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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題2.4.有理數的除法
1. 掌握有理數除法法則，并能熟練進行有理數除法的運算；
2. 在歸納、探索有理數法則的過程中體“轉化”的思想；
3. 能利用有理數的除法解決生活中的實際問題。
4. 熟練掌握有理數混合（加減乘除）運算及相關運算律，培養運算能力及良好的習慣；
模塊1：知識梳理 1
模塊2：核心考點 2
考點1、有理數除法法則的辨析 2
考點2、有理數的除法運算 3
考點3、有理數乘除法的混合運算 5
考點4、有理數除法的簡算 8
考點5、有理數除法的應用 13
考點6、有理數除法的新定義問題 17
模塊3：能力培優 19
1）有理數除法法則1：除以一個不等于的數，等于乘這個數的倒數。即：，()。
有理數除法法則2：兩數相除，同號得正，異號得負，且商的絕對值等于被除數的絕對值除以除數的絕對值的商。除以任何一個不等于的數，都得。
2）有理數除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。
有理數的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。
注意：乘除混合運算要“從左到右”運算，有括號的先算括號里面的，分數可以理解為分子除以分母。
考點1、有理數除法法則的辨析
【解題技巧】有理數的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數與整數相除一般采用“同號得正，異號得負，并把絕對值相除”．如果有了分數，則采用“除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．
例1．（2023·浙江·七年級統考期末）如果，則的值與0的大小關系是（　　）
A． B． C． D．不能確定
【答案】B
【分析】根據有理數的除法法則：兩數相除，異號得負，即可得到答案．
【詳解】解：，，故選：B．
【點睛】主要考查了有理數的除法法則，熟練掌握有理數的除法法則是解題的關鍵．
變式1．（2023·山東·七年級期末）下列說法正確的是（ ）（多選題）
A．互為相反數的兩數相除商必等于1 B．非零的兩數相除，同號得正，異號得負；
C．大于1的兩數之積一定大于任何一個因數 D．小于1的兩數之商一定小于被除數
【答案】BC
【分析】按照有理數的計算法則和特例進行辨別選擇．
【詳解】解：∵互為相反數（0除外）的兩數相除商必等于1，∴選項A不符合題意；
∵非零的兩數相除，同號得正，異號得負，∴故選項B符合題意；
∵大于1的兩數之積一定大于任何一個因數，∴選項C符合題意；
∵當除數是真分數，被除數是正數時，商大于被除數，∴選項D不符合題意，故選：C．
【點睛】本題考查了有理數運算結果大小變化的辨別能力，關鍵是能準確理解法則，并能對各種運算情況考慮全面．
變式2．（2023·江蘇·七年級階段練習）已知a，b為有理數，則下列說法正確的個數為（ ）
①若，，則，．②若，，則，且．
③若，，則，．④若，，則，且．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據有理數的加法法則以及有理數的除法法則分別分析得出即可．
【詳解】解：①若，，則，，故①結論正確；
②若，，則a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②結論錯誤；
③若，，則a＜0，b＜0，故③結論正確；
④若，，則a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故結論錯誤．
故正確的有2個．故選：B．
【點睛】此題主要考查了有理數的除法法則以及有理數加法法則的應用，熟練掌握法則是解題關鍵．
變式3．（2023·廣東·七年級校考期中）若兩個數的商是正數，則下列選項中一定成立的是（ ）
A．這兩數的和為正數 B．這兩數的差為正數
C．這兩數的積為正數 D．這兩數的和、差、積的正負都不能確定
【答案】C
【分析】應用有理數的乘除法及有理數的加減法法則進行判定即可得出答案．
【詳解】解：A．當兩個數都為負數時，這兩個數的商是正數，這兩個數的和為負數，故A選項不符合題意；B．當兩個數都為負數時，這兩個數的商是正數，這兩個數的差可能為負數，故B選項不符合題意；
C．若兩個數的商是正數，則這個兩數為同號，這兩個數的積為正數，故C選項符合題意；
D．若兩個數的商是正數，這兩數的和、積的正負不能確定，積的正負能確定，故D選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了有理數的乘除法及有理數的加減法，熟練掌握有理數的乘除法及有理數的加減法法則進行判定即可得出答案．
考點2、有理數的除法運算
【解題技巧】有理數除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果．
例1．（23-24七年級上·山東青島·階段練習）將轉化為乘法運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了有理數的乘除運算，利用除法法則即可得到結果．
【詳解】解： 故選：C．
例2．（2023秋·山東臨沂·七年級統考期末）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據有理數的除法法則進行判斷便可．
【詳解】解：A、，故此選項錯誤，不符合題意；
B、，故此選項正確，符合題意；
C、，故此選項錯誤，不符合題意；
D、，故此選項錯誤，不符合題意，故選：B．
【點睛】本題考查了有理數除法，熟記有理數除法法則是解題的關鍵．
變式1．（23-24七年級·重慶·月考）填空：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】 0
【分析】本題考查有理數的除法，熟練掌握有理數除法法則是解題的關鍵．
根據有理數除法法則計算即可．
【詳解】解：（1），故答案為：；
（2），故答案為：；
（3），故答案為：0；
（4）．故答案為：．
變式2．（23-24七年級上·浙江衢州·期末）下列運算，結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了有理數的除法運算，熟悉兩個除法法則是關鍵．根據有理數的兩個除法法則進行計算即可作出判斷．
【詳解】解：A、，故計算錯誤；
B、，故計算錯誤；C、，故計算正確；
D、，故計算錯誤；故選：C．
變式3．（23-24七年級上·江蘇宿遷·期中）從中任取2個數，所得積的最大值記為a，所得商的最小值記為b，則的值為 ．
【答案】//
【分析】本題考查了有理數的乘除法，有理數的大小比較，根據有理數的乘法與有理數的大小比較求出a、b的值，然后相除即可得解．
【詳解】解：∵最大值，
最小值，．故答案為：．
考點3、有理數乘除法的混合運算
【解題技巧】有理數的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果．
注意：乘除混合運算要“從左到右”運算．分數可以理解為分子除以分母．
例1．（2023·遼寧沈陽·七年級統考期中）計算 的結果是_____________．
【答案】9
【分析】根據有理數的乘除運算順序和運算法則計算即可．
【詳解】解：
，
故答案為：9．
【點睛】本題主要考查了有理數的乘除法，解題的關鍵是掌握有理數的乘除法混合運算順序和運算法則．
例2．（2023·廣西·七年級校期中）閱讀后回答問題：計算．
解：原式= ①
②
③
（1）從第 （填序號）步開始出現錯誤；
（2）請寫出正確的解答過程．
【答案】（1）①；（2）見解析．
【分析】同級運算應該按照從左到右的順序進行．
【詳解】解：（1）從第①步開始出現錯誤，同級運算沒有按照從左到右的順序進行；
（2）
【點睛】此題主要考查有理數的乘除法混合運算，乘除法同級運算從左到右進行是解題關鍵．
例3．（2023·湖北·七年級專題練習）計算：
(1)÷（）÷（）； (2)（）÷（）÷（）；
(3)（）×（）÷； (4)（）÷（）×（）．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）直接利用有理數的除法運算法則除法變乘法，再利用有理數的乘法運算法則計算得出答案；
（2）直接利用有理數的除法運算法則除法變乘法，再利用有理數的乘法運算法則計算得出答案；
（3）直接利用有理數的除法運算法則除法變乘法，再利用有理數的乘法運算法則計算得出答案；
（4）直接利用有理數的除法運算法則除法變乘法，再利用有理數的乘法運算法則計算得出答案．
【詳解】（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝；
（4）原式＝．
【點睛】本題考查了有理數的乘除運算，正確掌握相關運算法則是解題的關鍵．
變式1．（2023·河北廊坊·七年級統考期末）老師設計了計算接力游戲，規則是每名同學只能利用前面一個同學的式子進一步計算，將計算的結果傳給下一個同學，最后解決問題．過程如下，自己負責的那一步錯誤的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】根據乘除的混合運算，按照從左到右的順序進行計算，先將除法轉化為乘法計算，即可求解．
【詳解】解： ，
∴甲負責的那一步錯誤了，故選：A．
【點睛】本題考查了有理數的乘除混合運算，掌握運算順序是解題的關鍵．
變式2．（23-24七年級·廣東·期中）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查有理數乘除混合運算，熟練掌握有理數乘除混合法則是解題的關鍵．
根據有理數乘除混合法則逐項計算并判定即可．
【詳解】解：A、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
B、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
C、，計算正確，故此選項符合題意；
D、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；故選：C．
變式3．（2023·山東·七年級專題練習）計算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）首先確定結果的符號，再把除法變為乘法，先約分，后相乘進行計算即可；
（2）首先確定結果的符號，再把除法變為乘法，約分后相乘進行計算即可；
（3）首先計算括號里面的，再計算括號外面的乘法即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【點睛】此題考查了有理數的乘除混合運算，解題的關鍵是掌握有理數的乘除運算法則．
考點4、有理數除法的簡算
【解題技巧】同有理數的乘法運算技巧類似。
例1．（2023·成都市七年級課時練習）計算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14
【詳解】試題分析：（1）（2）（3）利用帶分數的性質，把復雜的數寫成兩個數的和，再用乘法分配律計算；（4）（5）（6）把乘數運算，帶分數，統一成假分數的乘積形式，約分求解.
試題解析：(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
例2．（23-24七年級上·湖南湘西·期末）數學老師為了優化同學們的運算思維，提高數學運算能力，復習有理數綜合運算時，布置了一道有意思的計算題：請用不同解法計算
劉聰和他的小伙伴選擇常規解法： 張明開動腦筋，經過觀察算式特點，和同學們深入分析、探究，又找到了下面這種解法：原式的倒數：
所以，原式
(1)請比較劉聰和張明兩位同學的解法，你喜歡哪位同學的解法？ 為什么？
(2)請選擇你喜歡的解法計算：
【答案】(1)更喜歡張明的解法，理由見解析(2)
【分析】本題主要考查了有理數的乘法分配律：
（1）根據解答過程可知張明的解題過程簡單，且省去了通分計算，比較簡便，則更喜歡張明的解法；
（2）仿照題意先把除法變成乘法，再利用乘法分配律求出的值，進而求出的值的倒數即可得到答案．
【詳解】（1）解：更喜歡張明的解法，理由如下：
觀察兩人的解題過程可知，張明的解題過程簡單，且省去了通分計算，比較簡便，
∴更喜歡張明的解法；
（2）解：原式的倒數為：
，
．
變式1．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）下列算式中運用分配律帶來簡便的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是理解乘法分配律的意義，以及除以一個數等于乘以這個數的倒數，乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，等于把這兩個數分別與這個數相乘，再把乘得的兩個積加起來，掌握概念并靈活運用即可解題．
【詳解】解：A、除法不具有分配律，不符合題意．
B、，可以使用分配律，但運算沒有更簡便，不符合題意．
C、，可以使用分配律，且運算更簡便，符合題意．
D、，可以使用分配律，但運算沒有更簡便，不符合題意．
故選：C．
變式2．（2023·江蘇南通·七年級校考階段練習）計算（能用簡便方法的要用簡便方法）：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)5.3(2)(3)(4)3750(5)(6)
【分析】（1）根據有理數的加減法可以解答本題；
（2）根據有理數的加減法可以解答本題；
（3）根據有理數的乘除法可以解答本題；
（4）根據乘法分配律簡便計算；
（5）先計算括號內的，再根據有理數的除法即可解答本題；
（6）根據有理數的除法即可解答本題．
【詳解】（1）解：
=5.3；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
【點睛】本題考查了有理數的混合運算，有理數混合運算順序：先算乘除，后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．
變式3．（2023·江蘇無錫·七年級校聯考階段練習）計算
(1)； (2)；(3)；
(4)； (5)；（用簡便方法計算）(6)；
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【分析】（1）先把減法統一為加法運算，再把同號的兩數先加，從而可得答案；
（2）先確定運算結果的符號，再把除法轉化為乘法運算，約分后可得結果；
（3）先把運算統一為加法運算，同步把小數化為分數，再利用加法的運算律進行簡便運算即可；
（4）利用乘法的分配律進行簡便運算即可；
（5）把原式化為再利用分配律進行簡便運算即可；
（6）先計算，把除法化為乘法，利用分配律，再根據倒數的含義可得答案．
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
∴
【點睛】本題考查的是有理數的四則混合運算，掌握“四則混合運算的運算順序”是解本題的關鍵．
考點5、有理數除法的應用
【解題技巧】有理數運算相關的實際應用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發生改變。能夠熟練的分析應用題的數量關系，找準解題的方法和技巧。
例1．（23-24七年級上·湖北恩施·期末）干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，干支是天干和地支的總稱干支紀年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支依次相配，每個組合代表××年，60年為一個循環．如表，我們把天干、地支按順序排列，給它們編上序號．天干的計算方法是：年份減3，除以10所得的余數；地支的計算方法是：年份減3，除以12所得的余數以2022年為例：天干為：；地支為：．對照天干地支表得出，2022年為農歷壬寅年，那么2053年為農歷 年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
【答案】癸酉
【分析】本題主要考查了有理數混合運算的應用，解題的關鍵是理解題意，根據題干中信息列出關于天干和地支的計算式，然后求解即可．
【詳解】解：2053年的天干為：，
地支為：，∴2053年為農歷癸酉年．故答案為：癸酉．
例2．（23-24七年級上·四川成都·期中）小張第一次用480元購買了8套兒童服裝，以一定價格出售．如果以每套兒童服裝80元的價格為標準，超出的記作正數，不足的記作負數，記錄如下（單位：元）：
，，，，，，0，．
請通過計算說明：
(1)小張賣完這八套兒童服裝共賣了多少錢？
(2)這八套兒童服裝平均每套盈利了多少元？
【答案】(1)共賣了元 (2)這八套服裝平均每套盈利了18元
【分析】本題主要考查了有理數混合運算的應用，解題的關鍵是列出算式，熟練掌握運算法則，準確計算．
（1）根據題意列出算式進行計算即可；
（2）根據利潤等于售價減進價進行計算即可．
【詳解】（1）解：
（元）．
（2）解：法一：（元）；
法二：（元）
法三：（元）
答：這八套服裝平均每套盈利了18元．
變式1．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）數學學習小組準備利用一根彈簧制作一個簡易彈簧秤（用于稱物體的質量），需在刻度盤上標注刻度．經過四次試驗與測量，得到彈簧的長度與所掛物體的質量之間的對應關系如下表：
物體的質量 1 2 3 4
彈簧的長度 10 12 14 16
已知該彈簧在掛物體后，在彈性限度內能達到的最大長度為，則學習小組在刻度盤上需標注的最大量程是 ．
【答案】10
【分析】本題主要考查了有理數混合運算的應用，解題的關鍵是根據表格中的數據得出質量每增加，彈簧伸長的長度增加，求出彈簧的原長．
【詳解】解：根據表格中的數據可知，質量每增加，彈簧伸長的長度增加，彈簧所掛物體質量為時，彈簧的長度為，∴彈簧的原長為：，
∴在彈性限度內能達到的最大長度為時，所掛物體質量為：，
即刻度盤上需標注的最大量程是．故答案為：10．
變式2．（23-24七年級上·福建寧德·期末）【問題情境】在數學活動課上，同學們玩“計算竟大”游戲：每場游戲開始析的、乙兩人手上各執四張數字牌和四張運算符號牌，四張數字牌上分別標有一個數字，四張運算符號牌分別標有“+”“-”“×”“÷”四個運算符號，雙方都能看到對方牌面的信息．游戲開始，兩人依次輪流出牌，每次只有一人出牌．游戲規則：①第一次，由先出牌者出一張數字牌，直接做為第一次結果．②從第二次開始，每次由出牌者出一張符號牌和一張數字牌，與上一次結果進行相應運算，運算結果記為本次結果．若本次結果的絕對值比上一次結果的絕對值大，則游戲繼續；否則游戲結束，本次出牌者失利，對方獲得本場游戲勝利；③若游戲繼續，則按上述規則玩到兩人手上都沒有數字牌為止．若最后一次結果們絕對值大于上一次結果的絕對值，則最后一次出牌者獲得本場游戲勝利，否則對方獲勝．
（相應的運算示例：若上一次的結果為，本次出牌的符號為“÷”，數字為“2”，則相應的運算為）
【問題解決】在某一場游戲前，甲、乙兩人拿到的數字牌和符號牌如下：

(1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接寫出第二次的結果，并判斷游戲是否繼續；
(2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，請列出綜合算式求第五次的結果；
(3)在（2）的基礎上，第六次乙應如何出牌才能保證最后結果總是自己勝出？請寫出保證乙能最終獲勝的第六次出牌方案，并說明該方案乙必勝的理由．
【答案】(1)，否(2)72(3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由見解析
【分析】本題考查有理數四則運算，絕對值定義．（1）根據題意列式，再利用絕對值定義即可；
（2）根據題意列式即可；（3）根據題意考慮所有可能性并列出即可．
【詳解】（1）解：根據題意列式為：，
∵，∴游戲不再繼續，即：第二次結果為：；
（2）解：根據題意列式為：，，；
（3）解：乙必勝的方案是：第六次乙出“＋”和“4”，
理由一：此時，第六次結果為76，第七次若甲出“-”和“5”，則結果為71，游戲結束，乙獲勝；第七次若甲出“+”和“5”，則結果為81，游戲繼續；第八次乙出“÷”和“”，結果為，游戲結束，乙獲勝；
理由二：所有的出牌可能有：
①，甲負乙勝；②，乙負；③，乙負；
④，乙負；⑤，乙勝；⑥，甲負乙勝，
∴乙必勝的是第六次乙出“＋”和“4”．
變式3．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習）小明有5張寫著不同數字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列問題：
(1)從中2張卡片，使這2張卡片上數字的乘積最大，如何抽取，最大值是多少？
(2)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片數相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？
(3)從中取出4張卡片，用學過的運算方法，使結果為24．寫出運算式子．（寫出一種運算式）．
【答案】(1)一個數抽，另一個數是時，最大值是
(2)一個數抽，另一個數是時，它們相除的最小值是
(3)
【分析】本題考查有理數的混合運算；
（1）從中抽張卡片，要使這張卡片上數字的乘積最大，則兩個數必須同號，據此求解即可；
（2）從中抽取張卡片，要使這兩張卡片數相除的商最小，則一個是正數，另一個是負數，據此求出最小值是多少即可．
（3）用學過的運算方法，構造出算式，使結果為即可．
【詳解】（1），
，
因為，
所以其中的一個數抽，另一個數是時，最大值是；
（2），
所以其中的一個數抽，另一個數是時，它們相除的最小值是；
（3）從中取出張卡片，用學過的運算方法，使結果為，運算式子為：
．
考點6、有理數除法的新定義問題
【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯系起來，利用已有的知識經驗來解決問題.
例1．（23-24七年級上·山東濱州·期末）對于任意非零實數a，b，定義運算“※”如下：，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了新定義運算，根據題意得出是解題關鍵．
【詳解】解：∵，
∴
故選：D
例2．（22-23七年級上·廣東廣州·期中） （其中表示不超過的最大整數，如，等等）．
【答案】
【分析】本題考查了有理數的混合運算，能夠理解取整的函數是解答本題的關鍵．利用取整函數把算式變為，再進行計算即可．
【詳解】解：
故答案為：．
變式1．（23-24七年級上·河北廊坊·期中）對于一個各數位上的數字均不為0的三位自然數N，若N能被它的各數位上的數字之和m整除，則稱N是m的“和倍數”．對下列三個人的說法判斷正確的是（　　）
小嘉說：247是13的“和倍數” 小淇說：441是9的“和倍數”
小華說：214、357均不是“和倍數”
A．三人說法都對 B．只有一人說法不對 C．小華說的不對 D．只有一人說法對
【答案】A
【分析】本題考查了新定義問題，根據新定義問題進行計算是解題關鍵．根據“和倍數”的定義依次判斷即可
【詳解】解∶∵，
∴247是13的“和倍數”，故小嘉的說法正確；
∵，
∴441是9的“和倍數”，故小淇的說法正確；
∵，∴214不是“和倍數”，
∵，
∴357不是“和倍數”，故小華的說法正確；故選：A．
變式2．（23-24七年級上·河南許昌·期中）我們規定，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了有理數的乘除法、有理數的大小比較，正確理解規定的運算法則是解題關鍵．先根據規定的運算法則進行轉化，再計算有理數的乘除法求解即可得．
【詳解】解：由題意得：，故選：C．
變式3．（2024·北京·七年級校考階段練習）對于任意的非零且不相等的兩個有理數a，b，定義：，解決以下問題：(1)計算；(2)計算；(3)請你舉例驗證一下交換律即在這一運算中是否成立。（舉一個例子即可）。
【答案】(1)(2)；(3)不成立，見解析
【分析】（1）根據新定義直接列式計算即可；
（2）根據新定義先計算，再計算即可；
（3）令，，分別計算和進行驗證即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：，
；
（3）解：令，，則，，
∵，∴在這一運算中不成立．
【點睛】本題考查了有理數的混合運算，理解新定義的運算是解題的關鍵．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·河北石家莊·七年級統考期末）計算的結果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根據有理數乘除運算法則和混合運算順序，依次計算即可
【詳解】解：．故選：A．
【點睛】本題考查有理數乘除混合運算，熟練掌握有理數乘除運算法則是解題的關鍵．
2．（2023秋·河北石家莊·七年級統考期末）在算式□的“□”中填上運算符號“＋”“－”“×”或“÷”，要使運算的結果最小，則添加的運算符號是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
【答案】A
【分析】由、、、，判斷出添加的符號．
【詳解】∵、、、，
∴要使運算的結果最小，添加的運算符號是：“＋”故選：A
【點睛】本題考查有理數的加減乘除運算，解題的關鍵是根據法則，正確計算．
3．（2024·山東·七年級校考階段練習）與運算結果相同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據有理數的乘除法則分別計算，再作比較．
【詳解】解： A、，該選項不符合題意；
B、，該選項符合題意；C、，該選項不符合題意；
D、，該選項不符合題意；故選：B．
【點睛】本題考考查了有理數的除法．解題關鍵點：熟記有理數的除法法則．
4．（23-24七年級上·山東聊城·期末）算式______中的橫線內應填（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查有理數的除法運算，解題的關鍵是熟知運算法則．根據有理數的除法法則即可求解．
【詳解】解：括號內應填．故選：．
5．（23-24七年級上·福建廈門·期末）甲、乙兩人完成一項工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，設工作總量為1，工作進度如下表：則完成這項工作共需（ ）
天數 第3天 第5天
工作進度
A．6天 B．8天 C．9天 D．10天
【答案】C
【分析】此題是典型的工程問題，需要特別注意的是把問題分段分析，分清每段的情況即可．此題是工程問題，把此工作分段進行分析，甲自己做了3天做了，則可知道甲自己做需要天，從而求出乙的工作效率，進而求出結果即可．
【詳解】解：甲自己做需天，∴乙的工作效率為：
∴（天），故選：C．
6．（23-24七年級上·河北邯鄲·階段練習）對于式子“”的變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查有理數的除法，掌握除以一個數等于乘以這個數的倒數是解題的關鍵．
【詳解】解：，故選D．
7．（2023·廣東·七年級校考階段練習）兩個數的商為正數，那么這兩個數是（ ）
A．都是正數 B．都是負數 C．同號 D．至少有一個為正數
【答案】C
【分析】根據有理數的除法運算法則：兩數相除，同號得正，并把絕對值相除來判斷即可．
【詳解】兩個有理數的商是正數，那么這兩個數一定同號．故選：C．
【點睛】本題考查了有理數的除法運算法則：兩數相除，同號得正，并把絕對值相除．
8．（2023·廣東深圳·校聯考模擬預測）網上一些推廣“成功學”的主播，常引用下面這個被稱為竹子定律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能長，而且這還是深埋于土下．到了第五年，竹子終于能破土而出，會以每天的速度瘋狂生長．此后，僅需要6周的時間，就能長到15米，驚艷所有人！”．這段話的確很勵志，須不知，要符合算理的話，需將上文“6周”中的整數“6”改為整數（　　）
A．5 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根據題意列出算式進行計算即可．
【詳解】解：，竹子生長需要的時間為（天），，
即竹子長成需要8周的時間，故C正確．故選：C．
【點睛】本題主要考查了有理數除法的應用，解題的關鍵是根據題意列出算式，準確計算．
9．（2023·四川資陽·統考二模）天干地支紀年法源于中國，是上古文明的產物，又稱節氣歷或中國陽歷，有十天干與十二地支，如表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下：先用年份的尾數查出天干，再用年份除以12的余數查出地支．如2014年，尾數4為甲，2014除以12余數為10，10為午，那么2014年就是甲午年．則2023年是( )
A．甲卯年 B．甲寅年 C．癸卯年 D．癸寅年
【答案】C
【分析】先用2023的尾數3查出天干，再用2023除以12的余數查出地支即可．
【詳解】2023年，尾數3為癸，2023除以12余數為7，7為卯，那么2023年就是癸卯年，故選：C．
【點睛】本題是考查了推理，讀懂天干地支的算法是解決本題的關鍵．
10．（2023·江蘇·七年級）已知“！”是一種數學運算符號，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），則C125 =（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
【答案】B
【分析】根據公式和新定義的運算將數值代入公式求解即可．
【詳解】解：C125 =故選：B．
【點睛】關鍵是根據給出的式子，找出新的運算方法，再利用新的運算方法進行解答．
11．（2023·浙江溫州·七年級校考階段練習）若計算式子的結果為最大，則應分別在，△中填入下列選項中的（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】將四個選項中的運算符號分別代入式子中進行運算，通過比較結果即可得出結論．
【詳解】解：當選取A選項的符號時，；
當選取B選項的符號時，；
當選取C選項的符號時，；
當選取D選項的符號時，，
∵當選取D選項的符號時，計算式子的結果最大，故選：D．
【點睛】本題主要考查了有理數的混合運算，熟練掌握有理數的混合運算法則是解題的關鍵．
12．（2023·重慶·模擬預測）式子12345中的，，，是數字1，2，3，4，5中間的四個位置，在這些位置上添加“”“”“”“”符號后得到一個算式，若不添加符號，則相鄰數字自然組合為一個多位數．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符號，得到的算式為：，結果為239．下列說法：
①添加“”“”兩個運算符號，得到的算式有10種不同的結果；
②存在一種添加“”“”“”“”四個符號的算式，其結果為；
③只添加“”“”“”三個符號，得到的算式中，結果最大為170．
其中正確的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本題考查了有理數的混合運算，理解題意，熟練掌握有理數的混合運算法則是解此題的關鍵．
【詳解】解：①中“”的位置有種可能，“”確定位置后，“”的位置有種可能，則添加“”“”兩個運算符號，得到的算式有種不同的結果，故①錯誤；
②結果為，必須添加“”，
若添加“”， 添加“”， 添加“”，則有，故②正確；
③添加的運算符號中有“”，且同時添加三個運算符號，
要是結果最大，不能添加，必須添加“”，此時添加“”， 添加“”，即可得到最大結果，為，故③錯誤；
綜上所述，正確的有②，個數為，故選：B．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
13．（2022·成都市七年級校聯考課時練習）計算：_______ ．
【答案】
【詳解】=，得_______
根據 除數=被除數商=（-16）（-15）=.
14．（2023秋·浙江金華·七年級浙江省蘭溪市第二中學校考階段練習）某種藥品的說明書上貼有如圖的標簽，則一次服用這種藥品的劑量范圍是____mg到___mg．
【答案】 15 40
【分析】分每天服用和，分次和次兩種服用方法，求出每次服用的劑量，確定最小值和最大值，即可得解．
【詳解】解：每天服用時，分次服用，每次服用：；
分次服用，每次服用：；
每天服用時，分次服用，每次服用：；
分次服用，每次服用：；
∴每天最小服用，最多服用；故答案為：．
【點睛】本題考查有理數的除法的實際應用．根據題意正確的列出算式進行計算，是解題的關鍵．
15．（2024·四川遂寧·七年級校考期中）若“!”是一種數學運算符號，并且：，，，，…，則_________
【答案】2022
【分析】根據題干所給運算方法可進行求解．
【詳解】解：由題意得：；故答案為2022．
【點睛】本題主要考查有理數的乘法運算，熟練掌握題中所給運算符號是解題的關鍵．
16．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習）有理數，在數軸上對應的位置如圖所示，那么代數式的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了代數式的化簡、數軸和去絕對值；先根據數軸求出，，，再去掉絕對值，即可求解．
【詳解】解：根據數軸可知：，，，
原式．故答案為：．
17．（2023春·重慶沙坪壩·九年級聯考階段練習）40名學生參加義務植樹活動，任務是：挖樹坑，運樹苗．這40名學生可分為甲、乙、丙三類，其中甲類學生15人，乙類15人，丙類10人，每類學生的勞動效率為甲類學生可以挖樹坑2個或者運樹苗20棵，乙類學生可以挖樹坑1.2個或者運樹苗10棵，丙類學生可以挖樹坑0.8個或者運樹苗7棵．如果他們的任務是：挖樹坑30個，運樹苗不限，那么在完成挖坑任務的同時樹苗運得最多為_____棵．
【答案】260
【分析】先求出這三類學生挖樹坑相對于運樹苗的相對效率，然后由挖樹坑相對效率較高那一類先挖樹坑，剩下的再由第二高的先挖，再剩下的就由相對效率最低的再來挖．
【詳解】解：這三類學生挖樹坑的相對效率是
甲類：，乙類：，丙類：．
由上可知，乙類學生挖樹坑的相對效率最高，其次是丙類學生，故應先安排乙類學生挖樹坑，
可挖：（個）．再安排丙類學生挖樹坑，可挖：（個），
還差（個）樹坑，由兩名甲類學生去挖，這樣就能完成挖樹坑的任務，
其余13名甲類學生運樹苗，可以運：（棵）．故答案為：260．
【點睛】本題關鍵是根據三類學生的相對效率來求解，挖樹坑的效率與運樹苗的效率比越高就讓他們先來挖樹坑，這樣效率最高．
18．（2023春·上海·七年級專題練習）點游戲是一種撲克牌類的益智類游戲，游戲規則是：從一副撲克牌（去掉大小王）中任意抽取張牌，根據牌面上的數字進行混合運算（每張牌必須用且只能用一次，可以加括號），使得運算結果為或．
例如：抽到的數字為“，，，”，則可列式并計算為：．
如果 、◆表示正， 、 表示負（如“◆”為“”，“ ”為“”），請對下面兩組撲克牌按要求進行記數，并按“點”游戲規則對兩組數分別進行列式計算，使其運算結果均為或．
①
依次記為：_________________
列式計算：__________________．
②
依次記為：_________________
列式計算：_______．
【答案】①，，，；．（答案不唯一，正確即可）
②，，，；．（答案不唯一，正確即可）
【分析】根據 、◆表示正， 、 表示負結合牌的點數即可表示，出各張牌表示的數，根據“點”游戲規則結合有理數的混合運算法則列式即可．
【詳解】解：①四張牌依次記為，，，；
列式計算得：（答案不唯一，正確即可）；
②四張牌依次記為，，，；
列式計算得：（答案不唯一，正確即可）．
【點睛】本題考查新定義問題和有理數的混合運算，理解“點”游戲規則并熟練掌握有理數運算法則是解題關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·吉林長春·七年級校考階段練習）計算.
(1)；(2).
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據有理數的乘除混合運算進行計算即可求解；
（2）先將除法轉化為乘法，然后根據乘法分配律進行計算即可求解．
【詳解】（1）解：
（2）解：
．
【點睛】本題考查了有理數的混合運算，掌握有理數的運算法則以及運算律是解題的關鍵．
20．（2023·貴州銅仁·七年級校考階段練習）乘除計算：
(1) (2)
(3)； (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【詳解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
（4）
．
【點睛】本題考查的是有理數的乘除混合運算，乘法分配律的應用，掌握“同級運算，按照從左至右的運算順序進行計算與乘法分配律的應用”是解本題的關鍵．
21．（2023·浙江溫州·七年級校考階段練習）有一個水庫某天的水位為米（以警戒線為基準，記高于警戒線的水位為正），在以后的6個時刻測得的水位升降情況如下（記上升為正，單位：米）：，，0，，，．
(1)經這6次水位升降后，水庫的水位超過警戒線了嗎？
(2)現在由于下暴雨，水庫水位以米/小時速度上升，指揮部要求水位降至警戒線1米以下（含1米），現在水庫勻速泄水，可使靜態水位按米/小時速度下降，為達到指揮部最低要求，求水庫需放水的時間．
【答案】(1)未超過(2)5小時
【分析】（1）求得上述各數的和，然后根據結果與0的大小關系即可作出判斷；（2）根據題意列式求解．
【詳解】（1）解：，
答：水庫的水位未超過警戒線．
（2）（小時），
答：水庫需放水小時．
【點睛】本題考查有理數的混合運算及正負數在實際生活中的應用，根據題意列出算式是解題的關鍵．
22．（23-24七年級上·福建三明·階段練習）閱讀下列解題過程：
計算：．
分析：利用倒數的意義，先求出原式的倒數，再得原式的值．
解：
．
所以原式．
根據閱讀材料提供的方法，完成下面的計算：．
【答案】
【分析】根據材料提示運用倒數的意義，先計算原式的倒數，結果再求倒數，由此即可求解．
【詳解】解：
，
∴原式．
【點睛】本題主要考查倒數的運用，有理數乘除法的運算，掌握運用倒數的計算方法，有理數的乘除法運算法則，乘法分配律的運用是解題的關鍵．
23．（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器，并在距離容器底部處用兩根相同的管子連接，其中甲、丙兩容器的底面積均為，乙容器的底面積為，甲容器中有水．現同時向乙、丙兩個容器內勻速注水，直至每個容器都注滿水時停止注水，已知每個容器每分鐘注水．
容器甲 容器乙 容器丙
(1)當甲、乙兩個容器中水位的高度第一次相等時，求注水的時間；
(2)當甲、乙兩個容器中水位的高度相差時，求注水的時間．
【答案】(1)(2)當時間為，，，甲、乙兩個容器中水位的高度相差
【分析】本題考查了有理數混合運算的應用，圓柱的容積計算，關鍵是注意分類討論．
（1）甲、乙兩個容器中水位的高度第一次相等時，即乙容器水位達到甲容器中水的水位；
（2）分水還未達到管子連接處、乙水位達到了管子連接處兩種情況討論．
【詳解】（1）解：，，．
（2）解：分兩種情況：①乙容器中水還未達到管子連接處，i)當甲容器中水位比乙容器中水位高，相差時；，丙裝滿時間為，
即后，此時丙水位達到了管子連接處，，丙處水流入乙；此時容器乙高度增加速度，
i)當甲容器中水位比乙容器中水位高，相差時；
當時，，
ii) 當甲容器中水位比乙容器中水位低，相差時；此時丙水位達到了管子連接處，丙處水流入乙；
時，，
乙裝滿時間為；
②乙水位達到了管子連接處，當甲容器中水位比乙容器中水位低，相差時；
即后，，時，
綜上，當時間為，，，甲、乙兩個容器中水位的高度相差．
24．（2023·北京海淀區·七年級期中）我們知道，正整數按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數和正偶數，小浩受此啟發，按照一個正整數被3除的余數把正整數分成了三類：如果一個正整數被3除余數為1，則這個正整數屬于A類，例如1，4，7等；如果一個正整數被3除余數為2，則這個正整數屬于B類，例如2，5，8等；如果一個正整數被3整除，則這個正整數屬于C類，例如3，6，9等．
（1）2020屬于　 　類（填A，B或C）；
（2）①從A類數中任取兩個數，則它們的和屬于　 　類（填A，B或C）；
②從A類數中任意取出15個數，從B類數中任意取出16個數，從C類數中任意取出17個數，把它們都加起來，則最后的結果屬于　 　類（填A，B或C）；
（3）從A類數中任意取出m個數，從B類數中任意取出n個數，把它們都加起來，若最后的結果屬于C類，則下列關于m，n的敘述中正確的是　 　（填序號）．
①m+2n屬于C類；②|m﹣n|屬于B類；③m屬于A類，n屬于C類；④m，n屬于同一類．
【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④
【分析】（1）計算2020÷3，根據計算結果即可求解；（2）①從A類數中任取兩個數進行計算，即可求解；②從A類數中任意取出15個數，從B類數中任意取出16個數，從C類數中任意取出17個數，把它們的余數相加，再除以3，根據余數判斷即可求解；
（3）根據m，n的余數之和，舉例，觀察即可判斷．
【詳解】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余數為1，屬于A類；故答案為：A；
（2）①從A類數中任取兩個數，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余數為2，則它們的和屬于B類；
②從A類數中任意取出15個數，從B類數中任意取出16個數，從C類數中任意取出17個數，把它們的余數相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余數為2，屬于B類；故答案為：①B；②B；
（3）從A類數中任意取出m個數，從B類數中任意取出n個數，余數之和為：m×1+n×2＝m+2n，
∵最后的結果屬于C類，∴m+2n能被3整除，即m+2n屬于C類，①正確；
②若m＝1，n＝1，則|m﹣n|＝0，不屬于B類，②錯誤；③若m＝1，n＝1，③錯誤；
④觀察可發現若m+2n屬于C類，m，n必須是同一類，④正確；綜上，①④正確．故答案為：①④．
【點睛】本題考查了新定義的應用和有理數的除法，解題的關鍵是熟練掌握新定義進行解答．
25．（23-24七年級上·福建福州·期末）閱讀下列材料：，即當時，，當時，，運用以上結論解決下面問題：
(1)已知m，n是有理數，當時，則______；
(2)已知m，n，t是有理數，當時，求的值；
(3)已知m，n，t是有理數，，且，求的值．
【答案】(1)0；(2)1或；(3)或3．
【分析】本題考查的是有理數的四則混合運算，化簡絕對值，熟練的化簡絕對值是解本題的關鍵；
（1）先判斷同號，再分兩種情況化簡絕對值，再計算即可；
（2）先判斷m，n，t全負或m，n，t兩正一負，再分情況化簡絕對值，再計算即可；
（3）先判斷m，n，t兩正一負，再結合（2）的結論即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵m，n是有理數，當時，∴同號，
當，時，，
當，時，；
（2）∵∴m，n，t全負或m，n，t兩正一負
①當m，n，t全負時，
②當m，n，t兩正一負時
Ⅰ）當，，時，
Ⅱ）當，，時，
Ⅲ）當，，時，
綜上所述，的值為1或；
（3）∵∴，，．
∴
又∵，∴m，n，t兩正一負
由（2）可知的值為或3．
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專題2.4.有理數的除法
1. 掌握有理數除法法則，并能熟練進行有理數除法的運算；
2. 在歸納、探索有理數法則的過程中體“轉化”的思想；
3. 能利用有理數的除法解決生活中的實際問題；
4. 熟練掌握有理數混合（加減乘除）運算及相關運算律，培養運算能力及良好的習慣。
模塊1：知識梳理 1
模塊2：核心考點 2
考點1、有理數除法法則的辨析 2
考點2、有理數的除法運算 3
考點3、有理數乘除法的混合運算 5
考點4、有理數除法的簡算 8
考點5、有理數除法的應用 13
考點6、有理數除法的新定義問題 17
模塊3：能力培優 19
1）有理數除法法則1：除以一個不等于的數，等于乘這個數的倒數。即：，()。
有理數除法法則2：兩數相除，同號得正，異號得負，且商的絕對值等于被除數的絕對值除以除數的絕對值的商。除以任何一個不等于的數，都得。
2）有理數除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。
有理數的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。
注意：乘除混合運算要“從左到右”運算，有括號的先算括號里面的，分數可以理解為分子除以分母。
考點1、有理數除法法則的辨析
【解題技巧】有理數的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數與整數相除一般采用“同號得正，異號得負，并把絕對值相除”．如果有了分數，則采用“除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．
例1．（2023·浙江·七年級統考期末）如果，則的值與0的大小關系是（　　）
A． B． C． D．不能確定
變式1．（2023·山東·七年級期末）下列說法正確的是（ ）（多選題）
A．互為相反數的兩數相除商必等于1 B．非零的兩數相除，同號得正，異號得負；
C．大于1的兩數之積一定大于任何一個因數 D．小于1的兩數之商一定小于被除數
變式2．（2023·江蘇·七年級階段練習）已知a，b為有理數，則下列說法正確的個數為（ ）
①若，，則，．②若，，則，且．
③若，，則，．④若，，則，且．
A．1 B．2 C．3 D．4
變式3．（2023·廣東·七年級校考期中）若兩個數的商是正數，則下列選項中一定成立的是（ ）
A．這兩數的和為正數 B．這兩數的差為正數
C．這兩數的積為正數 D．這兩數的和、差、積的正負都不能確定
考點2、有理數的除法運算
【解題技巧】有理數除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果．
例1．（23-24七年級上·山東青島·階段練習）將轉化為乘法運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023秋·山東臨沂·七年級統考期末）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（23-24七年級·重慶·月考）填空：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
變式2．（23-24七年級上·浙江衢州·期末）下列運算，結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24七年級上·江蘇宿遷·期中）從中任取2個數，所得積的最大值記為a，所得商的最小值記為b，則的值為 ．
考點3、有理數乘除法的混合運算
【解題技巧】有理數的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果．
注意：乘除混合運算要“從左到右”運算．分數可以理解為分子除以分母．
例1．（2023·遼寧沈陽·七年級統考期中）計算 的結果是_____________．
例2．（2023·廣西·七年級校期中）閱讀后回答問題：計算．
解：原式= ①
②
③
（1）從第 （填序號）步開始出現錯誤；
（2）請寫出正確的解答過程．
例3．（2023·湖北·七年級專題練習）計算：
(1)÷（）÷（）； (2)（）÷（）÷（）；
(3)（）×（）÷； (4)（）÷（）×（）．
變式1．（2023·河北廊坊·七年級統考期末）老師設計了計算接力游戲，規則是每名同學只能利用前面一個同學的式子進一步計算，將計算的結果傳給下一個同學，最后解決問題．過程如下，自己負責的那一步錯誤的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
變式2．（23-24七年級·廣東·期中）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2023·山東·七年級專題練習）計算：
(1)；(2)；(3)．
考點4、有理數除法的簡算
【解題技巧】同有理數的乘法運算技巧類似。
例1．（2023·成都市七年級課時練習）計算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
例2．（23-24七年級上·湖南湘西·期末）數學老師為了優化同學們的運算思維，提高數學運算能力，復習有理數綜合運算時，布置了一道有意思的計算題：請用不同解法計算
劉聰和他的小伙伴選擇常規解法： 張明開動腦筋，經過觀察算式特點，和同學們深入分析、探究，又找到了下面這種解法：原式的倒數：
所以，原式
(1)請比較劉聰和張明兩位同學的解法，你喜歡哪位同學的解法？ 為什么？
(2)請選擇你喜歡的解法計算：
變式1．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）下列算式中運用分配律帶來簡便的是（　　）
A． B． C． D．
變式2．（2023·江蘇南通·七年級校考階段練習）計算（能用簡便方法的要用簡便方法）：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
變式3．（2023·江蘇無錫·七年級校聯考階段練習）計算
(1)； (2)；(3)；
(4)； (5)；（用簡便方法計算）(6)；
考點5、有理數除法的應用
【解題技巧】有理數運算相關的實際應用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發生改變。能夠熟練的分析應用題的數量關系，找準解題的方法和技巧。
例1．（23-24七年級上·湖北恩施·期末）干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，干支是天干和地支的總稱干支紀年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支依次相配，每個組合代表××年，60年為一個循環．如表，我們把天干、地支按順序排列，給它們編上序號．天干的計算方法是：年份減3，除以10所得的余數；地支的計算方法是：年份減3，除以12所得的余數以2022年為例：天干為：；地支為：．對照天干地支表得出，2022年為農歷壬寅年，那么2053年為農歷 年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
例2．（23-24七年級上·四川成都·期中）小張第一次用480元購買了8套兒童服裝，以一定價格出售．如果以每套兒童服裝80元的價格為標準，超出的記作正數，不足的記作負數，記錄如下（單位：元）：
，，，，，，0，．
請通過計算說明：(1)小張賣完這八套兒童服裝共賣了多少錢？(2)這八套兒童服裝平均每套盈利了多少元？
變式1．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）數學學習小組準備利用一根彈簧制作一個簡易彈簧秤（用于稱物體的質量），需在刻度盤上標注刻度．經過四次試驗與測量，得到彈簧的長度與所掛物體的質量之間的對應關系如下表：
物體的質量 1 2 3 4
彈簧的長度 10 12 14 16
已知該彈簧在掛物體后，在彈性限度內能達到的最大長度為，則學習小組在刻度盤上需標注的最大量程是 ．
變式2．（23-24七年級上·福建寧德·期末）【問題情境】在數學活動課上，同學們玩“計算竟大”游戲：每場游戲開始析的、乙兩人手上各執四張數字牌和四張運算符號牌，四張數字牌上分別標有一個數字，四張運算符號牌分別標有“+”“-”“×”“÷”四個運算符號，雙方都能看到對方牌面的信息．游戲開始，兩人依次輪流出牌，每次只有一人出牌．游戲規則：①第一次，由先出牌者出一張數字牌，直接做為第一次結果．②從第二次開始，每次由出牌者出一張符號牌和一張數字牌，與上一次結果進行相應運算，運算結果記為本次結果．若本次結果的絕對值比上一次結果的絕對值大，則游戲繼續；否則游戲結束，本次出牌者失利，對方獲得本場游戲勝利；③若游戲繼續，則按上述規則玩到兩人手上都沒有數字牌為止．若最后一次結果們絕對值大于上一次結果的絕對值，則最后一次出牌者獲得本場游戲勝利，否則對方獲勝．
（相應的運算示例：若上一次的結果為，本次出牌的符號為“÷”，數字為“2”，則相應的運算為）
【問題解決】在某一場游戲前，甲、乙兩人拿到的數字牌和符號牌如下：

(1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接寫出第二次的結果，并判斷游戲是否繼續；
(2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，請列出綜合算式求第五次的結果；
(3)在（2）的基礎上，第六次乙應如何出牌才能保證最后結果總是自己勝出？請寫出保證乙能最終獲勝的第六次出牌方案，并說明該方案乙必勝的理由．
變式3．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習）小明有5張寫著不同數字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列問題：
(1)從中2張卡片，使這2張卡片上數字的乘積最大，如何抽取，最大值是多少？
(2)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片數相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？
(3)從中取出4張卡片，用學過的運算方法，使結果為24．寫出運算式子．（寫出一種運算式）．
考點6、有理數除法的新定義問題
【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯系起來，利用已有的知識經驗來解決問題.
例1．（23-24七年級上·山東濱州·期末）對于任意非零實數a，b，定義運算“※”如下：，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例2．（22-23七年級上·廣東廣州·期中） （其中表示不超過的最大整數，如，等等）．
變式1．（23-24七年級上·河北廊坊·期中）對于一個各數位上的數字均不為0的三位自然數N，若N能被它的各數位上的數字之和m整除，則稱N是m的“和倍數”．對下列三個人的說法判斷正確的是（　　）
小嘉說：247是13的“和倍數” 小淇說：441是9的“和倍數”
小華說：214、357均不是“和倍數”
A．三人說法都對 B．只有一人說法不對 C．小華說的不對 D．只有一人說法對
變式2．（23-24七年級上·河南許昌·期中）我們規定，則（ ）
A． B．1 C． D．
變式3．（2024·北京·七年級校考階段練習）對于任意的非零且不相等的兩個有理數a，b，定義：，解決以下問題：(1)計算；(2)計算；(3)請你舉例驗證一下交換律即在這一運算中是否成立。（舉一個例子即可）。
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·河北石家莊·七年級統考期末）計算的結果是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023秋·河北石家莊·七年級統考期末）在算式□的“□”中填上運算符號“＋”“－”“×”或“÷”，要使運算的結果最小，則添加的運算符號是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
3．（2024·山東·七年級校考階段練習）與運算結果相同的是（　　）
A． B． C． D．
4．（23-24七年級上·山東聊城·期末）算式______中的橫線內應填（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年級上·福建廈門·期末）甲、乙兩人完成一項工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，設工作總量為1，工作進度如下表：則完成這項工作共需（ ）
天數 第3天 第5天
工作進度
A．6天 B．8天 C．9天 D．10天
6．（23-24七年級上·河北邯鄲·階段練習）對于式子“”的變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·廣東·七年級校考階段練習）兩個數的商為正數，那么這兩個數是（ ）
A．都是正數 B．都是負數 C．同號 D．至少有一個為正數
8．（2023·廣東深圳·校聯考模擬預測）網上一些推廣“成功學”的主播，常引用下面這個被稱為竹子定律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能長，而且這還是深埋于土下．到了第五年，竹子終于能破土而出，會以每天的速度瘋狂生長．此后，僅需要6周的時間，就能長到15米，驚艷所有人！”．這段話的確很勵志，須不知，要符合算理的話，需將上文“6周”中的整數“6”改為整數（　　）
A．5 B．7 C．8 D．9
9．（2023·四川資陽·統考二模）天干地支紀年法源于中國，是上古文明的產物，又稱節氣歷或中國陽歷，有十天干與十二地支，如表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下：先用年份的尾數查出天干，再用年份除以12的余數查出地支．如2014年，尾數4為甲，2014除以12余數為10，10為午，那么2014年就是甲午年．則2023年是( )
A．甲卯年 B．甲寅年 C．癸卯年 D．癸寅年
10．（2023·江蘇·七年級）已知“！”是一種數學運算符號，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），則C125 =（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
11．（2023·浙江溫州·七年級校考階段練習）若計算式子的結果為最大，則應分別在，△中填入下列選項中的（ ）
A．， B．， C．， D．，
12．（2023·重慶·模擬預測）式子12345中的，，，是數字1，2，3，4，5中間的四個位置，在這些位置上添加“”“”“”“”符號后得到一個算式，若不添加符號，則相鄰數字自然組合為一個多位數．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符號，得到的算式為：，結果為239．下列說法：
①添加“”“”兩個運算符號，得到的算式有10種不同的結果；
②存在一種添加“”“”“”“”四個符號的算式，其結果為；
③只添加“”“”“”三個符號，得到的算式中，結果最大為170．
其中正確的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
13．（2022·成都市七年級校聯考課時練習）計算：_______ ．
14．（2023秋·浙江金華·七年級浙江省蘭溪市第二中學校考階段練習）某種藥品的說明書上貼有如圖的標簽，則一次服用這種藥品的劑量范圍是____mg到___mg．
15．（2024·四川遂寧·七年級校考期中）若“!”是一種數學運算符號，并且：，，，，…，則_________
16．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習）有理數，在數軸上對應的位置如圖所示，那么代數式的值是 ．
17．（2023春·重慶沙坪壩·九年級聯考階段練習）40名學生參加義務植樹活動，任務是：挖樹坑，運樹苗．這40名學生可分為甲、乙、丙三類，其中甲類學生15人，乙類15人，丙類10人，每類學生的勞動效率為甲類學生可以挖樹坑2個或者運樹苗20棵，乙類學生可以挖樹坑1.2個或者運樹苗10棵，丙類學生可以挖樹坑0.8個或者運樹苗7棵．如果他們的任務是：挖樹坑30個，運樹苗不限，那么在完成挖坑任務的同時樹苗運得最多為_____棵．
18．（2023春·上海·七年級專題練習）點游戲是一種撲克牌類的益智類游戲，游戲規則是：從一副撲克牌（去掉大小王）中任意抽取張牌，根據牌面上的數字進行混合運算（每張牌必須用且只能用一次，可以加括號），使得運算結果為或．
例如：抽到的數字為“，，，”，則可列式并計算為：．
如果 、◆表示正， 、 表示負（如“◆”為“”，“ ”為“”），請對下面兩組撲克牌按要求進行記數，并按“點”游戲規則對兩組數分別進行列式計算，使其運算結果均為或．
①
依次記為：_________________
列式計算：__________________．
②
依次記為：_________________
列式計算：_______．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·吉林長春·七年級校考階段練習）計算.
(1)； (2).
20．（2023·貴州銅仁·七年級校考階段練習）乘除計算：
(1) (2)
(3)； (4)
21．（2023·浙江溫州·七年級校考階段練習）有一個水庫某天的水位為米（以警戒線為基準，記高于警戒線的水位為正），在以后的6個時刻測得的水位升降情況如下（記上升為正，單位：米）：，，0，，，．
(1)經這6次水位升降后，水庫的水位超過警戒線了嗎？
(2)現在由于下暴雨，水庫水位以米/小時速度上升，指揮部要求水位降至警戒線1米以下（含1米），現在水庫勻速泄水，可使靜態水位按米/小時速度下降，為達到指揮部最低要求，求水庫需放水的時間．
22．（23-24七年級上·福建三明·階段練習）閱讀下列解題過程：
計算：．
分析：利用倒數的意義，先求出原式的倒數，再得原式的值．
解：
．
所以原式．
根據閱讀材料提供的方法，完成下面的計算：．
23．（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器，并在距離容器底部處用兩根相同的管子連接，其中甲、丙兩容器的底面積均為，乙容器的底面積為，甲容器中有水．現同時向乙、丙兩個容器內勻速注水，直至每個容器都注滿水時停止注水，已知每個容器每分鐘注水．
容器甲 容器乙 容器丙
(1)當甲、乙兩個容器中水位的高度第一次相等時，求注水的時間；
(2)當甲、乙兩個容器中水位的高度相差時，求注水的時間．
24．（2023·北京海淀區·七年級期中）我們知道，正整數按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數和正偶數，小浩受此啟發，按照一個正整數被3除的余數把正整數分成了三類：如果一個正整數被3除余數為1，則這個正整數屬于A類，例如1，4，7等；如果一個正整數被3除余數為2，則這個正整數屬于B類，例如2，5，8等；如果一個正整數被3整除，則這個正整數屬于C類，例如3，6，9等．
（1）2020屬于　 　類（填A，B或C）；
（2）①從A類數中任取兩個數，則它們的和屬于　 　類（填A，B或C）；
②從A類數中任意取出15個數，從B類數中任意取出16個數，從C類數中任意取出17個數，把它們都加起來，則最后的結果屬于　 　類（填A，B或C）；
（3）從A類數中任意取出m個數，從B類數中任意取出n個數，把它們都加起來，若最后的結果屬于C類，則下列關于m，n的敘述中正確的是　 　（填序號）．
①m+2n屬于C類；②|m﹣n|屬于B類；③m屬于A類，n屬于C類；④m，n屬于同一類．
25．（23-24七年級上·福建福州·期末）閱讀下列材料：，即當時，，當時，，運用以上結論解決下面問題：
(1)已知m，n是有理數，當時，則______；
(2)已知m，n，t是有理數，當時，求的值；
(3)已知m，n，t是有理數，，且，求的值．
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