資源簡介

(共17張PPT)
章末綜合提升
第二章　等式與不等式
鞏固層·知識整合
類型1　解含參數的一元二次方程
方程是否為一元一次方程，一元二次方程，必須看未知數的系數和其他參數所滿足的條件，方程是否有解，同樣需要對參數的取值進行分類討論．對于一元二次方程根的討論常從以下幾個方面考慮：
(1)二次項的系數a：a＝0，方程不是一元二次方程．
(2)判別式Δ＝b2－4ac：Δ>0 方程有兩個不相等的實數根；Δ＝0 方程有兩個相等的實數根；Δ<0 方程沒有實數根．
提升層·題型探究
類型2　解含參數的一元二次不等式
含參數的一元二次不等式的解法，分類討論主要從以下三個方面來考慮：
(1)二次項系數含有參數a，則需要對a分類討論，即a>0，a＝0，a<0．
(2)可因式分解的一元二次不等式的討論，要對方程對應的兩根大小進行討論，即x1>x2，x1＝x2，x1(3)不可因式分解的含參數的一元二次不等式，要根據相應的一元二次方程根的判別式討論，即Δ>0，Δ＝0，Δ<0．
【例2】　解關于x的不等式ax2－3x＋2>5－ax(a∈R)．
類型3　均值不等式的變形技巧
運用均值不等式求解函數最值的關鍵是在求解過程中充分運用“一正、二定、三相等”這三個條件，觀察結果，合理變形，湊“定和”和“定積”．其中，合理變形是關鍵．
9
2
√
√
技巧五：分離變量法
【例7】　若對任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，則實數a的取值范圍是__________．
(－∞，9]
√類型1　解含參數的一元二次方程
方程是否為一元一次方程，一元二次方程，必須看未知數的系數和其他參數所滿足的條件，方程是否有解，同樣需要對參數的取值進行分類討論．對于一元二次方程根的討論常從以下幾個方面考慮：
(1)二次項的系數a：a＝0，方程不是一元二次方程．
(2)判別式Δ＝b2－4ac：Δ>0 方程有兩個不相等的實數根；Δ＝0 方程有兩個相等的實數根；Δ<0 方程沒有實數根．
【例1】　關于x的方程，kx2＋(k＋1)x＋k＝0有兩個不相等的實數根．
(1)求k的取值范圍．
(2)是否存在實數k，使方程的兩實數根的倒數和為0？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．
[解]　(1)由題意，得Δ＝(k＋1)2－4k·k＝k2＋2k＋1－k2＝2k＋1>0，
∴k>－．又k≠0，
∴k的取值范圍為∪(0，＋∞)．
(2)不存在．理由：設方程的兩根分別是x1和x2，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴＝＝－＝0，
∴k＋1＝0，即k＝－1．
∵k>－且k≠0，∴k＝－1不滿足題意．
故實數k不存在．
類型2　解含參數的一元二次不等式
含參數的一元二次不等式的解法，分類討論主要從以下三個方面來考慮：
(1)二次項系數含有參數a，則需要對a分類討論，即a>0，a＝0，a<0．
(2)可因式分解的一元二次不等式的討論，要對方程對應的兩根大小進行討論，即x1>x2，x1＝x2，x1(3)不可因式分解的含參數的一元二次不等式，要根據相應的一元二次方程根的判別式討論，即Δ>0，Δ＝0，Δ<0．
【例2】　解關于x的不等式ax2－3x＋2>5－ax(a∈R)．
[解]　原不等式等價于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0．
①當a＝0時，原不等式的解集為{x|x<－1}．
②當a≠0時，方程(x＋1)(ax－3)＝0的兩根分別為x1＝－1，x2＝．
當a>0時，原不等式的解集為．
當a<0時，若>－1，即a<－3，則原不等式的解集為；
若<－1，即－3若＝－1，即a＝－3，則原不等式的解集為 ．
綜上所得，
當a<－3時，原不等式的解集為；
當a＝－3時，原不等式的解集為 ；
當－3當a＝0時，原不等式的解集為{x|x<－1}；
當a>0時，原不等式的解集為．
類型3　均值不等式的變形技巧
運用均值不等式求解函數最值的關鍵是在求解過程中充分運用“一正、二定、三相等”這三個條件，觀察結果，合理變形，湊“定和”和“定積”．其中，合理變形是關鍵．
技巧一：裂項
【例3】　設x>－1，則函數y＝的最小值為________．
9　[由x>－1知，x＋1>0，
所以y＝＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9，
當且僅當x＋1＝，即x＝1時，等號成立．
所以y的最小值為9．]
技巧二：添項
【例4】　函數y＝x2＋的最小值為________．
2　[因為2＋x2>0，
所以y＝x2＋＝2＋x2＋－2≥2－2＝2，
當且僅當2＋x2＝，
即x＝0時，等號成立．所以y的最小值為2．]
技巧三：放入根號內或平方
【例5】　若0A．1　 B．　　　　
C．　　　　 D．
C　[因為00，所以x＝×2x＝，當且僅當2x＝，即x＝時等號成立，故選C．]
技巧四：“1”的代換
【例6】　已知x>0，y>0，且滿足x＋2y－xy＝0，則的最大值為(　　)
A．9 B．6
C．4 D．1
D　[因為x＋2y－xy＝0，x>0，y>0，所以＝1，
所以2x＋y＝(2x＋y)＝＋5≥2＋5＝9，
當且僅當＝，即x＝y＝3時等號成立，
所以≤1，即的最大值為1．
故選D．]
技巧五：分離變量法
【例7】　若對任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，則實數a的取值范圍是________．
(－∞，9]　[因為對任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，所以只需滿足a≤，因為x>0，所以＝x＋＋5≥2＋5＝9，當且僅當x＝，即x＝2時取等號，故實數a的取值范圍是(－∞，9]．]
類型4　利用均值不等式解決恒成立問題
【例8】　已知a>0，b>0，且ab＝1，不等式≥4恒成立，則正實數m的取值范圍是(　　)
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)
C．[6，＋∞) D．[8，＋∞)
B　[由題設知，m≥4(a＋b)－(a＋b)＝4(a＋b)－(a＋b)2恒成立，
而4(a＋b)－(a＋b)2＝4－(a＋b－2)2，又a＋b≥2＝2當且僅當a＝b＝1時等號成立，
所以4(a＋b)－(a＋b)2≤4，且等號成立條件同上，故m≥4．故選B．]
章末綜合測評(二)　等式與不等式
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．不等式組的解集是(　　)
A．{x|x＞－3}　　　 B．{x|－3≤x＜2}
C．{x|－3＜x≤2} D．{x|x≤2}
C　[
解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x＞－3，
∴不等式組的解集為{x|－3＜x≤2}，
故選C．]
2．設方程x2＋x－2＝0的兩個根為α，β，那么(α－1)(β－1)的值等于(　　)
A．－4 B．－2
C．0 D．2
C　[(法一)依題意得α＋β＝－1，α·β＝－2，
∴(α－1)(β－1)＝α·β－(α＋β)＋1＝－2＋1＋1＝0．
(法二)解方程可得方程的兩根為－2，1，不妨設α＝－2，β＝1，∴(α－1)(β－1)＝0．]
3．設A＝(m，n為互不相等的正實數)，B＝＋4x－2，則A與B的大小關系是(　　)
A．A>B B．A≥B
C．AA　[因為m，n為互不相等的正實數，則≠，
所以A＝>2＝2．B＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2≤2，當x＝2時，Bmax＝2，
所以A>B．]
4．已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b＝(　　)
A．－3 B．1
C．－1 D．3
A　[由題意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．
A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根與系數的關系可知：
a＝－1，b＝－2，
∴a＋b＝－3．]
5．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集為R，則實數m的取值范圍是(　　)
A．m＞5或m＜－3
B．m≥5或m≤－3
C．－3≤m≤5
D．－3＜m＜5
D　[依題意有Δ＝(m－1)2－16＜0，
所以m2－2m－15＜0，
解得－3＜m＜5．]
6．某種產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本時的最低產量是(　　)
A．200臺 B．150臺
C．100臺 D．50臺
B　[要使生產者不虧本，則應滿足25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低產量是150臺．]
7．在R上定義運算 ：M N＝(1＋M)(1－N)，若不等式(x－a) (x＋a)<1對任意實數x均成立，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－1，1) B．(0，2)
C． D．
B　[因為(x－a) (x＋a)<1對任意實數x均成立，所以(1＋x－a)(1－x－a)<1對任意實數x恒成立．即(1－a)2－x2<1恒成立，
所以(1－a)2<1＋x2恒成立，
所以只需(1－a)2<(1＋x2)min，
又因為(1＋x2)min＝1，
所以(1－a)2<1，
解得08．若兩個正實數x，y滿足4x＋y＝xy，且存在這樣的x，y使不等式x＋A．(－1，4)
B．(－4，1)
C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
C　[因為x>0，y>0且4x＋y＝xy，
所以＝1．
所以x＋＝·＝2＋≥2＋2＝4，當且僅當＝，
即y＝4x＝8時，等號成立．
所以m2＋3m>4，
即(m＋4)(m－1)>0，解得m<－4或m>1．
所以實數m的取值范圍是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．]
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．若a>b，c<0，則下列不等式成立的是(　　)
A．ac2>bc2 B．a＋cC．a>b＋c D．>
AC　[對A：∵a>b，c<0，則c2>0，
∴ac2>bc2，A正確；
對B：∵a>b，故a＋c>b＋c，B錯誤；
對C：∵c<0，故a>a＋c>b＋c，即a>b＋c，C正確；
對D：做差可得，＝，
∵a>b，c<0，則a－b>0，
∴<0，即<，D錯誤．故選AC．]
10．設a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，則下列結論錯誤的是(　　)
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值＋1
D．ab有最小值2(＋1)
BCD　[因為ab－(a＋b)＝1，ab≤，
所以－(a＋b)≥1，
它是關于a＋b的一元二次不等式，
解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(舍去)．
所以a＋b有最小值2(＋1)．
又ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2，
所以ab－2≥1，它是關于的一元二次不等式，
解得＋1或≤1－(舍去)，
所以ab≥3＋2，即ab有最小值3＋2．故選BCD．]
11．已知關于x的一元二次不等式ax2－bx＋c<0的解集為{x|x<－2或x>3}，下列說法正確的是(　　)
A．a＋5b＋c＝0
B．c<0
C．bx2－ax＋c>0的解集是(－2，3)
D．對于任意的x∈R，cx2＋ax－b<0恒成立
AC　[因為關于x的一元二次不等式ax2－bx＋c<0的解集為{x|x<－2或x>3}，
所以a<0，且方程ax2－bx＋c＝0的解為x＝－2或x＝3，則＝1，＝－6，即b＝a，c＝－6a，
所以a＋5b＋c＝a＋5a－6a＝0，故A正確；
c＝－6a>0，故B錯誤；由bx2－ax＋c>0，即ax2－ax－6a>0，
即x2－x－6<0，解得－2即bx2－ax＋c>0的解集是(－2，3)，故C正確；
由cx2＋ax－b<0，得－6ax2＋ax－a<0，
即6x2－x＋1<0，不等式無解，故D錯誤．]
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設自變量x對應的因變量為y，在滿足對任意的x，不等式y≤M都成立的所有常數M中，將M的最小值叫做y的上確界．若a，b為正實數，且a＋b＝1，則－的上確界為________．
－　[因為a，b為正實數，且a＋b＝1，所以＝×(a＋b)＝＋2＝，當且僅當b＝2a，即a＝，b＝時，等號成立，因此有－≤－，即－的上確界為－．]
13．已知關于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，則＝________，關于x的不等式>0的解集是________．(本小題第一空2分，第二空3分)
－1　{x|x<－1或x>2}　[依題意，a>0且－＝1，所以＝－1；不等式>0可變形為(ax－b)(x－2)>0，即(x－2)>0，
所以(x＋1)(x－2)>0，
故x>2或x<－1．]
14．已知a，b，c，d均為實數，有下列命題：①若ab>0，bc－ad>0，則>0；②若ab>0，>0，則bc－ad>0；③若bc－ad>0，>0，則ab>0．其中正確的命題是________．(填序號)
①②③　[對于①，若ab>0，bc－ad>0，
不等式兩邊同時除以ab得>0，所以①正確；
對于②，若ab>0，>0，不等式兩邊同時乘以ab得bc－ad>0，所以②正確；
對于③，若>0，當兩邊同時乘以ab時可得bc－ad>0，所以ab>0，所以③正確．
綜上，正確的命題是①②③．]
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(13分)求下列不等式的解集．
(1)－4＜－x2－x－；
(2)(x＋3)2≥(1－2x)2．
[解]　(1)原不等式可化為x2＋x＋＜4，
化簡，得x2＋2x－5＜0．
因為x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝(x＋1)2－6，所以原不等式等價于(x＋1)2＜6，
開平方，得|x＋1|＜，解得－－1＜x＜－1．
所以原不等式的解集為{x|－－1＜x＜－1}．
(2)移項，得(x＋3)2－(1－2x)2≥0，
因式分解，得(3x＋2)(x－4)≤0，
解得－≤x≤4，
所以原不等式的解集為．
16．(15分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
(1)求a的取值范圍；
(2)解關于x的不等式x2－x－a2＋a<0．
[解]　(1)因為ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①當a＝0時，1≥0恒成立；
②當a≠0時，則
解得0綜上，a的取值范圍為0≤a≤1．
(2)由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0．
因為0≤a≤1，
所以①當1－a>a，即0≤a<時，a②當1－a＝a，即a＝時，<0，不等式無解；
③當1－a綜上所述，當0≤a<時，原不等式的解集為{x|a＜x＜1－a}；當a＝時，原不等式的解集為 ；
當17．(15分)已知x>0，y>0，2xy＝x＋4y＋a．
(1)當a＝16時，求xy的最小值；
(2)當a＝0時，求x＋y＋的最小值．
[解]　(1)當a＝16時，2xy＝x＋4y＋16≥2＋16＝4＋16，
即2xy≥4＋16，即(＋2)(－4)≥0，所以≥4，
即xy≥16，當且僅當x＝4y＝8時等號成立，所以xy的最小值為16．
(2)當a＝0時，2xy＝x＋4y，即＝1，
所以x＋y＋＝x＋y＋1＝(x＋y)＋1＝＋2＝，
當且僅當＝，即x＝3，y＝時等號成立，
所以x＋y＋的最小值為．
18．(17分)在①x2－(2a－1)x＋a2－a＜0，②x2－2ax＋a2－1＜0，③x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)這三個條件中任選一個補充到下面的問題中，求實數a的取值范圍．
已知p：＜0，q：________，且p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
[解]　由命題p：＜0，得－3＜x＜4，規定集合A＝{x|－3＜x＜4}．設q對應的x的范圍即為集合B，因為p是q的必要不充分條件，所以B?A．
選條件①：x2－(2a－1)x＋a2－a＜0．
由x2－(2a－1)x＋a2－a＜0可解得a－1＜x＜a．
因為B?A，只需且等號不能同時取得，解得－2≤a≤4，
即實數a的取值范圍為[－2，4]．
選條件②：x2－2ax＋a2－1＜0，
由x2－2ax＋a2－1＜0可解得a－1＜x＜a＋1．
因為B?A，只需且等號不能同時取得，解得－2≤a≤3，
即實數a的取值范圍為[－2，3]．
選條件③：x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)．
由x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)可解得1＜x＜a．
因為B?A，只需解得1＜a≤4，
即實數a的取值范圍為(1，4]．
19．(17分)經觀測，某公路段在某時段內的車流量y(千輛/時)與汽車的平均速度v(千米/時)之間有函數關系：y＝(v>0)．
(1)在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時車流量y最大？最大車流量為多少？(精確到0.01)
(2)為保證在該時段內車流量至少為10千輛/時，則汽車的平均速度應控制在什么范圍內？
[解]　(1)y＝＝≤＝≈11.08．
當且僅當v＝，即v＝40千米/時時，車流量最大，最大值為11.08千輛/時．
(2)據題意有≥10，
化簡得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64．
所以汽車的平均速度應控制在25≤v≤64這個范圍內．
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