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高考試題中數(shù)列5分小題問(wèn)題的類型與解法
數(shù)列問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說(shuō)，只要是高考試卷，就一定會(huì)涉及到數(shù)列問(wèn)題。從題型上看，可能是大題，也可能是選擇題（或填空題），分值一般在十到十五分之間；難度系數(shù)較低，一般為低檔（或中檔）題，這里著重探導(dǎo)數(shù)列的5分小題問(wèn)題。縱觀近幾年高考（或高三診斷考試）試題，歸結(jié)起來(lái)，數(shù)列的5分小題問(wèn)題主要包括：①數(shù)列的基本概念；②等差數(shù)列問(wèn)題；③等比數(shù)列問(wèn)題；④數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題；⑤數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題等幾種類型，各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答數(shù)列5分小題問(wèn)題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過(guò)近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細(xì)解析來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。
【典例1】解答下列問(wèn)題：
1、若數(shù)列{}滿足=3，=2-n+1，++=（ ）（成都市高2021級(jí)高三一診）
A 6 B 14 C 22 D 37
2、已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知=2，=，則=（ ）（成都市高2020級(jí)高三一診）
A 512 B 510 C 256 D 254
3、（理）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造衛(wèi)星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{}：=1+，=1+，=1+，--------，以此類推，其中
（k=1，2，------），則（ ）（2022全國(guó)高考乙卷理）
A < B < C < D <
4、已知數(shù)列{}滿足=3，+2=2，則的值為 （成都市2019級(jí)高三三珍）
5、數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，+2=，數(shù)列{}滿足=（3-）（n），則數(shù)列{}的前10項(xiàng)和為 （2021成都市高三一診）
6、（理）已知數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和滿足=，記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，n，則使＜成立的n的最大值為（ ）（2021成都市高三二診）
A 17 B 18 C 19 D 20
（文）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足=，記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，
n，則的值為（ ）
A B C D
7、（理）設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，若=1，=35，且=+（n 2且n∈），則++------+ 的值為 ；
（文）設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，若=5，=10，且{ }是等差數(shù)列，則||+||+||+------+||的值為 （2020成都市高三三診）
8、設(shè)數(shù)列｛｝滿足+ =3n-1，前16項(xiàng)和為540，則= （2020全國(guó)高考新課標(biāo)I文）
9、數(shù)列｛｝中，=2，=.，若++-----+=-，則k= （ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II理）
A 2 B 3 C 4 D 5
10、0—1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，若序列，，------，，----滿足∈{0，1}（i=1,2,----）,且存在正整數(shù)m，使得=（i=1,2,----）成立,則稱其為0—1周期
序列，并稱滿足=（i=1,2,----）的最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期，對(duì)于周期為m
的0—1序列，，------，，----C（k）=（k=1，2，----，m-1）是描述其
性能的重要指標(biāo)，下列周期為5的0—1序列中，滿足C（k） （k=1，2，3，4）的序
列是（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II理）
A 11010 B 11011 C 10001 D 11001
11、將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛｝，則｛｝的前n項(xiàng)和為 （2020全國(guó)高考新高考I）
12、設(shè)為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，且=4，=，n，則= （2019成都市高三一診）
『思考問(wèn)題1』
（1）【典例1】是與數(shù)列概念相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解數(shù)列的定義，注意數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式的意義，同時(shí)掌握數(shù)列分類和數(shù)列表示的基本方法；
（2）數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，它的表示與函數(shù)一樣有：①解析法；②列表法；③圖像法；但需要注意數(shù)列的特殊性是它的定義域?yàn)檎麛?shù)。
〔練習(xí)1〕解答下列問(wèn)題：
1、數(shù)列｛｝滿足：=，=2，則= （2018全國(guó)高考新課標(biāo)II卷（文））
2、已知集合A={x|x=2n-1，n}，B={x|x= ，n}，將A B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛｝，記為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，則使得＞12成立的n的最小值為 （2018全國(guó)高考江蘇卷）
3、已知數(shù)列｛｝共16項(xiàng)，且=1，=4，記關(guān)于x的函數(shù)（x）=-+（-1）x，n∈。若（1n15）是函數(shù)（x）的極值點(diǎn)，且曲線y=（x）在點(diǎn)（，（））處的切線的斜率為15，則滿足條件的數(shù)列｛｝的個(gè)數(shù)為 （2018成都市高三二診理）
4、下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列可以看作一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）{1，2，3，---，n}上的函數(shù)；②數(shù)列若用圖像表示，從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn)；③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的；④數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的。其中正確的是（ ）
A ①② B ①②③ C ②③ D ①②③④
5、下列四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（ ）
A 1, ，，，----- B sin，sin ，sin ，-----
C -1, -，-，-，----- D 1，，，-------，
6、數(shù)列｛｝中，=-+11n，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是 。
7、幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，-------，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)兩項(xiàng)是，，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，，，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)N，N＞100，且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，那么該款軟件的激活碼是（ ）（2017全國(guó)高考新課標(biāo)I卷）
A 440 B 330 C 220 D 110
8、（理）在數(shù)列｛｝中，=1，=（n2，n∈），則數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和= ；
（文）在數(shù)列｛｝中，=1，+++------+=（n），則數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式= （2017成都市高三二診）
9、下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7} B數(shù)列1，0，-1，-2與數(shù)列-2，-1，0，1是相同的數(shù)列 C數(shù)列{}的第k項(xiàng)為1+ D數(shù)列0，2，4，6，8------可記為{2n}
10、已知數(shù)列，，，----，，----下列各數(shù)中是此數(shù)列中的項(xiàng)的是（ ）
A B C D
11、在數(shù)列｛｝中，=1，=1+（n2），則等于（ ）
A B C D
12、已知數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式是=，那么這個(gè)數(shù)列是（ ）
A 遞增數(shù)列 B 遞減數(shù)列 C 常數(shù)數(shù)列 D 擺動(dòng)數(shù)列
13、數(shù)列｛｝滿足：=，=2，則= 。
【典例2】解答下列問(wèn)題：
（理）等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若=，=1，則=（ ）
A -2 B 1 C D 2
（文）等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若=1，則+=（ ）（2024全國(guó)高考甲卷）
A -2 B C 1 D
2、記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若=14，且，，成等比數(shù)列，則的值為 。（成都市高2021級(jí)高三一診）
3、記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若+=10，.=45，則=（ ）（2023全國(guó)高考甲卷文）
A 25 B 22 C 20 D 15
4、已知等差數(shù)列｛｝的公差為，集合S={cos|n}，若S={a，b}，則ab=（ ）（2023全國(guó)高考乙卷理）
A -1 B - C 0 D
5、記為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：｛｝為等差數(shù)列；乙：{}為等差數(shù)列，則（ ）（2023全國(guó)高考新高考I）
A 甲是乙的充分條件但不是必要條件 B 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C 甲是乙的充分必要條件 D 甲既不是乙的充分條件，也表示一的必要條件
6、在公差為d的等差數(shù)列{}中，已知++=3，+=4，則d= （成都市高2020級(jí)高三一診）
7、（理）設(shè)是正項(xiàng)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若=2023，則+的最小值為（ ）（成都市高2020級(jí)高三三珍）
A B 5 C 9 D
（文）設(shè)為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若=2023，則的值為（ ）
A 1 B 2 C 1012 D 2023
8、記為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，若2=3+6，則公差d= （2022全國(guó)高考乙卷文）
9、中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)，如圖是某古建筑物的面圖，A，B，C，D檸，D，C，B，A是脊，O，D，C，B是相等的步，相鄰檸的脊步的比分別為=0.5，=，=，=，若，，是公差為0.1的等差數(shù)列，直線OA的斜率為0.725，則=（ ）（2022全國(guó)高考新高考II卷）
A 0.75 B 0.8 C 0.85 D 0.9
10、已知數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為，若=，=++，則=（ ）（成都市2019級(jí)高三二診）
A 10 B 20 C 100 D 400
11、在等差數(shù)列{}中，已知=3，+=10，則數(shù)列{}的公差為（ ）（成都市2019級(jí)高三三珍）
A -1 B 0 C 1 D 2
12、設(shè)等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，且0，=3，則=（ ）（2020成都市高三一診）
A B C D
『思考問(wèn)題2』
（1）【典例2】是與等差數(shù)列相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，掌握求等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的基本方法；
（2）解答等差數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵是由條件求出：①等差數(shù)列的首項(xiàng)；②等差數(shù)列的公差；
（3）求等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)，公差的方程（或方程組）；②求解方程（或方程組）；③運(yùn)用求得的結(jié)果求問(wèn)題的
結(jié)果。
〔練習(xí)2〕解答下列問(wèn)題：
1、記為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，若=-2，+=2，則= （2020全國(guó)高考新課標(biāo)II文）
2、（理）北京天壇的國(guó)丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上，中，下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)也依次增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A 3699塊 B 3474塊 C 3402塊 D 3339塊
（文）如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為，，------，設(shè)1 i三和弦，用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II）
A 5 B 8 C 10 D 15
（理科圖） （文科圖）
3、（理）記為等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，0，=3，則= ；
（文）記為等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，若=5，=13，則= （2019全國(guó)高考新課標(biāo)III）
4、記為等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，已知=0，=5，則（ ）（2019全國(guó)高考新課標(biāo)I（理））
A =2n-5 B =3n-10 C =2-8n D =-2n
5、設(shè)等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為，若=-3，=-10，則= ，的最小值為 （2019全國(guó)高考北京（理））
6、已知等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，且=，=15，則=（ ）（2019成都市高三零診）
A B 1 C D 2
7、設(shè)為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，且2+=+，則=（ ）（2019成都市高三一診）
A 28 B 14 C 7 D 2
8、已知公差大于零的等差數(shù)列｛｝中，，，依次成等比數(shù)列，則的值是 （2019成都市高三一診）
9、設(shè)等差數(shù)列｛｝滿足3=5，且>0，則前n項(xiàng)和中最大的是（ ）
A B C D
10、記為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，若3=+，=2，=（ ）（2018全國(guó)高考新課標(biāo)I卷（理））
A -12 B -10 C 10 D 12
11、等差數(shù)列｛｝的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則｛｝的前n項(xiàng)和為=（ ）（2018全國(guó)高考新課標(biāo)II卷（文））
A n(n+1) B n(n-1) C D
12、設(shè)｛｝是等差數(shù)列，且=3，+=36，則｛｝的通項(xiàng)公式為 （2018全國(guó)高考北京卷）
13、設(shè)等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，若=20，=10，則=（ ）（2018成都市高三二診）
A -32 B 12 C 16 D 32
14、記為等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，已知=0，=5，則（ ）
A =2n-5 B =3n-10 C =2-8n D =-2n
15、設(shè)等差數(shù)列｛｝的公差為1，且，，成等比數(shù)列，則｛｝的前20項(xiàng)和為（ ）
A 230 B -230 C 210 D -210
16、設(shè)等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為，若=-3，=-10，則= ，的最小值為 。
【典例3】解答下列問(wèn)題：
1、（理）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{}中，=1，為{}前n項(xiàng)和，=5-4，則=（ ）
A 7 B 9 C 15 D 30
（文）記為等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若8=7，則{}的公比為 （2023全國(guó)高考甲卷）
2、已知{ }為等比數(shù)列，=，=-8，則= （2023全國(guó)高考乙卷理）
3、記為等比數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，若=-5，=21，則=（ ）（2023全國(guó)高
考新高考II）
A 120 B 85 C -85 D -120
4、在等比數(shù)列{}中，=3，=27，則的值為 （成都市高2020級(jí)高三三珍）
5、已知等比數(shù)列{ }的前3項(xiàng)和為168，-=42，則=（ ）（2022全國(guó)高考乙卷）
A 14 B 12 C 6 D 3
6、在等比數(shù)列{ }中，已知>0，則“>”是“>”的（ ）（成都市2019級(jí)高三二診）
A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件D既不充分也不必要條件
7、若等比數(shù)列{ }滿足+=2，-=6，則=（ ）（2021成都市高三一診）
A -32 B -8 C 8 D 64
8、（理）等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：q>0，乙：{}是遞增數(shù)列，則（ ）
A 甲是乙的充分條件但不是必要條件 B 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C 甲是乙的充分必要條件 D 甲既不是乙的充分條件也表示乙的必要條件
（文）記為等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若=4，=6，則=（ ）（2021全國(guó)高考甲卷）
A 7 B 8 C 9 D 10
9、已知等比數(shù)列｛｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，若++------+=12，則=（ ）（2020成都市高三零診）
A 1 B 3 C 6 D 9
10、設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛｝滿足=81，+=36，則= （2020成都市高三一診）
11、在等比數(shù)列｛｝中，已知=，則該數(shù)列的公比是（）（2020成都市高三三診）
A -3 B 3 C 3 D 9
12、設(shè)數(shù)列｛｝是等比數(shù)列，且++=1，++=2，則++=（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)I文）
A 12 B 24 C 30 D 32
『思考問(wèn)題3』
（1）【典例3】是與等比數(shù)列相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，掌握求等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的基本方法；
（2）解答等比數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵是由條件求出：①等比數(shù)列的首項(xiàng)；②等比數(shù)列的公比；
（3）求等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)，公比的方程（或方程組）；②求解方程（或方程組）；③運(yùn)用求得的結(jié)果求問(wèn)題的結(jié)果。
〔練習(xí)3〕解答下列問(wèn)題：
1、記為等比數(shù)列｛｝前n項(xiàng)和，若-=12，-=24，則=（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II文）
A -1 B 2- C 2- D -1
2、已知等比數(shù)列｛｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，若++------+=12，則=（ ）（2020全國(guó)高考北京卷）
A 1 B 3 C 6 D 9
3、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{ }的前4項(xiàng)和為15，且=3+4，則=（ ）（2019全國(guó)高考新課標(biāo)III）
A 16 B 8 C 4 D 2
4、（理）記為等比數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，若= ，=，則= ；（文）記為等比數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，若=1，=，則= （2019全國(guó)高考新課標(biāo)I）
5、設(shè)1------，其中，，，成公比為q的等比數(shù)列，，，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是 （2019全國(guó)高考江蘇）
6、設(shè)數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為m，公比為q（q 1）的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的n∈，點(diǎn)（，）（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考試）
A在直線mx+qy-q=0上 B在直線qx-my+m=0上C在直線qx+my-q=0上D不一定在一條直線上
7、已知數(shù)列｛｝，｛｝均為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意的n∈，都有= ，則=（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考試）
A 81 B 9 C 729 D 730
8、“十二平均算”是通用的普算體系，明代朱載培最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半普比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，十二平均算將一個(gè)純八度普程分成十二份，依次得到十三個(gè)單普，從第二個(gè)單普起，每一個(gè)單普的頻率與它的前一個(gè)單普的頻率的比都等于，若第一個(gè)單普的頻率為f，則第八個(gè)單普的頻率為（ ）（2018全國(guó)高考北京卷）
f A f B f C f D f
9、設(shè)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，則“ad=bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的（ ）（2018全國(guó)高考北京卷（文））
A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件
10、已知數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為2018，公比為2018的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛｝
的前n項(xiàng)和為，則...------.= （2018成都市高三零診（理））
11、在等比數(shù)列｛｝中，＞0，若.=81，=1，則=（ ）（成都市2017—2018下期高一數(shù)學(xué)質(zhì)檢（文））
A 16 B 81 C 3 D 27
12、（理）已知等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列，且=，2（+）=5，則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式=（ ）
A B C D
（文）在正項(xiàng)數(shù)列{}中，若=1，且對(duì)所有n滿足n-（n+1）=0，則=（ ）（成都市2017—2018高一下期期末質(zhì)量檢測(cè)）
A 1013 B 1014 C 2016 D 2017
13、設(shè)1------，其中，，，成公比為q的等比數(shù)列，，，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是 。
【典例4】解答下列問(wèn)題：
1、設(shè)為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，且=4，=，n，則= （2019成都市高三一診）
2、已知數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式=，那么是它的（ ）
A 第4項(xiàng) B 第5項(xiàng) C 第6項(xiàng) D 第7項(xiàng)
3、數(shù)列｛｝滿足=1，=2-1（n∈），則=（ ）
A 1 B 1999 C 1000 D - 1
4、數(shù)列，-，，-，------的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）
A = B = C = D =
5、已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，滿足+ = ，且=1，那么等于（ ）
A 1 B 9 C 10 D 55
『思考問(wèn)題4』
（1）【典例4】是與數(shù)列通項(xiàng)公式相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解數(shù)列通項(xiàng)公式的定義，掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法；
（2）求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題涉及到幾種不同的類型，各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也各不相同，在實(shí)際解答問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該注意抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，采用恰當(dāng)?shù)姆椒旖荩瑴?zhǔn)確地解答問(wèn)題。
〔練習(xí)4〕解答下列問(wèn)題：
1、已知遞增的等差數(shù)列｛｝滿足：=1，=-4，則= ；
2、已知數(shù)列，，，----，，----下列各數(shù)中是此數(shù)列中的項(xiàng)的是（ ）
A B C D
在數(shù)列｛｝中，=1，=1+（n2），則等于（ ）
A B C D
數(shù)列，-，，-，-----的第10項(xiàng)是（ ）
A - B - C - D -
5、已知數(shù)列｛｝滿足=1，= 2，（n為正奇數(shù)），則其前6項(xiàng)之和為（ ） +1，（n為正偶數(shù)），
A 16 B 20 C 33 D 120
6、若數(shù)列｛｝滿足=2，=3，=（n≥3且n），則等于（ ）
A 3 B 2 C D
7、數(shù)列｛｝滿足= 2，0，=，則數(shù)列的第2015項(xiàng)為 ； 2-1，＜＜1，
8、數(shù)列1，，，，------的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）
A = B = C = D =
【典例5】解答下列問(wèn)題：
1、（理）“幻方”最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋《大篇扎》中， 8 1 6
“n階幻方（n3，n∈）”是由前n個(gè)正整數(shù)組成的一個(gè)n階方 3 5 7
陣，其各行各列及兩條對(duì)角線所含的n個(gè)數(shù)之和（簡(jiǎn)稱幻和）相等， 4 9 2
例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所示），則“5階幻方”的幻和為（ ）
A 75 B 65 C 55 D 45
（文）設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，則=（ ）（2019成都市高三三診）
A B C D
2、記為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，若=2+1，則= （2018全國(guó)高考新課標(biāo)I卷（理））
3、已知等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，=5，=15，則數(shù)列{}的前100項(xiàng)和為（ ）
A B C D
4、數(shù)列｛｝中，=，若｛｝的前n項(xiàng)和=，則n等于（ ）
A 2016 B 2017 C 2018 D 2019
5、數(shù)列7，77，777，7777，------77----7，----的前n項(xiàng)的和為（ ）
A （-1）B （-1）C ［（-1）-1］ D ［ （-1）-n］
6、若數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式=（3n-2），則++-------+等于（ ）
A 15 B 12 C -12 D -15
7、若數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式=（3n-2）.，則數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和= ；
8、記為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，若=2+1，則= ；
『思考問(wèn)題5』
（1）【典例5】是與數(shù)列前n項(xiàng)和公式相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，掌握求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法；
（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題涉及到幾種不同的類型，各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也各不相同，在實(shí)際解答問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該注意抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，采用恰當(dāng)?shù)姆椒旖荩瑴?zhǔn)確地解答問(wèn)題。
〔練習(xí)5〕解答下列問(wèn)題：
1、已知數(shù)列｛｝滿足：當(dāng)n2且n時(shí)，有+=3。則數(shù)列｛｝的前200項(xiàng)的和為（ ）（2018成都市高三二診文）
A 300 B 200 C 100 D 0
2、數(shù)列｛｝滿足+=（n)，=2，是數(shù)列｛｝前n項(xiàng)和，則為（ ）
A 5 B C D
3、數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為= ，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)為（ ）
A 11 B 99 C 120 D 121
4、已知=2-4+6-8+10-12+-----+2n，則++等于（ ）
A -10 B -2 C 0 D
高考試題中數(shù)列5分小題問(wèn)題的類型與解法
數(shù)列問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說(shuō)，只要是高考試卷，就一定會(huì)涉及到數(shù)列問(wèn)題。從題型上看，可能是大題，也可能是選擇題（或填空題），分值一般在十到十五分之間；難度系數(shù)較低，一般為低檔（或中檔）題，這里著重探導(dǎo)數(shù)列的5分小題問(wèn)題。縱觀近幾年高考（或高三診斷考試）試題，歸結(jié)起來(lái)，數(shù)列的5分小題問(wèn)題主要包括：①數(shù)列的基本概念；②等差數(shù)列問(wèn)題；③等比數(shù)列問(wèn)題；④數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題；⑤數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題等幾種類型，各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答數(shù)列5分小題問(wèn)題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過(guò)近幾年高考（或高三診斷考試）試題的詳細(xì)解析來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。
【典例1】解答下列問(wèn)題：
1、若數(shù)列{}滿足=3，=2-n+1，++=（ ）（成都市高2021級(jí)高三一診）
A 6 B 14 C 22 D 37
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列定義與性質(zhì)；②數(shù)列遞推公式定義與性質(zhì)；③運(yùn)用數(shù)列遞推公式求數(shù)列項(xiàng)的值的基本方法。
【解答思路】根據(jù)數(shù)列和數(shù)列遞推公式的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)列遞推公式求數(shù)列項(xiàng)的值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件分別求出，，的值，從而求出++的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】=3，=2-n+1，=23-1+1=6，=26-2+1=11，=211-3+1
=20，++=6+11+20=37，D正確，選D。
2、已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知=2，=，則=（ ）（成都市高2020級(jí)高三一診）
A 512 B 510 C 256 D 254
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系及運(yùn)用；②等比數(shù)列定義與性質(zhì)；③等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用。
【解答思路】根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系和等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】=2，=，===2，=，-=-=，
=2，當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，=（n≥2），
=2+=2+-2==256，C正確，選C。
3、（理）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造衛(wèi)星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{}：=1+，=1+，=1+，--------，以此類推，其中
（k=1，2，------），則（ ）（2022全國(guó)高考乙卷理）
A < B < C < D <
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列的定義與性質(zhì)；②實(shí)數(shù)比較大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件分別求出，，-----，，的值，運(yùn)用
實(shí)數(shù)比較大小的基本方法分別對(duì)各選項(xiàng)的正確與錯(cuò)誤進(jìn)行判斷，就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（k=1，2，------），為時(shí)問(wèn)題簡(jiǎn)化，不妨設(shè)=1（k=1，2，------），
=1+=1+1=2，=1+=，=1+=，=1+=，
=，=，=，=，對(duì)A，2-=>0， >，A錯(cuò)誤；對(duì)B，-
=>0， >，B錯(cuò)誤；對(duì)C，-=>0， >，C錯(cuò)誤；對(duì)D，
-=-<0， >，D正確，選D。
4、已知數(shù)列{}滿足=3，+2=2，則的值為 （成都市2019級(jí)高三三珍）
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列定義與性質(zhì)；②數(shù)列遞推公式 及運(yùn)用；③周期函數(shù)定義與性質(zhì)。
【解題思路】根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)列遞推公式，結(jié)合問(wèn)題條件分別求出，，，的值，從而得到數(shù)列{}是以4為周期的周期數(shù)列，利用周期函數(shù)的性質(zhì)就可求出的值。
【詳細(xì)解答】數(shù)列{}滿足=3，+2=2， =2（1-），=2（1-）
=，=2（1-）=，=2（1-2）=-2，=2（1+）=3，數(shù)列{}是以4為周期的周期數(shù)列，===。
5、數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，+2=，數(shù)列{}滿足=（3-）（n），則數(shù)列{}的前10項(xiàng)和為 （2021成都市高三一診）
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；②數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；③數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系；④求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法。
【解題思路】根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，結(jié)合問(wèn)題條件，得到3-=2，從而得到=（3-）=2=，求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，運(yùn)用求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法就可求出數(shù)列{}的前10項(xiàng)和。
【詳細(xì)解答】當(dāng)n=1時(shí)，+2=3=3，=1，當(dāng)n2時(shí)，+2=，
+2=，+2（-）-=3-=2，=（3-）=2=， =n+1，數(shù)列{}的前10項(xiàng)和為2+3+4+-----+11=65。
6、（理）已知數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和滿足=，記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，n，則使＜成立的n的最大值為（ ）（2021成都市高三二診）
A 17 B 18 C 19 D 20
（文）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足=，記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，n，則的值為（ ）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列的定義與性質(zhì)；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；④裂
項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，求出數(shù)列{ }的通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法求出，從而求出使＜成立的n的最大值就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）①當(dāng)n=1時(shí)，==1，=1；②當(dāng)n 2時(shí)，=-=
-=2n-1, 當(dāng)n=1時(shí)， =2-1=1成立，數(shù)列{ }的通項(xiàng)公式為=2n-1, ==（-），=（1-+-+-------+
-+-）=（1-）=，=＜，n
＜20，即使＜成立的n的最大值為19，C正確，選C。（文）①當(dāng)n=1
時(shí)，==1，=1；②當(dāng)n 2時(shí)，=-=-=2n-1, 當(dāng)n=1
時(shí)，=2-1=1成立，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為=2n-1, =
=（-），=（1-+-+-------+-+-）=（1-）=， C正確，選C。
7、（理）設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，若=1，=35，且=+（n 2且n∈），則++------+ 的值為 ；
（文）設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，若=5，=10，且{ }是等差數(shù)列，則||+||+||+------+||的值為 （2020成都市高三三診）
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系；④裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法；⑤等差數(shù)列的定義余性質(zhì)；⑥求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法。
【解答思路】（理）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系，結(jié)合問(wèn)題條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法就可求出++------+的值；（文）運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出||+||+||+------+||的值。
【詳細(xì)解答】（理）=1，=35，且=+，==1，=1+①，=+②，=+7③，聯(lián)立①②③解得：=5，=12，=22，=-
=5-1=4，=-=12-5=7，=-=22-12=10，=-=35-22=13，數(shù)列｛｝
是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，即=1+3（n-1）=3n- 2（n∈）,
= = (-),++------+ = (1-+
-+-+--------+-+-)= (1-)==;（文）設(shè)等差數(shù)列{ }
的公差為d ，數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，=5，=10，且{ }是等差數(shù)列，
==5，==2，-=2-5==3=4d, d=-，數(shù)列{ }是以5為首項(xiàng)，-為公差的等差數(shù)列，=5-（n-1），即=-+n，當(dāng)n 2時(shí)，=-=-（-+2n-1）+（n-n+1）=-n+, 當(dāng)n =1時(shí)，=-+=5成立，=-n+（n∈），即||+||+||+------+||=5++2++1++4++7+=。
8、設(shè)數(shù)列｛｝滿足+ =3n-1，前16項(xiàng)和為540，則= （2020全國(guó)高考新課標(biāo)I文）
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③數(shù)列遞推公式及運(yùn)用。
【解答思路】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，根據(jù)問(wèn)題條件得到-=3n-1，從而得到++-----+含的式子；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)問(wèn)題條件得到+ =3n-1，從而求出++----+的值，根據(jù)前16項(xiàng)和為540得到關(guān)于的方程，求解方程就可求出的值。
【詳細(xì)解答】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，-=2，-=8，-=14，數(shù)列{-}是以2為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，-=2+66=38，-=27+6=140，
=140+,++-----+=（2+10+24+44+70+102+140）+8=392+8；當(dāng)n為偶
數(shù)時(shí)，+=5，+=11，+=17，數(shù)列{+}是以5為首項(xiàng)，6為公差的等
差數(shù)列，+=5+66=41， ++++，+++=5+17+29+41=92，
=+++-----++=392+92+8=484+8=540，=7。
9、數(shù)列｛｝中，=2，=.，若++-----+=-，則k= （ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II理）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；②數(shù)列遞推公式及運(yùn)用；③等比數(shù)列的定義與性質(zhì)。
【解答思路】令m=1,根據(jù)問(wèn)題條件得到=.=2，從而判斷數(shù)列｛｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式，由++-----+=-得到關(guān)于k的方程，求解方程求出k的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】令m=1, =2，=.，=.=2，數(shù)列｛｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，=2=，++-----+=++---
+=（1+2++----+）=（-1）=-，k=4，C正確，選C。
10、0—1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，若序列，，------，，----滿足∈{0，1}（i=1,2,----）,且存在正整數(shù)m，使得=（i=1,2,----）成立,則稱其為0—1周期
序列，并稱滿足=（i=1,2,----）的最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期，對(duì)于周期為m
的0—1序列，，------，，----C（k）=（k=1，2，----，m-1）是描述其
性能的重要指標(biāo)，下列周期為5的0—1序列中，滿足C（k） （k=1，2，3，4）的序
列是（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II理）
A 11010 B 11011 C 10001 D 11001
【解析】
【考點(diǎn)】①0—1周期序列的定義與性質(zhì)；②0—1周期序列周期的定義與性質(zhì)。
【解答思路】根據(jù)0—1周期序列和0—1周期序列周期的性質(zhì)，運(yùn)用公式C（k）=（k=1，2，----，m-1）對(duì)各選項(xiàng)通過(guò)計(jì)算就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】對(duì)A, C（k）== （11+10+11+10+10+11+10
+01+00+10）=＞，排除A；對(duì)B, C（k）== （11+10+1
1+11+10+11+11+01+01+11）=＞，排除B；對(duì)C, C（k）=
= （10+10+10+11+00+00+01+00+01+01）=，C正確，選C。
11、將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛｝，則｛｝的前n項(xiàng)和
為 （2020全國(guó)高考新高考I）
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列的定義與性質(zhì)；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；④等差數(shù)列的定義與性質(zhì)。
【解答思路】根據(jù)數(shù)列{2n-1}={1，3，5，7，9，11，13，-----,2n-1},數(shù)列{3n-2}={1，4，7，10，13，----，3n-2}，從而得到數(shù)列｛｝=｛1，7，13，19，------｝是以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。
【詳細(xì)解答】數(shù)列{2n-1}={1，3，5，7，9，11，13，-----,2n-1},數(shù)列{3n-2}={1，4，7，10，13，----，3n-2}，數(shù)列｛｝=｛1，7，13，19，------｝，數(shù)列｛｝是以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，=n+6=3-2n。
12、設(shè)為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，且=4，=，n，則= （2019成都市高三一診）
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系；④已知數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列某一項(xiàng)的基本方法；
【解答思路】當(dāng)n2時(shí)，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系，結(jié)合問(wèn)題條件得到與 的等式，由=4，求出的值，判斷數(shù)列｛｝是,以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 從而求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式是否成立，求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式就可求出的值。
【詳細(xì)解答】=，=，-=-=，=2，=2，=4，=，n，====4，當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列｛｝是,以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， =4=（n2），當(dāng)n=1時(shí)，=24，數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式是：當(dāng)n=1時(shí)，=4，當(dāng)n2時(shí)，=，==32。
『思考問(wèn)題1』
（1）【典例1】是與數(shù)列概念相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解數(shù)列的定義，注意數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式的意義，同時(shí)掌握數(shù)列分類和數(shù)列表示的基本方法；
（2）數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，它的表示與函數(shù)一樣有：①解析法；②列表法；③圖像法；但需要注意數(shù)列的特殊性是它的定義域?yàn)檎麛?shù)。
〔練習(xí)1〕解答下列問(wèn)題：
數(shù)列｛｝滿足：=，=2，則= （2018全國(guó)高考新課標(biāo)II卷（文））
（答案：=。）
2、已知集合A={x|x=2n-1，n}，B={x|x= ，n}，將A B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛｝，記為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，則使得＞12成立的n的最小值為 （2018全國(guó)高考江蘇卷）（答案：使得>12成立的n的最小值是27。）
3、已知數(shù)列｛｝共16項(xiàng)，且=1，=4，記關(guān)于x的函數(shù)（x）=-+（-1）x，n∈。若（1n15）是函數(shù)（x）的極值點(diǎn)，且曲線y=（x）在點(diǎn)（，（））處的切線的斜率為15，則滿足條件的數(shù)列｛｝的個(gè)數(shù)為 （2018成都市高三二診理）（答案：數(shù)列｛｝的個(gè)數(shù)為.+.=1176。）
4、下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列可以看作一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）{1，2，3，---，n}上的函數(shù)；②數(shù)列若用圖像表示，從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn)；③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的；④數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的。其中正確的是（ ）（答案：A）
A ①② B ①②③ C ②③ D ①②③④
5、下列四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（ ）（答案：D）
A 1, ，，，----- B sin，sin ，sin ，-----
C -1, -，-，-，----- D 1，，，-------，
6、數(shù)列｛｝中，=-+11n，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是 。（答案：數(shù)列最大項(xiàng)的值是30。）
7、幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，-------，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)兩項(xiàng)是，，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，，，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)N，N＞100，且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，那么該款軟件的激活碼是（ ）（2017全國(guó)高考新課標(biāo)I卷）（答案：A）
A 440 B 330 C 220 D 110
8、（理）在數(shù)列｛｝中，=1，=（n2，n∈），則數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和= ；（答案：=）
（文）在數(shù)列｛｝中，=1，+++------+=（n∈），則數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式= （2017成都市高三二診）（答案:=）
9、下列說(shuō)法中，正確的是（ ）（答案：C）
A數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7} B數(shù)列1，0，-1，-2與數(shù)列-2，-1，0，1是相同的數(shù)列 C數(shù)列{}的第k項(xiàng)為1+ D數(shù)列0，2，4，6，8------可記為{2n}
10、已知數(shù)列，，，----，，----下列各數(shù)中是此數(shù)列中的項(xiàng)的是（ ）
A B C D （答案：B）
11、在數(shù)列｛｝中，=1，=1+（n2），則等于（ ）（答案：D）
A B C D
12、已知數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式是=，那么這個(gè)數(shù)列是（ ）（答案：A）
A 遞增數(shù)列 B 遞減數(shù)列 C 常數(shù)數(shù)列 D 擺動(dòng)數(shù)列
13、數(shù)列｛｝滿足：=，=2，則= 。（答案：=）
【典例2】解答下列問(wèn)題：
1、（理）等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若=，=1，則=（ ）
A -2 B 1 C D 2
（文）等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若=1，則+=（ ）（2024全國(guó)高考甲卷）
A -2 B C 1 D
【解析】
【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解題思路】（理）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于等差數(shù)列{}的首項(xiàng)，公差d的方程組，求解方程組求出的值就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于等差數(shù)列{}的首項(xiàng)，公差d的表示式，從而求出+的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）設(shè)等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公差為d，=，=1，5+10d
=10+45d①，+4d=1②，聯(lián)立①②解得：=，d=-，C正確，選C。（文）設(shè)等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公差為d，=1，9+36d=1，+=2+8d=，D正確，選D。
2、記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若=14，且，，成等比數(shù)列，則的值為 。（成都市高2021級(jí)高三一診）
【解析】
【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；④求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法。
【解答思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于等差數(shù)列{}的首項(xiàng)和公差的方程組，求解方程組求出等差數(shù)列{}的首項(xiàng)和公差的值，從而求出首項(xiàng)和公差的通項(xiàng)公式就可求出的值。
【詳細(xì)解答】設(shè)等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公差為d，=14，且，，成等比數(shù)列，7+21d=14①，=（+2d）（+5d）②，聯(lián)立①②解得：=2，d=0，或=-1，d=1，=2或=n-2，=2，或=2024-2=2022。
3、記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若+=10，.=45，則=（ ）（2023全國(guó)高考甲卷文）
A 25 B 22 C 20 D 15
【解析】
【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于首項(xiàng)，公差d的方程組，求解方程組求出和d的值,從而求出的值就可得
出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)等差數(shù)列{}首項(xiàng)為，公差為d，+=10，.=45，+3d=5①，+7d=9②，聯(lián)立①②解得：=2，d=1，=10+10=20，C正確，選C。
4、已知等差數(shù)列｛｝的公差為，集合S={cos|n}，若S={a，b}，則ab=（ ）（2023全國(guó)高考乙卷理）
A -1 B - C 0 D
【解析】
【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解答思路】設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件求出a，b的值，從而求出ab的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，cos=a，等差數(shù)列｛｝的公差為，集合S={cos|n}={a，b}，cos=cos(+)=b，cos（+）=cos（+）
=-cos（+）=a=cos，=，a=-1，b=，ab=-，B正確，選B。
5、記為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：｛｝為等差數(shù)列；乙：{}為等差數(shù)列，則（ ）（2023全國(guó)高考新高考I）
A 甲是乙的充分條件但不是必要條件 B 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C 甲是乙的充分必要條件 D 甲既不是乙的充分條件，也表示一的必要條件
【解析】
【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法；③充分條件，必要條件和充分必要條件定義與性質(zhì)；④判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法。
【解答思路】根據(jù)等差數(shù)列，充分條件，必要條件和充分必要條件的性質(zhì)，運(yùn)用判斷（或證明）數(shù)列是等差數(shù)列，充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)甲與乙之間的關(guān)系進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】若甲成立：設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，=n+d，=+，=+，-=+--=，數(shù)列{}為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；若乙成立，當(dāng)n=1時(shí)，=，當(dāng)n≥2時(shí)，-=d，（n-1)-n=n(n-1)d,n=+n(n-1)d,（n-1）
=+(n-1)(n-2)d,(n-1)(-)=2(n-1)d，-=2d，-=-
==d，-=2d，數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，甲是乙的必要條件，綜上所述，甲是乙的充分必要條件，C正確，選C。
6、在公差為d的等差數(shù)列{}中，已知++=3，+=4，則d= （成都市高2020級(jí)高三一診）
【解析】
【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解答思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于首項(xiàng)，公差d的方程組，求解方程組就可求出d的值。
【詳細(xì)解答】公差為d的等差數(shù)列{}中，已知++=3，+=4，3+3d=3①，2+8d=4②，聯(lián)立①②解得：=，d=，d=。
7、（理）設(shè)是正項(xiàng)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若=2023，則+的最小值為（ ）（成都市高2020級(jí)高三三珍）
A B 5 C 9 D
（文）設(shè)為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若=2023，則的值為（ ）
A 1 B 2 C 1012 D 2023
【解析】
【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 及運(yùn)用；③等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；④基本不等式及運(yùn)用。
【解題思路】（理）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到+關(guān)于的表示式，利用基本不等式求出+的最小值就可得出選項(xiàng)。
（文）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）設(shè)等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公差為d，=2023+20231011d
=2023， +1011d=1，d=，=+3d=，=+2019d=，+=+(0<≤1)，
==，當(dāng)且僅當(dāng)
2019-1008=1008+3，即=1時(shí)，+==5，B正確，選B。
（文）設(shè)等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公差為d，=2023+20231011d=2023，
+1011d=1，d=，=+1011d=+1-=1，A正確，選A。
8、記為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，若2=3+6，則公差d= （2022全國(guó)高考乙卷文）
【解析】
【考點(diǎn)】①等差數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用。
【解答思路】設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于，d的方程，求解方程就可求出d的值。
【詳細(xì)解答】設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，2=3+6，6+6d=6+3d+6，
d=2。
9、中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)，如圖是某古建筑物的面圖，A，B，C，D檸，D，C，B，A是脊，O，D，C，B是相等的步，相鄰檸的脊步的比分別為=0.5，=，=，=，若，，是公差為0.1的等差數(shù)列，直線OA的斜率為0.725，則=（ ）（2022全國(guó)高考新高考II卷）
A 0.75 B 0.8 C 0.85 D 0.9
【解析】
【考點(diǎn)】①等差數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③直線斜率定義與性質(zhì)。
【解答思路】如圖，設(shè)O=D=C=B=1，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到D=1，C=，B=+0.1，A=+0.2，利用直線斜率的性質(zhì)得到關(guān)于的方程，求解方程求出的值，從而求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】如圖，設(shè)O=D=C=B=1， =0.5，=，=，=，，，是公差為0.1的等差數(shù)列， D=0.5，C=，B=+0.1，A=+0.2，直線OA的斜率為0.725， = =0.725，
=0.7，=+0.2=0.9，D正確，選D。
10、已知數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為，若=，=++，則=（ ）（成都市2019級(jí)高三二診）
A 10 B 20 C 100 D 400
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列定義與性質(zhì)；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；④數(shù)列前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系及運(yùn)用；⑤等差數(shù)列定義與性質(zhì)；⑥求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法。
【解題思路】根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，得到數(shù)列{ }是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法求的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】=，=++， -=+，-=，數(shù)列{ }是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，=20+=5+519
=100，C正確，選C。
11、在等差數(shù)列{}中，已知=3，+=10，則數(shù)列{}的公差為（ ）（成都市2019級(jí)高三三珍）
A -1 B 0 C 1 D 2
【解析】
【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②求等差數(shù)列公差的基本方法。
【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用求等差數(shù)列公差的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出數(shù)列{}的公差就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)數(shù)列{}的公差為d，=+2d=3①，+=2+6d =10②，聯(lián)立①②解得：=-1，d=2，D正確，選D。
12、設(shè)等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，且0，=3，則=（ ）（2020成都市高三一診）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①等差數(shù)列的定義與性質(zhì)；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用。
【解答思路】設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于，d的等式，從而把d表示成關(guān)于的式子，得出數(shù)列前n項(xiàng)和，求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，=+4d=3=3+6d，
d=-,=n+=n(n+1), ==，C正確，選C。
『思考問(wèn)題2』
（1）【典例2】是與等差數(shù)列相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，掌握求等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的基本方法；
（2）解答等差數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵是由條件求出：①等差數(shù)列的首項(xiàng)；②等差數(shù)列的公差；
（3）求等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)，公差的方程（或方程組）；②求解方程（或方程組）；③運(yùn)用求得的結(jié)果求問(wèn)題的結(jié)果。
〔練習(xí)2〕解答下列問(wèn)題：
1、記為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，若=-2，+=2，則= （2020全國(guó)高考新課標(biāo)II文）（答案：=25。）
2、（理）北京天壇的國(guó)丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上，中，下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)也依次增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（ ）（答案：C）
A 3699塊 B 3474塊 C 3402塊 D 3339塊
（文）如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為，，------，設(shè)1 i三和弦，用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II）（答案：C）
A 5 B 8 C 10 D 15
（理科圖） （文科圖）
3、（理）記為等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，0，=3，則= ；
（文）記為等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，若=5，=13，則= （2019全國(guó)高考新課標(biāo)III）（答案：（理）=；（文）=19。）
4、記為等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，已知=0，=5，則（ ）（2019全國(guó)高考新課標(biāo)I（理））（答案：A）
A =2n-5 B =3n-10 C =2-8n D =-2n
5、設(shè)等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為，若=-3，=-10，則= ，的最小值為 （2019全國(guó)高考北京（理））（答案：=-10。）
6、已知等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，且=，=15，則=（ ）（2019成都市高三零診）（答案：A）
A B 1 C D 2
7、設(shè)為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，且2+=+，則=（ ）（2019成都市高三一診）（答案：B）
A 28 B 14 C 7 D 2
8、已知公差大于零的等差數(shù)列｛｝中，，，依次成等比數(shù)列，則的值是 （2019成都市高三一診）（答案：=。）
9、設(shè)等差數(shù)列｛｝滿足3=5，且>0，則前n項(xiàng)和中最大的是（ ）（答案：C）
A B C D
10、記為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，若3=+，=2，=（ ）（2018全國(guó)高考新課標(biāo)I卷（理））（答案：C）
A -12 B -10 C 10 D 12
11、等差數(shù)列｛｝的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則｛｝的前n項(xiàng)和為=（ ）（2018全國(guó)高考新課標(biāo)II卷（文））（答案：A）
A n(n+1) B n(n-1) C D
12、設(shè)｛｝是等差數(shù)列，且=3，+=36，則｛｝的通項(xiàng)公式為 （2018全國(guó)高考北京卷）（答案：=6n-3）
13、設(shè)等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，若=20，=10，則=（ ）（2018成都市高三二診）（答案：D）
A -32 B 12 C 16 D 32
14、記為等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，已知=0，=5，則（ ）（答案C）
A =2n-5 B =3n-10 C =2-8n D =-2n
15、設(shè)等差數(shù)列｛｝的公差為1，且，，成等比數(shù)列，則｛｝的前20項(xiàng)和為（ ）
A 230 B -230 C 210 D -210（答案：A）
16、設(shè)等差數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為，若=-3，=-10，則= ，的最小值為 。（答案：=0，的最小值為-10）
【典例3】解答下列問(wèn)題：
1、（理）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{}中，=1，為{}前n項(xiàng)和，=5-4，則=（ ）
A 7 B 9 C 15 D 30
（文）記為等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若8=7，則{}的公比為 （2023全國(guó)高考甲卷）
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用。
【解答思路】（理）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式與等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于公比q的方程，求解方程求出q的值,從而求出的值就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于公比q的方程，求解方程就可求出公比q的值。
【詳細(xì)解答】（理）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{}的公比為q， 正項(xiàng)等比數(shù)列{}中，=1，為{}前n項(xiàng)和，=5-4，+++q+1=5（+q+1）-4，+-4-4q=0，q=2，=++q+1=8+4+2+1=15，C正確，選C。（文）設(shè)等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，為等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若8=7，q1，=，=，8=7，8（1+）=7，=-，q=-。
2、已知{ }為等比數(shù)列，=，=-8，則= （2023全國(guó)高考乙卷理）
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解答思路】設(shè)等比數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于，q的方程組，求解方程組就可求出，q的值，從而就可求出的值。
【詳細(xì)解答】設(shè)等比數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公比為q，=，=-8，
q=1①，=-8②，聯(lián)立①②解得：=-2，==q=-2。
3、記為等比數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，若=-5，=21，則=（ ）（2023全國(guó)高
考新高考II）
A 120 B 85 C -85 D -120
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用。
【解答思路】設(shè)等比數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于，q的方程組，求解方程組就可求出，q的值，從而求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)等比數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公比為q，=21，q1，
==5①，==21=②，聯(lián)立①②解得：=-5，q=-2，
4、在等比數(shù)列{}中，=3，=27，則的值為 （成都市高2020級(jí)高三三珍）
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。。
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于等比數(shù)列{}的首項(xiàng)，公比q的方程組，求解方程組得到首項(xiàng)，公比q的值，從而就可求出的值。
【詳細(xì)解答】 設(shè)等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，=q=3①，==27②，聯(lián)立①②解得：=，q=,===81。
===（1+）=-5（1+16）=-85，C正確，選C。
5、已知等比數(shù)列{ }的前3項(xiàng)和為168，-=42，則=（ ）（2022全國(guó)高考乙卷）
A 14 B 12 C 6 D 3
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于等比數(shù)列{}的首項(xiàng)，公比的方程組，求解方程組求出等比數(shù)列{}的首項(xiàng)，公比的值，從而求出
的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，++=（1+q+）=168①，-=q（1-）=q（1-q）（1+q+）=42②，聯(lián)立①②解得：=96，q=，
==96=3，D正確，選D。
6、在等比數(shù)列{ }中，已知>0，則“>”是“>”的（ ）（成都市2019級(jí)高三二診）
A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件D既不充分也不必要條件
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列定義與性質(zhì)；②充分條件，必要條件和充分必要條件定義與性質(zhì)；③判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法。
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列和充分條件，必要條件與充分必要條件的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件，運(yùn)用判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法，判斷出“>”是
“>”的所屬條件就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)等比數(shù)列{ }的公比為q，>0，=q>=, -q<0, 0，“>”是 “>”的
充分條件；>0，=>=，-1<0, q<1，當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列{ }是擺動(dòng)數(shù)列，不能推出>，“>”不是 “>”的必要條件，綜上所述，“>”是 “>”的充分不必要條件，A正確，選A。
7、若等比數(shù)列{ }滿足+=2，-=6，則=（ ）（2021成都市高三一診）
A -32 B -8 C 8 D 64
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于等比數(shù)列{}的首項(xiàng)，公比的方程組，求解方程組求出等比數(shù)列{}的首項(xiàng)，公比的值，從而求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，+=2，-=6，q（1+q）=2①；q（1+q）（1-q）=6②，聯(lián)立①②解得：=1，q=-2，=，=1
=-32，A正確，選A。
8、（理）等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：q>0，乙：{}是遞增數(shù)列，則（ ）
A 甲是乙的充分條件但不是必要條件 B 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C 甲是乙的充分必要條件 D 甲既不是乙的充分條件也表示乙的必要條件
（文）記為等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若=4，=6，則=（ ）（2021全國(guó)高考甲卷）
A 7 B 8 C 9 D 10
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；③充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)，④判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法。
【解題思路】（理）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，運(yùn)用充分條件，必要條件，充分必要條件的性質(zhì)和判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法對(duì)甲與乙之間的關(guān)系給出正確判斷就可得出選項(xiàng)。（文）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于等比數(shù)列{}首項(xiàng)，公比的方程組，求解方程組求出等比數(shù)列{}首項(xiàng)，公比的值，運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）由q>0，不能判斷等比數(shù)列{}是遞增數(shù)列，也不能判斷數(shù)列{}是遞增數(shù)列，但由數(shù)列{}是遞增數(shù)列，能夠判斷等比數(shù)列{}是遞增數(shù)列，從而推出q>0，甲是乙的必要條件但不是充分條件，B正確，選B。（文）設(shè)等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q， =（1+q）=4①，=（1+q++）=6②，聯(lián)立①②解得：=8-4，q=，==7，A正確，選A。
9、已知等比數(shù)列｛｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，若++------+=12，則=（ ）（2020成都市高三零診）
A 1 B 3 C 6 D 9
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列通項(xiàng)公式的定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；③求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法；④對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)。
【解答思路】設(shè)等比數(shù)列｛｝的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列｛｝通項(xiàng)公式的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于首項(xiàng)，公比q的等式，求出首項(xiàng)關(guān)于公比q的式子，運(yùn)用求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法把表示成關(guān)于，q的式子，從而求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)等比數(shù)列｛｝的公比為q，=，++------+
===12，=，=9，
==9，D正確，選D。
10、設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛｝滿足=81，+=36，則= （2020成都市高三一診）
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合問(wèn)題條件求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再根據(jù)求等比數(shù)列通項(xiàng)公的基本方法求出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】設(shè)等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，==84+=q+
=36， 4-9q-9=0，q=3或q=-，等比數(shù)列{}為正項(xiàng)等比數(shù)列， q=3，=3，=3=。
11、在等比數(shù)列｛｝中，已知=，則該數(shù)列的公比是（）（2020成都市高三三診）
A -3 B 3 C 3 D 9
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比的等式，求出等比數(shù)列的公比就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，=.=
==，=，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，q=3，B正確，選B。
12、設(shè)數(shù)列｛｝是等比數(shù)列，且++=1，++=2，則++=（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)I文）
A 12 B 24 C 30 D 32
【解析】
【考點(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合問(wèn)題條件求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比的值，求出++的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，++=1，++=2，
（1+q+）=1①, q（1+q+）=2②,聯(lián)立①②解得：=，q=2，++=
（1+q+）=132=32，D正確，選D。
『思考問(wèn)題3』
（1）【典例3】是與等比數(shù)列相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，掌握求等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的基本方法；
（2）解答等比數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵是由條件求出：①等比數(shù)列的首項(xiàng)；②等比數(shù)列的公比；
（3）求等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)，公比的方程（或方程組）；②求解方程（或方程組）；③運(yùn)用求得的結(jié)果求問(wèn)題的結(jié)果。
〔練習(xí)3〕解答下列問(wèn)題：
1、記為等比數(shù)列｛｝前n項(xiàng)和，若-=12，-=24，則=（ ）（2020全國(guó)高考新課標(biāo)II文）（答案：B）
A -1 B 2- C 2- D -1
2、已知等比數(shù)列｛｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，若++------+=12，則=（ ）（2020全國(guó)高考北京卷）（答案：D）
A 1 B 3 C 6 D 9
3、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{ }的前4項(xiàng)和為15，且=3+4，則=（ ）（2019全國(guó)高考新課標(biāo)III）（答案：C）
A 16 B 8 C 4 D 2
4、（理）記為等比數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，若= ，=，則= ；（文）記為等比數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，若=1，=，則= （2019全國(guó)高考新課標(biāo)I）
（答案：=。）
5、設(shè)1------，其中，，，成公比為q的等比數(shù)列，，，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是 （2019全國(guó)高考江蘇）（答案：q的最小值是。）
6、設(shè)數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為m，公比為q（q 1）的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的n∈，點(diǎn)（，）（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考試）（答案：B）
A在直線mx+qy-q=0上 B在直線qx-my+m=0上C在直線qx+my-q=0上D不一定在一條直線上
7、已知數(shù)列｛｝，｛｝均為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意的n∈，都有= ，則=（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考試）（答案：C）
8、“十二平均算”是通用的普算體系，明代朱載培最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半普比例，為這
個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，十二平均算將一個(gè)純八度普程分成十二份，依次得到十三個(gè)單普，從第二個(gè)單普起，每一個(gè)單普的頻率與它的前一個(gè)單普的頻率的比都等于，若第一個(gè)單普的頻率為f，則第八個(gè)單普的頻率為（ ）（2018全國(guó)高考北京卷）（答案：D）
f A f B f C f D f
9、設(shè)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，則“ad=bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的（ ）（2018全國(guó)高考北京卷（文））（答案：B）
A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件
10、已知數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為2018，公比為2018的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，則...------.= （2018成都市高三零診（理））（答案：=）
11、在等比數(shù)列｛｝中，＞0，若.=81，=1，則=（ ）（成都市2017—2018下期高一數(shù)學(xué)質(zhì)檢（文））（答案：B）
A 16 B 81 C 3 D 27
12、（理）已知等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列，且=，2（+）=5，則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式=（ ）（答案：A）
A B C D
（文）在正項(xiàng)數(shù)列{}中，若=1，且對(duì)所有n滿足n-（n+1）=0，則=（ ）（成都市2017—2018高一下期期末質(zhì)量檢測(cè)）（答案：D）
A 1013 B 1014 C 2016 D 2017
13、設(shè)1------，其中，，，成公比為q的等比數(shù)列，，，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是 。（答案：q的最小值是）
【典例4】解答下列問(wèn)題：
1、設(shè)為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，且=4，=，n，則= （2019成都市高三一診）
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式的定義與性質(zhì)；②數(shù)列通項(xiàng)公式的定義與性質(zhì)；③數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系；④由數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列某一項(xiàng)的基本方法。
【解答思路】根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于，的等式，從而判斷數(shù)列數(shù)列｛｝為等比數(shù)列，求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式就可求出的值。
【詳細(xì)解答】=，=，-=-=，=2，=2，=4，=，n，====4，當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列｛｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， =4=（n2），當(dāng)n=1時(shí)，=24，數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式是：當(dāng)n=1時(shí)，=4，當(dāng)n2時(shí)，=，==32。
2、已知數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式=，那么是它的（ ）
A 第4項(xiàng) B 第5項(xiàng) C 第6項(xiàng) D 第7項(xiàng)
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；②根據(jù)數(shù)列某一項(xiàng)的值確定數(shù)列所在項(xiàng)數(shù)的基本方法。
【解答思路】根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的方程，求解這個(gè)方程就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式==，=， ===，n=4， A正確，選A。
3、數(shù)列｛｝滿足=1，=2-1（n∈），則=（ ）
A 1 B 1999 C 1000 D - 1
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列遞推公式及運(yùn)用；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③運(yùn)用數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本求法；④根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列某一項(xiàng)的值的基本方法。
【解答思路】根據(jù)數(shù)列｛｝遞推公式的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件，得到 =2（n∈，且n2），從而求出數(shù)列｛-｝的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列｛-｝的通項(xiàng)公式的性質(zhì)得到-=0=0，得出==-----==1，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出的值。
【詳細(xì)解答】數(shù)列｛｝滿足： =2+1（n∈），=2-1，-=2（-），=2（n∈，且n2），=1，==2-1，-=1-1=0，-=0=0，==-----==1，=1，A正確，選A。
4、數(shù)列，-，，-，------的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）
A = B = C = D =
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；②已知數(shù)列前幾項(xiàng)，求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法；③由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想及運(yùn)用。
【解答思路】根據(jù)已知數(shù)列前幾項(xiàng)，求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件，求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式，就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】數(shù)列的前幾項(xiàng)為：，-，，-，----，①?gòu)母黜?xiàng)的符號(hào)來(lái)看，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)；②注意各項(xiàng)的絕對(duì)值，，，，都是分?jǐn)?shù)，分母分別是2=，4=，8=，16=，------分子分別是1=21-1，3=22-1，5=23-1，7=24-1，-------=，C正確，選C。
5、已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，滿足+ = ，且=1，那么等于（ ）
A 1 B 9 C 10 D 55
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；②數(shù)列前n和公式及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問(wèn)題條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出的值。
【詳細(xì)解答】當(dāng)n=m=1時(shí)，+ = ，+=，+=+，=，當(dāng)n=1，m=2時(shí)，+ = ，+=，++=++，=，當(dāng)n=1，m=3時(shí)，+ = ，+=，+++=+++，=，------，當(dāng)n=1，m=9時(shí)，+ = ，+ = ，++++------+=+++-------+，=，A正確，選A。
『思考問(wèn)題4』
（1）【典例4】是與數(shù)列通項(xiàng)公式相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解數(shù)列通項(xiàng)公式的定義，掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法；
（2）求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題涉及到幾種不同的類型，各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也各不相同，在實(shí)際解答問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該注意抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，采用恰當(dāng)?shù)姆椒旖荩瑴?zhǔn)確地解答問(wèn)題。
〔練習(xí)4〕解答下列問(wèn)題：
1、已知遞增的等差數(shù)列｛｝滿足：=1，=-4，則= ；（答案：=2n-1）
2、已知數(shù)列，，，----，，----下列各數(shù)中是此數(shù)列中的項(xiàng)的是（ ）
A B C D （答案：B）
3、在數(shù)列｛｝中，=1，=1+（n2），則等于（ ）（答案：D）
A B C D
4、數(shù)列，-，，-，-----的第10項(xiàng)是（ ）（答案：C）
A - B - C - D -
5、已知數(shù)列｛｝滿足=1，= 2，（n為正奇數(shù)），則其前6項(xiàng)之和為（ ） +1，（n為正偶數(shù)），（答案：C）
A 16 B 20 C 33 D 120
6、若數(shù)列｛｝滿足=2，=3，=（n≥3且n），則等于（ ）
A 3 B 2 C D （答案：C）
7、數(shù)列｛｝滿足= 2，0，=，則數(shù)列的第2015項(xiàng)為 ； 2-1，＜＜1，（答案：=）
8、數(shù)列1，，，，------的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）（答案：D）
A = B = C = D =
【典例5】解答下列問(wèn)題：
1、（理）“幻方”最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋《大篇扎》中， 8 1 6
“n階幻方（n3，n∈）”是由前n個(gè)正整數(shù)組成的一個(gè)n階方 3 5 7
陣，其各行各列及兩條對(duì)角線所含的n個(gè)數(shù)之和（簡(jiǎn)稱幻和）相等， 4 9 2
例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所示），則“5階幻方”的幻和為（ ）
A 75 B 65 C 55 D 45
（文）設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，則=（ ）（2019成都市高三三診）
A B C D
解析】
【考點(diǎn)】①“n階幻方”的定義與性質(zhì)；②幻和的定義與性質(zhì)；③求幻和的基本方法；④平方差公式及運(yùn)用；⑤數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；⑥裂項(xiàng)求和的基本方法。
【解題思路】（理）運(yùn)用“n階幻方”的定義與性質(zhì)可知“5階幻方”是由前25個(gè)正整數(shù)組成的一個(gè)5階方陣，根據(jù)“n階幻方”排列的規(guī)律得到“5階幻方”，利用求幻和的基本方法求出“5階幻方”的幻和就可得出選項(xiàng)；（文） 運(yùn)用平方差公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到==（-），利用裂項(xiàng)求和法的基本方法求出的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】（理）“5階幻方” 是由前25個(gè)正整數(shù)組成的一個(gè)5階方陣，由3階方陣可知，第二列的中間一個(gè)正整數(shù)是9個(gè)正整數(shù)的中位數(shù)，且該列數(shù)是以3+1=4為公差的等差數(shù)列，在這個(gè)5階方陣中，第三列的數(shù)依次為1，7，13，19，25，即 “5階幻方”的幻和為1+7+13 +19+25=65，B正確，選B；（文）
==（-），=（1-+-+-
+-------+-+-）=（1-）=， A正確，選A。
2、記為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，若=2+1，則= （2018全國(guó)高考新課標(biāo)I卷（理））
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式的定義與性質(zhì)；②數(shù)列通項(xiàng)公式的定義與性質(zhì)；③數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系；④前n項(xiàng)和的求法。
【解答思路】根據(jù)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于，的等式，從而判斷數(shù)列｛-1｝為等比數(shù)列，求出數(shù)列｛-1｝的通項(xiàng)公式就可求出的值。
【詳細(xì)解答】為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，且=2+1，=2（-）+1，=2-1， -1=2（-1），=2，由=2+1，當(dāng)n=1時(shí)，得： ==2+1，=-1，當(dāng)n2時(shí)，=+=2+1，=-2，=+=-1-2=-3， -1=-3-1=-4，當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列｛-1｝是以-4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， -1=-4=-，=-+1（n2），當(dāng)n=1時(shí)，=-2+1=-1成立，數(shù)列｛｝ 的通項(xiàng)公式是=-+1=-+1=-63。
3、已知等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，=5，=15，則數(shù)列{}的前100項(xiàng)和為（ ）
A B C D
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；②等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解題思路】設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于首項(xiàng)為，公差為d的方程組，求解方程組得出首項(xiàng)為，公差為d的值，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，代入進(jìn)行裂項(xiàng)，運(yùn)用數(shù)列前n項(xiàng)和公式就可得出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】設(shè)等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公差為d， =+4d=5，=5+10d =15，+4d=5①，+2d =3②，聯(lián)立①②解得=1，d=1，=1+n-1=n，==-，=+++------++=1-+-+-
+-------+-+-=1-=，=，A正確，選A。
4、數(shù)列｛｝中，=，若｛｝的前n項(xiàng)和=，則n等于（ ）
A 2016 B 2017 C 2018 D 2019
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件求出數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，根據(jù)前n項(xiàng)和的值得到關(guān)于n的方程，求解方程就可得出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】=，=-，=+++------++=1-+-
+-+-------+-+-=1-==，n=2017，B正確，選B。
5、數(shù)列7，77，777，7777，------77----7，----的前n項(xiàng)的和為（ ）
A （-1）B （-1）C ［（-1）-1］ D ［ （-1）-n］
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式：=77-----7=7 11-----1=7（1+10++------+）=7=-，將每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，可知數(shù)列｛｝由兩個(gè)基本數(shù)列組合而成，利用基本數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分別求出兩個(gè)基本數(shù)列的前n和，把兩個(gè)前n和相加，就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和的值。
【詳細(xì)解答】數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式：=77-----7=7 11-----1=7（1+10++------+）=7=-，=（10+++------+）-n=-n=[（-1）-n]，D正確，選D。
6、若數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式=（3n-2），則++-------+等于（ ）
A 15 B 12 C -12 D -15
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到數(shù)列｛｝前n項(xiàng)和的表示式，注
意相鄰兩項(xiàng)的符號(hào)，把它們相加，從而得到一個(gè)項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列項(xiàng)數(shù)一半的新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是基本數(shù)列，利用基本數(shù)列前n項(xiàng)和公式就可求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和的值。
【詳細(xì)解答】=（3n-2），=-1+4-7+10+-------- -25+28=(-1+4)+(-7+10) +(-13
+16)+(-19+22)+(-25+28)=3+3+3+3+3=15, A正確，選A。
7、若數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式=（3n-2）.，則數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和= ；
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問(wèn)題條件得到數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和關(guān)于n的式子，根據(jù)=（3n-2）.的結(jié)構(gòu)特征，把數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的式子兩邊同乘以2得到又一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的式子，兩個(gè)式子相減得出c(c為常數(shù))關(guān)于n的式子，這個(gè)式子中的一部分是等差數(shù)列（或等比數(shù)列），利用等差數(shù)列（或等比數(shù)列）的前n和公式求出這部分的和，從而可以求出數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和的值。
【詳細(xì)解答】=（3n-2）.，=+++------++=2+4+7+--------+（3n-5）+（3n-2）①，2=2（+++------++）=+4+7+--------+（3n-5）+（3n-2）②，①-②得：-=2+3+3+3+--------+3-（3n-2）=2+3（+++-------+）-3n-2）=2+3（）-（3n-2）=2+3-4-（3n-2）=-2-（3n-5），=（3n-5）+2。
8、記為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，若=2+1，則= ；
【解析】
【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系；④求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法。
【解答思路】根據(jù)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到=2，判定數(shù)列｛-1｝是等比數(shù)列，求出數(shù)列｛-1｝的通項(xiàng)公式，從而得出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式，就可求出的值。
【詳細(xì)解答】=2+1，=2（-）+1，=2-1， -1=2（-1），=2，當(dāng)n=1時(shí)，==2+1，=-1；當(dāng)n2時(shí)，=+=2+1，=-2，=+=-1-2=-3，-1=-3-1=-4，當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列｛-1｝是,以-4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，-1=-4=-，=-+1（n2），當(dāng)n=1時(shí)，=-2+1=-1成立，數(shù)列｛｝ 的通項(xiàng)公式是=-+1=-+1=-63。
『思考問(wèn)題5』
（1）【典例5】是與數(shù)列前n項(xiàng)和公式相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要理解數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，掌握求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法；
（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題涉及到幾種不同的類型，各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也各不相同，在實(shí)際解答問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該注意抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，采用恰當(dāng)?shù)姆椒旖荩瑴?zhǔn)確地解答問(wèn)題。
〔練習(xí)5〕解答下列問(wèn)題：
1、已知數(shù)列｛｝滿足：當(dāng)n2且n時(shí)，有+=3。則數(shù)列｛｝的前200項(xiàng)的和為（ ）（2018成都市高三二診文）（答案：A）
A 300 B 200 C 100 D 0
2、數(shù)列｛｝滿足+=（n)，=2，是數(shù)列｛｝前n項(xiàng)和，則為（ ）
A 5 B C D （答案：B）
3、數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為= ，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)為（ ）
A 11 B 99 C 120 D 121（答案：C）
4、已知=2-4+6-8+10-12+-----+2n，則++等于（ ）（答案：C）
A -10 B -2 C 0 D 12

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