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第03講 等式與不等式的性質
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1)不等式的性質 2019年全國卷，5分 2018年全國卷，5分 2017年山東卷，5分 2016年浙江卷，5 分 2016年全國卷，5 分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主. （2）重點是等式的性質和不等式的性質，主要考查不等式的性質以及運用不等式的性質比較代數式的大小關系，常與一元二次不等式解法、冪函數、指數函數、對數函數三角函數結合.
(
考試要求
小
)
1、掌握等式性質；
2、會比較兩個數的大小；
3、理解不等式的性質，并能簡單應用。
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:比較大小的方法
1、作差法
相減與0比較：
2、作商法
相除與1比較：
知識點2:等式的性質
序號 性質 具體內容
1 對稱性
2 傳遞性
3 可加減性
4 可乘性
5 可除性
知識點3:不等式的性質
序號 性質 具體內容
1 對稱性
2 傳遞性
3 可加性
4 可乘性
5 同向可加性
6 同向同正可乘性
7 同正可乘方性
(
題型展示
小
)
題型一:代數式的大小比較
【例1】若，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直接求解法，特殊值法
方法1：直接求解法
對選項A ：，，當時，，A錯，
對選項B：是增函數，，故B錯；
對選項C：冪函數是增函數，，，C對；
對選項D：取，滿足，，D錯．
方法2：特殊值法
取，滿足；
對選項A ：，A錯，排除A；
對選項B：因為，B錯，排除B；
取，滿足；
對選項D：，知D錯，排除D；
對選項C：冪函數是增函數，，，C對；答案為C．
【變式1】已知為不相等的實數，記，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．不確定
【答案】A
【解析】作差法
，答案為A.
題型二:不等式的基本性質
【例2】已知，且，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
對選項A：由，得，即，A錯；
對選項B：由及正弦函數的單調性有增有減，當在遞減區間時不成立，B錯；
對選項C：由，，得，故，C正確；
對選項D：由，得，但的值不一定大于1，故不一定成立，D錯；答案為C.
【變式2】（2018·全國）設，，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由于真數相同，可以利用換底公式，求出，得到的范圍。
,即
又即；答案為B.
題型三:不等式性質的應用
【例3】已知，則的取值范圍是 .
【答案】(-2,13)
【解析】
，答案為：
【變式3】（2024武漢模擬）已知實數，則的取值范圍是 .
【答案】(4,24)
【解析】
，答案為：
(
考場演練
)
【題1】（2019·全國）若，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【題型】冪、指、對大小比較
【解析】直接求解法，特殊值法
方法1：直接求解法
對選項A ：，，當時，，A錯，
對選項B：是增函數，，故B錯；
對選項C：冪函數是增函數，，，C對；
對選項D：取，滿足，，D錯．
方法2：特殊值法
取，滿足；
對選項A ：，A錯，排除A；
對選項B：因為，B錯，排除B；
取，滿足；
對選項D：，知D錯，排除D；
對選項C：冪函數是增函數，，，C對；答案為C．
【題2】（2018·全國）設，，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【題型】對數的運算和不等式
【解析】
由于真數相同，可以利用換底公式，求出，得到的范圍。
,即
又即；答案為B.
【題3】（2017·山東）若，且，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【題型】冪、指、對大小比較
【解析】中間值法、構造函數法
，且，
，
排除C、D選項；
構造函數，則，單調遞增，
；答案為B.
【題4】（2016·浙江）已知，且.若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【題型】對數函數性質與不等式
【解析】
，
當時，，，
當時，，
觀察各選項，答案為D.
【易錯提醒】在解不等式時，一定要注意對分為和兩種情況進行討論
【題5】（2016·北京）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【題型】函數單調性與不等式
【解析】
對選項A：由，得，即，A錯；
對選項B：由及正弦函數的單調性有增有減，當在遞減區間時不成立，B錯；
對選項C：由，，得，故，C正確；
對選項D：由，得，但的值不一定大于1，故不一定成立，D錯；答案為C.
【題6】（2016·全國）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【題型】冪、指、對大小比較
【解析】特殊值法
令，，
對選項A：， A錯；
對選項B：， B錯；
對選項D：， D錯；
選項C正確；答案為C．
【題7】（2015·浙江）設，是實數，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【題型】充分、必要條件與不等式
【解析】特殊值法
取，，但，故是不充分條件；
取，，但，故是不必要條件；
則 “”是“”的既不充分也不必要條件.答案為D.
【題8】（2024·全國新Ⅰ卷）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【題型】集合與不等式
【解析】
，且，；答案為A.
【題9】（2024·上海）已知則不等式的解集為 ．
【答案】
【題型】解一元二次不等式
【解析】
或，
故不等式的解集為，答案為：.
【題10】（2023·全國新Ⅰ卷）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【題型】集合與一元二次不等式
【解析】直接求解法、選項代入法
方法1 直接求解法
，而，
．答案為C．
方法2 選項代入法
，將代入不等式，只有使不等式成立，
．答案為C．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第03講 等式與不等式的性質
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1)不等式的性質 2019年全國卷，5分 2018年全國卷，5分 2017年山東卷，5分 2016年浙江卷，5 分 2016年全國卷，5 分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主. （2）重點是等式的性質和不等式的性質，主要考查不等式的性質以及運用不等式的性質比較代數式的大小關系，常與一元二次不等式解法、冪函數、指數函數、對數函數三角函數結合.
(
考試要求
小
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1、掌握等式性質；
2、會比較兩個數的大小；
3、理解不等式的性質，并能簡單應用。
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:比較大小的方法
1、作差法
相減與0比較：
2、作商法
相除與1比較：
知識點2:等式的性質
序號 性質 具體內容
1 對稱性
2 傳遞性
3 可加減性
4 可乘性
5 可除性
知識點3:不等式的性質
序號 性質 具體內容
1 對稱性
2 傳遞性
3 可加性
4 可乘性
5 同向可加性
6 同向同正可乘性
7 同正可乘方性
(
題型展示
小
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題型一:代數式的大小比較
【例1】若，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】已知為不相等的實數，記，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．不確定
題型二:不等式的基本性質
【例2】已知，且，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2018·全國）設，，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型三:不等式性質的應用
【例3】已知，則的取值范圍是 .
【變式3】（2024武漢模擬）已知實數，則的取值范圍是 .
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考場演練
)
【題1】（2019·全國）若，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題2】（2018·全國）設，，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題3】（2017·山東）若，且，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【題4】（2016·浙江）已知，且.若，則（ ）
A． B．
C． D．
【題5】（2016·北京）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【題6】（2016·全國）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【題7】（2015·浙江）設，是實數，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【題8】（2024·全國新Ⅰ卷）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【題10】（2023·全國新Ⅰ卷）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
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