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(共29張PPT)
第1課時　均值不等式
第二章　等式與不等式
2.2　不等式
2.2.4　均值不等式及其應用
學習任務 1．能通過對兩個正數的算術平均值與幾何平均值的比較抽象出均值不等式．(數學抽象)
2．能夠利用求差法推導均值不等式，理解均值不等式的幾何意義．(邏輯推理、直觀想象)
3．明確均值不等式的形式及等號成立的條件，會用均值不等式證明一些簡單的不等式．(邏輯推理、數學運算)
必備知識·情境導學探新知
實驗室有一架兩臂不等長的天平，一位同學先將5 g的砝碼放在天平右盤中，取出一些物品放在天平左盤中使天平平衡；再將5 g的砝碼放在天平左盤中，再取出一些物品放在天平右盤中使天平平衡．
問題　兩次稱得的物品的質量是10 g嗎？如果不是，兩次稱得的物品的質量比10 g大還是比10 g小？為什么？
a＝b


a＝b
正方形
≤
思考　(1)均值不等式中的a，b只能是具體的數嗎？
(2)均值不等式的敘述中，“正數”二字能省略嗎？
[提示]　(1)a，b既可以是具體的某個數，也可以是代數式．
(2)不能．如a＝－3，b＝－4，均值不等式不成立．
×
√
×
2．若x2＋y2＝4，則xy的最大值是________．
2
關鍵能力·合作探究釋疑難
√
發現規律　均值不等式使用的條件
在均值不等式應用過程中要注意“一正、二定、三相等”：
一正，a，b均為____；
二定，不等式一邊為____；
三相等，不等式中的____能取到，即a＝b有解．
正數
定值
等號
√
√
反思領悟　在利用均值不等式比較大小時，應先通過合理拆項或配湊因式構造出應用均值不等式的條件，然后利用均值不等式及其變形形式進行求解．均值不等式具有將“和式”轉化為“積式”，將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，解題過程中要注意放縮的方向．
√
√
反思領悟　1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用均值不等式創造條件，另一方面可實現約分與不等式的右邊建立聯系．
2．先局部運用均值不等式，再利用不等式的性質(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運用均值不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法．
學習效果·課堂評估夯基礎
2
3
題號
4
1
√
D　[A選項，當a＜0，且b＜0時不成立；B選項，當a＜0時不成立；C選項，當a與b異號時不成立．故選D．]
2
3
題號
4
1
√
2
3
題號
4
1
√
2
3
題號
4
1
4．若x，y都是正數，且x＋4y＝1，則x·y的最大值為________．

2．使用均值不等式應注意哪幾點？2.2.4　均值不等式及其應用
第1課時　均值不等式
學習任務 1．能通過對兩個正數的算術平均值與幾何平均值的比較抽象出均值不等式．(數學抽象) 2．能夠利用求差法推導均值不等式，理解均值不等式的幾何意義．(邏輯推理、直觀想象) 3．明確均值不等式的形式及等號成立的條件，會用均值不等式證明一些簡單的不等式．(邏輯推理、數學運算)
實驗室有一架兩臂不等長的天平，一位同學先將5 g的砝碼放在天平右盤中，取出一些物品放在天平左盤中使天平平衡；再將5 g的砝碼放在天平左盤中，再取出一些物品放在天平右盤中使天平平衡．
問題　兩次稱得的物品的質量是10 g嗎？如果不是，兩次稱得的物品的質量比10 g大還是比10 g小？為什么？
知識點1　重要不等式
對任意實數a，b，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．
知識點2　算術平均值與幾何平均值
給定兩個正數a，b，數稱為a，b的算術平均值；數稱為a，b的幾何平均值．
知識點3　均值不等式
1．均值不等式：如果a，b都是正數，那么，當且僅當a＝b時，等號成立．
2．幾何意義：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大．
3．均值不等式的常見變形
(1)當a＞0，b＞0，則a＋b≥2，當且僅與a＝b時，等號成立．
(2)若a＞0，b＞0，則ab≤，當且僅當a＝b時，等號成立．
(1)均值不等式中的a，b只能是具體的數嗎？
(2)均值不等式的敘述中，“正數”二字能省略嗎？
[提示]　(1)a，b既可以是具體的某個數，也可以是代數式．
(2)不能．如a＝－3，b＝－4，均值不等式不成立．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若a>0，b>0且a≠b，則a＋b>2． (　　)
(2)6和8的幾何平均數為2． (　　)
(3)若a≠0，則a＋≥2＝2． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
2．若x2＋y2＝4，則xy的最大值是________．
2　[xy≤＝2，當且僅當x＝y時取“＝”．]
3．已知x＞0，則y＝x＋＋2的最小值是________．
2＋2　[∵x＞0，＞0，∴y＝x＋＋2≥2＋2，當且僅當x＝，即x＝時等號成立．]
類型1　對均值不等式的理解
【例1】　給出下面三個推導過程：
①∵a，b為正實數，∴≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＝－≤－2＝－2．
其中正確的推導為(　　)
A．①②　　　　　 B．①③
C．②③ D．①②③
B　[①∵a，b為正實數，∴為正實數，符合均值不等式的條件，故①的推導正確；
②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的條件，
∴＋a≥2＝4是錯誤的；
③由xy＜0，得均為負數，但在推導過程中將整體提出負號后，均變為正數，符合均值不等式的條件，故③正確．]
　均值不等式使用的條件
在均值不等式應用過程中要注意“一正、二定、三相等”：
一正，a，b均為正數；
二定，不等式一邊為定值；
三相等，不等式中的等號能取到，即a＝b有解．
[跟進訓練]
1．(多選)已知a，b均為正實數，則下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋b＋≥3 B．(a＋b)≥4
C．≥a＋b D．
BC　[對于A，a＋b＋≥2≥2<3，當且僅當a＝b＝時等號同時成立；對于B，(a＋b)·＝2＋≥2＋2＝4，當且僅當a＝b時取等號；
對于C，＝a＋b，當且僅當a＝b時取等號；
對于D，當a＝，b＝時，＝＝＝>，
所以<．]
類型2　利用均值不等式比較大小
【例2】　已知a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，試比較a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，的大小．
[解]　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac．①
∴a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(當且僅當a＝b＝c時等號成立)．②
①式兩邊分別加上a2＋b2＋c2，得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，
∴a2＋b2＋c2≥．
②式兩邊分別加上2ab＋2ac＋2bc，得
3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，
∴ab＋bc＋ca≤．
綜上，a2＋b2＋c2≥≥ab＋bc＋ca，當且僅當a＝b＝c＝時等號成立．
　在利用均值不等式比較大小時，應先通過合理拆項或配湊因式構造出應用均值不等式的條件，然后利用均值不等式及其變形形式進行求解．均值不等式具有將“和式”轉化為“積式”，將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，解題過程中要注意放縮的方向．
[跟進訓練]
2．(1)若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C．> D．≥2
(2)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是(　　)
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
(1)D　(2)B　[(1)對于A，當a＝b時，a2＋b2＝2ab．對于B，當a<0，b<0時，不成立．
對于C，當a<0，b<0時，不成立．
對于D，由ab>0，故>0，>0，
所以≥2．
(2)顯然＞，又因為＜，
所以＞＞．故M＞P＞Q．]
類型3　利用均值不等式證明不等式
【例3】　已知a，b，c是互不相等的正數，且a＋b＋c＝1，求證：>9．
[思路導引]　看到>9，想到將“1”換成“a＋b＋c”，裂項構造均值不等式的形式，用均值不等式證明．
[證明]　∵a，b，c是正數，且a＋b＋c＝1，
∴＝＝3＋
＝3＋≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2＝9，當且僅當a＝b＝c時取等號，
∵a，b，c互不相等，∴>9．
[母題探究]
(變結論)本例條件不變，求證：>8．
[證明]　∵a，b，c是正數，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴＝··＝8，
當且僅當a＝b＝c時取等號，
∵a，b，c互不相等，
∴＞8．
　1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用均值不等式創造條件，另一方面可實現約分與不等式的右邊建立聯系．
2．先局部運用均值不等式，再利用不等式的性質(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運用均值不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法．
[跟進訓練]
3．已知a，b，c>0，求證：≥a＋b＋c．
[證明]　∵a，b，c>0，
∴利用均值不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
∴＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，
故≥a＋b＋c，
當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
1．對于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是(　　)
A．　　　 B．a＋≥2
C．≥2 D．≥2
D　[A選項，當a＜0，且b＜0時不成立；B選項，當a＜0時不成立；C選項，當a與b異號時不成立．故選D．]
2．設a>b>0，則下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a－b<0 B．0<<1
C．< D．ab>a＋b
C　[∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立．]
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等號成立的條件是(　　)
A．x＝3　　B．x＝－3　　C．x＝5　　D．x＝－5
C　[由均值不等式知等號成立的條件為＝x－2，即x＝5．]
4．若x，y都是正數，且x＋4y＝1，則x·y的最大值為________．
　[1＝x＋4y≥2＝4，
所以xy≤，當且僅當x＝4y時等號成立．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．試比較不等式a2＋b2≥2ab與的區別與聯系．
[提示]　(1)兩個不等式a2＋b2≥2ab與成立的條件是不同的．前者要求a，b是實數即可，而后者要求a，b都是正實數．當a>0，b>0時，分別用代替a2＋b2≥2ab中的a，b可得a＋b≥2，變形可得．
(2)兩個不等式a2＋b2≥2ab和都是帶有等號的不等式，都是“當且僅當a＝b時，等號成立”．
2．使用均值不等式應注意哪幾點？
[提示]　(1)均值不等式成立的條件是a＞0，b＞0．
(2)常見的變形：a＋b≥2，ab≤，ab≤．
(3)“當且僅當a＝b，取等號”的含義：
a＝b ＝．
(4)a，b可以是滿足條件的實數，也可以是滿足條件的代數式，但應保證a＞0，b＞0．
課時分層作業(十六)　均值不等式
一、選擇題
1．給出下列條件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使≥2成立的條件有(　　)
A．1個　　 B．2個　　 C．3個　　 D．4個
C　[當均為正數時，≥2，
故只須a、b同號即可，
∴①③④均可以．]
2．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則t與s的大小關系是(　　)
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．sA　[∵b2＋1≥2b(當且僅當b＝1時等號成立)，
∴a＋2b≤a＋b2＋1．∴t≤s．]
3．已知當x＝3時，代數式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，則a＝(　　)
A．28 B．32
C．36 D．40
C　[4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，當且僅當4x＝，即x＝時等號成立，所以＝3，即a＝36．]
4．若a>0，b>0，則“ab≤4”是“a＋b≤4”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
B　[因為a>0，b>0，取a＝4，b＝1，則滿足ab≤4，但是a＋b＝5>4，
所以“ab≤4”不能推出“a＋b≤4”；
反過來，因為2≤a＋b，所以當a＋b≤4時，有2≤4，即ab≤4．
綜上可知，“ab≤4”是“a＋b≤4”的必要不充分條件．故選B．]
5．(多選)下列說法正確的有(　　)
A． x∈R，x＋>2
B．若正實數x，y滿足2x＋y＝1，則的最大值為
C．若a，b均為正實數，則a＋的最小值為2
D．若正實數x，y滿足x2＋y2＝1＋xy，則1BCD　[對于A，當x<0時，x＋<0，即 x∈R，x＋>2是錯誤的，A不正確；
對于B，因為正實數x，y滿足2x＋y＝1，則＝＝＝，當且僅當2x＝y＝時取“＝”，即的最大值為，B正確；
對于C，因為a，b均為正實數，則a＋＋2＝≥2＝2，當且僅當＝且＝，即a＝2b＝4時取“＝”，所以當a＝4，b＝2時，a＋取最小值2，C正確；
對于D，x，y為正實數，2xy≤x2＋y2＝1＋xy，當且僅當x＝y＝1時取“＝”，則有0二、填空題
6．已知a＞b＞c，則與的大小關系是________．
　[∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴＝．]
7．某工廠第一年的產量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，則這兩年的平均增長率x與增長率的平均值的大小關系為________．
x≤　[用兩種方法求出第三年的產量分別為A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，
則有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝＝1＋，
∴x≤．當且僅當a＝b時等號成立．]
8．下列不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1．其中正確的個數是________．
2　[由均值不等式知②④正確．]
三、解答題
9．已知a，b，c為正數，求證：≥3．
[證明]　左邊＝－1＋－1＋－1
＝－3．
∵a，b，c為正數，
∴≥2(當且僅當a＝b時取“＝”)，
≥2(當且僅當a＝c時取“＝”)，
≥2(當且僅當b＝c時取“＝”)．
從而≥6(當且僅當a＝b＝c時取等號)．
∴－3≥3，
即≥3．
10．數學里有一種證明方法叫做無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數學命題．由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認為比嚴格的數學證明更為優雅與有條理．在同一平面內有形狀、大小相同的圖①和圖②，其中四邊形ABCD為矩形，三角形BCE為等腰直角三角形，設AB＝，BC＝(a>0，b>0)，則借助這兩個圖形可以直接無字證明的不等式是(　　)
A．(a>0，b>0)
B．(a>0，b>0)
C．(a>0，b>0)
D．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
A　[由四邊形ABCD為矩形，三角形BCE為等腰直角三角形，可推出三角形ABF也為等腰直角三角形，
所以題圖①的陰影部分面積S1＝S△ABF＋S△BCE＝··＝，
題圖②陰影部分的面積S2＝S矩形ABCD＝·＝．由兩圖陰影部分面積關系直觀得出S1≥S2，即，當且僅當a＝b時，等號成立．故選A．]
11．(多選)若a>0，b>0且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是(　　)
A．> B．≥1
C．≥2 D．
BD　[因為a>0，b>0，a＋b＝4，
所以0a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，所以，a＝b＝2時取等號，D正確．]
12．已知x＞0，y＞0，且滿足＝1，則xy的最大值為________，取得最大值時y的值為________．
3　2　[因為x＞0，y＞0且1＝≥2，所以xy≤3．
當且僅當＝＝，
即x＝，y＝2時取等號．]
13．已知正實數a，b，c不全相等，且abc＝1，設p＝，q＝，則p與q的大小關系是________．
p∵2，
∴．
同理得．
又a，b，c不全相等，故以上三個不等式中至少有一個等號不成立．
∴<，即<，即p14．已知a，b，c都是非負實數，試比較與(a＋b＋c)的大小．
[解]　由，得(a＋b)．
同理得(b＋c)，(a＋c)．
所以[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)．
故(a＋b＋c)，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
15．已知a，b都是正數，運用均值不等式知識比較的大小關系．
[解]　因為≥2，
所以，即．
又因為＝＝，所以．
又由均值不等式得，
故(當且僅當a＝b時，等號成立)．
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