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(共43張PPT)
1.1.2　集合的基本關系
第一章 集合與常用邏輯用語
1.1　集合
學習任務 1．理解集合之間的包含與相等的含義．(數學抽象)
2．能識別給定集合的子集、真子集，并會用列舉法求給定集合的所有子集、真子集．(數學運算、邏輯推理)
3．會用數學符號和維恩圖表示兩個集合間的關系．(直觀想象)
必備知識·情境導學探新知
“天蒼蒼，野茫茫，風吹草低見牛羊．”如果草原上某牧民家所有的羊組成集合A，所有的牛、羊組成集合B．
問題　(1)集合A中的元素與集合B中的元素的關系是怎樣的？
(2)集合A與集合B存在什么關系？
知識點1　子集與真子集
1．子集與真子集的定義
概念 定義 符號表示 圖形表示
子集 如果集合A的________元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集 A__B
(或B__A)
真
子
集 如果集合A是集合B的____，并且B中____有一個元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集 A B
(或B A)
任意一個


子集
至少
思考　(1)任何兩個集合之間是否一定有包含關系？
(2)符號“∈”與“ ”有何不同？
[提示]　(1)不一定，如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，這兩個集合就沒有包含關系．
(2)符號“∈”表示元素與集合間的關系；
符號“ ”表示集合與集合之間的關系．
2．子集、真子集的性質
(1)任意集合A都是它自身的____，即A A．
(2)空集是任意一個集合A的子集，即 A．
(3)包含關系的傳遞性：對于集合A，B，C．
①若A B，且B C，則A C；
②若A B，B C，則A C；
3．維恩圖
如果用平面上一條________的內部來表示集合，那么我們就可作出示意圖來形象地表示集合之間的關系，這種示意圖通常稱為維恩圖．
子集
封閉曲線
知識點2　集合的相等與子集的關系
1．一般地，如果集合A和集合B的元素________，則稱集合A與集合B相等，記作______，讀作“A等于B”．
2．由集合相等以及子集的定義可知：如果A B且B A，則______；反之，如果A＝B，則A B且______．
完全相同
A＝B
A＝B
B A
學習效果·課堂評估夯基礎
2
3
題號
4
1
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1){0，1，2} {2，0，1}． (　　)
(2)若A B，且A≠B，則A B． (　　)
(3)集合{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}． (　　)
√
√
×
2
3
題號
4
1
B　[在①中，空集的子集是空集，故①錯誤；
在②中，空集只有一個子集，還是空集，故②錯誤；
在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③錯誤；
在④中，若 A，則A≠ ，故④正確．故選B．]
2．下列命題中，正確的個數是(　　)
①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A，則A≠ ．
A．0　　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
√
2
3
題號
4
1
C　[由維恩圖知，選C．]
3．下列圖形中，表示M N的是(　　)
√
2
3
題號
4
1
√
2
3
題號
4
1
關鍵能力·合作探究釋疑難
√
(2)判斷下列每組中兩個集合的關系：
①A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}．
②A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}．
(3)(源自人教A版教材)判斷下列各題中集合A是否為集合B的子集，并說明理由：
①A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的約數}；
②A＝{x|x是長方形}，B＝{x|x是兩條對角線相等的平行四邊形}．
(1)B　[對于①，是集合與集合的關系，應為{0} {0，1，2}；對于②，實際為同一集合，任何一個集合是它本身的子集；對于③，空集是任何集合的子集；對于④，{0}是含有單元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}；對于⑤，{0，1}是含有兩個元素0與1的集合，而{(0，1)}是以有序實數對(0，1)為元素的單元素集合，所以{0，1}與{(0，1)}不相等；對于⑥，0與{0}是“屬于與否”的關系，所以0∈{0}．故②③是正確的，應選B．]
(2)[解]　①因為n∈Z，所以n＋1∈Z，所以B表示偶數集，
因為A也表示偶數集，
所以A＝B．
②因為A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2}＝R，
所以A B．
(3)[解]　①因為3不是8的約數，所以集合A不是集合B的子集．
②因為若x是長方形，則x一定是兩條對角線相等的平行四邊形，所以集合A是集合B的子集．
發現規律　判斷集合關系的方法
(1)觀察法：一一____觀察．
(2)特征性質法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷集合間的關系．
(3)數形結合法：利用____或______．
維恩圖
列舉
數軸
[跟進訓練]
1．判斷下列兩個集合之間的關系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|0(3)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}．
[解]　(1)集合A的代表元素是數，集合B的代表元素是有序實數對，故A與B之間無包含關系．
(2)∵A＝{x|0
(3)(法一)由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；
由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，從而A＝B．
(法二)集合A中的元素是平面直角坐標系中第一、三象限內的點，集合B中的元素也是平面直角坐標系中第一、三象限內的點，從而A＝B．
類型2　集合的子集、真子集的個數問題
【例2】　(1)集合M＝{1，2，3}的真子集個數是(　　)
A．6　　　　　B．7　　　　C．8　　　　D．9
(2)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4個子集，則實數m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
√
(1)B　(2)B　[(1)集合M的真子集所含有的元素的個數可以有0個，1個或2個，含有0個為 ，含有1個元素的有3個真子集{1}，{2}，{3}，含有2個元素的有3個真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7個真子集，故選B．
(2)根據題意，集合M有4個子集，則M中有2個元素．又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素為大于等于1而小于等于m的全部整數，故m＝2．]
反思領悟　1．求集合子集、真子集個數的3個步驟
2．與子集、真子集個數有關的3個結論
假設集合A中含有n個元素，則有：
(1)A的子集的個數為2n個．
(2)A的真子集的個數為2n－1個．
(3)A的非空真子集的個數為2n－2個．
[跟進訓練]
2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，試寫出A的所有子集及真子集．
[解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}，
∴A的子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
A的真子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}．
類型3　集合相等關系的應用
【例3】　已知集合X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，證明：X＝Y．
[思路導引]　要證明X＝Y，應證明X Y，且Y X．
[證明]　(1)設x0∈X，
則x0＝2n0＋1，且n0∈Z．
①若n0是偶數，
可設n0＝2m，m∈Z，
則x0＝4m＋1，m∈Z，∴x0∈Y；
②若n0是奇數，
可設n0＝2m－1，m∈Z，
則x0＝2(2m－1)＋1＝4m－1，m∈Z，∴x0∈Y．
故不論n0是奇數還是偶數，都有x0∈Y，∴X Y．
(2)設y0∈Y，
則y0＝4k0＋1或y0＝4k0－1，k0∈Z．
∵y0＝4k0＋1＝2·(2k0)＋1或y0＝4k0－1＝2·(2k0－1)＋1，又k0∈Z，
∴2k0∈Z，2k0－1∈Z，
∴y0∈X，
∴Y X．
綜上所述，X＝Y．
反思領悟　(1)對于元素較少的有限集，可用列舉法將元素一一列舉出來，說明兩個集合中的元素完全相同，從而得出兩個集合相等．
(2)若集合A，B均為無限集，一般不用“集合A，B所含元素完全相同”來證明，這是因為當集合為無限集時，很難判定兩個集合的元素完全相同，此時可證明集合A，B互為子集，即證明A B，同時B A．
[跟進訓練]
3．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求實數x與y的值．
[解]　由已知A＝B＝{0，|x|，y}，所以0∈A．
若x＝0，則A＝{0，0，－y}，不滿足元素的互異性；
若xy＝0，即y＝0，則B＝{0，|x|，0}，也不滿足元素的互異性，
所以只有x－y＝0，即y＝x，所以A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2，0}，B＝{0，|x|，x}，
所以x2＝|x|，所以x＝0(舍)或x＝1或x＝－1．
當x＝1時，A＝B＝{1，1，0}，不滿足元素的互異性，故x≠1．
當x＝－1時，A＝B＝{－1，1，0}，滿足題意．所以x＝y＝－1即為所求．
類型4　根據集合之間的關系求參數
【例4】　已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求實數a的取值范圍．
[母題探究]
(變條件)把集合A換成“A＝{x|－1反思領悟　應用集合關系求參數的步驟
提醒：此類問題的易錯點有三個地方：①忽略A＝ 或B＝ 的情況；②在數軸上表示兩個集合時，沒有分清實心點與空心圈；③沒有弄清包含關系，沒有正確地列出不等式或不等式組．
[跟進訓練]
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B A，求實數m的取值范圍；(2)若A B，求實數m的取值范圍．
學習效果·課堂評估夯基礎
2
3
題號
4
1
1．下列正確表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}關系的維恩圖是(　　)
B　[由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}．
∵M＝{－1，0，1}，∴N M，故選B．]
√
2
3
題號
4
1
√
A　[當a＝3時，A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，A B成立．當A B時，a＝2或3．]
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，那么(　　)
A．若a＝3，則A B　 B．若A B，則a＝3
C．若a＝3，則A B D．若A B，則a＝2
2
3
題號
4
1
D　[因為集合A＝{x∈N|－2所以集合A的真子集的個數為22－1＝3．故選D．]
3．集合A＝{x∈N|－2A．8　　　　B．7　　　　C．4　　　　D．3
√
2
3
題號
4
1
[3，＋∞)　[將集合A在數軸上表示出來，如圖所示．
要滿足A B，表示實數m的點必須在表示3的點處或在其右邊，故m≥3．]
4．已知集合A＝(－∞，3)，集合B＝(－∞，m)且A B，則實數m的取值集合是___________．
[3，＋∞)
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．兩個集合間的基本關系有哪些，如何判斷兩個集合間的關系？

[提示]　兩個集合間的基本關系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及數軸法分析兩個集合間的關系．
[提示]　(1) A，(2) A(A≠ )．
2．空集同任意集合A之間存在怎樣的關系？
[提示]　包含關系是集合與集合間的關系，而屬于關系是元素與集合的關系，兩者不可混用．
3．包含關系與屬于關系的使用條件分別是什么？
“白馬非馬”的故事
公孫龍，中國古代哲學家，《白馬論》是他的一篇哲學名篇，文中的一個主要論題是“白馬非馬”．他提出的理由之一是：“求‘馬’，‘黃’‘黑’馬皆可致，求‘白馬’，‘黃’‘黑’馬不可致……是白馬之非馬，審矣！”意思是：若說要馬，黃馬黑馬都行，若說要白馬，黃馬黑馬就不行了……可見白馬非馬是無疑的了．想一想，公孫龍話里的奧妙在哪里？
閱讀材料·拓展數學大視野
我們日常說話用的自然語言雖然生動通俗，但很難做到嚴謹，因為常有一字多義的情形．“白馬非馬”的“非”字，乃“是”字的反義詞．“是”字的用法有多種．例如：“關羽千里走單騎的坐騎是赤兔馬”，這里的“是”相當于數學中的“＝”，表示“關羽千里走單騎的坐騎”和“赤兔馬”是同一個事物；“赤兔馬是紅馬”，這里的“是”相當于集合符號“∈”，表示“赤兔馬”是“紅馬”集合的一個元素；“紅馬是馬”，這里的“馬”是個大集合，“紅馬”是個小集合，“是”字表示的是兩個集合之間的包含關系，即紅馬集合包含于馬集合．
可見“是”字身兼多義，如表示“等于”“屬于”或“包含于”，那么“非”字也就可以表示“不等于”“不屬于”或“不包含于”了．公孫龍所論證的實際上是“白馬集合不等于馬集合”，這個意思大家一聽就明，但含糊地說“白馬非馬”，通常會被理解成“白馬集合不包含于馬集合”，就引起討論的興趣了．
這個例子說明，使用集合的思想和一詞一義的數學概念，有助于把事情弄清楚．1.1.2　集合的基本關系
學習任務 1．理解集合之間的包含與相等的含義．(數學抽象) 2．能識別給定集合的子集、真子集，并會用列舉法求給定集合的所有子集、真子集．(數學運算、邏輯推理) 3．會用數學符號和維恩圖表示兩個集合間的關系．(直觀想象)
“天蒼蒼，野茫茫，風吹草低見牛羊．”如果草原上某牧民家所有的羊組成集合A，所有的牛、羊組成集合B．
問題　(1)集合A中的元素與集合B中的元素的關系是怎樣的？
(2)集合A與集合B存在什么關系？
知識點1　子集與真子集
1．子集與真子集的定義
概念 定義 符號表示 圖形表示
子集 如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集 A B (或B A)
真 子 集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集 A?B (或B?A)
(1)任何兩個集合之間是否一定有包含關系？
(2)符號“∈”與“ ”有何不同？
[提示]　(1)不一定，如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，這兩個集合就沒有包含關系．
(2)符號“∈”表示元素與集合間的關系；
符號“ ”表示集合與集合之間的關系．
2．子集、真子集的性質
(1)任意集合A都是它自身的子集，即A A．
(2)空集是任意一個集合A的子集，即 A．
(3)包含關系的傳遞性：對于集合A，B，C．
①若A B，且B C，則A C；
②若A?B，B?C，則A?C；
3．維恩圖
如果用平面上一條封閉曲線的內部來表示集合，那么我們就可作出示意圖來形象地表示集合之間的關系，這種示意圖通常稱為維恩圖．
知識點2　集合的相等與子集的關系
1．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，則稱集合A與集合B相等，記作A＝B，讀作“A等于B”．
2．由集合相等以及子集的定義可知：如果A B且B A，則A＝B；反之，如果A＝B，則A B且B A．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1){0，1，2} {2，0，1}． (　　)
(2)若A B，且A≠B，則A?B． (　　)
(3)集合{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
2．下列命題中，正確的個數是(　　)
①空集沒有子集；
②任何集合至少有兩個子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若 ?A，則A≠ ．
A．0　　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
B　[在①中，空集的子集是空集，故①錯誤；
在②中，空集只有一個子集，還是空集，故②錯誤；
在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③錯誤；
在④中，若 ?A，則A≠ ，故④正確．故選B．]
3．下列圖形中，表示M N的是(　　)
　
A　　　　 B　　　　　 C　　　　　D
C　[由維恩圖知，選C．]
4．下列各組中的兩個集合相等的有(　　)
①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
②P＝{x|x＝2n－1，n∈N+}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N+}；
③P＝{x|x2－x＝0}，Q＝．
A．①②③ B．①③
C．②③ D．①②
B　[①中，對于Q，因為n∈Z，所以n－1∈Z，所以Q表示偶數集，所以P＝Q．②中，P是由所有正奇數組成的集合，Q是由所有大于1的正奇數組成的集合，所以集合P與集合Q不相等．③中，P＝{0，1}，對于Q，當n為奇數時，x＝＝0；當n為偶數時，x＝＝1，故Q＝{0，1}，所以P＝Q．故選B．]
類型1　集合間關系的判斷
【例1】　(1)下列各式中，正確的個數是(　　)
①{0}∈{0，1，2}；② ；③ {0，1，2}；④ ＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)判斷下列每組中兩個集合的關系：
①A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}．
②A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}．
(3)(源自人教A版教材)判斷下列各題中集合A是否為集合B的子集，并說明理由：
①A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的約數}；
②A＝{x|x是長方形}，B＝{x|x是兩條對角線相等的平行四邊形}．
(1)B　[對于①，是集合與集合的關系，應為{0}?{0，1，2}；對于②，實際為同一集合，任何一個集合是它本身的子集；對于③，空集是任何集合的子集；對于④，{0}是含有單元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ?{0}；對于⑤，{0，1}是含有兩個元素0與1的集合，而{(0，1)}是以有序實數對(0，1)為元素的單元素集合，所以{0，1}與{(0，1)}不相等；對于⑥，0與{0}是“屬于與否”的關系，所以0∈{0}．故②③是正確的，應選B．]
(2)[解]　①因為n∈Z，所以n＋1∈Z，所以B表示偶數集，
因為A也表示偶數集，
所以A＝B．
②因為A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2}＝R，
所以A?B．
(3)[解]　①因為3不是8的約數，所以集合A不是集合B的子集．
②因為若x是長方形，則x一定是兩條對角線相等的平行四邊形，所以集合A是集合B的子集．
　判斷集合關系的方法
(1)觀察法：一一列舉觀察．
(2)特征性質法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷集合間的關系．
(3)數形結合法：利用數軸或維恩圖．
[跟進訓練]
1．判斷下列兩個集合之間的關系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|0(3)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}．
[解]　(1)集合A的代表元素是數，集合B的代表元素是有序實數對，故A與B之間無包含關系．
(2)∵A＝{x|0(3)(法一)由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；
由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，從而A＝B．
(法二)集合A中的元素是平面直角坐標系中第一、三象限內的點，集合B中的元素也是平面直角坐標系中第一、三象限內的點，從而A＝B．
類型2　集合的子集、真子集的個數問題
【例2】　(1)集合M＝{1，2，3}的真子集個數是(　　)
A．6　　　　　B．7　　　　C．8　　　　D．9
(2)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4個子集，則實數m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(1)B　(2)B　[(1)集合M的真子集所含有的元素的個數可以有0個，1個或2個，含有0個為 ，含有1個元素的有3個真子集{1}，{2}，{3}，含有2個元素的有3個真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7個真子集，故選B．
(2)根據題意，集合M有4個子集，則M中有2個元素．又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素為大于等于1而小于等于m的全部整數，故m＝2．]
　1．求集合子集、真子集個數的3個步驟
2．與子集、真子集個數有關的3個結論
假設集合A中含有n個元素，則有：
(1)A的子集的個數為2n個．
(2)A的真子集的個數為2n－1個．
(3)A的非空真子集的個數為2n－2個．
[跟進訓練]
2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，試寫出A的所有子集及真子集．
[解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，
∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}，
∴A的子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
A的真子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}．
類型3　集合相等關系的應用
【例3】　已知集合X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，證明：X＝Y．
[思路導引]　要證明X＝Y，應證明X Y，且Y X．
[證明]　(1)設x0∈X，
則x0＝2n0＋1，且n0∈Z．
①若n0是偶數，
可設n0＝2m，m∈Z，
則x0＝4m＋1，m∈Z，
∴x0∈Y；
②若n0是奇數，
可設n0＝2m－1，m∈Z，
則x0＝2(2m－1)＋1＝4m－1，m∈Z，∴x0∈Y．
故不論n0是奇數還是偶數，都有x0∈Y，∴X Y．
(2)設y0∈Y，
則y0＝4k0＋1或y0＝4k0－1，k0∈Z．
∵y0＝4k0＋1＝2·(2k0)＋1或y0＝4k0－1＝2·(2k0－1)＋1，又k0∈Z，
∴2k0∈Z，2k0－1∈Z，
∴y0∈X，
∴Y X．
綜上所述，X＝Y．
　(1)對于元素較少的有限集，可用列舉法將元素一一列舉出來，說明兩個集合中的元素完全相同，從而得出兩個集合相等．
(2)若集合A，B均為無限集，一般不用“集合A，B所含元素完全相同”來證明，這是因為當集合為無限集時，很難判定兩個集合的元素完全相同，此時可證明集合A，B互為子集，即證明A B，同時B A．
[跟進訓練]
3．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求實數x與y的值．
[解]　由已知A＝B＝{0，|x|，y}，所以0∈A．
若x＝0，則A＝{0，0，－y}，不滿足元素的互異性；
若xy＝0，即y＝0，則B＝{0，|x|，0}，也不滿足元素的互異性，
所以只有x－y＝0，即y＝x，
所以A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2，0}，B＝{0，|x|，x}，
所以x2＝|x|，
所以x＝0(舍)或x＝1或x＝－1．
當x＝1時，A＝B＝{1，1，0}，不滿足元素的互異性，故x≠1．
當x＝－1時，A＝B＝{－1，1，0}，滿足題意．所以x＝y＝－1即為所求．
類型4　根據集合之間的關系求參數
【例4】　已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求實數a的取值范圍．
[解]　當B＝ 時，只需2a>a＋3，即a>3；
當B≠ 時，根據題意作出如圖所示的數軸，可得或
解得a<－4或2綜上可得，實數a的取值范圍為{a|a<－4或a>2}．
[母題探究]
(變條件)把集合A換成“A＝{x|－1[解]　因為A＝{x|－1若A B，如圖，
所以或解得－1≤a≤－，
所以實數a的取值范圍為．
　應用集合關系求參數的步驟
提醒：此類問題的易錯點有三個地方：①忽略A＝ 或B＝ 的情況；②在數軸上表示兩個集合時，沒有分清實心點與空心圈；③沒有弄清包含關系，沒有正確地列出不等式或不等式組．
[跟進訓練]
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B?A，求實數m的取值范圍；
(2)若A B，求實數m的取值范圍．
[解]　(1)①當B≠ ，如圖所示．
∴或
解這兩個不等式組，得2≤m≤3．
②當B＝ 時，由m＋1>2m－1，得m<2．
綜上可得，實數m的取值范圍是{m|m≤3}．
(2)當A B時，如圖所示，此時B≠ ．
∴即
∴m不存在，即不存在實數m使A B．
1．下列正確表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}關系的維恩圖是(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　D
B　[由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}．
∵M＝{－1，0，1}，
∴N?M，故選B．]
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，那么(　　)
A．若a＝3，則A B　 B．若A B，則a＝3
C．若a＝3，則A B D．若A B，則a＝2
A　[當a＝3時，A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，A B成立．當A B時，a＝2或3．]
3．集合A＝{x∈N|－2A．8　　　　B．7　　　　C．4　　　　D．3
D　[因為集合A＝{x∈N|－2所以集合A的真子集的個數為22－1＝3．故選D．]
4．已知集合A＝(－∞，3)，集合B＝(－∞，m)且A B，則實數m的取值集合是________．
[3，＋∞)　[將集合A在數軸上表示出來，如圖所示．
要滿足A B，表示實數m的點必須在表示3的點處或在其右邊，故m≥3．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．兩個集合間的基本關系有哪些，如何判斷兩個集合間的關系？
[提示]　兩個集合間的基本關系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及數軸法分析兩個集合間的關系．
2．空集同任意集合A之間存在怎樣的關系？
[提示]　(1) A，(2) ?A(A≠ )．
3．包含關系與屬于關系的使用條件分別是什么？
[提示]　包含關系是集合與集合間的關系，而屬于關系是元素與集合的關系，兩者不可混用．
“白馬非馬”的故事
公孫龍，中國古代哲學家，《白馬論》是他的一篇哲學名篇，文中的一個主要論題是“白馬非馬”．他提出的理由之一是：“求‘馬’，‘黃’‘黑’馬皆可致，求‘白馬’，‘黃’‘黑’馬不可致……是白馬之非馬，審矣！”意思是：若說要馬，黃馬黑馬都行，若說要白馬，黃馬黑馬就不行了……可見白馬非馬是無疑的了．想一想，公孫龍話里的奧妙在哪里？
我們日常說話用的自然語言雖然生動通俗，但很難做到嚴謹，因為常有一字多義的情形．“白馬非馬”的“非”字，乃“是”字的反義詞．“是”字的用法有多種．例如：“關羽千里走單騎的坐騎是赤兔馬”，這里的“是”相當于數學中的“＝”，表示“關羽千里走單騎的坐騎”和“赤兔馬”是同一個事物；“赤兔馬是紅馬”，這里的“是”相當于集合符號“∈”，表示“赤兔馬”是“紅馬”集合的一個元素；“紅馬是馬”，這里的“馬”是個大集合，“紅馬”是個小集合，“是”字表示的是兩個集合之間的包含關系，即紅馬集合包含于馬集合．
可見“是”字身兼多義，如表示“等于”“屬于”或“包含于”，那么“非”字也就可以表示“不等于”“不屬于”或“不包含于”了．公孫龍所論證的實際上是“白馬集合不等于馬集合”，這個意思大家一聽就明，但含糊地說“白馬非馬”，通常會被理解成“白馬集合不包含于馬集合”，就引起討論的興趣了．
這個例子說明，使用集合的思想和一詞一義的數學概念，有助于把事情弄清楚．
課時分層作業(三)　集合的基本關系
一、選擇題
1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，則(　　)
A．P∈Q　　B．P Q　　C．Q P　　D．Q∈P
C　[集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，由于集合Q中的元素都在集合P中，所以Q P．故選C．]
2．已知A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，則A可以是(　　)
A．{1，8} B．{2，3}
C．{0} D．{9}
A　[由A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，可知集合A中一定含有集合B，C的公共元素，結合選項可知只有A滿足題意．]
3．集合U，S，T，F的關系如圖所示，下列關系正確的是(　　)
①S∈U；②F T；③S T；④S F；⑤S∈F；⑥F U．
A．①③ B．②③
C．③④ D．③⑥
D　[元素與集合之間的關系才用∈，故①⑤錯；子集的區域要被全部涵蓋，故②④錯．]
4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
D　[因為集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，所以當滿足A C B時，集合C可以為{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，故滿足條件的集合C的個數為4．]
5．(2023·新高考Ⅱ卷)設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，則a＝(　　)
A．2 B．1
C． D．－1
B　[依題意，有a－2＝0或2a－2＝0．當a－2＝0時，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A B；當2a－2＝0時，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，滿足A B，所以a＝1．故選B．]
二、填空題
6．已知集合M＝{1，0，－1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M}，則集合N的子集個數為________，真子集個數為________．
8　7　[(法一：列舉法)由題意，知集合N＝{1，0，－1}，所以N的子集有 ，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{0，－1}，{1，－1}，{0，1，－1}，共8個；真子集有 ，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{0，－1}，{1，－1}，共7個．
(法二：公式法)由題意，知集合N＝{1，0，－1}，所以N的子集個數為23＝8，N的真子集個數為23－1＝7．]
7．已知M＝{x|x≥2，x∈R}，給定下列關系：①π∈M；②{π}?M；③π?M；④{π}∈M．其中正確的有________．(填序號)
①②　[①②顯然正確；③中π與M的關系為元素與集合的關系，不應該用“?”符號；④中{π}與M的關系是集合與集合的關系，不應該用“∈”符號．]
8．已知集合A＝{a＋b，－2}，B＝{－2，ab}，則滿足A＝B的一組有序實數對(a，b)可以為________．
(2，2)　[由題意可得a＋b＝ab，即(a－1)b＝a，顯然a≠1，所以b＝，故(a，b)可以為(2，2)．]
三、解答題
9．指出下列各組集合之間的關系：
(1)A＝{x|x是12的約數}，B＝{x|x是36的約數}；
(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；
(3)A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四邊形}，D＝{x|x是正方形}；
(4)M＝，N＝．
[解]　(1)因為若x是12的約數，則必定是36的約數，反之不成立，所以A?B．
(2)因為A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝ ，所以B?A．
(3)由圖形的特點可畫出維恩圖如圖所示，
從而D?B?A?C．
(4)對于集合M，其組成元素是，分子部分表示所有的整數；對于集合N，其組成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇數．由真子集的概念知，N?M．
10．(多選)若集合A具有以下性質：①集合中至少有兩個元素；②若{x，y} A，則xy，x＋y∈A，且當x≠0時，∈A，則稱集合A是“緊密集合”．下列說法正確的是(　　)
A．整數集是“緊密集合”
B．實數集是“緊密集合”
C．“緊密集合”可以是有限集
D．若集合A是“緊密集合”且x，y∈A，則x－y∈A
BC　[A選項：若x＝2，y＝1，而 Z，故整數集不是“緊密集合”，A錯誤；B選項：根據“緊密集合”的性質，實數集是“緊密集合”，B正確；C選項：集合{－1，0，1}是“緊密集合”，故“緊密集合”可以是有限集，C正確；D選項：集合A＝{－1，0，1}是“緊密集合”，當x＝1，y＝－1時，x－y＝2 A，D錯誤．]
11．設集合M＝，N＝，則(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．無法確定
B　[由集合M＝，得x＝＝，分子是奇數，
由集合N＝，得x＝＝，
分子可以是奇數也可以是偶數，
則M N，故選B．]
12．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三個關系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c等于________．
201　[可分下列三種情形：(1)若只有①正確，則a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1，這與集合中元素的互異性矛盾，所以只有①正確是不可能的；(2)若只有②正確，則b＝2，a＝2，c＝0，這與集合中元素的互異性矛盾，所以只有②正確是不可能的；(3)若只有③正確，則c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201．]
13．設集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1254　(－∞，－2]∪[－1，2]　[化簡集合A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
即A中含有8個元素，
∴A的非空真子集個數為28－2＝254．
(2)①當m≤－2時，B＝ ，B A；
②當m>－2時，B≠ ，因此，要使B A，
則只要∴－1≤m≤2．
綜上所述，m的取值范圍是(－∞，－2]∪[－1，2]．]
14．(1)已知A＝{x|m＋1≤x≤3m－1}，B＝{x|1≤x≤10}，且A B，求實數m的取值范圍．
(2)若(1)中的“B＝{x|1≤x≤10}”改為“B＝{x|x>10或x<1}”，其余條件不變，求實數m的取值范圍．
[解]　(1)①A＝ 時，m＋1>3m－1，解得m<1，滿足A B；
②A≠ 時，由A B可得
解得1≤m≤．
由①②得m≤，故m的取值范圍是．
(2)①A＝ 時，m＋1>3m－1，
解得m<1，滿足A B；
②A≠ 時，由A B可得或即m無解或m>9．
故m的取值范圍是{m|m<1或m>9}．
15．已知非空集合S的元素都是整數，且滿足：對于任意給定的x，y∈S(x，y可以相同)，有x＋y∈S且x－y∈S．
(1)集合S能否為有限集？若能，求出所有有限集；若不能，請說明理由．
(2)證明：若3∈S且5∈S，則S＝Z．
[解]　(1)能．若a∈S，且a≠0，由題意知a的所有整數倍的數都是S中的元素，所以S是無限集；
若a∈S，且a＝0，則S＝{0}，x＋y∈S，x－y∈S，符合題意，且S＝{0}是有限集，
所以集合S能為有限集，即S＝{0}．
(2)證明：因為非空集合S的元素都是整數，且x＋y∈Z，x－y∈Z，由5∈S，3∈S，
所以5－3＝2∈S，
所以3－2＝1∈S，
所以1＋1＝2∈S，1＋2＝3∈S，1＋3＝4∈S，…，
1－1＝0∈S，0－1＝－1∈S，－1－1＝－2∈S，－2－1＝－3∈S，…，
所以非空集合S是所有整數構成的集合，所以S＝Z．
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