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第2課時(shí)　充要條件
第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)
1.2　常用邏輯用語(yǔ)
1.2.3　充分條件、必要條件
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．理解充要條件的概念．(數(shù)學(xué)抽象)
2．能夠判定條件的充分、必要、充要性．(邏輯推理)
3．會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的充要條件的證明．(邏輯推理)
必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知
主人邀請(qǐng)張三、李四、王五三個(gè)人吃飯，時(shí)間到了，只有張三、李四準(zhǔn)時(shí)赴約，王五打電話說：“我臨時(shí)有急事，不能去了．”主人聽了，隨口說了句：“該來(lái)的沒有來(lái)．”張三聽了臉色一沉，站起來(lái)一聲不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不該走的又走了．”李四聽了大怒，拂袖而去．
問題　請(qǐng)你用邏輯學(xué)原理解釋二人離去的原因．
知識(shí)點(diǎn)　充要條件
1．充要條件的概念
一般地，如果___________，則稱p是q的__________條件，簡(jiǎn)稱________，記作p q，此時(shí)，也讀作“p與q等價(jià)”“p當(dāng)且僅當(dāng)q”．
p q且q p
充分必要
充要條件
2．充要條件的判斷
概括地說，如果p q，那么p與q互為充要條件．
(1)如果p q且q p，則稱p是q的__________條件．
(2)如果p q且q p，則稱p是q的__________條件．
(3)如果p q且q p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．
充分不必要
必要不充分
思考　(1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題，這種說法對(duì)嗎？
(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？
[提示]　(1)正確．若p是q的充要條件，則p q，即p等價(jià)于q．
(2)①p是q的充要條件，說明p是條件，q是結(jié)論．
②p的充要條件是q，說明q是條件，p是結(jié)論．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立． (　　)
[提示]　若p q或q p，則p不是q的充分條件，或p不是q的必要條件，故此說法正確．
(2)若p q和q p有一個(gè)成立，則p一定不是q的充要條件． (　　)
[提示]　當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，p q，且q p，故說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立，這種說法正確．
[提示]　因?yàn)閜 q，q r，所以p r，所以p是r的充要條件．
√
√
√
(3)若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的充要條件． (　　)
2．已知集合A＝{x|a－2{a|0≤a≤2}
關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難
類型1　充要條件的判斷
【例1】　(1)(多選)設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，若p：開關(guān)S閉合，q：燈泡L亮，則p是q的充要條件的電路圖是(　　)
√
√
(2)指出下列各題中p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選擇)．
①p：|x|<3，q：x<3；
②p：ac>bc，q：a>b；
③p：兩直線平行，q：同位角相等；
④p：設(shè)集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2，4}，則A∩B＝{4}，q：a＝2．
(1)BD　[由題知，電路圖A中，開關(guān)S閉合，燈泡L亮，而燈泡L亮開關(guān)S不一定閉合，故A中p是q的充分不必要條件；電路圖B中，開關(guān)S閉合，燈泡L亮，且燈泡L亮，則開關(guān)S一定閉合，故B中p是q的充要條件；電路圖C中，開關(guān)S閉合，燈泡L不一定亮，燈泡L亮則開關(guān)S一定閉合，故C中p是q的必要不充分條件；電路圖D中，開關(guān)S閉合則燈泡L亮，燈泡L亮則一定有開關(guān)S閉合，故D中p是q的充要條件．]
(2)[解]　①|(zhì)x|<3 －3所以p是q的充分不必要條件．
②ac>bc a>b，a>b ac>bc，
所以p是q的既不充分也不必要條件．
③兩直線平行 同位角相等，同位角相等 兩直線平行，所以p是q的充要條件．
④A∩B＝{4}，則4∈A，a2＝4，a＝2或a＝－2，充分性不滿足；
a＝2時(shí)，A＝{1，4，－2}，因此有A∩B＝{4}，必要性滿足，因此p是q的必要不充分條件．
反思領(lǐng)悟　判斷充分條件、必要條件及充要條件的方法
(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷．
(3)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要條件也有傳遞性．
(4)等價(jià)法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)且便于判斷真假的命題，再去判斷．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．在下列四個(gè)結(jié)論中，正確的有(　　)
①設(shè)x∈R，“x>1”是“x>2”的必要不充分條件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件；
③“a2>b2”是“a>b”的充分不必要條件；
④若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件．
A．①②　　B．③④　　C．①④　　D．②③
√
C　[對(duì)于結(jié)論①，∵x>2 x>1，但x>1 x>2，故①正確；對(duì)于結(jié)論④，由a2＋b2≠0 a，b不全為0，反之，由a，b不全為0 a2＋b2≠0，故④正確；
對(duì)于結(jié)論②，當(dāng)B＝90°或C＝90°時(shí)不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于結(jié)論③，a2>b2不一定推出a>b，故③錯(cuò)誤．]
類型2　充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用
【例2】　已知命題p：－2≤x≤10，命題q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
反思領(lǐng)悟　利用充分、必要、充要條件的關(guān)系求參數(shù)范圍的步驟
(1)化簡(jiǎn)p，q兩命題．
(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系．
(3)利用集合間的關(guān)系建立不等式(組)．
(4)求解參數(shù)范圍．
類型3　有關(guān)充要條件的證明或求解
【例3】　求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1的充要條件是a＋b＋c＝0．
[證明]　假設(shè)p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1，
q：a＋b＋c＝0．
①證明p q，即證明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．
②證明q p，即證明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．
∴x＝1是方程的一個(gè)根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1的充要條件是a＋b＋c＝0．
[母題探究]
(變條件)將本例的條件“有一個(gè)根為1”改為“有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”，“a＋b＋c＝0”改為“ac<0”，如何證明？
反思領(lǐng)悟　充要條件證明的兩個(gè)思路
(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結(jié)論；其次推證p q是證明充分性，推證q p是證明必要性．
(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件．
提醒：證明時(shí)一定要注意，要從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行，而且分清充分性與必要性的證明方向．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．求證：關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是m≥2．
[證明]　(1)充分性：因?yàn)閙≥2，所以Δ＝m2－4≥0，
所以方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)根，
設(shè)兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系知，x1x2＝1>0，所以x1，x2同號(hào)．
又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同為負(fù)數(shù)．
即x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充分條件是m≥2．
學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)
2
3
題號(hào)
4
1
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的(　　)
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
√
A　[當(dāng)x＝1時(shí)，x2－2x＋1＝0．由x2－2x＋1＝0, 解得x＝1，
所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的充要條件．]
2
3
題號(hào)
4
1
B　[“攻破樓蘭”不一定會(huì)“返回家鄉(xiāng)”，不充分；“返回家鄉(xiāng)”了一定是“攻破樓蘭”的前提下，必要．]
2．王昌齡是唐代著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩(shī)作《從軍行》中的詩(shī)句“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
√
2
3
題號(hào)
4
1
{x|00，且1－x>0，
∴03．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x，1－x)在第一象限的充要條件是__________．
{x|02
3
題號(hào)
4
1
(－∞，－2]　[因?yàn)椤皒≤－2”是“x4．若“x≤－2”是“x(－∞，－2]
[提示]　(1)原理：
判斷p是q的充要條件，主要是判斷p q及q p這兩個(gè)命題是否成立．
(2)方法：
①若p q成立，則p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；
②若q p成立，則p是q的必要條件，同時(shí)q是p的充分條件；
③若二者都成立，則p與q互為充要條件．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．如何從命題的角度判斷p是q的充要條件？
[提示]　
2．如何從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件？
若A B，則p是q的充分條件，若A
B，則p是q的充分不必要條件
若B A，則p是q的必要條件，若B
A，則p是q的必要不充分條件
若A＝B，則p，q互為充要條件
若A B且B A，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．第2課時(shí)　充要條件
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．理解充要條件的概念．(數(shù)學(xué)抽象) 2．能夠判定條件的充分、必要、充要性．(邏輯推理) 3．會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的充要條件的證明．(邏輯推理)
主人邀請(qǐng)張三、李四、王五三個(gè)人吃飯，時(shí)間到了，只有張三、李四準(zhǔn)時(shí)赴約，王五打電話說：“我臨時(shí)有急事，不能去了．”主人聽了，隨口說了句：“該來(lái)的沒有來(lái)．”張三聽了臉色一沉，站起來(lái)一聲不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不該走的又走了．”李四聽了大怒，拂袖而去．
問題　請(qǐng)你用邏輯學(xué)原理解釋二人離去的原因．
知識(shí)點(diǎn)　充要條件
1．充要條件的概念
一般地，如果p q且q p，則稱p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件，記作p q，此時(shí)，也讀作“p與q等價(jià)”“p當(dāng)且僅當(dāng)q”．
2．充要條件的判斷
概括地說，如果p q，那么p與q互為充要條件．
(1)如果p q且qp，則稱p是q的充分不必要條件．
(2)如果pq且q p，則稱p是q的必要不充分條件．
(3)如果pq且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．
(1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題，這種說法對(duì)嗎？
(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？
[提示]　(1)正確．若p是q的充要條件，則p q，即p等價(jià)于q．
(2)①p是q的充要條件，說明p是條件，q是結(jié)論．
②p的充要條件是q，說明q是條件，p是結(jié)論．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立． (　　)
(2)若pq和qp有一個(gè)成立，則p一定不是q的充要條件． (　　)
(3)若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的充要條件． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
[提示]　(1)當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，p q，且q p，故說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立，這種說法正確．
(2)若pq或qp，則p不是q的充分條件，或p不是q的必要條件，故此說法正確．
(3)因?yàn)閜 q，q r，所以p r，所以p是r的充要條件．
2．已知集合A＝{x|a－2{a|0≤a≤2}　[A∩B＝ 0≤a≤2．]
類型1　充要條件的判斷
【例1】　(1)(多選)設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，若p：開關(guān)S閉合，q：燈泡L亮，則p是q的充要條件的電路圖是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　D
(2)指出下列各題中p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選擇)．
①p：|x|<3，q：x<3；
②p：ac>bc，q：a>b；
③p：兩直線平行，q：同位角相等；
④p：設(shè)集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2，4}，則A∩B＝{4}，q：a＝2．
(1)BD　[由題知，電路圖A中，開關(guān)S閉合，燈泡L亮，而燈泡L亮開關(guān)S不一定閉合，故A中p是q的充分不必要條件；電路圖B中，開關(guān)S閉合，燈泡L亮，且燈泡L亮，則開關(guān)S一定閉合，故B中p是q的充要條件；電路圖C中，開關(guān)S閉合，燈泡L不一定亮，燈泡L亮則開關(guān)S一定閉合，故C中p是q的必要不充分條件；電路圖D中，開關(guān)S閉合則燈泡L亮，燈泡L亮則一定有開關(guān)S閉合，故D中p是q的充要條件．]
(2)[解]　①|(zhì)x|<3 －3所以p是q的充分不必要條件．
②ac>bca>b，a>bac>bc，
所以p是q的既不充分也不必要條件．
③兩直線平行 同位角相等，同位角相等 兩直線平行，所以p是q的充要條件．
④A∩B＝{4}，則4∈A，a2＝4，a＝2或a＝－2，充分性不滿足；
a＝2時(shí)，A＝{1，4，－2}，因此有A∩B＝{4}，必要性滿足，因此p是q的必要不充分條件．
　判斷充分條件、必要條件及充要條件的方法
(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷．
(3)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要條件也有傳遞性．
(4)等價(jià)法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)且便于判斷真假的命題，再去判斷．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．在下列四個(gè)結(jié)論中，正確的有(　　)
①設(shè)x∈R，“x>1”是“x>2”的必要不充分條件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件；
③“a2>b2”是“a>b”的充分不必要條件；
④若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件．
A．①②　　B．③④　　C．①④　　D．②③
C　[對(duì)于結(jié)論①，∵x>2 x>1，但x>1x>2，故①正確；對(duì)于結(jié)論④，由a2＋b2≠0 a，b不全為0，反之，由a，b不全為0 a2＋b2≠0，故④正確；
對(duì)于結(jié)論②，當(dāng)B＝90°或C＝90°時(shí)不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于結(jié)論③，a2>b2不一定推出a>b，故③錯(cuò)誤．]
類型2　充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用
【例2】　已知命題p：－2≤x≤10，命題q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解]　(1)因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以p q且qp，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9．
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞)．
(2)設(shè)p代表的集合為A＝{x|－2≤x≤10}，q代表的集合為B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以B?A，
故有或解得m≤3．
又m>0，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0，3]．
　利用充分、必要、充要條件的關(guān)系求參數(shù)范圍的步驟
(1)化簡(jiǎn)p，q兩命題．
(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系．
(3)利用集合間的關(guān)系建立不等式(組)．
(4)求解參數(shù)范圍．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知集合A＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B＝．
(1)若m＝，求A∩( RB)；
(2)若x∈B是x∈A的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解]　(1)由B＝，
則 RB＝，
若m＝，則A＝，
所以A∩( RB)＝．
(2)若x∈B是x∈A的必要條件，則A B．
當(dāng)2m－1>m＋1時(shí)，即m>2時(shí)，A＝ ，符合題意；
當(dāng)2m－1≤m＋1時(shí)，即m≤2時(shí)，A≠ ，要滿足A B，可得≤2m－1≤m＋1<2，解得≤m<1．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為∪(2，＋∞)．
類型3　有關(guān)充要條件的證明或求解
【例3】　求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1的充要條件是a＋b＋c＝0．
[證明]　假設(shè)p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1，
q：a＋b＋c＝0．
①證明p q，即證明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．
②證明q p，即證明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．
∴x＝1是方程的一個(gè)根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1的充要條件是a＋b＋c＝0．
[母題探究]
(變條件)將本例的條件“有一個(gè)根為1”改為“有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”，“a＋b＋c＝0”改為“ac<0”，如何證明？
[證明]　充分性：因?yàn)閍c<0，所以Δ＝b2－4ac>0，方程ax2＋bx＋c＝0中有兩個(gè)不等實(shí)根，由根與系數(shù)關(guān)系可知這兩個(gè)根的積為<0，所以方程ax2＋bx＋c＝0(※)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，所以ac<0 方程(※)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根．
必要性：因?yàn)榉匠蘟x2＋bx＋c＝0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，
由根與系數(shù)關(guān)系可知這兩個(gè)根的積為<0，
所以ac<0，所以方程(※)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根 ac<0．
從而ac<0 方程(※)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，因此ac<0是方程(※)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件．
　充要條件證明的兩個(gè)思路
(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結(jié)論；其次推證p q是證明充分性，推證q p是證明必要性．
(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件．
提醒：證明時(shí)一定要注意，要從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行，而且分清充分性與必要性的證明方向．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．求證：關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是m≥2．
[證明]　(1)充分性：因?yàn)閙≥2，所以Δ＝m2－4≥0，
所以方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)根，
設(shè)兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系知，x1x2＝1>0，所以x1，x2同號(hào)．
又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同為負(fù)數(shù)．
即x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充分條件是m≥2．
(2)必要性：因?yàn)閤2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，
設(shè)其為x1，x2，且x1x2＝1，
所以
即
所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的必要條件是m≥2．
綜上可知，m≥2是方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件．
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的(　　)
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
A　[當(dāng)x＝1時(shí)，x2－2x＋1＝0．由x2－2x＋1＝0, 解得x＝1，
所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的充要條件．]
2．王昌齡是唐代著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩(shī)作《從軍行》中的詩(shī)句“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
B　[“攻破樓蘭”不一定會(huì)“返回家鄉(xiāng)”，不充分；“返回家鄉(xiāng)”了一定是“攻破樓蘭”的前提下，必要．]
3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x，1－x)在第一象限的充要條件是________．
{x|00，且1－x>0，
∴04．若“x≤－2”是“x(－∞，－2]　[因?yàn)椤皒≤－2”是“x回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．如何從命題的角度判斷p是q的充要條件？
[提示]　(1)原理：
判斷p是q的充要條件，主要是判斷p q及q p這兩個(gè)命題是否成立．
(2)方法：
①若p q成立，則p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；
②若q p成立，則p是q的必要條件，同時(shí)q是p的充分條件；
③若二者都成立，則p與q互為充要條件．
2．如何從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件？
[提示]　
若A B，則p是q的充分條件，若A?B，則p是q的充分不必要條件
若B A，則p是q的必要條件，若B?A，則p是q的必要不充分條件
若A＝B，則p，q互為充要條件
若AB且BA，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
課時(shí)分層作業(yè)(九)　充要條件
一、選擇題
1．設(shè)A，B是兩個(gè)集合，則“A∩B＝A”是“A B”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
C　[由A∩B＝A可知A B；
反過來(lái)A B，則A∩B＝A，
故選C．]
2．已知a∈R，則“a>6”是“a2>36”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[因?yàn)閍>6 a2>36，
所以“a>6”是“a2>36”的充分條件．
因?yàn)閍2>36 a>6或a<－6，
所以“a>6”是“a2>36”的不必要條件．
故選A．]
3．如果A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
B　[根據(jù)題意得，AB，B A，
B C，D C，CD，
所以D C B A，即D A，
可從集合的角度考慮得出AD，
所以A是D的必要不充分條件．]
4．(多選)設(shè)x∈R，則x>2的一個(gè)必要不充分條件可以是(　　)
A．x>1　　B．x>2　　C．x≥2　　D．x>3
AC　[由x>2，可得構(gòu)成集合M＝{x|x>2}，結(jié)合選項(xiàng)，可得集合{x|x>1}，
{x|x≥2}均真包含M，
所以x>1與x≥2是x>2的一個(gè)必要不充分條件．]
5．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分又不必要條件
B　[(法一)若a2＝b2，則當(dāng)a＝－b≠0時(shí)，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，
所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，則有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，
所以a＝b，則有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab a2＝b2．
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B．
(法二)因?yàn)椤癮2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，
所以本題可以轉(zhuǎn)化為判斷“a＝－b或a＝b”與“a＝b”的關(guān)系．
又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分條件，
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B．]
二、填空題
6．《左傳·僖公十四年》有記載：“皮之不存，毛將焉附？”這句話的意思是說皮都沒有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基礎(chǔ)，就不能存在．則“有毛”是“有皮”的________．(將正確的序號(hào)填在橫線上)
①充分條件；②必要條件；③充要條件；④既不充分也不必要條件．
①　[由題意知，“無(wú)皮” “無(wú)毛”，所以“有毛” “有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分條件，故填①．]
7．若p：x－3<0是q：2x－3{m|m>3}　[由x－3<0得x<3，由2x－3{x|x<3}?，
所以(m＋3)>3，解得m>3．]
8．已知2a－b＝3，則使得“m>－a2＋b＋1對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b恒成立”的一個(gè)充分不必要條件為________．(用含m的式子表示)
m＝0(答案不唯一，滿足m>－1均可)　[2a－b＝3，則b＝2a－3，所以－a2＋b＋1＝－a2＋2a－3＋1＝－a2＋2a－2＝－(a－1)2－1，所以a＝1時(shí)，－a2＋b＋1取得最大值為－1，因此m>－a2＋b＋1對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b恒成立的充要條件是m>－1，在此范圍內(nèi)任取一數(shù)均可．]
三、解答題
9．求關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件．
[解]　①當(dāng)a＝0時(shí)，解得x＝－1，滿足條件；
②當(dāng)a≠0時(shí)，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號(hào)實(shí)根，則a<0；
若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，
則必須滿足 0綜上，若方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，則a≤．
反之，若a≤，則方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根．
因此關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一負(fù)實(shí)根的充要條件是a≤．
10．(多選)已知集合A＝{x|－1A．m≤－2 B．m<－2
C．m<2 D．－4BD　[因?yàn)榧螦＝{x|－1所以A∩B＝ 等價(jià)于m＋1≤－1，即m≤－2，
對(duì)比選項(xiàng)，m<－2，－411．記實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn中的最大數(shù)為max{x1，x2，…，xn}，最小數(shù)為min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三邊邊長(zhǎng)為a，b，c(a≤b≤c)，定義它的傾斜度為l＝max·min，則“l(fā)＝1”是“△ABC為等邊三角形”的(　　)
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，a＝b＝c，
∴l(xiāng)＝max·min＝1×1＝1．
∴“l(fā)＝1”是“△ABC為等邊三角形”的必要條件．
∵a≤b≤c，
∴max＝．
又∵l＝1，
∴min＝，
即＝或＝，得b＝c或b＝a，可知△ABC為等腰三角形，而不能推出△ABC為等邊三角形．
∴“l(fā)＝1”是“△ABC為等邊三角形”的必要不充分條件．]
12．對(duì)于集合A，B及元素x，若A B，則“x∈B”是“x∈A∪B”的________(選填“充分”“必要”或“充要”)條件．
充要　[由x∈B，顯然可得x∈A∪B；反之，由A B，則A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故“x∈B”是“x∈A∪B”的充要條件．]
13．設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足a0)，q：實(shí)數(shù)x滿足2　[因?yàn)閝是p的充分不必要條件，
所以q對(duì)應(yīng)的集合是p對(duì)應(yīng)集合的真子集，
所以(2，5]?(a，4a)，其中a>0，
則得得即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．]
14．請(qǐng)?jiān)冖俪浞植槐匾獥l件，②必要不充分條件，③充要條件這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中橫線部分．若問題中的a存在，求出a的取值范圍，若問題中的a不存在，請(qǐng)說明理由．
問題：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|1－a≤x≤1＋a，a>0}，是否存在實(shí)數(shù)a，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________？
[解]　選①，則A是B的真子集，則1－a≤0且1＋a≥4(兩等號(hào)不同時(shí)取)，又a>0，解得a≥3，
所以a存在，a的取值范圍為{a|a≥3}．
選②，則B是A的真子集，則1－a≥0且1＋a≤4(兩等號(hào)不同時(shí)取)，又a>0，解得0選③，則A＝B，則1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程組無(wú)解，所以不存在滿足條件的a．
15．對(duì)于非零實(shí)數(shù)x，y有x>y，試探求<的充要條件，并加以證明．
[解]　充要條件是xy>0，證明如下：
必要性：由<，知>0，又x>y，則x－y>0，所以xy>0．
充分性：因?yàn)閤>y，所以y－x<0．
因?yàn)閤y>0，所以>0，
所以<0，即<．
綜上所述，對(duì)于非零實(shí)數(shù)x，y，當(dāng)x>y時(shí)，<的充要條件是xy>0．
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