資源簡介

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人教版八年級數學上名師點撥精練
第11章 三角形
11.1.1 三角形的邊
學習目標
1．認識三角形的邊、內角、頂點，能用幾何語言表示三角形；
2．掌握三角形的三邊關系定理，能利用定理及其推論進行簡單的證明；
3．了解三角形分類的原則和結論．
老師告訴你
判斷三條線段能否構成三角形，只需看較短的兩條線段的和是否大于第三條線段，因為只要較短的兩條線段的和大于第三條線段，則任意兩條線段的和都大于第三條線段，所以用此方法能很快地判斷出三條線段能否構成三角形。
知識點撥
知識點1.三角形及有關概念
1.定義 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
構成三角形的三個基本條件：①不在同一條直線上；②三條線段；③首尾順次相接.
2.（1）構成三角形的基本元素：
①三角形的邊：即組成三角形的線段；
②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角；
③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.
3 .三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示.
【新知導學】
例1-1．如圖所示，圖中有_____個三角形，其中以AB為邊的三角形為_____，含∠OCB的三角形為_____，在△BOC中，OC的對角是_____，∠OCB的對邊是_____．
【對應導練】
1．如圖，圖中以BC為邊的三角形的個數為_____．
2．如圖所示，第1個圖中有1個三角形，第2個圖中共有5個三角形，第3個圖中共有9個三角形，依此類推，則第6個圖中共有三角形_____個．
3.如圖，以BD為邊的三角形有哪些？分別寫出來；以∠1為內角的三角形有哪些？分別寫出來．
知識點2.三角形的分類
(1)按角分類：
特別強調：①銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形; ②鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形.
(2)按邊分類：
特別強調：①等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角; ②等邊三角形：三邊都相等的三角形.
【新知導學】
例2-1．下列關于三角形的分類，正確的是（　　）
A. B.
C. D.
【對應導練】
1．三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示（　　）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形
C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
2 .關于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（ ）
A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲、乙兩種分法均錯誤
C．甲的分法錯誤，乙的分法正確 D．甲的分法正確，乙的分法錯誤
知識點3 三角形三邊關系
定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊（理論依據：兩點之間線段最短）.
推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.
三邊關系的應用：
判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．
（2）證明線段之間的不等關系.
【新知導學】
例3-1．已知三角形兩邊的長分別為2cm、7cm,第三邊長為整數，則第三邊的長可以為（　　）
A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 9cm
【對應導練】
1．在下列長度的四條線段中，能與長6cm,8cm的兩條線段圍成一個三角形的是（　　）
A. 1cm B. 2cm C. 13cm D. 14cm
2．等腰三角形的周長為20cm,一邊為8cm,則腰長為（　　）
A. 4cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 6cm或8cm
3．已知a,b,c是△ABC的三邊長，滿足|a-7|+（b-2）2=0，c為奇數，則△ABC的周長為 _____．
4．等腰三角形的周長為20cm,一邊長為6cm,則底邊長為_____cm.
5．已知a,b,c是△ABC的三邊長，b,c滿足（b-2）2+|c-3|=0，且a為方程|x-4|=2的解，求△ABC的周長．
二、題型訓練
1.三角形的分類在判斷三角形形狀中的應用
1．已知a，b，c是的三邊長，b，c滿足，且a為方程的解，求的周長，并判斷三角形的形狀。
2．已知a，b，c是的三邊長，，，設的周長是x.
（1）求c與x的取值范圍；
（2）若x是小于18的偶數，試判斷的形狀.
2.三角形三邊關系在拼圖中的應用
3．定義：三邊長和面積都是整數的三角形稱為“整數三角形”.
數學學習小組的同學從32根等長的火柴棒(每根長度記為1個單位)中取出若干根，首尾依次相接組成三角形，進行探究活動.
小亮用12根火柴棒，擺成如圖所示的“整數三角形”；
小穎分別用24根和30根火柴棒擺出直角“整數三角形”；
小輝受到小亮、小穎的啟發，分別擺出三個不同的等腰“整數三角形”.
（1）請你畫出小穎和小輝擺出的“整數三角形”的示意圖；
（2）你能否也從中取出若干根擺出等邊“整數三角形”，如果能，請畫出示意圖；如果不能，請說明理由.
3．等腰三角形的三邊長分別為，，7，求等腰三角形的周長.
4．已知a,b,c為△ABC的三邊長，且b,c滿足，a為方程的解，求△ABC的周長，并判斷△ABC的形狀.
3.三角形三邊關系在證明線段大小關系中的應用
5．如圖，點P是△ABC內部的一點，連接PB,PC.
（1）度量線段AB,AC,PB,PC的長度，根據度量結果比較與的大小；
（2）改變點P的位置，上述結論還成立嗎？
（3）你能說明上述結論為什么正確嗎？
三、牛刀小試
一、單選題（每小題3分，共24分）
1．下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形，其中是三角形的是( )
A. B.
C. D.
2．下列說法正確的有( )
①等腰三角形是等邊三角形；
②三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；
③等腰三角形至少有兩邊相等；
④三角形按角分類應分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.
A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④
3．以下列各組線段為邊不能組成三角形的是( )
A.3，4，4 B.2，6，8 C.2，5，4 D.6，8，10
4．設一個三角形的三邊長分別為5、m、8，則m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5．已知某等腰三角形三邊長分別為5，a，11，則a的值為( )
A.5 B.5.5 C.11 D.5或11
6．設M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，Q表示等腰直角三角形.下列四個選項中，能正確表示它們之間的關系的是( )
A. B.
C. D.
7．如圖是一組按照某種規律擺放成的圖形，則第5個圖形中三角形的個數是( )
A.8 B.9 C.16 D.17
8．已知三角形的三邊長分別為a，b，c，化簡得( )
A. B. C. D.0
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．已知等腰三角形的兩邊長分別為和，則它的周長是______.
10．若等腰三角形的兩邊長分別為6cm和8cm，則它的周長是________.
11．已知等腰三角形的周長為20，其中一邊的長為6，則底邊的長為_________.
12．已知a，b，c是的三條邊長，則_________.
.
13．5條線段的長度分別為l cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，以其中的三條線段組成三角形，則可組成不同的三角形的個數是__________.
三、解答題（共7小題，共56分）
14．（8分）兩根木棒的長分別是5cm和7cm.要選擇第三根木棒，將它們首尾相接釘成一個三角形.若第三根木棒的長為偶數，則第三根木棒長的取值情況有幾種
15．（8分）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和10，求這個等腰三角形的周長.
16．（8分）如圖，在三角形ABC中，，，D是BC的中點，E點在邊AB上.
（1）若三角形BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，求線段AE的長.
（2）若三角形ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2 cm，求線段AE的長.
17．（8分）已知a，b，c是的三邊長，，，設的周長是x.
（1）求c與x的取值范圍；
（2）若x是小于18的偶數，試判斷的形狀.
18．（8分）按要求完成下列各小題.
(1)在中，，，的長為偶數，求的周長；
(2)已知的三邊長分別為3，5，a，化簡.
19．（8分）閱讀材料:若求的值.
解:∵
根據你的觀察,探究下面的問題:
（1）. ,則____________________
（2）.已知求的值
（3）.已知的三邊長都是正整數,且滿足求的周長
20．（8分）如圖所示,已知是三角形內一點,連接、,試探究與的大小關系.
人教版八年級數學上名師點撥精練
第11章 三角形
11.1.1 三角形的邊（解析版）
學習目標
1．認識三角形的邊、內角、頂點，能用幾何語言表示三角形；
2．掌握三角形的三邊關系定理，能利用定理及其推論進行簡單的證明；
3．了解三角形分類的原則和結論．
老師告訴你
判斷三條線段能否構成三角形，只需看較短的兩條線段的和是否大于第三條線段，因為只要較短的兩條線段的和大于第三條線段，則任意兩條線段的和都大于第三條線段，所以用此方法能很快地判斷出三條線段能否構成三角形。
知識點撥
知識點1.三角形及有關概念
1.定義 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
構成三角形的三個基本條件：①不在同一條直線上；②三條線段；③首尾順次相接.
2.（1）構成三角形的基本元素：
①三角形的邊：即組成三角形的線段；
②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角；
③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.
3 .三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示.
【新知導學】
例1-1．如圖所示，圖中有_____個三角形，其中以AB為邊的三角形為_____，含∠OCB的三角形為_____，在△BOC中，OC的對角是_____，∠OCB的對邊是_____．
【答案】(1)8;(2)△ABC，△ABD，△ABO;(3)△OCB，△ACB;(4)∠OBC;(5)OB;
【解析】根據三角形的邊和角有關概念解答．
解：，圖中有8個三角形，其中以AB為邊的三角形為△ABC，△ABD，△ABO，含∠OCB的三角形為△OCB，△ACB，在△BOC中，OC的對角是∠OBC，∠OCB的對邊是OB，
故答案為：8；△ABC，△ABD，△ABO；△OCB，△ACB；∠OBC；OB．
【對應導練】
1．如圖，圖中以BC為邊的三角形的個數為_____．
【答案】4
【解析】根據三角形的定義即可得到結論．
解：∵以BC為公共邊的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴以BC為公共邊的三角形的個數是4個．
故答案為：4．
2．如圖所示，第1個圖中有1個三角形，第2個圖中共有5個三角形，第3個圖中共有9個三角形，依此類推，則第6個圖中共有三角形_____個．
【答案】21
【解析】根據前邊的具體數據，再結合圖形，不難發現：后邊的總比前邊多4，即第n個圖形中，三角形的個數是1+4（n-1）=4n-3．
所以當n=6時，原式=21．注意規律：后面的圖形比前面的多4個．
解：第n個圖形中，三角形的個數是1+4（n-1）=4n-3．所以當n=6時，原式=21，
故答案為：21．
3.如圖，以BD為邊的三角形有哪些？分別寫出來；以∠1為內角的三角形有哪些？分別寫出來．
【分析】先根據BD邊找三角形，再根據∠1找三角形.
解：以BD為邊的三角形有：△BDC，△BDO，
以∠1為內角的三角形有：△EOC，△ACD．
【點撥】本題考查了三角形的內角和邊的概念，學會分類的方法找三角形是本題的解題關鍵.
知識點2.三角形的分類
(1)按角分類：
特別強調：①銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形; ②鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形.
(2)按邊分類：
特別強調：①等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角; ②等邊三角形：三邊都相等的三角形.
【新知導學】
例2-1．下列關于三角形的分類，正確的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根據三角形的分類可直接選出答案．
解：A、等腰直角三角形應該是直角三角形，不符合題意；
B、該選項中的三角形的分類正確，符合題意；
C、等腰三角形包括等邊三角形，不符合題意；
D、等腰三角形包括等邊三角形，不符合題意；
故選：B．
【對應導練】
1．三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示（　　）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形
C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
【答案】D
【解析】根據三角形的分類可直接得到答案．
解：三角形根據邊分類 ，
∴圖中小橢圓圈里的A表示等邊三角形．
故選：D．
2 .關于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（ ）
A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲、乙兩種分法均錯誤
C．甲的分法錯誤，乙的分法正確 D．甲的分法正確，乙的分法錯誤
【答案】D
【分析】三角形的分類：按邊分有普通三角形(三條邊都不相等)，等腰三角(腰與底不等的等腰三角形、腰與底相等的等腰三角形即等邊三角形)；按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等，其中銳角三角形和鈍角三角形統稱斜三角形.據此判斷即可.
【詳解】解：甲分法正確，乙正確的分類應該為：
故選：D．
【點評】本題考查三角形的分類，解答的關鍵是熟知三角形的分類標準，易忽略等腰三角形包含等邊三角形.
知識點3 三角形三邊關系
定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊（理論依據：兩點之間線段最短）.
推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.
三邊關系的應用：
判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．
（2）證明線段之間的不等關系.
【新知導學】
例3-1．已知三角形兩邊的長分別為2cm、7cm,第三邊長為整數，則第三邊的長可以為（　　）
A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 9cm
【答案】C
【解析】根據三角形的三邊關系得出第三邊的范圍，進而得到答案．
解：設第三邊的長為x cm,
則7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，
∵第三邊的長為整數，
∴第三邊的長可以為8cm.
故選：C．
【對應導練】
1．在下列長度的四條線段中，能與長6cm,8cm的兩條線段圍成一個三角形的是（　　）
A. 1cm B. 2cm C. 13cm D. 14cm
【答案】C
【解析】首先設第三條線段長為x cm,再利用三角形的三邊關系可得x的范圍，然后可得答案．
解：設第三條線段長為x cm,由題意得：
8-6＜x＜8+6，
解得：2＜x＜14，
只有13cm適合，
故選：C．
2．等腰三角形的周長為20cm,一邊為8cm,則腰長為（　　）
A. 4cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 6cm或8cm
【答案】D
【解析】分8cm是等腰三角形的腰長與底邊長兩種情況進行討論．
解：∵等腰三角形的周長為20cm,
∴當8cm是腰長時，底邊=20-8-8=4cm；
∴當8cm是底邊長時，腰長==6cm,
∴腰長為8cm或6cm,
故選：D．
3．已知a,b,c是△ABC的三邊長，滿足|a-7|+（b-2）2=0，c為奇數，則△ABC的周長為 _____．
【答案】16
【解析】根據在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊；可求第三邊長的范圍，再根據奇數的定義得出答案．
解：∵|a-7|+（b-2）2=0，
∴a-7=0，b-2=0，
解得：a=7，b=2，
由三角形三邊關系定理得：7-2＜c＜7+2，即5＜c＜9，
又∵c為奇數，
∴c=7，
∴△ABC的周長為7+2+7=16．
故答案為：16．
4．等腰三角形的周長為20cm,一邊長為6cm,則底邊長為_____cm.
【答案】6或8
【解析】分6cm是底邊與腰長兩種情況討論求解．
解：①6cm是底邊時，腰長=（20-6）=7cm,
此時三角形的三邊分別為7cm、7cm、6cm,
能組成三角形，
②6cm是腰長時，底邊=20-6×2=8cm,
此時三角形的三邊分別為6cm、6cm、8cm,
能組成三角形，
綜上所述，底邊長為6或8cm.
故答案為：6或8．
5．已知a,b,c是△ABC的三邊長，b,c滿足（b-2）2+|c-3|=0，且a為方程|x-4|=2的解，求△ABC的周長．
【解析】利用絕對值的性質以及偶次方的性質得出b,c的值，進而利用三角形三邊關系得出a的值，進而可得出其周長．
解：∵（b-2）2+|c-3|=0，
∴b-2=0，c-3=0，
解得：b=2，c=3，
∵a為方程|x-4|=2的解，
∴x-4=±2，
解得：x=6或2．
∵a、b、c為△ABC的三邊長，b+c＜6，
∴x=6不合題意舍去，
∴a=2，
∴△ABC的周長=a+b+c=2+2+3=7．
二、題型訓練
1.三角形的分類在判斷三角形形狀中的應用
1．已知a，b，c是的三邊長，b，c滿足，且a為方程的解，求的周長，并判斷三角形的形狀。
答案：7，三角形是等腰三角形
解析：因為，所以，，解得，.因為a為方程的解，所以，解得或2.因為a，b，c為的三邊長，所以，所以，所以的周長為.故答案為7.
a=b=2,所以三角形是等腰三角形
2．已知a，b，c是的三邊長，，，設的周長是x.
（1）求c與x的取值范圍；
（2）若x是小于18的偶數，試判斷的形狀.
答案：（1）；
（2）是等腰三角形
解析：（1）因為，，所以.
故周長x的取值范圍是.
（2）因為x是小于18的偶數，
所以或.
當時，；
當時，.
當時，，為等腰三角形；
當時，，為等腰三角形.
綜上，是等腰三角形.
2.三角形三邊關系在拼圖中的應用
3．定義：三邊長和面積都是整數的三角形稱為“整數三角形”.
數學學習小組的同學從32根等長的火柴棒(每根長度記為1個單位)中取出若干根，首尾依次相接組成三角形，進行探究活動.
小亮用12根火柴棒，擺成如圖所示的“整數三角形”；
小穎分別用24根和30根火柴棒擺出直角“整數三角形”；
小輝受到小亮、小穎的啟發，分別擺出三個不同的等腰“整數三角形”.
（1）請你畫出小穎和小輝擺出的“整數三角形”的示意圖；
（2）你能否也從中取出若干根擺出等邊“整數三角形”，如果能，請畫出示意圖；如果不能，請說明理由.
（1）答案：見解析
解析：小穎擺出如圖1所示的“整數三角形”：
小輝擺出如圖2所示三個不同的等腰“整數三角形”：
（2）答案：不能擺出等邊“整數三角形”
解析：不能擺出等邊“整數三角形”.理由如下：
設等邊三角形的邊長為a，則等邊三角形面積為.
因為，若邊長a為整數，那么面積一定非整數.
所以不存在等邊“整數三角形”.
3．等腰三角形的三邊長分別為，，7，求等腰三角形的周長.
答案：三角形的周長為19.5或23
解析：①當是底邊時，則腰長為：，7，
，
，
，
等腰三角形的周長；
②當是底邊時，則腰長為：，7，
，
，
，
等腰三角形的周長；
③當7是底邊時，則腰長為：，，
，
，
，，
，
不能構成三角形.
則三角形的周長為19.5或23.
4．已知a,b,c為△ABC的三邊長，且b,c滿足，a為方程的解，求△ABC的周長，并判斷△ABC的形狀.
答案：因為，
所以,解得.
因為a為方程的解,所以或1.
當時，，不能構成三角形，
所以不符合題意；
當時，，能構成三角形，
此時，△ABC的周長為.
綜上，△ABC的周長為17.
因為，所以△ABC是等腰三角形.
3.三角形三邊關系在證明線段大小關系中的應用
5．如圖，點P是△ABC內部的一點，連接PB,PC.
（1）度量線段AB,AC,PB,PC的長度，根據度量結果比較與的大小；
（2）改變點P的位置，上述結論還成立嗎？
（3）你能說明上述結論為什么正確嗎？
答案：(1)經度量, cm, cm, cm, cm，
所以.
（2）成立.
（3）延長BP交AC于點D.
在△ABD中，，①
在△PDC中，，②
，得，
所以.
三、牛刀小試
一、單選題（每小題3分，共24分）
1．下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形，其中是三角形的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，由此可知A，B，C不是三角形，D是三角形.
故選D
2．下列說法正確的有( )
①等腰三角形是等邊三角形；
②三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；
③等腰三角形至少有兩邊相等；
④三角形按角分類應分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.
A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④
答案：C
解析：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，三條邊都相等的三角形是等邊三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形，①錯誤；
②三角形按邊分類可分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為底邊和腰不相等的三角形和等邊三角形，②錯誤；③有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，③正確；④三角形按角分類可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，④正確.故選C.
3．以下列各組線段為邊不能組成三角形的是( )
A.3，4，4 B.2，6，8 C.2，5，4 D.6，8，10
答案：B
解析：根據構成三角形條件，兩邊之和大于第三邊，A 3+4>4.能夠組成三角形，B 2+6=8，不能組成三角形，C 2+4=6>5，能夠組成三角形，D 6+8=14>10，能夠組成三角形。
故選B
4．設一個三角形的三邊長分別為5、m、8，則m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根據組成三角形的條件，第三邊小于兩邊之和，大于兩邊之差，所以
故選A
5．已知某等腰三角形三邊長分別為5，a，11，則a的值為( )
A.5 B.5.5 C.11 D.5或11
答案：C
解析：根據組成三角形的條件，第三邊小于兩邊之和，大于兩邊之差，所以6故選C
6．設M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，Q表示等腰直角三角形.下列四個選項中，能正確表示它們之間的關系的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：根據各類三角形的概念可知，C選項可以表示它們之間的關系.故選C.
7．如圖是一組按照某種規律擺放成的圖形，則第5個圖形中三角形的個數是( )
A.8 B.9 C.16 D.17
答案：C
解析：第1個圖形中三角形的個數是1；第2個圖形中三角形的個數是；第3個圖形中三角形的個數是；第4個圖形中三角形的個數是.由此可知，從第2個圖形開始，后一個圖形比前一個圖形多4個三角形，因此第5個圖形中三角形的個數是.故選C.
8．已知三角形的三邊長分別為a，b，c，化簡得( )
A. B. C. D.0
答案：A
解析：因為的三邊長分別是a，b，c，所以必須滿足任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，則，所以.
故選A.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．已知等腰三角形的兩邊長分別為和，則它的周長是______.
答案：
解析：（1）當長為的邊是等腰三角形的底邊時，其三邊長分別為：、、，
此時三條線段能圍成等腰三角形，其周長為：；
（2）當長為的邊為等腰三角形的底邊時，其三邊長分別為：、、，此時三條線段不能圍成三角形；
綜上所述，兩條邊長分別為和的等腰三角形的周長為
故答案為：.
點評：本題考查三角形三邊關系，正確掌握三角形三邊關系是解題的關鍵。
10．若等腰三角形的兩邊長分別為6cm和8cm，則它的周長是________.
答案：或
解析：等腰三角形的兩條腰相等
①當腰為6cm時：三角形的周長為：；
②當腰為8cm時：三角形的周長為：；
故答案為：或.
11．已知等腰三角形的周長為20，其中一邊的長為6，則底邊的長為_________.
答案：6或8
解析：設底邊長為x，腰長為y，
則，
①當腰長時，
，
；
三邊長分別為6，6，8能構成三角形，符合題意；
故；
②當底邊長時，
，
；
三邊長分別為7，7，6能構成三角形，符合題意；
故；
綜上所述，或；
故答案為：6或8.
12．已知a，b，c是的三條邊長，則_________.
答案：2a
解析：a，b，c為的三條邊長，，，原式.
13．5條線段的長度分別為l cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，以其中的三條線段組成三角形，則可組成不同的三角形的個數是__________.
答案：3
解析：以其中的三條線段為邊可組成三角形的有①2 cm，3 cm，4 cm；②2 cm，4 cm，5 cm；③3 cm，4 cm，5 cm，共有3種情況故答案為3.
三、解答題（共7小題，共56分）
14．（8分）兩根木棒的長分別是5cm和7cm.要選擇第三根木棒，將它們首尾相接釘成一個三角形.若第三根木棒的長為偶數，則第三根木棒長的取值情況有幾種
答案：第三根木棒長的取值情況有4種.
解析：設第三根木棒長度為xcm，根據題意得：
，即，
第三根木棒的長為偶數，
x可取4，6，8，10，有4種情況.
答：第三根木棒長的取值情況有4種.
點評：本題考查了三角形三邊關系，正確掌握三角形三邊關系定理是解題關鍵。
15．（8分）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和10，求這個等腰三角形的周長.
答案：解:①若腰長為4，則三角形三邊長為4，4，10，，不符合三角形的三邊關系，故腰長不能為4;
②若腰長為10，則三角形三邊長為10,10,4,符合三角形的三邊關系，此時三角形的周長為24.
點評：本題考查了三角形三邊關系，正確掌握三角形三邊關系定理是解題關鍵。
16．（8分）如圖，在三角形ABC中，，，D是BC的中點，E點在邊AB上.
（1）若三角形BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，求線段AE的長.
（2）若三角形ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2 cm，求線段AE的長.
答案：（1）
（2）AE的長為1 cm或3 cm
解析：（1）因為，四邊形，三角形BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，D為BC中點，
所以，，
即.
因為，，
所以，所以.
（2）由三角形ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2 cm，
可得或，
即或，
故AE的長為1 cm或3 cm.
點評：本題考查了三角形三邊關系，正確掌握三角形三邊關系定理是解題關鍵。
17．（8分）已知a，b，c是的三邊長，，，設的周長是x.
（1）求c與x的取值范圍；
（2）若x是小于18的偶數，試判斷的形狀.
答案：（1）；
（2）是等腰三角形
解析：（1）因為，，所以.
故周長x的取值范圍是.
（2）因為x是小于18的偶數，
所以或.
當時，；
當時，.
當時，，為等腰三角形；
當時，，為等腰三角形.
綜上，是等腰三角形.
點評：本題考查了三角形三邊關系，正確掌握三角形三邊關系定理是解題關鍵。
18．（8分）按要求完成下列各小題.
(1)在中，，，的長為偶數，求的周長；
(2)已知的三邊長分別為3，5，a，化簡.
答案：(1)18
(2)-3
解析：(1)根據三角形的三邊關系得，即.
為偶數，，
的周長為.
(2)的三邊長分別為3，5，a，
，解得，
.
點評：本題考查了三角形三邊關系，正確掌握三角形三邊關系定理是解題關鍵。
19．（8分）閱讀材料:若求的值.
解:∵
根據你的觀察,探究下面的問題:
（1）. ,則____________________
（2）.已知求的值
（3）.已知的三邊長都是正整數,且滿足求的周長
答案：（1）.
（2）.
（3）.∵ 則,解得, 由三角形三邊關系可知,三角形三邊分別為的周長為
點評：本題考查了三角形三邊關系，正確掌握三角形三邊關系定理是解題關鍵。
20．（8分）如圖所示,已知是三角形內一點,連接、,試探究與的大小關系.
答案：證明:延長交于點.
在中, ,①
在中, ,②
①+②,得,
∴.
點評：本題考查了三角形三邊關系，正確掌握三角形三邊關系定理是解題關鍵。
B
C
A
D
B
C
A
D
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