資源簡介

第 01 講 導數的概念及其意義、導數的運算
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：導數的概念和幾何意義 ............................................................................................................................4
知識點 2：導數的運算 ................................................................................................................................................4
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................6
題型一：導數的定義及變化率問題 ...........................................................................................................................6
題型二：導數的運算 ...................................................................................................................................................7
題型三：在點 P 處的切線...........................................................................................................................................9
題型四：過點 P 的切線...............................................................................................................................................9
題型五：公切線問題 .................................................................................................................................................10
題型六：已知切線或切點求參數問題 .....................................................................................................................11
題型七：切線的條數問題 .........................................................................................................................................12
題型八：利用導數的幾何意義求最值問題 .............................................................................................................13
題型九：牛頓迭代法 .................................................................................................................................................14
題型十：切線平行、垂直、重合問題 .....................................................................................................................16
題型十一：奇偶函數圖像的切線斜率問題 .............................................................................................................17
題型十二：切線斜率的取值范圍問題 .....................................................................................................................18
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................18
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................19
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................20
易錯點：求曲線的切線方程時忽視點的位置 .........................................................................................................20
答題模板：求曲線過點 P 的切線方程.....................................................................................................................20
考點要求 考題統計 考情分析
2024年甲卷第 6題，5分
2024年 I卷第 13題，5分 高考對本節內容的考查相對穩定，考查內
（1）導數的定義
2023年甲卷第 8題，5分 容、頻率、題型、難度均變化不大．重點考查導
（2）導數的運算
2022年 I卷第 15題，5分 數的計算、四則運算法則的應用和求切線方程為
（3）導數的幾何意義
2021年甲卷第 13題，5分 主．
2021年 I卷第 7題，5分
復習目標：
（1）了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數．
（2）通過函數圖象，理解導數的幾何意義．
（3）能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數的導數．
知識點 1：導數的概念和幾何意義
1、概念
f (x) f (x + Dx) - f (x )函數 在 x = x Dy0 處瞬時變化率是 lim = lim 0 0 ，我們稱它為函數 y = f x 在 x = xDx 0 Dx Dx 0 Dx 0
處的導數，記作 f (x0 ) 或 y x= x ．0
知識點詮釋：
①增量 Dx 可以是正數，也可以是負，但是不可以等于 0． Dx 0 的意義： Dx 與 0 之間距離要多近有
多近，即 | Dx - 0 |可以小于給定的任意小的正數；
②當 Dx 0 時，Dy 在變化中都趨于 0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與
Dy f (x0 + Dx) - f (x= 0 ) 無限接近；
Dx Dx
③導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時
刻的瞬間變化率，即 f (x0 ) = lim
Dy lim f (x0 + Dx) - f (x )= 0 ．
Dx 0 Dx Dx 0 Dx
2、幾何意義
函數 y = f (x) 在 x = x0 處的導數 f (x0 ) 的幾何意義即為函數 y = f (x) 在點 P(x0 ，y0 )處的切線的斜率．
3、物理意義
函數 s = s(t)在點 t0 處的導數 s (t0 ) 是物體在 t0 時刻的瞬時速度v，即 v = s (t0 ) ； v = v(t) 在點 t0 的導數
v (t0 ) 是物體在 t0 時刻的瞬時加速度a，即 a = v (t0 ) ．
【診斷自測】設 f x f (1) - f (1+ 2Δx)為 R 上的可導函數，且 f 1 =1，則 lim ＝（ ）
Δx 0 Δx
A．2 B．－2 C．1 D．－1
知識點 2：導數的運算
1、求導的基本公式
基本初等函數 導函數
f (x) = c （c為常數） f (x) = 0
f (x) = xa (a Q) f (x) = axa-1
f (x) = ax (a > 0 x，a 1) f (x) = a lna
f (x) = log a x (a > 0，a 1) f (x) 1=
x ln a
f (x) =ex f (x) = ex
f (x) = ln x f (x) 1=
x
f (x) = sin x f (x) = cos x
f (x) = cos x f (x) = -sin x
2、導數的四則運算法則
（1）函數和差求導法則：[ f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) ；
（2）函數積的求導法則：[ f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x) ；
f (x) f (x)g(x) - f (x)g (x)
（3）函數商的求導法則： g(x) 0 ，則[ ] = ．
g(x) g 2 (x)
3、復合函數求導數
復合函數 y = f [g(x)]的導數和函數 y = f (u) ，u = g(x)的導數間關系為 y x = yu ux ：
【診斷自測】求下列函數的導數：
(1) y = xcosx - lnx sinx；
(2) y x cos x + x= + ．
x2 +1 ln x
解題方法總結
1、在點的切線方程
切 線 方 程 y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) 的 計 算 ： 函 數 y = f (x) 在 點 A(x0 ，f (x0 )) 處 的 切 線 方 程 為
ìy0 = f (x0 )
y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) ，抓住關鍵 í ．
k = f (x0 )
2、過點的切線方程
設切點為 P(x0 ，y0 )，則斜率 k = f (x0 )，過切點的切線方程為： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因為切線方程過點 A(m，n)，所以 n - y0 = f (x0 )(m - x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有幾個值，就有幾條
切線）
注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．
3、高考常考的切線方程
（1） y = x 是 y = ln(x +1)的切線，同時 y = x -1是 y = ln x 1的切線，也是 y = 1 - 和 y = xlnx 的切線.
x
（2） y = x 是 y = sin x 的切線， y = x 是 y=tan x 的切線.
（3） y = ex 是 y = e x 的切線， y = x +1是 y = e x 的切線.
題型一：導數的定義及變化率問題
【典例 1-1】若函數 y = f x f (x + h) - f (x - h)在區間 ( a , b ) 內可導，且 x0 (a,b) ，則 lim 0 0 的值為（ ）
h 0 h
A． f x0 B． 2 f x 0
C．-2 f x0 D．0
【典例 1-2】如圖 1，現有一個底面直徑為10cm 高為 25cm 的圓錐容器，以 2cm3 /s 的速度向該容器內注入
溶液，隨著時間 t （單位：s）的增加，圓錐容器內的液體高度也跟著增加，如圖 2 所示，忽略容器的厚度，
則當 t = π時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為（ ）
3 300 3A cm / s B 300
3 3
cm / s C 150 cm / s D 150． ． ． ． cm / s
6π 5π 3π 2π
【方法技巧】
利用導數的定義，對所給函數式經過拆項、添項等變形和導數定義結構一致，然后根據導數定義求解．
【變式 1-1】（多選題）已知 f x ， g x 在 R 上連續且可導，且 f x0 0，下列關于導數與極限的說法
中正確的是（ ）
f x0 -Δx - f x0 f t + Δh - f t -ΔhA． lim = f x0 B． lim

= f t
Δx 0 Δx Δh 0 2Δh
f
C lim x +3Δx - f x
g x + Δx - g x g x
． 0 0

= f x D． lim
0 0 = 0
Δx 0 3Δx 0 Δx 0 f x0 + Δx - f x0 f x0
【變式 1-2】（2024·上海閔行·二模）某環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整
W = f t - f b - f a改、設企業的污水排放量W t 與時間 的關系為 ，用 的大小評價在 a,b 這段時間內
b - a
企業污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示.則下列正
確的命題是（ ）
A．在 t1,t2 這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業弱；
B．在 t2 時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業弱；
C．在 t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放都不達標；
D．甲企業在 0, t1 ， t1,t2 ， t2,t3 這三段時間中，在 t1,t2 的污水治理能力最強
題型二：導數的運算
【典例 2-1】求下列函數的導數．
(1) y = xe x
ln x
(2) y = ；
x2 +1
(3) y = 2sin(1-3x)
3
(4) y = - ln x+ 1+ x2 .
4
1
【典例 2-2】已知函數 f ( x ) x-1 2滿足滿足 f (x) = f (1)e - f (0)x + x ；求 f ( x ) 的解析式
2
【方法技巧】
（1）對所給函數求導，其方法是利用和、差、積、商及復合函數求導法則，直接轉化為基本函數求
導問題．
(2)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元．
f x 1 2【變式 2-1】已知 = x + 2xf 2022 - 2022lnx，則 f 2022 = .
2
【變式 2-2】設函數 f x = x x +1 x +2 L x +10 ，則 f (0) 的值為（ ）
A．10 B．59 C．10 9 … 2 1 D．0
a a = 2 f x 1【變式 2-3】在等比數列 n 中， 1012 ，若函數 = x x - a1 x - a2 L x - a2023 ，則 f 0 =2
（ ）
A． -2 2022 B． 2 2 0 2 2 C． -2 2023 D． 2 2 0 2 3
【變式 2-4】若定義域都為 R 的函數 f x 及其導函數 f x ，滿足對任意實數 x 都有
2024
f x - f 2025- x = 2x-2025，則 f k = ．
k =1
【變式 2-5】求下列函數的導數：
x x
(1) y = 2 e2 + xe2 ÷ ；
è
(2) y = a 2 x + x 2 ；
(3) y = sin4 3x ×cos3 4x；
y x ln x(4) = - ln x +1 ．
x +1
題型三：在點 P 處的切線
1
【典例 3-1】（湖南省 2024 屆高三數學模擬試題）曲線 y = ln 2x在點 ,0÷處的切線方程為（2 ）è
A．2x - y +1 = 0 B．2x - y -1= 0 C． 2x - y + 2 = 0 D． 2x - y - 2 = 0
【典例 3-2】（2024·全國·模擬預測）已知曲線 f x = xlnx在點 1, f 1 處的切線為 l ，則 l 在 y 軸上的截距
為（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【方法技巧】
ìy
y = f (x) 0
= f (x0 )
函數 在點 A(x0 ，f (x0 )) 處的切線方程為 y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) ，抓住關鍵 í ．
k = f (x0 )
【變式 3-1】曲線 f ( x) = 2e x - sin x - 2 在點 (0, f (0))處的切線方程為（ ）
A． y = 3x B． y = 2x C． y = x D． y = -x
【變式 3-2】（2024·山東濟寧·三模）已知函數 f ( x ) 為偶函數，當 x < 0 時， f (x) = ln(-x) + x2 ，則曲線
y = f (x) 在點 (1, f (1))處的切線方程是（ ）
A．3x - y - 2 = 0 B． 3x + y - 2 = 0 C．3x + y + 2 = 0 D．3x - y + 2 = 0
【變式 3-3】（2024·四川·三模）已知函數 f x = ax +a +cos x a R ，則曲線 y = f x 上一點 0,-2 處的
切線方程為（ ）
A． 2x + y + 2 = 0 B． x + y +2 = 0
C．3x + y + 2 = 0 D． 3x + y - 2 = 0
題型四：過點 P 的切線
【典例 4-1】已知函數 f x = x3 -6x2 +9x -7，直線 l 過點 0,1 且與曲線 y = f x 相切，則直線 l 的斜率為
（ ）
A．24 B． 24 或 -3 C．45 D．0 或 45
【典例 4-2】過點 0,m 可作 f x = ex - x的斜率為 1 的切線，則實數m= .
【方法技巧】
設切點為 P(x0 ，y0 )，則斜率 k = f (x0 )，過切點的切線方程為： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因為切線方程過點 A(a,b) ，所以 b - y0 = f (x0 )(a - x0 ) 然后解出 x0 的值．
4 A 8C : f x = x + ,0 【變式 4-1】曲線 2 過點 ÷ 的切線方程為 .x è 3
【變式 4-2】過點 0,-2 作曲線 f x = ln x-2的切線，則切線方程為 .
【變式 4-3】（2024·山西呂梁·二模）若曲線 f x = lnx在點P x0, y 0 處的切線過原點O 0,0 ，則
x0 = .
【變式 4-4】（2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學考試）已知函數 f x = aln x a 0 ，過原點作曲線
y = f x 的切線 l ，則切線 l 的斜率為 ．
題型五：公切線問題
【典例 5-1】若直線 y = kx + b 與曲線C1 : y = 3 + e x x + 2和曲線C 2 : y = e 同時相切，則b =（ ）
9 3
A． - ln
3 1
B． 2 - ln2 C． - ln
1
D．3 - ln3
2 2 2 2 2
【典例 5-2】（2024·湖南長沙·一模）若直線 y = k1 x+1 -1與曲線 y = ex 相切，直線 y = k2 x+1 -1與曲線
y = ln x相切，則 k1k2 的值為（ ）
A．1 B． e C． 2 D． e-1
【方法技巧】
公切線問題應根據兩個函數在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關
切點橫坐標的方程組，通過解方程組進行求解．
【變式 5-1】（2024·廣東茂名·一模）曲線 y = lnx與曲線 y = x 2 + 2ax 有公切線，則實數 a 的取值范圍是（ ）

A． - ,
1
- ù é
1 1 1
ú B． ê- , +
ù é
÷ C．2 2
- , ú D． ê ,+ 2 2 ÷è è
【變式 5-2】（2024· 1遼寧大連·一模）斜率為1的直線 l 與曲線 y = ln(x + a)和圓 x2 + y 2 = 都相切，則實數 a
2
的值為（ ）
A． 0或2 B．-2或 0 C．－1或 0 D． 0或1
【變式 5-3】若存在直線 y = kx + b ，使得函數F x 和G x 對其公共定義域上的任意實數 x 都滿足
F x kx + b G x 2，則稱此直線 y = kx + b 為F x 和G x 的“隔離直線”.已知函數 f x = x ，
g x = alnx(a > 0)，若 f x 和 g x 存在唯一的“隔離直線”，則a = （ ）
A． e B． 2 e C． e D．2e
【變式 5-4】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = ex-1, g x 1= ex2 ，若直線 l 是曲線 y = f x 與曲線
4
y = g x 的公切線，則 l 的方程為（ ）
A． ex - y = 0 B．ex- y-e =0
C． x- y = 0 D． x - y -1 = 0
題型六：已知切線或切點求參數問題
【典例 6-1】若直線 y = kx 與曲線 y = log3x相切，則實數 k = （ ）
A． e ln 3 B． elog3e
1 1
C． D． log e
e e 3
【典例 6-2】（2024·全國·模擬預測）若直線 y = 2 x - b 與曲線 f (x) = e2 x - 2ax(a > -1) 相切，則b的最小值為
（ ）
A．-e B．－2 C．－1 D．0
【方法技巧】
已知切線或切點求參數問題，核心是根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程：①切點處
的導數是切線的斜率；②切點在曲線上；③切點在切線上．
1
【變式 6-1 2】已知直線 y = kx + b 與函數 f x = x + lnx的圖象相切，則 k - b 的最小值為 ．
2
【變式 6-2】（2024· x重慶·模擬預測）已知直線 y = ax + b 與曲線 y = e x 相切于點 x0 , e 0 ，若 x0 - ,3 ，則
a + b 的取值范圍為（ ）
A． - , e B 3． -e ,e ù C． 0,e D． 0,e3 ù
【變式 6-3】已知函數 g x = x ax+2ln x ，若曲線 y = g x 在 x = 1處的切線方程為 y = 6x + b，則
a + b = ．
1
【變式 6-4】（2024·四川·模擬預測）已知m > 0, n > 0 ，直線 y = x + m +1與曲線 y = lnx -n+3相切，則
e
m+ n = ．
【變式 6-5】對給定的實數b，總存在兩個實數 a ，使直線 y = ax - b 與曲線 y = ln x-b 相切，則b的取值
范圍為 .
題型七：切線的條數問題
【典例 7-1】若過點 1,b 可以作曲線 y = ln x +1 的兩條切線，則（ ）
A． ln 2 < b < 2 B．b > ln 2
C． 0 < b < ln 2 D．b > 1
【典例 7-2】若過點 a,b 可以作曲線 y = ln x的兩條切線，則（ ）
A． eb > 0 > a B． ln a > 0 > b C． eb > a > 0 D． ln a > b > 0
【方法技巧】
設切點為 P(x0 ，y0 )，則斜率 k = f (x0 )，過切點的切線方程為： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因為切線方程過點 A(a,b) ，所以 b - y0 = f (x0 )(a - x0 ) 然后解出 x0 的值，有多少個解對應有多少條
切線．
【變式 7-1】（2024·內蒙古·三模）若過點 a,2 可以作曲線 y = lnx的兩條切線，則 a 的取值范圍為（ ）
A． - , e2 B． - ,ln2
C． 0,e2 D． 0,ln2
y ax +1【變式 7-2】若曲線 = x 有且僅有一條過坐標原點的切線，則正數 a 的值為（ ）e
1 1
A． B 2． C 3． D．
4 4 3 3
x
【變式 7-3】（2024·全國·二模）若曲線 f x = x 有三條過點 0,a 的切線，則實數 a 的取值范圍為（e ）
1 4 1 4
A． 0, e2 ÷
B． 0, ÷ C． 0, ÷ D． 0, ÷
è è e2 è e è e
【變式 7-4 f x = x3】已知 - x，如果過點 2,m 可作曲線 y = f x 的三條切線.則下列結論中正確的是（ ）
A．-1 < m < 8 B．0 < m < 7 C． -3 < m < 5 D． -2 < m < 7
【變式 7-5】已知函數 f x 1= - x > 0 ，若過點P a,b 可作兩條直線與曲線 y = f x 相切，則下列結論
x
正確的是（ ）．
A．-1 < ab < 0 B．0 < ab < 1
C．a2 +b2 的最大值為 2 D．eb > a
【變式 7-6】過點 2,0 f x = xex 1 1作曲線 的兩條切線，切點分別為 x1, f x1 ， x2 , f x2 ，則 + =x1 x2
（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【變式 7-7】（2024·高三· x北京海淀·期末）若關于 x 的方程 log a x - a = 0 （ a > 0 且 a 1）有實數解，則 a 的
值可以為（ ）
5
A．10 B． e C．2 D．
4
題型八：利用導數的幾何意義求最值問題
【典例 8-1】（2024· 3 2四川眉山·三模）若關于 x 的不等式 lnx ax -bx -1 a 0 b恒成立，則 的最大值為
a
（ ）
1 2 1 2
A．
e2
B． 2 C． D．e e e
3x + y +1
【典例 8-2】（2024·四川涼山·二模）已知點P x, y 是曲線 y = x 2 上任意一點，則 的最大值為
x2 + y +1 2
（ ）
A 2 5 - 15 B 2 5 - 15 C 15 + 2 5 D 15 + 2 5． ． ． ．
10 5 10 5
【方法技巧】
利用導數的幾何意義求最值問題，利用數形結合的思想方法解決，常用方法平移切線法.
2 2
【變式 8-1】（2024·湖北·模擬預測）設D = x - a + ex - 2 a + a +1，其中 e 2.71828 ，則D的最小值
為（ ）
A． 2 B． 2 +1 C． 3 D． 3 +1
【變式 8-2】（2024·遼寧遼陽·一模）設曲線 y = x 4 在點 1,1 處的切線為 l，P 為 l 上一點，Q 為圓
C : x - 5 2 17+ y2 = 上一點，則 PQ 的最小值為（
4 ）
A 17 B 17 C 17 D 17． ． ． ．
2 3 4 5
【變式 8-3】（2024·寧夏銀川·一模）已知實數 x, y 滿足 2x2 - 5ln x - y = 0，m R ，則
x2 + y2 - 2mx + 2my + 2m2 的最小值為（ ）
A 9 B 3 2． ． C 2． D 1．
2 2 2 2
【變式 8-4】設點 P 在曲線 y = x2 +1(x 0) 上，點Q在曲線 y = x - 1(x 1)上，則 | PQ |的最小值為 .
2
【變式 8-5】已知 y = (x - a)2 + xex - a +1 a R ，則 y 的最小值為 .
1
【變式 8-6】（2024· 2高三·山東青島·期末）已知動點 P，Q 分別在圓M : (x - ln m) + (y - m)2 = 和曲線
4
y = ln x上，則 PQ 的最小值為 ．
1
【變式 8-7】（2024·河南·一模）記函數 y = e x 的圖象為C1，作C1關于直線 y = x 的對稱曲線得到C2，則曲2
線C1上任意一點與曲線C2上任意一點之間距離的最小值為 ．
x
【變式 8-8 e】已知函數 y = 的圖象與函數 y = ln(2x)的圖象關于某一條直線 l 對稱，若 P ，Q分別為它們
2
圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為（ ）
A 2 ln 2 B 2 ln 2 C 2(1+ ln 2)． ． ． D． 2 1- ln 2
2 4 2
【變式 8-9】（2024· 2全國·模擬預測）若函數 f x = x +3x -4lnx，點 P 是曲線 y = f x 上任意一點，則點
P 到直線 l : x - y -3 = 0的距離的最小值為（ ）
A B 3 2 6． 4 2 ． C．3 2 D．
2 2
8-10 A a, a , B b, eb【變式 】若點 a,b R ，則 A, B 兩點間距離 AB 的最小值為 .
【變式 8-11】實數 a,b 1
2
滿足 3 e
a -b + a2 = 3ln a + b +1， c R , a - c 2 + b + c 2 的最小值是（
a ）
A．4 B． 0 C．2 D．10
【變式 8-12】已知 y = mx + n
n
是曲線 f (x) = ex 的一條切線，則 2 的最小值為（m ）
1 1
A． - 3 B． -
1
2 C． - e D．-1e e
題型九：牛頓迭代法
【典例 9-1】（2024·山東濰坊·三模）牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法．如圖，方程 f x = 0的根就
是函數 f x 的零點 r ，取初始值 x0, f x 的圖象在點 x0 , f x0 處的切線與 x 軸的交點的橫坐標為 x1, f x
的圖象在點 x1, f x1 處的切線與 x 軸的交點的橫坐標為x2，一直繼續下去，得到 x1, x2 ,L, xn ，它們越來越
接近 r ．設函數 f x = x2 +bx x 16， 0 = 2，用牛頓迭代法得到 x1 = ，則實數b =（19 ）
1 2 3A．1 B． 2 C． 3 D． 4
-x
【典例 9-2】已知函數 f x = e ，若曲線 y = f x 在 x = 0 處的切線交 x 軸于點 a1,0 ，在 x = a1處的切線
交 x 軸于點 a2,0 ，依次類推，曲線 y = f x 在 x = an-1處的切線交 x 軸于點 a n , 0 ，則
1 1 1
+ + +L 1+
a1a2 a2a3 a3a4 a a
的值是（ ）
2023 2024
2025 2023 2022 2023
A． B． C． D．
2024 2022 2023 2024
【方法技巧】
數形結合處理.
【變式 9-1】（2024·湖北咸寧·模擬預測）英國數學家牛頓在 17 世紀給出一種求方程近似根的方法一
Newton-Raphson method 譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設 r 是 f x = 0的根，選取 x0 作為 r 的初始近似值，
過點 x0, f x0 做曲線 y = f x 的切線 l ： y - f x0 = f x0 x- x0 ，則 l 與 x 軸交點的橫坐標為
f
x x 1 = x 00 - f x 0 0 f x ，稱x1是 r 的一次近似值；重復以上過程，得 r 的近似值序列，其中0
f
x x x= - n n+1 n f x 0 xf x n ，稱 n +1 是 r 的 n + 1次近似值.運用上述方法，并規定初始近似值不得超過零n
點大小，則函數 f x = lnx+ x-3的零點一次近似值為（ ）（精確到小數點后 3 位，參考數據：
ln2 = 0.693）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
f x
【變式 9-2】（2024·北京·模擬預測）給定函數 f x ，若數列 x nn 滿足 xn+1 = xn - f x ，則稱數列 xn 為n
函數 f x 2的牛頓數列．已知 xn 為 f x = x - x-2的牛頓數列， a
xn - 2
n = ln ，且a1 =1, xn < -1 n Nx +1 + ，n
數列 an 的前n項和為 Sn ．則S2023 =（　　）
A． 2 2023 - 1 B． 2 2024 - 1
1 2022 1 2023C ． ÷ -1 D

．
2 ÷
-1
è è 2
【變式 9-3】英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點時，給出的“牛頓數列”在航空航天中應用
f x
廣泛，若數列 xn 滿足 xn+1 = xn - n 2f ，則稱數列 xn 為牛頓數列．如果函數 f x = 2x -8x ，數列 xn n
x + 2
為牛頓數列，設 an = ln n ，且 a1 = 1， xn > 2．數列 an 的前nx - 2 項和為 Sn ，則 S n = ．n
【變式 9-4】令函數 f (x) = x2 + x -1，對拋物線 y = f (x) ，持續實施下面牛頓切線法的步驟：在點 (1,1) 處
作拋物線的切線，交 x 軸于 x1,0 ；在點 x1, f x1 處作拋物線的切線，交 x 軸于 x2,0 ；在點 x2 , f x2
處作拋物線的切線，交 x 軸于 xn ,0 ；……由此能得到一個數列 xn 隨著 n 的不斷增大， xn會越來越接近
函數 f x 的一個零在點 x0 ，因此我們可以用這種方法求 f x 零點 x0 的近似值.①設 xn+1 = g xn ，則
g xn = ；②用二分法求方程 x2 + x -1= 0在區間(0,1)上的近似解，根據前 4 步結果比較，可以得到
牛頓切線法的求解速度 （快于 等于 慢于）二分法.
題型十：切線平行、垂直、重合問題
【典例 10-1】（2024·高三·廣東深圳·期末）已知曲線 E : y = e x 與 y 軸交于點 A ，設 E 經過原點的切線為 l ，
設 E 上一點 B 橫坐標為m(m 0)，若直線 AB / /l ，則m所在的區間為（ ）
3 3
A． -1 < m < 0 B． 0 < m < 1 C．1< m < D． < m< 2
2 2
【典例 10-2】（2024·高三·廣西·開學考試）曲線 f (x) = ln x + 2x +3在 A 點處的切線與直線 x + 3y - 2 = 0垂直，
則切線方程為（ ）
A． x + 3y + 2 = 0 B．3x - y -1= 0
C． x - 3y + 2 = 0 D．3x - y + 2 = 0
【方法技巧】
利用導數的幾何意義進行轉化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為-1.
【變式 10-1】（2024· 2全國·模擬預測）已知函數 f x = x + a + lnx 的圖象上存在不同的兩點 A, B ，使得曲
線 y = f x 在點 A, B 處的切線都與直線 x + 2y = 0垂直，則實數 a 的取值范圍是（ ）
A． - ,1- 2 B． 1- 2,0 C． - ,1+ 2 D． 0,1+ 2
【變式 10-2】（2024·河北邢臺·二模）已知函數 f x = x2 +2ln x的圖像在 A x1, f x1 ，B x2, f x2 兩個
不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（ ）
A． x1 + x2 = 2 x
10 10
B． 1 + x2 = C． x3 1
x2 = 2 D． x1x2 = 3
【變式 10-3】已知函數 f x = ea × x+ ln x+a a R ，過坐標原點 O 作曲線 y = f x 的切線 l，切點為 A，
過 A 且與 l 垂直的直線 l1交 x 軸于點 B，則 OAB 面積的取值范圍是（ ）
2
A． e+1,+ B 2． 2e,+ C． ée ,+ D． é e +1 , +
ìx2 + x, x < 0
【變式 10-4】已知函數 f (x) =

í 1 的圖象上存在不同的兩點A 、 B ，使得曲線 y = f (x) 在這兩
- , x > 0 x
點處的切線重合，則點A 的橫坐標的取值范圍可能是（ ）
1
A． ( 1- ， 0)2 B． (-1, - ) C
1
． ( 1) (1, 2)
2 2
， D．
題型十一：奇偶函數圖像的切線斜率問題
【典例 11-1 3】已知函數 f x = asin3x +bx +4 a R,b R ， f x 為 f x 的導函數，則
f 2016 + f -2016 + f 2015 - f -2015 = .
1
【典例 11-2】（2024·海南海口·二模）已知函數 f x 的定義域為R ， f x +1 是偶函數，當 x < 時，
2
f x = ln 1-2x ，則曲線 y = f x 在點 2, f 2 處的切線斜率為（ ）
2 2
A． B． - C．2 D．-2
5 5
【方法技巧】
奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數.
【變式 11-1】（2024·北京·模擬預測）記函數 f x = sin wx +j w > 0,0 f x f T 0 y f x π為 的導函數．若 ÷ = ， = + ÷ 為偶函數，則w的最小值為（8 8 ）．è è
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式 11-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = x3 + a-1 x2 - x+b是定義在 m，2+m 上的奇函數，
f x 為 f x 的導函數，則 f a+b+m =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
x
【變式 11-3】（2024·全國·模擬預測）已知 f x 為奇函數，且當 x < 0 時， f x = x ，其中 e 為自然對數e
的底數，則曲線 f x 在點 1, f 1 處的切線方程為 ．
題型十二：切線斜率的取值范圍問題
1
【典例 12-1】過函數 f (x) = e2 x - x 圖像上一個動點作函數的切線，則切線傾斜角范圍為（
2 ）
é 3p é p 3p
A． ê0, ÷ B． ê0, ÷ ,p

÷
4 2 è 4
3p ,p p 3p C． ÷ D． ,
è 4 è 2 4 ÷
【典例 12-2】（2024·廣東深圳·一模）已知函數 f x = a x - x1 x - x2 x - x3 (a > 0)，設曲線 y = f x 在
點 x i , f x i 處切線的斜率為ki i =1,2,3 ，若 x1, x2 , x3均不相等，且 k2 = -2 ，則 k1 + 4k3 的最小值為 ．
【方法技巧】
利用導數的幾何意義，求出導函數的值域，從而求出切線斜率的取值范圍問題.
b
【變式 12-1】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知直線 y = kx + b 恒在曲線 y = ln x+2 的上方，則 的取值范圍
k
是（ ）
A． 1,+ 3B． ,+ ÷ C． 0,+
4 ,+ D．
4 ÷è è 5
2
【變式 12-2】點 P 在曲線 y = x3 - x + 上移動，設點 P 處切線的傾斜角為a ，則角a 的范圍是（ ）
3
p p 3p 3p p 3p
A．[0, ] B． ( , ] C．[ ,p ) D．[0, ) [ ,p )
2 2 4 4 2 4
1．（2024 6年高考全國甲卷數學（文）真題）曲線 f x = x + 3x -1在 0, -1 處的切線與坐標軸圍成的面積
為（ ）
1
A． B 3 C 1 3． ．
6 2 2
D． -
2
ex2 + 2sin x．（2024 年高考全國甲卷數學（理）真題）設函數 f x = 2 ，則曲線 y = f x 在 0,1 處的切線與1+ x
兩坐標軸圍成的三角形的面積為（ ）
1 1
A B C 1 2． ． ． 2 D．6 3 3
x e
3 2023 e．（ 年高考全國甲卷數學（文）真題）曲線 y = 在點 1, ÷處的切線方程為（ ）x +1 è 2
y e x e e e e 3eA． = B． y = x C． y = x + D． y = x +
4 2 4 4 2 4
4．（多選題）（2022 年新高考全國 I 卷數學真題）已知函數 f (x) = x3 - x +1，則（ ）
A． f ( x ) 有兩個極值點 B． f ( x ) 有三個零點
C．點(0,1)是曲線 y = f (x) 的對稱中心 D．直線 y = 2x是曲線 y = f (x) 的切線
5．（2022 年新高考全國 I 卷數學真題）若曲線 y = (x + a)ex 有兩條過坐標原點的切線，則 a 的取值范圍
是 ．
1．在高臺跳水運動中， t s 時運動員的重心相對于水面的高度（單位：m）是 h(t) = -4.9t 2 + 4.8t +11．高度
h 關于時間 t 的導數是速度 v，速度 v 關于時間 t 的導數 v 的物理意義是什么？試求 v， v 關于時間 t 的函數
解析式．
2．求下列函數的導數；
(1) y = 2x3 - 3x2 + 5
2 4
(2) y = +
x x +1
(3) y = 2 x + log 2 x
(4) y = xnex
3
(5) y x -1=
sin x
sin x
(6) y =
sin x + cos x
3．設函數 f x = 1- ex 的圖象與 x 軸相交于點 P，求曲線在點 P 處的切線方程．
4．已知函數 f x p p滿足 f (x) = f ( )sin x - cos x ，求 f x 在 x = 的導數．
4 4
5．設曲線 y = e2ax 在點 0,1 處的切線與直線2x - y +1 = 0垂直．求 a 的值．
易錯點：求曲線的切線方程時忽視點的位置
易錯分析：對導數的幾何意義理解錯誤，切線的斜率 k 是在切點處的導數．解題時，要注意所給的點
是否是切點．
答題模板：求曲線過點 P 的切線方程
1、模板解決思路
求函數圖象過某點的切線方程，關鍵是求該函數的導函數，先設出切點坐標，再將切點的橫坐標代入，
即可得切線的斜率，最后根據切點及斜率寫出切線方程．
2、模板解決步驟
第一步：設切點 A x0 , y0 ，則以 A 為切點的切線方程為 y - y0 = f x0 x - x0 ；
第 二 步 ： 根 據 題 意 點 B x1, y1 在 切 線 上 ， 點 B x1, y1 在 曲 線 y = f (x) 上 ， 得 到 方 程 組
ìy1 = f x1 ,
í ，從而求出切點 A x , y ，代入方程 y - y = f xy - y = f x x - x 0 0 0 0 x - x0 ，即可求得切 1 0 0 1 0
線方程．
x +1 1
【易錯題 1】（2024·高三·山東德州·開學考試）過點 0,e 與曲線 y = x x < - ÷相切的直線與 x 軸的交e è 2
點坐標為 .
【易錯題 2】已知曲線方程為 y = x 2 ，則過點 A(2, 4) 且與曲線相切的直線方程為 .第 01 講 導數的概念及其意義、導數的運算
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：導數的概念和幾何意義 ............................................................................................................................4
知識點 2：導數的運算 ................................................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................6
題型一：導數的定義及變化率問題 ...........................................................................................................................6
題型二：導數的運算 ...................................................................................................................................................9
題型三：在點 P 處的切線.........................................................................................................................................11
題型四：過點 P 的切線.............................................................................................................................................13
題型五：公切線問題 .................................................................................................................................................15
題型六：已知切線或切點求參數問題 .....................................................................................................................19
題型七：切線的條數問題 .........................................................................................................................................22
題型八：利用導數的幾何意義求最值問題 .............................................................................................................28
題型九：牛頓迭代法 .................................................................................................................................................38
題型十：切線平行、垂直、重合問題 .....................................................................................................................42
題型十一：奇偶函數圖像的切線斜率問題 .............................................................................................................46
題型十二：切線斜率的取值范圍問題 .....................................................................................................................48
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................50
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................53
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................54
易錯點：求曲線的切線方程時忽視點的位置 .........................................................................................................54
答題模板：求曲線過點 P 的切線方程.....................................................................................................................54
考點要求 考題統計 考情分析
2024年甲卷第 6題，5分
2024年 I卷第 13題，5分 高考對本節內容的考查相對穩定，考查內
（1）導數的定義
2023年甲卷第 8題，5分 容、頻率、題型、難度均變化不大．重點考查導
（2）導數的運算
2022年 I卷第 15題，5分 數的計算、四則運算法則的應用和求切線方程為
（3）導數的幾何意義
2021年甲卷第 13題，5分 主．
2021年 I卷第 7題，5分
復習目標：
（1）了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數．
（2）通過函數圖象，理解導數的幾何意義．
（3）能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數的導數．
知識點 1：導數的概念和幾何意義
1、概念
Dy f (x + Dx) - f (x )
函數 f (x) 在 x = x0 處瞬時變化率是 lim = lim 0 0 ，我們稱它為函數 y = f x 在 x = xDx 0 Dx Dx 0 Dx 0
處的導數，記作 f (x0 ) 或 y x= x ．0
知識點詮釋：
①增量 Dx 可以是正數，也可以是負，但是不可以等于 0． Dx 0 的意義： Dx 與 0 之間距離要多近有
多近，即 | Dx - 0 |可以小于給定的任意小的正數；
②當 Dx 0 時，Dy 在變化中都趨于 0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與
Dy f (x
= 0
+ Dx) - f (x0 ) 無限接近；
Dx Dx
③導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時
Dy
刻的瞬間變化率，即 f (x0 ) = lim = lim
f (x0 + Dx) - f (x0 ) ．
Dx 0 Dx Dx 0 Dx
2、幾何意義
函數 y = f (x) 在 x = x0 處的導數 f (x0 ) 的幾何意義即為函數 y = f (x) 在點 P(x0 ，y0 )處的切線的斜率．
3、物理意義
函數 s = s(t)在點 t0 處的導數 s (t0 ) 是物體在 t0 時刻的瞬時速度v，即 v = s (t0 ) ； v = v(t) 在點 t0 的導數
v (t0 ) 是物體在 t0 時刻的瞬時加速度a，即 a = v (t0 ) ．
f (1) - f (1+ 2Δx)
【診斷自測】設 f x 為 R 上的可導函數，且 f 1 =1，則 lim ＝（ ）
Δx 0 Δx
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】B
f 1 - f 1+ 2Dx
【解析】因為 f 1 lim = =1，
Dx 0 -2Dx
f
lim 1 - f 1+ 2Dx 所以 = -2 .
Dx 0 Dx
故選：B．
知識點 2：導數的運算
1、求導的基本公式
基本初等函數 導函數
f (x) = c （c為常數） f (x) = 0
f (x) = xa (a Q) f (x) = axa-1
f (x) = ax (a > 0，a 1) f (x) = ax lna
f (x) = log a x (a > 0，a 1) f (x) 1=
x ln a
f (x) =ex f (x) = ex
f (x) = ln x f (x) 1=
x
f (x) = sin x f (x) = cos x
f (x) = cos x f (x) = -sin x
2、導數的四則運算法則
（1）函數和差求導法則：[ f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) ；
（2）函數積的求導法則：[ f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x) ；
f (x) f (x)g(x) - f (x)g (x)
（3）函數商的求導法則： g(x) 0 ，則[ ] = ．
g(x) g 2 (x)
3、復合函數求導數
復合函數 y = f [g(x)]的導數和函數 y = f (u) ，u = g(x)的導數間關系為 y x = yu u

x ：
【診斷自測】求下列函數的導數：
(1) y = xcosx - lnx sinx；
(2) y x cos x + x= + ．
x2 +1 ln x
【解析】（1） y = cos x + x -sin x sin x- + ln x cos x
ù 1
ú = cos x 1- ln x - sin x
x + .
è x ÷ è x
x2 +1
- x 2x 1- sin x ln x cos x + x-
（2） y = 2 x + x
x2 2+1 ln x 2
1- 3x2 x 1- sin x ln x - cos x + x
= 2 x + x
2 2x +1 ln x 2
1- 3x2 x 1- sin x ln x - cos x + x
= + .
2 x 2 2x2 +1 x ln x
解題方法總結
1、在點的切線方程
切 線 方 程 y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) 的 計 算 ： 函 數 y = f (x) 在 點 A(x0 ，f (x0 )) 處 的 切 線 方 程 為
ìy0 = f (x0 )
y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) ，抓住關鍵 í ．
k = f (x0 )
2、過點的切線方程
設切點為 P(x0 ，y0 )，則斜率 k = f (x0 )，過切點的切線方程為： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因為切線方程過點 A(m，n)，所以 n - y0 = f (x0 )(m - x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有幾個值，就有幾條
切線）
注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．
3、高考常考的切線方程
（1） y = x 是 y = ln(x +1) 1的切線，同時 y = x -1是 y = ln x的切線，也是 y = 1 - 和 y = xlnx 的切線.
x
（2） y = x 是 y = sin x 的切線， y = x 是 y=tan x 的切線.
（3） y = ex 是 y = e x 的切線， y = x +1是 y = e x 的切線.
題型一：導數的定義及變化率問題
f (x + h) - f (x
【典例 1-1】若函數 y = f x 在區間 ( a , b ) 內可導，且 x (a,b) ，則 lim 0 0 - h)0 的值為（h ）h 0
A． f x0 B． 2 f x 0
C．-2 f x0 D．0
【答案】B
【解析】由題意知，
f
lim x0 + h - f x0 - h f x0 + h - f x0 - h f x0 + h - f x0 - h= lim2· = 2lim = 2 f x
h 0 h h 0 2h h 0 x0 + h - x - h 0
.
0
故選：B
【典例 1-2】如圖 1，現有一個底面直徑為10cm 高為 25cm 的圓錐容器，以 2cm3 /s 的速度向該容器內注入
溶液，隨著時間 t （單位：s）的增加，圓錐容器內的液體高度也跟著增加，如圖 2 所示，忽略容器的厚度，
則當 t = π時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為（ ）
3
A 300
3 3 3
． cm / s B 300． cm / s C 150． cm / s D 150． cm / s
6π 5π 3π 2π
【答案】C
【解析】設注入溶液的時間為 t （單位：s）時，溶液的高為 hcm ，
1 π 1
2
h 150t則 ×
3 5 ÷
×h = 2t ，得 h = 3 .
è π
h 1 150因為 = 3 ，
3 πt 2
1 150 3 150
所以當 t = π時， h = 3 = ，
3 π3 3π
3 150
即圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為 cm / s .
3π
故選：C
【方法技巧】
利用導數的定義，對所給函數式經過拆項、添項等變形和導數定義結構一致，然后根據導數定義求解．
【變式 1-1】（多選題）已知 f x ， g x 在 R 上連續且可導，且 f x0 0，下列關于導數與極限的說法
中正確的是（ ）
f x -Δx - f x
A lim 0 0 f fx B lim t + Δh - f t -Δh ． = ． = f t
Δx 0 Δx 0 Δh 0 2Δh
f x +3Δx - f x g x0 + Δx0 0 lim - g x0 g x C． lim = f x = 0
Δx 0 3Δx 0
D． Δx 0 f x0 + Δx - f x0 f x0
【答案】BCD
f x0 - Dx - f x0 f éx + -Dx ù - f x 【解析】 lim = - lim 0 0 = - f x ，故 A 錯；
Dx 0 Dx Dx 0 -Dx 0
f t + Dh - f t - Dh f t + 2Dh - f tlim = lim = f t ，故 B 對；
Dh 0 2Dh Dh 0 2Dh
f
lim x0 +3Dx - f x0 = f x0 ，由導數的定義知 C 對；Dx 0 3Dx
g x0 + Dx - g x0
g x + Dx
lim 0 - g x
lim
0 = Dx 0 Dx
g x
= 0

，故 D 對；
Dx 0 f x0 + Dx - f x0 f x + Dx - f x lim 0 0 f x0
Dx 0 Dx
故選：BCD
【變式 1-2】（2024·上海閔行·二模）某環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整
f b - f a
改、設企業的污水排放量W 與時間 t 的關系為W = f t ，用- 的大小評價在 a,b 這段時間內
b - a
企業污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示.則下列正
確的命題是（ ）
A．在 t1,t2 這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業弱；
B．在 t2 時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業弱；
C．在 t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放都不達標；
D．甲企業在 0, t1 ， t1,t2 ， t2,t3 這三段時間中，在 t1,t2 的污水治理能力最強
【答案】D
【解析】設甲企業的污水排放量W 與時間 t 的關系為W = h t ，乙企業的污水排放量W 與時間 t 的關系為
W = g t .
對于 A 選項，在 t1,t
h t2 - h t1
2 這段時間內，甲企業的污水治理能力 h(t) = - t t ，2 - 1
g t2 - g t1
乙企業的污水治理能力 g(t) = - .由圖可知，h t1 -h t2 > g t1 - g t t t 2 ，2 - 1
所以 h(t) > g(t) ,即甲企業的污水治理能力比乙企業強，故 A 選項錯誤；
對于 B 選項，由圖可知， h(t)在 t2 時刻的切線斜率小于 g(t)在 t2 時刻的切線斜率，
但兩切線斜率均為負值，故在 t2 時刻甲企業的污水治理能力比乙企業強，故 B 選項錯誤；
對于 C 選項，在 t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放都小于污水達標排放量，
故甲、乙兩企業的污水排放都達標，故 C 選項錯誤；
對于 D 選項，由圖可知，甲企業在 0, t1 ， t1,t2 ， t2,t3 這三段時間中，
在 t1,t2 時 h(t1) - h(t2 )的差值最大，所以在 t1,t2 時的污水治理能力最強，故 D 選項正確，
故選：D.
題型二：導數的運算
【典例 2-1】求下列函數的導數．
(1) y = xe x
ln x
(2) y =
x2
；
+1
(3) y = 2sin(1-3x)
3
(4) y = - ln x+ 1+ x2 .
4
x x
【解析】（1） y = e + xe = x+1 ex
x2 +1
- 2x ln x 2
（2） y x +1- 2x
2 ln x
= x =
2 2 2 2x +1 x x +1
（3） y = 2 -3 cos(1-3x) = -6cos(1-3x)
3 1 2x 3 x 3 x 1+ x2
（4） y = - + = - + = - +
4x 2 1+ x2 4x 1+ x2 4x 1+ x2
1
【典例 2-2】已知函數 f ( x ) 滿足滿足 f (x) = f (1)ex-1 - f (0)x + x2；求 f ( x ) 的解析式
2
x-1 1 2
【解析】 f (x) = f (1)e - f (0)x + x f (x) = f (1)ex-1 - f (0) + x
2
令 x = 1得： f (0) =1
f (x) = f (1)ex-1 1- x + x2 f (0) = f (1)e-1 =1 f (1) = e
2
得： f (x) = ex - x
1
+ x2
2
【方法技巧】
（1）對所給函數求導，其方法是利用和、差、積、商及復合函數求導法則，直接轉化為基本函數求
導問題．
(2)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元．
1
【變式 2-1 2】已知 f x = x + 2xf 2022 - 2022lnx，則 f 2022 = .
2
【答案】 -2021
1
【解析】因為 f x = x2 + 2xf 2022 - 2022ln x ，
2
f x x 2 f 2022 2022 f 2022 2022 2 f 2022 2022所以 = + - ，所以 = + - ，
x 2022
解得 f 2022 = -2021，
故答案為: -2021 .
【變式 2-2】設函數 f x = x x +1 x +2 L x +10 ，則 f (0) 的值為（ ）
A．10 B．59 C．10 9 … 2 1 D．0
【答案】C
【解析】函數 f (x) = x(x +1)(x + 2)L(x +10)的定義域為R ，
設 g(x) = (x +1)(x + 2)L(x +10)，則 f (x) = xg x ，
所以 f (x) = g x + x × g x
所以 f (0) = g 0 +0 g 0 =1 2 ... 9 10 .
故選：C.
【變式 2-3】在等比數列 an 中， a1012 = 2 ，若函數 f x
1
= x x - a1 x - a2 L x - a2023 ，則 f 0 =2
（ ）
A． -2 2022 B． 2 2 0 2 2 C． -2 2023 D． 2 2 0 2 3
【答案】A
【解析】設 g x = x-a1 x-a2 L x-a2023 ，
1
則 f x = xg x ， f x 1= g x 1+ xg x ，
2 2 2
所以， f 0 1= g 0 .
2
因為 an 是等比數列，且 a1012 = 2 ，
2 2
所以， a1a2023 = a2a2022 = L = a1011a1013 = a1012 = 2 ，
所以， g 0 = 0-a1 0-a2 L 0-a = -1 20232023 × a1a La = -220232 2023 ，
2022
所以， f 0 = -2 .
故選：A.
【變式 2-4】若定義域都為 R 的函數 f x 及其導函數 f x ，滿足對任意實數 x 都有
2024
f x - f 2025- x = 2x-2025，則 f k = ．
k =1
【答案】2024
【解析】對 f x - f 2025- x = 2x-2025，兩邊同時求導導數得 f x + f 2025- x = 2，
則 f 1 + f 2024 = 2， f 2 + f 2023 = 2，L， f 1012 + f 1013 = 2，
2024
從而 f k = 2 1012 = 2024 ．
k =1
故答案為：2024
【變式 2-5】求下列函數的導數：
x x
(1) y = 2 e2 + xe2 ÷ ；
è
(2) y = a 2 x + x 2 ；
(3) y = sin4 3x ×cos3 4x；
y x ln x(4) = - ln x +1 ．
x +1
1 x x 1 x x
【解析】（1） y = 2 e2 + e2 + xe2 ÷ = 3+ x e2
è 2 2
（2） y = 2a 2 x ln a + 2x
（3） y = 12 sin3 3x × cos3 4x +12 sin 4 3x cos2 4x
1+ ln x x +1 - x ln x
（4） y
1 ln x
= - =
x +1 2 x +1 x +1 2
題型三：在點 P 處的切線
1
【典例 3-1】（湖南省 2024 屆高三數學模擬試題）曲線 y = ln 2x在點 ,0÷處的切線方程為（ ）
è 2
A．2x - y +1 = 0 B．2x - y -1= 0 C． 2x - y + 2 = 0 D． 2x - y - 2 = 0
【答案】B
1
【解析】由題意， y = ln 2x的導函數 y = ，故曲線 y = ln 2x
1
在點 ,0

÷處的切線斜率為 k = 2 ，x è 2
1
則切線方程 y = 2 x - = 2x -1，即2x - y -1= 0，
è 2 ÷
故選：B .
【典例 3-2】（2024·全國·模擬預測）已知曲線 f x = xlnx在點 1, f 1 處的切線為 l ，則 l 在 y 軸上的截距
為（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由 f x = xlnx得 f x = lnx+1，所以直線 l 的斜率 k = f 1 =1，
又 f 1 = 0，所以直線 l 的方程為 y = x - 1，令 x = 0 ，得 y = -1，即 l 在 y 軸上的截距為-1.
故選：B
【方法技巧】
ìy = f (x )
函數 y = f (x) 0 0在點 A(x0 ，f (x0 )) 處的切線方程為 y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) ，抓住關鍵 í ．
k = f (x0 )
【變式 3-1】曲線 f ( x) = 2e x - sin x - 2 在點 (0, f (0))處的切線方程為（ ）
A． y = 3x B． y = 2x C． y = x D． y = -x
【答案】C
【解析】由函數 f ( x) = 2e x - sin x - 2 ，可得 f (x) = 2ex - cos x ，
則 f (0) =1且 f (0) = 0，即切線的斜率為 k = 1，切點坐標為 (0,0) ，
所以切線方程為 y = x .
故選：C.
【變式 3-2】（2024·山東濟寧·三模）已知函數 f ( x ) 為偶函數，當 x < 0 時， f (x) = ln(-x) + x2 ，則曲線
y = f (x) 在點 (1, f (1))處的切線方程是（ ）
A．3x - y - 2 = 0 B． 3x + y - 2 = 0 C．3x + y + 2 = 0 D．3x - y + 2 = 0
【答案】A
【解析】函數 f ( x ) 為偶函數，當 x < 0 時， f (x) = ln(-x) + x2 ，
則當 x > 0 時， f (x) = f (-x) = ln x + x2 ，求導得 f (x)
1
= + 2x，則 f (1) = 3，而 f (1) =1，
x
所以曲線 y = f (x) 在點 (1, f (1))處的切線方程是 y -1 = 3(x -1)，即3x - y - 2 = 0 .
故選：A
【變式 3-3】（2024·四川·三模）已知函數 f x = ax +a +cos x a R ，則曲線 y = f x 上一點 0,-2 處的
切線方程為（ ）
A． 2x + y + 2 = 0 B． x + y +2 = 0
C．3x + y + 2 = 0 D． 3x + y - 2 = 0
【答案】C
【解析】由題意可得 f 0 = -2，即 a +1 = -2，所以 a = -3，
所以 f x = -3x +cos x -3， f x = -3-sin x，
則 f 0 = -3，
所以曲線 y = f x 上一點 0,-2 處的切線方程為 y +2 = -3x，即3x + y + 2 = 0 .
故選：C.
題型四：過點 P 的切線
3
【典例 4-1】已知函數 f x = x -6x2 +9x -7，直線 l 過點 0,1 且與曲線 y = f x 相切，則直線 l 的斜率為
（ ）
A．24 B． 24 或 -3 C．45 D．0 或 45
【答案】B
3 2
【解析】由 f x = x -6x +9x -7，得 f x = 3x2 -12x+9，
設直線 l 與曲線 y = f x 相切的切點為P x0, y 0 ，
則 f x 在P x 20, y 0 處的切線斜率為 f x0 =3x0 -12x0 +9，
3
所以，切線方程為 y - x0 - 6x20 + 9x0 - 7 = 3x20 -12x0 + 9 x - x0 ，
將點 0,1 3 2的坐標代入并整理，得 x0 - 3x0 + 4 = 0 ，
即 x0 +1 x
2
0 - 2 = 0，解得 x0 = -1或 x 0 = 2，
所以直線 l 的斜率為 24 或 -3 .
故選：B.
【典例 4-2】過點 0,m 可作 f x = ex - x的斜率為 1 的切線，則實數m= .
【答案】2-2ln2
【解析】由 f x = ex -1，設切點的橫坐標為 x0 ，由 f x0 = ex0 -1=1，解得 x0 = ln2 ，
f ln2 = eln2故 - ln2 = 2- ln2，由過點 ln2,2-ln2 且斜率為 1 的切線方程：
y - 2- ln2 = x - ln2，令 x = 0 得： y = 2-2ln2 .，即m = 2 - 2ln 2 .
故答案為： 2 - 2ln2 .
【方法技巧】
設切點為 P(x0 ，y0 )，則斜率 k = f (x0 )，過切點的切線方程為： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因為切線方程過點 A(a,b) ，所以 b - y0 = f (x0 )(a - x0 ) 然后解出 x0 的值．
4 8
【變式 4-1】曲線C2 : f x = x + 過點 A ,0

÷ 的切線方程為 .x è 3
【答案】3x - 4y -8 = 0或3x + y -8 = 0
x x 4 x 4+ D + - -
【解析】 f (x) = lim x + Dx x = lim é1 4 ù 4- =1- ，
Dx 0 Dx Dx 0 ê x(x + Dx)
ú x2
8
因為點 A ,0÷ 不在曲線上，
è 3
所以設切線的切點是 (x 0 , y0 ) ，則切線的斜率 k = f (x )
4
0 =1- x2 ，0
8
又切線過點 (x0 , y0 ) 和 ,0÷，
è 3
k y= 0 3y0
所以 x 8
=
- 3x0 -8 ，0 3
3(x 40 + ) 2
所以1 4 3y0 x0 3x0 +12- = = = ，
x20 3x0 -8 3x0 -8 3x
2
0 -8x0
3 2
化簡得 x0 + 3x0 - 4x0 = 0 ，
因為 x0 0，所以 x0 = -4 或 x0 =1.
4 3 4
所以 k =1- = ，或 k =1-(-4)2 4 12
= -3，
3
所以所求切線方程是 y = (x
8) y 3(x 8- 或 = - - )，
4 3 3
即3x - 4y -8 = 0或3x + y -8 = 0 .
故答案為：3x - 4y -8 = 0或3x + y -8 = 0 .
【變式 4-2】過點 0,-2 作曲線 f x = ln x-2的切線，則切線方程為 .
1
【答案】 y = x - 2
e
【解析】設切點為 x0, lnx0 -2 ，由 f x = ln x-2
1
得 f x = ，
x
l : y lnx 2 1則切點處的切線 - 0 - = x - x0 x ，0
因為切線過點 0,-2 ，所以 lnx0 = 1，解得 x0 = e，
1
所以切線方程為 y - -1 = x - e 1即 y = x - 2 .
e e
1
故答案為： y = x - 2
e
【變式 4-3】（2024·山西呂梁·二模）若曲線 f x = lnx在點P x0, y 0 處的切線過原點O 0,0 ，則
x0 = .
【答案】 e
1
【解析】因為 f x = lnx，所以 f x = ，
x
1
所以 f x 在點P x , y 處的切線方程為 y - lnx0 = x - x0 0 x 0 .0
又切線過原點O 0,0 ，則-lnx0 = -1，所以 x0 = e .
故答案為： e
【變式 4-4】（2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學考試）已知函數 f x = aln x a 0 ，過原點作曲線
y = f x 的切線 l ，則切線 l 的斜率為 ．
a
【答案】
e
a a
【解析】根據題意得， f (x) = ，設切點坐標為 x0, y 0 ，則 f (x0) = x ，x 0
a
所以切線 l 的方程為 y = (x - x0 ) + yx 0 ，0
a
將點 0,0 代入，可得0 = (0 - x0 ) + yx 0，整理得 y0 = a ，0
故 a ln x0 = a ，解得 x0 = e，
故 f (x
a a
0 ) = ，即切線 l 的斜率為 ．e e
a
故答案為： .
e
題型五：公切線問題
【典例 5-1】若直線 y = kx + b C : y = 3 + e x與曲線 1 和曲線C 2 : y = e x + 2 同時相切，則b =（ ）
9 3
A． - ln
3 1 1
B． 2 - ln2 C． - ln D．3 - ln3
2 2 2 2 2
【答案】A
【解析】設直線直線 y = kx + b 與曲線C1 : y = 3 + e
x
相切于 (m,3+ em )，
與曲線C 2 : y = e
x + 2
相切于點 (n, en+2 )，
曲線C1 : y = 3 + e
x
，其導數 y = e x ，則有 y | mx = m = e ，
則在點 (m,3+ em )處切線的方程為 y - (3 + em ) = em (x - m)，
即 y = em x - mem + (3 + em )，曲線C : y = e x + 2 y = e x+ 2 y | = en+ 22 ，其導數 ，則有 x=n ，
則在 (n, en+2 )處切線的方程為 y - en+2 = en+2 (x - n) ，即 y = en+2 x - nen+2 + en+2 ，
則有em = en+2，則有m = n + 2，
3 3
又由mem - (3 + em ) = nen+2 - en+2 en+2，則有 = ，則 n = ln - 2，
2 2
b = -nen+2 + en+2 9 3 ln 3則 = - ；
2 2 2
故選：A．
【典例 5-2】（2024·湖南長沙·一模）若直線 y = k1 x+1 -1與曲線 y = ex 相切，直線 y = k2 x+1 -1與曲線
y = ln x相切，則 k1k2 的值為（ ）
A．1 B． e C． 2 D． e-1
【答案】A
x
【解題思路】設出兩個切點，根據導數幾何意義得 x 11 e = 1， x2 ln x2 =1，再利用函數 f x = xln x的單調性
x
得到 x 12 = e ，最后代入計算即可.
【解析】設直線 y = k x1 x+1 -1與曲線 y = e 相切于點 x1, ex1 ，
因為直線 y = k1 x+1 -1與曲線 y = ln x相切于點 x2,ln x2 ，
設h x = ex，h x = ex ，且直線 y = k1 x+1 -1過定點 -1,-1 ，
x1
k = e x k e +1則 11 ，且 1 = ，所以 x x1x 1 1
e = 1，
1 +
設 g x 1= ln x，則 g x 1= ，則 k2 = ，且直線 y = k2 x+1 -1x 過定點 -1,-1 ，x 2
k ln x2 +1則 2 = ，所以 x2 ln x2 =1x +1 ，2
令 f x = xln x，則 f x =1+ ln x，

當 x 0,
1 1
÷時， f x <0， f x 單調遞減，當 x e ,+ ÷時， f x >0， f x 單調遞增，則è è e
f x = f 1 1min ÷ = - ，且 f 1 = 0，è e e
當 x 0 時， f x 0，且 f x < 0，所以當 x 0,1 時， f x < 0，
因為 f x2 = x2 ln x =1 f ex1 = x ex2 ， 11 =1，即 f x2 = f ex1 =1 > 0 ，
1
所以 x2 1,+ ，ex1 1,+ x x1，所以 x2 = e 1 ，故 k1k2 = e × =1x .2
故選：A.
【方法技巧】
公切線問題應根據兩個函數在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關
切點橫坐標的方程組，通過解方程組進行求解．
【變式 5-1】（2024·廣東茂名·一模）曲線 y = lnx與曲線 y = x 2 + 2ax 有公切線，則實數 a 的取值范圍是（ ）
1 1 1 1
A． - , -
ù é
B． - , +
ù é
÷ C． - , D． ,+ ÷
è 2ú ê 2 è 2 ú ê2
【答案】B
y 1【解析】兩個函數求導分別為 = , y = 2x + 2a，
x
設 y = lnx， y = x 2 + 2ax 2圖象上的切點分別為 x1,lnx1 ， x2 , x2 + 2ax2 ，
x
則過這兩點處的切線方程分別為 y = + lnx1 -1， y = 2x2 +2a x- x2x 2 ，1
1
則 = 2x2 + 2a
2
， lnx1 - 1 = - x
2
，所以2a = ex2 -1x 2 -2x2，1
2
設 f 2x = ex -1 - 2x ， f x = 2 xex -1 -1 ， f 1 = 0，
x2令 g(x) = f (x) 2= 2 xe -1 -1 ，所以 g x = 2 2x2 +1 ex -1 > 0，
所以 g(x)在R 上單調遞增，且 f 1 = 0，
則 f x 在 - ,1 上單調遞減，在 1,+ 上單調遞增，
所以2a f 1 = -1 a 1， - .
2
故選：B.
1
【變式 5-2】（2024·遼寧大連·一模）斜率為1的直線 l 與曲線 y = ln(x + a)和圓 x2 + y 2 = 都相切，則實數 a
2
的值為（ ）
A． 0或2 B．-2或 0 C．－1或 0 D． 0或1
【答案】A
【解析】依題意得，設直線 l 的方程為 y = x+b，
1 b 2
由直線和圓 x2 + y 2 = 相切可得， =2 2 2 ，解得b = ±1，2 1 + (-1)
當b = 1時， y = x + 1和 y = ln(x + a)相切，
設切點為 (m,n) 1，根據導數的幾何意義， =1，
m + a
ìn = 0
ìn = m +1
又切點同時在直線和曲線上，即 ín = ln(m + a)，解得 í
m = -1，

a = 2
即 y = x + 1和 y = ln(x + 2)相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位，
y = x - 1和 y = ln x仍會保持相切狀態，即b = -1時， a = 0 ，
綜上所述， a = 2 或 a = 0 .
故選：A
【變式 5-3】若存在直線 y = kx + b ，使得函數F x 和G x 對其公共定義域上的任意實數 x 都滿足
F x kx + b G x ，則稱此直線 y = kx + b 為F x 和G x 的“隔離直線”.已知函數 f x = x2，
g x = alnx(a > 0)，若 f x 和 g x 存在唯一的“隔離直線”，則a = （ ）
A． e B． 2 e C． e D．2e
【答案】D
2
【解析】當 f x = x 與 g x = alnx相切時，只有唯一的“隔離直線”，
且“隔離直線”為公切線.設切點為 x0, y0 ，
ì a
ì f x0 = g x0 , 2x0 = ,
則 í xf x g x , 即í 0 所以 x0 = e,a = 2e . 0 = 0
x
2
0 = alnx0 ,
故選：D.
1
【變式 5-4 x-1 2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = e , g x = ex ，若直線 l 是曲線 y = f x 與曲線
4
y = g x 的公切線，則 l 的方程為（ ）
A． ex - y = 0 B．ex- y-e =0
C． x- y = 0 D． x - y -1 = 0
【答案】B
【解析】設 l : y = kx + m與曲線 y = f x 相切于點 A x0, y0 ，與 y = g x 相切于點B x1, y1 ，
f x = ex-1 l k = ex0 -1 e x0 -1由 ，可得 的斜率 ，所以 x0 + m = e x0 -1 ①，
g x 1 1 1 e e又由 = ex 2，可得 k = ex1，所以 ex1x1 + m = x1 ，即m = - x21 ②，2 2 2 4 4
x 1
又因為 e 0 -1 = ex1 ③，2
1 e e 1
將②③代入①中，可得 ex1x0 - x
2
1 = x1，由③易知， x1 > 0 ,則 x0 -1 = x1 ④，2 4 2 2
x1 e 1 1
將④代入③，可得 e 2 = x ，則 x1 -1- ln
x = 0
2 1
，
2 1 ֏ 2
令h x = x -1- lnx h x x -1，則 = ，當0 < x < 1時，h x < 0,h x 單調遞減；
x
當 x > 1時，h x > 0,h x 單調遞增．所以h x h 1 = 0，當且僅當 x = 1時取等號，
1
故 x
e
1 =1，可得 x1 = 2 ，所以m = - 2
2 = -e, k e= 2 = e ，
2 4 2
所以 l 的方程為 y = e x -1 ，即ex- y-e =0．
故選：B．
題型六：已知切線或切點求參數問題
【典例 6-1】若直線 y = kx 與曲線 y = log3x相切，則實數 k = （ ）
A． e ln 3 B． elog3e
1 1
C． D． log3ee e
【答案】D
1 1
【解析】設切點為 x0,log3x0 ，由 y = log x可得 y = ，則 y 3 = = k ，xln3 x=x0 x0ln3
ì 1
= k ì
x
0
= e
所以 í x0ln3 ，解得 í 1 ，即 k
1
= log3e .
k = e kx0 = log3x0 eln3
.故選：D.
【典例 6-2】（2024·全國·模擬預測）若直線 y = 2 x - b 與曲線 f (x) = e2 x - 2ax(a > -1) 相切，則b的最小值為
（ ）
A．-e B．－2 C．－1 D．0
【答案】C
【解析】設切點坐標為 x0, y0 ．由已知，得 f x = 2e2x -2a，則 f x0 = 2e2x0 -2a = 2，
1
解得 x0 = ln a +1 ．2
2x
又切點在切線 y = 2 x - b 與曲線 f x = e -2ax上，
所以 ln(a +1)-b = a +1-aln a +1 ，所以-b = a +1 é 1- ln a +1 ù ．
令 t = a+1 t > 0 , g t = t 1-lnt t > 0 1 ，則 g t =1- lnt + t - ÷ = -lnt ．
è t
令 g t = -lnt = 0，解得 t = 1．當 t 0,1 時， g t > 0，則 g t 在 0,1 上單調遞增；
當 t 1, + 時， g t < 0，則 g t 在 1,+ 上單調遞減．
所以 g t g 1 =1，即-b 1，所以b -1，則b的最小值為－1．
故選：C．
【方法技巧】
已知切線或切點求參數問題，核心是根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程：①切點處
的導數是切線的斜率；②切點在曲線上；③切點在切線上．
1
【變式 6-1】已知直線 y = kx + b 與函數 f x = x2 + lnx的圖象相切，則 k - b 的最小值為 ．
2
7
【答案】 /3.5
2
1 2
【解析】設切點為P x , x + ln x ÷， f
1 k x 10 2 0 0
(x) = x + ，所以切線的斜率 =
x 0
+ ，
è x0
1 2 1 1 1 2
則切線方程為 y - x0 + ln x2 0 ÷
= x0 + x ÷
(x - x0 )，即 y = x0 + ÷ x - xx 2 0
+ ln x0 -1，
è è 0 è 0
故 k - b
1
= x2 10 + x0 + - ln x0 +12 x ，0
g(x) 1= x2 + x 1+ - ln x +1(x > 0) g (x) x 1 1 1 (x -1)(x +1)
2
令 ，則 = + - 2 - = ，2 x x x x2
當 x (0,1) 時， g (x) < 0， g(x)單調遞減，
當 x (1,+ )時， g (x) > 0， g(x)單調遞增，
g(x) 7 7所以 min = g(1) = ，即 k - b 的最小值為 .2 2
7
故答案為：
2
【變式 6-2】（2024·重慶·模擬預測）已知直線 y = ax + b x與曲線 y = e x 相切于點 x 00 , e ，若 x0 - ,3 ，則
a + b 的取值范圍為（ ）
A - , e B -e3 ,eù C 0,e D 0,e3． ． ． ． ù
【答案】B
【解析】因為 y = e x ，所以 y = e x ，∴ a = ex0 ．
又∵切點 x0 , ex0 在直線 y = ax + b 上，
∴ e x0 = ax0 + b = x0e x0 + b ，解得b = 1- x0 ex0 ．∴ a +b = 2- x0 ex0 ．
令 g x = 2- x ex ，則 g x = 1- x ex， x - ,3 ，
令 g x > 0，解得： x < 1；令 g x < 0，解得：1 < x < 3 ；
可得 g x 在 - ,1 上單調遞增，在 1,3 上單調遞減，
x < 2 時， g x > 0， 2 < x < 3時， g x < 0，
當 x
3
趨近負無窮時， g x 趨近 0， g 3 = -e ； g x = g 1max = e，
a + b -e3故 的取值范圍為 ,eù ．
故選：B．
【變式 6-3】已知函數 g x = x ax+2ln x ，若曲線 y = g x 在 x = 1處的切線方程為 y = 6x + b，則
a + b = ．
【答案】-2
【解析】函數 g x = x ax+2ln x ， g x = 2ax+2ln x+2，
若曲線 y = g x 在 x = 1處的切線方程為 y = 6x + b，則切點坐標為 1,6+b ，切線斜率 k = 6 ，
ì g 1 =1 a + 2ln1 = a = 6 + b ìa = 2
則有 í
g 1 = 2a + 2ln1 2 2a 2 6
，解得
+ = + = í
，
b = -4
所以 a + b = -2 ．
故答案為：-2 .
1
【變式 6-4】（2024·四川·模擬預測）已知m > 0, n > 0 ，直線 y = x + m +1與曲線 y = lnx -n+3相切，則
e
m+ n = ．
【答案】2
【解析】設切點坐標為 x0, y0 ，對函數 y = lnx -n+3
1
求導得 y = ，
x
k 1 1則切線斜率 = = xx e ，得 0
= e，
0
所以 y0 = ln e - n + 3 = 4 - n
1
，且 y0 = ×e + m +1 = 2 + m ，e
則 4 - n = 2 + m ，即m + n = 2．
故答案為：2.
【變式 6-5】對給定的實數b，總存在兩個實數 a ，使直線 y = ax - b 與曲線 y = ln x-b 相切，則b的取值
范圍為 .
【答案】 - ,0
ìx0 > b,

1 = a,
【解析】由 y = ln x-b 得 y 1 = ，設切點坐標為 x , y ，則
x b 0 0 í
x0 - b ，
- y
0
= ax0 - b,
y0 = ln x0 - b ,
消去 x0 , y0 可得b 1-a =1+ lna,a 1 1+ lna，所以b = ,a 1，1- a
1
1+ lna + lna令 f a = ,a 1，則 f a = a ，當a>1 時， f a > 0, f a 單調遞增；1- a (1- a)2
1
當 0 < a < 1時，令 g a = + lna g a 1 1 a -1，則 = - 2 = 2 < 0，a a a a
所以 g a 在區間 0,1 上單調遞減，因為 g 1 =1> 0，
所以當 0 < a < 1時， g a > 0，即 f a > 0, f a 單調遞增.
因為當 a 趨近于 0 時， f a 趨近于負無窮大- ，當 a 從 1 左邊趨近于 1 時， f a 趨近于正無窮大，
當 a 從 1 右邊趨近于 1 時， f a 趨近于負無窮大，當 a 趨近于正無窮大時， f a 趨近于 0，
作出 f a 的大致圖象，
所以若對給定的實數b，總存在兩個實數 a ，使直線 y = ax - b 與曲線 y = ln x-b 相切，
則b的取值范圍為 - ,0 .
故答案為： - ,0
題型七：切線的條數問題
【典例 7-1】若過點 1,b 可以作曲線 y = ln x +1 的兩條切線，則（ ）
A． ln 2 < b < 2 B．b > ln 2
C． 0 < b < ln 2 D．b > 1
【答案】B
【解題思路】設切點點P t, ln t +1 1,b b 1- t，寫出切線方程，將點 代入切線方程得 = + ln t +1 ，此方
t +1
程有兩個不同的解，利用導數求 b 的范圍.
【解析】在曲線 y = ln x +1 P t, ln t +1 y 1上任取一點 ， = ，
x +1
所以曲線 y = ln x +1 y ln t 1 1在點 P 處的切線方程為 - + = x - t .
t +1
由題意可知，點 1,b 在直線 y - ln t 1 1 x t 1- t+ = - 上，可得b = + ln t +1 ，
t +1 t +1
令函數 f t 1- t= + ln t 1 2+ = -1+ ln t +1 , t -1,+ ，
t +1 t +1
f t -2 1 t -1則 = + =(t +1)2 t +1 (t +1)2 .
當 -1 < t < 1時， f t < 0，此時 f t 單調遞減，
當 t > 1時， f t > 0，此時 f t 單調遞增，
所以 f (t)min = f 1 = ln2 .
設 h x = ln x -1 1+ , x > 0 ，
x
h x 1 1 x -1所以 = -
x x2
= ，
x2
所以當 x > 1時，h x > 0，h x 在 1, + 上單調遞增，
當0 < x < 1時，h x < 0，h x 在 0,1 上單調遞減，
所以h x h 1 = 0，
1
所以 ln x 1- ，
x
所以 f t 2 2 1 1= -1+ ln t +1 -1+1- = ，
t +1 t +1 t +1 t +1
1
當 t -1時， + ，所以 f t + ，
t +1
x + 2當 時， 0, ln t +1 + ，所以 f t + ，
t +1
y = f (t)的圖象如圖：
由題意可知，直線 y = b與 f t 的圖象有兩個交點，則b > ln 2 .
故選：B
【典例 7-2】若過點 a,b 可以作曲線 y = ln x的兩條切線，則（ ）
A． eb > 0 > a B． ln a > 0 > b C． eb > a > 0 D． ln a > b > 0
【答案】C
【解析】設切點坐標為 t,ln t t > 0 ，
Q y 1 1 1 1= ，\ 切線斜率 k = ，\ 在點 t,lnt 處的切線方程為： y = x - t + ln t = x + ln t -1；
x t t t
Q 切線過點 a,b b a，\ = + ln t -1，
t
Q 過點 a,b 可以作曲線 y = ln x的兩條切線，
\ 令 g t a= + ln t -1，則 y = b與 g t 有兩個不同交點，
t
g t a 1 t - a= - 2 + = 2 t > 0 ，t t t
當 a 0 時， g t > 0，\g t 在 0,+ 上單調遞增，不合題意；
當 a > 0 時，若 t 0,a ，則 g t < 0；若 t a,+ ，則 g t > 0；
\g t 在 0,a 上單調遞減，在 a,+ 上單調遞增，
\g t = g a =1+ lna-1= lnamin ，\b > ln a ，即eb > a，
又 a > 0 ，\eb > a > 0 .
故選：C.
【方法技巧】
設切點為 P(x0 ，y0 )，則斜率 k = f (x0 )，過切點的切線方程為： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因為切線方程過點 A(a,b) ，所以 b - y0 = f (x0 )(a - x0 ) 然后解出 x0 的值，有多少個解對應有多少條
切線．
【變式 7-1】（2024·內蒙古·三模）若過點 a,2 可以作曲線 y = lnx的兩條切線，則 a 的取值范圍為（ ）
A． - , e2 B． - ,ln2
C． 0,e2 D． 0,ln2
【答案】C
1
【解析】在曲線 y = lnx上任取一點P t,lnt ，對函數 y = lnx求導，得 y = ，
x
所以曲線 y = lnx 1在點 P 處的切線方程為 y - lnt = x - t .
t
由題意可知，點 a,2 在直線 y - lnt 1= x - t 上，可得 a = 3t - tlnt .
t
令 f t = 3t - tlnt,t 0,+ ，則 f t = 3- lnt -1= 2 - lnt .
當 t e2 ,+ 時， f t < 0, f t 單調遞減，
當 t 0,e2 時， f t > 0, f t 單調遞增，
所以 f (t)max = f e2 = e2 ，且當 t 0,e3 時， f t > 0，當 t e3,+ 時， f t < 0，
又直線 y = a 與曲線 y = f t 的圖象有兩個交點，
所以 a
2
的取值范圍為 0,e .
故選：C
ax +1
【變式 7-2】若曲線 y = x 有且僅有一條過坐標原點的切線，則正數 a 的值為（ ）e
1 1
A． B 2． C． D 3．
4 4 3 3
【答案】A
y f (x) ax +1 f (x) -ax + a -1【解析】設 = = x ，則 =e ex ，
ax
設切點為 (x , 0
+1) f (x ) -ax + a -10 x ，則 0 =
0
x ，e 0 e 0
y ax0 +1 -ax + a -1所以切線方程為 - = 0x x (x - x0 )，e 0 e 0
ax +1 -ax + a -1
又該切線過原點，所以 0 - 0 = 0x (0 - x ) ，e 0 ex0 0
2
整理得 ax0 + x0 +1 = 0 ①，因為曲線 y = f (x) 只有一條過原點的切線，
1
所以方程①只有一個解，故D = 1 - 4a = 0 ，解得 a = .
4
故選：A
x
【變式 7-3】（2024·全國·二模）若曲線 f x = x 有三條過點 0,a 的切線，則實數 a 的取值范圍為（e ）
0, 1 0, 4 1 4 A． 2 ÷ B．e ÷
C． 0, ÷ D． 0, ÷
è è e2 è e è e
【答案】B
x 1- x
【解析】設該切線的切點為 (x 00 , x )，則切線的斜率為 k = f (x ) =
0 ，
e 0 0 ex0
x 1- x
所以切線方程為 y - 0 0
ex
= (x - x )，
0 ex0 0
x 1- x 2
又切線過點 (0 , a ) ，則 a - 0 0x = (0 - x )，整理得 a
x
= 0 .
e 0 ex0 0 ex0
x2
要使過點 (0 , a ) 的切線有 3 條，需方程 a = 0x 有 3 個不同的解，e 0
x2
即函數 y = 0 圖象與直線 y = ax 在 R 上有 3 個交點，e 0
2
設 g(x) x= ，則 g (x)
x(2 - x)
=
ex
，
ex
令 g (x) > 0 0 < x < 2，令 g (x) < 0 x < 0或 x > 2 ，
所以函數 g(x)在 (0 , 2 ) 上單調遞增，在 (- ,0)和 (2,+ ) 上單調遞減，
且極小值、極大值分別為 g 0 = 0, g 2 4= ，如圖，
e2
0 a 4< < x
2
由圖可知，當 2 時，函數 y = 0x 圖象與直線 y = a 在 R 上有 3 個交點，e e 0
即過點 (0 , a ) 的切線有 3 條.
4
所以實數 a 的取值范圍為0 < a < 2 .e
故選：B.
【變式 7-4】已知 f x = x3 - x，如果過點 2,m 可作曲線 y = f x 的三條切線.則下列結論中正確的是（ ）
A．-1 < m < 8 B．0 < m < 7 C． -3 < m < 5 D． -2 < m < 7
【答案】D
x , x3【解析】設切點為 0 0 - x0 ， f x =3x2 -1 ∴ 2， 切線斜率為3x0 - 1，
∴ 3 2切線方程為 y - x0 - x0 = 3x0 -1 x - x 2,m m - x30 ，將 代入得方程 0 - x0 = 3x20 -1 2 - x0 ，即
2 x30 - 6 x
2
0 + 2 + m = 0 ，
由題設該方程有 3 個不等實根.
3 2 2
令u x = 2x -6x +2+m，u x = 6x -12x = 6x x-2 ，
當 x < 0 時,u (x) > 0 ,當0 < x < 2時,u (x) < 0 ,當 x > 2 時,u (x) > 0 ,
所以u(x) 在 (- ,0)上遞增,在 (0 , 2 ) 上遞減,在 (2,+ ) 上遞增,
所以u(x) 在 x = 0 時取得極大值u(0) = 2+m ,在 x = 2 時取得極小值u(2) = 2 8-6 4+ 2+ m = m-6 ,
ìu(0) = 2 + m > 0
由三次函數圖象知 í ,解得 -2 < m < 6u(2) m 6 0 , = - <
因為 -2 < m < 6 可以推出, -2 < m < 7 ，所以 -2 < m < 7 也正確.
故選：D
1
【變式 7-5】已知函數 f x = - x > 0 ，若過點P a,b 可作兩條直線與曲線 y = f x 相切，則下列結論
x
正確的是（ ）．
A．-1 < ab < 0 B．0 < ab < 1
C．a2 +b2 的最大值為 2 D．eb > a
【答案】A
2
【解題思路】由導數幾何意義切線斜率 k = f (x0 )可得bx0 + 2 x0 - a = 0 （ x0 > 0），進而將問題轉化為方程
bx 2
1
0 + 2 x0 - a = 0 有兩個不等的正實根，即可得 ab 范圍可判斷 A 項、B 項， a = ，b = -2 ，可判斷 C 項、4
D 項.
1 1 1 1
【解析】由 f (x) = - 可得 f (x) = 2 ，設切點為 (x0 ,- )（ x > 0），則 f 0 (x0 ) =x x2 ，x x 0 0
1 1
- - b - - b
又因為 k x= 0 = f (x )，即 x0 1= ，
x - a 0 20 x0 - a x0
2
整理得bx0 + 2 x0 - a = 0 （ x0 > 0），
因為過點 P(a,b) 可作兩條直線與函數 y = f (x) 相切，
2
所以方程bx0 + 2 x0 - a = 0 有兩個不等的正實根，
ì
Δ = 4 + 4ab > 0
ìab > -1
2
所以 í - > 0 b < 0 -1 < ab < 0
b
，解得 í ，所以 ，

a a > 0
- > 0 b
故 A 項正確，B 項錯誤；
C D a
1
= b = -2 -1 < ab < 0 a2 + b2 > 2 eb = e-2
1 1
對于 項、 項，取 ， ，滿足 ，此時 ， = 2 < = a，故 C 項、4 e 4
D 項錯誤；
故選：A.
1 1
【變式 7-6】過點 2,0 f x = xex作曲線 的兩條切線，切點分別為 x1, f x1 ， x2 , f x2 ，則 + =x1 x2
（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由題意得 f x = x +1 ex 2,0 f x = xex，過點 作曲線 的兩條切線，
x ex0x x 2 x
設切點坐標為 x0 , x 00e ，則 x +1 e 0 = 00 ，即 x 00 - 2x0 - 2 e = 0x 2 ，0 -
由于ex0 > 0 x 2，故 0 - 2 x0 - 2 = 0 ，D = 12 > 0 ，
由題意可知x1，x2為 x
2
0 - 2 x0 - 2 = 0 的兩個解，則 x1 + x2 = 2， x1x2 = -2，
1 1 x + x
+ = 1 2故 = -1x .1 x2 x1x2
故選：B
x
【變式 7-7】（2024·高三·北京海淀·期末）若關于 x 的方程 log a x - a = 0 （ a > 0 且 a 1）有實數解，則 a 的
值可以為（ ）
5
A．10 B． e C．2 D．
4
【答案】D
x
【解析】對比選項可知我們只需要討論 a > 1時，關于 x 的方程 log a x - a = 0 的解的情況，
若關于 x 的方程 log xa x - a = 0 （ a > 0 且 a 1）有實數解，
即 f x = ax與 g x = loga x的圖像有交點，
因為 f x = ax與 g x = loga x互為反函數，
所以 f x = ax與 g x = loga x的圖像關于直線對稱，
如圖所示：
f x = ax設函數 與直線 y = x 相切，切點為P x0, y0 ，
x0
f x = ax ì ì
x = e
lna a ln a =1 0，則有 í x ，解得： í e ， a 0 = x0 a = e
e
由圖像可知，當a 1, eù 時，曲線 f x = ax與直線 y = x 有交點，
即 f x = ax與 g x = log x xa 的圖像有交點，即方程 log a x - a = 0 有解.
故選：D.
題型八：利用導數的幾何意義求最值問題
b
【典例 8-1】（2024· 3 2四川眉山·三模）若關于 x 的不等式 lnx ax -bx -1 a 0 恒成立，則 的最大值為
a
（ ）
1 2 1 2
A． 2 B． C． D．e e2 e e
【答案】C
lnx +1 b b lnx +1
【解題思路】將不等式化為
x2
a x - a ÷
恒成立，即 y = a x - ÷的圖象恒在 f x = 2 的圖象的è è a x
f x y = a x b- f x 1 ,0 b上方，利用導數研究函數 ，依題意得出當直線 ÷與 在點 ÷處相切時 取得最大
è a è e a
值得結果.
【解析】依題意，a 0, x 0
lnx +1 a x b > ，不等式化為 -
x2 a ÷
，
è
f x lnx +1
1 2
= × x - 2x lnx +1 設 ，則
x2 f x = x
-1- 2lnx ，
x4
=
x3
1-
當 x 0,e 2 ÷時， f x > 0, f x 單調遞增；
è
1-
當 x e 2 , + ÷ 時， f x < 0, f x 單調遞減，
è
所以 f x 1 e 1在 -x = e 2處取得極大值，也即最大值 ，又 -x > e 2 時， f x > 0，2
lnx +1 a b b 由題知不等式 2 x - ÷恒成立，所以 y = a x - ÷的圖象恒在 f x 的圖象x è a è a
b b
的上方，顯然 a < 0 不符題意；當 a > 0 時， 為直線 y = a x - 的橫截距，
a è a ÷
其最大值為 f x 1的橫截距，再令 f x = 0，可得 x = ，且當直線 y = a x b- ÷與e è a
f x 1在點 ,0 b處相切時，橫截距 取得最大值，
è e ÷ a
3 1
此時，切線方程為 y = e x -
, a = e3 ,b = e2 b 1÷ ，所以 取得最大值為 .
è e a e
故選：C.
3x + y +1
【典例 8-2】（2024·四川涼山·二模）已知點P x, y 是曲線 y = x 2 上任意一點，則 的最大值為
x2 + y +1 2
（ ）
A 2 5 - 15． B 2 5 - 15． C 15 + 2 5 D 15 + 2 5． ．
10 5 10 5
【答案】D
【解題思路】
3x + y +1
判斷直線 3x + y + 1 = 0 與曲線的位置關系，利用式子 3x + y +1 ( 3)2 +12 表示的幾何意義，轉= ×
x2 + (y +1)2 x2 + (y +1)2
化為點 P 與點 (0, -1) 確定的直線同直線 3x + y + 1 = 0 夾角正弦最值求解即可.
3x + y +1
【解析】依題意， 3x + y +1 ( 3)2 +1 ，令直線 l : 3x + y + 1 = 02 ，顯然
l 過點 A(0, -1)，
= ×
x2 + (y +1)2 x2 + (y +1)2
ì 3x + y +1 = 0
由 í 2 ，得 3x + x
2 +1 = 0，顯然D = ( 3 )2 - 4 < 0 ，
y = x
即直線 l 與曲線 y = x 2 相離，且 3x + x2 +1 > 0，則曲線 y = x 2 上的點 P 在直線 l 上方，
3x + y +1
過 P 作 PH ^ l 于H ，則 | PH |= 2 ，而 | PA |= x
2 + (y +1)2 ，
( 3) +1
3x + y +1
因此 = 2
| PH |
× = 2sin PAH
x2
，
+ (y +1)2 | PA |
令過點A 的直線與曲線 y = x 2 相切的切點為 (t , t 2 ) ，由 y = x 2 ，求導得 y = 2x ，
2
2t t +1則此切線斜率 = ，解得 t = ±1，即切點為 (±1,1)，
t - 0
而點A 在曲線 y = x 2 的對稱軸上，曲線 y = x 2 在過點A 的兩條切線所夾含原點的區域及內部，
3x + y +1
當點 P 的坐標為 (1,1) 時，銳角 PAH 最大， sin PAH 最大，
x2 + ( y +1)2
最大，
2 + 3 sin PAH | PH | 2 + 3此時 | PH |= ,| PA |= 5 ， = = ，
2 | PA | 2 5
3x + y +1 2 + 3 2 5 + 15
所以 2 2 的最大值為 2sin PAH = = .x + ( y +1) 5 5
故先：D
【方法技巧】
利用導數的幾何意義求最值問題，利用數形結合的思想方法解決，常用方法平移切線法.
2
【變式 8-1】（2024·湖北·模擬預測）設D = x - a 2 + ex - 2 a + a +1，其中 e 2.71828 ，則D的最小值
為（ ）
A． 2 B． 2 +1 C． 3 D． 3 +1
【答案】A
x
【解析】令Q x, e ，P a,2 a ，則點Q在函數 f x = ex圖象上， P 在函數 g x = 2 x 的圖象上，
容易知道 g x = 2 x 圖象是拋物線 y2 = 4x圖象的上半部分，
記拋物線焦點為 F 1,0 ，過 P 作拋物線的準線 l : x = -1的垂線，垂足為 M ，如圖所示：
D = x - a 2則 + ex 2- 2 a + a +1 = PQ + PM = PQ + PF FQ ，
當且僅當 P 在線段 FQ上時，取最小值.
設這時Q點坐標為Q x , ex00 ，又 f x = ex，
ex e
x0 - 0
所以有 0 × = -1 e2x0 =1- x x = 0 0,1 x0 -1 0，解得 0 ，即該點為 ，
所以 FQ 1- 0 2 + 0 -1 2 = 2 ，因此Dmin = 2 .
故選：A.
【變式 8-2】（2024·遼寧遼陽·一模）設曲線 y = x 4 在點 1,1 處的切線為 l，P 為 l 上一點，Q 為圓
C : x - 5 2 + y2 17= 上一點，則 PQ 的最小值為（
4 ）
A 17 B 17 C 17． ． ． D 17．
2 3 4 5
【答案】A
【解析】 y = 4x3， y |x=1= 4，則 l 的方程為 y -1= 4 x-1 ，即 y = 4x - 3，
因為圓心C 5,0 到 l 的距離為 17 ，
所以 PQ 的最小值為 17 17 17- = .
4 2
故選：A
【變式 8-3】（2024·寧夏銀川·一模）已知實數 x, y 滿足 2x2 - 5ln x - y = 0，m R ，則
x2 + y2 - 2mx + 2my + 2m2 的最小值為（ ）
A 9． B 3 2 C 2． ． D 1．
2 2 2 2
【答案】B
【解析】Q x2 + y2 - 2mx + 2my + 2m2 = x - m 2 + y + m 2 ，又 y = 2x2 - 5ln x ，
\ x2 + y2 - 2mx + 2my + 2m2 表示點 m,-m 與曲線 y = 2x2 - 5ln x 上的點之間的距離；
Q 點 m,-m 的軌跡為 y = -x ，\ x2 + y2 - 2mx + 2my + 2m2 表示直線 y = -x 上的點與曲線 y = 2x2 - 5ln x 上
的點之間的距離；
2
令 f x = 2x -5ln x f x 4x 5，則 = - ，
x
令 f x = -1 4x 5 5，即 - = -1，解得： x = 1或 x = - （舍），
x 4
又 f 1 = 2-5ln1= 2，
2 1+ 2 3 2\ x + y2 - 2mx + 2my + 2m2 的最小值即為點 1,2 到直線 y = -x 的距離d Qd = = ，
2 2
\ x2 + y2 - 2mx + 2my 3 2+ 2m2 的最小值為 .
2
故選：B.
【變式 8-4】設點 P 在曲線 y = x2 +1(x 0) 上，點Q在曲線 y = x - 1(x 1)上，則 | PQ |的最小值為 .
3 2 3
【答案】 / 2
4 4
【解析】由 y = x2 +1，得： x2 = y -1， x = ± y -1 .
所以 y = x2 +1 x 0 與 y = x - 1 互為反函數．
則它們的圖象關于 y = x 對稱．
要使 PQ 的距離最小，則線段 PQ 垂直直線 y = x .
點 P 在曲線 y = x2 +1 x 0 上，點 Q 在曲線 y = x - 1 上，
設 P(x, x2 +1)，Q (x, x -1) .
又 P，Q 的距離為 P 或 Q 中一個點到 y = x 的最短距離的兩倍．
以 Q 點為例，Q 點到直線 y = x 的最短距離
x 1 1
2 3
- - +
x - x -1 è 2 ÷ 4
d = =
2 2
所以當 x 1
1 5
- = 3 2，即 x = 時，d 取得最小值 ，
2 4 8
則 PQ 2 3 2 3 2的最小值等于 = .
8 4
3 2
故答案為：
4
2
【變式 8-5】已知 y = (x - a)2 + xex - a +1 a R ，則 y 的最小值為 .
1
【答案】 / 0.5
2
【解析】設點P x, xex f x = xex是函數 圖象上的點，點Q a,a -1 是直線 l : y = x -1上的點，
2
則 (x - a)2 + xex - a +1 可以轉化為 P ，Q兩點之間的距離，
2 2
即 (x - a)2 + xe x - a +1 = PQ ，所以 y = PQ ，
因為 f x = x +1 ex，設函數 f x = xex在點M x0, y0 的切線 l1與直線 l 平行，
x x
則直線 l 0 01的斜率為 1，可得 f x0 = 1+ x0 e =1，整理得e 1+ x0 -1= 0，
令 g x = ex 1+ x -1，則 g x = ex 2+ x ，當 x< - 2 時 g x < 0，當 x > -2 時 g x > 0，
所以 g x 在 - ,-2 上單調遞減，在 -2,+ 上單調遞增，
且當 x 無限趨向于負無窮大時 g x 無限趨近于-1， g 0 =0， g -2 = -e-2 -1< 0，
當 x 無限趨向于正無窮大時 g x 無限趨向于正無窮大，所以 g x 有且僅有一個零點 0，
x
所以方程e 0 1+ x0 -1= 0有且僅有一個解 x0 = 0，則M 0,0 ，
0 - 0 -1 2
故 PQ 的最小值為點M 0,0 到直線 l : y = x -1的距離 d = = ，
12 + -1 2 2
2
2 x 2 2 1即 y = (x -a) + xe -a +1 的最小值為 2 ÷÷ = .è 2
1
故答案為： 2 .
2 2 1
【變式 8-6】（2024·高三·山東青島·期末）已知動點 P，Q 分別在圓M : (x - ln m) + (y - m) = 和曲線
4
y = ln x上，則 PQ 的最小值為 ．
1
【答案】 2 -
2
1
【解析】由題意得M lnm,m ，即圓心 M 在 y = e x 上，半徑為 2 ，
故 PQ 的最小值等于 MQ 1的最小值減去半徑 2 ，
設Q n, lnn ，由于 y = e x 與 y = ln x關于 y = x 對稱，
MQ 的最小值等于Q到直線 y = x 的距離的最小值的 2 倍，
y = ln x y 1 1由 ，可得 = ，令 = 1，解得 n = 1，
x n
故 y = ln x在點Q 1,0 處的切線與 y = x 平行，此時Q 1,0 到 y = x 的距離最小，
1- 0 2
最小值為 = ，
1+1 2
2
故 MQ 的最小值為 2 = 2 ，
2
則 PQ 的最小值等于 2 1- .
2
1
故答案為： 2 -
2
1
【變式 8-7】（2024·河南·一模）記函數 y = e x 的圖象為C1，作C1關于直線 y = x 的對稱曲線得到C2，則曲2
線C1上任意一點與曲線C2上任意一點之間距離的最小值為 ．
2 5ln2e
【答案】
5
【解析】由題意可知： y = e x ，設 A a, ea 為曲線C1上的一點，
1
令過點 A a的切線斜率為 k = e = ，解得 a = -ln2 ，
2
1 1 -ln2 -
1 1 2 2 5ln2e
所以 A -ln2, ÷，所以點 A 到直線 y = x 的距離為 d = =2 5 ，è 2 2 1+ 1 ÷
è 2
2 5ln2e
所以曲線C1上任意一點與曲線C2上任意一點之間距離的最小值為 2d = ．
5
2 5ln2e
故答案為： .
5
ex
【變式 8-8】已知函數 y = 的圖象與函數 y = ln(2x)的圖象關于某一條直線 l 對稱，若 P ，Q分別為它們
2
圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為（ ）
A 2 ln 2 B 2 ln 2 C 2(1+ ln 2)． ． ． D． 2 1- ln 2
2 4 2
【答案】D
x a
【解析】設 P a,b 為函數 y e b e= 圖象上任意一點，則 = ， P a,b 關于直線 y = x 的對稱點為Q b,a ，
2 2
又 y = ln(2b) = ln ea = a ，即點Q b,a 在函數 y = ln(2x)的圖象上，
ex
所以函數 y = 的圖象與函數 y = ln(2x)的圖象關于直線 y = x 對稱，
2
所以這 P ，Q兩點之間距離的最小值等于點 P 到直線 y = x 距離最小值的2倍，
y e
x
y e
x
由 = ，則 = ，
2 2
ex ex0 ex0
函數 y = 在點 P(x0 , y0 )處的切線斜率為 k = ，令 k = =1，解得 x0 = ln 2， y0 =1，
2 2 2
y = x ln 2-1 2 1- ln 2 所以點 P 到直線 距離的最小值為d = = ，
2 2
所以這 P ，Q兩點之間距離的最小值為2d = 2 1- ln 2 .
故選：D
【變式 8-9】（2024· 2全國·模擬預測）若函數 f x = x +3x -4lnx，點 P 是曲線 y = f x 上任意一點，則點
P 到直線 l : x - y -3 = 0的距離的最小值為（ ）
A B 3 2 C D 6． 4 2 ． ．3 2 ．
2 2
【答案】C
f x = x2【解析】 +3x -4lnx的定義域為 0,+ ，
由函數 f x = x2 +3x -4lnx，可得 f x = 2x 4+ 3- ，
x
4
令 2x + 3- =1，可得 x = 1，負值舍去，
x
又 f 1 = 4，
所以平行于直線 l 且與曲線 y = f x 相切的直線與曲線 y = f x 的切點坐標為 1,4 ．
1- 4 - 3
點 1,4 到直線 l 的距離 d = = 3 2 ，即點 P 到直線 l 的距離的最小值為3 2 .
2
故選：C．
【變式 8-10】若點 A a, a , B b, eb a,b R ，則 A, B 兩點間距離 AB 的最小值為 .
2 1
【答案】 / 2
2 2
【解析】點 A a,a 在直線 y = x b上，點B b, e 在曲線 y = e x 上，
即求 AB 的最小值等價于求直線 y = x 上的點到曲線 y = e x 上的點的距離的最小值，
過 y = e x 上的點 m, em 作 y = e x m m的切線，可得 y -e = e x -m ，
令em =1，可得m = 0 ，故該切線為 y = x + 1，
則直線 y = x + 1與 y = x 的距離即為 AB 的最小值，
1
此時 AB
2
= = ，即 AB 2= .
1+1 2 min 2
2
故答案為： .
2
1 2
【變式 8-11】實數 a,b滿足 3 e
a -b + a2 = 3ln a + b +1 2， c R , a - c + b + c 2 的最小值是（
a ）
A．4 B． 0 C．2 D．10
【答案】C
1 a2 -b 2
【解析】化簡已知
a3
e + a = 3ln a + b +1得，
ln 1 2
e a3 ea
2 -b 2 a -b-3ln a 2+ a = 3ln a +b +1，即 e + a - b - 3ln a = 1，
令 a2 - b - 3ln a = x，原式化簡為 ex + x =1，
令 g(x) = ex + x -1，則 g (x) = ex +1 > 0，所以 g(x)在 R 上單調遞增，
又 g(0) = 0，所以 g(x)有唯一零點 x = 0 ，所以 ex + x =1，此方程有唯一根為 0，
即 a2 - b - 3ln a = 0，即b = a2 - 3ln a ，
分別設 y = f (x) = x2 - 3ln x (x > 0)與 y = -x ，
則 (a - c)2 + (b + c)2 表示曲線 y = f (x) 上的點 ( a , b ) 到直線 y = -x 的距離的平方，
下面求 y = f (x) 上與 y = -x 平行的切線，
3
因為 f (x) = x2 - 3 ln x ，所以 f (x) = 2x - ，
x
3
當 2x - = -1時， x > 0x ，解得： x = 1，所以切點為
P (1,1) ，
2
所以 P 到直線 y + x = 0 距離為： d = = 2 ，
2
此距離即為曲線 y = f (x) 上的點到直線 y = -x 的距離的最小值，
所以 (a - c)2 + (b + c)2 的最小值為 2.
故選：C.
【變式 8-12】已知 y = mx + n 是曲線 f (x) = ex
n
的一條切線，則 的最小值為（
m 2 ）
1 1
A． - 3 B． - C
1
． - D．-1
e e2 e
【答案】B
【解析】因為 f (x) = ex ，所以 f (x) = e x ，
設切點為 (x0 ,e
x0 )，則 f (x0 ) = e
x0 ，
所以切線方程為 y - ex0 = ex0 (x - x ) x x，即 y = e 0 x - x e 00 0 + e
x0 ，
n 1- x
所以m = e x0 , n = (1 - x0 )e
x0 ，則 = 0 ，
m2 ex0
令 g(x)
1- x x - 2
= x ，則 g (x) = x ，e e
當 x (- ,2)時， g (x) < 0，當 x (2, + ) 時， g (x) > 0，
所以 g(x)在 (- ,2) 上單調遞減，在 (2,+ ) 上單調遞增；
則 g(x)
1
min = g(2) = - 2 .e
故選：B．
題型九：牛頓迭代法
【典例 9-1】（2024·山東濰坊·三模）牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法．如圖，方程 f x = 0的根就
是函數 f x 的零點 r ，取初始值 x0, f x 的圖象在點 x0 , f x0 處的切線與 x 軸的交點的橫坐標為 x1, f x
的圖象在點 x1, f x1 處的切線與 x 軸的交點的橫坐標為x2，一直繼續下去，得到 x1, x2 ,L, xn ，它們越來越
接近 r ．設函數 f x = x2 +bx 16， x 0 = 2，用牛頓迭代法得到 x1 = ，則實數b =（19 ）
3
A．1 B 1． 2 C
2
． 3 D． 4
【答案】D
【解析】 f (x) = 2x +b， f (2) = 4+b， f 2 = 4+2b，
則 f ( x ) 在 2, f 2 處的切線方程為 y - 4+2b = 4+b x -2 ，
16 ,0 4 2b 4 b 16- + = + 3由題意得，切線過 19 ÷ 代入得， - 2÷，解得b = ，è è19 4
故選：D．
-x
【典例 9-2】已知函數 f x = e ，若曲線 y = f x 在 x = 0 處的切線交 x 軸于點 a1,0 ，在 x = a1處的切線
交 x 軸于點 a2,0 ，依次類推，曲線 y = f x 在 x = an-1處的切線交 x 軸于點 a n , 0 ，則
1 1 1 1
+ + +L+
a a 的值是（ ）1 2 a2a3 a3a4 a2023a2024
2025 2023 2022 2023
A． B． C． D．
2024 2022 2023 2024
【答案】D
【解析】由 f x = e-x -x，則 f x = -e ，所以 f 0 =1， f 0 = -1，
則函數在 x = 0 處的切線為 y = -x +1，令 y = 0 ，解得 x = 1，即 a1 = 1，
-a
同理可得曲線 y = f x 在 x = a n-1n-1 n 2 處的切線方程為 y -e = -e-an-1 x-an-1 ，
令 y = 0 ，解得 x = an-1 + 1，即 an = an-1 + 1 n 2 ，
所以 an - an-1 = 1 n 2 ，即 an 是以1為首項，1為公差的等差數列，
1 1 1 1
所以 an = n ，則 = = -a ，nan+1 n n +1 n n +1
1 1 1 1
所以 + + +L+a1a2 a2a3 a3a4 a2023a2024
1 1 1 1 1 1 L 1 1 1 2023= - + - + - + + - =1- = .
2 2 3 3 4 2023 2024 2024 2024
故選：D
【方法技巧】
數形結合處理.
【變式 9-1】（2024·湖北咸寧·模擬預測）英國數學家牛頓在 17 世紀給出一種求方程近似根的方法一
Newton-Raphson method 譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設 r 是 f x = 0的根，選取 x0 作為 r 的初始近似值，
過點 x0, f x0 做曲線 y = f x 的切線 l ： y - f x0 = f x0 x- x0 ，則 l 與 x 軸交點的橫坐標為
f x
x x = - 0 1 0 f x 0 f x 0 ，稱x1是 r 的一次近似值；重復以上過程，得 r 的近似值序列，其中0
f
x x xn n+1 = n - f xf x n 0 ，稱 xn +1 是 r 的 n + 1次近似值.運用上述方法，并規定初始近似值不得超過零n
點大小，則函數 f x = lnx+ x-3的零點一次近似值為（ ）（精確到小數點后 3 位，參考數據：
ln2 = 0.693）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
【答案】C
【解析】易知 f x = lnx+ x-3在定義域上單調遞增， f 2 = 2+ ln2-3< 0 < f 3 = ln3，即函數的零點有
且只有一個，且在區間 2,3 上.
1
不妨取 x 0 = 2作為初始近似值， f x = +1，x
f 2x 2 2 ln 2 -1 2 2ln 2 - 2 2 0.614= - = - = - = + 2.205
由題意知 1 f 2 1 +1 3 3 .
2
故選：C.
f x
【變式 9-2】（2024·北京·模擬預測）給定函數 f x ，若數列 xn 滿足 xn+1 = xn - nf x ，則稱數列 xn 為n
函數 f x x - 2的牛頓數列．已知 xn 為 f x = x2 - x-2的牛頓數列， an = ln nx +1 ，且a1 =1, xn < -1 n N+ ，n
數列 an 的前n項和為 Sn ．則S2023 =（　　）
A． 2 2023 - 1 B． 2 2024 - 1
2022 2023
C 1 1 ． 2 ÷
-1 D． ÷ -1
è è 2
【答案】A
2 2
【解析】 f x = 2x-1 x x - x - 2 x + 2， n+1 = xn - n n = n2x 1 2x 1 ，n - n -
x2n + 2 - 2 2
xn+1 - 2 2xn -1 x - 2 = = n ln
xn+1 - 2 = 2ln xn - 2
x +1 x2 + 2 x +1 ÷ ，則兩邊取對數可得n+1 n 1 è n xn+1 +1 x +1
.
+ n
2xn -1
即 an+1 = 2an，所以數列 an 是以1為首項，2為公比的等比數列.
1 1- 22023
所以 S2023 = = 2
2023 -1.
1- 2
故選：A
【變式 9-3】英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點時，給出的“牛頓數列”在航空航天中應用
f x
廣泛，若數列 xn
n 2
滿足 xn+1 = xn - f x ，則稱數列 xn 為牛頓數列．如果函數 f x = 2x -8，數列 xn n
為牛頓數列，設 an = ln
xn + 2
x - 2 ，且
a1 = 1， xn > 2．數列 an 的前n項和為 Sn ，則 S n = ．
n
【答案】 2 n - 1 / -1 + 2 n
【解析】∵ f x = 2x2 -8，∴ f x = 4x，
f x 2x 2n n -8 x 2n +4
又∵ xn+1 = xn - = x - =f x nn 4xn 2x
，
n
xn + 2
2 x - 2 2∴ x n n+1 + 2 = ， xn+1 - 2 = ，2xn 2xn
2
x
∴ n+1 -
2 xn + 2 =
x ÷
，
n+1 - 2 è xn - 2
又 xn > 2
2
x
∴ ln n+1
+ 2 xn + 2 xn + 2
x - 2 ÷
= ln = 2ln ，
è n+1 è x
÷ ÷
n - 2 è xn - 2
又 an = ln
xn + 2 a
x - 2 ，且 1
= 1，
n
所以 an+1 = 2an，
∴數列 an 是首項為1，公比為2的等比數列，
n
∴ a 的前n項和為 S 1 1- 2 ，則 S = = 2nn n n -1.1- 2
故答案為： 2 n - 1 .
【變式 9-4】令函數 f (x) = x2 + x -1，對拋物線 y = f (x) ，持續實施下面牛頓切線法的步驟：在點 (1,1) 處
作拋物線的切線，交 x 軸于 x1,0 ；在點 x1, f x1 處作拋物線的切線，交 x 軸于 x2,0 ；在點 x2 , f x2
處作拋物線的切線，交 x 軸于 xn ,0 ；……由此能得到一個數列 xn 隨著 n 的不斷增大， xn會越來越接近
函數 f x 的一個零在點 x0 ，因此我們可以用這種方法求 f x 零點 x0 的近似值.①設 xn+1 = g xn ，則
g xn = ；②用二分法求方程 x2 + x -1= 0在區間(0,1)上的近似解，根據前 4 步結果比較，可以得到
牛頓切線法的求解速度 （快于 等于 慢于）二分法.
x 2 + 1
【答案】 n 2x 1 快于n +
【解析】 f (x) = x2 + x -1， f (x) = 2x +1， f (xn ) = 2xn +1，
所以切線方程為 y - (x 2n + xn - 1) = (2 xn + 1)(x - xn ) ，
x x
2 +1 x2
令 y = 0 ，得 = n ，所以 xn+1 = g(x )
+1
n =
n
2xn +1 2x
，
n +1
x 0 +1 1 f (1二分法計算： 1 = = ， )
1
= - < 0， f (1) =1> 0；
2 2 2 4
1 1 3 5 1 3+ +
x = 2 3= ， f ( ) = > 0；4 16 x 2 4
5
2 3 = = = 0.625
，
2 4 2 8
f (5) 1
1 5
= > 0 +， x 2 8 9= = = 0.5625， x4 - x3 = 0.06258 64 4 2 16
用切線逼近法：
4 13 2
1+1 2 x ' g 2
+1
9 13
+1
x = g(1) = = ， = 13 ÷ = = ， x ' = g = è 21
÷

1 ，2 +1 3 2 è 3 4 3 ÷
0.6180
+1 21 è 21 26
3 +121
x ' 0.618
2 +1
= 0.61803， x 4 - x 3 < 0.00014 <0.0625，2 0.618+1
因此牛頓切線法的求解速度快于二分法．
x 2n + 1故答案為： 2x 1 ；快于．n +
題型十：切線平行、垂直、重合問題
【典例 10-1】（2024·高三·廣東深圳·期末）已知曲線 E : y = e x 與 y 軸交于點 A ，設 E 經過原點的切線為 l ，
設 E 上一點 B 橫坐標為m(m 0)，若直線 AB / /l ，則m所在的區間為（ ）
3 3
A． -1 < m < 0 B． 0 < m < 1 C．1< m < D． < m< 2
2 2
【答案】D
【解析】由 y = e x ，求導得 y = e x ，設直線 l 與曲線 E 相切的切點坐標為 (x0 ,ex0 )，則直線 l 的斜率為ex0 ，
直線 l 的方程為 y - ex0 = ex0 (x - x ) l (0,0) 0 - e x0 = e x0 ，由直線 過原點 ，即 0 (0 - x0 ) ，解得 x0 =1，
依題意，直線 AB 的斜率為 ex0 = e，而點 A(0,1)，則直線 AB 的方程為 y = ex +1，
ì y = ex +1
由 í x 消去 y 得 ex - ex -1 = 0，顯然my e 是方程= e
x - ex -1 = 0的不為零的根，

令 g (x) = e x - ex -1，求導得 g (x) = e x - e ，當 x < 1時， g (x) < 0，當 x > 1時， g (x) > 0，
于是函數 g(x)在 (- ,1)上單調遞減，在 (1,+ )上單調遞增， g (x)min = g (1) = -1 < 0，
顯然 g(0) = 0，即 g(x)在 (- ,1)上有唯一零點 0，而 g (2) = e2 - 2e -1 > 0 ，
3
則 g(x) 3 3 3在 (1,+ )上有唯一零點，即1 < m < 2 ，又 g ÷ = e2 - e -1 = e

e -

÷ -1 < 0.2e -1 < 0，
è 2 2 è 2
所以m 3所在的區間為 < m< 2 .
2
故選：D
【典例 10-2】（2024·高三·廣西·開學考試）曲線 f (x) = ln x + 2x +3在 A 點處的切線與直線 x + 3y - 2 = 0垂直，
則切線方程為（ ）
A． x + 3y + 2 = 0 B．3x - y -1= 0
C． x - 3y + 2 = 0 D．3x - y + 2 = 0
【答案】D
【解析】由 f (x) = ln x + 2x +3，得 f x 1= + 2， x > 0 ，
x
設 A(t, ln t + 2t + 3) 1， t > 0 ，則 f t = + 2 ，
t
1
由題意可得，直線 x + 3y - 2 = 0的斜率為- ，所以曲線 f x 在過點A 處的切線的斜率為 3，
3
所以 f t 1= + 2 = 3，解得 t = 1，
t
則可得切點 A(1,5)，所以切線方程為 y -5 = 3(x -1)，即3x - y + 2 = 0 .
故選：D．
【方法技巧】
利用導數的幾何意義進行轉化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為-1.
【變式 10-1】（2024· 2全國·模擬預測）已知函數 f x = x + a + lnx 的圖象上存在不同的兩點 A, B ，使得曲
線 y = f x 在點 A, B 處的切線都與直線 x + 2y = 0垂直，則實數 a 的取值范圍是（ ）
A． - ,1- 2 B． 1- 2,0 C． - ,1+ 2 D． 0,1+ 2
【答案】A
【解題思路】根據題意知 f (x) = 2有兩個不相等的正實數根，結合一元二次方程根的分布即可求得參數的
范圍.
1
【解析】由題意知 f (x) = 2x + 2a + ，因為切線與直線 x + 2y = 0垂直，
x
所以曲線 y = f x 在點 A, B 處的切線斜率都是2，
即關于 x 的方程 f x = 2x + 2a 1+ = 2有兩個不相等的正實數根，
x
2 1
化簡得， x - 1- a x + = 0有兩個不相等的正實數根，
2
ì 1- a > 0

則 í 2 1 ，解得 . Δ = 1- a - 4 > 0
a <1- 2
2
故選：A.
【變式 10-2】（2024·河北邢臺·二模）已知函數 f x = x2 +2ln x的圖像在 A x1, f x1 ，B x2, f x2 兩個
不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（ ）
x 10 10A． 1 + x2 = 2 B． x1 + x2 = C． x1x2 = 2 D． x1x2 =3 3
【答案】B
【解題思路】函數在兩點處的切線平行，轉化為函數在兩點處的導數相等，得到 x1, x2 的關系，在結合不等
式求 x1 + x2 的取值范圍即可.
2
【解析】因為 f x = x +2ln x， x > 0 .
所以 f x = 2x 2+ ， x > 0 .
x
由因為 f x 在 A x1, f x1 ，B x2 , f x2 兩個不同點處的切線相互平行，
所以 f x1
2 2
= f x2 2x1 + = 2x2 + ，又 x1 x2 ，所以 x1x2 = 1x x ，故 CD 錯誤；1 2
因為 x1 > 0, x2 > 0 且 x1 x2 ，所以 x1 + x2 > 2 x1x2 = 2，故 A 不成立；
x 1 , x 3 10當 1 = 2 = 時， x1 + x2 = .故 B 成立.3 3
故選：B
【變式 10-3】已知函數 f x = ea × x+ ln x+a a R ，過坐標原點 O 作曲線 y = f x 的切線 l，切點為 A，
過 A 且與 l 垂直的直線 l1交 x 軸于點 B，則 OAB 面積的取值范圍是（ ）
2
A． e+1,+ B． 2e,+ C 2． é e ,+ D． é e +1 , +
【答案】D
【解題思路】先設出切點 x0, f x0 ，求出 f x0 ，根據點斜式寫出切線 l 方程，根據切線 l 過原點求出切
點坐標和直線 l 的斜率；再根據已知條件求出直線 l1的方程，進一步求出點 B 坐標；最后根據三角形面積
公式表示出 OAB 面積，利用基本不等式求解即可.
【解析】因為 f x = ea × x+ ln x+a，
所以 f x = ea 1+ .
x
設切點A 為 x0, f x0 ，
f x = ea 1則 0 + ， f x0 = ea × xx 0 + ln x0 +a .0
a 1
所以切線 l 方程為 y = e + ÷ x - x + ea × x + ln xx 0 0 0 + a .è 0
因為切線 l 過坐標原點 O，
所以將 0,0 代入切線方程，整理得 ln x0 + a -1 = 0 x = e1- a，解得： 0 .
所以 f x a 1-a 1-a0 = e ×e + lne +a = e+1-a+a = e+1，
1-a 1則點 A e ,e +1 k a， l = e + = ea 1+ a a-1x e1-a = e + e .0
因為直線 l1過 A 且與直線 l 垂直，
k 1所以 l = -1 ea + ea-1
，
l y 1則直線 1的方程為 = - 1-aa a-1 x - e + e +1.e + e
令 y = 0 ，解得 x = e +1 ea 1 e+ ea-1 + e1-a = a e + 2 + ÷e + a ，è e e
e 2 1 所以點 B 坐標為 + + ÷e
a e + ，0 .
èè e ea
÷

S 1 1 é 1 a e ù所以 OAB = yA OB = e +1 e + 2 + e +2 2 ê è e ÷ ea ú .
1 a e 1 a e e 2 1 ee e+1因為 + 2 + ÷e + a 2 e + 2 +
a a
e e e ÷
e = 2 e +1 ，當且僅當 + + e =ea è e ÷ ea
，即 e = 時，等號成
è è e
立，
1
所以 S OAB e +1 2 e +1 = e +1
2
.
2
故選：D
ìx2 + x, x < 0

【變式 10-4】已知函數 f (x) = í 1 的圖象上存在不同的兩點A 、 B ，使得曲線 y = f (x) 在這兩
- , x > 0 x
點處的切線重合，則點A 的橫坐標的取值范圍可能是（ ）
A ( 1． - ， 0) B． (
1
-1, - )
2 C (
1
． 2 ，
1) D． (1, 2)
2
【答案】A
【解題思路】方法一：設 A x1, f x1 ，B x2 , f x2 ，不妨設 x1 < x2 ，利用導數的幾何意義判斷出
x1 < 0 < x2 ，寫出函數 f ( x ) 在 A, B 兩點處的切線方程，再根據兩直線重合列式，消去x2，得
1 x4 - 2x 1-1 = 0 f (x) = x4 - 2x -1 f 1 11 1 ，構造函數 ，由 - ÷ = > 0， f (0) = -1 < 0 ，可求出結果.4 4 è 2 64
方法二：易知曲線位于分段的兩個區間，且兩段屬于一凹一凸模型，故可以類比兩圓相離時的內公切線，
兩區間一定屬于同一單調區間，分析函數的單調區間即可得出結果.
【解析】解法一：
當 x < 0 時， f (x) = x 2 + x 的導數為 f (x) = 2x +1；
x > 0 f (x) 1= - f 當 時， 的導數為 (x)
1
= 2 ，x x
設 A x1, f x1 ，B x2 , f x2 為該函數圖象上的兩點，且 x1 < x2 ，

當 x1 < x2 < 0，或0 < x1 < x2 時， f (x1 ) f (x2 )，故 x1 < 0 < x2 ，
x < 0 f ( x ) A x , f x y - (x 2當 1 時，函數 在點 1 1 處的切線方程為 1 + x1 ) = (2 x1 + 1)(x - x1 ) ；當 x2 > 0時，函數
f ( x ) 在點B x2 , f x 1 12 處的切線方程為 y + =x x 2 (x - x2 ) ．2 2
1 2 2
兩直線重合的充要條件是 2 = 2xx 1
+1 ①，- = -xx 1 ②，2 2
1
由 x1 < 0 < x
1
2 得0 < <1x ，由①②
x4可得 1 - 2x1 -1 = 0，
2 4
1 1 1
設 f (x)
1
= x4 - 2x -1 ，由 f -

4 ÷
= > 0， f (0) = -1 < 0 ，可得 x - ,0 ，A 可能；
è 2 64 1 ÷è 2
f ( 1) 5由 - = > 0，B 不正確；
4
2 1
由①可得 x2 > 1 ②
2
，由 可得 = x < x > 8x 1 4 ，即有 2 ，則 C，D 不正確．2
解法二：
如圖，易知曲線位于分段的兩個區間，且兩段屬于一凹一凸模型，故可以類比兩圓相離時的內公切線，兩
1
區間一定屬于同一單調區間， x > 0 時， f x = - 2屬于單調增區間，故當 x < 0 時， f x = x + x的單調
x
1
增區間為 - ,0÷，根據圖像，A 可以位于此區間，另一個點 B 所在區間 + ，不好把握.
è 2
故選：A．
題型十一：奇偶函數圖像的切線斜率問題
【典例 11-1 3】已知函數 f x = asin3x +bx +4 a R,b R ， f x 為 f x 的導函數，則
f 2016 + f -2016 + f 2015 - f -2015 = .
【答案】8
【解析】設 g (x) = f (x) - 4 = a sin 3x + bx3 ，顯然 g(x)為奇函數，
又 f (x) = 3a cos 3x + 3bx2 為偶函數，
所以 f (2016) + f (-2016) + f (2015) - f (-2015) = g(2016) + 4+ g(-2016) + 4+ f (2015) - f (2015) = 8 .
故答案為：8
【典例 11-2】（2024·海南海口·二模）已知函數 f x 的定義域為R ， f x +1 1是偶函數，當 x < 時，
2
f x = ln 1-2x ，則曲線 y = f x 在點 2, f 2 處的切線斜率為（ ）
2 2
A． B． - C．2 D．-2
5 5
【答案】C
【解析】因為 f x +1 是偶函數，所以函數 f x 的圖象關于 x = 1對稱，則 f 2- x =f x ，
x 3 1當 > 時，\2 - x < ，
2 2
\ f 2 - x = ln é 1- 2 2 - x ù = ln 2x - 3 ，
\ f x = ln 2x-3 ，則 f x 2= ，
2x - 3
\ f 2 = 2，即曲線 y = f x 在點 2, f 2 處切線的斜率為 2.
故選：C.
【方法技巧】
奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數.
【變式 11-1】（2024·北京·模擬預測）記函數 f x = sin wx +j w > 0,0 為 f x T π 的導函數．若 f ÷ = 0， y = f x + ÷ 為偶函數，則w的最小值為（8 8 ）．è è
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由 f (x) =wcos(wx +j) T 2π T π π且 = ，則 f ( ) = f ( ) = w cos( +j) = 0 ，
w 8 4w 4
π π 5π π π π
又04 4 4 4 2 4
y = f π 由 x + ÷ 為偶函數，即 f (x
π
+ ) = sin(wx wπ π+ + ) 為偶函數，
è 8 8 8 4
wπ π π
所以 + = + kπ且 k Z ，則w = 2 + 8k > 0， k Z ，
8 4 2
當 k = 0 時w的最小值為 2.
故選：B
【變式 11-2】（2024· 3 2全國·模擬預測）已知函數 f x = x + a-1 x - x+b是定義在 m，2+m 上的奇函數，
f x 為 f x 的導函數，則 f a+b+m =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因為奇函數的定義域關于原點對稱，所以m+ 2+ m = 0，得m = -1．
由 f x 為奇函數可得 f 0 = 0，得b = 0，
又 f -x = - f x ，所以 a = 1，
所以 f x = x3 - x， f x =3x2 -1，
故 f a+b+m = f 0 = -1，
故選：A.
x
【變式 11-3】（2024·全國·模擬預測）已知 f x 為奇函數，且當 x < 0 時， f x = x ，其中 e 為自然對數e
的底數，則曲線 f x 在點 1, f 1 處的切線方程為 ．
【答案】 2ex - y - e = 0
x 0, f x -x【解析】由題設，當 x > 0 時，- < - = - x = - f x ，故 x > 0 時， f x = xex，e
所以 f x = x+1 ex, f 1 = 2e，而 f 1 = e，
故切線方程為 y -e = 2e(x -1)，即 2ex - y - e = 0 ．
故答案為： 2ex - y - e = 0
題型十二：切線斜率的取值范圍問題
f (x) 1【典例 12-1】過函數 = e2 x - x 圖像上一個動點作函數的切線，則切線傾斜角范圍為（
2 ）
é 3p é p 3p
A． ê0, ÷ B． ê0, 4 2 ÷
,p ÷
è 4
3p ,p p , 3p C． D．4 ÷ ÷è è 2 4
【答案】B
1 2 x
【解析】由題意，函數 f (x) = e - x ，可得 f (x) = e2x -1，
2
因為e2x > 0，所以e2x -1> -1，即切線的斜率 k > -1，
設切線的傾斜角為q ，則 tan q > -1
p 3p
又因為0 q < p ，所以0 q < 或 < q < p ，
2 4
é0, p U 3p 即切線的傾斜角的范圍為 ê 2 ÷
,p ÷ .
è 4
故選：B.
【典例 12-2】（2024·廣東深圳·一模）已知函數 f x = a x - x1 x - x2 x - x3 (a > 0)，設曲線 y = f x 在
點 x i , f x i 處切線的斜率為ki i =1,2,3 ，若 x1, x2 , x3均不相等，且 k2 = -2 ，則 k1 + 4k3 的最小值為 ．
【答案】18
【解析】由于 f x = a x - x1 x - x2 x - x3 (a > 0)，
故 f x = a é x - x1 x - x2 + x - x2 x - x3 + x - x3 x - x1 ù，
故 k1 = a x1 - x2 x1 - x3 ,k2 = a x2 - x3 x2 - x1 ， k3 = a x3 - x1 x3 - x2 ，
1 1 1 1 1 1
則 + + = + +k1 k2 k3 a x1 - x2 x1 - x3 a x2 - x3 x2 - x1 a x3 - x1 x3 - x2
x3 - x2 + x1 - x + x - x = 3 2 1 = 0
a x1 - x2 x
，
2 - x3 x3 - x1
1 1 1
由 k2 = -2 ，得 + =k k 2 ，1 3
由 k2 = -2 ，即 k2 = a x2 - x3 x2 - x1 < 0，知x2位于 x1 , x3之間，
不妨設 x1 < x2 < x3，則 k1 > 0, k3 > 0 ，
1 1 k 4k 2 k 4k 2 5 k1 4k
k 4k
故 1 + 3 = 1 + 3 + ÷ = + +
3 ÷ 2 1 3
è k k è k k
5 + 2 × ÷÷ =18，
1 3 3 1 è k3 k1
ì k1 4k= 3
k3 k1
當且僅當 í ，即 k1 = 6, k3 = 3時等號成立，
1 1 1+ =
k1 k3 2
故則 k1 + 4k3 的最小值為 18，
故答案為：18
【方法技巧】
利用導數的幾何意義，求出導函數的值域，從而求出切線斜率的取值范圍問題.
b
【變式 12-1】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知直線 y = kx + b 恒在曲線 y = ln x+2 的上方，則 的取值范圍
k
是（ ）
A． 1,+ 3B． ,+ ÷ C． 0,+
4
D． ,+

è 4 è 5 ÷
【答案】A
【解析】設直線 y = kx + t 與曲線切于點 x0,ln x0 +2 ，
1
則 y = ，
x + 2
1
所以切線方程為 y = x + ln x0 + 2
x
- 0
x0 + 2 x0 + 2
，
1
所以 k = > 0 t = ln x
x
+ 2 - 0
x0 + 2
， 0 x0 + 2
，
b t
所以 > = x0 + 2 ln x0 + 2 - x0 + 2 + 2，k k
設 g x = xln x- x+2， g x = ln x，
當0 < x < 1時， g x < 0，當 x > 1時， g x > 0，
即 g x 在 (0,1)上單調遞減，在 (1,+ )上單調遞增，
所以 g x g 1 =1 b，所以 > 1 .
k
故選：A.
2
【變式 12-2】點 P 在曲線 y = x3 - x + 上移動，設點 P 處切線的傾斜角為a ，則角a 的范圍是（ ）
3
A．[0,
p ] pB． ( ,
3p ] [3pC． ,p )
p 3p
D．[0, ) [ ,p )
2 2 4 4 2 4
【答案】D
【解析】由 y = f (x) = x3
2
- x + ，
3
則 f ' (x) = 3x2 -1 -1，
則 tan a -1，
又a 0,p ，
所以a [0,
p ) [3p ,p )，
2 4
故選：D.
1．（2024 6年高考全國甲卷數學（文）真題）曲線 f x = x + 3x -1在 0, -1 處的切線與坐標軸圍成的面積
為（ ）
1
A． B 3 1 3． C． 2 D． -6 2 2
【答案】A
5
【解析】 f x = 6x + 3，所以 f 0 = 3，故切線方程為 y = 3(x - 0) -1 = 3x -1，
1 1 1 1
故切線的橫截距為 ，縱截距為 -1，故切線與坐標軸圍成的面積為 1 =
3 2 3 6
故選：A.
x
2 2024 e + 2sin x．（ 年高考全國甲卷數學（理）真題）設函數 f x = ，則曲線 y = f x 在 0,1 處的切線與
1+ x2
兩坐標軸圍成的三角形的面積為（ ）
1 1
A． B 1
2
． C． D．
6 3 2 3
【答案】A
ex + 2cos x 1+ x2 - ex + 2sin x ×2x
【解析】 f x = 2 ，1+ x2
e0 + 2cos 0 1+ 0 - e0 + 2sin 0 0
則 f 0 = 2 = 3， 1+ 0
即該切線方程為 y -1 = 3x ，即 y = 3x +1，
令 x = 0，則 y =1，令 y = 0
1
，則 x = - ，
3
1 1 1
故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積 S = 1 - = .
2 3 6
故選：A.
x e
3．（2023 年高考全國甲卷數學（文）真題）曲線 y e= 在點 1, ÷處的切線方程為（ ）x +1 è 2
y e x e e e e 3eA． = B． y = x C． y = x + D． y = x +
4 2 4 4 2 4
【答案】C
ex 1, e y e【解析】設曲線 y = 在點 ÷處的切線方程為 - = k x -1 ，x +1 è 2 2
x
因為 y e= ，
x +1
ex x +1 - ex x
所以 y
xe
= =
x +1 2 ，x +1 2
e
所以 k = y |x=1= 4
y e e所以 - = x -1
2 4
ex e e e
所以曲線 y = 在點 1,
x 1 2 ÷
處的切線方程為 y = x + .
+ è 4 4
故選：C
4．（多選題）（2022 年新高考全國 I 卷數學真題）已知函數 f (x) = x3 - x +1，則（ ）
A． f ( x ) 有兩個極值點 B． f ( x ) 有三個零點
C．點(0,1)是曲線 y = f (x) 的對稱中心 D．直線 y = 2x是曲線 y = f (x) 的切線
【答案】AC
2 3 3
【解析】由題， f x =3x -1，令 f x > 0得 x > 或 x < - ，3 3
令 f (x) < 0 3 3得- < x < ，
3 3
f ( x ) ( , 3 3所以 在 - - )， ( ,+ ) 3 3上單調遞增， (- , ) x 3上單調遞減，所以 = ± 是極值點，故 A 正
3 3 3 3 3
確；
因 f ( 3 2 3 3 2 3- ) = 1+ > 0 ， f ( ) = 1- > 0， f -2 = -5< 0，
3 9 3 9
所以，函數 f x 3 在 - , - 3 ÷÷ 上有一個零點，è
x 3

當 時， f x
3 3
f ÷ > 0 ，即函數 f x 在 , + ÷上無零點，
3 ÷ ÷è 3 è 3

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