資源簡介

專題五　萬有引力與宇宙航行
考點過關練
考點一　開普勒行星運動定律　萬有引力定律
1.(2021廣東,2,4分)2021年4月,我國自主研發的空間站“天和”核心艙成功發射并入軌運行。若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動,已知引力常量,由下列物理量能計算出地球質量的是 (　　)
A.核心艙的質量和繞地半徑
B.核心艙的質量和繞地周期
C.核心艙的繞地角速度和繞地周期
D.核心艙的繞地線速度和繞地半徑
答案　D　
2.(2023江蘇,4,4分) 設想將來發射一顆人造衛星,能在月球繞地球運動的軌道上穩定運行,該軌道可視為圓軌道。該衛星與月球相比,一定相等的是 (　　)
A.質量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的萬有引力大小
答案　C　
3.(2021全國乙,18,6分)科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續觀測,給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示。科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1 000 AU(太陽到地球的距離為1 AU)的橢圓,銀河系中心可能存在超大質量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力,設太陽的質量為M,可以推測出該黑洞質量約為　 (　　)
A.4×104M
B.4×106M
C.4×108M
D.4×1010M
答案　B　
4.(2022重慶,9,5分)(多選)我國載人航天事業已邁入“空間站時代”。若中國空間站繞地球近似做勻速圓周運動,運行周期為T,軌道半徑約為地球半徑的倍,已知地球半徑為R,引力常量為G,忽略地球自轉的影響,則 (　　)
A.漂浮在空間站中的宇航員不受地球的引力
B.空間站繞地球運動的線速度大小約為
C.地球的平均密度約為
D.空間站繞地球運動的向心加速度大小約為地面重力加速度的倍
答案　BD　
5.(2023浙江6月選考,9,3分)木星的衛星中,木衛一、木衛二、木衛三做圓周運動的周期之比為1∶2∶4。木衛三周期為T,公轉軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉周期為T0,則 (　　)
A.木衛一軌道半徑為r
B.木衛二軌道半徑為r
C.周期T與T0之比為
D.木星質量與地球質量之比為n3
答案　D　
6.(2021全國甲,18,6分)2021年2月,執行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后,進入運行周期約為1.8×105 s的橢圓形停泊軌道,軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105 m。已知火星半徑約為3.4×106 m,火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7 m/s2,則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為 (　　)
A.6×105 m　　　　　　　　B.6×106 m
C.6×107 m　　　　　　　　D.6×108 m
答案　C　
7.(2023山東,3,3分)牛頓認為物體落地是由于地球對物體的吸引,這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質,且都滿足F∝。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍,地球表面的重力加速度為g,根據牛頓的猜想,月球繞地球公轉的周期為 (　　)
A.30π　　　　　　　　B.30π
C.120π　　　　　　　　D.120π
答案　C　
考點二　人造衛星　宇宙速度
8.(2023廣東,7,4分)如圖(a)所示,太陽系外的一顆行星P繞恒星Q做勻速圓周運動。由于P的遮擋,探測器探測到Q的亮度隨時間做如圖(b)所示的周期性變化,該周期與P的公轉周期相同。已知Q的質量為M,引力常量為G。關于P的公轉,下列說法正確的是 (　　)
A.周期為2t1-t0
B.半徑為
C.角速度的大小為
D.加速度的大小為
答案　B　
9.(2022廣東,2,4分)“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設火星和地球的冬季是各自公轉周期的四分之一,且火星的冬季時長約為地球的1.88倍。火星和地球繞太陽的公轉均可視為勻速圓周運動。下列關于火星、地球公轉的說法正確的是 (　　)
A.火星公轉的線速度比地球的大
B.火星公轉的角速度比地球的大
C.火星公轉的半徑比地球的小
D.火星公轉的加速度比地球的小
答案　D　
10.(2023新課標,17,6分)2023年5月,世界現役運輸能力最大的貨運飛船天舟六號,攜帶約5 800 kg的物資進入距離地面約400 km(小于地球同步衛星與地面的距離)的軌道,順利對接中國空間站后近似做勻速圓周運動。對接后,這批物資　 (　　)
A.質量比靜止在地面上時小
B.所受合力比靜止在地面上時小
C.所受地球引力比靜止在地面上時大
D.做圓周運動的角速度大小比地球自轉角速度大
答案　D　
11.(2022湖北,2,4分)2022年5月,我國成功完成了天舟四號貨運飛船與空間站的對接,形成的組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運動,周期約90分鐘。下列說法正確的是　 (　　)
A.組合體中的貨物處于超重狀態
B.組合體的速度大小略大于第一宇宙速度
C.組合體的角速度大小比地球同步衛星的大
D.組合體的加速度大小比地球同步衛星的小
答案　C　
12.(2023湖南,4,4分)根據宇宙大爆炸理論,密度較大區域的物質在萬有引力作用下,不斷聚集可能形成恒星。恒星最終的歸宿與其質量有關,如果質量為太陽質量的1~8倍將坍縮成白矮星,質量為太陽質量的10~20倍將坍縮成中子星,質量更大的恒星將坍縮成黑洞。設恒星坍縮前后可看成質量均勻分布的球體,質量不變,體積縮小,自轉變快。不考慮恒星與其他物體的相互作用。已知逃逸速度為第一宇宙速度的倍,中子星密度大于白矮星。根據萬有引力理論,下列說法正確的是 (　　)
A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B.恒星坍縮后表面兩極處的重力加速度比坍縮前的大
C.恒星坍縮前后的第一宇宙速度不變
D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
答案　B　
13.(2023北京,12,3分)2022年10月9日,我國綜合性太陽探測衛星“夸父一號”成功發射,實現了對太陽探測的跨越式突破。“夸父一號”衛星繞地球做勻速圓周運動,距地面高度約為720 km,運行一圈所用時間約為100分鐘。如圖所示,為了隨時跟蹤和觀測太陽的活動,“夸父一號”在隨地球繞太陽公轉的過程中,需要其軌道平面始終與太陽保持固定的取向,使太陽光能照射到“夸父一號”。下列說法正確的是 (　　)
A.“夸父一號”的運行軌道平面平均每天轉動的角度約為1°
B.“夸父一號”繞地球做圓周運動的速度大于7.9 km/s
C.“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D.由題干信息,根據開普勒第三定律,可求出日地間平均距離
答案　A　
14.(2021江蘇,3,4分)我國航天人發揚“兩彈一星”精神砥礪前行,從“東方紅一號”到“北斗”不斷創造奇跡。“北斗”第49顆衛星的發射邁出組網的關鍵一步。該衛星繞地球做圓周運動,運動周期與地球自轉周期相同,軌道平面與地球赤道平面成一定夾角。該衛星 (　　)
A.運動速度大于第一宇宙速度
B.運動速度小于第一宇宙速度
C.軌道半徑大于“靜止”在赤道上空的同步衛星
D.軌道半徑小于“靜止”在赤道上空的同步衛星
答案　B　
考點強化練
考點一　開普勒行星運動定律　萬有引力定律
1.(2023屆廣東六校聯考,4)2021年10月16日,神舟十三號載人飛船與空間站組合體完成交會對接,3名宇航員順利進入“天和”核心艙。后續發射的“問天”實驗艙和“夢天”實驗艙,均與空間站組合體交會對接成功,2022年11月3日,“夢天”實驗艙完成轉位,中國空間站“T”字基本構型組裝完成。已知空間站離地面高度h約400 km,地球半徑R約6 370 km,空間站可看成是繞地球做勻速圓周運動,則關于空間站的說法正確的是 (　　)
A.繞地球運行周期大于24 h
B.繞地球運行線速度大于7.9 km/s
C.后續對接實驗艙后,由于質量變大,空間站加速度將增大
D.后續對接實驗艙后,空間站周期仍不變
答案　D　
2.(2023屆廣東江門一模,4)2022年11月,“夢天”實驗艙完成轉位操作,中國空間站“T”字基本構型在軌組裝完成,空間站運行周期約為90分鐘。北斗系統的GEO衛星是靜止衛星,空間站和GEO衛星均可視為繞地球做勻速圓周運動,下列說法正確的是 (　　)
A.GEO衛星可以在地面任何一點的正上方,但離地心的距離是一定的
B.空間站的軌道半徑比GEO衛星的軌道半徑大
C.空間站的線速度比GEO衛星的線速度大
D.空間站的向心加速度比GEO衛星的向心加速度小
答案　C　
3.(2023屆廣東一模,2)設地球同步衛星的軌道半徑為R,我國“天宮”空間站的軌道半徑為r。航天員王亞平在“天宮”空間站授課時說,在空間站上一天可以觀察到16次日出,由此可以推算出等于 (　　)
A.1.5　　　　B.2.25　　　　C.16　　　　D.256
答案　D　
4.(2023屆揭陽一模,9)(多選)假設火星探測器貼近火星表面做勻速圓周運動時,繞行周期為T,已知火星半徑為R,引力常量為G,由此可以估算 (　　)
A.火星質量　　　　　　　B.探測器質量
C.火星的第一宇宙速度　　D.火星平均密度
答案　ACD　
考點二　人造衛星　宇宙速度
5.(2023屆惠州三模,5)為了更好地了解太陽活動對地球的影響,2022年10月,我國成功將“夸父一號”衛星發射升空,該衛星繞地球的運動可以看成是勻速圓周運動,距離地球表面約720千米,運行周期約99分鐘,下列說法正確的是 (　　)
A.“夸父一號”有可能靜止在惠州市的正上方
B.若已知引力常量,利用題中數據可以估算出太陽的質量
C.“夸父一號”的發射速度大于第二宇宙速度
D.“夸父一號”的角速度大于地球自轉的角速度
答案　D　
6.(2024屆佛山南海開學考,9)神舟十三號載人飛船與“天和”核心艙實現了我國首次飛船徑向對接,從發射到對接成功僅歷時6.5小時,對接前兩者穩定運行的圓周軌道如圖所示,則穩定運行時 (　　)
A.“天和”核心艙運行周期更大
B.“天和”核心艙加速度更大
C.神舟十三號的線速度更小
D.神舟十三號需要減速完成對接
答案　A　
7.(2024屆廣州執信中學9月月考,8)(多選)2022年11月29日,長征二號F遙十五運載火箭將神舟十五號載人飛船精準送入預定軌道。2022年11月30日,神舟十五號載人飛船成功對接于空間站“天和”核心艙前向端口,形成新的空間站組合體,沿原來的軌道運動。自此神舟十四號、神舟十五號乘組航天員在空間站首次實現勝利會師。假設空間站的運行軌道為圓軌道,下列說法正確的是 (　　)
A.空間站繞地球運行的速度大于第一宇宙速度
B.空間站中的航天員處于失重狀態
C.神舟十五號載人飛船的對接,使空間站組合體繞地球運行的速度減小
D.若稀薄大氣阻力使空間站組合體的高度緩慢下降,空間站組合體運行的線速度將增大
答案　BD　
8.(2024屆廣東七校聯考,4)《天問》是中國戰國時期詩人屈原創作的一首長詩,全詩問天問地問自然,表現了作者對傳統的質疑和對真理的探索精神。我國探測飛船“天問一號”發射成功飛向火星,屈原的“天問”夢想成為現實,也標志著我國深空探測邁向一個新臺階,如圖所示,軌道1是圓軌道,軌道2是橢圓軌道,軌道3是近火圓軌道,“天問一號”經過變軌成功進入近火圓軌道3,已知引力常量為G,以下選項中正確的是 (　　)
A.“天問一號”在B點需要點火加速才能從軌道2進入軌道3
B.“天問一號”在軌道2上經過B點時的加速度大于在軌道3上經過B點時的加速度
C.“天問一號”進入近火軌道3后,測出其近火環繞周期T,可計算出火星的平均密度
D.“天問一號”進入近火軌道3后,測出其近火環繞周期T,可計算出火星的質量
答案　C　
9.(2023屆廣州天河一模,3)據媒體報道,“嫦娥一號”衛星環月工作軌道為圓軌道,軌道高度200 km,運行周期127分鐘。若還知道引力常量和月球平均半徑,僅利用以上條件不能求出的是 (　　)
A.月球表面的重力加速度
B.月球對衛星的吸引力
C.衛星繞月球運行的速度
D.衛星繞月運行的加速度
答案　B　
10.(2024屆廣州六校聯考,4)2023年1月21日,神舟十五號乘組3名航天員在400 km高的空間站向祖國人民送上新春祝福,空間站的運行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ,設地球表面重力加速度為g,地球半徑為R,橢圓軌道Ⅱ為載人飛船運行軌道,兩軌道相切于A點,下列說法正確的是 (　　)
A.載人飛船在軌道Ⅰ通過A點的速度大于在軌道Ⅱ通過B點的速度
B.載人飛船在A點的加速度大于在B點的加速度
C.空間站在軌道Ⅰ上的速度小于
D.載人飛船沿軌道Ⅰ和軌道Ⅱ運行時,在相同時間內與地球連線掃過的面積相等
答案　C　
微專題專練
微專題5　雙星及多星問題
1.(2013山東,20,5分)雙星系統由兩顆恒星組成,兩恒星在相互引力的作用下,分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動。研究發現,雙星系統演化過程中,兩星的總質量、距離和周期均可能發生變化。若某雙星系統中兩星做圓周運動的周期為T,經過一段時間演化后,兩星總質量變為原來的k倍,兩星之間的距離變為原來的n倍,則此時圓周運動的周期為 (　　)
A.T　　B.T　　C.T　　D.T
答案　B　
2.(2018課標Ⅰ,20,6分)(多選)2017年,人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程,在兩顆中子星合并前約100 s時,它們相距約400 km,繞二者連線上的某點每秒轉動12圈,將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體,由這些數據、引力常量并利用牛頓力學知識,可以估算出這一時刻兩顆中子星 (　　)
A.質量之積　　　　　　　　B.質量之和
C.速率之和　　　　　　　　D.各自的自轉角速度
答案　BC　
3.(2023屆廣東學業水平測試,8)(多選)某國際研究小組借助于甚大望遠鏡觀測到了如圖所示的一組“雙星系統”,雙星繞兩者連線上的某點O做勻速圓周運動,此雙星系統中體積較小的成員能“吸食”另一顆體積較大星體表面的物質,達到質量轉移的目的。假設兩星體密度相當,在演變的過程中兩者球心之間的距離保持不變,則在最初演變的過程中 (　　)
A.它們做圓周運動的萬有引力逐漸增大
B.它們做圓周運動的角速度保持不變
C.體積較大的星體做圓周運動的軌跡半徑變大,線速度也變大
D.體積較大的星體做圓周運動的軌跡半徑變大,線速度變小
答案　ABC　
4.(2024屆茂名六校開學聯考,7)A、B兩顆衛星在同一平面內沿同一方向繞地球做勻速圓周運動,如圖甲所示。兩衛星之間的距離Δr隨時間周期性變化,如圖乙所示。僅考慮地球對衛星的引力,下列說法正確的是 (　　)
　　
A.A、B的軌道半徑之比為1∶3
B.A、B的線速度之比為1∶2
C.A的運動周期大于B的運動周期
D.A、B的向心加速度之比為4∶1
答案　D　
5.(2023屆浙江富陽中學檢測,10)如圖為由A、B兩顆恒星組成的雙星系統,A、B繞連線上一點O做圓周運動,測得A、B兩顆恒星間的距離為L,恒星A的周期為T,其中一顆恒星做圓周運動的向心加速度是另一顆恒星的2倍,則下列說法錯誤的是 (　　)
A.恒星B的周期為
B.恒星A的向心加速度是恒星B的2倍
C.A、B兩顆恒星質量之比為1∶2
D.A、B兩顆恒星質量之和為
答案　A　
微專題6　衛星的變軌和對接問題
6.(2023海南,9,4分)(多選)如圖所示,1、2軌道分別是天宮二號飛船在變軌前、后的軌道,下列說法正確的是 (　　)
A.飛船從1軌道變到2軌道要點火加速
B.飛船在1軌道的周期大于2軌道的
C.飛船在1軌道的速度大于2軌道的
D.飛船在1軌道的加速度大于2軌道的
答案　ACD　
7.(2021天津,5,5分)2021年5月15日,天問一號探測器著陸火星取得成功,邁出了我國星際探測征程的重要一步,在火星上首次留下中國人的印跡。天問一號探測器成功發射后,順利被火星捕獲,成為我國第一顆人造火星衛星。經過軌道調整,探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運行,之后進入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運行,如圖所示,兩軌道相切于近火點P,則天問一號探測器 (　　)
A.在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態
B.在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時短
C.從軌道Ⅰ進入Ⅱ在P處要加速
D.沿軌道Ⅰ向P飛近時速度增大
答案　D　
8.(2022浙江1月選考,8,3分)“天問一號”從地球發射后,在如圖甲所示的P點沿地火轉移軌道到Q點,再依次進入如圖乙所示的調相軌道和停泊軌道,則“天問一號” (　　)
A.發射速度介于7.9 km/s與11.2 km/s之間
B.從P點轉移到Q點的時間小于6個月
C.在環繞火星的停泊軌道運行的周期比在調相軌道上小
D.在地火轉移軌道運動時的速度均大于地球繞太陽的速度
答案　C　
9.(2024屆廣東9月聯考,5)2023年7月14日印度成功發射了“月船3號”探測器,如圖為探測器升空后的變軌示意圖,“月船3號”探測器在7月25日成功完成了五次變軌,并于8月23日實現月球南極軟著陸。利用所學相關知識分析“月船3號”探測器,下列說法正確的是 (　　)
A.探測器飛行過程系統機械能守恒
B.必須在地球停泊軌道EPO點火加速才能離開地球進入月球轉移軌道
C.進入月球軌道后需要多次加速變軌才能實現軟著陸月球
D.探測器進入月球軌道后不再受到地球的引力
答案　B　
微專題7　天體中的追及相遇問題
10.(2021湖北,7,4分)2021年5月,“天問一號”探測器軟著陸火星取得成功,邁出了我國星際探測征程的重要一步。火星與地球公轉軌道近似為圓,兩軌道平面近似重合,且火星與地球公轉方向相同。火星與地球每隔約26個月相距最近,地球公轉周期為12個月。由以上條件可以近似得出 (　　)
A.地球與火星的動能之比
B.地球與火星的自轉周期之比
C.地球表面與火星表面重力加速度大小之比
D.地球與火星繞太陽運動的向心加速度大小之比
答案　D　
11.(2023湖北,2,4分)2022年12月8日,地球恰好運行到火星和太陽之間,且三者幾乎排成一條直線,此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動,火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3∶2,如圖所示。根據以上信息可以得出 (　　)
A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8
B.當火星與地球相距最遠時,兩者的相對速度最大
C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4
D.下一次“火星沖日”將出現在2023年12月8日之前
答案　B　
12.(2023浙江1月選考,10,3分)太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間,且三者幾乎排成一條直線的現象,稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如表:
行星名稱 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑 R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
則相鄰兩次“沖日”時間間隔約為 (　　)
A.火星365天　　　　　　　　B.火星800天
C.天王星365天　　　　　　　　D.天王星800天
答案　B　
13.(2023屆廣州二中三模,7)一顆在赤道平面內自西向東繞地球做圓周運動的近地衛星P,在某時刻處于地面上一標志性建筑物Q的正上方,P做圓周運動的半徑可近似看作地球半徑,周期為85 min,考慮地球自轉,則　 (　　)
A.P的角速度大小小于Q的角速度大小
B.P的向心加速度大小等于Q的向心加速度大小
C.經過5分鐘,P處于Q的東側
D.經過85分鐘,P處于Q的正上方
答案　C　
14.(2024屆東莞一中期中,5)如圖所示為2022年11月8日晚上出現的天文奇觀“月掩天王星”照片,大大的月亮背景下天王星是一個小小的亮點。此時太陽、地球、月球、天王星幾乎處于同一條直線上。已知地球和天王星繞太陽的公轉方向與月球繞地球的公轉方向相同,下列說法正確的是　 (　　)
A.在太陽參考系中,此時地球的速度大于月球的速度
B.在太陽參考系中,此時地球的加速度小于月球的加速度
C.下一次出現相同的天文奇觀的時間間隔少于一年
D.月球和天王星的公轉軌道半長軸的三次方與公轉周期的二次方的比值相等
答案　B　
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考點一　開普勒行星運動定律　萬有引力定律
一、開普勒行星運動定律
內容 解釋
開普勒第一定律
(軌道定律) 所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓,太陽處在橢圓的一個焦點上 行星運動的軌道必有近日點和 遠日點
開普勒第二定律
(面積定律) 對任意一個行星來說,它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等 v1r1=v2r2,近日點速度最大,遠日點 速度最小
開普勒
第三定律
(周期定律) 所有行星軌道的半長軸的三次 方跟它的公轉周期的二次方的 比都相等,即 =k 同一中心天體k值相同,不同中心 天體k值一般不同
二、萬有引力定律
1.內容:自然界中任何兩個物體都相互吸引,引力的方向在它們的連線上,引力的大小 與物體的質量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。
2.表達式:F=G ,G為引力常量,由英國物理學家卡文迪什測定。
3.適用條件
(1)質點間的相互作用。
(2)對于質量分布均勻的球體,r是兩球心間距離。
點撥拓展 　 星球穩定自轉的臨界問題
當星球自轉越來越快時,星球對赤道上的物體的引力不足以提供向心力時,物體將會
“飄起來”,進一步導致星球瓦解,其臨界條件是 =m R。
三、萬有引力與重力的關系
1.關系推導
地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果:一是重力mg,二是提供物體隨地球自轉的向 心力F向,如圖所示。


(1)在赤道上:G =mg1+mω2R。
(2)在兩極上:G =mg2。
2.星體表面、上空的重力加速度
(1)在星體表面附近的重力加速度g(不考慮星體自轉):由mg=G ,得g= 。
(2)在星體上空距離球心r=R+h處的重力加速度為g',由mg'= ,得g'= 。
3.挖補法求解萬有引力
如圖所示,在一個半徑為R、質量為M的均勻球體中,緊貼球的邊緣挖去一個半徑為
的小球體后,已知位于球心和空穴中心連線上有一質點P,該質點與球心相距為d且質 量為m,求剩余部分對該質點的引力大小。

完整的均勻球體對球外質量為m的質點的引力F=G ,設挖去小球體后的剩余部分
對質點的引力為F1,半徑為 的小球體對質點的引力為F2,則F=F1+F2,半徑為 的小球
體質量M'= π( )3ρ= ,則F2=G =G ,所以F1=F-F2=G -G 。
四、天體質量和平均密度的計算
點撥拓展 (1)利用萬有引力提供向心力估算天體質量時,估算的是中心天體的質量, 而非環繞天體的質量。
(2)區別中心天體半徑R和軌道半徑r,只有在中心天體表面附近做圓周運動時,才有r≈ R;V= πR3中的“R”只能是中心天體的半徑。
(3)天體質量估算中常有隱含條件,例如地球的自轉周期為24 h,公轉周期為365天等。
考點二　人造衛星　宇宙速度
一、衛星運行參量的分析
1.核心思想
做勻速圓周運動的衛星所受的萬有引力完全提供其所需向心力。
2.物理量隨半徑變化的規律
G =
點撥拓展 當r↑時,a↓v↓ω↓T↑(高軌、低速、大周期)。
例1　我國計劃發射“人造月亮”,屆時天空中將會同時出現月亮和“人造月亮”。 月亮A和“人造月亮”B繞地球(球心為O)的運動均可視為勻速圓周運動,如圖所示,設 ∠BAO=θ,運動過程中θ的最大正弦值為p,月亮繞地球運動的線速度大小和周期分別 為v1和T1,“人造月亮”繞地球運動的線速度大小和周期分別為v2和T2,則 (　 )

A. = , = 　　　　　　　 B. = , =
C. = , = 　　　　　　　 D. = , =
解析 設月亮繞地球運動的半徑為r1,“人造月亮”繞地球運動的半徑為r2,由題圖
知,當AB的連線與“人造月亮”的軌道圓相切時,θ最大,有最大正弦值為p,根據幾何關 系可得 sin θ= =p。根據G =m 可得v1= ,v2= ,由G =m r得T1=
,T2= ,所以 = = , = = ,故A正確,B、C、D錯誤。
答案 A
二、人造地球衛星
1.近地衛星:軌道半徑r≈R(地球半徑),向心加速度a=g(重力加速度),環繞速度v=7.9 km/ s,周期T≈84 min。
2.地球同步衛星的四個“一定”

3.地球同步衛星、近地衛星和赤道上物體的比較

如圖所示,a為近地衛星(r1、ω1、v1、a1);b為地球同步衛星(r2、ω2、v2、a2);c為赤道上 隨地球自轉的物體(r3、ω3、v3、a3)。
近地
衛星 地球同
步衛星 赤道上隨地球自轉的物 體
向心力 萬有引力 萬有引力的一個分力
軌道半徑 r2>r1=r3
角速度 ω1>ω2=ω3
線速度 v1>v2>v3
向心加速度 a1>a2>a3
例2　地球赤道上有一物體隨地球的自轉而做圓周運動,向心加速度為a1,線速度為v1, 角速度為ω1;同步衛星的向心加速度為a2,線速度為v2,角速度為ω2;近地衛星的向心加速 度為a3,線速度為v3,角速度為ω3。則 (　 )
A.a1>a2>a3　　　　　　　 B.a3>a2=a1
C.v1>v2>v3　　　　　　　 D.ω3>ω2=ω1
解題指導 要以“共性”為中心比較判斷。例如同步衛星與赤道上物體角速度相
同,同步衛星與近地衛星都繞地球“公轉”。
解析 根據題意可知,同步衛星和赤道上物體的周期和角速度均相等,則有ω1=ω2;對
于同步衛星和近地衛星,由 =mω2r,解得ω= ,由于同步衛星的軌道半徑大于近
地衛星的軌道半徑,則ω2<ω3,即ω3>ω2=ω1,故D正確。對于同步衛星和赤道上物體,由a= ω2r可得a2>a1;對于同步衛星和近地衛星,根據 =ma有a= ,由于同步衛星的軌道
半徑大于近地衛星的軌道半徑,則a2a2>a1,故A、B均錯誤。對于同步衛 星和赤道上物體,根據v=ωr可得v2>v1;對于同步衛星和近地衛星,根據萬有引力提供向 心力有 =m ,解得v= ,由于同步衛星的軌道半徑大于近地衛星的軌道半徑,
則v3>v2,聯立得v3>v2>v1,故C錯誤。
答案 D
三、宇宙速度
1.第一宇宙速度:v1=7.9 km/s,是人造地球衛星的最小發射速度;也是繞地球做勻速圓周
運動的最大環繞速度。
2.第二宇宙速度:v2=11.2 km/s,衛星掙脫地球引力束縛需要的最小發射速度。
3.第三宇宙速度:v3=16.7 km/s,衛星掙脫太陽引力束縛需要的最小發射速度。
微專題5　雙星及多星問題
“雙星”問題 “三星”問題
情
境
圖
運動
特點 轉動方向、T、ω相同,運動半徑 一般不同 環繞星體轉動方向、T、ω、v大 小均相等,圓周運動半徑相等
受力
特點 兩星間的萬有引力提供兩星做 圓周運動的向心力 各星所受萬有引力的合力提供 其做圓周運動的向心力
規律 =m1ω2r1
=m2ω2r2 甲: + =ma向
乙: ×cos 30°×2=ma向
關鍵 m1r1=m2r2
r1+r2=L 乙:r=
例1 (多選)人類首次發現的引力波來源于距地球約13億光年的兩個黑洞(質量分別 為36倍和29倍太陽質量)互相繞轉最后合并的過程。設兩個黑洞A、B繞其連線上的O 點做勻速圓周運動,如圖所示。黑洞A的軌道半徑大于黑洞B的軌道半徑,兩個黑洞的 總質量為M,兩個黑洞間的距離為L,其運動周期為T,則 (　 )

A.黑洞A的質量一定大于黑洞B的質量
B.黑洞A的線速度一定大于黑洞B的線速度
C.兩個黑洞間的距離L一定,M越大,T越大
D.兩個黑洞的總質量M一定,L越大,T越大
解析 設兩個黑洞質量分別為mA、mB,軌道半徑分別為RA、RB,角速度為ω,由萬有引
力定律可知 =mAω2RA, =mBω2RB,RA+RB=L,得 = ,由題意可知,RA>RB,故黑
洞A的質量小于黑洞B的質量,A錯誤;vA=ωRA,vB=ωRB,RA>RB,故vA>vB,B正確;又由M=mA+ mB得GM=ω2L3,又因為T= ,故T=2π ,C錯誤,D正確。
答案 BD
微專題6　衛星的變軌和對接問題
離心運動 近心運動
軌道
起因 衛星速度突然增大 衛星速度突然減小
實質 G m
變軌
結果 轉變為在橢圓軌道運動或在 較大半徑圓軌道上運動 轉變為在橢圓軌道運動或在較 小半徑圓軌道上運動
在新圓軌道上運動的速率比在 原軌道的小,周期比在原軌道的 大 在新圓軌道上運動的速率比在 原軌道的大,周期比在原軌道的 小
動能減少、勢能增加、機械能 增加 動能增加、勢能減少、機械能 減少
例2 2021年2月,天問一號火星探測器被火星捕獲,經過一系列變軌后從“調相軌 道”進入“停泊軌道”,為著陸火星做準備。如圖所示,陰影部分為探測器在不同軌 道上繞火星運行時與火星的連線每秒掃過的面積,下列說法正確的是 (　 )

A.圖中兩陰影部分的面積相等
B.從“調相軌道”進入“停泊軌道”,探測器運行的周期變大
C.從“調相軌道”進入“停泊軌道”,探測器的機械能變小
D.探測器在P點的加速度小于在N點的加速度
解題指導 變軌問題要理解“供需”關系。
(1)當衛星的速度突然增大時,G < ,即萬有引力不足以提供向心力,衛星將做離
心運動,軌道半徑變大。
(2)當衛星的速度突然減小時,G > ,即萬有引力大于所需要的向心力,衛星將做
近心運動,軌道半徑變小。
解析 根據開普勒第二定律可知,在同一軌道上探測器繞火星運行時與火星的連線
相同的時間內掃過的面積相等,但在不同軌道上探測器與火星的連線相同的時間內掃 過的面積不相等,故A錯誤;根據開普勒第三定律 =k可知,探測器在“停泊軌道”上
的運行周期比在“調相軌道”上的小,故B錯誤;探測器從“調相軌道”進入“停泊軌 道”需在P點減速,做近心運動,探測器的機械能減小,故C正確;根據萬有引力提供向心 力及牛頓第二定律有 =ma可知,探測器在P點的加速度比在N點的大,故D錯誤。
答案 C
微專題7　天體中的追及相遇問題
一、問題特征
　　天體中的追及相遇問題主要研究同一中心天體的兩顆衛星相距最近或最遠的情 況。當兩顆衛星與中心天體在同一直線上,且位于中心天體的同一側時,相距最近,如 圖甲所示;當兩顆衛星與中心天體在同一直線上,且位于中心天體的兩側時,相距最遠, 如圖乙所示。
二、角度關系
　　設衛星a(離中心天體近些)與衛星b同向運動,某時刻相距最近,如果經過時間t,兩 衛星繞中心天體轉過的角度之差等于2π的整數倍,則兩衛星再次相距最近,即ω1t-ω2t=2 nπ(n=1,2,3,…)(ω1>ω2);如果經過時間t',兩衛星繞中心天體轉過的角〗度之差等于π的 奇數倍,則兩衛星再次相距最遠,即ω1t'-ω2t'=(2n-1)π(n=1,2,3,…)(ω1>ω2)。
三、圈數關系(兩衛星同向運動)
1.最近: - =n(n=1,2,3,…)(T12.最遠: - = (n=1,2,3,…)(T1四、天體中的追及相遇問題的處理方法
1.根據 =mω2r判斷誰的角速度大。
2.當ωA>ωB時,根據兩星追上或相距最近時滿足兩星運動的角度差等于2π的整數倍,即ω At-ωBt=n·2π(n=1,2,3,…);相距最遠時兩星運行的角度差等于π的奇數倍,即ωAt-ωBt=(2n+ 1)π(n=0,1,2,…)。
例3 (多選)如圖所示,三個天體a、b、c的質量分別為m1、m2、M(M遠大于m1及m2),在 c的萬有引力作用下,a、b在同一平面內繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動,已知軌道半 徑ra∶rb=1∶4,則下列說法正確的有 (　 )

A.a、b運動的周期之比為Ta∶Tb=1∶8
B.a、b運動的周期之比為Ta∶Tb=1∶4
C.從圖示位置開始,在b轉動一周的過程中,a、b、c共線12次
D.從圖示位置開始,在b轉動一周的過程中,a、b、c共線14次
解析 根據開普勒第三定律 =k得 = = = ,則a、b運動的周期之比為1∶8,
選項A正確,B錯誤。設圖示位置a、b與中心天體連線的夾角為θ,θ< ,b轉動一周(圓心
角為2π)的時間為t=Tb,則a、b相距最遠時 t- t=(π-θ)+n·2π(n=0,1,2,3,…),其中t≤Tb,
可知n<6.75,n可取7個值;a、b相距最近時 t- t=(2π-θ)+m·2π(m=0,1,2,3,…),其中t≤
Tb,可知m<6.25,m可取7個值,故在b轉動一周的過程中,a、b、c共線14次,選項D正確,C 錯誤。
一題多解 關于C、D選項,因a、b周期比為1∶8,即b運轉一周,a需要運轉8周,故在b
運轉一周的時間內,a、b可以共線16次,但由于a、b開始時有相位差,所以減去開始和 最后兩次共線,則共線14次。
答案 AD

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