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第1課時(shí)　函數(shù)的概念
第三章　函數(shù)
3.1　函數(shù)的概念與性質(zhì)
3.1.1　函數(shù)及其表示方法
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型．能用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫出函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫數(shù)學(xué)概念中的作用．(數(shù)學(xué)抽象)
2．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知
通過即時(shí)聊天工具，我們可以結(jié)交很多全國(guó)各地的新朋友，可以與遠(yuǎn)方的親朋好友面對(duì)面交流，可以傳送文件，還可以通過聊天練習(xí)打字、學(xué)會(huì)上網(wǎng)等；通過即時(shí)聊天工具，我們開心的時(shí)候可以找人分享，不開心的時(shí)候可以找人傾訴，所以說現(xiàn)在即時(shí)聊天工具成了我們生活不可缺少的一部分．大部分學(xué)生都有即時(shí)聊天工具的賬號(hào)，這樣賬號(hào)與學(xué)生之間就有對(duì)應(yīng)關(guān)系，即賬號(hào)(可能不止一個(gè))對(duì)應(yīng)唯一一位同學(xué)．在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有類似的對(duì)應(yīng)問題，即實(shí)數(shù)x(可能不止一個(gè))對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)y(唯一一個(gè))，那么這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)中叫什么呢？
知識(shí)點(diǎn)1　函數(shù)的概念
定義 給定兩個(gè)__________A與B，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系f ，如果對(duì)于集合A中的______實(shí)數(shù)x，在集合B中都有____確定的實(shí)數(shù)y與x對(duì)應(yīng)，則稱f 為定義在集合A上的一個(gè)函數(shù)，記作：y＝f (x)，x∈A，其中x稱為自變量，y稱為因變量
三要素 對(duì)應(yīng)關(guān)系 y＝f (x)，x∈A
定義域 自變量x的取值的范圍 (即非空實(shí)數(shù)集A)
值域 所有函數(shù)值組成的集合{y|y＝f (x)，x∈A}
非空實(shí)數(shù)集
每一個(gè)
唯一
思考　1．在函數(shù)的概念中，如果函數(shù)y＝f (x)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系確定，那么函數(shù)的值域確定嗎？
[提示]　確定．
思考　2．函數(shù)f (x)與f (a)(a是常數(shù))有何區(qū)別與聯(lián)系？
[提示]　(1) f (a)表示當(dāng)x＝a時(shí)函數(shù)f (x)的值，是一個(gè)常量．
(2) f (x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量．
(3) f (a)是f (x)的所有取值中的一個(gè)．
提醒　對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系f 的理解
(1)y＝f (x)不是表示“y等于f 與x的乘積”，而是表示“y是x的函數(shù)”，其中x是自變量．
(2) f是對(duì)應(yīng)關(guān)系，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，也可以是圖象、表格．
(3)在研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)f (x)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來表示函數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)2　同一個(gè)函數(shù)
一般地，如果兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的函數(shù)定義域____，對(duì)應(yīng)關(guān)系也____(即對(duì)自變量的每一個(gè)值，兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式得到的函數(shù)值都相等)，則稱這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的就是同一個(gè)函數(shù)．
相同
相同
提醒　(1)兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)，與函數(shù)用什么字母表示無關(guān)，例如，函數(shù)y＝f (x)＝x2，x∈A與函數(shù)u＝f (t)＝t2，t∈A表示的是同一個(gè)函數(shù)．
(2) f (x)＝x2和f (x－1)＝x2由于對(duì)應(yīng)關(guān)系f 所施加的對(duì)象不同(前者為x，后者為x－1)，因此兩者不是同一個(gè)函數(shù)．
(3)即使兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域都分別相同，它們也不一定是同一個(gè)函數(shù)．如函數(shù)f (x)＝x2，x∈[0，2]和函數(shù)g(x)＝2x，x∈[0，2]．
學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)任何兩個(gè)集合都可以建立函數(shù)關(guān)系． (　　)
[提示]　集合A，B應(yīng)為非空數(shù)集．
[提示]　符合函數(shù)的定義．
√
×
(2)集合A中的兩個(gè)實(shí)數(shù)x可以對(duì)應(yīng)集合B中的一個(gè)實(shí)數(shù)y． (　　)
(3)函數(shù)的值域即為集合B． (　　)
[提示]　值域是集合B的子集．
[提示]　x∈ ，不是函數(shù)．
[提示]　兩個(gè)函數(shù)的定義域不同．
(5)函數(shù)f (x)＝x2，x∈[0，2]與h(x)＝x2，x∈(0，2)表示同一個(gè)函數(shù)．
(　　)
×
×
×
(－∞，0)∪(0，1]
關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難
類型1　函數(shù)的判斷
【例1】　(1)(多選)設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有(　　)
A　　　　　　B　　　　　C　　　　　　D
√
√
(2)若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”．那么函數(shù)解析式為f (x)＝x2，值域?yàn)閧1，4}的“同族函數(shù)”共有(　　)
A．7個(gè) B．8個(gè)　　　
C．9個(gè)　　　 D．無數(shù)個(gè)
√
(3)在下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，能確定y是x的函數(shù)的是(　　)
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，f 為“除以3”；
②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，f 為“求3x的平方根”；
③A＝R，B＝R，f 為“求平方”；
④A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，f 為“乘以0”．
A．①④ B．②③④
C．②③ D．③④
√
(1)BC　(2)C　(3)D　[(1)對(duì)于A，由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]，而集合M＝{x|0≤x≤2}，不符合題意；
對(duì)于B，由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，2]，值域?yàn)閇0，2]，滿足函數(shù)的定義，故正確；
對(duì)于C，由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，2]，值域?yàn)閇0，2]，滿足函數(shù)的定義，故正確；
對(duì)于D，由圖象可知，圖形中一個(gè)x(除0外)有兩個(gè)y值與之相對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，故不正確．
(2)因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)閧1，4}，所以其定義域由1，－1，2，－2組成，因此有{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9種情況．
(3)①在對(duì)應(yīng)關(guān)系f 下，A中不能被3整除的數(shù)在B中沒有唯一確定的數(shù)與它對(duì)應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)；②在對(duì)應(yīng)關(guān)系f 下，A中的數(shù)在B中有兩個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)；③④符合函數(shù)的定義．]
反思領(lǐng)悟　函數(shù)的判斷
(1)根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的步驟
①任取一條垂直于x軸的直線l；
②在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l；
③若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù)．
(2)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法
√
2．下列圖形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，以N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的圖象是(　　)
A　　　　 B　　　 　C　　　 　D
C　[由函數(shù)的定義知選C．]
√
[解]　(1)因?yàn)閒 (x)的定義域是R，g(x)的定義域是[0，＋∞)，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)．
(2)因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)．
(3)因?yàn)閒 (x)的定義域是{x|x≠－1}，g(x)的定義域是R，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)．
(4) f (x)和g(t)雖然表示自變量的字母不同，但它們的定義域及對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以是同一個(gè)函數(shù)．
反思領(lǐng)悟　判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)的步驟
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　求函數(shù)定義域的常用方法
(1)若f (x)是分式，則應(yīng)考慮使分母______．
(2)若f (x)是二次根式，則被開方數(shù)____________．
(3)若f (x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分有意義的x取值集合的____．
(4)若f (x)是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)使實(shí)際問題有意義．
不為零
大于或等于零
交集
(5)復(fù)合函數(shù)定義域的求法：
①已知f (x)的定義域?yàn)锳，求f (g(x))的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知g(x)∈A，求x的范圍；
②已知f (g(x))的定義域?yàn)锳，求f (x)的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知x∈A，求g(x)的范圍，此范圍就是f (x)的定義域．
提醒：復(fù)合函數(shù)定義域的求解原則：同在對(duì)應(yīng)法則f 下的范圍相同，即f (t)，f (φ(x))，f (h(x))三個(gè)函數(shù)中的t，φ(x)，h(x)的范圍相同．
[0，4]
(1，2)


反思領(lǐng)悟　1．求函數(shù)值的方法的兩種類型
(1)已知f (x)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f (a)的值．
(2)求f (g(a))的值應(yīng)遵循由內(nèi)向外的原則．
2．求函數(shù)值域的常用方法
(1)觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到．
(2)配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時(shí)，可利用配方法求其值域．
16
學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)
2
3
題號(hào)
4
1
1．下列說法正確的是(　　)
A．函數(shù)值域中每一個(gè)數(shù)在定義域中一定只有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)
B．函數(shù)的定義域和值域可以是空集
C．函數(shù)的定義域和值域一定是非空的數(shù)集
D．函數(shù)的定義域和值域確定后，函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也就確定了
C　[由函數(shù)的定義知，函數(shù)的定義域、值域?yàn)榉强盏臄?shù)集．]
√
2
3
題號(hào)
4
1
√
D　[在選項(xiàng)D中，x>0時(shí)，任意一個(gè)x對(duì)應(yīng)著兩個(gè)y的值，因此選項(xiàng)D不是函數(shù)的圖象．]
2．下列圖象中不能表示函數(shù)的圖象的是(　　)
A　　　 　B　　　 　C　　　　D
2
3
題號(hào)
4
1
√
2
3
題號(hào)
4
1
26
[提示]　(1)y＝f (x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，不能認(rèn)為“y等于f與x的乘積”，應(yīng)理解為：x是自變量，f 是對(duì)應(yīng)關(guān)系(可以是解析式、圖象、表格或文字描述等)．
(2)函數(shù)符號(hào)f (x)表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系與字母f 無關(guān)，也可以用g，F(xiàn)，G等表示；同樣，自變量x也可以用t，m，h等表示．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．對(duì)函數(shù)概念你是怎樣理解的？
[提示]　函數(shù)的定義主要包括定義域和定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則，因此，判定兩個(gè)函數(shù)是否相同時(shí)，就看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否完全一致，與用什么字母表示自變量、因變量和對(duì)應(yīng)關(guān)系是沒有關(guān)系的，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致的兩個(gè)函數(shù)才算同一個(gè)函數(shù)．
2．怎樣判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)？
[提示]　對(duì)應(yīng)關(guān)系f 是函數(shù)的本質(zhì)特征，好比是計(jì)算機(jī)中的某個(gè)“程序”，當(dāng)f (　　)的括號(hào)內(nèi)輸入自變量x的一個(gè)值時(shí)，在此“程序”作用下便可輸出某個(gè)數(shù)據(jù)，即函數(shù)值，如f (x)＝3x＋5，f 表示“自變量x的3倍加上5”，若x＝4，則f (4)＝3×4＋5＝17．需要注意的是：這里的“x”既可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式，還可以是某個(gè)函數(shù)符號(hào)，如f (x)＝3x＋5，則f (2x－1)＝3(2x－1)＋5，f (φ(x))＝3φ(x)＋5等．
3．怎樣理解對(duì)應(yīng)關(guān)系“f ”的含義？
閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野
函數(shù)概念的形成與發(fā)展
17世紀(jì)是工業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的時(shí)代．天文學(xué)、航海業(yè)及機(jī)械工業(yè)的發(fā)展，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的進(jìn)一步研究與發(fā)展．當(dāng)時(shí)人們把函數(shù)理解為變化的數(shù)量關(guān)系，把曲線理解為幾何形象．法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒(R．Descartes，1596－1650)引入了坐標(biāo)系，創(chuàng)立了解析幾何．他把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．對(duì)此，恩格斯給予了很高的評(píng)價(jià)，他說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)．”
英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、自然哲學(xué)家牛頓(I．Newton，1643－1727)，以流數(shù)來定義描述連續(xù)量——流量(fluxion)的變化率，用以表示變量之間的關(guān)系．因此曲線是當(dāng)時(shí)研究考察的主要模型，這是那個(gè)時(shí)代函數(shù)的概念．
函數(shù)(function)一詞首先是由德國(guó)哲學(xué)家萊布尼茨(G．W．Leibniz，1646－1716)引入的．他用函數(shù)一詞來表示一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)的量，并引入了常量、變量、參變量等概念．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L．Euler，1707－1783)于1734年引入了函數(shù)符號(hào)f (x)，并稱變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，認(rèn)為函數(shù)是一個(gè)公式確定的數(shù)量關(guān)系．他于1775年在《微分學(xué)》中寫道：“如果某些變量以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面的變量也隨之變化，則稱前面的變量為后面變量的函數(shù)．”
直到1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805－1859)放棄了當(dāng)時(shí)普遍接受的函數(shù)是用數(shù)學(xué)符號(hào)和運(yùn)算組成的表達(dá)式的觀點(diǎn)，提出了y＝f (x)是x與y之間的一種對(duì)應(yīng)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)．在分析學(xué)方面，他是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一．狄利克雷關(guān)于函數(shù)的定義沿用至今，他抓住了函數(shù)概念的本質(zhì)——“對(duì)應(yīng)規(guī)律”，擺脫了隱于這一概念之中的有關(guān)時(shí)間、運(yùn)動(dòng)等其他非本質(zhì)的因素．
1859年我國(guó)清代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、翻譯家和教育家李善蘭(1811－1882)第一次將“function”譯成函數(shù)，這一名詞一直沿用至今．
綜上所述可知，函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實(shí)際需要緊密相關(guān)，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化的表達(dá)，這與我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程是一樣的．
你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景，談?wù)剰某踔械礁咧袑W(xué)習(xí)函數(shù)概念的體會(huì)嗎？3.1　函數(shù)的概念與性質(zhì)
3.1.1　函數(shù)及其表示方法
第1課時(shí)　函數(shù)的概念
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型．能用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫出函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫數(shù)學(xué)概念中的作用．(數(shù)學(xué)抽象) 2．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
通過即時(shí)聊天工具，我們可以結(jié)交很多全國(guó)各地的新朋友，可以與遠(yuǎn)方的親朋好友面對(duì)面交流，可以傳送文件，還可以通過聊天練習(xí)打字、學(xué)會(huì)上網(wǎng)等；通過即時(shí)聊天工具，我們開心的時(shí)候可以找人分享，不開心的時(shí)候可以找人傾訴，所以說現(xiàn)在即時(shí)聊天工具成了我們生活不可缺少的一部分．大部分學(xué)生都有即時(shí)聊天工具的賬號(hào)，這樣賬號(hào)與學(xué)生之間就有對(duì)應(yīng)關(guān)系，即賬號(hào)(可能不止一個(gè))對(duì)應(yīng)唯一一位同學(xué)．在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有類似的對(duì)應(yīng)問題，即實(shí)數(shù)x(可能不止一個(gè))對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)y(唯一一個(gè))，那么這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)中叫什么呢？
知識(shí)點(diǎn)1　函數(shù)的概念
定義 給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集A與B，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系f ，如果對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與x對(duì)應(yīng)，則稱f 為定義在集合A上的一個(gè)函數(shù)，記作：y＝f (x)，x∈A，其中x稱為自變量，y稱為因變量
三要素 對(duì)應(yīng)關(guān)系 y＝f (x)，x∈A
定義域 自變量x的取值的范圍 (即非空實(shí)數(shù)集A)
值域 所有函數(shù)值組成的集合{y|y＝f (x)，x∈A}
1．在函數(shù)的概念中，如果函數(shù)y＝f (x)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系確定，那么函數(shù)的值域確定嗎？
[提示]　確定．
2．函數(shù)f (x)與f (a)(a是常數(shù))有何區(qū)別與聯(lián)系？
[提示]　(1)f (a)表示當(dāng)x＝a時(shí)函數(shù)f (x)的值，是一個(gè)常量．
(2)f (x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量．
(3)f (a)是f (x)的所有取值中的一個(gè)．
對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系f 的理解
(1)y＝f (x)不是表示“y等于f 與x的乘積”，而是表示“y是x的函數(shù)”，其中x是自變量．
(2)f 是對(duì)應(yīng)關(guān)系，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，也可以是圖象、表格．
(3)在研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)f (x)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來表示函數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)2　同一個(gè)函數(shù)
一般地，如果兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同(即對(duì)自變量的每一個(gè)值，兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式得到的函數(shù)值都相等)，則稱這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的就是同一個(gè)函數(shù)．
(1)兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)，與函數(shù)用什么字母表示無關(guān)，例如，函數(shù)y＝f (x)＝x2，x∈A與函數(shù)u＝f (t)＝t2，t∈A表示的是同一個(gè)函數(shù)．
(2)f (x)＝x2和f (x－1)＝x2由于對(duì)應(yīng)關(guān)系f 所施加的對(duì)象不同(前者為x，后者為x－1)，因此兩者不是同一個(gè)函數(shù)．
(3)即使兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域都分別相同，它們也不一定是同一個(gè)函數(shù)．如函數(shù)f (x)＝x2，x∈[0，2]和函數(shù)g(x)＝2x，x∈[0，2]．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)任何兩個(gè)集合都可以建立函數(shù)關(guān)系． (　　)
(2)集合A中的兩個(gè)實(shí)數(shù)x可以對(duì)應(yīng)集合B中的一個(gè)實(shí)數(shù)y． (　　)
(3)函數(shù)的值域即為集合B． (　　)
(4)y＝是函數(shù)． (　　)
(5)函數(shù)f (x)＝x2，x∈[0，2]與h(x)＝x2，x∈(0，2)表示同一個(gè)函數(shù)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
[提示]　(1)集合A，B應(yīng)為非空數(shù)集．
(2)符合函數(shù)的定義．
(3)值域是集合B的子集．
(4)x∈ ，不是函數(shù)．
(5)兩個(gè)函數(shù)的定義域不同．
2．函數(shù)f (x)＝的定義域?yàn)開_______．
(－∞，0)∪(0，1]　[要使函數(shù)有意義，
則解得x≤1且x≠0，
即函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，1]．]
3．若f (x)＝，則f (3)＝________．
－　[f (3)＝＝－．]
類型1　函數(shù)的判斷
【例1】　(1)(多選)設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
(2)若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”．那么函數(shù)解析式為f (x)＝x2，值域?yàn)閧1，4}的“同族函數(shù)”共有(　　)
A．7個(gè) B．8個(gè)　　　
C．9個(gè)　　　 D．無數(shù)個(gè)
(3)在下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，能確定y是x的函數(shù)的是(　　)
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，f 為“除以3”；
②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，f 為“求3x的平方根”；
③A＝R，B＝R，f 為“求平方”；
④A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，f 為“乘以0”．
A．①④ B．②③④
C．②③ D．③④
(1)BC　(2)C　(3)D　[(1)對(duì)于A，由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]，而集合M＝{x|0≤x≤2}，不符合題意；
對(duì)于B，由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，2]，值域?yàn)閇0，2]，滿足函數(shù)的定義，故正確；
對(duì)于C，由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，2]，值域?yàn)閇0，2]，滿足函數(shù)的定義，故正確；
對(duì)于D，由圖象可知，圖形中一個(gè)x(除0外)有兩個(gè)y值與之相對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，故不正確．
(2)因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)閧1，4}，所以其定義域由1，－1，2，－2組成，因此有{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9種情況．
(3)①在對(duì)應(yīng)關(guān)系f 下，A中不能被3整除的數(shù)在B中沒有唯一確定的數(shù)與它對(duì)應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)；②在對(duì)應(yīng)關(guān)系f 下，A中的數(shù)在B中有兩個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)；③④符合函數(shù)的定義．]
　函數(shù)的判斷
(1)根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的步驟
①任取一條垂直于x軸的直線l；
②在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l；
③若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù)．
(2)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中是A到B的函數(shù)的是(　　)
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖
C．A＝R，B＝R，f ：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝
B　[A錯(cuò)誤，x2＋y2＝1可化為y＝±，顯然對(duì)x∈A，y值可能不存在也可能不唯一．B正確，符合函數(shù)的定義．C錯(cuò)誤，2∈A，在B中找不到與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)．D錯(cuò)誤，－1∈A，在B中找不到與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)．]
2．下列圖形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，以N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的圖象是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
C　[由函數(shù)的定義知選C．]
類型2　同一個(gè)函數(shù)的判斷
【例2】　(源自北師大版教材)下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)？
(1)f (x)＝，g(x)＝()2；
(2)f (x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；
(3)f (x)＝，g(x)＝x－1；
(4)f (x)＝x＋，g(t)＝t＋．
[解]　(1)因?yàn)閒 (x)的定義域是R，g(x)的定義域是[0，＋∞)，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)．
(2)因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)．
(3)因?yàn)閒 (x)的定義域是{x|x≠－1}，g(x)的定義域是R，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)．
(4)f (x)和g(t)雖然表示自變量的字母不同，但它們的定義域及對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以是同一個(gè)函數(shù)．
　判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)的步驟
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．下列各組式子是否表示同一個(gè)函數(shù)？為什么？
(1)f (x)＝|x|，φ(t)＝；
(2)y＝·，y＝；
(3)y＝，y＝x－3．
[解]　(1)f (x)與φ(t)的定義域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f (x)與φ(t)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，∴f (x)與φ(t)是同一個(gè)函數(shù)．
(2)y＝·的定義域?yàn)閧x|－1≤x≤1}，y＝的定義域?yàn)閧x|－1≤x≤1}，即兩者定義域相同．又∵y＝·＝，∴兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同．故y＝·與y＝是同一個(gè)函數(shù)．
(3)∵y＝＝|x－3|與y＝x－3的定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，
∴y＝與y＝x－3不是同一個(gè)函數(shù)．
類型3　求函數(shù)的定義域
【例3】　求下列函數(shù)的定義域：
(1)f (x)＝·＋2；
(2)y＝；
(3)已知f (x＋1)的定義域?yàn)?2，4)．
①求f (x)的定義域；②求f (2x)的定義域．
[解]　(1)要使此函數(shù)有意義，應(yīng)滿足
解得1≤x≤4，所以此函數(shù)的定義域是[1，4]．
(2)因?yàn)?0無意義，所以x＋1≠0，即x≠－1．①
作為分母不能為0，二次根式的被開方數(shù)不能為負(fù)，所以|x|－x>0，即x＜0．②
由①②可得函數(shù)y＝的定義域是(－∞，－1)∪(－1，0)．
(3)①∵f (x＋1)的定義域?yàn)?2，4)，
∴2②∵f (x)的定義域?yàn)?3，5)，
∴由3<2x<5得即f (2x)的定義域?yàn)椋?br/>　求函數(shù)定義域的常用方法
(1)若f (x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零．
(2)若f (x)是二次根式，則被開方數(shù)大于或等于零．
(3)若f (x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分有意義的x取值集合的交集．
(4)若f (x)是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)使實(shí)際問題有意義．
(5)復(fù)合函數(shù)定義域的求法：
①已知f (x)的定義域?yàn)锳，求f (g(x))的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知g(x)∈A，求x的范圍；
②已知f (g(x))的定義域?yàn)锳，求f (x)的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知x∈A，求g(x)的范圍，此范圍就是f (x)的定義域．
提醒：復(fù)合函數(shù)定義域的求解原則：同在對(duì)應(yīng)法則f 下的范圍相同，即f (t)，f (φ(x))，f (h(x))三個(gè)函數(shù)中的t，φ(x)，h(x)的范圍相同．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．(1)已知函數(shù)y＝的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為________．
(2)已知函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?1，3)，則函數(shù)g(x)＝的定義域?yàn)開_______．
(1)[0，4]　(2)(1，2)　[(1)當(dāng)a＝0時(shí)，1≥0恒成立，所以a＝0符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，由題意知解得0綜上，a的取值范圍為[0，4]．
(2)依題意，解得1類型4　求函數(shù)值(值域)
【例4】　(1)已知f (x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，則f (2)＝________，f (g(2))＝________．
(2)求下列函數(shù)的值域：
①y＝；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
③y＝；
④y＝2x－．
(1)　[∵f (x)＝，∴f (2)＝＝．又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f (g(2))＝f (6)＝＝．]
(2)[解]　①(利用不等式性質(zhì))因?yàn)閤2＋2≥2，
所以0<，所以y＝的值域?yàn)椋?br/>②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖①)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇2，6)．
圖①
③(分離常數(shù)法)y＝＝＝3－．
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域?yàn)閧y|y∈R且y≠3}．
④(換元法)設(shè)t＝，則t≥0且x＝t2＋1，
所以y＝2(t2＋1)－t＝＋，由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖②)，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>圖②
　1．求函數(shù)值的方法的兩種類型
(1)已知f (x)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f (a)的值．
(2)求f (g(a))的值應(yīng)遵循由內(nèi)向外的原則．
2．求函數(shù)值域的常用方法
(1)觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到．
(2)配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時(shí)，可利用配方法求其值域．
(3)分離常數(shù)法：將形如y＝(a≠0)的函數(shù)分離常數(shù)，變形過程為＝＝，再結(jié)合x的范圍確定的范圍，從而確定函數(shù)的值域．
(4)換元法：即運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對(duì)于f (x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數(shù)，且a≠0)型的函數(shù)常用換元法．
(5)圖象法：利用函數(shù)圖象的直觀性求函數(shù)值域的方法．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
5．已知函數(shù)f (x)＝－1，且f (a)＝3，則a＝________．
16　[因?yàn)閒 (x)＝－1，
所以f (a)＝－1．
又因?yàn)閒 (a)＝3，
所以－1＝3，a＝16．]
6．求下列函數(shù)的值域：
(1)y＝＋1；(2)y＝．
[解]　(1)因?yàn)椤?，
所以＋1≥1，
即所求函數(shù)的值域?yàn)閇1，＋∞)．
(2)因?yàn)閥＝＝－1＋，
又函數(shù)的定義域?yàn)镽，
所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，則y∈(－1，1]．
所以所求函數(shù)的值域?yàn)?－1，1]．
1．下列說法正確的是(　　)
A．函數(shù)值域中每一個(gè)數(shù)在定義域中一定只有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)
B．函數(shù)的定義域和值域可以是空集
C．函數(shù)的定義域和值域一定是非空的數(shù)集
D．函數(shù)的定義域和值域確定后，函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也就確定了
C　[由函數(shù)的定義知，函數(shù)的定義域、值域?yàn)榉强盏臄?shù)集．]
2．下列圖象中不能表示函數(shù)的圖象的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
D　[在選項(xiàng)D中，x>0時(shí)，任意一個(gè)x對(duì)應(yīng)著兩個(gè)y的值，因此選項(xiàng)D不是函數(shù)的圖象．]
3．函數(shù)y＝的定義域?yàn)?　　)
A．{x|x≤1}　　　 B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
D　[由題意可知
解得0≤x≤1．]
4．已知函數(shù)f (x)＝．若f (a)＝5，則實(shí)數(shù)a＝________．
26　[∵f (a)＝5，即＝5，
∴a－1＝25，
∴a＝26．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．對(duì)函數(shù)概念你是怎樣理解的？
[提示]　(1)y＝f (x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，不能認(rèn)為“y等于f 與x的乘積”，應(yīng)理解為：x是自變量，f 是對(duì)應(yīng)關(guān)系(可以是解析式、圖象、表格或文字描述等)．
(2)函數(shù)符號(hào)f (x)表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系與字母f 無關(guān)，也可以用g，F(xiàn)，G等表示；同樣，自變量x也可以用t，m，h等表示．
(3)函數(shù)的定義域必須是非空數(shù)集，因此定義域?yàn)榭占暮瘮?shù)不存在．如y＝就不是函數(shù)．
(4)函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對(duì)于非空實(shí)數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)元素x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對(duì)應(yīng)．這“三性”只要有一個(gè)不滿足，便不能構(gòu)成函數(shù)．
(5)f (a)表示當(dāng)x＝a時(shí)函數(shù)f (x)的值，是一個(gè)常量，而f (x)是自變量x的函數(shù)，表示的是變量．
2．怎樣判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)？
[提示]　函數(shù)的定義主要包括定義域和定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則，因此，判定兩個(gè)函數(shù)是否相同時(shí)，就看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否完全一致，與用什么字母表示自變量、因變量和對(duì)應(yīng)關(guān)系是沒有關(guān)系的，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致的兩個(gè)函數(shù)才算同一個(gè)函數(shù)．
3．怎樣理解對(duì)應(yīng)關(guān)系“f ”的含義？
[提示]　對(duì)應(yīng)關(guān)系f 是函數(shù)的本質(zhì)特征，好比是計(jì)算機(jī)中的某個(gè)“程序”，當(dāng)f (　　)的括號(hào)內(nèi)輸入自變量x的一個(gè)值時(shí)，在此“程序”作用下便可輸出某個(gè)數(shù)據(jù)，即函數(shù)值，如f (x)＝3x＋5，f 表示“自變量x的3倍加上5”，若x＝4，則f (4)＝3×4＋5＝17．需要注意的是：這里的“x”既可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式，還可以是某個(gè)函數(shù)符號(hào)，如f (x)＝3x＋5，則f (2x－1)＝3(2x－1)＋5，f (φ(x))＝3φ(x)＋5等．
函數(shù)概念的形成與發(fā)展
17世紀(jì)是工業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的時(shí)代．天文學(xué)、航海業(yè)及機(jī)械工業(yè)的發(fā)展，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的進(jìn)一步研究與發(fā)展．當(dāng)時(shí)人們把函數(shù)理解為變化的數(shù)量關(guān)系，把曲線理解為幾何形象．法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒(R．Descartes，1596－1650)引入了坐標(biāo)系，創(chuàng)立了解析幾何．他把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．對(duì)此，恩格斯給予了很高的評(píng)價(jià)，他說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)．”
英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、自然哲學(xué)家牛頓(I．Newton，1643－1727)，以流數(shù)來定義描述連續(xù)量——流量(fluxion)的變化率，用以表示變量之間的關(guān)系．因此曲線是當(dāng)時(shí)研究考察的主要模型，這是那個(gè)時(shí)代函數(shù)的概念．
函數(shù)(function)一詞首先是由德國(guó)哲學(xué)家萊布尼茨(G．W．Leibniz，1646－1716)引入的．他用函數(shù)一詞來表示一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)的量，并引入了常量、變量、參變量等概念．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L．Euler，1707－1783)于1734年引入了函數(shù)符號(hào)f (x)，并稱變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，認(rèn)為函數(shù)是一個(gè)公式確定的數(shù)量關(guān)系．他于1775年在《微分學(xué)》中寫道：“如果某些變量以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面的變量也隨之變化，則稱前面的變量為后面變量的函數(shù)．”
直到1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805－1859)放棄了當(dāng)時(shí)普遍接受的函數(shù)是用數(shù)學(xué)符號(hào)和運(yùn)算組成的表達(dá)式的觀點(diǎn)，提出了y＝f (x)是x與y之間的一種對(duì)應(yīng)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)．在分析學(xué)方面，他是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一．狄利克雷關(guān)于函數(shù)的定義沿用至今，他抓住了函數(shù)概念的本質(zhì)——“對(duì)應(yīng)規(guī)律”，擺脫了隱于這一概念之中的有關(guān)時(shí)間、運(yùn)動(dòng)等其他非本質(zhì)的因素．
1859年我國(guó)清代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、翻譯家和教育家李善蘭(1811－1882)第一次將“function”譯成函數(shù)，這一名詞一直沿用至今．
綜上所述可知，函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實(shí)際需要緊密相關(guān)，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化的表達(dá)，這與我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程是一樣的．
你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景，談?wù)剰某踔械礁咧袑W(xué)習(xí)函數(shù)概念的體會(huì)嗎？
課時(shí)分層作業(yè)(十八)　函數(shù)的概念
一、選擇題
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．函數(shù)值域中的每一個(gè)值都有定義域中的至少一個(gè)值與它對(duì)應(yīng)
B．函數(shù)的定義域是無限集，則值域也是無限集
C．定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了
D．若函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素，則值域也只有一個(gè)元素
ACD　[根據(jù)函數(shù)的概念可判斷，A，C，D是正確的．對(duì)于B，如函數(shù)y＝1，值域是{1}，是有限集．]
2．(多選)下列各圖是函數(shù)圖象的是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
BD　[根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域內(nèi)的每一個(gè)x只有一個(gè)y和它對(duì)應(yīng)，滿足條件的只有BD．]
3．已知集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2－1}，則A∩B＝(　　)
A． 　　　　　　　 B．{(0，－1)，(1，0)}
C．[－1，＋∞) D．{0，1}
C　[A＝{x|y＝x－1}，所以A＝R，由y＝x2－1≥－1，得B＝{y|y＝x2－1}＝[－1，＋∞)，
則A∩B＝[－1，＋∞)．]
4．與函數(shù)y＝為同一函數(shù)的是(　　)
A．y＝x B．y＝－x
C．y＝－ D．y＝x2
B　[函數(shù)y＝的定義域?yàn)?－∞，0]，而y＝－的定義域?yàn)閇0，＋∞)，y＝x2的定義域?yàn)?－∞，0)，因而排除C、D．又y＝x中，x≤0，∴y≤0，即值域?yàn)?－∞，0]，這與函數(shù)y＝的值域不同，∴排除A．故選B．]
5．f (x)的定義域A＝{x∈Z|0≤x≤3}，則f (x)＝＋6x的值域?yàn)?　　)
A． B．
C． D．{0，4}
D　[因?yàn)槎x域A＝{x∈Z|0≤x≤3}＝{0，1，2，3}，所以f (0)＝f (3)＝0，f (1)＝f (2)＝4，故f (x)的值域?yàn)閧0，4}．]
二、填空題
6．試寫出一個(gè)與函數(shù)y＝x2定義域和值域都相同的函數(shù)，其解析式可以為________．
y＝(x＋1)2(答案不唯一)　[y＝x2的定義域、值域均為R，寫出的函數(shù)其定義域、值域均為R的都可以．]
7．已知函數(shù)f (x)＝，又知f (t)＝6，則t＝________．
－　[由f (t)＝6，得＝6，即t＝－．]
8．函數(shù)y＝的值域是________．
(0，8]　[通過配方可得函數(shù)y＝
＝，∵(x－2)2＋1≥1，
∴0＜≤8，故0＜y≤8．
故函數(shù)y＝的值域?yàn)?0，8]．]
三、解答題
9．已知函數(shù)f (x)＝．
(1)求函數(shù)f (x)的定義域；
(2)求f (－1)，f (12)的值．
[解]　(1)根據(jù)題意知x－1≠0且x＋4≥0，所以x≥－4且x≠1，即函數(shù)f (x)的定義域?yàn)閇－4，1)∪(1，＋∞)．
(2)f (－1)＝＝－3－，
f (12)＝＝－4＝－．
10．(多選)記無理數(shù)e＝2.718 281 828 459 045…小數(shù)點(diǎn)后第n位上的數(shù)字為m，則m是關(guān)于n的函數(shù)，記作m＝f (n)，其定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則(　　)
A．f (5)＝8
B．函數(shù)f (n)的圖象是一群孤立的點(diǎn)
C．n是關(guān)于m的函數(shù)
D．B A
AB　[根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域A＝N*，
對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)位n對(duì)應(yīng)數(shù)字7，1，8，2，8，1，8，2，8，…，
f (5)＝8，函數(shù)f (n)的圖象是一群孤立的點(diǎn)，故A，B正確；
對(duì)于C，n不是關(guān)于m的函數(shù)，如m＝8時(shí)，n可能為3，5，7，9，不符合函數(shù)的定義，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?∈B，0 A，所以D錯(cuò)誤．故選AB．]
11．(多選)給定集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成定義在集合M上的函數(shù)的是(　　)
A．“求倒數(shù)” B．“加上1”
C．“求絕對(duì)值” D．“求平方”
CD　[在A中，y＝，
當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝＝－1 N，錯(cuò)誤；
在B中，y＝x＋1，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－1＋1＝0 N，錯(cuò)誤；
在C中，y＝|x|，滿足函數(shù)定義，正確；
在D中，y＝x2滿足函數(shù)定義，正確．]
12．已知函數(shù)y＝f (x＋1)的定義域?yàn)閇1，2]，則函數(shù)y＝f (2x－1)的定義域?yàn)開_______．
　[∵函數(shù)y＝f (x＋1)的定義域?yàn)閇1，2]，即1≤x≤2，可得2≤x＋1≤3，
∴函數(shù)y＝f (x)的定義域?yàn)閇2，3]，令2≤2x－1≤3，解得≤x≤2，
故函數(shù)y＝f (2x－1)的定義域?yàn)椋甝
13．函數(shù)f (x)，g(x)分別由下表給出．
x 1 2 3
f (x) 1 3 1
　
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
則f (g(1))的值為________；滿足f (g(x))>g(f (x))的x的值是________．
1　2　[∵g(1)＝3，f (3)＝1，
∴f (g(1))＝1．
當(dāng)x＝1時(shí)，f (g(1))＝f (3)＝1，
g(f (1))＝g(1)＝3，
f (g(x))當(dāng)x＝2時(shí)，f (g(2))＝f (2)＝3，
g(f (2))＝g(3)＝1，
f (g(x))>g(f (x))，符合題意；
當(dāng)x＝3時(shí)，f (g(3))＝f (1)＝1，
g(f (3))＝g(1)＝3，
f (g(x))故滿足f (g(x))＞g(f (x))的x的值為2．]
14．已知f (x)＝2x－1，g(x)＝．
(1)求f (x＋1)，g，f (g(x))；
(2)寫出函數(shù)f (x)與g(x)的定義域和值域．
[解]　(1)f (x)＝2x－1，g(x)＝，
可得f (x＋1)＝2(x＋1)－1＝2x＋1，
g＝＝；
f (g(x))＝2g(x)－1＝＝．
(2)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，值域?yàn)?－∞，＋∞)，由x2≥0，1＋x2≥1，0<≤1，可得函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，值域?yàn)?0，1]．
15．已知函數(shù)f (x)＝．
(1)求f (2)與f ，f (3)與f ．
(2)由(1)中求得結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f (x)與f 有什么關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn)．
(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 024)＋f ＋f ＋…＋f 的值．
[解]　(1)∵f (x)＝，
∴f (2)＝＝，
f ＝＝，
f (3)＝＝，
f ＝＝．
(2)由(1)發(fā)現(xiàn)f (x)＋f ＝1．證明如下：
f (x)＋f ＝＝＝1．
(3)f (1)＝＝，
由(2)知f (2) ＋ f ＝1，
f (3)＋f ＝1，…，
f (2 024) ＋ f ＝1，
∴原式＝＋1＋…＋1＝＋1×2 023＝．
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