資源簡介

(共41張PPT)
第2課時　集合的表示方法
第一章 集合與常用邏輯用語
1.1　集合
1.1.1　集合及其表示方法
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．能選擇列舉法或描述法表示不同的集合，感受集合語言的意義和作用．(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)
2．掌握區(qū)間的概念及表示方法．(數(shù)學(xué)抽象)
必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知
語言是人與人之間相互聯(lián)系的一種方式，同樣的祝福有著不同的表示方法．例如，簡體中文中的“生日快樂”，英文為“Happy Birthday”……

問題　對于一個集合，有哪些不同的表示方法呢？
知識點1　集合的表示方法
1．列舉法
把集合中的元素________出來(相鄰元素之間用逗號分隔)，并寫在大括號內(nèi)，以此來表示集合的方法稱為列舉法．
提醒　(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．
(2)集合中的元素必須是明確的．
(3)集合中的元素不能重復(fù)．
(4)集合中的元素可以是任何研究對象．
一一列舉
思考　1．一一列舉元素時，需要考慮元素的順序嗎？
[提示]　用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序．
例如：{a，b}與{b，a}表示同一個集合．
2．描述法
一般地，如果屬于集合A的任意一個元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有這個性質(zhì)，則性質(zhì)p(x)稱為集合A的一個特征性質(zhì)．此時，集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)表示為________．這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱為描述法．
{x|p(x)}
思考　2．觀察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函數(shù)y＝x2－1的圖象上的所有點．
問題1：這兩個集合能用列舉法表示嗎？
[提示]　不能．
[提示]　利用描述法．(1)中的解集可表示為{x|x－2≥3}，(2)中的集合可表示為{(x，y)|y＝x2－1}．
問題2：如何表示這兩個集合？
知識點2　區(qū)間及其表示
1．設(shè)a，b是兩個實數(shù)，且a定義 名稱 符號 數(shù)軸表示
{x|a≤x≤b} 閉區(qū)間 __________
{x|a{x|a≤x{x|a[a，b]　
(a，b)　
[a，b)
2．實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”．如：
符號 ________ (a，＋∞) (－∞，a] _________
集合 {x|x≥a} _______ {x|x≤a} {x|x[a，+∞)
(－∞，a)
{x|x>a}
提醒　(1)用數(shù)軸表示區(qū)間時，要特別注意屬于這個區(qū)間端點的實數(shù)用實心點表示，不屬于這個區(qū)間端點的實數(shù)用空心點表示．
(2)“∞”是一個符號，而不是一個數(shù)．
(3)以“－∞”或“＋∞”為端點時，區(qū)間這一端必須是小括號．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)用1，1，2，3組成的集合可用列舉法表示為{1，1，2，3}．
(　　)
[提示]　集合中的元素是互異的．
[提示]　集合{(1，2)}中的元素是(1，2)．
×
×
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2． (　　)
2．由大于－1小于5的自然數(shù)組成的集合用列舉法表示為________________，用描述法表示為________________．
{0，1，2，3，4}　{x∈N|－1{0，1，2，3，4}
{x∈N|－13．用區(qū)間表示下列集合：
(1){x|－1≤x≤2}：________；
(2){x|1(3){x|x>2}：_____________；
(4){x|x≤－2}：_____________．
[－1，2]
(1，3]
(2，＋∞)
(－∞，－2]
關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難
類型1　用列舉法表示集合
【例1】　(1)若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，則集合A中元素的個數(shù)是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
(2)用列舉法表示下列集合：
①方程x2－1＝0的解構(gòu)成的集合；
②由單詞“book”的字母構(gòu)成的集合；
③直線y＝x與y＝2x－1的交點組成的集合
√
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　用列舉法表示集合的3個步驟
(1)求出集合的____．
(2)把元素一一列舉出來，且____元素只能列舉一次．
(3)用______括起來．
大括號
元素
相同
[跟進訓(xùn)練]
1．(1)設(shè)集合M＝{(1，2)}，則下列關(guān)系式成立的是(　　)
A．1∈M B．2∈M
C．(1，2)∈M D．(2，1)∈M
(2)已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，則實數(shù)a為(　　)
A．±2或4 B．2
C．－2 D．4
√
√
(1)C　(2)C　[(1)集合M中只有一個元素(1，2)，所以(1，2)∈M．
(2)由題意，A＝{a，|a|，a－2}且2∈A，則集合A中的三個元素都可以是2．
當(dāng)a＝2時，此時集合A＝{2，2，0}不滿足集合中元素的互異性，舍去．
當(dāng)|a|＝2時，解得a＝±2，當(dāng)a＝2時，此時集合A＝{2，2，0}不成立，舍去；
當(dāng)a＝－2時，此時集合A＝{－2，2，－4}滿足題意．
當(dāng)a－2＝2時，即a＝4，此時集合A＝{4，4，2}不成立，舍去．
綜上可知a＝－2，故選C．]
類型2　用描述法表示集合
【例2】　用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有有理數(shù)組成的集合A；
(2)所有奇數(shù)組成的集合B；
(3)平面α內(nèi)，到定點O的距離等于定長r的所有點組成的集合C．
[解]　(1)設(shè)x∈A，則x∈Q，且使x<10成立．因此，用描述法可以表示為A＝{x∈Q|x<10}．
(2)設(shè)x∈B，則x是一個奇數(shù)．因此，用描述法可以表示為B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}．
(3)設(shè)M∈C，則M∈α，M到α內(nèi)的定點O的距離等于定長r．因此，用描述法可以表示為C＝{M∈α|O為α內(nèi)的定點，r為定值，且M到O的距離等于r}．
反思領(lǐng)悟　1．描述法表示集合的兩個步驟
2．選用列舉法或描述法的原則
要根據(jù)集合元素所具有的屬性選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǎ信e法的特點是能清楚地展現(xiàn)集合的元素，通常用于表示元素較少的集合，當(dāng)集合中元素較多或無限時，就不宜采用列舉法；描述法的特點是形式簡單、應(yīng)用方便，通常用于表示元素具有明顯共同特征的集合，當(dāng)元素共同特征不易尋找或元素的限制條件較多時，就不宜采用描述法．
[解]　(1)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數(shù)，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(2)“二次函數(shù)y＝x2－10圖象上的所有點”用描述法表示為{(x，y)|y＝x2－10}．
[跟進訓(xùn)練]
2．用描述法表示下列集合：
(1)被3除余2的正整數(shù)的集合；
(2)二次函數(shù)y＝x2－10圖象上的所有點組成的集合．
[解]　(1){x|x<2}用區(qū)間表示為(－∞，2)，用數(shù)軸表示如下：

(2){x|x≥3}用區(qū)間表示為[3，＋∞)，用數(shù)軸表示如下：

(3){x|－1≤x<5}用區(qū)間表示為[－1，5)，用數(shù)軸表示如下：

類型3　區(qū)間及其表示
【例3】　將下列集合用區(qū)間及數(shù)軸表示出來：
(1){x|x<2}；(2){x|x≥3}；(3){x|－1≤x<5}．
反思領(lǐng)悟　用區(qū)間表示數(shù)集的原則和方法
(1)用區(qū)間表示數(shù)集的原則：①數(shù)集是連續(xù)的；②區(qū)間符號內(nèi)的兩個數(shù)字(或字母)左小右大；③區(qū)間的開閉不能弄錯．
(2)用區(qū)間表示數(shù)集的方法：①區(qū)間符號里面的兩個數(shù)字(或字母)之間用“，”隔開；②用數(shù)軸表示區(qū)間時，實心點表示包括區(qū)間端點，空心點表示不包括區(qū)間端點．
[跟進訓(xùn)練]
3．(1)若區(qū)間(5，a)的長度是12，則實數(shù)a的值是________．
(2)若集合M是一個數(shù)集，且可應(yīng)用區(qū)間(a，3a－1)表示，則實數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為_________．
17

√

[母題探究]
(變條件)若本例(1)中“只有一個元素”變?yōu)椤爸辽儆幸粋€元素”，求a的取值范圍．
[解]　A中至少有一個元素，即A中有一個或兩個元素．由例題解析可知，當(dāng)a＝0或a＝1時，A中有一個元素；當(dāng)A中有兩個元素時，Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0，所以A中至少有一個元素時，a的取值范圍為(－∞，1]．
反思領(lǐng)悟　集合與方程的綜合問題的解題思路
(1)弄清方程與集合的關(guān)系，當(dāng)用集合表示方程的解集時，集合中的元素就是方程的解．
(2)當(dāng)方程中含有參數(shù)時，往往要根據(jù)方程解的情況來確定參數(shù)的值或取值范圍，有時還要進行分類討論．求出參數(shù)的值或取值范圍后還要檢驗是否滿足集合中元素的特性．

學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)
2
3
題號
4
1
1．使不等式x>2成立的實數(shù)x的集合可表示為(　　)
A．{x>2}　　　　　 B．{x>2|x∈R}
C．{3，4，5，…} D．{x∈R|x>2}
√
D　[使不等式x>2成立的實數(shù)x的集合表示為{x∈R|x>2}．]
2
3
題號
4
1
√
C　[x∈A表示x的取值為1，2，3，4，對應(yīng)的y值分別是1，4，7，10，故選C．]
2．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，則集合B＝(　　)
A．{3，6，9，12} B．{1，2，3，4}
C．{1，4，7，10} D．{－2，1，4，7}
2
3
題號
4
1
D　[由集合描述法的定義可知，該集合表示函數(shù)y＝3x＋1的圖象上的所有點組成的集合．]
3．集合{(x，y)|y＝3x＋1}表示(　　)
A．方程y＝3x＋1
B．點(x，y)
C．平面直角坐標(biāo)系中所有的點組成的集合
D．函數(shù)y＝3x＋1的圖象上的所有點組成的集合
√
2
3
題號
4
1
4．用區(qū)間表示下列數(shù)集：
(1){x|x≥1}＝___________；
(2){x|2[1，＋∞)
(2，4]
[提示]　(1) 是不含任何元素的集合．
(2){0}是含有一個元素的集合．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1． 與{0}有什么區(qū)別？
[提示]　(1)元素間用分隔號“，”．
(2)元素不重復(fù)．(3)元素?zé)o順序．
(4)列舉法可以表示有限集，也可以表示無限集．若元素個數(shù)比較少用列舉法比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示，如正整數(shù)集可表示為{1，2，3，4，…}．
2．在用列舉法表示集合時應(yīng)注意什么問題？
[提示]　(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、有序?qū)崝?shù)對(點)，還是集合或其他形式．
(2)當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，不能被表面的字母形式所迷惑．
3．在用描述法表示集合時應(yīng)注意什么問題？
[提示]　(1)一般地，區(qū)間的左端點的值小于右端點的值．
(2)區(qū)間符號中的兩個端點(字母或數(shù)字)之間只能用“，”隔開．
(3)左、右端點a，b都能取到的叫閉區(qū)間，左、右端點a，b有一端能取到、另一端不能取到的叫半開半閉區(qū)間，左、右端點a，b都不能取到的叫開區(qū)間．
(4)端點都是實數(shù)的開區(qū)間的記號與平面直角坐標(biāo)系中的點的記號是完全相同的，可借助上下文來推斷記號表示的到底是區(qū)間還是點的坐標(biāo)．
4．在用區(qū)間表示數(shù)集時需要注意什么問題？第2課時　集合的表示方法
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．能選擇列舉法或描述法表示不同的集合，感受集合語言的意義和作用．(直觀想象、數(shù)學(xué)運算) 2．掌握區(qū)間的概念及表示方法．(數(shù)學(xué)抽象)
語言是人與人之間相互聯(lián)系的一種方式，同樣的祝福有著不同的表示方法．例如，簡體中文中的“生日快樂”，英文為“Happy Birthday”……
問題　對于一個集合，有哪些不同的表示方法呢？
知識點1　集合的表示方法
1．列舉法
把集合中的元素一一列舉出來(相鄰元素之間用逗號分隔)，并寫在大括號內(nèi)，以此來表示集合的方法稱為列舉法．
(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．
(2)集合中的元素必須是明確的．
(3)集合中的元素不能重復(fù)．
(4)集合中的元素可以是任何研究對象．
1．一一列舉元素時，需要考慮元素的順序嗎？
[提示]　用列舉法表示集合時不必考慮元素的順序．
例如：{a，b}與{b，a}表示同一個集合．
2．描述法
一般地，如果屬于集合A的任意一個元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有這個性質(zhì)，則性質(zhì)p(x)稱為集合A的一個特征性質(zhì)．此時，集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)表示為{x|p(x)}．這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱為描述法．
2．觀察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函數(shù)y＝x2－1的圖象上的所有點．
問題1：這兩個集合能用列舉法表示嗎？
[提示]　不能．
問題2：如何表示這兩個集合？
[提示]　利用描述法．(1)中的解集可表示為{x|x－2≥3}，(2)中的集合可表示為{(x，y)|y＝x2－1}．
知識點2　區(qū)間及其表示
1．設(shè)a，b是兩個實數(shù)，且a定義 名稱 符號 數(shù)軸表示
{x|a≤x≤b} 閉區(qū)間 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2．實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”．如：
符號 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
集合 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x(1)用數(shù)軸表示區(qū)間時，要特別注意屬于這個區(qū)間端點的實數(shù)用實心點表示，不屬于這個區(qū)間端點的實數(shù)用空心點表示．
(2)“∞”是一個符號，而不是一個數(shù)．
(3)以“－∞”或“＋∞”為端點時，區(qū)間這一端必須是小括號．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)用1，1，2，3組成的集合可用列舉法表示為{1，1，2，3}． (　　)
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
[提示]　(1)集合中的元素是互異的．
(2)集合{(1，2)}中的元素是(1，2)．
2．由大于－1小于5的自然數(shù)組成的集合用列舉法表示為________，用描述法表示為________．
{0，1，2，3，4}　{x∈N|－13．用區(qū)間表示下列集合：
(1){x|－1≤x≤2}：________；
(2){x|1(3){x|x>2}：________；
(4){x|x≤－2}：________．
[答案]　(1)[－1，2]　(2)(1，3]　(3)(2，＋∞) 　(4)(－∞，－2]
類型1　用列舉法表示集合
【例1】　(1)若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，則集合A中元素的個數(shù)是(　　)
A．1　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
(2)用列舉法表示下列集合：
①方程x2－1＝0的解構(gòu)成的集合；
②由單詞“book”的字母構(gòu)成的集合；
③直線y＝x與y＝2x－1的交點組成的集合．
(1)B　[集合A＝{(1，2)，(3，4)}中有兩個元素(1，2)和(3，4)．故選B．]
(2)[解]　①方程x2－1＝0的解為－1，1，所求集合為{－1，1}．
②單詞“book”有三個互不相同的字母，分別為“b”“o”“k”，所求集合為{b，o，k}．
③方程組的解是
所求集合為{(1，1)}．
　用列舉法表示集合的3個步驟
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．
(3)用大括號括起來．
[跟進訓(xùn)練]
1．(1)設(shè)集合M＝{(1，2)}，則下列關(guān)系式成立的是(　　)
A．1∈M B．2∈M
C．(1，2)∈M D．(2，1)∈M
(2)已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，則實數(shù)a為(　　)
A．±2或4 B．2
C．－2 D．4
(1)C　(2)C　[(1)集合M中只有一個元素(1，2)，所以(1，2)∈M．
(2)由題意，A＝{a，|a|，a－2}且2∈A，則集合A中的三個元素都可以是2．
當(dāng)a＝2時，此時集合A＝{2，2，0}不滿足集合中元素的互異性，舍去．
當(dāng)|a|＝2時，解得a＝±2，當(dāng)a＝2時，此時集合A＝{2，2，0}不成立，舍去；
當(dāng)a＝－2時，此時集合A＝{－2，2，－4}滿足題意．
當(dāng)a－2＝2時，即a＝4，此時集合A＝{4，4，2}不成立，舍去．
綜上可知a＝－2，故選C．]
類型2　用描述法表示集合
【例2】　用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有有理數(shù)組成的集合A；
(2)所有奇數(shù)組成的集合B；
(3)平面α內(nèi)，到定點O的距離等于定長r的所有點組成的集合C．
[解]　(1)設(shè)x∈A，則x∈Q，且使x<10成立．因此，用描述法可以表示為A＝{x∈Q|x<10}．
(2)設(shè)x∈B，則x是一個奇數(shù)．因此，用描述法可以表示為B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}．
(3)設(shè)M∈C，則M∈α，M到α內(nèi)的定點O的距離等于定長r．因此，用描述法可以表示為C＝{M∈α|O為α內(nèi)的定點，r為定值，且M到O的距離等于r}．
　1．描述法表示集合的兩個步驟
2．選用列舉法或描述法的原則
要根據(jù)集合元素所具有的屬性選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǎ信e法的特點是能清楚地展現(xiàn)集合的元素，通常用于表示元素較少的集合，當(dāng)集合中元素較多或無限時，就不宜采用列舉法；描述法的特點是形式簡單、應(yīng)用方便，通常用于表示元素具有明顯共同特征的集合，當(dāng)元素共同特征不易尋找或元素的限制條件較多時，就不宜采用描述法．
[跟進訓(xùn)練]
2．用描述法表示下列集合：
(1)被3除余2的正整數(shù)的集合；
(2)二次函數(shù)y＝x2－10圖象上的所有點組成的集合．
[解]　(1)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數(shù)，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(2)“二次函數(shù)y＝x2－10圖象上的所有點”用描述法表示為{(x，y)|y＝x2－10}．
類型3　區(qū)間及其表示
【例3】　將下列集合用區(qū)間及數(shù)軸表示出來：
(1){x|x<2}；
(2){x|x≥3}；
(3){x|－1≤x<5}．
[解]　(1){x|x<2}用區(qū)間表示為(－∞，2)，用數(shù)軸表示如下：
(2){x|x≥3}用區(qū)間表示為[3，＋∞)，用數(shù)軸表示如下：
(3){x|－1≤x<5}用區(qū)間表示為[－1，5)，用數(shù)軸表示如下：
　用區(qū)間表示數(shù)集的原則和方法
(1)用區(qū)間表示數(shù)集的原則：①數(shù)集是連續(xù)的；②區(qū)間符號內(nèi)的兩個數(shù)字(或字母)左小右大；③區(qū)間的開閉不能弄錯．
(2)用區(qū)間表示數(shù)集的方法：①區(qū)間符號里面的兩個數(shù)字(或字母)之間用“，”隔開；②用數(shù)軸表示區(qū)間時，實心點表示包括區(qū)間端點，空心點表示不包括區(qū)間端點．
[跟進訓(xùn)練]
3．(1)若區(qū)間(5，a)的長度是12，則實數(shù)a的值是________．
(2)若集合M是一個數(shù)集，且可應(yīng)用區(qū)間(a，3a－1)表示，則實數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為________．
(1)17　(2)　[(1)由區(qū)間長度的定義可知a－5＝12，即a＝17．
(2)由題意可知滿足區(qū)間(a，3a－1)的實數(shù)a應(yīng)滿足3a－1>a，即a>，故實數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為．]
類型4　集合與方程的綜合問題
【例4】　(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一個元素，則a＝(　　)
A．1 B．2　　　
C．0　　　 D．0或1
(2)設(shè)∈，則集合中所有元素之積為________．
(1)D　(2)　[(1)當(dāng)a＝0時，
原方程變?yōu)?x＋1＝0，
此時x＝－，符合題意；
當(dāng)a≠0時，方程ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解為x＝－1，符合題意．
故當(dāng)a＝0或a＝1時，原方程只有一個解，此時A中只有一個元素．
(2)因為∈，
所以－a－＝0，
解得a＝－．
當(dāng)a＝－時，方程x2－x＋＝0的判別式Δ＝－4×＝>0．由x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝9，
所以＝，
故集合的所有元素的積為×9＝．]
[母題探究]
(變條件)若本例(1)中“只有一個元素”變?yōu)椤爸辽儆幸粋€元素”，求a的取值范圍．
[解]　A中至少有一個元素，即A中有一個或兩個元素．由例題解析可知，當(dāng)a＝0或a＝1時，A中有一個元素；當(dāng)A中有兩個元素時，Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0，所以A中至少有一個元素時，a的取值范圍為(－∞，1]．
　集合與方程的綜合問題的解題思路
(1)弄清方程與集合的關(guān)系，當(dāng)用集合表示方程的解集時，集合中的元素就是方程的解．
(2)當(dāng)方程中含有參數(shù)時，往往要根據(jù)方程解的情況來確定參數(shù)的值或取值范圍，有時還要進行分類討論．求出參數(shù)的值或取值范圍后還要檢驗是否滿足集合中元素的特性．
[跟進訓(xùn)練]
4．已知集合A＝，則A＝________．(用列舉法表示)
　[＝1即
當(dāng)x2－x－(1＋a)＝0有兩個相等的實數(shù)解時，Δ＝1＋4(1＋a)＝0，解得a＝－，此時x＝，符合題意．
當(dāng)x2－x－(1＋a)＝0有兩個不相等的實數(shù)解時，Δ>0，解得a>－．當(dāng)x＝1為＝1的一個增根時，將x＝1代入x2－x－(1＋a)＝0得a＝－1，符合題意；當(dāng)x＝－1為＝1的一個增根時，將x＝－1代入x2－x－(1＋a)＝0得a＝1，符合題意．
綜上所述，A＝．]
1．使不等式x>2成立的實數(shù)x的集合可表示為(　　)
A．{x>2}　　　　　 B．{x>2|x∈R}
C．{3，4，5，…} D．{x∈R|x>2}
D　[使不等式x>2成立的實數(shù)x的集合表示為{x∈R|x>2}．]
2．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，則集合B＝(　　)
A．{3，6，9，12} B．{1，2，3，4}
C．{1，4，7，10} D．{－2，1，4，7}
C　[x∈A表示x的取值為1，2，3，4，對應(yīng)的y值分別是1，4，7，10，故選C．]
3．集合{(x，y)|y＝3x＋1}表示(　　)
A．方程y＝3x＋1
B．點(x，y)
C．平面直角坐標(biāo)系中所有的點組成的集合
D．函數(shù)y＝3x＋1的圖象上的所有點組成的集合
D　[由集合描述法的定義可知，該集合表示函數(shù)y＝3x＋1的圖象上的所有點組成的集合．]
4．用區(qū)間表示下列數(shù)集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2[答案]　(1)[1，＋∞)　(2)(2，4]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1． 與{0}有什么區(qū)別？
[提示]　(1) 是不含任何元素的集合．
(2){0}是含有一個元素的集合．
2．在用列舉法表示集合時應(yīng)注意什么問題？
[提示]　(1)元素間用分隔號“，”．
(2)元素不重復(fù)．
(3)元素?zé)o順序．
(4)列舉法可以表示有限集，也可以表示無限集．若元素個數(shù)比較少用列舉法比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示，如正整數(shù)集可表示為{1，2，3，4，…}．
3．在用描述法表示集合時應(yīng)注意什么問題？
[提示]　(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、有序?qū)崝?shù)對(點)，還是集合或其他形式．
(2)當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，不能被表面的字母形式所迷惑．
4．在用區(qū)間表示數(shù)集時需要注意什么問題？
[提示]　(1)一般地，區(qū)間的左端點的值小于右端點的值．
(2)區(qū)間符號中的兩個端點(字母或數(shù)字)之間只能用“，”隔開．
(3)左、右端點a，b都能取到的叫閉區(qū)間，左、右端點a，b有一端能取到、另一端不能取到的叫半開半閉區(qū)間，左、右端點a，b都不能取到的叫開區(qū)間．
(4)端點都是實數(shù)的開區(qū)間的記號與平面直角坐標(biāo)系中的點的記號是完全相同的，可借助上下文來推斷記號表示的到底是區(qū)間還是點的坐標(biāo)．
課時分層作業(yè)(二)　集合的表示方法
一、選擇題
1．下列集合的表示中正確的是(　　)
A．{1，2，2}
B．R＝{全體實數(shù)}
C．{3，5}
D．不等式x－5>0的解集為{x－5>0}
C　[A不正確，集合中的元素需滿足互異性；
B不正確，大括號“{　}”本身就有“全體”的意思；C正確；
D不正確，不等式x－5>0的解集為{x|x－5>0}．]
2．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列結(jié)論正確的是(　　)
A．0∈A　　　　　　 B．1 A
C．－1∈A D．0 A
A　[∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，∴0∈A．]
3．集合用描述法可表示為(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[由3，，即，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，x＝，n∈N*，故可用描述法表示為．]
4．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}是空集，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
A　[若A是空集，則關(guān)于x的方程ax2－3x＋2＝0無解，此時a≠0，且Δ＝9－8a<0，
所以a>，即實數(shù)a的取值范圍是．]
5．(多選)方程組的解集可以表示為(　　)
A．
B．
C．{1，2}
D．{(x，y)|x＝1，y＝2}
ABD　[原方程組的解為
其解集中只含有一個元素，可表示為A、B、D．
故選ABD．]
二、填空題
6．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為________．
9　[由x2＋y2≤3，知－≤x≤，－≤y≤．又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，所以A中元素的個數(shù)為9．]
7．若區(qū)間M＝(－2，a)的長度是6，區(qū)間N＝[－2，10]的長度是b，則集合S＝{x|ax－b>0}用區(qū)間表示為________．
(3，＋∞)　[由區(qū)間M＝(－2，a)的長度是6，可知a＝4，區(qū)間N＝[－2，10]的長度是b，可知b＝12，因此4x－12>0，解得x>3．]
8．設(shè)集合M＝{1，3，6，9，12，15}，集合N滿足：①有兩個元素；②若x∈N，則x＋3∈M且x－3∈M，則滿足條件的集合N可以是________．
{6，9}，{9，12}，{6，12}　[由得x∈M．
結(jié)合已知條件可得滿足條件的集合N可以是{6，9}，{9，12}，{6，12}．]
三、解答題
9．下列三個集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它們是不是相同的集合？
(2)它們各自的含義分別是什么？
[解]　(1)由于三個集合的代表元素互不相同，故它們是互不相同的集合．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R．
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，滿足條件y＝x2＋1的y的取值范圍是y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是滿足y＝x2＋1的實數(shù)對，
可以認為集合C是坐標(biāo)平面內(nèi)滿足y＝x2＋1的點(x，y)構(gòu)成的集合，其實就是拋物線y＝x2＋1的圖象．
10．(多選)在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，則(　　)
A．2 026∈[1]
B．－13∈[3]
C．若整數(shù)a，b屬于同一“類”，則a－b∈[0]
D．若a－b∈[0]，則整數(shù)a，b屬于同一“類”
ACD　[2 026＝5×405＋1，故A正確；－13＝5×(－3)＋2，故B錯誤；設(shè)a＝5n＋k，n∈Z，b＝5m＋k，m∈Z，則a－b＝5(n－m)能被5整除，所以a－b∈[0]，故C正確；若a－b∈[0]，整數(shù)a，b被5除所得余數(shù)必相同，故D正確．]
11．(多選)非空集合A具有下列性質(zhì)：①若x，y∈A，則∈A；②若x，y∈A，則x＋y∈A．下列判斷一定成立的是(　　)
A．－1 A
B．∈A
C．若x，y∈A，則xy∈A
D．若x，y∈A，則x－y A
ABC　[對于A，若－1∈A，則＝1∈A，因此－1＋1＝0∈A；而對于x＝－1∈A，y＝0∈A時，顯然無意義，不滿足∈A，∴－1 A，故A正確．對于B，若x≠0，x∈A，則1＝∈A，∴2＝1＋1∈A，3＝2＋1∈A，依此類推可得，對任意n∈N*，有n∈A，∴20∈A，21∈A，∴∈A，故B正確．對于C，若x，y∈A，則x≠0且y≠0，由B可知1∈A，則∈A，∴xy＝∈A，故C正確．對于D，由B得1，2∈A，取x＝2，y＝1，則x－y＝1∈A，故D錯誤．]
12．規(guī)定 與 是兩個運算符號，其運算法則如下，對任意實數(shù)a，b有：a b＝ab，a b＝b(a2＋b2＋1)．若－2　[由題意得，A＝，
因為－2所以當(dāng)a＝－1時，b＝1，此時x＝－；
當(dāng)a＝0時，b＝1，此時x＝1，
所以集合A＝．]
13．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋1}，當(dāng)A＝{2}時，則集合B＝________．
{3－，3＋}　[當(dāng)A＝{2}時，方程x2＋px＋q＝x有兩個相等的實根，為2，
所以解得
所以B＝{x|(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1}．
由(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1得x＝3±，
所以B＝{3－，3＋}．]
14．(1)已知2∈{x|(x－a)(x－a＋1)＝0}，求實數(shù)a的值；
(2)已知集合A＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求實數(shù)a的值．
[解]　(1)易知{x|(x－a)(x－a＋1)＝0}＝{a，a－1}．
當(dāng)a＝2時，a－1＝1，則{a，a－1}＝{2，1}，符合題意；
當(dāng)a－1＝2時，a＝3，則{a，a－1}＝{3，2}，符合題意．
綜上可知，a＝2或a＝3．
(2)顯然a2＋1≠－3．
當(dāng)a－3＝－3時，a＝0，此時A＝{－3，－1，1}，滿足題意；
當(dāng)2a－1＝－3時，a＝－1，此時A＝{－4，－3，2}，滿足題意．
故實數(shù)a的值為0或－1．
15．已知A＝{x|x＝a＋b，a∈Z，b∈Z}．
(1)試寫出集合A的五個元素；
(2)判斷下列元素是否屬于A：0，－，3；
(3)若x∈A，y∈A，試判斷x＋y，xy與A的關(guān)系．
[解]　(1)當(dāng)a＝1，b＝0時，元素為1，
當(dāng)a＝2，b＝1時，元素為2＋，
當(dāng)a＝2，b＝－1時，元素為2－，
當(dāng)a＝3，b＝5時，元素為3＋5，
當(dāng)a＝3，b＝－5時，元素為3－5，
則集合A的五個元素為1，2＋，2－，3＋5，3－5．(答案不唯一)
(2)0＝0＋0×∈A，－＝0＋(－)∈A，＝0＋2∈A，3 A， A．
(3)因為集合A＝{x|x＝a＋b，a，b∈Z}，
又因為x∈A，y∈A，
令x＝m＋n，y＝c＋d(m，n，c，d∈Z)，
所以x＋y＝m＋n＋c＋d＝(m＋c)＋(n＋d)∈A，
xy＝(m＋n)(c＋d)＝(mc＋3nd)＋(nc＋md)∈A，所以x＋y∈A，xy∈A．
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑