資源簡介

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專題28 平面向量的概念及線性運算（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】平面向量的概念 4
【考點2】向量的線性運算 8
【考點3】共線向量定理的應用 13
【分層檢測】 18
【基礎篇】 18
【能力篇】 25
【培優篇】 31
考試要求：
1.了解向量的實際背景.
2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.
3.理解向量的幾何表示.
4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.
5.掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.
6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.
1.向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的長度(或稱模)，記作||.
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
向量運算 定　義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求兩個向量差的運算 a－b＝a＋(－b)
數乘 規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.
1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
2．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則 ．
參考答案：
1．D
【分析】作出圖形,根據幾何意義求解.
【詳解】因為,所以,
即,即,所以.
如圖,設,
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
2．
【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關于的方程，解方程即可求得實數的值.
【詳解】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，
解方程可得：.
故答案為：.
【考點1】平面向量的概念
一、單選題
1．（2024·廣西南寧·一模）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西朔州·一模）已知，且，則（ ）
A． B． C．4 D．
二、多選題
3．（2023·湖南長沙·一模）下列說法不正確的是（ ）
A．若 ，則與的方向相同或者相反
B．若，為非零向量，且 ，則與共線
C．若 ，則存在唯一的實數 使得
D．若 是兩個單位向量，且 ，則
4．（2023·全國·模擬預測）有關平面向量的說法，下列錯誤的是（ ）
A．若，，則
B．若與共線且模長相等，則
C．若且與方向相同，則
D．恒成立
三、填空題
5．（2024·陜西西安·模擬預測）已知在平面直角坐標系中，，則 ．
6．（22-23高三上·湖北武漢·期中）設，，是的三個內角，的外心為，內心為．且與共線．若，則 ．
參考答案：
1．A
【分析】根據題意，得到，得到點為線段的中點，得出為直角三角形，且為等邊三角形，進而求得向量在向量上的投影向量.
【詳解】由，可得，
所以，即點為線段的中點，
又因為的外接圓圓心為，所以為直角三角形，所以
因為，可得，所以為等邊三角形，
故點作，可得，所以，
因為向量在向量同向，所以向量在向量上的投影向量為.
故選；A.
2．C
【分析】利用向量的數量積可求.
【詳解】因為，，則，，
則，故，
故選：C.
3．ACD
【分析】利用零向量與任意向量平行可判定A，利用共線向量的定義可判定B，利用共線向量的充要條件可判定C，利用平面向量的數量積與模長關系可判定D.
【詳解】對A，若為零向量時，與的方向不確定，故A錯誤；
對B，分別表示，方向上的單位向量，根據題意可知B正確；
對C，若為零向量，不為零向量時，不存在實數 使得 ，故C錯誤；
對D，由，
所以，故D錯誤.
故選：ACD
4．ABC
【分析】取，可判斷A選項；利用平面向量的概念可判斷B選項；利用向量不能比大小可判斷C選項；利用平面向量數量積的運算性質可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，取，滿足，，但、不一定共線，A錯；
對于B選項，若與共線且模長相等，則或，B錯；
對于C選項，任何兩個向量不能比大小，C錯；
對于D選項，恒成立，D對.
故選：ABC.
5．
【分析】根據四邊形是平行四邊形，利用向量加減法的三角形法則及坐標運算即可求解.
【詳解】

因為四邊形是平行四邊形，
所以，
，
所以.
故答案為：
6．2
【分析】由O，I分別是三角形的外心和內心，利用與共線得到線段的長度關系，用，表示出相應線段，得到等式.
【詳解】
設內切圓半徑為r，過O，I分別作BC的垂線，垂足分別為M，D，
則，，
因為與共線，所以，又因為，，
所以，
因為，所以，
即，所以.
故答案為：2
反思提升：
平行向量有關概念的四個關注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數圖象的平移混淆.
(4)非零向量a與的關系：是與a同方向的單位向量.
【考點2】向量的線性運算
一、單選題
1．（2024·廣東江門·模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，，E是邊BC的中點，F是CD上靠近D的三等分點，若，則（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．（2024·福建泉州·模擬預測）若平面向量，滿足，且時，取得最小值，則（ ）
A．0 B． C． D．
二、多選題
3．（2024·江蘇南京·二模）已知內角，，的對邊分別為，，，為的重心，，，則（ ）
A． B．
C．的面積的最大值為 D．的最小值為
4．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點D，E滿足，，與CD交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·四川樂山·一模）已知正六邊形邊長為2，是正六邊形的外接圓的一條動弦，，P為正六邊形邊上的動點，則的最小值為 .
6．（2024·天津河西·三模）如圖，動點C在以AB為直徑的半圓O上（異于A，B），，，， ；的最大值為 ．
參考答案：
1．B
【分析】在平行四邊形ABCD中設，將用表示，代入到已知條件，根據向量的運算法則化簡求解即可.
【詳解】設，平行四邊形ABCD中，
由已知可得：，
所以
，
解得：或（舍），
故選：B
2．B
【分析】設，，根據向量減法的幾何意義，可得線段OB的中點C滿足，即可求得，的夾角.
【詳解】設，，則為直線OB上的點C與點A之間的距離，
由時，取得最小值，得C為線段OB的中點且，
由于，所以.
故選：B
3．ABC
【分析】延長交于點，根據平面向量的線性運算可得出，可判斷選項A；結合，利用平面向量的數量積定義、數量積運算法則及基本不等式可判斷選項B；由和平面向量數量積的定義可得出，由求出，再根據三角形面積公式可判斷選項C；結合選項B得出，再利用余弦定理即可判斷選項D.
【詳解】
延長交于點.
因為是的重心，
所以點是中點，，
則.
對于選項A：因為，故選項A正確；
對于選項B：由得：，
所以，當且僅當時等號成立.
又因為，即，，
所以，
即，當且僅當時等號成立，故選項B正確；
對于選項C：因為，當且僅當時等號成立，，
所以，故選項C正確；
對于選項D：由，，
得，
所以由余弦定理可得：
，即，當且僅當時等號成立，
所以的最小值是，故選項D錯誤.
故選：ABC.
4．ABD
【分析】根據向量的線性運算，向量共享定理的推論，得出為中點，為上靠近點的四等分點，對選項進行判斷，得出答案.
【詳解】
對于A選項，，故A正確；
對于B選項，因為為等邊三角形，，為中點，所以，
所以，即，所以
，故B正確；
對于C選項，設，
由（1）得，所以，
又三點共線，所以，解得，所以為上靠近點的四等分點，故C錯誤；
對于D，，設，則，
所以，又三點共線，所以，解得，
所以為中點，所以，故D正確，
故選：ABD.
5．
【分析】若是外接圓圓心，是中點，連接，根據，數形結合有、即可求最小值.
【詳解】若是外接圓圓心，是中點，連接，如下圖，

所以，則，
故，而，且，
所以，當且僅當共線且重合為正六邊形一邊的中點時等號成立，
所以.
故答案為：
6． 2 2
【分析】根據向量的線性運算結合模長即可求得第一空答案；設，作，交的延長線于E，求出，繼而求出，結合數量積的幾何意義，即可求得答案.
【詳解】由題意可知O為的中點，且，
則；
設，作，交的延長線于E，
在中，
故，則，
，又，故，
則，
故，
當時，取到最大值2，
故答案為：2；2
反思提升：
1.(1)解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.
(2)在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為用已知向量線性表示.
2.與向量的線性運算有關的參數問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關參數的值.
【考點3】共線向量定理的應用
一、單選題
1．（2024·浙江·模擬預測）已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（ ）
A．、、三點共線 B．、、三點共線
C．、、三點共線 D．、、三點共線
2．（2024·浙江臺州·二模）設，是雙曲線：的左、右焦點，點分別在雙曲線的左、右兩支上，且滿足，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
二、多選題
3．（2024·山西晉中·模擬預測）在中，為邊上一點且滿足，若為邊上一點，且滿足，，為正實數，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為1 B．的最大值為
C．的最大值為12 D．的最小值為4
4．（2023·河南信陽·模擬預測）已知在等邊△中，，為的中點，為的中點，延長交占，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·上海·模擬預測）設為的外心，若，則的值為 .
6．（2024·上海·三模）設平面向量，，若，不能組成平面上的一個基底，則 ．
參考答案：
1．C
【分析】根據向量共線則判斷即可.
【詳解】對A，因為，，不存在實數使得，故、、三點不共線，故A錯誤；
對B，因為，，不存在實數使得，故、、三點不共線，故B錯誤；
對C，因為，，則，故、、三點共線，故C正確；
對D，因為，，不存在實數使得，故、、三點不共線，故D錯誤.
故選：C
2．B
【分析】設與的交點為，，進而根據下向量關系得，再結合雙曲線的性質即可得，，進而結合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，進而可得答案.
【詳解】解：如圖，設與的交點為，，
因為，所以，
所以，由雙曲線的定義可知：，，
因為，所以，
所以，，
所以，，
所以，在中，，
所以 ，由余弦定理有：，
代入，，，整理得，
解得，（舍），
所以，,，，
所以，在中，由余弦定理有：，
代入數據整理得：，
所以，雙曲線的離心率為：.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于利用向量的關系得到，進而在中結合余弦定理求得.
3．BD
【分析】根據三點公式求得，結合基本不等式判斷即可.
【詳解】因為，所以，
又，
因為、、三點共線，所以，
又，為正實數，所以，
當且僅當，即，時取等號，故A錯誤，B正確；
，
當且僅當，即，時取等號，故C錯誤，D正確.
故選：BD
4．AB
【分析】在△ABD中，根據AE是中線可得，再根據D是AC中點即可表示出，從而判斷A；設，得到，根據，，三點在一條直線上及三點共線定理的推論可得k的值，從而可判斷B；用表示出，根據向量數量積運算方法即可計算，從而判斷C；根據E是BD中點及D是AC中點可得，，從而可判斷D．
【詳解】如圖，
，故A正確；
設，則，
又，，三點在一條直線上，故，故，
即，，
故，故B正確；
，故，故C錯誤；
，
，
故，故D錯誤.
故選：AB.
5．
【分析】設外接圓的半徑為，由已知條件可得，即且，取的中點，連接可得，計算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解.
【詳解】
設外接圓的半徑為，
因為，所以，
所以，且，
取的中點，連接，則，
因為，所以，即，
所以，
在中由余弦定理可得：
，
在中，由正弦定理可得：，
故答案為：.
6．/
【分析】利用基底的定義可得，再利用共線向量的坐標表示求解即得.
【詳解】由，不能組成平面上的一個基底，得，而，，
因此，所以.
故答案為：
反思提升：
利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據.注意待定系數法和方程思想的運用.
(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線 ，共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·北京西城·二模）已知向量，滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陜西安康·模擬預測）在梯形中，為線段的中點，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江蘇南通·模擬預測）在梯形中，，且，點是的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（ ）
A．若，，則
B．已知向量，，則
C．若，則和在上的投影向量相等
D．已知，，，則點A，B，D一定共線
6．（2022·河北邯鄲·一模）如圖，是正六邊形的中心，則（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·遼寧沈陽·二模）如圖，在方格中，向量的始點和終點均為小正方形的頂點，則（ ）

A． B． C． D．
三、填空題
8．（2023·黑龍江·模擬預測）在平行四邊形中，,, ．
9．（2023·陜西西安·模擬預測）若平面四邊形滿足，，則該四邊形一定是 .
10．（2023·江蘇·一模）已知圓，過點的直線l交圓C于A，B兩點，點P在圓C上，若，，則
四、解答題
11．（2020·河南焦作·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，．
（Ⅰ）是邊上的中線，若，求的值；
（Ⅱ）若，求的周長．
12．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
參考答案：
1．B
【分析】根據向量坐標運算，先求出，再逐一驗證即可.
【詳解】因為，，
所以，
所以，故A錯；
，故B正確；
，故C錯；
因為，所以不平行，故D錯.
故選：B
2．B
【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結合已知條件求解即可.
【詳解】在中，取為基底，
則，
因為點分別為的中點，,
所以，
所以.
故選：B.
3．A
【分析】先用向量和三角形減法法則得，再對它們進行線性運算轉化為，此時繼續找到，從而可得結果.
【詳解】
由圖可得：，由為線段的中點可得，
，再由可得，
，
又因為，代入得：
，
故選：A.
4．D
【分析】根據平面向量線性運算法則計算可得.
【詳解】依題意可得
．
故選：D
5．CD
【分析】根據向量的線性運算、投影向量的意義和向量共線定理即可判斷出正確答案.
【詳解】對于A，若，，則與可能平行，故A錯誤；
對于B，設，則，解得，所以，故B錯誤；
對于C，若，則，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正確；
對于D，因為，，所以,所以點A，B，D一定共線，故D正確.
故選：CD.
6．BD
【分析】根據向量的加減法及數量積的運算法則進行逐項判斷.
【詳解】解：由題意得：
結合正六邊形的性質可知，對于選項A：，故A錯誤；
對于選項B：，故B正確；
對于選項C：，故C錯誤；
對于選項D：，故D正確.
故選：BD.
7．BC
【分析】結合向量的線性運算法則及數量積的定義，逐項判定，即可求解.
【詳解】如圖所示，向量與向量方向不同，所以，故A錯誤，
將向量平移至向量的起點，可得，且，以向量為鄰邊的平行四邊形為正方形，對角線垂直且相等，所以，故B與C正確，
由以上可知，，且向量與向量的夾角相等，所以，故D錯誤.

故選：BC
8．
【分析】利用平面向量的線性運算.
【詳解】由平行四邊形ABCD,，
可知，則，
整理得，
則，
所以.
故答案為：.
9．菱形
【分析】根據向量相等可證明四邊形為平行四邊形，再由向量數量積為0知對角線互相垂直可知為菱形.
【詳解】，,
所以四邊形ABCD為平行四邊形，
, ，
所以DB垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.
故答案為：菱形.
10．
【分析】根據向量的加減法運算可得，再根據圓的性質可得即可求解.
【詳解】
易知圓心，半徑，取中點D，則，
因為，
所以，
所以，則，
又，
所以即，
故.
故答案為:.
11．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】(1)由題知，兩邊平方得，代入計算求出；
（2）由正弦定理求出角，從而判斷三角形為直角三角形，求出，得出周長.
【詳解】（Ⅰ）因為，
所以，
即，
所以，解得（負值舍去）；
（Ⅱ）由，可得，
因為，所以，所以．
所以，
所以，
所以的周長為．
【點睛】本題主要考查平面向量和正弦定理等在解三角形中的應用，考查學生的運算求解能力.
12．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據幾何圖形進行線性運算即可；
（2）利用向量共線定理即可證明.
【詳解】（1）因為E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點，
所以 ，
則，
.
（2）因為，所以，
則，
所以，即，所以，
又因為有公共點，
所以，，三點共線.

【能力篇】
一、單選題
1．（2024·廣東佛山·二模）已知與為兩個不共線的單位向量，則（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
二、多選題
2．（2022·山東濟南·模擬預測）如圖所示，在正六邊形中，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量為
三、填空題
3．（23-24高一下·山西·期中）在四邊形中，，點是四邊形所在平面上一點，滿足.設分別為四邊形與的面積，則 .
四、解答題
4．（2023·河北·模擬預測）如圖，D為內部一點，于E，.請從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立.①；②；③.
參考答案：
1．D
【分析】根據向量共線和向量數量積的定義，向量垂直，向量的模以及向量夾角公式判斷即可.
【詳解】選項A：若，則，即，
與與為兩個不共線的單位向量矛盾，故選項A說法錯誤；
選項B：設與的夾角為，則，，
所以，故選項B 說法錯誤；
選項C：若，則，
所以，，即，
所以，
又，所以，故選項C說法錯誤；
選項D：因為，，
所以，化簡得，
設與的夾角為，則，，所以，
所以，即，所以，故選項D說法正確；
故選：D
2．BCD
【分析】根據圖形，結合向量的線性運算及數量積運算，對選項逐一判斷即可.
【詳解】
因為為正六邊形，即每個內角都為
對于A，,故A錯誤.
對于B，連接,，則為等邊三角形，設六邊形邊長為，中點為，連接，則，，，所以
即，故B正確.
對于C，由B選項可知，
且，故C正確.
對于D，因為，所以在上的投影向量為
故D，正確.
故選:BCD.
3．
【分析】設出梯形兩底的長，取AB，CD，BD，AC的中點M，N，X，Y，并探討它們的關系，結合已知向量等式確定點P的位置并求出，再由三角形、梯形面積公式求解即得.
【詳解】在四邊形中，，則四邊形是梯形，且，令，，
記M，N，X，Y分別是AB，CD，BD，AC的中點，顯然，
于是點M，X，Y，N順次共線并且，
顯然，，而，則，
因此點P在線段XY上，且，設A到MN的距離為h，
由面積公式可知．
故答案為：
4．答案見解析.
【分析】以①③為條件，②為結論：由已知可得，，.設，則，表示出各邊長，由勾股定理，可推出.代入，整理可得關于的方程，得，由正弦定理可推得②成立；
以①②為條件，③為結論：由已知可得的長，.由勾股定理，可推出.根據三角形相似，求出，，代入可得，，進而得到，由余弦定理即可推得③成立；
以②③為條件，①為結論：由已知可推出，.設，，則，得到.由勾股定理得.然后得到.由，可得，即，結合圖象得到，所以有，即①成立.
【詳解】
以①③為條件，②為結論：
證明：如圖，過點作垂直于的延長線于點，延長交于點.
由可得，，.
由可得，，
在中，由余弦定理可得，
所以，，則，則.
設，則，又，所以，
則，，.
在中，有.在中，有.
所以有，即，
整理可得，.
代入整理可得，，即.
解關于的方程可得，，
因為，所以不成立，舍去.
所以，.
由正弦定理可得，，
又，所以，
所以，即②成立.
以①②為條件，③為結論：
證明：如圖，過點作垂直于的延長線于點，延長交于點.
設，，則，
由可得，，.
由可得，，
由正弦定理可得.
在中，有.在中，有.
所以有，即，
整理可得，.
因為，所以.
由已知可得，，所以∽，所以有，即，
所以，所以，，
所以，
即，整理可得.
在中，，則，
所以.
則在中，由余弦定理可得，
所以有，即③成立；
以②③為條件，①為結論：
證明：如圖，過點作垂直于的延長線于點，延長交于點.
由可得，，
由正弦定理可得.
由可得，，
在中，由余弦定理可得，
所以，，則，則.
設，，則，又，所以，
則，
，.
由可得，，
在中，由余弦定理可得，
所以，，則，則.
由可得，，
由正弦定理可得.
在中，有.在中，有.
所以有，即，
整理可得，.
因為，所以.
，
所以有，
整理可得.
因為，所以，所以，所以.
即，由圖知，所以有，即①成立.
【培優篇】
一、單選題
1．（2023·新疆·二模）已知平面向量，，，滿足，，若對于任意實數x，都有成立，且，則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多選題
2．（22-23高一下·山東·階段練習）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
三、填空題
3．（2024·上海徐匯·二模）如圖所示，已知滿足，為所在平面內一點.定義點集.若存在點，使得對任意，滿足恒成立，則的最大值為 .
參考答案：
1．D
【分析】把三個向量平移到同起點，由向量運算及得，從而，又由得點在以為圓心半徑為1的圓面上（包括邊界），利用數量積的幾何意義求得，再利用三角形相似求OD長度即可求出最值.
【詳解】設，，，，，則如圖所示，
因為，所以，
即，所以，
因為，，所以，，
由，可得點在以為圓心，半徑為1的圓面上（包括邊界），
過圓周上一點作的垂線，垂足為，且與相切，
延長交于，則，
此時∽，根據相似知識可得，
所以，
所以的最大值為，
故選：D.
2．ABD
【分析】A選項，，作出輔助線，得到，，三點共線，同理可得為的重心；B選項，設內切圓半徑為，將面積公式代入得到；C選項，設外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個三角形的面積，得到比值；D選項，得到，作出輔助線，由面積關系得到線段比，設，，，表示出，，，結合三角函數得到，，進而求出余弦值；
【詳解】對A選項，因為，所以，
取的中點，則，所以，
故，，三點共線，且，
同理，取中點，中點，可得，，三點共線，，，三點共線，
所以為的重心，A正確；

對B選項，若為的內心，可設內切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
對C選項，若，，為的外心，則，
設的外接圓半徑為，故，，
，
故，，，
所以，C錯誤；

對D選項，若為的垂心，，
則，
如圖，，，，相交于點，
又，
，即，
，即，
，即，
設，，，則，，，
因為，，
所以，即，
，則，D正確；
故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量與四心關系應用，關鍵是利用三角形的幾何關系及向量數量積及向量線性表示逐項判斷.
3．
【分析】延長到滿足，取的靠近的三等分點，連接，由向量共線定理得三點共線，從而表示的邊上的高，利用正弦定理求得的面積的最大值，從而可得結論．
【詳解】延長到滿足，取的靠近的三等分點，連接，如圖，
，
所以三點共線，
又存在點，使得對任意，滿足恒成立，則的長表示到直線的距離，即的邊上的高，設，
由得，，公用，因此，
所以，
中，設，由正弦定理得，記為角，
所以，，，
所以
，
若不是鈍角，則
，
又，所以，即，
所以，
設，則，，它是減函數，
所以時，，
若是鈍角，則
，
設，則，，
令，則，
，
時，，遞減，時，遞增，
所以時，，，
綜上，，
此時．
故答案為：3．
【點睛】方法點睛：本題考查向量的線性運算，考查三角形的面積，解題方法其一是根據向量共線定理得出點在一條直線，問題轉化為求三角形高的最大值，從而求三角形面積的最大值，解題方法其二是利用正弦定理求三角形的面積，本題中注意在用平方關系轉化時，需要根據是否為鈍角分類討論，才能正確求解（本題用海倫公式求三角形的面積方法較簡便）．
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專題28 平面向量的概念及線性運算（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 3
【考點1】平面向量的概念 3
【考點2】向量的線性運算 4
【考點3】共線向量定理的應用 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.了解向量的實際背景.
2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.
3.理解向量的幾何表示.
4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.
5.掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.
6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.
1.向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的長度(或稱模)，記作||.
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
向量運算 定　義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求兩個向量差的運算 a－b＝a＋(－b)
數乘 規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.
1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
2．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則 ．
【考點1】平面向量的概念
一、單選題
1．（2024·廣西南寧·一模）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西朔州·一模）已知，且，則（ ）
A． B． C．4 D．
二、多選題
3．（2023·湖南長沙·一模）下列說法不正確的是（ ）
A．若 ，則與的方向相同或者相反
B．若，為非零向量，且 ，則與共線
C．若 ，則存在唯一的實數 使得
D．若 是兩個單位向量，且 ，則
4．（2023·全國·模擬預測）有關平面向量的說法，下列錯誤的是（ ）
A．若，，則
B．若與共線且模長相等，則
C．若且與方向相同，則
D．恒成立
三、填空題
5．（2024·陜西西安·模擬預測）已知在平面直角坐標系中，，則 ．
6．（22-23高三上·湖北武漢·期中）設，，是的三個內角，的外心為，內心為．且與共線．若，則 ．
反思提升：
平行向量有關概念的四個關注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數圖象的平移混淆.
(4)非零向量a與的關系：是與a同方向的單位向量.
【考點2】向量的線性運算
一、單選題
1．（2024·廣東江門·模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，，E是邊BC的中點，F是CD上靠近D的三等分點，若，則（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．（2024·福建泉州·模擬預測）若平面向量，滿足，且時，取得最小值，則（ ）
A．0 B． C． D．
二、多選題
3．（2024·江蘇南京·二模）已知內角，，的對邊分別為，，，為的重心，，，則（ ）
A． B．
C．的面積的最大值為 D．的最小值為
4．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點D，E滿足，，與CD交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·四川樂山·一模）已知正六邊形邊長為2，是正六邊形的外接圓的一條動弦，，P為正六邊形邊上的動點，則的最小值為 .
6．（2024·天津河西·三模）如圖，動點C在以AB為直徑的半圓O上（異于A，B），，，， ；的最大值為 ．
反思提升：
1.(1)解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.
(2)在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為用已知向量線性表示.
2.與向量的線性運算有關的參數問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關參數的值.
【考點3】共線向量定理的應用
一、單選題
1．（2024·浙江·模擬預測）已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（ ）
A．、、三點共線 B．、、三點共線
C．、、三點共線 D．、、三點共線
2．（2024·浙江臺州·二模）設，是雙曲線：的左、右焦點，點分別在雙曲線的左、右兩支上，且滿足，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
二、多選題
3．（2024·山西晉中·模擬預測）在中，為邊上一點且滿足，若為邊上一點，且滿足，，為正實數，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為1 B．的最大值為
C．的最大值為12 D．的最小值為4
4．（2023·河南信陽·模擬預測）已知在等邊△中，，為的中點，為的中點，延長交占，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·上海·模擬預測）設為的外心，若，則的值為 .
6．（2024·上海·三模）設平面向量，，若，不能組成平面上的一個基底，則 ．
反思提升：
利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據.注意待定系數法和方程思想的運用.
(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線 ，共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·北京西城·二模）已知向量，滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陜西安康·模擬預測）在梯形中，為線段的中點，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江蘇南通·模擬預測）在梯形中，，且，點是的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（ ）
A．若，，則
B．已知向量，，則
C．若，則和在上的投影向量相等
D．已知，，，則點A，B，D一定共線
6．（2022·河北邯鄲·一模）如圖，是正六邊形的中心，則（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·遼寧沈陽·二模）如圖，在方格中，向量的始點和終點均為小正方形的頂點，則（ ）

A． B． C． D．
三、填空題
8．（2023·黑龍江·模擬預測）在平行四邊形中，,, ．
9．（2023·陜西西安·模擬預測）若平面四邊形滿足，，則該四邊形一定是 .
10．（2023·江蘇·一模）已知圓，過點的直線l交圓C于A，B兩點，點P在圓C上，若，，則
四、解答題
11．（2020·河南焦作·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，．
（Ⅰ）是邊上的中線，若，求的值；
（Ⅱ）若，求的周長．
12．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·廣東佛山·二模）已知與為兩個不共線的單位向量，則（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
二、多選題
2．（2022·山東濟南·模擬預測）如圖所示，在正六邊形中，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量為
三、填空題
3．（23-24高一下·山西·期中）在四邊形中，，點是四邊形所在平面上一點，滿足.設分別為四邊形與的面積，則 .
四、解答題
4．（2023·河北·模擬預測）如圖，D為內部一點，于E，.請從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立.①；②；③.
【培優篇】
一、單選題
1．（2023·新疆·二模）已知平面向量，，，滿足，，若對于任意實數x，都有成立，且，則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多選題
2．（22-23高一下·山東·階段練習）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
三、填空題
3．（2024·上海徐匯·二模）如圖所示，已知滿足，為所在平面內一點.定義點集.若存在點，使得對任意，滿足恒成立，則的最大值為 .
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