資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第一章 有理數
有理數復習小結
第一部分：知識點歸納
知識點1 有理數
1.整數和分數統稱為有理數
2.分類：
1．按照性質分類：
2．按照符號分類：
3．按小數分類：
注意：正數和0統稱為非負數；負數和零統稱為非正數
知識點2數軸
1．數軸：
（1）概念：在數學中,可以用一條直線上的點表示數,它規定了原點、正方向和單位長度,這條直線叫做數軸；
（2）三要素：
①原點：在直線上任取一個點表示數0,這個點叫做原點；
②正方向：通常規定直線上從原點向右（或向上）為正方向,從原點向左（或向下）為負方向；
③單位長度：直線上從原點向右,每隔一個單位長度取一個點,依次表示1,2,3……；從原點向左,用類似的方法,依次表示
2．數軸上的點與有理數的關系
（1）所有的有理數都可以用數軸上的點來表示,正有理數可用原點右邊的點表示,負有理數可用原點左邊的點表示,0用原點表示。
（2）所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來,但數軸上的點不都表示有理數,也就是說,有理數與數軸上的點不是一一對應關系。（如,數軸上的點π不是有理數）
3．利用數軸表示兩數大小
①在數軸上數的大小比較,右邊的數總比左邊的數大；
②正數都大于0,負數都小于0,正數大于負數；
③兩個負數比較,距離原點遠的數比距離原點近的數小。
4．可以表示什么數
（1）,表示是正數；反之,是正數,則；
（2）,表示是負數；反之,是負數,則
（3）,表示是0；反之,是0,則
知識點3 相反數
１．相反數的概念：只有符號不同的兩個數，叫做互為相反數，其中一個是另一個的相反數，0的相反數是0。
注意以下幾點：
⑴相反數是成對出現的； ⑵相反數只有符號不同，若一個為正，則另一個為負；
⑶0的相反數是它本身；相反數為本身的數是0。
２．相反數的性質與判定
⑴任何數都有相反數，且只有一個； ⑵0的相反數是0；
⑶互為相反數的兩數和為0，和為0的兩數互為相反數，即a，b互為相反數，則a+b=0；
⑷互為相反數的非零兩數商為負1，即a，b互為相反數，則=-1（a0，b0））。
３．相反數的幾何意義:在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數，是互為相反數；互為相反數的兩個數，在數軸上的對應點（0除外）在原點兩旁，并且與原點的距離相等。0的相反數對應原點；原點表示0的相反數。說明：在數軸上，表示互為相反數的兩個點關于原點對稱。
４．相反數的求法
⑴求一個數的相反數，只要在它的前面添上負號“-”即可求得（如：5的相反數是-5）；
⑵求多個數的和或差的相反數是，要用括號括起來再添“-”，然后化簡（如；5a+b的相反數是-（5a+b），化簡得-5a-b）；
⑶求前面帶“-”的單個數，也應先用括號括起來再添“-”，然后化簡（如：-5的相反數是-（-5），化簡得5）。
５．相反數的表示方法：一般地，數a的相反數是-a，其中a是任意有理數，可以是正數、負數或0。
當a>0時，-a<0（正數的相反數是負數）；當a<0時，-a>0（負數的相反數是正數）；
當a=0時，-a=0，（0的相反數是0）。
６．多重符號的化簡
多重符號的化簡規律:“+”號的個數不影響化簡的結果，可以直接省略；“-”號的個數決定最后化簡結果；即：“-”的個數是奇數時，結果為負，“-”的個數是偶數時，結果為正。
知識點4 絕對值
１．絕對值的幾何定義：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。
２．絕對值的代數定義
⑴一個正數的絕對值是它本身；⑵一個負數的絕對值是它的相反數；⑶0的絕對值是0。
可用字母表示為：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。
可歸納為①：a≥0，<═>|a|=a（非負數的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數是非負數）。
②a≤0，<═>|a|=-a（非正數的絕對值等于其相反數；絕對值等于其相反數的數是非正數）。
３．絕對值的性質
（1）任何一個有理數的絕對值都是非負數，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取任何有理數，都有|a|≥0。即：
⑴0的絕對值是0；絕對值是0的數是0．即：a=0<═>|a|=0；
⑵一個數的絕對值是非負數，絕對值最小的數是0．即：|a|≥0；
⑶任何數的絕對值都不小于原數。即：|a|≥a；
⑷絕對值是相同正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；
⑸互為相反數的兩數的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；
⑹絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|=|b|，則a=b或a=|-b；
⑺若幾個數的絕對值的和等于0，則這幾個數就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。
（非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0，則有且只有這幾個非負數同時為0）
４．絕對值的化簡
①當a≥0時，|a|=a；②當a≤0時，|a|=||-a
５．已知一個數的絕對值，求這個數一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同一個正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0的數是0，沒有絕對值為負數的數。
知識點5 有理數大小比較
（1）利用數軸比較兩個數的大小：數軸上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的小；
（2）利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；異號兩數比較大小，正數大于負數；
（3）若a>b，b>c，則a>c；
（4）作差法，a-b>0←→a>b；a-b<0←→a（5）大數|-小數＞0，小數|-大數＜0．
第二部分：考點分類點撥
考點1 正負數的意義
例1-1．如圖是同一時刻莫斯科與中國北京的中國北京與莫斯科的時差時間，則當莫斯科時間為17：08時，北京時間為 _____．
針對訓練1
1．如果收入60元，記作+60元，那么支出30元記作 _____元．
2．等高線指的是地形圖上高程相等的相鄰各點所連成的閉合曲線，在等高線上標注的數字為該等高線的海拔．如圖，吐魯番盆地的等高線標注為-155m,表示此處的高度 _____海平面155米（填高于或低于）．
考點2 有理數的概念及分類
例2-1．下列說法錯誤的是（　　）
A. 負整數和負分數統稱負有理數
B. 正整數，0，負整數統稱為整數
C. 正有理數與負有理數組成全體有理數
D. 3.14是小數，也是分數
針對訓練2
1．在數+8.3，-4，-0.8，-，0，90，-，-|-24|中，_____是正數，_____不是整數．
2．把下列各數分別填在題后相應的集合中：
-，0，-1，0.73，2，-5，，-29.52，+28．
（1）正數集合：{_____…}
（2）負數集合：{_____…}
（3）整數集合：{_____…}
（4）分數集合：{_____…}
（5）正整數集合：{_____…}
（6）負整數集合：{_____…}
（7）正分數集合：{_____…}．
（7）負分數集合：{_____…}．
3．將下列各數填在相應的集合里．
-3.8，-20%，4.3，-|-|，42，0，-（-），-32
整數集合：{_____…}；
分數集合：{_____…}；
正數集合：{_____…}；
負數集合：{_____…}．
在已知的數據中，最大的數是_____，最小的數是_____．
考點3 數軸
例3-1 .下列說法中正確的是( )
A．無法用數軸上的點表示，因為不能被整除
B．數軸上距離原點個單位長度的點表示的數是
C．數軸上，在和之間只有一個數
D．數軸上表示的點在原點左側且距離原點個單位長度
針對訓練3
1．在數軸上把數4，-2.5，0，-1表示出來，并用“＜”號把它們連接起來．
2．畫出數軸，在數軸上表示下列各數，并用“＜”連接：
-3.5，，-1，4，0，2.5．
3．在單位長度為1的數軸上，點A表示的數為-2.5，點B表示的數為4．
（1）求AB的長度；
（2）若把數軸的單位長度擴大30倍，點A、點B所表示的數也相應的發生變化：
①此時點A表示的數為_____，點B表示的數為_____；
②已知點M是線段AB的三等分點，求點M所表示的數．
考點4 相反數
例4-1．的相反數的絕對值是（　　）
A. - B. 2
C. -2 D.
針對訓練4
1．下列各對數中，互為相反數的是（　　）
A. 和0.2 B. 和
C. -1.75和 D. 2和-（-2）
2．下列說法中正確的是（　　）
A. 正數和負數互為相反數
B. 任何一個數的相反數都與它本身不相同
C. 任何一個數都有它的相反數
D. 數軸上原點兩旁的兩個點表示的數互為相反數
3．把下列各數及其相反數在數軸上表示出來，再按照從小到大的順序用“＜”連接起來-2.5，0，+3.5，-．
考點5 絕對值
例5-1．如圖，圖中數軸的單位長度為1．如果點B，C表示的數的絕對值相等，那么點A表示的數是（　　）
A. -4 B. -5 C. -6 D. -2
針對訓練5
1．一個數等于它的相反數的絕對值，則這個數是（　　）
A. 正數和零 B. 負數或零 C. 一切正數 D. 所有負數
2．如果|x|=6，則x=_____．
3．某電路檢修小組在東西方向的一道路上檢修用電線路，檢修車輛從該道路P處出發，如果規定檢修車輛向東行駛為正，向西行駛為負，某一天施工過程中七次車輛行駛記錄如下（單位：千米）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
-3 +7 -9 +10 +8 -6 -2
（1）問檢修小組收工時在P的哪個方位？距P處多遠？
（2）若檢修車輛每千米耗油0.2升，每升汽油需6元，問這一天檢修車輛所需汽油費多少元？
考點6有理數大小比較
例6-1．把下列各數在數軸上表示出來，并用“＜”號把它們連接起來．
-3，-4，0，|-2.5|，．
針對訓練6
1．在數軸上表示下列各數，并按從小到大的順序用“＜”把這些數連接起來．．
2．畫一條數軸，然后在數軸上畫出表示下列各數的點；并求它們的相反數，它們的絕對值，比較它們大小．
-1，2，3，-2.7，1，-3，0．
3．已知數軸上點A表示的數為a.
（1）判斷：a _____-1（填“＞”，“=”或“＜”）；
（2）用“＜”號將-，1，-a,a-1連接起來．
第三部分：牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．四個數中，其中負數是( )
A. B.0 C.1 D.2
2．下列說法錯誤的是( )
A.-2是負有理數 B.0不是整數 C.是正有理數 D.-0.25是負分數
3．數軸上到點-3的距離為3的點表示的數為( )
A.0 B.-6 C.-6或1 D.-6或0
4．如圖，數軸上點M所表示的數可能是( )
A.1.5 B.-2.6 C.-1.6 D.2.6
5．下列計算結果為5的是( )
A. B. C. D.
6．下列各組數中，互為相反數的是( )
A.與 B.與
C.與 D.與
7．如果，則x的值是( )
A. B. C. D.
8．實數在數軸上的對應點的位置如圖所示,化簡的結果是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．在中，整數有______________.
10．一只螞蟻從數軸上一點出發，爬了7個單位長度到了+1，則點所表示的數是_________.
11．________.
12．若，則__________
13．同學們都知道, 表示與之差的絕對值,實際上也可以理解為與兩數在數軸上所對的兩點之間的距離,則使得這樣的整數有_____個.
三、解答題
14．（8分）下面兩個圈分別表示負數集和分數集，請把下列8個數填入這兩個圈中合適的位置：
.
15．（8分）在數軸上畫出表示下列各數的點,并用“<”號將這些數按從小到大的順序連接起來: .
16．（8分）（1）化簡下列各數：
①；
②；
③；
④；
（2）化簡過程中發現：化簡結果的符號與原式中“-”的個數有著密切聯系，當“”的個數是奇數時，最后結果為_________數；當“-”的個數是偶數時，最后結果為_________數.
17．（8分）閱讀下列材料：我們知道的幾何意義是數軸上數x的對應點與原點之間的距離，即，也可以說，表示數軸上數x與數0的對應點之間的距離.這個結論可以推廣為表示數軸上數與數的對應點之間的距離.
例1：已知，求x的值.
解：在數軸上與原點距離為2的點表示的數為-2或2，
所以x的值為-2或2.
例2：已知，求x的值.
解：在數軸上與1對應的點的距離為2的點表示的數為3或-1，
所以x的值為3或-1.
仿照材料中的解法，求下列各式中x的值.
（1）；
（2）.
18．（8分）如圖，數軸的單位長度為1.
請回答下列問題:
（1）如果點表示的數互為相反數，那么點C表示的數是多少？
（2）如果點表示的數互為相反數，那么點C表示的數是正數還是負數？圖中的5個點中，哪一個點表示的數的絕對值最小？最小的絕對值是多少？
19．（8分）已知在紙面上有一數軸(如圖),折疊紙面.
1.若1表示的點與-1表示的點重合,則-7表示的點與數__________表示的點重合;
2.若-1表示的點與8表示的點重合,回答以下問題:
①12表示的點與數__________表示的點重合;
②若數軸上A、B兩點之間的距離為2017(A在B的左側),且A、B兩點經折疊后重合,求A、B兩點表示的數是多少
新人教版七年級數學上名師點撥與訓練
第一章 有理數
有理數復習小結（解析版）
第一部分：知識點歸納
知識點1 有理數
1.整數和分數統稱為有理數
2.分類：
1．按照性質分類：
2．按照符號分類：
3．按小數分類：
注意：正數和0統稱為非負數；負數和零統稱為非正數
知識點2數軸
1．數軸：
（1）概念：在數學中,可以用一條直線上的點表示數,它規定了原點、正方向和單位長度,這條直線叫做數軸；
（2）三要素：
①原點：在直線上任取一個點表示數0,這個點叫做原點；
②正方向：通常規定直線上從原點向右（或向上）為正方向,從原點向左（或向下）為負方向；
③單位長度：直線上從原點向右,每隔一個單位長度取一個點,依次表示1,2,3……；從原點向左,用類似的方法,依次表示
2．數軸上的點與有理數的關系
（1）所有的有理數都可以用數軸上的點來表示,正有理數可用原點右邊的點表示,負有理數可用原點左邊的點表示,0用原點表示。
（2）所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來,但數軸上的點不都表示有理數,也就是說,有理數與數軸上的點不是一一對應關系。（如,數軸上的點π不是有理數）
3．利用數軸表示兩數大小
①在數軸上數的大小比較,右邊的數總比左邊的數大；
②正數都大于0,負數都小于0,正數大于負數；
③兩個負數比較,距離原點遠的數比距離原點近的數小。
4．可以表示什么數
（1）,表示是正數；反之,是正數,則；
（2）,表示是負數；反之,是負數,則
（3）,表示是0；反之,是0,則
知識點3 相反數
１．相反數的概念：只有符號不同的兩個數，叫做互為相反數，其中一個是另一個的相反數，0的相反數是0。
注意以下幾點：
⑴相反數是成對出現的； ⑵相反數只有符號不同，若一個為正，則另一個為負；
⑶0的相反數是它本身；相反數為本身的數是0。
２．相反數的性質與判定
⑴任何數都有相反數，且只有一個； ⑵0的相反數是0；
⑶互為相反數的兩數和為0，和為0的兩數互為相反數，即a，b互為相反數，則a+b=0；
⑷互為相反數的非零兩數商為負1，即a，b互為相反數，則=-1（a0，b0））。
３．相反數的幾何意義:在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數，是互為相反數；互為相反數的兩個數，在數軸上的對應點（0除外）在原點兩旁，并且與原點的距離相等。0的相反數對應原點；原點表示0的相反數。說明：在數軸上，表示互為相反數的兩個點關于原點對稱。
４．相反數的求法
⑴求一個數的相反數，只要在它的前面添上負號“-”即可求得（如：5的相反數是-5）；
⑵求多個數的和或差的相反數是，要用括號括起來再添“-”，然后化簡（如；5a+b的相反數是-（5a+b），化簡得-5a-b）；
⑶求前面帶“-”的單個數，也應先用括號括起來再添“-”，然后化簡（如：-5的相反數是-（-5），化簡得5）。
５．相反數的表示方法：一般地，數a的相反數是-a，其中a是任意有理數，可以是正數、負數或0。
當a>0時，-a<0（正數的相反數是負數）；當a<0時，-a>0（負數的相反數是正數）；
當a=0時，-a=0，（0的相反數是0）。
６．多重符號的化簡
多重符號的化簡規律:“+”號的個數不影響化簡的結果，可以直接省略；“-”號的個數決定最后化簡結果；即：“-”的個數是奇數時，結果為負，“-”的個數是偶數時，結果為正。
知識點4 絕對值
１．絕對值的幾何定義：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。
２．絕對值的代數定義
⑴一個正數的絕對值是它本身；⑵一個負數的絕對值是它的相反數；⑶0的絕對值是0。
可用字母表示為：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。
可歸納為①：a≥0，<═>|a|=a（非負數的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數是非負數）。
②a≤0，<═>|a|=-a（非正數的絕對值等于其相反數；絕對值等于其相反數的數是非正數）。
３．絕對值的性質
（1）任何一個有理數的絕對值都是非負數，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取任何有理數，都有|a|≥0。即：
⑴0的絕對值是0；絕對值是0的數是0．即：a=0<═>|a|=0；
⑵一個數的絕對值是非負數，絕對值最小的數是0．即：|a|≥0；
⑶任何數的絕對值都不小于原數。即：|a|≥a；
⑷絕對值是相同正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；
⑸互為相反數的兩數的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；
⑹絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|=|b|，則a=b或a=|-b；
⑺若幾個數的絕對值的和等于0，則這幾個數就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。
（非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0，則有且只有這幾個非負數同時為0）
４．絕對值的化簡
①當a≥0時，|a|=a；②當a≤0時，|a|=||-a
５．已知一個數的絕對值，求這個數一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同一個正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0的數是0，沒有絕對值為負數的數。
知識點5 有理數大小比較
（1）利用數軸比較兩個數的大小：數軸上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的小；
（2）利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；異號兩數比較大小，正數大于負數；
（3）若a>b，b>c，則a>c；
（4）作差法，a-b>0←→a>b；a-b<0←→a（5）大數|-小數＞0，小數|-大數＜0．
第二部分：考點分類點撥
考點1 正負數的意義
例1-1．如圖是同一時刻莫斯科與中國北京的中國北京與莫斯科的時差時間，則當莫斯科時間為17：08時，北京時間為 _____．
【答案】22：08
【解析】根據同一時刻莫斯科與中國北京的中國北京與莫斯科的時差時間是5小時，即可求解．
解：如圖可知：同一時刻莫斯科與中國北京的中國北京與莫斯科的時差時間是5小時，
所以當莫斯科時間為17：08時，北京時間為22：08，
故答案為：22：08．
針對訓練1
1．如果收入60元，記作+60元，那么支出30元記作 _____元．
【答案】-30
【解析】利用相反意義量的定義判斷即可．
解：如果收入60元，記作+60元，那么支出30元記作-30元．
故答案為：-30．
2．等高線指的是地形圖上高程相等的相鄰各點所連成的閉合曲線，在等高線上標注的數字為該等高線的海拔．如圖，吐魯番盆地的等高線標注為-155m,表示此處的高度 _____海平面155米（填高于或低于）．
【答案】低于
【解析】首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義；再根據題意作答．
解：海平面的海拔高度為0米，吐魯番盆地的等高線標注為-155m,表示此處的高度地低于海平面155米．
故答案為：低于．
考點2 有理數的概念及分類
例2-1．下列說法錯誤的是（　　）
A. 負整數和負分數統稱負有理數
B. 正整數，0，負整數統稱為整數
C. 正有理數與負有理數組成全體有理數
D. 3.14是小數，也是分數
【答案】C
【解析】按照有理數的分類判斷：
有理數．
解：負整數和負分數統稱負有理數，A不符合題意．
整數分為正整數、負整數和0，B不符合題意．
正有理數與0，負有理數組成全體有理數，C符合題意．
3.14是小數，也是分數，小數是分數的一種表達形式，D不符合題意．
故選：C．
針對訓練2
1．在數+8.3，-4，-0.8，-，0，90，-，-|-24|中，_____是正數，_____不是整數．
【答案】(1)+8.3，90;(2)+8.3，-0.8，-;
【解析】按照有理數的分類填寫：
有理數．
解：+8.3，90是正數，+8.3，-0.8，-不是整數．
2．把下列各數分別填在題后相應的集合中：
-，0，-1，0.73，2，-5，，-29.52，+28．
（1）正數集合：{_____…}
（2）負數集合：{_____…}
（3）整數集合：{_____…}
（4）分數集合：{_____…}
（5）正整數集合：{_____…}
（6）負整數集合：{_____…}
（7）正分數集合：{_____…}．
（7）負分數集合：{_____…}．
【答案】(1)0.73，2，，+28;(2)-，-1，-5，-29.52;(3)0，-1，2，-5，+28;(4)-，0.73，，-29.52;(5)2，+28;(6)-1，-5;(7)0.73，;(8)-，-29.52;
【解析】按照有理數的分類填寫：
有理數．
解：（1）正數集合：0.73，2，，+28
（2）負數集合：-，-1，-5，-29.52
（3）整數集合：0，-1，2，-5，+28
（4）分數集合：-，0.73，，-29.52
（5）正整數集合：2，+28
（6）負整數集合：-1，-5
（7）正分數集合：0.73，
（8）負分數集合：-，-29.52
3．將下列各數填在相應的集合里．
-3.8，-20%，4.3，-|-|，42，0，-（-），-32
整數集合：{_____…}；
分數集合：{_____…}；
正數集合：{_____…}；
負數集合：{_____…}．
在已知的數據中，最大的數是_____，最小的數是_____．
【答案】(1)42，0，-32;(2)-3.8，-20%，-|-|，-（-）;(3)4.3，42，-（-）;(4)-3.8，-20%，-|-|，-32;(5)42;(6)-32;
【解析】先根據絕對值的性質和相反數的定義化簡，根據有理數的乘方進行計算，再根據整數、分數、正數、負數的定義填空，根據有理數的大小比較確定出最大的數和最小的數．
解：-|-|=-，42=16，-（-）=，-32=-9，
整數集合：{42，0，-32…}；
分數集合：{-3.8，-20%，-|-|，-（-）…}；
正數集合：{4.3，42，-（-）…}；
負數集合：{-3.8，-20%，-|-|，-32…}．
在已知的數據中，最大的數是42，最小的數是-32．
考點3 數軸
例3-1 .下列說法中正確的是( )
A．無法用數軸上的點表示，因為不能被整除
B．數軸上距離原點個單位長度的點表示的數是
C．數軸上，在和之間只有一個數
D．數軸上表示的點在原點左側且距離原點個單位長度
【答案】D
【分析】根據有理數與數軸的關系理解判斷即可．
【詳解】A. 能用數軸上的點表示，故不符合題意；
B.數軸上距離原點個單位長度的點表示的數是或，故不符合題意；
C.數軸上，在和之間有無數個數，故不符合題意；
D. 數軸上表示的點在原點左側且距離原點個單位長度，符合題意，
故選D．
【點睛】本題考查了有理數與數軸的關系，熟練掌握二者的關系是解題的關鍵．
針對訓練3
1．在數軸上把數4，-2.5，0，-1表示出來，并用“＜”號把它們連接起來．
【解析】先利用數軸表示數的方法表示出所給的4個數，然后寫出它們的大小關系．
解：用數軸表示為：
，
它們的大小關系為：-2.5＜-1＜0＜4．
2．畫出數軸，在數軸上表示下列各數，并用“＜”連接：
-3.5，，-1，4，0，2.5．
【解析】先在數軸上表示出來，再根據數軸上表示的數，右邊的數總比左邊的數大比較即可．
解：如圖所示：
用“＜”連接為：-3.5＜-1＜0＜＜2.5＜4．
3．在單位長度為1的數軸上，點A表示的數為-2.5，點B表示的數為4．
（1）求AB的長度；
（2）若把數軸的單位長度擴大30倍，點A、點B所表示的數也相應的發生變化：
①此時點A表示的數為_____，點B表示的數為_____；
②已知點M是線段AB的三等分點，求點M所表示的數．
【答案】(1)-75;(2)120;
【解析】（1）根據數軸上計算兩點距離的方法即可得出答案；
（2）①根據題意把單位長度擴大30倍，即原來每個表示點的數擴大30倍，列式計算即可得出答案；
②根據題意可分為兩種情況，即當M靠近點A和當M靠近點B時，根據題意列式計算即可得出答案．
解：（1）AB=4-（-2.5）=6.5；
（2）①根據題意可知，數軸的單位長度擴大30倍，
則點A表示的數為-2.5×30=-75，
點B表示的數為4×30=120，
故答案為：-75，120；
②所以AB=120-（-75）=195，
當點M靠近點A時，AM=AB=65，
所以點M表示的數為65-75=-10；
當點M靠近點B時，BM=AB=65，
所以點M表示的數為120-65=55；
綜上所述，點M表示的數為-10或55．
考點4 相反數
例4-1．的相反數的絕對值是（　　）
A. - B. 2
C. -2 D.
【答案】D
【解析】計算絕對值要根據絕對值的定義求解．第一步列出絕對值的表達式；第二步根據絕對值定義去掉這個絕對值的符號．
解：∵的相反數是-，∴|-|=．
故選：D．
針對訓練4
1．下列各對數中，互為相反數的是（　　）
A. 和0.2 B. 和
C. -1.75和 D. 2和-（-2）
【答案】C
【解析】注意相反數的特征：絕對值相等但是符號不同的數是互為相反數．
解：在和0.2中，它們的絕對值不等；
在和中，它們互為倒數；
-1.75的相反數為；
在2和-（-2）中，∵-（-2）=2，它們相等．
故選：C．
2．下列說法中正確的是（　　）
A. 正數和負數互為相反數
B. 任何一個數的相反數都與它本身不相同
C. 任何一個數都有它的相反數
D. 數軸上原點兩旁的兩個點表示的數互為相反數
【答案】C
【解析】根據相反數的定義：只有符號不同的兩個數是互為相反數；0的相反數是0．即一對相反數符號不同而絕對值相等判斷即可．
解：A、例如1與-2，它們一個是正數和一個是負數，但是他們不是互為相反數，故本選項錯誤；
B、0的相反數是0，故本選項錯誤；
C、根據相反數的概念，任何一個數都有相反數，故本選項正確；
D、數軸上原點兩旁的兩個點表示的數-5，4，但-5，4不是互為相反數，故本選項錯誤．
故選：C．
3．把下列各數及其相反數在數軸上表示出來，再按照從小到大的順序用“＜”連接起來-2.5，0，+3.5，-．
【解析】負數的絕對值越大則負數的值越小，由此可得出答案．
解：這幾個數分別為，2.5，-2.5，0，+3.5，-3.5，1，-1，
在數軸上表示，如圖所示：
由數軸可得：-3.5＜-2.5＜-1＜0＜1＜2.5＜3.5．
考點5 絕對值
例5-1．如圖，圖中數軸的單位長度為1．如果點B，C表示的數的絕對值相等，那么點A表示的數是（　　）
A. -4 B. -5 C. -6 D. -2
【答案】A
【解析】首先根據絕對值的意義“數軸上表示一個數的點到原點的距離，即該數的絕對值”，分析出原點的位置，進一步得到點B所對應的數，然后根據點A在點B的左側，且距離兩個單位長度進行計算．
解：因為點B，C表示的數的絕對值相等，即到原點的距離相等，
所以點B，C表示的數分別為-2，2，
所以點A表示的數是-2-2=-4．故選A．
針對訓練5
1．一個數等于它的相反數的絕對值，則這個數是（　　）
A. 正數和零 B. 負數或零 C. 一切正數 D. 所有負數
【答案】A
【解析】根據絕對值的性質解答即可．
解：因為互為相反數的兩個數的絕對值相等，所以一個數等于它的相反數的絕對值，即這個數的絕對值等于它本身；
又因為正數和零的絕對值等于它本身，故一個數等于它的相反數的絕對值，則這個數是正數和零．
故選：A．
2．如果|x|=6，則x=_____．
【答案】±6
【解析】絕對值的逆向運算，因為|+6|=6，|-6|=6，且|x|=6，所以x=±6．
解：|x|=6，所以x=±6．
故本題的答案是±6．
3．某電路檢修小組在東西方向的一道路上檢修用電線路，檢修車輛從該道路P處出發，如果規定檢修車輛向東行駛為正，向西行駛為負，某一天施工過程中七次車輛行駛記錄如下（單位：千米）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
-3 +7 -9 +10 +8 -6 -2
（1）問檢修小組收工時在P的哪個方位？距P處多遠？
（2）若檢修車輛每千米耗油0.2升，每升汽油需6元，問這一天檢修車輛所需汽油費多少元？
【解析】（1）七次行駛的和即收工時檢修小組距離A地的距離；
（2）每次記錄的絕對值的和，是檢修小組一天的行程，根據單位行程的耗油量計算出該檢修小組一天的耗油量．
解：（1）-3+7-9+10+8-6-2=5（km），
所以收工時在P的正東方向，距P地5 km；
（2）（3+7+9+10+8+6+2）×0.2×6.2=45×0.2×6=54（元），
答：檢修小組工作一天需汽油54元．
考點6有理數大小比較
例6-1．把下列各數在數軸上表示出來，并用“＜”號把它們連接起來．
-3，-4，0，|-2.5|，．
【解析】首先在數軸上表示出所給的各數，然后根據在數軸上，右邊的數總比左邊的數大，把這些數由小到大用“＜”號連接起來即可．
解：如下圖，
．
針對訓練6
1．在數軸上表示下列各數，并按從小到大的順序用“＜”把這些數連接起來．．
【解析】首先在數軸上表示出各數，根據數軸上的大小比較（右邊的數總比左邊的數大）比較即可．
解：如圖所示：
從小到大的順序排列為：-3＜＜-0.5＜0＜1＜2.5．
2．畫一條數軸，然后在數軸上畫出表示下列各數的點；并求它們的相反數，它們的絕對值，比較它們大小．
-1，2，3，-2.7，1，-3，0．
【解析】（1）根據相反數定義：只有符號不同的兩個數叫相反數；
（2）根據絕對值的性質：①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數時，a的絕對值是它的相反數-a；③當a是零時，a的絕對值是零可得答案；
（3）直接將各數在數軸上表示，進而得出大小關系．
解：（1）-1的相反數是1；
2的相反數是-2；
3的相反數是-3；
-2.7的相反數是2.7；
1的相反數是1；
-3 的相反數是3；
0的相反數是0；
（2）|-1|=1；
|2|=2；
|3|=3；
|-2.7|=2.7；
|1|=1；
|-3|=3；
|0|=0；
（3）如圖所示：
-3＜-2.7＜-1＜0＜1＜2＜3．
3．已知數軸上點A表示的數為a.
（1）判斷：a _____-1（填“＞”，“=”或“＜”）；
（2）用“＜”號將-，1，-a,a-1連接起來．
【答案】＞
【解析】（1）根據數軸上右邊的數比左邊的數大判斷即可；
（2）根據有理數大小比較法則判斷即可．
解：（1）由題意得，a＞-1；
故答案為：＞；
（2）∵a＞0且|a|＞2，
∴．
第三部分：牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．四個數中，其中負數是( )
A. B.0 C.1 D.2
答案：A
解析：根據負數的定義，在正數前加“”號的數就是負數，為負數.0既不是正數也不是負數,1和2是正數.
故選A
2．下列說法錯誤的是( )
A.-2是負有理數 B.0不是整數 C.是正有理數 D.-0.25是負分數
答案：B
解析：A選項中-2是負有理數，說法正確，故本選項不符合題意；B選項中0是整數，說法錯誤，故本選項符合題意；C選項中是正有理數，說法正確，故本選項不符合題意；D選項中-0.25是負分數，說法正確，故本選項不符合題意，故選B.
3．數軸上到點-3的距離為3的點表示的數為( )
A.0 B.-6 C.-6或1 D.-6或0
答案：D
解析：點在-3左側時，與-3距離為3的點表示的數為-6；點在-3右側時，與-3距離為3的點表示的數為0.
故選D.
4．如圖，數軸上點M所表示的數可能是( )
A.1.5 B.-2.6 C.-1.6 D.2.6
答案：C
解析：點M位于-2和-1之間，離-2較近，故選C.
5．下列計算結果為5的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：-（+5）=-5，故A錯，
+（-5）=-5，故B錯，
-（-5）=5，故C正確，
-|-5|=-5，故D錯
6．下列各組數中，互為相反數的是( )
A.與 B.與
C.與 D.與
答案：D
解析：A選項，，，兩數相等，不符合題意；B選項，，不符合題意；C選項，與不是相反數，不符合題意；D選項，，，兩數互為相反數，符合題意.故選D.
7．如果，則x的值是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
，
故選：C.
8．實數在數軸上的對應點的位置如圖所示,化簡的結果是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：a>0, b< 0,a-b>0,|a-b|=a-b,
故選C
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．在中，整數有______________.
答案：0；
解析： 全部是分數.
10．一只螞蟻從數軸上一點出發，爬了7個單位長度到了+1，則點所表示的數是_________.
答案：﹣6或8
11．________.
答案：
解析：原式．故答案為：.
12．若，則__________
答案：
13．同學們都知道, 表示與之差的絕對值,實際上也可以理解為與兩數在數軸上所對的兩點之間的距離,則使得這樣的整數有_____個.
答案：7
三、解答題
14．（8分）下面兩個圈分別表示負數集和分數集，請把下列8個數填入這兩個圈中合適的位置：
.
答案：見解析.
解析：
∴負數集：,,,
分數集:
15．（8分）在數軸上畫出表示下列各數的點,并用“<”號將這些數按從小到大的順序連接起來: .
答案：
解析：首先對所給的數進行化簡,然后在數軸上表示各數,最后根據在數軸上右邊的點表示的數大于左邊的點表示的數,用“<”號把它們連接起來即可.
,
數軸表示如圖所示:
由數軸上的點表示的數右邊的總比左邊的大,得.
點睛:
本題主要考查數軸,有理數的大小比較,解題的關鍵是要注意:在數軸上表示的數,右邊的數總比左邊的數大.
16．（8分）（1）化簡下列各數：
①；
②；
③；
④；
（2）化簡過程中發現：化簡結果的符號與原式中“-”的個數有著密切聯系，當“”的個數是奇數時，最后結果為_________數；當“-”的個數是偶數時，最后結果為_________數.
答案：（1）1，8，-a，a
（2）負，正
解析：（1）①；
②；
③；
④；
（2）通過（1）中化簡過程中發現，化簡結果的符號與原式中“-”的個數有著密切聯系，當“-”的個數是奇數時，最后結果為負數；當“-”的個數是偶數時，最后結果為正數.
故答案為：負，正.
17．（8分）閱讀下列材料：我們知道的幾何意義是數軸上數x的對應點與原點之間的距離，即，也可以說，表示數軸上數x與數0的對應點之間的距離.這個結論可以推廣為表示數軸上數與數的對應點之間的距離.
例1：已知，求x的值.
解：在數軸上與原點距離為2的點表示的數為-2或2，
所以x的值為-2或2.
例2：已知，求x的值.
解：在數軸上與1對應的點的距離為2的點表示的數為3或-1，
所以x的值為3或-1.
仿照材料中的解法，求下列各式中x的值.
（1）；
（2）.
答案：（1）在數軸上與原點距離為3的點表示的數為3或-3，所以x的值為3或-3.
（2）在數軸上與2對應的點的距離為4的點表示的數為-2或6，所以x的值為-2或6.
18．（8分）如圖，數軸的單位長度為1.
請回答下列問題:
（1）如果點表示的數互為相反數，那么點C表示的數是多少？
（2）如果點表示的數互為相反數，那么點C表示的數是正數還是負數？圖中的5個點中，哪一個點表示的數的絕對值最小？最小的絕對值是多少？
答案：(1)因為點表示的數互為相反數，所以原點就應該是線段的中點，即在C點右邊一格，所以C點表示數.
(2)如果點表示的數互為相反數，那么原點是線段的中點，即點C左邊半格，所以點C表示的數是正數點C表示的數的絕對值最小，最小的絕對值是0.5.
19．（8分）已知在紙面上有一數軸(如圖),折疊紙面.
1.若1表示的點與-1表示的點重合,則-7表示的點與數__________表示的點重合;
2.若-1表示的點與8表示的點重合,回答以下問題:
①12表示的點與數__________表示的點重合;
②若數軸上A、B兩點之間的距離為2017(A在B的左側),且A、B兩點經折疊后重合,求A、B兩點表示的數是多少
答案：1.7; 2.①-5,②A點表示的數為-1005,B點所表示的數為1012.
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