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指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）5分小題問(wèn)題的類型及解法
指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說(shuō)，只要是高考試卷，就必有指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(或?qū)?shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）的問(wèn)題。從題型上看是選擇題（或填空題），難度系數(shù)為低（或中）檔，但也有出現(xiàn)高檔問(wèn)題的可能。縱觀近幾年高考（或高三診斷考試）試卷，歸結(jié)起來(lái)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）問(wèn)題主要包括：①指數(shù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算；②指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)概念及運(yùn)用；③指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖像及運(yùn)用；④指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及運(yùn)用；⑤指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題等幾種類型。各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）問(wèn)題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過(guò)近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細(xì)解析來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。
【典例1】解答下列問(wèn)題：
已知a>1，-=-，則a= （2024全國(guó)高考甲卷）
2、（理）若a=ln(ln)，b=ln，c=-，則（ ）
A c（文）若a=ln，b=ln，c=-，則（ ）（成都市高2021級(jí)高三一診）
A c3、（理）設(shè)a=，b=9sin，c=，則（ ）
A b（文）已知函數(shù)f(x)=，記a=f()，b=f()，c=f()，則（ ）（2023全國(guó)高考乙卷）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
4、已知函數(shù)f(x)=，記a=f()，b=f()，c=f()，則（）（2023全國(guó)高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
聲源 與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB
5、噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視，用聲壓級(jí)來(lái)度量 燃油汽車 10 60-90
聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)=20lg，其中常數(shù) 混合動(dòng)力汽車 10 50-60
（>0）是聽(tīng)覺(jué)下限固值，P是實(shí)際聲壓，如表 電動(dòng)汽車 10 40
為不同聲源的聲壓級(jí)，已知在距離燃油汽車，混合動(dòng)力汽車，電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，，，則（）（2023全國(guó)高考新高考I）
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
6、日光射入海水后，一部分被海水吸收（變?yōu)闊崮埽瑫r(shí)另一部分被海水中的有機(jī)物和無(wú)機(jī)物有選擇性地吸收與散射，因而海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用=
表示其總衰減規(guī)律，其中K是平均消光系數(shù)（也稱衰減系數(shù)），D（單位：米）是海水深度，（單位：坎德拉）和（單位：坎德拉）分別表示在深度D處和海面的光強(qiáng)，已知某海區(qū)10米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的30%，則該海區(qū)消光系數(shù)K的值約為（參考數(shù)據(jù)：ln20.7，ln31.1，ln51.6）（ ）（成都市高2020級(jí)高三一診）
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
4、已知a=，b=，c=，則（ ）（成都市高2020級(jí)高三二診）
A c7、已知a=2，b=3，c=，則下列判斷正確的是（ ）（2021全國(guó)高考新高考II）
A c8、（理）已知函數(shù)f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知函數(shù)f(x)=- +2|x|+3，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）(2021成都市高三零診)
A b>a>c B b>c>a C a>b>c D a>c>b
『思考問(wèn)題1』
（1）【典例1】是指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算的問(wèn)題，解答時(shí)需要理解指數(shù)和對(duì)數(shù)的定義，掌握指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和基本方法，同時(shí)注意分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與n次根式之間的關(guān)系；
（2）求解根式的運(yùn)算（或化簡(jiǎn)）問(wèn)題的基本方法是：①把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；②運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算法則和基本方法進(jìn)行運(yùn)算；③將運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)；
（3）運(yùn)用對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)解答問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意：①對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)成立的條件；②靈活運(yùn)用公式，作為一個(gè)公式既要能夠從左邊用到右邊，也要能夠從右邊用到左邊；
（4）對(duì)數(shù)的換底公式主要用來(lái)解決底數(shù)不同的對(duì)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，對(duì)數(shù)的恒等式通常用于指數(shù)和對(duì)數(shù)的混合式子的運(yùn)算；
（5）在解答實(shí)際問(wèn)題，到底是從左邊用到右邊還是從右邊用到左邊，必須依據(jù)問(wèn)題給定的條件和需要解決的問(wèn)題結(jié)合起來(lái)綜合考慮。
[練習(xí)1]解答下列問(wèn)題：
1、設(shè)a=，b=ln，c=，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）(2021成都市高三一診)
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
2、計(jì)算+ - 3的值為 （2021成都市高三三診）
3、（理）已知<，<，設(shè)a=3，b=5，c=8，則（ ）
A a（文）設(shè)a=2，b=3，C=，則（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)III）
A a4、已知a=，b=，c=ln ，則（ ）（2020成都市高三一診）
A a>b>c B a>c>b C b>a>c D b>c>a
【典例2】解答下列問(wèn)題：
1、已知實(shí)數(shù)a，b滿足2>2>1，則（ ）（成都市2019級(jí)高三一診）
A 12、在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v（單位：km/s）與燃料的質(zhì)量M（單位：kg），火箭(除燃料外)的質(zhì)量m（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是v=2000ln(1+)，當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)到km/s，若要使火箭的最大速度達(dá)到2km/s，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為（ ）（成都市2019級(jí)高三二診）
A 2 B + C 2 D +2
3、已知函數(shù)f(x)= （a. - ）是偶函數(shù)，則a= （2021全國(guó)高考新高考I）
4、某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量p（mg/L）與時(shí)間t(h)之間的關(guān)系為p=,如果前2小時(shí)消除了20%的污染物，則污染物減少50%大約需要的時(shí)間為（ ）（參考數(shù)據(jù)：ln20.69,ln31.10,ln51.61）（2021成都市高三二診）
A 4h B 6h C 8h D 10h
5、已知函數(shù)f(x)= -2，x1，且f(a)=-3，則f(6-a)=（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)I）
A - -（x+1），x>1， B - C - D -
6、Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I（t）（t的單位：天）的Logistic模型，I（t）= ，其中k為最大確診病例數(shù)，當(dāng)I（）=0.95k時(shí)，標(biāo)志已初步遏制疫情，則約為（ ）（ln193）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)III）
A 60 B 63 C 66 D 69
『思考問(wèn)題2』
（1）【典例2】是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)定義及運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，注意指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征；
（2）指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征是：①解析式是y=；②底數(shù)a是常數(shù)，滿足a＞0,且a≠1；③指數(shù)是自變量x；
（3）理解的是函數(shù)的定義時(shí)，需要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征是：①解析式是y=x；②底數(shù)a是常數(shù)，滿足a＞0,且a≠1；③真數(shù)是自變量x。
[練習(xí)2]解答下列問(wèn)題：
1、基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I（t）= 描述累計(jì)感染病例數(shù)，I（t）隨時(shí)間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與.T近似滿足=1+rT，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出=3.28，T=6，據(jù)此，
在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍，需要的時(shí)間約為（ ）（ln20.69）（2020
全國(guó)高考新高考I）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
2、已知函數(shù)f(x)= -，則f(3)=（ ）（2020成都市高三三診）
A 2 B C 3 D
【典例3】解答下列問(wèn)題：
1、函數(shù)y=（-）cosx在區(qū)間[-，]的圖像大致為（ ）（2022全國(guó)高考甲卷）
2、（理）若函數(shù)f(x)= + 的零點(diǎn)為，則（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函數(shù)f(x)= x-x-lnx-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）（成都市2019級(jí)高三三珍）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、（理）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)= f(x+2)，當(dāng)x 2時(shí)，函數(shù)f(x)=（x-1）-1，若關(guān)于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A（- 2，0） （2，+）B（- 2，0） （0，2）C（- e，0） （e，+）D（- e，0） （0，e）（文）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)= f(x+2)，當(dāng)x 2時(shí)，函數(shù)f(x)=x，若關(guān)于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）（2020成都市高三一診）
A（- 1，0）（0，1）B（- 1，0）（1，+）C（- e，0）（0，e）D（- e，0）（e，
+）
『思考問(wèn)題3』
（1）【典例3】是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，注意指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)取值對(duì)圖像的影響；
（2）比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)，應(yīng)盡量化為同底數(shù)（或同指數(shù)），①底數(shù)相同，可運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解答問(wèn)題；②指數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同（或借助函數(shù)圖像）解答問(wèn)題；③底數(shù)不同，指數(shù)也不同，解答問(wèn)題時(shí)需要借助一個(gè)中間量；
（3）指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a＞0,且a≠1是一個(gè)隱含條件，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)相關(guān)，實(shí)際解答問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該根據(jù)問(wèn)題的條件確定底數(shù)的取值范圍（不能確定時(shí)，應(yīng)分兩種不同情況分別考慮），然后依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)得到問(wèn)題的結(jié)果；
（4）對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱；解答相關(guān)問(wèn)題時(shí)注意分辨底數(shù)a的取值，確定問(wèn)題涉及對(duì)數(shù)函數(shù)圖像兩種基本類型的哪一種，再根據(jù)相關(guān)基本類型的特征去解答問(wèn)題；
（5）已知函數(shù)的解析式判斷其圖像的基本方法是：①取函數(shù)的特殊點(diǎn)（一般是三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)中的某一點(diǎn)）；②看函數(shù)的圖像是否經(jīng)過(guò)所取的點(diǎn)；③得出結(jié)果。
[練習(xí)3]解答下列問(wèn)題：
1、函數(shù)f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的圖像大致為（ ）（2020成都市高三二診）
【典例4】解答下列問(wèn)題：
設(shè)a=，b=9sin，c=，則（ ）（2024全國(guó)高考乙卷）
A b2、設(shè)a=ln，b= ，c =3，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）（成都市2020級(jí)高三零診）
A b3、設(shè)a=0.1，b=，c=-ln0.9，則（ ）（2022全國(guó)高考新高考I卷）
A a4、已知函數(shù)f(x)= （2-x），x<1，則f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019級(jí)高三零診）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
5、設(shè)a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，則（ ）（2021全國(guó)高考乙卷）
A a6、函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為 （2021全國(guó)高考新高考I）
7、已知函數(shù)f(x)=| -1|，<0，>0，函數(shù)f(x)在點(diǎn)A（，f()）和B（，f()）的兩條切線互相垂直，且分別交Y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是 （2021全國(guó)
高考新高考II）
8、（理）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且對(duì)任意的，[1，+），當(dāng)時(shí)，都有f()+f()0.03)，c=f()，則a，b，c的大小關(guān)系為 （用符號(hào)“<”連接）
（文）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在 [0，+）上單調(diào)遞減，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，則a，b，c的大小關(guān)系為 （用符號(hào)“<”連接）（2021成都市高三二診）
『思考問(wèn)題4』
（1）【典例4】是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解并掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，注意指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)的取值對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響；
（2）指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用問(wèn)題主要包括：①指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用；②復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題；③求函數(shù)的值域或最值；④指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題；
（3）運(yùn)用指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的性質(zhì)解答問(wèn)題的基本方法是：①根據(jù)問(wèn)題條件確定底數(shù)的取值范圍（如果條件不明確，則應(yīng)該分兩種情況分別考慮）；②作出指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的大致圖像；③分辨問(wèn)題與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的哪些性質(zhì)相關(guān)；④借助函數(shù)的圖像，結(jié)合指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的相關(guān)性質(zhì)解答問(wèn)題；
（4）求解指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，對(duì)函數(shù)y=（或y= g(x)）的單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題時(shí)，需要注意底數(shù)取值對(duì)指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）性質(zhì)的影響，其解答的基本方法是：①根據(jù)問(wèn)題條件確定底數(shù)的取值范圍（如果條件不明確，則應(yīng)該分兩種情況分別考慮）；②判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性；③運(yùn)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（5）解答指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的應(yīng)用問(wèn)題的基本方法是：①分辨清楚問(wèn)題的類型，建立相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）模型；②借助于指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的圖像并結(jié)合指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的性質(zhì)解答問(wèn)題；③結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的實(shí)際意義得出結(jié)果。
[練習(xí)4]解答下列問(wèn)題：
1、（理）若+a=+2b，則（ ）
A a>2b B a<2b C a> D a<
（文）設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像與y=的圖像關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，且f(-2)+ f(-4)=1，則a=（）
（2020全國(guó)高考新課標(biāo)I）
A -1 B 1 C 2 D 4
2、（理）已知函數(shù)f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，則的最大值為（ ）
A B e C D
（文）已知函數(shù)f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，則的最小值為（ ）（2020成都市高三二診）
A -1 B - C - D -
【典例5】解答下列問(wèn)題：
1、（理）已知函數(shù)f(x)=的值域?yàn)镸，若（1，+）M，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A （-，] B [0，] C -，-][，+） D [，+）
（文） 已知函數(shù)f(x)=的值域?yàn)镸，若（1，+）M，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）（成都市高2021級(jí)高三二診）
A （-，1） B （-，1] C （1，+） D [1，+）
已知函數(shù)f(x)=（+），g(x)=（-），給出下列四個(gè)結(jié)論：①f()3、（理）f(x)=--cosx，若實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，且f()+f()+f()=0，則++=（ ）
A 0 B C D 3
（文）已知函數(shù)f(x)=-，若實(shí)數(shù)m，n滿足f(m)+f(n)=0，則m+n=（ ）（成都市高2021級(jí)高三三珍）
A 1 B 2 C e D 4
4、已知函數(shù)f(x)=x-m，若函數(shù)f(x)存在最小值，且最小值為，則實(shí)數(shù)m的值為
。（成都市高2021級(jí)高三三珍）
5、當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=alnx+ 取得最大值-2，則（2）=（ ）（2022全國(guó)高考甲卷）
A -1 B - C D 1
6、已知x=和x=分別是函數(shù)f(x)=2-e（a>0且a1）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，若
<，則a的取值范圍是 （2022全國(guó)高考乙卷理）
7、若曲線y=(x+a) 有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是 （2022全國(guó)高考新高考I卷）
8、寫出曲線y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程： ， （2022全國(guó)高考新高考II卷）
『思考問(wèn)題5』
（1）【典例5】是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要熟悉指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的圖像，性質(zhì)，注意指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）底數(shù)的取值對(duì)函數(shù)圖像，性質(zhì)的影響；
（2）求解指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的定義域，值域（或最值），單調(diào)性，奇偶性問(wèn)題的基本方法是：①把問(wèn)題化歸于指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）；②運(yùn)用指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的性質(zhì)并借助于指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的圖像來(lái)解答問(wèn)題；
（3）解答指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題的基本方法是：①圖像法，在同一直角坐標(biāo)系中分別作出問(wèn)題涉及的所有函數(shù)的圖像，借助于圖像尋找結(jié)論；②代數(shù)法，分別運(yùn)用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出問(wèn)題中涉及的所有元素的取值范圍，再根據(jù)結(jié)果得出結(jié)論。
[練習(xí)5]解答下列問(wèn)題：
1、若關(guān)于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）內(nèi)恒成立，則滿足條件的整數(shù)k的最大值為（ ）（2021成都市高三零診）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、（理）已知函數(shù)f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，則（-）lnt的最小值為（ ）
A B C - D -
（文）已知函數(shù)f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，則lnt的最小值為（ ）
（2021成都市高三一診）
A B C - D -
3、（理）若x=-2是函數(shù)f(x)=（+ax-1）的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為（ ）
A -1 B -2 C 5 D 1
（文）若-<-，則（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II）
A ln(y-x+1)>0 B ln(y-x+1)<0 C ln|x-y|>0 D ln|x-y|<0
指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）5分小題問(wèn)題的類型及解法
指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說(shuō)，只要是高考試卷，就必有指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(或?qū)?shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）的問(wèn)題。從題型上看是選擇題（或填空題），難度系數(shù)為低（或中）檔，但也有出現(xiàn)高檔問(wèn)題的可能。縱觀近幾年高考（或高三診斷考試）試卷，歸結(jié)起來(lái)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）問(wèn)題主要包括：①指數(shù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算；②指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)概念及運(yùn)用；③指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖像及運(yùn)用；④指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及運(yùn)用；⑤指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題等幾種類型。各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)）問(wèn)題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過(guò)近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細(xì)解析來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。
【典例1】解答下列問(wèn)題：
1、已知a>1，-=-，則a= （2024全國(guó)高考甲卷）
【解析】
【考點(diǎn)】①對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和基本方法；③對(duì)數(shù)換底公式及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與基本方法和對(duì)數(shù)換底公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【詳細(xì)解答】-=-==-，2-10lg2lga-12
=2（lga+lg2）（lga-6lg2）=0，a>1，lga+lg2>0，lga-6lg2=0，a==64。
2、（理）若a=ln(ln)，b=ln，c=-，則（ ）
A c（文）若a=ln，b=ln，c=-，則（ ）（成都市高202111級(jí)高三一診）
A c【解析】
【考點(diǎn)】①對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；②指數(shù)定義與性質(zhì)；③比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件確定出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件確定出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）e<<，1（文）a=ln=ln，b=ln=ln，-=->0，a=ln
3、已知函數(shù)f(x)=，記a=f()，b=f()，c=f()，則（）（2023全國(guó)高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考點(diǎn)】①?gòu)?fù)合函數(shù)定義與性質(zhì)；②判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法；③運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，求出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。 y
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)=-，作出函數(shù)g(x)的 0 1 x
圖像如圖所示，由圖知函數(shù)g(x)在（-，1）上
單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減，函數(shù)f(g(x))在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在（-，1）上單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減，<<1，>1，-1-1+=
-2<-2=2-2=0，-1-1+=-2>-2=2-2=0，b=f()>c
=f()>a=f()， A正確，選A。 聲源 與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB
4、噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視，用聲壓級(jí)來(lái)度量 燃油汽車 10 60-90
聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)=20lg，其中常數(shù) 混合動(dòng)力汽車 10 50-60
（>0）是聽(tīng)覺(jué)下限固值，P是實(shí)際聲壓，如表 電動(dòng)汽車 10 40
為不同聲源的聲壓級(jí)，已知在距離燃油汽車，混合動(dòng)力汽車，電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，，，則（）（2023全國(guó)高考新高考I）
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
【解析】
【考點(diǎn)】①對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；②指數(shù)定義與性質(zhì)；③對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與基本方法；④指數(shù)的運(yùn)算法則與基本方法。
【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算法則與基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到實(shí)際聲壓p的表示式，從而判斷各選項(xiàng)的正確與錯(cuò)誤就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】壓級(jí)=20lg，p=，=，=，=，對(duì)A，≥， ≥ ，A正確；對(duì)B，≤=≤10，
≤10，B錯(cuò)誤；對(duì)C，==100， =100，C正確；對(duì)D，
=≤100， ≤100 ，D正確，綜上所述，A，C，D正確，選ACD。
5、日光射入海水后，一部分被海水吸收（變?yōu)闊崮埽瑫r(shí)另一部分被海水中的有機(jī)物和無(wú)機(jī)物有選擇性地吸收與散射，因而海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用=
表示其總衰減規(guī)律，其中K是平均消光系數(shù)（也稱衰減系數(shù)），D（單位：米）是海水深度，（單位：坎德拉）和（單位：坎德拉）分別表示在深度D處和海面的光強(qiáng)，已知某海區(qū)10米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的30%，則該海區(qū)消光系數(shù)K的值約為（參考數(shù)據(jù)：ln20.7，ln31.1，ln51.6）（ ）（成都市高2020級(jí)高三一診）
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
【解析】
【考點(diǎn)】①指數(shù)定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；③對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和基本方法。
【解答思路】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到=30%，運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和基本方法，求出K的近似值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】海區(qū)10米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的30%，=30%，-10K=ln0.3
=ln3-1n2-ln51.1-0.7-1.6-1.2，K0.12，A正確，選A。
6、已知a=，b=，c=，則（ ）（成都市高2020級(jí)高三二診）
A c解析】
【考點(diǎn)】①對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)運(yùn)算法則與基本方法；③比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算和比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】b-c=2024-1-1+2023=-2+>-2
+>0，b>c，可以排除C；a-b=-2024+1=
-2024=>0，a>b，可以排除B，D，A正確，選A。
7、已知a=2，b=3，c=，則下列判斷正確的是（ ）（2021全國(guó)高考新高考II）
A c【解析】
【考點(diǎn)】①對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；②求對(duì)數(shù)值的基本方法；③實(shí)數(shù)比較大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和求對(duì)數(shù)值的基本方法，分別求出a，b的近似值，運(yùn)用實(shí)數(shù)比較大小的基本方法，得到a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】 1<2<，0< a=2<，3>， b=3> =， c=， a8、（理）已知函數(shù)f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知函數(shù)f(x)=- +2|x|+3，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）(2021成都市高三零診)
A b>a>c B b>c>a C a>b>c D a>c>b
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)求值的基本方法；②對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；③實(shí)數(shù)大小比較的基本方法。
【解答思路】（理）根據(jù)函數(shù)求值的基本方法和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件分別求出a，b，c的值，運(yùn)用實(shí)數(shù)大小比較的基本方法得出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)函數(shù)求值的基本方法和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件分別求出a，b，c的值，運(yùn)用實(shí)數(shù)大小比較的基本方法得出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理） a= f(ln2)= <0，b= f(-ln3)= >0，a0，，c>a，可以排除B，A正確，選A。（文）b- a= f(-ln3)- f(ln2)= -(-ln3) +2ln3+3 +( ln2) -2ln2-3=（ ln2+ ln3）（ln2- ln3）-2（ln2- ln3）=（ln2- ln3）（ ln2+ ln3-2）>0， b>a，可以排除C，D，a- c= f(ln2)- f(e)= -( ln2) +2ln2+3 +-2e-3=（e+ ln2）(e- ln2)-2(e- ln2)= (e- ln2) （e+ ln2-2）>0，，a>c，可以排除B，A正確，選A。
『思考問(wèn)題1』
（1）【典例1】是指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算的問(wèn)題，解答時(shí)需要理解指數(shù)和對(duì)數(shù)的定義，掌握指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和基本方法，同時(shí)注意分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與n次根式之間的關(guān)系；
（2）求解根式的運(yùn)算（或化簡(jiǎn)）問(wèn)題的基本方法是：①把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；②運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算法則和基本方法進(jìn)行運(yùn)算；③將運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)；
（3）運(yùn)用對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)解答問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意：①對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)成立的條件；②靈活運(yùn)用公式，作為一個(gè)公式既要能夠從左邊用到右邊，也要能夠從右邊用到左邊；
（4）對(duì)數(shù)的換底公式主要用來(lái)解決底數(shù)不同的對(duì)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，對(duì)數(shù)的恒等式通常用于指數(shù)和對(duì)數(shù)的混合式子的運(yùn)算；
（5）在解答實(shí)際問(wèn)題，到底是從左邊用到右邊還是從右邊用到左邊，必須依據(jù)問(wèn)題給定的條件和需要解決的問(wèn)題結(jié)合起來(lái)綜合考慮。
[練習(xí)1]解答下列問(wèn)題：
1、設(shè)a=，b=ln，c=，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）(2021成都市高三一診)（答案：C）
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
2、計(jì)算+ - 3的值為 （2021成都市高三三診）（答案：
+- 3=+1=。）
3、（理）已知<，<，設(shè)a=3，b=5，c=8，則（ ）（答案：A）
A a（文）設(shè)a=2，b=3，C=，則（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)III）（答案：A）
A a4、已知a=，b=，c=ln ，則（ ）（2020成都市高三一診）（答案：C）
A a>b>c B a>c>b C b>a>c D b>c>a
【典例2】解答下列問(wèn)題：
1、已知實(shí)數(shù)a，b滿足2>2>1，則（ ）（成都市2019級(jí)高三一診）
A 1【解析】
【考點(diǎn)】①對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；②實(shí)數(shù)比較大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用實(shí)數(shù)比較大小的基本方法，得出1，a，b，2的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】實(shí)數(shù)a，b滿足2>2>1， 2>b>a＞1，B正確，選B。
2、在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v（單位：km/s）與燃料的質(zhì)量M（單位：kg），火箭(除燃料外)的質(zhì)量m（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是v=2000ln(1+)，當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)到km/s，若要使火箭的最大速度達(dá)到2km/s，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為（ ）（成都市2019級(jí)高三二診）
A 2 B + C 2 D +2
【解析】
【考點(diǎn)】①對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；②函數(shù)解析式定義與性質(zhì)；④已知函數(shù)解析式與函數(shù)值，確定自變量值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)和函數(shù)解析式的性質(zhì)，運(yùn)用函數(shù)解析式和已知函數(shù)解析式，函數(shù)值，確定自變量值的基本方法得到關(guān)于的方程，求解方程求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)到km/s， =2000ln(1+)，v=2000ln(1+)=2=22000ln(1+), ln(1+)=2ln(1
+)=ln, 1+=, =+2,D正確，選D。
3、已知函數(shù)f(x)= （a. - ）是偶函數(shù)，則a= （2021全國(guó)高考新高考I）
【解析】
【考點(diǎn)】①奇函數(shù)定義與性質(zhì)；②偶函數(shù)定義與性質(zhì)；③判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)，偶函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)= （a. - ）是偶函數(shù)，函數(shù)y=是R上的奇函數(shù)，函數(shù)y= a. - 是R上奇函數(shù)， a. -=-（a. - ）=（a-1）+(a-1) =（a-1）（+）=0，+>0，a-1=0，即a=1。
4、某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量p（mg/L）與時(shí)間t(h)之間的關(guān)系為p=,如果前2小時(shí)消除了20%的污染物，則污染物減少50%大約需要的時(shí)間為（ ）（參考數(shù)據(jù)：ln20.69,ln31.10,ln51.61）（2021成都市高三二診）
A 4h B 6h C 8h D 10h
【解析】
【考點(diǎn)】①指數(shù)定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；③函數(shù)解析式定義與性質(zhì)；④已知函數(shù)解析式與函數(shù)值，確定自變量值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件求出函數(shù)p關(guān)于時(shí)間t的解析式，運(yùn)用函數(shù)解析式和函數(shù)值，確定自變量值的基本方法確定出污染物減少50%大約需要的時(shí)間就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】前2小時(shí)消除了20%的污染物，80%=，-2k=3ln2-ln5-ln2=2ln2-ln5
=-0.23, k=0.115, p=,50%=,-0.115t=-ln2=-0.69，即t=
=6(h)，B正確，選B。
5、已知函數(shù)f(x)= -2，x1，且f(a)=-3，則f(6-a)=（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)I）
A - -（x+1），x>1， B - C - D -
【解析】
【考點(diǎn)】①指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③分段函數(shù)定義與性質(zhì)；④求分段函數(shù)值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的方程，求解方程求出a的值，運(yùn)用分段函數(shù)求證的基本方法求出f(6-a)的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】當(dāng) x1時(shí)，0<1，-2< f(x)=-2-1， f(a)=-3， f(a)= -（a+1）
=-3，（a+1）=3， a+1=8，a=7， f(6-a)= f(6-7)= f(-1)= -2=-2=-，A正確，選A。
6、Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I（t）（t的單位：天）的Logistic模型，I（t）= ，其中k為最大確診病例數(shù)，當(dāng)I（）=0.95k時(shí)，標(biāo)志已初步遏制疫情，則約為（ ）（ln193）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)III）
A 60 B 63 C 66 D 69
【解析】
【考點(diǎn)】①指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③已知函數(shù)值求自變量值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)已知函數(shù)值求自變量值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于的方程，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】 I（）= =0.95k， 0.95（1+）=1，
=，+5366，C正確，選C。
『思考問(wèn)題2』
（1）【典例2】是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)定義及運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，注意指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征；
（2）指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征是：①解析式是y=；②底數(shù)a是常數(shù)，滿足a＞0,且a≠1；③指數(shù)是自變量x；
（3）理解的是函數(shù)的定義時(shí)，需要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征是：①解析式是y=x；②底數(shù)a是常數(shù)，滿足a＞0,且a≠1；③真數(shù)是自變量x。
[練習(xí)2]解答下列問(wèn)題：
1、基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I（t）= 描述累計(jì)感染病例數(shù)，I（t）隨時(shí)間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與.T近似滿足=1+rT，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出=3.28，T=6，據(jù)此，
在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍，需要的時(shí)間約為（ ）（ln20.69）（2020
全國(guó)高考新高考I）（答案：B）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
2、已知函數(shù)f(x)= -，則f(3)=（ ）（2020成都市高三三診）（答案：B）
A 2 B C 3 D
【典例3】解答下列問(wèn)題：
1、函數(shù)y=（-）cosx在區(qū)間[-，]的圖像大致為（ ）（2022全國(guó)高考甲卷）
【解析】
【考點(diǎn)】①指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；②余弦三角函數(shù)定義與性質(zhì)；③函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；
④判斷函數(shù)奇偶性的基本方法；④函數(shù)圖像及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，余弦三角函數(shù)和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，運(yùn)用判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，得到函數(shù)y=（-）cosx是奇函數(shù)，從而排除B，D；當(dāng)x（0，]時(shí)，->0，cosx>0，從而得到y(tǒng)=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)f(x)= （-）cosx，區(qū)間[-，]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函數(shù)f(x)在[-，]上是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B，D錯(cuò)誤；當(dāng)x（0，]時(shí)，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C錯(cuò)誤，A正確，選A。
2、（理）若函數(shù)f(x)= + 的零點(diǎn)為，則（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函數(shù)f(x)= x-x-lnx-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）（成都市2019級(jí)高三三珍）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)零點(diǎn)定義與性質(zhì)；②指數(shù)定義與性質(zhì)；③對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)。
【解題思路】（理）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于的指數(shù)與對(duì)數(shù)表達(dá)式，運(yùn)用指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，求出（-1）的值就可得出選項(xiàng)。（文）設(shè)t= x，t（0，+ ），結(jié)合問(wèn)題條件得到函數(shù)f(t)=t-lnt-1，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值的基本方法，求出函數(shù)f(t)在（0，+ ）上的最小值為0，從而得到函數(shù)f(x)= x-x-lnx-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】 （理）函數(shù)f(x)= + 的零點(diǎn)為，+=0，
=-，=，+=+（），g（）= g（），=，=，（-1）=1，B正確，選B。（文） 函數(shù)f(x)= x-x-lnx-1，函數(shù)f(x)= x-ln（x）-1，設(shè)t= x，t（0，+ ），函數(shù)f(x)= x-ln（x）-1，函數(shù)f(t)=t-lnt-1，（t）=1-=，令（t）=0解得：t=1，當(dāng)t（0，1）時(shí)，（t）<0，當(dāng)t[1，+ ）時(shí)，（t）>0，函數(shù)f(t)在（0，1）上單調(diào)遞減，在[1，+ ）上單調(diào)遞增， f(1)=1-ln1-1=1-0-1=0，函數(shù)f(x)= x-x-lnx-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，B正確，選B。
3、（理）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)= f(x+2)，當(dāng)x 2時(shí)，函數(shù)f(x)=（x-1）-1，若關(guān)于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A（- 2，0） （2，+）B（- 2，0） （0，2）C（- e，0） （e，+）D（- e，0） （0，e）（文）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)= f(x+2)，當(dāng)x 2時(shí)，函數(shù)f(x)=x，若關(guān)于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）（2020成都市高三一診）
A（- 1，0）（0，1）B（- 1，0）（1，+）C（- e，0）（0，e）D（- e，0）（e，+）
【解析】
【考點(diǎn)】①軸對(duì)稱圖形的定義與性質(zhì)；②函數(shù)零點(diǎn)的定義與性質(zhì)；③求函數(shù)函數(shù)零點(diǎn)的基本方法；④函數(shù)圖像及運(yùn)用。
【解題思路】（理）根據(jù)軸對(duì)稱圖形定義與性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件作出函數(shù)f(x)圖像，由方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)=kx-2k+e-1，設(shè)g(x)=kx-2k+e-1，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)，依據(jù)條件可知方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)應(yīng)該有三個(gè)不同的交點(diǎn)，從而以得到實(shí)數(shù)k的取值范圍。（文）根據(jù)軸對(duì)稱圖形定義與性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件作出函數(shù)f(x)圖像，由方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)=kx-2k+e-1，g(x)=kx-2k
+e-1，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)，依據(jù)條件可知方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而得到函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)應(yīng)該有三個(gè)不同的交點(diǎn)，進(jìn)一步可以得到實(shí)數(shù)k的取值范圍。
【詳細(xì)解答】（理）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x) y
= f(x+2)，當(dāng)x 2時(shí)，函數(shù)f(x)=（x-1）-1，函數(shù)f(x) f(x)
的圖像關(guān)直線x= =2對(duì)稱，作出函數(shù)f(x)的圖像如圖
(1)所示， EMBED Equation.DSMT4 方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)+1=kx-2k+e，
設(shè)g(x)= f(x)+1, h(x)=kx-2k+e，在同一直角坐標(biāo)系中作出函 0 1 2 3
數(shù)g(x)，函數(shù) h(x)的圖像如圖（2）所示，方程f(x) -kx -1 (圖1)
+2k-e+1=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，函數(shù)g(x)與函數(shù)h(x)
有三個(gè)不同的交點(diǎn)，令h(x)=0，得x=2- ，令x=0，得 y
h(x)=-2k+e,函數(shù)h(x)的圖像與X，Y軸的交點(diǎn)分別為（2- g(x) h(x)
，0），（0，-2k+e）,①當(dāng)k>0時(shí)，如圖函數(shù)g(x)與函 h(x)
數(shù)h(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，2- <1，k②當(dāng)k<0時(shí)，如圖函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)， -1 （圖2）
EMBED Equation.DSMT4 2- >3， k>-e，-e（文）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)= f(x+2)， y
當(dāng)x 2時(shí)，函數(shù)f(x)=x，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)直線x= f(x)
=2對(duì)稱，作出函數(shù)f(x)的圖像如圖(1)所示，
設(shè)g(x)=k(x-2)+2，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)， 0 1 2 3 4 x
函數(shù)g(x)的圖像如圖（2）所示，方程f(x)=k(x-2)+2 (圖1)
有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖像
有三個(gè)不同的交點(diǎn)，令g(x)=0，得x=2- ，令x=0，得 y
g(x)=-2k+2，函數(shù)g(x)的圖像與X，Y軸的交點(diǎn)分別為（2- g(x) h(x)
，0），（0，-2k+2）,①當(dāng)k>0時(shí)，如圖函數(shù)f(x)與函 h(x)
數(shù)g(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，2- <0，k<1， 0 1 2 3 4
0的交點(diǎn)，2- >4， k>-1，-1程f(x) =k(x-2) +2有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（- 1，0） （0，1），A正確，選A。
『思考問(wèn)題3』
（1）【典例3】是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，注意指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)取值對(duì)圖像的影響；
（2）比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)，應(yīng)盡量化為同底數(shù)（或同指數(shù)），①底數(shù)相同，可運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解答問(wèn)題；②指數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同（或借助函數(shù)圖像）解答問(wèn)題；③底數(shù)不同，指數(shù)也不同，解答問(wèn)題時(shí)需要借助一個(gè)中間量；
（3）指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a＞0,且a≠1是一個(gè)隱含條件，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)相關(guān)，實(shí)際解答問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該根據(jù)問(wèn)題的條件確定底數(shù)的取值范圍（不能確定時(shí)，應(yīng)分兩種不同情況分別考慮），然后依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)得到問(wèn)題的結(jié)果；
（4）對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱；解答相關(guān)問(wèn)題時(shí)注意分辨底數(shù)a的取值，確定問(wèn)題涉及對(duì)數(shù)函數(shù)圖像兩種基本類型的哪一種，再根據(jù)相關(guān)基本類型的特征去解答問(wèn)題；
（5）已知函數(shù)的解析式判斷其圖像的基本方法是：①取函數(shù)的特殊點(diǎn)（一般是三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)中的某一點(diǎn)）；②看函數(shù)的圖像是否經(jīng)過(guò)所取的點(diǎn)；③得出結(jié)果。
[練習(xí)3]解答下列問(wèn)題：
1、函數(shù)f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的圖像大致為（ ）（2020成都市高三二診）（答案：B）
【典例4】解答下列問(wèn)題：
1、設(shè)a=，b=9sin，c=，則（ ）（2024全國(guó)高考乙卷）
A b【解析】
【考點(diǎn)】①冪函數(shù)定義與性質(zhì)；②正弦三角函數(shù)定義與性質(zhì)；③比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)和正弦三角函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】 a==>c==，
2、設(shè)a=ln，b= ，c =3，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）（成都市2020級(jí)高三零診）
A b【解析】
【考點(diǎn)】①對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；②指數(shù)定義與性質(zhì)；③比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】 a=ln=-ln3<-1，3、設(shè)a=0.1，b=，c=-ln0.9，則（ ）（2022全國(guó)高考新高考I卷）
A a【解析】
【考點(diǎn)】①對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；②指數(shù)定義與性質(zhì)；③實(shí)數(shù)比較大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用實(shí)數(shù)比較大小的基本方法，得出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)a=x，b=，c=-ln（1-x），lna-lnb=lnx+x-lnx+ln（1-x）= x+ln（1-x），
令f(x)= x+ln（1-x），x(0，0.1]，（x）=1-=<0在(0，0.1]恒成立，函數(shù)f(x) 在(0，0.1]上單調(diào)遞減，當(dāng)x(0，0.1]時(shí)，f(x)< f(0)=0+ln(1-0)=0, lna-lnb
<0，a0在(0，0.1]恒成立，函數(shù)u（x）在(0，0.1]上單調(diào)遞增，
當(dāng)x(0，0.1]時(shí)，u（x）>u（0）=（1-0）1-1=0，（x）=>0在(0，0.1]恒成立，函數(shù)g(x)在(0，0.1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x(0，0.1]時(shí)，g(x)> g(0)=0+ln(1-0)=0，
a-c>0，a>c，可以排除A，D，C正確，選C。
4、已知函數(shù)f(x)= （2-x），x<1，則f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019級(jí)高三零診）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
【解析】
【考點(diǎn)】①分段函數(shù)定義與性質(zhì)；②求分段函數(shù)值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用求分段函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出f(-2)+ f(ln4)的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】 -2<1， f(-2)= （2+2）=4=2，ln4>1， f(ln4)= =4，f(-2)+ f(ln4)=2+4=6，C正確，選C。
5、設(shè)a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，則（ ）（2021全國(guó)高考乙卷）
A a【解析】
【考點(diǎn)】①對(duì)數(shù)定義與性質(zhì)；②指數(shù)定義與性質(zhì)；③實(shí)數(shù)比較大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用實(shí)數(shù)比較大小的基本方法，得出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】 a=2ln1.01=ln =ln1.0201> b=ln1.02，a>b，可以排除A，D；設(shè)f(x)
=2ln(1+x)- +1，x(0，1)，令t=，t(1，)，x=，2ln(1+x)- +1，2ln-t+1，g(t)= 2ln-t+1，(t)= -1=
=->0在(1，)上恒成立，函數(shù)g(t) 在(1，)上單調(diào)遞增，當(dāng)t(1，)時(shí)，g(t)> g(1)= 2ln-1+1=0， a>c；設(shè)g(x)=ln(1+2x)- +1，x(0，1)，令t=，t(1，)，x=， ln(1+2x)- +1， ln -t+1，u(t)= ln -t+1，
上單調(diào)遞減，，當(dāng)t(1，)時(shí)，u(t)< u(1)= ln-1+1=0， c>b，綜上所述， (t) = -1==-<0在(1，)上恒成立，函數(shù)u(t) 在(1，)上單調(diào)
遞減， b6、函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為 （2021全國(guó)高考新高考I）
【解析】
【考點(diǎn)】①分段函數(shù)定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③求函數(shù)最值的基本方法。
【解答思路】根據(jù)分段函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；運(yùn)用求函數(shù)最值的基本方法就可求出函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值。
【詳細(xì)解答】①當(dāng)x時(shí)，f(x)=|2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，x，（x）=2-=，
令（x）=0得：x=1，x[，1）時(shí)，（x）<0，x[1，+ ）時(shí)，（x）0，
函數(shù)f(x)在[，1）上單調(diào)遞減，在[1，+ ）上單調(diào)遞增，= f(x)=21-1-2ln1=1；②當(dāng)0f()=1-2-2ln=2ln2>2ln>2>1，綜上所述，函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為1。
7、已知函數(shù)f(x)=| -1|，<0，>0，函數(shù)f(x)在點(diǎn)A（，f()）和B（，f()）的兩條切線互相垂直，且分別交Y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是 （2021全國(guó)高考新高考II）
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法；②函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)；③求曲線在某點(diǎn)處切線方程的基本方法；④兩條直線垂直的充分必要條件及運(yùn)用；⑤兩點(diǎn)之間距離公式及運(yùn)用。
【解答思路】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法求出函數(shù)y的導(dǎo)函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和求曲線在某點(diǎn)處切線方程的基本方法，分別求出曲線y= f(x)在點(diǎn)A，B處的切線方程，從而得到點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，運(yùn)用兩條直線垂直的充分必要條件和兩點(diǎn)之間的距離公式得到關(guān)于的表示式，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)就可求出的取值范圍。
【詳細(xì)解答】<0，>0， A（，1-），B（，-1），（）=-，（）=，曲線y= f(x)在點(diǎn)A，B處的切線方程分別為：y=-(x-+1)+1，y= (x-+1)
-1，M(0，-(-+1)+1)，N（0， (-+1)-1），直線AM垂直直線BN，-.
=-1，+=0，|AM|==-，|BN|=
==-，
==，<0，0<<1，即的取值范圍是（0，1）。
8、（理）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且對(duì)任意的，[1，+），當(dāng)時(shí)，都有f()+f()0.03)，c=f()，則a，b，c的大小關(guān)系為 （用符號(hào)“<”連接）
（文）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在 [0，+）上單調(diào)遞減，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，則a，b，c的大小關(guān)系為 （用符號(hào)“<”連接）（2021成都市高三二診）
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)圖像及運(yùn)用；②函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；③對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；④指數(shù)的定義與性質(zhì)；⑤比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)函數(shù)圖像和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，[1，+）上單調(diào)遞減，運(yùn)用對(duì)數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)，確定ln2，0.03，
的大小，就可得出且在求出a，b，c的大小關(guān)系。（文）根據(jù)偶函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于Y軸對(duì)稱，[0，+）上單調(diào)遞減，運(yùn)用對(duì)數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)，確定0.3，0.1，的大小，就可求出a，b，c的大小關(guān)系。
【詳細(xì)解答】（理）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且對(duì)任意的，[1，+），當(dāng)時(shí)，都有f()+f()=<-2，<<2， b=f(0.1)< c=f()『思考問(wèn)題4』
（1）【典例4】是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解并掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，注意指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)的取值對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響；
（2）指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用問(wèn)題主要包括：①指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用；②復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題；③求函數(shù)的值域或最值；④指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題；
（3）運(yùn)用指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的性質(zhì)解答問(wèn)題的基本方法是：①根據(jù)問(wèn)題條件確定底數(shù)的取值范圍（如果條件不明確，則應(yīng)該分兩種情況分別考慮）；②作出指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的大致圖像；③分辨問(wèn)題與指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的哪些性質(zhì)相關(guān)；④借助函數(shù)的圖像，結(jié)合指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的相關(guān)性質(zhì)解答問(wèn)題；
（4）求解指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，對(duì)函數(shù)y=（或y= g(x)）的單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題時(shí)，需要注意底數(shù)取值對(duì)指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）性質(zhì)的影響，其解答的基本方法是：①根據(jù)問(wèn)題條件確定底數(shù)的取值范圍（如果條件不明確，則應(yīng)該分兩種情況分別考慮）；②判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性；③運(yùn)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（5）解答指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的應(yīng)用問(wèn)題的基本方法是：①分辨清楚問(wèn)題的類型，建立相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）模型；②借助于指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的圖像并結(jié)合指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的性質(zhì)解答問(wèn)題；③結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的實(shí)際意義得出結(jié)果。
[練習(xí)4]解答下列問(wèn)題：
1、（理）若+a=+2b，則（ ）（答案：B）
A a>2b B a<2b C a> D a<
（文）設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像與y=的圖像關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，且f(-2)+ f(-4)=1，則a=（）
（2020全國(guó)高考新課標(biāo)I）（答案：B）
A -1 B 1 C 2 D 4
2、（理）已知函數(shù)f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，則的最大值為（ ）（答案：C）
A B e C D
（文）已知函數(shù)f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，則的最小值為（ ）（2020成都市高三二診）（答案：D）
A -1 B - C - D -
【典例5】解答下列問(wèn)題：
1、已知函數(shù)f(x)=的值域?yàn)镸，若（1，+）M，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）（成都市高2021級(jí)高三二診）
A （-，] B [0，] C -，-][，+） D [，+）
【解析】
【考點(diǎn)】①指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；②一元二次函數(shù)定義與性質(zhì)；③復(fù)合函數(shù)定義與性質(zhì)；④參數(shù)分類討論的原則和基本方法。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，一元二次函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用參數(shù)分類討論的原則和基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的不等式，求解不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)指數(shù)函數(shù)，一元二次函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用參數(shù)分類討論的原則和基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的不等式，求解不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)=ax-x+1，①當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=-x+1，函數(shù)f(x)=的值域M為（0，+）， （1，+）M成立； ②當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值為g()=-+1=-+1，函數(shù)f(x)=的值域?yàn)镸，,且（1，+）M，-+1≤0，0（文）設(shè)g(x)=x+2x+a，函數(shù)f(x)=的值域M為（0，+）， （1，+）M成立； 函數(shù)g(x)的最小值為g(-1)=1-2+a=--1+a≤0，a≤1，-若函數(shù)f(x)=的值域?yàn)镸，且（1，+）M，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （-，1]， B正確，選B。
2、已知函數(shù)f(x)=（+），g(x)=（-），給出下列四個(gè)結(jié)論：①f()【解析】
【考點(diǎn)】①指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用并集實(shí)數(shù)大小的基本方法，，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)各結(jié)論的正確性進(jìn)行判斷就可得出其中所有正確結(jié)論的序號(hào)。
【詳細(xì)解答】對(duì)①，<+<6，1<-<，g()，①錯(cuò)誤；對(duì)②，設(shè)存在（0，1），使得f()=，=+，=-，g(）==，②正確；對(duì)③，設(shè)f(x)=（+）=a，g(x)=（-）=b，x（1，+），=+，=-，-=-，+=（+）=+=（+1）>，>1，b-a>0，對(duì)任意x（1，+），都有a=f(x)（-1）>，對(duì)任意x（0，+），都有|x-f(x)|≤|g(x)-x，④正確，綜上所述，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④。
3、已知函數(shù)f(x)=--cosx，若實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，且f()+f()+f()=0，則++=（ ）（成都市高2021級(jí)高三三珍）
A 0 B C D 3
【解析】
【考點(diǎn)】①指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；②余弦三角函數(shù)定義與性質(zhì)；③等差中項(xiàng)定義與性質(zhì)。
【解題思路】（理）根據(jù)指數(shù)函數(shù)，余弦三角函數(shù)和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)各選項(xiàng)的值是否滿足進(jìn)行驗(yàn)證值就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)指數(shù)函數(shù)，余弦三角函數(shù)和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)各選項(xiàng)的值是否滿足進(jìn)行驗(yàn)證值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，=，對(duì)A，++=3
=0，=0，+=0，f()+f()+f()=--cos+--cos
+--cos=（++）[1-]- cos （1+2cos），當(dāng)且僅當(dāng)+=，即++=時(shí)，f()+f()+f()=（++）[1-]- cos （1+2cos）=0，C正確，選C。
（文）函數(shù)f(x)=-，若實(shí)數(shù)m，n滿足f(m)+f(n)=0，實(shí)數(shù)，，成等f(wàn)(m)+f(n)=-+-=（+）（1-）=（+）（1-）=0，+0，1-=0，=1，m+n=2，B正確，選B。
4、已知函數(shù)f(x)=x-m，若函數(shù)f(x)存在最小值，且最小值為，則實(shí)數(shù)m的值為
。（成都市高2021級(jí)高三三珍）
【解析】
【考點(diǎn)】①指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)換元法及運(yùn)用；③函數(shù)求導(dǎo)法則，公式和基本方法；④參數(shù)分類討論的法則和基本方法；⑤運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)換元法得到關(guān)于t的一元二次函數(shù)，利用參數(shù)分類討論的法則與基本方法和運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出m的值。
【詳細(xì)解答】設(shè)t=，t（0，+），x=lnt，f(x)=x-m，f(t)=tlnt-m，（t）=lnt+1-2mt， （t）=-2m，①當(dāng)m＜0時(shí)，（t）>0在（0，+）上恒成立，函數(shù)（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，（1）=0+1-2m=1-2m>0，存在（0，1），使（）= ln+1-2m=0，函數(shù)f(t)在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增，函數(shù)f(t)的最小值為f()=(2m-1)-m=m-=，=，或=-，>0，=-， ln（-）+1-2m（-）=0，-ln(-m)=-3，ln(-m)=3=ln，m=-；②當(dāng)m>0時(shí)，令 （t）=-2m=0，解得t=，t（0，）時(shí)，（t）<0，t（，+）時(shí)，（t）>0，函數(shù)（t）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增，函數(shù)（t）在（0，+）上的最小值為（）=ln+1-2m=ln，若≥1，即0時(shí)，（）=ln<0，t→0時(shí)，（t）
=lnt+1-2mt→-，t→+時(shí)，（t）=lnt+1-2mt→-，函數(shù)（t）<0在（0，+）
上恒成立，函數(shù)f(t)在（0，+）上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)f(t)沒(méi)有最小值，即函數(shù)f(x)沒(méi)有最
小值與題意不符，綜上所述，若函數(shù)f(x)存在最小值，且最小值為，則實(shí)數(shù)m的值為
-
5、當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=alnx+ 取得最大值-2，則（2）=（ ）（2022全國(guó)高考甲卷）
A -1 B - C D 1
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)導(dǎo)函數(shù)定義與性質(zhì)；②函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法；③運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法，運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值的基本方法，得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值，從而求出（2）的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=alnx+ 取得最大值-2，（x）=-， （1）
a-b=0①，f(1)= aln1+b=b=-2②，聯(lián)立①②解得：a=b=-2，（2）=-=-1+=-， B正確，選B。
6、已知x=和x=分別是函數(shù)f(x)=2-e（a>0且a1）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，若
<，則a的取值范圍是 （2022全國(guó)高考乙卷理）
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①函數(shù)導(dǎo)函數(shù)定義與性質(zhì)；②函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法；③函數(shù)極值定義與性質(zhì)；⑤判斷函數(shù)在某點(diǎn)存在極值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法，求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)（x），運(yùn)用函數(shù)極值的性質(zhì)和判定函數(shù)在某點(diǎn)存在極值的基本方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（x）=2lna-2ex=2(lna—ex)，設(shè)函數(shù)g(x)= 2lna-2ex，（x）=2lna-2e=2(lna-e)，①當(dāng)a>1時(shí)，存在R，使（）=0，x（-∞，）時(shí)，（x）<0，x（，+∞）時(shí)，（x）>0，函數(shù)（x）=g(x)在（-∞，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)，函數(shù)f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分別取得極小值和極大值，必有>，與題意不符；②當(dāng)0R，使（）=0，x（-∞，）時(shí)，（x）>0，x（，+∞）時(shí)，（x）<0，函數(shù)（x）=g(x)在（-∞，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分別取得極小值和極大值，且<，
（）>0，2 lna-2e >0，>，000且a1）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且<，則a的取值范圍是（0，）。
7、若曲線y=(x+a) 有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是 （2022全國(guó)高考新高考I卷）
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)導(dǎo)函數(shù)定義與性質(zhì)；②函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法；③函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)用；④求曲線在某點(diǎn)處切線方程的基本方法。
【解題思路】設(shè)f(x)= (x+a) ，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法，求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)（x），運(yùn)用函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和求曲線在某點(diǎn)處切線方程的基本方法，求出曲線的切線方程，由切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，得到關(guān)于點(diǎn)橫坐標(biāo)的一元二次方程，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范圍。
【詳細(xì)解答】設(shè)f(x)= (x+a) ，曲線y= f(x)與切線的切點(diǎn)為（，（+a）），（x）=+ (x+a) = (x+a+1) ，（）=（+a+1），曲線y= f(x)在點(diǎn)（，（+a））處的切線方程為：y-（+a）=（+a+1）(x-)，y=（+a+1）x+（+a）-（+a+1），切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，（--a-++a）=-（+a-a）=0，+a-a=0，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線有兩條，=+4a=a(a+4)>0，a<-4或a>0，
若曲線y=(x+a) 有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是（-∞，-4）（0，+∞）。
8、寫出曲線y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程： ， （2022全國(guó)高考新高考II卷）
【解析】
【考點(diǎn)】①函數(shù)導(dǎo)函數(shù)定義與性質(zhì)；②函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法；③函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)用；④求曲線在某點(diǎn)處切線方程的基本方法。
【解題思路】設(shè)f(x)= ln|x|，由絕對(duì)值的性質(zhì)，分x>0和x<0兩種情況考慮問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法，求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)（x），運(yùn)用函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和求曲線在某點(diǎn)處切線方程的基本方法，求出曲線的切線方程，由切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求解方程求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而就可求出曲線y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程。
【詳細(xì)解答】①當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)f(x)= ln|x|= lnx，曲線y= f(x)與切線的切點(diǎn)為（，ln），
（x）= ，（）=，曲線y= f(x)在點(diǎn)（，ln）處的切線方程為：y- ln
=(x-)，即y=x+ ln-1，切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)， ln-1=0，=e，曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為y=；②當(dāng)x<0時(shí)，設(shè)f(x)= ln|x|= ln（-x），曲線y= f(x)與切線的切點(diǎn)為（，ln （-）），（x）= ，（）= ，曲線y= f(x)在點(diǎn)（，ln(-)）處的切線方程為：y- ln（-）= (x-)，即y=x+ ln（-）-1，切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)， ln（-）-1=0，=-e，曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為y=-，綜上所述，曲線y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程是y=或y=-。
『思考問(wèn)題5』
（1）【典例5】是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要熟悉指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的圖像，性質(zhì)，注意指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）底數(shù)的取值對(duì)函數(shù)圖像，性質(zhì)的影響；
（2）求解指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的定義域，值域（或最值），單調(diào)性，奇偶性問(wèn)題的基本方法是：①把問(wèn)題化歸于指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）；②運(yùn)用指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的性質(zhì)并借助于指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的圖像來(lái)解答問(wèn)題；
（3）解答指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題的基本方法是：①圖像法，在同一直角坐標(biāo)系中分別作出問(wèn)題涉及的所有函數(shù)的圖像，借助于圖像尋找結(jié)論；②代數(shù)法，分別運(yùn)用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出問(wèn)題中涉及的所有元素的取值范圍，再根據(jù)結(jié)果得出結(jié)論。
[練習(xí)5]解答下列問(wèn)題：
1、若關(guān)于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）內(nèi)恒成立，則滿足條件的整數(shù)k的最大值為（ ）（2021成都市高三零診）（答案：A）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、（理）已知函數(shù)f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，則（-）lnt的最小值為（ ）（答案：C）
A B C - D -
（文）已知函數(shù)f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，則lnt的最小值為（ ）
（2021成都市高三一診）（答案：C）
A B C - D -
3、（理）若x=-2是函數(shù)f(x)=（+ax-1）的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為（ ）（答案：A）
A -1 B -2 C 5 D 1
（文）若-<-，則（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II）（答案：A）
A ln(y-x+1)>0 B ln(y-x+1)<0 C ln|x-y|>0 D ln|x-y|<0

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