資源簡(jiǎn)介

函數(shù)性質(zhì)5分小題問(wèn)題的類型與解法
函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說(shuō)，只要是高考試卷，就必然涉及到函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題。從題型上看是選擇題(或填空題），難度系數(shù)為低（或中）檔，但也有可能是高檔。縱觀近幾年各種考試試卷，歸結(jié)起來(lái)函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題主要包括：①函數(shù)單調(diào)性及運(yùn)用；②函數(shù)奇偶性，周期性及運(yùn)用；③函數(shù)單調(diào)性，奇偶性和周期性的綜合運(yùn)用等幾種類型。各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過(guò)近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細(xì)解析來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。
【典例1】解答下列問(wèn)題：
已知函數(shù)f(x)=--2ax-a，x＜0，在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
+ln（x+1），x 0， （2024全國(guó)高考新高考I）
A （-，0] B [-1,0] C [-1,1] D [0,+）
2、已知函數(shù)f(x)=，記a=f()，b=f()，c=f()，則（）（2023全國(guó)高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
3、設(shè)函數(shù)f(x)=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）（2023全國(guó)高考新高考I）
A （-，-2] B [-2，0） C （0，2] D [2，+）
4、若函數(shù)f(x)=kx-2lnx，在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）（成都市2020級(jí)高三零診）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
-1，05、已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)= f(x-2)，x>2，有下列結(jié)論：
①函數(shù)f(x)在（-6，-5）上單調(diào)遞增；②函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)；③若關(guān)于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則這4個(gè)根之和為8；④記函數(shù)f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值為，則數(shù)列{}的前7項(xiàng)和為。其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是 （成都市2019級(jí)高三零診）
6、下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（ ）（2021全國(guó)高考甲卷）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
『思考問(wèn)題1』
（1）【典例1】是函數(shù)單調(diào)性及運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解增函數(shù)，減函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的定義，掌握增函數(shù)，減函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法，判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法有：①定義法；②圖像法；
（2）圖像法的基本方法是：①作出函數(shù)的圖像；②確定判斷（或證明）的區(qū)間；③在函數(shù)的圖像上找到相應(yīng)的區(qū)間；④根據(jù)函數(shù)圖像得出結(jié)果；
（3）定義法的基本方法是：①求出函數(shù)的定義域；②確定判斷（或證明）的區(qū)間；③在相應(yīng)的區(qū)間上任取，，且＜； ④比較函數(shù)值f()，f()的大小；⑤根據(jù)④得出結(jié)果。
（4）比較函數(shù)值f()，f()的大小的基本方法是：①求差法；②求商法；
（5）求差法的基本方法是：①求出函數(shù)值f()-f()的差；②把①中的差與數(shù)0作比較；③根據(jù)②得出結(jié)果；
（6）求商法的基本方法是：①求出函數(shù)值的商；②把①中的商與數(shù)1作比較；③根據(jù)②得出結(jié)果；
（7）對(duì)含參數(shù)的函數(shù)，在判斷（或證明）函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)注意對(duì)參數(shù)的可能情況先進(jìn)行分別考慮，然后再綜合得出結(jié)論。
[練習(xí)1]解答下列問(wèn)題：
1、若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在（-，0）上單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足x f(x-1) 0的取值范圍是（ ）（2020全國(guó)高考新高考I）
A [-1,1] [3，+） B [-3,-1] [0，1] C[-1,0] [1，+） D [-1,0] [1，3]
2、（理）設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，則f(x)（ ）
A 是偶函數(shù)，且在（，+）上單調(diào)遞增 B 是奇函數(shù)，且在（-，）上單調(diào)遞減C 是偶函數(shù)，且在（-，-）上單調(diào)遞增 D 是奇函數(shù)，且在（-，-）上單調(diào)遞減
（文）設(shè)函數(shù)f(x)= - ，則f(x)（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II）
A 是奇函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞增 B 是奇函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞減
C 是偶函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞增 D 是偶函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞減
【典例2】解答下列問(wèn)題：
1、若y=+ax+sin(x+)為偶函數(shù)，則a= （2023全國(guó)高考甲卷）
已知函數(shù)f(x)= 是偶函數(shù)，則a=（ ）（2023全國(guó)高考乙卷）
A - 2 B -1 C 1 D 2
3、若f(x)=（x+a）ln是偶函數(shù)，則a=( )(2013全國(guó)高考新高考II)
A -1 B 0 C D 1
4、若奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2-x)，且當(dāng)x[0,1]時(shí)，f(x)=，則f(23)=（ ）（成都市高2020級(jí)高三二診）
A -1 B - C 0 D
5、函數(shù)y=（-）cosx在區(qū)間[-，]的圖像大致為（ ）（2022全國(guó)高考甲卷）
6、如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-3，3]的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）（2022全國(guó)高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
7、已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g(2)=4，則=（ ）（2022全國(guó)高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
8、若函數(shù)f(x)=ln|a+|+b是奇函數(shù)，則a= ，b= （2022全國(guó)高考乙卷文）
9、已知函數(shù)f(x)及其到函數(shù)（x）的定義域均為R，記g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均為偶函數(shù)，則（ ）（2022全國(guó)高考新高考I卷）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
10、若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，則=（ ）（2022全
國(guó)高考新高考II卷）
A - 3 B -2 C 0 D 1
11、（理）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當(dāng)x[0，1]時(shí)，f(x)=，則函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點(diǎn)之和為 。
（文）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當(dāng)x[0，1]時(shí)，f(x)=，則函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點(diǎn)之和為 （成都市2019級(jí)高三二診）
12、設(shè)函數(shù)f(x)= ，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）（2021全國(guó)高考乙卷）
『思考問(wèn)題2』
（1）【典例2】是函數(shù)奇偶性，周期性及運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解奇函數(shù)，偶函數(shù)，函數(shù)周期的定義，掌握判斷（或證明）函數(shù)奇偶性，周期性的基本方法；
(2)判斷（或證明）函數(shù)奇偶性，周期性的基本方法是：①圖像法；②定義法；
（3）在具體判斷（或證明）函數(shù)的奇偶性，周期性時(shí)，如果已知函數(shù)的解析式，一般應(yīng)該采用定義法；如果已知函數(shù)的圖像（或函數(shù)的圖像容易作出）應(yīng)該采用圖像法；
（4）分段函數(shù)判斷（或證明）奇偶性時(shí)，在驗(yàn)證f(-x)與f(x)時(shí)，需要分段分別進(jìn)行驗(yàn)證。
（5）用定義法判斷（或證明）函數(shù)周期性的基本方法是：①確定一個(gè)常數(shù)T；②驗(yàn)證f(x+T)
與f(x)的值是否相等；③得出結(jié)果；
周期函數(shù)的周期有無(wú)數(shù)個(gè)，最小正周期也是周期函數(shù)的一個(gè)周期。
[練習(xí)2]解答下列問(wèn)題：
1、已知函數(shù)f(x)= （a. - ）是偶函數(shù)，則a= （2021全國(guó)高考新高考I）
2、寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x) （2021全國(guó)高考新高考II）
①f()= f(). f()；②當(dāng)x,（0，+）時(shí)，（x）>0；③（x）是奇函數(shù)。
3、函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=2-17，則f(f())= （2021成都市高三一診）
4、關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx+ 有如下四個(gè)命題：①f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；②f(x)的圖像關(guān)
于原點(diǎn)對(duì)稱；③f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱；④f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號(hào)是
（2020全國(guó)高考新課標(biāo)III）
【典例3】解答下列問(wèn)題：
已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且當(dāng)x<3時(shí)，f(x)=x，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）（2024全國(guó)高考新高考I）
A f(10) >100 B f(20) >1000 C f(10) <1000 D f(20) <10000
2、已知函數(shù)f(x)=3x-sinx，若f(a)+f(-2)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 。（成都市高2021級(jí)高三二診）
3、（理）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)x [1，2]時(shí)，f(x)=a+b，若f(0)+ f(3)=6，則f()=（ ）
A - B - C D
（文）設(shè)f(x)的定義域在R上的奇函數(shù)，且f(x+1)= f(-x)，若f(-)=，則f()=（ ）（2021全國(guó)高考甲卷）
A - B - C D
『思考問(wèn)題3』
（1）【典例3】是函數(shù)性質(zhì)綜合運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和周期性，并能靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和周期性解答相關(guān)問(wèn)題；
（2）對(duì)于具體問(wèn)題首先應(yīng)該弄清楚它與函數(shù)單調(diào)性，奇偶性和周期性的哪些性質(zhì)相關(guān)，然后結(jié)合函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)進(jìn)行解答；
（3）解答函數(shù)性質(zhì)綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問(wèn)題，注意兩個(gè)常用結(jié)論：①f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(|x|)；②若奇函數(shù)在x=0處與意義，則有f(0)=0。
[練習(xí)3]解答下列問(wèn)題：
1、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+1)為奇函數(shù)，則（ ）（2021全國(guó)高考新高考II）
A f(-)=0 B f(-1)=0 C f(2)=0 D f(4)=0
2、（理）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且對(duì)任意的，[1，+），當(dāng)時(shí)，都有f()+f()0.03)，c=f()，則a，b，c的大小關(guān)系為 （用符號(hào)“<”連接）
（文）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在 [0，+）上單調(diào)遞減，若a=f(
0.3),b=f(0.1)，c=f()，則a，b，c的大小關(guān)系為 （用符號(hào)“<”連接）（20
21成都市高三二診）
函數(shù)性質(zhì)5分小題問(wèn)題的類型與解法
函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說(shuō)，只要是高考試卷，就必然涉及到函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題。從題型上看是選擇題(或填空題），難度系數(shù)為低（或中）檔，但也有可能是高檔。縱觀近幾年各種考試試卷，歸結(jié)起來(lái)函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題主要包括：①函數(shù)單調(diào)性及運(yùn)用；②函數(shù)奇偶性，周期性及運(yùn)用；③函數(shù)單調(diào)性，奇偶性和周期性的綜合運(yùn)用等幾種類型。各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過(guò)近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細(xì)解析來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。
【典例1】解答下列問(wèn)題：
1、已知函數(shù)f(x)=--2ax-a，x＜0，在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
+ln（x+1），x 0， （2024全國(guó)高考新高考I）
A （-，0] B [-1,0] C [-1,1] D [0,+）
【解析】
【考點(diǎn)】①分段函數(shù)定義與性質(zhì)；②一元二次函數(shù)定義與性質(zhì)；③指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；④對(duì)數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；⑤判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)，一元二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的不等式，區(qū)間不等式求出a的取值范圍就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，一元二次函數(shù)=--2ax-a在（-，0）上的最大值< f(0)=-0-0-a=-a≤1+0=1①，且-a≥0②，聯(lián)立①②解之得：-1≤a≤0，B正確，選B。 ,
2、已知函數(shù)f(x)=，記a=f()，b=f()，c=f()，則（）（2023全國(guó)高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考點(diǎn)】①?gòu)?fù)合函數(shù)定義與性質(zhì)；②判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法；③運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，求出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。 y
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)=-，作出函數(shù)g(x)的 0 1 x
圖像如圖所示，由圖知函數(shù)g(x)在（-，1）上
單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減，函數(shù)f(g(x))在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在（-，1）上單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減，<<1，>1，-1-1+=
-2<-2=2-2=0，-1-1+=-2>-2=2-2=0，b=f()>c
=f()>a=f()， A正確，選A。
3、設(shè)函數(shù)f(x)=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）（2023全國(guó)高考新高考I）
A （-，-2] B [-2，0） C （0，2] D [2，+）
【解析】
【考點(diǎn)】①?gòu)?fù)合函數(shù)定義與性質(zhì)；②指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的不等式，區(qū)間不等式求出a的取值范圍就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)=x（x-a）=-ax，函數(shù)f(g(x))在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在（0，1）
上單調(diào)遞減，函數(shù)g(x)在（0，1）上單調(diào)遞減，x=-=≥1，a≥2，即若函數(shù)f(x)=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是[2，+），D正確，選D。
4、若函數(shù)f(x)=kx-2lnx，在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）（成都市2020級(jí)高三零診）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法；②運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) (x)，運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法得到關(guān)于k的不等式，求解不等式求出實(shí)數(shù)k的取值范圍就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】 (x)= k-=，①當(dāng)k0時(shí)， (x)<0在（1，+）恒成立，函數(shù)f(x)在（1，+）上單調(diào)遞減，與題意不符；②當(dāng)k>0時(shí)，令 (x)=0解得x=，函數(shù)f(x)=kx-2lnx，在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增， 1，k2，綜上所述，若函數(shù)f(x)=kx-2lnx，在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[2，+），B正確，選B。 -1，05、已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)= f(x-2)，x>2，有下列結(jié)論：
①函數(shù)f(x)在（-6，-5）上單調(diào)遞增；②函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)；③若關(guān)于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則這4個(gè)根之和為8；④記函數(shù)f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值為，則數(shù)列{}的前7項(xiàng)和為。其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是 （成都市2019級(jí)高三零診）
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；②函數(shù)零點(diǎn)定義與性質(zhì)；③函數(shù)圖像及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，對(duì)①，由函數(shù)圖像得到函數(shù)f(x)在（5，6）上單調(diào)遞增，從而得到函數(shù)f(x)在（-6，-5）上單調(diào)遞增，結(jié)論①正確；對(duì)②，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x只有一個(gè)交點(diǎn)，由奇函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，從而得到②錯(cuò)誤；對(duì)③，設(shè)f(x)=t，由方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，得到t=0或t=1，當(dāng)t=1時(shí)，根據(jù)圖像f(x)=1只有一個(gè)根=2，由方程恰有4個(gè)不同的根，有兩種可能：（1）t=a=，由f(x)= ，結(jié)合函數(shù)圖像得到+=2，=4，從而得到+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，由f(x)= -，結(jié)合函數(shù)圖像得到+=-2，=-4，從而得到+++=2-2-4=-4，③錯(cuò)誤；對(duì)④，由函數(shù)圖像可知，當(dāng)x[1，2]時(shí)，= f(2)=1，得到=1，從而得到數(shù)列{}是以=1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，===，④正確；就可得出其中所有正確結(jié)論的編號(hào)。 -1，0【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)= f(x-2)，x>2，作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，對(duì)①，函數(shù)f(x)在 y
（5，6）上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在（-6，-5） 1
上單調(diào)遞增，結(jié)論①正確；對(duì)②，當(dāng)x>0時(shí)，
函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x只有一個(gè)交點(diǎn)， 0 1 2 3 4 5 6 x
函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，
②錯(cuò)誤；對(duì)③，設(shè)f(x)=t，方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，解得t=0或t=1，當(dāng)t=1時(shí)，f(x)=1只有一個(gè)根=2，方程恰有4個(gè)不同的根，有兩種可能：（1）t=a=，f(x)= 得到+=2，=4，+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，f(x)= -，得到+=-2，=-4， +++=2-2-4=-4，③錯(cuò)誤；對(duì)④，當(dāng)x[1，2]時(shí)，= f(2)=1，=1，數(shù)列{}是以=1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，===，④正確；其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是①④。
6、下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（ ）（2021全國(guó)高考甲卷）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
【解析】
【考點(diǎn)】①正比例函數(shù)的定義與性質(zhì)；②指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；③一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；④冪函數(shù)的定義與性質(zhì)。
【解題思路】根據(jù)正比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，一元二次函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合問(wèn)題條件分別對(duì)各選項(xiàng)的單調(diào)性進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】對(duì)A，-1<0， f(x)=-x是減函數(shù)，即A錯(cuò)誤；對(duì)B，0< <1， f(x)=
是減函數(shù)，即B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)x （- ，0）時(shí)，函數(shù) f(x)= 是減函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)D，>0，函數(shù) f(x)= 是R上的增函數(shù)，D正確，選D。
『思考問(wèn)題1』
（1）【典例1】是函數(shù)單調(diào)性及運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解增函數(shù)，減函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的定義，掌握增函數(shù)，減函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法，判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法有：①定義法；②圖像法；
（2）圖像法的基本方法是：①作出函數(shù)的圖像；②確定判斷（或證明）的區(qū)間；③在函數(shù)的圖像上找到相應(yīng)的區(qū)間；④根據(jù)函數(shù)圖像得出結(jié)果；
（3）定義法的基本方法是：①求出函數(shù)的定義域；②確定判斷（或證明）的區(qū)間；③在相應(yīng)的區(qū)間上任取，，且＜； ④比較函數(shù)值f()，f()的大小；⑤根據(jù)④得出結(jié)果。
（4）比較函數(shù)值f()，f()的大小的基本方法是：①求差法；②求商法；
（5）求差法的基本方法是：①求出函數(shù)值f()-f()的差；②把①中的差與數(shù)0作比較；③根據(jù)②得出結(jié)果；
（6）求商法的基本方法是：①求出函數(shù)值的商；②把①中的商與數(shù)1作比較；③根據(jù)②得出結(jié)果；
（7）對(duì)含參數(shù)的函數(shù)，在判斷（或證明）函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)注意對(duì)參數(shù)的可能情況先進(jìn)行分別考慮，然后再綜合得出結(jié)論。
[練習(xí)1]解答下列問(wèn)題：
1、若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在（-，0）上單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足x f(x-1) 0的取值范圍是（ ）（2020全國(guó)高考新高考I）（答案：D）
A [-1,1] [3，+） B [-3,-1] [0，1] C[-1,0] [1，+） D [-1,0] [1，3]
2、（理）設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，則f(x)（ ）（答案：D）
A 是偶函數(shù)，且在（，+）上單調(diào)遞增 B 是奇函數(shù)，且在（-，）上單調(diào)遞減C 是偶函數(shù)，且在（-，-）上單調(diào)遞增 D 是奇函數(shù)，且在（-，-）上單調(diào)遞減
（文）設(shè)函數(shù)f(x)= - ，則f(x)（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II）（答案：A）
A 是奇函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞增 B 是奇函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞減
C 是偶函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞增 D 是偶函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞減
【典例2】解答下列問(wèn)題：
1、若y=+ax+sin(x+)為偶函數(shù)，則a= （2023全國(guó)高考甲卷）
【解析】
【考點(diǎn)】①偶函數(shù)定義與性質(zhì)；②三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及運(yùn)用；③判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。
【解答思路】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【詳細(xì)解答】函數(shù)y=+ax+sin(x+)=+ax+cosx為偶函數(shù)， -ax
+cosx=+ax+cosx,(4-2a)x=0，a=2。
2、已知函數(shù)f(x)= 是偶函數(shù)，則a=（ ）（2023全國(guó)高考乙卷）
A - 2 B -1 C 1 D 2
【解析】
【考點(diǎn)】①偶函數(shù)定義與性質(zhì)；②判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。
【解答思路】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的方程，求解方程就可求出a的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)= 是偶函數(shù)，f(-x)===f(x)=，
==0，x0，=0，ax=2x，a=2，D正確，
選D。
3、若f(x)=（x+a）ln是偶函數(shù)，則a=( )(2013全國(guó)高考新高考II)
A -1 B 0 C D 1
【解析】
【考點(diǎn)】①偶函數(shù)定義與性質(zhì)；②判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的方程，求解方程求出a的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=（x+a）ln是偶函數(shù)， f(-x)=（-x+a）ln =-（-x+a）ln ，2a ln =0, a=0， B正確，選B。
4、若奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2-x)，且當(dāng)x[0,1]時(shí)，f(x)=，則f(23)=（ ）（成都市高2020級(jí)高三二診）
A -1 B - C 0 D
【解析】
【考點(diǎn)】①奇函數(shù)定義與性質(zhì)；②周期函數(shù)定義與性質(zhì)；③求函數(shù)值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)和周期函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，運(yùn)用求函數(shù)值的基本方法，求出f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，從而求出f(23)的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2-x)， f(x+2)=-f(2-x)，f(x+2)=-f(x+4)，f(x)=-f(x+2)=f(x+4)， 函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x[0,1]時(shí)，f(x)=， f(0)==0，f(1)==，f(2)=-f(0)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-， f(23)=f(45+3)
=f(3)=-，f(23)=-，B正確，選B。
5、函數(shù)y=（-）cosx在區(qū)間[-，]的圖像大致為（ ）（2022全國(guó)高考甲卷）
【解析】
【考點(diǎn)】①指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；②余弦三角函數(shù)定義與性質(zhì)；③函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；④判斷函數(shù)奇偶性的基本方法；④函數(shù)圖像及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，余弦三角函數(shù)和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，運(yùn)用判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，得到函數(shù)y=（-）cosx是奇函數(shù)，從而排除B，D；當(dāng)x（0，]時(shí)，->0，cosx>0，從而得到y(tǒng)=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)f(x)= （-）cosx，區(qū)間[-，]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函數(shù)f(x)在[-，]上是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B，D錯(cuò)誤；當(dāng)x（0，]時(shí)，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C錯(cuò)誤，A正確，選A。
6、如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-3，3]的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）（2022全國(guó)高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；②余弦三角函數(shù)定義與性質(zhì)；③正弦三角函數(shù)定義與性質(zhì)；④冪函數(shù)定義與性質(zhì)；⑤判斷函數(shù)奇偶性的基本方法；⑥函數(shù)圖像及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性，冪函數(shù)，余弦三角函數(shù)和正弦三角函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用函數(shù)圖像和判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，對(duì)各選項(xiàng)的函數(shù)進(jìn)行判斷，就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】對(duì)A，設(shè)f(x)= ， f(-x)= = =-
=- f(x)，函數(shù)f(x)奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與已知圖像符合； f(1)
= =1，f(3)= =-<0，與已知圖像符合，A正確；對(duì)B，設(shè)g(x)= ， g(-x) ===-=- g(x)，函數(shù)g(x)奇函數(shù)，函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與已知圖像符合； g(1)= =0，，g(3)= =>0，與已知圖像不符合，B錯(cuò)誤；對(duì)C，h(x)= ， h(-x)= =
=-=- h(x)，函數(shù)f(x)奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與已知圖像符合；
0< h(1)= =cos1<1，與已知圖像不符合，C錯(cuò)誤；對(duì)D，u(x)= ， u(-x)= = =-=- u(x)，函數(shù)f(x)奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與已知圖像符合；0< u(1)= =sin1<1，與已知圖像不符合，D錯(cuò)誤，綜上所述，A正確，選A。
7、已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的圖像關(guān)
于直線x=2對(duì)稱，g(2)=4，則=（ ）（2022全國(guó)高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；②函數(shù)對(duì)稱性定義與性質(zhì)；③函數(shù)周期性定義與性質(zhì)；④判斷函數(shù)奇偶性的基本方法；⑤判斷函數(shù)周期性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性，對(duì)稱性和周期性的性質(zhì)，運(yùn)用判斷函數(shù)奇偶性和周期性的基本方法，得到函數(shù)f(x)是以4為周期的偶函數(shù)，結(jié)合問(wèn)題條件求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，從而求出=的值，就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱， g(2-x)= g(2+x)， f(x)+g(2-x)=5，f(-x)+g(2+x)=5， f(x)= f(-x)，函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)， g(2)=4，f(x)+g(2-x)=5， f(0)+g(2)= f(0)+4=5， f(0)=1， g(x)- f(x-4)=7，g（2-x)=f(-x
-2)+7，5- f(x)= f(-x-2)+7， f(x)+ f(-x-2)=-2， f(x)+ f(x+2)=-2， f(x+2)+ f(x+4)=-2，
f(x)= f(x+4)，函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， f(0)+ f(2)=-2，f(0)=1， f(2)=-3，
f(3)= f(4-1)= f(-1)= f(1)=-1，f(4)= f(4+0)= f(0)=1， f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=-3-1-1+1=-4，
=-45+ f(21)+ f(22)=-20+ f(1)+ f(2)=-20-1-3=-24，=-24，D正確，選D。
8、若函數(shù)f(x)=ln|a+|+b是奇函數(shù)，則a= ，b= （2022全國(guó)高考乙卷文）
【解析】
【考點(diǎn)】①奇函數(shù)定義與性質(zhì)；②判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組就可求出a，b的值。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=ln|a+|+b是奇函數(shù)， a+= 0，x=
=-1，a=-，函數(shù)f(x)=ln|a+|+b的定義域?yàn)椋? ，-1）（-1，1）（1，+），
f(0)=ln|-+1|+b=-ln2+b=0，b=ln2，若函數(shù)f(x)=ln|a+|+b是奇函數(shù)，則a=-，
b=ln2。
9、已知函數(shù)f(x)及其到函數(shù)（x）的定義域均為R，記g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均為偶函數(shù)，則（ ）（2022全國(guó)高考新高考I卷）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
【解析】
【考點(diǎn)】①偶函數(shù)定義與性質(zhì)；②判斷函數(shù)奇偶性的基本方法；③軸對(duì)稱圖形定義與性質(zhì)；④周期函數(shù)定義與性質(zhì)；⑤判斷函數(shù)周期性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=對(duì)稱，函數(shù)g(x)=（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，從而得到函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)（2，t）對(duì)稱，函數(shù)g(x)=（x）關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，運(yùn)用周期函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)周期性的基本方法，得到函數(shù)f(x)，函數(shù)g(x)=（x）均為以2為周期的周期函數(shù)，從而得到 f(0) = f(2) =t， f(-1)= f(4) ，可以判斷A錯(cuò)誤，C正確；g(-)=g()=0，g(-1)= g(1)，可以判斷B正確，D錯(cuò)誤，就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】 f(-2x)，g（2+x)均為偶函數(shù)，函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=對(duì)稱，函數(shù)g(x)=（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)（2，t）對(duì)稱，函數(shù)g(x)=（x）關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，函數(shù)f(x)，函數(shù)g(x)=（x）均為以2為周期的周期函數(shù)， f(0) = f(2) =t，f(-1)= f(1) ，f(-1)= f(1) ，f(1)= f(2) ，f(2)= f(4) ，f(-1)= f(4) ，A錯(cuò)誤，C正確； g(-)
= g(2-)= g()=0，g(-1)= g(1)=0，g(1)+ g(2)=0， g(-1)+ g(2)=0，B正確，D錯(cuò)誤，綜上所述，BC正確，選BC。
10、若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，則=（ ）（2022全
國(guó)高考新高考II卷）
A - 3 B -2 C 0 D 1
【解析】
【考點(diǎn)】①抽象函數(shù)定義與性質(zhì)；②求抽象函數(shù)值的基本方法；③周期函數(shù)定義與性質(zhì)；④判斷函數(shù)是周期函數(shù)的基本方法。
【解題思路】根據(jù)抽象函數(shù)和周期函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用判斷函數(shù)是周期函數(shù)的基本方法，得到函數(shù)f(x)是以6為周期的周期函數(shù)，利用求抽象函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，f(6)的值，從而求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】當(dāng)x=x，y=1時(shí)， f(1)=1，f(x+1)+ f(x-1)= f(x). f(1)， f(x+1)+ f(x-1)= f(x)， f(x+2) = f(x+1)- f(x)，f(x+3) = f(x+2)- f(x+1)， f(x+3) = -f(x)， f(x)= f(x+6)，函數(shù)f(x)是以6為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x=x，y=1時(shí)，f(1)+ f(1)= f(1). f(0)， f(0)=2， f(2) = f(1) -f(0)=1-2=-1，f(3) = f(2)- f(1)=-1-1=-2，------， f(6) = f(5)-f(4)=1-（-1）=2， f(1)+ f(2)+----+ f(6)= 1-1-2-1+1+2=0，=40- f(23)- f(24)=0- f(5)- f(6)=0-1-2=-3，=-3，A正確，選A。
11、（理）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當(dāng)x[0，1]時(shí)，f(x)=，則函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點(diǎn)之和為 。
（文）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當(dāng)x[0，1]時(shí)，f(x)=，則函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點(diǎn)之和為 （成都市2019級(jí)高三二診）
【解析】
【考點(diǎn)】①奇函數(shù)定義與性質(zhì)；②周期函數(shù)定義與性質(zhì)；③一元二次函數(shù)定義與性質(zhì)；④函數(shù)圖像及運(yùn)用；⑤求函數(shù)零點(diǎn)的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)奇函數(shù)和周期函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由g(x)= f(x)- 的零點(diǎn)，函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的圖像，運(yùn)用函數(shù)圖像確定出函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點(diǎn)，就可求出所有零點(diǎn)之和。（文）根據(jù)奇函數(shù)和周期函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由g(x)= f(x)- 的零點(diǎn)，函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的圖像，運(yùn)用函數(shù)圖像確定出函數(shù)g(x)= f(x)- 的所有零點(diǎn)，就可求出所有零點(diǎn)之和。
【詳細(xì)解答】（理）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函數(shù)f(x)是以4為周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 x
的周期函數(shù)，當(dāng)x[0，1]時(shí)，f(x)=，
在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的圖像如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)
與函數(shù)y=的圖像在[-2，2]上有三個(gè)交點(diǎn)，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有兩點(diǎn)交點(diǎn)<，且+=52=10，在[6，10]上有兩個(gè)交點(diǎn)<，且+=92=18，在[-6，-2]上有兩個(gè)交點(diǎn)<，且+=-52=-10，函數(shù)g(x)共有9個(gè)零點(diǎn)<<<<<<<<，+++++++
+=-10+0+10+18=18。
（文）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函數(shù)f(x)是以4為周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
的周期函數(shù)，當(dāng)x[0，1]時(shí)，f(x)=，
在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=的圖像如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)
與函數(shù)y=的圖像在[-2，2]上有三個(gè)交點(diǎn)，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有兩點(diǎn)交點(diǎn)<，且+=52=10，在[6，10]上有一個(gè)交點(diǎn)=10，在[-6，-2]上有,一個(gè)交點(diǎn)=-5，, 函數(shù)g(x)共有7個(gè)零點(diǎn)<<<<
<<，且++++++=-5+0+10+9=14。
12、設(shè)函數(shù)f(x)= ，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）（2021全國(guó)高考乙卷）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1
【解析】
【考點(diǎn)】①奇函數(shù)定義與性質(zhì)；②判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，對(duì)各選項(xiàng)的函數(shù)奇偶性進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】對(duì)A，函數(shù)g(x)= f(x-1)-1= -1 =的定義域?yàn)椋? ，0）（0，+）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g(-x)= =- -- g(x)，函數(shù)g(x)= f(x-1)-1不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)B，函數(shù)g(x)= f(x-1)+1=+1=的定義域?yàn)椋? ，
0）（0，+）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g(-x)= =-=- g(x)，函數(shù)g(x)= f(x-1)+1是奇函數(shù)，B
正確，選B。
『思考問(wèn)題2』
（1）【典例2】是函數(shù)奇偶性，周期性及運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解奇函數(shù)，偶函數(shù)，函數(shù)周期的定義，掌握判斷（或證明）函數(shù)奇偶性，周期性的基本方法；
(2)判斷（或證明）函數(shù)奇偶性，周期性的基本方法是：①圖像法；②定義法；
（3）在具體判斷（或證明）函數(shù)的奇偶性，周期性時(shí)，如果已知函數(shù)的解析式，一般應(yīng)該采用定義法；如果已知函數(shù)的圖像（或函數(shù)的圖像容易作出）應(yīng)該采用圖像法；
（4）分段函數(shù)判斷（或證明）奇偶性時(shí)，在驗(yàn)證f(-x)與f(x)時(shí)，需要分段分別進(jìn)行驗(yàn)證。
（5）用定義法判斷（或證明）函數(shù)周期性的基本方法是：①確定一個(gè)常數(shù)T；②驗(yàn)證f(x+T)
與f(x)的值是否相等；③得出結(jié)果；
周期函數(shù)的周期有無(wú)數(shù)個(gè)，最小正周期也是周期函數(shù)的一個(gè)周期。
[練習(xí)2]解答下列問(wèn)題：
1、已知函數(shù)f(x)= （a. - ）是偶函數(shù)，則a= （2021全國(guó)高考新高考I）（答案：a=1。）
2、寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x) （2021全國(guó)高考新高考II）（答案：同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)= 。）
①f()= f(). f()；②當(dāng)x,（0，+）時(shí)，（x）>0；③（x）是奇函數(shù)。
3、函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=2-17，則f(f())= （2021成都市高三一診）（答案：f(f())=-1。）
4、關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx+ 有如下四個(gè)命題：①f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；②f(x)的圖像關(guān)
于原點(diǎn)對(duì)稱；③f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱；④f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號(hào)是
（2020全國(guó)高考新課標(biāo)III）（答案：其中所有真命題的序號(hào)是②③。）
【典例3】解答下列問(wèn)題：
1、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且當(dāng)x<3時(shí)，f(x)=x，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）（2024全國(guó)高考新高考I）
A f(10) >100 B f(20) >1000 C f(10) <1000 D f(20) <10000
解析】
【考點(diǎn)】①一元一次函數(shù)定義與性質(zhì)；②函數(shù)值定義與性質(zhì)；③求函數(shù)值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)一元一次函數(shù)和函數(shù)值的性質(zhì)，運(yùn)用求函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出f(1)，f(2)的值，從而求出f(3)，f(4)，----f(10)，f(20)的取值范圍就可得出選項(xiàng)。【詳細(xì)解答】當(dāng)x<3時(shí)，f(x)=x，f(1)=1，f(2)=2，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3，f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5，f(5)>f(4)+f(3)
>5+3=8，f(6)>f(5)+f(4）>8+5=13，f(7)>f(6)+f(5）>13+8=21，f(8)>f(7)+f(6）>21+13=34，
f(9)>f(8)+f(7）>34+21=55，f(10)>f(9)+f(8）>55+34=89，f(11)>f(10)+f(9）>89+55=144，
f(12)>f(11)+f(10）>144+89=233，f(13)>f(12)+f(11）>233+144=377，f(14)>f(13)+f(12）
>377+233=610，f(15)>f(14)+f(13）>610+377=987，f(16)>f(15)+f(14）>987+610=1597>1000，
f(20)>f(16)，f(20)>1000，B正確，選B。
2、已知函數(shù)f(x)=3x-sinx，若f(a)+f(-2)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 。（成都市高2021級(jí)高三二診）
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)單調(diào)性定義與性質(zhì)；②函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；③判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，運(yùn)用判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的不等式，求解不等式就可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x）的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(-x）=-3x+sinx=-(3x-sinx)=-f(x）,
函數(shù)f(x）是奇函數(shù)，(x)=3-cosx>0在R上恒成立，函數(shù)f(x）在R上單調(diào)遞增，
不等式f(a)+f(-2)>0，不等式f(a)-f(2-)>0，不等式f(a)>f(2-)，不等式+a-2>0，a<-2或a>1，若f(a)+f(-2)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ -，-2）（1，+）。
3、（理）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)x [1，2]時(shí)，f(x)=a+b，若f(0)+ f(3)=6，則f()=（ ）
A - B - C D
（文）設(shè)f(x)的定義域在R上的奇函數(shù)，且f(x+1)= f(-x)，若f(-)=，則f()=（ ）（2021全國(guó)高考甲卷）
A - B - C D
【解析】
【考點(diǎn)】①奇函數(shù)定義與性質(zhì)；②偶函數(shù)定義與性質(zhì)；③周期函數(shù)定義與性質(zhì)；④求函數(shù)值的基本方法。
【解答思路】（理）根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，運(yùn)用周期函數(shù)性質(zhì)得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值得到當(dāng)x [1，2]時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式，利用求函數(shù)值的基本方法求出f()的值就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，運(yùn)用周期函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)值的基本方法求出f()的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理） f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，f(x+1)=- f(-x+1)，f(x+2)= f(-x+2)， f(x+4)=- f(x+2)，函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x [1，2]時(shí)，f(x)=a +b， f(1)=a+b=0①，f(0)=- f(2)=-（4a+b）=-4a-b，f(3)= -f(1)=0，f(0)+ f(3)=6， f(0)+ f(3)= f(0)=- 4a-b =6②，聯(lián)立①②解得：a=-2，b=2，當(dāng)x [1，2]時(shí)，f(x)=-2+2， f()=f(4+)= f()=-f()=-（-2+2）=， f()=，D正確，選D。（文） f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x+1)= f(-x)，f(x)=- f(x+1)， f(x)= f(x+2)， 函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)， f(-)=， f()=f(2-) = f(-) =，C正確，選C。
『思考問(wèn)題3』
（1）【典例3】是函數(shù)性質(zhì)綜合運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和周期性，并能靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和周期性解答相關(guān)問(wèn)題；
（2）對(duì)于具體問(wèn)題首先應(yīng)該弄清楚它與函數(shù)單調(diào)性，奇偶性和周期性的哪些性質(zhì)相關(guān)，然后結(jié)合函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)進(jìn)行解答；
（3）解答函數(shù)性質(zhì)綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問(wèn)題，注意兩個(gè)常用結(jié)論：①f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(|x|)；②若奇函數(shù)在x=0處與意義，則有f(0)=0。
[練習(xí)3]解答下列問(wèn)題：
1、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+1)為奇函數(shù)，則（ ）（2021全國(guó)高考新高考II）（答案：B）
A f(-)=0 B f(-1)=0 C f(2)=0 D f(4)=0
2、（理）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且對(duì)任意的，[1，+），當(dāng)時(shí)，都有f()+f()0.03)，c=f()，則a，b，c的大小關(guān)系為 （用符號(hào)“<”連接）（答案： b=f(0.03)< c=f()（文）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在 [0，+）上單調(diào)遞減，若a=f(
0.3),b=f(0.1)，c=f()，則a，b，c的大小關(guān)系為 （用符號(hào)“<”連接）（20
21成都市高三二診）（答案： b=f(0.1)< c=f()

展開更多......

收起↑