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1.2.1　命題與量詞
第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)
1.2　常用邏輯用語(yǔ)
學(xué)習(xí)
任務(wù) 1．理解命題的含義，并會(huì)判斷其真假．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
2．理解全稱量詞與全稱量詞命題的定義，理解存在量詞與存在量詞命題的定義．(數(shù)學(xué)抽象)
3．會(huì)判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會(huì)判斷它們的真假．(邏輯推理)
必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知
知識(shí)點(diǎn)1　命題
提醒　(1)我們把未能得到真假判斷的命題稱為猜想．疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句一定不是命題．
(2)要判定一個(gè)命題為真命題，需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明；要判定一個(gè)命題為假命題，只需要舉出一個(gè)反例即可．
真假
陳述
知識(shí)點(diǎn)2　量詞
全稱量詞 存在量詞
量詞 任意、所有、每一個(gè) 存在、有、至少有一個(gè)
符號(hào)
命題 含有________的命題稱為全稱量詞命題 含有________的命題稱為存在量詞命題
命題
形式 對(duì)集合M中所有元素x，r(x)，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為_(kāi)__________ 存在集合M中的元素x，s(x)，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為_(kāi)____________
x∈M，s(x)
全稱量詞
存在量詞
x∈M，r(x)
思考　“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有實(shí)數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱量詞命題？請(qǐng)改寫成相應(yīng)命題的形式．
[提示]　是存在量詞命題，可改寫為“存在x∈R，使一元二次方程ax2＋2x＋1＝0”．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)“三角形內(nèi)角和是180°”是全稱量詞命題． (　　)
[提示]　所有三角形的內(nèi)角和都是180°．
[提示]　含有存在量詞“有些”．
√
√
(2)“有些三角形中三個(gè)內(nèi)角相等”是存在量詞命題． (　　)
(3)“ x∈R，x2＋1≥1”是真命題． (　　)
[提示]　 x∈R，x2≥0，故x2＋1≥1．
[提示]　不存在x2<0．
×
√
(4)“ x∈R，x2<0”是真命題． (　　)
④⑤　④　[①感嘆句，不是命題．②祈使句，不是命題．③疑問(wèn)句，不是命題．④是數(shù)學(xué)中的公理，是真命題．⑤可以判斷其真假，故它是命題，當(dāng)x＝0時(shí)，該命題不成立，故它是假命題．]
④⑤
④
關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難
類型1　命題及其真假的判斷
【例1】　(1)下列語(yǔ)句是命題的是(　　)
①矩形的對(duì)角線相等；②2>3；
③一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；④x>2；
⑤2024年央視春晚真精彩啊！
A．①②③　　　　 B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
√
(2)(多選)有下列命題，其中為真命題的是(　　)
A．若x＋y>0，則x>0且y>0
B．3是方程x2－9＝0的一個(gè)根
C．若m≥1，則m＋3<4的解集是R
D．若a＋7是無(wú)理數(shù)，則a是無(wú)理數(shù)
√
√
(1)A　(2)BD　[(1)①②③是陳述句，且能判斷真假，因此是命題，④不能判斷真假，⑤是感嘆句，故④⑤不是命題．
(2)對(duì)于A，x＝－1<0，y＝3>0有x＋y>0，是假命題．
對(duì)于B，3是方程x2－9＝0的一個(gè)根，是真命題．
對(duì)于C，m≥1，則m＋3≥4，故為假命題．
對(duì)于D，若a＋7是無(wú)理數(shù)，則a是無(wú)理數(shù)，是真命題．]
反思領(lǐng)悟　判斷命題真假的方法
(1)判斷一個(gè)命題是真命題，可從公理或定理出發(fā)，用邏輯推理的方法證明．
(2)判斷一個(gè)命題是假命題，首先分清原命題的條件與結(jié)論，然后舉反例說(shuō)明這個(gè)命題是假命題，就是所舉例子滿足命題條件，而不滿足結(jié)論．
(3)注意：一個(gè)命題的真假與命題的背景有關(guān)，對(duì)其進(jìn)行判斷時(shí)，要注意命題的前提．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(源自蘇教版教材)判斷下列命題的真假：
(1)若a＝b，則a2＝b2；
(2)若a2＝b2，則a＝b；
(3)全等三角形的面積相等；
(4)面積相等的三角形全等．
[解]　(1)當(dāng)a＝b時(shí)，顯然有a2＝b2．所以命題為真．
(2)當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，a2＝b2＝1，
即由a2＝b2，不能推出a＝b．所以命題為假．
(3)由全等三角形的定義可知，當(dāng)兩個(gè)三角形全等時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積一定相等．所以命題為真．
(4)如圖，直角三角形ABC與等腰三角形A′BC同底等高，這兩個(gè)三角形的面積相等，但這兩個(gè)三角形不全等．
所以命題為假．
√
√
(2)(源自湘教版教材)判斷下列命題的真假：
① x∈R，x2＋2>0；
② x∈N，x4≥1；
③ a∈Z，a2＝3a－2；
④ a≥3，a2＝3a－2；
⑤設(shè)A，B，C是平面上不在同一直線上的三點(diǎn)，在平面上存在某個(gè)點(diǎn)P使得PA＝PB＝PC．
(2)[解]　①因?yàn)?x∈R，x2≥0，從而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0．因此①是真命題．
②因?yàn)?∈N，但當(dāng)x＝0時(shí)，x4≥1不成立，因此②是假命題．
③因?yàn)?∈Z且12＝3×1－2，因此③是真命題．
④因?yàn)閍2＝3a－2只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a＝1或a＝2，所以當(dāng)a≥3時(shí)a2≠3a－2．因此④是假命題．
⑤A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，三角形總有外接圓．設(shè)P是△ABC外接圓的圓心，則PA＝PB＝PC．因此⑤是真命題．
反思領(lǐng)悟　判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷真假．
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)；
(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)；
(3) x，y∈Z，使3x－4y＝20；
(4)任何數(shù)的0次方都等于1．
[解]　(1)全稱量詞命題．在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，所以該命題是真命題．
(2)存在量詞命題．存在一個(gè)實(shí)數(shù)零，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，所以該命題是真命題．
(3)存在量詞命題．取x＝0，y＝－5時(shí)，3×0－4×(－5)＝20成立，所以該命題是真命題．
(4)全稱量詞命題．0的0次方無(wú)意義，所以該命題是假命題．
類型3　依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)取值范圍
【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}且B≠ ．
(1)若命題p：“ x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍；
(2)命題q：“ x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍．
反思領(lǐng)悟　依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)取值范圍問(wèn)題的求解策略
(1)理解：根據(jù)全稱量詞和存在量詞的含義透徹理解題意．
(2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)含量詞命題的真假把命題的真假問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系或函數(shù)的最值問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求參數(shù)的取值范圍．
學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)
2
3
題號(hào)
4
1
1．下列語(yǔ)句不是命題的個(gè)數(shù)有(　　)
①若a>b，b>c，則a>c；②5x－1＝4；③3<7．
A．0個(gè)　　　B．1個(gè)　　　C．2個(gè)　　　D．3個(gè)
√
B　[①③是可以判斷真假的陳述句，是命題；②不能判斷真假，不是命題．故選B．]
2
3
題號(hào)
4
1
D　[選項(xiàng)D中含有存在量詞“存在”，所以根據(jù)存在量詞命題的定義知選D．]
2．下列命題是存在量詞命題的是(　　)
A．對(duì)頂角相等
B．正方形都是四邊形
C．所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)
D．存在實(shí)數(shù)大于等于1
√
2
3
題號(hào)
4
1
3．(多選)下列命題中，既是真命題又是全稱量詞命題的是(　　)
A．至少有一個(gè)x∈Z，使得x2<3成立
B．對(duì)任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2(a＋b－1)
C．平行四邊形的對(duì)角線互相平分
D．菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等
√
√
2
3
題號(hào)
4
1
BC　[選項(xiàng)A：因?yàn)?2<3，0∈Z，所以至少有一個(gè)x∈Z，使得x2<3成立，是真命題，但不是所有的x∈Z，都有x2<3成立，不是全稱量詞命題；
選項(xiàng)B：因?yàn)閍2＋b2－2(a＋b－1)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以本命題是真命題，又因?yàn)閍，b∈R都使命題成立，故本命題符合題意；
選項(xiàng)C：是真命題，是全稱量詞命題；
選項(xiàng)D：并不是所有的菱形對(duì)角線長(zhǎng)度都相等，故本命題是假命題．故選BC．]
2
3
題號(hào)
4
1
(－∞，3]
[提示]　判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞，有些全稱量詞命題雖然不含全稱量詞，但可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．如何判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題？
2．怎樣判斷全稱量詞命題的真假？

[提示]　要確定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，需保證該命題對(duì)所有的元素都成立；若能舉出一個(gè)反例說(shuō)明命題不成立，則該全稱量詞命題是假命題．
[提示]　要確定一個(gè)存在量詞命題是真命題，舉出一個(gè)例子說(shuō)明該命題成立即可；若經(jīng)過(guò)邏輯推理得到命題對(duì)所有的元素都不成立，則該存在量詞命題是假命題．
3．怎樣判斷存在量詞命題的真假？1.2　常用邏輯用語(yǔ)
1.2.1　命題與量詞
學(xué)習(xí) 任務(wù) 1．理解命題的含義，并會(huì)判斷其真假．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理) 2．理解全稱量詞與全稱量詞命題的定義，理解存在量詞與存在量詞命題的定義．(數(shù)學(xué)抽象) 3．會(huì)判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會(huì)判斷它們的真假．(邏輯推理)
我們?cè)诔踔械臅r(shí)候就已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)中的命題．試判斷下列語(yǔ)句是不是命題，若是命題，你會(huì)判斷其真假嗎？
(1)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)；
(2)若x是任意實(shí)數(shù)，則|x|≥0；
(3)x2－4＝0；
(4)存在實(shí)數(shù)x，使得x2－4＝0；
(5)垂直于同一條直線的兩條直線一定平行嗎？
(6)向雷鋒同志學(xué)習(xí)！
問(wèn)題　上述是命題的語(yǔ)句中，哪些含有量詞？分別是什么類型的量詞？
知識(shí)點(diǎn)1　命題
(1)我們把未能得到真假判斷的命題稱為猜想．疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句一定不是命題．
(2)要判定一個(gè)命題為真命題，需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明；要判定一個(gè)命題為假命題，只需要舉出一個(gè)反例即可．
知識(shí)點(diǎn)2　量詞
全稱量詞 存在量詞
量詞 任意、所有、每一個(gè) 存在、有、至少有一個(gè)
符號(hào)
命題 含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題 含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題
命題 形式 對(duì)集合M中所有元素x，r(x)，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為 x∈M，r(x) 存在集合M中的元素x，s(x)，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為 x∈M，s(x)
“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有實(shí)數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱量詞命題？請(qǐng)改寫成相應(yīng)命題的形式．
[提示]　是存在量詞命題，可改寫為“存在x∈R，使一元二次方程ax2＋2x＋1＝0”．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)“三角形內(nèi)角和是180°”是全稱量詞命題． (　　)
(2)“有些三角形中三個(gè)內(nèi)角相等”是存在量詞命題． (　　)
(3)“ x∈R，x2＋1≥1”是真命題． (　　)
(4)“ x∈R，x2<0”是真命題． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
[提示]　(1)所有三角形的內(nèi)角和都是180°．
(2)含有存在量詞“有些”．
(3) x∈R，x2≥0，故x2＋1≥1．
(4)不存在x2<0．
2．下列語(yǔ)句中是命題的有________；是真命題的有________．(只填序號(hào))
①這幅畫真漂亮！②求證是無(wú)理數(shù)；③矩形是平行四邊形嗎？④兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；⑤x2－1>0(x∈R)．
④⑤　④　[①感嘆句，不是命題．②祈使句，不是命題．③疑問(wèn)句，不是命題．④是數(shù)學(xué)中的公理，是真命題．⑤可以判斷其真假，故它是命題，當(dāng)x＝0時(shí)，該命題不成立，故它是假命題．]
類型1　命題及其真假的判斷
【例1】　(1)下列語(yǔ)句是命題的是(　　)
①矩形的對(duì)角線相等；②2>3；
③一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；④x>2；
⑤2024年央視春晚真精彩啊！
A．①②③　　　　 B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
(2)(多選)有下列命題，其中為真命題的是(　　)
A．若x＋y>0，則x>0且y>0
B．3是方程x2－9＝0的一個(gè)根
C．若m≥1，則m＋3<4的解集是R
D．若a＋7是無(wú)理數(shù)，則a是無(wú)理數(shù)
(1)A　(2)BD　[(1)①②③是陳述句，且能判斷真假，因此是命題，④不能判斷真假，⑤是感嘆句，故④⑤不是命題．
(2)對(duì)于A，x＝－1<0，y＝3>0有x＋y>0，是假命題．
對(duì)于B，3是方程x2－9＝0的一個(gè)根，是真命題．
對(duì)于C，m≥1，則m＋3≥4，故為假命題．
對(duì)于D，若a＋7是無(wú)理數(shù)，則a是無(wú)理數(shù)，是真命題．]
　判斷命題真假的方法
(1)判斷一個(gè)命題是真命題，可從公理或定理出發(fā)，用邏輯推理的方法證明．
(2)判斷一個(gè)命題是假命題，首先分清原命題的條件與結(jié)論，然后舉反例說(shuō)明這個(gè)命題是假命題，就是所舉例子滿足命題條件，而不滿足結(jié)論．
(3)注意：一個(gè)命題的真假與命題的背景有關(guān)，對(duì)其進(jìn)行判斷時(shí)，要注意命題的前提．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(源自蘇教版教材)判斷下列命題的真假：
(1)若a＝b，則a2＝b2；
(2)若a2＝b2，則a＝b；
(3)全等三角形的面積相等；
(4)面積相等的三角形全等．
[解]　(1)當(dāng)a＝b時(shí)，顯然有a2＝b2．
所以命題為真．
(2)當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，a2＝b2＝1，
即由a2＝b2，不能推出a＝b．
所以命題為假．
(3)由全等三角形的定義可知，當(dāng)兩個(gè)三角形全等時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積一定相等．
所以命題為真．
(4)如圖，直角三角形ABC與等腰三角形A′BC同底等高，這兩個(gè)三角形的面積相等，但這兩個(gè)三角形不全等．
所以命題為假．
類型2　全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析及真假判斷
【例2】　(1)(多選)下列四個(gè)命題，正確的是(　　)
A． x∈R，x2－x＋≥0
B．不存在實(shí)數(shù)x，使x3＋1＝0
C． n∈R，n2≥n
D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x3＋1＝0
(2)(源自湘教版教材)判斷下列命題的真假：
① x∈R，x2＋2>0；
② x∈N，x4≥1；
③ a∈Z，a2＝3a－2；
④ a≥3，a2＝3a－2；
⑤設(shè)A，B，C是平面上不在同一直線上的三點(diǎn)，在平面上存在某個(gè)點(diǎn)P使得PA＝PB＝PC．
(1)AD　[A選項(xiàng)，x2－x＋＝≥0，
當(dāng)x＝時(shí)等號(hào)成立，A正確．
BD選項(xiàng)，當(dāng)x＝－1時(shí)，x3＋1＝0，B錯(cuò)誤，D正確．
C選項(xiàng)，當(dāng)n＝時(shí)，n2(2)[解]　①因?yàn)?x∈R，x2≥0，從而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0．因此①是真命題．
②因?yàn)?∈N，但當(dāng)x＝0時(shí)，x4≥1不成立，因此②是假命題．
③因?yàn)?∈Z且12＝3×1－2，因此③是真命題．
④因?yàn)閍2＝3a－2只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a＝1或a＝2，所以當(dāng)a≥3時(shí)a2≠3a－2．因此④是假命題．
⑤A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，三角形總有外接圓．設(shè)P是△ABC外接圓的圓心，則PA＝PB＝PC．因此⑤是真命題．
　判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷真假．
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)；
(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)；
(3) x，y∈Z，使3x－4y＝20；
(4)任何數(shù)的0次方都等于1．
[解]　(1)全稱量詞命題．在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，所以該命題是真命題．
(2)存在量詞命題．存在一個(gè)實(shí)數(shù)零，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，所以該命題是真命題．
(3)存在量詞命題．取x＝0，y＝－5時(shí)，3×0－4×(－5)＝20成立，所以該命題是真命題．
(4)全稱量詞命題．0的0次方無(wú)意義，所以該命題是假命題．
類型3　依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)取值范圍
【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}且B≠ ．
(1)若命題p：“ x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍；
(2)命題q：“ x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍．
[解]　(1)由于命題p：“ x∈B，x∈A”是真命題，所以B A，又B≠ ，
所以解得2≤m≤3．
即m的取值范圍是{m|2≤m≤3}．
(2)q為真，則A∩B≠ ，
因?yàn)锽≠ ，所以m≥2．
所以
解得2≤m≤4．
即m的取值范圍是{m|2≤m≤4}．
　依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)取值范圍問(wèn)題的求解策略
(1)理解：根據(jù)全稱量詞和存在量詞的含義透徹理解題意．
(2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)含量詞命題的真假把命題的真假問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系或函數(shù)的最值問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求參數(shù)的取值范圍．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．設(shè)p：≥0，q：關(guān)于x的方程x2＋2ax－a＝0有實(shí)數(shù)根．若p是真命題，q是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[解]　由≥0，解得a≥－．若關(guān)于x的方程x2＋2ax－a＝0有實(shí)數(shù)根，則Δ＝(2a)2＋4a≥0，
∴a≤－1或a≥0．
∵p是真命題，q是假命題，
∴a≥－，且－1∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
1．下列語(yǔ)句不是命題的個(gè)數(shù)有(　　)
①若a>b，b>c，則a>c；②5x－1＝4；③3<7．
A．0個(gè)　　　B．1個(gè)　　　C．2個(gè)　　　D．3個(gè)
B　[①③是可以判斷真假的陳述句，是命題；②不能判斷真假，不是命題．故選B．]
2．下列命題是存在量詞命題的是(　　)
A．對(duì)頂角相等
B．正方形都是四邊形
C．所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)
D．存在實(shí)數(shù)大于等于1
D　[選項(xiàng)D中含有存在量詞“存在”，所以根據(jù)存在量詞命題的定義知選D．]
3．(多選)下列命題中，既是真命題又是全稱量詞命題的是(　　)
A．至少有一個(gè)x∈Z，使得x2<3成立
B．對(duì)任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2(a＋b－1)
C．平行四邊形的對(duì)角線互相平分
D．菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等
BC　[選項(xiàng)A：因?yàn)?2<3，0∈Z，所以至少有一個(gè)x∈Z，使得x2<3成立，是真命題，但不是所有的x∈Z，都有x2<3成立，不是全稱量詞命題；
選項(xiàng)B：因?yàn)閍2＋b2－2(a＋b－1)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以本命題是真命題，又因?yàn)閍，b∈R都使命題成立，故本命題符合題意；
選項(xiàng)C：是真命題，是全稱量詞命題；
選項(xiàng)D：并不是所有的菱形對(duì)角線長(zhǎng)度都相等，故本命題是假命題．故選BC．]
4．已知命題p：“ x∈R，關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有實(shí)數(shù)根”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
(－∞，3]　[因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有實(shí)數(shù)根，
所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤3，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，3]．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．如何判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題？
[提示]　判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞，有些全稱量詞命題雖然不含全稱量詞，但可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷．
2．怎樣判斷全稱量詞命題的真假？
[提示]　要確定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，需保證該命題對(duì)所有的元素都成立；若能舉出一個(gè)反例說(shuō)明命題不成立，則該全稱量詞命題是假命題．
3．怎樣判斷存在量詞命題的真假？
[提示]　要確定一個(gè)存在量詞命題是真命題，舉出一個(gè)例子說(shuō)明該命題成立即可；若經(jīng)過(guò)邏輯推理得到命題對(duì)所有的元素都不成立，則該存在量詞命題是假命題．
課時(shí)分層作業(yè)(六)　命題與量詞
一、選擇題
1．下列語(yǔ)句是命題的是(　　)
A．102 024是一個(gè)大數(shù)
B．若兩直線平行，則這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)
C．y＝kx＋b(k≠0)是一次函數(shù)嗎？
D．a(chǎn)≤15
B　[A，D不能判斷真假，不是命題；B能夠判斷真假而且是陳述句，是命題；C是疑問(wèn)句，不是命題．故選B．]
2．“存在集合A，使 ? A”，對(duì)這個(gè)命題，下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．全稱量詞命題，真命題 B．全稱量詞命題，假命題
C．存在量詞命題，真命題 D．存在量詞命題，假命題
C　[當(dāng)A≠ 時(shí)， ? A，是存在量詞命題， 且為真命題．故選C．]
3．(多選)下列命題是假命題的是(　　)
A．多邊形的外角和與邊數(shù)有關(guān)
B．{x∈N|x3＋1＝0}不是空集
C．二次方程a2x2＋2x－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根
D．若整數(shù)m是偶數(shù)，則m是合數(shù)
ABD　[因?yàn)棣ぃ?＋4a2>0，故C正確，而ABD都錯(cuò)誤，均可舉出反例．]
4．下列結(jié)論正確的是(　　)
A． n∈N+，2n2＋5n＋2能被2整除是真命題
B． n∈N+，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命題
C． n∈N+，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命題
D． n∈N+，2n2＋5n＋2能被2整除是假命題
C　[當(dāng)n＝1時(shí)，2n2＋5n＋2不能被2整除，當(dāng)n＝2時(shí)，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B，D錯(cuò)誤，C正確．]
5．在下列給出的四個(gè)命題中，為真命題的是(　　)
A． a∈R， b∈Q，使a2＋b2＝0
B． n∈Z， m∈Z，使nm＝m
C． n∈Z， m∈Z，使n>m2
D． a∈R， b∈Q，使a2－b2＝1
B　[若a＝2，則a2＋b2＝0不成立，故A是假命題．當(dāng)m＝0時(shí)，nm＝m恒成立，故B是真命題．當(dāng)n＝－1時(shí)，n>m2不成立，故C是假命題．若a＝2，由a2－b2＝1，得b＝± Q，故D是假命題．故選B．]
二、填空題
6．已知命題p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(4，＋∞)　[因?yàn)閜是假命題，所以方程x2＋4x＋a＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即Δ＝16－4a<0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(4，＋∞)．]
7．若命題“ x∈(0，＋∞)，x2＋mx＋1＝0”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
(－∞，－2]　[該命題為真命題，等價(jià)于方程x2＋mx＋1＝0有正根，又因?yàn)閤1·x2＝1＞0，
所以即m≤－2，
所以m的取值范圍是(－∞，－2]．]
8．在下列給出的命題中，正確的命題序號(hào)是________．
① x∈R，x≤0；
②至少有一個(gè)整數(shù)有除了本身和1之外的約數(shù)；
③ x∈{x|x是無(wú)理數(shù)}，x2是無(wú)理數(shù)；
④ x，y∈N，如果x＋y2＝0，則x＝0且y＝0．
①②④　[① x∈R，x≤0，正確，如x＝－1≤0；
②至少有一個(gè)整數(shù)有除了本身和1之外的約數(shù)，正確，例如數(shù)8滿足條件；
③ x∈{x|x是無(wú)理數(shù)}，x2是無(wú)理數(shù)，不正確，例如x＝；
④ x，y∈N，如果x＋y2＝0，則x＝0且y2＝0，即x＝0且y＝0，故正確．]
三、解答題
9．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題．
(1)任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)數(shù)；
(2)至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被11整除，又能被9整除；
(3) x∈R，(x＋1)2≥0；
(4) x∈R，x2<2．
[解]　(1)命題中含有全稱量詞“任何一個(gè)”，故是全稱量詞命題．
(2)命題中含有存在量詞“至少有一個(gè)”，是存在量詞命題．
(3)命題中含有全稱量詞“ ”，是全稱量詞命題．
(4)命題中含有存在量詞“ ”，是存在量詞命題．
10．(多選)下列命題中為真命題的是(　　)
A．若x，y∈R且x＋y>2，則x，y至少有一個(gè)大于1
B． x∈R，2xC． x∈N*，x為29的約數(shù)
D．若 x∈R，x2＋m≤0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，0]
ACD　[對(duì)于A，假設(shè)x，y全都不大于1，即x≤1且y≤1，則x＋y≤2，與條件矛盾，所以假設(shè)不成立，故A為真命題；對(duì)于B，當(dāng)x＝1時(shí)，2x>x2，故B為假命題；對(duì)于C，當(dāng)x＝1時(shí)，x為29的約數(shù)，故C為真命題；對(duì)于D， x∈R，x2＋m≤0，則m≤(－x2)max＝0，故D為真命題．]
11．若存在x0∈R，使＋2x0＋a<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，1)　　　　　 B．(－∞，1]
C．(－1，1) D．(－1，1]
A　[當(dāng)a≤0時(shí)，顯然存在x0∈R，使＋2x0＋a<0；
當(dāng)a>0時(shí)，由Δ＝4－4a2>0，
解得－1綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1)．]
12．關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0，給出下列結(jié)論：①x＝1是該方程的根；②x＝3是該方程的根；③該方程兩根之和為2；④該方程兩根異號(hào)．以上四個(gè)結(jié)論有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則2a＋3b＝________．
－13　[若②是假命題，則其余三個(gè)是真命題，則x1＝1，x2＝1，兩根不異號(hào)，不符合．若③是假命題，則其余三個(gè)是真命題，則兩根不異號(hào)，不符合．若④是假命題，則其余三個(gè)是真命題，則兩根和不為2，不符合．若①是假命題，則其余三個(gè)是真命題，則x1＝3，x2＝－1，符合．此時(shí)a＝－2，b＝－3，所以2a＋3b＝－13．]
13．給定集合A，若對(duì)于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下三個(gè)結(jié)論：
①集合A＝{－4，－2，0，2，4}為閉集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合；
③若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．
②　[①中，－4＋(－2)＝－6 A，所以①不正確；②中設(shè)n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，則n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正確；③令A(yù)1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，則A1，A2為閉集合，但A1∪A2不是閉集合，所以③不正確．]
14．若命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[解]　因?yàn)閍x2－2ax－3>0不成立，
所以ax2－2ax－3≤0恒成立．
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，－3≤0成立；
(2)當(dāng)a≠0時(shí)，應(yīng)滿足解得－3≤a<0．
由(1)(2)，得a的取值范圍為[－3，0]．
15．從兩個(gè)符號(hào)“ ”“ ”中任選一個(gè)填寫到①的位置，并解答．
已知集合A＝{x|5≤x≤6}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若命題p： ① x∈A，x∈B是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解]　若選 ，則命題p： x∈A，x∈B是真命題，所以A B，
所以解得≤m≤4．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
若選 ，則命題p： x∈A，x∈B是真命題，
所以A∩B≠ ．
若A∩B＝ ，則m＋1>2m－1或或解得m<3或m>5．
故若p為真命題，則3≤m≤5．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3，5]．
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