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(共61張PPT)
1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及其圖像
第二章　機(jī)械運(yùn)動(dòng)
學(xué)習(xí)任務(wù)
1．知道什么是彈簧振子和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
2．知道振幅、周期、頻率、相位、全振動(dòng)等概念。
3．理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖像是一條正弦函數(shù)圖線。理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。
4．通過對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像的描繪，認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。
5．通過對(duì)生活中振動(dòng)實(shí)例的觀察，體會(huì)振動(dòng)對(duì)生活的影響。
必備知識(shí)·自主預(yù)習(xí)儲(chǔ)備
知識(shí)點(diǎn)一　機(jī)械振動(dòng)和彈簧振子
1．機(jī)械振動(dòng)：物體(或物體的某一部分)在某一位置兩側(cè)所做的__________，叫作機(jī)械振動(dòng)，簡(jiǎn)稱振動(dòng)。這個(gè)位置稱為__________。
注意：機(jī)械振動(dòng)是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種。
往復(fù)運(yùn)動(dòng)
平衡位置
2．彈簧振子
如圖所示，將彈簧上端固定，下端連接一個(gè)小球，小球可在豎直方向上運(yùn)動(dòng)。彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，可以忽略不計(jì)，若不計(jì)空氣阻力，這樣的系統(tǒng)稱為彈簧振子。
思考　彈簧振子在平衡位置兩側(cè)做什么運(yùn)動(dòng)？
提示：往復(fù)運(yùn)動(dòng)。
知識(shí)點(diǎn)二　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
1．定義
如果質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系嚴(yán)格遵從______函數(shù)的規(guī)律，即它的振動(dòng)圖像是一條______曲線，這樣的運(yùn)動(dòng)叫作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
2．特點(diǎn)
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的______，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)就是__________。
正弦
正弦
振動(dòng)
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
知識(shí)點(diǎn)三　描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量
1．振幅
(1)定義：振動(dòng)物體離開平衡位置的__________，叫作振動(dòng)的振幅。用A表示，國(guó)際單位為米(m)。
(2)物理含義：振幅是描述振動(dòng)______的物理量；振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)范圍是振幅的______。
2．全振動(dòng)
一個(gè)______的振動(dòng)過程，稱為一次全振動(dòng)。振動(dòng)物體完成一次全振動(dòng)的時(shí)間總是______的。此時(shí)，位移、速度第一次同時(shí)與初始狀態(tài)相同，即物體從同一方向回到出發(fā)點(diǎn)。
最大距離
強(qiáng)弱
兩倍
完整
相同
3．周期(T )和頻率( f )
(1)周期T：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體完成一次________所用的時(shí)間。單位：秒(s)。
(2)頻率f：物體完成全振動(dòng)的次數(shù)與所用時(shí)間的比。單位：______，簡(jiǎn)稱赫，符號(hào)是____。
(3)周期T與頻率f 的關(guān)系式：T＝___。
4．相位
相位是描述做周期性運(yùn)動(dòng)的物體在各個(gè)時(shí)刻所處狀態(tài)的物理量。
全振動(dòng)
赫茲
Hz

振幅
頻率
圓頻率
周期

相位
提醒　(1)相位ωt＋φ是隨時(shí)間變化的一個(gè)變量。
(2)相位每增加2π就意味著完成了一次全振動(dòng)。
初相位
初相
體驗(yàn)　1：思考辨析(正確的打√，錯(cuò)誤的打×)
(1)平衡位置即速度為零的位置。 (　　)
(2)豎直彈簧振子的平衡位置是彈簧的原長(zhǎng)位置。 (　　)
(3)振動(dòng)圖像表示質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。
(　　)
(4)由振動(dòng)圖像可判斷任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度方向。 (　　)
(5)振幅就是指振子的位移。 (　　)
(6)始末速度相同的一個(gè)過程一定是一次全振動(dòng)。 (　　)
×
×
√
√
×
×
×
√
2：填空
如圖所示的彈簧振子，O點(diǎn)為它的平衡位置，當(dāng)振子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，振子離開平衡位置的位移是________(選填“OC”“AC”或“CO”)，從A點(diǎn)直接運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，振子位移變________(選填“小”或“大”)，速度變__________(選填“小”或“大”)。
OC
小
大
關(guān)鍵能力·情境探究達(dá)成
如圖所示的裝置，把小球向右拉開一段距離后釋放，可以觀察到小球左右運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間，最終停止運(yùn)動(dòng)。
(1)小球的運(yùn)動(dòng)具有什么特點(diǎn)？為什么小球最終停止運(yùn)動(dòng)？
(2)在橫桿上涂上一層潤(rùn)滑油，重復(fù)剛才的實(shí)驗(yàn)，觀察到的結(jié)果與第一次實(shí)驗(yàn)有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不計(jì)，彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，也忽略不計(jì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如何？
提示：(1)小球的運(yùn)動(dòng)具有往復(fù)性。小球因?yàn)槭艿阶枇Φ淖饔米罱K停止運(yùn)動(dòng)。
(2)小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)增多，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變長(zhǎng)。
(3)小球?qū)⒊掷m(xù)地做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。
考點(diǎn)1　彈簧振子
1．振子模型：有水平彈簧振子和豎直彈簧振子，如圖甲、乙所示?？諝庾枇扒蚺c桿之間的摩擦可以忽略，且彈簧的質(zhì)量與小球的質(zhì)量相比可以忽略。
　　　甲 　　　　　　　 　乙　
2．振動(dòng)系統(tǒng)看成彈簧振子的條件
(1)彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，可以認(rèn)為質(zhì) 量集中于振子。
(2)構(gòu)成彈簧振子的小球體積足夠小，可以認(rèn)為小球是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。
(3)摩擦力可以忽略。
(4)小球從平衡位置被拉開的距離在彈性限度內(nèi)。
3．彈簧振子的振動(dòng)分析
(1)位移及其變化
位移指相對(duì)平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置。當(dāng)振子從平衡位置向最大位移處運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移增大；當(dāng)振子由最大位移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移減小。
(2)速度及其變化
振子在平衡位置處速度最大，在最大位移處速度為零。振子由平衡位置向最大位移處運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度減小；振子由最大位移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度增大。
(3)涉及加速度變化的圖像問題
水平彈簧振子所受彈簧的彈力是振子受到的合力，豎直彈簧振子所受的重力與彈力之和是振子受到的合力。不論是水平彈簧振子還是豎直彈簧振子，均滿足：在平衡位置處所受的合力為零，加速度為零；而在最大位移處所受的合力最大，加速度最大。
【典例1】　一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　)
A．若位移為負(fù)值，則速度一定為正值，加速度也一定為正值
B．振子通過平衡位置時(shí)，速度為零，加速度最大
C．振子每次通過同一位置時(shí)，加速度相同，速度也一定相同
D．振子每次通過同一位置時(shí)，其速度不一定相同，但加速度一定相同
√
D　[簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的位移、速度和加速度不是彼此獨(dú)立的物理量，在同一位置，位移和加速度的方向是一定的，而速度方向有兩種可能。表解如下：
選項(xiàng) 分析 判斷
A 如圖所示，設(shè)彈簧振子在A、B之間振動(dòng)，O是它的平衡位置，并設(shè)向右為正方向。在振子由O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，振子的位移、速度為負(fù)值，加速度為正值。
×
選項(xiàng) 分析 判斷
B 振子通過平衡位置時(shí)，加速度為零，速度最大。 ×
C 振子每次通過同一位置時(shí)，速度大小相等，方向可能相同也可能相反，但加速度一定相同。 ×
D √
易錯(cuò)警示　 振動(dòng)分析的三點(diǎn)注意
(1)位移、速度、加速度都是矢量，矢量相同，必須是大小和方向都相同。
(2)振子在某位置時(shí)對(duì)應(yīng)的位移方向與加速度方向一定相反。
(3)除最大位移處外，振子連續(xù)兩次經(jīng)過同一位置時(shí)的速度大小相等，方向相反。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(多選)如圖所示，有一彈簧振子，O點(diǎn)為平衡位置，當(dāng)振子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，其相對(duì)于平衡位置(　　)
A．振子的位移大小為OC
B．振子的位移大小為AC
C．振子的位移方向向左
D．振子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過程中，加速度方向與速度方向相同
√
√
AD　[振子離開平衡位置，以O(shè)點(diǎn)為起點(diǎn)，C點(diǎn)為終點(diǎn)，故位移大小為OC，位移方向向右，振子從A點(diǎn)到O點(diǎn)做加速運(yùn)動(dòng)，加速度方向與速度方向相同，A、D正確。]
考點(diǎn)2　描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量
1．振幅與位移、路程、周期的關(guān)系
(1)振幅與位移：振動(dòng)中的位移是矢量，振幅是標(biāo)量。在數(shù)值上，振幅與振動(dòng)物體的最大位移相等，在同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中振幅是確定的，而位移隨時(shí)間做周期性的變化。
(2)振幅與路程：振動(dòng)中的路程是標(biāo)量，是隨時(shí)間不斷增大的。其中常用的定量關(guān)系是：一個(gè)周期內(nèi)的路程為4倍振幅。
(3)振幅與周期：在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，一個(gè)確定的振動(dòng)系統(tǒng)的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關(guān)。
2．對(duì)全振動(dòng)的理解
(1)全振動(dòng)的定義：振動(dòng)物體以相同的速度相繼通過同一位置所經(jīng)歷的過程，叫作一次全振動(dòng)。
(2)正確理解全振動(dòng)的概念，還應(yīng)注意把握全振動(dòng)的四個(gè)特征。
①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時(shí)與初始狀態(tài)相同。
②時(shí)間特征：歷時(shí)一個(gè)周期。
③路程特征：振幅的4倍。
④相位特征：增加2π。
【典例2】　如圖所示，將彈簧振子從平衡位置下拉一段距離Δx，釋放后振子在A、B間振動(dòng)，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的時(shí)間為0.1 s，求：
(1)振子振動(dòng)的振幅、周期和頻率；
(2)振子由A首次到O的時(shí)間；
(3)振子在5 s內(nèi)通過的路程及偏離平衡位置的位移大小。
思路點(diǎn)撥：解此題關(guān)鍵有兩點(diǎn)：
(1)振子的振動(dòng)范圍是振幅的2倍；
(2)振動(dòng)具有周期性，且一個(gè)周期內(nèi)的路程是振幅的4倍。
[答案]　(1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s　(3)1 000 cm　10 cm
3．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)兩種描述方法的比較
(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像即x -t圖像是描述質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)情況的一種手段，直觀反映了質(zhì)點(diǎn)的位移x隨時(shí)間t變化的規(guī)律。
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函數(shù)表達(dá)式的形式表示質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況。
(3)兩者對(duì)同一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述是一致的。常解決的兩類問題：一是根據(jù)振動(dòng)方程作出振動(dòng)圖像；二是根據(jù)振動(dòng)圖像讀出振幅、周期、初相，寫出位移的函數(shù)表達(dá)式。
4．由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像獲取的信息
(1)任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移的大小和方向
如圖所示，質(zhì)點(diǎn)在t1、t2時(shí)刻的位移分別為x1和－x2。
(2)任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向
根據(jù)下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移確定運(yùn)動(dòng)方向，如圖中的a點(diǎn)，下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離平衡位置更遠(yuǎn)，故a點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向正方向遠(yuǎn)離平衡位置運(yùn)動(dòng)。
(3)任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度、位移的變化情況根據(jù)下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移，判斷是遠(yuǎn)離還是衡位置。若遠(yuǎn)離平衡位置，則速度越來越小，加速度、位移越來越大；若衡位置，則速度越來越大，加速度、位移越來越小。
角度1　根據(jù)圖像分析物理量
【典例3】　(多選)如圖所示是一做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的振動(dòng)圖像，下列說法正確的是(　　)
A．振動(dòng)周期是2×10-2s
B．第2個(gè)10-2s內(nèi)物體的位移是－10 cm
C．物體的振動(dòng)頻率為25 Hz
D．物體的振幅是10 cm
√
√
√
思路點(diǎn)撥：解此題的關(guān)鍵是從圖像中正確獲取周期和振幅的信息。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(多選)如圖所示為某物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，下列說法中正確的是(　　)
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N位移是先減小后增大
D．由M→N位移始終減小
√
√
AC　[物體經(jīng)過平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)，先后經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)，故位移增大，速度減小，A正確，B錯(cuò)誤；物體從正方向最大位移處向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，先后經(jīng)過M、N兩點(diǎn)，且N點(diǎn)在平衡位置另一側(cè)，故從M→N位移先減小后增大，C正確，D錯(cuò)誤。]
角度2　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式
【典例4】　A、B兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖像如圖所示。
請(qǐng)根據(jù)圖像寫出：
(1)A的振幅是________cm，周期是_____s；B的振幅是______ cm，周期是_____ s。
(2)寫出這兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式。
0.5
0.4
0.2
0.8
[母題變式]
在上例中，t＝0.05 s時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)的位移分別是多大？
√
考點(diǎn)4　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性和對(duì)稱性
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種周期性的運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量隨時(shí)間周期性變化，如圖所示，一物體以O(shè)為平衡位置，在A、B之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其中OC＝OD，則有以下規(guī)律。
1．時(shí)間的對(duì)稱
(1)物體來回通過相同兩點(diǎn)間的時(shí)間相等，即tDB＝tBD。
(2)物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對(duì)稱的等長(zhǎng)的兩線段的時(shí)間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tD O＝tO C＝tC O。
2．速度的對(duì)稱
(1)物體連續(xù)兩次經(jīng)過同一點(diǎn)(如D點(diǎn))的速度大小相等，方向相反。
(2)物體經(jīng)過關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)(如C與D)時(shí)，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
3．位移的對(duì)稱
(1)物體經(jīng)過同一點(diǎn)(如C點(diǎn))時(shí)，位移相同。
(2)物體經(jīng)過關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)(如C與D)時(shí)，位移大小相等、方向相反。
【典例5】　如圖所示，水平方向的彈簧振子振動(dòng)過程中，振子先后經(jīng)過a、b兩點(diǎn)時(shí)的速度相同，且從a到b歷時(shí)0.2 s，從b再回到a的最短時(shí)間為0.4 s，aO＝bO，c、d為振子最大位移處，則該振子的振動(dòng)頻率為(　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
√
√
√
學(xué)習(xí)效果·隨堂評(píng)估自測(cè)
1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移x與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，其中不屬于機(jī)械振動(dòng)的是(　　)
2
4
3
題號(hào)
1
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
√
D　[根據(jù)機(jī)械振動(dòng)的定義可知，A、B、C均在某一平衡位置附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)，故A、B、C均為機(jī)械振動(dòng)，不符合題意，故A、B、C錯(cuò)誤；而D中的物體沒有往復(fù)運(yùn)動(dòng)過程，不屬于機(jī)械振動(dòng)，符合題意，故D正確。]
2
4
3
題號(hào)
1
2．關(guān)于機(jī)械振動(dòng)的位移和平衡位置的說法中正確的是(　　)
A．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置就是物體振動(dòng)范圍的中心位置
B．機(jī)械振動(dòng)的位移總是以平衡位置為起點(diǎn)的位移
C．機(jī)械振動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)的路程越大，發(fā)生的位移也越大
D．機(jī)械振動(dòng)的位移是指振動(dòng)物體偏離平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)的位移
2
3
題號(hào)
1
4
√
B　[簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置就是物體所受回復(fù)力為零的位置，不一定是振動(dòng)范圍的中心，故A錯(cuò)誤；機(jī)械振動(dòng)的位移是指以平衡位置為起點(diǎn)的位移，故B正確；機(jī)械振動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)的路程越大發(fā)生的位移不一定大，故C錯(cuò)誤；機(jī)械振動(dòng)的位移是指振動(dòng)物體偏離平衡位置的距離，偏離平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)的位移叫振幅，故D錯(cuò)誤。故選B。]
2
3
題號(hào)
1
4
3．(多選)彈簧振子在A、B之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，如圖所示，O為平衡位置，測(cè)得A、B間距為8 cm，完成30次全振動(dòng)所用時(shí)間為60 s。則(　　)
A．振動(dòng)周期是2 s，振幅是8 cm
B．振動(dòng)頻率是2 Hz
C．振子完成一次全振動(dòng)通過的路程是16 cm
D．振子過O點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，3 s內(nèi)通過的路程為24 cm
2
3
題號(hào)
4
1
√
√
2
3
題號(hào)
4
1
4．(新情境題，借助傳感器分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式)某實(shí)驗(yàn)小組利用數(shù)字實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)探究彈簧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，裝置如圖所示，水平光滑導(dǎo)軌上的滑塊與輕彈簧組成彈簧振子，滑塊上固定有傳感器的發(fā)射器。把彈簧拉長(zhǎng)5 cm后由靜止釋放，滑塊開始振動(dòng)。他們分析位移—時(shí)間圖像后發(fā)現(xiàn)，滑塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，滑塊從最右端運(yùn)動(dòng)到最左端所用時(shí)間為1 s，則彈簧振子的振動(dòng)頻率為多少？以釋放的瞬時(shí)為初始時(shí)刻、向右為正方向，求滑塊運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。
2
4
3
題號(hào)
1
2
4
3
題號(hào)
1
[答案]　0.5 Hz　x＝5cos πt(cm)
回歸本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題：
1．彈簧振子的運(yùn)動(dòng)具有什么特點(diǎn)？
提示：(1)圍繞著“一個(gè)中心”位置；
(2)偏離“平衡位置”有最大位移；
(3)在兩點(diǎn)間“往復(fù)”運(yùn)動(dòng)。
2．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中振動(dòng)物體經(jīng)過某一位置時(shí)，加速度和速度方向是否一致？
提示：不一定。振動(dòng)物體經(jīng)過某一位置時(shí)，加速度方向始終指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背離平衡位置。
3．如何判斷一個(gè)振動(dòng)過程是不是為一個(gè)全振動(dòng)？
提示：在判斷物體的運(yùn)動(dòng)過程是否為一次全振動(dòng)時(shí)不僅要看物體是否回到原位置，而且要判斷物體到達(dá)該位置的振動(dòng)狀態(tài)(速度、加速度、位移)是否與原位置相同。
4．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圓頻率、初相位。1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及其圖像
1．知道什么是彈簧振子和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
2．知道振幅、周期、頻率、相位、全振動(dòng)等概念。
3．理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖像是一條正弦函數(shù)圖線。理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。
4．通過對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像的描繪，認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。
5．通過對(duì)生活中振動(dòng)實(shí)例的觀察，體會(huì)振動(dòng)對(duì)生活的影響。
知識(shí)點(diǎn)一　機(jī)械振動(dòng)和彈簧振子
1．機(jī)械振動(dòng)：物體(或物體的某一部分)在某一位置兩側(cè)所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，叫作機(jī)械振動(dòng)，簡(jiǎn)稱振動(dòng)。這個(gè)位置稱為平衡位置。
注意：機(jī)械振動(dòng)是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種。
2．彈簧振子
如圖所示，將彈簧上端固定，下端連接一個(gè)小球，小球可在豎直方向上運(yùn)動(dòng)。彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，可以忽略不計(jì)，若不計(jì)空氣阻力，這樣的系統(tǒng)稱為彈簧振子。
　彈簧振子在平衡位置兩側(cè)做什么運(yùn)動(dòng)？
提示：往復(fù)運(yùn)動(dòng)。
知識(shí)點(diǎn)二　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
1．定義
如果質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系嚴(yán)格遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動(dòng)圖像是一條正弦曲線，這樣的運(yùn)動(dòng)叫作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
2．特點(diǎn)
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
知識(shí)點(diǎn)三　描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量
1．振幅
(1)定義：振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離，叫作振動(dòng)的振幅。用A表示，國(guó)際單位為米(m)。
(2)物理含義：振幅是描述振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量；振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)范圍是振幅的兩倍。
2．全振動(dòng)
一個(gè)完整的振動(dòng)過程，稱為一次全振動(dòng)。振動(dòng)物體完成一次全振動(dòng)的時(shí)間總是相同的。此時(shí)，位移、速度第一次同時(shí)與初始狀態(tài)相同，即物體從同一方向回到出發(fā)點(diǎn)。
3．周期(T)和頻率(f)
(1)周期T：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間。單位：秒(s)。
(2)頻率f：物體完成全振動(dòng)的次數(shù)與所用時(shí)間的比。單位：赫茲，簡(jiǎn)稱赫，符號(hào)是Hz。
(3)周期T與頻率f的關(guān)系式：T＝。
4．相位
相位是描述做周期性運(yùn)動(dòng)的物體在各個(gè)時(shí)刻所處狀態(tài)的物理量。
知識(shí)點(diǎn)四　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式
1．表達(dá)式：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式可以寫成
x＝A sin 或x＝A sin ＝A sin (2nft＋φ)。
2．表達(dá)式中各量的意義
(1)“A”表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅。
(2)“ω”是一個(gè)與頻率成正比的物理量，叫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圓頻率。
(3)“T”表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，“f”表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率，它們之間的關(guān)系為T＝。
(4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位。
(5)“φ”表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相位，簡(jiǎn)稱初相。
　(1)相位ωt＋φ是隨時(shí)間變化的一個(gè)變量。
(2)相位每增加2π就意味著完成了一次全振動(dòng)。
1：思考辨析(正確的打√，錯(cuò)誤的打×)
(1)平衡位置即速度為零的位置。 (×)
(2)豎直彈簧振子的平衡位置是彈簧的原長(zhǎng)位置。 (×)
(3)振動(dòng)圖像表示質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。 (√)
(4)由振動(dòng)圖像可判斷任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度方向。 (√)
(5)振幅就是指振子的位移。 (×)
(6)始末速度相同的一個(gè)過程一定是一次全振動(dòng)。 (×)
(7)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移表達(dá)式與計(jì)時(shí)時(shí)刻物體所在位置無關(guān)。 (×)
(8)按x＝5sin cm的規(guī)律振動(dòng)的彈簧振子的振動(dòng)周期為 s。 (√)
2：填空
如圖所示的彈簧振子，O點(diǎn)為它的平衡位置，當(dāng)振子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，振子離開平衡位置的位移是______________(選填“OC”“AC”或“CO”)，從A點(diǎn)直接運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，振子位移變______________(選填“小”或“大”)，速度變______________(選填“小”或“大”)。
[答案]　OC　小　大
如圖所示的裝置，把小球向右拉開一段距離后釋放，可以觀察到小球左右運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間，最終停止運(yùn)動(dòng)。
(1)小球的運(yùn)動(dòng)具有什么特點(diǎn)？為什么小球最終停止運(yùn)動(dòng)？
(2)在橫桿上涂上一層潤(rùn)滑油，重復(fù)剛才的實(shí)驗(yàn)，觀察到的結(jié)果與第一次實(shí)驗(yàn)有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不計(jì)，彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，也忽略不計(jì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如何？
提示：(1)小球的運(yùn)動(dòng)具有往復(fù)性。小球因?yàn)槭艿阶枇Φ淖饔米罱K停止運(yùn)動(dòng)。
(2)小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)增多，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變長(zhǎng)。
(3)小球?qū)⒊掷m(xù)地做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。
考點(diǎn)1　彈簧振子
1．振子模型：有水平彈簧振子和豎直彈簧振子，如圖甲、乙所示。空氣阻力及球與桿之間的摩擦可以忽略，且彈簧的質(zhì)量與小球的質(zhì)量相比可以忽略。
　　　甲 　　　　　　　　乙
2．振動(dòng)系統(tǒng)看成彈簧振子的條件
(1)彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，可以認(rèn)為質(zhì) 量集中于振子。
(2)構(gòu)成彈簧振子的小球體積足夠小，可以認(rèn)為小球是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。
(3)摩擦力可以忽略。
(4)小球從平衡位置被拉開的距離在彈性限度內(nèi)。
3．彈簧振子的振動(dòng)分析
(1)位移及其變化
位移指相對(duì)平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置。當(dāng)振子從平衡位置向最大位移處運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移增大；當(dāng)振子由最大位移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移減小。
(2)速度及其變化
振子在平衡位置處速度最大，在最大位移處速度為零。振子由平衡位置向最大位移處運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度減?。徽褡佑勺畲笪灰铺幭蚱胶馕恢眠\(yùn)動(dòng)時(shí)，速度增大。
(3)涉及加速度變化的圖像問題
水平彈簧振子所受彈簧的彈力是振子受到的合力，豎直彈簧振子所受的重力與彈力之和是振子受到的合力。不論是水平彈簧振子還是豎直彈簧振子，均滿足：在平衡位置處所受的合力為零，加速度為零；而在最大位移處所受的合力最大，加速度最大。
【典例1】　一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　)
A．若位移為負(fù)值，則速度一定為正值，加速度也一定為正值
B．振子通過平衡位置時(shí)，速度為零，加速度最大
C．振子每次通過同一位置時(shí)，加速度相同，速度也一定相同
D．振子每次通過同一位置時(shí)，其速度不一定相同，但加速度一定相同
D　[簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的位移、速度和加速度不是彼此獨(dú)立的物理量，在同一位置，位移和加速度的方向是一定的，而速度方向有兩種可能。表解如下：
選項(xiàng) 分析 判斷
A 如圖所示，設(shè)彈簧振子在A、B之間振動(dòng)，O是它的平衡位置，并設(shè)向右為正方向。在振子由O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，振子的位移、速度為負(fù)值，加速度為正值。 ×
B 振子通過平衡位置時(shí)，加速度為零，速度最大。 ×
C 振子每次通過同一位置時(shí)，速度大小相等，方向可能相同也可能相反，但加速度一定相同。 ×
D √
]
　 振動(dòng)分析的三點(diǎn)注意
(1)位移、速度、加速度都是矢量，矢量相同，必須是大小和方向都相同。
(2)振子在某位置時(shí)對(duì)應(yīng)的位移方向與加速度方向一定相反。
(3)除最大位移處外，振子連續(xù)兩次經(jīng)過同一位置時(shí)的速度大小相等，方向相反。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(多選)如圖所示，有一彈簧振子，O點(diǎn)為平衡位置，當(dāng)振子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，其相對(duì)于平衡位置(　　)
A．振子的位移大小為OC
B．振子的位移大小為AC
C．振子的位移方向向左
D．振子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過程中，加速度方向與速度方向相同
AD　[振子離開平衡位置，以O(shè)點(diǎn)為起點(diǎn)，C點(diǎn)為終點(diǎn)，故位移大小為OC，位移方向向右，振子從A點(diǎn)到O點(diǎn)做加速運(yùn)動(dòng)，加速度方向與速度方向相同，A、D正確。]
考點(diǎn)2　描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量
1．振幅與位移、路程、周期的關(guān)系
(1)振幅與位移：振動(dòng)中的位移是矢量，振幅是標(biāo)量。在數(shù)值上，振幅與振動(dòng)物體的最大位移相等，在同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中振幅是確定的，而位移隨時(shí)間做周期性的變化。
(2)振幅與路程：振動(dòng)中的路程是標(biāo)量，是隨時(shí)間不斷增大的。其中常用的定量關(guān)系是：一個(gè)周期內(nèi)的路程為4倍振幅。
(3)振幅與周期：在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，一個(gè)確定的振動(dòng)系統(tǒng)的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關(guān)。
2．對(duì)全振動(dòng)的理解
(1)全振動(dòng)的定義：振動(dòng)物體以相同的速度相繼通過同一位置所經(jīng)歷的過程，叫作一次全振動(dòng)。
(2)正確理解全振動(dòng)的概念，還應(yīng)注意把握全振動(dòng)的四個(gè)特征。
①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時(shí)與初始狀態(tài)相同。
②時(shí)間特征：歷時(shí)一個(gè)周期。
③路程特征：振幅的4倍。
④相位特征：增加2π。
【典例2】　如圖所示，將彈簧振子從平衡位置下拉一段距離Δx，釋放后振子在A、B間振動(dòng)，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的時(shí)間為0.1 s，求：
(1)振子振動(dòng)的振幅、周期和頻率；
(2)振子由A首次到O的時(shí)間；
(3)振子在5 s內(nèi)通過的路程及偏離平衡位置的位移大小。
思路點(diǎn)撥：解此題關(guān)鍵有兩點(diǎn)：
(1)振子的振動(dòng)范圍是振幅的2倍；
(2)振動(dòng)具有周期性，且一個(gè)周期內(nèi)的路程是振幅的4倍。
[解析]　(1)由題圖可知，振子振動(dòng)的振幅為10 cm，t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s。由f＝得f＝5 Hz。
(2)根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，振子由A首次到O的時(shí)間與振子由O首次到B的時(shí)間相等，均為0.05 s。
(3)設(shè)彈簧振子的振幅為A，A＝10 cm。振子在1個(gè)周期內(nèi)通過的路程為4A，故在t＝5 s＝25T內(nèi)通過的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm；5 s內(nèi)振子振動(dòng)了25個(gè)周期，故5 s末振子仍處在A點(diǎn)，所以振子偏離平衡位置的位移大小為10 cm。
[答案]　(1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s　(3)1 000 cm　10 cm
考點(diǎn)3　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及其圖像、表達(dá)式
1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間按正弦函數(shù)的規(guī)律變化，所以不是勻變速運(yùn)動(dòng)，而是在變力作用下的非勻變速運(yùn)動(dòng)。
2．對(duì)表達(dá)式x＝A sin (ωt＋φ)的理解
(1)式中x表示振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移；t表示振動(dòng)的時(shí)間。
(2)由于ω＝＝2πf，所以表達(dá)式也可寫成：
x＝A sin 或x＝A sin (2πft＋φ)。
3．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)兩種描述方法的比較
(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像即x -t圖像是描述質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)情況的一種手段，直觀反映了質(zhì)點(diǎn)的位移x隨時(shí)間t變化的規(guī)律。
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函數(shù)表達(dá)式的形式表示質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況。
(3)兩者對(duì)同一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述是一致的。常解決的兩類問題：一是根據(jù)振動(dòng)方程作出振動(dòng)圖像；二是根據(jù)振動(dòng)圖像讀出振幅、周期、初相，寫出位移的函數(shù)表達(dá)式。
4．由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像獲取的信息
(1)任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移的大小和方向
如圖所示，質(zhì)點(diǎn)在t1、t2時(shí)刻的位移分別為x1和－x2。
(2)任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向
根據(jù)下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移確定運(yùn)動(dòng)方向，如圖中的a點(diǎn)，下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離平衡位置更遠(yuǎn)，故a點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向正方向遠(yuǎn)離平衡位置運(yùn)動(dòng)。
(3)任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度、位移的變化情況根據(jù)下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移，判斷是遠(yuǎn)離還是衡位置。若遠(yuǎn)離平衡位置，則速度越來越小，加速度、位移越來越大；若衡位置，則速度越來越大，加速度、位移越來越小。
角度1　根據(jù)圖像分析物理量
【典例3】　(多選)如圖所示是一做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的振動(dòng)圖像，下列說法正確的是(　　)
A．振動(dòng)周期是2×10-2s
B．第2個(gè)10-2s內(nèi)物體的位移是－10 cm
C．物體的振動(dòng)頻率為25 Hz
D．物體的振幅是10 cm
思路點(diǎn)撥：解此題的關(guān)鍵是從圖像中正確獲取周期和振幅的信息。
BCD　[由題圖可知，物體完成一次全振動(dòng)需要的時(shí)間為4×10-2s，故周期為T＝4×10-2s，A錯(cuò)誤；在第2個(gè)10-2s內(nèi)，即在1×10-2s到2×10-2s內(nèi)物體由正向的10 cm處到達(dá)平衡位置，故位移為x＝0－10 cm＝－10 cm，B正確；頻率f＝＝Hz＝25 Hz，C正確；由題圖可知，物體的最大位移為10 cm，故振幅為10 cm，D正確。]
　 振幅與路程的關(guān)系
振動(dòng)中的路程是標(biāo)量，是隨時(shí)間不斷增大的。一個(gè)周期內(nèi)的路程為4倍的振幅。
(1)若從特殊位置開始計(jì)時(shí)，如平衡位置、最大位移處，周期內(nèi)的路程等于振幅。
(2)若從一般位置開始計(jì)時(shí)，周期內(nèi)的路程與振幅之間沒有確定關(guān)系，路程可能大于、等于或小于振幅。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(多選)如圖所示為某物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，下列說法中正確的是(　　)
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N位移是先減小后增大
D．由M→N位移始終減小
AC　[物體經(jīng)過平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)，先后經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)，故位移增大，速度減小，A正確，B錯(cuò)誤；物體從正方向最大位移處向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，先后經(jīng)過M、N兩點(diǎn)，且N點(diǎn)在平衡位置另一側(cè)，故從M→N位移先減小后增大，C正確，D錯(cuò)誤。]
角度2　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式
【典例4】　A、B兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖像如圖所示。
請(qǐng)根據(jù)圖像寫出：
(1)A的振幅是______________cm，周期是______________s；B的振幅是______________ cm，周期是______________ s。
(2)寫出這兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式。
[解析]　(1)由題圖知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
(2)由題圖知，t＝0時(shí)刻A中振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)從平衡位置開始沿負(fù)方向振動(dòng)，φA＝π，由TA＝0.4 s，得wA＝＝5π rad/s。則簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為xA＝0.5sin (5πt＋π)cm。t＝0時(shí)刻B中振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)從平衡位置沿正方向已振動(dòng)了周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得wB＝＝2.5π rad/s, 則簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為xB＝0.2sin cm。
[答案]　(1)0.5　0.4　0.2　0.8
(2)xA＝0.5sin (5πt＋π) cm
xB＝0.2sin cm
[母題變式]
在上例中，t＝0.05 s時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)的位移分別是多大？
[解析]　將t＝0.05 s分別代入兩個(gè)表達(dá)式中得xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝－ cm；
xB＝0.2sin cm＝0.2sin π cm。
[答案]　xA＝－ cm　xB＝0.2sin π cm
　應(yīng)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式解題的四點(diǎn)技巧
(1)明確振幅A、周期T、頻率f的對(duì)應(yīng)數(shù)值，其中T＝，f＝。
(2)把明確的物理量與所要求解的問題相對(duì)應(yīng)，找到對(duì)應(yīng)關(guān)系。
(3)同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)進(jìn)行比較時(shí)，相位差的取值范圍一般為－π≤Δφ≤π。
(4)比較相位或計(jì)算相位差時(shí)，一定要用同種函數(shù)來表示振動(dòng)方程。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．某質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式為x＝5sin cm，則下列關(guān)于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的說法正確的是(　　)
A．質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為10 cm
B．質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為4 s
C．在t＝4 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度最大
D．在t＝4 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度最大
C　[由位移隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式x＝5sin cm，可知質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為5 cm，圓頻率ω＝rad/s，則周期為T＝＝8 s，故A、B錯(cuò)誤；在t＝4 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移為零，說明質(zhì)點(diǎn)正通過平衡位置，速度最大，加速度最小，故C正確，D錯(cuò)誤。]
考點(diǎn)4　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性和對(duì)稱性
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種周期性的運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量隨時(shí)間周期性變化，如圖所示，一物體以O(shè)為平衡位置，在A、B之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其中OC＝OD，則有以下規(guī)律。
1．時(shí)間的對(duì)稱
(1)物體來回通過相同兩點(diǎn)間的時(shí)間相等，即tDB＝tBD。
(2)物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對(duì)稱的等長(zhǎng)的兩線段的時(shí)間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tD O＝tO C＝tC O。
2．速度的對(duì)稱
(1)物體連續(xù)兩次經(jīng)過同一點(diǎn)(如D點(diǎn))的速度大小相等，方向相反。
(2)物體經(jīng)過關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)(如C與D)時(shí)，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
3．位移的對(duì)稱
(1)物體經(jīng)過同一點(diǎn)(如C點(diǎn))時(shí)，位移相同。
(2)物體經(jīng)過關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)(如C與D)時(shí)，位移大小相等、方向相反。
【典例5】　如圖所示，水平方向的彈簧振子振動(dòng)過程中，振子先后經(jīng)過a、b兩點(diǎn)時(shí)的速度相同，且從a到b歷時(shí)0.2 s，從b再回到a的最短時(shí)間為0.4 s，aO＝bO，c、d為振子最大位移處，則該振子的振動(dòng)頻率為(　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
B　[由題圖可知，a、b兩點(diǎn)關(guān)于平衡位置對(duì)稱，從a到b歷時(shí)t1＝0.2 s，從b再回到a的最短時(shí)間為0.4 s，即從b到c所用時(shí)間為t2＝s＝0.1 s，所以彈簧振子振動(dòng)的周期為T＝4＝0.8 s，則振動(dòng)頻率為f＝＝1.25 Hz，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。]
　由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種變加速運(yùn)動(dòng)，所以計(jì)算簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，往往要利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，先計(jì)算出從平衡位置到最大位移處(或從最大位移處到平衡位置)的時(shí)間，即，再計(jì)算一個(gè)周期T的大小。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．(多選)一振子沿x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，平衡位置在坐標(biāo)原點(diǎn)。t＝0時(shí)振子的位移為－0.1 m，t＝1 s時(shí)位移為0.1 m，則(　　)
A．若振幅為0.1 m，振子的周期可能為 s
B．若振幅為0.1 m，振子的周期可能為 s
C．若振幅為0.2 m，振子的周期可能為4 s
D．若振幅為0.2 m，振子的周期可能為6 s
AD　[若振幅為0.1 m，自題意知，Δt＝T(n＝0，1，2，…)，解得T＝s，(n＝0，1，2，…)，代入n＝1，則T＝ s，A項(xiàng)正確，代入T＝ s，則n＝0.75不符上式要求，B項(xiàng)錯(cuò)誤；若振幅為0.2 m，t＝0時(shí)，由振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式y(tǒng)＝0.2sin m可知，0.2sin φ0 m＝－0.1 m，解得φ0＝－或φ0＝－；t＝1 s時(shí)，有＝0.1 m，將T＝6 s代入0.2sin m＝0.1 m可知，D項(xiàng)正確；將T＝4 s代入0.2sin m≠0.1 m可知，C項(xiàng)錯(cuò)誤。]
1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移x與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，其中不屬于機(jī)械振動(dòng)的是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
D　[根據(jù)機(jī)械振動(dòng)的定義可知，A、B、C均在某一平衡位置附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)，故A、B、C均為機(jī)械振動(dòng)，不符合題意，故A、B、C錯(cuò)誤；而D中的物體沒有往復(fù)運(yùn)動(dòng)過程，不屬于機(jī)械振動(dòng)，符合題意，故D正確。]
2．關(guān)于機(jī)械振動(dòng)的位移和平衡位置的說法中正確的是(　　)
A．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置就是物體振動(dòng)范圍的中心位置
B．機(jī)械振動(dòng)的位移總是以平衡位置為起點(diǎn)的位移
C．機(jī)械振動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)的路程越大，發(fā)生的位移也越大
D．機(jī)械振動(dòng)的位移是指振動(dòng)物體偏離平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)的位移
B　[簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置就是物體所受回復(fù)力為零的位置，不一定是振動(dòng)范圍的中心，故A錯(cuò)誤；機(jī)械振動(dòng)的位移是指以平衡位置為起點(diǎn)的位移，故B正確；機(jī)械振動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)的路程越大發(fā)生的位移不一定大，故C錯(cuò)誤；機(jī)械振動(dòng)的位移是指振動(dòng)物體偏離平衡位置的距離，偏離平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)的位移叫振幅，故D錯(cuò)誤。故選B。]
3．(多選)彈簧振子在A、B之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，如圖所示，O為平衡位置，測(cè)得A、B間距為8 cm，完成30次全振動(dòng)所用時(shí)間為60 s。則(　　)
A．振動(dòng)周期是2 s，振幅是8 cm
B．振動(dòng)頻率是2 Hz
C．振子完成一次全振動(dòng)通過的路程是16 cm
D．振子過O點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，3 s內(nèi)通過的路程為24 cm
CD　[由題意可知振動(dòng)周期T＝ s＝2 s，振幅A＝ cm＝4 cm，故A錯(cuò)誤；頻率f＝＝Hz＝0.5 Hz，故B錯(cuò)誤；振子完成一次全振動(dòng)通過的路程為振幅的4倍，即4×4 cm＝16 cm，故C正確；振子在3 s內(nèi)通過的路程為·4A＝×4×4 cm＝24 cm，故D正確。]
4．(新情境題，借助傳感器分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式)某實(shí)驗(yàn)小組利用數(shù)字實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)探究彈簧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，裝置如圖所示，水平光滑導(dǎo)軌上的滑塊與輕彈簧組成彈簧振子，滑塊上固定有傳感器的發(fā)射器。把彈簧拉長(zhǎng)5 cm后由靜止釋放，滑塊開始振動(dòng)。他們分析位移—時(shí)間圖像后發(fā)現(xiàn)，滑塊的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，滑塊從最右端運(yùn)動(dòng)到最左端所用時(shí)間為1 s，則彈簧振子的振動(dòng)頻率為多少？以釋放的瞬時(shí)為初始時(shí)刻、向右為正方向，求滑塊運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。
[解析]　滑塊從最右端運(yùn)動(dòng)到最左端所用時(shí)間為1 s，知周期T＝2 s
則振動(dòng)頻率f＝＝0.5 Hz
ω＝2πf＝π rad/s
根據(jù)x＝A sin (ωt＋φ)知
A＝5 cm，φ＝
所以x＝5sin ＝5cos πt(cm)。
[答案]　0.5 Hz　x＝5cos πt(cm)
回歸本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題：
1．彈簧振子的運(yùn)動(dòng)具有什么特點(diǎn)？
提示：(1)圍繞著“一個(gè)中心”位置；
(2)偏離“平衡位置”有最大位移；
(3)在兩點(diǎn)間“往復(fù)”運(yùn)動(dòng)。
2．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中振動(dòng)物體經(jīng)過某一位置時(shí)，加速度和速度方向是否一致？
提示：不一定。振動(dòng)物體經(jīng)過某一位置時(shí)，加速度方向始終指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背離平衡位置。
3．如何判斷一個(gè)振動(dòng)過程是不是為一個(gè)全振動(dòng)？
提示：在判斷物體的運(yùn)動(dòng)過程是否為一次全振動(dòng)時(shí)不僅要看物體是否回到原位置，而且要判斷物體到達(dá)該位置的振動(dòng)狀態(tài)(速度、加速度、位移)是否與原位置相同。
4．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圓頻率、初相位。
課時(shí)分層作業(yè)(六)　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及其圖像
?題組一　彈簧振子及其運(yùn)動(dòng)分析
1．如圖所示，一彈性小球被水平拋出，在兩個(gè)互相豎直平行的平面間運(yùn)動(dòng)，小球落在地面之前的運(yùn)動(dòng)(　　)
A．是機(jī)械振動(dòng)，但不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
B．是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，但不是機(jī)械振動(dòng)
C．是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，同時(shí)也是機(jī)械振動(dòng)
D．不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，也不是機(jī)械振動(dòng)
D　[簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間的關(guān)系嚴(yán)格遵從正弦函數(shù)規(guī)律，其運(yùn)動(dòng)表達(dá)式為x＝A sin ωt，小球的運(yùn)動(dòng)位移隨時(shí)間的變化不遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，所以不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)是指物體或質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置兩側(cè)作有規(guī)律的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，小球的運(yùn)動(dòng)也不符合，故小球在兩墻壁間反彈運(yùn)動(dòng)不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，也不是機(jī)械振動(dòng)。故選D。]
2．(多選)彈簧上端固定在O點(diǎn)，下端連接一小球，組成一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，如圖所示，用手向下拉一小段距離后釋放小球，小球便上下振動(dòng)起來，關(guān)于小球的平衡位置，下列說法正確的是(　　)
A．在小球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)
B．在彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)的位置
C．在小球速度最大時(shí)的位置
D．在小球原來靜止時(shí)的位置
CD　[平衡位置是振動(dòng)系統(tǒng)不振動(dòng)時(shí)，小球(振子)處于平衡狀態(tài)時(shí)所處的位置，可知此時(shí)小球所受的重力大小與彈簧的彈力大小相等，即mg＝kx，也即小球原來靜止的位置，故D正確，A、B錯(cuò)誤；當(dāng)小球處于平衡位置時(shí)，其加速度為零，速度最大，C正確。]
?題組二　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及其圖像
3．如圖所示，一個(gè)彈簧振子在A、B間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O是平衡位置，設(shè)向右為正方向，以某時(shí)刻作為計(jì)時(shí)零點(diǎn)(t＝0)，經(jīng)過周期，振子具有正方向的最大加速度，那么如圖所示的四個(gè)振動(dòng)圖像中能正確反映振動(dòng)情況的是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
D　[因?yàn)榻?jīng)過周期時(shí)，振子具有正方向的最大加速度，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征a＝－可知，t＝時(shí)振子位于負(fù)向最大位移處，說明t＝0時(shí)刻振子的位移為0，且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。故選D。]
4．裝有砂粒的試管豎直靜浮于水面，如圖所示。將試管豎直提起少許，然后由靜止釋放并開始計(jì)時(shí)，在一定時(shí)間內(nèi)試管在豎直方向近似做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。若取豎直向上為正方向，則以下描述試管振動(dòng)的圖像可能正確的是(　　)
　A　　　　　　　　　　B　
　C　　　　　　　　　　D　
D　[試管在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，平衡位置是在重力與浮力相等的位置，開始時(shí)向上提起的距離，就是其偏離平衡位置的位移，為正向最大位移，開始時(shí)，試管由正向最大位移處開始運(yùn)動(dòng)，故正確選項(xiàng)為D。]
?題組三　描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量
5．(多選)如圖所示，彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在B、C間振動(dòng)，則(　　)
A．從B→O→C→O→B為一次全振動(dòng)
B．從O→B→O→C→B為一次全振動(dòng)
C．從C→O→B→O→C為一次全振動(dòng)
D．B、C兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱
ACD　[O點(diǎn)為平衡位置，B、C為兩側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)，則從B起經(jīng)O、C、O、B的路程為振幅的4倍，即A正確；若從O起經(jīng)B、O、C、B的路程為振幅的5倍，超過一次全振動(dòng)，即B錯(cuò)誤；若從C起經(jīng)O、B、O、C的路程為振幅的4倍，即C正確；因彈簧振子的系統(tǒng)摩擦不考慮，所以它的振幅一定，故B、C兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，D正確。]
6．如圖所示，一輕質(zhì)彈簧下端系一質(zhì)量為m的書寫式激光筆，組成一彈簧振子，并將其懸掛于教室內(nèi)一體機(jī)白板的前方，使彈簧振子沿豎直方向上下自由振動(dòng)，白板以速率v水平向左勻速運(yùn)動(dòng)，激光筆在白板上留下如圖所示的書寫印跡，圖中相鄰豎直虛線的間距均為x0(未標(biāo)出)，印跡上P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0和－y0，忽略空氣阻力，重力加速度為g，則(　　)
A．激光筆在留下P、Q兩點(diǎn)時(shí)加速度相同
B．激光筆在留下PQ段印跡的過程中，彈簧彈力對(duì)激光筆做功為－2mgy0
C．該彈簧振子的振幅為2y0
D．該彈簧振子的振動(dòng)周期為
B　[加速度是矢量，激光筆在留下P、Q兩點(diǎn)時(shí)加速度大小相等，方向相反，故A錯(cuò)誤；在激光筆留下PQ段印跡的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理可知，合力做功為零，但重力做正功為2mgy0，故彈力對(duì)激光筆做負(fù)功，為－2mgy0，故B正確；白板勻速運(yùn)動(dòng)，振子振動(dòng)的周期等于白板運(yùn)動(dòng)位移2x0所用的時(shí)間，則周期為T＝，振幅為A＝y(tǒng)0，故C、D錯(cuò)誤。故選B。]
?題組四　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式
7．彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振子運(yùn)動(dòng)范圍為0.8 cm，周期為0.5 s，計(jì)時(shí)開始時(shí)具有正向最大加速度，則它的振動(dòng)方程是(　　)
A．x＝8×10-3sin m
B．x＝4×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m
D．x＝4×10-3sin m
B　[t＝0時(shí)刻振子具有正向最大加速度，說明此時(shí)振子的位移是負(fù)向最大，則位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式x＝A sin (ωt＋φ0)中，φ0＝－，圓頻率ω＝＝ rad/s＝4π rad/s，則位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為x＝0.4sin cm＝4×10-3sin m。B正確。]
8．(多選)物體A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)位移xA＝3sin m，物體B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)位移xB＝5sin m。比較A、B的運(yùn)動(dòng)(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是標(biāo)量，A、B周期相等，為100 s
C．A振動(dòng)的圓頻率ωA等于B振動(dòng)的圓頻率ωB
D．A的相位始終超前B的相位
CD　[振幅是標(biāo)量，A、B的振幅分別是3 m、5 m，A錯(cuò)誤；A、B的圓頻率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s≈6.28×10-2 s，B錯(cuò)誤，C正確；Δφ＝φAO－φBO＝為定值，D正確。]
1．(多選)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在A、B間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，如圖(a)所示，它的振動(dòng)圖像如圖(b)所示，設(shè)向右為正方向，下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A．該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為x＝0.05sin (2.5πt)m
B．0.2 s末質(zhì)點(diǎn)的速度方向向右
C．0.2～0.3 s質(zhì)點(diǎn)做加速運(yùn)動(dòng)
D．0.7 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置在O與B之間
ABC　[由題圖(b)得質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為0.05 m，周期T＝0.8 s，故ω＝＝ rad/s＝2.5π rad/s，故該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為x＝0.05sin(2.5πt＋θ)m，且當(dāng)t＝0時(shí)，x＝0.05 s，代入可得θ＝，故該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為x＝0.05sin(2.5πt＋)m，故A符合題意；根據(jù)振動(dòng)圖像得0.2 s末質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過平衡位置向負(fù)向最大位移振動(dòng)，所以此時(shí)速度方向從O指向A，方向向左，故B符合題意；0.2～0.3 s質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向負(fù)向最大位移振動(dòng)，此過程速度的方向與所受力的方向相反，故質(zhì)點(diǎn)在做減速運(yùn)動(dòng)，故C符合題意；0.7 s質(zhì)點(diǎn)在平衡位置和正向最大位移處之間，所以在O與B之間，故D不符合題意。故選A、B、C。]
2．如圖所示，半徑為R的圓盤邊緣有一釘子B，在水平光線下，圓盤的轉(zhuǎn)軸A和釘子B在右側(cè)墻壁上形成影子O和P，以O(shè)為原點(diǎn)在豎直方向上建立x坐標(biāo)系。t＝0時(shí)從圖示位置沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤，角速度為ω，則P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為(　　)
A．x＝R sin (ωt－)　　 B．x＝R sin (ωt＋)
C．x＝2R sin (ωt－) D．x＝2R sin (ωt＋)
B　[由圖可知，影子P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為R，以向上為正方向，設(shè)P的振動(dòng)方程為x＝R sin (ωt＋φ)，由圖可知，當(dāng)t＝0時(shí)，P的位移為R，代入振動(dòng)方程解得φ＝，則P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為x＝R sin ，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。故選B。]
3．(新情境題)如圖所示，固定著的鋼條上端有一小球，在豎直平面內(nèi)在虛線位置附近發(fā)生振動(dòng)，圖中是小球振動(dòng)能達(dá)到的最左側(cè)，振動(dòng)周期為0.3 s。在小球振動(dòng)到最左側(cè)時(shí)，用周期為0.1 s的頻閃光源照射，得到的圖像是(　　)
A　　　B　　 　C　 　D
C　[振動(dòng)的周期是0.3 s，則圓頻率ω＝＝ rad/s，以平衡位置向右為正方向，若初始時(shí)刻球在最左端，則初相位為－，0.1 s時(shí)刻對(duì)應(yīng)的角度θ1＝×0.1 rad－ rad＝ rad，0.2 s時(shí)刻對(duì)應(yīng)的角度θ2＝×0.2 rad－ rad＝π rad，可知，在0.1 s和0.2 s時(shí)刻小球?qū)⒊霈F(xiàn)在同一個(gè)位置，都在平衡位置的右側(cè)，所以在周期為0.1 s的頻閃光源照射下得到的圖像是C圖。故C正確。]
4．(多選)(2023·山東卷)如圖所示，沿水平方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，依次通過相距L的A、B兩點(diǎn)。已知質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的位移大小為振幅的一半，B點(diǎn)位移大小是A點(diǎn)的倍，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，t時(shí)刻第二次經(jīng)過B點(diǎn)，該振動(dòng)的振幅和周期可能是(　　)
A．，3t　 B．，4t
C．t D．t
BC　[作出質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像，如圖所示，若平衡位置在A點(diǎn)的右側(cè)，則有＝L，解得振幅A＝，質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)到第二次經(jīng)過B點(diǎn)的時(shí)間為t，則有＝t，解得周期T＝；若平衡位置在A點(diǎn)的左側(cè)，則有＝L，解得振幅A＝，質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)到第二次經(jīng)過B點(diǎn)的時(shí)間為t，則有＝t，解得周期T＝4t，B、C正確，A、D錯(cuò)誤。
]
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