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函數(shù)概念5分小題問題的類型與解法
函數(shù)概念問題是近幾年高考的熱點內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是高考試卷，就必然涉及到函數(shù)概念的問題。從題型上看是選擇題（或填空題），難度系數(shù)為低（或中）檔，但也有可能出現(xiàn)高檔難度的問題。縱觀近幾年各種考試試卷，歸結(jié)起來函數(shù)概念問題主要包括：①函數(shù)圖像及運用；②函數(shù)定義及運用；③求函數(shù)值的問題；④求函數(shù)值域（或最值）的問題；⑤函數(shù)零點及運用等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實際解答函數(shù)概念問題時，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、（理）函數(shù)f(x)=-+（-）sinx的大致圖像為（ ）
（文）函數(shù)f(x)=-+（-）sinx在區(qū)間[-2.8,2.8]的大致圖像為（ ）（2024全國高考甲卷）
2、已知函數(shù)f(x)的大致圖像如圖所示，則f(x)的解析式可以為（ ）（成都市高20211級高三一診）
A f(x)= B f(x)= C f(x)= D f(x)=
3、函數(shù)f(x)=的圖像大致為（ ）（成都市高2020級高三三珍）
4、函數(shù)y=（-）cosx在區(qū)間[-，]的圖像大致為（ ）（2022全國高考甲卷）
5、如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[-3，3]的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）（2022全國高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
『思考問題1』
（1）【典例1】是函數(shù)圖像及運用的問題，這類問題主要包括：①已知函數(shù)解析式，求作函數(shù)圖像；②函數(shù)圖像的平移變換；③函數(shù)圖像的伸縮變換；④函數(shù)圖像的對稱變換；⑤函數(shù)圖像的翻折變換；⑥函數(shù)圖像的旋轉(zhuǎn)變換；解答這類問題需要理解函數(shù)圖像的定義，掌握函數(shù)圖像的基本作法；⑦函數(shù)圖像的識圖和變圖；⑧函數(shù)圖像的運用問題；
（2）作函數(shù)圖像的基本方法有：①直接作圖法；②描點作圖法；③圖像變換法；
(3)函數(shù)圖像的識圖與辨圖問題主要包括：①已知函數(shù)圖像，確定函數(shù)解析式選；②已知函數(shù)解析式，確定函數(shù)的圖像；
（4）已知函數(shù)圖像，確定函數(shù)解析式的基本方法是：①從圖像的左右，上下分布觀察函數(shù)定義域域和函數(shù)的值域；② 從圖像的變化趨勢觀察函數(shù)的單調(diào)性；③ 從圖像的對稱性觀察函數(shù)的奇偶性；④從圖像的循環(huán)往復(fù)觀察函數(shù)的周期性；
（5）已知函數(shù)的解析式，確定函數(shù)圖像的基本方法是：①從函數(shù)的定義域判斷圖像的左右位置，從函數(shù)的值域判斷圖像上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖像的變化趨勢；③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對稱性；④從函數(shù)的周期性，判斷圖像的循環(huán)往復(fù)；⑤從函數(shù)的極值點判斷函數(shù)的最值點。
（6）函數(shù)圖像的運用問題主要包括：①運用函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)；②運用函數(shù)圖像求解不等式；③運用函數(shù)圖像求函數(shù)的零點；
（7）解答函數(shù)圖像運用問題的常用方法是：①定性分析法；②定量分析法；③函數(shù)模型法。
[練習(xí)1]解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4，則=（ ）（2022全國高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
2、函數(shù)f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的圖像大致為（ ）（2020成都市高三二診）
3、函數(shù)y=在［-6，6］的圖像大致為（ ）（2019全國高考新課標III）
【典例2】解答下列問題：
已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(xy)=f(x)+f(y)，則（ ）（2023全國高考新高考I）
A f(0)=0 B f(1)=0 C f(x)是偶函數(shù) D x=0為f(x)的極小值點
2、在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v（單位：km/s）與燃料的質(zhì)量M（單位：kg），火箭(除燃料外)的質(zhì)量m（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是v=2000ln(1+)，當燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時，火箭的最大速度可達到km/s，若要使火箭的最大速度達到2km/s，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為（ ）（成都市2019級高三二診）
A 2 B + C 2 D +2
3、基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時間。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I（t）= 描述累計感染病例數(shù)，I（t）隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與.T近似滿足=1+rT，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出=3.28，T=6，據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍，需要的時間約為（ ）（ln20.69）（2020全國高考新高考I）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
『思考問題2』
（1）【典例2】是函數(shù)解析式即運用的問題，解答這類問題需要理解函數(shù)解析式的定義，掌握求函數(shù)解析式的基本方法；
（2）函數(shù)解析式是指表示函數(shù)y與自變量x之間的關(guān)系的式子；
（3）求函數(shù)解析式的基本方法有：①待定系數(shù)法；②拼湊法；③換元法；④運用方程思想求解函數(shù)解析式；⑤直接代入法；⑥運用軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質(zhì)求函數(shù)解析式；⑦根據(jù)應(yīng)用問題的類型與特征求函數(shù)解析式。
[練習(xí)2]解答下列問題：
1、在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能夠完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作，已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新增訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）（2020全國高考新課標II）
A 10名 B 18名 C 24名 D 32名
【典例3】解答下列問題：
設(shè)f(x)=，0A 14 2（x-1），x 1， B 16 C 2 D 6
2、已知函數(shù)f(x)=-2，x<0，則 f(-1)+f(1)=（ ）（成都市高2021級高三一診）
A -1 sin，x≥0， B 0 C 1 D 2
3、（理）已知函數(shù)f(x)=，x≥1，則f(2)的值為 。
，x<1，
（文）已知函數(shù)f(x)=，x≥1，則f(4）的值為 。（成都市高2021級高三三珍）
，x<1，
4、已知函數(shù)f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，則a=（）（成都市2020級高
+a，x0，三零診）
A - B 0 C 1 D 2
5、已知函數(shù)f(x)= （2-x），x<1，則f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019級高三零診）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
6、已知函數(shù)f(x)= |x-1|，x0，則f(f())=（ ）（2021成都市高三零診）
A 0 lnx， x>0， B 1 C e-1 D 2
『思考問題3』
（1）【典例3】是求函數(shù)值的問題，這類問題主要包括：①已知函數(shù)的解析式，求函數(shù)值；②分段函數(shù)求值；③抽象函數(shù)求值，解答這類問題需要理解函數(shù)值的定義，掌握求函數(shù)值的基本方法；
（2）已知函數(shù)的解析式，求函數(shù)值的基本方法是：①把給定的自變量x的值代入函數(shù)解析式；②通過運算求出結(jié)果；
（3）分段函數(shù)求值的基本方法是：①確定給定的自變量屬于哪一段，在此基礎(chǔ)上選定函數(shù)求值時符合的解析式；②把自變量代入選定的解析式，并通過運算求出結(jié)果；
（4）抽象函數(shù)求值的基本方法是賦值法，其基本步驟是：①確定求所求函數(shù)值需要求出哪些自變量的函數(shù)值；②確定求各個自變量函數(shù)值時需要賦的值；③求出所求自變量的函數(shù)值。
[練習(xí)3]解答下列問題：
1、函數(shù)f(x)= -x，x＜1，若f(a)=2，則a的值為 。（2021成都市高三二診）
+1，x1,
2、已知函數(shù)f(x)= sin(x+)，x0，則f(-2)+ f(1)=（ ）（2020成都市高三零診）
+1， x>0，
A B C D
3、已知函數(shù)f(x)= -3x，則“a>1”是“f(a)> f(1)”的（ ）（2020成都市高三三診）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
【典例4】解答下列問題：
設(shè)函數(shù)f(x)=（x+a）ln（x+b），若f(x)≥0，則+的最小值為（ ）（2024全國高考新高考II）
A B C D 1
2、下列函數(shù)最小值為4的是（ ）（2021全國高考乙卷）
A y=+2x+4 B y=|sinx|+ C y=+ D y=lnx+
3、函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為 （2021全國高考新高考I）
『思考問題4』
（1）【典例4】求函數(shù)值域（或最值）的問題，解答這類問題需要理解函數(shù)值域（或最值）的定義，掌握求函數(shù)值域（或最值）的基本方法；
（2）求函數(shù)值域的常用方法有：①運用基本函數(shù)的值域求值域；②常數(shù)分離法；③配方法；④判別式法；⑤換元法；⑥運用重要不等式求函數(shù)的值域；⑦數(shù)形結(jié)合法；⑧運用函數(shù)的單調(diào)性求值域；⑨運用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求值域；
（3）求函數(shù)最值的基本方法是：①求出函數(shù)的值域；②確定函數(shù)的最值。
[練習(xí)4]解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)=| -1|，<0，>0，函數(shù)f(x)在點A（，f()）和B（，f()）的兩條切線互相垂直，且分別交Y軸于M，N兩點，則取值范圍是 （2021全國高考新高考II）
【典例5】解答下列問題：
設(shè)、函數(shù)f(x)=-1，g(x)=cosx+2ax（a為常數(shù)），當x（-1，1）時，曲線y=f(x)與y=g(x）恰有一個交點，則a=（ ）（2024全國高考新高考II）
A -1 B C 1 D 2
2、函數(shù)f(x)= -2023|x-2|的零點個數(shù)為（ ）（成都市高2021級高三零診）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、已知f(x)為函數(shù)y=cos（2x+ ）向左平移個單位所得函數(shù)，則y=f(x)與y=x-的交點個數(shù)為（ ）（2023全國高考甲卷）
A 1 B 2 C 3 D 4
4、（理）若正實數(shù)是函數(shù)f(x)=x-x-的一個零點，是函數(shù)g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的
一個大于e的零點，則的值為（ ）（成都市2020級高三零診）
A B C e D
5、（理）已知函數(shù)f(x)= ，x>0，則關(guān)于x的方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的個
x，x0，數(shù)有可能值為（ ）
A 3或4或6 B 1或3 C 4或6 D 3
（文）已知函數(shù)f(x)= |lnx|，x>0，若函數(shù)g(x)= f(x) –m(mR)有三個不同的零點，，，
-3-x，x0，則..的值為（ ）（成都市2019級高三一診）
A 0 B - C 0或- D 0或-
6、（理）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當x[0，1]時，f(x)=，則函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點之和為 。
（文）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當x[0，1]時，f(x)=，則函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點之和為 （成都市2019級高三二診）
『思考問題5』
（1）【典例5】是與函數(shù)零點及運用的問題，解答這類問題需要理解函數(shù)零點的定義，同時注意方程的解，函數(shù)圖像與X軸的交點，函數(shù)零點之間的關(guān)系；
（2）方程的解，函數(shù)圖像與X軸的交點，函數(shù)零點之間的關(guān)系是：方程f(x)=0有解函數(shù)y=f(x)的圖像與X軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點；
（3）判斷函數(shù)是否有零點（或零點個數(shù)）的基本方法是：①解方程法：令f(x)=0，如果方程有解，則方程有幾個解函數(shù)y=f(x)就有幾個零點；②運用函數(shù)零點存在定理，具體運用定理時應(yīng)該注意：1＞函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔a,b〕上的圖像是連續(xù)的曲線，2＞f(a).f(b)<0，3＞結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)得出結(jié)果；③數(shù)形結(jié)合法：把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與X軸的交點問題（或兩個函數(shù)圖像的交點的問題）。
[練習(xí)5]解答下列問題：
1、（理）若函數(shù)f(x)= + 的零點為，則（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函數(shù)f(x)= x-x-lnx-1的零點個數(shù)為（ ）（成都市2019級高三三珍）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、若函數(shù)f(x)= -3+a有且僅有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）（2021成都市高三一診）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
3、（理）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)= f(x+2)，當x 2時，函數(shù)f(x)=（x-1）-1，若關(guān)于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A （- 2，0）（2，+） B （- 2，0）（0，2）
C （- e，0）（e，+） D （- e，0）（0，e）
（文）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)= f(x+2)，當x 2時，函數(shù)f(x)=x，若關(guān)于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）（2020成都市高三一診）
A （- 1，0）（0，1） B （- 1，0）（1，+）
C （- e，0）（0，e） D （- e，0）（e，+）
函數(shù)概念5分小題問題的類型與解法
函數(shù)概念問題是近幾年高考的熱點內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是高考試卷，就必然涉及到函數(shù)概念的問題。從題型上看可能是選擇題（或填空題），也可能是大題；難度系數(shù)為低（或中）檔，但也有可能出現(xiàn)高檔難度的問題。縱觀近幾年各種考試試卷，歸結(jié)起來函數(shù)概念問題主要包括：①函數(shù)圖像及運用；②函數(shù)定義及運用；③求函數(shù)值的問題；④求函數(shù)值域（或最值）的問題；⑤函數(shù)零點及運用等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實際解答函數(shù)概念問題時，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細解析來回答這個問題。
對稱圖形的性質(zhì)求函數(shù)解析式；⑦根據(jù)應(yīng)用問題的類型與特征求函數(shù)解析式。
【典例1】解答下列問題：
1、（理）函數(shù)f(x)=-+（-）sinx的大致圖像為（ ）
（文）函數(shù)f(x)=-+（-）sinx在區(qū)間[-2.8,2.8]的大致圖像為（ ）（2024全國高考甲卷）
【解析】
【考點】①函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；②函數(shù)導(dǎo)函數(shù)定義與性質(zhì)；③函數(shù)值定義與性質(zhì)；④判斷函數(shù)奇偶性的基本方法；⑤求函數(shù)值的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)函數(shù)奇偶性和函數(shù)值的性質(zhì)，運用判斷函數(shù)奇偶性和求函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問題條件得到函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可以排除A，C；求出f（）的值，從而破除D，就可得出選項。（文）根據(jù)函數(shù)奇偶性和函數(shù)值的性質(zhì)，運用判斷函數(shù)奇偶性和求函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問題條件得到函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可以排除A，C；求出f（）的值，從而破除D，就可得出選項。
【詳細解答】（理）函數(shù)f(x)的定義域為R關(guān)于原點對稱，f(-x)=- +（-）sin(-x)=-+（-）sinx=f(x)， 函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可以破除A，C；f（）=-+（-）sin=-+（-）>0，排除D，綜上所述，B正確，選B。
（文）函數(shù)f(x)的定義域為R關(guān)于原點對稱，f(-x)=- +（-）sin(-x)=-+（-）sinx=f(x)， 函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可以破除A，C；f（）=-+（-）sin=-+（-）>0，排除D，綜上所述，B正確，選B。
2、已知函數(shù)f(x)的大致圖像如圖所示，則f(x)的解析式可以為（ ）（成都市高20211級高三一診）
A f(x)= B f(x)= C f(x)= D f(x)=
【解析】
【考點】①函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；②指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；④判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運用判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，結(jié)合函數(shù)的大致圖像對各選項的解析式進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，函數(shù)f(x)的定義域為（-，0）（0，+）與圖像不符，A錯誤；對B，f(x)==，定義域為R，f(0)==0，f(-x)==-f(x)，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，當x→+時，函數(shù)f(x)的圖像與x軸無限逼近，函數(shù) f(x)=的大致圖像與已知圖像吻合，B正確，選B。
3、函數(shù)f(x)=的圖像大致為（ ）（成都市高2020級高三三珍）
【解析】
【考點】①函數(shù)圖像定義與性質(zhì)；②求定義域的基本方法；③判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法；④判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖像的性質(zhì)，運用求函數(shù)定義域，判斷函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的基本方法，求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性與奇偶性，從而確定出函數(shù)f(x)的大致圖像就可得出選項。
【詳細解答】函數(shù)f(x)的定義域為（-，-）（-，）（，+），可以排除D；f(-x)===f(x)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當x（-，）時，f(x)=<0，當x（-，-）（，+）時，f(x)=>0，可以排除C；當x相當大時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，可以排除B，A正確，選A。
4、函數(shù)y=（-）cosx在區(qū)間[-，]的圖像大致為（ ）（2022全國高考甲卷）
【解析】
【考點】①指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；②余弦三角函數(shù)定義與性質(zhì)；③函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；④判斷函數(shù)奇偶性的基本方法；④函數(shù)圖像及運用。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，余弦三角函數(shù)和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，運用判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，得到函數(shù)y=（-）cosx是奇函數(shù)，從而排除B，D；當x（0，]時，->0，cosx>0，從而得到y(tǒng)=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出選項。
【詳細解答】設(shè)f(x)= （-）cosx，區(qū)間[-，]關(guān)于原點對稱，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函數(shù)f(x)在[-，]上是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，B，D錯誤；當x（0，]時，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C錯誤，A正確，選A。
5、如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[-3，3]的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）（2022全國高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【考點】①函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；②余弦三角函數(shù)定義與性質(zhì)；③正弦三角函數(shù)定義與性質(zhì)；④冪函數(shù)定義與性質(zhì)；⑤判斷函數(shù)奇偶性的基本方法；⑥函數(shù)圖像及運用。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性，冪函數(shù)，余弦三角函數(shù)和正弦三角函數(shù)的性質(zhì)，運用函數(shù)圖
像和判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，對各選項的函數(shù)進行判斷，就可得出選項。
【詳細解答】對A，設(shè)f(x)= ， f(-x)= = =-
=- f(x)，函數(shù)f(x)奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，與已知圖像符合； f(1)
= =1，f(3)= =-<0，與已知圖像符合，A正確；對B，設(shè)g(x)= ， g(-x) ===-=- g(x)，函數(shù)g(x)奇函數(shù)，函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于原點對稱，與已知圖像符合； g(1)= =0，，g(3)= =>0，與已知圖像不符合，B錯誤；對C，h(x)= ， h(-x)= = =-=- h(x)，函數(shù)f(x)奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，與已知圖像符合；0< h(1)= =cos1<1，與已知圖像不符合，C錯誤；對D，u(x)= ，
u(-x)= = =-=- u(x)，函數(shù)f(x)奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，與已知圖像符合；0< u(1)= =sin1<1，與已知圖像不符合，D錯誤，綜上所述，A正確，選A。
『思考問題1』
（1）【典例1】是函數(shù)圖像及運用的問題，這類問題主要包括：①已知函數(shù)解析式，求作函數(shù)圖像；②函數(shù)圖像的平移變換；③函數(shù)圖像的伸縮變換；④函數(shù)圖像的對稱變換；⑤函數(shù)圖像的翻折變換；⑥函數(shù)圖像的旋轉(zhuǎn)變換；解答這類問題需要理解函數(shù)圖像的定義，掌握函數(shù)圖像的基本作法；⑦函數(shù)圖像的識圖和變圖；⑧函數(shù)圖像的運用問題；
（2）作函數(shù)圖像的基本方法有：①直接作圖法；②描點作圖法；③圖像變換法；
(3)函數(shù)圖像的識圖與辨圖問題主要包括：①已知函數(shù)圖像，確定函數(shù)解析式選；②已知函數(shù)解析式，確定函數(shù)的圖像；
（4）已知函數(shù)圖像，確定函數(shù)解析式的基本方法是：①從圖像的左右，上下分布觀察函數(shù)定義域域和函數(shù)的值域；② 從圖像的變化趨勢觀察函數(shù)的單調(diào)性；③ 從圖像的對稱性觀察函數(shù)的奇偶性；④從圖像的循環(huán)往復(fù)觀察函數(shù)的周期性；
（5）已知函數(shù)的解析式，確定函數(shù)圖像的基本方法是：①從函數(shù)的定義域判斷圖像的左右位置，從函數(shù)的值域判斷圖像上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖像的變化趨勢；③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對稱性；④從函數(shù)的周期性，判斷圖像的循環(huán)往復(fù)；⑤從函數(shù)的極值點判斷函數(shù)的最值點。
（6）函數(shù)圖像的運用問題主要包括：①運用函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)；②運用函數(shù)圖像求解不等式；③運用函數(shù)圖像求函數(shù)的零點；
（7）解答函數(shù)圖像運用問題的常用方法是：①定性分析法；②定量分析法；③函數(shù)模型法。
[練習(xí)1]解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4，則=（ ）（2022全國高考乙卷理）（答案：D）
A - 21 B -22 C -23 D -24
2、函數(shù)f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的圖像大致為（ ）（2020成都市高三二診）（答案：B）
3、函數(shù)y=在［-6，6］的圖像大致為（ ）（2019全國高考新課標III）（答案：B）
【典例2】解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(xy)=f(x)+f(y)，則（ ）（2023全國高考新高考I）
A f(0)=0 B f(1)=0 C f(x)是偶函數(shù) D x=0為f(x)的極小值點
【解析】
【考點】①抽象函數(shù)定義與性質(zhì)；②抽象函數(shù)求值的基本方法；③抽象函數(shù)判斷奇偶性的基本方法；④確定函數(shù)極值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，運用抽象函數(shù)求值，判斷奇偶性和確定極值的基本方法，對各個選項的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，當x=y=0時，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，A正確；對B，當x=y=1時，f(1)=f(1)+f(1)=0，f(1)=0，B正確；對C，當x=y=-1時，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0，f(-1)=0，當x=x，y=-1時，f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，C正確；對D，對任意的實數(shù)b，當x=y=b時，f(bb)=f(b)+f(b)=2f(b)=f()，f(b)=f()=0，函數(shù)f(x)=0在R是恒成立，f(x)不存在極值點，D錯誤，綜上所述，ABC正確，選ABC。
2、在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v（單位：km/s）與燃料的質(zhì)量M（單位：kg），火箭(除燃料外)的質(zhì)量m（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是v=2000ln(1+)，當燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時，火箭的最大速度可達到km/s，若要使火箭的最大速度達到2km/s，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為（ ）（成都市2019級高三二診）
A 2 B + C 2 D +2
【解析】
【考點】①對數(shù)定義與性質(zhì)；②函數(shù)解析式定義與性質(zhì)；④已知函數(shù)解析式與函數(shù)值，確定自變量值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)對數(shù)和函數(shù)解析式的性質(zhì)，運用函數(shù)解析式和已知函數(shù)解析式，函數(shù)值，確定自變量值的基本方法得到關(guān)于的方程，求解方程求出的值就可得出選項。
【詳細解答】當燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時，火箭的最大速度可達到km/s， =2000ln(1+)，v=2000ln(1+)=2=22000ln(1+), ln(1+)=2ln(1
+)=ln, 1+=, =+2,D正確，選D。
3、基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時間。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I（t）= 描述累計感染病例數(shù)，I（t）隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與.T近似滿足=1+rT，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出=3.28，T=6，據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍，需要的時間約為（ ）（ln20.69）（2020全國高考新高考I）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
【解析】
【考點】①函數(shù)定義與性質(zhì)；②求函數(shù)解析式的基本方法； ③已知函數(shù)值，求自變量的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)和求函數(shù)解析式的基本方法，求出累計感染病例數(shù)，I（t）隨時間t（單位：天）的函數(shù)解析式，運用已知函數(shù)值，求自變量的基本方法，求出累計感染病例數(shù)增加1倍，需要時間的近似值就可得出選項。
【詳細解答】設(shè)新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)b人，指數(shù)增長率r與.T近似
滿足=1+rT，當=3.28時，T=6，3.28=1+6r，r=0.38， I（t）= = ，
b= ，I（t+）= =.=b=2=2b，=2，0.38t
=ln20.69，t18(天)，B正確，選B。
『思考問題2』
（1）【典例2】是函數(shù)解析式即運用的問題，解答這類問題需要理解函數(shù)解析式的定義，掌握求函數(shù)解析式的基本方法；
（2）函數(shù)解析式是指表示函數(shù)y與自變量x之間的關(guān)系的式子；
（3）求函數(shù)解析式的基本方法有：①待定系數(shù)法；②拼湊法；③換元法；④運用方程思想求解函數(shù)解析式；⑤直接代入法；⑥運用軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質(zhì)求函數(shù)解析式；⑦根據(jù)應(yīng)用問題的類型與特征求函數(shù)解析式。
[練習(xí)2]解答下列問題：
1、在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能夠完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作，已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新增訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）（2020全國高考新課標II）（答案：B）
A 10名 B 18名 C 24名 D 32名
【典例3】解答下列問題：
1、設(shè)f(x)=，0A 14 2（x-1），x 1， B 16 C 2 D 6
【解析】
【考點】①分段函數(shù)定義與性質(zhì)；②冪函數(shù)定義與性質(zhì)；③分段函數(shù)求值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，運用分段函數(shù)求值的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于m的方程，求解方程求出m的值，從而求出f()的值就可得出選項。
【詳細解答】 ①當0m=，f()=f(8)=2（8-1）=14；②當m 1時，f(m)=2m-2，f(m+1)=2m，f(m)=f(m+1)，
2m-2=2m，顯然不成立，綜上所述，f()=14，A正確，選A。
2、已知函數(shù)f(x)=-2，x<0，則 f(-1)+f(1)=（ ）（成都市高2021級高三一診）
A -1 sin，x≥0， B 0 C 1 D 2
【解析】
【考點】①分段函數(shù)定義與性質(zhì)；②求分段函數(shù)值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，運用求分段函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問題條件求出 f(-1)+f(1)的值就可得出選項。
【詳細解答】-1<0， f(-1)=1-2=-1，1≥0， f(1)=sin=1，f(-1)+f(1)=-1+1=0，B正確，選B。
3、（理）已知函數(shù)f(x)=，x≥1，則f(2)的值為 。
，x<1，
（文）已知函數(shù)f(x)=，x≥1，則f(4）的值為 。（成都市高2021級高三三珍）
【解析】 ，x<1，
【考點】①分段函數(shù)定義與性質(zhì)；②指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；④求分段函數(shù)值的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)分段函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運用求分段函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出f(2)的值。 （文）根據(jù)分段函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運用求分段函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出f(2)的值。
【詳細解答】 （理）2<1，f(2)==。
（文） 4>1，f(4）==4。
4、已知函數(shù)f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，則a=（）（成都市2020級高三零診）
+a，x0，
A - B 0 C 1 D 2
【解析】
【考點】①分段函數(shù)定義與性質(zhì)；②冪函數(shù)定義與性質(zhì)；③指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；④分段函數(shù)求值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)，冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運用分段函數(shù)求值的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a的方程，求解方程求出a的值就可得出選項。
【詳細解答】 f(-1)=1+a，a>-1，1+a >0，f(f(-1))= =4=，1+a=2，即a=1，
C正確，選C。
5、已知函數(shù)f(x)= （2-x），x<1，則f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019級高三零診）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
【解析】
【考點】①分段函數(shù)定義與性質(zhì)；②求分段函數(shù)值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，運用求分段函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問題條件求出f(-2)+ f(ln4)的值就可得出選項。
【詳細解答】 -2<1， f(-2)= （2+2）=4=2，ln4>1， f(ln4)= =4，f(-2)+ f(ln4)=2+4=6，C正確，選C。
6、已知函數(shù)f(x)= |x-1|，x0，則f(f())=（ ）（2021成都市高三零診）
A 0 lnx， x>0， B 1 C e-1 D 2
【解析】
【考點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②分段函數(shù)求值的基本方法。
【解答思路】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)和求分段函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問題條件求出f(f())的函數(shù)值就可得出選項。
【詳細解答】 f()=ln=-1， f(-1)=|-1-1|=2， f(f()) =2，D正確，選D。
『思考問題3』
（1）【典例3】是求函數(shù)值的問題，這類問題主要包括：①已知函數(shù)的解析式，求函數(shù)值；②分段函數(shù)求值；③抽象函數(shù)求值，解答這類問題需要理解函數(shù)值的定義，掌握求函數(shù)值的基本方法；
（2）已知函數(shù)的解析式，求函數(shù)值的基本方法是：①把給定的自變量x的值代入函數(shù)解析式；②通過運算求出結(jié)果；
（3）分段函數(shù)求值的基本方法是：①確定給定的自變量屬于哪一段，在此基礎(chǔ)上選定函數(shù)求值時符合的解析式；②把自變量代入選定的解析式，并通過運算求出結(jié)果；
（4）抽象函數(shù)求值的基本方法是賦值法，其基本步驟是：①確定求所求函數(shù)值需要求出哪些自變量的函數(shù)值；②確定求各個自變量函數(shù)值時需要賦的值；③求出所求自變量的函數(shù)值。
[練習(xí)3]解答下列問題：
1、函數(shù)f(x)= -x，x＜1，若f(a)=2，則a的值為 。（2021成都市高三二診）
+1，x1,（答案：若f(a)=2，則a的值為-1。）
2、已知函數(shù)f(x)= sin(x+)，x0，則f(-2)+ f(1)=（ ）（2020成都市高三零診）
+1， x>0，（答案：C）
A B C D
3、已知函數(shù)f(x)= -3x，則“a>1”是“f(a)> f(1)”的（ ）（2020成都市高三三診）（答案：A）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
【典例4】解答下列問題：
1、設(shè)函數(shù)f(x)=（x+a）ln（x+b），若f(x)≥0，則+的最小值為（ ）（2024全國高考新高考II）
A B C D 1
【解析】
【考點】①一元一次函數(shù)定義與性質(zhì)；②對數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③一元二次函數(shù)定義與性質(zhì)；④求一元二次函數(shù)最值的基本方法。
【解答思路】根據(jù)一元一次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)盒一元二次函數(shù)的性質(zhì)，運用求一元二次函數(shù)最值的基本方法，結(jié)合問題條件求出+的最小值就可得出選項。
【詳細解答】f(x)=（x+a）ln（x+b）≥0，x+a≥0，且x+b≥1，或x+a≤0，且0-a=1-b，+=+=2-2b+1，當且僅當b=,即a=-,b=時，+=
+=為最小值，C正確，選C。
2、下列函數(shù)最小值為4的是（ ）（2021全國高考乙卷）
A y=+2x+4 B y=|sinx|+ C y=+ D y=lnx+
【解析】
【考點】①一元二次函數(shù)定義與性質(zhì)；②基本不等式及運用；③指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；④對數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；⑤求函數(shù)最值的基本方法。
【解答思路】根據(jù)一元二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式，運用求函數(shù)最值的基本方法，分別求出各選項函數(shù)的最小值就可得出選項。
【詳細解答】對A，函數(shù)y=+2x+4當且僅當x=- =-1時，=1+2 （-1）+4=3
4，排除A；對B，由|sinx|=，得|sinx|=2，而|sinx|1，等號不能成立，函數(shù)y=|sinx|+不存在最小值，排除B，對C，+=+2224，當且僅當=，即x=1時，等號成立，函數(shù)y=+最小值為4，C正確，選C。
3、函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為 （2021全國高考新高考I）
【解析】
【考點】①分段函數(shù)定義與性質(zhì)；②對數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③求函數(shù)最值的基本方法。
【解答思路】根據(jù)分段函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；運用求函數(shù)最值的基本方法就可求出函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值。
【詳細解答】①當x時，f(x)=|2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，x，（x）=2-=，
令（x）=0得：x=1，x[，1）時，（x）<0，x[1，+ ）時，（x）0，
函數(shù)f(x)在[，1）上單調(diào)遞減，在[1，+ ）上單調(diào)遞增，= f(x)=21-1-2ln1=1；②當0f()=1-2-2ln=2ln2>2ln>2>1，綜上所述，函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為1。
『思考問題4』
（1）【典例4】求函數(shù)值域（或最值）的問題，解答這類問題需要理解函數(shù)值域（或最值）的定義，掌握求函數(shù)值域（或最值）的基本方法；
（2）求函數(shù)值域的常用方法有：①運用基本函數(shù)的值域求值域；②常數(shù)分離法；③配方法；④判別式法；⑤換元法；⑥運用重要不等式求函數(shù)的值域；⑦數(shù)形結(jié)合法；⑧運用函數(shù)的單調(diào)性求值域；⑨運用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求值域；
（3）求函數(shù)最值的基本方法是：①求出函數(shù)的值域；②確定函數(shù)的最值。
[練習(xí)4]解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)=| -1|，<0，>0，函數(shù)f(x)在點A（，f()）和B（，f()）的兩條切線互相垂直，且分別交Y軸于M，N兩點，則取值范圍是 （2021全國高考新高考II）（答案：的取值范圍是（0，1）。）
【典例5】解答下列問題：
1、設(shè)、函數(shù)f(x)=a-1，g(x)=cosx+2ax（a為常數(shù)），當x（-1，1）時，曲線y=f(x)與y=g(x）恰有一個交點，則a=（ ）（2024全國高考新高考II）
A -1 B C 1 D 2
【解析】
【考點】①函數(shù)零點定義與性質(zhì)；②確定函數(shù)零點的基本方法。
【解答思路】根據(jù)函數(shù)零點的性質(zhì)，運用確定函數(shù)零點的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a的方程，求解方程求出a的值就可得出選項。
【詳細解答】 函數(shù)f(x)=a-1，g(x)=cosx+2ax（a為常數(shù)），曲線y=f(x)與y=g(x）恰有一個交點，方程a-1=cosx+2ax只有一個實數(shù)解，函數(shù)h(x)=a-cosx+a-1只有一個零點，函數(shù)h(x)的定義域為R關(guān)于原點對稱，h(-x)=a-cos(-x)+a-1=a-cosx+a-1
=h(x)，函數(shù)h(x)是偶函數(shù)，函數(shù)h(x)只有一個零點，h(0)=0-1+a-1=a-2=0，a=2，D正確，選D。
2、函數(shù)f(x)= -2023|x-2|的零點個數(shù)為（ ）（成都市高2021級高三零診）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考點】①函數(shù)零點定義與性質(zhì)；②指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③分段函數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；④確定函數(shù)零點的基本方法。
【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和函數(shù)零點的性質(zhì)，運用確函數(shù)零點的基本方法，結(jié)
合問題條件得出、函數(shù)f(x)= -2023|x-2|的零點個數(shù)就可得出選項。 y
【詳細解答】 f(x)= -2023|x-2|=0，=2023|x-2|， 1
在同一直角坐標系中作出函數(shù)y=和函數(shù)y=2023|x-2|的 0 1 2 x
圖像如圖所示，由圖知函數(shù)y=和函數(shù)y=2023|x-2|有三個不同的交點，函數(shù)f(x)=
-2023|x-2|的零點個數(shù)為3個，D正確，選D。
3、已知f(x)為函數(shù)y=cos（2x+ ）向左平移個單位所得函數(shù)，則y=f(x)與y=x-的交點個數(shù)為（ ）（2023全國高考甲卷）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考點】①三角函數(shù)圖像平移定義與性質(zhì)；②三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及運用；③正弦型三角函數(shù)定義與性質(zhì)；④函數(shù)零點定義與性質(zhì)；⑤確定函數(shù)零點的基本方法。
【解答思路】根據(jù)三角函數(shù)圖像平移的性質(zhì)和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合問題條件得到函數(shù)f(x)的解析式，運用正弦型三角函數(shù)，函數(shù)零點的性質(zhì)和確定函數(shù)零點的基本方法，求出函數(shù)y=f(x)與y=x-的交點個數(shù)就可得出選項。 y
【詳細解答】f(x)=cos[2（x+）+ ]
=cos(2x+）=-sin2x，在同一直角坐標系中 - ---0 x
作出函數(shù)f(x)與y=x-的圖像如圖所示，由圖知，函數(shù)f(x)與y=x-的交點有3個，
C正確，選C。
4、（理）若正實數(shù)是函數(shù)f(x)=x-x-的一個零點，是函數(shù)g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的
一個大于e的零點，則的值為（ ）（成都市2020級高三零診）
A B C e D
【解析】
【考點】①函數(shù)零點定義與性質(zhì)；②函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法；③運用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)零點的基本方法；④運用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解答思路】根據(jù)函數(shù)零點的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到（-1）= ，（-e）（ln-1）=，從而得到（-e）=，（ln-1）（-e）=（ln-1）（-e）=，由此得到（-e）=（ln-1）（-e），設(shè)函數(shù)h(x)=x(-e)，運用函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法求出函數(shù)h(x)的導(dǎo)函數(shù)（x），由（x）0在（0，+）上恒成立，得到函數(shù)h(x) 在（0，+）上單調(diào)遞增，從而得到=（ln-1），求出的值就可得出選項。
【詳細解答】正實數(shù)是函數(shù)f(x)=x-x-的一個零點，是函數(shù)g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的一個大于e的零點，--=0.，（-e）（ln（-1）-=0，（-1）=，（-e）（ln-1）=，（-e）=，（-e）（ln-1）=（ln-1）（-e）=，（-e）=（ln-1）（-e）=，設(shè)函數(shù)h(x)=x(-e)（x>0），（x）=-e+x=(x+1) -e0在（0，+）上恒成立，函數(shù)h(x) 在（0，+）上單調(diào)遞增， h()= h(ln-1)=， =ln-1，===e，C正確，選C。
5、（理）已知函數(shù)f(x)= ，x>0，則關(guān)于x的方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的個
x，x0，數(shù)有可能值為（ ）
A 3或4或6 B 1或3 C 4或6 D 3
（文）已知函數(shù)f(x)= |lnx|，x>0，若函數(shù)g(x)= f(x) –m(mR)有三個不同的零點，，，
-3-x，x0，則..的值為（ ）（成都市2019級高三一診）
A 0 B - C 0或- D 0或-
【解析】
【考點】①函數(shù)零點的定義與性質(zhì)；②確定函數(shù)零點的基本方法；③函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和
基本方法；④運用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法；⑤函數(shù)圖像及運用；⑥數(shù)學(xué)換元
法及運用。
【解題思路】（理）根據(jù)和零點的性質(zhì)和函數(shù)求導(dǎo)公式，法則與基本方法，求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)（x），運用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和確定函數(shù)零點的基本方法，作出函數(shù)f(x)的圖像，由數(shù)學(xué)換元法得到e f(x) -a f(x)-1=0(aR)， e t-at-1=0(aR)，利用方程e t-at-1=0(aR)，的根，結(jié)合函數(shù)f(x)圖像確定出方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的個數(shù)的所有可能值就可得出選項。（文）根據(jù)函數(shù)零點的性質(zhì)和函數(shù)圖像，運用確定函數(shù)零點的基本方法，得到函數(shù)g(x) 的三個不同的零點，，，從而求出..的值就可得出選項。
【詳細解答】（理）當x>0時， (x)= =，令 (x)=解得：x=1，,當x（0，1）時，（x）>0，當x（1，+）時，（x）<0，函數(shù)f(x)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減，= f(1)= =1， y y=
f()==0，當 x0時， (x)=（x+1）， 1
令 (x)= 0解得：x=-1，當x（-，-1）時， -1 0 1 y=
EMBED Equation.DSMT4 （x）<0，當x（-1，0）時，（x）>0， -
函數(shù)f(x)在（-，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，0）上單調(diào)遞增，= f(-1)=- =-，作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，設(shè)t= f(x)， e f(x) -a f(x)-1=0(aR)， e t-at-1=0(aR)，
= +4e>0，. =-，①當>1時，-<=-.<0，如圖此時函數(shù)f(x)的圖像與直線y=t有三個不同的交點，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)有3個不同的解；②當=1時，=
-.=-，如圖此時函數(shù)f(x)的圖像與直線y=t有三個不同的交點，方程e f(x) -a f(x)-1
=0(aR)有3個不同的解；③當0<<1時，=-.<-，如圖此時函數(shù)f(x)的圖像與直線y=t仍有三個不同的交點，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)仍有3個不同的解，綜上所述，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)仍有3個不同的解，D正確，選D。（文）函數(shù)g(x)的零點，方程f(x) =m(mR)的根，函數(shù)f(x)的圖像與直線y=m的交點的橫坐標，作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，①當m>時，直線y=m和函數(shù)f(x)的圖像至多有兩個交點，與函數(shù)g(x)= f(x) –m(mR)有三個不同的零點不符；②當m=時，直線y=m和函數(shù)f(x)的圖像有三個不同的交點，此時=-，|ln|=-ln，|ln|=ln，-ln= ln， ln+ ln
=ln(.)=0，.=1，.. =-1 y
=- ； ③當0圖像有四個不同的交點，與函數(shù)g(x)= f(x) –m - - 0 1 x
(mR)有三個不同的零點不符；④當m=時，
直線y=m和函數(shù)f(x)的圖像有三個不同的交點，此時=-，=0，=1，.. =-01=0；⑤當m<0時，直線y=m和函數(shù)f(x)的圖像只有一個交點，與函數(shù)g(x)= f(x) –m(mR)有三個不同的零點不符，綜上所述，..的值為或0，D正確，選D。
6、（理）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當x[0，1]時，f(x)=，則函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點之和為 。
（文）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當x[0，1]時，f(x)=，則函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點之和為 （成都市2019級高三二診）
【解析】
【考點】①奇函數(shù)定義與性質(zhì)；②周期函數(shù)定義與性質(zhì)；③一元二次函數(shù)定義與性質(zhì)；④函數(shù)圖像及運用；⑤求函數(shù)零點的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)奇函數(shù)和周期函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由g(x)= f(x)- 的零點，函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的交點，在同一直角坐標系中，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的圖像，運用函數(shù)圖像確定出函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點，就可求出所有零點之和。（文）根據(jù)奇函數(shù)和周期函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由g(x)= f(x)- 的零點，函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的交點，在同一直角坐標系中，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的圖像，運用函數(shù)圖像確定出函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點，就可求出所有零點之和。
【詳細解答】（理）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函數(shù)f(x)是以4為周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 x
的周期函數(shù)，當x[0，1]時，f(x)=，
在同一直角坐標系中，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的圖像如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)
與函數(shù)y=的圖像在[-2，2]上有三個交點，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有兩點交點<，且+=52=10，在[6，10]上有兩個交點<，且+=92=18，在[-6，-2]上有兩個交點<，且+=-52=-10，函數(shù)g(x)共有9個零點<<<<<<<<，+++++++
+=-10+0+10+18=18。
（文）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函數(shù)f(x)是以4為周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
的周期函數(shù)，當x[0，1]時，f(x)=，
在同一直角坐標系中，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的圖像如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的圖像在[-2，2]上有三個交點，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有兩點交點<，且+=52=10，在[6，10]上有一個交點=10，在[-6，-2]上有,一個交點=-5，, 函數(shù)g(x)共有7個零點<<<<<<，且++++++=-5+0+10+9=14。
『思考問題5』
（1）【典例5】是與函數(shù)零點及運用的問題，解答這類問題需要理解函數(shù)零點的定義，同時注意方程的解，函數(shù)圖像與X軸的交點，函數(shù)零點之間的關(guān)系；
（2）方程的解，函數(shù)圖像與X軸的交點，函數(shù)零點之間的關(guān)系是：方程f(x)=0有解函數(shù)y=f(x)的圖像與X軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點；
（3）判斷函數(shù)是否有零點（或零點個數(shù)）的基本方法是：①解方程法：令f(x)=0，如果方程有解，則方程有幾個解函數(shù)y=f(x)就有幾個零點；②運用函數(shù)零點存在定理，具體運用定理時應(yīng)該注意：1＞函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔a,b〕上的圖像是連續(xù)的曲線，2＞f(a).f(b)<0，3＞結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)得出結(jié)果；③數(shù)形結(jié)合法：把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與X軸的交點問題（或兩個函數(shù)圖像的交點的問題）。
[練習(xí)5]解答下列問題：
1、（理）若函數(shù)f(x)= + 的零點為，則（-1）=（ ）（答案：B）
A B 1 C D 2
（文）若函數(shù)f(x)= x-x-lnx-1的零點個數(shù)為（ ）（成都市2019級高三三珍）（答案：B）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、若函數(shù)f(x)= -3+a有且僅有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）（2021成都市高三一診）（答案：A）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
3、（理）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)= f(x+2)，當x 2時，函數(shù)f(x)=（x-1）-1，若關(guān)于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A （- 2，0）（2，+） B （- 2，0）（0，2）（答案：D）
C （- e，0）（e，+） D （- e，0）（0，e）
（文）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)= f(x+2)，當x 2時，函數(shù)f(x)=x，若關(guān)于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）（2020成都市高三一診）（答案：A）
A （- 1，0）（0，1） B （- 1，0）（1，+）
C （- e，0）（0，e） D （- e，0）（e，+）

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