，=，4 sin =cos ， tan= ；（2）向量=(sin ,cos -2sin )，=（1,2），||=||，
= ==，4-4-4=0， cos =0，或tan=1，0＜＜，=，或=。
『思考問題4』
（1）【典例4】是正弦函數(shù)（或正弦型函數(shù)）的圖像和性質(zhì)，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法綜合運(yùn)用的問題，解答這類問題需要理解和掌握正弦函數(shù)（或正弦型函數(shù)）的圖像和性質(zhì)，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，還需要掌握正弦型函數(shù)處理的基本方法 ；
（2）解答該類問題時(shí)，經(jīng)常與平面向量平行與垂直等基本知識(shí)點(diǎn)融合在一起，因此理解和掌握平面向量平行與垂直的充分必要條件也顯得尤為重要。
［練習(xí)4］解答下列問題：
1、已知向量=（cosx，sinx），=（3，-），x［0，］。
（1）若//，求x的值；
（2）記f(x)= .，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值（2017全國高考江蘇卷）
（答案：（1）x=；（2）函數(shù)f(x)取得最大值為2，其對應(yīng)x的值為x=2k+（kZ），函數(shù)f(x)取得最小值為-2，其對應(yīng)x的值為x=2k+（kZ）。

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