資源簡介

第 01 講 函數的概念及其表示
目錄
01 考情透視·目標導航.................................................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航.................................................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究.................................................................................................................................................4
知識點 1：函數的概念 ................................................................................................................................................4
知識點 2：函數的三要素 ............................................................................................................................................4
知識點 3：函數的表示法 ............................................................................................................................................5
知識點 4：分段函數 ....................................................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................5
題型一：函數的概念 ...................................................................................................................................................6
題型二：同一函數的判斷 ...........................................................................................................................................7
題型三：給出函數解析式求解定義域 .......................................................................................................................8
題型四：抽象函數定義域 ...........................................................................................................................................8
題型五：函數定義域的綜合應用 ...............................................................................................................................9
題型六：待定系數法求解析式 ...................................................................................................................................9
題型七：換元法求解析式 .........................................................................................................................................10
題型八：方程組消元法求解析式 .............................................................................................................................11
題型九：賦值法求解析式 .........................................................................................................................................11
題型十：求值域的 7 個基本方法 .............................................................................................................................12
題型十一：數形結合求值域 .....................................................................................................................................14
題型十二：值域與求參問題 .....................................................................................................................................15
題型十三：判別式法求值域 .....................................................................................................................................15
題型十四：三角換元法求值域 .................................................................................................................................16
題型十五：分段函數求值、求參數問題 .................................................................................................................16
題型十六：分段函數與方程、不等式 .....................................................................................................................17
04 真題練習·命題洞見 ...............................................................................................................................................18
05 課本典例·高考素材 ...............................................................................................................................................18
06 易錯分析·答題模板 ...............................................................................................................................................20
易錯點：錯求抽象函數的定義域 .............................................................................................................................20
答題模板：求抽象函數的定義域 .............................................................................................................................20
考點要求 考題統計 考情分析
（1）了解函數的含義，會求簡
單函數的定義域和值域． 高考對函數的概念及其表示的考查相
2024年上海卷第 2題，5分
（2）在實際情景中，會根據不 對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均
2024年 I卷第 8題，5分
同的需要選擇恰當的方法（如圖 變化不大．高考對本節的考查不會有大的
2023年北京卷第 15題，5分
象法、列表法、解析法）表示函 變化，仍將以分段函數、定義域、值域及
2022年浙江卷第 14題，5分
數． 最值為主，綜合考查不等式與函數的性
2021年浙江卷第 12題，5分
（3）了解簡單的分段函數，并 質．
會簡單的應用．
復習目標：
1、掌握函數的概念，了解構成函數的要素
2、會求常見函數的定義域和值域
3、掌握求函數解析式的方法
知識點 1：函數的概念
（1）一般地，給定非空數集 A ， B ，按照某個對應法則 f ，使得 A 中任意元素 x ，都有 B 中唯一
確定的 y與之對應，那么從集合 A 到集合 B 的這個對應，叫做從集合 A 到集合 B 的一個函數．記作：
x y f (x) ， x A．集合 A 叫做函數的定義域，記為 D ，集合{ y y f ( x ) ， x A}叫做值域，記為 C ．
（2）函數的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射．
【診斷自測】下列圖象中，y 不是 x 的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
知識點 2：函數的三要素
（1）函數的三要素：定義域、對應關系、值域．
（2）如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數為同一個函數．
3
【診斷自測】下列四組函數：① f x x, g x x2 ；② f x x, g x 3 x ；③
f x x2 - 2x +1, g t t 2 - 2t +1； ④ f x 1, g x x0 ；其中表示同一函數的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．③④
知識點 3：函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
1- x2
【診斷自測】已知函數 f 1- x x 0 ，則 f x 2 （ ）x
1 1
A． -1 x 0 x -1 2 B． 2
-1 x 1
x -1
4
C． -1 x
4
0
x -1 2 D． x -1 2
-1 x 1
知識點 4：分段函數
若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分
段函數．
ì2x-1, x <1,

【診斷自測】（2024·吉林·模擬預測）已知 f x í x 若 f a 1，則實數 a的值為（ ）
, x 1.
2
A．1 B．4 C．1 或 4 D．2
解題方法總結
1、基本的函數定義域限制
求解函數的定義域應注意：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次方根的被開方數大于或等于零：
（3）對數的真數大于零，底數大于零且不等于 1；
（4）零次冪或負指數次冪的底數不為零；
（5）三角函數中的正切 y tan x 的定義域是 x x R,且 x kx p+ ,k Z ü ；2
（6）已知 f x 的定義域求解 f ég x ù 的定義域，或已知 f ég x ù 的定義域求 f x 的定義域，遵循
兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；
（7）對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域．
2、基本初等函數的值域
（1） y kx + b (k 0) 的值域是 R ．
2
（2） y ax2 bx 4ac - b+ + c (a 0) 的值域是：當 a > 0時，值域為 {y y }；當 a < 0 時，值域為
4a
{y y 4ac - b
2
}．
4a
k
（3） y (k 0) 的值域是{y y 0}．
x
（4） y a x (a > 0 且 a 1) 的值域是 (0，+ ) ．
（5） y loga x (a > 0且 a 1) 的值域是 R ．
題型一：函數的概念
【典例 1-1】下列對應是從集合 A 到集合 B 的函數的是（ ）
A． A N, B N, f : x y x –1 2 B． A N, B N, f : x y ± x
C． A N, B Q, f : x y
1
D． A R, B y | y > 0 , f : x y x
x –1
【典例 1-2】已知 f x 是定義在有限實數集 A 上的函數，且1 A，若函數 f x 的圖象繞原點逆時針
旋轉30o后與原圖象重合，則 f 1 的值可能是（ ）
A 3．0 B． C 3． D． 3
3 2
【方法技巧】
利用函數概念判斷：（1）A，B 是非空的實數集；（2）數集 A 中的任何一個元素在數集 B 中只有一個
元素與之對應，即 “多對一”，不能“一對多”，而數集 B 中有可能存在與數集 A 中元素不對應的元素.
π
【變式 1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函數 y f x 的圖像繞原點逆時針旋轉 后與原圖像重合，
2
則在以下各項中， y f x 的定義域不可能是（ ）
A． -2, -1,0,1,2 B． -1,0,1
C． -π, π D．R
1
【變式 1-2】將函數 y sin x + x x
π
éê0,
ù
ú ÷的圖象繞著原點沿逆時針方向旋轉q 角得到曲線Γ ，已知2 è 2
曲線Γ 始終保持為函數圖象，則 tanq 的最大值為（ ）
A 1 2
3
． 2 B． 3 C．1 D． 2
【變式 1-3】存在定義域為R 的函數 f x ，滿足對任意 x R ，使得下列等式成立的是（ ）
A f x2． x3 B． f cos x x
C f x2． + x x D． f x x2 +1
題型二：同一函數的判斷
【典例 2-1】下列各組函數相等的是（ ）
2
A． f x 4 x2 ， g x x B． f x x -1， g x x -1x
C． f x 1， g x 0
x, x 0
x D． f x x ， g x ì í
-x, x < 0
【典例 2-2】（多選題）下列各項不能表示同一個函數的是（ ）
2
A． f x x -1 與 g x x +1 B． f x x2 -1與 g x x -1
x -1
C． f 1t 1+ t 與 g x 1+ x D． f x 1與 g x x ×
1- t 1- x x
【方法技巧】
當且僅當給定兩個函數的定義域和對應法則完全相同時，才表示同一函數，否則表示不同的函數．
【變式 2-1】（多選題）下列各組函數表示的是不同函數的是（ ）
A． f (x) -2x3 與 g(x) x × -2x
B． f x x 與 g(x) x2
C． f x x +1與 g x x + x0
D． f (x) x × x +1 與 g(x) x2 + x
【變式 2-2】以下四組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A． f x x與 g x x2
B． f (x) 1+ x × 1- x 與 g(x) 1- x2
C． y x0 與 y 1
D． f (x) x +1 × x -1與 g(x) x2 -1
【變式 2-3】（多選題）（2024·高三·浙江金華·期末）已知函數 g x f ex h x e f x ， ．（ ）
A．若 f x 0，則 g x h x 0
B．若 f x x ，則 g x h x
C．對于 g x h x ，若 f x xa ，則a 1
D．對于 g x h x ，若 f x loga x a > 0,a 1 ，則 a e
題型三：給出函數解析式求解定義域
1
【典例 3-1】（2024·北京通州·二模）已知函數 f x x 2 + lg x - 2 的定義域為 ．
【典例 3-2】已知等腰三角形的周長為 40cm，底邊長 y cm 是腰長 x cm 的函數，則函數的定義域為(
A． 10,20 B． 0,10 C． 5,10 D． 5,10
【方法技巧】
對求函數定義域問題的思路是：
（1）先列出使式子 f x 有意義的不等式或不等式組；
（2）解不等式組；
（3）將解集寫成集合或區間的形式．
【變式 3-1】函數 f x ln x +1 + 1- x 的定義域是 .
f x lg1+ 2x【變式 3-2】（2024·北京懷柔·模擬預測）函數 的定義域是 .
x
1
【變式 3-3】（2024·北京平谷·模擬預測）函數 f x + ln 1- x 的定義域是
x + 2
題型四：抽象函數定義域
y f 1
f x
【典例 4-1】已知函數 x +12 ÷
的定義域是 2,4 ，則函數 g x
è ln x 2 的定義域為（ ）-
A． 2,3 B． 2,3
C． 2,3 U 3,6 D． 2,3 U 3,4
f (3x - 2)
【典例 4-2】已知 f (x) 的定義域為[1,3]，則 g(x) 的定義域為（
2x 3 ）-
é
A． ê1,
3 U 3 , 5ù é1, 5ù÷ B．
2 è 2 3ú ê 3ú
3 3 5 3 5
C ù． 1, ÷ U , ÷ D． ,
è 2 è 2 3 è 2 3ú
【方法技巧】
1、抽象函數的定義域求法：（1）若 f (x) 的定義域為 (a，b)，求 f [g(x)]中 a < g (x) < b 的解 x 的范圍，
即為 f [g(x)]的定義域．（2）已知 f [g(x)]的定義域，求 f (x) 的定義域，則用換元法求解.
2、若函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，其定義域為各基本函數定義域的交集，即先
求出各個函數的定義域，再取交集．
【變式 4-1】（2024·高三·河北邢臺·期末）若函數 f (3x - 2)的定義域為[-2,3]，則函數 f (2x + 3)的定義
域為 ．
2
【變式 4-2】已知函數 f x 的定義域為 1,2 ，求 f 2x +1 的定義域 .
【變式 4-3】（1）已知函數 f x + 2 的定義域為 1,3 ，則函數 f x 的定義域為 ．
（2 2）已知函數 f x +1 的定義域為 3,8 ，則函數 f x 的定義域為 ．
題型五：函數定義域的綜合應用
x +1
【典例 5-1】已知函數 f x 2 的定義域為 R，則實數 a 的取值范圍為（ ）ax - 2ax +1
ì 1 ü
A． ía 0 a B． a a 0,或 a >1
2
C． a 0 a <1 D． a a 0,或 a 1
x2 +1
【典例 5-2】若函數 f (x)
2 + a

2
ln 2x +1 a 的定義域為 R ，則實數 a的取值范圍是（ ）+
A． (-2,+ ) B． (-1, + ) C． (-2,-1) D． (-2,-1) (-1,+ )
【方法技巧】
對函數定義域的應用，是逆向思維問題，常常轉化為恒成立問題求解，必要時對參數進行分類討論．
x +1
【變式 5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函數 f (x) 的定義域為R ，則實數 a的取
ax2 - 2ax +1
值范圍是 .
【變式 5-2】若函數 f x ax2 + 4ax + 3 的定義域為R ，則實數 a的取值范圍為 ．
1 1
5-3 x ,+ f (x) g(x) log é2x2【變式 】當 ÷時，函數 和2 2ax - ln x 2è
- (2a + 3)x + 2ù 有意義，則實
數 a的取值范圍是 .
題型六：待定系數法求解析式
【典例 6-1】一次函數 f x 在R 上單調遞增，且 f f x-1 4x+5，則 f x .
【典例 6-2】已知二次函數 f x 滿足 f 0 0， f x -1 f x + 3x - 5，則不等式 f x > 0的解集
為 ．
【方法技巧】
當已知函數的類型時，可用待定系數法求解．
【變式 6-1】已知函數 f (x) 是一次函數，且[ f (x)]2 - 3 f (x) 4x2 -10x + 4，則 f (x) 的解析式為 .
【變式 6-2】已知二次函數 f x ax2 + bx + c a 0 ，其圖象過點 1,-1 ，且滿足
f x + 2 f x + 4x + 4，則 f x 的解析式為 .
題型七：換元法求解析式
1
【典例 7-1】已知 f(x＋ )＝x2 1＋ 2 ，則函數 f(x)＝ ．x x
【典例 7-2】已知 f x +1 x + 2 x ，則 f x （ ）
A． f x x2 B． f x x2 -1 x 1
C f x x2． -1 x 0 D f x x2． +1 x 1
【方法技巧】
當已知表達式為 f g(x) 時，可考慮配湊法或換元法．
【變式 7-1】設 f x 是定義在R+上的函數，且"a R, f x a 有唯一解或無解，且對任意 x R+ ，

均有 f x f f x
3 1
+ ÷ ，請寫出一個符合條件的 f x .
è 2x 4
【變式 7-2】若 f x 是定義域為 0, + 上的單調函數，且對任意實數 x 0, + 都有
f é f x 1 1ê -
ù
ex ú
+1，其中 e是自然對數的底數，則 f ln3 （　　）
e
4
A．4 B．
3
1
C． e + 2 D．
3
【變式 7-3】（2024·高三·江西·期中）設 f x 是定義在R 上的單調函數，若"x R, f ( f (x) - 2x ) 11，
則不等式 f x < 7 的解集為 .
【變式 7-4】設 f x 是定義在R 上的單調增函數，且滿足 f -1- x + f x -7 ，若對于任意非零實
é
x f f x 1 x 1
ù
數 都有 ê + - - + 2ú -4，則 f 2024 .
ê f x + 3 x ú
題型八：方程組消元法求解析式
【典例 8-1】已知 f x 為奇函數， g x 為偶函數，且滿足 f x + g x ex + x，則 f x =（ ）
ex - e- x ex + e- xA． B．
2 2
ex - e- x - 2x ex - e- xC D + 2x． ．
2 2
1
【典例 8-2】已知 f x + 2 f ÷ x x 0 ，那么 f x ．
è x
【方法技巧】
1
若已知成對出現 f (x) ， f ( ) 或 f (x) ， f (-x) 等類型的抽象函數表達式，則常用解方程組法構造另一
x
個方程，消元的方法求出 f ( x ) ．
π
【變式 8-1】（2024·高三·遼寧丹東·期中）若 x 0, ÷ ，函數 f x 滿足 f sinx + 2 f cosx cos2x，
è 2
f 1 則 2 ÷
．
è
【變式 8-2】已知 f x 滿足 f x + 2 f -x x - 5，則 f x ．
【變式 8-3】（2024·河南·模擬預測）已知函數 f (x) 對定義域{x∣x 0}內的任意實數 x 滿足
f (2x) 2- 2 f ÷ 4x ，則 f (x) .
è x
題型九：賦值法求解析式
【典例 9-1】已知函數 f x 的定義域為 R，且 f x + y + f x - y 2 f x f y ， f 0 1，請寫出滿
足條件的一個 f x （答案不唯一）．
【典例 9-2】已知函數 y f x ，x R，且 f 0 2 ，
f 0.5 f 1 f 0.5n
2, 2,L, 2, n N
*
f 0 f 0.5 f 0.5 n 1 ，則函數 y f x 的一個解析式為 .-
【方法技巧】
若已知抽象函數表達式，則常用賦值法
【變式 9-1】已知函數 f x 滿足 f x + 2 f x +1，則 f x 的解析式可以是 （寫出滿足條件的
一個解析式即可）．
【變式 9-2】（2024·高三·江蘇揚州·開學考試）寫出滿足 f x - y f x + f y - 2xy 的函數的解析
式 ．
【變式 9-3】對"x, y R，函數 f x, y 都滿足：① f 0, y y +1；② f x +1,0 f x,1 ；③
f x +1, y +1 f x, f x +1, y ；則 f 3,2023 ．
【變式 9-4】設偶函數 f(x)滿足： f 1 2 ，且當時 xy 0時， f ( x2 f (x) f (y)+ y2 ) f (x) ，+ f (y)
則 f -5 ．
題型十：求值域的 7 個基本方法
【典例 10-1】求下列函數的值域：
(1) y 3x2 - x + 2；
(2) y -x2 - 6x - 5 ；
3x +1
(3) y ；
x - 2
(4) y x + 4 1- x ；
(5) y x + 1- x2 ；
(6) y | x -1| + | x + 4 |；
2
(7) y 2x - x + 2 ；
x2 + x +1
2
y 2x - x +1(8) x
1
> ；
2x -1 è 2 ÷
【典例 10-2】求下列函數的值域．
(1) y x - 2；
x2(2) y - x ；
x2 - x +1
(3) y x - 1- 2x ；
x2(4) y - 4x + 3 2 ；2x - x -1
2
(5) y x + 8 （ x >1）．
x -1
【方法技巧】
函數值域的求法主要有以下幾種
（1）觀察法：根據最基本函數值域（如 x 2 ≥0， a x > 0 及函數的圖像、性質、簡單的計算、推理，憑
觀察能直接得到些簡單的復合函數的值域．
（2）配方法：對于形如 y a x 2 + b x + c a 0 的值域問題可充分利用二次函數可配方的特點，結合二
次函數的定義城求出函數的值域．
（3）圖像法：根據所給數學式子的特征，構造合適的幾何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．
（5）換元法：分為三角換元法與代數換元法，對于形 y ax + b + cx + d 的值城，可通過換元將原函
數轉化為二次型函數．
（6）分離常數法：對某些齊次分式型的函數進行常數化處理，使函數解析式簡化內便于分析．
（7）單調性法：先確定函數在定義域（或它的子集）內的單調性，再求出值域．對于形如
y ax+b + cx+d 或 y ax+b+ cx+d 的函數，當 ac>0 時可利用單調性法．
【變式 10-1】求下列函數的值域．
（1）求函數 y x + 2x +1的值域．
x22 y - 3x + 4（ ）求函數 2 的值域．x + 3x + 4
（3）求函數 y ( 1+ x + 1- x + 2)( 1- x2 +1)， x [0,1]的值域．
【變式 10-2】求下列函數的值域：
(1) f x 2x - x -1；
(2) f x 2x - 3 , x 1,3 ；
x +1
2
(3) f x x + 2x +1 2 , x 3,5 .x + x +1
【變式 10-3】求下列函數的值域
y 3 + x（1） 4 - x ；
5
（2） y 2 ；2x - 4x + 3
（3） y 1- 2x - x ；
x24 y + 4x + 3（ ） 2 ；x + x - 6
（5） y 4 - 3 + 2x - x2 ；
（6） y x + 1- 2x ；
（7） y x - 3 + 5 - x ；
（8） y -x2 - 6x - 5
y 3x +1（9） ；
x - 2
2
10 y 2x - x +1（ ） (x 1> ) .
2x -1 2
題型十一：數形結合求值域
y sin x + 2【典例 11-1】函數 的值域為
cos x - 2
【典例 11-2】函數 y x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域為 .
【方法技巧】
根據所給數學式子的特征，構造合適的幾何圖形模型．
11-1 y 1- x
2
【變式 】函數 的值域是 ．
x + 2
【變式 11-2】函數 f (x) 2x - 3 - -x2 + 6x - 8 的值域是 ．
【變式 11-3】函數 y x2 - 2x + 5 - x2 - 4x +13 的值域為 .
2
【變式 11-4】函數 f x 1- x - 2 3 的值域為 .
x - 4
題型十二：值域與求參問題
2
【典例 12-1】若函數 f x x + ax - 2 -2,2 a
x2
的值域為 ，則 的值為 .
- x +1
【典例 12-2】若函數 y ax2 + 4x +1的值域為 0, + ，則 a的取值范圍為（ ）
A． 0,4 B． 4, + C． 0,4 D． 4, +
【方法技巧】
值域與求參問題通常采用分類討論，數形結合，轉化化歸等方法解決.
【變式 12-1】已知函數 f x 1- x + a, x [m,n]的值域為 m, n (m < n)，則實數 a的取值范圍為（ ）
3 1 1 1 3
A ． - ,
B ÷ ． -1,-
C
4 4 4 ÷ ．
[0, ) D． (- ,0]
è è 4 4
ìa, a b 2
【變式 12-2】定義min a,b í 若函數 f x min x - 3x + 3,- x - 3 + 3 ，則 f x b,a b 的最大值 >
é3 ù
為 ；若 f x 在區間 m, n 上的值域為 ê , 2ú ，則 n - m的最大值為 ． 4
ìx2 - 2x + 2, x 0

【變式 12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函數 y í a 的值域為R ，則實數 a的取值范圍
x + + 3a , x < 0 x
為 ．
題型十三：判別式法求值域
y x -1【典例 13-1】函數 2 ， x > 0的值域為 ．x - 6x + 7
2
【典例 13-2】函數 f x -x + x -1 2 的值域是 ．x +1
【方法技巧】
判別式法：把函數解析式化為關于 x 的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，
2
形如 y Ax + B ， ax 2 bx c 或 y ax + bx + c+ + 的函數值域問題可運用判別式法（注意 x 的取值范圍必須
dx2 + ex + f
為實數集 R）．
【變式 13-1】已知a, b R，且 a2 + b2 + ab 1，則b 的取值范圍是 .
【變式 13-2】已知 a > 0，函數 f (x) ax - x2 + 2x - x2 的最大值為 2 ，則實數 a的值為 .
2
【變式 13-3 f x x - x +1】函數 2 的值域是 .x - x + 2
題型十四：三角換元法求值域
【典例 14-1】求函數 y x + 2x2 - 4x + 6 的值域.
2
【典例 14-2】（2024·高三·河南·期中）函數 f (x) 1+ 3 - x 的值域為（ ）
x + 2
A． é2 - 6,2 + 3ù é B． - 3, 6ù C． é 2 - 3,2 + 6 ù D． é- 6, 3ù
【方法技巧】
充分利用三角函數的有界性，求出值域．因為常出現反解出 y 的表達式的過程，故又常稱此為反解有
界性法．
2
【變式 14-1】（2024· -x + 4x - 3 + 3上海徐匯·模擬預測）函數 y 的值域為 .
x +1
題型十五：分段函數求值、求參數問題
ì
sinπx, x
1

2
3 1
【典例 15-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x í f x + ÷ , < x 2，則 f 2024 （2 ） è 2
f x - 2 , x > 2


A 1． -1 B．0 C． 2 D．1
ìx2 + x, x 0
【典例 15-2】已知函數 f x í ，若 f a 6，則a （ ）
5x + 6, x < 0
A．0 B．2 C．-3 D．2 或 3
【方法技巧】
根據分段函數解析式求函數值，首先明確自變量的值屬于哪個區間，其次選擇相應的解析式代入解決.
ìlog x +1, x 1
【變式 15-1】（2024· 2全國·模擬預測）已知函數 f x í 2 f a 2 a
x , x 1
，若 ，則 的值為（ ）
<
A．2 或- 2 B．2 或 2 C． 2 或- 2 D．1 或 2
ì
x ,0 < x <1f x f m f m 1 f 2 【變式 15-2】（2024·全國·模擬預測）設 í ，若 + ，則
（ ）
2 x -1 , x 1

è m ÷

A．14 B．16 C．2 D．6
ì2x + 2- x , x 3

【變式 15-3】（2024·江蘇南通·二模）已知函數 f x í f x ，則
f log 9 （
, x ） ÷ > 3
2
è 2
8 10 80 82
A． B． C． D．
3 3 9 9
題型十六：分段函數與方程、不等式
ìx +1, x 0,
【典例 16-1】已知函數 f x í 若 a é f a - f -a ù > 0 a2x 1, x 0, ，則實數 的取值范圍是（ ） - - <
A． 2, + B． -2,0 U 0,2
C． - ,-2 U 2,+ D． -2,0 0,2
ìex , x 0 1
【典例 16-2】（2024·福建福州·模擬預測）已知函數 f x í ，則不等式 f x 的解集是
ln x, x > 0 2
（ ）
A． - , - ln 2 U 0, e ù B． - , - ln 2
C． 0, e ù D． - ,- ln 2 U 0, e
【方法技巧】
已知函數值或函數的范圍求自變量的值或范圍時，應根據每一段的解析式分別求解，但是一定要注意
檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段自變量的范圍.
ìx +1, x 0
【變式 16-1】（2024·湖北·一模）已知函數 f x í
ln x +1
f x ≤1
, x > 0 ，則關于 x 的不等式 的解集
為 ．
【變式 16-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x ì
x + 2, x -1
í x2 2x, x 1，則不等式
f x > -3的解集
- + > -
是 .
1．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知函數為 f (x) 的定義域為 R， f (x) > f (x -1) + f (x - 2)，且當 x < 3
時 f (x) x ，則下列結論中一定正確的是（ ）
A． f (10) >100 B． f (20) >1000
C． f (10) <1000 D． f (20) <10000
ì
f x x , x > 02．（2024 年上海夏季高考數學真題（網絡回憶版））已知 í ,則 f 3 ．
1, x 0
1
3 x．（2023 年北京高考數學真題）已知函數 f (x) 4 + log2 x ，則 f ÷ ．è 2
1．若 f x x2 + bx + c，且 f 1 0， f 3 0，求 f -1 的值.
2．已知函數 f x -x +1， g x x -1 2 ， x R ．
（1）在圖1中畫出函數 f x ， g x 的圖象；
（2）定義："x R ，用m x 表示 f x ， g x 中的較小者，記為m x min f x , g x ，請分別用圖
象法和解析式法表示函數m x ．（注：圖象法請在圖 2中表示，本題中的單位長度請自己定義且標明）
3．函數 r f p 的圖象如圖所示，曲線 l 與直線 m 無限接近，但永不相交．
（1）函數 r f p 的定義域、值域各是什么？
（2）r 取何值時，只有唯一的 p 值與之對應？
4．畫出定義域為{x | -3 x 8，且 x 5}，值域為{y | -1 y 2，y 0}的一個函數的圖象.
（1）將你的圖象和其他同學的相比較，有什么差別嗎？
（2）如果平面直角坐標系中點P(x, y) 的坐標滿足-3 x 8，-1 y 2 ，那么其中哪些點不能在圖象上？
5．給定數集 A R, B (- ,0]，方程u2 + 2v 0，①
（1）任給u A，對應關系 f 使方程①的解 v 與 u 對應，判斷 v f (u)是否為函數；
（2）任給 v B ，對應關系 g 使方程①的解 u 與 v 對應，判斷u g(v)是否為函數.
易錯點：錯求抽象函數的定義域
易錯分析： f (g(x)) 定義域不是指 g(x) 的范圍，而是指 x 的范圍.
答題模板：求抽象函數的定義域
1、模板解決思路
解決本模板問題的要點是知道函數 f (g(x)) 中 g(x) 的范圍，也就是函數 f (h(x))中 h(x) 的范圍，解不
等式就可得到函數 f (h(x))的定義域．
2、模板解決步驟
第一步：由函數 f (g(x)) 的定義域，即 x 的取值范圍，求出 g(x) 的取值范圍．
第二步：用集合或區間表示所求定義域．
f (x +1)
【易錯題 1】函數 f x 的定義域為 0,3 ，則函數 y 的定義域是 .
x -1
【易錯題 2】若函數 f x + 3 的定義域為 -5, -2 ，則F x f x +1 + f x -1 的定義域為 .第 01 講 函數的概念及其表示
目錄
01 考情透視·目標導航 ................................................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 ................................................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 ................................................................................................................................................4
知識點 1：函數的概念 ................................................................................................................................................4
知識點 2：函數的三要素 ............................................................................................................................................4
知識點 3：函數的表示法 ............................................................................................................................................5
知識點 4：分段函數 ....................................................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................6
題型一：函數的概念 ...................................................................................................................................................7
題型二：同一函數的判斷 ...........................................................................................................................................9
題型三：給出函數解析式求解定義域 .....................................................................................................................12
題型四：抽象函數定義域 .........................................................................................................................................13
題型五：函數定義域的綜合應用 .............................................................................................................................15
題型六：待定系數法求解析式 .................................................................................................................................17
題型七：換元法求解析式 .........................................................................................................................................19
題型八：方程組消元法求解析式 .............................................................................................................................21
題型九：賦值法求解析式 .........................................................................................................................................23
題型十：求值域的 7 個基本方法 .............................................................................................................................26
題型十一：數形結合求值域 .....................................................................................................................................32
題型十二：值域與求參問題 .....................................................................................................................................36
題型十三：判別式法求值域 .....................................................................................................................................39
題型十四：三角換元法求值域 .................................................................................................................................42
題型十五：分段函數求值、求參數問題 .................................................................................................................44
題型十六：分段函數與方程、不等式 .....................................................................................................................46
04 真題練習·命題洞見 ..............................................................................................................................................47
05 課本典例·高考素材 ..............................................................................................................................................48
06 易錯分析·答題模板 ..............................................................................................................................................50
易錯點：錯求抽象函數的定義域 .............................................................................................................................50
答題模板：求抽象函數的定義域 .............................................................................................................................50
考點要求 考題統計 考情分析
（1）了解函數的含義，會求簡
單函數的定義域和值域． 高考對函數的概念及其表示的考查相
2024 年上海卷第 2 題，5 分
（2）在實際情景中，會根據不 對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均
2024 年 I 卷第 8 題，5 分
同的需要選擇恰當的方法（如圖 變化不大．高考對本節的考查不會有大的
2023 年北京卷第 15 題，5 分
象法、列表法、解析法）表示函 變化，仍將以分段函數、定義域、值域及
2022 年浙江卷第 14 題，5 分
數． 最值為主，綜合考查不等式與函數的性
2021 年浙江卷第 12 題，5 分
（3）了解簡單的分段函數，并 質．
會簡單的應用．
復習目標：
1、掌握函數的概念，了解構成函數的要素
2、會求常見函數的定義域和值域
3、掌握求函數解析式的方法
知識點 1：函數的概念
（1）一般地，給定非空數集 A ， B ，按照某個對應法則 f ，使得 A 中任意元素 x ，都有 B 中唯一
確定的 y與之對應，那么從集合 A 到集合 B 的這個對應，叫做從集合 A 到集合 B 的一個函數．記作：
x y f (x) ， x A．集合 A 叫做函數的定義域，記為 D ，集合{ y y f ( x ) ， x A}叫做值域，記為 C ．
（2）函數的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射．
【診斷自測】下列圖象中，y 不是 x 的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】任作一條垂直于 x 軸的直線 x a，移動直線，
根據函數的定義可知，此直線與函數圖象至多有一個交點，
結合選項可知 D 不滿足要求，因此 D 中圖象不表示函數關系．
故選：D.
知識點 2：函數的三要素
（1）函數的三要素：定義域、對應關系、值域．
（2）如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數為同一個函數．
【診斷自測】下列四組函數：① f x x, g x x2 ；② f x x, g x 3 x 3 ；③
f x x2 - 2x +1, g t t 2 - 2t +1； ④ f x 1, g x x0 ；其中表示同一函數的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【解析】① f x x,g x x2 x ，兩個函數對應法則不一樣，不是同一函數；
3
② f x x, g x 3 x x，兩個函數定義域和對應法則一樣，是同一函數；
③ f x x2 - 2x +1, g t t 2 - 2t +1，兩個函數定義域和對應法則一樣，是同一函數；
④ f x 1 x R , g x x0 x 0 ，兩個函數定義域不一樣，不是同一函數.
故選：B.
知識點 3：函數的表示法
表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
1- x2
【診斷自測】已知函數 f 1- x 2 x 0 ，則 f x （ ）x
1 1
A． 2 -1 x 0 B． 2 -1 x 1 x -1 x -1
4
C． -1 x
4
0 -1 x 1
x -1 2 D． x -1 2
【答案】B
【解析】令 t 1- x ，則 x 1- t ，由于 x 0，則 t 1，
1- 1- t
2
f t 1可得 -1， t 1 ，
1- t 2 t -1 2
所以 f x
1
2 -1 x 1 x -1 .
故選：B.
知識點 4：分段函數
若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分
段函數．
ì2x-1, x <1,
【診斷自測】（2024·吉林·模擬預測）已知 f x í x 若 f a 1，則實數 a的值為（ ）
, x 1.
2
A．1 B．4 C．1 或 4 D．2
【答案】B
【解析】當a < 1時， f a 2a-1 1，則 a -1 0，解得： a 1（舍去）；
當a 1時， f a a 1，則 a 2，解得： a 4 .
2
故選：B.
解題方法總結
1、基本的函數定義域限制
求解函數的定義域應注意：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次方根的被開方數大于或等于零：
（3）對數的真數大于零，底數大于零且不等于 1；
（4）零次冪或負指數次冪的底數不為零；
p ü
（5）三角函數中的正切 y tan x 的定義域是 x x R,且 x kx + ,k Z
2
；

（6）已知 f x 的定義域求解 f é g x ù 的定義域，或已知 f é g x ù 的定義域求 f x 的定義域，遵循
兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；
（7）對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域．
2、基本初等函數的值域
（1） y kx + b (k 0) 的值域是 R ．
2
（2） y ax2 + bx 4ac - b+ c (a 0) 的值域是：當 a > 0時，值域為 {y y }；當 a < 0 時，值域為
4a
2
{y y 4ac - b }．
4a
3 y k（ ） (k 0) 的值域是{y y 0}．
x
（4） y a x (a > 0 且 a 1) 的值域是 (0，+ ) ．
（5） y loga x (a > 0且 a 1) 的值域是 R ．
題型一：函數的概念
【典例 1-1】下列對應是從集合 A 到集合 B 的函數的是（ ）
A． A N, B N, f : x y x –1 2 B． A N, B N, f : x y ± x
C． A N, B Q, f : x y
1
D． A R, B y | y > 0 , f : x y x
x –1
【答案】A
【解析】對于 A 選項，對集合 A 中的任意一個數 x，集合 B 中都有唯一的數 y 與之對應，是函數；
對于 B 選項， x 4時， y ±2，有兩個 y 與之對應，不是函數；
對于 C 選項，當 x 1時， y 不存在，不是函數；
對于 D 選項，集合 A 中的元素 0 在集合 B 中沒有對應元素，不是函數.
故選：A
【典例 1-2】已知 f x 是定義在有限實數集 A 上的函數，且1 A，若函數 f x 的圖象繞原點逆時針
旋轉30o后與原圖象重合，則 f 1 的值可能是（ ）
A．0 B 3 C 3． ． D． 3
3 2
【答案】C
π
【解析】由題意得到，問題相當于圓上由12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉 個單位后與下一個點會
6
重合，
我們可以通過代入和賦值的方法，
π π
當 f 1 3 3, ,0時，此時得到的圓心角為 , ,0，然而此時 x 0或者 x 1時，都有 2個 y 與之對應，
3 3 6
而我們知道函數的定義就是要求一個 x 只能對應一個 y ，
x 3
π
因此只有當 時旋轉 ，此時滿足一個 x 只會對應一個 y .
2 6
故選.：C.
【方法技巧】
利用函數概念判斷：（1）A，B 是非空的實數集；（2）數集 A 中的任何一個元素在數集 B 中只有一個
元素與之對應，即 “多對一”，不能“一對多”，而數集 B 中有可能存在與數集 A 中元素不對應的元素.
π
【變式 1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函數 y f x 的圖像繞原點逆時針旋轉 后與原圖像
2
重合，則在以下各項中， y f x 的定義域不可能是（ ）
A． -2, -1,0,1,2 B． -1,0,1
C． -π, π D．R
【答案】B
【解析】對于函數 y f x π圖象上任一點 a,b 逆時針旋轉 可得 -b,a ，
2
即 -b,a 也在函數 y f x 圖象上，
所以 a,b , -b,a , -a,-b , b,-a 均在函數 y f x 圖象上，a,b,-a,-b都在定義域內，
從而結合函數定義有 f (0) 0，當 a 0時，有 f (a) a, f (a) -a, f (a) 0
若定義域為 -1,0,1 ，則 f (1), f (-1)不存在滿足題意的對應值，故 B 錯誤；
故選：B.
1 é π ù
【變式 1-2】將函數 y sin x + x x 0, ÷的圖象繞著原點沿逆時針方向旋轉q 角得到曲線2 Γ ，已知è ê 2 ú
曲線Γ 始終保持為函數圖象，則 tanq 的最大值為（ ）
3
A 1． 2 B
2
． 3 C．1 D． 2
【答案】B
1
【解析】由題設 y cos x +1 1，在原點處的切線斜率 k = y |x=0= cos0 +1
3
=
2 2 ，2
y 3 x a [0, π] tana 3所以切線方程為 ，設切線傾斜角為 ，則 ，
2 2 2
1
當 y sin x + x 繞著原點沿逆時針方向旋轉時，始終保持為函數圖象，
2
則q +a
π π
，故q -a ，顯然q 為銳角，
2 2
所以 tanq tan
π a cosa 1 2 - ÷ ，故 tanq
2
的最大值為 ．
è 2 sina tana 3 3
故選：B
【變式 1-3】存在定義域為R 的函數 f x ，滿足對任意 x R ，使得下列等式成立的是（ ）
A f x2． x3 B． f cos x x
C． f x2 + x x D f x x2． +1
【答案】D
2 3
【解析】對于 A，因為 x a a > 0 有兩個不相等的根 a 和- a ，所以當 x a 時， f a a 2 ；
3
當 x - a ， f a -a 2 ，與函數的定義不符，故 A 不成立；
對于 B，令 x 0，則 f cos 0 f 1 0，令 x 2π，則 f cos 2π f 1 2π ，與函數定義不符，故 B 不
成立；
對于 C，令 x 0，則 f 0 0，令 x=- 1，則 f 0 -1 1，與函數定義不符，故 C 不成立；
對于 D， f x x2 +1 x 2 +1，"x R ， f x 唯一確定，符合函數定義.故 D 成立，
故選：D.
題型二：同一函數的判斷
【典例 2-1】下列各組函數相等的是（ ）
2
A． f 4x x2 ， g x x B． f x x -1， g x x -1x
0 ì x, x 0C． f x 1， g x x D． f x x ， g x í
-x, x < 0
【答案】D
【解析】對于 A 中，函數 f x 4 x2 的定義域為 R， g x x 的定義域為 0, + ，
所以定義域不同，不是相同的函數，故 A 錯誤；
2
對于 B 中，函數 f x x -1 R g x x的定義域為 ， -1的定義域為 x | x 0 ，
x
所以定義域不同，不是相同的函數，故 B 錯誤；
對于 C 0中，函數 f x 1的定義域為 R，與 g x x 1的定義域為{x | x 0}，
所以定義域不同，所以不是相同的函數,故 C 錯誤；
ìx, x 0 ìx, x 0對于 D 中，函數 f x x í g x x, x 0 與 í x, x 0 的定義域均為 R， - < - <
可知兩個函數的定義域相同，對應關系也相同，所以是相同的函數, 故 D 正確；
故選：D.
【典例 2-2】（多選題）下列各項不能表示同一個函數的是（ ）
2
A f x x -1． 與 g x x +1 B． f x x2 -1與 g x x -1
x -1
C f t 1+ t g x 1+ x． 與 D． f x 1與 g x x 1 ×
1- t 1- x x
【答案】ABD
【解析】對于 A: f x 定義域為 - ,1 1, + ， g x 定義域為R ，A 不能表示同一個函數,A 選項正確；
對于 B: f x x -1與 g x x -1解析式不同，B 不能表示同一個函數，B 選項正確；
對于 C:解析式及定義域都相同，C 選項是同一函數，C 選項不正確；
對于 D: f x 定義域為R ， g x 定義域為 - ,0 0, + ，D 不能表示同一個函數，D 選項正確；
故選:ABD.
【方法技巧】
當且僅當給定兩個函數的定義域和對應法則完全相同時，才表示同一函數，否則表示不同的函數．
【變式 2-1】（多選題）下列各組函數表示的是不同函數的是（ ）
A． f (x) -2x3 與 g(x) x × -2x
B． f x x 與 g(x) x2
C． f x x +1與 g x x + x0
D． f (x) x × x +1 與 g(x) x2 + x
【答案】ACD
【解析】A. f (x) -2x3 的定義域為 x | x 0 ，且 f (x) -2x3 -x -2x ， g(x) x × -2x 的定義域為
x | x 0 ，解析式不同，所以不是同一函數，故錯誤；
B. f x x 的定義域為 R， g(x) x2 x 定義域為 R，且解析式相同，所以是同一函數，故正確；
C. f x x +1的定義域為 R， g x x + x0 的定義域為 x | x 0 ，所以不是同一函數，故錯誤；
ìx 0
D.，由 í 得 x 0x 1 0 ，所以 f (x) x × x +1 的定義域為
x | x 0 ，由
+ x
2 + x 0 ，得 x 0 或 x -1，

所以函數 g(x) x2 + x 的定義域為 x | x 0或 x -1 ，所以不是同一函數，故錯誤；
故選：ACD
【變式 2-2】以下四組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A． f x x與 g x x2
B． f (x) 1+ x × 1- x 與 g(x) 1- x2
C． y x0 與 y 1
D． f (x) x +1 × x -1與 g(x) x2 -1
【答案】B
【解析】從定義域，對應關系，值域是否相同，逐項判斷即可．
對于 A： f x 的值域為R ， g x 的值域為 0, + ，所以 A 錯誤；
1+ x 0對于 B： f x ì的定義域需滿足 í ，即為 -1,1
1- x 0
，

g x 的定義域滿足1- x2 0，即為 -1,1 ，且 1+ x × 1- x 1- x2 ，
所以 f x 和 g x 是同一個函數，B 正確；
對于 C： y x0 的定義域為 - ,0 U 0, + ， y 1的定義域為R ，所以 C 錯誤；
ìx +1 0對于 D： f x 的定義域滿足 í 1, +
x -1 0
，即為 ，
g x 的定義域需滿足 x2 -1 0，即為 - , -1 1, + ，所以 D 錯誤，
故選：B
【變式 2-3】（多選題）（2024·高三·浙江金華·期末）已知函數 g x f ex ， h x e f x ．（ ）
A．若 f x 0，則 g x h x 0
B．若 f x x ，則 g x h x
C g x h x f x xa．對于 ，若 ，則a 1
D．對于 g x h x ，若 f x loga x a > 0,a 1 ，則 a e
【答案】CD
x
【解析】對 A：若 f x 0，則 g x f e 0， h x e f x e0 1，故 A 錯誤；
B f x x g x f ex ex ex h x e f x x對 ：若 ，則 ， e ，
g x h x ，故 B 錯誤；
a
對 C：若 f x x ，則 g x f ex ex a ea x h x e f x a， ex ，
又 g x h x a x xa，故 e e ，故a x xa ，即 lna + ln x a ln x ，
即 a -1 ln x lna 恒成立，故a 1，故 C 正確；
對 D：若 f x loga x a > 0,a 1 ，則 g x f ex log exa x loga e，
h x e f x eloga x ，又 g x h x ，故 x log e eloga xa 恒成立，
ln x 1 1 1 1
即 x log e
1
x eloga x e ln a eln x ln a x ln aa ，故 ln x + ln
= × ln x ，
è ln a ÷
ln a ÷ è ln a
1 1
即 -1

÷ × ln x ln
1
÷恒成立，故 1，即 a e，故 D 正確.
è ln a è ln a ln a
故選：CD.
題型三：給出函數解析式求解定義域
1
【典例 3-1】（2024·北京通州·二模）已知函數 f x x 2 + lg x - 2 的定義域為 ．
【答案】 x x > 2
ìx 0
【解析】根據題意可得 í ,解得 x > 2
x - 2 > 0
故定義域為 x x > 2 .
故答案為： x x > 2
【典例 3-2】已知等腰三角形的周長為 40cm，底邊長 y cm 是腰長 x cm 的函數，則函數的定義域為(
A． 10,20 B． 0,10 C． 5,10 D． 5,10
【答案】A
【解析】由題設有 y 40 - 2x ，
ì40 - 2x > 0
由 í 得10 < x < 20，故選 A.
x + x > 40 - 2x
【方法技巧】
對求函數定義域問題的思路是：
（1）先列出使式子 f x 有意義的不等式或不等式組；
（2）解不等式組；
（3）將解集寫成集合或區間的形式．
【變式 3-1】函數 f x ln x +1 + 1- x 的定義域是 .
【答案】 -1,1
ìx +1 > 0
【解析】由 f x 的解析式可得 í ，
1- x 0
解得-1 < x 1；
所以其定義域為 -1,1 .
故答案為： -1,1
1+ 2x
【變式 3-2】（2024·北京懷柔·模擬預測）函數 f x lg 的定義域是 .
x
【答案】 (
1
- ,- ) U (0,+ )
2
f x lg1+ 2x 1+ 2x【解析】函數 有意義，則 > 0 x(2x +1) > 0，解得 x 1< - 或 x > 0，
x x 2
f x 1+ 2x所以函數 lg 的定義域是 (- , 1- ) U (0,+ ) .
x 2
故答案為： (
1
- ,- ) U (0,+ )
2
1
【變式 3-3】（2024·北京平谷·模擬預測）函數 f x + ln 1- x 的定義域是
x + 2
【答案】 - , -2 -2,1
1 ìx + 2 0
【解析】函數 f x + ln 1- x 有意義的條件是 í ，解得 x <1且 x -21 x 0 ，x + 2 - >
所以函數 f x 定義域為 - , -2 -2,1 .
故答案為： - , -2 -2,1 .
題型四：抽象函數定義域
1 f x
【典例 4-1】已知函數 y f x +1÷的定義域是 2,4 g x

，則函數 ln x 2 的定義域為（2 - ）è
A． 2,3 B． 2,3
C． 2,3 U 3,6 D． 2,3 U 3,4
【答案】A
【解析】因為函數 y f
1 x +1 ÷的定義域是 2,4 ，所以 2 x 4 ，
è 2
2 1所以 x +1 3，所以函數 f x 的定義域為 2,3 ，
2
ì2 x 3f x
所以要使函數 g x x - 2 > 0ln x 有意義，則有 ，解得 2 < x < 3，- 2 í
x - 2 1
所以函數 g x
f x

的定義域為
2,3
ln x 2 .-
故選：A.
【典例 4-2】已知 f (x) 的定義域為[1,3]，則 g(x)
f (3x - 2)
的定義域為（
2x 3 ）-
é1, 3 3 5ù é 5ùA． ê 2 ÷
U ,
è 2 3 ú
B． 1,
ê 3ú
1, 3 C． ÷ U
3 , 5 3 5D ù ÷ ． ,
è 2 è 2 3 è 2 3ú
【答案】A
【解析】因為 f x 定義域為 1,3 ，所以 f 3x - 2 的定義域為1 5 3x - 2 3，解得1 x ，
3
2x 3 0 x 3 é1,
3 3 5 , ù由分母不為 0 ，得 - ，即 ，所以函數定義域為：
2 ê 2 ÷ è 2 3ú
.

故選：A .
【方法技巧】
1、抽象函數的定義域求法：（1）若 f (x) 的定義域為 (a，b)，求 f [g(x)]中 a < g (x) < b 的解 x 的范圍，
即為 f [g(x)]的定義域．（2）已知 f [g(x)]的定義域，求 f (x) 的定義域，則用換元法求解.
2、若函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，其定義域為各基本函數定義域的交集，即先
求出各個函數的定義域，再取交集．
【變式 4-1】（2024·高三·河北邢臺·期末）若函數 f (3x - 2)的定義域為[-2,3]，則函數 f (2x + 3)的
定義域為 ．
é 11 ù
【答案】 ê- , 2 2 ú
【解析】因為-2 x 3，所以-8 3x - 2 7 ，所以 f (x) 的定義域為[-8,7]，
要使 f (2x + 3)
11
有意義，需滿足-8 2x + 3 7，解得- x 2 ，
2
所以函數 f (2x 3) é
11
+ ù的定義域為 ê- , 2ú . 2
é 11 ù
故答案為： ê- , 2ú . 2
【變式 4-2】已知函數 f x2 的定義域為 1,2 ，求 f 2x +1 的定義域 .
3
【答案】 0, ÷
è 2
【解析】∵ f x2 的定義域為 1,2 ，即1< x < 2，
∴1< x2 < 4，
故需1< 2x +1< 4，
3
∴ 0 < x < ．
2
3
∴ f 2x +1 的定義域為 0,

．
è 2 ÷

故答案為： 0,
3
÷
è 2
【變式 4-3】（1）已知函數 f x + 2 的定義域為 1,3 ，則函數 f x 的定義域為 ．
（2）已知函數 f x +1 的定義域為 3,8 2，則函數 f x 的定義域為 ．
【答案】 3,5 -3, -2 U 2,3
【解析】（1）令u x + 2，則 f x + 2 f u ，
因為函數 f x + 2 的定義域為 1,3 ，所以u x + 2 3,5 ，
所以函數 f x 的定義域為 3,5 ．
（2）令u x +1， v x2，則 f x +1 f u ， f x2 f v ．
因為函數 f x +1 的定義域為 3,8 ，所以u x +1 4,9 ，
所以函數 f x 的定義域為 4,9 ，
2
所以 v x 4,9 ，所以 x -3, -2 2,3 ，
2
所以函數 f x 的定義域為 -3, -2 U 2,3 ．
故答案為： 3,5 ； -3, -2 U 2,3
題型五：函數定義域的綜合應用
x +1
【典例 5-1】已知函數 f x 2 的定義域為 R，則實數 a 的取值范圍為（ ）ax - 2ax +1
ì
A． ía 0 a
1 ü
B． a a 0,或 a >1
2
C． a 0 a <1 D． a a 0,或 a 1
【答案】C
【解析】由函數 f x x +1 的定義域為 R，得"x R ， 22 恒成立.ax - 2ax 1 ax - 2ax +1 0+
當 a 0時，1 0恒成立；
當 a 0時，D 4a2 - 4a < 0，解得 0 < a < 1 .
綜上所述，實數 a 的取值范圍為 a 0 a <1 .
故選：C.
x2 +1
【典例 5-2】若函數 f (x)
2 + a

ln 2x2 +1 a 的定義域為 R ，則實數 a的取值范圍是（ ）+
A． (-2,+ ) B． (-1, + ) C． (-2,-1) D． (-2,-1) (-1,+ )
【答案】B
2
【解析】因為 2x +1 + a 2 + a ， f (x) 的定義域為 R ，
所以首先滿足 2 + a > 0恒成立，∴a > -2 ，
x2ln 2 +1 2+ a 0 2x +1 2 2再者滿足 + a 1，變形得到 2x +1 1- a,Q2x +1 2, + \1- a < 2
\a > -1 ，最終得到 a > -1 .
故選：B.
【方法技巧】
對函數定義域的應用，是逆向思維問題，常常轉化為恒成立問題求解，必要時對參數進行分類討論．
【變式 5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函數 f (x)
x +1
的定義域為R ，則實數 a
ax2 - 2ax +1
的取值范圍是 .
【答案】0 a <1
f (x) x +1【解析】函數 2 的定義域為R ，ax - 2ax +1
得"x R, ax2 - 2ax +1 0恒成立，
當 a 0時，1 0恒成立；
當 a 0時，D 4a2 - 4a < 0，得 0 < a < 1，
綜上，實數 a的取值范圍是0 a <1.
故答案為：0 a <1
【變式 5-2】若函數 f x ax2 + 4ax + 3 的定義域為R ，則實數 a的取值范圍為 ．
é 3ù
【答案】 ê0, 4ú
【解析】由題意得， ax2 + 4ax + 3 0 在 R 上恒成立，
當 a 0時，3 > 0，成立；
ìa > 0 ìa > 0 3
當 a 0時， íΔ 0，即 í 2 ，解得
0 < a ；
16a - 4a 3 0 4
é
綜上所述， a ê0,
3 ù
4 ú
.

é0, 3ù故答案為： ê . 4ú
x 1
1
5-3 ,+ f (x) g(x) log é2x2【變式 】當 ÷時，函數 和 2 - (2a + 3)x + 2ùè 2 2ax - ln x
有意義，則實
數 a的取值范圍是 .
1 , 1 【答案】 ÷
è 2e 2
1 ì2ax - lnx > 0,
【解析】由題意知，當 x ,+

2 ÷
時，不等式組 í2x2è - 2a + 3 x + 2 > 0
成立.
2a lnx h x lnx h x 1- lnx對于 2ax - lnx > 0，整理得 > ，令 ，則 ，
x x x2
1
當 x , e
ù 1
ú 時， h x …0, h x 單調遞增; x e, + 時， h x < 0, h x 單調遞減，所以 h(x)max h e ，è 2 e
則 2a
1 1
>
e ，解得
a >
2e ；
2x2 - 2a + 3 x + 2 > 0 2a + 3對于 ，整理得 < x 1+ ，由于G x 1 1 x + 在 , + ÷上的最小值為G 1 2，所2 x x è 2
2a + 3 1
以 < 2，解得 a < .
2 2
1
綜上可得 < a
1
< .
2e 2
1 , 1 故答案為： ÷ .
è 2e 2
題型六：待定系數法求解析式
【典例 6-1】一次函數 f x 在R 上單調遞增，且 f f x-1 4x+5，則 f x .
【答案】 2x + 3
【解析】設 f x kx + b，則 f x -1 kx - k + b ，
f f x -1 k kx - k + b + b k 2x - k 2 + kb + b 4x + 5，
ìk 2 4
則 í 2 .又 f x 在R 上單調遞增，即 k > 0，
-k + kb + b 5
所以 k 2，b 3，則 f x 2x + 3 .
故答案為： 2x + 3
【典例 6-2】已知二次函數 f x 滿足 f 0 0， f x -1 f x + 3x - 5，則不等式 f x > 0的解集
為 ．

【答案】 0,
7
3 ÷
．
è
【解析】由二次函數 f x 滿足 f 0 0，
設 f x 2的表達式為 f x ax + bx （ a 0， a,b為常數），
則 f x -1 a x -1 2 + b x -1 ax2 + b - 2a x + a - b；
f x + 3x - 5 ax2 + b + 3 x - 5，
ì
ìb - 2a b + 3 a
3
-
f x -1 f x + 3x - 5 2根據 ，得 í
a - b -5
，解得 í ，
b 7
2
所以 f x 3 - x2 7+ x，
2 2
令 f x 3 7 7 - x2 + x > 0，則3x2 - 7x < 0，解得0 < x < ，2 2 3
所以 f x 0, 7 的解集為 ÷．
è 3
7
故答案為： 0, 3 ÷
．
è
【方法技巧】
當已知函數的類型時，可用待定系數法求解．
【變式 6-1】已知函數 f (x) 是一次函數，且[ f (x)]2 - 3 f (x) 4x2 -10x + 4，則 f (x) 的解析式為 .
【答案】 f (x) -2x + 4或 f (x) 2x -1
【解析】設 f (x) kx + b ( k 0 )，
則[ f (x)]2 - 3 f (x) (kx + b)2 - 3(kx + b) k 2x2 + (2kb - 3k)x + b2 - 3b 4x2 -10x + 4，
k 2 4
則{2kb - 3k -10 ，解得 k -2 ，b 4 ，或 k 2，b = -1，
b2 - 3b 4
故 f (x) -2x + 4或 f (x) 2x -1.
故答案為： f (x) -2x + 4或 f (x) 2x -1.
【變式 6-2 2】已知二次函數 f x ax + bx + c a 0 ，其圖象過點 1,-1 ，且滿足
f x + 2 f x + 4x + 4，則 f x 的解析式為 .
【答案】 f x = x2 - 2
【解析】根據題意可知 a + b + c -1，
a x + 2 2又 + b x + 2 + c ax2 + bx + c + 4x + 4恒相等，
化簡得到 4a + b x + 4a + 2b + c b + 4 x + c + 4恒相等，
ì4a + b b + 4

所以 í4a + 2b + c c + 4，故 a 1，b 0， c -2，

a + b + c -1
2
所以 f x 的解析式為 f x = x - 2 .
2
故答案為： f x = x - 2 .
題型七：換元法求解析式
1
【典例 7-1 1】已知 f(x＋ )＝x2＋ 2 ，則函數 f(x)＝ ．x x
【答案】x2－2(|x|≥2)
1 1
【解析】配湊法. f(x 1 1＋ )＝x2＋ 2 ＝(x2＋2＋ 2 )－2＝(x＋ )2－2，所以 f(x)＝x2－2(|x|≥2).x x x x
【典例 7-2】已知 f x +1 x + 2 x ，則 f x （ ）
A． f x x2 B． f x x2 -1 x 1
C． f x x2 -1 x 0 D． f x x2 +1 x 1
【答案】B
【解析】令 x +1 t ， t 1，則 x t -1， x t -1 2 ，
所以 f t t -1 2 + 2 t -1 t 2 -1 t 1 ，
所以 f x 2的解析式為： f (x) x -1 x 1
故選：B.
【方法技巧】
當已知表達式為 f g(x) 時，可考慮配湊法或換元法．
【變式 7-1】設 f x 是定義在R+上的函數，且"a R, f x a 有唯一解或無解，且對任意 x R+ ，
均有 f x f f x
3
+
1
÷ ，請寫出一個符合條件的 f x .
è 2x 4
1 3
【答案】- 或 （答案不唯一）
2x 4x
【解析】當 f x 1 - x > 0 時，
2x
f f x 3 1 3 1 1 +
f + f - x，
è 2x ÷ -2x 2x ÷ è è x ÷ 2
f x f f x 3 1+ - 1 1所以 ÷ - x
；
è 2x 2x è 2 ÷ 4
3
或者，當 f x x > 0 時，
4x
f f x 3 + ÷ f
3 3+ 9 x ÷ f

÷ ，
è 2x è 4x 2x è 4x 3
3 x 3 1
所以 f x f f x + ÷ ÷ .
è 2x 3 è 4x 4
故答案為： f x 1 3 - 或 f x （答案不唯一）.
2x 4x
【變式 7-2】若 f x 是定義域為 0, + 上的單調函數，且對任意實數 x 0, + 都有
f é 1 ù 1ê f x - x ú +1，其中 e是自然對數的底數，則 f ln3 （　　） e e
4
A．4 B．
3
C． e 2
1
+ D．
3
【答案】B
【解析】∵ f x é 1 ù 1是定義域為 0, + 上的單調函數，且 f f x - +1，
ê ex ú e
∴在 0, + 1上存在唯一一個實數 t 使得 f t +1，
e
于是 f x 1-
ex
t .
令 x t
1
，得 +1
1
- t t
1 1
，即-t + +1 t .e e e e
畫出 y -t
1 1 y 1+ + 與 t 的圖像如圖所示：e e
1 1
由圖像可知， y -t + +1與 y t 的圖像在 0, + 上只有 1 個交點，e e
1
且 t 1是方程-t + +1
1
t 的解，e e
1 1 1 4
所以 f x +1，故 f ln 3 +1 +1 .
ex eln3 3 3
故選:B.
【變式 7-3】（2024·高三·江西·期中）設 f x 是定義在R 上的單調函數，若
"x R, f ( f (x) - 2x ) 11，則不等式 f x < 7 的解集為 .
【答案】 (- ,2)
【解析】由"x R, f ( f (x) - 2x ) 11，可得 f (x) - 2x 必為定值，
設 f (x) - 2x m，即 f (x) 2x + m，
由 f (m) 2m + m 11，解得m 3，所以 f (x) 2x + 3，
則不等式 f x < 7 ，即為 2x + 3 < 7 ，可得 2 x < 4 ，解得 x < 2，
所以不等式 f x < 7 的解集為 - , 2 .
故答案為： - , 2 .
【變式 7-4】設 f x 是定義在R 上的單調增函數，且滿足 f -1- x + f x -7 ，若對于任意非零實
é 1 1 ù
數 x 都有 f ê f x + - x - + 2ú -4，則 f 2024 .ê f x + 3 x ú
【答案】2021
1 1
【解析】令 t f x + - x - + 2f x f t -4+ 3 x ，則 ，
令 x t ，則 t f t
1 t 1 1+ - - + 2 -4 -1- t - + 2 1
f t + 3 t t ，解得 t -1或- .2
f 1-1- x + f x -7 f -1- - 1 1 7而 ，則 ÷÷ + f - ÷ -7，故 f - ÷ - ，因此 t -1.
è è 2 è 2 è 2 2
則-1 f x
1
+ - x 1- + 2
f x + 3 x ，
1 1 1 1 f x + 3- x即 f x + 3+ x + f x + 3- x - f x + 3 x x f x + 3 x f x .+ 3
因此 f x + 3- x 0或 x f x + 3 1，
當 x f x + 3 1時， f x 1 - 3，在 0, + 上單調遞減，不滿足題意，舍去；
x
當 f x x - 3時，滿足題意.
則 f 2024 2021 .
故答案為： 2021
題型八：方程組消元法求解析式
【典例 8-1】已知 f x x為奇函數， g x 為偶函數，且滿足 f x + g x e + x，則 f x =（ ）
exA - e
- x exB + e
- x
． ．
2 2
exC - e
- x - 2x ex - e- xD + 2x． ．
2 2
【答案】D
【解析】由題意知， f (x) 為奇函數， g(x)為偶函數，
則 f (-x) - f (x), g(-x) g(x)，
ì f (x) + g(x) ex + x ì f (x) + g(x) ex + x
所以 í ，即 ，
f (-x) + g(
í
-x) e- x - x - f (x) + g(x) e
- x - x
x - x
解得 f (x) e - e + 2x .
2
故選：D
1
【典例 8-2】已知 f x + 2 f ÷ x x 0 ，那么 f x ．
è x
2 x
【答案】 - x 0
3x 3
【解析】∵ f x + 2 f 1 ÷ x ， x 0，
è x
f 1 ∴ ÷ + 2 f x
1
．
è x x
ì
f x + 2 f
1
÷ x
è x
聯立方程組 í ，
f 1 + 2 f x
1

è x
÷
x
解得 f x 2 x - x 0 ．
3x 3
2 x
故答案為： - x 0 .
3x 3
【方法技巧】
1
若已知成對出現 f (x) ， f ( ) 或 f (x) ， f (-x) 等類型的抽象函數表達式，則常用解方程組法構造另一
x
個方程，消元的方法求出 f ( x ) ．
π
【變式 8-1】（2024·高三·遼寧丹東·期中）若 x 0, ÷ ，函數 f x 滿足
è 2
f sinx + 2 f cosx 1 cos2x，則 f ÷ ．
è 2
1
【答案】- /-0.5
2

【解析】由題意知： x 0,
π
， f sinx + 2 f cosx cos2x，
è 2 ÷
ì
f sinx + 2 f sin π - x ÷÷ cos2x
è è 2
所以得： í ，
π π
f sin - x2 ÷÷
+ 2 f sinx cos2 - x ÷ -cos2x
è è è 2
解之得： f sinx -cos2x 2sin2x -1，即 f x 2x2 -1，
1 1
所以得： f ÷ - ．
è 2 2
1
故答案為：-
2
【變式 8-2】已知 f x 滿足 f x + 2 f -x x - 5，則 f x ．
5
【答案】-x -
3
【解析】因為 f x + 2 f -x x - 5，所以 f -x + 2 f x -x - 5，
ì f x + 2 f -x x - 5 f x x 5聯立 í f ，解得 - - . -x + 2 f x -x - 5 3
5
故答案為：-x - .
3
【變式 8-3】（2024·河南·模擬預測）已知函數 f (x) 對定義域{x∣x 0}內的任意實數 x 滿足
f (2x) - 2 f 2 ÷ 4x ，則 f (x) .
è x
2 x 16【答案】- -
3 3x
2
【解析】由 f (2x) - 2 f ÷ 4x ，得 f (2x) - 2 f
4
÷ 2 × (2x)，即 f (x) - 2 f
4 4
x 2x ÷
2x ①，將 x 換為 ，得
è è è x x
f 4 2 f (x) 2 4 ÷ - ②，由①+2②，得-3 f (x) 2x
16 2 16
+ ，故 f (x) - x - .
è x x x 3 3x
2 x 16故答案為：- - .
3 3x
題型九：賦值法求解析式
【典例 9-1】已知函數 f x 的定義域為 R，且 f x + y + f x - y 2 f x f y ， f 0 1，請寫出滿
足條件的一個 f x （答案不唯一）．
【答案】1, cos x（答案不唯一）
【解析】令 x 0，則 f y + f -y 2 f 0 f y ，
又 f (0) 1，
所以 f y + f -y 2 f y ，即 f (-y) f (y)，
所以函數為偶函數，
不妨取偶函數 f (x) 1，則 f x + y + f x - y 1+1 2 1 1 2 f x f y ，
也可取 f (x) cos x，則 cos(x + y) + cos(x - y) 2cos x cos y，滿足題意.
故答案為：1, cos x（答案不唯一）
【典例 9-2】已知函數 y f x ，x R，且 f 0 2 ，
f 0.5 f 1 f 0.5n
2, 2,L, 2, n N*
f 0 f 0.5 f 0.5 n -1 ，則函數 y f x 的一個解析式為 .
【答案】 f (x) 2 ×4x （不唯一）
f 0.5 f 1 f 0.5n
【解析】由題意， 2, 2,L, 2, n N*f 0 f 0.5 f 0.5 n -1 ，
f 0.5n n
累乘可得 2 ，即 f 0.5n 2 ×2n ，
f (0)
令 x 0.5n，則 n 2x，
所以 f (x) 2 ×22x 2 × 4x ，
故答案為： f (x) 2 ×4x （不唯一）
【方法技巧】
若已知抽象函數表達式，則常用賦值法
【變式 9-1】已知函數 f x 滿足 f x + 2 f x +1，則 f x 的解析式可以是 （寫出滿足條件的
一個解析式即可）．
f x 1【答案】 x （答案不唯一）
2
【解析】設 f x ax ，由 f x + 2 f x +1，
代入可得， a x + 2 ax +1 1，解得 a ，
2
\ f x 1 x .
2
故答案為： f x 1 x .（答案不唯一只要正確即可）
2
【變式 9-2】（2024·高三·江蘇揚州·開學考試）寫出滿足 f x - y f x + f y - 2xy 的函數的解
析式 ．
f x x2【答案】
【解析】 f x - y f x + f y - 2xy 中，令 x y 0 ，得 f (0) 0；
令 y x 得 f x - x f x + f x - 2x2 ，故 f x + f x 2x2，
則 f x x2 ．
故答案為： f x x2 ．
【變式 9-3】對"x, y R，函數 f x, y 都滿足：① f 0, y y +1；② f x +1,0 f x,1 ；③
f x +1, y +1 f x, f x +1, y ；則 f 3,2023 ．
【答案】 22026 - 3
【解析】由題意， x, y R ，
在 f x, y 中，
f 0, y y +1， f x +1,0 f x,1 ， f x +1, y +1 f x, f x +1, y ，
解: 由題意, 有, f 1, y f 0, f (1, y -1) f 1, y -1 +1 ,
∵ f (1,0) f (0,1) 2 ,
∴ f (1, n) n + 2, n N* ,
∴有 f (2, y) f (1, f (2, y -1)) f (2, y -1) + 2 ,
∵ f (2,0) f (1,1) 1+ 2 3 ,
∴ f (2,n) 2n + 3, n N* ,
∴當 f (3, n) f (2, f (3, n -1)) 2 f (3, n -1)) + 3 , 即 f (3, n) + 3 2 f (3,n -1)) + 6 2( f (3, n -1) + 3) ,
∵ f (3,0) + 3 f (2,1) + 3 5 + 3 8 ,
∴ f (3, n) + 3 8 2n 2n+3 ,
∴ f (3, n) 2n+3 - 3,n N* ， f (3, 2023) 22026 - 3 .
故答案為: 22026 - 3 .
f (x) f (y)
【變式 9-4】設偶函數 f(x)滿足： f 1 2 ，且當時 xy 0時， f ( x2 + y2 ) f (x) ，+ f (y)
則 f -5 ．
2
【答案】
25
【解析】利用初始值和遞推關系，逐漸求得 f 2 ， f 2 ， f 5 ， f 10 ， f 20 ，最后求得
f 1 f 1
f 5 . 2 2 再利用偶函數的性質得出所求. f 2 f 1 +1 1f 1 ，+ f 1
2 2 f
2 f 2
f 2 f 2 + 2
1 1 1
÷ ，
è f 2 + f 2 1+1 2
1
2 2 f 1 f 2
2
f 5 f 1 + 2 2 2 ,
f 1 + f 2 2 1+ 5
2
2 2
2 2 f 5 f 5
f 10 f 5 + 5 1÷ 5 5 ,
è f 5 + f 5 2 2+ 5
5 5
1 1 2 2 f 10 f 10 f 20 f 10 + 10 5 5 1 ÷ ,
è f 10 + f 10 1 1+ 10
5 5
2 2
f 20 1 2f 5
f 5 f 20 + 5 10 5
2
÷
è f 20 + f 5 1 2
,
+ 25
10 5
∵f(x)是偶函數，
\ f -5 f 5 2 ．
25
2
故答案為： ．
25
題型十：求值域的 7 個基本方法
【典例 10-1】求下列函數的值域：
(1) y 3x2 - x + 2；
(2) y -x2 - 6x - 5 ；
y 3x +1(3) ；
x - 2
(4) y x + 4 1- x ；
(5) y x + 1- x2 ；
(6) y | x -1| + | x + 4 |；
2x2(7) y - x + 2 2 ；x + x +1
2x2 - x +1 1
(8) y x > ；
2x -1 è 2 ÷
1 23
【解析】（1 2 2）因為 y 3x - x + 2 3(x - ) + , x R ，
6 12
23
故 y 3x2 - x + 2的值域為[ , + ) ；
12
（2）令 t -x2 - 6x - 5,\t 0 ，則-5 x -1，
而 t -x2 - 6x - 5 -(x + 3)2 + 4，則0 t 4，
故 y -x2 - 6x - 5 t [0, 2]，
即 y -x2 - 6x - 5 的值域為[0,2]；
3 y 3x +1 3(x - 2) + 7 7（ ） 3 +x ，- 2 x - 2 x - 2
7 7
因為 0 3+ 3x - 2 ，故 ，x - 2
3x +1
所以 y 的值域為 y R | y 3 ;
x - 2
（4）令 1- x u,u 0 ，則 y x + 4 1- x -u2 + 4u +1 -(u - 2)2 + 5，
當u 2時，-(u - 2)2 + 5取到最大值 5，無最小值，
故 y x + 4 1- x 的值域為 (- ,5]；
（5）因為1- x2 0,\-1 x 1，令 x cosa ,a [0, π] ,
故 y x + 1- x2 cosa + sina 2 sin(a
π
+ )，
4
π π 5π π
由于a + [ , ]，故 2 sin(a + ) [-1, 2]，
4 4 4 4
即函數 y x + 1- x2 的值域為[-1, 2]；
ì-2x - 3, x < -4
（6） y x -1 + x + 4

í5, -4 x 1 ，

2x + 3, x >1
當 x<- 4時， y > 5；當 x >1時， y > 5；當-4 x 1時， y 5，
故 y | x -1| + | x + 4 |的值域為[5, + )；
（7）因為 x2 + x +1 > 0恒成立，故 x R ,
2
y 2x - x + 2則由 2 可得 (y - 2)x
2 + (y +1)x + y - 2 0 ，
x + x +1
當 y 2時， x 0，適合題意；
當 y 2時，由于 x R ，故 (y - 2)x2 + (y +1)x + y - 2 0 恒有實數根，
故D (y +1)2 - 4(y - 2)2 0，解得1 y 5且 y 2，
2x2y - x + 2故 的值域為[1,5]2 ；x + x +1
1
y 2x
2 - x +1 x 2x -1 +1
（8） x
1 1 1
+ x - + 2 1 + ，2x -1 2x -1 2x -1 2 x - 2
2
1 1
x 1 , 1 1 1因為 > \ x - > 0，故 x - + 2 1 2 (x - ) ×
2 2 ，
2 2 2 x - 2 x 1-
2 2
1
x 1- 2 x 1+ 2當且僅當 ，即 時等號成立，2 x 1- 2
2
2x2y - x +1 2 1
1
故 + ，即函數值域為[ 2 + , + )；
2x -1 2 2
【典例 10-2】求下列函數的值域．
(1) y x - 2；
x2(2) y - x 2 ；x - x +1
(3) y x - 1- 2x ；
2
(4) y x - 4x + 3
2x2
；
- x -1
2
(5) y x + 8 （ x >1）．
x -1
【解析】（1）因為 x 0，所以 x - 2 -2．故值域為 -2, + ．
1 2
（2）因為 y 1
1 4 1
- 2 ，且 x
2 - x 1+1 x - 3 3 ÷ + ，所以0 < 2 ，所以- y <1，故函x - x +1 è 2 4 4 x - x +1 3 3
é 1
數的值域為 ê- ,13 ÷
．

1- t 2
（3）令 1- 2x t ，則 t 0，且 x ，
2
1 1
所以 y - t +1 2 +1 1 t 0 - , ù（ ）．故函數的值域
2 2 è 2 ú
．
2
y x - 4x + 3 x -1 x - 3 x
1
- 3 2x 1 7+ -
（4） 2x2 x 1 x 1 2x 1 2x 1，其中 x 1，
x - 3
2 2 1 7- - - + + - ，2x +1 2x +1 2 2 2x +1
x - 3 1- 3 2
當 x 1時， - ．
2x +1 2 1+1 3
7
0 y x - 3 1又因為 2 2x +1 ，所以 ．2x +1 2
2- , - U 2 1- , 1 故函數的值域為 ÷ ÷ U , + 3 ÷ ．è è 3 2 è 2
（5）因為 x >1，所以 x -1 > 0，所以
x2 + 8 x -1 2 + 2 x -1 + 9y x 1 9 9- + + 2 2 x -1 × + 2 8，
x -1 x -1 x -1 x -1
9
當且僅當 x -1 ，即 x 4時，取等號，即 y 取得最小值 8．
x -1
故函數的值域為 8,+ ．
【方法技巧】
函數值域的求法主要有以下幾種
（1）觀察法：根據最基本函數值域（如 x 2 ≥0， a x > 0 及函數的圖像、性質、簡單的計算、推理，憑
觀察能直接得到些簡單的復合函數的值域．
（2）配方法：對于形如 y a x 2 + b x + c a 0 的值域問題可充分利用二次函數可配方的特點，結合二
次函數的定義城求出函數的值域．
（3）圖像法：根據所給數學式子的特征，構造合適的幾何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．
（5）換元法：分為三角換元法與代數換元法，對于形 y ax + b + cx + d 的值城，可通過換元將原函
數轉化為二次型函數．
（6）分離常數法：對某些齊次分式型的函數進行常數化處理，使函數解析式簡化內便于分析．
（7）單調性法：先確定函數在定義域（或它的子集）內的單調性，再求出值域．對于形如
y ax+b + cx+d 或 y ax+b+ cx+d 的函數，當 ac>0 時可利用單調性法．
【變式 10-1】求下列函數的值域．
（1）求函數 y x + 2x +1的值域．
2
（2） 求函數 y x - 3x + 4 2 的值域．x + 3x + 4
（3）求函數 y ( 1+ x + 1- x + 2)( 1- x2 +1)， x [0,1]的值域．
1 1 1 1
【解析】(1) y x + 2x +1 [2x +1+ 2 2x +1 +1]-1 ( 2x +1 +1)2 -1 -1 - .
2 2 2 2
1 1
當 x - 時，y 取最小值- ，
2 2
1
所以函數值域是[- , + )．
2
（2）由函數解析式得 (y -1)x2 + 3(y +1)x + 4y - 4 0 .
①當 y 1時，①式是關于 x 的方程有實根．
所以D 9(y +1)2
1
-16(y -1)2 0 ，解得 y 7 .
7
又當 y 1時，存在 x 0使解析式成立，
所以函數值域為[
1 ,7]．
7
（3）令 1+ x + 1- x u ，
因為 x [0,1]，所以 2 u2 2 + 2 1- x2 4，
所以 2 u 2，
2 + 2 u + 2
所以 2，
2 2
y u + 2 2所以 u [ 2 + 2,8]．
2
所以該函數值域為[ 2 + 2,8]．
【變式 10-2】求下列函數的值域：
(1) f x 2x - x -1；
f x 2x - 3(2) , x 1,3 ；
x +1
2
(3) f x x + 2x +1 2 , x 3,5 .x + x +1
【解析】（1）令 t x -1，則 x t 2 +1， t 0，
1 2y 2t 2 2 t 2 t 15 15所以 + - - ÷ + ，
è 4 8 8
所以 f x é15的值域為 ê ,+

÷ .
8
2x - 3 5
（2） f x 2 - ，
x + 1 x + 1
由反比例函數性質可知， f x 在 1,3 上單調遞增，
所以 f 1 < f x < f 3 1 3，即 - < f x <2 4 ，
1 3
所以 f x 的值域為 - ,2 4 ÷ .è
2
f x x + 2x +1 x 1
（3） x2
1+ 1+
+ x +1 x2 + x +1 x 1 1 ,+ +
x
t x 1 1令 + ，則 y 1+ ，
x t +1
1
由對勾函數性質可知， t x + 3,5 10 t 26在 上單調遞增，所以 < < ，
x 3 5
1 10 26
由反比例函數性質可知， y 1+ 在 , 單調遞減，t +1 è 3 5 ÷
36 y 16< < f x 36 16 所以 ，即 的值域為 , ÷ .31 13 è 31 13
【變式 10-3】求下列函數的值域
3 + x
（1） y 4 - x ；
5
（2） y 2 ；2x - 4x + 3
（3） y 1- 2x - x ；
2
（4 y x + 4x + 3） ；
x2 + x - 6
（5） y 4 - 3 + 2x - x2 ；
（6） y x + 1- 2x ；
（7） y x - 3 + 5 - x ；
（8） y -x2 - 6x - 5
3x +1
（9） y ；
x - 2
2x210 y - x +1(x 1（ ） > ) .
2x -1 2
3 + x 7
【解析】（1）分式函數 y -1-4 x x 4 ，- -
定義域為 x x 4 7，故 0 ，所有 y -1x 4 ，-
故值域為 (- , -1) (-1, + ) ；
5
（2）函數 y 2 中，分母 t 2x
2 - 4x + 3 2 x -1 2 +1 1，
2x - 4x + 3
5
則 y 0,5 ，故值域為 0,5 ；
t
1
（3）函數 y 1- 2x - x 中，令1- 2x 0得 x ，
2
易見函數 y 1- 2x 和 y -x都是減函數，
1 1 1
故函數 y 1- 2x - x 在 x 時是遞減的，故 x 時 ymin - ，2 2 2
é 1
故值域為 ê- ,+ 2 ÷；
2
4 y x + 4x + 3 x +1 1 3（ ） 2 + , x -3 ， x + x - 6 x - 2 x - 2
故值域為 y y 1 y 2 ü且 ；
5
（5） y 4 - 3 + 2x - x2 4 - -(x -1)2 + 4 ， x -1,3
而0 -(x -1)2 + 4 4 ， x 0,4 ，
\0 -(x -1)2 + 4 2，\4 - 2 4 - -(x -1)2 + 4 4 - 0，
即 2 y 4，故值域為 2,4 ；
1 ù
（6）函數 y x + 1- 2x ，定義域為 - , ，令 t 1- 2x 0，
è 2 ú
1- t 2 1- t 2 t 2 1
所以 x ，所以 y + t - + t + , t 0，對稱軸方程為 t 1，
2 2 2 2
所以 t 1時，函數 y
1 1
max - +1+ 1，故值域為 - ,1 ；2 2
ìx - 3 0
（7）由題意得 í ，解得3 x 5
5 - x 0
，
y2 2 + 2 x - 3 5 - x 2 + 2 - x - 4 2則 +1,3 x 5，
故- x - 4 2 +1 0,1 ， 2 - x - 4 2 +1 0,2 ，\2 y2 4，
由 y 的非負性知， 2 y 2，故函數的值域為 é ù 2, 2 ；
2 2
（8）函數 y -x2 - 6x - 5 - x + 3 + 4 ，定義域為 -5, -1 ，- x + 3 + 4 0, 4 ，故
y - x + 3 2 + 4 0,2 ，即值域為 0,2 ；
y 3x +1 7（9）函數 3 + ，定義域為 x x 2 ，
x - 2 x - 2
7
故 0 ，所有 y 3，故值域為 (- ,3) U (3,+ )x - 2 ；
2x2 - x +1 2x -1 2 + 2x -1 + 2 1 é ù
（10）函數 y ê 2x 1 2 1- + + ，2x -1 2 2x ú-1 2 ê 2x -1 ú 2
1 2 1
令 t 2x -1
1
，則由 x > 知， t > 0， y t +2 2 ÷
+ ，
è t 2
2
根據對勾函數 t + 在 0, 2 遞減，在 é 2, + 遞增,t
1
可知 t 2 時， y
1
2 2 1 1+ 2 + é min ，故值域為 2 + , + .2 2 2 ê ÷ 2
題型十一：數形結合求值域
y sin x + 2【典例 11-1】函數 的值域為
cos x - 2
é-4 - 7 ù
【答案】 ê ,
-4 + 7
3 3 ú
y sin x + 2【解析】 表示點 cos x,sin x 與點 2, -2 連線的斜率，
cos x - 2
Q cos x,sin x 的軌跡為圓 x2 + y2 1，
y sin x + 2\ 表示圓 x2 + y2 1上的點與點 2, -2 連線的斜率，
cos x - 2
由圖象可知：過 2, -2 作圓 x2 + y2 1的切線，斜率必然存在，
則設過 2, -2 的圓 x2 + y2 1的切線方程為 y + 2 k x - 2 ，即 kx - y - 2k - 2 0，
-2k - 2
\圓心 0,0 -4 ± 7到切線的距離 d 1，解得： k ，
k 2 +1 3
é
2 2 2, 2 -4 - 7 -4 + 7
ù
結合圖象可知：圓 x + y 1上的點與點 - 連線的斜率的取值范圍為 ê , ú，
3 3
sin x + 2 é-4 - 7 -4 + 7 ù
即 y 的值域為 , .
cos x - 2 ê 3 3
ú

é-4 - 7 ù
故答案為： ê ,
-4 + 7
ú .
3 3
【典例 11-2】函數 y x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域為 .
【答案】 é 26,+
【解析】原式為 y x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 x -1 2 + 0 - 2 2 + x - 2 2 + 0 - 3 2 ，即可看作是動點
A x,0 到定點M 1,2 , N 2,3 的距離之和，
設 N 2,3 關于 x 軸的對稱點為 N 2, -3 ，連接MN 交 x 軸于A ，此時 AM + AN 最小，且最小值為
MN 1- 2 2 + 2 + 3 2 26 ，故函數 y x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域為 é 26,+ ，
故答案為： é 26,+
【方法技巧】
根據所給數學式子的特征，構造合適的幾何圖形模型．
11-1 y 1- x
2
【變式 】函數 的值域是 ．
x + 2
é ù
【答案】 ê0
3
，
3 ú
f x 1- x
2
【解析】設函數 ，令 y 1- x2 ，則點M x，y 位于一個單位圓 x 軸的上半部分，如圖所示．
x + 2
1- x2 y - 0
將函數 f x 改寫為 f x ，則表示定點 A -2，0 與點M x，yx - -2 所連直線MA的斜率．x + 2
當直線MA與上半單位圓相切時，在直角三角形MOA中，MO 1, OA 2, \ MAO 30°，所以
3 é 3 ù 2 é ùkMA tan30° ．又 kAO 0 ，所以 f x 0，
1- x 3
ê ú ．即函數 y 的值域為3 ê
0， ú ．
3 x + 2 3
【變式 11-2】函數 f (x) 2x - 3 - -x2 + 6x - 8 的值域是 ．
【答案】[3 - 5,5]
【解析】 f (x) 2x - 3- -x2 + 6x -8 2x - 3- 1- x - 3 2 ，
由-x2 + 6x -8 0，解得 2 x 4 ，
令 t 2x - 3- 1- x - 3 2 1- x - 3 2，即 2x - 3 - t ，
將函數 f (x) 2x 3 2- - -x2 + 6x - 8 的值域轉化為 y 1- x - 3 與 y 2x - 3- t 有交點時的 t 的取值范圍，
在同一坐標系中作函數 y 1- x - 3 2 與 y 2x - 3- t 的圖象如圖所示：
由圖象知：當直線 y 2x - 3- t 與半圓 x - 3 2 + y2 1相切時，t 最小，
3- t
此時 1，解得 t 3 ± 5，由圖象知 t 3 - 5，
1+ 4
當直線 y 2x - 3- t 過點 A 4,0 時，t 最大，此時 t 5，
所以 t [3 - 5,5]，即 f (x) 的值域是[3 - 5,5]，
故答案為：[3 - 5,5]
【變式 11-3】函數 y x2 - 2x + 5 - x2 - 4x +13 的值域為 .
【答案】[- 2, 2)
【解析】由題設 y (x -1)2 + (0 - 2)2 - (x - 2)2 + (0 - 3)2 ，
所以所求值域化為求 x 軸上點C到 A(1, 2)與 B(2,3) 距離差的范圍，如下圖示，
由圖知： CA - CB AB ，即- AB CA - CB AB ，
當C, A, B 三點共線且A 在C, B 之間時，左側等號成立；
當C, A, B 三點共線且 B 在C, A之間時，右側等號成立，顯然不存在此情況；
所以- AB CA - CB < AB ，即 y | CA | - | CB | [- | AB |,| AB |) [- 2, 2) ，
所以函數值域為[- 2, 2) .
故答案為：[- 2, 2)
1- x211-4 f x - 2 3【變式 】函數 的值域為 .
x - 4
é 3 2 3 ù
【答案】 ê ,
3 3
ú

2
【解析】設 y 1- x2 x2，則有 + y2 1 y 0 f x 1- x - 2 3 y - 2 3， ，
x - 4 x - 4
2 2
其幾何意義為半圓 x + y 1 y 0 上一動點 P 到定點 A 4,2 3 的連線的斜率．
如圖：B 1,0 ,則 k 2 3AB ，3
設過點 A 的直線為 y - 2 3 k x - 4 ，
整理為 kx - y + 2 3 - 4k 0，由點到直線的距離公式可得
2 3 - 4k
15k 2 3 11 3 1，化簡得 -16 3k +11 0 k 或 （舍），
k 2 +1 3 15
3 f x 2 3所以 ，
3 3
é 3 2 3 ù
故答案為: ê , ú .
3 3
題型十二：值域與求參問題
2
【典例 12-1 f x x + ax - 2】若函數 的值域為 -2,2 ，則 a2 的值為 .x - x +1
【答案】 2
y x
2 + ax - 2
【解析】設 ，可得 y -1 x2 - y + a x + y + 2 0
x2
，
- x +1
2
由題意可知，關于 x 的方程 y -1 x - y + a x + y + 2 0在 R 上有解，
若 y 1，可得- a +1 x + 3 0，則 a -1；
2 2
若 y 1，則D y + a - 4 y -1 y + 2 0，即3y - 2a - 4 y - a2 + 8 0，
2 2
由題意可知，關于 y 的二次方程3y - 2a - 4 y - a + 8 0的兩根為-2、 2，
ì2a - 4
0 3
由韋達定理可得 í 2 ，解得 a 2 .
a + 8- -4
3
綜上所述， a 2 .
故答案為： 2 .
【典例 12-2】若函數 y ax2 + 4x +1的值域為 0, + ，則 a的取值范圍為（ ）
A． 0,4 B． 4, + C． 0,4 D． 4, +
【答案】C
【解析】當 a 0時， y 4x +1 0，即值域為 0, + ，滿足題意；
2
若 a 0，設 f x ax + 4x +1，則需 f x 的值域包含 0, + ，
ìa > 0
\íΔ 16 4a 0，解得：
0 < a 4 ；
-
綜上所述： a的取值范圍為 0,4 .
故選：C.
【方法技巧】
值域與求參問題通常采用分類討論，數形結合，轉化化歸等方法解決.
【變式 12-1】已知函數 f x 1- x + a, x [m,n]的值域為 m, n (m < n)，則實數 a的取值范圍為（ ）
3 1 1A． - ,
1 3B
4 4 ÷ ．
-1,- ÷ C．[0, ) D． (- ,0]
è è 4 4 4
【答案】C
【解析】由題意得 f (x) 1- x + a在[m， n]上單調遞減，
因為函數的值域為[m， n]，
ì f (m) 1- m + a n
所以 í ， 1- m - 1- n n - m (1- m) - (1- n)
f (n) 1- n + a m
( 1- m - 1- n)( 1- m + 1- n) ，
Qm < n，\ 1- m - 1- n 0 ，\ 1- m + 1- n 1，\ 1- m 1- 1- n ，
\a n + 1- n -1 -( 1- n)2 + 1- n -( 1- n 1- )2 1+
2 4 ，
Qm < n 1，\ 1- m > 1- n ，結合 1- m + 1- n 1可得： 1- n [0， )2 ，
\a [0 1， )4 ．
故選：C ．
【變式 12-2】定義min
a, a b
a,b ì í 2b,a b若函數 f x min x - 3x + 3,- x - 3 + 3 ，則 f x 的最大值 >
é3 ù
為 ；若 f x 在區間 m, n 上的值域為 ê , 2ú ，則 n - m的最大值為 ． 4
3 3 + 2 5【答案】
4
2
【解析】當 x - 3x + 3 - x - 3 + 3時，解得 x 1或 x 3，
ì - x - 3 + 3, x - ,1 3, +
所以 f x í
x
2 - 3x + 3, x 1,3 ，
作出 f x 的圖象如下圖所示：
由圖象可知：當 x 3時， f x 有最大值，所以 f x f 3max 3；
當 f x 3 3 3 21時，解得 x 或 或 ；
4 4 2 4
當 f x 2 x 3 + 5時， 或 x 4，
2
m 3 3 é , ù n 3+ 5 f x é
3 ù
由圖象可知：當 ê4 2ú， 時， 的值域為 ê
, 2 ，此時 n - m的最大值為
2 4 ú
3+ 5 3 3 + 2 5
- ；
2 4 4
m 4, n 21 f x é3 ,2ù n m 5 3 + 2 5當 時， 的值域為 ê ú ，此時4 4 - < ， 4 4
3+ 2 5
由上可知， n - m的最大值為 ，
4
3+ 2 5
故答案為：3； .
4
ìx2 - 2x + 2, x 0

【變式 12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函數 y í a 的值域為R ，則實數 a的取值

x + + 3a , x < 0
x
范圍為 ．
【答案】 - ,0 U 1, +
【解析】當 x 0 時， f x x2 - 2x + 2 x -1 2 +1，此時 f x 1,+ ，
當 a 0且 x < 0 時， f x x，
此時 f x - ,0 ，且 - ,0 U 1, + R，所以不滿足；
a 0 f x x a當 > 且 x < 0 時， + + 3a ，
x
由對勾函數單調性可知 f x 在 - , - a 上單調遞增，在 - a ,0 上單調遞減，
所以 f x f - a 3a - 2 a ，此時 f x - ,3a - 2 a ùmax ，
若要滿足 f x 的值域為R ，只需要3a - 2 a 1，解得a 1；
y x, y a當 a<0且 x < 0 時，因為 均在 - ,0 上單調遞增，
x
所以 f x x a+ + 3a 在 - ,0 上單調遞增，且 x 0時， f x + ， x - 時， f x - ，
x
所以此時 f x - ,+ ，此時顯然能滿足 f x 的值域為R ；
綜上可知， a的取值范圍是 - ,0 1,+ ，
故答案為： - ,0 1,+ .
題型十三：判別式法求值域
y x -1【典例 13-1】函數 2 ， x > 0的值域為 ．x - 6x + 7
2 + 2 ù
【答案】 - ,
1
- ú

- ,+

4 7 ÷è è
x -1 2
【解析】因為 y yx - 6y +1 x + 7 y +1 0
x2
，整理得 ，
- 6x + 7
2
可知關于 x 的方程 yx - 6y +1 x + 7 y +1 0 有正根，
若 y 0 ，則-x +1 0，解得 x 1，符合題意；
y 0 x2 6 1 1若 ，則 - + y ÷
x + 7 + 0，
è y
ì ì 1
6
1
+ 6 + y
y 0 > 0
可得 í 2 或 í 2 ，
1 27 + < 0 Δ 6 1 4 7 1 y + ÷ - + ÷ 0 è y è y
1 7 1 2 2 1解得 < - 或 - 4且 0
1
，則- < y < 0或 y > 0 y 2 + 2y y y 或 - ；7 4
1 2 + 2
綜上所述： y > - 或 y < - ，
7 4
x -1 , 2 + 2
ù 1
即函數 y 2 ， x > 0

的值域為 - - ú - ,+

.
x - 6x + 7 è 4 è 7
÷

2 + 2 ù
- ,- 1 故答案為： ú - ,+ 4 ÷
.
è è 7
2
13-2 f x -x + x -1【典例 】函數 的值域是 ．
x2 +1
é 3 , 1 ù【答案】 ê- - 2 2 ú
【解析】由題知函數的定義域為R ，
-x2 + x -1 2
所以，將 y 整理得 1+ y x - x + y +1 02 ，x +1
所以，當 y -1時， x 0；
ì
y -1 Δ 1- 4 y +1
2 0 é 3 1 ù
當 時， í ，解得 y ê- , -1÷ U -1, - ， y -1 2 è 2
ú
y é 3 , 1 - - ù
2 3 1
所以， ê ú ，即函數 f x
-x + x -1 é
的值域是 ê- , -
ù
2 2 x2 +1 2 2 ú
é 3
故答案為： ê- ,
1
- ù
2 2 ú
【方法技巧】
判別式法：把函數解析式化為關于 x 的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，
2
形如 y Ax + B ， ax 2 bx c 或 y ax + bx + c+ + 的函數值域問題可運用判別式法（注意 x 的取值范圍必須
dx2 + ex + f
為實數集 R）．
【變式 13-1】已知a, b R，且 a2 + b2 + ab 1，則b 的取值范圍是 .
é 2 3 ù
【答案】 ê- ,
2 3
3 2 ú
【解析】因為 a2 + b2 + ab 1，所以 a2 + ab + b2 -1 0 .
又因為a, b R，
2
所以D b - 4 b2 -1 0 2 3 2 3，解得- b .
3 2
é 2 3 ù
故答案為： ê- ,
2 3
3 2 ú
.

【變式 13-2】已知 a > 0，函數 f (x) ax - x2 + 2x - x2 的最大值為 2 ，則實數 a的值為 .
【答案】1
【解析】Q y ax - x2 + 2x - x2 ，
\ y - 2x - x2 ax - x2 ，
兩邊平方得： y2 - 2y 2x - x2 + 2x - x2 ax - x2 ，
即 y2 + 2x - ax 2y 2x - x2 ，
再平方得： y4 + 4x2 + a2x2 + 4xy2 - 2axy2 - 4ax2 8xy2 - 4x2 y2 ，
化簡得： (4y2 + 4 + a2 - 4a)x2 - (4y2 + 2ay2 )x + y4 0，
當 4y2 + 4 + a2 - 4a 0 ，即 4y2 + (a - 2)2 0 時， a 2, y 0，
此時 f (x) 2 2x - x2 2 -(x -1)2 +1 最大值為 2，不符題意.
所以 4y2 + 4 + a2 - 4a 0 .
因為方程有解，所以D 0，
即D (4y2 + 2ay2 )2 - 4y4 (4y2 + 4 + a2 - 4a) 0 ，
化簡得： y2 2a，因為 y 0，所以0 y 2a ，
又因為 y 的最大值為 2 ，所以 2a 2 ，
所以 a 1 .
故答案為：1.
2
【變式 13-3 x - x +1】函數 f x 2 的值域是 .x - x + 2
é 3
【答案】 ,1
ê7 ÷
x2f x - x +1【解析】
x2
，
- x + 2
2
x2 - x + 2 x 1- 7因為 ÷ + > 0
è 2 4
所以函數 f x 的定義域為 x R
x2y - x +1令 ，整理得方程： y -1 x2 + 1- y2 x + 2y -1 0x - x + 2
當 y 1時，方程無解；
當 y 1時，Δ 1- y 2 - 4 y -1 2y -1 0
不等式整理得：7y2 -10y + 3 0
y é 3解得： ,1

÷
ê7
x2 - x +1 é 3
所以函數 f x ,1
x2
的值域為 .
- x + 2 ê 7 ÷
é 3
故答案為： ê ,1

÷
7
題型十四：三角換元法求值域
【典例 14-1】求函數 y x + 2x2 - 4x + 6 的值域.
p
【解析】Q2x2 - 4x + 6 2(x -1)2 + 4，\可設 x -1 2 tanq |q |<

è 2 ÷
，

則 y 2 tanq +1 2( 2 + sinq )+ 2secq +1 .
cosq
2 + sinq
設u |q |
p
< ÷，則u > 0，從而u cosq - sinq 2 .cosq è 2
u 1
2 2u +1cos(q +j) 2 （其中 cosj ， sinj 2 2 ）， cos(q +j) 1，u +1 u +1 u2 +1
u2 +1 2 ，u2 +1 2，u2 1且u > 0 .\u 1 .\ y 2 +1
故函數的值域為[ 2 +1,+ ) .
2
【典例 14-2】（2024·高三·河南·期中）函數 f (x) 1+ 3 - x 的值域為（ ）
x + 2
A． é 2 - 6,2 + 3ù B． é- 3, 6ù C． é 2 - 3,2 + 6 ù D． é- 6, 3ù
【答案】C
【解析】依題意3 - x2 0且 x -2，所以函數 f (x) 的定義域為 é - 3, 3ù .
1+ 3 sinq
設 x 3 cosq ，q 0,p ，則 y ，q 0,p ，其幾何含義表示點P 3 cosq , 3 sinq 與
3 cosq + 2
A -2, -1 的斜率， P 為圓弧 x2 + y2 3 y 0 上一動點，
1
如圖，當 P 為圓弧為右端點B 3,0 時，斜率最小，最小值為 kAB 2 - 3 ，3 + 2
當 AP 與圓弧相切時，直線 AP 的斜率存在且最大，設 AP : y +1 k(x + 2) ，即 kx - y + 2k -1 0，
2k -1
則圓心到直線 AP 的距離 d 3，即 k 2 - 4k - 2 0 ，如圖，顯然 k > 0，所以
2 k 2 + 6 .k +1
所以函數 f (x) 的值域為 é 2 - 3,2 + 6 ù .
故選：C.
【方法技巧】
充分利用三角函數的有界性，求出值域．因為常出現反解出 y 的表達式的過程，故又常稱此為反解有
界性法．
2
【變式 14-1 2024 -x + 4x - 3 + 3】（ ·上海徐匯·模擬預測）函數 y 的值域為 .
x +1
é3 , 9 + 17
ù
【答案】 ê ú
4 8
【解析】Q-x2 + 4x - 3 -(x - 2)2 +1 0 1 x 3 .
令 x - 2 cosq 且 θ∈[0，π]
-x2∴ y + 4x - 3 + 3
x +1
sinq + 3
= 2 2，表示兩點（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率， cos q + sin q 1 q 0, π ，故點
cosq + 3
cosq ,sinq 在單位圓的上半部分.
-3 - 0 3 sinq - -3 sinq
如圖，斜率最小為 ，斜率最大值為直線與半圓相切時的斜率， × -1
-3 -1 4 cosq - -3 cosq ，化簡得
ì
sinq + cosq
1
-
3
sinq + cosq 1 2 2 - 17 -1 - 17 -1，由
3 í
sin q + cos q 1 ，解得 sinq , cosq ，故切線的斜率為
-1 < cosq < 0 6 6

0 < sinq <1
17 -1
sinq - -3 + 36 9 + 17 é3 , 9 + 17 ù
cosq - -3 .所以斜率的取值范圍，也即函數的值域為 ê ú .- 17 -1
+ 3 8
4 8
6
é3 9 + 17 ù
故答案為： ê ,4 8 ú
題型十五：分段函數求值、求參數問題
ì
sinπx, x
1

2
3 1
【典例 15-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x í f x + ÷ , < x 2，則 f 2024 （2 2 ） è
f x - 2 , x > 2


A 1． -1 B．0 C． 2 D．1
【答案】D
f 2024 f 2 f 7 f 3 f 3 f 1 f 5 1 f π【解析】由題意知 ÷ ÷ ÷ ÷ sin 1．
è 2 è 2 è 2 è 2 2
故選：D．
ìx2 + x, x 0
【典例 15-2】已知函數 f x í ，若 f a 6，則a （ ）
5x + 6, x < 0
A．0 B．2 C．-3 D．2 或 3
【答案】B
【解析】當 a 0 f a a2時，則 + a 6 ，解得： a 2或 a -3（舍去）
當 a < 0時，則 f a 5a + 6 6，解得： a 0（舍去）
綜上所述： a 2
故選：B.
【方法技巧】
根據分段函數解析式求函數值，首先明確自變量的值屬于哪個區間，其次選擇相應的解析式代入解決.
【變式 15-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x ì
log
2
x +1, x 1
íx2
f a 2
, x 1 ，若 ，則
a的值為
<
（ ）
A．2 或- 2 B．2 或 2 C． 2 或- 2 D．1 或 2
【答案】A
【解析】當a 1時， log2a +1 2，解得 a 2，
當a < 1時， a2 2，得 a - 2 ，
所以 a的值是 2 或- 2 ．
故選：A.
ì x ,0 < x <1f x f m f m +1 2 【變式 15-2】（2024·全國·模擬預測）設 í ，若 ，則
f
2 x -1 , x 1

è m ÷
（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
【答案】A
ìm > 0
【解析】因為 f x 的定義域為 0, + ，則 í m > 0
m +1 > 0
，解得 ，
若m 1，則m +1 2 >1，可得 2 m -1 2m - 2 2m，不合題意；
若0
1
< m <1，則m +1 >1，可得 m 2m ，解得m ；4
1
綜上所述：m .
4
所以 f
2
÷ f 8 14 .
è m
故選：A.
ì2x + 2- x , x 3

【變式 15-3】（2024·江蘇南通·二模）已知函數 f x í f x ，則
f log 9 （
, x ） ÷ > 3
2
è 2
8 10 80 82
A． B． C． D．
3 3 9 9
【答案】B
ì2x + 2- x , x 3
f x 【解析】因為 í f x ÷ , x > 3
è 2
由于 log2 9 > 3，則 f (log
1
2 9) f ( log2 9) f (log2 3) 2
log2 3 + 1 1 10log 3 + 2 2 ．2 3 3 3
故選：B
題型十六：分段函數與方程、不等式
ìx +1, x 0,【典例 16-1】已知函數 f x í 若 a é f a - f -a ù > 0 a2x 1, x 0, ，則實數 的取值范圍是（ ） - - <
A． 2, + B． -2,0 U 0,2
C． - ,-2 U 2,+ D． -2,0 0,2
【答案】D
【解析】由 a é f a - f -a ù > 0 ，
若 a > 0，則 f a - f -a > 0 ，即a +1- é-2 -a -1 ù > 0，解得 a < 2，所以0 < a < 2
若 a<0，則 f a - f -a < 0 ，即-2a -1- (-a +1) < 0，解得 a > -2 ，所以-2 < a < 0，
綜上，不等式的解為 -2,0 0,2 .
故選：D
ìex , x 0 1
【典例 16-2】（2024·福建福州·模擬預測）已知函數 f x í ，則不等式 f x 的解集
ln x, x > 0 2
是（ ）
A． - , - ln 2 U 0, e ù B． - , - ln 2
C． 0, e ù D． - ,- ln 2 U 0, e
【答案】A
【解析】當 x 0 時，由 f (x)
1
得 ex
1
，兩邊取以 e 為底的對數得： x - ln 2，
2 2
1
當 x > 0時，由 f (x)
1
得 ln x
1
，解得
2 2 0 < x e
2 e ，
綜上 x - ln 2或0 < x e .
故選：A.
【方法技巧】
已知函數值或函數的范圍求自變量的值或范圍時，應根據每一段的解析式分別求解，但是一定要注意
檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段自變量的范圍.
x +1, x 0
【變式 16-1】（2024·湖北·一模）已知函數 f x
ì
íln x +1 , x > 0 ，則關于 x 的不等式 f x ≤1的解
集為 ．
【答案】 - , e -1
【解析】當 x 0 時， f x x +1 1得 x 0 ，\ x 0
當 x > 0時， f x ln x +1 1，得-1 < x e -1，所以0 < x e -1，
綜上： f x ≤1的解集為 - , e -1 ，
故答案為： - , e -1 .
ìx + 2, x -1
【變式 16-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x í x2 2x, x 1，則不等式 f x > -3的解集 - + > -
是 .
【答案】 -5,3
【解析】當 x -1時，由 f x > -3得 x + 2 > -3，解得 x > -5，此時，-5 < x -1；
當 x > -1時，由 f x > -3得-x2 + 2x > -3，即 x2 - 2x - 3 < 0，解得-1 < x < 3，此時，-1 < x < 3 .
綜上所述，不等式 f x > -3的解集是 -5,3 .
故答案為： -5,3 .
1．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知函數為 f (x) 的定義域為 R， f (x) > f (x -1) + f (x - 2)，且當
x < 3時 f (x) x ，則下列結論中一定正確的是（ ）
A． f (10) >100 B． f (20) >1000
C． f (10) <1000 D． f (20) <10000
【答案】B
【解析】因為當 x < 3時 f (x) x ，所以 f (1) 1, f (2) 2，
又因為 f (x) > f (x -1) + f (x - 2)，
則 f (3) > f (2) + f (1) 3, f (4) > f (3) + f (2) > 5，
f (5) > f (4) + f (3) > 8, f (6) > f (5) + f (4) >13, f (7) > f (6) + f (5) > 21，
f (8) > f (7) + f (6) > 34, f (9) > f (8) + f (7) > 55, f (10) > f (9) + f (8) > 89，
f (11) > f (10) + f (9) >144, f (12) > f (11) + f (10) > 233, f (13) > f (12) + f (11) > 377
f (14) > f (13) + f (12) > 610, f (15) > f (14) + f (13) > 987，
f (16) > f (15) + f (14) >1597 >1000，則依次下去可知 f (20) >1000，則 B 正確；
且無證據表明 ACD 一定正確.
故選：B.
ì
f x x , x > 02．（2024 年上海夏季高考數學真題（網絡回憶版））已知 í ,則 f 3 ．
1, x 0
【答案】 3
ì
f x x , x > 0【解析】因為 í ,故 f 3 3，
1, x 0
故答案為： 3 .
1
3．（2023 x年北京高考數學真題）已知函數 f (x) 4 + log2 x ，則 f ÷ ．è 2
【答案】1
1
【解析】函數 f (x) 4x + log2 x
1 1
，所以 f ( ) 42 + log2 2 -1 1.2 2
故答案為：1
1 2．若 f x x + bx + c，且 f 1 0， f 3 0，求 f -1 的值.
f x x2【解析】因為 + bx + c ,且 f 1 0 , f 3 0
ì1+ b + c 0 ìb -4
則 í
9 + 3b c
,解方程組可得
+ 0 í c 3
則 f x x2 - 4x + 3
所以 f -1 -1 2 - 4 -1 + 3 8
2．已知函數 f x -x +1， g x x -1 2 ， x R ．
（1）在圖1中畫出函數 f x ， g x 的圖象；
（2）定義："x R ，用m x 表示 f x ， g x 中的較小者，記為m x min f x , g x ，請分別用圖
象法和解析式法表示函數m x ．（注：圖象法請在圖 2中表示，本題中的單位長度請自己定義且標明）
【解析】（1） f x ， g x 的圖象如下圖所示：
2
（2）當 x 0 時， x -1 -x +1，則m x f x -x +1；
當0 < x <1 2 2時， x -1 < -x +1，則m x g x x -1 ；
x 1 x -1 2當 時， -x +1，則m x f x -x +1；
ì-x +1, x - ,0 1, +
綜上所述：m x í .
x -1
2 , x 0,1
m x 圖象如下圖所示：
3．函數 r f p 的圖象如圖所示，曲線 l 與直線 m 無限接近，但永不相交．
（1）函數 r f p 的定義域、值域各是什么？
（2）r 取何值時，只有唯一的 p 值與之對應？
【解析】（1）由圖可知，函數 r f ( p)的定義域為 -5,0 2,6 ，值域為 0，+ ；
（2）由圖可知，當0 r < 2 或 r > 5時，只有唯一的 p 值與之對應，故 r 0,2 U 5, + .
4．畫出定義域為{x | -3 x 8，且 x 5}，值域為{y | -1 y 2，y 0}的一個函數的圖象.
（1）將你的圖象和其他同學的相比較，有什么差別嗎？
（2）如果平面直角坐標系中點P(x, y) 的坐標滿足-3 x 8，-1 y 2 ，那么其中哪些點不能在圖象上？
【解析】1）由題意可知：定義域為{x | -3 x 8，且 x 5}，值域為{y | -1 y 2，y 0}，圖象可以是如
下圖所示：
（2）由題意可知中：線段 AB : x 5(-1 y 2)，和線段CD : y 0(-3 x 8) 上的點不在圖象上如下圖所
示：
5．給定數集 A R, B (- ,0]，方程u2 + 2v 0，①
（1）任給u A，對應關系 f 使方程①的解 v 與 u 對應，判斷 v f (u)是否為函數；
（2）任給 v B ，對應關系 g 使方程①的解 u 與 v 對應，判斷u g(v)是否為函數.
【解析】（1） v
1 1
- u2 2，對于任意u R ，有唯一的 v 0與之對應，所以 v - u ,u R是函數.
2 2
（2）取 v -2 (- ,0]，則u ±2，即對于 v -2，A 中有兩個數與 v 對應，所以u g(v)不是函數.
易錯點：錯求抽象函數的定義域
易錯分析： f (g(x)) 定義域不是指 g(x) 的范圍，而是指 x 的范圍.
答題模板：求抽象函數的定義域
1、模板解決思路
解決本模板問題的要點是知道函數 f (g(x)) 中 g(x) 的范圍，也就是函數 f (h(x))中 h(x) 的范圍，解不
等式就可得到函數 f (h(x))的定義域．
2、模板解決步驟
第一步：由函數 f (g(x)) 的定義域，即 x 的取值范圍，求出 g(x) 的取值范圍．
第二步：用集合或區間表示所求定義域．
【易錯題 1】函數 f x 的定義域為 0,3 f (x +1)，則函數 y 的定義域是 .
x -1
【答案】 -1,1 1,2
【解析】根據抽象函數求定義域的基本原則可得出關于實數 x 的不等式組，由此可解得原函數的定義域.函
數 f x 0,3 y f (x +1) ì
0 < x +1<3
定義域為 ，對于函數 ，有 ，
x í-1 x -1 0
解得-1 < x < 2且 x 1
y f (x +1)因此函數 的定義域為 -1,1 1,2 .
x -1
故答案為： -1,1 1,2 .
【易錯題 2】若函數 f x + 3 的定義域為 -5, -2 ，則F x f x +1 + f x -1 的定義域為 .
【答案】 -1,0
ì-2 x +1 1
【解析】先由函數 f x + 3 的定義域求出 x + 3的范圍，進而可得 í 2 x 1 1，解不等式組可得函數F x - -
的定義域．函數 f x + 3 的定義域為 -5, -2 ，則-5 x -2，
可得-2 x + 3 1
ì-2 x +1 1 ì-3 x 0
進而有 í -1≤ x≤ 0
-2 x -1 1
，解得 í
-1
，故
x 2
則F x f x +1 + f x -1 的定義域為 -1,0

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