資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 軸對稱
3 簡單的軸對稱圖形
第1課時 線段的垂直平分線
列清單·劃重點
知識點① 線段的垂直平分線
線段是___________圖形，它的一條對稱軸___________這條線段并且________它，這樣的直線叫做這條線段的垂直平分線.
注意
線段的垂直平分線必須滿足兩個條件：(1)經過線段的中點；(2)垂直于這條線段.
知識點② 線段垂直平分線的性質
線段垂直平分線上的點到這條線段兩個__________的距離相等.
拓展
三角形三邊的垂直平分線交于一點，且該點到三角形三個頂點的距離相等.
知識點③ 線段垂直平分線的尺規作圖
利用尺規，作線段 AB的垂直平分線.
已知：線段 AB，如圖所示.
求作：線段 AB的垂直平分線.
作法：(1)分別以點 A 和點 B 為圓心，以大于 的長為半徑作弧，兩弧相交于點 C 和點 D;
(2)作直線 CD.直線 CD 就是線段AB的垂直平分線(如圖所示).
明考點·識方法
考點① 線段垂直平分線性質的應用
典例1 如圖所示,AB=AC=8,AB的垂直平分線MN 交 AC 于點 D,若 的周長為18,則 DC 的長為____________.
思路導析 由MN是線段AB 的垂直平分線，得DA=DB,再由△ABD 的周長為 18,AB=8,得AD+BD=10,即AD=5,所以DC=8-5=3.
變式 如圖，已知在△ABC 中, DE是AC的垂直平分線,△ABC的周長為19 cm, AE=3 cm,則△ABD的周長為 ( )
A.19 cm B.16 cm C.13 cm D.11 cm
考點② 線段垂直平分線的作圖
典例2 如圖所示，A，B，C表示三個工廠，現要修建一個供水站，使它到三個工廠的距離相等.求供水站的位置 P.
思路導析 這個問題的解決可分為兩步：其一，運用到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，得點 P一定在AB 的垂直平分線上；其二，到B,C(或 A,C)兩點等距離的點應在 BC(或AC)的垂直平分線上.故作 AB和BC(或 AC)的垂直平分線，兩線交點即為所求位置 P.
變式 如圖所示，小河邊有兩個村莊 A，B，要在河邊建一自來水廠向 A 村與 B 村供水.若要使自來水廠到A，B兩村的距離相等，則應選擇在哪建廠
考點③ “將軍飲馬”問題
典例3 在曠野上，一位將軍騎著馬想從A地到B 地，由于路途遙遠，他必須先騎馬從A 地到河邊l 飲馬一次，飲馬后再從河邊去B 地.如圖所示，他應該怎樣選擇飲水點 P，才能使馬所走的路程最短(即 的和最小)呢 (假定河岸是一條直線)
思路導析 本題是利用軸對稱作圖來解決“將軍飲馬”問題的一個典例.以直線l為對稱軸取點A的對稱點A'，連接A'B與l 相交于 P點，則 為上異于P 點的任意點)，所以此時 AP+PB 為最短.
規律總結
路線和最短問題的原理是兩點之間，線段最短，解決方法：(1)兩點位于直線異側，連接兩點，與直線交點即為所求；(2)兩點位于直線的同側，作其中一點關于直線的對稱點，連接對稱點和另一點，與直線交點即為所求.
變式 牧羊人在某天發現了一個有水有草的神秘三角地帶(如圖)，便想在公路邊 AB上找一點，安營扎寨，進行牧羊.使每天牧羊時到草地AC邊上吃草，然后到小河邊 BC處喝水，再跑回出發地休息.為使所跑路程最短，請你為牧羊人在公路上找一個合適的位置，并畫出線路圖.
當堂測·夯基礎
1.如圖,在 中,DE 垂直平分 BC,若 13.則 的周長等于 ( )
A.21 B.23 C.24 D.26
2.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,AC 的垂直平分線MN 與AB 交于點 D，則∠BCD 的度數是 ( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
第2題圖 第3題圖
3.如圖,已知點 O是 的兩邊AB 和AC 的垂直平分線 OD,OE 的交點,且 則的度數為 ( )
B.110°
4.如圖,C,E 是直線兩側的點，以點 C 為圓心，CE 的長為半徑畫弧交直線于A，B兩點，再分別以點 A，B為圓心，大于 的長為半徑畫弧，兩弧交于點 D，連接CA，CB，CD，則下列結論不一定正確的是( )
A.CA=CB B. CD⊥直線
C.點C,D 關于直線對稱 D.點 A,B 關于直線CD 對稱
第4題圖 第5題圖
5.如圖所示，直線a，b，c表示三條相互交叉的公路，交點為三個小區，現擬建一個超市，要求它到三個小區的距離都相等，則可供選擇的地址有 ( )
A.一處 B.兩處 C.三處 D.四處
6.如圖,在 中，AC 的垂直平分線PD 與 BC 的垂直平分線 PE 交于點 P,垂足分別為 D,E,連接 PA,PB,PC,若 則
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點1 軸對稱 垂直于 平分
知識點2 端點
【明考點·識方法】
典例1 3
變式 C
典例2 解：如圖所示：
(1)連接AB,作 AB 的垂直平分線
(2)連接 BC,作 BC的垂直平分線 與 的交點 P 即為供水站的位置.
變式 解：如圖所示，作線段 AB 的垂直平分線交EF 于點 P,則點 P 到A,B 的距離相等.
典例3 解：如圖：
(1)作點 A 關于的對稱點
(2)連接 交于點 P;
那么，在點 P 處飲馬，才能使所走的路程最短.
變式 解：如圖，P點為安營扎寨處.
路線圖為 P→E→D→P.
【當堂測·夯基礎】
1. B 2. A
3. A 解析:連接OA,如圖所示:
由題意，得所以 ，
因為 所以
因為
又因為
所 以
4. C 5. A
6. 45
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