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專題2.2.有理數(shù)的減法
1.掌握有理數(shù)的減法法則，會(huì)將有理數(shù)的減法法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算；
2.會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的加減混合運(yùn)算并解決一些實(shí)際問題；
3.理解省略加號(hào)和括號(hào)的有理數(shù)加減混合運(yùn)算的算式，并會(huì)計(jì)算；
4.在學(xué)習(xí)、探究有理數(shù)減法法則的過程中，體會(huì)“化歸”的數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化應(yīng)用意思。
模塊1：知識(shí)梳理 1
模塊2：核心考點(diǎn) 2
考點(diǎn)1、有理數(shù)減法法則的辨析 2
考點(diǎn)2、有理數(shù)的減法運(yùn)算 3
考點(diǎn)3、有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法 4
考點(diǎn)4、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算 5
考點(diǎn)5、有理數(shù)加減混合運(yùn)算中的簡(jiǎn)便計(jì)算 9
考點(diǎn)6、有理數(shù)加減法混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用 14
考點(diǎn)7、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的新定義 17
模塊3：能力培優(yōu) 20
1. 定義： 已知兩個(gè)數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法。
注意：（1）任意兩個(gè)數(shù)都可以進(jìn)行減法運(yùn)算。
（2） 幾個(gè)有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號(hào)；②數(shù)的絕對(duì)值。
2. 法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即有：。
注意： 將減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，注意同時(shí)進(jìn)行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)。如：
將加減法統(tǒng)一成加法運(yùn)算，適當(dāng)應(yīng)用加法運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算.
3. 有理數(shù)的混合運(yùn)算步驟：
1）根據(jù)有理數(shù)減法法則，將減法全部轉(zhuǎn)化為加法；
2）觀察式子是否可以運(yùn)用加法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算；
3）再根據(jù)有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果。
注意：1）減法轉(zhuǎn)化為加法的時(shí)候注意符號(hào)的改變；2）多利用運(yùn)算律，能使計(jì)算更加簡(jiǎn)便。
4．省略加號(hào)和括號(hào)的有理數(shù)加減混合運(yùn)算的算式
可以把加號(hào)和括號(hào)省略，改寫成幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的形式（利用法則）。
例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
這個(gè)算式可以讀作“負(fù)2、正3、負(fù)5、正4的和”，或讀作“負(fù)2加3加負(fù)5加4”。
考點(diǎn)1、有理數(shù)減法法則的辨析
【解題方法】有理數(shù)減法的法則：有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．
例1．（2023·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù) B．被減數(shù)的絕對(duì)值大于減數(shù)的絕對(duì)值，其差必為正數(shù)
C．零減去一個(gè)有理數(shù)，差一定是負(fù)數(shù) D．兩個(gè)數(shù)的差必小于零
變式1．（2023·廣東·七年級(jí)期末）（多選題）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下面式子中正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2023·廣東·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下面說法中，正確的是（ ）
A．兩個(gè)有理數(shù)的和一定比這兩個(gè)有理數(shù)的差大； B．兩個(gè)有理數(shù)的差一定小于被減數(shù)；
C．零減去一個(gè)有理數(shù)等于這個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)； D．絕對(duì)值相等的兩數(shù)之差為零．
考點(diǎn)2、有理數(shù)的減法運(yùn)算
【解題方法】將減法轉(zhuǎn)化為加法，根據(jù)加法法則計(jì)算即可。
例1．（2023·浙江金華·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列計(jì)算中，不正確的是（ ）
A．（ 6）+（ 4）= 2 B． 9 （ 4）= 5 C．| 9 | + 4 = 13 D． 9 4 = 13
變式1．（2023·浙江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在(－5)－(　　)＝－7中的括號(hào)里應(yīng)填(　　)
A．－12 B．2 C．－2 D．12
變式2．（23-24七年級(jí)上·廣西南寧·期中）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（　　）
A． B． C． D．
考點(diǎn)3、有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法
【解題方法】有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的兩種方法：①先把加減法統(tǒng)一成加法，再省略括號(hào)和加號(hào)；②利用同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)口訣省略括號(hào)和加號(hào)的形式．
例1．（23-24七年級(jí)上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）將式子省略括號(hào)和加號(hào)后變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·河北石家莊·二模）式子有下面兩種讀法；
讀法一：負(fù)，負(fù)，正與負(fù)的和； 讀法二：負(fù)減加減．
則關(guān)于這兩種讀法，下列說法正確的是（ ）
A．只有讀法一正確 B．只有讀法二正確 C．兩種讀法都不正確 D．兩種讀法都正確
變式2．（23-24七年級(jí)上·陜西延安·階段練習(xí)）將式子改寫成省略括號(hào)的形式為( )
A． B． C． D．
考點(diǎn)4、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算
【解題方法】有理數(shù)的混合運(yùn)算步驟：
1）根據(jù)有理數(shù)減法法則，將減法全部轉(zhuǎn)化為加法；
2）觀察式子是否可以運(yùn)用加法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算；
3）根據(jù)有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果。
注意：1）減法轉(zhuǎn)化為加法的時(shí)候注意符號(hào)的改變；2）多利用運(yùn)算律，能使計(jì)算更加簡(jiǎn)便。
例1．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）計(jì)算:
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
變式1．（23-24七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算下列各題
(1)； (2)；
(3)；(4)．
變式2．（23-24七年級(jí)上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）計(jì)算．
(1)； (2)．
(3)； (4)．
考點(diǎn)5、有理數(shù)加減混合運(yùn)算中的簡(jiǎn)便計(jì)算
【解題方法】運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算常見方法：
①相反數(shù)結(jié)合——抵消；②同號(hào)結(jié)合——符號(hào)易確定；③同分母結(jié)合法——無需通分（分母倍數(shù)的也可考慮）；④湊整數(shù)；⑤同行結(jié)合法——分?jǐn)?shù)拆分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)。
例1．（23-24七年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）計(jì)算題（能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算）
(1) (2)
(3) (4)
例2．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）計(jì)算（能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算）：
(1)； (2)；
(3)． (4)．
例3．（2023·廣東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察下列等式
_________
將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：
.
（1）猜想并寫出： ；
（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
① ；
② ；
（3）探究并計(jì)算：．
變式1．（2023·廣西·七年級(jí)月考中）計(jì)算（能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算）：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
變式2.（2024·山東·七年級(jí)期中）計(jì)算（能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算）：
(1)－＋－； (2)－8 721＋53－1 279＋4；
(3)－＋. (4)
變式3．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）用較為簡(jiǎn)便的方法計(jì)算下列各題：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
考點(diǎn)4、有理數(shù)加減法混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用
【解題方法】有理數(shù)運(yùn)算相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發(fā)生改變。能夠熟練的分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)解題的方法和技巧。
例1．（23-24八年級(jí)下·廣東茂名·階段練習(xí)）某年，某河流發(fā)生流域性洪水，將其水位下降記為負(fù)，上漲記為正，甲地和乙地的七日水位變化情況如下表所示（單位；m）
時(shí)間 地區(qū) 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
甲地
乙地
下列說法中正確的是（　　）
A．在第四天時(shí)，乙地的水位達(dá)到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最終水位比初始水位高
C．這七天內(nèi)，甲地的水位變化比乙地小 D．甲地第七天后的最終水位比初始水位低
例2．（23-24九年級(jí)下·北京·階段練習(xí)）小宇計(jì)劃在某外賣網(wǎng)站點(diǎn)如下表所示的菜品．已知每份訂單的配送費(fèi)為3元，商家為了促銷，對(duì)每份訂單的總價(jià)（不含配送費(fèi)）提供滿減優(yōu)惠：滿30元減12元，滿60元減30元，滿100元減45元．如果小宇在購(gòu)買下表中的所有菜品時(shí)，采取適當(dāng)?shù)南掠唵畏绞剑敲此c(diǎn)餐的總費(fèi)用最低可為 元．
菜品 單價(jià)（含包裝費(fèi)） 數(shù)量
水煮牛肉（小） 30元 1
醋溜土豆絲（小） 12元 1
豉汁排骨（小） 30元 1
手撕包菜（小） 12元 1
米飯 3元 2
變式1．（2023秋·河北石家莊·七年級(jí)校考階段練習(xí)）某集團(tuán)公司對(duì)所屬甲、乙兩工廠前5個(gè)月經(jīng)營(yíng)情況記錄如下表所示（其中“”表示盈利，“”表示虧損，單位：萬元），則這5個(gè)月甲廠比乙廠多盈利（　　）萬元
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份
甲廠
乙廠
A．3 B．2.7 C．2.6 D．2.4
變式2．（2024·北京海淀·一模）2019年11月，聯(lián)合國(guó)教科文組織將每年的3月14日定為“國(guó)際數(shù)學(xué)日”，也被許多人稱為“節(jié)”．某校今年“節(jié)”策劃了五個(gè)活動(dòng)，規(guī)則見下圖：
小云參與了所有活動(dòng)．
（1）若小云只挑戰(zhàn)成功一個(gè)，則挑戰(zhàn)成功的活動(dòng)名稱為 ；（2）若小云共挑戰(zhàn)成功兩個(gè)，且她參與的第四個(gè)活動(dòng)成功，則小云最終剩下的“幣”數(shù)量的所有可能取值為 ．
考點(diǎn)7、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的新定義
【解題方法】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識(shí)銜接“新知識(shí)”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對(duì)“新定義”的理解和認(rèn)識(shí)，以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，解題時(shí)需要將“新定義”的知識(shí)與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來，利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來解決問題.
例1．（23-24七年級(jí)上·重慶江津·階段練習(xí)）大家都知道，九點(diǎn)五十五分可以說成十點(diǎn)差五分．這啟發(fā)人們?cè)O(shè)計(jì)了一種新的加減記數(shù)法．比如：9寫成，，198寫成，寫成，7683寫成，；總之，數(shù)字上畫一條杠表示減去它，按這個(gè)方法計(jì)算：= ．
例2．（2023·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)階段練習(xí)）已知表示小于或等于的最大整數(shù)，如：，，．現(xiàn)定義，如，則______________．
變式1．（2023·重慶·七年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀材料尋找共同存在的規(guī)律：有一個(gè)運(yùn)算程序a b＝n可以使（a+c） b＝n+c，a （b+c）＝n﹣2c，如果1 1＝2，那么2020 2020＝_____．
變式2．（2023·貴州·七年級(jí)階段練習(xí)）將n個(gè)互不相同的整數(shù)置于一排，構(gòu)成一個(gè)數(shù)組．在這n個(gè)數(shù)字前任意添加“+”或“﹣”號(hào)，可以得到一個(gè)算式．若運(yùn)算結(jié)果可以為0，我們就將這個(gè)數(shù)組稱為“運(yùn)算平衡”數(shù)組．
（1）數(shù)組1，2，3，4是否是“運(yùn)算平衡”數(shù)組？若是，請(qǐng)?jiān)谝韵聰?shù)組中填上相應(yīng)的符號(hào)，并完成運(yùn)算；
　 　1 　 　2 　 　3 　 　4＝0
（2）若數(shù)組1，4，6，m是“運(yùn)算平衡”數(shù)組，則m的值可以是多少？（至少寫出4個(gè)滿足條件的m的值）
（3）若某“運(yùn)算平衡”數(shù)組中共含有n個(gè)整數(shù)，則這n個(gè)整數(shù)需要具備什么樣的規(guī)律？
全卷共25題 測(cè)試時(shí)間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A．2 B． C．8 D．
2．（2023·浙江杭州·一模）“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”是對(duì)新疆地區(qū)晝夜溫差的真實(shí)寫照．據(jù)統(tǒng)計(jì)，吐魯番三月份某天的最高氣溫是，最低氣溫是，則吐魯番這天的溫差（最高氣溫與最低氣溫的差）為（　　）
A． B． C． D．
3．（2023春·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某海濱浴場(chǎng)某日氣溫變化情況如圖所示，該浴場(chǎng)氣溫在以上時(shí)才允許游泳，請(qǐng)根據(jù)圖象分析該浴場(chǎng)在這一天開放的時(shí)間為（ ）
A．5小時(shí) B．8小時(shí) C．12小時(shí) D．10小時(shí)
4．（2023·山東青島·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說法中正確的是（ ）
A．兩個(gè)負(fù)數(shù)相減，等于絕對(duì)值相減 B．兩個(gè)負(fù)數(shù)的差一定大于零
C．負(fù)數(shù)減去正數(shù)，等于兩個(gè)負(fù)數(shù)相加 D．正數(shù)減去負(fù)數(shù)，等于兩個(gè)正數(shù)相減
5．（2024·廣西柳州·三模）大約公元前2200年在我國(guó)出現(xiàn)的“洛書”中就有關(guān)于幻方的記錄．在如圖所示的三階幻方中，填寫了一些數(shù)和漢字（其中每個(gè)漢字都表示一個(gè)數(shù)）．若處于每行、每列及每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和都相等，則“中”“國(guó)”“夢(mèng)”這三個(gè)字表示的數(shù)之和是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
6．（2024·重慶七年級(jí)月考）給出下列計(jì)算：①②③④，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·廣西梧州·七年級(jí)校考期中）把寫成省略括號(hào)的形式后，正確的是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）有理數(shù)，，，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）
A． B． C． D．
9．（23-24七年級(jí)上·浙江金華·期末）觀察前三個(gè)圖形，利用得到的計(jì)算規(guī)律，得到第四個(gè)圖形的計(jì)算結(jié)果為（ ）
A． B． C．5 D．9
10.（2024 南京七年級(jí)期中）M、N兩地的高度差記為M﹣N，例如：M地比N地低2米，記為M﹣N＝﹣2（米）．現(xiàn)要測(cè)量A、B兩地的高度差，借助了已經(jīng)設(shè)立的D、E、F、G、H共五個(gè)觀測(cè)地，測(cè)量出兩地的高度差，測(cè)量結(jié)果如下表：（單位：米）
兩地的高度差 D﹣A E﹣D F﹣E G﹣F H﹣G B﹣H
測(cè)量結(jié)果 3.3 ﹣4.2 ﹣0.5 2.7 3.9 ﹣5.6
則A﹣B的值為（　　）
A．0.4 B．﹣0.4 C．6.8 D．﹣6.8
11．（2023·江蘇常州·七年級(jí)校考期中）小明同學(xué)將2B鉛筆筆尖從原點(diǎn)開始沿?cái)?shù)軸進(jìn)行連續(xù)滑動(dòng)，先將筆尖沿正方向滑動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度完成第一次操作，再沿負(fù)方向滑動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度完成第二次操作；又沿正方向滑動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度完成第三次操作；再沿負(fù)方向滑動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度完成第四次操作，…，以此規(guī)律繼續(xù)操作，經(jīng)過第99次操作后筆尖停留在點(diǎn)處，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是（ ）．
A．0 B． C． D．50
12．（2023·浙江·七年級(jí)校考期中）讀一讀，式子“”表示從1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和．由于上述式子比較長(zhǎng)，書寫也不方便，為了簡(jiǎn)便起見，我們可以將“”表示為，這里“”是求和符號(hào)．例如：，即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和，可表示為，又知可表示為．通過對(duì)以上材料的閱讀，計(jì)算（　　）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）
13.（23-24七年級(jí)上·重慶·期中）給出下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，則；④若，且，則．其中正確的是 ．（填序號(hào)）
14．（2023·遼寧大連·七年級(jí)校考期末）如圖，陸地上最高處是珠穆朗瑪峰的峰頂8844.43m，最低處位于亞洲西部名為死海的湖－415m，兩處高度相差______m．
15．（2023·四川宜賓·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若“方框”表示運(yùn)算，則“方框”______．
16．（23-24七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）已知，，且，則 ．
17．（2023·山東七年級(jí)期中）八年級(jí)甲班人，其中有人參加語文課外小組，有人參加數(shù)學(xué)興趣小組，有人既參加語文課外小組又參加數(shù)學(xué)興趣小組，其余的人參加文藝活動(dòng)小組，則參加文藝活動(dòng)小組的人有________人．
18．（22-23七年級(jí)上·浙江溫州·期中）眾所周知，六點(diǎn)五十五分可以說成七點(diǎn)差五分，有時(shí)這樣表達(dá)更清楚，這啟發(fā)人們?cè)O(shè)計(jì)了一種新的加減記數(shù)法．比如：9寫成，；270寫成，；7683寫成，．按這個(gè)方法請(qǐng)計(jì)算= ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24七年級(jí)上·廣東·期中）計(jì)算下列各式：
(1) (2)
(3) (4)
20．（23-24七年級(jí)上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）十一國(guó)慶期間，俄羅斯特技飛行隊(duì)在黃山湖公園特技表演，其中一架飛機(jī)起飛后的高度變化如下表．請(qǐng)解答下列問題：（寫出計(jì)算過程）
高度變化 記作
上升千米 千米
下降千米 千米
上升千米 千米
下降千米 千米
(1)此時(shí)這架飛機(jī)比起飛點(diǎn)高了多少千米？
(2)若飛機(jī)做特技表演時(shí)，有4個(gè)規(guī)定動(dòng)作，起飛后高度變化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飛機(jī)最終比起飛點(diǎn)高出1千米，問第4個(gè)動(dòng)作是上升還是下降，上升或下降多少千米？
21．（2023·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【問題探索】如圖，將一根木棒放在數(shù)軸（單位長(zhǎng)度為l）上，木棒左端與數(shù)軸上的點(diǎn)A重合，右端與數(shù)軸上的點(diǎn)B重合．
(1)若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，它的右端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為30：若將木棒沿?cái)?shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，它的左端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為6，由此可得這根木棒的長(zhǎng)度為_____．(2)圖中點(diǎn)A所表示的數(shù)是_____，點(diǎn)B所表示的數(shù)是_____．
(3)【實(shí)際應(yīng)用】由（1）（2）的啟發(fā)，請(qǐng)借助“數(shù)軸”這個(gè)工具解決下列問題：一天，麗麗去問奶奶的年齡，奶奶說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要32年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我就106歲啦！”根據(jù)對(duì)話可知麗麗現(xiàn)在的歲數(shù)是_____，奶奶現(xiàn)在的歲數(shù)是_____．
22．（2023·成都市七年級(jí)期中）問題：能否將，，，，，這個(gè)數(shù)分成兩組并分別求和，且使所求的兩個(gè)和的差為？
解答：，要滿足題設(shè)要求，需將這個(gè)數(shù)分成兩組，一組的和為，另一組的和為，然后把它們相減下面給出一種分法，例如：．
應(yīng)用：在，，，，，，，，，這個(gè)數(shù)前面任意添上“”或“”．
(1)能否使它們的和等于若能，給出一種添加符號(hào)的方法，若不能，請(qǐng)說明理由
(2)能否使它們的和等于若能，給出一種添加符號(hào)的方法，若不能，請(qǐng)說明理由．
23．（2023·浙江七年級(jí)期中）如圖，一輛貨車從超市出發(fā)，向東走了千米到達(dá)小華家，繼續(xù)向東走了千米到達(dá)小穎家，然后向西走了千米到達(dá)小明家，最后回到超市超市及小明家、小華家、小穎家的大小忽略不計(jì)．

(1)以超市為原點(diǎn)，以向東的方向?yàn)檎较颍脗€(gè)單位長(zhǎng)度表示千米，請(qǐng)畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示出小明家、小華家和小穎家的位置；(2)小明家距小華家多遠(yuǎn)？(3)貨車一共行駛了多少千米？
24．（2023·廣東·七年級(jí)統(tǒng)考期中）設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，為正整數(shù)除以3的余數(shù)計(jì)算：(1)(2)
25．（23-24七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）對(duì)有理數(shù)a，b定義了一種新的運(yùn)算，叫“乘加法”，記作“”．并按照此運(yùn)算寫出了一些式子：
，，，，，，，，……
(1)根據(jù)以上式子特點(diǎn)將“乘加法”法則補(bǔ)充完整：
同號(hào)得__________，異號(hào)得__________，并把絕對(duì)值__________；一個(gè)數(shù)與0相“乘加”等于__________；
(2)根據(jù)法則計(jì)算：__________；__________；
(3)若括號(hào)的作用與它在有理數(shù)運(yùn)算中的作用相同，請(qǐng)計(jì)算：
① ②
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專題2.2.有理數(shù)的減法
1.掌握有理數(shù)的減法法則，會(huì)將有理數(shù)的減法法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算；
2.會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的加減混合運(yùn)算并解決一些實(shí)際問題；
3.理解省略加號(hào)和括號(hào)的有理數(shù)加減混合運(yùn)算的算式，并會(huì)計(jì)算；
4.在學(xué)習(xí)、探究有理數(shù)減法法則的過程中，體會(huì)“化歸”的數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化應(yīng)用意思。
模塊1：知識(shí)梳理 1
模塊2：核心考點(diǎn) 2
考點(diǎn)1、有理數(shù)減法法則的辨析 2
考點(diǎn)2、有理數(shù)的減法運(yùn)算 3
考點(diǎn)3、有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法 4
考點(diǎn)4、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算 5
考點(diǎn)5、有理數(shù)加減混合運(yùn)算中的簡(jiǎn)便計(jì)算 9
考點(diǎn)6、有理數(shù)加減法混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用 14
考點(diǎn)7、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的新定義 17
模塊3：能力培優(yōu) 20
1. 定義： 已知兩個(gè)數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法。
注意：（1）任意兩個(gè)數(shù)都可以進(jìn)行減法運(yùn)算。
（2） 幾個(gè)有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號(hào)；②數(shù)的絕對(duì)值。
2. 法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即有：。
注意： 將減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，注意同時(shí)進(jìn)行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)。如：
將加減法統(tǒng)一成加法運(yùn)算，適當(dāng)應(yīng)用加法運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算.
3. 有理數(shù)的混合運(yùn)算步驟：
1）根據(jù)有理數(shù)減法法則，將減法全部轉(zhuǎn)化為加法；
2）觀察式子是否可以運(yùn)用加法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算；
3）再根據(jù)有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果。
注意：1）減法轉(zhuǎn)化為加法的時(shí)候注意符號(hào)的改變；2）多利用運(yùn)算律，能使計(jì)算更加簡(jiǎn)便。
4．省略加號(hào)和括號(hào)的有理數(shù)加減混合運(yùn)算的算式
可以把加號(hào)和括號(hào)省略，改寫成幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的形式（利用法則）。
例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
這個(gè)算式可以讀作“負(fù)2、正3、負(fù)5、正4的和”，或讀作“負(fù)2加3加負(fù)5加4”。
考點(diǎn)1、有理數(shù)減法法則的辨析
【解題方法】有理數(shù)減法的法則：有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．
例1．（2023·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù) B．被減數(shù)的絕對(duì)值大于減數(shù)的絕對(duì)值，其差必為正數(shù)
C．零減去一個(gè)有理數(shù)，差一定是負(fù)數(shù) D．兩個(gè)數(shù)的差必小于零
【答案】A
【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則結(jié)合舉反例解答即可
【詳解】A.減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，正確；
B.如，-7-2=-9是負(fù)數(shù)，所以被減數(shù)的絕對(duì)值大于減數(shù)的絕對(duì)值，其差必為正數(shù)錯(cuò)誤；
C.如0-(-5)=5，所以零減去一個(gè)有理數(shù)，差一定是負(fù)數(shù)錯(cuò)誤；
D.如5-3=2>0，所以兩個(gè)數(shù)的差必小于零錯(cuò)誤；故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的減法運(yùn)算，熟練掌握減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)是解答本題關(guān)鍵．
變式1．（2023·廣東·七年級(jí)期末）（多選題）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下面式子中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】如圖可知，，，且離原點(diǎn)更近一些，由此分析即可；
【詳解】解：如圖可知，，，且離原點(diǎn)更近一些，故：
A、正確，符合題意；B、由圖知，故錯(cuò)誤，不符合題意；
C、因?yàn)椋裕蔆錯(cuò)誤，不符合題意；
D、因?yàn)椋裕译x原點(diǎn)更近一些，則，故，符合題意；
故選AD．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的點(diǎn)的特征，絕對(duì)值的定義，能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．
變式2.（2023·廣東·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下面說法中，正確的是（ ）
A．兩個(gè)有理數(shù)的和一定比這兩個(gè)有理數(shù)的差大； B．兩個(gè)有理數(shù)的差一定小于被減數(shù)；
C．零減去一個(gè)有理數(shù)等于這個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)； D．絕對(duì)值相等的兩數(shù)之差為零．
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則可判斷A項(xiàng)，根據(jù)有理數(shù)的減法法則可判斷B、C兩項(xiàng)，根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)舉出反例可判斷D項(xiàng)，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：A、兩個(gè)有理數(shù)的和不一定比這兩個(gè)有理數(shù)的差大，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、兩個(gè)有理數(shù)的差一定不小于被減數(shù)，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
C、零減去一個(gè)有理數(shù)等于這個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)，故本選項(xiàng)說法正確，符合題意；
D、絕對(duì)值相等的兩數(shù)之差不一定為零，如3與﹣3的絕對(duì)值相等，但3－（﹣3）=6，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意 ．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法與減法以及相反數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握有理數(shù)的基本知識(shí)是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)2、有理數(shù)的減法運(yùn)算
【解題方法】將減法轉(zhuǎn)化為加法，根據(jù)加法法則計(jì)算即可。
例1．（2023·浙江金華·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列計(jì)算中，不正確的是（ ）
A．（ 6）+（ 4）= 2 B． 9 （ 4）= 5 C．| 9 | + 4 = 13 D． 9 4 = 13
【答案】A
【分析】運(yùn)用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則，逐一計(jì)算即可判斷．
【詳解】A．（ 6）+（ 4）=－10，故錯(cuò)誤；B． 9 （ 4）=－9+4=－5，故正確；
C．| 9 | + 4 =9+4=13，故正確；D． 9 4 =－13，故正確；故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法，有理數(shù)的減法和去絕對(duì)值，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023·浙江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在(－5)－(　　)＝－7中的括號(hào)里應(yīng)填(　　)
A．－12 B．2 C．－2 D．12
【答案】B
【詳解】試題分析：
減去一個(gè)數(shù)等于加數(shù)這個(gè)數(shù)的相反數(shù).同號(hào)兩數(shù)相加取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加. 故選B.
變式2．（23-24七年級(jí)上·廣西南寧·期中）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了有理數(shù)的加減法，掌握相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)有理數(shù)的加減法則對(duì)各選項(xiàng)依次計(jì)算判斷即可．
【詳解】A．，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；
B．，原式計(jì)算正確，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．，原式計(jì)算正確，故此選項(xiàng)的計(jì)算正確；
D．，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．
考點(diǎn)3、有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法
【解題方法】有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的兩種方法：①先把加減法統(tǒng)一成加法，再省略括號(hào)和加號(hào)；②利用同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)口訣省略括號(hào)和加號(hào)的形式．
例1．（23-24七年級(jí)上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）將式子省略括號(hào)和加號(hào)后變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查有理數(shù)加減計(jì)算化簡(jiǎn)．根據(jù)題意利用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”即可化簡(jiǎn)該式．
【詳解】解：，故選：C．
變式1．（2024·河北石家莊·二模）式子有下面兩種讀法；
讀法一：負(fù)，負(fù)，正與負(fù)的和； 讀法二：負(fù)減加減．
則關(guān)于這兩種讀法，下列說法正確的是（ ）
A．只有讀法一正確 B．只有讀法二正確 C．兩種讀法都不正確 D．兩種讀法都正確
【答案】D
【分析】本題考查有理數(shù)加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)的加減混合運(yùn)算的讀法．據(jù)此解答即可．
【詳解】解：對(duì)于式子，
可讀作：負(fù)，負(fù)，正與負(fù)的和；也可讀作：負(fù)減加減，
∴兩種讀法都正確．故選：D．
變式2．（23-24七年級(jí)上·陜西延安·階段練習(xí)）將式子改寫成省略括號(hào)的形式為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用有理數(shù)的加減運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得出答案．
【詳解】解：，故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，熟練掌握去括號(hào)法則及正確去括號(hào)是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)4、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算
【解題方法】有理數(shù)的混合運(yùn)算步驟：
1）根據(jù)有理數(shù)減法法則，將減法全部轉(zhuǎn)化為加法；
2）觀察式子是否可以運(yùn)用加法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算；
3）根據(jù)有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果。
注意：1）減法轉(zhuǎn)化為加法的時(shí)候注意符號(hào)的改變；2）多利用運(yùn)算律，能使計(jì)算更加簡(jiǎn)便。
例1．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）計(jì)算:
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用有理數(shù)的加減法可以解答本題，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
（1）直接根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算運(yùn)算法則求解即可；
（2）直接根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算運(yùn)算法則求解即可；
（3）直接根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算運(yùn)算法則求解即可；
（4）直接根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算運(yùn)算法則求解即可；
（5）直接根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算運(yùn)算法則求解即可．
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
變式1．（23-24七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算下列各題
(1)； (2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】此題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
（1）去掉括號(hào)，原式可化為，根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算，即可求解本題；
（2）去掉括號(hào)，原式可化為，根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算，即可求解本題；
（3）去掉括號(hào)，然后將同分母分?jǐn)?shù)結(jié)合，可得，即可求解；
（4）去掉括號(hào)，將同分母分?jǐn)?shù)結(jié)合，原式可化為，結(jié)合有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，即可求解本題．
【詳解】（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
變式2．（23-24七年級(jí)上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）計(jì)算．
(1)； (2)．
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算；
（1）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可求解；
（2）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可求解；
（3）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可求解；
（4）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
考點(diǎn)5、有理數(shù)加減混合運(yùn)算中的簡(jiǎn)便計(jì)算
【解題方法】運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算常見方法：
①相反數(shù)結(jié)合——抵消；②同號(hào)結(jié)合——符號(hào)易確定；③同分母結(jié)合法——無需通分（分母倍數(shù)的也可考慮）；④湊整數(shù)；⑤同行結(jié)合法——分?jǐn)?shù)拆分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)。
例1．（23-24七年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）計(jì)算題（能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算）
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)13(2)(3)16(4)
【分析】（1）運(yùn)用有理數(shù)的加法、減法法則處理；
（2）運(yùn)用有理數(shù)的加法處理，可運(yùn)用加法結(jié)合律簡(jiǎn)化運(yùn)算；
（3）可運(yùn)算加法結(jié)合律、有理數(shù)加法、減法運(yùn)算法則處理；
（4）小數(shù)變形為分?jǐn)?shù)，運(yùn)用加法結(jié)合律、加法、減法運(yùn)算法則處理．
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減法，加法運(yùn)算律；掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
例2．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）計(jì)算（能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算）：
(1)； (2)；
(3)． (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．熟練掌握加法的交換律和結(jié)合律是解答本題的關(guān)鍵．
例3．（2023·廣東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察下列等式
_________
將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：
.
（1）猜想并寫出： ；
（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
① ；
② ；
（3）探究并計(jì)算：．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）觀察所給算式，根據(jù)觀察到的規(guī)律寫出即可；
（2）①、②都是根據(jù)得出的規(guī)律展開，再合并，最后求出結(jié)果即可；
（3）根據(jù)觀察到的規(guī)律展開，然后合并，即可求出結(jié)果.
【詳解】解：（1）故答案為；
（2）①原式=+…+=1-；
②原式=+…+=1-，故答案為，；
（3）
所以：原式=×
=×=.
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，能根據(jù)已知算式得出這一規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
變式1．（2023·廣西·七年級(jí)月考中）計(jì)算（能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算）：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)3 (2) (3) (4)
【分析】（1）先將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，然后按照加法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算；（2）根據(jù)同分母結(jié)合計(jì)算；
（3）先算絕對(duì)值，再計(jì)算減法；（4）根據(jù)同分母結(jié)合計(jì)算．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分?jǐn)?shù)和小數(shù)的加減混合運(yùn)算及絕對(duì)值，正確運(yùn)用加法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．
變式2.（2024·山東·七年級(jí)期中）計(jì)算（能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算）：
(1)－＋－； (2)－8 721＋53－1 279＋4；
(3)－＋. (4)
【答案】（1）；（2）-9942；（3）;(4)
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法和減法可以解答本題；
（2）根據(jù)有理數(shù)的加法和減法可以解答本題；
（3）根據(jù)有理數(shù)的加法、減法和絕對(duì)值的性質(zhì)可以解答本題；
【解析】(1) －＋－；
(2) －8 721＋53－1 279＋4＝(－8 721－1 279)＋ ＝－10 000＋58＝－9 942；
(3) －＋
(4) 原式=
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法．
變式3．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）用較為簡(jiǎn)便的方法計(jì)算下列各題：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)1
【分析】本題考查的是絕對(duì)值的含義，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序與運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵；（1）利用交換律與結(jié)合律化為，再計(jì)算即可；
（2）先求解絕對(duì)值，再計(jì)算即可；（3）先化為省略加號(hào)的和的形式，再計(jì)算即可；
（4）利用交換律與結(jié)合律化為，再計(jì)算即可；
【詳解】（1）解：
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
考點(diǎn)4、有理數(shù)加減法混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用
【解題方法】有理數(shù)運(yùn)算相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發(fā)生改變。能夠熟練的分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)解題的方法和技巧。
例1．（23-24八年級(jí)下·廣東茂名·階段練習(xí)）某年，某河流發(fā)生流域性洪水，將其水位下降記為負(fù)，上漲記為正，甲地和乙地的七日水位變化情況如下表所示（單位；m）
時(shí)間 地區(qū) 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
甲地
乙地
下列說法中正確的是（　　）
A．在第四天時(shí)，乙地的水位達(dá)到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最終水位比初始水位高
C．這七天內(nèi)，甲地的水位變化比乙地小 D．甲地第七天后的最終水位比初始水位低
【答案】D
【分析】本題考查有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用．熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義，正確的列出算式，是解題的關(guān)鍵．依次進(jìn)行計(jì)算判斷即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴在第六天時(shí)，乙地的水位達(dá)到七天中的最高峰，故選項(xiàng)A不正確，
∵，
∴乙地第七天后的最終水位比初始水位低，故選項(xiàng)B不正確，
∵，
∴這七天內(nèi)，甲地的水位變化比乙地大，故選項(xiàng)C不正確，
∵，∴甲地第七天后的最終水位比初始水位低，故選項(xiàng)D正確，故選：D．
例2．（23-24九年級(jí)下·北京·階段練習(xí)）小宇計(jì)劃在某外賣網(wǎng)站點(diǎn)如下表所示的菜品．已知每份訂單的配送費(fèi)為3元，商家為了促銷，對(duì)每份訂單的總價(jià)（不含配送費(fèi)）提供滿減優(yōu)惠：滿30元減12元，滿60元減30元，滿100元減45元．如果小宇在購(gòu)買下表中的所有菜品時(shí)，采取適當(dāng)?shù)南掠唵畏绞剑敲此c(diǎn)餐的總費(fèi)用最低可為 元．
菜品 單價(jià)（含包裝費(fèi)） 數(shù)量
水煮牛肉（小） 30元 1
醋溜土豆絲（小） 12元 1
豉汁排骨（小） 30元 1
手撕包菜（小） 12元 1
米飯 3元 2
【答案】54
【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，根據(jù)滿3元減元，滿元減元，滿元減元，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：小宇應(yīng)采取的訂單方式是一份，一份，
所以點(diǎn)餐總費(fèi)用最低可為元，
答：他點(diǎn)餐總費(fèi)用最低可為元．故答案為：．
變式1．（2023秋·河北石家莊·七年級(jí)校考階段練習(xí)）某集團(tuán)公司對(duì)所屬甲、乙兩工廠前5個(gè)月經(jīng)營(yíng)情況記錄如下表所示（其中“”表示盈利，“”表示虧損，單位：萬元），則這5個(gè)月甲廠比乙廠多盈利（　　）萬元
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份
甲廠
乙廠
A．3 B．2.7 C．2.6 D．2.4
【答案】B
【分析】先分別求出這5個(gè)月甲廠、乙廠的盈利或虧損，再作差即可得．
【詳解】解：這5個(gè)月甲廠的盈利為（萬元），
這5個(gè)月乙廠的盈利為（萬元），
則這5個(gè)月甲廠比乙廠多盈利（萬元），故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加減的應(yīng)用，正確列出運(yùn)算式子是解題關(guān)鍵．
變式2．（2024·北京海淀·一模）2019年11月，聯(lián)合國(guó)教科文組織將每年的3月14日定為“國(guó)際數(shù)學(xué)日”，也被許多人稱為“節(jié)”．某校今年“節(jié)”策劃了五個(gè)活動(dòng)，規(guī)則見下圖：
小云參與了所有活動(dòng)．
（1）若小云只挑戰(zhàn)成功一個(gè)，則挑戰(zhàn)成功的活動(dòng)名稱為 ；（2）若小云共挑戰(zhàn)成功兩個(gè)，且她參與的第四個(gè)活動(dòng)成功，則小云最終剩下的“幣”數(shù)量的所有可能取值為 ．
【答案】 魯班鎖； 1，2，3
【分析】本題主要考查了邏輯推理：
（1）根據(jù)小云參與了所有活動(dòng)．可得小云第一個(gè)挑戰(zhàn)必定成功，再由只挑戰(zhàn)成功一個(gè)，可得小云第一個(gè)挑戰(zhàn)成功需要得到4個(gè)“幣”，即可；
（2）根據(jù)題意可得小云第一個(gè)挑戰(zhàn)必定成功，且挑戰(zhàn)成功的活動(dòng)可能為華容道或魔方或魯班鎖，第二，三、五次挑戰(zhàn)失敗，然后分三種情況討論，即可．
【詳解】解：∵小云參與了所有活動(dòng)．∴小云第一個(gè)挑戰(zhàn)必定成功，
∵小云只挑戰(zhàn)成功一個(gè)，∴小云第一個(gè)挑戰(zhàn)成功需要得到4個(gè)“幣”，
∴挑戰(zhàn)成功的活動(dòng)名稱為魯班鎖；故答案為：魯班鎖；
（2）∵小云共挑戰(zhàn)成功兩個(gè)，且她參與的第四個(gè)活動(dòng)成功，
∴小云第一個(gè)挑戰(zhàn)必定成功，且挑戰(zhàn)成功的活動(dòng)可能為華容道或魔方或魯班鎖，第二，三、五次挑戰(zhàn)失敗，
若第一次挑戰(zhàn)華容道，當(dāng)?shù)谒拇翁魬?zhàn)24點(diǎn)或數(shù)獨(dú)時(shí)，最終剩下的“幣”數(shù)量的取值為；
當(dāng)?shù)谒拇翁魬?zhàn)魔方時(shí)，最終剩下的“幣”數(shù)量的取值為；
當(dāng)?shù)谒拇翁魬?zhàn)魯班鎖時(shí)，最終剩下的“幣”數(shù)量的取值為；
若第一次挑戰(zhàn)魔方，當(dāng)?shù)谒拇翁魬?zhàn)24點(diǎn)或數(shù)獨(dú)時(shí)，最終剩下的“幣”數(shù)量的取值為；
當(dāng)?shù)谒拇翁魬?zhàn)華容道時(shí)，最終剩下的“幣”數(shù)量的取值為；
當(dāng)?shù)谒拇翁魬?zhàn)魯班鎖時(shí)，最終剩下的“幣”數(shù)量的取值為；
若第一次挑戰(zhàn)魯班鎖，當(dāng)?shù)谒拇翁魬?zhàn)24點(diǎn)或數(shù)獨(dú)時(shí)，最終剩下的“幣”數(shù)量的取值為；
當(dāng)?shù)谒拇翁魬?zhàn)華容道或魔方時(shí)，最終剩下的“幣”數(shù)量的取值為；
綜上所述，最終剩下的“幣”數(shù)量的所有可能取值為1，2，3．故答案為：1，2，3
考點(diǎn)7、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的新定義
【解題方法】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識(shí)銜接“新知識(shí)”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對(duì)“新定義”的理解和認(rèn)識(shí)，以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，解題時(shí)需要將“新定義”的知識(shí)與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來，利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來解決問題.
例1．（23-24七年級(jí)上·重慶江津·階段練習(xí)）大家都知道，九點(diǎn)五十五分可以說成十點(diǎn)差五分．這啟發(fā)人們?cè)O(shè)計(jì)了一種新的加減記數(shù)法．比如：9寫成，，198寫成，寫成，7683寫成，；總之，數(shù)字上畫一條杠表示減去它，按這個(gè)方法計(jì)算：= ．
【答案】
【分析】本題考查了新定義，以及有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，根據(jù)題目提供的計(jì)算方法計(jì)算即可．
【詳解】解：原式．故答案為：．
例2．（2023·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)階段練習(xí)）已知表示小于或等于的最大整數(shù)，如：，，．現(xiàn)定義，如，則______________．
【答案】/
【分析】根據(jù)題意列出算式解答即可．
【詳解】根據(jù)題意可得：，，
，∴，故答案為．
【點(diǎn)睛】此題考查解有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的加減運(yùn)算，關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出算式式計(jì)算．
變式1．（2023·重慶·七年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀材料尋找共同存在的規(guī)律：有一個(gè)運(yùn)算程序a b＝n可以使（a+c） b＝n+c，a （b+c）＝n﹣2c，如果1 1＝2，那么2020 2020＝_____．
【答案】﹣2017
【分析】由題中所給程序可計(jì)算出（1+2019） 1，即2020 1＝2021的值，再計(jì)算2020 （1+2019），進(jìn)而求解2020 2020的值．
【詳解】解：由（a+c） b＝n+c，a （b+c）＝n﹣2c可得出，
（a+c） b＝a b+c＝n+c，a （b+c）＝a b﹣2c＝n﹣2c，
∵1 1＝2，∴（1+2019） 1＝1 1+2019＝2+2019＝2021，即2020 1＝2021．
又∵2020 （1+2019）＝2020 1﹣2×2019＝2021﹣2×2019＝2021﹣4038＝﹣2017，
∴2020 2020＝﹣2017．故答案為：﹣2017．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算以及定義新運(yùn)算題型，解題關(guān)鍵是明確各個(gè)字母之間的關(guān)系．
變式2．（2023·貴州·七年級(jí)階段練習(xí)）將n個(gè)互不相同的整數(shù)置于一排，構(gòu)成一個(gè)數(shù)組．在這n個(gè)數(shù)字前任意添加“+”或“﹣”號(hào)，可以得到一個(gè)算式．若運(yùn)算結(jié)果可以為0，我們就將這個(gè)數(shù)組稱為“運(yùn)算平衡”數(shù)組．
（1）數(shù)組1，2，3，4是否是“運(yùn)算平衡”數(shù)組？若是，請(qǐng)?jiān)谝韵聰?shù)組中填上相應(yīng)的符號(hào)，并完成運(yùn)算；
　 　1 　 　2 　 　3 　 　4＝0
（2）若數(shù)組1，4，6，m是“運(yùn)算平衡”數(shù)組，則m的值可以是多少？（至少寫出4個(gè)滿足條件的m的值）
（3）若某“運(yùn)算平衡”數(shù)組中共含有n個(gè)整數(shù)，則這n個(gè)整數(shù)需要具備什么樣的規(guī)律？
【答案】（1）-，+，+，-或+，-，-，+；（2）或，或；（3）這n個(gè)整數(shù)互不相同，在這個(gè)數(shù)字前任意添加“+”或“-”號(hào)后運(yùn)算結(jié)果為0．
【分析】（1）根據(jù)“運(yùn)算平衡”數(shù)組的定義即可求解；（2）根據(jù)“運(yùn)算平衡”數(shù)組的定義得到關(guān)于m的方程，解方程即可；（3）根據(jù)“運(yùn)算平衡”數(shù)組的定義可以得到n個(gè)數(shù)的規(guī)律．
【詳解】解：（1）∵，
∴數(shù)組1，2，3，4是否是“運(yùn)算平衡”數(shù)組，故答案為：-，+，+，-或+，-，-，+；
（2）∵數(shù)組1，4，6，m是“運(yùn)算平衡”數(shù)組，
∴；-1+4+6+m=0；1-4+6+m=0；1+4-6+m=0；1+4+6-m=0；-1-4+6+m=0；-1+4-6+m=0；-1+4+6-m=0；1-4-6+m=0；1-4+6-m=0；1+4-6-m=0；-1-4-6+m=0；-1-4+6-m=0，-1+4-6-m=0，1-4-6-m=0；-1-4-6-m=0；共16種情況，
解得：或，或；
（3）由題意得可知這n個(gè)整數(shù)互不相同，在這個(gè)數(shù)字前任意添加“+”或“-”號(hào)后運(yùn)算結(jié)果為0．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確讀懂題意進(jìn)行求解．
全卷共25題 測(cè)試時(shí)間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查有理數(shù)的加減法，根據(jù)有理數(shù)加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可
【詳解】解：，故選：C．
2．（2023·浙江杭州·一模）“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”是對(duì)新疆地區(qū)晝夜溫差的真實(shí)寫照．據(jù)統(tǒng)計(jì)，吐魯番三月份某天的最高氣溫是，最低氣溫是，則吐魯番這天的溫差（最高氣溫與最低氣溫的差）為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了有理數(shù)的減法的應(yīng)用，依題意，用最高溫減去最低溫，即可作答．
【詳解】解：∵吐魯番三月份某天的最高氣溫是，最低氣溫是，
∴吐魯番這天的溫差（最高氣溫與最低氣溫的差）為： 故選：C．
3．（2023春·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某海濱浴場(chǎng)某日氣溫變化情況如圖所示，該浴場(chǎng)氣溫在以上時(shí)才允許游泳，請(qǐng)根據(jù)圖象分析該浴場(chǎng)在這一天開放的時(shí)間為（ ）
A．5小時(shí) B．8小時(shí) C．12小時(shí) D．10小時(shí)
【答案】D
【分析】根據(jù)圖象得出相關(guān)信息即可解答．
【詳解】解∶由圖象可知∶10時(shí)到20時(shí)的溫度在以上，
∴該浴場(chǎng)在這一天開放的時(shí)間為（小時(shí)）．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了從圖象獲取信息，有理數(shù)的減法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．
4．（2023·山東青島·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說法中正確的是（ ）
A．兩個(gè)負(fù)數(shù)相減，等于絕對(duì)值相減 B．兩個(gè)負(fù)數(shù)的差一定大于零
C．負(fù)數(shù)減去正數(shù)，等于兩個(gè)負(fù)數(shù)相加 D．正數(shù)減去負(fù)數(shù)，等于兩個(gè)正數(shù)相減
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法逐項(xiàng)判斷．
【詳解】解：A、兩個(gè)負(fù)數(shù)相減，不一定等式絕對(duì)值相減，錯(cuò)誤，例如：-2-（-1）=-2+1=-1；|-2|-|-1|=2-1=1；
B、兩個(gè)負(fù)數(shù)的差不一定大于零，錯(cuò)誤，例如：（-3）-（-1）=-3+1=-2；
C、負(fù)數(shù)減去正數(shù)，等于負(fù)數(shù)加上這個(gè)正數(shù)的相反數(shù)，即加上一個(gè)負(fù)數(shù)，正確；
D、正數(shù)減去負(fù)數(shù)，等于兩個(gè)正數(shù)相減，錯(cuò)誤；故選C．
【點(diǎn)睛】本題是對(duì)有理數(shù)減法的考查，要知道減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．
5．（2024·廣西柳州·三模）大約公元前2200年在我國(guó)出現(xiàn)的“洛書”中就有關(guān)于幻方的記錄．在如圖所示的三階幻方中，填寫了一些數(shù)和漢字（其中每個(gè)漢字都表示一個(gè)數(shù)）．若處于每行、每列及每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和都相等，則“中”“國(guó)”“夢(mèng)”這三個(gè)字表示的數(shù)之和是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】本題考查了有理數(shù)的加減法運(yùn)算，由題意知，每行、每列及每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和為，則由第三行可得“夢(mèng)”表示的數(shù)，由第一行可得“中”“國(guó)”兩字表示的數(shù)之和，最后求得結(jié)果．
【詳解】解：由于一條對(duì)角線的數(shù)分別為，則其和為，第三行“夢(mèng)”表示的數(shù)為，第一行“中”“國(guó)”兩字表示的數(shù)之和為，則“中”“國(guó)”“夢(mèng)”這三個(gè)字表示的數(shù)之和是；故選：B．
6．（2024·重慶七年級(jí)月考）給出下列計(jì)算：①②③④，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分別求出各個(gè)式子的值，然后進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①，故①正確；②，故②錯(cuò)誤；
③，故③正確；④，故④正確；
綜上分析可知，正確的有3個(gè)，故C正確．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)減法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)加減運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
7．（2023·廣西梧州·七年級(jí)校考期中）把寫成省略括號(hào)的形式后，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法則解答即可.
【詳解】解：；故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減，屬于應(yīng)知應(yīng)會(huì)題型，熟知有理數(shù)的加減法則是關(guān)鍵.
8．（23-24七年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）有理數(shù)，，，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了數(shù)軸與有理數(shù)，以及有理數(shù)的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸，正確的判斷出，，，的取值范圍以及大小關(guān)系．根據(jù)有理數(shù)，，，在數(shù)軸上的位置，確定大小關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：由題意可得：，，，，則A正確，不符合題意；
∵，，∴，即，B錯(cuò)誤，符合題意；
∵，∴， ∵，C正確，不符合題意；
∵，∴，D正確，不符合題意；故選：B．
9．（23-24七年級(jí)上·浙江金華·期末）觀察前三個(gè)圖形，利用得到的計(jì)算規(guī)律，得到第四個(gè)圖形的計(jì)算結(jié)果為（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)前三個(gè)圖形得到規(guī)律：左上角與右下角的兩數(shù)之和減去右上角與左下角的兩數(shù)之和，即可得到答案．此題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，根據(jù)圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可得，，
，，
∴，故選：D．
10.（2024 南京七年級(jí)期中）M、N兩地的高度差記為M﹣N，例如：M地比N地低2米，記為M﹣N＝﹣2（米）．現(xiàn)要測(cè)量A、B兩地的高度差，借助了已經(jīng)設(shè)立的D、E、F、G、H共五個(gè)觀測(cè)地，測(cè)量出兩地的高度差，測(cè)量結(jié)果如下表：（單位：米）
兩地的高度差 D﹣A E﹣D F﹣E G﹣F H﹣G B﹣H
測(cè)量結(jié)果 3.3 ﹣4.2 ﹣0.5 2.7 3.9 ﹣5.6
則A﹣B的值為（　　）
A．0.4 B．﹣0.4 C．6.8 D．﹣6.8
【分析】觀察表格，若將表格中的所有數(shù)加起來，即是B﹣A的值，若結(jié)果大于0，則B比A高，若結(jié)果小于0，則A比B高．
【解答】解：B﹣A＝（D﹣A）+（E﹣D）+（F﹣E）+（G﹣F）+（B﹣G）
＝3.3﹣4.2﹣0.5+2.7+3.9﹣5.6＝0.4（米）．A比B地高0.4米，故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查有理數(shù)的減法，此題是一道應(yīng)用題，同學(xué)們要讀懂題意，才能得出正確的答案．所以一定要細(xì)心．
11．（2023·江蘇常州·七年級(jí)校考期中）小明同學(xué)將2B鉛筆筆尖從原點(diǎn)開始沿?cái)?shù)軸進(jìn)行連續(xù)滑動(dòng)，先將筆尖沿正方向滑動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度完成第一次操作，再沿負(fù)方向滑動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度完成第二次操作；又沿正方向滑動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度完成第三次操作；再沿負(fù)方向滑動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度完成第四次操作，…，以此規(guī)律繼續(xù)操作，經(jīng)過第99次操作后筆尖停留在點(diǎn)處，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是（ ）．
A．0 B． C． D．50
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，先規(guī)定正方向?yàn)檎⒇?fù)方向?yàn)樨?fù)，再利用有理數(shù)加減運(yùn)算法則求解即可得到答案．
【詳解】解：規(guī)定正方向?yàn)檎⒇?fù)方向?yàn)樨?fù)，則
，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查利用正負(fù)數(shù)的意義解決實(shí)際問題，按照題意規(guī)定正負(fù)，運(yùn)用有理數(shù)加減運(yùn)算求解是解決問題的關(guān)鍵．
12．（2023·浙江·七年級(jí)校考期中）讀一讀，式子“”表示從1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和．由于上述式子比較長(zhǎng)，書寫也不方便，為了簡(jiǎn)便起見，我們可以將“”表示為，這里“”是求和符號(hào)．例如：，即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和，可表示為，又知可表示為．通過對(duì)以上材料的閱讀，計(jì)算（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據(jù)題意得出新定義的含義，然后根據(jù)含義得出算式，最后進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】解：
．故選：B ．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）
13.（23-24七年級(jí)上·重慶·期中）給出下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，則；④若，且，則．其中正確的是 ．（填序號(hào)）
【答案】①②④
【分析】本題考查了有理數(shù)減法法則，解題關(guān)鍵是熟記法則，準(zhǔn)確進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①，所以，則，①正確；
②若，所以，則，②正確；
③若，所以，則，③錯(cuò)誤；
④若，且，所以，則，，④正確．故答案為：①②④．
14．（2023·遼寧大連·七年級(jí)校考期末）如圖，陸地上最高處是珠穆朗瑪峰的峰頂8844.43m，最低處位于亞洲西部名為死海的湖－415m，兩處高度相差______m．
【答案】
【分析】用陸地最高處珠穆朗瑪峰的峰頂?shù)母叨葴p去死海的高度即可得到答案．
【詳解】解：，即兩處高度相差m，故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了減法的應(yīng)用，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·四川宜賓·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若“方框”表示運(yùn)算，則“方框”______．
【答案】
【分析】利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)題意得：“方框”．故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
16．（23-24七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）已知，，且，則 ．
【答案】或
【分析】本題考查絕對(duì)值，有理數(shù)的加法法則，有理數(shù)減法計(jì)算，先根據(jù)絕對(duì)值法則求出的值，再利用分兩種情況代入計(jì)算即可．掌握相關(guān)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，，∴，
∵，∴分兩種情況：
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；故答案為：或．
17．（2023·山東七年級(jí)期中）八年級(jí)甲班人，其中有人參加語文課外小組，有人參加數(shù)學(xué)興趣小組，有人既參加語文課外小組又參加數(shù)學(xué)興趣小組，其余的人參加文藝活動(dòng)小組，則參加文藝活動(dòng)小組的人有________人．
【答案】7
【分析】首先計(jì)算出實(shí)際參加語文課外小組和參加數(shù)學(xué)興趣小組的總?cè)藬?shù)，然后用總?cè)藬?shù)68減去實(shí)際參加語文課外小組和參加數(shù)學(xué)興趣小組的總?cè)藬?shù)，即可得到參加文藝活動(dòng)小組的人數(shù)．
【詳解】解：
答：參加文藝活動(dòng)小組的人有7人．故答案為：7
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是有理數(shù)的加減混合運(yùn)算的應(yīng)用，掌握加法和減法的意義是解題的關(guān)鍵．
18．（22-23七年級(jí)上·浙江溫州·期中）眾所周知，六點(diǎn)五十五分可以說成七點(diǎn)差五分，有時(shí)這樣表達(dá)更清楚，這啟發(fā)人們?cè)O(shè)計(jì)了一種新的加減記數(shù)法．比如：9寫成，；270寫成，；7683寫成，．按這個(gè)方法請(qǐng)計(jì)算= ．
【答案】
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握新定義并熟練加以運(yùn)用．先根據(jù)新定義計(jì)算出，，再相減即可．
【詳解】解：根據(jù)新的加減記數(shù)法可得，，
，
∴．故答案為：2022．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24七年級(jí)上·廣東·期中）計(jì)算下列各式：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減計(jì)算，根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
20．（23-24七年級(jí)上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）十一國(guó)慶期間，俄羅斯特技飛行隊(duì)在黃山湖公園特技表演，其中一架飛機(jī)起飛后的高度變化如下表．請(qǐng)解答下列問題：（寫出計(jì)算過程）
高度變化 記作
上升千米 千米
下降千米 千米
上升千米 千米
下降千米 千米
(1)此時(shí)這架飛機(jī)比起飛點(diǎn)高了多少千米？
(2)若飛機(jī)做特技表演時(shí)，有4個(gè)規(guī)定動(dòng)作，起飛后高度變化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飛機(jī)最終比起飛點(diǎn)高出1千米，問第4個(gè)動(dòng)作是上升還是下降，上升或下降多少千米？
【答案】(1)此時(shí)這架飛機(jī)比起飛點(diǎn)高了千米
(2)第四個(gè)動(dòng)作是下降，下降千米
【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及有理數(shù)的運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用．注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．
（１）計(jì)算即可求解；
（２）計(jì)算第四個(gè)動(dòng)作是下降，下降千米即可求解；
【詳解】（1）解：
∴此時(shí)這架飛機(jī)比起飛點(diǎn)高了千米
（2）解：
∴第四個(gè)動(dòng)作是下降，下降千米
21．（2023·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【問題探索】如圖，將一根木棒放在數(shù)軸（單位長(zhǎng)度為l）上，木棒左端與數(shù)軸上的點(diǎn)A重合，右端與數(shù)軸上的點(diǎn)B重合．
(1)若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，它的右端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為30：若將木棒沿?cái)?shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，它的左端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為6，由此可得這根木棒的長(zhǎng)度為_____．
(2)圖中點(diǎn)A所表示的數(shù)是_____，點(diǎn)B所表示的數(shù)是_____．
(3)【實(shí)際應(yīng)用】由（1）（2）的啟發(fā)，請(qǐng)借助“數(shù)軸”這個(gè)工具解決下列問題：一天，麗麗去問奶奶的年齡，奶奶說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要32年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我就106歲啦！”根據(jù)對(duì)話可知麗麗現(xiàn)在的歲數(shù)是_____，奶奶現(xiàn)在的歲數(shù)是_____．
【答案】(1)8(2)14，22(3)14，60
【分析】（1）觀察數(shù)軸可知三根這樣長(zhǎng)的木棒長(zhǎng)為，即可求得這根木棒的長(zhǎng)度．
（2）A點(diǎn)在6的右側(cè)，距離6有8個(gè)單位長(zhǎng)度，故A點(diǎn)為14；B點(diǎn)在A的左側(cè)，距離A有8個(gè)單位長(zhǎng)度，故B點(diǎn)為22．（3）根據(jù)題意，設(shè)數(shù)軸上小木棒的A端表示妙妙的年齡，B端表示奶奶的年齡，則木棒的長(zhǎng)度表示二人的年齡差，參照（1）中的方法結(jié)合已知條件即可得出．
【詳解】（1）觀察數(shù)軸可知三根這樣長(zhǎng)的木棒長(zhǎng)為（），則這根木棒的長(zhǎng)為，
故答案為：8．
（2）由（1）可知這根木棒的長(zhǎng)為8，
所以A點(diǎn)表示為，B點(diǎn)表示的數(shù)是．故答案為：14，22．
（3）題意可知：當(dāng)奶奶像麗麗這樣大時(shí)，妙妙為歲，
所以奶奶與麗麗的年齡差為歲，
所以現(xiàn)在麗麗的年齡為（歲），
奶奶的年齡（歲）．故答案為：14，60．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的認(rèn)識(shí)、用數(shù)軸表示數(shù)及有理數(shù)的加減法，解題的關(guān)鍵是讀懂題干及正確理解題意．
22．（2023·成都市七年級(jí)期中）問題：能否將，，，，，這個(gè)數(shù)分成兩組并分別求和，且使所求的兩個(gè)和的差為？
解答：，要滿足題設(shè)要求，需將這個(gè)數(shù)分成兩組，一組的和為，另一組的和為，然后把它們相減下面給出一種分法，例如：．
應(yīng)用：在，，，，，，，，，這個(gè)數(shù)前面任意添上“”或“”．
(1)能否使它們的和等于若能，給出一種添加符號(hào)的方法，若不能，請(qǐng)說明理由
(2)能否使它們的和等于若能，給出一種添加符號(hào)的方法，若不能，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)能，見解析 (2)不能，見解析
【分析】（1）要讓其計(jì)算的和為，個(gè)數(shù)的和，是負(fù)奇數(shù)，相鄰的兩個(gè)數(shù)相減其和是，不行．就考慮用兩組相鄰奇數(shù)與相鄰偶數(shù)相減求和就可以了．（2）根據(jù)數(shù)的和的奇偶性原則，一組數(shù)的和的奇偶性是不變的，是一個(gè)奇數(shù)，答案得出．
【詳解】（1）解：能使它們的和等于，如：
.（答案不唯一）
（2）解：不能. 因?yàn)橐唤M數(shù)的和的奇偶性是不變的，而是一個(gè)奇數(shù)，所以無論怎樣分，其和不可能為偶數(shù)，當(dāng)然也不會(huì)等于.
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則，及整數(shù)和的奇偶性的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則和奇偶性的運(yùn)用.
23．（2023·浙江七年級(jí)期中）如圖，一輛貨車從超市出發(fā)，向東走了千米到達(dá)小華家，繼續(xù)向東走了千米到達(dá)小穎家，然后向西走了千米到達(dá)小明家，最后回到超市超市及小明家、小華家、小穎家的大小忽略不計(jì)．

(1)以超市為原點(diǎn)，以向東的方向?yàn)檎较颍脗€(gè)單位長(zhǎng)度表示千米，請(qǐng)畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示出小明家、小華家和小穎家的位置；(2)小明家距小華家多遠(yuǎn)？(3)貨車一共行駛了多少千米？
【答案】(1)見解析；(2)小明家距小華家千米；(3)貨車一共行駛了千米．
【分析】（1）分別求出小華家、小穎家、小明家在數(shù)軸上代表的數(shù)值，再在數(shù)軸上描點(diǎn)即可得；
（2）根據(jù)數(shù)軸圖，列出式子，計(jì)算有理數(shù)的減法即可得；
（3）根據(jù)所走的行程，列出式子，計(jì)算有理數(shù)的加法即可得．
【詳解】（1）解：依題意得：小華家在數(shù)軸上表示的數(shù)為：，
小穎家在數(shù)軸上表示的數(shù)為：，
小明家在數(shù)軸上表示的數(shù)為：，
則在數(shù)軸上的位置如下所示：

（2）依題意得小明家距小華家距離為：（千米），
答：小明家距小華家千米；
（3）依題意得貨車一共行駛的距離為：（千米），
答：貨車一共行駛了千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、有理數(shù)的加減法；熟練掌握數(shù)軸的定義是解題關(guān)鍵．
24．（2023·廣東·七年級(jí)統(tǒng)考期中）設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，為正整數(shù)除以3的余數(shù)計(jì)算：(1)(2)
【答案】(1)0(2)2
【分析】根據(jù)題意可求出、的值，再根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】（1）由題意可知：表示不大于的最大整數(shù)，為正整數(shù)除以3的余數(shù)計(jì)算
∴．
（2）由題意可知：．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)新定義運(yùn)算，正確理解題意進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
25．（23-24七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）對(duì)有理數(shù)a，b定義了一種新的運(yùn)算，叫“乘加法”，記作“”．并按照此運(yùn)算寫出了一些式子：
，，，，，，，，……
(1)根據(jù)以上式子特點(diǎn)將“乘加法”法則補(bǔ)充完整：
同號(hào)得__________，異號(hào)得__________，并把絕對(duì)值__________；一個(gè)數(shù)與0相“乘加”等于__________；
(2)根據(jù)法則計(jì)算：__________；__________；
(3)若括號(hào)的作用與它在有理數(shù)運(yùn)算中的作用相同，請(qǐng)計(jì)算：
① ②
【答案】(1)正；負(fù)；相加；這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值(2)；(3)①；②
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題中給出的例子歸納法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題中給出的例子歸納出結(jié)論即可；
（2）根據(jù)（1）中的“乘加法”進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)（1）中的“乘加法”進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加；一個(gè)數(shù)與0相“乘加”等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．
故答案為：正；負(fù)；相加；這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．
（2）解：；
．
故答案為：；．
（3）解：，
故答案為：①；②．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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