資源簡介

(共52張PPT)
第2課時　函數的表示方法
第三章　函數
3.1　函數的概念與性質
3.1.1　函數及其表示方法
學習任務 1．掌握函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法．
(數學抽象)
2．會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數．(數學抽象)
3．理解分段函數的概念，會求分段函數的函數值，能畫出分段函數的圖象．(直觀想象、數學運算)
4．能在實際問題中選擇恰當的方法表示兩變量之間的函數關系，并能解決有關問題．(數學建模)
必備知識·情境導學探新知
(1)已建成的京滬高速鐵路總長約1 318千米，設計速度目標值為380千米/時．若京滬高速鐵路時速按300千米/時計算，火車行駛x小時后，路程為y千米，則y是x的函數，可以用y＝300x來表示，其中y＝300x叫做該函數的解析式．
(2)如下圖是某中學升學率的變化曲線：
(3)下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關系表：
問題　根據初中學過的知識，說出問題(1)、(2)、(3)分別是用什么方法表示函數的．
污染源距離 50 100 200 300 500
氰化物濃度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
知識點1　函數的表示方法
代數式(或解析式)
圖象
表格
提醒　對3種表示法的說明
解析法 利用解析式表示函數的前提是變量間的對應關系明確，且利用解析法表示函數時要注意注明其定義域
列表法 采用列表法的前提是函數值對應清楚，選取的自變量要有代表性
圖象法 圖象既可以是連續的曲線，也可以是離散的點
思考　1．任何一個函數都可以用解析法、列表法、圖象法三種形式表示嗎？
知識點2　用集合語言對函數的圖象進行描述
(1)定義：將函數y＝f (x)，x∈A中的自變量x和對應的函數值y，分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點(x，y)組成的集合F稱為函數的圖象，即F＝{(x，y)|y＝f (x)，x∈A}．
(2)F是函數y＝f (x)的圖象，必須滿足下列兩條：
①圖象上________的坐標(x，y)都滿足函數關系y＝f (x)；
②滿足函數關系y＝f (x)的點(x，y)都在______________．
任意一點
函數的圖象F上
知識點3　分段函數
如果一個函數，在其定義域內，對于自變量的不同________，有不同的________，則稱其為分段函數．
[提示]　分段函數是一個函數，而不是幾個函數．
取值區間
對應方式
思考　2．分段函數是一個函數還是幾個函數？
提醒　分段函數的定義域、值域和圖象
(1)定義域：各段自變量取值范圍的并集，注意各段自變量取值范圍的交集為空集．
(2)值域：各段函數在相應區間上函數取值集合的并集．
(3)圖象：根據不同定義域上的解析式分別作出，再將它們組合在一起得到整個分段函數的圖象．
2
3
題號
4
1
×
2
3
題號
4
1
(2)函數y＝|x|不是分段函數． (　　)
×
[提示]　常數函數的圖象是垂直于y軸的直線．
×
(3)常數函數的圖象是垂直于x軸的直線． (　　)
2
3
題號
4
1
1　[由題設給出的表知f (3)＝4，則f ( f (3))＝f (4)＝1．]
2．已知函數f (x)由下表給出，則f ( f (3))＝________．
x 1 2 3 4
f (x) 3 2 4 1
1
2
3
題號
4
1

2
3
題號
4
1
1　3　[由f (x)的表格可得f (2)＝2，則由函數圖象可知g( f (2))＝g(2)＝1，由函數圖象可知g(2)＝1，由表格可知f (1)＝3，故f (g(2))＝3．]
4．已知函數y＝f (x)的對應關系如表所示，
x 1 2 3
f (x) 3 2 1
函數y＝g(x)的圖象是如圖所示的曲線ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，則g( f (2))的值為______，f (g(2))的值為________．
1
3
關鍵能力·合作探究釋疑難
類型1　函數的3種表示方法
【例1】　某商場新進了10臺彩電，每臺售價3 000元，試求售出臺數x與收款數y之間的函數關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來．
[解]　①列表法如下：
x(臺) 1 2 3 4 5
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x(臺) 6 7 8 9 10
y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②圖象法如圖所示：
③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
反思領悟　1．函數的3種表示法的選擇
解析法、圖象法和列表法分別從三個不同的角度刻畫了自變量與函數值的對應關系．采用解析法的前提是變量間的對應關系明確，采用圖象法的前提是函數的變化規律清晰，采用列表法的前提是定義域內自變量的個數較少．
2．用3種方法表示函數時要注意的問題
(1)解析法必須注明函數的定義域．
(2)列表法必須羅列出所有的自變量與函數值的對應關系．
(3)圖象法必須清楚函數圖象是“點”還是“線”．
[跟進訓練]
1．如圖，點P在邊長為1的正方形的邊上運動，M是CD的中點，則當P沿A-B-C-M運動時，點P經過的路程x與△APM的面積y的函數y＝f (x)的圖象的形狀大致是(　　)
A　　　　　　　B 　　　　　C　　　　　　　D
√
類型2　函數解析式的求法
考向1　待定系數法求函數解析式
【例2】　(1)已知f (x)是一次函數，且滿足2f (x＋3)－f (x－2)＝2x＋21，求f (x)的解析式．
(2)已知f (x)為二次函數，且滿足f (0)＝1，f (x－1)－f (x)＝4x，求f (x)的解析式．
[解]　(1)設f (x)＝ax＋b(a≠0)，
則2f (x＋3)－f (x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，
所以f (x)＝2x＋5．
(2)因為f (x)為二次函數，設f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f (0)＝1，得c＝1．
又因為f (x－1)－f (x)＝4x，
所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，
求得a＝－2，b＝－2，
所以f (x)＝－2x2－2x＋1．
x2－4x＋3(x≥1)
√
f (x)＝2x＋2或f (x)＝－2x－6
[解]　(1)f (－4)＝－4＋2＝－2，
f (3)＝2×3＝6，f (－2)＝－2＋2＝0，
f ( f (－2))＝f (0)＝02＝0．
反思領悟　分段函數問題的常見解法
(1)求分段函數的函數值的方法：先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區間，然后代入該段的解析式求值．當出現f (f (a))的形式時，應從內到外依次求值．
(2)已知分段函數的函數值，求自變量的值的方法：先假設自變量的值在分段函數定義域的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要檢驗．
(3)在分段函數的前提下，求某條件下自變量的取值范圍的方法：先假設自變量的值在分段函數定義域的各段上，然后求出在相應各段定義域上自變量的取值范圍，再求它們的并集即可．
√
x 2 3 4 5 …
y 1 …
反思領悟　描點法作函數圖象的3個關注點
(1)畫函數圖象時首先關注函數的定義域，即在定義域內作圖．
(2)圖象是實線或實點，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象．
(3)要標出某些關鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等．要分清這些關鍵點是實心點還是空心點．
提醒：(1)函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．
(2)分段函數的圖象是在同一個直角坐標系內分別作出各段的圖象，在作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏．
學習效果·課堂評估夯基礎
2
3
題號
4
1
√
2
3
題號
4
1
√
A　[令x＋1＝t，則x＝t－1，
∴f (t)＝3(t－1)＋2＝3t－1．
∴f (x)＝3x－1．]
2．已知函數f (x＋1)＝3x＋2，則f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3x－1 B．f (x)＝3x＋1
C．f (x)＝3x＋2 D．f (x)＝3x＋4
2
3
題號
4
1

2
3
題號
4
1
4．函數y＝f (x)的圖象如圖所示，則其解析式為
_______________________．
[提示]　解析法、列表法、圖象法．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．函數的三種表示方法是什么？
[提示]　(1)分段函數是一個函數，而不是幾個函數．處理分段函數問題時，要先確定自變量的取值在哪個區間，從而選取相應的對應關系．
(2)分段函數在書寫時用大括號把各段函數合并寫成一個函數的形式，并且必須指明各段函數自變量的取值范圍．
(3)分段函數的定義域是所有自變量取值區間的并集．分段函數的定義域只能寫成一個集合的形式，不能分開寫成幾個集合的形式．
(4)分段函數的值域是各段函數在對應自變量的取值范圍內值域的并集．
2．你是怎樣理解分段函數的？
[提示]　待定系數法、換元法、配湊法、消元法、解方程組等方法．
3．求函數的解析式有哪些常用方法？第2課時　函數的表示方法
學習任務 1．掌握函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法．(數學抽象) 2．會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數．(數學抽象) 3．理解分段函數的概念，會求分段函數的函數值，能畫出分段函數的圖象．(直觀想象、數學運算) 4．能在實際問題中選擇恰當的方法表示兩變量之間的函數關系，并能解決有關問題．(數學建模)
(1)已建成的京滬高速鐵路總長約1 318千米，設計速度目標值為380千米/時．若京滬高速鐵路時速按300千米/時計算，火車行駛x小時后，路程為y千米，則y是x的函數，可以用y＝300x來表示，其中y＝300x叫做該函數的解析式．
(2)如下圖是某中學升學率的變化曲線：
(3)下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關系表：
污染源距離 50 100 200 300 500
氰化物濃度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
問題　根據初中學過的知識，說出問題(1)、(2)、(3)分別是用什么方法表示函數的．
知識點1　函數的表示方法
對3種表示法的說明
解析法 利用解析式表示函數的前提是變量間的對應關系明確，且利用解析法表示函數時要注意注明其定義域
列表法 采用列表法的前提是函數值對應清楚，選取的自變量要有代表性
圖象法 圖象既可以是連續的曲線，也可以是離散的點
1．任何一個函數都可以用解析法、列表法、圖象法三種形式表示嗎？
[提示]　不一定．并不是所有的函數都可以用解析式表示，不僅如此，圖象法也不適用于所有函數，如D(x)＝列表法雖在理論上適用于所有函數，但對于自變量有無數個取值的情況，列表法只能表示函數的一個概況或片段．
知識點2　用集合語言對函數的圖象進行描述
(1)定義：將函數y＝f (x)，x∈A中的自變量x和對應的函數值y，分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點(x，y)組成的集合F稱為函數的圖象，即F＝{(x，y)|y＝f (x)，x∈A}．
(2)F是函數y＝f (x)的圖象，必須滿足下列兩條：
①圖象上任意一點的坐標(x，y)都滿足函數關系y＝f (x)；
②滿足函數關系y＝f (x)的點(x，y)都在函數的圖象F上．
知識點3　分段函數
如果一個函數，在其定義域內，對于自變量的不同取值區間，有不同的對應方式，則稱其為分段函數．
2．分段函數是一個函數還是幾個函數？
[提示]　分段函數是一個函數，而不是幾個函數．
分段函數的定義域、值域和圖象
(1)定義域：各段自變量取值范圍的并集，注意各段自變量取值范圍的交集為空集．
(2)值域：各段函數在相應區間上函數取值集合的并集．
(3)圖象：根據不同定義域上的解析式分別作出，再將它們組合在一起得到整個分段函數的圖象．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)分段函數y＝的定義域為(－∞，1]． (　　)
(2)函數y＝|x|不是分段函數． (　　)
(3)常數函數的圖象是垂直于x軸的直線． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
[提示]　(1)分段函數y＝的定義域為(－∞，1]∪(1，＋∞)＝R．
(2)函數y＝|x|＝是分段函數．
(3)常數函數的圖象是垂直于y軸的直線．
2．已知函數f (x)由下表給出，則f (f (3))＝________．
x 1 2 3 4
f (x) 3 2 4 1
1　[由題設給出的表知f (3)＝4，則f (f (3))＝f (4)＝1．]
3．(2024·上海卷)已知函數f (x)＝，則f (3)＝________．
　[因為3>0，所以f (3)＝.]
4．已知函數y＝f (x)的對應關系如表所示，
x 1 2 3
f (x) 3 2 1
函數y＝g(x)的圖象是如圖所示的曲線ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，則g(f (2))的值為______，f (g(2))的值為________．
1　3　[由f (x)的表格可得f (2)＝2，則由函數圖象可知g(f (2))＝g(2)＝1，由函數圖象可知g(2)＝1，由表格可知f (1)＝3，故f (g(2))＝3．]
類型1　函數的3種表示方法
【例1】　某商場新進了10臺彩電，每臺售價3 000元，試求售出臺數x與收款數y之間的函數關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來．
[解]　①列表法如下：
x(臺) 1 2 3 4 5
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x(臺) 6 7 8 9 10
y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②圖象法如圖所示：
③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
　1．函數的3種表示法的選擇
解析法、圖象法和列表法分別從三個不同的角度刻畫了自變量與函數值的對應關系．采用解析法的前提是變量間的對應關系明確，采用圖象法的前提是函數的變化規律清晰，采用列表法的前提是定義域內自變量的個數較少．
2．用3種方法表示函數時要注意的問題
(1)解析法必須注明函數的定義域．
(2)列表法必須羅列出所有的自變量與函數值的對應關系．
(3)圖象法必須清楚函數圖象是“點”還是“線”．
[跟進訓練]
1．如圖，點P在邊長為1的正方形的邊上運動，M是CD的中點，則當P沿A-B-C-M運動時，點P經過的路程x與△APM的面積y的函數y＝f (x)的圖象的形狀大致是(　　)
A　　　 　　　　　　B
C　　　 　　　　　　D
A　[當點P在AB上時：y＝×x×1＝x，0≤x≤1．
當點P在BC上時：y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM
＝AB2－AD·DM－AB·BP－CP·CM
＝12－×1××1×(x－1)－×(2－x)×＝－x＋，1當點P在CM上時：y＝×1＝－x＋，2由條件可知函數y＝f (x)的圖象由三段構成，結合一次函數的圖象可知選項A正確．]
類型2　函數解析式的求法
　待定系數法求函數解析式
【例2】　(1)已知f (x)是一次函數，且滿足2f (x＋3)－f (x－2)＝2x＋21，求f (x)的解析式．
(2)已知f (x)為二次函數，且滿足f (0)＝1，f (x－1)－f (x)＝4x，求f (x)的解析式．
[解]　(1)設f (x)＝ax＋b(a≠0)，
則2f (x＋3)－f (x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，
所以f (x)＝2x＋5．
(2)因為f (x)為二次函數，設f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f (0)＝1，得c＝1．
又因為f (x－1)－f (x)＝4x，
所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，
求得a＝－2，b＝－2，
所以f (x)＝－2x2－2x＋1．
　換元法(或配湊法)求函數解析式
【例3】　已知f (＋1)＝x－2，則f (x)＝________．
x2－4x＋3(x≥1)　[(法一：換元法)令t＝＋1，則t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(法二：配湊法)f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因為＋1≥1，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．]
　方程組法求函數解析式
【例4】　(1)已知函數f (x)對于任意的x都有f (x)－2f (－x)＝1＋2x，則f (x)＝________．
(2)已知函數f (x) 滿足f (x)＋2f ＝x(x≠0)，則f (x)＝________．
(1)x－1　(2)(x≠0)　[(1)由題意，在f (x)－2f (－x)＝1＋2x中，以－x代替x，可得f (－x)－2f (x)＝1－2x，
聯立可得 消去f (－x)，
可得f (x)＝x－1．
(2)f (x)＋2f ＝x(x≠0)，
以代替x，
得f ＋2f (x)＝．
聯立
解得f (x)＝(x≠0)．]
　函數解析式的求法
(1)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數、反比例函數等)，可用待定系數法．
(2)換元法：已知函數f (g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍．
(3)解方程組法：已知f (x)與f ，f (－x)之間的關系式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f (x)．
[跟進訓練]
2．(1)若f (－1)＝x＋＋1，則f (x)的解析式為(　　)
A．f (x)＝x2＋x＋1(x≥－1)
B．f (x)＝x2－1(x≥－1)
C．f (x)＝x2＋3x＋3(x≥－1)
D．f (x)＝(x－1)2(x≥－1)
(2)已知函數f (x)滿足f (x)＋2f ＝3x，函數解析式為f (x)＝________．
(3)已知一次函數f (x)滿足f (f (x))＝4x＋6，則f (x)的解析式為________．
(1)C　(2)－x(x≠0)　(3)f (x)＝2x＋2或f (x)＝－2x－6　[(1)已知f (－1)＝x＋＋1，
令t＝－1≥－1，則＝t＋1，x＝(t＋1)2，
所以f (t)＝(t＋1)2＋t＋1＋1＝t2＋3t＋3(t≥－1)，
所以f (x)＝x2＋3x＋3(x≥－1)．
(2)由f (x)＋2f ＝3x可得f ＋2f (x)＝，
解得f (x)＝－x(x≠0)．
(3)設f (x)＝ax＋b(a≠0)，則f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，于是有解得或
所以f (x)＝2x＋2或f (x)＝－2x－6．]
類型3　分段函數及其應用
【例5】　已知函數f (x)＝
(1)求f (－4)，f (3)，f (f (－2))；
(2)若f (a)＝10，求a的值；
(3)求f (x＋1)．
[解]　(1)f (－4)＝－4＋2＝－2，
f (3)＝2×3＝6，f (－2)＝－2＋2＝0，
f (f (－2))＝f (0)＝02＝0．
(2)當a≤－1時，a＋2＝10，可得a＝8，不符合題意；
當－1可得a＝±，不符合題意；
當a≥2時，2a＝10，可得a＝5，符合題意．
綜上可知，a＝5．
(3)當x＋1≤－1，即x≤－2時，
f (x＋1)＝x＋1＋2＝x＋3；
當－1當x＋1≥2，即x≥1時，f (x＋1)＝2(x＋1)＝2x＋2．
綜上可知，f (x＋1)＝
　分段函數問題的常見解法
(1)求分段函數的函數值的方法：先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區間，然后代入該段的解析式求值．當出現f (f (a))的形式時，應從內到外依次求值．
(2)已知分段函數的函數值，求自變量的值的方法：先假設自變量的值在分段函數定義域的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要檢驗．
(3)在分段函數的前提下，求某條件下自變量的取值范圍的方法：先假設自變量的值在分段函數定義域的各段上，然后求出在相應各段定義域上自變量的取值范圍，再求它們的并集即可．
[跟進訓練]
3．設f (x)＝若f (a)＝f (a＋2)，則f ＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
B　[若0＜a＜2，則a＋2＞2，
由f (a)＝f (a＋2)，得＝2(a＋2)－4，
解得a＝或a＝0(舍去)，
所以f ＝f (4)＝2×4－4＝4．
若a≥2，由f (a)＝f (a＋2)，
得2a－4＝2(a＋2)－4，無解．
綜上，f ＝4，故選B．]
類型4　函數的圖象及應用
【例6】　(1)作出函數y＝，x∈[2，＋∞)的圖象并求出其值域．
(2)某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規則制定：
①5公里以內(含5公里)，票價2元；
②5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里按照5公里計算)．如果某條線路的總里程為20公里，請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象．
[解]　(1)列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
當x∈[2，＋∞)時，圖象是反比例函數y＝的一部分，觀察圖象可知其值域為(0，1]．
(2)設票價為y元，里程為x公里，定義域為(0，20]．
由題意得函數的解析式如下：y＝
函數圖象如圖所示：
　描點法作函數圖象的3個關注點
(1)畫函數圖象時首先關注函數的定義域，即在定義域內作圖．
(2)圖象是實線或實點，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象．
(3)要標出某些關鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等．要分清這些關鍵點是實心點還是空心點．
提醒：(1)函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．
(2)分段函數的圖象是在同一個直角坐標系內分別作出各段的圖象，在作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏．
[跟進訓練]
4．已知函數f (x)＝1＋(－2(1)用分段函數的形式表示f (x)；
(2)畫出f (x)的圖象；
(3)若f (a)＝2，求實數a的值．
[解]　(1)當0≤x≤2時，f (x)＝1＋＝1，
當－2f (x)＝1＋＝1－x，
∴f (x)＝
(2)函數f (x)的圖象如圖所示．
(3)∵f (a)＝2，
由函數圖象可知a∈(－2，0)，
∴1－a＝2，
即a＝－1．
1．設函數f (x)＝2f ＋1，則f (10)＝(　　)
A．1　 B．－1　　　　
C．10　　　　 D．
B　[由f (x)＝2f ＋1，可得f ＝2f (x)＋1，
聯立方程組解得f (x)＝－1，
所以f (10)＝－1．故選B．]
2．已知函數f (x＋1)＝3x＋2，則f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3x－1
B．f (x)＝3x＋1
C．f (x)＝3x＋2
D．f (x)＝3x＋4
A　[令x＋1＝t，則x＝t－1，
∴f (t)＝3(t－1)＋2＝3t－1．
∴f (x)＝3x－1．]
3．函數f (x)＝若f (x)＝3，則x＝________．
　[若x≤－1，由x＋2＝3，得x＝1＞－1(舍去)；若－1＜x＜2，由x2＝3，得x＝±，由于－＜－1(舍去)，故x＝．]
4．函數y＝f (x)的圖象如圖所示，則其解析式為________．
f (x)＝　[當0≤x≤1時，設f (x)＝kx(k≠0)，又函數過點(1，2)，故k＝2，∴f (x)＝2x；當1當x≥2時，f (x)＝3．
綜上，f (x)＝]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．函數的三種表示方法是什么？
[提示]　解析法、列表法、圖象法．
2．你是怎樣理解分段函數的？
[提示]　(1)分段函數是一個函數，而不是幾個函數．處理分段函數問題時，要先確定自變量的取值在哪個區間，從而選取相應的對應關系．
(2)分段函數在書寫時用大括號把各段函數合并寫成一個函數的形式，并且必須指明各段函數自變量的取值范圍．
(3)分段函數的定義域是所有自變量取值區間的并集．分段函數的定義域只能寫成一個集合的形式，不能分開寫成幾個集合的形式．
(4)分段函數的值域是各段函數在對應自變量的取值范圍內值域的并集．
3．求函數的解析式有哪些常用方法？
[提示]　待定系數法、換元法、配湊法、消元法、解方程組等方法．
課時分層作業(十九)　函數的表示方法
一、選擇題
1．汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖象可能是(　　)
　
A　　　　　B　　　　C　 　　　D
A　[因為汽車先啟動、再加速、到勻速、最后減速，s隨t的變化是先慢、再快、到勻速、最后慢，故A選項比較適合題意．]
2．已知函數f (x)＝則f (3)的值是(　　)
A．1　 B．2　　　　
C．8　　　　 D．9
A　[f (3)＝3－2＝1．故選A．]
3．已知函數f ＝－2，則f (x)的解析式為(　　)
A．f (x)＝x2－2x－1
B．f (x)＝x2－2(x≠0)
C．f (x)＝x2－2x－3(x≠1)
D．f (x)＝x2－2x－1(x≠1)
D　[令t＝，可得x＝(t≠1)．所以f (t)＝(t－1)2－2＝t2－2t－1(t≠1)，
因此f (x)的解析式為f (x)＝x2－2x－1(x≠1)．
故選D．]
4．如果二次函數的圖象開口向上且關于直線x＝1對稱，且過點(0，0)，則此二次函數的解析式可以是(　　)
A．f (x)＝x2－1
B．f (x)＝－(x－1)2＋1
C．f (x)＝(x－1)2＋1
D．f (x)＝(x－1)2－1
D　[由題意設f (x)＝a(x－1)2＋b(a>0)，由于點(0，0)在圖象上，
所以a＋b＝0，a＝－b，故符合條件的是D．]
5．(多選)已知函數f (x)＝滿足f (f (a))＝－1的a的值有(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．－2
AD　[設t＝f (a)，則f (t)＝－1．
若t>0，則－t2＝－1，解得t＝1或t＝－1(舍去)，所以f (a)＝1，當a>0時，－a2＝1，方程無解；當a≤0時，a2＋2a＋1＝1，解得a＝0或a＝－2，滿足條件．
若t≤0，則t2＋2t＋1＝－1，即t2＋2t＋2＝0，
Δ＝22－4×2＝－4<0，方程無解．故選AD．]
二、填空題
6．設函數f (x)＝若f (m)＞m，則實數m的取值范圍是________．
(－∞，－1)　[由題意，得或
解得m＜－1．]
7．若一個長方體的高為80 cm，長比寬多10 cm，則這個長方體的體積y(cm3)與長方體的寬x(cm)之間的表達式是________．
y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)　[由題意可知，長方體的長為(x＋10)cm，從而長方體的體積y＝80x(x＋10)，x>0．]
8．下面敘述了兩件事：
(1)小張駕車離開旅館，在加油站加油時發現公文包遺留在旅館房間里，于是返回旅館取了公文包再駕車離開．
(2)小張駕車離開旅館，一路勻速行駛，只在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間．
小張離開旅館的距離與時間的函數關系可用圖象法表示，請在圖中選擇與事件相吻合的圖象．
則(1)與圖________吻合，(2)與圖________吻合．
[答案]　③　②
三、解答題
9．已知函數f (x)＝
(1)求f (f (f (5)))的值；
(2)畫出函數f (x)的圖象，觀察圖象寫出此函數的值域；
(3)函數值y取何值時，只有唯一的x值與之對應？
[解]　(1)因為5>4，
所以f (5)＝－5＋2＝－3．
因為－3<0，
所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1．
因為0<1<4，
所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1，
即f (f (f (5)))＝－1．
(2)圖象如圖所示．
觀察圖象可知此函數的值域為(－∞，8]．
(3)作直線y＝m，
觀察圖象可知，當m∈[－2，－1)∪(4，8]時，直線y＝m與函數圖象有唯一公共點，所以函數值y取[－2，－1)∪(4，8]內的值時只有唯一的x值與之對應．
10．若函數y＝x2－3x－4的定義域為[0，m]，值域為，則m的取值范圍是(　　)
A．(0，4]　　　 B．
C． D．
C　[因為y＝x2－3x－4＝－，所以對稱軸為直線x＝，當x＝時，y＝－．
因為x＝0時，y＝－4，
由二次函數圖象可知
解得≤m≤3，所以m的取值范圍是．]
11．(多選)以下判斷中正確的是(　　)
A．f (x)＝與g(x)＝ 表示同一函數
B．函數y＝f (x)的圖象與直線x＝1的交點最多有1個
C．函數f (x)＝x2＋2＋的最小值為2
D．若f (x)＝|x－1|－|x|，則f ＝1
BD　[A選項，f (x)＝的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，
而g(x)＝ 定義域為R，故兩者不是同一函數，A錯誤；
B選項，根據函數定義，可知y＝f (x)的圖象與直線x＝1可以無交點，也可以有1個交點，故函數y＝f (x)的圖象與直線x＝1的交點最多有1個，B正確；
C選項，由均值不等式得f (x)＝x2＋2＋≥2＝2，
當且僅當x2＋2＝時，等號成立，但x2＋2＝無解，故等號取不到，
所以f (x)＝x2＋2＋的最小值不為2，C錯誤；
D選項，f (x)＝|x－1|－|x|，
則f ＝＝0，
故f ＝f (0)＝|0－1|－|0|＝1，D正確．故選BD．]
12．若函數f (x)滿足f (x＋3)＝，則f (x)在[1，＋∞)上的值域為________；若f (f (x))＝，則實數x的值為________．
(1，2]　1　[因為f (x＋3)＝＝1＋，
所以f (x)＝1＋．
當x≥1時，1所以f (x)在[1，＋∞)上的值域為(1，2]，
因為f (f (x))＝，
所以f (x)＝2，
即1＋＝2，
所以x＝1．]
13．在平面直角坐標系xOy中，若直線y＝2a與函數y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，則a的值為________．
－　[在同一平面直角坐標系內，
作出直線y＝2a與函數y＝|x－a|－1的大致圖象，如圖所示．
由題意，可知2a＝－1，則a＝－．]
14．(1)已知f (x2＋2)＝x4＋4x2，求f (x)的解析式．
(2)已知f (x)是一次函數，且f (f (x))＝4x－1，求f (x)的解析式．
[解]　(1)因為f (x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，
則f (t)＝t2－4(t≥2)，
所以f (x)＝x2－4(x≥2)．
(2)因為f (x)是一次函數，
設f (x)＝ax＋b(a≠0)，
則f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b．
又因為f (f (x))＝4x－1，
所以a2x＋ab＋b＝4x－1．
所以解得或
所以f (x)＝2x－或f (x)＝－2x＋1．
15．設函數f (x)＝
(1)請在下列直角坐標系中畫出函數f (x)的圖象．
(2)根據(1)的圖象，試分別寫出函數f (x)與函數y＝t的圖象有2，3，4個交點時，相應的實數t的取值范圍．
(3)記函數g(x)的定義域為D，若存在x0∈D，使g(x0)＝x0成立，則稱點(x0，x0)為函數g(x)圖象上的不動點．試問：函數f (x)圖象上是否存在不動點？若存在，求出不動點的坐標；若不存在，請說明理由．
[解]　(1)函數f (x)的圖象如圖：
(2)根據圖象可知當－22時，
f (x)與y＝t有2個交點；
當t＝1或t＝2時，f (x)與y＝t有3個交點；
當1(3)若f (x)圖象上存在不動點，
則f (x)＝x有解，則y＝f (x)與y＝x有交點．
由圖象可知：
若－1≤x≤2，則－x2＋2＝x，
解得x＝1(舍去x＝－2)，即不動點為(1，1)；
若x>2，則3x－8＝x，
解得x＝4，即不動點為(4，4)．
綜上，函數f (x)圖象上存在不動點(1，1)，(4，4)．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑