資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上名師點撥精練
第11章 三角形
專題一、階段題型專訓
三角形三邊關系八種常見應用
老師告訴你
三角形三邊關系應用廣泛，利用三角形三邊關系可以判斷三條線段能否組成三角形、已知兩邊求第三邊的取值范圍、求等腰三角形一邊的長、求等腰三角形的周長、證明線段不等關系、化簡含絕對值的式子等。
類型一、利用三角形三邊關系判定三條線段能否組成三角形
例1-1．下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（　　）
A. 1cm,2cm,3cm B. 3cm,8cm,5cm C. 4cm,5cm,10cm D. 4cm,5cm,6cm
針對訓練1
1．若從長度分別為2 cm、3 cm、4 cm、6 cm的四根木棒中，任意選取三根首尾順次相連搭成三角形，則搭成的不同三角形共有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
2．平面內，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
3．下列語句中，能作為“三角形兩邊之和大于第三邊”依據的是（　　）
A. 三角形具有穩定性 B. 兩點之間，線段最短
C. 垂線段最短 D. 三角形內角和為180°
4．已知三角形的兩邊長是4和6，第三邊的長是方程（x-3）2=4的根，則此三角形的周長為（　　）
A. 17 B. 11 C. 15 D. 11或15
5．下列每組數分別是三根小木棒的長度，不能用它們搭成三角形的是（　　）
A. 1cm,2cm,3cm B. 2cm,3cm,4cm C. 3cm,4cm,5cm D. 5cm,6cm,7cm
類型二、利用三角形三邊關系已知兩邊求第三邊的取值范圍
例2-1．若某三角形的三邊長分別為3，4，m,則m的值可以是（　　）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
針對訓練2
1．已知三角形的三邊長分別為4，5，x,則x不可能是（　　）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
2．已知a,b,c是△ABC的三邊長，滿足|a-7|+（b-2）2=0，c為奇數，則△ABC的周長為 _____．
3．一個三角形的兩邊長為2和6，第三邊為偶數，則這個三角形的周長為_______
4．已知三角形的三邊長分別為5、a、10，則a的取值范圍是 _____；如果這個三角形中有兩條邊相等，那么它的周長為 _____．
類型三、利用三角形三邊關系求等腰三角形周長
例3-1．已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（ ）
A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 13或10
針對訓練3
1 .等腰三角形的一條邊長為2cm,另一條邊長為5cm,則它的周長是__________cm.
若等腰三角形的一邊等于5,邊等于12,則它的周長是( )
A.22 B.29 C.22或29 D.17
3．已知等腰三角形的兩邊長是4和8，則這個三角形的周長是 _____．
4．若等腰三角形的兩條邊a，b滿足，則等腰三角形的周長為______．
類型四、利用三角形三邊關系求等腰三角形一邊的長
例4-1．等腰三角形的周長為20cm,一邊為8cm,則腰長為（　　）
A. 4cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 6cm或8cm
針對訓練4
1．等腰三角形的周長為20cm,一邊長為6cm,則底邊長為_____cm.
一個等腰三角形的兩邊長分別為3cm,6cm,則它的腰長是( )
A.3cm B.6cm C.3cm或6cm D.5cm
類型五、利用三角形三邊關系判定三角形的形狀
例5-1．已知a,b,c是△ABC的三邊長，滿足|a-7|+（b-2）2=0，c為奇數，判斷三角形的形狀，并求出△ABC的周長．
針對訓練5
1．一個三角形的兩邊長為2和6，第三邊為偶數，判斷三角形的形狀，并求出這個三角形的周長。
2．已知a,b,c是△ABC的三邊長，a,b滿足|a-7|+（b-1）2=0，c為奇數，判斷三角形的形狀．
3．已知a,b是等腰三角形ABC的兩邊長，且a、b滿足a2+b2+29=10a+4b,|c|=5判斷這個等腰三角形的形狀．
類型六、利用三角形三邊關系結合中線求等腰三角形三邊
例6-1．等腰三角形一腰上的中線把它的周長分為21cm和15cm的兩部分，這個等腰三角形的腰長為 _____．
針對訓練6
1.在△ABC中，AB＝BC，中線AD將這個三角形的周長分成15和12兩部分，則AC的長為（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
2．在等腰三角形ABC中，，一腰上的中線BD將這個三角形的周長分成15cm和6cm兩部分，這個等腰三角形的三邊長為__________
類型七、利用三角形三邊關系證明線段的不等關系
例7-1．如圖，D為的邊BC上一點，試判斷與的周長之間的大小關系，并加以證明.
針對訓練7
1．如圖所示，由三角形兩邊的和大于第三邊，可得到的結論是（　　）
A. AB+AD＞BC B. PD+CD＞BP C. AB+AC＞BC D. BP+CP＞AC
2．如圖，點P是內部的一點.
（1）通過度量線段AB，AC，PB，PC的長度，比較與的大小.
（2）改變點P的位置，上述結論還成立嗎？
（3）你能說明上述結論為什么正確嗎？
3．如圖,已知為內兩點.求證：.
類型八、利用三角形三邊關系化簡含絕對值的式子
例8-1．已知一個三角形三邊長為a、b、c,則|a-b-c|-|a+b-c|=（　　）
A. -2a+2c B. -2b+2c C. 2a D. -2c
針對訓練8
1．已知a,b,c是△ABC的三條邊長，化簡|a+b-c|+|c-a-b|的結果為_____．
2．已知三角形的三邊長分別為a,b,c,化簡：|a+b-c|-2|a-b-c|+|a+b+c|．
3．已知a,b,c是三角形的三邊長．
（1）化簡：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；
（2）若a=10，b=8，c=6，求（1）中式子的值．
鞏固練習
1．某等腰三角形的三邊長分別為x，3，，則該三角形的周長為( )
A.11 B.11或8 C.11或8或5 D.與x的取值有關
3．等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊長為( )
A.7cm B.3cm C.9cm D.5cm
4．已知a、b、c是的三條邊長，化簡的結果為( )
A. B. C. D.0
5．三角形的兩邊長分別是10和8，則第三邊的x取值范圍是_____.
6．已知a，b，c是的三邊長，b，c滿足，且a為方程的解，則的周長為___________.
7．若等腰三角形的兩邊長分別為6cm和8cm，則它的周長是________.
8．已知等腰三角形的周長為20，其中一邊的長為6，則底邊的長為_________.
9．如圖，由三角形兩邊的和大于第三邊，得
___________，①
___________.②
將不等式①，②的左邊、右邊分別相加，得_________，③
不等式③兩邊都減PD，得.
10．已知的三邊長分別為a，b，c.
（1）若a，b，c滿足，試判斷的形狀；
（2）若，，且c為整數，求的周長的最大值及最小值.
11．等腰三角形一腰上的中線把該三角形的周長分為13.5 cm和11.5 cm兩部分，求這個等腰三角形各邊的長.
12．已知的三邊長分別為a,b,c,化簡.
13．等腰三角形的三邊長分別為，，7，求等腰三角形的周長.
14．如圖，四邊形ABCD，試說明.
人教版八年級數學上名師點撥精練
第11章 三角形
專題一、階段題型專訓
三角形三邊關系八種常見應用（解析版）
老師告訴你
三角形三邊關系應用廣泛，利用三角形三邊關系可以判斷三條線段能否組成三角形、已知兩邊求第三邊的取值范圍、求等腰三角形一邊的長、求等腰三角形的周長、證明線段不等關系、化簡含絕對值的式子等。
類型一、利用三角形三邊關系判定三條線段能否組成三角形
例1-1．下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（　　）
A. 1cm,2cm,3cm B. 3cm,8cm,5cm C. 4cm,5cm,10cm D. 4cm,5cm,6cm
【答案】D
【解析】根據兩邊之和大于第三邊判斷即可．
解：A、∵1+2=3，
∴長度為1cm,2cm,3cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；
B、∵3+5=8，
∴長度為3cm,8cm,5cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；
C、∵4+5＜10，
∴長度為4cm,5cm,10cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；
D、∵4+5＞6，
∴長度為4cm,5cm,6cm的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；
故選：D．
針對訓練1
1．若從長度分別為2 cm、3 cm、4 cm、6 cm的四根木棒中，任意選取三根首尾順次相連搭成三角形，則搭成的不同三角形共有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】B
【解析】根據“在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”組合三角形．
三角形三邊可以為：①2cm、3cm、4cm；②3cm、4cm、6cm．
所以，可以圍成的三角形共有2個．
故選B．
【點睛】本題考查了三角形的三邊關系．已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
2．平面內，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】如圖（見解析），設這個凸五邊形為，連接，并設，先在和中，根據三角形的三邊關系定理可得，，從而可得，，再在中，根據三角形的三邊關系定理可得，從而可得，由此即可得出答案．
解：如圖，設這個凸五邊形為，連接，并設，
在中，，即，
在中，，即，
所以，，
在中，，
所以，
觀察四個選項可知，只有選項C符合，
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的三邊關系定理，通過作輔助線，構造三個三角形是解題關鍵．
3．下列語句中，能作為“三角形兩邊之和大于第三邊”依據的是（　　）
A. 三角形具有穩定性 B. 兩點之間，線段最短
C. 垂線段最短 D. 三角形內角和為180°
【答案】B
【解析】根據三角形兩邊之和大于第三邊的推導過程三角形兩邊之和大于第三邊的推導過程解決此題．
解：三角形兩邊之和大于第三邊這一定理是根據“兩點之間，線段最短”推導出來的．
故選：B．
4．已知三角形的兩邊長是4和6，第三邊的長是方程（x-3）2=4的根，則此三角形的周長為（　　）
A. 17 B. 11 C. 15 D. 11或15
【答案】C
【解析】求出方程的解得到原方程的解，即可能為三角形的第三邊，然后利用三角形的兩邊之和大于第三邊判斷能否構成三角形，選擇滿足題意的第三邊，即可求出三角形的周長．
解：（x-3）2=4，
x-3=±2，
解得x1=5，x2=1．
若x=5，則三角形的三邊分別為4，5，6，其周長為4+5+6=15；
若x=1時，6-4=2，不能構成三角形，
則此三角形的周長是15．
故選：C．
5．下列每組數分別是三根小木棒的長度，不能用它們搭成三角形的是（　　）
A. 1cm,2cm,3cm B. 2cm,3cm,4cm C. 3cm,4cm,5cm D. 5cm,6cm,7cm
【答案】A
【解析】用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊進行判斷．
解：∵三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊，
∴組成三角形的線段需滿足兩條線段的和大于第三條線段，
A、1cm+2cm=3cm,不能搭成三角形，故A符合題意，
B、2cm+3cm＞4cm,3cm-2cm＜4cm,能搭成三角形，故B不符合題意，
C、3cm+4cm＞5cm,4cm-3cm＜5cm,能搭成三角形，故C不符合題意，
D、5cm+6cm＞7cm,6cm-5cm＜7cm,能搭成三角形，故C不符合題意，
故選：A．
類型二、利用三角形三邊關系已知兩邊求第三邊的取值范圍
例2-1．若某三角形的三邊長分別為3，4，m,則m的值可以是（　　）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】根據三角形的三邊關系定理得出4-3＜m＜4+3，求出即可．
解：根據三角形的三邊關系定理得：4-3＜m＜4+3，
解得：1＜m＜7，
即符合的只有5，
故選：B．
針對訓練2
1．已知三角形的三邊長分別為4，5，x,則x不可能是（　　）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】D
【解析】已知兩邊時，第三邊的范圍是大于兩邊的差，小于兩邊的和．這樣就可以確定x的范圍，也就可以求出x的不可能取得的值．
解：5-4＜x＜5+4，即1＜x＜9，則x的不可能的值是9，
故選：D．
2．已知a,b,c是△ABC的三邊長，滿足|a-7|+（b-2）2=0，c為奇數，則△ABC的周長為 _____．
【答案】16
【解析】根據在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊；可求第三邊長的范圍，再根據奇數的定義得出答案．
解：∵|a-7|+（b-2）2=0，
∴a-7=0，b-2=0，
解得：a=7，b=2，
由三角形三邊關系定理得：7-2＜c＜7+2，即5＜c＜9，
又∵c為奇數，
∴c=7，
∴△ABC的周長為7+2+7=16．
故答案為：16．
3．一個三角形的兩邊長為2和6，第三邊為偶數，則這個三角形的周長為_______
【答案】14
【解析】根據在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．
解：第三邊的取值范圍是大于4且小于8，又第三邊是偶數，
故第三邊是6．
∴該三角形的周長是：2+6+6=14．
故答案為：14．
【點睛】首先根據三角形的三邊關系確定第三邊的取值范圍，再根據第三邊是偶數確定第三邊的長．
4．已知三角形的三邊長分別為5、a、10，則a的取值范圍是 _____；如果這個三角形中有兩條邊相等，那么它的周長為 _____．
【答案】(1)5＜a＜15;(2)25;
【解析】根據三角形的三邊關系可得8-4＜a＜8+4，再解即可得到a的取值范圍；根據三角形的三邊關系結合已知條件可得a=8，然后求周長即可．
解：根據三角形的三邊關系可得：
10-5＜a＜10+5，
即5＜a＜15，
∵這個三角形中有兩條邊相等，
∴a=10或a=5（不符合三角形的三邊關系，不合題意，舍去）
∴周長為5+10+10=25，
故答案為：5＜a＜15；25．
類型三、利用三角形三邊關系求等腰三角形周長
例3-1．已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（ ）
A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 13或10
【答案】B
【解析】等腰三角形兩邊的長為3和7，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．
解：①當腰是3，底邊是7時，3+3<7不滿足三角形的三邊關系，因此舍去．
②當底邊是3，腰長是7時，7+7>3能構成三角形，則其周長=3+7+7=17．
故選：B．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，解題時注意：若沒有明確腰和底邊，則一定要分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形，這是解題的關鍵．
針對訓練3
1 .等腰三角形的一條邊長為2cm,另一條邊長為5cm,則它的周長是__________cm.
答案：12
解析：①當2cm為底時, 其它兩邊都為5cm,2cm,5cm,5cm可以構成三角形,
周長為12cm;
②當2cm為腰時,
其它兩邊為2cm和5cm,
不能構成三角形,故舍去,
故答案為:12.
若等腰三角形的一邊等于5,邊等于12,則它的周長是( )
A.22 B.29 C.22或29 D.17
答案：B
解析:若5為底邊長,12為腰長,
,
能組成三角形,此時它的周長是:;
若12為底邊長,5為腰長,
,
不能組成三角形,故舍去.
它的周長是29.
故選:B.
3．已知等腰三角形的兩邊長是4和8，則這個三角形的周長是 _____．
【答案】20
【解析】分兩種情況：當等腰三角形的腰長為4，底邊長為8時；當等腰三角形的腰長為8，底邊長為4時；然后分別進行計算即可解答．
解：分兩種情況：
當等腰三角形的腰長為4，底邊長為8時，
∵4+4=8，
∴不能組成三角形；
當等腰三角形的腰長為8，底邊長為4時，
∴等腰三角形的周長=8+8+4=20；
綜上所述：這個三角形的周長是20，
故答案為：20．
4．若等腰三角形的兩條邊a，b滿足，則等腰三角形的周長為______．
【答案】4+或2+
【解析】根據二次根式有意義，可得a=2，代入求得b=，利用三邊關系求周長即可.
解：由題意，得3a-6≥0,2-a≥0
∴a=2
將a=2代入，得b=
當腰為2時，符合三角形三邊關系，周長為4+
當腰為時，符合三角形三邊關系，周長為2+
故答案為：4+或2+
【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，以及三角形三邊關系求周長的問題，利用二次根式有意義的條件得出a值是解題關鍵.
類型四、利用三角形三邊關系求等腰三角形一邊的長
例4-1．等腰三角形的周長為20cm,一邊為8cm,則腰長為（　　）
A. 4cm B. 8cm C. 4cm或8cm D. 6cm或8cm
【答案】D
【解析】分8cm是等腰三角形的腰長與底邊長兩種情況進行討論．
解：∵等腰三角形的周長為20cm,
∴當8cm是腰長時，底邊=20-8-8=4cm；
∴當8cm是底邊長時，腰長==6cm,
∴腰長為8cm或6cm,
故選：D．
針對訓練4
1．等腰三角形的周長為20cm,一邊長為6cm,則底邊長為_____cm.
【答案】6或8
【解析】分6cm是底邊與腰長兩種情況討論求解．
解：①6cm是底邊時，腰長=（20-6）=7cm,
此時三角形的三邊分別為7cm、7cm、6cm,
能組成三角形，
②6cm是腰長時，底邊=20-6×2=8cm,
此時三角形的三邊分別為6cm、6cm、8cm,
能組成三角形，
綜上所述，底邊長為6或8cm.
故答案為：6或8．
一個等腰三角形的兩邊長分別為3cm,6cm,則它的腰長是( )
A.3cm B.6cm C.3cm或6cm D.5cm
答案：B
解析:分兩種情況考慮:
若3cm為等腰三角形的腰長,則三邊分別為3cm,3cm,6cm,,不符合題意,舍去;
若6cm為等腰三角形的腰長,則三邊分別為6cm,6cm,3cm,符合題意,
則它的腰長是6cm.
故選:B.
類型五、利用三角形三邊關系判定三角形的形狀
例5-1．已知a,b,c是△ABC的三邊長，滿足|a-7|+（b-2）2=0，c為奇數，判斷三角形的形狀，并求出△ABC的周長．
【答案】 等腰三角形，16
【解析】根據在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊；可求第三邊長的范圍，再根據奇數的定義得出答案．
解：∵|a-7|+（b-2）2=0，
∴a-7=0，b-2=0，
解得：a=7，b=2，
由三角形三邊關系定理得：7-2＜c＜7+2，即5＜c＜9，
又∵c為奇數，
∴c=7，
所以△ABC是等腰三角形
∴△ABC的周長為7+2+7=16．
故答案為：等腰三角形，16．
針對訓練5
1．一個三角形的兩邊長為2和6，第三邊為偶數，判斷三角形的形狀，并求出這個三角形的周長。
【答案】 等腰三角形 14
【解析】根據在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．
解：第三邊的取值范圍是大于4且小于8，又第三邊是偶數，
故第三邊是6．
所以該三角形是等腰三角形
∴該三角形的周長是：2+6+6=14．
故答案為：等腰三角形 14．
【點睛】首先根據三角形的三邊關系確定第三邊的取值范圍，再根據第三邊是偶數確定第三邊的長．
2．已知a,b,c是△ABC的三邊長，a,b滿足|a-7|+（b-1）2=0，c為奇數，判斷三角形的形狀．
【答案】等腰三角形
【解析】根據非負數的性質列式求出a、b的值，再根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出c的取值范圍，再根據c是奇數求出c的值．
解：∵a,b滿足|a-7|+（b-1）2=0，
∴a-7=0，b-1=0，
解得a=7，b=1，
∵7-1=6，7+1=8，
∴6＜c＜8，
又∵c為奇數，
∴c=7，
所以三角形是等腰三角形
3．已知a,b是等腰三角形ABC的兩邊長，且a、b滿足a2+b2+29=10a+4b,|c|=5判斷這個等腰三角形的形狀．
【答案】等腰三角形
【解析】利用配方法分別求出a、b,根據三角形三邊關系判斷
解：a2+b2+29=10a+4b,
a2-10a+25+b2-4b+4=0，
（a-5）2+（b-2）2=0，
a-5=0，b-2=0，
解得，a=5，b=2，
|c|=5
C=5
∴這個三角形是等腰三角形
類型六、利用三角形三邊關系結合中線求等腰三角形三邊
例6-1．等腰三角形一腰上的中線把它的周長分為21cm和15cm的兩部分，這個等腰三角形的腰長為 _____．
【答案】14cm或10cm
【解析】根據題意可知腰與底的差為6，結合等腰三角形的周長為36，可求得腰長．
解：設腰長為x cm,底為y cm,
根據題意可知x-y=21-15=6（cm）或y-x=6（cm），
且x+x+y=36，
當x-y=6時，可解得x=14，此時三角形的三邊為14、14、8，滿足三角形的三邊關系；
當y-x=6時，可解得x=10，此時三角形的三邊為10、10、16，滿足三角形的三邊關系；
綜上可知，三角形的腰長為14cm或10cm.
故答案為：14cm或10cm.
針對訓練6
1.在△ABC中，AB＝BC，中線AD將這個三角形的周長分成15和12兩部分，則AC的長為（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
【答案】C
【分析】設AB＝BC＝2x，AC＝y，則BD＝CD＝x，根據周長分成兩部分可得分兩種情況討論即可，注意三角形三邊關系的應用．
解：設AB＝BC＝2x，AC＝y，
∵AD為BC邊上的中線，
∴則BD＝CD＝x，
∵中線AD將這個三角形的周長分成15和12兩部分，
∴當AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12時，
則2x＋x＝15，且y＋x＝12，
由2x＋x＝15解得：x＝5，
∴y＋5＝12，
解得：y＝7，
∴三邊長分別為10，10，7（符合題意），
∴AC＝7；
當AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15時，
則2x＋x＝12，且y＋x＝15，
由2x＋x＝12解得：x＝4，
∴y＋4＝15，
解得：y＝11，
∴三邊長分別為8，8，11（符合題意），
∴AC＝11，
綜上所述：AC的長為7或11，
故選：C．
【點撥】本題考查了三角形的中線以及三角形三邊關系，注意要分兩種情況討論是正確解答本題的關鍵．
2．在等腰三角形ABC中，，一腰上的中線BD將這個三角形的周長分成15cm和6cm兩部分，這個等腰三角形的三邊長為__________
答案：10cm，10cm，1cm
解析：設，，則，
AC上的中線BD將這個三角形的周長分成15和6兩部分，
有兩種情況：
（1）當，且，
解得：，，
三邊長分別為10cm，10cm，1cm；
（2）當且時，
解得：，，此時腰長為4，
根據三角形三邊關系，任意兩邊之和大于第三邊，而，
故這種情況不存在.
腰長只能是10cm.
故答案為：10cm，10cm，1cm.
類型七、利用三角形三邊關系證明線段的不等關系
例7-1．如圖，D為的邊BC上一點，試判斷與的周長之間的大小關系，并加以證明.
答案：的周長，見解析
解析：證明：在中，，
在中，，
，
即，
的周長
針對訓練7
1．如圖所示，由三角形兩邊的和大于第三邊，可得到的結論是（　　）
A. AB+AD＞BC B. PD+CD＞BP C. AB+AC＞BC D. BP+CP＞AC
【答案】C
【解析】利用三角形的三邊關系進行分析即可．
解：在△ABC中，AB+AC＞BC，
故選：C．
2．如圖，點P是內部的一點.
（1）通過度量線段AB，AC，PB，PC的長度，比較與的大小.
（2）改變點P的位置，上述結論還成立嗎？
（3）你能說明上述結論為什么正確嗎？
答案：（1）.
（2）成立.
（3）見解析
解析：解：（3）延長BP交AC于點D.
在中，，①
在中，，②
①+②得，
所以.
3．如圖,已知為內兩點.求證：.
答案：如圖,延長,分別交于點,交于點.
在中,.
在中,.
在中,.
,
.
又,
.
類型八、利用三角形三邊關系化簡含絕對值的式子
例8-1．已知一個三角形三邊長為a、b、c,則|a-b-c|-|a+b-c|=（　　）
A. -2a+2c B. -2b+2c C. 2a D. -2c
【答案】A
【解析】根據三角形的三邊關系得到b+c＞a,a+b＞c,根據絕對值的性質、合并同類項法則計算，得到答案．
解：∵a、b、c是一個三角形三邊長，
∴b+c＞a,a+b＞c,
∴|a-b-c|-|a+b-c|
=-（a-b-c）-（a+b-c）
=-a+b+c-a-b+c
=-2a+2c,
故選：A．
針對訓練8
1．已知a,b,c是△ABC的三條邊長，化簡|a+b-c|+|c-a-b|的結果為_____．
【答案】2a+2b-2c
【解析】先根據三角形的三邊關系判斷出a+b-c與c-b-a的符號，再去絕對值符號，合并同類項即可；
解：∵a、b、c為△ABC的三條邊長，
∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，
∴原式=a+b-c-（c-a-b）
=a+b-c-c+a+b
=2a+2b-2c
故答案為：2a+2b-2c.
2．已知三角形的三邊長分別為a,b,c,化簡：|a+b-c|-2|a-b-c|+|a+b+c|．
【解析】三角形三邊滿足的條件是：兩邊和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊，根據此條件來確定絕對值內的式子的正負，從而化簡計算即可．
解：∵△ABC的三邊長分別是a、b、c,
∴必須滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊，則a+b-c＞0，a-b-c＜0，a+b+c＞0，
∴|a+b-c|-2|a-b-c|+|a+b+c|=a+b-c+2a-2b-2c+a+b+c=4a-2c.
3．已知a,b,c是三角形的三邊長．
（1）化簡：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；
（2）若a=10，b=8，c=6，求（1）中式子的值．
【解析】（1）根據三角形的三邊關系，兩邊之和大于第三邊，即可確定絕對值符號內的式子的符號，從而去掉絕對值符號，然后進行化簡即可；
（2）代人a=10，b=8，c=6求值即可．
解：（1）∵a,b,c是三角形的三邊長，
∴b+c＞a,c+a＞b,a+b＞c,
∴a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，
∴|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=b+c-a+c+a-b+a+b-c=a+b+c.
（2）把a=10，b=8，c=6代入（1）中式子，得原式=10+8+6=24．
鞏固練習
1．某等腰三角形的三邊長分別為x，3，，則該三角形的周長為( )
A.11 B.11或8 C.11或8或5 D.與x的取值有關
答案：B
解析：當時，此時，，能組成三角形，此時三角形的周長為.當時，此時，，不能組成三角形.當時，此時，，能組成三角形，此時三角形的周長為.
2．已知三角形的三邊長分別為3、4、x,則x不可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：D
解析：,,
.
觀察四個選項,x不可能是7.
故選：D.
3．等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊長為( )
A.7cm B.3cm C.9cm D.5cm
答案：B
解析：當長是3cm的邊是底邊時，
三邊為3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
當長是3cm的邊是腰時，底邊長是：，
而，不滿足三角形的三邊關系；
故底邊長是：3cm.
故選：B.
4．已知a、b、c是的三條邊長，化簡的結果為( )
A. B. C. D.0
答案：D
解析：a、b、c為的三條邊長，
，，
原式.
故選：D.
5．三角形的兩邊長分別是10和8，則第三邊的x取值范圍是_____.
答案：
解析：根據三角形的三邊關系：，
解得：.
故答案為：.
6．已知a，b，c是的三邊長，b，c滿足，且a為方程的解，則的周長為___________.
答案：7
解析：因為，所以，，解得，.因為a為方程的解，所以，解得或2.因為a，b，c為的三邊長，所以，所以，所以的周長為.
故答案為7.
7．若等腰三角形的兩邊長分別為6cm和8cm，則它的周長是________.
答案：或
解析：等腰三角形的兩條腰相等
①當腰為6cm時：三角形的周長為：；
②當腰為8cm時：三角形的周長為：；
故答案為：或.
8．已知等腰三角形的周長為20，其中一邊的長為6，則底邊的長為_________.
答案：6或8
解析：設底邊長為x，腰長為y，
則，
①當腰長時，
，
；
三邊長分別為6，6，8能構成三角形，符合題意；
故；
②當底邊長時，
，
；
三邊長分別為7，7，6能構成三角形，符合題意；
故；
綜上所述，或；
故答案為：6或8.
9．如圖，由三角形兩邊的和大于第三邊，得
___________，①
___________.②
將不等式①，②的左邊、右邊分別相加，得_________，③
不等式③兩邊都減PD，得.
答案：；；
解析：由三角形兩邊的和大于第三邊，得，.將不等式左邊、右邊分別相加，得，即.
10．已知的三邊長分別為a，b，c.
（1）若a，b，c滿足，試判斷的形狀；
（2）若，，且c為整數，求的周長的最大值及最小值.
答案：（1），
，，，
是等邊三角形.
（2），，，即，又c為整數，
，5，6，
當時，的周長最小，最小值；
當時，的周長最大，最大值.
11．等腰三角形一腰上的中線把該三角形的周長分為13.5 cm和11.5 cm兩部分，求這個等腰三角形各邊的長.
答案：設在中，，BD是AC邊上的中線，
依題意，當時，，，
所以，
解得.
當時，，
.所以，
解得.
綜上，這個等腰三角形三邊的長分別為9cm，9cm，7cm或.
12．已知的三邊長分別為a,b,c,化簡.
答案：
解析：a,b,c是的三邊長,
,,
.
13．等腰三角形的三邊長分別為，，7，求等腰三角形的周長.
答案：三角形的周長為19.5或23
解析：①當是底邊時，則腰長為：，7，
，
，
，
等腰三角形的周長；
②當是底邊時，則腰長為：，7，
，
，
，
等腰三角形的周長；
③當7是底邊時，則腰長為：，，
，
，
，，
，
不能構成三角形.
則三角形的周長為19.5或23.
14．如圖，四邊形ABCD，試說明.
答案：如圖，延長BD交AC于點E.
因為，
所以.
因為，
所以.
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