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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題2.1.有理數的加法
1．理解有理數加法的意義，掌握有理數加法法則，正確進行有理數加法運算；
2．理解有理數加法運算律，并能運用運算律簡化運算；
3．經歷探索有理數加法法則的過程，理解有理數加法法則的合理性；
4. 感知數學知識源于生活，并應用于生活，滲透“化歸”等數學思想。
模塊1：知識梳理 1
模塊2：核心考點 2
考點1、有理數加法法則的辨析 2
考點2、有理數的加法運算 3
考點3、有理數加法的運算律 5
考點4、有理數加法的實際應用 9
考點5、有理數加法的綜合運用（幻方問題） 12
考點6、有理數加法的綜合運用（新定義） 16
模塊3：能力培優 18
1.定義：把兩個（或多個）有理數相加的過程叫有理數的加法。（兩個有理數相加，和是一個有理數）。
2.法則：（1）同號兩數相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值的和；（2）絕對值不相等的異號兩數相加，和取絕對值較大的加數的符號，且和的絕對值等于加數中絕對值較大者與較小者的差；互為相反數的兩個數相加得0；（3）一個數同0相加，仍得這個數．
注意：1）有理數的運算分兩步走，第一步，確定符號，第二步，確定絕對值；2）計算的時候要看清符號，同時要熟練掌握計算法則；
3.運算律：
1）加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變；即a+b＝b+a。
2）加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變；即(a+b)+c＝a+(b+c)。
注意：1）利用加法交換律、結合律，可以使運算簡化，認識運算律對于理解運算有很重要的意義。
2）注意兩種運算律的正用和反用，以及混合運用。
考點1、有理數加法法則的辨析
【解題方法】有理數加法的法則：①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數的兩個數相加得0；③一個數同0相加，仍得這個數．
例1．（2023·重慶·七年級校考期中）下列說法中正確的是（ ）
A．兩數相加，其和大于任何一個加數 B．異號兩數相加，其和小于任何一個加數
C．絕對值相等的異號兩數相加，其和一定為零D．兩數相加，取較小一個加數的符號作為結果的符號
【答案】C
【分析】根據有理數的加法分別分析各個選項，然后得出結論即可．
【詳解】解：A選項，兩數相加，其和大于任何一個加數，說法錯誤，例如：兩個負數相加，故不符合題意；B選項，異號兩數相加，其和小于任何一個加數，說法錯誤，如果和為正數，就不滿足題干要求，故不符合題意；C選項，絕對值相等的異號兩數相加，其和一定為零，說法正確，故符合題意；
D選項，兩數相加，取絕對值較大一個加數的符號作為結果的符號，原說法錯誤，故不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查有理數加法的知識，熟練掌握有理數加法是解題的關鍵．
變式1．（23-24七年級上·廣東惠州·階段練習）如果，那么，，三個數中（ ）
A．有一個數必為 B．至少有一個負數 C．有且只有一個負數 D．至少有兩個負數
【答案】B
【分析】根據有理數的加法計算法則求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，，三個數中必然會有負數，即，，三個數中至少有一個負數，故選B．
【點睛】本題主要考查了有理數的加法計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
變式2．（23-24七年級上·山東淄博·階段練習）如果兩個數的和為負數，那么這兩個數（ ）
A．一個為正數，一個為負數 B．同為負數
C．一個為零，一個為負數 D．至少一個為負數
【答案】D
【分析】兩數和為負數，則可能兩數都為負數，或者一個負數一個非負數且負數的絕對值大于非負數的絕對值．
【詳解】解：根據分析可得兩數之和為負數，則必有一個數為負數 ．故選：D．
【點睛】本題考查正數和負數的知識，比較基礎，注意掌握有理數的加法的特點．
變式3．（2023·四川樂山·七年級統考期中）已知兩數的和為正，下面的判斷中，正確的是（ ）
A．兩個加數必須都為正數 B．兩個加數都為負數
C．兩個加數中至少有一個正數 D．兩個加數必須一正，一負
【答案】C
【分析】根據有理數加法計算法則逐一判斷即可．
【詳解】解：A．若兩數的和為正，則絕對值大的那個數的符號為正，并不一定兩個加數都是正數，說法錯誤，不符合題意；B．若兩數的和為正，則絕對值大的那個數的符號為正，說法錯誤，不符合題意；
C．若兩數的和為正，則絕對值大的那個數的符號為正，即兩個加數中至少有一個正數，說法正確，符合題意；D．若兩數的和為正，則絕對值大的那個數的符號為正，兩個加數可以都是正數，說法錯誤，不符合題意；故選：C．
【點睛】本題考查了有理數加法計算，熟知兩個有理數相加，符號取絕對值較大的數的符號是解題的關鍵．
考點2、有理數的加法運算
【解題方法】根據有理數加法的法則計算即可。
例1．（23-24七年級上·浙江·月考）的符號取 號，的符號取 號，的符號取 號．
【答案】 負/- 正/+ 負/-
【分析】根據加法法則判斷和的符號即可．
【詳解】解：的符號取負號，的符號取正號，的符號取負號，
故答案為：負，正，負
【點睛】此題考查了加法法則判斷和的符號，熟練掌握加法法則是解題的關鍵．
例2．（23-24七年級上·陜西咸陽·階段練習）計算下列各題
(1) (2)
【答案】(1)130 (2)
【分析】此題考查有理數的加法運算，熟練掌握有理數的加法運算法則是解題的關鍵．
（1）根據有理數的加法運算法則計算即可；（2）根據有理數的加法運算法則計算即可；
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
變式1．（2023·山東濱州·模擬預測）中國人最先使用負數，魏晉時期的數學家劉徽在“正負術”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數工具）正放表示正數，斜放表示負數．如圖，根據劉徽的這種表示法，圖可列式計算為，由此可推算圖中計算所得的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查的是有理數的加法與閱讀理解型，根據圖示得出兩個數，然后再進行求和得出答案．
【詳解】解：由題意得：，故選：C．
變式2．（2023·河北石家莊·統考二模）若要等式4成立，“”中應填的運算符號是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用有理數的運算法則計算即可確定出運算符號．
【詳解】解：∵，∴“”中應填的運算符號是，故A正確．故選：A．
【點睛】本題主要考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
變式3．（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習）計算：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了有理數的加法法則，熟練掌握加法法則是解答本題的關鍵．
（1）根據加法法則計算即可；（2）根據加法法則計算即可．
【詳解】（1）；
（2）．
考點3、有理數加法的運算律
【解題方法】有理數常見簡算方法：①相反數結合——抵消；②同號結合——符號易確定；③同分母結合法——無需通分（分母倍數的也可考慮）；④湊整數；⑤同行結合法——分數拆分為整數和分數。
例1．（2024·廣東七年級課時練習）計算：
(1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43）
(3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4）
(5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4）
【答案】(1)﹣3(2)﹣50(3)﹣5(4)2(5)1(6)
【分析】(1)運用加法的交換律和結合律，同號的相結合，再按照異號兩數相加的法則計算即可；
(2)運用加法的交換律和結合律，同號的相結合，再按照異號兩數相加的法則計算即可；
(3)運用加法的交換律和結合律，同號的相結合，再按照異號兩數相加的法則計算即可；
(4)運用加法的交換律和結合律，同號的相結合，再按照異號兩數相加的法則計算即可；
(5)運用加法的交換律和結合律，同分母的相結合，再按照異號兩數相加的法則計算即可．
（1）（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8）
＝40+[（﹣3）+（﹣32）+（﹣8）]
＝40+（﹣43）
＝﹣3，
（2）43+（﹣77）+27+（﹣43）
＝（43+27）+[（﹣77）+（﹣43）]
＝70+（﹣120）
＝﹣50，
（3）18+（﹣16）+（﹣23）+16
＝（18+16）+[（﹣16）+（﹣23）]
＝34+（﹣39）
＝﹣5，
（4）（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4）
＝[（+7）+4+3]+[（﹣3）+（﹣5）+（﹣4）]
＝14+（﹣12）
＝2，
（5）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）
＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）]
＝10+（﹣9）
＝1，
（6）
＝
＝
＝．
【點睛】本題考查了有理數加法法則和加法的運算律，熟練運用有理數的加法法則是解題的關鍵．
例2．（23-24七年級上·河南鄭州·期中）閱讀下面文字：
對于可以如下計算：
原式
______
______
______．
上面這種方法叫拆項法．
(1)請補全以上計算過程；
(2)類比上面的方法計算：．
【答案】(1)(2)，過程見詳解。
【分析】本題考查了有理數的加法，解題的關鍵是熟練掌握有理數的加法運算法則．
（1）根據有理數的加法法則計算；
（2）參照（1）的解題思路解題即可．
【詳解】（1）解：可以如下計算：
原式，
故答案為：
（2）解：
變式1．（23-24七年級上·山東淄博·期中），上面的計算所運用的運算律是（ ）
A．交換律 B．結合律
C．先用結合律，再用交換律 D．先用交換律，再用結合律
【答案】D
【分析】本題考查了有理數的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．根據加法交換律和結合律進行計算，即可解答．
【詳解】解：，
上面的計算所運用的運算律是先用交換律，再用結合律，故選：D．
變式2．（23-24七年級上·江蘇宿遷·階段練習）下列變形，運用加法運算律錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了有理數加法的運算律，熟練掌握交換律，結合律是解題的關鍵．
【詳解】A. ，符合交換律，不符合題意；
B. ，符合交換律，不符合題意；
C. ，不符合結合律，符合題意；
D. ，符合結合律，不符合題意；故選C．
變式3．（2023七年級上·江蘇·專題練習）利用運算律計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）根據加法交換律和結合律進行運算即可；
（2）根據加法交換律和結合律進行運算即可；
（3）根據加法交換律和結合律進行運算即可；
（4）根據加法交換律和結合律進行運算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【點睛】本題主要考查了有理數加法運算，解題的關鍵是熟練掌握加法的交換律和結合律，準確計算．
考點4、有理數加法的實際應用
【解題方法】有理數運算相關的實際應用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發生改變。能夠熟練的分析應用題的數量關系，找準解題的方法和技巧。
例1．（23-24七年級上·福建漳州·期末）王叔叔10月1日9：00微信零錢還有83.18元，下圖是王叔叔10月1日9：00至5日9：00的微信賬單，其中正數表示收款，負數表示付款，王叔叔于10月5日9：00掃二維碼付款給超市后的微信零錢為（ ）
賬單 10月1日09：24微信轉賬 10月2日16：36掃碼付款給肉食店 10月4日10：20微信紅包 10月5日9：00掃碼付款給超市
A．175 B．175.36 C．185 D．210.36
【答案】A
【分析】本題考查了正數和負數，有理數的加法運算的應用．根據“正數表示收款，負數表示付款”，列式計算即可求解．
【詳解】解：（元），
即10月5日9：00掃二維碼付款給超市后的微信零錢為175元．故選：A．
例2．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）某日小明在一條南北方向的公路上跑步．他從A地出發，每隔記錄下自己的跑步情況（向南為正方向，單位：m）：，1100，，1010，，988．
(1)后他停下來休息，此時他在A地的什么方向？距離A地多遠？
(2)小明休息完返回A地，小明共跑了多少米？
【答案】(1)此時他在A地的南方，距離A地．(2)小明休息完返回A地，小明共跑了米．
【分析】（1）本題考查正負數的意義，以及有理數加法運算的實際運用，根據有理數加法運算法則計算出其后跑步情況，結合向南為正方向，即可解題．
（2）本題考查絕對值的意義，需要注意小明休息完要返回A地，再根據絕對值的意義計算，即可解題．
【詳解】（1）解：（），
向南為正方向，此時他在A地的南方，距離A地．
（2）解：小明休息完要返回A地，
小明共跑了（），
答：小明休息完返回A地，小明共跑了米．
例3．（2024·北京通州·一模）某公司籌備一場展覽會，現列出籌備展覽會的各項工作．具體籌備工作包含以下內容（見下表）．其中，“前期工作”是指相對于某項工作，排在該工作之前需完成的工作稱為該工作的前期工作．
工作代碼 工作名稱 持續時間（天） 前期工作
A 張貼海報、收集作品 7 無
B 購買展覽用品 3 無
C 打掃展廳 1 無
D 展廳裝飾 3 C
E 展位設計與布置 3 ABD
F 展品布置 2 E
G 宣傳語與環境布置 2 ABD
H 展前檢查 1 FG
（1）在前期工作結束后，完成“展廳裝飾 ”最短需要 天；
（2）完成本次展覽會所有籌備工作的最短總工期需要 天．
【答案】 4 13
【分析】本題考查了優化問題，即如何在最短的時間內完成工作，實現最優效果．
（1）根據表格知，完成“展廳裝飾 ”要完成C、D兩項工作，故可得到至少需要的天數；
（2）由表格知，完成A的時間里，可同時完成B、C、D的工作，可進行E的工作，則可進行G、H的工作，從而完成整個工作，從而可得最短總工作時間．
【詳解】解：（1）由表格知，在前期工作結束后，完成“展廳裝飾 ”最短需要（天）；故答案為：4；
（2）完成本次展覽會所有籌備工作的路徑為：，最短總工期需要的天數為：（天）；故答案為為：13．
變式1．（2023·湖北·七年級校考階段練習）某次數學考試成績以80分為標準，高于80分記為“”，低于80分記為“”，例如：78分記為“”，81分記為“”，將某小組五名同學的成績簡記為，，，，0，則這五名同學的平均成績應為 __．
【答案】82分
【分析】求出每個數與標準的差的平均數，再加上80分，就是這五名同學的平均成績.
【詳解】這五名同學的平均成績應為 故答案為：82分．
【點睛】本題考查了有理數的加法運算.多個有理數求平均值，可以采用新數據法.掌握這種計算方法是解題的關鍵.
變式2．（2023·重慶·七年級統考期中）現有甲、乙兩支同樣的溫度計，將它們按如圖位置放置，如果向左移動甲溫度計，使其度數12與乙溫度計的度數對齊，那么此時乙溫度計與甲溫度計數對齊的度數是____________．
【答案】10
【分析】先根據度數12到度數共有16個單位長度，再根據度數12正對著乙溫度計的度數，即可得出答案．
【詳解】∵度數12到度數共有16個單位長度，∵度數12正對著乙溫度計的度數，
∴甲溫度計的度數正對著乙溫度計的度數是；故答案為：10．
【點睛】本題考查了有理數的加法的應用，解題關鍵是掌握溫度計上點的特點．
變式3．（23-24七年級上·江蘇南通·期末）一天，王女士到某辦公樓辦事，假定乘電梯向上一層記為，向下一層記為，電樓上下層數依次錄如下（單位層）：．
(1)請問王女士最后在幾層？(2)該大樓，每層高．電梯每上（或下）零耗電千瓦時，請你計算，她乘電梯辦事，電梯需要耗電多少千瓦時？
【答案】(1)王女士最后停在1樓(2)她辦事時電梯需要耗電千瓦時
【分析】本題考查有理數的加減法運算的應用和絕對值的應用，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．
（1）根據題意將數據相加起來即可求解；
（2）將所有數據加絕對值進行相加即可求解，再結合題意進行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意可得，
答：王女士最后回到了原出發點，即1樓位置．
（2）解：由題意可得，
（層），
（千瓦時）
答：耗電千瓦時．
考點5、有理數加法的綜合運用（幻方問題）
【解題方法】利用幻方和相等建立等量關系或直接幻方和相等的性質解題即可。
例1．（23-24七年級上·安徽·期末）如圖是根據幻方改編的“幻圓”游戲，將，，，，，，分別填入圖中的圓圈內，使橫、豎以及內外兩圈上的4個數字之和都相等，已知圖中、⊙分別表示一個數，則的值為（ ）
A． B．1 C．或4 D．或1
【答案】D
【分析】由于八個數的和是，所以需滿足兩個圈的和是，橫、豎的和也是．列等式可得結論．
【詳解】解：設小圈上的數為，空白處為c；大圈上的數為，空白處為d
∵橫、豎以及內外兩圈上的4個數字之和都相等，
∴兩個圈的和是，橫、豎的和也是，
則，得
∵內圈的數和是
，得，
∵一共八個數，，，，，，
∴或者
∵當時，，則
當時，，則，
∴的值為或 故選：D．
【點睛】本題考查了有理數的加法．解決本題的關鍵是知道橫豎兩個圈的和都是．
例2．（23-24七年級上·山西臨汾·期中）閱讀下面材料，并完成相應任務．
幻方
相傳大禹治水時，洛水中出現了一只神龜，其背上有美妙的圖案，史稱“洛書”．用現在的數字翻譯出來，就是三階幻方．其每行、每列、每條對角線上的數字之和都相等，這個和叫做幻和，正中間的那個數叫做中心數，且幻和恰好等于中心數的3倍．如圖1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所組成的一個三階幻方，其幻和為15，中心數為5．

(1)請在圖2的空格中填上合適的數，使其構成一個三階幻方；
(2)請將，3，5，7，9這八個數分別填入圖3的空格中，使其構成一個三階幻方．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）根據三個數的和為，依次列式計算即可求解；
（2）先將已知的9個數求和，再除以3即可求出每行、每列、每條對角線上的三個數之和，根據幻方的特點可知，已知的從小到大的排列的9個數中，居于中間位置的數填在幻方的正中心的格子中，并且這列數中最大的數與最小的數必在一起，據此填表即可．
【詳解】（1）解：如圖：
；
（2）解：，
即幻方中，每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于6，
根據幻方的特點可知：從小到大的排列的9個數中，居于中間位置的數填在幻方的正中心的格子中，并且這列數中最大的數與最小的數必在一起，
即三階幻方如下：
．
【點睛】本題考查了有理數的加法，根據表格，先求出三個數的和是解題的關鍵，也是本題的突破口．
變式1．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）幻方的歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”，把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方，三階幻方的每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，如圖是另一個三階幻方，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【分析】本題主要考查了有理數的加減法以及出三元一次方程的音樂，根據題意出三元一次方程以及整體思想是解題關鍵．
如圖：根據題中給出的三階幻方的每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，即可列出三元一次方程，然后變形即可解答．
【詳解】解：∵三階幻方的每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，
∴如圖可得：
即．故選D．
變式2．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）愛動腦筋的小明同學設計了如圖所示的“幻方”游戲圖，將1，，3，，5，，7，分別填入圖中的圓圈內，使得橫、豎以及內外兩個正方形的4個數字之和都相等，他已經將、5、7、這四個數填入了圓圈，則圖中的值為 ．
【答案】或
【分析】本題考查有理數的加法，根據,且橫、豎以及內外兩圈上的4個數字之和都相等，得出橫、豎以及內外兩圈上的4個數字之和都是，設小圈上的數為c，大圈上的數為d，得出，，，，進而分情況得出a的值，然后計算即可.
【詳解】解：設小圈上的數為c，大圈上的數為d，
∵，且橫、豎以及內外兩圈上的4個數字之和都相等，
∴內外兩個圈的4個數字之和都是，橫、豎的4個數字之和也是，
則，得，
，得，
，，
當時，，，
當時，，，
故答案為：或.
考點6、有理數加法的綜合運用（新定義）
【解題方法】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯系起來，利用已有的知識經驗來解決問題.
例1．（2023·河北石家莊·七年級統考期末）對于一個非整數的有理數（為整數），我們規定：表示不大于的最大整數，表示不小于的最小整數，表示最接近的整數．例如，，，．則使成立的的取值范圍為（ ）
A． B．
C．且 D．以上答案都不對
【答案】A
【分析】根據選項的特點，選擇特殊的值代入，然后利用排除法求解即可．
【詳解】解：取，，，
∴，不符合題意，排除B、C；
取，，， ∴，符合題意，
∵ 故選：A．
【點睛】題目主要考查有理數的加法運算，理解新定義的運算是解題關鍵．
例2．（2022秋·北京通州·七年級統考期中）用符號表示a，b兩個有理數中的較大的數，用符號表示a，b兩個有理數中的較小的數，則的值為________．
【答案】
【分析】先根據新符號的定義化簡所求式子，再計算有理數的加法即可得．
【詳解】解：．故答案為：．
【點睛】本題考查了有理數的加法，掌握理解新符號的定義是解題關鍵．
變式1．（2022秋·重慶·七年級校考期中）對有理數a、b定義新運算如下：，則_________．
【答案】/
【分析】根據，用3的相反數加上的倒數，求出的值，進而求出
的值即可．
【詳解】解：∵，∴，
∴；故答案為：；
【點睛】此題主要考查了有理數的混合運算，解答此題的關鍵是弄清楚運算“”的運算方法．
變式2．（2022秋·七年級單元測試）設表示不超過的最大整數，計算：______．
【答案】3
【分析】根據題中所給新定義運算可進行求解．
【詳解】解：∵表示不超過的最大整數，
∴，∴；故答案為3．
【點睛】本題主要考查有理數的加法，熟練掌握有理數的加法運算是解題的關鍵．
變式3．（2022秋·重慶七年級課時練習）古代埃及人在進行分數運算時，只使用分子是1的分數，因此這種分數也叫做埃及分數，我們注意到，某些真分數恰好可以寫成兩個埃及分數的和，例如：，則寫成兩個埃及分數的和的形式為為= ___________．
【答案】
【分析】根據題目給出的埃及分數的定義，即可解答．
【詳解】解：∵只使用分子是1的分數，因此這種分數也叫做埃及分數，
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了有理數的加法，讀懂題目，明確埃及分數的定義是解決本題的關鍵．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級上·貴州銅仁·階段練習）已知兩個有理數，那么a+b與a，必定是（ ）
A． B． C． D．以上都不對
【答案】D
【分析】根據有理數加減法即可判斷每個選項是否正確．
【詳解】解：當時，，故A選項錯誤；
當時，，故B選項錯誤；
當，時，，此時，故C選項錯誤，故選：D．
【點睛】本題考查有理數的加減運算和大小比較，注意：和可能會比加數小．
2．（2024七年級上·廣東·專題練習）下列說法正確的是（　　）
A．三個有理數相加和一定大于每個加數 B．三個非零有理數相加，和可能等于零
C．兩個有理數和為負數時，這兩個數都是負數 D．兩個負數相加，把絕對值相加
【答案】B
【分析】通過舉例子結合有理數的加法運算法則逐一分析各選項即可．
【詳解】解：如
∴三個有理數相加和一定大于每個加數是不正確的描述，故A不符合題意；如
∴三個非零有理數相加，和可能等于零是正確的描述，故B符合題意；如
∴兩個有理數和為負數時，這兩個數都是負數是不準確的描述，故C不符合題意；
兩個負數相加，取與加數相同的負號，再把絕對值相加，原來的描述是錯誤的，故D不符合題意；
故選B
【點睛】本題考查的是有理數的加法運算的理解，運算法則為：同號的兩數相加，取與加數相同的正負號，再把絕對值相加，絕對值不相等的異號的兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，再用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數的兩個數相加得0，0與一個數相加仍得這個數；掌握與理解法則是解本題關鍵．
3．（23-24七年級上·浙江·期末）計算：的結果是（ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】A
【分析】本題考查了有理數的加法運算，注意計算的準確性即可．
【詳解】解：，故選：A
4．（2024·廣東·二模）甲地的平均海拔為，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了有理數的加法，理解題意，正確列出式子是解答本題的關鍵．
根據題意，甲地的平均海拔為，乙地平均海拔比甲地高，則乙地的平均海拔為，由此得到答案．
【詳解】解：∵甲地的平均海拔為，乙地平均海拔比甲地高，
∴乙地的平均海拔為．故選：B．
5．（22-23七年級上·河北石家莊·階段練習）魏晉時期的數學家劉徽在其著作《九章算術》中用不同顏色的算籌（小棍形狀的記數工具）分別表示正數和負數（白色為正，灰色為負），圖1表示的是的計算過程，則圖2表示的計算過程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了正數和負數，數學常識，本題是閱讀型題目，理解圖中的含義并熟練應用是解題的關鍵．依據題意寫出算式即可．
【詳解】解：根據題意，圖2表示的計算過程是：；故選：B．
6．（23-24七年級上·河北邢臺·期末）是應用了（ ）
A．加法交換律 B．加法結合律 C．分配律 D．移項
【答案】A
【分析】根據題意結合運算律即可得到答案，此題考查了加法交換律，．
【詳解】解：是應用了加法交換律，故選：A
7．（23-24七年級上·河北廊坊·階段練習）關于“三個有理數的和為”這個話題，數學活動小組成員甲、乙、丙、丁四位同學發表了下列看法：甲：這三個有理數可能都是；乙：這三個數中最多有兩個正數；丙：這三個數中最少有兩個數是負數；丁：這三個有理數是互為相反數．則正確的看法是（ ）
A．甲、乙、丙、丁 B．甲、乙、丙 C．甲、乙 D．乙、丙、丁
【答案】C
【分析】本題考查了有理數的加法，相反數的定義，熟練掌握有理數的加法法則是解題的關鍵．
根據有理數的加法，相反數的定義推出所有情況，即可得出答案．
【詳解】解：若三個有理數的和為，則：情況一：這三個有理數都是；
情況二：這三個有理數，一個正數，一個負數，一個，且正數的絕對值等于負數的絕對值，即這三個有理數有一個是，另外兩個數互為相反數；
情況三：這三個有理數，兩個正數，一個負數，且負數的絕對值等于兩個正數之和；
情況四：這三個有理數，一個正數，兩個負數，且兩個負數的絕對值之和等于正數；
綜上，甲、乙說法正確；故選：C．
8．（23-24七年級上·山東臨沂·階段練習）下列變形，運用加法運算律正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用加法交換律及結合律判斷即可得到結果．
【詳解】解：A、，故A錯誤；
B、，故B正確；
C、，故C錯誤；
D、，故D錯誤．故選：B．
【點睛】此題考查了有理數的加法運算律，熟練掌握加法運算律是解本題的關鍵．
9.（2023·山東·七年級期末）實際測量一座山的高度時，可在若干個觀測點中測量每兩個相鄰的可視觀測點的相對高度，然后用這些相對高度計算出山的高度．下表是某次測量數據的部分記錄（用表示觀測點A相對觀測點C的高度），根據這次測量的數據，可得觀測點A相對觀測點B的高度是（ ）
100米 80米 米 50米 米 20米
A．米 B．240米 C．390米 D．210米
【答案】B
【分析】根據表格信息，利用有理數的加法運算法則進行計算．
【詳解】解：由表可知：（米），（米），（米），（米），（米），（米），
∴（米）．
故選：B．
【點睛】本題考查有理數加法的應用，解題的關鍵是掌握有理數的加法運算法則．
10．（23-24七年級上·江蘇南通·期末）如圖，數軸上點表示的數分別是，且滿足，則下列各式的值一定是正數的是（ ）
A．a B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了數軸，正負數，根據數軸可得，再結合可得出一定是正數，解題的關鍵是能根據和確定的符號．
【詳解】解：由數軸可得：，
，一定是正數，故選：B．
11．（2023秋·浙江紹興·七年級統考期末）如圖，數軸上依次有，，，，五個點，其中，，三點所表示的數分別為，，，且．如果有，，，那么該數軸原點的位置應該在（　　）
A．點在線段（不包括端點）上 B．點在線段（不包括端點）上
C．點在線段（不包括端點）上 D．點在線段（不包括端點）上
【答案】C
【分析】根據有理數的加法法則以及數軸上的點進行判斷即可求解．
【詳解】解：依題意，，，，
∴同為負號，異號，∴，∴原點在之間，
∵，∴的絕對值大于的絕對值，即點到原點的距離大于到原點的距離
∴該數軸原點的位置應該在點在線段（不包括端點）上，故選：C．
【點睛】本題考查了有理數的加法法則以及數軸上的點，絕對值的意義，數形結合是解題的關鍵．
12．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）同學們都熟悉“幻方”游戲，現將“幻方”游戲稍作改進變成“幻圓”游戲，將，8，，12，，16，，20分別填入圖中的圓圈內，使橫、豎以及內外兩個正方形頂點處圈內4個數字之和都相等，則的值為（ ）
A．或 B．或10 C．2或 D．2或
【答案】B
【分析】本題考查有理數的加法，熟練掌握有理數的加法法則，能夠根據所給的條件推理出b、d的可能取值是解題的關鍵．根據所給數的特征，可知橫、豎、外圈、內圈的4個數之和為4，再由已經填寫的數，確定或，從而求出d的值，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴橫、豎、外圈、內圈的4個數之和為4，
∴，∴，
∵，，
∴，，∴或，
當時，，此時，
當時，，此時．
∴的值為或10．故選：B．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
13．（2023·山東濟寧·七年級統考期末）下列是運用有理數加法法則計算思考、計算過程的敘述：①和2的絕對值分別為5和2；②的絕對值5較大；2的絕對值2較小
③是異號兩數相加；④結果的絕對值是用得到；⑤計算結果為；
⑥結果的符號是取的符號－－負號；請按運用法則思考、計算過程的先后順序排序（只寫序號）：______．
【答案】③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤
【分析】根據有理數的加法法則，按照有理數加法法則的計算順序逐個判斷即可.
【詳解】解：根據有理數加法法則：應該先看兩數符號是否相同，故應先③，
若符號不同，再看兩數的絕對值，故再①，然后再比較絕對值的大小，故再②，
然后再確定結果的絕對值與結果的符號，故再④⑥或⑥④；最后得出結果，故最后為⑤；
綜上分析可知，計算過程的先后順序排序為③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤．
故答案為：③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤．
【點睛】本題考查有理數的加法法則，熟練掌握并理解加法法則的含義是解題的關鍵．
14．（2023·廣東七年級期中）（1）若，，，則____
（2）若，，，則____
【答案】
【分析】（1）根據有理數的加法法則進行計算即可求解；同號兩數相加，取與加數相同的符號，并把絕對值相加．（2）根據有理數的加法法則進行計算即可求解．同號兩數相加，取與加數相同的符號，并把絕對值相加．
【詳解】（1）若，，，則，故答案為：．
（2）若，，，則，故答案為：．
【點睛】本題考查了有理數的加法，熟練掌握有理數的加法法則是解題的關鍵．
15．（2023秋·北京平谷·七年級統考期末）黑板上寫著7個數，分別為：，a，1，13，b，0，，它們的和為，若每次從中任意擦除兩個數，同時寫上一個新數（新數為所擦除的兩個數的和加上1），這樣操作若干次，直至黑板上只剩下一個數，則所剩的這個數是____________．
【答案】
【分析】操作一次，黑板上的數字個數減少1個，數字總和增加1．經過次操作，剩下的一個數是，據此解答即可．
【詳解】解：∵每次從中任意擦除兩個數，同時寫上一個新數（新數為所擦除的兩個數的和加1），
∴操作一次，黑板上的數字個數減少1個，數字總和增加1，（次），
∴剩下的這個數是．答：剩下的這個數是，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了有理數的加法，理解“黑板上的數字個數減少1個，數字總和增加1”是解題的關鍵．
16．（23-24七年級上·江蘇連云港·階段練習）計算 ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數的加法運算以及加法運算律，根據加法運算律添加大括號，簡便計算即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
17．（23-24七年級上·重慶·階段練習）用簡便方法計算： ．
【答案】
【分析】原式變形后，計算即可得到結果．
【詳解】解：原式
，
故答案為：．
【點睛】此題考查了有理數的加法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
18．（23-24七年級上·福建廈門·期中）小麗在4張同樣的紙片上各寫了一個正整數，從中隨機抽取2張，并將它們上面的數相加．重復這樣做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一個數，并且這4個數都能取到．猜猜看，小麗在4張紙片上寫的數字是 ．
【答案】3，4，4，6或3，4，5，5
【分析】此題主要考查了應用類問題，利用分類討論得出是解題關鍵．首先假設這四個數字分別為：A，B，C，D且，進而得出符合題意的答案．
【詳解】解：四個數只能是3，4，4，6或3，4，5，5，
理由：設這四個數字分別為：A，B，C，D且，
故，，
（1）當時，得，
∵，∴，不合題意舍去，所以，
（2）當時，得，
（I）當時，，不合題意舍去，
（II）當時，∵，∴，不合題意舍去，
（2）當時，得，
（I）當時，，
（II）當時，∵，∴，
故綜上所述：這四個數只能是：3，4，4，6或3，4，5，5．
故答案為：3，4，4，6或3，4，5，5．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023七年級上·江蘇·專題練習）計算：
(1)；(2)．
【答案】(1)65(2)
【詳解】（1）
；
（2）
．
【點睛】
此題考查了有理數的加法計算，正確掌握有理數加法計算法則是解題的關鍵．
20．（23-24七年級上·廣東廣州·階段練習）計算
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)0(4)0
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【點睛】本題考查有理數的加法運算，化簡絕對值．掌握有理數的加法運算法則和運算律是解題關鍵．
21．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）我國某次軍事演習中，一艘核潛艇的初始位置在海平面下，規定核潛艇上升記為“＋”，下降記為“－”，下面是這艘核潛艇在某段時間內的運動情況：．（單位：）
(1)最后這艘核潛艇停留的位置在海平面下多少米？
(2)如果這艘核潛艇每上升或下降，核動力裝置所提供的能量相當于汽油燃燒所產生的能量，那么在這艘核潛艇運動的這段時間內，核潛艇動力裝置提供的能量相當于多少升汽油燃燒所產生的能量？
【答案】(1)615(2)5325
【分析】本題考查正負數的意義和有理數加法的實際應用．熟練掌握正負數的意義和有理數加法法則，是解題的關鍵．
（1）將所有數據相加，根據最終結果確定核潛艇處在什么位置；
（2）將所有數據的絕對值相加，再即可得解．
【詳解】（1）解：
；
答：核潛艇處在海平面下米位置；
（2）解：
(升)；
答：在這一時段內核動力裝置所提供的能量相當于升汽油燃燒所產生的能量．
22．（23-24七年級上·四川成都·階段練習）閱讀計算的方法，再用這種方法計算個小題．
【解析】
原式
，
上面這種解題方法叫做拆項法．
(1)計算：；(2)計算．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（）先將各帶分數拆分成一個整數與真分數的和，再利用有理數加法的交換律與結合律進行計算即可得；（）先將各帶分數拆分成一個整數與真分數的和，再利用有理數加法的交換律與結合律進行計算即可得；本題考查了有理數加法的運算法則和運算律，熟練掌握運算法則和運算律是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
．
23．（2024·河南信陽·七年級校考期中）對于一個數x，我們用表示小于x的最大整數，例如，．(1)填空：__________；__________；___________．
(2)若a，b都是整數，且和互為相反數，求的相反數．
【答案】(1)9，，0
(2)的相反數為
【分析】（1）根據的定義求得即可；
（2）根據的定義求得，可得結論．
【詳解】（1），，
故答案為：9，，0；
（2），
與互為相反數
∴
∴
∴的相反數為．
【點睛】本題考查了有理數的大小比較和相反數的定義，根據的定義確定其結果是解題的關鍵．
24．（2024·湖南·七年級期中）探究規律，完成相關題目：對非零數定義一種新的運算，叫※（宏）運算．
下列是一些按照※（宏）運算的運算法則進行運算的算式；；；；．
(1)我們在研究有理數的加法運算時，既要考慮符號，又要考慮絕對值．請你類比有理數加法的運算法則，歸納※（宏）運算的運算法則；同號兩數進行※（宏）運算時 ，異號兩數進行※（宏）運算時 ．
(2)計算： ．（括號的作用與它在有理數運算中的作用一致）
(3)我們知道加法有交換律和結合律，請你判斷交換律和結合律在※（宏）運算中是否適用，如果適用只需作出判斷，如果不適用，舉反例說明．（舉一個例子即可）
【答案】(1)同號得正，并把它們的絕對值相加；異號得負，并用較大的絕對值減去較小的絕對值
(2) (3)加法交換律適用，加法結合律不適用，例子見解析
【分析】（1）根據題目中的例子可以總結出※（宏）運算的運算法則；
（2）根據（1）中的結論可以解答本題，注意運算順序；
（3）根據（1）中的結論分別采用加法交換律和結合律計算可以解答本題．
【詳解】（1）解：由題意可得，
歸納※（宏運算的運算法則：同號兩數進行※（宏運算時，同號得正，并把它們的絕對值相加，異號兩數進行※（宏運算時，異號得負，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；
故答案為：同號得正，并把它們的絕對值相加；異號得負，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．
（2）解：，，，故答案為：；
（3）解：，．加法交換律適用；
，，
而，加法結合律不適用．
【點睛】本題考查有理數的加法運算，解答本題的關鍵是明確有理數的加法運算的計算方法．
25．（22-23七年級上·遼寧撫順·階段練習）如圖是3×3的三階幻方，將2、4、6、8、10、12、14、16、18這九個數分別填入下列兩個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等．
(1)方格正中間位置的數是_______．(2)將兩個幻方補充完整．
【答案】(1)10(2)見解析
【分析】（1）根據每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，可得三個數之和等于正中間位置數的3倍，然后求解即可；（2）根據幻方中數字的規律將兩個幻方補充完整即可．
【詳解】（1）∵每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，且等于正中間位置數的3倍，
∴除正中間以外的兩個數的和是正中間位置的數的2倍，
∵第一個方格斜對角的兩個數為8和12，和為20，
∴正中間位置的數是10，
∵第二個方格中間上下兩個數為2和18，和為20，
∴正中間位置的數是10，故答案為：10．
（2）將兩個幻方補充完整如下：
．
【點睛】此題考查了三階幻方的知識，有理數的加減法的應用，解題的關鍵是正確運用幻方中的規律．
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專題2.1.有理數的加法
1．理解有理數加法的意義，掌握有理數加法法則，正確進行有理數加法運算；
2．理解有理數加法運算律，并能運用運算律簡化運算；
3．經歷探索有理數加法法則的過程，理解有理數加法法則的合理性；
4. 感知數學知識源于生活，并應用于生活，滲透“化歸”等數學思想。
模塊1：知識梳理 1
模塊2：核心考點 2
考點1、有理數加法法則的辨析 2
考點2、有理數的加法運算 3
考點3、有理數加法的運算律 5
考點4、有理數加法的實際應用 9
考點5、有理數加法的綜合運用（幻方問題） 12
考點6、有理數加法的綜合運用（新定義） 16
模塊3：能力培優 18
1.定義：把兩個（或多個）有理數相加的過程叫有理數的加法。（兩個有理數相加，和是一個有理數）。
2.法則：（1）同號兩數相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值的和；（2）絕對值不相等的異號兩數相加，和取絕對值較大的加數的符號，且和的絕對值等于加數中絕對值較大者與較小者的差；互為相反數的兩個數相加得0；（3）一個數同0相加，仍得這個數．
注意：1）有理數的運算分兩步走，第一步，確定符號，第二步，確定絕對值；2）計算的時候要看清符號，同時要熟練掌握計算法則；
3.運算律：
1）加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變；即a+b＝b+a。
2）加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變；即(a+b)+c＝a+(b+c)。
注意：1）利用加法交換律、結合律，可以使運算簡化，認識運算律對于理解運算有很重要的意義。
2）注意兩種運算律的正用和反用，以及混合運用。
考點1、有理數加法法則的辨析
【解題方法】有理數加法的法則：①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數的兩個數相加得0；③一個數同0相加，仍得這個數．
例1．（2023·重慶·七年級校考期中）下列說法中正確的是（ ）
A．兩數相加，其和大于任何一個加數 B．異號兩數相加，其和小于任何一個加數
C．絕對值相等的異號兩數相加，其和一定為零D．兩數相加，取較小一個加數的符號作為結果的符號
變式1．（23-24七年級上·廣東惠州·階段練習）如果，那么，，三個數中（ ）
A．有一個數必為 B．至少有一個負數 C．有且只有一個負數 D．至少有兩個負數
變式2．（23-24七年級上·山東淄博·階段練習）如果兩個數的和為負數，那么這兩個數（ ）
A．一個為正數，一個為負數 B．同為負數
C．一個為零，一個為負數 D．至少一個為負數
變式3．（2023·四川樂山·七年級統考期中）已知兩數的和為正，下面的判斷中，正確的是（ ）
A．兩個加數必須都為正數 B．兩個加數都為負數
C．兩個加數中至少有一個正數 D．兩個加數必須一正，一負
考點2、有理數的加法運算
【解題方法】根據有理數加法的法則計算即可。
例1．（23-24七年級上·浙江·月考）的符號取 號，的符號取 號，的符號取 號．
例2．（23-24七年級上·陜西咸陽·階段練習）計算下列各題
(1) (2)
變式1．（2023·山東濱州·模擬預測）中國人最先使用負數，魏晉時期的數學家劉徽在“正負術”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數工具）正放表示正數，斜放表示負數．如圖，根據劉徽的這種表示法，圖可列式計算為，由此可推算圖中計算所得的結果為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023·河北石家莊·統考二模）若要等式4成立，“”中應填的運算符號是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習）計算：(1)；(2)．
考點3、有理數加法的運算律
【解題方法】有理數常見簡算方法：①相反數結合——抵消；②同號結合——符號易確定；③同分母結合法——無需通分（分母倍數的也可考慮）；④湊整數；⑤同行結合法——分數拆分為整數和分數。
例1．（2024·廣東七年級課時練習）計算：
(1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43）
(3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4）
(5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4）
例2．（23-24七年級上·河南鄭州·期中）閱讀下面文字：
對于可以如下計算：
原式
______
______
______．
上面這種方法叫拆項法．
(1)請補全以上計算過程；(2)類比上面的方法計算：．
變式1．（23-24七年級上·山東淄博·期中），上面的計算所運用的運算律是（ ）
A．交換律 B．結合律
C．先用結合律，再用交換律 D．先用交換律，再用結合律
變式2．（23-24七年級上·江蘇宿遷·階段練習）下列變形，運用加法運算律錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2023七年級上·江蘇·專題練習）利用運算律計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
考點4、有理數加法的實際應用
【解題方法】有理數運算相關的實際應用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發生改變。能夠熟練的分析應用題的數量關系，找準解題的方法和技巧。
例1．（23-24七年級上·福建漳州·期末）王叔叔10月1日9：00微信零錢還有83.18元，下圖是王叔叔10月1日9：00至5日9：00的微信賬單，其中正數表示收款，負數表示付款，王叔叔于10月5日9：00掃二維碼付款給超市后的微信零錢為（ ）
賬單 10月1日09：24微信轉賬 10月2日16：36掃碼付款給肉食店 10月4日10：20微信紅包 10月5日9：00掃碼付款給超市
A．175 B．175.36 C．185 D．210.36
例2．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）某日小明在一條南北方向的公路上跑步．他從A地出發，每隔記錄下自己的跑步情況（向南為正方向，單位：m）：，1100，，1010，，988．
(1)后他停下來休息，此時他在A地的什么方向？距離A地多遠？
(2)小明休息完返回A地，小明共跑了多少米？
例3．（2024·北京通州·一模）某公司籌備一場展覽會，現列出籌備展覽會的各項工作．具體籌備工作包含以下內容（見下表）．其中，“前期工作”是指相對于某項工作，排在該工作之前需完成的工作稱為該工作的前期工作．
工作代碼 工作名稱 持續時間（天） 前期工作
A 張貼海報、收集作品 7 無
B 購買展覽用品 3 無
C 打掃展廳 1 無
D 展廳裝飾 3 C
E 展位設計與布置 3 ABD
F 展品布置 2 E
G 宣傳語與環境布置 2 ABD
H 展前檢查 1 FG
（1）在前期工作結束后，完成“展廳裝飾 ”最短需要 天；
（2）完成本次展覽會所有籌備工作的最短總工期需要 天．
變式1．（2023·湖北·七年級校考階段練習）某次數學考試成績以80分為標準，高于80分記為“”，低于80分記為“”，例如：78分記為“”，81分記為“”，將某小組五名同學的成績簡記為，，，，0，則這五名同學的平均成績應為 __．
變式2．（2023·重慶·七年級統考期中）現有甲、乙兩支同樣的溫度計，將它們按如圖位置放置，如果向左移動甲溫度計，使其度數12與乙溫度計的度數對齊，那么此時乙溫度計與甲溫度計數對齊的度數是____________．
變式3．（23-24七年級上·江蘇南通·期末）一天，王女士到某辦公樓辦事，假定乘電梯向上一層記為，向下一層記為，電樓上下層數依次錄如下（單位層）：．
(1)請問王女士最后在幾層？(2)該大樓，每層高．電梯每上（或下）零耗電千瓦時，請你計算，她乘電梯辦事，電梯需要耗電多少千瓦時？
考點5、有理數加法的綜合運用（幻方問題）
【解題方法】利用幻方和相等建立等量關系或直接幻方和相等的性質解題即可。
例1．（23-24七年級上·安徽·期末）如圖是根據幻方改編的“幻圓”游戲，將，，，，，，分別填入圖中的圓圈內，使橫、豎以及內外兩圈上的4個數字之和都相等，已知圖中、⊙分別表示一個數，則的值為（ ）
A． B．1 C．或4 D．或1
例2．（23-24七年級上·山西臨汾·期中）閱讀下面材料，并完成相應任務．
幻方
相傳大禹治水時，洛水中出現了一只神龜，其背上有美妙的圖案，史稱“洛書”．用現在的數字翻譯出來，就是三階幻方．其每行、每列、每條對角線上的數字之和都相等，這個和叫做幻和，正中間的那個數叫做中心數，且幻和恰好等于中心數的3倍．如圖1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所組成的一個三階幻方，其幻和為15，中心數為5．

(1)請在圖2的空格中填上合適的數，使其構成一個三階幻方；
(2)請將，3，5，7，9這八個數分別填入圖3的空格中，使其構成一個三階幻方．
變式1．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）幻方的歷史悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”，把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方，三階幻方的每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，如圖是另一個三階幻方，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
變式2．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）愛動腦筋的小明同學設計了如圖所示的“幻方”游戲圖，將1，，3，，5，，7，分別填入圖中的圓圈內，使得橫、豎以及內外兩個正方形的4個數字之和都相等，他已經將、5、7、這四個數填入了圓圈，則圖中的值為 ．
考點6、有理數加法的綜合運用（新定義）
【解題方法】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯系起來，利用已有的知識經驗來解決問題.
例1．（2023·河北石家莊·七年級統考期末）對于一個非整數的有理數（為整數），我們規定：表示不大于的最大整數，表示不小于的最小整數，表示最接近的整數．例如，，，．則使成立的的取值范圍為（ ）
A． B． C．且 D．以上答案都不對
例2．（2022秋·北京通州·七年級統考期中）用符號表示a，b兩個有理數中的較大的數，用符號表示a，b兩個有理數中的較小的數，則的值為________．
變式1．（2022秋·重慶·七年級校考期中）對有理數a、b定義新運算如下：，則_________．
變式2．（2022秋·七年級單元測試）設表示不超過的最大整數，計算：______．
變式3．（2022秋·重慶七年級課時練習）古代埃及人在進行分數運算時，只使用分子是1的分數，因此這種分數也叫做埃及分數，我們注意到，某些真分數恰好可以寫成兩個埃及分數的和，例如：，則寫成兩個埃及分數的和的形式為為= ___________．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級上·貴州銅仁·階段練習）已知兩個有理數，那么a+b與a，必定是（ ）
A． B． C． D．以上都不對
2．（2024七年級上·廣東·專題練習）下列說法正確的是（　　）
A．三個有理數相加和一定大于每個加數 B．三個非零有理數相加，和可能等于零
C．兩個有理數和為負數時，這兩個數都是負數 D．兩個負數相加，把絕對值相加
3．（23-24七年級上·浙江·期末）計算：的結果是（ ）
A． B． C．1 D．9
4．（2024·廣東·二模）甲地的平均海拔為，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔為（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23七年級上·河北石家莊·階段練習）魏晉時期的數學家劉徽在其著作《九章算術》中用不同顏色的算籌（小棍形狀的記數工具）分別表示正數和負數（白色為正，灰色為負），圖1表示的是的計算過程，則圖2表示的計算過程是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年級上·河北邢臺·期末）是應用了（ ）
A．加法交換律 B．加法結合律 C．分配律 D．移項
7．（23-24七年級上·河北廊坊·階段練習）關于“三個有理數的和為”這個話題，數學活動小組成員甲、乙、丙、丁四位同學發表了下列看法：甲：這三個有理數可能都是；乙：這三個數中最多有兩個正數；丙：這三個數中最少有兩個數是負數；丁：這三個有理數是互為相反數．則正確的看法是（ ）
A．甲、乙、丙、丁 B．甲、乙、丙 C．甲、乙 D．乙、丙、丁
8．（23-24七年級上·山東臨沂·階段練習）下列變形，運用加法運算律正確的是（　　）
A． B．
C． D．
9.（2023·山東·七年級期末）實際測量一座山的高度時，可在若干個觀測點中測量每兩個相鄰的可視觀測點的相對高度，然后用這些相對高度計算出山的高度．下表是某次測量數據的部分記錄（用表示觀測點A相對觀測點C的高度），根據這次測量的數據，可得觀測點A相對觀測點B的高度是（ ）
100米 80米 米 50米 米 20米
A．米 B．240米 C．390米 D．210米
10．（23-24七年級上·江蘇南通·期末）如圖，數軸上點表示的數分別是，且滿足，則下列各式的值一定是正數的是（ ）
A．a B． C． D．
11．（2023秋·浙江紹興·七年級統考期末）如圖，數軸上依次有，，，，五個點，其中，，三點所表示的數分別為，，，且．如果有，，，那么該數軸原點的位置應該在（　　）
A．點在線段（不包括端點）上 B．點在線段（不包括端點）上
C．點在線段（不包括端點）上 D．點在線段（不包括端點）上
12．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）同學們都熟悉“幻方”游戲，現將“幻方”游戲稍作改進變成“幻圓”游戲，將，8，，12，，16，，20分別填入圖中的圓圈內，使橫、豎以及內外兩個正方形頂點處圈內4個數字之和都相等，則的值為（ ）
A．或 B．或10 C．2或 D．2或
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
13．（2023·山東濟寧·七年級統考期末）下列是運用有理數加法法則計算思考、計算過程的敘述：①和2的絕對值分別為5和2；②的絕對值5較大；2的絕對值2較小
③是異號兩數相加；④結果的絕對值是用得到；⑤計算結果為；
⑥結果的符號是取的符號－－負號；請按運用法則思考、計算過程的先后順序排序（只寫序號）：______．
14．（2023·廣東七年級期中）（1）若，，，則____
（2）若，，，則____
15．（2023秋·北京平谷·七年級統考期末）黑板上寫著7個數，分別為：，a，1，13，b，0，，它們的和為，若每次從中任意擦除兩個數，同時寫上一個新數（新數為所擦除的兩個數的和加上1），這樣操作若干次，直至黑板上只剩下一個數，則所剩的這個數是____________．
16．（23-24七年級上·江蘇連云港·階段練習）計算 ．
17．（23-24七年級上·重慶·階段練習）用簡便方法計算： ．
18．（23-24七年級上·福建廈門·期中）小麗在4張同樣的紙片上各寫了一個正整數，從中隨機抽取2張，并將它們上面的數相加．重復這樣做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一個數，并且這4個數都能取到．猜猜看，小麗在4張紙片上寫的數字是 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023七年級上·江蘇·專題練習）計算：
(1)；(2)．
20．（23-24七年級上·廣東廣州·階段練習）計算
(1)； (2)；
(3)； (4)．
21．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）我國某次軍事演習中，一艘核潛艇的初始位置在海平面下，規定核潛艇上升記為“＋”，下降記為“－”，下面是這艘核潛艇在某段時間內的運動情況：．（單位：）
(1)最后這艘核潛艇停留的位置在海平面下多少米？
(2)如果這艘核潛艇每上升或下降，核動力裝置所提供的能量相當于汽油燃燒所產生的能量，那么在這艘核潛艇運動的這段時間內，核潛艇動力裝置提供的能量相當于多少升汽油燃燒所產生的能量？
22．（23-24七年級上·四川成都·階段練習）閱讀計算的方法，再用這種方法計算個小題．
【解析】
原式
，
上面這種解題方法叫做拆項法．
(1)計算：；(2)計算．
23．（2024·河南信陽·七年級校考期中）對于一個數x，我們用表示小于x的最大整數，例如，．(1)填空：__________；__________；___________．
(2)若a，b都是整數，且和互為相反數，求的相反數．
24．（2024·湖南·七年級期中）探究規律，完成相關題目：對非零數定義一種新的運算，叫※（宏）運算．
下列是一些按照※（宏）運算的運算法則進行運算的算式；；；；．
(1)我們在研究有理數的加法運算時，既要考慮符號，又要考慮絕對值．請你類比有理數加法的運算法則，歸納※（宏）運算的運算法則；同號兩數進行※（宏）運算時 ，異號兩數進行※（宏）運算時 ．
(2)計算： ．（括號的作用與它在有理數運算中的作用一致）
(3)我們知道加法有交換律和結合律，請你判斷交換律和結合律在※（宏）運算中是否適用，如果適用只需作出判斷，如果不適用，舉反例說明．（舉一個例子即可）
25．（22-23七年級上·遼寧撫順·階段練習）如圖是3×3的三階幻方，將2、4、6、8、10、12、14、16、18這九個數分別填入下列兩個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等．
(1)方格正中間位置的數是_______．(2)將兩個幻方補充完整．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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