資源簡介

(共18張PPT)
章末綜合提升
第一章 集合與常用邏輯用語
鞏固層·知識整合
類型1　方程、不等式與集合運算的綜合應用
結合集合運算考查方程、不等式的知識是高考考查的熱點題型，解決集合與方程、不等式綜合考查的參數問題時，要特別注意兩點：
(1)不要忽略集合中元素的互異性，即求出參數后應滿足集合中的元素是互異的，尤其要注意含參數的方程的解的集合．
(2)空集是一個特殊的集合，它不含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．當題設中隱含有空集參與的集合關系與運算時，其特殊性容易被忽略，如解決有關A B，A∩B＝ ，A∪B＝B等集合問題時，應先考慮空集的情況．
提升層·題型探究
【例1】　已知三個集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同時滿足B A，C A的實數a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，請說明理由．
[解]　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∵B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，
∴1∈B．
又B A，
∴a－1＝1，即a＝2．
【例2】　已知全集U＝R，集合A＝{x|2(1)求A∩B，B∪( U A)；
(2)已知集合C＝{x|a≤x≤2－a}，若C∪( U B)＝R，求實數a的取值范圍．
[解]　(1)∵A＝{x|2∴A∩B＝(2，5]， U A＝(－∞，2]∪[9，＋∞)．
∴B∪( U A)＝(－∞，5]∪[9，＋∞)．
類型2　與集合有關的新定義問題
集合新定義問題是通過重新定義相應的集合，對集合的知識加以深入地創新，形成具有新特征、新性質的集合．解題時，要抓住以下兩點：
(1)分析新定義的特點，把新定義中所敘述的問題的本質弄清楚，并且能夠應用到具體的解題過程中．
(2)集合中元素的特性及集合的基本運算是解題的突破口，要熟練掌握．
√
①③
類型3　充分條件與必要條件
充要條件是數學的重要概念之一，在數學中有著非常廣泛的應用，在高考中有著較高的考查頻率，其特點是以高中數學的其他知識為載體考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷．
【例5】　已知集合A＝{x|－1(1)若x∈A是x∈B成立的一個充分不必要條件，求實數m的取值范圍；
(2)若x∈B是x∈A成立的一個充分不必要條件，求實數m的取值范圍；
(3)若x∈A是x∈B成立的充要條件，求實數m的值．
(3)因為x∈A是x∈B成立的充要條件，
所以A＝B．
所以m＋1＝3，即m＝2．
即實數m的值為2．
類型4　全稱量詞命題與存在量詞命題
“一般命題的否定”與“含有一個量詞的命題的否定”的區別與聯系：
(1)一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結論，得到真假性完全相反的兩個命題；含有一個量詞的命題的否定，是在否定其結論的同時，改變量詞的屬性，即將全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞．
(2)與一般命題的否定相同，含有一個量詞的命題的否定的關鍵也是對關鍵詞的否定．
√
[－3，1]類型1　方程、不等式與集合運算的綜合應用
結合集合運算考查方程、不等式的知識是高考考查的熱點題型，解決集合與方程、不等式綜合考查的參數問題時，要特別注意兩點：
(1)不要忽略集合中元素的互異性，即求出參數后應滿足集合中的元素是互異的，尤其要注意含參數的方程的解的集合．
(2)空集是一個特殊的集合，它不含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．當題設中隱含有空集參與的集合關系與運算時，其特殊性容易被忽略，如解決有關A B，A∩B＝ ，A∪B＝B等集合問題時，應先考慮空集的情況．
【例1】　已知三個集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同時滿足B?A，C A的實數a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，請說明理由．
[解]　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∵B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，
∴1∈B．
又B?A，
∴a－1＝1，即a＝2．
∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C A，
∴C＝ 或{1}或{2}或{1，2}．
當C＝{1，2}時，b＝3；
當C＝{1}或{2}時，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此時x＝±，與C＝{1}或{2}矛盾，故舍去；
當C＝ 時，Δ＝b2－8<0，即－2綜上可知，存在a＝2，b＝3或－2【例2】　已知全集U＝R，集合A＝{x|2(1)求A∩B，B∪( UA)；
(2)已知集合C＝{x|a≤x≤2－a}，若C∪( UB)＝R，求實數a的取值范圍．
[解]　(1)∵A＝{x|2∴A∩B＝(2，5]， UA＝(－∞，2]∪[9，＋∞)．
∴B∪( UA)＝(－∞，5]∪[9，＋∞)．
(2)C＝{x|a≤x≤2－a}，
UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)．
∵C∪( UB)＝R，
∴∴a≤－3．
∴實數a的取值范圍為(－∞，－3]．
類型2　與集合有關的新定義問題
集合新定義問題是通過重新定義相應的集合，對集合的知識加以深入地創新，形成具有新特征、新性質的集合．解題時，要抓住以下兩點：
(1)分析新定義的特點，把新定義中所敘述的問題的本質弄清楚，并且能夠應用到具體的解題過程中．
(2)集合中元素的特性及集合的基本運算是解題的突破口，要熟練掌握．
【例3】　定義集合運算：A B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，設A＝{}，B＝{1，}，則集合A B的真子集個數為(　　)
A．8　　　　B．7　　　　C．16　　　　D．15
B　[由題意A＝{}，B＝{1，}，則A B中的元素有(＋1)×(－1)＝1，()×()＝0，(＋1)×(－1)＝2，()×()＝1四種結果，則由集合中元素的互異性可知，集合A B中有3個元素，故集合A B的真子集個數為7．]
【例4】　已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2，n∈N*)，如果A中的元素ai(i＝1，2，3，…，n)滿足a1·a2·…·an＝a1＋a2＋…＋an，就稱A為“復活集”，給出下列結論：
①集合是“復活集”；
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“復活集”，則a1a2>4；
③若a1，a2∈N*，則{a1，a2}不可能是“復活集”．
其中所有正確結論的序號為________．
①③　[①＝＝－1，故①正確．
②不妨設a1＋a2＝a1a2＝t，則由根與系數的關系知a1，a2是一元二次方程x2－tx＋t＝0的兩個不相等的實數根，由Δ>0，可得t2－4t>0，解得t<0或t>4，故②錯誤．
③根據集合中元素的互異性知a1≠a2，不妨設a1因為a1∈N*，
所以a1＝1．于是1＋a2＝1×a2，無解，
即不存在滿足條件的“復活集”，故③正確．]
類型3　充分條件與必要條件
充要條件是數學的重要概念之一，在數學中有著非常廣泛的應用，在高考中有著較高的考查頻率，其特點是以高中數學的其他知識為載體考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷．
【例5】　已知集合A＝{x|－1(1)若x∈A是x∈B成立的一個充分不必要條件，求實數m的取值范圍；
(2)若x∈B是x∈A成立的一個充分不必要條件，求實數m的取值范圍；
(3)若x∈A是x∈B成立的充要條件，求實數m的值．
[解]　(1)由題意知A?B，所以m＋1>3，即m>2．
所以實數m的取值范圍為(2，＋∞)．
(2)因為x∈B是x∈A成立的一個充分不必要條件，
所以B?A．當B＝ 時，m＋1≤－1，即m≤－2，符合題意；
當B≠ 時，解得－2綜上，實數m的取值范圍是(－∞，2)．
(3)因為x∈A是x∈B成立的充要條件，
所以A＝B．
所以m＋1＝3，即m＝2．
即實數m的值為2．
類型4　全稱量詞命題與存在量詞命題
“一般命題的否定”與“含有一個量詞的命題的否定”的區別與聯系：
(1)一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結論，得到真假性完全相反的兩個命題；含有一個量詞的命題的否定，是在否定其結論的同時，改變量詞的屬性，即將全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞．
(2)與一般命題的否定相同，含有一個量詞的命題的否定的關鍵也是對關鍵詞的否定．
【例6】　(1)命題p： x>0，>0的否定 p是(　　)
A． x>0，≤0 B． x>0，0≤x≤1
C． x>0，≤0 D． x<0，0≤x≤1
(2)已知命題p： x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且 p是假命題，則實數a的取值范圍是________．
(1)B　(2)[－3，1]　[(1)由題意得命題p： x>0，>0，即p： x>0，x<0或x>1，所以命題p的否定 p： x>0，0≤x≤1．故選B．
(2)因為 p是假命題，所以p是真命題．
又 x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，所以{x|－3≤x≤2} {x|a－4≤x≤a＋5}，
則解得－3≤a≤1．即實數a的取值范圍是[－3，1]．]
章末綜合測評(一)　集合與常用邏輯用語
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．(2023·全國乙卷)設全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪ UN＝(　　)
A．{0，2，4，6，8}　 B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8} D．U
A　[由題意知， UN＝{2，4，8}，所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}．故選A．]
2．(2024·全國甲卷)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，則A∩B＝(　　)
A．{1，3，4} B．{2，3，4}
C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，9}
C　[依題意得，對于集合B中的元素x，滿足x＋1＝1，2，3，4，5，9，
則x可能的取值為0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，
于是A∩B＝{1，2，3，4}．故選C.]
3．下列命題中，真命題是(　　)
A．集合{(x，y)|y＝x2}與集合{y|y＝x2}表示不同的集合
B． x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要條件是＝－1
D． x∈R，x2＋2≤0
A　[對于A選項，由描述法的概念可知集合{(x，y)|y＝x2}與集合{y|y＝x2}分別表示點的集合與數的集合，顯然表示不同的集合，故A正確；當x＝2時，2x＝x2，故B錯誤；
當a＝b＝0時，滿足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C錯誤； x∈R，x2＋2>0，故 x∈R，x2＋2≤0錯誤．故選A．]
4．命題p：存在一個整數n，使n2＋1是4的倍數．則p的否定是(　　)
A． n∈Z，n2＋1不是4的倍數
B． n∈Z，n2＋1是4的倍數
C． n∈Z，n2＋1不是4的倍數
D． n∈Z，n2＋1是4的倍數
A　[存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，因此命題p的否定是“ n∈Z，n2＋1不是4的倍數”．]
5．集合A＝{x|3x＋2>m}，若－1 A，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
C　[∵集合A＝{x|3x＋2>m}，－1 A，
∴3×(－1)＋2≤m，
即m≥－1，故選C．]
6．如圖所示，I是全集，A，B，C是它的子集，則陰影部分所表示的集合是(　　)
A．( IA∩B)∩C B．( IB∪A)∩C
C．(A∩B)∩ IC D．(A∩ IB)∩C
D　[補集 IB畫成維恩圖如圖①，交集A∩ IB畫成維恩圖如圖②，而(A∩ IB)∩C畫成維恩圖就是題目的維恩圖．
　
圖①　　　　　　　　圖②]
7．“”是“>0”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
A　[∵ >0，
>0 或
∴“”是“>0”的充分不必要條件．
故選A．]
8．已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，若集合A有且僅有兩個子集，則實數a的取值為(　　)
A． B．
C． D．
D　[若A恰有兩個子集，所以關于x的方程恰有一個實數解，討論：①當a＝1時，x＝，滿足題意；②當a≠1時，Δ＝8a＋1＝0，所以a＝－．綜上所述，a＝－或1．]
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．下列命題中是真命題的為(　　)
A．“”是“a＋b>2”的充要條件
B．“x2＝1”是“x＝－1”的必要不充分條件
C．“a≠0或b≠0”是“ab≠0”的充要條件
D．“集合A＝ ”是“A∩B＝A”的充分不必要條件
BD　[對于A選項，當 時，a＋b>2，但反之，a＋b>2不能得到故錯誤；對于B選項，x2＝1不一定得到x＝－1，反之x＝－1能夠得到x2＝1，故正確；對于C選項，“a≠0且b≠0”是“ab≠0”的充要條件，故錯誤；對于D選項，由A∩B＝A得A B，所以A＝ 能夠推出A∩B＝A，反之，不一定成立，故正確．]
10．對于集合A，B，定義集合運算A－B＝{x|x∈A且x B}，則下列說法正確的是(　　)
A．若A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，則A－B＝{1，2}，B－A＝{4}
B．(A－B)∩(B－A)＝
C．(A－B)∪(B－A)＝A∪B
D．若A＝B，則A－B＝
ABD　[對于A，若A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，可得A－B＝{x|x∈A且x B}＝{1，2}，B－A＝{x|x∈B且x A}＝{4}，所以A正確；對于B，由A－B＝{x|x∈A且x B}，B－A＝{x|x∈B且x A}，所以(A－B)∩(B－A)＝ ，所以B正確；對于C，如維恩圖所示，由A－B＝{x|x∈A且x B}，B－A＝{x|x∈B且x A}，根據集合的運算，可得(A－B)∪(B－A)＝ A∪B(A∩B)≠A∪B，所以C不正確；對于D，若A＝B，可得A－B＝{x|x∈A且x A}＝ ，所以D正確．故選ABD．]
11．將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱(M，N)為戴德金分割．試判斷下列選項中，可能成立的是(　　)
A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一個戴德金分割
B．M沒有最大元素，N有一個最小元素
C．M有一個最大元素，N有一個最小元素
D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
BD　[對選項A，因為M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A錯誤；
對選項B，設M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，滿足戴德金分割，則M中沒有最大元素，N有一個最小元素0，故B正確；
對選項C，若M有一個最大元素，N有一個最小元素，則不能同時滿足M∪N＝Q，M∩N＝ ，故C錯誤；
對選項D，設M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，滿足戴德金分割，此時M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確．故選BD．]
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若集合A＝{－1，3}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，則由實數a的取值構成的集合C＝________．
　[由A∪B＝A，即B A，故B＝ ，{－1}，{3}．若B＝ 時，方程ax－2＝0無解，a＝0；若B＝，則 －a－2＝0，所以a＝－2；若B＝{3}，則3a－2＝0，所以a＝．綜上，a＝0或a＝－2或a＝．]
13．設p：－m≤x≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分條件，則m的最大值為________，若p是q的必要條件，則m的最小值為________．(本小題第一空2分，第二空3分)
1　4　[設A＝[－m，m]，B＝[－1，4]，若p是q的充分條件，則A B，所以所以0若p是q的必要條件，則B A，所以
所以m≥4，則m的最小值為4．]
14．已知集合A＝(0，2)，集合B＝(－1，1)，集合C＝{x|mx＋1>0}，若(A∪B) C，則實數m的取值范圍為________．
　[由題意，A∪B＝(－1，2)，
集合C＝{x|mx＋1>0}，(A∪B) C．
①m<0，x<－，所以－≥2，所以m≥－，所以－≤m<0；
②m＝0時，成立；
③m>0，x>－，所以－≤－1，所以0綜上所述，實數m的取值范圍為．]
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(13分)已知集合A＝{x|1(1)當m＝2時，求A∩B；
(2)若________，求實數m的取值范圍．
請從① x∈A且x B，②“x∈B”是“x∈A”的必要條件，這兩個條件中選擇一個填入(2)中橫線處，并完成第(2)問的解答．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
[解]　(1)當m＝2時，B＝{x|0(2)若選擇條件①，由 x∈A且x B，得A∩B＝ ．
當B＝ 時，m－2≥2m，即m≤－2；
當B≠ 時，m－2<2m，即m>－2．
又m－2≥2或2m≤1，即m≥4或m≤，
所以m≥4或－2綜上所述，m的取值范圍為．
若選擇條件②，由“x∈B”是“x∈A”的必要條件得A B，即所以1≤m≤3，所以m的取值范圍為[1，3]．
16．(15分)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{2(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)若C (A∪B)，求a的取值范圍．
[解]　(1)因為集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{2故A∪B＝{x|2(2)依題意可知，
①當C＝ 時，有5－a≥a，得a≤；
②當C≠ 時，有解得綜上所述，所求實數a的取值范圍為(－∞，3]．
17．(15分)已知p： x∈R，m[解]　由x∈R得x2－1≥－1，
若p： x∈R，m則m<－1．
若q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0為真命題，
則方程x2＋2x－m－1＝0有實根，
所以4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2．
因為p，q都是真命題，所以
所以－2≤m<－1．
所以實數m的取值范圍為[－2，－1)．
18．(17分)已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|a－1(1)當a＝2時，求( UA)∩( UB)；
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
[解]　(1)因為A＝＝{x|25}， UB＝{x|x≤1或x≥3}，因此，( UA)∩( UB)＝{x|x≤1或x>5}．
(2)易知集合B＝{x|a－1因此，實數a的取值范圍是[3，4]．
19．(17分)已知A是非空數集，如果對任意x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，則稱A是封閉集．
(1)判斷集合B＝{0}，C＝{－1，0，1}是否為封閉集，并說明理由．
(2)判斷以下兩個命題的真假，并說明理由．
①命題p：若非空集合A1，A2是封閉集，則A1∪A2也是封閉集；
②命題q：若非空集合A1，A2是封閉集，且A1∩A2≠ ，則A1∩A2也是封閉集．
(3)若非空集合A是封閉集，且A≠R，R為全體實數集，求證： RA不是封閉集．
[解]　(1)對于集合B＝{0}，因為0＋0＝0∈B，0×0＝0∈B，所以B＝{0}是封閉集；
對于集合C＝{－1，0，1}，因為－1＋0＝－1∈C，－1×0＝0∈C，－1＋1＝0∈C，－1×1＝－1∈C，
0＋1＝1∈C，0×1＝0∈C，
所以集合C＝{－1，0，1}是封閉集．
(2)①對命題p：令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，則集合A1，A2是封閉集，如A1＝{0，－2}，A2＝{0，3}，但A1∪A2＝{0，－2，3}不是封閉集，故p為假命題．
②對于命題q：設a，b∈(A1∩A2)，則有a，b∈A1，又因為集合A1是封閉集，所以a＋b∈A1，ab∈A1，
同理可得a＋b∈A2，ab∈A2．
所以a＋b∈(A1∩A2)，ab∈(A1∩A2)，
所以A1∩A2是封閉集，故q為真命題．
(3)證明：因為非空集合A是封閉集，且A≠R，
所以 RA≠ ， RA≠R，
假設 RA是封閉集，
由(2)的命題q可知，若非空集合A1，A2是封閉集，且A1∩A2≠ ，則A1∩A2也是封閉集，
又因為A∩( RA)＝ ，
所以 RA不是封閉集，得證．
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