資源簡介

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人教版八年級數學上名師點撥精練
第11章 三角形
11.2.1 三角形的內角（1）
學習目標
1.闡述并驗證三角形內角和定理.
2.會用三角形內角和探索直角三角形性質與判定.
3.會運用三角形內角和定理進行計算.
老師告訴你
根據三角形內角和定理，當已知三角形兩個內角時，可以求出第三個角；
三角形三個內角中至少有兩個是銳角，三角形中最大角不小于60°。
知識點撥
知識點1 三角形內角和定理
◆1. 三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．
◆2.三角形內角和定理：三角形內角和是180°．
◆3.三角形內角和定理的證明：證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．
【新知導學】
例1-1．一個三角形三個內角的度數之比是2：3：5，則這個三角形一定是（　　）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 等腰直角三角形
【對應導練】
1．如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則∠BAC的度數為（　　）
A. 75° B. 60° C. 105° D. 120°
2．如圖，CE是△ADC的邊AD上的高．若∠BAD=40°，∠ECD=25°，則∠B的度數為（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
3．將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于點E，則∠AED的大小為（　　）
A. 110° B. 105° C. 95° D. 75°
4．如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數為 _____．
5．等腰三角形的一個底角為70°，則它的頂角的度數為______．
知識點2 三角形內角和定理的應用：
主要用在求三角形中角的度數．
①直接根據兩已知角求第三個角；
②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；
【新知導學】
例2-1．新知探究：
光在反射時，光束的路徑可用圖（1）來表示，AO叫做入射光線，OB叫做反射光線，從入射點O引出的一條垂直于鏡面EF的射線OM叫做法線．AO與OM的夾角α叫入射角，OB與OM的夾角β叫反射角．根據科學實驗可得：∠β=∠α．
（1）試根據所學過的知識及新知說明∠1=∠2．
問題解決：
生活中我們可以運用“激光”和兩塊相交的平面鏡進行測距．如圖（2）當一束“激光”AB射入到平面鏡EO上、被EO反射到平面鏡OF上，又被平面鏡OF反射后得到反射光線CD．
（2）當AB∥CD，∠DCF=60°時，求∠ABC的度數．
（3）當∠O=90°時，任何射到平面鏡EO上的光線AB經過平面鏡EO和OF的兩次反射后，入射光線AB與反射光線CD總是平行的．請你根據所學過的知識及新知說明．（提示：三角形的內角和等于180°）
【對應導練】
1．將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊對齊，則的度數為（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
2．三個等邊三角形的擺放位置如圖所示，若，則的度數為（ ）
A. B.
C. D.
3．《周禮 考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=矩，1欘=1宣（其中，1矩=90°）．
問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若∠A=1矩，∠B=1欘，則∠C=_____度．

4．如圖，沿方向架橋修路，為加快施工進度，在直線上湖的另一邊的處同時施工．取，，，則，兩點的距離是_________．
題型訓練
題型1利用三角形內角和定理求角
1.如圖所示的幾何圖形，的度數為（ ）

A． B． C． D．
2.將兩張三角形紙片如圖擺放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，則∠5的度數為（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
題型2 利用三角形內角和定理解決實際問題
如圖，李明同學在東西方向的濱海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，他向東走400米至B處，測得燈塔P在北偏東30°方向上，則從燈塔P觀測A．B兩處的視角∠P的度數是（　　）
A．30° B．32° C．35° D．40°
4．如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則的度數是________
5．如圖，是A，B，C三個便民核酸采樣點和小亮家(點D)的平面圖，已知A，B，C三點在同一條東西方向的路段上，D在A的北偏東方向，在C的北偏西方向，且點B到A，D兩點的距離相等，試求出從小亮家(點D)觀測檢測點B，C兩處的視角的度數.
題型3 利用三角形內角和與平行線綜合解決問題
6．如圖，分別過△ABC的頂點A，B作AD∥BE．若∠CAD=25°，∠EBC=80°，則∠ACB的度數為（　　）
A. 65° B. 75° C. 85° D. 95°
7．如圖，在中，的平分線交于點E，過點E作交于點D，過點D作交于點F．
（1）求證：是的平分線；
（2）若，若，求的度數．
牛刀小試
填空題（每小題4分，共32分）
1．等腰三角形的一個角是70°，則它的底角度數是（　　）
A. 55° B. 70° C. 70°或55° D. 70°或40°
2．如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數是（　　）
A. 72° B. 85° C. 65° D. 80°
3．將一副三角板按如圖所示擺放在一組平行線內，∠1=25°，∠2=30°，則∠3的度數為（　　）
A. 55° B. 65° C. 70° D. 75°
4．將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于點E，則∠AED的大小為（　　）
A. 110° B. 105° C. 95° D. 75°
5．已知，如圖，AB∥CD，將一副三角尺如圖擺放，讓一個頂點和一條邊分別放在AB和CD上，則∠AEF=（　　）
A. 10° B. 12° C. 15° D. 18°
6．若一個三角形三個內角度數的比為2：3：5，那么這個三角形是（　　）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形
C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
7．如圖，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D=∠C=90°，∠B=30°，點E在線段BC上，DE交AC于點F，若DE∥AB，則∠DAF的度數為（　　）
A. 15° B. 20° C. 22.5° D. 30°
8．如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉后得到，點恰好落在線段AB上，連接，若，則n的大小為（ ）
25 B. 40 C. 45 D. 50
填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，已知BE、CD分別是 △ABC的內角平分線，BE和CD相交于點O，且∠A＝40°，則∠DOE＝____________
10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D在BC上，過D作DF⊥BC交BA的延長線于F，連接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，則∠B＝___．
11．在△ABC中，∠A=∠B，過點A作AD⊥CB交直線BC于點D，∠DAC=36°，則∠C=_____°．
12．在△ABC中，∠C=40°，把△ABC沿BC邊上的高AH所在直線翻折，點C落在射線CB上的點C'處，如果∠BAC'=20°，那么∠BAC=_____度．
已知△ABC中，∠A=90°，∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，則∠BOC=_____．
解答題（共6小題，48分）
14．（6分）如圖，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠3=∠4，求∠DAC的度數．
15．（8分）如圖，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°．
（1）求∠AFB的度數；
（2）若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度數．
16．（8分）如圖，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=54°．
（1）求∠EAC的度數；
（2）若∠CAD：∠E=2：5；求∠E的度數．
17．（6分）下面是證明三角形內角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°．
已知：如圖，△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°．
方法一
證明：如圖，過點A作DE∥BC．
方法二
證明：如圖，過點C作CD∥AB．
18．（10分）新知探究：
光在反射時，光束的路徑可用圖（1）來表示，AO叫做入射光線，OB叫做反射光線，從入射點O引出的一條垂直于鏡面EF的射線OM叫做法線．AO與OM的夾角α叫入射角，OB與OM的夾角β叫反射角．根據科學實驗可得：∠β=∠α．
（1）試根據所學過的知識及新知說明∠1=∠2．
問題解決：
生活中我們可以運用“激光”和兩塊相交的平面鏡進行測距．如圖（2）當一束“激光”AB射入到平面鏡EO上、被EO反射到平面鏡OF上，又被平面鏡OF反射后得到反射光線CD．
（2）當AB∥CD，∠DCF=60°時，求∠ABC的度數．
（3）當∠O=90°時，任何射到平面鏡EO上的光線AB經過平面鏡EO和OF的兩次反射后，入射光線AB與反射光線CD總是平行的．請你根據所學過的知識及新知說明．（提示：三角形的內角和等于180°）
19．（10分）如圖1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC與∠ACD的角平分線交于點O．
（1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，則∠A＝ °，∠O＝ °；
（2）探索∠A與∠O的數量關系，并說明理由；
（3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度數．
（4）如圖2，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點處，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，則∠1＋∠2的度數為 ．
人教版八年級數學上名師點撥精練
第11章 三角形
11.2.1 三角形的內角（1）（解析版）
學習目標
1.闡述并驗證三角形內角和定理.
2.會用三角形內角和探索直角三角形性質與判定.
3.會運用三角形內角和定理進行計算.
老師告訴你
根據三角形內角和定理，當已知三角形兩個內角時，可以求出第三個角；
三角形三個內角中至少有兩個是銳角，三角形中最大角不小于60°。
知識點撥
知識點1 三角形內角和定理
◆1. 三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．
◆2.三角形內角和定理：三角形內角和是180°．
◆3.三角形內角和定理的證明：證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．
【新知導學】
例1-1．一個三角形三個內角的度數之比是2：3：5，則這個三角形一定是（　　）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】已知三角形三個內角的度數之比，可以設一份為k°，根據三角形的內角和等于180°列方程求三個內角的度數，再判斷三角形的形狀．
解：設一份為k°，則三個內角的度數分別為2k°，3k°，5k°．
根據三角形內角和定理可知2k°+3k°+5k°=180°，
得k°=18°，
所以2k°=36°，3k°=54°，5k°=90°．
即這個三角形是直角三角形．
故選：B．
【對應導練】
1．如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則∠BAC的度數為（　　）
A. 75° B. 60° C. 105° D. 120°
【答案】A
【解析】根據三角形內角和定理計算即可．
解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，
故選：A．
2．如圖，CE是△ADC的邊AD上的高．若∠BAD=40°，∠ECD=25°，則∠B的度數為（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【答案】B
【解析】先根據CE是△ADC的邊AD上的高可知∠CED=90°，再由∠ECD=25°可得出∠CDE的度數，根據三角形外角的性質即可得出結論．
解：∵CE是△ADC邊AD上的高，∠BAD=40°，
∴∠CED=90°，
∵∠ECD=25°，
∴∠EDC=90°-25°=65°，
∴∠B=∠EDC-∠BAD=65°-40°=25°．
故選：B．
3．將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于點E，則∠AED的大小為（　　）
A. 110° B. 105° C. 95° D. 75°
【答案】B
【解析】在△BEC中，利用三角形內角和定理，可求出∠BEC的度數，再結合對頂角相等，即可得出∠AED的度數．
解：在△BEC中，∠EBC=45°，∠ECB=30°，
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-45°-30°=105°，
∴∠AED=∠BEC=105°．
故選：B．
4．如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數為 _____．
【答案】140°
【解析】根據三角形外角性質求出求出∠DFB，再根據三角形外角性質求出∠α即可．
解：如圖，
∵∠B=30°，∠DCB=65°，
∴∠DFB=∠B+∠DCB=30°+65°=95°，
∴∠α=∠D+∠DFB=45°+95°=140°，
故答案為：140°．
5．等腰三角形的一個底角為70°，則它的頂角的度數為______．
【答案】40°
【解析】已知給出了一個底角為70°，利用三角形的內角和定理：三角形的內角和為180°即可解答本題．
解：因為其底角為70°，所以其頂角=180°﹣70°×2=40°．
故答案為：40°．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、三角形的內角和定理：三角形的內角和為180°．利用三角形的內角和求角度是一種很重要的方法，要熟練掌握．
知識點2 三角形內角和定理的應用：
主要用在求三角形中角的度數．
①直接根據兩已知角求第三個角；
②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；
【新知導學】
例2-1．新知探究：
光在反射時，光束的路徑可用圖（1）來表示，AO叫做入射光線，OB叫做反射光線，從入射點O引出的一條垂直于鏡面EF的射線OM叫做法線．AO與OM的夾角α叫入射角，OB與OM的夾角β叫反射角．根據科學實驗可得：∠β=∠α．
（1）試根據所學過的知識及新知說明∠1=∠2．
問題解決：
生活中我們可以運用“激光”和兩塊相交的平面鏡進行測距．如圖（2）當一束“激光”AB射入到平面鏡EO上、被EO反射到平面鏡OF上，又被平面鏡OF反射后得到反射光線CD．
（2）當AB∥CD，∠DCF=60°時，求∠ABC的度數．
（3）當∠O=90°時，任何射到平面鏡EO上的光線AB經過平面鏡EO和OF的兩次反射后，入射光線AB與反射光線CD總是平行的．請你根據所學過的知識及新知說明．（提示：三角形的內角和等于180°）
【解析】（1）利用OM⊥EF可得∠EOM=∠FOM，再由∠α=∠β即可說明；
（2）由（1）可得∠OCB=∠DCF，從而得出∠BCD，再由平行線的性質即可求解；
（3）先設出∠OBC，再由三角形內角和定理表示出∠OCB，由（1）可得∠ABE和∠DCF，從而得出∠ABC和∠BCD，相加即可證明．
解：（1）∵OM⊥EF，
∴∠EOM=∠FOM，
∵∠α=∠β，
∴∠EOM-∠α=∠FOM-∠β，
∴∠1=∠2；
（2）∵∠DCF=60°，
∴∠OCB=60°，
∴∠BCD=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=180°-∠BCD=120°；
（3）設∠OBC=x,
∴∠ABE=x,
∴∠ABC=180°-∠OBC-∠ABE=180°-2x,
∵∠O=90°，
∴∠OCB=90°-x,
∴∠DCF=90°-x,
∴∠BCD=180°-∠OCB-∠DCF=2x,
∵∠ABC+∠BCD=180°-2x+2x=180°，
∴AB∥CD．
【對應導練】
1．將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊對齊，則的度數為（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
【答案】A
【解析】根據三角板可得：∠2=60°，∠5=45°，然后根據三角形內角和定理可得∠2的度數，進而得到∠4的度數，再根據三角形內角與外角的關系可得∠2的度數．
解：如圖：
由題意得：∠2=60°，∠5=45°，
∵∠2=60°，
∴∠3=180°-90°-60°=30°，
∴∠4=30°，
∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°
故選：A．
【點睛】本題考查三角形內角和定理，三角形外角的性質，關鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和．
2．三個等邊三角形的擺放位置如圖所示，若，則的度數為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】利用三個平角的和減去中間三角形的內角和，再減去三個的角即可．
解：，，
，
，
，
，
故選：．
【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理，靈活運用三角形內角和定理成為解答本題的關鍵．
3．《周禮 考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=矩，1欘=1宣（其中，1矩=90°）．
問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若∠A=1矩，∠B=1欘，則∠C=_____度．

【答案】22.5
【解析】根據題意可知：∠A=90°，∠B=67.5°，然后根據三角形內角和即可求得∠C的度數．
解：∵1宣=矩，1欘=1宣，1矩=90°，∠A=1矩，∠B=1欘，
∴∠A=90°，∠B=1××90°=67.5°，
∴∠C=180°-90°-∠B=180°-90°-67.5°=22.5°，
故答案為：22.5．
4．如圖，沿方向架橋修路，為加快施工進度，在直線上湖的另一邊的處同時施工．取，，，則，兩點的距離是_________．
【答案】
【解析】如圖所示：過點作于點，先求出，再根據勾股定理即可求出的長．
如圖所示：過點作于點，則∠BEC=∠DEC=90°，
，
，
∴∠BCE=90°-30°=60°，
又，
，
∴∠ECD=45°=∠D，
∴，
，
，
，即．
故答案為：．
【點睛】本題考查三角形內角和定理、等腰三角形的判定與性質、直角三角形的性質及勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握相關內容并能靈活運用．
題型訓練
題型1利用三角形內角和定理求角
1.如圖所示的幾何圖形，的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【思路點撥】連接，根據三角形的內角和等于，可得，再根據，即可求解．
【規范解答】解；如圖，連接，則，
∵，
∴
，
故選：D．

【考點評析】本題考查三角形內角和定理、對頂角相等，整體思想的利用是解題的關鍵．
2.將兩張三角形紙片如圖擺放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，則∠5的度數為（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】利用三角形的內角和定理計算即可．
【解答】解：如圖，在△ADE中，
∵∠A+∠1+∠2＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠1+∠2），
在△BMN中，
∵∠B+∠3+∠4＝180°，
∴∠B＝180°﹣（∠3+∠4），
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴180°﹣（∠1+∠2）+180°﹣（∠3+∠4）+∠5＝180°，
∴∠5＝（∠1+∠2+∠3+∠4）﹣180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，
∴∠5＝220°﹣180°＝40°，
故選：B．
【點評】本題考查的三角形的內角和定理，找到每一個三角形的內角是解題的關鍵．
題型2 利用三角形內角和定理解決實際問題
如圖，李明同學在東西方向的濱海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，他向東走400米至B處，測得燈塔P在北偏東30°方向上，則從燈塔P觀測A．B兩處的視角∠P的度數是（　　）
A．30° B．32° C．35° D．40°
【分析】在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度數即可解決問題；
【解答】解：∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．
故選：A．
【點評】本題考查了方向角，利用三角形的內角和是解題關鍵．
4．如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則的度數是________
答案：15°
解析：由題意可得，，，，過點E作，
則，
，，
又，
，
，
.
故答案為：15°.
5．如圖，是A，B，C三個便民核酸采樣點和小亮家(點D)的平面圖，已知A，B，C三點在同一條東西方向的路段上，D在A的北偏東方向，在C的北偏西方向，且點B到A，D兩點的距離相等，試求出從小亮家(點D)觀測檢測點B，C兩處的視角的度數.
答案：
解析：由題意可知：，，，，
，，
，
，
在中，，
.
題型3 利用三角形內角和與平行線綜合解決問題
6．如圖，分別過△ABC的頂點A，B作AD∥BE．若∠CAD=25°，∠EBC=80°，則∠ACB的度數為（　　）
A. 65° B. 75° C. 85° D. 95°
【答案】B
【解析】由平行線的性質可求∠ADC得度數，再利用三角形的內角和定理可求解．
解：∵AD∥BE，
∴∠ADC=∠EBC=80°，
∵∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°，∠CAD=25°，
∴∠ACB=180°-25°-80°=75°，
故選：B．
7．如圖，在中，的平分線交于點E，過點E作交于點D，過點D作交于點F．
（1）求證：是的平分線；
（2）若，若，求的度數．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】（1）如圖，根據角平分線得到，根據平行線的性質得到，，進而得到，即可得證；
（2）根據平行得到，進而求出的度數，利用三角形的內角和定理求出，再次利用三角形的內角和定理求出即可．
【小問1詳解】
證明：如圖，
∵的平分線交于點E，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
即：是的平分線；
小問2詳解】
解：如圖，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線，以及三角形的內角和定理．熟練掌握平行線的性質，是解題的關鍵．
牛刀小試
填空題（每小題4分，共32分）
1．等腰三角形的一個角是70°，則它的底角度數是（　　）
A. 55° B. 70° C. 70°或55° D. 70°或40°
【答案】C
【解析】先分頂角為70°和底角為70°兩種情況，再根據等腰三角形的性質即可解答．
解：當它的頂角為70°時，
它的底角度數為：（180°-70°）÷2=55°；
當它的底角為70°時，
它的底角度數為：180°-2×70°=40°；
∴它的底角度數是55°或70°．
故選：C．
2．如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數是（　　）
A. 72° B. 85° C. 65° D. 80°
【答案】B
【解析】根據三角形內角和得出∠C=60°，再利用角平分線得出∠DBC=35°，進而利用三角形內角和得出∠BDC的度數．
解：∵在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，
∴∠C=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=35°，
∴∠BDC=180°-60°-35°=85°．
故選：B．
3．將一副三角板按如圖所示擺放在一組平行線內，∠1=25°，∠2=30°，則∠3的度數為（　　）
A. 55° B. 65° C. 70° D. 75°
【答案】C
【解析】由題意可求得∠BAC=115°，再由平行線的性質可求得∠ACD的度數，結合平角的定義即可求∠3．
解：如圖，
由題意可得：∠CAE=90°，∠ACF=45°，
∵∠1=25°，
∴∠BAC=∠1+∠CAE=115°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠BAC=65°，
∴∠3=180°-∠ACD-∠ACF=70°．
故選：C．
4．將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于點E，則∠AED的大小為（　　）
A. 110° B. 105° C. 95° D. 75°
【答案】B
【解析】在△BEC中，利用三角形內角和定理，可求出∠BEC的度數，再結合對頂角相等，即可得出∠AED的度數．
解：在△BEC中，∠EBC=45°，∠ECB=30°，
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-45°-30°=105°，
∴∠AED=∠BEC=105°．
故選：B．
5．已知，如圖，AB∥CD，將一副三角尺如圖擺放，讓一個頂點和一條邊分別放在AB和CD上，則∠AEF=（　　）
A. 10° B. 12° C. 15° D. 18°
【答案】C
【解析】過點F作FG∥AB，根據平行線的性質得出∠CFG=120°，進而得出∠GFD=30°，∠EFG=15°，根據FG∥AG，即可求解．
解：如圖所示，過點F作FG∥AB，
∵AB∥CD，
∴FG∥AB∥CD，
∵∠FCD=60°，
∴∠CFG=180°-∠FCD=120°，
∵∠CFD=90°，
∴∠GFD=∠CFG-∠DFC=120°-90°=30°，
∵∠EFD=45°，
∴∠EFG=∠EFD-∠GFD=45°-30°=15°，
∵FG∥AB，
∴∠AEF=∠EFG=15°．
故選：C．
6．若一個三角形三個內角度數的比為2：3：5，那么這個三角形是（　　）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形
C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
【答案】A
【解析】根據三角形內角和等于180°求出最大內角的度數，再得出選項即可．
解：∵三角形三個內角度數的比為2：3：5，
∴最大內角的度數是180=90°，
∴此三角形是直角三角形，
故選：A．
7．如圖，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D=∠C=90°，∠B=30°，點E在線段BC上，DE交AC于點F，若DE∥AB，則∠DAF的度數為（　　）
A. 15° B. 20° C. 22.5° D. 30°
【答案】D
【解析】由直角三角形的兩個銳角互余，求出∠CAB=60°，由DE∥AB，得出∠D+∠DAB=90°，求出∠DAB=90°，即可求出∠DAF的度數．
解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
∵DE∥AB，
∴∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=90°，
∴∠DAB=180°-90°=90°，
∴∠DAF=∠DAB-∠CAB=90°-60°=30°．
故選：D．
8．如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉后得到，點恰好落在線段AB上，連接，若，則n的大小為（ ）
A. 25 B. 40 C. 45 D. 50
【答案】D
【解析】由旋轉即得出，．從而可求出和利用等邊對等角證明，再結合三角形內角和定理即可求出，即n的大小．
根據旋轉可知，，
∴，
∴．
即．
故選D．
【點睛】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的性質和三角形內角和定理．利用數形結合的思想是解題關鍵．
填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，已知BE、CD分別是 △ABC的內角平分線，BE和CD相交于點O，且∠A＝40°，則∠DOE＝____________
【答案】110°##110度
【解析】根據∠A＝40°求出∠ABC+∠ACB=140°，根據角平分線的定義求出∠EBC+∠BCD=70°，進而求出∠BOC=110°，最后根據對頂角相等即可求解．
解：如圖，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∵BE、CD分別是 △ABC的內角平分線，
∴∠EBC=∠ABC，∠BCD==∠ACB，
∴∠EBC+∠BCD=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=70°，
∴∠BOC=180°-（∠EBC+∠BCD）=110°，
∴∠DOE=∠BOC=110°．
故答案為：110°
【點睛】本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，對頂角相等等知識，熟知相關知識，運用整體思想求出∠EBC+∠BCD=70°是解題關鍵．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D在BC上，過D作DF⊥BC交BA的延長線于F，連接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，則∠B＝___．
【答案】77°
【解析】CF的中點T，連接DT，AT，證明AT⊥CF ，AC= AF，得到∠AFC = 45°， 根據直角三角形的兩銳角互余計算即可．
詳解】解：取CF的中點T，連接DT，AT，
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT=CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠DAT+∠TCD＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故答案為：77°．
【點睛】本題考查的是直角三角形斜邊中線的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是正確添加斜邊上的中線．
11．在△ABC中，∠A=∠B，過點A作AD⊥CB交直線BC于點D，∠DAC=36°，則∠C=_____°．
【答案】54或126
【解析】首先在直角△ACD中，分兩種情況利用三角形內角和定理和鄰補角的定義求得∠BCA的度數．
解：當△ABC時銳角三角形時，如圖1．
在直角△ACD中，∠ACB=90°-∠DAC=90°-36°=54°；
當△ABC是鈍角三角形時，如圖2．
∠ACD=90°-∠DAC=90°-36°=54°，
則∠ACB=180°-∠ACD=180°-54°=126°．
則∠ACB的度數是54°或126°．
故答案為：54或126．
12．在△ABC中，∠C=40°，把△ABC沿BC邊上的高AH所在直線翻折，點C落在射線CB上的點C'處，如果∠BAC'=20°，那么∠BAC=_____度．
【答案】80或120
【解析】利用翻折變換的性質求出∠C′=40°，再利用三角形內角和定理求出∠ABC′，再求出∠ABC，可得結論．
解：如圖，當點B在線段CC′上時．
由翻折的旋轉可知，∠C′=∠C=40°，
∴∠ABC′=180°-∠C′-∠BAC′=180°-40°-20°=120°，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∴∠CAB=180°-∠C-∠ABC=180°-40°-60°=80°，
當點B在CC′的延長線上時，可得∠CAB=100°+20°=120°
故答案為：80或120．
13．已知△ABC中，∠A=90°，∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，則∠BOC=_____．
【答案】150°
【解析】求出∠OBC+∠OCB的度數即可解決問題．
解：∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=30°，
∴∠BOC=180°-30°=150°，
故答案為150°．
解答題（共6小題，48分）
14．（6分）如圖，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠3=∠4，求∠DAC的度數．
【解析】依據三角形外角性質，即可得到∠3的度數，再根據三角形內角和定理，即可得到∠DAC的度數．
解：∵∠1=∠2=36°，
∴∠3=∠4=∠1+∠2=72°，
在△ACD中，∠DAC=180°-（∠3+∠4）=180°-2×72°=36°．
∴∠DAC=36°，
答：∠DAC的度數為36°．
15．（8分）如圖，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°．
（1）求∠AFB的度數；
（2）若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度數．
【解析】（1）利用三角形外角的性質即可得出答案；
（2）利用三角形外角的性質得3∠ABF=93°，從而得出答案．
解：（1）∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=42°，∠CAE=18°，
∴∠AEB=60°，
∵∠CBD=27°，
∴∠BFE=180°-27°-60°=93°，
∴∠AFB=180°-∠BFE=87°；
（2）∵∠BAF=2∠ABF，∠BFE=93°，
∴3∠ABF=93°，
∴∠ABF=31°，
∴∠BAF=62°．
16．（8分）如圖，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=54°．
（1）求∠EAC的度數；
（2）若∠CAD：∠E=2：5；求∠E的度數．
【解析】（1）利用外角性質及∠EAD=∠EDA，可得∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD，又由角平分線的定義可得：∠EAC=∠B=54°．
（2）設∠CAD=2x,則∠E=5x,∠BAD=2x,則∠EDA=∠EAD=∠CAD+∠EAC=2x+54°，在三角形EDA中再由三角形內角和為180°建立方程求解x即可求解此題．
解：（1）∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
∴∠EAC=∠B．
∵∠B=54°，
∴∠EAC=54°．
（2）設∠CAD=2x,則∠E=5x,∠DAB=2x,
∵∠B=54°，
∴∠EDA=∠EAD=2x+54°．
∵∠EDA+∠EAD+∠E=180°，
∴2x+54°+2x+54°+5x=180°．
解得x=8°．
∴∠E=5x=40°．
17．（6分）下面是證明三角形內角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°．
已知：如圖，△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°．
方法一
證明：如圖，過點A作DE∥BC．
方法二
證明：如圖，過點C作CD∥AB．
【解析】方法一：由平行線的性質得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由平角的定義可得∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，從而可求解；
方法二：由平行線的性質得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，從而可求解．
證明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°．
18．（10分）新知探究：
光在反射時，光束的路徑可用圖（1）來表示，AO叫做入射光線，OB叫做反射光線，從入射點O引出的一條垂直于鏡面EF的射線OM叫做法線．AO與OM的夾角α叫入射角，OB與OM的夾角β叫反射角．根據科學實驗可得：∠β=∠α．
（1）試根據所學過的知識及新知說明∠1=∠2．
問題解決：
生活中我們可以運用“激光”和兩塊相交的平面鏡進行測距．如圖（2）當一束“激光”AB射入到平面鏡EO上、被EO反射到平面鏡OF上，又被平面鏡OF反射后得到反射光線CD．
（2）當AB∥CD，∠DCF=60°時，求∠ABC的度數．
（3）當∠O=90°時，任何射到平面鏡EO上的光線AB經過平面鏡EO和OF的兩次反射后，入射光線AB與反射光線CD總是平行的．請你根據所學過的知識及新知說明．（提示：三角形的內角和等于180°）
【解析】（1）利用OM⊥EF可得∠EOM=∠FOM，再由∠α=∠β即可說明；
（2）由（1）可得∠OCB=∠DCF，從而得出∠BCD，再由平行線的性質即可求解；
（3）先設出∠OBC，再由三角形內角和定理表示出∠OCB，由（1）可得∠ABE和∠DCF，從而得出∠ABC和∠BCD，相加即可證明．
解：（1）∵OM⊥EF，
∴∠EOM=∠FOM，
∵∠α=∠β，
∴∠EOM-∠α=∠FOM-∠β，
∴∠1=∠2；
（2）∵∠DCF=60°，
∴∠OCB=60°，
∴∠BCD=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=180°-∠BCD=120°；
（3）設∠OBC=x,
∴∠ABE=x,
∴∠ABC=180°-∠OBC-∠ABE=180°-2x,
∵∠O=90°，
∴∠OCB=90°-x,
∴∠DCF=90°-x,
∴∠BCD=180°-∠OCB-∠DCF=2x,
∵∠ABC+∠BCD=180°-2x+2x=180°，
∴AB∥CD．
19．（10分）如圖1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC與∠ACD的角平分線交于點O．
（1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，則∠A＝ °，∠O＝ °；
（2）探索∠A與∠O的數量關系，并說明理由；
（3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度數．
（4）如圖2，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點處，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，則∠1＋∠2的度數為 ．
【答案】（1）80，40
（2）∠A=∠O；理由見解析
（3）∠ACB=60°；
（4）120°
【解析】（1）由三角形內角和定理可求∠A，求出∠OBC，和∠BCO，再由三角形內角和定理即可求出結論；
（2）由題中角平分線可得∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC，進而得出∠A=180°-∠ABC-180°+∠ACD=∠ACD-∠ABC，即可得出結論；
（3）AC與BO交于點E，由OCAB，證得∠ABO=∠O，由AC⊥BO，證得∠AEB=90°，故2∠O+∠O=90°，進而證得∠A=60°，∠ABC=2∠ABO即可證得結論；
（4）連接，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問題．
【小問1詳解】
解：∵∠ABC=66°，∠ACB=34°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∵∠ABC與∠ACD的角平分線交于點O，
∴∠OBC=∠ABC=33°，∠OCD=（180°-34°）=73°，
∴∠O=∠OCD-∠OBC=40°，
故答案為：80、40；
【小問2詳解】
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC，
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACO=∠ACD，
如圖，AC與BO交于點E，
∵∠AEB=∠CEO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACD，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠ABO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠A+∠ABO，
∴∠A=∠O；
【小問3詳解】
解：如圖，AC與BO交于點E，
∵OCAB，
∴∠ABO=∠O，
∵AC⊥BO，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABO=90°，
∴2∠O+∠O=90°，
∴∠O=30°，
∴∠A=60°，∠ABC=2∠ABO=60°，
∴∠ACB=60°；
【小問4詳解】
解：如圖，連接，
∵平分∠ABC，平分∠ACB，
∴=∠ABC，=∠ACB，
∵=120°，
∴=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折疊，
∴，，
∵∠1=，∠2=，
∴∠1+∠2=2=2∠BAC=2×60°=120°，
故答案為：120°．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質、折疊變換等知識，解題的關鍵是正確添加輔助線，靈活應用所學知識．
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人教版八年級數學上名師點撥精練
第11章 三角形
11.2.1 三角形的內角（2）
學習目標
1.知道直角三角形兩銳角互余
2.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形
3.能應用三角形內角和定理進行簡單的計算和推理.
老師告訴你
直角三角形的性質
直角三角形兩銳角互余；
直角三角形兩直角邊分別是另一直角邊上的高。
直角三角形的判定
有一個角是直角的三角形是直角三角形；
有兩個角互余的三角形是直角三角形。
知識點撥
知識點1：直角三角形的兩銳角互余
直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余.
直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角ABC可以寫成Rt△ABC.
定理應用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°.
【新知導學】
例1-1 .①.如圖(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于點O，∠A與∠D有什么關系？請說明理由.
②如圖(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于點O，∠A與∠C有什么關系？請說明理由.
【對應導練】
1．在中，，，點D在AB邊上，連接CD，若為直角三角形，求的度數.
2．在一個直角三角形中，如果一個銳角為，則另一個銳角為_________度.
3．如圖，，，垂足為E，，則的度數是( )
A. B. C. D.
4 .如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關系？為什么？
知識點2：有兩個角互余的三角形是直角三角形
有兩個角互余的三角形是直角三角形.
定理應用格式：
∵ ∠A+∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形.
【新知導學】
例2-1．在下列條件中：
①；
②；
③；
④，
能確定是直角三角形的條件有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【對應導練】
1.如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？
2．在中，，則為( )三角形.
A.銳角 B.直角 C.鈍角 D.等腰
3．已知在中,,則的形狀是( )
A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形
二、題型訓練
1.直角三角形兩銳角互余的應用
1．在中，是高，，是角平分線，它們相交于點O，，．

(1)求，；
(2)直接寫出與的關系．
2．如圖，在中，，點為上一點，過點作于點．
(1)當平分，且時，求的度數；
(2)當點是中點，，且的面積為，求的長．
3．如圖，在中，，于D．
(1)求證：；
(2)若平分分別交、于E、F，求證：．
4．如圖，在中，是高，是角平分線，它們相交于點O，．
(1)求的度數；
(2)若，求的度數．
2.兩銳角互余的三角形是直角三角形的應用
5．如圖，平分，平分，和交于點E．寫出圖中所有的直角三角形（不要求證明）．
6．已知：如圖，在中，D是AB上一點，，．求證：是直角三角形．
7．如圖，在中，是邊上的高，E是邊上一點，交于點M，且．求證：是直角三角形．
三、牛刀小試
1．在中，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，一塊直尺與一個直角三角形如圖放置，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．在下列條件：①；②；③；④中，不能確定為直角三角形的條件有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
4．如圖，將三角形紙片沿折疊，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在四邊形中，，，平分．若，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
6．如圖是一副三角尺拼成的圖案，則的度數為( )
A.105° B.90° C.75° D.60°
7．在中，，則此三角形是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形
8．在下列條件中：
①；
②；
③；
④，
能確定是直角三角形的條件有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，在中，，點D在上，于點交與點F．若，則 ．
10．如圖，在中，分別是邊上的高，若，則的度數是 ，的度數是 ．
11．《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則 度．

12．如圖，在中，與的平分線交于點I，則的度數是 °．

13.如圖，一把直尺的一邊緣經過直角三角形的直角頂點，交斜邊于點；直尺的另一邊緣分別交、于點、，若，，則 度．
三、解答題（共6小題，48分）
14．（9分）如圖，在中，，的平分線交于點，小琪在寫作業時，發現如下規律：
①當時，；
②當時，；
③當時，；

(1)根據上述規律，若，則________；
(2)請你用數學表達式歸納出與的關系：________；
(3)請證明你的結論．
15．（6分）（1）如圖①，在中，，于點D，圖中有與相等的角嗎？為什么？

（2）如圖②，把圖①中的D點向右移動，作交于點E，圖中還有與相等的角嗎？為什么？
（3）如圖③，把圖①中的D點向左移動，作交的延長線于點E，圖中還有與相等的角嗎？為什么？
16．（8分）如圖，是的角平分線，點在是上，交于點．
(1)若，求的度數；
(2)若，求的度數．
17．（8分）如圖，是的邊上的高，平分交于E，．

(1)若，求的度數；
(2)若，則______．
18．（9分）閱讀并填空．將三角尺（，）放置在上（點P在內），如圖①所示，三角尺的兩邊、恰好經過點B和點C．我們來探究：與是否存在某種數量關系．
(1)特例探索：若，則______度；______度；
(2)類比探索：求，，的關系，并說明理由；
(3)變式探索：如圖②所示，改變三角尺的位置，使點P在外，三角尺的兩邊、仍恰好經過點B和點C，求，，的關系，并說明理由．
19．（8分）在中，是的角平分線，，
(1)如圖1，是邊上的高，，，求的度數；
(2)如圖2，點在上，于，猜想與、的數量關系，并證明你的結論．
人教版八年級數學上名師點撥精練
第11章 三角形
11.2.1 三角形的內角（2）（解析版）
學習目標
1.知道直角三角形兩銳角互余
2.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形
3.能應用三角形內角和定理進行簡單的計算和推理.
老師告訴你
直角三角形的性質
直角三角形兩銳角互余；
直角三角形兩直角邊分別是另一直角邊上的高。
直角三角形的判定
有一個角是直角的三角形是直角三角形；
有兩個角互余的三角形是直角三角形。
知識點撥
2.知識點梳理
知識點1：直角三角形的兩銳角互余
直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余.
直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角ABC可以寫成Rt△ABC.
定理應用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°.
【新知導學】
例1-1 .①.如圖(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于點O，∠A與∠D有什么關系？請說明理由.
②如圖(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于點O，∠A與∠C有什么關系？請說明理由.
①.解：∠A=∠D. 理由如下：
方法一：(利用平行的判定和性質)
∵ ∠B=∠C=90°，
∴ AB∥CD，
∴ ∠A=∠D.
方法二：(利用直角三角形的性質)
在Rt△AOB和Rt△COD中，
∵ ∠B=∠C=90°，
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°，
∵ ∠AOB=∠COD，
∴ ∠A=∠D.
②解：∠A=∠C. 理由如下：
在Rt△AOB和Rt△COD中，
∵ ∠B=∠D=90°，
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°，
∵ ∠AOB=∠COD，
∴ ∠A=∠C.
【點評】兩個探究活動的設計讓學生在活用直角三角形性質的同時，有圖形歸納總結初中幾何的基本圖形，由形得數量，讓學生學會在復雜圖形中找到基本圖形，掌握基本解題策略。
【對應導練】
1．在中，，，點D在AB邊上，連接CD，若為直角三角形，求的度數.
答案：或
解析：當時，
，，
.
當時，
，，
，
，
或.
2．在一個直角三角形中，如果一個銳角為，則另一個銳角為_________度.
答案：40
解析：在一個直角三角形中，如果一個銳角為50°，則另一個銳角為，
故答案為：40.
3．如圖，，，垂足為E，，則的度數是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
，
，
，
，
.
故選：C.
4 .如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關系？為什么？
解：∠ACD=∠B. 理由如下：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACD+∠BCD=90°，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDC=90°，
∴ ∠B+∠BCD=90°，
∴ ∠ACD=∠B.
知識點2：有兩個角互余的三角形是直角三角形
有兩個角互余的三角形是直角三角形.
定理應用格式：
∵ ∠A+∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形.
【新知導學】
例2-1．在下列條件中：
①；
②；
③；
④，
能確定是直角三角形的條件有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
答案：D
解析：①因為，，所以，所以，所以是直角三角形，故①正確；②因為，，所以，所以是直角三角形，故②正確；③因為，所以.因為，所以，所以是直角三角形，故③正確；④因為，所以.因為，所以，所以，所以，所以是直角三角形，故④正確.
故選D.
【對應導練】
1.如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°.
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
2．在中，，則為( )三角形.
A.銳角 B.直角 C.鈍角 D.等腰
答案：B
解析：，
可設，，，
根據三角形的內角和可得：，
解得：，
，，，
因此是直角三角形.
故選：B.
3．已知在中,,則的形狀是( )
A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形
答案：C
解析：,,
是直角三角形
二、題型訓練
1.直角三角形兩銳角互余的應用
1．在中，是高，，是角平分線，它們相交于點O，，．

(1)求，；
(2)直接寫出與的關系．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余、與角平分線有關的三角形的內角和問題，熟練掌握三角形的內角和定理是解題關鍵．
（1）根據直角三角形的兩個銳角互余即可得的度數；先根據三角形的內角和定理可得，再根據角平分線的定義和三角形的內角和定理求解即可得；
（2）先根據三角形的內角和定理可得，再根據角平分線的定義可得，從而可得，然后根據三角形的內角和定理求解即可得．
【詳解】（1）解：在中，是高，，
，
∵在中，，，
，
∵，分別是，的角平分線，
，
．
（2）解：在中，，
∵，分別是，的角平分線，
．
2．如圖，在中，，點為上一點，過點作于點．
(1)當平分，且時，求的度數；
(2)當點是中點，，且的面積為，求的長．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根據角平分線的定義及直角三角形的性質求解即可；
（）由點是中點得，又，從而求解；
此題考查了角平分線的定義，三角形中線的性質，直角三角形的性質，等面積法，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵點是中點，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．如圖，在中，，于D．
(1)求證：；
(2)若平分分別交、于E、F，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了直角三角形的性質，三角形角平分線的定義，對頂角的性質，余角的性質，難度適中．
（1）由于與都是的余角，根據同角的余角相等即可得證；
（2）根據直角三角形兩銳角互余得出，再根據角平分線的定義得出，然后由對頂角相等的性質，等量代換即可證明．
【詳解】（1）證明：，于D，
，，
；
（2）證明：在中，，
同理在中，．
又平分，
，
，
又，
．
4．如圖，在中，是高，是角平分線，它們相交于點O，．
(1)求的度數；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了三角形角平分線，三角形內角和定理，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．
（1）根據角平分線的定義得出，根據三角形內角和定理得出，進而即可求解；
（2）根據三角形內角和定理求得，根據是的角平分線，得出，根據，即可求解．
【詳解】（1）解：是的角平分線，
，
在中，，
，
；
（2）在中，是高，，
，，
是的角平分線，
，
，
．
2.兩銳角互余的三角形是直角三角形的應用
5．如圖，平分，平分，和交于點E．寫出圖中所有的直角三角形（不要求證明）．
【答案】，，
【分析】根據平行線的性質和角平分線的定義，結合三角形的內角和定理證得即可得出結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵和交于點E，
∴，
∴，，均為直角三角形．
【點睛】本題考查直角三角形的判定，涉及平行線的性質、角平分線的定義、鄰補角、銳角互余的三角形是直角三角形等知識，熟練掌握銳角互余的三角形是直角三角形是解答的關鍵．
6．已知：如圖，在中，D是AB上一點，，．求證：是直角三角形．
【答案】見解析
【分析】利用三角形內角和定理可得，據此即可證明是直角三角形．
【詳解】解：在中，D是AB上一點，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理，掌握“三角形三個內角和等于”是解題的關鍵．
7．如圖，在中，是邊上的高，E是邊上一點，交于點M，且．求證：是直角三角形．
【答案】見解析
【分析】本題考查了直角三角形的性質與判定；由是邊上的高，得；再由，即可得結論成立．
【詳解】解：∵是邊上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
三、牛刀小試
1．在中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形兩銳角和等于90度是解題的關鍵．根據握直角三角形兩銳角和等于90度求解即可．
【詳解】解：∵在中，，
∴
∵
∴
解得：
故選：B．
2．如圖，一塊直尺與一個直角三角形如圖放置，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質，直角三角形的性質，根據平行線的性質求出，然后根據鄰補角的定義求出，最后根據直角三角形兩個銳角互余求出即可．準確識圖是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，
直尺的兩邊互相平行，
，
，
故選：．
3．在下列條件：①；②；③；④中，不能確定為直角三角形的條件有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】C
【分析】本題考查的是直角三角形的性質，三角形內角和定理，熟知三角形的內角和等于是解答此題的關鍵．根據直角三角形的判定對各個條件進行分析，從而得到答案．
【詳解】解：①當時，不能判定是直角三角形，
故本小題不符合題意；
②，
，，，
是直角三角形，故本小題符合題意；
③設，則，
，解得，
，故本小題不符合題意；
④設，，，
則，
解得，故，
是直角三角形，故本小題符合題意；
綜上所述，是直角三角形的是②④共2個．
故選：C
4．如圖，將三角形紙片沿折疊，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形內角和定理，折疊的性質，由折疊的性質可得， ，再根據三角形的內角和定理即可求解．明確折疊前后對應角相等是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，
∵將三角形紙片沿BD折疊，
∴， ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故選：C．
5．如圖，在四邊形中，，，平分．若，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行線的性質和角平分線的定義求得，，再利用三角形內角和定理求得的度數，然后利用角的和差即可求得答案．
【詳解】解：，
，，
，
，
平分，
，
，
，
．
故選：B．
【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的定義，熟練掌握相關知識是解題關鍵．
6．如圖是一副三角尺拼成的圖案，則的度數為( )
A.105° B.90° C.75° D.60°
答案：C
解析：，
，
故選C.
7．在中，，則此三角形是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形
答案：B
解析：設，
因為，
所以，，
在中，，
即，
解得，
那么，，，
所以此三角形是直角三角形，
故選：B.
8．在下列條件中：
①；
②；
③；
④，
能確定是直角三角形的條件有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
答案：D
解析：①因為，，所以，所以，所以是直角三角形，故①正確；②因為，，所以，所以是直角三角形，故②正確；③因為，所以.因為，所以，所以是直角三角形，故③正確；④因為，所以.因為，所以，所以，所以，所以是直角三角形，故④正確.
故選D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，在中，，點D在上，于點交與點F．若，則 ．
【答案】/42度
【分析】本題主要考查了余角的性質，直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形兩銳角互余，等角的余角相等是解題的關鍵；利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB，從而可求得∠EDF；
【詳解】 ，
，
故答案為：；
10．如圖，在中，分別是邊上的高，若，則的度數是 ，的度數是 ．
【答案】 /20度 /40度
【分析】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余，在和中，，求得和的度數，再由求得的度數，在中即可求得的度數．
【詳解】解：∵在和中，分別是邊上的高，
．
又，
∴在中，．
故答案為：；．
11．《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則 度．

【答案】//．
【分析】根據矩、宣、欘的概念計算即可．
【詳解】解：由題意可知，
矩，
欘宣矩，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了新概念的理解，直角三角形銳角互余，角度的計算；解題的關鍵是新概念的理解，并正確計算．
12．如圖，在中，與的平分線交于點I，則的度數是 °．

【答案】135
【分析】本題考查了角平分線，三角形內角和定理．明確角度之間的數量關系是解題的關鍵．
由題意知，，根據，計算求解即可．
【詳解】解：∵是的平分線，
∴，
∴，
故答案為：135．
13.如圖，一把直尺的一邊緣經過直角三角形的直角頂點，交斜邊于點；直尺的另一邊緣分別交、于點、，若，，則 度．
【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
．
故答案為：．
先利用平行線的性質求出，再利用平角的定義求出，最后根據三角形內角和定理求出
即可．
【點評】本題考查平行線的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
三、解答題（共6小題，48分）
14．（9分）如圖，在中，，的平分線交于點，小琪在寫作業時，發現如下規律：
①當時，；
②當時，；
③當時，；

(1)根據上述規律，若，則________；
(2)請你用數學表達式歸納出與的關系：________；
(3)請證明你的結論．
【答案】(1)
(2)
(3)見解析
【分析】本題主要考查角平分線的定義，三角形的內角和定理，熟練掌握三角形的內角和定理是解題的關鍵．
（1）利用角平分線的定義得到，，然后利用三角形的內角和定理求出即可；
（2）根據所給數據歸納出與的關系即可；
（3）利用角平分線的定義得到，，然后利用三角形的內角和定理求出即可證明結論．
【詳解】（1）解：在中，，
，
∵，的平分線交于點，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）數學表達式歸納出與的關系為，
故答案為：；
（3）證明：在中，
，
∵，的平分線交于點，
∴，，
∴，
∴．
15．（6分）（1）如圖①，在中，，于點D，圖中有與相等的角嗎？為什么？

（2）如圖②，把圖①中的D點向右移動，作交于點E，圖中還有與相等的角嗎？為什么？
（3）如圖③，把圖①中的D點向左移動，作交的延長線于點E，圖中還有與相等的角嗎？為什么？
【答案】（1）有，見解析；（2）有，見解析；（3）有，見解析
【分析】（1）由可得，根據可得，然后根據等量代換即可解答；
（2）根據平移的性質得到，于是得到，在中，，再根據等量代換得到結論；
（3）根據平移的性質得到，于是得到，在中，，再根據等量代換得到結論．
【詳解】解：（1）有．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）有．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）有．理由如下：
理由：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【點睛】本題主要考查了平移的性質、直角三角形的性質等知識點，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵．
16．（8分）如圖，是的角平分線，點在是上，交于點．
(1)若，求的度數；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查與角平分線的關的角的計算，直角三角形兩銳角互余．
（1）先根據角平分線的定義得，再根據直角三角形兩銳角互余求解；
（2）根據角平分線的定義和直角三角形兩銳角互余求解即可．
【詳解】（1）解：是的平分線，
．
，則．
在中，，
；
（2）解：是的平分線，
，
．
17．（8分）如圖，是的邊上的高，平分交于E，．

(1)若，求的度數；
(2)若，則______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形的內角和定理，直角三角形的性質，掌握三角形的內角和定理是解題的關鍵．
（1）根據角平分線的定義及三角形的內角和定理可知，再由直角三角形確定，然后結合圖形計算即可解答．
（2）同（1）方法類似求解即可．
【詳解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∵是的邊上的高，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∵是的邊上的高，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
18．（9分）閱讀并填空．將三角尺（，）放置在上（點P在內），如圖①所示，三角尺的兩邊、恰好經過點B和點C．我們來探究：與是否存在某種數量關系．
(1)特例探索：若，則______度；______度；
(2)類比探索：求，，的關系，并說明理由；
(3)變式探索：如圖②所示，改變三角尺的位置，使點P在外，三角尺的兩邊、仍恰好經過點B和點C，求，，的關系，并說明理由．
【答案】(1)90；40
(2)，理由見解析
(3)，理由見解析
【分析】本題考查三角形內角和定理的應用．
（1）利用三角形內角和定理即可解決問題．
（2）結論：．利用三角形內角和定理即可證明．
（3）結論：．利用三角形內角和定理即可解決問題．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，
故答案為：90，40；
（2）解：結論：，
證明：，
，
，
．
故答案為：；
（3）解：結論：，
理由是：設交于，如圖

，
，即，
，
故答案為：．
19．（8分）在中，是的角平分線，，
(1)如圖1，是邊上的高，，，求的度數；
(2)如圖2，點在上，于，猜想與、的數量關系，并證明你的結論．
【答案】(1)
(2)，證明見詳解
【分析】此題主要考查了角平分線的性質、三角形內角和定理和直角三角形的性質，解題時注意：三角形內角和是．
（1）依據角平分線的定義以及垂線的定義，即可得到，，進而得出，由此即可解決問題．
（2）過作于，依據平行線的性質可得，依據（1）中結論即可得到．
【詳解】（1）解：如圖1
平分，
，
，
，
，
，，
．
（2）解：結論：．
理由：如圖2，過作于，
，
，
，
由（1）可得，，
．
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