資源簡(jiǎn)介

(共45張PPT)
3．單擺
第二章　機(jī)械運(yùn)動(dòng)
學(xué)習(xí)任務(wù)
1．理解單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件，會(huì)利用圖像法分析單擺的運(yùn)動(dòng)。
2．掌握單擺的周期公式，并能夠進(jìn)行計(jì)算。
3．經(jīng)歷單擺周期與擺長(zhǎng)關(guān)系的探究過(guò)程，體會(huì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路。
4．借助對(duì)單擺周期影響因素的分析，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。
必備知識(shí)·自主預(yù)習(xí)儲(chǔ)備
知識(shí)點(diǎn)一　單擺及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律
1．單擺模型
若忽略懸掛小球細(xì)線(xiàn)長(zhǎng)度的微小變化和______，且線(xiàn)長(zhǎng)比球的直徑________，這樣的裝置就叫作單擺。單擺是實(shí)際擺的________模型。
質(zhì)量
大得多
理想化
2．單擺的回復(fù)力
(1)回復(fù)力的提供：擺球的重力沿圓弧______方向的分力，即G1＝____________(θ為懸線(xiàn)與豎直方向的夾角)。
(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在偏角較小的情況下，單擺擺球所受的回復(fù)力與偏離平衡位置的位移成______，方向總指向__________。
(3)運(yùn)動(dòng)規(guī)律：?jiǎn)螖[在偏角較小時(shí)做______運(yùn)動(dòng)。
切線(xiàn)
mg sin θ
正比
平衡位置
簡(jiǎn)諧
思考　在單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置時(shí)，擺球所受合外力為零嗎？
提示：不為零。
知識(shí)點(diǎn)二　單擺的周期
1．影響單擺周期的因素
(1)單擺的周期與______有關(guān)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期______。
(2)單擺的周期與擺球質(zhì)量、振幅______(選填“有關(guān)”或“無(wú)關(guān)”)。
2．周期公式
(1)提出：周期公式由________首先提出。
(2)公式：T＝_________。
擺長(zhǎng)
越大
無(wú)關(guān)
惠更斯
體驗(yàn)　1：思考辨析(正確的打√，錯(cuò)誤的打×)
(1)單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力和擺線(xiàn)拉力的合力。 (　　)
(2)單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力沿圓弧切線(xiàn)方向的一個(gè)分力。 (　　)
(3)單擺是一個(gè)理想化的模型。 (　　)
(4)擺球的質(zhì)量越大，周期越大。 (　　)
(5)單擺的振幅越小，周期越小。 (　　)
(6)單擺的擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大。 (　　)
×
√
√
×
×
√
2：填空
一個(gè)理想的單擺，已知其周期為T(mén)。如果由于某種原因重力加速度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，振幅變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，擺長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的8倍，擺球質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，它的周期變?yōu)開(kāi)______。
2T
關(guān)鍵能力·情境探究達(dá)成
(1)判斷以下擺動(dòng)模型是不是單擺，為什么？
(2)試分析單擺的回復(fù)力由什么力提供？
提示：(1)模型①不是單擺，因?yàn)橄鹌そ钌扉L(zhǎng)不可忽略。
模型②不是單擺，因?yàn)槔K子質(zhì)量不可忽略。
模型③不是單擺，因?yàn)槔K長(zhǎng)不是遠(yuǎn)大于球的直徑。
模型④不是單擺，因?yàn)閼尹c(diǎn)不固定，因而擺長(zhǎng)在發(fā)生變化。
模型⑤是單擺。
考點(diǎn)1　單擺的回復(fù)力
1．單擺的回復(fù)力
(1)擺球受力：如圖所示，擺球受細(xì)線(xiàn)拉力和重力作用。
(2)向心力來(lái)源：細(xì)線(xiàn)對(duì)擺球的拉力和擺球重力沿徑向的分力的合力。
(3)回復(fù)力來(lái)源：擺球重力沿圓弧切線(xiàn)方向的分力F＝mg sin θ提供了使擺球振動(dòng)的回復(fù)力。
角度1　單擺回復(fù)力的理解
【典例1】　關(guān)于做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)所受合力為零
B．?dāng)[球所受合力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力才等于重力和擺線(xiàn)拉力的合力
D．?dāng)[球在任意位置處，回復(fù)力都不等于重力和擺線(xiàn)拉力的合力
√
C　[擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但由于擺球做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)平衡位置，合力不為零，合力提供向心力，方向指向懸點(diǎn)，A錯(cuò)誤；擺球所受回復(fù)力由重力沿圓弧切線(xiàn)方向的分力提供，重力沿?cái)[線(xiàn)方向的分力與擺線(xiàn)對(duì)擺球的拉力的合力提供向心力，所以擺球所受合力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小不成正比，B錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律可知，擺球在最大位移處時(shí)，速度為零，向心加速度為零，重力沿?cái)[線(xiàn)方向的分力等于擺線(xiàn)對(duì)擺球的拉力，回復(fù)力等于重力和擺線(xiàn)拉力的合力，在其他位置時(shí)，速度不為零，向心加速度不為零，重力沿?cái)[線(xiàn)方向的分力小于擺線(xiàn)對(duì)擺球的拉力，回復(fù)力不等于重力和擺線(xiàn)拉力的合力，故C正確，D錯(cuò)誤。]
角度2　單擺的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析
【典例2】　關(guān)于單擺，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．?dāng)[球運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是擺線(xiàn)的拉力與重力的合力
B．?dāng)[球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)軌跡上同一點(diǎn)，加速度是不相等的
C．?dāng)[球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，加速度的方向始終指向平衡位置
D．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，加速度不為零
√
D　[擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的回復(fù)力是重力沿圓弧切線(xiàn)方向上的分力，而不是擺線(xiàn)的拉力和重力的合力，故A錯(cuò)誤；擺球經(jīng)過(guò)軌跡上的同一點(diǎn)受力情況相同，故加速度相同，故B錯(cuò)誤；擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度的方向不始終指向平衡位置，因?yàn)榇怪彼俣确较蛞灿屑铀俣?，故C錯(cuò)誤；擺球擺動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，受重力和拉力，合力不為零，加速度不為零，故D正確。]
易錯(cuò)警示　 對(duì)于單擺的兩點(diǎn)說(shuō)明
(1)所謂平衡位置，是指擺球靜止時(shí)，擺線(xiàn)拉力與小球所受重力平衡的位置，并不是指擺動(dòng)過(guò)程中的受力平衡位置。實(shí)際上，在擺動(dòng)過(guò)程中，擺球受力不可能平衡。
(2)回復(fù)力是由擺球受到的重力沿圓弧切線(xiàn)方向的分力F＝mg sin θ提供的，不可誤認(rèn)為回復(fù)力是重力G與擺線(xiàn)拉力T的合力。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(角度1)如圖所示，O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線(xiàn)處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置，則在擺動(dòng)過(guò)程中(　　)
A．?dāng)[球在A(yíng)點(diǎn)和C點(diǎn)處，合力為零
B．?dāng)[球在A(yíng)點(diǎn)和C點(diǎn)處，回復(fù)力為零
C．?dāng)[球在B點(diǎn)處，回復(fù)力最大
D．?dāng)[球在B點(diǎn)處，細(xì)線(xiàn)拉力最大
√
D　[擺球在重力和細(xì)線(xiàn)拉力作用下沿圓弧AC做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)A、C處合力不為零，A錯(cuò)誤；在最低點(diǎn)B處，細(xì)線(xiàn)上的拉力最大，D正確；擺球的回復(fù)力F＝mg sin θ，其中θ為擺線(xiàn)偏離豎直方向的角度，所以擺球在擺動(dòng)過(guò)程中，在最高點(diǎn)A、C處回復(fù)力最大，在最低點(diǎn)B處回復(fù)力為零，故B、C錯(cuò)誤。]
2．(角度2)(多選)關(guān)于單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，下列說(shuō)法中正確的是
(　　)
A．在平衡位置擺球的速度和位移均達(dá)到最大值
B．在最大位移處速度最小
C．在平衡位置擺球速度最大
D．?dāng)[球由最大位移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度變大
√
√
√
BCD　[在平衡位置處，擺球的勢(shì)能最小，動(dòng)能最大，速度最大，而位移最小，A錯(cuò)誤，C正確；在最大位移處，擺球的勢(shì)能最大，動(dòng)能最小，速度最小，B正確；擺球由最大位移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，勢(shì)能變小，動(dòng)能變大，速度變大，D正確。]　
(2)公式中l(wèi)是擺長(zhǎng)，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離l＝l線(xiàn)＋r球。
(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
(4)周期T只與l和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無(wú)關(guān)。所以單擺的周期也叫固有周期。
【典例3】　(多選)圖甲是用力傳感器對(duì)單擺做小角度擺動(dòng)過(guò)程進(jìn)行測(cè)量的裝置圖，圖乙是與力傳感器連接的計(jì)算機(jī)屏幕所顯示的F-t圖像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N，已知擺球質(zhì)量m＝100 g，重力加速度取9.8 m/s2，π2取9.8，不計(jì)擺線(xiàn)質(zhì)量及空氣阻力。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．單擺周期為0.8 s
B．單擺擺長(zhǎng)為0.64 m
C．F的最小值Fmin＝0.96 N
D．若僅將擺球質(zhì)量變?yōu)?00 g，單擺周期變長(zhǎng)
√
√
(3)單擺的擺長(zhǎng)
①因?yàn)閷?shí)際的擺球不可能是質(zhì)點(diǎn)，所以擺長(zhǎng)是指從懸點(diǎn)到擺球重心的長(zhǎng)度，注意擺線(xiàn)長(zhǎng)是從懸點(diǎn)到擺線(xiàn)與擺球連接點(diǎn)的長(zhǎng)度，不要把擺長(zhǎng)與擺線(xiàn)長(zhǎng)弄混淆。
②等效擺長(zhǎng)。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．惠更斯利用單擺的等時(shí)性原理制成了世界上第一座擺鐘。如圖甲所示為日常生活中我們常見(jiàn)到的一種擺鐘，圖乙所示為擺鐘的結(jié)構(gòu)示意圖，圓盤(pán)固定在擺桿上，螺母可以沿?cái)[桿上下移動(dòng)。在A(yíng)地走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘移到B地未做其他調(diào)整時(shí)擺動(dòng)加快了，下列說(shuō)法正確的是(　　)
甲　　　　乙　
A．A地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向下移動(dòng)
B．A地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向上移動(dòng)
C．B地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向下移動(dòng)
D．B地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向上移動(dòng)
√
學(xué)習(xí)效果·隨堂評(píng)估自測(cè)
1．(多選)關(guān)于單擺擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的受力，下列結(jié)論正確的是
(　　)
A．?dāng)[球受重力、擺線(xiàn)的張力作用
B．?dāng)[球的回復(fù)力最大時(shí)，向心力為零
C．?dāng)[球的回復(fù)力為零時(shí)，向心力最大
D．?dāng)[球的回復(fù)力最大時(shí)，擺線(xiàn)中的張力大小比擺球的重力大
√
√
√
ABC　[單擺在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，擺球受重力和擺線(xiàn)的拉力，故A正確；重力垂直于擺線(xiàn)的分力提供回復(fù)力，當(dāng)回復(fù)力最大時(shí)，擺球在最大位移處，速度為零，向心力為零，則擺線(xiàn)拉力小于重力，在平衡位置處，回復(fù)力為零，速度最大，向心力最大，擺球的加速度方向沿?cái)[線(xiàn)指向懸點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，B、C正確。]
2．如圖所示，曲面AO是一段半徑為2 m的光滑圓弧面，圓弧與水平面相切于O點(diǎn)，AO弧長(zhǎng)為10 cm現(xiàn)將小球先后從曲面的頂端A和AO的中點(diǎn)B由靜止釋放，到達(dá)底端O的速度分別為v1和v2，經(jīng)歷的時(shí)間分別為t1和t2，則(　　)
A．v1＞v2，t1＞t2 B．v1＞v2，t1＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2 D．v1＞v2，t1＜t2
√
3．(新情境題，以傳感器記錄的F-t圖像為背景，考查單擺)將一力傳感器連接到計(jì)算機(jī)上就可以測(cè)量快速變化的力，如圖所示圖甲中O點(diǎn)為單擺的懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉到A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線(xiàn)處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，則擺球在豎直平面內(nèi)的A、B、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，其中B點(diǎn)為振動(dòng)的平衡位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且是未知量。圖乙表示由計(jì)算機(jī)得到的細(xì)線(xiàn)對(duì)擺球的拉力大小F隨時(shí)間變化的圖線(xiàn)，且圖中t＝0時(shí)刻為擺球從A點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻，根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中信息(g取10 m/s2)，求：
(1)單擺的周期和擺長(zhǎng)；
(2)擺球的質(zhì)量。
甲　　　　　　　乙　　　
[答案]　(1)0.4π s　0.4 m　(2)0.05 kg
回歸本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題：
1．單擺看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件是什么？
提示：擺角θ較小，tan θ≈sin θ。
2．單擺的回復(fù)力是由哪個(gè)力提供？
提示：重力垂直于擺線(xiàn)的分力。
3．單擺的周期由哪些因素決定？
提示：擺長(zhǎng)、重力加速度。
4．單擺周期的表達(dá)式是什么？
閱讀材料·拓寬物理視野
教堂里的發(fā)現(xiàn)——單擺的等時(shí)性
1564年2月15日，偉大的物理學(xué)家伽利略出生于意大利比薩城的一個(gè)沒(méi)落貴族家庭。他出生不久，全家就移居到佛羅倫薩近郊的一個(gè)地方。在那里，伽利略的父親萬(wàn)桑佐開(kāi)了一個(gè)店鋪，經(jīng)營(yíng)羊毛生意。
孩提時(shí)的伽利略聰明可愛(ài)，活潑矯健，好奇心極強(qiáng)。他從不滿(mǎn)足別人告訴的道理，喜歡親自探索、研究和證明問(wèn)題。對(duì)于兒子的這些表現(xiàn)，萬(wàn)桑佐高興極了，希望伽利略長(zhǎng)大后從事既高雅、報(bào)酬又豐厚的醫(yī)生職業(yè)，1581年，萬(wàn)桑佐就把伽利略送到比薩大學(xué)學(xué)醫(yī)。可是，伽利略對(duì)醫(yī)學(xué)沒(méi)有興趣，他卻把相當(dāng)多的時(shí)間用于鉆研古希臘的哲學(xué)著作，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和自然科學(xué)。
伽利略(1564—1642)是一位虔誠(chéng)的天主教徒，每周都堅(jiān)持到教堂做禮拜。1582年的一天，伽利略到教堂做禮拜。禮拜開(kāi)始不久，一位修理工人不經(jīng)意觸動(dòng)了教堂中的大吊燈，使它來(lái)回?cái)[動(dòng)。擺動(dòng)著的大吊燈映入了伽利略的眼簾，引起他的注意。伽利略聚精會(huì)神地觀(guān)察著，腦海里突然閃出測(cè)量吊燈擺動(dòng)時(shí)間的念頭，憑著學(xué)醫(yī)的經(jīng)驗(yàn)，伽利略把右手指按到左腕的脈搏上計(jì)時(shí)，同時(shí)數(shù)著吊燈的擺動(dòng)次數(shù)。起初，吊燈在一個(gè)大圓弧上擺動(dòng)，擺動(dòng)速度較大，伽利略測(cè)算來(lái)回?cái)[動(dòng)一次的時(shí)間。過(guò)了一陣子，吊燈擺動(dòng)的幅度變小了，擺動(dòng)速度也變慢了，此時(shí)，他又測(cè)量了來(lái)回?cái)[動(dòng)一次的時(shí)間。讓他
大為吃驚的是，兩次測(cè)量的時(shí)間是相同的。于是伽利略繼續(xù)測(cè)量來(lái)回?cái)[動(dòng)一次的時(shí)間，直到吊燈幾乎停止擺動(dòng)時(shí)才結(jié)束?？墒敲看螠y(cè)量的結(jié)果都表明來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要相同的時(shí)間。通過(guò)這些測(cè)量使伽利略發(fā)現(xiàn)：吊燈來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要的時(shí)間與擺動(dòng)幅度的大小無(wú)關(guān)，無(wú)論擺幅大小如何，來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需時(shí)間是相同的。即吊燈的擺動(dòng)具有等時(shí)性，這就是伽利略最初的發(fā)現(xiàn)。
問(wèn)題
1．吊燈擺動(dòng)的快慢與吊燈的擺動(dòng)幅度有關(guān)嗎？
提示：沒(méi)關(guān)系。
2．上述吊燈的擺動(dòng)快慢的現(xiàn)象說(shuō)明什么？
提示：吊燈的單次擺動(dòng)具有等時(shí)性。3．單擺
1．理解單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件，會(huì)利用圖像法分析單擺的運(yùn)動(dòng)。
2．掌握單擺的周期公式，并能夠進(jìn)行計(jì)算。
3．經(jīng)歷單擺周期與擺長(zhǎng)關(guān)系的探究過(guò)程，體會(huì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路。
4．借助對(duì)單擺周期影響因素的分析，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。
知識(shí)點(diǎn)一　單擺及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律
1．單擺模型
若忽略懸掛小球細(xì)線(xiàn)長(zhǎng)度的微小變化和質(zhì)量，且線(xiàn)長(zhǎng)比球的直徑大得多，這樣的裝置就叫作單擺。單擺是實(shí)際擺的理想化模型。
2．單擺的回復(fù)力
(1)回復(fù)力的提供：擺球的重力沿圓弧切線(xiàn)方向的分力，即G1＝mg_sin_θ(θ為懸線(xiàn)與豎直方向的夾角)。
(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在偏角較小的情況下，單擺擺球所受的回復(fù)力與偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置。
(3)運(yùn)動(dòng)規(guī)律：?jiǎn)螖[在偏角較小時(shí)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
　在單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置時(shí)，擺球所受合外力為零嗎？
提示：不為零。
知識(shí)點(diǎn)二　單擺的周期
1．影響單擺周期的因素
(1)單擺的周期與擺長(zhǎng)有關(guān)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大。
(2)單擺的周期與擺球質(zhì)量、振幅無(wú)關(guān)(選填“有關(guān)”或“無(wú)關(guān)”)。
2．周期公式
(1)提出：周期公式由惠更斯首先提出。
(2)公式：T＝2π。
1：思考辨析(正確的打√，錯(cuò)誤的打×)
(1)單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力和擺線(xiàn)拉力的合力。 (×)
(2)單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力沿圓弧切線(xiàn)方向的一個(gè)分力。 (√)
(3)單擺是一個(gè)理想化的模型。 (√)
(4)擺球的質(zhì)量越大，周期越大。 (×)
(5)單擺的振幅越小，周期越小。 (×)
(6)單擺的擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大。 (√)
2：填空
一個(gè)理想的單擺，已知其周期為T(mén)。如果由于某種原因重力加速度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，振幅變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，擺長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的8倍，擺球質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，它的周期變?yōu)開(kāi)_____________。
[答案]　2T
(1)判斷以下擺動(dòng)模型是不是單擺，為什么？
(2)試分析單擺的回復(fù)力由什么力提供？
提示：(1)模型①不是單擺，因?yàn)橄鹌そ钌扉L(zhǎng)不可忽略。
模型②不是單擺，因?yàn)槔K子質(zhì)量不可忽略。
模型③不是單擺，因?yàn)槔K長(zhǎng)不是遠(yuǎn)大于球的直徑。
模型④不是單擺，因?yàn)閼尹c(diǎn)不固定，因而擺長(zhǎng)在發(fā)生變化。
模型⑤是單擺。
(2)單擺的回復(fù)力是重力的切向分力，也是擺球沿運(yùn)動(dòng)方向的合力，即F＝mg sin θ≈mg。
考點(diǎn)1　單擺的回復(fù)力
1．單擺的回復(fù)力
(1)擺球受力：如圖所示，擺球受細(xì)線(xiàn)拉力和重力作用。
(2)向心力來(lái)源：細(xì)線(xiàn)對(duì)擺球的拉力和擺球重力沿徑向的分力的合力。
(3)回復(fù)力來(lái)源：擺球重力沿圓弧切線(xiàn)方向的分力F＝mg sin θ提供了使擺球振動(dòng)的回復(fù)力。
2．單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的推證
在偏角很小時(shí)，sin θ≈tan θ≈，又回復(fù)力F＝mg sin θ，所以單擺的回復(fù)力為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長(zhǎng)，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F與位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合F＝－kx，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
角度1　單擺回復(fù)力的理解
【典例1】　關(guān)于做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)所受合力為零
B．?dāng)[球所受合力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力才等于重力和擺線(xiàn)拉力的合力
D．?dāng)[球在任意位置處，回復(fù)力都不等于重力和擺線(xiàn)拉力的合力
C　[擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但由于擺球做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)平衡位置，合力不為零，合力提供向心力，方向指向懸點(diǎn)，A錯(cuò)誤；擺球所受回復(fù)力由重力沿圓弧切線(xiàn)方向的分力提供，重力沿?cái)[線(xiàn)方向的分力與擺線(xiàn)對(duì)擺球的拉力的合力提供向心力，所以擺球所受合力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小不成正比，B錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律可知，擺球在最大位移處時(shí)，速度為零，向心加速度為零，重力沿?cái)[線(xiàn)方向的分力等于擺線(xiàn)對(duì)擺球的拉力，回復(fù)力等于重力和擺線(xiàn)拉力的合力，在其他位置時(shí)，速度不為零，向心加速度不為零，重力沿?cái)[線(xiàn)方向的分力小于擺線(xiàn)對(duì)擺球的拉力，回復(fù)力不等于重力和擺線(xiàn)拉力的合力，故C正確，D錯(cuò)誤。]
角度2　單擺的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析
【典例2】　關(guān)于單擺，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．?dāng)[球運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是擺線(xiàn)的拉力與重力的合力
B．?dāng)[球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)軌跡上同一點(diǎn)，加速度是不相等的
C．?dāng)[球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，加速度的方向始終指向平衡位置
D．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，加速度不為零
D　[擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的回復(fù)力是重力沿圓弧切線(xiàn)方向上的分力，而不是擺線(xiàn)的拉力和重力的合力，故A錯(cuò)誤；擺球經(jīng)過(guò)軌跡上的同一點(diǎn)受力情況相同，故加速度相同，故B錯(cuò)誤；擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度的方向不始終指向平衡位置，因?yàn)榇怪彼俣确较蛞灿屑铀俣?，故C錯(cuò)誤；擺球擺動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，受重力和拉力，合力不為零，加速度不為零，故D正確。]
　 對(duì)于單擺的兩點(diǎn)說(shuō)明
(1)所謂平衡位置，是指擺球靜止時(shí)，擺線(xiàn)拉力與小球所受重力平衡的位置，并不是指擺動(dòng)過(guò)程中的受力平衡位置。實(shí)際上，在擺動(dòng)過(guò)程中，擺球受力不可能平衡。
(2)回復(fù)力是由擺球受到的重力沿圓弧切線(xiàn)方向的分力F＝mg sin θ提供的，不可誤認(rèn)為回復(fù)力是重力G與擺線(xiàn)拉力T的合力。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(角度1)如圖所示，O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線(xiàn)處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置，則在擺動(dòng)過(guò)程中(　　)
A．?dāng)[球在A(yíng)點(diǎn)和C點(diǎn)處，合力為零
B．?dāng)[球在A(yíng)點(diǎn)和C點(diǎn)處，回復(fù)力為零
C．?dāng)[球在B點(diǎn)處，回復(fù)力最大
D．?dāng)[球在B點(diǎn)處，細(xì)線(xiàn)拉力最大
D　[擺球在重力和細(xì)線(xiàn)拉力作用下沿圓弧AC做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)A、C處合力不為零，A錯(cuò)誤；在最低點(diǎn)B處，細(xì)線(xiàn)上的拉力最大，D正確；擺球的回復(fù)力F＝mg sin θ，其中θ為擺線(xiàn)偏離豎直方向的角度，所以擺球在擺動(dòng)過(guò)程中，在最高點(diǎn)A、C處回復(fù)力最大，在最低點(diǎn)B處回復(fù)力為零，故B、C錯(cuò)誤。]
2．(角度2)(多選)關(guān)于單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．在平衡位置擺球的速度和位移均達(dá)到最大值
B．在最大位移處速度最小
C．在平衡位置擺球速度最大
D．?dāng)[球由最大位移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度變大
BCD　[在平衡位置處，擺球的勢(shì)能最小，動(dòng)能最大，速度最大，而位移最小，A錯(cuò)誤，C正確；在最大位移處，擺球的勢(shì)能最大，動(dòng)能最小，速度最小，B正確；擺球由最大位移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，勢(shì)能變小，動(dòng)能變大，速度變大，D正確。]
考點(diǎn)2　單擺周期公式的理解及應(yīng)用
1．伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，惠更斯得出了單擺的周期公式并發(fā)明了擺鐘。
2．單擺的周期公式：T＝2π。
3．對(duì)周期公式的理解：
(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時(shí)成立(偏角為5°時(shí)，由周期公式算出的周期和精確值相差0.01%)。
(2)公式中l(wèi)是擺長(zhǎng)，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離l＝l線(xiàn)＋r球。
(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
(4)周期T只與l和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無(wú)關(guān)。所以單擺的周期也叫固有周期。
【典例3】　(多選)圖甲是用力傳感器對(duì)單擺做小角度擺動(dòng)過(guò)程進(jìn)行測(cè)量的裝置圖，圖乙是與力傳感器連接的計(jì)算機(jī)屏幕所顯示的F-t圖像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N，已知擺球質(zhì)量m＝100 g，重力加速度取9.8 m/s2，π2取9.8，不計(jì)擺線(xiàn)質(zhì)量及空氣阻力。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．單擺周期為0.8 s
B．單擺擺長(zhǎng)為0.64 m
C．F的最小值Fmin＝0.96 N
D．若僅將擺球質(zhì)量變?yōu)?00 g，單擺周期變長(zhǎng)
BC　[根據(jù)單擺振動(dòng)的規(guī)律可知，在一個(gè)周期內(nèi)擺球會(huì)兩次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)，即擺線(xiàn)會(huì)出現(xiàn)兩次拉力最大的時(shí)刻，則由題圖乙可知單擺周期為1.6 s，故A錯(cuò)誤；根據(jù)單擺周期公式T＝2π，可得單擺擺長(zhǎng)為l＝＝0.64 m，故B正確；設(shè)單擺的擺角為2θ，當(dāng)擺球擺到最高點(diǎn)時(shí)擺線(xiàn)拉力最小，為Fmin＝mg cos θ，設(shè)擺球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，則根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mv2＝mgl(1－cos θ)，在最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有Fmax－mg＝m，聯(lián)立解得Fmin＝0.96 N，故C正確；根據(jù)單擺周期公式可知周期與擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)，所以若僅將擺球質(zhì)量變?yōu)?00 g，單擺周期不變，故D錯(cuò)誤。故選BC。]
　利用單擺周期公式計(jì)算的三個(gè)核心
利用單擺的周期公式T＝2π進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，要把握三個(gè)核心。
(1)單擺的周期公式在偏角很小時(shí)成立(θ≤5°)。
(2)單擺周期公式中的g是單擺所在地的重力加速度，能求出擺球在不同的空間位置、物理環(huán)境(如帶電小球在勻強(qiáng)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng))中的等效重力加速度。
(3)單擺的擺長(zhǎng)
①因?yàn)閷?shí)際的擺球不可能是質(zhì)點(diǎn)，所以擺長(zhǎng)是指從懸點(diǎn)到擺球重心的長(zhǎng)度，注意擺線(xiàn)長(zhǎng)是從懸點(diǎn)到擺線(xiàn)與擺球連接點(diǎn)的長(zhǎng)度，不要把擺長(zhǎng)與擺線(xiàn)長(zhǎng)弄混淆。
②等效擺長(zhǎng)。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．惠更斯利用單擺的等時(shí)性原理制成了世界上第一座擺鐘。如圖甲所示為日常生活中我們常見(jiàn)到的一種擺鐘，圖乙所示為擺鐘的結(jié)構(gòu)示意圖，圓盤(pán)固定在擺桿上，螺母可以沿?cái)[桿上下移動(dòng)。在A(yíng)地走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘移到B地未做其他調(diào)整時(shí)擺動(dòng)加快了，下列說(shuō)法正確的是 (　　)
甲　　　　乙
A．A地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向下移動(dòng)
B．A地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向上移動(dòng)
C．B地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向下移動(dòng)
D．B地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向上移動(dòng)
C　[由A地到B地?cái)[鐘擺動(dòng)加快說(shuō)明周期變小，由單擺的周期公式T＝2π，可知重力加速度變大了，要使周期不變小，則應(yīng)增加擺長(zhǎng)，即將螺母適當(dāng)向下移動(dòng)，故C正確。]
1．(多選)關(guān)于單擺擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的受力，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．?dāng)[球受重力、擺線(xiàn)的張力作用
B．?dāng)[球的回復(fù)力最大時(shí)，向心力為零
C．?dāng)[球的回復(fù)力為零時(shí)，向心力最大
D．?dāng)[球的回復(fù)力最大時(shí)，擺線(xiàn)中的張力大小比擺球的重力大
ABC　[單擺在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，擺球受重力和擺線(xiàn)的拉力，故A正確；重力垂直于擺線(xiàn)的分力提供回復(fù)力，當(dāng)回復(fù)力最大時(shí)，擺球在最大位移處，速度為零，向心力為零，則擺線(xiàn)拉力小于重力，在平衡位置處，回復(fù)力為零，速度最大，向心力最大，擺球的加速度方向沿?cái)[線(xiàn)指向懸點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，B、C正確。]
2．如圖所示，曲面AO是一段半徑為2 m的光滑圓弧面，圓弧與水平面相切于O點(diǎn)，AO弧長(zhǎng)為10 cm現(xiàn)將小球先后從曲面的頂端A和AO的中點(diǎn)B由靜止釋放，到達(dá)底端O的速度分別為v1和v2，經(jīng)歷的時(shí)間分別為t1和t2，則(　　)
A．v1＞v2，t1＞t2 B．v1＞v2，t1＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2 D．v1＞v2，t1＜t2
B　[因?yàn)锳O弧長(zhǎng)遠(yuǎn)小于半徑，所以小球從A、B處沿圓弧滑下可等效成小角度單擺的擺動(dòng)，即做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，等效擺長(zhǎng)為2 m，單擺的周期為T(mén)＝2π，周期與振幅無(wú)關(guān)，小球先后從A、B兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)均經(jīng)歷，故有t1＝t2，因擺動(dòng)只有重力做功，有mgh＝mv2，所以v＝，故v1＞v2，故選B。]
3．(新情境題，以傳感器記錄的F-t圖像為背景，考查單擺)將一力傳感器連接到計(jì)算機(jī)上就可以測(cè)量快速變化的力，如圖所示圖甲中O點(diǎn)為單擺的懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉到A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線(xiàn)處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，則擺球在豎直平面內(nèi)的A、B、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，其中B點(diǎn)為振動(dòng)的平衡位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且是未知量。圖乙表示由計(jì)算機(jī)得到的細(xì)線(xiàn)對(duì)擺球的拉力大小F隨時(shí)間變化的圖線(xiàn)，且圖中t＝0時(shí)刻為擺球從A點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻，根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中信息(g取10 m/s2)，求：
甲　　　　　　　乙　　
(1)單擺的周期和擺長(zhǎng)；
(2)擺球的質(zhì)量。
[解析]　(1)對(duì)擺球受力分析如圖所示。
擺球在一個(gè)周期內(nèi)兩次經(jīng)過(guò)平衡位置，結(jié)合題圖乙可知T＝0.4π s。
由單擺的周期公式可得
T＝2π
代入數(shù)據(jù)解得l＝0.4 m。
(2)擺球在最高點(diǎn)A，有
Fmin＝mg cos α＝0.495 N
擺球在最低點(diǎn)B，有
Fmax－mg＝m，其中Fmax＝0.510 N
擺球從A到B由機(jī)械能守恒定律有
mgl(1－cos α)＝mv2
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得m＝0.05 kg。
[答案]　(1)0.4π s　0.4 m　(2)0.05 kg
回歸本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題：
1．單擺看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件是什么？
提示：擺角θ較小，tan θ≈sin θ。
2．單擺的回復(fù)力是由哪個(gè)力提供？
提示：重力垂直于擺線(xiàn)的分力。
3．單擺的周期由哪些因素決定？
提示：擺長(zhǎng)、重力加速度。
4．單擺周期的表達(dá)式是什么？
提示：T＝2π。
教堂里的發(fā)現(xiàn)——單擺的等時(shí)性
1564年2月15日，偉大的物理學(xué)家伽利略出生于意大利比薩城的一個(gè)沒(méi)落貴族家庭。他出生不久，全家就移居到佛羅倫薩近郊的一個(gè)地方。在那里，伽利略的父親萬(wàn)桑佐開(kāi)了一個(gè)店鋪，經(jīng)營(yíng)羊毛生意。
孩提時(shí)的伽利略聰明可愛(ài)，活潑矯健，好奇心極強(qiáng)。他從不滿(mǎn)足別人告訴的道理，喜歡親自探索、研究和證明問(wèn)題。對(duì)于兒子的這些表現(xiàn)，萬(wàn)桑佐高興極了，希望伽利略長(zhǎng)大后從事既高雅、報(bào)酬又豐厚的醫(yī)生職業(yè)，1581年，萬(wàn)桑佐就把伽利略送到比薩大學(xué)學(xué)醫(yī)。可是，伽利略對(duì)醫(yī)學(xué)沒(méi)有興趣，他卻把相當(dāng)多的時(shí)間用于鉆研古希臘的哲學(xué)著作，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和自然科學(xué)。
伽利略(1564—1642)是一位虔誠(chéng)的天主教徒，每周都堅(jiān)持到教堂做禮拜。1582年的一天，伽利略到教堂做禮拜。禮拜開(kāi)始不久，一位修理工人不經(jīng)意觸動(dòng)了教堂中的大吊燈，使它來(lái)回?cái)[動(dòng)。擺動(dòng)著的大吊燈映入了伽利略的眼簾，引起他的注意。伽利略聚精會(huì)神地觀(guān)察著，腦海里突然閃出測(cè)量吊燈擺動(dòng)時(shí)間的念頭，憑著學(xué)醫(yī)的經(jīng)驗(yàn)，伽利略把右手指按到左腕的脈搏上計(jì)時(shí)，同時(shí)數(shù)著吊燈的擺動(dòng)次數(shù)。起初，吊燈在一個(gè)大圓弧上擺動(dòng)，擺動(dòng)速度較大，伽利略測(cè)算來(lái)回?cái)[動(dòng)一次的時(shí)間。過(guò)了一陣子，吊燈擺動(dòng)的幅度變小了，擺動(dòng)速度也變慢了，此時(shí)，他又測(cè)量了來(lái)回?cái)[動(dòng)一次的時(shí)間。讓他大為吃驚的是，兩次測(cè)量的時(shí)間是相同的。于是伽利略繼續(xù)測(cè)量來(lái)回?cái)[動(dòng)一次的時(shí)間，直到吊燈幾乎停止擺動(dòng)時(shí)才結(jié)束?？墒敲看螠y(cè)量的結(jié)果都表明來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要相同的時(shí)間。通過(guò)這些測(cè)量使伽利略發(fā)現(xiàn)：吊燈來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要的時(shí)間與擺動(dòng)幅度的大小無(wú)關(guān)，無(wú)論擺幅大小如何，來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需時(shí)間是相同的。即吊燈的擺動(dòng)具有等時(shí)性，這就是伽利略最初的發(fā)現(xiàn)。
1．吊燈擺動(dòng)的快慢與吊燈的擺動(dòng)幅度有關(guān)嗎？
提示：沒(méi)關(guān)系。
2．上述吊燈的擺動(dòng)快慢的現(xiàn)象說(shuō)明什么？
提示：吊燈的單次擺動(dòng)具有等時(shí)性。
課時(shí)分層作業(yè)(八)　單擺
?題組一　單擺及單擺的回復(fù)力
1．關(guān)于單擺，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．?dāng)[球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
B．?dāng)[球擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)加速度為零
C．?dāng)[球速度變化的周期等于振動(dòng)周期
D．?dāng)[球振動(dòng)的頻率與振幅有關(guān)
C　[擺球在擺動(dòng)中速度大小是變化的，不是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；擺球擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)加速度不為零，受向上的合外力，故加速度豎直向上，B錯(cuò)誤；擺球速度變化的周期以及位移變化的周期均等于振動(dòng)周期，C正確；擺球振動(dòng)的頻率與振幅無(wú)關(guān)，只取決于擺長(zhǎng)和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋珼錯(cuò)誤。]
2．(多選)下列有關(guān)單擺的說(shuō)法，正確的是(　　)
A．一根橡皮筋一端系在懸點(diǎn)，另一端連接一個(gè)小球，可以構(gòu)成一個(gè)單擺
B．單擺的擺動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
C．若單擺在同一平面內(nèi)擺動(dòng)，且偏角小于5°，可以認(rèn)為該單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
D．單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，其運(yùn)動(dòng)周期越大
CD　[一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩一端系在懸點(diǎn)，另一端連接一個(gè)質(zhì)量較大且可以看成質(zhì)點(diǎn)的小球可以構(gòu)成一個(gè)單擺，橡皮筋受到拉力時(shí)形變量較大，連接小球構(gòu)成的裝置不可看成單擺，A錯(cuò)誤；若單擺在同一平面內(nèi)擺動(dòng)，且偏角小于5°，可以認(rèn)為該單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)單擺的周期公式T＝2π可知，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，其運(yùn)動(dòng)周期越大，D正確。]
3．振動(dòng)著的單擺擺球通過(guò)平衡位置時(shí)，它受到的回復(fù)力(　　)
A．指向地面
B．指向懸點(diǎn)
C．?dāng)?shù)值為零
D．垂直擺線(xiàn)，指向運(yùn)動(dòng)方向
C　[單擺的擺球受到的回復(fù)力由重力沿圓弧切線(xiàn)方向的分力提供，擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，選C。]
4．(多選)一個(gè)單擺做小角度擺動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖所示，以下說(shuō)法正確的是(　　)
A．t1時(shí)刻擺球速度為零，懸線(xiàn)對(duì)它的拉力最小
B．t2時(shí)刻擺球速度最大，但加速度不為零
C．t3時(shí)刻擺球速度為零，懸線(xiàn)對(duì)它的拉力最大
D．t4時(shí)刻擺球速度最大，懸線(xiàn)對(duì)它的拉力最大
ABD　[由振動(dòng)圖像可知：t1和t3時(shí)刻擺球偏離平衡位置的位移最大，此時(shí)擺球速度為零，懸線(xiàn)對(duì)擺球的拉力最??；t2和t4時(shí)刻擺球位移為零，正在通過(guò)平衡位置，速度最大，懸線(xiàn)對(duì)擺球的拉力最大，加速度向上。故正確答案為A、B、D。]
?題組二　單擺的周期
5．如圖所示是兩個(gè)理想單擺的振動(dòng)圖像，縱軸表示擺球偏離平衡位置的位移。下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．t＝4 s時(shí)，兩單擺的回復(fù)力最大
B．乙擺球在第1 s末和第3 s末速度相同
C．甲、乙兩個(gè)擺的擺長(zhǎng)之比為1∶2
D．甲擺球位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為x＝2sin cm
D　[t＝4 s時(shí)，兩單擺處于平衡位置，該位置的回復(fù)力為零，A錯(cuò)誤；乙擺球在第1 s末和第3 s末速度大小相等方向相反，B錯(cuò)誤；由單擺的周期公式可知T＝2π，得甲、乙兩個(gè)擺的擺長(zhǎng)之比為＝＝，C錯(cuò)誤；由題圖可知，甲擺的振幅為2 cm，周期為4 s，且零時(shí)刻位于平衡位置并開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng)，故甲擺球位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為x＝2sin cm，D正確。故選D。]
6．圖甲是利用沙擺演示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像的裝置。當(dāng)盛沙的漏斗下面的薄木板被水平勻速拉出時(shí)，做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的漏斗漏出的沙在板上形成的曲線(xiàn)顯示出沙擺的振動(dòng)位移隨時(shí)間的變化關(guān)系。已知木板被水平拉動(dòng)的速度為0.20 m/s，圖乙所示的一段木板的長(zhǎng)度為0.80 m，則這次實(shí)驗(yàn)沙擺的擺長(zhǎng)為(取g＝π2)(　　)
A．0.56 m B．0.65 m
C．1.00 m D．2.25 m
C　[木板勻速拉出，則有x＝vt，解得t＝＝ s＝4 s，結(jié)合題圖乙知t＝2T，則T＝2 s，根據(jù)單擺周期公式T＝2π，解得l＝1 m，故選C。]
7．如圖甲所示為一個(gè)半徑為R，弧長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑凹槽(R L)?，F(xiàn)將一質(zhì)量為m的小球從凹槽邊緣由靜止釋放，小球以最低點(diǎn)為平衡位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖乙所示。已知重力加速度大小為g(取g＝π2)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)所受合力為零
B．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力由重力沿圓弧切線(xiàn)方向的分力提供
C．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為2.5 s
D．光滑凹槽半徑R＝2 m
B　[小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)所受合力提供向心力，不為零，故A錯(cuò)誤；小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力由重力沿圓弧切線(xiàn)方向的分力提供，故B正確；由題圖乙可知，小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為2.0 s，故C錯(cuò)誤；由T＝2π，解得R＝1 m，故D錯(cuò)誤。故選B。]
8．地球表面的重力加速度約為9.8 m/s2，月球表面的重力加速度是地球表面的，將走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘從地球放到月球上去，在地球上經(jīng)過(guò)24 h，該鐘在月球上顯示經(jīng)過(guò)了(　　)
A．4 h B．9.8 h
C．12 h D．58.8 h
B　[由單擺的周期公式T＝2π，得＝＝，即T月＝T地，則擺鐘在月球上單位時(shí)間內(nèi)完成的全振動(dòng)的次數(shù)為在地球上的，所以在地球上經(jīng)過(guò)24 h，該擺鐘在月球上顯示經(jīng)過(guò)的時(shí)間為24× h＝4 h≈9.8 h，B正確。]
9．圖甲是一個(gè)單擺振動(dòng)的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置。設(shè)擺球向右方向運(yùn)動(dòng)為正方向。圖乙是這個(gè)單擺的振動(dòng)圖像。根據(jù)圖像回答：
甲　　　　　　　　　乙
(1)單擺振動(dòng)的頻率是多大？
(2)開(kāi)始時(shí)刻擺球在何位置？
(3)若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?0 m/s2，試求這個(gè)擺的擺長(zhǎng)是多少。
[解析]　(1)由乙圖知周期T＝0.8 s
則頻率f＝＝1.25 Hz。
(2)由乙圖知，0時(shí)刻擺球在負(fù)向最大位移處，因向右為正方向，所以在B點(diǎn)。
(3)由T＝2π得L＝≈0.16 m。
[答案]　(1)1.25 Hz　(2)B點(diǎn)　(3)0.16 m
1．圖中的幾個(gè)相同的單擺在不同的條件下，關(guān)于它們的周期關(guān)系，判斷正確的是(　　)
A．T甲＞T乙＞T丙＞T丁
B．T甲＜T乙＝T丙＜T丁
C．T甲＞T乙＝T丙＞T丁
D．T甲＜T乙＜T丙＜T丁
C　[根據(jù)周期公式T＝2π，單擺的周期和擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)，與擺長(zhǎng)和重力加速度有關(guān)；題圖甲中沿斜面的加速度為a甲＝g sin θ，所以周期為T(mén)甲＝2π，題圖乙中加速度為a乙＝g，所以周期為T(mén)乙＝2π，題圖丙中的周期為T(mén)丙＝2π，題圖丁中的加速度為a?。絞＋a，所以周期為T(mén)丁＝2π，故T甲＞T乙＝T丙＞T丁，故選C。]
2．如圖所示，在傾角為α的斜面頂端固定一擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺，單擺在斜面上做小角度擺動(dòng)，擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)的速度為v，則以下判斷正確的是(　　)
A．單擺在斜面上擺動(dòng)的周期為T(mén)＝2π
B．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)受到的回復(fù)力大小為F＝m
C．若小球帶正電，并加一垂直斜面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則單擺的振動(dòng)周期將發(fā)生變化
D．若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則單擺的振動(dòng)周期將減小
D　[單擺在平衡位置時(shí)，等效重力加速度為g′＝g sin α，所以單擺在斜面上擺動(dòng)的周期為T(mén)＝2π＝2π，故A錯(cuò)誤；回復(fù)力大小與偏離平衡位置位移大小成正比，故擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)受到的回復(fù)力大小為0，故B錯(cuò)誤；若小球帶正電，并加一垂直斜面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則小球擺動(dòng)過(guò)程中洛倫茲力始終垂直速度，不產(chǎn)生回復(fù)力的效果，故周期不變，故C錯(cuò)誤；若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，單擺的等效重力加速度為g″＝g sin α＋，所以單擺在斜面上擺動(dòng)的周期為T(mén)＝2π＝2π減小，故D正確。故選D。]
3．如圖所示，在一個(gè)水平放置的槽中，小球m自A點(diǎn)以沿AD方向的初速度v開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，已知AB＝0.9 m，AB圓弧的半徑R＝10 m，AD＝10 m，A、B、C、D在同一水平面內(nèi)，不計(jì)摩擦，重力加速度g取10 m/s2。
(1)小球從A點(diǎn)靜止釋放，則經(jīng)過(guò)多少時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)？
(2)欲使小球恰能通過(guò)C點(diǎn)，其初速度v應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？
[解析]　(1)根據(jù)單擺周期公式有
T＝2π＝2π s
小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間為
t＝＝π s。
(2)小球自A點(diǎn)以沿AD方向的初速度v開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，把小球的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解，一個(gè)沿AD方向的勻速運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是在圓弧面內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。小球m自A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，小球在圓弧面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
t′＝T(n＝0，1，2，…)
由分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，可知初速度為
v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)。
[答案]　(1)π s　(2) m/s(n＝0，1，2，…)
4．有兩個(gè)同學(xué)利用假期分別去參觀(guān)位于天津市的“南開(kāi)大學(xué)”和上海市的“復(fù)旦大學(xué)”，他們各自在那里的物理實(shí)驗(yàn)室利用先進(jìn)的DIS系統(tǒng)較準(zhǔn)確地探究了單擺周期T和擺長(zhǎng)L的關(guān)系。然后他們通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)交流實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并由計(jì)算機(jī)繪制了T2-L圖像，如圖甲所示。
甲　　　　　　　　　　乙
(1)已知天津市比上海市的緯度高，則去“南開(kāi)”的同學(xué)所測(cè)得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的圖像是A還是B
(2)去“復(fù)旦”做研究的同學(xué)還利用計(jì)算機(jī)繪制了他實(shí)驗(yàn)用的a、b兩個(gè)擺球的振動(dòng)圖像，如圖乙所示，由圖像可知兩單擺擺長(zhǎng)之比是多大？在t＝2 s時(shí)b球運(yùn)動(dòng)方向沿“＋y”還是“－y”？
[解析]　(1)由T＝2π得
T2＝L
知T2-L圖像的斜率越大，則重力加速度越小，因?yàn)樯虾．?dāng)?shù)氐闹亓铀俣刃∮谔旖颍ツ祥_(kāi)的同學(xué)所測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的圖線(xiàn)的斜率小，應(yīng)該是B圖線(xiàn)。
(2)由振動(dòng)圖線(xiàn)知，兩單擺的周期比為＝
由T＝2π知
兩單擺擺長(zhǎng)之比＝
y- t圖像的斜率表示速度，故在t＝2 s時(shí)b球運(yùn)動(dòng)方向是＋y方向。
[答案]　(1)B　(2)?。珁
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑