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專題四　曲線運動
考點過關練
考點一　曲線運動　運動的合成與分解
1.(2023遼寧,1,4分)某同學在練習投籃,籃球在空中的運動軌跡如圖中虛線所示,籃球所受合力F的示意圖可能正確的是 (　　)
A　　B　　C　　D
答案　A　
2.(2023全國乙,15,6分)小車在水平地面上沿軌道從左向右運動,動能一直增加。如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應位置處所受合力,下列四幅圖可能正確的是 (　　)
　　　
答案　D　
3.(2021遼寧,1,4分)1935年5月,紅軍為突破“圍剿”決定強渡大渡河。首支共產黨員突擊隊冒著槍林彈雨依托僅有的一條小木船堅決強突。若河面寬300 m,水流速度3 m/s,木船相對靜水速度1 m/s,則突擊隊渡河所需的最短時間為 (　　)
A.75 s　　　　B.95 s　　　　C.100 s　　　　D.300 s
答案　D　
4.(2023江蘇,10,4分)達·芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗:一個罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運動,沿途連續漏出沙子。若不計空氣阻力,則下列圖中能反映空中沙子排列的幾何圖形是 (　　)
答案　D　
考點二　拋體運動
5.(2022廣東,6,4分)如圖所示,在豎直平面內,截面為三角形的小積木懸掛在離地足夠高處,一玩具槍的槍口與小積木上P點等高且相距為L。當玩具子彈以水平速度v從槍口向P點射出時,小積木恰好由靜止釋放,子彈從射出至擊中積木所用時間為t。不計空氣阻力。下列關于子彈的說法正確的是　 (　　)
A.將擊中P點,t大于
B.將擊中P點,t等于
C.將擊中P點上方,t大于
D.將擊中P點下方,t等于
答案　B　
6.(2023湖南,2,4分)如圖(a),我國某些農村地區人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖(b)所示,其軌跡在同一豎直平面內,拋出點均為O,且軌跡交于P點,拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上,忽略空氣阻力,關于兩谷粒在空中的運動,下列說法正確的是 (　　)
　
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高點的速度小于v1
C.兩谷粒從O到P的運動時間相等
D.兩谷粒從O到P的平均速度相等
答案　B　
7.(2022廣東,3,4分)如圖是滑雪道的示意圖。可視為質點的運動員從斜坡上的M點由靜止自由滑下,經過水平NP段后飛入空中,在Q點落地。不計運動員經過N點的機械能損失,不計摩擦力和空氣阻力。下列能表示該過程運動員速度大小v或加速度大小a隨時間t變化的圖像是 (　　)
答案　C　
8.(2023新課標,24,10分)將扁平的石子向水面快速拋出,石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠方,俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產生“水漂”效果,石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”,一同學將一石子從距水面高度為h處水平拋出,拋出速度的最小值為多少 (不計石子在空中飛行時的空氣阻力,重力加速度大小為g)
答案　
9.(2022全國甲,24,12分)將一小球水平拋出,使用頻閃儀和照相機對運動的小球進行拍攝,頻閃儀每隔0.05 s發出一次閃光。某次拍攝時,小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光,拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影像,每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像,所標出的兩個線段的長度s1和s2之比為3∶7。重力加速度大小取g=10 m/s2,忽略空氣阻力。求在拋出瞬間小球速度的大小。
答案　 m/s
考點三　圓周運動
10.(2023全國甲,17,6分)一質點做勻速圓周運動,若其所受合力的大小與軌道半徑的n次方成正比,運動周期與軌道半徑成反比,則n等于 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
答案　C　
11.(2021廣東,4,4分)由于高度限制,車庫出入口采用如圖所示的曲桿道閘。道閘由轉動桿OP與橫桿PQ鏈接而成,P、Q為橫桿的兩個端點。在道閘抬起過程中,桿PQ始終保持水平。桿OP繞O點從與水平方向成30°勻速轉動到60°的過程中,下列說法正確的是 (　　)
A.P點的線速度大小不變
B.P點的加速度方向不變
C.Q點在豎直方向做勻速運動
D.Q點在水平方向做勻速運動
答案　A　
12.(2022北京,8,3分)我國航天員在“天宮課堂”中演示了多種有趣的實驗,提高了青少年科學探索的興趣。某同學設計了如下實驗:細繩一端固定,另一端系一小球,給小球一初速度使其在豎直平面內做圓周運動。無論在“天宮”還是在地面做此實驗, (　　)
A.小球的速度大小均發生變化
B.小球的向心加速度大小均發生變化
C.細繩的拉力對小球均不做功
D.細繩的拉力大小均發生變化
答案　C　
13.(2019江蘇,6,4分)(多選)如圖所示,摩天輪懸掛的座艙在豎直平面內做勻速圓周運動。座艙的質量為m,運動半徑為R,角速度大小為ω,重力加速度為g,則座艙 (　　)
A.運動周期為
B.線速度的大小為ωR
C.受摩天輪作用力的大小始終為mg
D.所受合力的大小始終為mω2R
答案　BD　
14.(2020課標Ⅰ,16,6分)如圖,一同學表演蕩秋千。已知秋千的兩根繩長均為10 m,該同學和秋千踏板的總質量約為50 kg。繩的質量忽略不計。當該同學蕩到秋千支架的正下方時,速度大小為8 m/s,此時每根繩子平均承受的拉力約為 (　　)
A.200 N　　B.400 N　　C.600 N　　D.800 N
答案　B　
15.(2022遼寧,13,10分)2022年北京冬奧會短道速滑混合團體2 000米接力決賽中,我國短道速滑隊奪得中國隊在本屆冬奧會的首金。
(1)如果把運動員起跑后進入彎道前的過程看作初速度為零的勻加速直線運動,若運動員加速到速度v=9 m/s時,滑過的距離x=15 m,求加速度a的大小;
(2)如果把運動員在彎道滑行的過程看作軌跡為半圓的勻速圓周運動,如圖所示,若甲、乙兩名運動員同時進入彎道,滑行半徑分別為R甲=8 m、R乙=9 m,滑行速率分別為v甲=10 m/s、v乙=11 m/s,求甲、乙過彎道時的向心加速度大小之比,并通過計算判斷哪位運動員先出彎道。
答案　(1)2.7 m/s2　(2)　甲先出彎道
考點強化練
考點一　曲線運動　運動的合成與分解
1.(2023屆佛山高明一中月考,5)如圖所示,房屋瓦面與水平面夾角為37°,一小球由靜止開始從3 m長的瓦面頂端滾下,運動過程中阻力不計,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,則小球離開瓦面時水平方向和豎直方向分速度大小分別為(g取10 m/s2) (　　)
A.4.8 m/s,3.6 m/s　　　　　　　　B.2.4 m/s,1.8 m/s
C.4 m/s,6 m/s　　　　　　　　D.5 m/s,4 m/s
答案　A　
2.(2024屆深圳龍華高中月考,9)(多選)如圖所示,一條細繩跨過光滑輕質定滑輪連接物體A、B,物體A懸掛起來,物體B穿在一根水平桿上。若物體B在水平外力作用下沿桿勻速向左運動,速度大小為v,當繩與水平桿間的夾角為θ時,下列判斷正確的是 (　　)
A.物體A的速度為
B.物體A的速度為v cos θ
C.細繩的張力等于物體A的重力
D.細繩的張力大于物體A的重力
答案　BD　
3.(2024屆廣東四校10月聯考,7)“筋膜槍”利用其內部特制的高速電機帶動槍頭,產生的高頻振動可以作用到肌肉深層,以起到緩解疼痛、促進血液循環的作用。如圖所示為某款筋膜槍的內部結構簡化圖,連桿OB以角速度ω繞垂直于紙面的O軸勻速轉動,帶動連桿AB,使套在橫桿上的滑塊左右滑動,從而帶動槍頭振動。已知AB桿長為L,OB桿長為R,當AB⊥OB時,滑塊的速度大小為 (　　)
A.ωR　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
答案　B　
4.(2023屆廣州二模,6)潛艇從海水的高密度區駛入低密度區。浮力急劇減小的過程稱為“掉深”。某潛艇在高密度區水平向右勻速航行,t=0時,該潛艇開始“掉深”,潛艇“掉深”后其豎直方向的速度vy隨時間變化的圖像如圖所示,水平速度vx保持不變,若以水平向右為x軸正方向,豎直向下為y軸正方向,則潛艇“掉深”后的0~30 s內。能大致表示其運動軌跡的圖形是 (　　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　
答案　B　
5.(2024屆梅州虎山中學期中,10)(多選)2023年7月28日至8月8日,成都成功舉辦了第31屆世界大學生夏季運動會。如圖1為運動會上某隊列的走方陣示意圖,AB與CD垂直于操場跑道,某時刻該隊伍前排剛到直線AB處,正在D點的工作人員準備沿直線DC方向從靜止開始穿到對面,已知工作人員的速度v1的二次方與人離D點的距離x變化的關系如圖2所示,AB與CD相距3 m,隊列前進的速度v2為1 m/s,跑道寬3 m,則以下說法正確的是 (　　)
　
A.該工作人員會在到達C點之前影響到隊伍前進
B.該工作人員穿過跑道用時2 s
C.該工作人員的加速度大小為 m/s2
D.該工作人員相對隊伍最大的速度為 m/s
答案　CD　
6.(2024屆龍華高中月考,4)(多選)通過北斗定位系統可以記錄飛機飛行高度的海拔h、水平方向的速率v等實時數據。一架飛機從靜止開始滑跑起飛,用記錄數據擬合得到h t、v t圖線分別如圖甲、圖乙所示,圖甲中40~70 s時間內的圖線為拋物線,其余圖線均為直線。根據圖中數據可知 (　　)
A.前100 s時間內,飛機爬升的高度為600 m
B.40~70 s時間內,飛機的加速度為0.2 m/s2
C.70~100 s時間內,飛機做勻速直線運動
D.100~150 s時間內,飛機做勻加速曲線運動
答案　BCD　
考點二　拋體運動
7.(2023屆廣東湛江二模,6)如圖所示,某同學在籃筐前某位置跳起投籃。籃球出手點離水平地面的高度h=1.8 m。籃球離開手的瞬間距籃筐的水平距離為5 m,水平分速度大小v=10 m/s,要使籃球到達籃筐時,豎直方向的分速度剛好為0。將籃球看成質點,籃筐大小忽略不計,忽略空氣阻力,取重力加速度大小g=10 m/s2。籃筐離地面的高度為 (　　)
A.2.85 m　 B.3.05 m　 C.3.25 m　 D.3.5 m
答案　B　
8.(2023屆茂名二模,5)跳臺滑雪是最刺激的冰雪運動之一,如圖為某滑道示意圖。長直助滑道AB與水平起跳平臺BC連接,著陸坡足夠長。運動員(含雪杖)沿AB滑下,經過一段時間從C點沿水平方向飛出,最后落在著陸坡上的D點。在不考慮空氣阻力情況下,運動員 (　　)
A.在助滑道上受重力、支持力、摩擦力和下滑力作用
B.離開跳臺在空中飛行時處于超重狀態
C.在離著陸坡最遠時,速度方向與著陸坡平行
D.在空中的飛行時間與離開C點時的速度無關
答案　C　
9.(2023屆汕頭一模,4)如圖所示,在豎直平面中,有一根水平放置的、長度為L的不可伸長的輕繩,輕繩的一端固定在O點,另一端連有質量為m的小球。現從A點由靜止釋放小球,當小球運動到O點正下方B點時,輕繩突然斷裂。B點位于斜面頂端,斜面足夠長,傾角為θ,重力加速度為g,則下列說法正確的是　 (　　)
A.小球落至斜面所需的時間為2 tan θ
B.小球落至斜面所需的時間為 tan θ
C.小球落至斜面C點與B點的距離為4L tan θ
D.小球落至斜面C點與B點的距離為4L
答案　D　
10.(2024屆廣州執信中學開學考,7)北京2022年冬奧會跳臺滑雪比賽在張家口賽區的國家跳臺滑雪中心進行,跳臺由助滑道、起跳區、著陸坡、停止區組成,如圖所示。運動員從起跳區水平起跳后在空中運動的速度變化量、重力的瞬時功率、動能、機械能分別用Δv、P、Ek、E表示,用t表示運動員在空中的運動時間,不計運動員所受空氣阻力,下列圖像中可能正確的是 (　　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　
答案　D　
考點三　圓周運動
11.(2024屆廣州廣雅中學月考,5)過去我國農村常用轆轤提水澆灌農田,其模型圖如圖所示,細繩繞在半徑為r的輪軸上懸掛一個水桶M,輪軸上均勻分布著6根手柄,柄端有6個質量均勻的小球m。球離軸心的距離為R,輪軸、繩(極細)及手柄的質量以及摩擦均不計。當手柄勻速轉動n周把水桶提上來時,則 (　　)
A.小球的角速度為2πn(rad/s)
B.輪軸轉動的角速度大于小球轉動角速度
C.水桶的速度是小球轉動線速度的
D.輪軸轉動了nR周
答案　C　
12.(2024屆廣州廣雅中學月考,4)有關圓周運動的基本模型,下列說法正確的是 (　　)
　　
　　
A.如圖a,汽車通過拱橋的最高點時對橋的壓力大于橋對車的支持力
B.如圖b所示是一圓錐擺,增大θ,但保持圓錐的高不變,則圓錐擺的角速度減小
C.如圖c,同一小球在光滑且固定的圓錐筒內的A、B位置先后做勻速圓周運動,則在A、B兩位置小球所受筒壁的支持力大小相等
D.如圖d,火車轉彎超過規定速度行駛時,內軌對內輪緣會有擠壓作用
答案　C　
13.(2024屆肇慶質檢,10)(多選)關于甲、乙、丙、丁四幅圖,下列說法正確的是 (　　)
　
　
A.圖甲中大人水平拋出圓環的初速度較小
B.圖乙中若A、C輪的半徑相等,則A、C輪邊緣處的向心加速度大小相等
C.圖丙中小球在水平面內做勻速圓周運動,其向心加速度大小隨圓錐體頂角θ的增大而減小
D.圖丁中衛星在橢圓軌道Ⅰ上任意點的線速度大小大于在圓軌道Ⅱ上的線速度大小
答案　AC　
14.(2024屆南粵名校聯考,7)如圖所示是玩具飛車的360°回環賽道,其底座固定,且賽道可視為半徑為R的光滑豎直圓軌道。一質量為m的無動力賽車被彈射出去后,在圓形軌道最低點以水平初速度v0向右運動。重力加速度為g,下列說法正確的是 (　　)
A.當v0=2時賽車在最低點對軌道的壓力為4mg
B.如果賽車能夠完成圓周運動,v0的最小值是2
C.如果賽車能夠完成圓周運動,其對軌道的最大壓力與最小壓力之差為6mg
D.如果賽車恰好能夠完成圓周運動,其最大速度與最小速度之差為2
答案　C　
15.(2024屆廣州七校開學聯考,6)如圖所示,有一長為L的輕繩,一端系在固定在O點的力傳感器上,另一端拴一質量為m的小球,讓小球能夠在豎直平面內做完整的圓周運動,測出小球在最低點時細繩拉力大小與小球在最高點時細繩拉力大小之差為ΔF,同時也測出小球在最高點時速度大小為v,已知重力加速度為g,則ΔF大小與v2的關系正確的是 (　　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　
答案　D　
微專題專練
微專題3　有約束條件的平拋運動問題
1.(2021江蘇,9,4分)如圖所示,A、B兩籃球從相同高度同時拋出后直接落入籃筐,落入籃筐時的速度方向相同,下列判斷正確的是 (　　)
A.A比B先落入籃筐
B.A、B運動的最大高度相同
C.A在最高點的速度比B在最高點的速度小
D.A、B上升到某一相同高度時的速度方向相同
答案　D　
2.(2020浙江1月選考,5,3分)如圖所示,鋼球從斜槽軌道末端以v0的水平速度飛出,經過時間t落在斜靠的擋板AB中點。若鋼球以2v0的速度水平飛出,則 (　　)
A.下落時間仍為t
B.下落時間為2t
C.下落時間為t
D.落在擋板底端B點
答案　C　
3.(2023屆廣東調研,3)如圖所示,
在斜面的上方A點,水平向右以初速度v0拋出一個小球,不計空氣阻力,若小球擊中斜面B點(圖中未畫出),且A、B距離恰好取最小值,則小球做平拋運動的時間t為 (　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
答案　C　
4.(2022山東,11,4分)(多選)如圖所示,某同學將離地1.25 m的網球以13 m/s的速度斜向上擊出,擊球點到豎直墻壁的距離4.8 m。當網球豎直分速度為零時,擊中墻壁上離地高度為8.45 m的P點。網球與墻壁碰撞后,垂直墻面速度分量大小變為碰前的0.75倍,平行墻面的速度分量不變。重力加速度g取10 m/s2,網球碰墻后的速度大小v和著地點到墻壁的距離d分別為 (　　)
A.v=5 m/s　　　　　　　　B.v=3 m/s
C.d=3.6 m　　　　　　　　D.d=3.9 m
答案　BD　
5.(2023屆廣東模擬預測,4)如圖所示,OB、OC是傾角均為30°的兩斜面,某同學(可視為質點)從斜面上A點以速度v1、v2、v3三次沿水平方向跳出,分別落在B、O、C三點,落地時速度分別為v1'、v2'和v3'。該同學受到的空氣阻力忽略不計,已知重力加速度為g,AB=BO=OC。下列說法正確的是 (　　)
A.v1'、v2'的方向和BO方向間的夾角不同
B.v2'、v3'的方向和CO方向間的夾角相同
C.v1∶v2=1∶2
D.v2∶v3=∶3
答案　D　
6.(2024屆東莞眾美中學10月月考,10)(多選)如圖所示為一半圓形的坑,其中坑邊緣兩點A、B與圓心O等高且在同一豎直平面內,在圓邊緣A點將一小球以速度v1水平拋出,小球落到C點,運動時間為t1,第二次從A點以速度v2水平拋出,小球落到D點,運動時間為t2,不計空氣阻力,則 (　　)
A.v1B.t1C.小球落到D點時,速度方向可能垂直于圓弧
D.小球落到C點時,速度與水平方向的夾角一定大于45°
答案　AD　
7.(2023屆江蘇南京高三二模,8)如圖為傾角α的足夠長斜面,現從斜面上O點與斜面成β角(β<90°),以速度v0、2v0分別拋出小球P、Q,小球P、Q剛要落在斜面上A、B兩點時的速度分別為vP、vQ,設O、A間的距離為s1,O、B間的距離為s2,不計空氣阻力。當β取不同值時,下列說法正確的是 (　　)
A.vQ一定等于2vP
B.vQ的方向與斜面的夾角一定小于vP的方向與斜面的夾角
C.P、Q在空中飛行的時間可能相等
D.s2可能大于4s1
答案　A　
微專題4　曲線運動中的臨界問題
8.(2021浙江6月選考,7,3分)質量為m的小明坐在秋千上擺動到最高點時的照片如圖所示,
對該時刻,重力加速度為g,下列說法正確的是 (　　)
A.秋千對小明的作用力小于mg
B.秋千對小明的作用力大于mg
C.小明的速度為零,所受合力為零
D.小明的加速度為零,所受合力為零
答案　A　
9.(2019海南,6,4分)如圖,一硬幣(可視為質點)置于水平圓盤上,硬幣與豎直轉軸OO'的距離為r,已知硬幣與圓盤之間的動摩擦因數為μ(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力),重力加速度大小為g。若硬幣與圓盤一起繞OO'軸勻速轉動,則圓盤轉動的最大角速度為 (　　)
A.　　　　　　　　B.　　　　
C.　　　　　　　　D.2
答案　B　
10.(2022山東,8,3分)無人配送小車某次性能測試路徑如圖所示,半徑為3 m的半圓弧BC與長8 m的直線路徑AB相切于B點,與半徑為4 m的半圓弧CD相切于C點。小車以最大速度從A點駛入路徑,到適當位置調整速率運動到B點,然后保持速率不變依次經過BC和CD。為保證安全,小車速率最大為4 m/s,在ABC段的加速度最大為2 m/s2,CD段的加速度最大為1 m/s2。小車視為質點,小車從A到D所需最短時間t及在AB段做勻速直線運動的最長距離l為 (　　)
A.t= s,l=8 m
B.t= s,l=5 m
C.t= s,l=5.5 m
D.t= s,l=5.5 m
答案　B　
11.(2023屆佛山順德一模,3)如圖所示,排球比賽中,某隊員在距網水平距離為4.8 m、距地面3.2 m高處將排球沿垂直于網的方向以16 m/s的速度水平擊出。已知網高2.24 m,排球場地長18 m,重力加速度g取10 m/s2,可將排球視為質點,下列判斷正確的是 (　　)
A.球不能過網
B.球落在對方場地內
C.球落在對方場地底線上
D.球落在對方場地底線之外
答案　B　
12.(2024屆東莞外國語學校11月月考,3)如圖所示,將內壁光滑、半徑為R的圓形細管豎直固定放置,一質量為m的小球(視為質點)在管內做圓周運動,小球過最高點時的速度為v,重力加速度為g,則下列說法正確的是 (　　)
A.小球做的是勻速圓周運動
B.小球通過最高點的最小速度為
C.小球恰好到達最高點時,對細管的作用力為0
D.若小球在最高點的速度v>,會對細管的外側內壁有作用力
答案　D　
13.(2024屆茂名一中開學考,7)如圖所示,兩個可視為質點的、相同的木塊a和b放在水平轉盤上,兩者用細線連接,兩木塊與轉盤間的動摩擦因數相同,整個裝置能繞通過轉盤中心的轉軸O1O2轉動,且木塊a、b與轉盤中心在同一條水平直線上。當圓盤轉動到兩木塊剛好還未發生滑動時,燒斷細線,關于兩木塊的運動情況,以下說法正確的是 (　　)
A.兩木塊仍隨圓盤一起做圓周運動,不發生滑動
B.木塊b發生滑動,離圓盤圓心越來越近
C.兩木塊均沿半徑方向滑動,離圓盤圓心越來越遠
D.木塊a仍隨圓盤一起做勻速圓周運動
答案　D　
14.(2023屆浙江十校聯考三,8)如圖所示,豎直平面內有一個圓弧軌道,軌道內外兩側均光滑,半徑為R,質量為m的小滑塊以v1、v2的初速度分別從軌道最高點的內側和外側開始運動,以下關于滑塊是否脫離軌道的說法正確的是(兩滑塊均可視為質點,重力加速度為g) (　　)
A.不管在軌道的內側還是外側運動,只要在最高點不脫離軌道,則在其他點一定不會脫離軌道
B.不管在軌道的內側還是外側運動,只要在最高點的速度大于等于,一定不會脫離軌道
C.在軌道內側最高點的速度v1≥、外側最高點的速度v2=0,都不會脫離軌道
D.在軌道的內側只要v1<就一定脫離軌道,外側無論v2多大都會脫離軌道
答案　D　
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考點一　曲線運動　運動的合成與分解
一、曲線運動
1.曲線運動的條件和特征
定義 軌跡是一條曲線的運動
條件 (1)動力學角度:物體所受合力的方向跟它的初速度方向不在同一直線上(v0≠0,F≠0)
(2)運動學角度:物體的加速度方向跟速度方向不在同一直線上
性質 (1)某點的瞬時速度的方向,就是通過該點的切線方向
(2)曲線運動的速度方向時刻在改變,所以是變速運動,加速度必不為0
(3)若所受合力恒定,物體做勻變速曲線運動;若所受合力變化,物體做變加速曲線運動
2.曲線運動的合力方向與軌跡、速度方向間的關系(如圖所示)


(1)合力方向與速度方向的關系
物體做曲線運動時,合力的方向與速度方向一定不在同一條直線上,這是判斷物體是 否做曲線運動的依據。
(2)合力方向與軌跡的關系
軌跡一定夾在合力方向和速度方向之間,速度方向與軌跡相切,合力方向指向軌跡曲 線的“凹”側。

二、運動的合成與分解
1.基本概念
(1)分運動與合運動:一個物體可以視作同時參與幾個運動,這幾個運動叫作分運動,物
點撥拓展 　 曲線運動的速率變化判斷
體的實際運動叫作合運動。
(2)運動的合成:由分運動求合運動。
(3)運動的分解:已知合運動求分運動。
點撥拓展 　 合運動與分運動的關系
等時性 合運動與分運動、分運動與分運動經歷的時間相等,即同時開始、同時進行、同時停止
獨立性 各分運動相互獨立,不受其他運動的影響,各分運動共同決定合運動的性質和軌跡
等效性 各分運動疊加起來與合運動有完全相同的效果
同體性 各分運動與合運動是同一物體的運動
2.兩個直線運動的合成
兩個分運動
(不共線) 合運動
推斷依據 運動性質
兩個勻速
直線運動 v0≠0,a=0 勻速直線運動
一個勻速直線
運動和一個勻
變速直線運動 v0≠0,a≠0且v0與a不共線 勻變速曲線運動
兩個初速度不
為0的勻變速
直線運動 v0與a共線時 勻變速直線運動
v0與a不共線時 勻變速曲線運動
兩個初速度
為0的勻加
速直線運動 v0=0,a≠0 勻加速直線運動
(運動方向與
a的方向相同)
例1　一架小型無人機在高空中飛行,將其運動沿水平方向和豎直方向分解,水平位移x 隨時間t變化的圖像如圖甲所示,豎直方向的速度vy隨時間t變化的圖像如圖乙所示。關 于此無人機的運動,下列說法正確的是 (　 )
A.0~2 s內做勻加速直線運動
B.t=2 s時速度大小為 m/s
C.2~4 s內加速度大小為1 m/s2
D.0~4 s內位移大小為10 m
解析 對無人機,0~2 s內,由題圖甲知,水平方向做勻速直線運動,由題圖乙知,豎直方
向做勻加速直線運動,則0~2 s內做勻加速曲線運動,故A錯誤;水平方向速度大小vx=1 m /s,t=2 s時豎直方向速度大小vy=2 m/s,則t=2 s時速度大小v= = m/s,故B正確;2
~4 s內水平方向、豎直方向均做勻速直線運動,加速度大小為0,故C錯誤;0~4 s內水平 方向位移大小x=4 m,豎直方向位移大小y= ×2×2 m+(4-2)×2 m=6 m,則位移大小s=
=2 m,故D錯誤。
答案 B
情況 圖示 說明
渡河時
間最短 當船頭垂直河岸時,渡河時間最 短,最短時間tmin=
三、小船渡河問題
渡河位
移最小 當v水 當v水>v船時,船頭方向(即v船方向) 與合速度方向垂直,渡河位移最 小,最小渡河位移xmin=
點撥拓展 要區分小船的合速度與分速度。分速度包含水流速度、船自身動力產生 的速度(或在靜水中的速度);合速度指的是小船的實際速度。
四、關聯速度問題
1.題型特點
與繩(桿)相連的物體運動方向與繩(桿)不在一條直線上,沿繩(桿)方向的速度分量大小 相等。
2.分解原則
3.解題原則
沿繩、桿方向速度大小相等,垂直于接觸面方向速度大小相等。
4.關聯速度的幾種常見情境
情境圖示 分解圖示 定量結論
vB=v1=
vA cos θ
v0=v1=
vA cos θ
vA1=vB1,則
vA cos α=
vB cos β

(注:A沿斜面下滑) vA1=vB1,則
vA cos α=
vB sin α
例2　一輕桿兩端分別固定質量為mA和mB的兩個小球A和B(均可視為質點)。將其放在一個光滑球形容器中從位置1開始下滑,如圖所示,當輕桿到達位置2時球A與球形容器球心等高,其速度大小為v1,已知此時輕桿與水平方向夾角θ=30°,B球的速度大小為v2,則 (　 )
A.v2= v1　　　　　　　 B.v2=2v1
C.v2=v1　　　　　　　 D.v2= v1
解析 球A與球形容器球心等高,速度v1方向豎直向下,速度分解如圖所示。
有v11=v1 sin 30°= v1,球B此時速度方向與桿的夾角α=60°,因此v21=v2 cos 60°= v2,沿桿方
向兩球速度相等,即v21=v11,解得v2=v1,C項正確。
答案 C
考點二　拋體運動
一、平拋運動
1.運動條件:只受重力作用,初速度不為零且沿水平方向。
2.研究方法:平拋運動可分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體 運動。
3.基本規律

(1)位移關系

(2)速度關系

(3)軌跡方程:y= x2。
4.平拋運動的幾個常用結論
表達式 取決因素
飛行時間 t= 由下落高度h決定,與初速度v0無 關
水平位移 x=v0 由初速度v0和下落高度h共同決 定
落地速度(θ
為落地前瞬
間速度與水
平方向間的
夾角) 大小v= 由初速度v0和下落高度h共同決 定
方向滿足
tan θ= =
5.平拋運動中速度和位移的變化規律
(1)速度的變化規律
相等時間ΔT內的速度變化量相等:Δv=gΔT,方向豎直向下,如圖所示。
(2)位移的變化規律
①相等時間ΔT內的水平位移相等:Δx=v0ΔT。
②連續相等時間ΔT內,豎直方向上的位移差不變,即Δy=g(ΔT)2。
6.平拋運動的兩個重要推論
(1)推論一:如圖所示,平拋運動任意時刻的速度偏轉角θ與位移偏轉角α滿足 tan θ=2 tan α。
推導: →tan θ=2 tan α。
(2)推論二:平拋運動任意時刻的速度反向延長線通過對應水平位移的中點。
推導: →xB= 。
例3　如圖所示,光滑直管MN傾斜固定在水平地面上,直管與水平地面間的夾角為45°, 管口到地面的高度h=0.4 m;在距地面高H=1.2 m處有一固定彈射裝置,可以沿水平方向 彈出直徑略小于直管內徑的小球。某次彈射的小球恰好無碰撞地從管口M處進入管 內,設小球彈出點O到管口M的水平距離為x,彈出的初速度大小為v0,重力加速度g取10 m/s2。關于x和v0的值,下列選項正確的是 (　 )
A.x=1.6 m,v0=4 m/s
B.x=1.6 m,v0=4 m/s
C.x=0.8 m,v0=4 m/s
D.x=0.8 m,v0=4 m/s
解析 由題意可知,彈出后小球做平拋運動,到管口M時的速度方向沿直管方向,根據
平拋運動的推論,做平拋運動的物體任意時刻速度方向的反向延長線過水平位移的中 點,如圖所示。
根據幾何關系得x=2(H-h)=1.6 m(恰好無碰撞地進入管內,說明末速度方向與水平地面 間的夾角為45°),小球在豎直方向做自由落體運動,根據公式y= gt2得小球從O點到M
點的運動時間t= =0.4 s,水平方向做勻速運動,有v0= =4 m/s,故選A。
一題多解 本題還可以分解末速度,列表達式tan 45°= = ,y= gt2=H-h,聯立可先
求出t與v0,再由x=v0t求出x。
答案 A
二、類平拋運動的特點及處理方法
1.平拋運動的初速度水平,只受重力,加速度a=g;類平拋運動的初速度不一定水平,但合
力方向與初速度方向垂直且為恒力,其加速度a= 恒定。
2.解決類平拋運動的核心思想仍然是運動的分解。
(1)常規分解法:將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方 向的勻加速直線運動。
(2)特殊分解法:對于有些問題,可以過拋出點建立適當的直角坐標系,將加速度a分解為 ax、ay,初速度v0分解為vx、vy,然后分別在x、y方向上列方程求解 。
例4　如圖所示,將小球從傾角θ=30°的光滑斜面上A點以速度v0=10 m/s水平拋出(即v0 ∥CD),最后從B處離開斜面,已知AB間的高度差h=5 m,g取10 m/s2,不計空氣阻力。下 列說法正確的是 (　 )
A.小球的加速度大小為 m/s2
B.小球做平拋運動,運動軌跡為拋物線
C.小球到達B點時的速度大小為10 m/s
D.小球從A點運動到B點所用的時間為1 s
解析 根據牛頓第二定律有mg sin θ=ma,解得a=g sin θ=g sin 30°=10× m/s2=5 m/s2,
故A錯誤。小球沿CE方向加速度恒定,做勻加速運動,沿CD方向做勻速運動,故小球做 類平拋運動,運動軌跡為拋物線,故B錯誤。沿CE方向小球做勻加速運動,根據位移時 間關系式可得 = at2,代入數據解得t=2 s,小球到達B點時的速度大小vB=
= m/s=10 m/s,故C正確,D錯誤。
答案 C
三、斜拋運動
1.定義:將物體以初速度v0斜向上方或斜向下方拋出,物體只受重力作用的運動。
2.性質:斜拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動,運動軌跡是拋物線。
3.研究方法:運動的合成與分解。
(1)水平方向:勻速直線運動。
(2)豎直方向:勻變速直線運動。
對于斜上拋運動,如果拋出點與末位置等高,通常可以將斜拋運動從最高點分段研究,
后半段相當于平拋運動,前半段相當于反向的平拋運動。
4.基本規律(以斜上拋運動為例,如圖所示)
(1)水平方向:v0x=v0 cos θ,F合x=0。
(2)豎直方向:v0y=v0 sin θ,F合y=-mg。
考點三　圓周運動
一、圓周運動的運動學問題
1.勻速圓周運動
(1)定義:做圓周運動的物體,若在相等的時間內通過的弧長都相同,則該物體做的是勻 速圓周運動。
(2)特點:加速度大小不變,方向(時刻改變)始終指向圓心,是變加速運動。
(3)條件:合力大小不變,方向始終與速度方向垂直且指向圓心。
2.描述圓周運動的物理量及其相互關系
共軸傳動 皮帶傳動 齒輪傳動 摩擦傳動
傳
動
裝
置
圖
3.常見的幾種傳動方式及其特點
基
本
特
征 角速度相同 輪緣或嚙合處線速度大小相等
轉動方
向相同 轉動方
向相同 轉動方向相反
定
量
關
系 ωA=ωB
vA∶vB=r∶R
aA∶aB=r∶R vA=vB,ωA∶ωB=R∶r
aA∶aB=R∶r
(齒數比等于半徑比)
二、圓周運動的動力學問題
1.勻速圓周運動的向心力
(1)作用效果:向心力產生向心加速度,只改變速度的方向,不改變速度的大小。
(2)大小:Fn=m =mrω2=m r=mωv。
(3)方向:始終沿半徑方向指向圓心,時刻在改變,即向心力是一個變力。
(4)來源:向心力可以由一個力提供,也可以由幾個力的合力提供,還可以由一個力的分 力提供。
2.向心力與向心加速度
(1)向心力是產生向心加速度的原因。向心加速度由物體的向心力和物體的質量決
定。
(2)向心力和向心加速度瞬時對應。
點撥拓展 對于非勻速圓周運動,合力不是向心力,合力指向圓心方向的分力提供向 心力。
3.圓周運動中的動力學問題的解題思路
圓周運動圖例 向心力分析
靜摩擦力提供向心力
f=Fn=m =mω2r=
m r=ma
圓筒給木塊的壓力(彈力)提供向心力
N=Fn=m =mω2r=
m r=ma
4.水平面內勻速圓周運動的幾種常見模型
重力與彈力的合力提供向心力
Fn=
重力與拉力的合力提供向心力
Fn=mg tan θ
軌道對列車彈力的水平方向的分力提供向心力
Fn=mg tan θ
例5　如圖所示,一根細線下端拴一個金屬小球Q,細線穿過小孔(小孔光滑),另一端連 接在金屬塊P上,P始終靜止在水平桌面上,若不計空氣阻力,小球在某一水平面內做勻 速圓周運動(圓錐擺)。實際上,小球在運動過程中不可避免地受到空氣阻力作用。因 阻力作用,小球Q的運動軌道發生緩慢的變化(可視為一系列半徑不同的圓周運動)。 下列判斷正確的是 (　 )
A.小球Q的位置越來越高
B.細線的拉力變小
C.小球Q運動的角速度變大
D.P受到桌面的靜摩擦力變大
解析 由于小球受到空氣阻力作用,線速度減小,則所需要的向心力減小,小球做近
心運動,
小球的位置越來越低,故A錯誤;設細線與豎直方向的夾角為θ,細線的拉力大小為T,小 孔下方細線的長度為L,當小球做勻速圓周運動時,由重力和細線的拉力的合力提供向 心力,如圖所示,則有T= ,mg tan θ=m =mω2L sin θ,解得ω= ,由于小球受
到空氣阻力作用,線速度減小,θ減小, cos θ增大,因此,細線的拉力T減小,角速度ω減小, 故B正確,C錯誤;對金屬塊P,由平衡條件知,P受到桌面的靜摩擦力大小等于細線的拉 力大小,拉力減小,則P受到桌面的靜摩擦力變小,故D錯誤。
答案 B
三、離心現象
1.定義:當提供的向心力小于物體做圓周運動所需的向心力時,物體遠離圓心的現象稱
為離心現象。
2.受力與運動特點
(1)勻速直線運動:F=0;
(2)離心運動:0(3)勻速圓周運動:F=mω2r;
(4)近心運動:F>mω2r。
微專題3　有約束條件的平拋運動問題
一、斜面約束的平拋運動問題
1.已知速度方向
圖示 方法 基本規律
分解速度,構建速度的矢 量三角形 水平速度vx=v0
豎直速度vy=gt
合速度v= 由tan θ= = 得t=

由tan θ= = 得t=

在運動起點同時分解 v0、g 由0=v1-a1t,0- =-2a1d得t= ,d=
圖示 方法 基本規律
分解位移,構建位移的矢 量三角形 水平位移x=v0t
豎直位移y= gt2
合位移大小s= 由tan θ= = 得t=

2.已知位移方向
例1　如圖所示,從傾角為θ的斜面上的A點以初速度v0水平拋出一個物體,物體落在斜 面上的B點,不計空氣阻力。求:
(1)拋出后經多長時間物體與斜面間距離最大
(2)A、B間的距離為多少
解析 解法一 (1)以拋出點為坐標原點,
沿斜面方向為x軸,垂直于斜面方向為y軸,建立坐標系,如圖(a)所示。vx=v0 cos θ,vy=v0 sin θ,ax=g sin θ,ay=g cos θ。物體沿斜面方向做初速度為vx、加速度為ax的勻加速直線 運動,垂直于斜面方向先做初速度為vy、加速度為ay的勻減速直線運動,類似于豎直上 拋運動。令vy'=v0 sin θ-g cos θ·t=0,此時物體與斜面間的距離最大,即t= 。
(2)當t= 時,物體離斜面最遠,由對稱性可知總飛行時間T=2t= ,A、B間距離
s=v0 cos θ·T+ g sin θ·T2= 。
圖(b)
解法二 (1)設物體運動到C點離斜面最遠,所用時間為t,將v分解成vx和vy,如圖(b)所示。
圖(c)
由tan θ= = ,得t= 。
(2)設由A到B所用時間為t‘,水平位移為x,豎直位移為y,如圖(c)所示 。
圖(d)
由圖可得tan θ= ,y=x tan θ①,y= gt'2②,x=v0t'③,由①②③式得t'= ,而x=v0t'=
,因此A、B間的距離s= = 。
解法三 (1)如圖(d)所示。
當速度方向與斜面平行時,物體離斜面最遠,此時v的反向延長線通過此時水平位移AP 的中點Q,則 tan θ= = ,t= 。
(2)lAC=y= gt2= ,而由幾何關系可知lAC∶lCD=1∶3,所以lAD=4y= ,A、B間距
離s= = 。
答案 (1) (2)
運動情境 物理量分析
tan θ= = →t=
在半圓內的平拋運動,R+ =v0t→t=

二、圓弧面(或曲面)約束的平拋運動問題
小球恰好從圓柱體Q點沿切線飛過,此時半徑OQ 垂直于速度方向,圓心角θ與速度的偏轉角相等
微專題4　曲線運動中的臨界問題
一、平拋運動的臨界問題
1.平拋運動的臨界問題的兩種常見情境
(1)物體有最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度等。
(2)物體的速度方向恰好為某一方向。
2.處理平拋運動的臨界問題的關鍵
(1)關于臨界條件的關鍵信息:“恰好不出界”“剛好飛過壕溝”“速度方向恰好與斜 面平行”“速度方向與圓周相切”等。
(2)解題關鍵:從實際出發尋找臨界點,畫出物體運動的草圖,確定臨界條件。
例2　“山西刀削面”傳統的操作手法是一手托面,一手拿刀,直接將面削到開水鍋 里。如圖所示,小面圈剛被削離時距開水鍋的高度為h,與鍋沿的水平距離為L,鍋的半 徑也為L。將削出的小面圈的運動視為平拋運動,且小面圈都落入鍋中,重力加速度為 g。關于所有小面圈在空中運動的描述,下列說法錯誤的是 (　 )
A.運動的時間都相同
B.速度的變化量都相同
C.落入鍋中時,最大速度是最小速度的3倍
D.若初速度為v0,則L 解析 每個小面圈做平拋運動下落的高度相同,則運動的時間都相同,A正確。根據
Δv=gt可知,每個小面圈速度的變化量都相同,B正確。落入鍋中時(邊界條件:最大水平 距離為3L,最小水平距離為L),最大水平速度v0max= ,最小水平速度v0min= ,合速度v=
,其中t= ,則最大速度不是最小速度的3倍(點撥:最大水平速度是最小水
平速度的3倍),初速度v0的范圍為L 答案 C
二、水平圓周運動中的臨界問題
與彈力有關的臨界問題 與摩擦力有關的臨界問題
情境
圖示
受力
示意圖
力學
方程 豎直方向:T cos θ+FN sin θ=mg
水平方向:T sin θ-FN cos θ=mω2l sin θ 對B:T=mBg
對A:T+f=mAω2r
臨界
特征 當FN=0,即ω= 時,小球即將
“飄起來” 當f=fm時,A物體即將相對圓盤滑 動
例3　一定質量的小球由輕繩a和b分別系于一輕質豎直細桿的A點和B點,如圖所示。 當輕桿繞軸AB勻速轉動時,帶動小球在水平面內做勻速圓周運動,轉動過程中繩a、b 均處于伸直狀態,且繩b水平。下列說法正確的是 (　 )
A.繩a中張力可能為0
B.繩b中張力不可能為0
C.角速度越大,繩a的拉力越大
D.若剪斷b繩,繩a的拉力大小可能不變
解析 小球做勻速圓周運動,在豎直方向合力為0,水平方向的合力提供小球做圓周
運動的向心力,故繩a在豎直方向上的分力與小球受到的重力相等,即繩a中的張力不 可能為0,故A錯誤。小球在水平面內做勻速圓周運動,繩a與繩b在水平方向的分力之 和提供小球做圓周運動的向心力,故繩b中張力可能為0,此時繩a水平方向的分力提供 小球做圓周運動的向心力,若此時剪斷繩b,繩a的拉力大小不變,故B錯誤,D正確。由
上述分析可知,繩a在豎直方向的分力等于小球受到的重力,即Fa sin θ=mg,Fa= ,故
繩a的拉力大小與角速度無關,故C錯誤。
答案 D
三、豎直圓周運動中的臨界問題
輕“繩”模型 輕“桿”模型
情境
圖示
彈力
特征 彈力可能向下,也可能等于零 彈力可能向下,可能向上,也可能 等于零
最高點受
力示意圖
最高點力學方程 mg+FT=m mg±FN=m
最高點臨界特征 FT=0,即mg=m ,得v= v=0,FN為支持力,
此時FN=mg
模型關鍵 (1)“繩”只能對小球施加拉力
(2)小球通過最高點的速度至少 為 (1)“桿”對小球的作用力可以 是拉力,也可以是支持力
(2)小球通過最高點的速度最小 可以為0
例4　如圖甲所示,用一輕質繩拴著一質量為m的小球,在豎直平面內做圓周運動(不計 一切阻力)。小球運動到最高點時繩對小球的拉力為F,小球在最高點的速度大小為v, 其F-v2圖像如圖乙所示,則 (　 )
A.輕質繩長為
B.當地的重力加速度為
C.當v2=c時,輕質繩的拉力大小為 +a
D.只要v2≥b,小球在最低點和最高點時繩的拉力差均為6a
解析 當小球運動到最高點時,對小球受力分析,由牛頓第二定律有F+mg= ,可得
F= -mg,可知圖線斜率k= = ,可得輕質繩長l= m,故A錯誤。由題圖可知縱截距的
絕對值a=mg,則有g= ,故B錯誤。由題圖可知F= v2-a,故當v2=c時,有F= -a,故C錯
誤。從最高點到最低點,由機械能守恒定律有2mgl= mv'2- mv2,在最低點對小球受力
分析,由牛頓第二定律有F'-mg= ,聯立可得小球在最低點和最高點時繩的拉力差F'-
F=6mg=6a,故D正確。
答案 D
歸納總結
豎直圓周運動臨界問題的思維流程

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