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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題2.3.有理數的乘法
1. 理解有理數乘法的意義，掌握有理數乘法的法則，正確進行有理數的乘法運算；
2. 理解倒數的意義，并能求出已知數的倒數；
3. 掌握幾個有理數相乘時，積的符號的確定方法，并能熟練的進行幾個有理數的乘法運算；
4. 在運算過程中能合理使用乘法運算律使運算簡便；
5. 初步體會“分類”與“歸納”的數學思想，培養嚴謹的科學態度。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1、有理數乘法法則的辨析 3
考點2、利用有理數乘法的符號辨別 3
考點3、有理數的乘法運算 5
考點4、有理數乘法運算律 6
考點5、有理數乘法的實際應用 9
考點6、有理數乘法的新定義問題 12
考點7、倒數的概念與運用 14
模塊3：能力培優 17
1.有理數的乘法
有理數乘法法則：（下列法則中a、b為正有理數，c為任意有理數）
兩數相乘，同號得正，異號得負，積的絕對值兩乘數的絕對值的積。任何數同0相乘，都得0。
即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。
有理數乘法的運算步驟：先確定積的符號，再確定積的絕對值。
有理數乘法的應用：要得到一個數的相反數，只要將它乘。
多個有理數相乘：幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積為正數；負因數的個數是奇數時，積為負數，即“奇負偶正”。幾個數相乘，如果其中有因數為0，那么積等于0。
多個有理數相乘的運算步驟：先用上面的方法確定符號，再將各乘數的絕對值相乘作為積的絕對值。
2.有理數乘法運算律
乘法交換律：一般地，有理數乘法中，兩個數相乘，交換乘數的位置，積不變。即：。
乘法結合律：一般地，有理數乘法中，三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不變。 即：。
乘法分配律：一般地，有理數乘法中，一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加。即：。
注意：1）當用字母表示乘數時，“"號可以寫為“”或省略；
2）在遇到多數相乘的時候，注意尋找乘數為“0”或者互為倒數的因數，往往會起到事半功倍的效果；
3）公式的正用與逆用。
3.倒數
1）倒數的概念：乘積是的兩個數互為倒數。
2）倒數的性質：（1）倒數是成對出現的，單獨一個數不能稱為倒數。（2）沒有倒數。（3）互為倒數的兩個數的乘積一定是，即，互為倒數，則；反之亦然．
3）求一個非零有理數的倒數，把它的分子和分母顛倒位置即可。
（1）非零整數可以看作分母為的分數后再求倒數；（2）帶分數一定要先化成假分數之后再求倒數。
注意：（1）注意是乘積為1，要與相反數的概念區分開來；（2）互為倒數的兩個數的符號一定是相同的；（3）倒數等于本身的數有：1、-1。
考點1、有理數乘法法則的辨析
【解題方法】有理數乘法的法則
①有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數同零相乘，都得0。
③多個有理數相乘的法則：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0。
例1．（2023·湖北·七年級期中）現有以下五個結論：①兩個非負數的乘積一定是正數；②若兩個數互為相反數，則它們相乘的積是負數；③任何一個有理數都可以在數軸上表示；④兩個數的和為正數，則這兩個數可能異號；⑤幾個有理數相乘，負因數個數為奇數則乘積為負數，其中正確的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】A
【分析】根據數軸、相反數、絕對值的定義、有理數的乘法的法則分別對每一項進行分析即可．
【詳解】解：①兩個非負數的乘積一定是0或正數，原說法錯誤；故原命題錯誤；
②若兩個數（非0）互為相反數，則它們相乘的積是負數；故原命題錯誤；
③任何一個有理數都可以在數軸上表示；故原命題正確；
④兩個數的和為正數，則這兩個數可能異號，故原命題正確；
⑤幾個非零的有理數相乘，負因數個數為奇數則乘積為負數，故原命題錯誤．∴正確的有2個；
故選：A．
【點睛】此題考查了數軸、相反數、絕對值的定義、有理數的乘法的法則等知識點的運用，屬于基礎題，注意概念的掌握，及特殊例子的記憶．
變式1．（2023·浙江·七年級校考階段練習）若，則下列選項正確的是（　　）
A．a，b，c沒有一個為0 B．a，b，c只有一個為0 C．a，b，c至少一個為0 D．a，b，c三個都為0
【答案】C
【分析】根據任何數同零相乘，都得0， 依此即可求解．
【詳解】解：根據任何數同零相乘，都得0，
若，則a，b，c至少有一個為0，故選：C．
【點睛】本題考查根據任何數同零相乘，都得零，正確理解題意是解題的關鍵．
變式2.（2023 浙江七年級期中考）下列說法中正確的有（　　）
①同號兩數相乘，符號不變；②異號兩數相乘，積取負號；③數a、b互為相反數，它們的積一定為負；④四個有理數相乘，若有三個負因數，則積為負。
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】根據有理數乘法法則和相反數，絕對值的性質進行判斷便可．
【詳解】解：①同號兩數相乘，符號為正號，不是符號不變，該小題說法錯誤；
②異號兩數相乘，積取負號，這符合乘法法則，該小題說法正確；
③數a、b互為相反數，它們的積不一定為負，如a、b都為0，它們互為相反數，但它們的積為0，不為負，該小題說法錯誤；④四個有理數（0除外）相乘，若有三個負因數，則積為負，故該小題說法錯誤；故選：A．
考點2、利用有理數乘法的符號辨別
【解題方法】符號判別方法：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．
例1．（23-24七年級上·吉林長春·期中）下列式子中，積的符號為負的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查有理數的乘法法則，根據幾個不為零的數相乘，積的符號由負因數個數決定，當負因數個數是奇數個時，積為負；當負因數的個數為偶數個時，積為正；幾個數相乘，有一個因數為零，積為零．根據法則即可以準確判斷答案．
【詳解】解：A、有兩個負因數，積為正，故A錯誤，不符合題意．
B、有三個負因數，積為負，故B正確，符合題意．
C、有一個因數0，積為0，故C錯誤，不符合題意．
D、有四個負因數，積為正，故D錯誤，不符合題意．故選：B．
變式1．（2023·湖北·七年級統考期中）下列算式中，積為負數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據幾個非零數相乘，負號的個數為奇數，積為負，負號的個數為偶數，積為正，任何數乘0，都得0，進行判斷即可．
【詳解】解：，不符合題意；B、，2個負號，積為正數，不符合題意；
C、，2個負號，積為正數，不符合題意；
D、，3個負號，積為負數，符合題意；故選D．
【點睛】本題考查有理數乘法的符號法則．熟練掌握同號為正，異號為負，任何數乘0，都得0，以及幾個非零數相乘，負號的個數為奇數，積為負，負號的個數為偶數，積為正，是解題的關鍵．
變式2．（2023·河北·七年級校考階段練習）如圖，兩點在數軸上表示的數分別是，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據數軸確定的取值范圍，再逐一判定即可解答．
【詳解】解：由數軸可得：，
，，，，故選：B．
【點睛】本題考查了數軸，解決本題的關鍵是根據數軸確定的取值范圍．
考點3、有理數的乘法運算
【解題方法】根據有理數乘法的法則計算即可。
例1．（23-24七年級上·山東濟南·期末）的值是（ ）
A．12 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查有理數的乘法運算，根據有理數的乘法運算法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，直接計算即可．
【詳解】解：，故選：A．
例2．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）把表示成兩個整數的積，共出現的可能性有（ ）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
【答案】C
【分析】本題考查了有理數的乘法及可能性的大小的知識，分解質因數，比較簡單．
【詳解】解：，，，．
綜上分析可知，共4種．故選：C．
變式1．（23-24七年級上·浙江溫州·期末）計算：＝ ．
【答案】
【分析】本題考查有理數的乘法運算，先確定符號（兩數相乘，同號為正，異號為負），然后把絕對值相乘．
【詳解】解：故答案為：．
變式2．（2023七年級上·上海·專題練習）計算： ．
【答案】10
【分析】本題主要考查了有理數的乘法，將帶分數化成假分數后，利用有理數的乘法法則運算即可，利用有理數的乘法法則首先確定積的符號，這是解題的關鍵．
【詳解】解：，故答案為：10．
變式3．（23-24七年級上·安徽淮北·階段練習）下列計算結果最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查有理數的乘法運算，比較有理數的大小．先根據乘法法則，判斷出積的符號，根據正數大于0，0大于負數，進行判斷即可．
【詳解】解：根據乘法法則可知：A選項中的積為正數，B，C選項中的積為負數，D選項的積為0，
∴計算結果最大的是選項A．故選A．
考點4、有理數乘法運算律
【解題方法】運用運算律的一些技巧：
①運用結合律，將能約分的先結合計算。如：。
②小數與分數相乘，一般先將小數化為分數。如：1.2×。
③帶分數應先化為假分數的形式。如：。
④幾個分數相乘，先約分，在相乘。如；。
⑤一個數與幾個數的和相乘，通常用分配律可簡化計算。如：12×（）。
例1．（22-24七年級上·山西朔州·期中）閱讀與思考
下面是小宇同學的數學小論文，請仔細閱讀并完成相應的計算．
逆用乘法分配律解題 我們知道，乘法分配律是，反過來．這就是說，當中有相同的a時，我們可以逆用乘法分配律得到，進而可使運算簡便．例如：計算，若利用先乘后減顯然很繁瑣，注意到兩項都有，因此逆用乘法分配律可得，這樣計算就簡便得多
計算：(1)；(2)；
（3）．
【答案】(1)(2)（3）
【分析】（1）逆用分配律把原式化為，再計算即可；
（2）逆用分配律把原式化為，再計算即可；
（3）本題考查了有理數的混合運算，逆用乘法分配律計算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）
．
（3）
．
【點睛】本題考查的是有理數的乘法運算，熟練的利用乘法分配律進行簡便運算是解本題的關鍵．
例2．（2023·廣東·七年級校考期中）用簡便方法計算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)2(2)(3)0(4)
【分析】（1）利用乘法的交換律求解即可；（2）利用乘法分配律求解即可；（3）利用乘法分配律的逆運算求解即可；（4）把原式變形為，然后利用乘法分配律求解即可；
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【點睛】本題主要考查了有理數的簡便計算，熟知有理數乘法運算律是解題的關鍵．
變式1．（23-24七年級上·浙江臺州·階段練習）給下面的計算過程標明理由：
（ ）
（ ）
（ ）
【答案】見解析
【分析】本題考查了有理數的混合運算，乘法的運算律．運用乘法的運算律進行簡便計算，即可作答．
【詳解】解：
（乘法分配律）
（有理數的乘法運算）
（有理數的加法交換律）
．
變式2．（2023·浙江年級期中）計算：
(1) (2) (3)
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據有理數的乘法進行計算即可求解；（2）根據有理數的乘法分配律進行計算即可求解；
（3）根據有理數的乘法分配律進行計算即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
【點睛】本題考查有理數的乘法運算，乘法分配律，熟練掌握有理數的運算法則與運算律是解題關鍵．
考點5、有理數乘法的實際應用
【解題方法】有理數運算相關的實際應用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發生改變。能夠熟練的分析應用題的數量關系，找準解題的方法和技巧。
例1．（2024·北京平谷·一模）某工藝坊加工一件藝術品，完成該任務共需，，，，，六道工序，其中，是前期準備階段，，，是中期制作階段，為最后的掃尾階段，三個階段不能改變順序，也不能同時進行，但各階段內的幾個工序可以同時進行，完成各道工序所需時間如下表所示：
階段 準備階段 中期制作階段 掃尾階段
工序
所需時間/分鐘
加工時間每縮短一分鐘需要增加投入費用/元 不能縮短
在不考慮其它因素的前提下，加工該件藝術品最少需要 分鐘；現因情況有變，需將加工時間縮短到分鐘．每道工序加工時間每縮短一分鐘需要增加投入費用如上表，則所增加的投入最少是 元．
【答案】
【分析】本題考查了有理數的混合運算，理解題意是解題得到關鍵．求出各個階段的工序最長時間和即可求出加工該件藝術品最少需要的時間；在準備階段若縮短分鐘，在制作階段若縮短分鐘，最后分鐘則看兩個階段誰投入的費用少，即可求解．
【詳解】解：一共有三個階段，各階段內的幾個工序可以同時進行，
則加工該件藝術品最少需要：（分鐘）；
需將加工時間縮短到分鐘，則共需要縮短分鐘，
在準備階段若縮短分鐘，則需要投入（元），
在制作階段若縮短分鐘，則需要投入（元），
還要分鐘，在準備階段縮短分鐘需要投入（元），在制作階段縮短分鐘需要投入（元），，
綜上，最少投入為：（元），故答案為：，．
例2．（23-24七年級上·黑龍江·階段練習）蕭紅中學九年級12支班級籃球隊預計在三月份舉行校級籃球友誼賽，球隊進行單循環比賽（參加比賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽），則總的比賽場數為 場．
【答案】66
【分析】本題考查了有理數混合運算的應用．12支球隊舉行比賽，若每個球隊與其他隊比賽場，則兩隊之間比賽兩場，由于是單循環比賽，則共比賽場，解方程即可求解．
【詳解】解：12支球隊舉行單循環比賽，比賽的總場數為：．故答案為：66．
變式1．（23-24七年級上·廣東韶關·期中）如圖，一玻璃柜的主視圖形狀是長（）1.5米、寬（）1米的矩形，現在需要在木框架間嵌入玻璃，已知木框架寬為，則需要的玻璃總面積為 平方米．
【答案】1.17
【分析】本題考查了有理數的混合運算的應用，根據總面積（長木框架寬）（寬木框架寬）求解即可．
【詳解】解：（平方米），故答案為：1.17．
變式2．（23-24七年級上·浙江溫州·期中）根據以下素材，探索完成任務．
如何規劃游玩路線？
素材1 溫州軌道交通實行里程分段計價票制，起步價元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐嶺站到動車南站共，收費元．部分站點距離見下圖（單位：）
素材2 一名成年乘客可免費攜帶一名身高不足米（含米）的兒童乘車．
素材3 小明一家四口將乘坐輕軌出游．小明家住在新橋站附近，家庭成員如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、媽媽．
問題解決
分析規劃 任務1 從新橋站到桐嶺站為______，單人單程乘坐需車費______元．
任務2 小明一家乘坐輕軌從新橋站到三垟濕地站，需要多少車費．
確定方案 任務3 小明一家從新橋站出發，計劃共用元車費出行（往返），請你為小明一家規劃一個盡可能遠的游玩站點，并說明理由．
【答案】任務1：；；任務2：元；任務3：最遠游玩站點是科技城，理由見解析
【分析】本題考查有理數混合運算的應用，
任務1：依據題意，根據所給素材1進行計算可以得解；
任務2：依據題意，弟弟免費乘車，其他三人按照里程數進行計算可以得解；
任務3：依據題意，單程費用元，由于弟弟免費乘車，從而每人元，起步價元可乘，元可乘，故可求出最遠可行公里數，進而可以判斷得解；
正確理解題意列出算式并熟練運用運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：任務1：由題意，從新橋站到桐嶺站為：，
此時單人單程乘坐需車費：（元），故答案為：；；
任務2：由題意，弟弟免費乘車，其他三人按照里程數進行計算：
從新橋站到三坪濕地站的里程為：，∴需要車費為：（元）；
∴小明一家乘坐輕軌從新橋站到三垟濕地站，需要元車費；
任務3：最遠游玩站點是科技城．
理由：由題意，單程費用元，由于弟弟免費乘車，∴一家三口每人元，
∵起步價元可乘，∴元可乘，∴最遠可行，
∵向桐嶺方向里程為，
∴向瑤溪方向：，即最遠游玩站點是科技城．
考點6、有理數乘法的新定義問題
【解題方法】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運算、推理、遷移的一種考點.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯系起來，利用已有的知識經驗來解決問題.
例1.（23-24七年級上·四川內江·階段練習）規定，則的值等于（ ）
A．5 B． C． D．或
【答案】B
【分析】根據定義計算即可．
【詳解】解：，故選：B．
【點睛】本題考查新定義理解問題，理解定義算法是關鍵．
例2．（2023秋·湖南婁底·七年級校聯考期末）若定義一種新運算，規定，則________．
【答案】
【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值．
【詳解】解：∵，∴，故答案為：2．
【點睛】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
變式1．（2023秋·重慶萬州·七年級統考期末）定義一種新運算“”，規定：等式右邊的運算就是加、減、乘、除四則運算，例如：，．則的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據新運算的運算法則，先計算，再計算即可得解．
【詳解】解：由題意，得：，
∴；故選D．
【點睛】本題考查定義新運算．理解并掌握新運算的運算法則，是解題的關鍵．
變式2．（2023·浙江七年級校考期中）小尚同學與小志同學約定了一種新運算：對于任意有理數和，規定．小尚同學嘗試計算，現在請小志同學計算___．
【答案】
【分析】根據新定義的含義可得，再計算即可．
【詳解】解：∵，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查的是新定義運算，理解新定義的含義，再列出正確的運算式是解本題的關鍵．
變式3．（2022秋·浙江湖州·七年級校聯考階段練習）記符號表示不超過x的最大整數，如，，．(1)分別寫出和的值；(2)計算：．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用符號的意義解答即可；
（2）利用符號的意義分別求得三個的值，再利用乘法法則運算即可．
【詳解】（1），；（2）．
【點睛】本題考查有理數大小比較，有理數的乘法法則，理解并熟練利用符號的意義是解題的關鍵．
考點7、倒數的概念與運用
【解題方法】倒數的概念：乘積是的兩個數互為倒數．
（1）倒數是成對出現的，單獨一個數不能稱為倒數．（2）沒有倒數．
（3）互為倒數的兩個數的乘積一定是，即，互為倒數，則；反之亦然．
例1．（2023·山東濱州·模擬預測）2023年5月24日全球貿易投資促進峰會在北京舉行，本次峰會主題為“堅定信心合作共贏，共建開放型世界經濟”，那么2023的相反數的倒數是（　　）
A． B． C． D．2023
【答案】C
【分析】本題主要考查了相反數和倒數的定義，只有符號不同的兩個數互為相反數，據此先求出2023的相反數，再根據乘積為1的兩個數互為倒數進行求解即可．
【詳解】解：2023的相反數，的倒數是，
∴2023的相反數的倒數是故選：C．
例2．（22-23七年級上·福建廈門·期中）如果a大于b，那么a的倒數小于b的倒數，下列舉例能說明這種說法錯誤的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判斷a與b的大小，再根據倒數的定義得到它們的倒數，再比較出其大小即可．
【詳解】解∶A、的倒數是的倒數是的倒數小于的倒數，不符合題意；
B、，不符合題意；
C、的倒數是的倒數是的倒數大于的倒數，符合題意；
D、的倒數是的倒數是的倒數小于的倒數，不符合題意．故選：C．
【點睛】本題考查的是倒數的定義及有理數的大小比較，熟知特例法是解答此題的關鍵．
例3．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）下列語句說法正確的個數是（ ）
（1）幾個數相乘，積的符號與負因數的個數有關，當負因數為奇數個時，積為負，當負因數為偶數個時，積為正．（2）除以一個數等于乘以這個數的倒數．
（3）加上一個數等于減去這個數的相反數．（4）如果a大于b，那么a的倒數大于b的倒數．
（5）一個數大于另一個數的絕對值，則這個數一定是正數
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了有理數的加法，乘除法，倒數，絕對值的意義，熟練掌握與有理數的基本知識點及運算法則是解決本題的關鍵．
根據有理數的加減乘除運算法則和倒數的概念，絕對值的意義依次分析即可．
【詳解】解：（1）必須是幾個非零數相乘，積的符號與負因數的個數有關，當負因數為奇數個時，積為負，當負因數為偶數個時，積為正，故（1）不符合題意；
（2）除以一個非零數等于乘以這個數的倒數，故（2）不符合題意；
（3）加上一個數等于減去這個數的相反數，正確的，故（3）符合題意；
（4）如果a大于b，那么a的倒數大于b的倒數，這句話是錯誤的，如，
但，此時，故（4）不符合題意；
（5）一個數大于另一個數的絕對值，則這個數一定是正數，正確的，故（5）符合題意．故選：B．
變式1．（2023七年級上·成都·專題練習）做一做：
①5的倒數是 ； ②的倒數是 ； ③的倒數是 ；
④的倒數是 ； ⑤的倒數是 ； ⑥的倒數是 ．
【答案】 10
【分析】根據倒數的定義逐一判斷即可．
【詳解】解：①∵，∴5的倒數是，故答案為：；
②∵，∴的倒數是，故答案為：；
③∵，∴的倒數是10，故答案為：10；
④∵，∴的倒數是，故答案為：；
⑤∵，∴的倒數是，故答案為：；
⑥∵，∴的倒數是，故答案為：．
【點睛】本題考查了倒數的定義，解決本題的關鍵是掌握倒數的定義：分子和分母相倒并且兩個乘積是1的數互為倒數，0沒有倒數．
變式2．（2022秋·山東七年級期中）下列說法正確的是（ ）
A．兩個正數互為倒數，其中一個數必大于1 B．一個假分數的倒數一定小于本身
C．若一個數的倒數是它本身，那么這個數一定是1 D．若兩個數互為倒數，那么它們的積一定是1
【答案】D
【分析】利用特殊值分別分析再結合倒數的定義分析得出答案．
【詳解】A、因為1的倒數是1，1和1互為倒數，故說法錯誤；
B、一個假分數的倒數小于或等于本身，故此選項錯誤；
C、一個數的倒數是它本身的數有很多，除1外，還有分子和分母相同的假分數，故此選項錯誤；
D、如果兩個數互為倒數，這個就排除了兩個數不為0的情況，所以如果兩個數互為倒數，那么它們的積一定是1，故此選項正確．故選：D．
【點睛】本題考查了倒數的定義，利用特殊值分別分析是解題的關鍵．
變式3．（2023·河北滄州·校考三模）若，則下列說法正確的是（ ）
A．與互為倒數 B．與互為相反數 C．與相等 D．與相等
【答案】A
【分析】根據倒數的定義求解即可．
【詳解】解：∵，∴與互為倒數，故選A．
【點睛】本題考查了倒數，熟知倒數是指兩個數的乘積等于1，那么這兩個數互為倒數是解題的關鍵．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級上·陜西榆林·期中）關于有理數，下列說法不正確的是（ ）
A．若，那么必有
B．一個有理數和它的相反數的乘積必為負數
C．任何一個有理數同0相加的和等于這個數同1相乘的積
D．如果兩個有理數的積是負數，和是正數，那么它們符號相反，且正數的絕對值大
【答案】B
【分析】此題主要考查了有理數加減乘除的運算方法，絕對值的含義和求法，以及互為相反數的兩個數的性質和應用，根據有理數加減乘除的運算方法，絕對值的含義和求法，以及互為相反數的兩個數的性質和應用，逐項判斷即可．
【詳解】∵若，必有，∴選項A不符合題意；
∵一個有理數和它的相反數的乘積為負數或零，∴選項B符合題意；
∵任何一個有理數同0相加的和以及這個數同1相乘的積都等于這個數，
∴任何一個有理數同0相加的和等于這個數同1相乘的積，∴選項C不符合題意；
∵如果兩個有理數的積是負數，和是正數，那么它們符號相反，且正數的絕值大，
∴選項D不符合題意．故選：B．
2．（2023秋·廣東深圳·七年級統考期末）若，則（ ）0
A．> B．< C．= D．≥
【答案】A
【分析】根據多個有理數的乘法法則解答即可．
【詳解】解：∵，∴．故選：A．
【點睛】本題考查了多個有理數的乘法法則，熟練掌握有理數的乘法法則是解答本題的關鍵．幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定．當負因數為奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正；幾個有理數相乘，如果其中有一個因數為0，積就為0．
3．（2023春·福建福州·九年級校考期中）對于一個實數，如果它的倒數不存在，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據倒數的定義解答即可．
【詳解】解：∵實數的倒數不存在，∴．故選：D．
【點睛】本題考查倒數的定義：兩個數的乘積是，則它們互為倒數，沒有倒數．理解倒數的意義是解題的關鍵．
4．（2023·浙江金華·七年級校考期中）若，則的值可表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可以寫成，再利用乘法分配律即可得到結果．
【詳解】解： 故選：B．
【點睛】本題考查乘法分配律、有理數的乘法，掌握是解題的關鍵．
5．（2023秋·湖南張家界·七年級統考期末）如圖所示，在這個數據運算程序中，若開始輸入的x的值為2，結果輸出的是1，返回進行第二次運算則輸出的是﹣4，…，則第2020次輸出的結果是（　　）
A．﹣1 B．3 C．6 D．8
【答案】A
【分析】先根據數據運算程序計算出第1-8次的輸出結果，再歸納類推出一般規律，由此即可得．
【詳解】第1次運算輸出的結果為，第2次運算輸出的結果為，
第3次運算輸出的結果為，第4次運算輸出的結果為，
第5次運算輸出的結果為，第6次運算輸出的結果為，
第7次運算輸出的結果為，第8次運算輸出的結果為，
歸納類推得：從第2次運算開始，輸出結果是以循環往復的，
因為，所以第2020次運算輸出的結果與第4次輸出的結果相同，即為，故選：A．
【點睛】本題考查了程序圖與有理數計算的規律性問題，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．
6．（2023·山東七年級期中）已知三個實數a，b，c滿足，則下列結論一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據，可得a和b同號，再根據和，即可判斷a，b，c的符號．
【詳解】解：∵，∴a和b同號，
又∵和，∴．故選：A．
【點睛】本題主要考查了有理數的運算法則，解題的關鍵是掌握兩數相乘，同號得正，異號得負；同號兩數相加，取它們相同的符號；異號兩數相加，取絕對值較大數的符號．
7. （2023·重慶市·七年級期中）下列計算中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據有理數的乘法法則及乘法的分配律，分別進行判斷．
【詳解】解：A、，正確；
B、，應用了乘法分配律，正確；
C、，有三個負因數，結果應為負數，錯誤；
D、，逆用分配律，正確．故選C．
【點睛】本題主要考查了有理數的乘法法則及乘法的分配律，熟練掌握“幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正”．
8．（2024·河北滄州·二模）下邊是嘉淇對一道題的解題過程，下列說法正確的是（ ）
①
②
③
A．解題運用了乘法交換律 B．從①步開始出錯 C．從②步開始出錯 D．從③步開始出錯
【答案】C
【分析】本題考查利用有理數乘法分配律進行簡便運算，熟練掌握乘法分配律進行研究正確的計算是解的關鍵．
將化成，再運算乘法分配律計算，根據計算過程逐項判定即可．
【詳解】解：A、解題運用了乘法分配律不是交換律，故說法錯誤，不符合題意；
B、①步計算正確，故說法錯誤，不符合題意；
C、②步應為，所以從②步開始出錯，故說法正確，符合題意；
D、從②步就開始開始出錯，故說法錯誤，不符合題意；故選：C．
9．（22-23七年級上·廣州·月考）在小數的乘法中，一個因數的小數點向左移動一位，另一個因數的小數點向右移動兩位，則積變為原來的（　　）
A． B．倍 C．倍 D．
【答案】B
【分析】本題考查了有理數的乘法運算，設一個因數為，另一個因數為，的小數點向左移動一位，的小數點向右移動兩位，根據題意，列出算式，再根據有理數的乘法運算法則計算即可求解，正確列出算式是解題的關鍵．
【詳解】解：設一個因數為，另一個因數為，的小數點向左移動一位，的小數點向右移動兩位，則一個因數變為了，一個因數變為了，
∴變化后兩個因數的積為，∴積變為原來的倍，故選：．
10．（2023·江蘇宿遷·七年級統考期中）已知四個互不相等的整數a、b、c、d的乘積等于14，則它們的和等于（ ）
A． B．5 C．9 D．5或
【答案】D
【分析】因為14的整數因數只有，，，，四個不相等的整數相乘等于14，所以這四個數只可能是，，中的四個數，然后分情況求出它們的和即可．
【詳解】解：∵14的整數因數只有，，，，四個不相等的整數相乘等于14，
∴這四個數可能是1，，2，或1，，，7，
∴或，
即它們的和等于5或，故D正確．故選：D．
【點睛】本題主要考查了有理數的乘法，有理數的加法，解題的關鍵是分析出14的整數因數有哪些．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·七年級浙江期中）計算：__________．
【答案】
【分析】根據有理數的乘法進行計算即可求解．
【詳解】解：，故答案為：．
【點睛】本題考查了有理數的乘法運算，熟練掌握有理數的乘法運算法則是解題的關鍵．
12．（2023·成都市·七年級期中）用表示，例1995！=，那么的個位數字是_____________．
【答案】3
【分析】先分別求出，，，，，的值，再歸納類推出規律，由此即可得．
【詳解】，
，
，
，
，
，
由此可知，的個位數字都是0（其中，且為整數），
則的個位數字與的個位數字相同，
因為，其個位數字是3，
所以的個位數字是3，故答案為：3．
【點睛】本題考查了有理數乘法的應用，正確發現運算的規律是解題關鍵．
13．（2024·浙江·七年級校聯考期中）《算法統宗》是我國明代數學著作，它記載了多位數相乘的方法，如圖1給出了的步驟：①將34，25分別寫在方格的上邊和右邊；②把上述各數字乘積的十位（不足寫0）與個位分別填入小方格中斜線兩側；③沿斜線方向將數字相加，記錄在方格左邊和下邊；④將所得數字從左上到右下依次排列（滿十進一）．若圖2中a，b，c，d均為正整數，且c，d都不大于8，則b的值為________，該圖表示的乘積結果為_________．
【答案】 2或3 或
【分析】如圖2所示，由題意得，，由此可得，進而求出，；如圖2-1所示，的結果十位數為1，則或，由此討論b的值求解即可.
【詳解】解：如圖2所示，由題意得，，
∵都是自然數，且，∴，∴，∴；
如圖2-1所示，∵的結果十位數為1，∴或，
當時，符合題意，此時的乘積為；
當時，符合題意；，此時的乘積為；故答案為：2或3；或
【點睛】此題主要考查有理數運算的應用，解題的關鍵是根據題意找到運算特點進行求解．
14．（2023·江蘇·七年級校考期中）在數、1、、5、中任取兩個數相乘，其中最大的積是______，最小的積是______；任取三個數相乘，其中最大的積是______，最小的積是______．
【答案】 15 75
【分析】根據乘法法則，當偶數個負數相乘時積為正，當奇數個負數相乘時積為負，即可解決最大積和最小積的問題．
【詳解】解：任取兩個數相乘，其中最大的積是，最小的積是，
任取三個數相乘，其中最大的積是，最小的積是，
故答案為：15，，75，．
【點睛】本題考查了有理數的大小比較、有理數的乘法，解題關鍵要掌握有理數的大小比較、有理數的乘法法則．
15．（23-24七年級上·寧夏·期中）小陽在做一道計算題：■時，不小心一滴墨水滴在了本子上，蓋住了其中一個數字，導致他無法計算，在求助老師時老師告訴他：“被蓋住的數字是4，7，10，11其中的一個，并且這道題直接用乘法結合律來計算會非常簡便”，則被蓋住的數字可能是 ．
【答案】7
【分析】本題主要考查有理數的乘法運算，根據直接用乘法結合律來計算會非常簡便來確定即可．
【詳解】解：被蓋住的數字是4，7，10，11其中的一個，
并且直接用乘法結合律來計算會非常簡便，
觀察■，只有數字7可以直接用乘法結合律來計算．
故答案為：7．
16．（23-24七年級上·福建廈門·期中）用乘法分配律進行簡便運算： 。（只需寫出接下來的一步，不必算出答案）．
【答案】
【分析】把寫成的形式，再利用分配律比較簡便．
【詳解】解：
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了有理數的乘除運算，靈活運用乘法的分配律是解決本題的關鍵．
17．（2023·山西呂梁·七年級期中）有理數的乘法運算，除了用乘法口訣外，現有一種“劃線法”：如圖1，表示的乘法算式是12×23=276；圖2表示的是123×24=2952．則圖3表示的乘法算式是___．
【答案】31×42=1302
【分析】通過觀察發現，從左到右是一個乘數的高位到個位，從下到上是另一個乘數的數高位到個位，由此可求解．
【詳解】解：31×42=1302，故答案為：31×42=1302．
【點睛】本題考查有理數的乘法，通過觀察所給的圖形，結合乘法算式，找到運算規律是解題的關鍵．
18．（2023·浙江·七年級校考期中）定義新運算“*”為： ，則當時，計算的結果為_____．
【答案】8
【分析】利用定義計算即可．
【詳解】解：∵，∴故答案為：8．
【點睛】本題主要考查有理數的混合運算，能夠讀懂新定義并按照定義進行計算是解題關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19.（2023·江蘇七年級期中）計算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）； （2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）； （4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
【答案】（1）；（2）-1.2；（3）-84；（4）149；（5）；（6）-1
【分析】（1）把帶分數化為假分數，小數化為分數，然后根據有理數的乘法法則進行計算即可得解；
（2）根據有理數的乘法運算法則進行計算即可得解；（3）利用乘法交換結合律進行計算即可得解；
（4）把寫成，然后利用乘法分配律進行計算即可得解；（5）逆運用乘法分配律進行計算即可得解；（6）先算小括號里面的，再根據有理數的乘法運算法則進行計算即可得解．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
；
（6）．
【點睛】本題考查有理數的乘法，利用運算定律可以使計算更加簡便，計算時要注意運算符號的處理．
20．（23-24七年級上·山東·課堂例題）運用運算律進行簡便計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)；
(7)； (8)．
【答案】(1)(2)15(3)(4)(5)7(6)5(7)(8)0
【分析】（1）先將后兩項結合進行計算，再算乘法即可得；
（2）先將帶分數化為假分數，再將第一項和第三項結合進行計算，最后算乘法即可得；
（3）先將第一項和第三項結合進行計算，，再算乘法即可得；
（4）將第一項和第三項結合，第二項和第四項結合，分別進行計算，最后計算乘法即可得；
（5）運用乘法分配律進行計算即可得；
（6）先將帶分數化為假分數，小數化為分數，再運用乘法分配律進行計算即可得；
（7）將帶分數化為假分數，化為，運用乘法分配律進行計算即可得；
（8）將提出來，先計算括號里的，再計算乘法即可得．
【詳解】（1）解：原式=
=
=；
（2）解：原式=
=
=；
（3）解：原式=
=
=；
（4）解：原式=
=
=；
（5）解：原式=
=
=7；
（6）解：原式=
=
=5；
（7）解：原式=
=
=
=；
（8）解：原式=
=
=0．
【點睛】本題考查了有理數的簡便運算，解題的關鍵是掌握有理數運算的運算法則和運算順序．
21．（2023·陜西榆林·七年級校考期末）某食堂購進30袋大米，每袋以50千克為標準，超過的記為正，不足的記為負，稱重記錄如下表：
與標準重量偏差（單位：千克） 0 1 2 3
袋數 5 10 3 1 5 6
(1)這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差多少千克？
(2)這30袋大米的總重量比標準總重量多或少了多少千克？
(3)大米的單價是每千克元，食堂購進大米總共花了多少錢？
【答案】(1)5千克(2)9千克(3)元
【分析】（1）根據表中的數據及題意列式計算，即可求解；
（2）根據表中的數據及題意列式計算，即可求解；
（3）首先求得大米的總重量，再乘以單價，即可求解
【詳解】（1）解：（千克），
答：這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差5千克
（2）解：（千克），
答：這30袋大米的總重量比標準總重量多了9千克
（3）解：這30袋大米的總重量為（千克），
食堂購進大米總共花了（元）．
答：食堂購進大米總共花了元．
【點睛】本題考查了有理數混合運算的應用，根據題意，準確列出算式是解決本題的關鍵．
22．（23-24七年級上·遼寧大連·期末）如圖1，2023年12月8日，某校為紀念一二·九運動，組織全校學生在學校操場進行米接力賽，該校操場一圈是米．比賽分年級進行，以班級為單位，每個班級選出男女各5名學生參加比賽，平均每人持棒跑米．首先，我們需要了解一下交接棒的規則．如圖2，在《田徑規則》中規定，接力比賽中，交接棒必須在米的接力區內完成．在這個區域內完成交接棒，可以確保交接棒的雙方都有足夠的時間和空間來準備和完成交接棒．因為該校操場一圈是米，每人平均跑米，故安排兩個接力區，第一棒運動員從起點到第一接力區中心線的里程是米．第一接力區與第二接力區中心線間里程也是米．
以米為基準，其中實際持棒里程超過基準的米數記為正數，不足的記為負數，并將其稱為里程波動值．下表記錄了七年1班名運動員中部分人的里程波動值．
棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9
里程波動值 2 8
(1)第1棒運動員的實際里程為__________米；(2)若第4棒運動員的實際里程為米．
①第4棒運動員的里程波動值為__________；②求第7棒運動員的實際里程．
【答案】(1)(2)①5②
【分析】本題考查正數和負數及有理數運算的實際應用，結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．
（1）根據正數和負數的實際意義列式計算即可；
（2）①根據正數和負數的實際意義列式計算即可；②根據正數和負數的實際意義列式計算即可．
【詳解】（1）解：(米)，
即第1棒運動員的實際里程為米，故答案為∶；
（2）①(米)，即第4棒運動員的里程波動值為5，故答案為∶5；
②（米）
名運動員的里程波動值的和是0，第7棒里程波動值是0，
即第7棒運動員的實際里程為米．
23．（2023·河北衡水·校聯考模擬預測）已知算式“”．
(1)嘉嘉將數字“5”抄錯了，所得結果為，則嘉嘉把“5”錯寫成了________；
(2)淇淇不小心把運算符號“×”錯看成了“+”，求淇淇的計算結果比原題的正確結果大多少？
【答案】(1)3 (2)比原題的正確結果大11
【分析】（1）將數字“5”改成空格，采用有理數的運算可以得到結果．
（2）重新計算得結果，再作差運算得到結果．
【詳解】（1）
所以把“5”錯寫成了“3”
（2）原題正確結果，
淇淇的結果：，，所以結果比原題的正確結果大11．
【點睛】本題采用靈活的形式進行有理數的混合運算，須小心審題，看清題目的要求，正確提取信息和計算是解題的關鍵．
24．（2023·湖北七年級月考）已知、為有理數，現規定一種新運算，滿足．（1）_________；（2）求的值．（3）新運算是否滿足加法交換律，若滿足請說明理由：若不滿足，請舉出一個反例．
【答案】（1）-6；（2）；（3）不滿足，舉例見解析
【分析】（1）根據新定義列式計算即可；（2）根據新定義分兩步列式計算即可；
（3）根據新運算可知運用交換律出的結果和原來的結果不同，所以不滿足，舉例說明即可．
【解析】（1）(-2)×4-(-2)=-8+2=-6
（2）
（3）∵新運算 ∴運用加法加法交換律可得：
假設，則=3×4-3=9
=4×3-4=8 ∴不能用交換律．
【點睛】本題考查有理數的運算，解題關鍵是掌握新定義規定的運算法則、有理數乘方法則等知識．
25．（2023秋·重慶秀山·七年級統考期末）閱讀下列文字，并回答：
每個假分數可以寫成一個自然數與一個真分數的和（例如），這個真分數的倒數又可以寫成一個自然數與一個真分數的和（如），反復進行同樣的過程，直到真分數的倒數是一個自然數為止（如；），我們把用這種方法得到的自然數，按照先后順序寫成一個數組，那么，這個數組叫做由這個假分數生成的自然數組．如：對于假分數，則，，；，所生成的自然數組為，請回答：
(1)所生成的自然數組為{ }
(2)某個假分數所生成的自然數組為，這個假分數為多少？
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根據生成的自然數組的定義即可求解；（2）根據生成的自然數組的定義逆推即可求解．
【詳解】（1）解：，，，，
∴所生成的自然數組為．故答案為：．
（2）解：∵，，，，
∴假分數所生成的自然數組為．
【點睛】本題主要考查了有理數的加法，解題的關鍵是理解題意，熟練掌握生成的自然數組的定義．
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專題2.3.有理數的乘法
1. 理解有理數乘法的意義，掌握有理數乘法的法則，正確進行有理數的乘法運算；
2. 理解倒數的意義，并能求出已知數的倒數；
3. 掌握幾個有理數相乘時，積的符號的確定方法，并能熟練的進行幾個有理數的乘法運算；
4. 在運算過程中能合理使用乘法運算律使運算簡便；
5. 初步體會“分類”與“歸納”的數學思想，培養嚴謹的科學態度。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1、有理數乘法法則的辨析 3
考點2、利用有理數乘法的符號辨別 3
考點3、有理數的乘法運算 5
考點4、有理數乘法運算律 6
考點5、有理數乘法的實際應用 9
考點6、有理數乘法的新定義問題 12
考點7、倒數的概念與運用 14
模塊3：能力培優 17
1.有理數的乘法
有理數乘法法則：（下列法則中a、b為正有理數，c為任意有理數）
兩數相乘，同號得正，異號得負，積的絕對值兩乘數的絕對值的積。任何數同0相乘，都得0。
即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。
有理數乘法的運算步驟：先確定積的符號，再確定積的絕對值。
有理數乘法的應用：要得到一個數的相反數，只要將它乘。
多個有理數相乘：幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積為正數；負因數的個數是奇數時，積為負數，即“奇負偶正”。幾個數相乘，如果其中有因數為0，那么積等于0。
多個有理數相乘的運算步驟：先用上面的方法確定符號，再將各乘數的絕對值相乘作為積的絕對值。
2.有理數乘法運算律
乘法交換律：一般地，有理數乘法中，兩個數相乘，交換乘數的位置，積不變。即：。
乘法結合律：一般地，有理數乘法中，三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不變。 即：。
乘法分配律：一般地，有理數乘法中，一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加。即：。
注意：1）當用字母表示乘數時，“"號可以寫為“”或省略；
2）在遇到多數相乘的時候，注意尋找乘數為“0”或者互為倒數的因數，往往會起到事半功倍的效果；
3）公式的正用與逆用。
3.倒數
1）倒數的概念：乘積是的兩個數互為倒數。
2）倒數的性質：（1）倒數是成對出現的，單獨一個數不能稱為倒數。（2）沒有倒數。（3）互為倒數的兩個數的乘積一定是，即，互為倒數，則；反之亦然．
3）求一個非零有理數的倒數，把它的分子和分母顛倒位置即可。
（1）非零整數可以看作分母為的分數后再求倒數；（2）帶分數一定要先化成假分數之后再求倒數。
注意：（1）注意是乘積為1，要與相反數的概念區分開來；（2）互為倒數的兩個數的符號一定是相同的；（3）倒數等于本身的數有：1、-1。
考點1、有理數乘法法則的辨析
【解題方法】有理數乘法的法則
①有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數同零相乘，都得0。
③多個有理數相乘的法則：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0。
例1．（2023·湖北·七年級期中）現有以下五個結論：①兩個非負數的乘積一定是正數；②若兩個數互為相反數，則它們相乘的積是負數；③任何一個有理數都可以在數軸上表示；④兩個數的和為正數，則這兩個數可能異號；⑤幾個有理數相乘，負因數個數為奇數則乘積為負數，其中正確的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
變式1．（2023·浙江·七年級校考階段練習）若，則下列選項正確的是（　　）
A．a，b，c沒有一個為0 B．a，b，c只有一個為0 C．a，b，c至少一個為0 D．a，b，c三個都為0
變式2.（2023 浙江七年級期中考）下列說法中正確的有（　　）
①同號兩數相乘，符號不變；②異號兩數相乘，積取負號；③數a、b互為相反數，它們的積一定為負；④四個有理數相乘，若有三個負因數，則積為負。
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
考點2、利用有理數乘法的符號辨別
【解題方法】符號判別方法：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．
例1．（23-24七年級上·吉林長春·期中）下列式子中，積的符號為負的是（　　）
A． B．
C． D．
變式1．（2023·湖北·七年級統考期中）下列算式中，積為負數的是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023·河北·七年級校考階段練習）如圖，兩點在數軸上表示的數分別是，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
考點3、有理數的乘法運算
【解題方法】根據有理數乘法的法則計算即可。
例1．（23-24七年級上·山東濟南·期末）的值是（ ）
A．12 B．7 C． D．
例2．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）把表示成兩個整數的積，共出現的可能性有（ ）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
變式1．（23-24七年級上·浙江溫州·期末）計算：＝ ．
變式2．（2023七年級上·上海·專題練習）計算： ．
變式3．（23-24七年級上·安徽淮北·階段練習）下列計算結果最大的是（ ）
A． B． C． D．
考點4、有理數乘法運算律
【解題方法】運用運算律的一些技巧：
①運用結合律，將能約分的先結合計算。如：。
②小數與分數相乘，一般先將小數化為分數。如：1.2×。
③帶分數應先化為假分數的形式。如：。
④幾個分數相乘，先約分，在相乘。如；。
⑤一個數與幾個數的和相乘，通常用分配律可簡化計算。如：12×（）。
例1．（22-24七年級上·山西朔州·期中）閱讀與思考
下面是小宇同學的數學小論文，請仔細閱讀并完成相應的計算．
逆用乘法分配律解題 我們知道，乘法分配律是，反過來．這就是說，當中有相同的a時，我們可以逆用乘法分配律得到，進而可使運算簡便．例如：計算，若利用先乘后減顯然很繁瑣，注意到兩項都有，因此逆用乘法分配律可得，這樣計算就簡便得多
計算：(1)；(2)；
（3）．
例2．（2023·廣東·七年級校考期中）用簡便方法計算：
(1) (2)
(3) (4)
變式1．（23-24七年級上·浙江臺州·階段練習）給下面的計算過程標明理由：
（ ）
（ ）
（ ）
變式2．（2023·浙江年級期中）計算：
(1) (2) (3)
考點5、有理數乘法的實際應用
【解題方法】有理數運算相關的實際應用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發生改變。能夠熟練的分析應用題的數量關系，找準解題的方法和技巧。
例1．（2024·北京平谷·一模）某工藝坊加工一件藝術品，完成該任務共需，，，，，六道工序，其中，是前期準備階段，，，是中期制作階段，為最后的掃尾階段，三個階段不能改變順序，也不能同時進行，但各階段內的幾個工序可以同時進行，完成各道工序所需時間如下表所示：
階段 準備階段 中期制作階段 掃尾階段
工序
所需時間/分鐘
加工時間每縮短一分鐘需要增加投入費用/元 不能縮短
在不考慮其它因素的前提下，加工該件藝術品最少需要 分鐘；現因情況有變，需將加工時間縮短到分鐘．每道工序加工時間每縮短一分鐘需要增加投入費用如上表，則所增加的投入最少是 元．
例2．（23-24七年級·黑龍江·階段練習）蕭紅中學九年級12支班級籃球隊預計在三月份舉行校級籃球友誼賽，球隊進行單循環比賽（參加比賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽），則總的比賽場數為 場．
變式1．（23-24七年級上·廣東韶關·期中）如圖，一玻璃柜的主視圖形狀是長（）1.5米、寬（）1米的矩形，現在需要在木框架間嵌入玻璃，已知木框架寬為，則需要的玻璃總面積為 平方米．
變式2．（23-24七年級上·浙江溫州·期中）根據以下素材，探索完成任務．
如何規劃游玩路線？
素材1 溫州軌道交通實行里程分段計價票制，起步價元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐嶺站到動車南站共，收費元．部分站點距離見下圖（單位：）
素材2 一名成年乘客可免費攜帶一名身高不足米（含米）的兒童乘車．
素材3 小明一家四口將乘坐輕軌出游．小明家住在新橋站附近，家庭成員如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、媽媽．
問題解決
分析規劃 任務1 從新橋站到桐嶺站為______，單人單程乘坐需車費______元．
任務2 小明一家乘坐輕軌從新橋站到三垟濕地站，需要多少車費．
確定方案 任務3 小明一家從新橋站出發，計劃共用元車費出行（往返），請你為小明一家規劃一個盡可能遠的游玩站點，并說明理由．
考點6、有理數乘法的新定義問題
【解題方法】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運算、推理、遷移的一種考點.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯系起來，利用已有的知識經驗來解決問題.
例1.（23-24七年級上·四川內江·階段練習）規定，則的值等于（ ）
A．5 B． C． D．或
例2．（2023秋·湖南婁底·七年級校聯考期末）若定義一種新運算，規定，則________．
變式1．（2023秋·重慶萬州·七年級統考期末）定義一種新運算“”，規定：等式右邊的運算就是加、減、乘、除四則運算，例如：，．則的值是（ ）．
A． B． C． D．
變式2．（2023·浙江七年級期中）小尚同學與小志同學約定了一種新運算：對于任意有理數和，規定．小尚同學嘗試計算，現在請小志同學計算_．
變式3．（2022秋·浙江湖州·七年級校聯考階段練習）記符號表示不超過x的最大整數，如，，．(1)分別寫出和的值；(2)計算：．
考點7、倒數的概念與運用
【解題方法】倒數的概念：乘積是的兩個數互為倒數．
（1）倒數是成對出現的，單獨一個數不能稱為倒數．（2）沒有倒數．
（3）互為倒數的兩個數的乘積一定是，即，互為倒數，則；反之亦然．
例1．（2023·山東濱州·模擬預測）2023年5月24日全球貿易投資促進峰會在北京舉行，本次峰會主題為“堅定信心合作共贏，共建開放型世界經濟”，那么2023的相反數的倒數是（　　）
A． B． C． D．2023
例2．（22-23七年級上·福建廈門·期中）如果a大于b，那么a的倒數小于b的倒數，下列舉例能說明這種說法錯誤的是（）
A． B． C． D．
例3．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）下列語句說法正確的個數是（ ）
（1）幾個數相乘，積的符號與負因數的個數有關，當負因數為奇數個時，積為負，當負因數為偶數個時，積為正．（2）除以一個數等于乘以這個數的倒數．
（3）加上一個數等于減去這個數的相反數．（4）如果a大于b，那么a的倒數大于b的倒數．
（5）一個數大于另一個數的絕對值，則這個數一定是正數
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
變式1．（2023七年級上·成都·專題練習）做一做：
①5的倒數是 ； ②的倒數是 ； ③的倒數是 ；
④的倒數是 ； ⑤的倒數是 ； ⑥的倒數是 ．
變式2．（2022秋·山東七年級期中）下列說法正確的是（ ）
A．兩個正數互為倒數，其中一個數必大于1 B．一個假分數的倒數一定小于本身
C．若一個數的倒數是它本身，那么這個數一定是1 D．若兩個數互為倒數，那么它們的積一定是1
變式3．（2023·河北滄州·校考三模）若，則下列說法正確的是（ ）
A．與互為倒數 B．與互為相反數 C．與相等 D．與相等
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級上·陜西榆林·期中）關于有理數，下列說法不正確的是（ ）
A．若，那么必有
B．一個有理數和它的相反數的乘積必為負數
C．任何一個有理數同0相加的和等于這個數同1相乘的積
D．如果兩個有理數的積是負數，和是正數，那么它們符號相反，且正數的絕對值大
2．（2023秋·廣東深圳·七年級統考期末）若，則（ ）0
A．> B．< C．= D．≥
3．（2023春·福建福州·九年級校考期中）對于一個實數，如果它的倒數不存在，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江金華·七年級校考期中）若，則的值可表示為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·湖南張家界·七年級統考期末）如圖所示，在這個數據運算程序中，若開始輸入的x的值為2，結果輸出的是1，返回進行第二次運算則輸出的是﹣4，…，則第2020次輸出的結果是（　　）
A．﹣1 B．3 C．6 D．8
6．（2023·山東七年級期中）已知三個實數a，b，c滿足，則下列結論一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
7. （2023·重慶市·七年級期中）下列計算中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·河北滄州·二模）下邊是嘉淇對一道題的解題過程，下列說法正確的是（ ）
①
②
③
A．解題運用了乘法交換律 B．從①步開始出錯 C．從②步開始出錯 D．從③步開始出錯
9．（22-23七年級上·廣州·月考）在小數的乘法中，一個因數的小數點向左移動一位，另一個因數的小數點向右移動兩位，則積變為原來的（　　）
A． B．倍 C．倍 D．
10．（2023·江蘇宿遷·七年級統考期中）已知四個互不相等的整數a、b、c、d的乘積等于14，則它們的和等于（ ）
A． B．5 C．9 D．5或
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·七年級浙江期中）計算：__________．
12．（2023·成都市·七年級期中）用表示，例1995！=，那么的個位數字是_____________．
13．（2024·浙江·七年級校聯考期中）《算法統宗》是我國明代數學著作，它記載了多位數相乘的方法，如圖1給出了的步驟：①將34，25分別寫在方格的上邊和右邊；②把上述各數字乘積的十位（不足寫0）與個位分別填入小方格中斜線兩側；③沿斜線方向將數字相加，記錄在方格左邊和下邊；④將所得數字從左上到右下依次排列（滿十進一）．若圖2中a，b，c，d均為正整數，且c，d都不大于8，則b的值為________，該圖表示的乘積結果為_________．
14．（2023·江蘇·七年級校考期中）在數、1、、5、中任取兩個數相乘，其中最大的積是______，最小的積是______；任取三個數相乘，其中最大的積是______，最小的積是______．
15．（23-24七年級上·寧夏·期中）小陽在做一道計算題：■時，不小心一滴墨水滴在了本子上，蓋住了其中一個數字，導致他無法計算，在求助老師時老師告訴他：“被蓋住的數字是4，7，10，11其中的一個，并且這道題直接用乘法結合律來計算會非常簡便”，則被蓋住的數字可能是 ．
16．（23-24七年級上·福建廈門·期中）用乘法分配律進行簡便運算： 。（只需寫出接下來的一步，不必算出答案）．
17．（2023·山西呂梁·七年級期中）有理數的乘法運算，除了用乘法口訣外，現有一種“劃線法”：如圖1，表示的乘法算式是12×23=276；圖2表示的是123×24=2952．則圖3表示的乘法算式是___．
18．（2023·浙江·七年級校考期中）定義新運算“*”為： ，則當時，計算的結果為_____．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19.（2023·江蘇七年級期中）計算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）； （2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）； （4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
20．（23-24七年級上·山東·課堂例題）運用運算律進行簡便計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)；
(7)； (8)．
21．（2023·陜西榆林·七年級校考期末）某食堂購進30袋大米，每袋以50千克為標準，超過的記為正，不足的記為負，稱重記錄如下表：
與標準重量偏差（單位：千克） 0 1 2 3
袋數 5 10 3 1 5 6
(1)這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差多少千克？
(2)這30袋大米的總重量比標準總重量多或少了多少千克？
(3)大米的單價是每千克元，食堂購進大米總共花了多少錢？
22．（23-24七年級上·遼寧大連·期末）如圖1，2023年12月8日，某校為紀念一二·九運動，組織全校學生在學校操場進行米接力賽，該校操場一圈是米．比賽分年級進行，以班級為單位，每個班級選出男女各5名學生參加比賽，平均每人持棒跑米．首先，我們需要了解一下交接棒的規則．如圖2，在《田徑規則》中規定，接力比賽中，交接棒必須在米的接力區內完成．在這個區域內完成交接棒，可以確保交接棒的雙方都有足夠的時間和空間來準備和完成交接棒．因為該校操場一圈是米，每人平均跑米，故安排兩個接力區，第一棒運動員從起點到第一接力區中心線的里程是米．第一接力區與第二接力區中心線間里程也是米．
以米為基準，其中實際持棒里程超過基準的米數記為正數，不足的記為負數，并將其稱為里程波動值．下表記錄了七年1班名運動員中部分人的里程波動值．
棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9
里程波動值 2 8
(1)第1棒運動員的實際里程為__________米；(2)若第4棒運動員的實際里程為米．
①第4棒運動員的里程波動值為__________；②求第7棒運動員的實際里程．
23．（2023·河北衡水·校聯考模擬預測）已知算式“”．
(1)嘉嘉將數字“5”抄錯了，所得結果為，則嘉嘉把“5”錯寫成了________；
(2)淇淇不小心把運算符號“×”錯看成了“+”，求淇淇的計算結果比原題的正確結果大多少？
24．（2023·湖北七年級月考）已知、為有理數，現規定一種新運算，滿足．（1）_________；（2）求的值．（3）新運算是否滿足加法交換律，若滿足請說明理由：若不滿足，請舉出一個反例．
25．（2023秋·重慶秀山·七年級統考期末）閱讀下列文字，并回答：
每個假分數可以寫成一個自然數與一個真分數的和（例如），這個真分數的倒數又可以寫成一個自然數與一個真分數的和（如），反復進行同樣的過程，直到真分數的倒數是一個自然數為止（如；），我們把用這種方法得到的自然數，按照先后順序寫成一個數組，那么，這個數組叫做由這個假分數生成的自然數組．如：對于假分數，則，，；，所生成的自然數組為，請回答：
(1)所生成的自然數組為{ }(2)某個假分數所生成的自然數組為，這個假分數為多少？
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