資源簡介

3．動量守恒定律
1．通過實例了解系統、內力和外力的概念。
2．理解動量守恒的內容、表達式，掌握動量守恒的推導過程。
3．探究系統內動量守恒的條件。
4．體會應用動量守恒定律分析實際問題的方法，體會自然界的和諧與統一。
知識點一　系統、內力、外力
1．系統
把兩個或多個物體作為一個整體來研究，這個整體叫作系統。
2．內力
系統中物體之間的相互作用力。
3．外力
來自系統外部的作用力。
　大人和小孩在冰面上游戲，小孩用力推大人。以大人和小孩組成的系統，涉及重力、推力、摩擦力、支持力作用，哪些是外力？哪些是內力？
提示：重力、 摩擦力、支持力是外力；推力是內力。
知識點二　動量守恒定律
1．內容
如果一個系統不受外力或所受合外力為零，無論這一系統的內部發生了何種形式的相互作用，這個系統的總動量保持不變。
2．表達式
對于在一條直線上運動的兩個物體組成的系統，常寫成：p1＋p2＝p1′＋p2′或m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。
3．適用條件
系統不受外力或所受的合外力為零。
　如圖所示，小車A、B靜止在光滑水平面上，燒斷細線后，兩小車受彈簧彈力的作用而運動，系統動量守恒嗎？
提示：守恒。
1：思考辨析(正確的打√，錯誤的打×)
(1)某個力是內力還是外力是相對的，與系統的選取有關。 (√)
(2)只要合外力對系統做功為零，系統動量就守恒。 (×)
(3)系統動量守恒也就是系統的動量變化量為零。 (√)
(4)只要系統內存在摩擦力，動量就一定不守恒。 (×)
(5)一個系統初、末狀態動量大小相等，即動量守恒。 (×)
2：填空
如圖所示，游樂場上，兩位同學各駕駛一輛碰碰車迎面相撞，此后，兩車以共同的速度運動。設甲同學和他的車的總質量為120 kg，碰撞前水平向右運動，速度的大小為5 m/s；乙同學和他的車的總質量為180 kg，碰撞前水平向左運動，速度的大小為4 m/s。則碰撞后兩車共同的運動速度大小為______________，方向______________。
碰碰車的碰撞示意圖
[解析]　以碰前甲的速度為正方向，設碰撞后兩車的共同速度為v，則系統碰撞前的總動量為
p＝m1v1＋m2v2＝120×5 kg·m/s＋180×(－4)kg·m/s＝－120 kg·m/s，
碰撞后的總動量為
p′＝(m1＋m2)v，
根據動量守恒定律可知p＝p′，
代入數據解得v＝－0.4 m/s，
即碰撞后兩車以0.4 m/s的共同速度運動，
運動方向水平向左。
[答案]　0.4 m/s　向左
甲
乙
情境1：如圖甲所示，在光滑水平面上發生正碰的兩物體。
情境2：如圖乙所示，速度為v0的物體滑上光滑水平面上的小車。
(1)圖甲中，兩物體受哪些力作用？系統動量守恒嗎？
(2)圖乙中，物體與小車組成的系統動量守恒嗎？
提示：(1)兩物體發生正碰時，它們之間的相互作用力是內力。物體還受到重力和桌面對它們的支持力，是外力。由于外力的合力為零，故系統動量守恒。
(2)物體和小車組成的系統，水平方向上合力為零，動量守恒；豎直方向上合力不為零，動量不守恒。
考點1　對動量守恒條件的理解
1．動量守恒中，研究對象：兩個或兩個以上的物體組成的相互作用的系統。
2．動量守恒條件
(1)理想條件：系統不受外力時，動量守恒。
(2)實際條件：系統所受的合外力為零時，動量守恒。
(3)近似條件：系統受外力，但外力遠小于內力，則系統總動量近似守恒。
(4)推廣條件：系統受力不符合以上三條中的任一條，則系統的總動量不守恒，但是，若系統在某一方向上符合以上三條中的某一條，則系統的動量沿這一方向的分量守恒。
【典例1】　如圖所示將一個內、外側均光滑的半圓形槽，置于光滑的水平面上，槽的左側有一個豎直墻壁。現讓一個小球自左端槽口A的正上方從靜止開始下落，與半圓形槽相切從A點進入槽內，則以下說法正確的是(　　)
A．小球在半圓形槽內運動的全過程中只有重力對它做功
B．小球在半圓形槽內運動的全過程中小球與槽組成的系統動量守恒
C．小球從最低點向右側最高點運動過程中小球與槽組成的系統在水平方向動量守恒
D．小球離開半圓形槽右側最高點以后將做豎直上拋運動
C　[小球在半圓形槽內運動，從剛釋放到最低點過程，只有重力做功，小球從最低點開始向上運動過程中，半圓槽向右運動，半圓槽對小球做功，故A錯誤；小球從剛釋放到最低點過程，豎直墻對槽有水平向右的作用力，系統所受合外力不為零，系統動量不守恒；小球從最低點向右側最高點運動過程中，半圓槽離開墻壁，小球與半圓槽組成的系統在水平方向上所受合外力為零，系統在水平方向動量守恒，故C正確，B錯誤；小球從最低點運動到半圓槽右側最高點過程，小球與半圓槽組成的系統在水平方向動量守恒，小球到達半圓槽右側最高點時小球與半圓槽具有水平向右的速度，小球離開半圓槽右側最高點時，小球具有水平向右的速度與豎直向上的速度，小球做斜上拋運動，故D錯誤。故選C。]
　 系統動量是否守恒的判定方法
(1)選定研究對象及研究過程，分清外力與內力。
(2)分析系統受到的合外力是否為零，若系統所受的合外力為零，則系統動量守恒。
(3)若外力在某一方向上合力為零，則在該方向上系統動量守恒。系統動量嚴格守恒的情況很少，在分析具體問題時要注意把實際過程理想化。
(4)多個物體情況下，選取不同的物體組成系統，會得出不同的結論。
[跟進訓練]
1．短道速滑接力是很具觀賞性的項目。比賽中“接棒”運動員在前面滑行，“交棒”運動員從后面追上，“交棒”運動員用力推前方“接棒”運動員完成接力過程。忽略運動員與冰面之間的摩擦，交接棒過程中兩運動員的速度方向均在同一直線上。對兩運動員交接棒的過程，下列說法正確的是(　　)
A．兩運動員組成的系統機械能守恒
B．兩運動員之間相互作用力的沖量相同
C．兩運動員組成的系統動量守恒
D．兩運動員之間相互作用力做的總功一定等于零
C　[“交棒”運動員用力推前方“接棒”運動員完成接力過程，內力對系統做正功，系統機械能增加，A錯誤；兩運動員之間相互作用力的沖量大小相等，方向相反，B錯誤；“交棒”運動員用力推前方“接棒”運動員完成接力過程，所受外力為零，兩運動員組成的系統動量守恒，C正確；“交棒”運動員用力推前方“接棒”運動員完成接力過程，兩運動員之間相互作用力做的功大于零，即內力對系統做正功，D錯誤。故選C。]
考點2　動量守恒定律的應用
1．對動量守恒定律的理解
(1)研究對象：兩個或兩個以上相互作用的物體組成的系統。
(2)對系統“總動量保持不變”的理解。
①系統在整個過程中任意兩個時刻的總動量都相等，不能誤認為只是初、末兩個狀態的總動量相等。
②系統的總動量保持不變，但系統內每個物體的動量可能都在不斷變化。
③系統的總動量指系統內各物體動量的矢量和，總動量不變指的是系統的總動量的大小和方向都不變。
2．動量守恒常見的表達式
(1)p＝p′，系統相互作用前的總動量p等于相互作用后的總動量p′。
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的兩個物體組成的系統，作用前的動量和等于作用后的動量和。
(3)Δp1＝－Δp2，相互作用的兩個物體動量的增量等大反向。
(4)Δp＝0，系統總動量的增量為零。
【典例2】　如圖所示，甲車質量m1＝20 kg，車上有質量M＝50 kg的人，甲車(連同車上的人)以v＝3 m/s的速度向右滑行，此時質量m2＝50 kg的乙車正以v0＝1.8 m/s的速度迎面滑來，為了避免兩車相撞，當兩車相距適當距離時，人從甲車跳到乙車上，求人跳出甲車的水平速度(相對地面)應當在什么范圍以內才能避免兩車相撞？(不計地面和小車的摩擦，且乙車足夠長，g取10 m/s2。)
甲　　　乙
思路點撥：(1)以人、甲車、乙車組成的系統水平動量守恒。
(2)人跳到乙車上后，如果兩車同向，甲車的速度小于或等于乙車的速度就可以避免兩車相撞。
[解析]　以人、甲車、乙車組成的系統為研究對象，以向右為正方向，由水平方向動量守恒得：
(m1＋M)v－m2v0＝(m1＋m2＋M)v′
解得v′＝1 m/s
以人與甲車為一系統，人跳離甲車過程水平方向動量守恒，設人跳離甲車時速度為u，
得：(m1＋M)v＝m1v′＋Mu
解得u＝3.8 m/s
因此，只要人跳離甲車的速度u≥3.8 m/s就可避免兩車相撞。
[答案]　大于等于3.8 m/s
[母題變式]
在[典例2]中，當人跳出甲車的水平速度(相對地面)為多少時才能使甲車靜止？此時乙車的速度是多少？
[解析]　人跳到乙車上后，甲車的速度等于零時，
以人、甲車、乙車組成的系統為研究對象，設人與乙的共同速度為v共
由水平方向動量守恒得：
(m1＋M)v－m2v0＝(m2＋M)v共
解得v共＝1.2 m/s
以人與甲車為一系統，人跳離甲車過程水平方向動量守恒，設人跳離甲車的速度為u′
得：(m1＋M)v＝Mu′
解得u′＝4.2 m/s
因此，人跳離甲車的速度u′＝4.2 m/s
[答案]　4.2 m/s　 1.2 m/s
　 處理動量守恒問題的步驟
(1)分析題目涉及的物理過程，選擇合適的系統、過程，這是正確解決此類題目的關鍵。
(2)判斷所選定的系統、過程是否滿足動量守恒的條件。
(3)確定物理過程及其系統內物體對應的初、末狀態的動量。
(4)確定正方向，選取恰當的動量守恒的表達式求解。
[跟進訓練]
2．(多選)A、B兩物體在光滑水平面上沿同一直線運動，發生碰撞前后的v -t圖線如圖所示，由圖線可以判斷(　　)
A．A、B的動量變化量一定相同
B．A、B的質量之比為5∶3
C．A的動能增加量一定等于B的動能減少量
D．A對B做多少負功，B對A就做多少正功
CD　[兩物體碰撞過程動量變化量大小相等，方向相反，A錯誤；由題圖可知，在碰撞前，vA＝1 m/s，vB＝5 m/s，碰撞后vA′＝6 m/s，vB′＝2 m/s，取碰撞前A的速度方向為正方向，由動量守恒定律得mAvA＋mBvB＝mAvA′＋mBvB′，解得mA∶mB＝3∶5，B錯誤；設A的質量為3m，B的質量為5m，碰撞過程中A的動能增加量為ΔEkA＝＝ J，碰撞過程中B的動能減少量為ΔEkB＝－mBvB′2＝ J，C正確；在碰撞過程中，A、B間的作用力為作用力與反作用力，大小相等、方向相反、位移大小相等，所以A對B做多少負功，B對A就做多少正功，D正確。故選CD。]
1．如圖所示，物體m置于斜面M上，M與水平面間無摩擦，在m沿斜面由底端沖上頂端的過程中，m和M組成的系統(　　)
A．系統的動量守恒
B．在豎直方向上系統的動量分量守恒
C．在水平方向上系統的動量分量守恒
D．在任何方向上系統的動量分量都不守恒
C　[由題意知，m沿斜面由底端沖上頂端的過程中，在豎直方向上m有向下的加速度，所以m和M組成的系統在豎直方向上系統的動量分量不守恒，而m和M組成的系統在水平方向上不受外力作用，所以m和M組成的系統在水平方向上系統的動量分量守恒，故選C。]
2．一顆子彈水平射入置于光滑水平面上的木塊A并留在其中，木塊A、B用一根彈性良好的輕質彈簧連在一起，如圖所示。則在子彈射入木塊A及彈簧被壓縮的過程中，對子彈、兩木塊和彈簧組成的系統，下列說法正確的是(　　)
A．動量守恒，機械能守恒
B．動量不守恒，機械能守恒
C．動量守恒，機械能不守恒
D．無法判定動量、機械能是否守恒
C　[動量守恒的條件是系統不受外力或所受外力的合力為零，本題中子彈、兩木塊、彈簧組成的系統，水平方向上不受外力，豎直方向上所受外力的合力為零，所以動量守恒。機械能守恒的條件是除重力、彈力對系統做功外，其他力對系統不做功，本題中子彈射入木塊過程中克服摩擦力做功，有部分機械能轉化為內能(發熱)，所以系統的機械能不守恒，故C正確，A、B、D錯誤。]
3．質量m＝100 kg的小船靜止在平靜水面上，船兩端載著m甲＝40 kg，m乙＝60 kg的游泳者，在同一水平線上甲朝左、乙朝右同時以相對于岸3 m/s的速度躍入水中，如圖所示，則小船的運動方向和速度為(　　)
A．向左，小于1 m/s B．向左，大于1 m/s
C．向右，大于1 m/s D．向右，小于1 m/s
A　[取甲的速度方向為正方向，根據動量守恒定律有m甲v甲＋m乙v乙＋mv＝0，代入數據得v＝0.6 m/s，v>0表示小船速度方向向左。故選A。]
4．(新情境題，以交通安全為背景，考查動量守恒的應用)冬季雨雪天氣時，公路上容易發生交通事故。在結冰的公路上，一輛質量為1.8×103 kg的輕型貨車尾隨另一輛質量為1.2×103 kg的轎車同向行駛，因貨車未及時剎車而發生追尾(即碰撞，如圖甲、乙所示)。若追尾前瞬間貨車速度大小為36 km/h，轎車速度大小為18 km/h，剛追尾后兩車視為緊靠在一起，此時兩車的速度為多大？
甲　　　　　　　　乙
[解析]　設貨車質量為m1，轎車質量為m2，碰撞前貨車速度為v1，轎車速度為v2，碰撞后兩車速度為v。選定兩車碰撞前的速度方向為正方向。
由題意可知，m1＝1.8×103 kg，m2＝1.2×103 kg，
v1＝36 km/h，v2＝18 km/h。
由動量守恒定律得
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
解得v＝＝
km/h＝28.8 km/h
所以，剛追尾后兩車的速度大小為28.8 km/h。
[答案]　28.8 km/h
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．動量守恒定律的研究對象是什么？
提示：相互作用的系統。
2．合外力對系統做功為零，系統動量就守恒嗎？
提示：不一定守恒。
3．一個系統初、末動量大小相等，動量就守恒嗎？
提示：不一定守恒。
課時分層作業(三)　動量守恒定律
?題組一　動量守恒的判斷
1．如圖所示，有一小車靜止在光滑的水平面上，站在小車上的人將右邊筐中的球一個一個地投入左邊的筐中(球仍在車上)。以人、車和球作為系統，下列判斷正確的是(　　)
A．由于系統所受合外力為零，故小車不會動
B．當球全部投入左邊的筐中時，車仍然有向右的速度
C．由于系統水平方向動量守恒，故小車右移
D．若人屈膝跳起投球，則系統在豎直方向上動量守恒
C　[在投球過程中，人和車(含球)系統所受合外力不為零，但水平方向所受合外力為零，系統水平方向動量守恒，球有水平向左的動量，則人和車系統獲得向右的水平動量，因此車仍然有向右的速度，小車向右移動，故C正確，A錯誤；投球之前，人和車(含球)組成的系統動量為零，當球全部投入左邊的筐中時，球的速度為零，根據動量守恒定律知，車的動量也為零，小車會停止，故B錯誤；若人屈膝跳起投球，系統在豎直方向上所受合外力不為零，則系統在豎直方向上動量不守恒，故D錯誤。故選C。]
2．如圖所示，輕彈簧的一端固定在豎直擋板上，一質量為m的光滑弧形槽靜止放在光滑水平面上，弧形槽底端與水平面相切，一質量也為m的小物塊從槽上高h處開始下滑，下列說法正確的是(　　)
A．在下滑過程中，物塊和槽組成的系統機械能守恒
B．在下滑過程中，物塊和槽組成的系統動量守恒
C．在壓縮彈簧的過程中，物塊和彈簧組成的系統動量守恒
D．被彈簧反彈后，物塊能回到槽上高h處
A　[對物塊和槽組成的系統，在下滑過程中沒有機械能損失，系統的機械能守恒，A正確；在下滑的過程中，物塊在豎直方向有加速度，物塊和槽組成的系統所受合外力不為零，不符合動量守恒的條件，故系統的動量不守恒，但系統在水平方向上動量守恒，B錯誤；在壓縮彈簧的過程中，對于物塊和彈簧組成的系統，由于擋板對彈簧有向左的彈力，所以系統受到的合外力不為零，則系統動量不守恒，C錯誤；因為物塊與槽在水平方向上動量守恒，且兩者質量相等，根據動量守恒定律知物塊離開槽時物塊與槽的速度大小相等、方向相反，物塊被彈簧反彈后，與槽的速度相同，即兩者做速度相同的勻速直線運動，所以物塊不會再滑上弧形槽，D錯誤。]
3．(多選)如圖所示，A、B兩物體的質量關系為mA>mB，A、B之間用一段細繩相連并有一被壓縮的彈簧，放在平板小車C上后，A、B、C均處于靜止狀態。若地面光滑，則在細繩被剪斷后，A、B從C上滑離之前，A、B在C上向相反方向滑動過程中(　　)
A．若A、B與C之間的摩擦力大小相同，則A、B組成的系統動量守恒，A、B、C組成的系統動量也守恒
B．若A、B與C之間的摩擦力大小不相同，則A、B組成的系統動量不守恒，A、B、C組成的系統動量也不守恒
C．若A、B與C之間的摩擦力大小不相同，則A、B組成的系統動量不守恒，但A、B、C組成的系統動量守恒
D．以上說法均不對
AC　[當A、B兩物體組成一個系統時，彈簧的彈力為內力，而A、B與C之間的摩擦力為外力。當A、B與C之間的摩擦力等大、反向時，A、B組成的系統所受合外力為零，則A、B組成的系統動量守恒。當A、B與C之間的摩擦力大小不相等時，A、B組成的系統所受合外力不為零，則A、B組成的系統動量不守恒。而對于A、B、C組成的系統，由于彈簧的彈力及A、B與C之間的摩擦力均為內力，故不論A、B與C之間的摩擦力的大小是否相等，A、B、C組成的系統所受合外力均為零，故A、B、C組成的系統動量守恒，故A、C正確，B、D錯誤。]
?題組二　動量守恒定律的應用
4．(多選) “天宮”空間站電推進系統的工作原理是先將氙氣等惰性氣體轉化為帶電離子，再將這些離子由靜止加速并噴出，以產生推力，如圖所示。已知單位時間內能噴出總質量為m、速度為v的離子，不計離子噴出對空間站質量的影響，下列說法正確的是(　　)
A．推進系統工作時整個空間站系統的動量守恒
B．推進系統工作時整個空間站系統的機械能守恒
C．推進系統工作時產生的推力大小為mv
D．推進系統工作時產生的推力大小為2mv
AC　[電推進系統工作時，推進力對系統做正功，系統的機械能增加，但系統所受合外力為0，由此可判斷出系統的動量守恒，故A正確，B錯誤；對離子由動量定理得Ft＝mv－0，解得F＝，其中t＝1 s，可知推進系統工作時產生的推力大小為mv，故C正確，D錯誤。故選AC。]
5．如圖所示，質量為m＝0.5 kg 的小球在距離車底部一定高度處以初速度v0＝15 m/s向左平拋，落在以v＝7.5 m/s的速度沿光滑水平面向右勻速行駛的小車中，小車足夠長，質量為M＝4 kg，g取10 m/s2，則當小球與小車相對靜止時，小車的速度大小是(　　)
A．4 m/s B．5 m/s
C．8.5 m/s D．9.5 m/s
B　[小球和小車在水平方向上動量守恒，取向右為正方向，有Mv－mv0＝(M＋m)v′，解得v′＝5 m/s，故B正確]
6．(多選)滑板運動中一個動作為人越過橫桿，滑板從橫桿底下穿過，若人的質量為50 kg，人需要跳過一個高為0.65 m的橫桿，但考慮人過桿的時候可以曲腿，所以人起跳時只需要重心上升0.45 m，假如起跳時人與板的作用時間為0.25 s，重力加速度g取10 m/s2，忽略空氣阻力及滑板與地面間的摩擦力作用，下列說法正確的是(　　)
A．人若要安全過桿，起跳的豎直分速度至少為3 m/s
B．起跳過程中人與板之間的作用力至少為1 100 N
C．人從開始起跳到落回到滑板的過程中，人與滑板構成的系統動量守恒
D．人從開始起跳到落回到滑板的過程中，人與滑板構成的系統水平方向上動量守恒
ABD　[依題意，人跳起后做豎直上拋運動，有H＝，解得人若要安全過桿，起跳的豎直分速度至少為v0＝3 m/s，故A正確；取豎直向上為正方向，人起跳過程，由動量定理可得(F－G)t＝mv0，解得F＝1 100 N，即起跳過程中人與板之間的作用力至少為1 100 N，故B正確；人從開始起跳到落回到滑板的過程中，人與滑板水平方向不受外力，所以二者構成的系統水平方向上動量守恒，故C錯誤，D正確。故選ABD。]
7．我國自行研制的“殲-20”戰斗機掛彈飛行時，接到命令，進行導彈發射訓練，當戰斗機水平飛行的速度為v0時，將總質量為M的導彈釋放，剛釋放時，導彈向戰斗機飛行的反方向噴出對地速率為v1、質量為m的燃氣，則噴氣后導彈相對地面的速率v為(　　)
A． B．
C． D．
D　[以導彈飛行的方向為正方向，導彈被戰斗機釋放后導彈噴出燃氣前后瞬間，根據動量守恒定律得Mv0＝(M－m)v－mv1，解得v＝，D正確。]
?題組三　動量守恒定律的臨界問題
8．如圖所示，甲、乙兩個小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲，甲和他的冰車總質量為M甲＝30 kg，乙和他的冰車總質量M乙也是30 kg，游戲時甲推著一個質量m＝15 kg的箱子和他一起以大小為v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來，為了避免相撞，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子滑到乙處時乙迅速把它抓住。若不計冰面的摩擦，問甲至少要以多大的速度(相對地面)將箱子推出，才能避免與乙相撞(　　)
A．2.2 m/s B．5.2 m/s
C．6 m/s D．10 m/s
B　[設甲以速度v將箱子推出后恰好與乙不相撞，推出箱子后甲的速度為v甲，抓住箱子后乙的速度為v乙，取向右為正方向，根據動量守恒定律，對于甲和箱子，有(M甲＋m)v0＝M甲v甲＋mv，對于乙和箱子，有mv－M乙v0＝(m＋M乙)v乙；當甲與乙恰好不相撞時，v甲＝v乙，聯立各式解得v＝5.2 m/s，故B正確。]
9．如圖所示，在某次3 000 m接力賽練習中，“接棒”的運動員甲提前站在“交棒”的運動員乙前面，并且開始向前滑行，待乙追上甲時，乙的速度大小為12 m/s，甲的速度大小為10 m/s，此時乙沿水平方向猛推甲一把，使甲以13 m/s的速度向前沖出。在乙推甲的過程中，忽略運動員與冰面間在水平方向上的相互作用，已知甲、乙運動員的質量均為60 kg，乙推甲的時間為0.8 s，在乙推甲的過程中，求：
(1)乙對甲的平均作用力大小；
(2)乙推甲后瞬間乙的速度。
[解析]　(1)取運動員甲初始運動方向為正方向，乙推甲的過程中，對運動員甲，由動量定理有
Ft＝mv甲2－mv甲1
解得F＝225 N。
(2)取運動員甲初始運動方向為正方向，乙推甲的過程中，兩者所組成的系統動量守恒，有
mv乙1＋mv甲1＝mv乙2＋mv甲2
解得v乙2＝9 m/s
方向與運動員甲初始運動方向相同。
[答案]　(1)225 N　(2)9 m/s，方向與甲運動員初始運動方向相同
1．(多選)如圖所示，質量為M的楔形物體靜止在光滑的水平地面上，其斜面光滑且足夠長，與水平方向的夾角為θ。一個質量為m的小物塊從斜面底端沿斜面向上以初速度v0開始運動，當小物塊沿斜面向上運動到最高點時，速度大小為v，距地面的高度為h，則下列關系式中正確的是(　　)
A．mv0＝(m＋M)v
B．mv0cos θ＝(m＋M)v
C．mgh＝m(v0sin θ)2
D．mgh＋(m＋M)v2＝
BD　[小物塊上升到最高點時，速度與楔形物體的速度相同，系統水平方向動量守恒，全過程機械能守恒。以向右為正方向，在小物塊上升過程中，由水平方向系統動量守恒得mv0·cos θ＝(m＋M)v，A錯誤，B正確；由機械能守恒定律得mgh＋(m＋M)v2＝，C錯誤，D正確。]
2．(多選)如圖所示，一個小孩在冰面上進行“滑車”練習，開始小孩站在A車前端與車以共同速度v0＝9 m/s 向右做勻速直線運動，在A車正前方有一輛靜止的B車，為了避免兩車相撞，在A車接近B車時，小孩迅速從A車跳上B車，又立即從B車跳回A車，此時A、B兩車恰好不相撞，已知小孩的質量m＝25 kg，A車和B車質量均為mA＝mB＝100 kg，若小孩跳離A車與跳離B車時對地速度的大小相等、方向相反，不計一切摩擦，則下列說法正確的是(　　)
A．小孩跳離A車和B車時對地速度的大小為10 m/s
B．小孩跳離A車的過程中對A車沖量的大小為250 kg·m/s
C．整個過程中，小孩對B車所做的功為1 050 J
D．小孩跳回A車后，他和A車的共同速度大小為5 m/s
AD　[因為A、B恰好不相撞，則最后具有相同的速度。在小孩跳車的過程中，把小孩、A車、B車看成一個系統，該系統所受合外力為零，動量守恒，規定向右為正方向，由動量守恒定律得(m＋mA)v0＝(m＋mA＋mB)v，代入數據解得v＝5 m/s，方向向右，D正確；設小孩跳離A車和B車的速度大小為Δv，則在與B車相互作用的過程中，由動量守恒定律得mΔv＝mBv－mΔv，代入數據解得Δv＝10 m/s，A正確；設小孩跳離A車后，A車的速度為vA，則由動量守恒定律有(m＋mA)v0＝mΔv＋mAvA，解得vA＝8.75 m/s，方向向右，根據動量定理，該過程中小孩對A車的沖量大小等于A車動量的變化量大小，即I＝|Δp|＝mAv0－mAvA＝25 kg·m/s，B錯誤；整個過程中，小孩對B車做的功等于B車動能的變化量，即W＝mBv2＝1 250 J，C錯誤。]
3．如圖所示，光滑水平直軌道上有三個滑塊A、B、C，質量分別為mA＝mC＝2m，mB＝m，A、B用細繩連接，中間有一壓縮的輕彈簧(彈簧與滑塊不拴接)。開始時A、B以共同速度v0運動，C靜止。某時刻細繩突然斷開，A、B被彈開，然后B又與C發生碰撞并粘在一起，最終三個滑塊速度恰好相同。求B與C碰撞前B的速度。
[解析]　對A、B組成的系統合外力為零，作用前的動量p1＝(2m＋m)v0，
作用后的動量p2＝2mvA＋mvB，
根據動量守恒定律p1＝p2，得
(2m＋m)v0＝2mvA＋mvB。
對B、C組成的系統合外力為零，作用前的動量
p1′＝mvB＋0，
作用后的動量p2′＝(m＋2m)vC，
根據動量守恒定律得p1′＝p2′，
mvB＝(m＋2m)vC，
而vA＝vC，
聯立解得vB＝v0。
[答案]　v0
4．如圖所示，在光滑的水平桿上套有一個質量為m的滑環，滑環通過一根不可伸縮的輕繩懸掛著一個質量為M的物塊(可視為質點)，繩長為L。將滑環固定時，給物塊一個水平沖量，物塊擺起后剛好碰到水平桿；若滑環不固定，仍給物塊以同樣的水平沖量，求物塊擺起的最大高度。
[解析]　滑環固定時，根據機械能守恒定律，有
MgL＝，解得v0＝
滑環不固定時，物塊的初速度仍為v0，在物塊擺起至最大高度h時，它們的速度都為v，在此過程中物塊和滑環組成的系統機械能守恒，水平方向動量守恒，則：
Mv0＝(m＋M)v
＝(m＋M)v2＋Mgh
由以上各式，可得h＝L。
[答案]　L
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3．動量守恒定律
第一章　動量與動量守恒定律
學習任務
1．通過實例了解系統、內力和外力的概念。
2．理解動量守恒的內容、表達式，掌握動量守恒的推導過程。
3．探究系統內動量守恒的條件。
4．體會應用動量守恒定律分析實際問題的方法，體會自然界的和諧與統一。
知識點一　系統、內力、外力
1．系統
把兩個或多個物體作為一個______來研究，這個整體叫作系統。
2．內力
系統中物體之間的相互作用力。
3．外力
來自系統______的作用力。
必備知識·自主預習儲備
整體　
外部
思考　大人和小孩在冰面上游戲，小孩用力推大人。以大人和小孩組成的系統，涉及重力、推力、摩擦力、支持力作用，哪些是外力？哪些是內力？
提示：重力、 摩擦力、支持力是外力；推力是內力。
知識點二　動量守恒定律
1．內容
如果一個系統不受______或所受________為零，無論這一系統的內部發生了何種形式的相互作用，這個系統的總動量保持不變。
2．表達式
對于在一條直線上運動的兩個物體組成的系統，常寫成：p1＋p2＝____________或m1v1＋m2v2＝________________。
3．適用條件
系統不受______或所受的________為零。
外力
合外力
p1′＋p2′
m1v1′＋m2v2′
外力
合外力
思考　如圖所示，小車A、B靜止在光滑水平面上，燒斷細線后，兩小車受彈簧彈力的作用而運動，系統動量守恒嗎？
提示：守恒。
體驗　1：思考辨析(正確的打√，錯誤的打×)
(1)某個力是內力還是外力是相對的，與系統的選取有關。 (　　)
(2)只要合外力對系統做功為零，系統動量就守恒。 (　　)
(3)系統動量守恒也就是系統的動量變化量為零。 (　　)
(4)只要系統內存在摩擦力，動量就一定不守恒。 (　　)
(5)一個系統初、末狀態動量大小相等，即動量守恒。 (　　)
√
×
√
×
×
2：填空
如圖所示，游樂場上，兩位同學各駕駛一輛碰碰車迎面相撞，此后，兩車以共同的速度運動。設甲同學和他的車的總質量為120 kg，碰撞前水平向右運動，速度的大小為5 m/s；乙同學和他的車的總質量為180 kg，碰撞前水平向左運動，速度的大小為4 m/s。則碰撞后兩車共同的運動速度大小為______________，方向________。
碰碰車的碰撞示意圖　
0.4 m/s
向左
[解析]　以碰前甲的速度為正方向，設碰撞后兩車的共同速度為v，則系統碰撞前的總動量為
p＝m1v1＋m2v2＝120×5 kg·m/s＋180×(－4)kg·m/s＝－120 kg·m/s，
碰撞后的總動量為p′＝(m1＋m2)v，
根據動量守恒定律可知p＝p′，
代入數據解得v＝－0.4 m/s，
即碰撞后兩車以0.4 m/s的共同速度運動，
運動方向水平向左。
關鍵能力·情境探究達成
情境1：如圖甲所示，在光滑水平面上發生正碰的兩物體。
甲　
情境2：如圖乙所示，速度為v0的物體滑上光滑水平面上的小車。
　乙　
(1)圖甲中，兩物體受哪些力作用？系統動量守恒嗎？
(2)圖乙中，物體與小車組成的系統動量守恒嗎？
提示：(1)兩物體發生正碰時，它們之間的相互作用力是內力。物體還受到重力和桌面對它們的支持力，是外力。由于外力的合力為零，故系統動量守恒。
(2)物體和小車組成的系統，水平方向上合力為零，動量守恒；豎直方向上合力不為零，動量不守恒。
考點1　對動量守恒條件的理解
1．動量守恒中，研究對象：兩個或兩個以上的物體組成的相互作用的系統。
2．動量守恒條件
(1)理想條件：系統不受外力時，動量守恒。
(2)實際條件：系統所受的合外力為零時，動量守恒。
(3)近似條件：系統受外力，但外力遠小于內力，則系統總動量近似守恒。
(4)推廣條件：系統受力不符合以上三條中的任一條，則系統的總動量不守恒，但是，若系統在某一方向上符合以上三條中的某一條，則系統的動量沿這一方向的分量守恒。
【典例1】　如圖所示將一個內、外側均光滑的半圓形槽，置于光滑的水平面上，槽的左側有一個豎直墻壁。現讓一個小球自左端槽口A的正上方從靜止開始下落，與半圓形槽相切從A點進入槽內，則以下說法正確的是(　　)
A．小球在半圓形槽內運動的全過程中只有重力對它做功
B．小球在半圓形槽內運動的全過程中小球與槽組成的系統動量守恒
C．小球從最低點向右側最高點運動過程中小球與槽
組成的系統在水平方向動量守恒
D．小球離開半圓形槽右側最高點以后將做豎直上拋運動
√
C　[小球在半圓形槽內運動，從剛釋放到最低點過程，只有重力做功，小球從最低點開始向上運動過程中，半圓槽向右運動，半圓槽對小球做功，故A錯誤；小球從剛釋放到最低點過程，豎直墻對槽有水平向右的作用力，系統所受合外力不為零，系統動量不守恒；小球從最低點向右側最高點運動過程中，半圓槽離開墻壁，小球與半圓槽組成的系統在水平方向上所受合外力為零，系統在水平方向動量守恒，故C正確，B錯誤；小球從最低點運動到半圓槽右側最高點過程，小球與半圓槽組成的系統在水平方向動量守恒，小球到達半圓槽右側最高點時小球與半圓槽具有水平向右的速度，小球離開半圓槽右側最高點時，小球具有水平向右的速度與豎直向上的速度，小球做斜上拋運動，故D錯誤。故選C。]　
規律方法　 系統動量是否守恒的判定方法
(1)選定研究對象及研究過程，分清外力與內力。
(2)分析系統受到的合外力是否為零，若系統所受的合外力為零，則系統動量守恒。
(3)若外力在某一方向上合力為零，則在該方向上系統動量守恒。系統動量嚴格守恒的情況很少，在分析具體問題時要注意把實際過程理想化。
(4)多個物體情況下，選取不同的物體組成系統，會得出不同的結論。
[跟進訓練]
1．短道速滑接力是很具觀賞性的項目。比賽中“接棒”運動員在前面滑行，“交棒”運動員從后面追上，“交棒”運動員用力推前方“接棒”運動員完成接力過程。忽略運動員與冰面之間的摩擦，交接棒過程中兩運動員的速度方向均在同一直線上。對兩運動員交接棒的過程，下列說法正確的是(　　)
A．兩運動員組成的系統機械能守恒
B．兩運動員之間相互作用力的沖量相同
C．兩運動員組成的系統動量守恒
D．兩運動員之間相互作用力做的總功一定等于零
√
C　[“交棒”運動員用力推前方“接棒”運動員完成接力過程，內力對系統做正功，系統機械能增加，A錯誤；兩運動員之間相互作用力的沖量大小相等，方向相反，B錯誤；“交棒”運動員用力推前方“接棒”運動員完成接力過程，所受外力為零，兩運動員組成的系統動量守恒，C正確；“交棒”運動員用力推前方“接棒”運動員完成接力過程，兩運動員之間相互作用力做的功大于零，即內力對系統做正功，D錯誤。故選C。]
考點2　動量守恒定律的應用
1．對動量守恒定律的理解
(1)研究對象：兩個或兩個以上相互作用的物體組成的系統。
(2)對系統“總動量保持不變”的理解。
①系統在整個過程中任意兩個時刻的總動量都相等，不能誤認為只是初、末兩個狀態的總動量相等。
②系統的總動量保持不變，但系統內每個物體的動量可能都在不斷變化。
③系統的總動量指系統內各物體動量的矢量和，總動量不變指的是系統的總動量的大小和方向都不變。
2．動量守恒常見的表達式
(1)p＝p′，系統相互作用前的總動量p等于相互作用后的總動量p′。
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的兩個物體組成的系統，作用前的動量和等于作用后的動量和。
(3)Δp1＝－Δp2，相互作用的兩個物體動量的增量等大反向。
(4)Δp＝0，系統總動量的增量為零。
【典例2】　如圖所示，甲車質量m1＝20 kg，車上有質量M＝50 kg的人，甲車(連同車上的人)以v＝3 m/s的速度向右滑行，此時質量m2＝50 kg的乙車正以v0＝1.8 m/s的速度迎面滑來，為了避免兩車相撞，當兩車相距適當距離時，人從甲車跳到乙車上，求人跳出甲車的水平速度(相對地面)應當在什么范圍以內才能避免兩車相撞？(不計地面和小車的摩擦，且乙車足夠長，g取10 m/s2。)
甲　　　乙　
思路點撥：(1)以人、甲車、乙車組成的系統水平動量守恒。
(2)人跳到乙車上后，如果兩車同向，甲車的速度小于或等于乙車的速度就可以避免兩車相撞。
[解析]　以人、甲車、乙車組成的系統為研究對象，以向右為正方向，由水平方向動量守恒得：
(m1＋M)v－m2v0＝(m1＋m2＋M)v′
解得v′＝1 m/s
以人與甲車為一系統，人跳離甲車過程水平方向動量守恒，設人跳離甲車時速度為u，
得：(m1＋M)v＝m1v′＋Mu
解得u＝3.8 m/s
因此，只要人跳離甲車的速度u≥3.8 m/s就可避免兩車相撞。
[答案]　大于等于3.8 m/s
[母題變式]
在[典例2]中，當人跳出甲車的水平速度(相對地面)為多少時才能使甲車靜止？此時乙車的速度是多少？
[解析]　人跳到乙車上后，甲車的速度等于零時，
以人、甲車、乙車組成的系統為研究對象，設人與乙的共同速度為v共
由水平方向動量守恒得：
(m1＋M)v－m2v0＝(m2＋M)v共
解得v共＝1.2 m/s
以人與甲車為一系統，人跳離甲車過程水平方向動量守恒，設人跳離甲車的速度為u′
得：(m1＋M)v＝Mu′
解得u′＝4.2 m/s
因此，人跳離甲車的速度u′＝4.2 m/s
[答案]　4.2 m/s　 1.2 m/s
規律方法　 處理動量守恒問題的步驟
(1)分析題目涉及的物理過程，選擇合適的系統、過程，這是正確解決此類題目的關鍵。
(2)判斷所選定的系統、過程是否滿足動量守恒的條件。
(3)確定物理過程及其系統內物體對應的初、末狀態的動量。
(4)確定正方向，選取恰當的動量守恒的表達式求解。
[跟進訓練]
2．(多選)A、B兩物體在光滑水平面上沿同一直線運動，發生碰撞前后的v -t圖線如圖所示，由圖線可以判斷(　　)
A．A、B的動量變化量一定相同
B．A、B的質量之比為5∶3
C．A的動能增加量一定等于B的動能減少量
D．A對B做多少負功，B對A就做多少正功
√
√
學習效果·隨堂評估自測
1．如圖所示，物體m置于斜面M上，M與水平面間無摩擦，在m沿斜面由底端沖上頂端的過程中，m和M組成的系統(　　)
A．系統的動量守恒
B．在豎直方向上系統的動量分量守恒
C．在水平方向上系統的動量分量守恒
D．在任何方向上系統的動量分量都不守恒
√
2
4
3
題號
1
C　[由題意知，m沿斜面由底端沖上頂端的過程中，在豎直方向上m有向下的加速度，所以m和M組成的系統在豎直方向上系統的動量分量不守恒，而m和M組成的系統在水平方向上不受外力作用，所以m和M組成的系統在水平方向上系統的動量分量守恒，故選C。]　
2
4
3
題號
1
2．一顆子彈水平射入置于光滑水平面上的木塊A并留在其中，木塊A、B用一根彈性良好的輕質彈簧連在一起，如圖所示。則在子彈射入木塊A及彈簧被壓縮的過程中，對子彈、兩木塊和彈簧組成的系統，下列說法正確的是(　　)
A．動量守恒，機械能守恒
B．動量不守恒，機械能守恒
C．動量守恒，機械能不守恒
D．無法判定動量、機械能是否守恒
2
3
題號
1
4
√
C　[動量守恒的條件是系統不受外力或所受外力的合力為零，本題中子彈、兩木塊、彈簧組成的系統，水平方向上不受外力，豎直方向上所受外力的合力為零，所以動量守恒。機械能守恒的條件是除重力、彈力對系統做功外，其他力對系統不做功，本題中子彈射入木塊過程中克服摩擦力做功，有部分機械能轉化為內能(發熱)，所以系統的機械能不守恒，故C正確，A、B、D錯誤。]
2
3
題號
1
4
3．質量m＝100 kg的小船靜止在平靜水面上，船兩端載著m甲＝40 kg，m乙＝60 kg的游泳者，在同一水平線上甲朝左、乙朝右同時以相對于岸3 m/s的速度躍入水中，如圖所示，則小船的運動方向和速度為(　　)
A．向左，小于1 m/s B．向左，大于1 m/s
C．向右，大于1 m/s D．向右，小于1 m/s
2
3
題號
4
1
√
A　[取甲的速度方向為正方向，根據動量守恒定律有m甲v甲＋m乙v乙＋mv＝0，代入數據得v＝0.6 m/s，v>0表示小船速度方向向左。故選A。]
4．(新情境題，以交通安全為背景，考查動量守恒的應用)冬季雨雪天氣時，公路上容易發生交通事故。在結冰的公路上，一輛質量為1.8×103 kg的輕型貨車尾隨另一輛質量為1.2×103 kg的轎車同向行駛，因貨車未及時剎車而發生追尾(即碰撞，如圖甲、乙所示)。若追尾前瞬間貨車速度大小為36 km/h，轎車速度大小為18 km/h，剛追尾后兩車視為緊靠在一起，此時兩車的速度為多大？
2
4
3
題號
1
甲　　　　　　　　乙　
2
4
3
題號
1
[答案]　28.8 km/h
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．動量守恒定律的研究對象是什么？
提示：相互作用的系統。
2．合外力對系統做功為零，系統動量就守恒嗎？
提示：不一定守恒。
3．一個系統初、末動量大小相等，動量就守恒嗎？
提示：不一定守恒。

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