資源簡介

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人教版八年級數學上名師點撥精練
第11章 三角形
11.1.2 三角形的高、中線與角平分線
學習目標
1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.
2.掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.
3.掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.
4.掌握三角形中線的性質。
老師告訴你
面積法是一種重要的常用的數學解題思想方法，它利用同一圖形面積相等、等地等高面積相等、三角形的中線分三角形為面積相等的兩部分、分割后的圖形面積之和等于原圖形面積等性質解決有關數學問題。
知識點撥
知識點1.三角形的高
從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．
三角形的高的數學語言：
如圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
三角形高線中的一些注意點：
（1）三角形的高是線段；
（2）三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三條高：
(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內部，三條高的交點也在三角形內部；
(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三條高的交點是直角的頂點.
【新知導學】
例1-1．在△ABC中，作出AC邊上的高，正確的是（　　）
A. B.
C. D.
【對應導練】
1．如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（ ）
A. 線段CD是ABC的AC邊上的高線
B. 線段CD是ABC的AB邊上的高線
C. 線段AD是ABC的BC邊上的高線
D. 線段AD是ABC的AC邊上的高線
2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，則圖中以AD為高的三角形有（　　）
A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個
知識點2.三角形的中線
三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．
三角形的中線的數學語言：
如圖二，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.
圖一 圖二 圖三
三角形中線中的一些注意點：
（1）三角形的中線是線段；
(2)三角形三條中線全在三角形內部；
(3)三角形三條中線交于三角形內部一點，這一點叫三角形的重心；
(4)中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.
【新知導學】
例2-1．如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，FG，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是（　?。?br/>A. 線段DE B. 線段BE C. 線段EF D. 線段FG
【對應導練】
1．如果用一根手指頂在一塊質地均勻的三角形薄板的（　?。┨?，這塊薄板就能保持平衡．
A. 三條角平分線的交點
B. 三條中線的交點
C. 三條高線所在直線的交點
D. 三邊垂直平分線的交點
2．如圖，△ABC的三邊長均為整數，且周長為22，AM是邊BC上的中線，△ABM的周長比△ACM的周長大2，則BC長的可能值有（　　）個．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3．如圖，AD是△ABC的中線，AB=4，AC=3．若△ACD的周長為8，則△ABD的周長為 _____．
4．如圖所示方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點A，點B，點C在小正方形的頂點上．
（1）畫出△ABC中邊BC上的高AD；
（2）畫出△ABC中邊AC上的中線BE；
（3）直接寫出△ABE的面積為 _____．
知識點3.三角形的角平分線
三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.
三角形的角平分線的數學語言：
如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
三角形角平分線中的一些注意點：
（1）三角形的角平分線是線段；
（2）一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內部；
（3）三角形三條角平分線交于三角形內部一點，這一點叫做三角形的內心；
（4）可以用量角器或圓規畫三角形的角平分線.
【新知導學】
例3-1．如圖，中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，則下列說法中錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【對應導練】
1．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（　　）
①△ABE的面積=△BCE的面積；
②∠AFG=∠AGF；
③∠FAG=2∠ACF；
④AF=FB．
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ③④
2．如圖，、分別是的角平分線和高，，，則________度，_____度．
3．如圖，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度數．
題型訓練
1.三角形的中線在求線段長度中的應用
1.在△ABC中，AB＝BC，中線AD將這個三角形的周長分成15和12兩部分，則AC的長為（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
2.三角形的高、中線在計算中的應用
2．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD為中線，求△ABD與△ACD的周長之差（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．如圖，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC邊上的中線．若△ABD的周長為35，則△BCD的周長是（　　）
A. 20 B. 24 C. 26 D. 29
4．如圖，、分別是的角平分線和高，，，則________度，_____度．
5．如圖，在△ABC中，AM是中線，AD是高線．
（1）若AB比AC長4cm,則△ABM的周長比△ACM的周長多_____cm.
（2）若△AMC的面積為12cm2，則△ABC的面積為_____cm2．
（3）若AD又是△AMC的角平分線，∠AMB=130°，求∠ACB的度數．（寫過程）
3.三角形角平分線的應用
6．如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，∠B=70°，∠DAE=18°，求∠C的度數．
7．如圖，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度數．
三、牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．畫△ABC的邊AB上的高，下列畫法中，正確的是（　　）
A. B.
C. D.
2．下列說法中，正確的個數是（　　）
①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足為點D，有下列說法：
①點A與點B的距離是線段AB的長；
②點A到直線CD的距離是線段AD的長；
③線段CD是△ABC邊AB上的高；
④線段CD是△BCD邊BD上的高．
上述說法中，正確的個數為（　?。?br/>A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
4．如圖，△ABC的三邊長均為整數，且周長為22，AM是邊BC上的中線，△ABM的周長比△ACM的周長大2，則BC長的可能值有（　　）個．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5．如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，FG，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是（　?。?br/>A. 線段DE B. 線段BE C. 線段EF D. 線段FG
6．如圖，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABC的高，若∠B=38°，∠C=72°，則∠DAE的度數是（　?。?br/>A. 70° B. 35° C. 18° D. 17°
7．如圖，中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，則下列說法中錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
8 .如圖，在中，，，分別是，，的中點，，則等于( )
A. B. C. D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，AD為△ABC的中線，AB=13cm,AC=10cm.若△ACD的周長28cm,則△ABD的周長為_____．
10．如圖，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點D，AB=3，AD=1.8，BD=2.4，DC=3.2，BC=4，則點A到BD的距離是_____．
11．如圖，、分別是的角平分線和高，，，則________度，_____度．
,
12.如圖，為的中線，為的中線，若的面積為20，，則中邊上的高為___________．
13 .如圖，在中是上的一點，，點是的中點，設，，的面積分別為，，，且，則（ ）
A．6.5 B．6 C．5 D．4
三、解答題（共6小題，共48分）
14 .（9分）分別在第（1）、（2）、（3）圖中，畫出 的一條中線，一條角平分線和一條高，并用文字指出你所畫的中線、角平分線和高．
15 .（9分）如圖所示方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點，點，點在小正方形的頂點上．
(1)畫出中邊上的高：
(2)畫出中邊上的中線；
(3)求的面積．
16 .（6分）如圖，，分別是的高，，，，求的長．

17 .（8分）如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度數．
18 .（8分）△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于點E．
（1）∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大?。?br/>（2）若∠B＜∠C，則2∠EAD與∠C﹣∠B是否相等？若相等，請說明理由．
19.（8分）如圖，在三角形ABC中．AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點，點E在邊AB上，三角形BDE與四邊形ACDE的周長相等．
（1）求線段AE的長；
（2）圖中共有 　_______________條線段；
（3）若圖中所有線段長度的和是53cm，求BC+DE的值．
人教版八年級數學上名師點撥精練
第11章 三角形
11.1.2 三角形的高、中線與角平分線（解析版）
學習目標
1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.
2.掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.
3.掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.
4.掌握三角形中線的性質。
老師告訴你
面積法是一種重要的常用的數學解題思想方法，它利用同一圖形面積相等、等地等高面積相等、三角形的中線分三角形為面積相等的兩部分、分割后的圖形面積之和等于原圖形面積等性質解決有關數學問題。
知識點撥
知識點1.三角形的高
從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．
三角形的高的數學語言：
如圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
三角形高線中的一些注意點：
（1）三角形的高是線段；
（2）三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三條高：
(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內部，三條高的交點也在三角形內部；
(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三條高的交點是直角的頂點.
【新知導學】
例1-1．在△ABC中，作出AC邊上的高，正確的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根據三角形的高的定義對各個圖形觀察后解答即可．
解：根據三角形高線的定義，AC邊上的高是過點B向AC作垂線垂足為D，
縱觀各圖形，D選項符合高線的定義，
故選：D．
【對應導練】
1．如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（ ）
A. 線段CD是ABC的AC邊上的高線
B. 線段CD是ABC的AB邊上的高線
C. 線段AD是ABC的BC邊上的高線
D. 線段AD是ABC的AC邊上的高線
【答案】B
【解析】根據高線的定義注意判斷即可．
∵ 線段CD是ABC的AB邊上的高線，
∴A錯誤，不符合題意；
∵ 線段CD是ABC的AB邊上的高線，
∴B正確，符合題意；
∵ 線段AD是ACD的CD邊上的高線，
∴C錯誤，不符合題意；
∵線段AD是ACD的CD邊上的高線，
∴D錯誤，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題考查了三角形高線的理解，熟練掌握三角形高線的相關知識是解題的關鍵．
2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，則圖中以AD為高的三角形有（　　）
A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個
【答案】D
【解析】根據三角形的高的概念解答即可．
解：圖中以AD為高的三角形有△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC共6個，
故選：D．
知識點2.三角形的中線
三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．
三角形的中線的數學語言：
如圖二，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.
圖一 圖二 圖三
三角形中線中的一些注意點：
（1）三角形的中線是線段；
(2)三角形三條中線全在三角形內部；
(3)三角形三條中線交于三角形內部一點，這一點叫三角形的重心；
(4)中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.
【新知導學】
例2-1．如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，FG，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是（　?。?br/>A. 線段DE B. 線段BE C. 線段EF D. 線段FG
【答案】B
【解析】根據三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線逐一判斷即可得．
解：根據三角形中線的定義知線段BE是△ABC的中線，
故選：B．
【對應導練】
1．如果用一根手指頂在一塊質地均勻的三角形薄板的（　　）處，這塊薄板就能保持平衡．
A. 三條角平分線的交點
B. 三條中線的交點
C. 三條高線所在直線的交點
D. 三邊垂直平分線的交點
【答案】B
【解析】根據題意得：支撐點應是三角形的重心．根據三角形的重心是三角形三邊中線的交點即可得出答案．
解：∵三角形的重心是三角形三邊中線的交點，
∴如果用一根手指頂在一塊質地均勻的三角形薄板的重心處，這塊薄板就能保持平衡．
故選：B．
2．如圖，△ABC的三邊長均為整數，且周長為22，AM是邊BC上的中線，△ABM的周長比△ACM的周長大2，則BC長的可能值有（　?。﹤€．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】依據△ABC的周長為22，△ABM的周長比△ACM的周長大2，可得2＜BC＜11，再根據△ABC的三邊長均為整數，即可得到BC=4，6，8，10．
解：∵△ABC的周長為22，△ABM的周長比△ACM的周長大2，
∴2＜BC＜22-BC，
解得2＜BC＜11，
又∵△ABC的三邊長均為整數，△ABM的周長比△ACM的周長大2，
∴AC=為整數，
∴BC邊長為偶數，
∴BC=4，6，8，10，
即BC的長可能值有4個，
故選：A．
3．如圖，AD是△ABC的中線，AB=4，AC=3．若△ACD的周長為8，則△ABD的周長為 _____．
【答案】9
【解析】由AD是△ABC的中線，得BD=CD，又△ACD的周長為8，AC=3，可得BD+AD=5，而AB=4，即得AB+BD+AD=9．
解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
∵△ACD的周長為8，
∴AC+CD+AD=8，
∵AC=3，
∴BD+AD=5，
∵AB=4，
∴AB+BD+AD=9．
故答案為：9．
4．如圖所示方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點A，點B，點C在小正方形的頂點上．
（1）畫出△ABC中邊BC上的高AD；
（2）畫出△ABC中邊AC上的中線BE；
（3）直接寫出△ABE的面積為 _____．
【答案】4
【解析】（1）根據三角形高線的定義畫出圖形即可；
（2）根據三角形中線的定義畫出圖形即可；
（3）根據三角形的面積公式計算即可．
解：（1）如圖所示，線段AD即為所求；
（2）如圖所示，線段BE即為所求；
（3）S△ABC=BC AD=4×4=8．
∴△ABE的面積=S△ABC=4，
故答案為：4．
知識點3.三角形的角平分線
三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.
三角形的角平分線的數學語言：
如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
三角形角平分線中的一些注意點：
（1）三角形的角平分線是線段；
（2）一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內部；
（3）三角形三條角平分線交于三角形內部一點，這一點叫做三角形的內心；
（4）可以用量角器或圓規畫三角形的角平分線.
【新知導學】
例3-1．如圖，中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，則下列說法中錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由中線的性質可得，，由角平分線的定義可得；由AF是的高，可得．
解：是中線，
，，故A、D說法正確；
是角平分線，
，
，故C說法錯誤；
是的高，
，
，故B說法正確；
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的面積，三角形的角平分線，中線和高，明確概念是本題的關鍵．
【對應導練】
1．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（　?。?br/>①△ABE的面積=△BCE的面積；
②∠AFG=∠AGF；
③∠FAG=2∠ACF；
④AF=FB．
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ③④
【答案】C
【解析】根據三角形中線的性質可證明①；根據三角形的高線可得∠ABC=∠CAD，利用三角形外角的性質結合角平分線的定義可求解∠AFC=∠AGF，可判定②；根據角平分線的定義可求解③；根據已知條件無法判定④．
解：∵BE是△ABC的中線，
∴AE=CE，
∴△ABE的面積等于△BCE的面積，故①正確；
∵AD是△ABC的高線，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵CF為△ABC的角平分線，
∴∠ACF=∠BCF=∠ACB，
∵∠AFC=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC=∠AGF=∠AFG，
故②正確；
∵∠BAD+∠CAD=∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠BAD=2∠ACF，
即∠FAG=2∠ACF，故③正確；
根據已知條件無法證明AF=FB，故④錯誤，
故選：C．
2．如圖，、分別是的角平分線和高，，，則________度，_____度．
【答案】 ①. ②.
【解析】根據三角形內角和定理求得，根據三角形外角的性質得出，根據三角形高，以及三角形內角和定理即可得．
解：由題意可知，，，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∵是的邊上的高，
∴，
∵,
∴,
故答案為：
【點睛】本題考查了三角形角平分線，高的定義，三角形內角和定理，三角形的外角的性質，三角形的高相關計算，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．
3．如圖，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度數．
【解析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和知，∠BAC=∠ACD-∠B，∠AEC=∠B+∠BAE，而AE平分∠BAC，故可求得∠AEC的度數．
解：∵∠B=26°，∠ACD=56°
∴∠BAC=30°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=15°
∴∠AED=∠B+∠BAE=41°．
題型訓練
1.三角形的中線在求線段長度中的應用
1.在△ABC中，AB＝BC，中線AD將這個三角形的周長分成15和12兩部分，則AC的長為（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
【答案】C
【分析】設AB＝BC＝2x，AC＝y，則BD＝CD＝x，根據周長分成兩部分可得分兩種情況討論即可，注意三角形三邊關系的應用．
解：設AB＝BC＝2x，AC＝y，
∵AD為BC邊上的中線，
∴則BD＝CD＝x，
∵中線AD將這個三角形的周長分成15和12兩部分，
∴當AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12時，
則2x＋x＝15，且y＋x＝12，
由2x＋x＝15解得：x＝5，
∴y＋5＝12，
解得：y＝7，
∴三邊長分別為10，10，7（符合題意），
∴AC＝7；
當AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15時，
則2x＋x＝12，且y＋x＝15，
由2x＋x＝12解得：x＝4，
∴y＋4＝15，
解得：y＝11，
∴三邊長分別為8，8，11（符合題意），
∴AC＝11，
綜上所述：AC的長為7或11，
故選：C．
【點撥】本題考查了三角形的中線以及三角形三邊關系，注意要分兩種情況討論是正確解答本題的關鍵．
2.三角形的高、中線在計算中的應用
2．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD為中線，求△ABD與△ACD的周長之差（　?。?br/>A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】根據題意，AD是△ABC的邊BC上的中線，可得BD=CD，進而得出△ABD的周長=AB+BD+AD，△ACD的周長=AC+CD+AD，相減即可得到周長差．
解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
∴△ABD與△ACD的周長之差為：
（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）
=AB+BD+AD-AC-CD-AD
=AB-AC
=5-3
=2．
故選：B．
3．如圖，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC邊上的中線．若△ABD的周長為35，則△BCD的周長是（　?。?br/>A. 20 B. 24 C. 26 D. 29
【答案】D
【解析】根據三角形中線的定義可得AD=CD，由△ABD的周長為35，AB=15，求出AD+BD=20，進而得出△BCD的周長．
解：∵BD是AC邊上的中線，
∴AD=CD，
∵△ABD的周長為35，AB=15，
∴AD+BD=35-AB=35-15=20，
∴CD+BD=AD+BD=20，
∵BC=9，
∴△BCD的周長=BC+CD+BD=9+20=29．
故選：D．
4．如圖，、分別是的角平分線和高，，，則________度，_____度．
【答案】 ①. ②.
【解析】根據三角形內角和定理求得，根據三角形外角的性質得出，根據三角形高，以及三角形內角和定理即可得．
解：由題意可知，，，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∵是的邊上的高，
∴，
∵,
∴,
故答案為：
【點睛】本題考查了三角形角平分線，高的定義，三角形內角和定理，三角形的外角的性質，三角形的高相關計算，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．
5．如圖，在△ABC中，AM是中線，AD是高線．
（1）若AB比AC長4cm,則△ABM的周長比△ACM的周長多_____cm.
（2）若△AMC的面積為12cm2，則△ABC的面積為_____cm2．
（3）若AD又是△AMC的角平分線，∠AMB=130°，求∠ACB的度數．（寫過程）
【答案】(1)4;(2)24;
【解析】（1）△ABM的周長與△ACM的周長的差，實際為AB與AC的差；
（2）因為BC=2CM，所以△ABC的面積是△AMC的面積的2倍；
（3）由∠AMB=130°，易得∠AMD=50°，又AD既是高，又是角平分線，易得△ADM≌△ADC，即可證得∠AMC=∠ACB=50°．
（1）解：∵△ABM的周長=AB+BM+AM，△ACM的周長=AC+CM+AM，BM=CM，
∴△ABM的周長-△ACM的周長=AB-AC=4cm.
故答案為：4；
（2）解∵S△ABC=BC AD，S△AMC=CM AD，BC=2CM，
∴S△ABC=2S△AMC=2×12=24cm2．
故答案為：24；
（3）證明：∵AD是高線，
∴∠ADM=∠ADC，
∵AD又是△AMC的角平分線，
∴∠MAD=∠CAD，
在△ADM和△ADC中
∴△ADM≌△ADC （SAS），
∴∠AMD=∠ACD，
∵∠AMB=130°，
∴∠AMD=50°，
∴∠ACB=50°．
3.三角形角平分線的應用
6．如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，∠B=70°，∠DAE=18°，求∠C的度數．
【解析】根據三角形的內角和得出∠BAD=20°，再利用角平分線得出∠BAC=76°，利用三角形內角和解答即可．
解：∵AD是高，∠B=70°，
∴∠BAD=20°，
∴∠BAE=20°+18°=38°，
∵AE是角平分線，
∴∠BAC=76°，
∴∠C=180°-70°-76°=34°．
7．如圖，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度數．
【解析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和知，∠BAC=∠ACD-∠B，∠AEC=∠B+∠BAE，而AE平分∠BAC，故可求得∠AEC的度數．
解：∵∠B=26°，∠ACD=56°
∴∠BAC=30°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=15°
∴∠AED=∠B+∠BAE=41°．
三、牛刀小試
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．畫△ABC的邊AB上的高，下列畫法中，正確的是（　?。?br/>A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】三角形的高即從三角形的頂點向對邊引垂線，頂點和垂足間的線段．根據概念可知．
解：過點C作邊AB的垂線段，即畫AB邊上的高CD，所以畫法正確的是D．
故選：D．
2．下列說法中，正確的個數是（　?。?br/>①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】根據三角形的三條中線都在三角形內部；
三角形的三條角平分線都在三角形內部；
三角形三條高可以在內部，也可以在外部，直角三角形有兩條高在邊上．
解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故正確；
②鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故錯誤；
③直角三角形有兩條直角邊和直角到對邊的垂線段共三條高，故錯誤；
④三角形的三條角平分線、三條中線分別交于一點是正確的，三條高線所在的直線一定交于一點，高線指的是線段，故錯誤．
所以正確的有1個．
故選：A．
3．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足為點D，有下列說法：
①點A與點B的距離是線段AB的長；
②點A到直線CD的距離是線段AD的長；
③線段CD是△ABC邊AB上的高；
④線段CD是△BCD邊BD上的高．
上述說法中，正確的個數為（　　）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】D
【解析】根據三角形的高的定義即可判斷②③④，根據兩點間的距離定義即可判斷①．
解：①、根據兩點間的距離的定義得出：點A與點B的距離是線段AB的長，∴①正確；
②、點A到直線CD的距離是線段AD的長，∴②正確；
③、根據三角形的高的定義，△ABC邊AB上的高是線段CD，∴③正確；
④、根據三角形的高的定義，△DBC邊BD上的高是線段CD，∴④正確．
綜上所述，正確的是①②③④共4個．
故選：D．
4．如圖，△ABC的三邊長均為整數，且周長為22，AM是邊BC上的中線，△ABM的周長比△ACM的周長大2，則BC長的可能值有（　?。﹤€．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】依據△ABC的周長為22，△ABM的周長比△ACM的周長大2，可得2＜BC＜11，再根據△ABC的三邊長均為整數，即可得到BC=4，6，8，10．
解：∵△ABC的周長為22，△ABM的周長比△ACM的周長大2，
∴2＜BC＜22-BC，
解得2＜BC＜11，
又∵△ABC的三邊長均為整數，△ABM的周長比△ACM的周長大2，
∴AC=為整數，
∴BC邊長為偶數，
∴BC=4，6，8，10，
即BC的長可能值有4個，
故選：A．
5．如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，FG，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是（　?。?br/>A. 線段DE B. 線段BE C. 線段EF D. 線段FG
【答案】B
【解析】根據三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線逐一判斷即可得．
解：根據三角形中線的定義知線段BE是△ABC的中線，
故選：B．
6．如圖，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABC的高，若∠B=38°，∠C=72°，則∠DAE的度數是（　　）
A. 70° B. 35° C. 18° D. 17°
【答案】D
【解析】由∠B+∠C+∠BAC=180，得∠BAC=180°-∠B-∠C=70°．由AD平分∠BAC，得∠BAD==35°，故∠ADE=∠B+∠BAD=73°．由AE是△ABC的高，得∠AEC=90°．由∠AEC=∠ADE+∠DAE，得∠DAE=∠AEC-∠ADE=17°．
解：∵∠B+∠C+∠BAC=180，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-38°-72°=70°．
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD==35°．
∴∠ADE=∠B+∠BAD=38°+35°=73°．
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°．
又∵∠AEC=∠ADE+∠DAE，
∴∠DAE=∠AEC-∠ADE=90°-73°=17°．
故選：D．
7．如圖，中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，則下列說法中錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由中線的性質可得，，由角平分線的定義可得；由AF是的高，可得．
解：是中線，
，，故A、D說法正確；
是角平分線，
，
，故C說法錯誤；
是的高，
，
，故B說法正確；
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的面積，三角形的角平分線，中線和高，明確概念是本題的關鍵．
8 .如圖，在中，，，分別是，，的中點，，則等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本題考查三角形的中線，以及三角形的面積，根據三角形中線的概念和三角形面積公式得出各個三角形之間的關系是解題關鍵根據三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分分析即可．
【解答】
解：是的中點，，
，
是的中點，
，，
，
是的中點，
．
故選B．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，AD為△ABC的中線，AB=13cm,AC=10cm.若△ACD的周長28cm,則△ABD的周長為_____．
【答案】31cm
【解析】根據三角形的中線的概念得到BD=DC，根據三角形的周長公式計算，得到答案．
解：∵AD為△ABC的中線，
∴BD=DC，
∵△ACD的周長28cm,
∴AC+AD+CD=28（cm），
∵AC=10cm,
∴AD+CD=18（cm），即AD+BD=18（cm），
∵AB=13cm,
∴△ABD的周長=AB+AD+BD=31（cm），
故答案為：31cm.
10．如圖，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點D，AB=3，AD=1.8，BD=2.4，DC=3.2，BC=4，則點A到BD的距離是_____．
【答案】1.8
【解析】根據點到直線的距離的概念解答即可．
解：∵BD⊥AC，AD=1.8，
∴點A到BD的距離為1.8，
故答案為：1.8．
11．如圖，、分別是的角平分線和高，，，則________度，_____度．
【答案】 ①. ②.
【解析】根據三角形內角和定理求得，根據三角形外角的性質得出，根據三角形高，以及三角形內角和定理即可得．
解：由題意可知，，，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∵是的邊上的高，
∴，
∵,
∴,
故答案為：
【點睛】本題考查了三角形角平分線，高的定義，三角形內角和定理，三角形的外角的性質，三角形的高相關計算，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．
12.如圖，為的中線，為的中線，若的面積為20，，則中邊上的高為___________．
【答案】4
【分析】根據中線的性質可得，則，設中邊上的高為h，再根據三角形的面積公式求解即可．
解：∵為的中線，，
∴，
∵為的中線，
∴，
設中邊上的高為h，
∵，
∴，
解得：，
故答案為：4．
【點撥】本題主要考查了三角形中線的性質，解題的關鍵是掌握三角形的中線將三角形的面積分為相等的兩部分．
13 .如圖，在中是上的一點，，點是的中點，設，，的面積分別為，，，且，則（ ）
A．6.5 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】題目主要考查求解三角形面積；結合圖形，利用高相同，底的比即為面積比計算是解題關鍵．利用三角形面積公式，等高的三角形的面積比等于底邊的比，點D是的中點則
，則，然后利用
即可得到答案．
【詳解】解：∵點D是的中點，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
；
故選：D．
三、解答題（共6小題，共48分）
14 .（9分）分別在第（1）、（2）、（3）圖中，畫出 的一條中線，一條角平分線和一條高，并用文字指出你所畫的中線、角平分線和高．
【答案】見詳解
【分析】本題主要考查了三角形的中線，角平分線，高的一些基本畫圖方法．根據題意畫出三線即可
【詳解】如圖為中線， 為角平分線，為高
15 .（9分）如圖所示方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點，點，點在小正方形的頂點上．
(1)畫出中邊上的高：
(2)畫出中邊上的中線；
(3)求的面積．
【答案】(1)畫圖見解析
(2)畫圖見解析
(3)
【分析】本題主要考查了三角形高，中線的作法，以及三角形面積求法，掌握概念是解本題的關鍵．
（1）延長，過A作與D，即可得到答案．
（2）結合網格信息，根據中線的定義可得E點，連接即可得到答案．
（3）根據三角形面積公式的求法，結合網格信息，即可得到答案．
【詳解】（1）解：如下圖，即為所求：
（2）如下圖，即為所求
（3），
∴．
16 .（6分）如圖，，分別是的高，，，，求的長．

【答案】．
【分析】根據三角形的面積公式即可求得．
解：，分別是的高，
∴，
∴，
，，，
∴，
∴．
【點撥】本題考查了三角形的面積公式的應用；三角形的面積底高．
17 .（8分）如圖，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度數．
解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分線，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
18 .（8分）△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于點E．
（1）∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小．
（2）若∠B＜∠C，則2∠EAD與∠C﹣∠B是否相等？若相等，請說明理由．
解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°
∵AE是角平分線，
∴∠EAC＝∠BAC＝40°
∵AD是高，∠C＝70°
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣20°＝20°；
（2）由（1）知，∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）①
把∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得
∠EAD＝∠C﹣∠B，
∴2∠EAD＝∠C﹣∠B．
19.（8分）如圖，在三角形ABC中．AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點，點E在邊AB上，三角形BDE與四邊形ACDE的周長相等．
（1）求線段AE的長；
（2）圖中共有 　_______________條線段；
（3）若圖中所有線段長度的和是53cm，求BC+DE的值．
解：（1）∵D是BC的中點，
∴BD＝CD，
∵△BDE與四邊形ACDE的周長相等，
∴BE+BD+DE＝AE+AC+CD+DE，
∴BE＝AE+AC，
∵AB＝10m，AC＝6cm，
∴BE＝8cm，
∴AE＝AB﹣BE＝2cm；
（2）圖中線段有：BE、BA、EA、BD、BC、DC、DE、AC共8條，
故答案為：8；
（3）∵圖中所有線段長度的和是53cm，
∴BE+BA+EA+BD+BC+DC+DE+AC＝2BA+2BC+DE+AC＝53cm，
∴2BC+DE＝27cm，
∴BC+DE＝cm．
A
B
D
C
A
B
D
C
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