資源簡介

第 01 講 平面向量的概念及線性運(yùn)算
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航..........................................................................................................................2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點(diǎn) 1：向量的有關(guān)概念 .................................................................................................................4
知識點(diǎn) 2：向量的線性運(yùn)算 .................................................................................................................4
知識點(diǎn) 3：平面向量基本定理和性質(zhì) .................................................................................................5
知識點(diǎn) 4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算 .....................................................................................7
解題方法總結(jié) ........................................................................................................................................7
題型一：平面向量的基本概念 ............................................................................................................8
題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問題 ....................................................................................9
題型三：共線定理及其應(yīng)用 ..............................................................................................................10
題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用 ......................................................................12
題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 ..................................................................................................15
題型六：向量共線的坐標(biāo)表示 ..........................................................................................................16
04 真題練習(xí)·命題洞見........................................................................................................................16
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................17
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................19
易錯點(diǎn)：忽視平面向量基本定理的使用條件 ..................................................................................19
答題模板：用基底表示向量 ..............................................................................................................19
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
（1）向量的有關(guān)概念
2024 年 I 卷第 3 題，5 分
（2）向量的線性運(yùn)算和
2024 年甲卷（理）第 9 題，5 分 通過對近 5 年高考試題分析可知，高考在
向量共線定理
2023 年北京卷第 3 題，5 分 本節(jié)以考查基礎(chǔ)題為主，考查形式也較穩(wěn)定，
（3）平面向量基本定理
2022 年 I 卷第 3 題，5 分 考查內(nèi)容一般為平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)
和性質(zhì)
2021 年乙卷（文）第 13 題，5 分 算，預(yù)計(jì)后面幾年的高考也不會有大的變化．
（4）平面向量的坐標(biāo)表
2022 年乙卷（文）第 3 題，5 分
示及坐標(biāo)運(yùn)算
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．
（2）掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．
（3）了解平面向量基本定理及其意義
（4）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算
知識點(diǎn) 1：向量的有關(guān)概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．
uuur uuur uuur
（2）向量的模：向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的長度，記作 | AB |．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：長度為 0 的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長度等于 1 個單位的向量．
r
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定： 0 與任一向量平行．
④相等向量：長度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．
【診斷自測】下列命題中，正確的是（ ）
r r r r r r r r
A．若 a = b ，則a = b B．若 a > b ，則 a > b
r r r r r r r r r r
C．若a = b，則 a / /b D．若 a //b,b // c ，則 a / /c
知識點(diǎn) 2：向量的線性運(yùn)算
（1）向量的線性運(yùn)算
運(yùn)算 定義 法則（或幾何意義） 運(yùn)算律
①交換律
a+b
a+b r r r r
求兩個向量和的 b b a + b = b + a
加法
運(yùn)算 a a ②結(jié)合律
r r r r
三角形法則平行四邊形法則 (a + b) + c = a
r
+ (b r+ c)
r r
求 a 與b 的相反 a-b
r b
向量 -b 的和的 r r r r
減法 r r a - b = a + (-b)
運(yùn)算叫做 a 與b a
的差 三角形法則
1 | lar | | l || ar（ ） = |
r r l(ma
r) = (lm)ar
求實(shí)數(shù)l 與向量 （2）當(dāng) l > 0 時， la 與 a 的方向相同；當(dāng)
(l m)ar lar r數(shù)乘 r r r + = + maa 的積的運(yùn)算 l < 0 時，la 與 a 的方向相同； r r
r l(a
r
+ b) r= la + lb
當(dāng)l = 0 時，la = 0
【注意】
r
（1）向量表達(dá)式中的零向量寫成 0 ，而不能寫成 0．
（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或
重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．
（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時兩個向量的起點(diǎn)必須
重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時兩個向量必須首
尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA - OB = BA ， AM - AN = NM ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA = OB+CA OA - OB = CA BA - CA = BA + AC = BC ．
uuur uuur uuuur
【診斷自測】MP + PQ - MN =（ ）
uuur uuur uuuur uuur
A．QN B． NQ C．PM D．MP
知識點(diǎn) 3：平面向量基本定理和性質(zhì)
1、共線向量基本定理
r r r r r r
如果 ar = lb(l R) ar / /b ar r，則 ；反之，如果 / /b 且 b 0 ，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)l ，使 a = lb ．（口
訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．
2、平面向量基本定理
ur uur
e e r如果 1 和 2 是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量 a ，都存在唯一的一對
r ur uur ur uur
實(shí)數(shù) l1,l2 ，使得 a = l1e1 + l2 e2 ，我們把不共線向量 e1 ， e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記
ur uur ur uur r ur uur為 e1,e2 ，l1e1 + l2 e2 叫做向量 a 關(guān)于基底 e1,e2 的分解式．
ur uur r
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量 e1 與 e2 不共線，平面內(nèi)的任一向量 a 都可以分解成形如
r ur uur ur uur ur uura = l1e1 + l2 e2 的形式，并且這樣的分解是唯一的． l1e1 + l2 e2 叫做 e1 ， e2 的一個線性組合．平面向量基本
定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．
r ur uur ur uur
推論 1：若 a = l1e1 + l2 e2 = l3 e1 + l4 e2 ，則l1 = l3 ,l2 = l4 ．
ur uur r
推論 2 r：若 a = l1e1 + l2 e2 = 0 ，則l1 = l2 = 0 ．
3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式
uuur uuur
如 圖 所 示 ， 在 △ABC 中 ， 若 點(diǎn) D 是 邊 BC 上 的 點(diǎn) ， 且 BD = lDC （ l -1）， 則 向 量
uuur uuur uuur
AD AB + l AC= ．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神
1+ l
奇”之功效，建議熟練掌握．
A
B D C
4、三點(diǎn)共線定理
uuur uuur uuur
平面內(nèi)三點(diǎn) A，B，C 共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù) l, m ，使OC = lOA + mOB，其中 l + m = 1，O為
平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．
A、B、C 三點(diǎn)共線
uuur uuur
存在唯一的實(shí)數(shù)l ，使得 AC = l AB ；
uuur uuur uuur
存在唯一的實(shí)數(shù)l ，使得OC = OA + l AB ；
uuur uuur uuur
存在唯一的實(shí)數(shù)l ，使得OC = (1- l)OA + lOB ；
uuur uuur uuur
存在l + m = 1，使得OC = lOA + mOB．
5、中線向量定理
uuur 1 uuur uuur
如圖所示，在△ABC 中，若點(diǎn) D 是邊 BC 的中點(diǎn)，則中線向量 AD = (AB + AC)，反之亦正確．
2
A
B D C
uuur uuur uuur
【診斷自測】在 VABC 中，已知 D 是 BC 邊上靠近點(diǎn) B 的三等分點(diǎn)，E 是 AC 的中點(diǎn)，且 DE = l AB + m AC ，
則l + m = （ ）
1
A - B C 1． ． -1 ． D．1
2 2
知識點(diǎn) 4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算
（1）平面向量的坐標(biāo)表示．
r r
在平面直角坐標(biāo)中，分別取與 x 軸， y 軸正半軸方向相同的兩個單位向量 i , j 作為基底，那么由平面
ar r
r r
向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量 ，有且只有一對實(shí)數(shù) x, y 使 a = xi + yj ，我們把有序?qū)崝?shù)對
(x, y)叫做向量 ar 的坐標(biāo)，記作 ar = (x, y) ．
（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有
uuur
一一對
向量 (x, y)
應(yīng)
向量OA
一

一對 應(yīng) 點(diǎn) A(x, y)．
r r r r r
（3）設(shè) a = (x1, y1)， b = (x2 , y
r
2 ) ，則 a + b = (x1 + x2 , y1 + y2 )， a - b = (x1 - x2 , y1 - y2 )，即兩個向量的和
與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．
r r
若 a = (x, y) ， l 為實(shí)數(shù)，則 la = (lx,l y)，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相
應(yīng)坐標(biāo)．
uuur uuur uuur
（4）設(shè) A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )，則 AB = OB - OA = (x1 - x2 , y1 - y2 )，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量的有
向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．
（5）平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
uuur uuur
①已知點(diǎn) A(x1 ，y1)， B(x2 ，y2 ) ，則 AB = (x2 - x1 ，y2 - y1) ， | AB |= (x - x )
2 + (y - y )22 1 2 1
r r r r② r已知 a = (x1, y1)，b = (x2 , y2 ) ，則 a ± b = (x1 ± x2 ，y1 ± y2 ) ，la = (lx1,l y1)，
r
ar b= x x y y | ar× 1 2 + 1 2 ， |= x
2
1 + y
2
1 ．
r r ra∥b x1 y2 - x y
r
2 1 = 0 ， a ^ b x1x2 + y1 y2 = 0
【診斷自測】已知點(diǎn) A(2,3), B(1,4)
uuur uuur
，且 AP = -2PB ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 ．
解題方法總結(jié)
（1）向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱
為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點(diǎn)指向最后一個向量終點(diǎn)的向
量．
uuuur uuuuur uuuuuur uuuur
即 A1A2 + A2 A3 +L + An-1An = A1An ．
r r r r r
（2） || ar | - | b || | ar b | | ar± | + | b | r，當(dāng)且僅當(dāng) a,b 至少有一個為 0 時，向量不等式的等號成立．
r r r r r r r
（3）特別地： || a | - | b || | ar ± b | | ar r± b | | a | + | b | ar或 當(dāng)且僅當(dāng) ,b 至少有一個為 0 時或者兩向量共線時，
向量不等式的等號成立．
uuur uuur uuur
（4）減法公式： AB - AC = CB ，常用于向量式的化簡．
uuur uuur uuur
（5） A、 P 、 B 三點(diǎn)共線 OP = (1- t)OA + tOB (t R)，這是直線的向量式方程．
題型一：平面向量的基本概念
【典例 1-1】（2024·高三·福建廈門·開學(xué)考試）下列命題不正確的是（ ）
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于 0
r r
r r a b r r r
C．若 a ，b 都為非零向量，則使 r + r = 0a b 成立的條件是 a 與b 反向共線
r r r r r r
D．若a = b，b = c，則 a = c
【典例 1-2】給出下列命題：①兩個具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，
r r r r r
但它們的模能比較大小；③若la = 0 (λ 為實(shí)數(shù))，則 λ 必為零；④已知 λ，μ 為實(shí)數(shù)，若la = mb ，則 a 與
r
b 共線.其中錯誤命題的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
準(zhǔn)確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵．共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳
遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關(guān)，兩個向量方向相同且長度相等，就是相
等向量．共線向量或相等向量均與向量起點(diǎn)無關(guān)．
【變式 1-1】下列說法中，正確的是（ ）
r r r r
A．若 | a |>| b |，則 a > b
r r r r
B．若 | a |=| b |，則a = b
r r r r
C．若a = b，則 a//b
r r r r
D．若 a b，則 a 與b 不是共線向量
r
【變式 1-2】設(shè) a 是非零向量，λ 是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
r r r r
A． a 與la 的方向相反 B． a 與l 2 a 的方向相同
r r r r
C． -la a D． -la l a
題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問題
uuur uuur uuur
【典例 2-1】若 AB = 7，AC = 4 ，則 BC 的取值范圍是（ ）
A．[3，7] B． 3，7 C． 3，11 D． (3，11)
uuur uuur uuur
【典例 2-2】在平行四邊形 ABCD中， E 為BD的中點(diǎn)，F(xiàn) 為BC 上一點(diǎn)，則 AB + AD - 2AF = （ ）
uuur uuur uuur uuur
A． 2FE B． 2EF C．FE D． 2CF
【方法技巧】
（1）兩向量共線問題用向量的加法和減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標(biāo)向量即可，而此類問題又以“爪
子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題．
（2）進(jìn)行向量運(yùn)算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或
首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似
三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．
uuur r uuur r uuur 1 uuur uuur
【變式 2-1】如圖，在平行四邊形 ABCD中， AB = a, AD = b，點(diǎn) E 滿足 EC = AC ，則DE =（ ）．
3
2 r rar 1 b 2 ar 1 b 1 ar 2
r r
A． - B． + C． - b
1 ar 2D． + b
3 3 3 3 3 3 3 3
【變式 2-2】（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）如圖所示，平行四邊形 ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，E 為 AO 的

中點(diǎn)，若DE = l AB+ m AD l, m R ，則l + m 等于（ ）．
A 1 B -1 C 1
1
． ． ． 2 D．- 2
uuur uuur uuur
【變式 2-3】已知矩形 ABCD的對角線交于點(diǎn) O，E 為 AO 的中點(diǎn)，若DE = l AB + m AD（l ，m 為實(shí)數(shù)），
則l 2 - m 2 =（ ）
1 7
A - B 3 - 2 2 1+ 2． ． C． D．
2 9 2 2
【變式 2-4】（2024·高三·安徽·開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角
uuur uuur uuur
形來構(gòu)造無理數(shù). 已知 AB = BC = CD =1, AB ^ BC, AC ^ CD, AC 與BD交于點(diǎn)O ，若 DO = lAB + mAC ，則
l + m = （ ）
A． 2 -1 B．1- 2 C． 2 +1 D．- 2 - 1
題型三：共線定理及其應(yīng)用
r r uuur r r uuur r r uuur r r
【典例 3-1】已知平面向量 a ，b 不共線， AB = 4a + 6b ， BC = -a + 3b，CD = a + 3b ，則（ ）
A．A ， B ，D三點(diǎn)共線 B．A ， B ，C 三點(diǎn)共線
C． B ，C ，D三點(diǎn)共線 D．A ，C ，D三點(diǎn)共線
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur
【典例 3-2】如圖，在VABC 中， AC = 3AN , P是BN 上的一點(diǎn)，若 AP = m + AB + AC，則實(shí)數(shù)m 的值
è 3 ÷ 9
為（ ）
1
A B 2 C 2
1
． ． 9 ． 3 D．9 3
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
要證明 A，B，C 三點(diǎn)共線，只需證明 AB 與 BC 共線，即證 AB = l BC （ l R）．若已知 A，B，C 三
uuur uuur uuur uuur
點(diǎn)共線，則必有 AB 與 BC 共線，從而存在實(shí)數(shù)l ，使得 AB = l BC ．
uuur 2 uuur
【變式 3-1】如圖，VABC 中，點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 滿足 AN = AB ，AM 與 CN 交于點(diǎn) D，
3
uuur uuuur
AD = l AM ，則l =（ ）
A 2
3 4 5
． 3 B． C． D．4 5 6
【變式 3-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)G 是VABC 的重心，點(diǎn)M 是線段 AC 的中點(diǎn)，若
uuuur uuur uuur
GM = l AB + m AC ，則l + m = （ ）
1 1 1 1
A． B． C．- D．-
12 6 6 12
ur uur r ur uur r ur uur r r
【變式 3-3】已知 e1,e2 是兩個不共線的單位向量， a = e1 - e2 ,b = -2e1 + ke2 ，若 a與b 共線，則 k = .
uuur uuur uuur uuur
【變式 3-4】已知VABC 的重心為 G，經(jīng)過點(diǎn) G 的直線交 AB 于 D，交 AC 于 E，若 AD = l AB， AE = m AC ，
1 1
則 + =l m .
【變式 3-5】如圖，點(diǎn) G 為△ABC 的重心，過點(diǎn) G 的直線分別交直線 AB，AC 點(diǎn) D，E 兩點(diǎn)，
uuur uuur uuur uuur 1 1
AB = 3mAD(m > 0)， AC = 3nAE(n > 0)，則m + n＝ ；若 n > m > 0 ，則 + 的最小值為 .
m n - m
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur
【變式 3-6】如圖，在VABC 中， AD = AB, AE = AC,CD 與 BE 交于點(diǎn)P, AB = 2， AC = 3, AP × BC =1，
2 3
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
則 AB × AC 的值為 ；過點(diǎn) P 的直線 l分別交 AB, AC 于點(diǎn) M , N ,設(shè) AM = mAB, AN = nAC (m > 0, n > 0)，
則m + 2n 的最小值為 .
題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用
ur uur
【典例 4-1】（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量 e1 、 e2 ，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向
量的基底的是（ ）
ur uur ur uur ur uur uur ur
A． 2e1 + e2 和 e1 - e2 B． e1 + 3e2 和 e2 + 3e1
ur uur uur ur ur ur uur
C． 3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 D． e1 和 e1 + e2
【典例 4-2】如圖，在△ABC 中，點(diǎn) D，D，E 分別為 BC 和 BA 的三等分點(diǎn)，點(diǎn) D 靠近點(diǎn) B，AD 交 CE 于
uuur r uuur r uuur
點(diǎn) P，設(shè)BC = a ，BA = b ，則BP＝（ ）
1 r 3 r 1 r 4 r r r
A．- a + b B． a + b
1
C． a
r 3 2 r 4
+ b D． a + b
7 7 7 7 7 7 7 7
【方法技巧】
應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或
數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：
（1）運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對待求向量不斷進(jìn)行化簡，直至用基底表示為止．
（2）將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．
uuur uuur uuur
（3）三點(diǎn)共線定理：A，B，P 三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù) l, m ，使OP = lOA + mOB，其中
l + m = 1，O 為 AB 外一點(diǎn)．
AD
【變式 4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上且滿足 = 2，E 為 BC 的中點(diǎn)，直線
DB
uuur
DE 交 AC 的延長線于點(diǎn) F，則BF = （ ）
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A．BA + 2BC B．-BA + 2BC C． 2BA - BC D．-2BA + BC
【變式 4-2】（2024·山西呂梁·三模）已知等邊VABC 的邊長為 1，點(diǎn)D, E 分別為 AB, BC 的中點(diǎn)，若
uuur uuur uuur
DF = 3EF ，則 AF =（ ）
1 uuur 5 uuur 1 uuurAB AC AB 3
uuur
A． + B． + AC
2 6 2 4
1 uuur uuurAB AC 1
uuur 3 uuur
C． + D． AB + AC
2 2 2
uur uuur uuur
【變式 4-3】在VABC 中， AB = 2, AC = 3, BC = 4，I 為VABC 的內(nèi)心，若 AI = l AB + mBC ，則3l + 6m 的值
為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
uuur uuur
【變式 4-4】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）在VABC 中，DC = 2BD, M 為線段 AD 的中點(diǎn)，過M 的直線分別
uuur 2 uuur uuur uuur
與線段 AB AC 交于P Q，且 AP = AB, AQ = l AC ，則l =（ ）
3
1 1
A． B． C 1
2
．
6 3 2
D． 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【變式 4-5】如圖，平面內(nèi)有三個向量OA，OB ，OC ，其中OA,OB =120o ，OA,OC = 30o，且
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA = OB =1， OC = 2 3 ，若OC = mOA + nOB，則m + n = .
【變式 4-6】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）在VABC 中，D是邊BC上一點(diǎn)，且 BD = 2DC, E 是 AC 的中點(diǎn)，記
uuur ur uuur r uuur
AC = m, AD = n，則BE =（ ）
5 r ur 7 r ur 7 ur r 5 ur r
A． n - 3m B． n - 3m C． m - 3n D． m - 3n
3 2 2 2
【變式 4-7】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）在VABC 中，D是BC的中點(diǎn)，直線 l分別與 AB, AD, AC 交于點(diǎn)
uuur 4 uuuur uuur uuur uuur uuurM , E, N ，且 AB = AM ， AE = 2ED, AC = l AN ，則l =（
3 ）
8 5 7 5
A． B． C． D．
5 3 4 2
uuur uuur
【變式 4-8】（2024·河南·模擬預(yù)測）在VABC 中，點(diǎn)E 為 AC 的中點(diǎn)， AF = 2FB ， BE 與CF 交于點(diǎn) P ，且
uuur uuur
滿足BP = lBE ，則l 的值為（ ）
1 3
A． B 1． 2 C
2
． 3 D．3 4
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【變式 4-9】在VABC 中，BE = EC, BF
1
= BA + BC ，點(diǎn) P 為 AE 與 BF 的交點(diǎn)， AP = l AB + m AC ，則2 2
l - m = ．
【變式 4-10】（2024·高三·河南·期中）已知VABC 為等邊三角形，分別以 CA，CB 為邊作正六邊形，如圖
所示，則（ ）
uuur 9 uuur uuur uuur 7 uuur uuur
A．EF = AD + 4GH B．EF = AD + 3GH
2 2
uuur uuur uuur uuur 9 uuur uuur
C．EF = 5AD + 4GH D．EF = AD + 3GH2
題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
uuur uuur uuur
【典例 5-1 】已知 O為 VABC 的外心，若 A(0,0), B(2,0), AC =1, BAC =120o , 且 AO = l AB + m AC ，則
l + m = （ ）
13
A 2． 3 B． 2 C．1 D． 6
1
【典例 5-2】 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， A(6,3) ，若點(diǎn) P 在直線OA上，且 OP = PA ， P 是OB的中點(diǎn)，則點(diǎn) B 的坐
2
標(biāo)為 ．
【方法技巧】
（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，
則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．
（2）解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程（組）來進(jìn)行求解．
uuur uuur
【變式 5-1】已知點(diǎn)O 0,0 ，向量OA = 1,3 ，OB = -3,5 uuur uuur，點(diǎn) P 滿足 AP = 2PB，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ．
【變式 5-2】已知梯形 ABCD 中， AB / /CD, AB = 2CD ，三個頂點(diǎn) A(4,2), B(2,4),C(1,2) .則頂點(diǎn)D的坐
標(biāo) .
【變式 5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn) A 0,0 ，B -4,4 ，D 2,6 ．若 AC 與
BD的交點(diǎn)為M ，則DM 的中點(diǎn)E 的坐標(biāo)為 ,
【變式 5-4】如圖所示，在四邊形 ABCD 中，已知 A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，則直線 AC 與
BD 交點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ．
uuur
【變式 5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，P0 1,0 ，把向量OPi 順時針旋轉(zhuǎn)定角
uuuur
q 得到OQi ，Qi 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)記為Pi+1 ， i = 0,1,L,10，則P11的坐標(biāo)為
題型六：向量共線的坐標(biāo)表示
r r
【典例 6-1】已知 a = 4, -2 r，b = 6, y r，且 a / /b ，則 y = ．
uuur uuur uuur
【典例 6-2】已知向量 AB = 2,3 , BC = 2m,5 ,CD = 3, -1 ，若 A, B, D 三點(diǎn)共線，則m = .
【方法技巧】
r r
r（1）兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若 a = (x1, y1)， b = (x2 , y2 ) ，則 a
r
∥b 的充要條件是
r r r
x1 y2 - x2 y1 = 0 ；②若 a
r
∥b(b 0) r，則 a = lb ．
（2）向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時，
也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解．
r r r r r r
【變式 6-1】已知向量 a = 3,4 ,b = -1,5 ,c = 2,3 ，若 a - c 與 tcr + b 共線，則實(shí)數(shù) t = .
r r r r r
【變式 6-2】已知向量 a = 1,1 ,b = m, -2 ，若 a// a + b ，則m = ．
【變式 6-3】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) A(-1,2)， B(1,1)，C(-3,1)．則 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ；當(dāng)
uuur uuur uuur
實(shí)數(shù)m = 時， (mOC + OB)// AB．
r r r r
1．（2023 r r年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量 a，b 滿足 a + b = (2,3), a
r
- b = (-2,1) | ar，則 |2 - | b |2 =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．1
uuur uuur
2．（2022 年新高考全國 I 卷數(shù)學(xué)真題）在VABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上，BD = 2DA．記CA mr= ，CD = nr，則
uuur
CB =（ ）
A．3mr 2nr- B r．-2m + 3nr C．3mr 2nr+ D． 2mr 3nr+
uuur
3．（2020 年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)試題（海南卷））在VABC 中，D 是 AB 邊上的中點(diǎn)，則CB =（ ）
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A． 2CD + CA B．CD - 2CA C． 2CD - CA D．CD + 2CA
r r r
4．（2024 r年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）已知 k R,a = 2,5 ,b = 6,k ，且 a / /b ，則 k 的值為 ．
r r r r
5．（2021 年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知向量 a = 2,5 ,b = l, 4 ，若 a//b ，則l = ．
uuuv uuuv uuuv
1．（1）如圖（1），在VABC 中，計(jì)算 AB + BC + CA；
uuuv uuuv uuuv uuuv
（2）如圖（2），在四邊形 ABCD 中，計(jì)算 AB + BC + CD + DA；
uuuuv uuuuv uuuuv uuuuuuv uuuuv
（3）如圖（3），在 n 邊形 A1A2 A3L An 中， A1A2 + A2 A3 + A3 A4 +L+ An-1An + An A1 = 證明你的結(jié)論.
2．飛機(jī)從甲地沿北偏西 15°的方向飛行 1400km 到達(dá)乙地，再從乙地沿南偏東 75°的方向飛行 1400km 到達(dá)
丙地，畫出飛機(jī)飛行的位移示意圖，并說明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多遠(yuǎn)？
uuur uuur uuur
3．如圖，在任意四邊形 ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是 AD，BC 中點(diǎn)．求證： AB + DC = 2EF ．
uuuv 1 uuuv
4．在DABC 中， AD = AB, DE / /BC ，且與邊 AC 相交于點(diǎn) E，DABC 的中線 AM 與 DE 相交于點(diǎn) N.設(shè)
4
uuuv v uuuv v v v uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
AB = a, AC = b，用 a，b 分別表示向量 AE, BC, DE, DB, EC, DN , AN .
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
5．已知 O 為四邊形 ABCD 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量OA,OB,OC,OD滿足等式OA + OC = OB + OD .
（1）作出滿足條件的四邊形 ABCD.
（2）四邊形 ABCD 有什么特點(diǎn)？請證明你的猜想.
uuuv uuuv uuuv uuuv
6．如圖，O 是平行四邊形 ABCD 外一點(diǎn)，用OA,OB,OC 表示OD .
易錯點(diǎn)：忽視平面向量基本定理的使用條件
易錯分析： 平面內(nèi)所有向量的一組基底必須是兩個不共線的向量，且不能含有零向量.
ur uur
【易錯題 1】如果 e1,e2 表示平面內(nèi)所有向量的一個基底，那么下列四組向量，不能作為一個基底的是
（ ）
uur ur uur ur uur uur ur
A． e2 ， e1 - 2e2 B． e1 + 2e2 ， e2 + 2e1
ur uur uur ur ur uur ur uur
C． e1 - 3e2 ，6e2 - 2e1 D． e1 - e2 ， e1 - 3e2
uuur r uuur r
【易錯題 2】在△ABC 中，D 是邊 BC 的中點(diǎn)，E 是邊 AC 上一點(diǎn)，且 AE = 2EC ，記 AB=a ， AC = b ，
uuur r r
DE = xa + yb，則 x - y = （ ）
1 1 2
A．- B． C - D
2
． ．
3 3 3 3
答題模板：用基底表示向量
1、模板解決思路
當(dāng)待求向量的兩個端點(diǎn)都能夠確定位置時，一般在平面圖形中借助三角形法則或平行四邊形法則將向
量不斷向基底轉(zhuǎn)化．當(dāng)待求向量某個端點(diǎn)的位置不能確定時，一般通過向量共線定理和平面向量基本定理
解決．
2、模板解決步驟
第一步：找一個向量所在的三角形或平行四邊形，用三角形的另外兩條邊或平行四邊形的鄰邊對應(yīng)的
r r
向量 a,b 表示待求向量．
第二步：根據(jù)題中給出的線段的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
r r
第三步：將不是基底的向量作為待求向量按照第一步、第二步的方法不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化為 a,b ，直到關(guān)系
r r
式中只用 a,b 表示.
uuur uuur uuur uuur uuur
【典型例題 1】在VABC 中， 2BD = BC ，3AE = AD ，則BE =（ ）
2 uuur uuurBA 1 BC 2
uuur
BA 1
uuur
A． - B． + BC
3 2 3 6
1 uuur 1 uuur 2 uuur uuur
C． BA + BC D． BA
1
+ BC
2 4 3 4
uuur
【典型例題 2】在VABC 中，點(diǎn)E 是 AB 上靠近A 的三等分點(diǎn)，F(xiàn) 是CE上靠近C 的三等分點(diǎn)，則 AF =
（ ）
1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A． AB
1 2
+ AC B． AB
1 AC 1 AB 2 AC 2 AB 2+ C． + D． + AC
9 3 9 3 9 3 9 3第 01 講 平面向量的概念及線性運(yùn)算
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航..........................................................................................................................2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點(diǎn) 1：向量的有關(guān)概念 .................................................................................................................4
知識點(diǎn) 2：向量的線性運(yùn)算 .................................................................................................................4
知識點(diǎn) 3：平面向量基本定理和性質(zhì) .................................................................................................5
知識點(diǎn) 4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算 .....................................................................................7
解題方法總結(jié) ........................................................................................................................................8
題型一：平面向量的基本概念 ............................................................................................................9
題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問題 ..................................................................................10
題型三：共線定理及其應(yīng)用 ..............................................................................................................14
題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用 ......................................................................19
題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 ..................................................................................................26
題型六：向量共線的坐標(biāo)表示 ..........................................................................................................30
04 真題練習(xí)·命題洞見........................................................................................................................31
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................32
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................35
易錯點(diǎn)：忽視平面向量基本定理的使用條件 ..................................................................................35
答題模板：用基底表示向量 ..............................................................................................................36
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
（1）向量的有關(guān)概念
2024 年 I 卷第 3 題，5 分
（2）向量的線性運(yùn)算和
2024 年甲卷（理）第 9 題，5 分 通過對近 5 年高考試題分析可知，高考在
向量共線定理
2023 年北京卷第 3 題，5 分 本節(jié)以考查基礎(chǔ)題為主，考查形式也較穩(wěn)定，
（3）平面向量基本定理
2022 年 I 卷第 3 題，5 分 考查內(nèi)容一般為平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)
和性質(zhì)
2021 年乙卷（文）第 13 題，5 分 算，預(yù)計(jì)后面幾年的高考也不會有大的變化．
（4）平面向量的坐標(biāo)表
2022 年乙卷（文）第 3 題，5 分
示及坐標(biāo)運(yùn)算
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．
（2）掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．
（3）了解平面向量基本定理及其意義
（4）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算
知識點(diǎn) 1：向量的有關(guān)概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．
uuur uuur uuur
（2）向量的模：向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的長度，記作 | AB |．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：長度為 0 的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長度等于 1 個單位的向量．
r
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定： 0 與任一向量平行．
④相等向量：長度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．
【診斷自測】下列命題中，正確的是（ ）
r r r r r r r r
A．若 a = b ，則a = b B．若 a > b ，則 a > b
r r r r r r r r r r
C．若a = b，則 a / /b D．若 a //b,b // c ，則 a / /c
【答案】C
r r r r
【解析】對于 A：若 a = b ，則 a,b只是大小相同，并不能說方向相同，A 錯誤；
對于 B：向量不能比較大小，只能相同，B 錯誤；
r r r r
對于 C：若a = b，則 a,b方向相同，C 正確；
r r r r r r r
對于 D：若 a //b,b // c ，如果b 為零向量，則不能推出 a,c 平行，D 錯誤.
故選：C.
知識點(diǎn) 2：向量的線性運(yùn)算
（1）向量的線性運(yùn)算
運(yùn)算 定義 法則（或幾何意義） 運(yùn)算律
①交換律
a+b
a+b r r r r
求兩個向量和的 b b a + b = b + a
加法
運(yùn)算 a a ②結(jié)合律
r r
三角形法則平行四邊形法則 (a
r
+ b) + cr = ar (b cr+ + )
r
求 ar 與b 的相反
b a-br
向量 -b 的和的 r r r r
減法 r r a - b = a + (-b)
運(yùn)算叫做 a 與b a
的差 三角形法則
（1） | lar | r=| l || a | r r
l 2 l 0 lar r
l(ma) = (lm)a
求實(shí)數(shù) 與向量 （ ）當(dāng) > 時， 與 a 的方向相同；當(dāng)
(l m)ar r r數(shù)乘 r r r + = la + maa 的積的運(yùn)算 l < 0 時，la 與 a 的方向相同； r rl(a r
r
r + b) = la + lb
當(dāng)l = 0 時，la = 0
【注意】
r
（1）向量表達(dá)式中的零向量寫成 0 ，而不能寫成 0．
（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或
重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．
（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時兩個向量的起點(diǎn)必須
重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時兩個向量必須首
尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA - OB = BA ， AM - AN = NM ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA = OB+CA OA - OB = CA BA - CA = BA + AC = BC ．
uuur uuur uuuur
【診斷自測】MP + PQ - MN =（ ）
uuur uuur uuuur uuur
A．QN B． NQ C．PM D．MP
【答案】A
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
【解析】MP + PQ - MN = NP + PQ = NQ，
故選：A．
知識點(diǎn) 3：平面向量基本定理和性質(zhì)
1、共線向量基本定理
ar
r r r r r r
如果 = lb(l R)，則 ar / /b r；反之，如果 a / /b 且 b 0 r，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)l ，使 a = lb ．（口
訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．
2、平面向量基本定理
ur uur
如果 e e r1 和 2 是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量 a ，都存在唯一的一對
r ur uur ur uur
實(shí)數(shù) l1,l2 ，使得 a = l1e1 + l2 e2 ，我們把不共線向量 e1 ， e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記
ur uur ur uur ur uur為 e1,e r2 ，l1e1 + l2 e2 叫做向量 a 關(guān)于基底 e1,e2 的分解式．
ur uur r
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量 e1 與 e2 不共線，平面內(nèi)的任一向量 a 都可以分解成形如
r ur uur ur uur ur uura = l1e1 + l2 e2 的形式，并且這樣的分解是唯一的． l1e1 + l2 e2 叫做 e1 ， e2 的一個線性組合．平面向量基本
定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．
ur uur ur uur
推論 1 r：若 a = l1e1 + l2 e2 = l3 e1 + l4 e2 ，則l1 = l3 ,l2 = l4 ．
r ur uur r
推論 2：若 a = l1e1 + l2 e2 = 0 ，則l1 = l2 = 0 ．
3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式
uuur uuur
如 圖 所 示 ， 在 △ABC 中 ， 若 點(diǎn) D 是 邊 BC 上 的 點(diǎn) ， 且 BD = lDC （ l -1）， 則 向 量
uuur uuur uuur
AD AB + l AC= ．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神
1+ l
奇”之功效，建議熟練掌握．
A
B D C
4、三點(diǎn)共線定理
uuur uuur uuur
平面內(nèi)三點(diǎn) A，B，C 共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù) l, m ，使OC = lOA + mOB，其中 l + m = 1，O為
平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．
A、B、C 三點(diǎn)共線
uuur uuur
存在唯一的實(shí)數(shù)l ，使得 AC = l AB ；
uuur uuur uuur
存在唯一的實(shí)數(shù)l ，使得OC = OA + l AB ；
uuur uuur uuur
存在唯一的實(shí)數(shù)l ，使得OC = (1- l)OA + lOB ；
uuur uuur uuur
存在l + m = 1，使得OC = lOA + mOB．
5、中線向量定理
uuur uuur uuur
如圖所示，在△ABC 中，若點(diǎn) D 是邊 BC 1的中點(diǎn)，則中線向量 AD = (AB + AC)，反之亦正確．
2
A
B D C
uuur uuur uuur
【診斷自測】在 VABC 中，已知 D 是 BC 邊上靠近點(diǎn) B 的三等分點(diǎn)，E 是 AC 的中點(diǎn)，且 DE = l AB + m AC ，
則l + m = （ ）
1
A．- B 1． -1 C． 2 D．12
【答案】A
【解析】因?yàn)?D 是 BC 邊上靠近點(diǎn) B 的三等分點(diǎn)，E 是 AC 的中點(diǎn)，
uuur uuur uuur uuur uuur
所以DE = DC + CE
2 1
= BC - AC
3 2
2 uuur uuur uuur
= (AC 1- AB) - AC
3 2
2 uuur uuur
= - AB 1+ AC ，
3 6
uuur uuur uuur
因?yàn)镈E = l AB + m AC ，
2
所以l = - , m
1 2 1 1
= ，所以l + m = - + = - .
3 6 3 6 2
故選：A
知識點(diǎn) 4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算
（1）平面向量的坐標(biāo)表示．
r r
在平面直角坐標(biāo)中，分別取與 x 軸， y 軸正半軸方向相同的兩個單位向量 i , j 作為基底，那么由平面
r r r r
向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量 a ，有且只有一對實(shí)數(shù) x, y 使 a = xi + yj ，我們把有序?qū)崝?shù)對
(x, y) r r叫做向量 a 的坐標(biāo)，記作 a = (x, y) ．
（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有
uuur
(x, y) 一 一對 應(yīng) OA 一 一對 應(yīng)向量 向量 點(diǎn) A(x, y)．
r r r r r r
（3）設(shè) a = (x1, y1)， b = (x2 , y2 ) ，則 a + b = (x1 + x2 , y1 + y2 )， a - b = (x1 - x2 , y1 - y2 )，即兩個向量的和
與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．
r
若 a = (x, y) ， l r為實(shí)數(shù)，則 la = (lx,l y)，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相
應(yīng)坐標(biāo)．
uuur uuur uuur
（4）設(shè) A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )，則 AB = OB - OA = (x1 - x2 , y1 - y2 )，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量的有
向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．
（5）平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
uuur uuur
①已知點(diǎn) A(x1 ，y1)， B(x2 ，y2 ) ，則 AB = (x2 - x1 ，y - y
2 2
2 1) ， | AB |= (x2 - x1) + (y2 - y1)
② ar
r r
已知 = (x1, y
r
1)，b = (x2 , y2 ) ，則 a ± b = (x1 ± x2 ，y
r
1 ± y2 ) ，la = (lx1,l y1)，
ar
r
×b= x x r 21 2 + y1 y2 ， | a |= x1 + y
2
1 ．
ar
r
b x y x y 0 ar
r
∥ 1 2 - 2 1 = ， ^ b x1x2 + y1 y2 = 0
uuur uuur
【診斷自測】已知點(diǎn) A(2,3), B(1,4)，且 AP = -2PB ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 ．
【答案】 (0,5)
【解析】如圖，連接 AP,OA, BP，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，OP = OA + AP = OA - 2PB = OA - 2(OB - OP) ，
uuur uuur uuur
整理得OP = 2OB - OA = (2,8) - (2,3) = (0,5) ．
故答案為： (0,5)
解題方法總結(jié)
（1）向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱
為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點(diǎn)指向最后一個向量終點(diǎn)的向
量．
uuuur uuuuur uuuuuur uuuur
即 A1A2 + A2 A3 +L + An-1An = A1An ．
r r r r r r r r
（2） || a | - | b || | a ± b | | a | + | b | r，當(dāng)且僅當(dāng) a,b 至少有一個為 0 時，向量不等式的等號成立．
r r r r r3 || a | | b || | a b | | ar b | | ar
r r r r
（ ）特別地： - ± 或 ± | + | b |當(dāng)且僅當(dāng) a,b 至少有一個為 0 時或者兩向量共線時，
向量不等式的等號成立．
uuur uuur uuur
（4）減法公式： AB - AC = CB ，常用于向量式的化簡．
uuur uuur uuur
（5） A、 P 、 B 三點(diǎn)共線 OP = (1- t)OA + tOB (t R)，這是直線的向量式方程．
題型一：平面向量的基本概念
【典例 1-1】（2024·高三·福建廈門·開學(xué)考試）下列命題不正確的是（ ）
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于 0
r r
r r a b r r r
C．若 a ，b 都為非零向量，則使 r + r = 0a b 成立的條件是 a 與b 反向共線
r r r r r r
D．若a = b，b = c，則 a = c
【答案】A
【解析】A 選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A 錯誤；
B 選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長度為 0，故 B 正確；
r r r r r r
a b a b r r a b r
C 選項(xiàng)，因?yàn)?r 與 rb 都是單位向量，所以只有當(dāng)
r 與 r 是相反向量，即 與 是反向共線時 r + r = 0
a a b a b a b
才成立，故 C 正確；
D 選項(xiàng)，由向量相等的定義知 D 正確.
故選：A
【典例 1-2】給出下列命題：①兩個具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，
r r r r r
但它們的模能比較大小；③若la = 0 (λ 為實(shí)數(shù))，則 λ 必為零；④已知 λ，μ 為實(shí)數(shù)，若la = mb ，則 a 與
r
b 共線.其中錯誤命題的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①錯誤. 兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn).
②正確.因?yàn)橄蛄考扔写笮。钟蟹较颍仕鼈儾荒鼙容^大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小.
r r r r
③錯誤.因?yàn)閘a = 0，所以 l = 0 或a = 0 .
r r r r
④錯誤.當(dāng) λ＝μ＝0 時，la = mb ，此時， a 與b 可以是任意向量.
所以錯誤命題有 3 個.
故選：C.
【方法技巧】
準(zhǔn)確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵．共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳
遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關(guān)，兩個向量方向相同且長度相等，就是相
等向量．共線向量或相等向量均與向量起點(diǎn)無關(guān)．
【變式 1-1】下列說法中，正確的是（ ）
r r r r
A．若 | a |>| b |，則 a > b
r r r r
B．若 | a |=| b |，則a = b
r r r r
C．若a = b，則 a//b
r r r r
D．若 a b，則 a 與b 不是共線向量
【答案】C
【解析】對于 A，向量的模為非負(fù)數(shù)，它們可以比較大小，但向量不可以比較大小，故 A 錯誤.
對于 B，兩個向量的模相等，但方向可以不同，故 B 錯誤.
r r r r r r
對于 C，若a = b，則 a,b必定共線，故 a//b ，故 C 成立.
r r
對于 D，當(dāng) a b時，它們可以模長不相等，但可以同向或反向，
r r
故 a 與b 可以為共線向量，故 D 錯誤.
故選：C
r
【變式 1-2】設(shè) a 是非零向量，λ 是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
r r r r
A． a 與la 的方向相反 B． a 與l 2 a 的方向相同
r r r r
C． -la a D． -la l a
【答案】B
r r r r
【解析】對于 A，當(dāng)l > 0時， a 與la 的方向相同，當(dāng)l < 0 時， a 與la 的方向相反，故 A 不正確；對于 B，
顯然l 2 > 0，即 B 正確；
r r r r
對于 C， -la = l a ，由于 l 與 1 的大小不確定，故 -la 與 a 的大小關(guān)系不確定，故 C 不正確；
r r
對于 D， l a 是向量，而 -la 表示長度，兩者不能比較大小，故 D 不正確．
故選：B
題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問題
uuur uuur uuur
【典例 2-1】若 AB = 7，AC = 4 ，則 BC 的取值范圍是（ ）
A．[3，7] B． 3，7 C． 3，11 D． (3，11)
【答案】C
uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】由題意知 AB = 7，AC = 4 ，且 BC =| AC - AB | ,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
當(dāng) AC, AB同向時， BC 取得最小值， BC =| AC - AB |=|| AC | - | AB ||=| 4 - 7 |= 3；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
當(dāng) AC, AB反向時， BC 取得最大值， BC =| AC - AB |=|| AC | + | AB ||=| 4 + 7 |=11；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
當(dāng) AC, AB不共線時， BC 取得最小值，3 =|| AC | - | AB ||<| BC |<|| AC | + | AB ||=11，
uuur
故 BC 的取值范圍是 3，11 ，
故選：C
uuur uuur uuur
【典例 2-2】在平行四邊形 ABCD中， E 為BD的中點(diǎn)，F(xiàn) 為BC 上一點(diǎn)，則 AB + AD - 2AF = （ ）
uuur uuur uuur uuur
A． 2FE B． 2EF C．FE D． 2CF
【答案】A
uuur uuur uuur
【解析】因?yàn)?E 為BD的中點(diǎn)，則 AB + AD = 2AE ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AB + AD - 2AF = 2AE - 2AF = 2FE .
故選：A.
【方法技巧】
（1）兩向量共線問題用向量的加法和減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標(biāo)向量即可，而此類問題又以“爪
子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題．
（2）進(jìn)行向量運(yùn)算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或
首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似
三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．
uuur r uuur r uuur 1 uuur uuur
【變式 2-1】如圖，在平行四邊形 ABCD中， AB = a, AD = b，點(diǎn) E 滿足 EC = AC ，則DE =（ ）．
3
2 r 1 r 2 r 1 r 1 r 2 r 1 r 2 r
A． a - b B． a + b C． a - b D． a + b
3 3 3 3 3 3 3 3
【答案】A
uuur 1 uuur uuur 2 uuur
【解析】由題意知，點(diǎn)E 滿足 EC = AC ，可得 AE = AC ，
3 3
uuur uuur uuur 2 uuur uuurDE AE AD AC AD 2
uuur uuur uuur r
(AB AD) AD 2 a 1
r
則 = - = - = + - = - b .
3 3 3 3
故選：A.
【變式 2-2】（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）如圖所示，平行四邊形 ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，E 為 AO 的

中點(diǎn)，若DE = l AB+ m AD l, m R ，則l + m 等于（ ）．
1
A．1 B．-1 C 1． 2 D．- 2
【答案】D

DE DA AE AD 1

AC AD 1
1 3
【解析】由題意知 = + = - + = - + (AB+ AD) = AB- AD，
4 4 4 4
1 3 1
因?yàn)镈E = l AB+ m AD l, m R ，所以l = ，m = - ，l + m = - ，4 4 2
故選：D．
uuur uuur uuur
【變式 2-3】已知矩形 ABCD的對角線交于點(diǎn) O，E 為 AO 的中點(diǎn)，若DE = l AB + m AD（l ，m 為實(shí)數(shù)），
則l 2 - m 2 =（ ）
1 7
A - B C 3 - 2 2． ． ． D 1+ 2．
2 9 2 2
【答案】A
【解析】如圖
在矩形 ABCD中，
uuur 1 uuur uuurDO = DA + DC ，2
在VDAO中，
uuur 1 uuur uuurDE = DA + DO ，2
uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur\DE = DA + DA + DC ÷ = DA + DC = AB - AD，2 è 2 2 4 4 4 4
l 1 , m 3\ = = - ，
4 4
\l 2 - m 2 1 9 1= - = - ．
16 16 2
故選：A．
【變式 2-4】（2024·高三·安徽·開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角
uuur uuur uuur
形來構(gòu)造無理數(shù). 已知 AB = BC = CD =1, AB ^ BC, AC ^ CD, AC 與BD交于點(diǎn)O ，若 DO = lAB + mAC ，則
l + m = （ ）
A． 2 -1 B．1- 2 C． 2 +1 D．- 2 - 1
【答案】A
【解析】以C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CA所在直線分別為 x, y 軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
由題意得 AC = 2 ，
2 2 uuur uuur
則 A 0, 2 , B , ÷÷ ,C 0,0 , AB
2 , 2= - ， AC =2 2 2 2 ÷÷ 0, - 2 .è è
因?yàn)镃B = CD =1, DCB = 90o + 45o =135o，故 BDC = 22.5o，
2 tan 22.5o
因?yàn)?tan 45o = 2 o = 1，所以 tan 22.5
o = 2 -1（負(fù)值舍去），
1- tan 22.5
所以O(shè)C = DC × tan 22.5o = 2 -1，
uuur故O 0, 2 -1 .又D -1,0 ，則DO = 1, 2 -1 ，
ì
1 2= l
uuur uuur uuur 2
因?yàn)?DO = lAB + mAC ，所以 í ，

2 -1
2
= - l - 2m
2
ìl = 2
解得 í ，所以l + m = 2 -1，
m = -1
故選：A.
題型三：共線定理及其應(yīng)用
r r uuur r r uuur r r uuur r r
【典例 3-1】已知平面向量 a ，b 不共線， AB = 4a + 6b ， BC = -a + 3b，CD = a + 3b ，則（ ）
A．A ， B ，D三點(diǎn)共線 B．A ， B ，C 三點(diǎn)共線
C． B ，C ，D三點(diǎn)共線 D．A ，C ，D三點(diǎn)共線
【答案】D
r r r r
【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄?a ，b 不共線，所以 a ，b 可以作為平面內(nèi)的一組基底，
uuur r r uuur r r uuur r r
又 AB = 4a + 6b ， BC = -a + 3b，CD = a + 3b ，
uuur uuur uuur r r r r r uuur uuur uuur r r r r r r
所以 BD = BC + CD = a + 3b - a + 3b = 6b， AC = AB + BC = -a + 3b + 4a + 6b = 3a + 9b，
uuur r r uuur r uuur uuur
對于 A：因?yàn)?AB = 4a + 6b ， BD = 6b，顯然不存在實(shí)數(shù) t 使得 AB = tBD，
所以A ， B ，D三點(diǎn)不共線，故 A 錯誤；
uuur r r uuur r r n uuur uuur對于 B：因?yàn)?AB = 4a + 6b ， AC = 3a + 9b ，不存在實(shí)數(shù) 使得 AB = nAC ，
所以A ， B ，C 三點(diǎn)不共線，故 B 錯誤；
uuur r r uuur r r uuur uuur
對于 C：因?yàn)?BC = -a + 3b，CD = a + 3b ，不存在實(shí)數(shù)m 使得BC = mCD ，
所以 B ，C ，D三點(diǎn)不共線，故 C 錯誤；
uuur r r uuur r r uuur uuur
對于 D：因?yàn)?AC = 3a + 9b ，CD = a + 3b ，所以 AC = 3CD ，
uuur uuur
所以 AC //CD，故A ，C ，D三點(diǎn)共線，故 D 正確.
故選：D
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur
【典例 3-2】如圖，在VABC 中， AC = 3AN , P是BN 上的一點(diǎn)，若 AP = m +

÷ AB + AC，則實(shí)數(shù)m 的值
è 3 9
為（ ）
1 2 1A． B． 9 C
2
． D．
9 3 3
【答案】D
uuur 1 uuur uuur uuur
【解析】由題意可知， AN = NC ，所以
2 AC = 3AN
，
uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
又 AP = m + ÷ AB + AC，即 AP =

m
1 AB 1+ + AN .
è 3 9 ÷è 3 3
1 1
因?yàn)锽 P N 1三點(diǎn)共線，所以 m + ÷ + =1，解得m = .
è 3 3 3
故選：D.
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
要證明 A，B，C 三點(diǎn)共線，只需證明 AB 與 BC 共線，即證 AB = l BC （ l R）．若已知 A，B，C 三
uuur uuur uuur uuur
點(diǎn)共線，則必有 AB 與 BC 共線，從而存在實(shí)數(shù)l ，使得 AB = l BC ．
uuur 2 uuur
【變式 3-1】如圖，VABC 中，點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 滿足 AN = AB ，AM 與 CN 交于點(diǎn) D，
3
uuur uuuur
AD = l AM ，則l =（ ）
2 3 4 5A． 3 B． C． D．4 5 6
【答案】C
uuuur 1 uuur 1 uuur uuur uuuur uuur uuur
【解析】在VABC
l l
中，點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn)， AM = AB + AC ，則 AD = l AM = AB + AC ，
2 2 2 2
uuur uuur uuur uuur uuur
又 AN
2 3l
= AB ，于是得 AD = AN
l AC 3l l+ ，因點(diǎn) C，D，N 共線，則有 + =1，解得l=
4
，
3 4 2 4 2 5
4
所以l= .
5
故選：C
【變式 3-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)G 是VABC 的重心，點(diǎn)M 是線段 AC 的中點(diǎn)，若
uuuur uuur uuur
GM = l AB + m AC ，則l + m = （ ）
1 1 1 1
A． B． C．- D．-
12 6 6 12
【答案】C
uuuur 1 uuuur 1 uuuur uuur 1 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur【解析】GM = BM = AM - AB = AC - AB ÷ = - AB + AC ，3 3 3 è 2 3 6
l 1所以 = - , m
1
= ,l + m 1= -
3 6 6 .
故選：C
ur uur ur uur r ur uur r r
【變式 3-3
r
】已知 e1,e2 是兩個不共線的單位向量， a = e1 - e2 ,b = -2e1 + ke2 ，若 a與b 共線，則 k = .
【答案】2
ur uur r ur uur r
【解析】因?yàn)?ar = e1 - e2 與b = -2e1 + ke2 共線，所以b = la
r
，
ur uur ur uur ur uur
2e ke ì
-2 = l
即- 1 + 2 = l e1 - e2 ，又 e1,e2 不共線，所以 ík l ，所以 k = 2 . = -
故答案為： 2
uuur uuur uuur uuur
【變式 3-4】已知VABC 的重心為 G，經(jīng)過點(diǎn) G 的直線交 AB 于 D，交 AC 于 E，若 AD = l AB， AE = m AC ，
1 1
則 + =l m .
【答案】3
【解析】
uuur 2 uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
如圖，設(shè) F 為 BC 的中點(diǎn)，則 AG = AF = AB + AC ，又 AB = AD ， AC = AE3 3 l m ，
uuur 1 uuur uuur
則 AG = AD
1 AE 1 1 1 1+
3l 3m ，又 G，D，E 三點(diǎn)共線，∴
+ =1，即 + = 33l 3m l m .
故答案為：3.
【變式 3-5】如圖，點(diǎn) G 為△ABC 的重心，過點(diǎn) G 的直線分別交直線 AB，AC 點(diǎn) D，E 兩點(diǎn)，
uuur uuur uuur uuur 1 1
AB = 3mAD(m > 0)， AC = 3nAE(n > 0)，則m + n＝ ；若 n > m > 0 ，則 + 的最小值為 .
m n - m
【答案】 1 3+ 2 2
【解析】因?yàn)辄c(diǎn) G 為△ABC 的重心，
uuur
AG 1
uuur 1 uuur
所以 = AB + AC ，
3 3
uuur uuur uuur uuur
因?yàn)?AB = 3mAD(m > 0)， AC = 3nAE(n > 0)，
uuur uuur uuur
所以 AG = mAD + nAE ，
因?yàn)镈,G, E 三點(diǎn)共線，
所以m + n =1，
則 n =1- m > m, 則0
1 1 1 1 1
< m < ，代入 + 得 + ,0
1
< m <
2 m n - m m 1- 2m 2
f m 1 1令 = + ，0 < m 1< ，
m 1- 2m 2
f m -1 2= +
m2 1- 2m 2
-2m2 + 4m -1
=
m2 1- 2m 2
令 f m = 0 2 - 2 2 + 2，則m = 或 （舍）
2 2
2 - 2
且當(dāng)m 0, ÷÷時， f m < 0 , f m 遞減
è 2

m 2 - 2

當(dāng) ,
1
÷÷ 時， f m > 0， f m 遞增
è 2 2
2 - 2
所以當(dāng)m = 時， f m 有極小值，即最小值，
2
f m 1 1= + = 3 + 2 2
且 min 2 - 2 1- 2 - 2
2
故答案為:1；3+ 2 2 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【變式 3-6】如圖，在VABC 中， AD
1
= AB, AE 1= AC,CD 與 BE 交于點(diǎn)P, AB = 2， AC = 3, AP × BC =1，
2 3
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
則 AB × AC 的值為 ；過點(diǎn) P 的直線 l分別交 AB, AC 于點(diǎn) M , N ,設(shè) AM = mAB, AN = nAC (m > 0, n > 0)，
則m + 2n 的最小值為 .
8
【答案】 4
5
uuur uuur uuur uuur r uuur r
【解析】設(shè) AP = xAB + y AC ，令 AB = a, AC = b ，
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
因?yàn)?AD = AB, AE = AC ，所以 AB = 2AD, AC = 3AE ，
2 3
uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AP = 2xAD + y AC = xAB + 3y AE ，
B, P, E ì
2x + y =1
又 與C , P, D
2
分別共線，所以 í x = , y
1
=
x + 3y =1
，解得 .5 5
uuur uuur r
AP 2× BC = ar 1+ b
r
因?yàn)? ÷ × b - ar =1，
è 5 5
r r r
所以 2ar2 ar- ×b - b 2 + 5 0 8 ar= ，即 - ×b - 9 + 5 = 0，
r r uuur uuur
解得a ×b = 4，即 AB × AC = 4 .
uuuur uuur uuur uuur
因?yàn)?AM = mAB, AN = nAC ，
uuur 1 uuuur uuur 1 uuur
所以 AB = AM , AC = AN ，
m n
uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuuur 1 uuur
所以 AP = AB + AC = AM + AN ，
5 5 5m 5n
2 1
因?yàn)镸 , P, N 共線，所以 + =1，
5m 5n
所以m + 2n
2 1 4 4n m 4 4n m 8
= m + 2n + ÷ = + + + 2 × = ，
è 5m 5n 5 5m 5n 5 5m 5n 5
4 2
當(dāng)且僅當(dāng)m = , n = 時，等號成立，
5 5
8
所以m + 2n 的最小值為 .
5
8
故答案為：4； .
5
題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用
ur uur
【典例 4-1】（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量 e1 、 e2 ，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向
量的基底的是（ ）
ur uur ur uur ur uur uur ur
A． 2e1 + e2 和 e1 - e2 B． e1 + 3e2 和 e2 + 3e1
ur uur uur ur ur ur uur
C． 3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 D． e1 和 e1 + e2
【答案】C
ur uur ur uur
【解析】對 A：不存在實(shí)數(shù)l ，使得 2e1 + e2 = l e1 - e2 ，
ur uur ur uur
故 2e1 + e2 和 e1 - e2 不共線，可作基底；
ur uur uur ur
對 B：不存在實(shí)數(shù)l ，使得 e1 + 3e2 = l e2 + 3e1 ，
ur uur uur ur
故 e1 + 3e2 和 e2 + 3e1 不共線，可作基底；
ur uur uur ur ur uur
對 C：對 3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 ，因?yàn)?e1,e2 是不共線的兩個非零向量，
uur ur ur uur
且存在實(shí)數(shù)-2，使得 2e2 - 6e1 = -2 3e1 - e2 ，
ur uur uur ur
故3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 共線，不可作基底；
ur ur uur ur ur uur
對 D：不存在實(shí)數(shù)l ，使得 e1 = l e1 + e2 ，故 e1 和 e1 + e2 不共線，可作基底.
故選：C.
【典例 4-2】如圖，在△ABC 中，點(diǎn) D，D，E 分別為 BC 和 BA 的三等分點(diǎn)，點(diǎn) D 靠近點(diǎn) B，AD 交 CE 于
uuur
P BC ar
uuur r uuur
點(diǎn) ，設(shè) = ，BA = b ，則BP＝（ ）
1 r r r r
A．- a
r 3
+ b 1B． a
r 4 1
+ b C． a
r 3 b 2 ar 4+ D． + b
7 7 7 7 7 7 7 7
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【解析】設(shè) AP = l AD，EP = m EC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以BP = AP - AB = l AD - AB = l BD - BA - AB，
uuur 1 uuur uuur l uuur uuur
又BD = BC ，所以BP = BC + 1- l BA，
3 3
uuur 2 uuur
因?yàn)锽E = BA，
3
uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur uuur
所以BP = BE + EP = BA + m EC = BA + m BC - BE3 3 = 1- m BA + m BC，3
ìl ì 3

= m
3
l =
7
所以 í2 2 ，解得 í m 1
，
- =1- l m =
3 3 7
uuur 1 uuur 4 uuur r r
所以BP = BC BA
1 a 4+ = + b，
7 7 7 7
故選：B.
【方法技巧】
應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或
數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：
（1）運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對待求向量不斷進(jìn)行化簡，直至用基底表示為止．
（2）將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．
uuur uuur uuur
（3）三點(diǎn)共線定理：A，B，P 三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù) l, m ，使OP = lOA + mOB，其中
l + m = 1，O 為 AB 外一點(diǎn)．
AD
【變式 4-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在VABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上且滿足 = 2，E 為 BC 的中點(diǎn)，直線
DB
uuur
DE 交 AC 的延長線于點(diǎn) F，則BF = （ ）
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A．BA + 2BC B．-BA + 2BC C． 2BA - BC D．-2BA + BC
【答案】B
【解析】
uuur uuur uuur
由題，A，C，F(xiàn) 三點(diǎn)共線，則BF = lBA + 1- l BC ，
uuur uuur uuur uuur uuur
D，E，F(xiàn) 三點(diǎn)共線，則BF = m BD + 1- m BE m= BA 1- m+ BC ，
3 2
ì
l
m
=

∴ 3
ìl = -1
í 1 　，得 1 l - m
í
m = -3
　，
- =
2
uuur uuur uuur
∴ BF = -BA + 2BC ．
故選：B.
【變式 4-2】（2024·山西呂梁·三模）已知等邊VABC 的邊長為 1，點(diǎn)D, E 分別為 AB, BC 的中點(diǎn)，若
uuur uuur uuur
DF = 3EF ，則 AF =（ ）
1 uuur uuurAB 5 AC 1
uuur 3 uuur
A． + B． AB + AC
2 6 2 4
1 uuur uuur 1 uuur 3 uuur
C． AB + AC D． AB + AC
2 2 2
【答案】B
uuur uuur
【解析】在VABC 中，取 AC, AB 為基底，
uuur uuur uuur uuur
則 AC = AB = 2, AC, AB = 60o ，
uuur uuur
因?yàn)辄c(diǎn)D, E 分別為 AB, BC 的中點(diǎn)，DF = 3EF ,
uuur 1 uuur uuur
所以EF = DE
1
= AC ，
2 4
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuurAF AE EF AB AC AC 1 uuurAB 3 uuur所以 = + = + + = + AC .2 4 2 4
故選：B.
uur uuur uuur
【變式 4-3】在VABC 中， AB = 2, AC = 3, BC = 4，I 為VABC 的內(nèi)心，若 AI = l AB + mBC ，則3l + 6m 的值
為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】設(shè)VABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，
uur uur uur r
根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可知 aIA + bIB + cIC = 0 ，
uur b uuur c uuur
于是 AI = AB + AC
a + b + c a + b + c
1 uuur 2 uuur
= AB + AC
3 9
1 uuur 2 uuur 2 uuur
= AB + AB + BC
3 9 9
5 uuur uuur
= AB 2+ BC ，
9 9
于是3l + 6m = 3．
故選：C.
uuur uuur
【變式 4-4】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）在VABC 中，DC = 2BD, M 為線段 AD 的中點(diǎn)，過M 的直線分別
uuur 2 uuur uuur uuur
與線段 AB AC 交于P Q，且 AP = AB, AQ = l AC ，則l =（ ）
3
1 1
A B C 1 D 2． ． ． 2 ．6 3 3
【答案】B
【解析】
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur
如圖，因DC = 2BD, 則 AC - AD = 2(AD - AB) ,即 AD = AB + AC （*），3 3
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
又 AM
1 2
= AD , AP = AB, AQ = l AC ,代入（*）得，2AM = AP
1
+ AQ ,
2 3 3l
uuuur 1 uuur 1 uuurAM AP AQ P, M ,Q 1 1 1即 = + ，因 三點(diǎn)共線，故 + = 1，解得，l = .
2 6l 2 6l 3
故選：B.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【變式 4-5】如圖，平面內(nèi)有三個向量OA，OB ，OC ，其中OA,OB =120o ，OA,OC = 30o，且
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA = OB =1， OC = 2 3 ，若OC = mOA + nOB，則m + n = .
【答案】6
【解析】
連接 AB ,交OC 于點(diǎn)D ,
uuur uuur
則 DOA = OAD = OBD = 30° , BOD = 90° , OD = OB tan 30° 3= ,
3
uuur uuur 3 uuurOD = DA = , DB 2 3= ,
3 3
uuur uuur uuur uuur
OD OA AD OA 1
uuur uuur uuur
法一：由平面向量基本定理得 = + = + AB
2
= OA 1+ OB,
3 3 3
uuur uuur
OC = 2 3 = 6 OD ,
uuur uuur uuur uuur uuur
\OC = 6 2 1 OA + OB ÷ = 4OA + 2OB, m + n = 6.
è 3 3
uuur
OC OC
k m n,k uuur 2 3= = + = = = 6,\m + n = 6.法二：根據(jù)等高線定理可得 OD OD 3
3
故答案為：6
【變式 4-6】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）在VABC 中，D是邊BC上一點(diǎn)，且 BD = 2DC, E 是 AC 的中點(diǎn)，記
uuur ur uuur r uuur
AC = m, AD = n，則BE =（ ）
5 r ur 7 r ur ur r ur r
A． n - 3m B． n - 3m
7 5
C． m - 3n D． m - 3n
3 2 2 2
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】BE = AE - AB
1
= AC - (AC + CB)
2
1 uuur uuur 1 uuur
= - AC - 3CD = - AC - 3
2 2
uuur uuur
AD - AC
5 uuur uuurAC 3AD 5 mr r= - = - 3n ，
2 2
故選：D．
【變式 4-7】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）在VABC 中，D是BC的中點(diǎn)，直線 l分別與 AB, AD, AC 交于點(diǎn)
uuur 4 uuuur uuur uuur uuur uuurM , E, N ，且 AB = AM ， AE = 2ED, AC = l AN ，則l =（
3 ）
8 5 7 5
A． B． C． D．
5 3 4 2
【答案】B
uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur uuur 1 4 uuuur uuur 4 uuuur l uuur
【解析】由 AE = 2ED ，得 AE = AD = AB + AC = AM + l AN = AM + AN .3 3 3 è 3 ÷ 9 3
M , E, N 4 l 1 l 5因?yàn)?共線，所以 + = ，解得 = .
9 3 3
故選：B.
uuur uuur
【變式 4-8】（2024·河南·模擬預(yù)測）在VABC 中，點(diǎn)E 為 AC 的中點(diǎn)， AF = 2FB ， BE 與CF 交于點(diǎn) P ，且
uuur uuur
滿足BP = lBE ，則l 的值為（ ）
1
A B 1 C 2
3
． ． 2 ．3 3
D．
4
【答案】B
uuur uuur
【解析】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)E 為 AC 的中點(diǎn)， AF = 2FB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以， AP = AF + FP = AF + xFC = AF + x AC - AF = 1- x AF + xAC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAP = AB + BP = AB + lBE = AB + l AE - AB = 3 1- l1- l AB + l AE = AF l+ AC ，2 2
ì3 1- l
=1- x 3 1- l l 3- 2l 1
所以 í 2 ，即 + = =1，解得l =
l = x 2 2 2
2
2
所以，l 1的值為 2 .
故選：B
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【變式 4-9】在VABC 中，BE = EC, BF
1
= BA + BC2 2 ，點(diǎn) P 為 AE 與 BF 的交點(diǎn)， AP = l AB + m AC ，則
l - m = ．
1
【答案】 / 0.25
4
uuur 1 uuur uuur
【解析】因?yàn)锽F = BA + BC ，所以F 為 AC 中點(diǎn)，2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
B, P, F 三點(diǎn)共線，故可設(shè)BP = k BF ，即 AP - AB = k AF - AB ，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur
整理得 AP = k AF + 1- k AB = 1- k AB + k AC ，
2
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
因?yàn)锽E = EC ，所以 AE - AB = AC
1 1 2
- AE ，即 AE = AC + AB ，
2 2 2 3 3
A, P, E 三點(diǎn)共線，
uuur uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur uuur
可得 AP = mAE = m AC + AB mAC
2
÷ = + mAB ，
è 3 3 3 3
ì2m 1
=1- k
ì
k = 3 2
所以 ím 1 ，解得 í 3
，
= k m =
3 2 4
uuur 1 uuur 1 uuur 1 1 1
可得 AP = AB + AC ，則l = , m = ，l - m = .
2 4 2 4 4
1
故答案為:
4
【變式 4-10】（2024·高三·河南·期中）已知VABC 為等邊三角形，分別以 CA，CB 為邊作正六邊形，如圖
所示，則（ ）
uuur 9 uuur uuur uuur uuur uuur
A．EF = AD + 4GH
7
B．EF = AD + 3GH
2 2
uuur uuur uuur uuur
EF 9
uuur uuur
C．EF = 5AD + 4GH D． = AD + 3GH2
【答案】A
uuur uuur
【解析】選取 AB, AC 為基底，
uuur uuur uuur uuur uuur
EF = EH + HF = 3AB + AC ，
uuur uuur uuur uuur uuur
AD = BG = 2BC = -2AB + 2AC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
GH = GB + BH = 2CB + AB = 2AB - 2AC + AB = 3AB - 2AC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
設(shè)EF = xAD + yGH = -2xAB + 2xAC + 3y AB - 2y AC
uuur uuur
= (-2x + 3y)AB + (2x - 2y)AC ，
ì-2x + 3y = 3 ì x
9
=
\í2x 2y 1 ，
\í 2 ，
- = y = 4
uuur uuur uuur
即EF
9
= AD + 4GH .
2
故選：A
題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
uuur uuur uuur
【典例 5-1 】已知 O為 VABC 的外心，若 A(0,0), B(2,0), AC =1, BAC =120o , 且 AO = l AB + m AC ，則
l + m = （ ）
13
A 2． 3 B． 2 C．1 D． 6
【答案】D
1 3
【解析】若 A(0,0), B(2,0), AC =1, BAC =120o ，則有C - , ÷÷ ，如圖所示，
è 2 2
設(shè)VABC 的外心O x, y ，由 OA = OB ，得 x2 + y2 = x - 2 2 + y2 ，解得 x =1，
2 2
OA = OC 2 2 1 y 1 1 y 3
2 3
由 ，得 + = + 2 ÷
+ - ÷÷ ，解得 y = ，è è 2 3
2 3 uuur O 1, AO 1, 2 3

得 3 ÷÷，則
= ，
è è 3
÷÷

uuur
AC 1 3
uuur
又 = - , ÷÷， AB = 2,0
è 2 2
，

uuur uuur uuur 2 3 1 3
由 AO = l AB + m AC ，即 1, ÷÷ = l 2,0 + m - ,3 2 2 ÷÷，è è
ì2l 1- m =1 ìl 5=
2 6
得 í ，解得 í ，
3 m 2 3= m
4
=
2 3 3
l m 13故 + = .
6
1
【典例 5-2】 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， A(6,3) ，若點(diǎn) P 在直線OA上，且 OP = PA ， P 是OB的中點(diǎn)，則點(diǎn) B 的坐
2
標(biāo)為 ．
【答案】 (4, 2)或 (-12,-6)

【解析】由題可知， A(6,3) ，點(diǎn) P 在直線OA上，則OP// PA，

又Q OP
1
= PA ，\OP
1
= ± PA，
2 2
P m,n , B a,b 設(shè)點(diǎn) ，則OP = m, n ，PA = 6 - m,3 - n ，

①當(dāng)OP
1
= PA時，則 m, n 1= 6 - m,3 - n ，
2 2
ìm 1 = 6 - m
\ 2
ìm = 2
í ，解得： í ，\P 2,1
n 1
，
= 3 - n
n =1
2
QP是OB的中點(diǎn)，
ì0 + a
= 2
\ 2
ìa = 4
í0 b ，解得： í ，
\B 4,2 .
+ =1 b = 2
2

OP 1

PA m, n 1②當(dāng) = - 時，則 = - 6 - m,3 - n ，
2 2
ì
m
1
= - 6 - m
2 ìm = -6\í 1 ，解得： í ，
\P -6, -3 ，
n 3 n n = -3= - - 2
QP是OB的中點(diǎn)，
ì0 + a
= -6 ìa = -12
\ 2í ，解得： í ，\B -12, -6
0 + b 3 b = -6
，
= -
2
綜上可得，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (4, 2)或 (-12,-6) .
故答案為： (4, 2)或 (-12,-6) .
【方法技巧】
（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，
則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．
（2）解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程（組）來進(jìn)行求解．
uuur uuur uuur uuur
【變式 5-1】已知點(diǎn)O 0,0 ，向量OA = 1,3 ，OB = -3,5 ，點(diǎn) P 滿足 AP = 2PB，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ．
5 13
【答案】 - ,
è 3 3 ÷
uuur uuur
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)O 0,0 ，向量OA = 1,3 ，OB = -3,5 ，
所以 A 1,3 ，B -3,5 ，
uuur
設(shè)P x, y ，則 AP = x, y - 1,3 = x -1, y - 3 ，
uuur
PB = -3,5 - x, y = -3- x,5 - y ，
ìx 5= -
uuur uuur ìx -1 = 2 -3- x 3 P 5 ,13 因?yàn)?AP = 2PB，所以 íy - 3 = 2 5 - y ，解得 í ，所以
- ÷ .
y 13= è 3 3
3
5 ,13- 故答案為： 3 3 ÷è
【變式 5-2】已知梯形 ABCD 中， AB / /CD, AB = 2CD ，三個頂點(diǎn) A(4,2), B(2,4),C(1,2) .則頂點(diǎn)D的坐
標(biāo) .
【答案】 2,1
【解析】∵在梯形 ABCD中， AB = 2DC ， AB / /CD ， A(4,2)，B(2,4)，C(1,2) ．
uuur uuur
∴ AB = 2DC ．設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (x, y)．
uuur uuur
則DC = (1- x, 2 - y)， AB = (-2,2) ．
∴ (-2,2) = 2(1- x, 2 - y)，即 (-2,2) = (2 - 2x, 4 - 2y)，
ì2 - 2x = -2, ìx = 2,
∴ í 解得 í 故點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (2,1)．
4 - 2y = 2, y =1.
故答案為： (2,1)．
【變式 5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn) A 0,0 ，B -4,4 ，D 2,6 ．若 AC 與
BD的交點(diǎn)為M ，則DM 的中點(diǎn)E 的坐標(biāo)為 ,
1 ,11 【答案】 2 2 ÷è
【解析】在平行四邊形 ABCD中，
因?yàn)?AC 與BD的交點(diǎn)為M ，且E 為DM 的中點(diǎn)，
uuur uuur uuuur
所以 AE
1
= AD + AM2
1 éuuur 1 uuur uuur uuur uuur= ê AD + AB + AD ù 3ú = AD 1+ AB2 2 4 4
3 2,6 1 4,4 1 ,11= + - = ，
4 4 ֏ 2 2
uuur
由A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以向量 AE的坐標(biāo)即為E 的坐標(biāo)，
1 ,11 故點(diǎn)E 的坐標(biāo)為
è 2 2 ÷
．

1 ,11 故答案為： ÷ .
è 2 2
【變式 5-4】如圖所示，在四邊形 ABCD 中，已知 A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，則直線 AC 與
BD 交點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ．
27 16
【答案】 ,7 7 ÷è
uuur uuur uuur uuur
【解析】設(shè) P(x，y)，則DP = (x－1，y)，DB = (5，4)，CA = (－3，6)，DC = (4，0)．
uuur uuur
由 B，P，D 三點(diǎn)共線可得DB = lDB = 5l, 4l ．
uuur uuur uuur uuur uuur
又因?yàn)镃P = DP - DC = 5l - 4,4l ，由CP與CA共線得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
l 4解得 = ，
7
uuur
DP 4
uuur
DB 20 ,16 x 1, y 20所以 = = ÷，即 - = ,
16
÷，7 è 7 7 è 7 7
ìx 20-1 = ì x
27
=
7
故 í
7
í .
y 16 y 16= =
7 7
27 ,16 所以 P 的坐標(biāo)為 ÷ .
è 7 7
27 16
故答案為： ,7 7 ÷è
uuur
【變式 5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，P0 1,0 ，把向量OPi 順時針旋轉(zhuǎn)定角
uuuur
q 得到OQi ，Qi 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)記為Pi+1 ， i = 0,1,L,10，則P11的坐標(biāo)為
【答案】 -cosq ,-sinq
uuur uuuur
【解析】把向量OP0 順時針旋轉(zhuǎn)定角q 得到OQ0 ，得Q0 cos -q ,sin -q ，
Q0 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)記為P1，則P1 cos q - π ,sin q - π ，即P1 -cosq ,-sinq
uuur uuuur
把向量OP 順時針旋轉(zhuǎn)定角q 得到OQ1 ，得Q1 cos -π ,sin -π1 ，即Q1 -1,0
Q關(guān)于 y1 軸的對稱點(diǎn)記為P2，則P2 0,1 ，
以此類推可得當(dāng) i為奇數(shù)時，Pi -cosq ,-sinq ，
當(dāng) i為偶數(shù)時，Pi 0,1 ，
故P11的坐標(biāo)為 -cosq ,-sinq .
故答案為： -cosq ,-sinq
題型六：向量共線的坐標(biāo)表示
r r r
【典例 6-1 r】已知 a = 4, -2 ，b = 6, y ，且 a / /b ，則 y = ．
【答案】-3
r r
【解析】由 a / /b 可得 4y = -2 6 ，解得， y=- 3 .
故答案為：-3 .
uuur uuur uuur
【典例 6-2】已知向量 AB = 2,3 , BC = 2m,5 ,CD = 3, -1 ，若 A, B, D 三點(diǎn)共線，則m = .
1
【答案】-
6
uuur uuur uuur
【解析】由BD = BC + CD = (2m + 3,4) ，又 A, B, D 三點(diǎn)共線，
uuur uuur
所以 AB = 2,3 與BD = (2m + 3,4)共線，得 2 4 - 3 2m + 3 = 0 m 1，解得 = - .
6
1
故答案為：-
6
【方法技巧】
r r
r r（1）兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若 a = (x1, y1)， b = (x2 , y2 ) ，則 a∥b 的充要條件是
x r
r r r r
1 y2 - x2 y1 = 0 ；②若 a∥b(b 0)，則 a = lb ．
（2）向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時，
也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解．
r r r r r r r
【變式 6-1】已知向量 a = 3,4 ,b = -1,5 ,c = 2,3 ，若 a - c 與 tc + b 共線，則實(shí)數(shù) t = .
【答案】-6
r r r
【解析】因 a - c = (3, 4) - (2,3) = (1,1) r， tc + b = t(2,3) + (-1,5) = (2t -1,3t + 5) ，
ar cr r
r
則由 - 與 tc + b 共線可得，3t + 5 = 2t -1，解得 t = -6 .
故答案為：-6 .
r r r r r
【變式 6-2】已知向量 a = 1,1 ,b = m, -2 ，若 a// a + b ，則m = ．
【答案】-2
r r r r
【解析】因?yàn)?a = 1,1 ,b = m, -2 ，所以 a + b = 1,1 + m,-2 = m +1,-1 ，
r r r
又因?yàn)?a// a + b ，所以1 m +1 =1 -1 ，所以m = -2 .
故答案為：-2．
【變式 6-3】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) A(-1,2)， B(1,1)，C(-3,1)．則 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ；當(dāng)
uuur uuur uuur
實(shí)數(shù)m = 時， (mOC + OB)// AB．
3
【答案】 0, ÷ / 0,1.5 3
è 2
-1+1 1+ 2 3
【解析】因?yàn)?A(-1,2) B(1,1) C(-3,1)

， ， ，所以 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 , ÷，即 0, ；è 2 2 2 ÷è
uuur uuur uuur
又 AB = 1,1 - -1,2 = 2,-1 ，OB = (1,1) ，OC = (-3,1)，
uuur uuur
則mOC + OB = m -3,1 + 1,1 = -3m +1, m +1 ，
uuur uuur uuur
因?yàn)?(mOC + OB)// AB，則 2 m +1 = -1 -3m +1 ，解得m = 3 .
3
故答案為： 0, ÷ ；3
è 2
r r r r
1．（2023 r r r r年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量 a b 滿足 a + b = (2,3), a - b = (-2,1)，則 | a |2 2， - | b | =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．1
【答案】B
r r r r r r
【解析】向量 a,b 滿足 a + b = (2,3), a - b = (-2,1)，
r r r r r r
所以 | a |2 - | b |2 = (a + b) × (a - b) = 2 (-2) + 3 1 = -1.
故選：B
uuur
2 2022 r
uuur r
．（ 年新高考全國 I 卷數(shù)學(xué)真題）在VABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上，BD = 2DA．記CA = m，CD = n ，則
uuur
CB =（ ）
A 3mr． - 2nr B r．-2m + 3nr C．3mr 2nr+ D． 2mr r+ 3n
【答案】B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】因?yàn)辄c(diǎn) D 在邊 AB 上，BD = 2DA，所以BD = 2DA，即CD - CB = 2 CA - CD ，
uuur uuur uuur r ur r r
所以CB = 3CD - 2CA = 3n - 2m = -2m + 3n．
故選：B．
uuur
3．（2020 年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)試題（海南卷））在VABC 中，D 是 AB 邊上的中點(diǎn)，則CB =（ ）
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A． 2CD + CA B．CD - 2CA C． 2CD - CA D．CD + 2CA
【答案】C
【解析】
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
CB = CA + AB = CA + 2AD = CA + 2 CD - CA = 2CD - CA
故選：C
r r r
4．（2024 年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題（網(wǎng)絡(luò)回憶版））已知 k R,a = 2,5 ,b = 6,k r，且 a / /b ，則 k 的值
為 ．
【答案】15
Qar
r
【解析】 / /b ，\2k = 5 6，解得 k =15．
故答案為：15．
r r r r
5．（2021 年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知向量 a = 2,5 ,b = l, 4 ，若 a//b ，則l = ．
8
【答案】
5
【解析】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得： 2 4 - l 5 = 0 ，
8
解方程可得：l = .
5
8
故答案為： .
5
uuuv uuuv uuuv
1．（1）如圖（1），在VABC 中，計(jì)算 AB + BC + CA；
uuuv uuuv uuuv uuuv
（2）如圖（2），在四邊形 ABCD 中，計(jì)算 AB + BC + CD + DA；
uuuuv uuuuv uuuuv uuuuuuv uuuuv
（3）如圖（3），在 n 邊形 A1A2 A3L An 中， A1A2 + A2 A3 + A3 A4 +L+ An-1An + An A1 = 證明你的結(jié)論.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
【解析】（1） AB + BC + CA = AC + CA = AC - AC = 0
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
（2） AB + BC + CD + DA = AC + CD + DA = AD + DA = AD - AD = 0 .
uuuur uuuur uuuur uuuuuur uuuur r
（3） A1A2 + A2 A3 + A3 A4 +L+ An-1An + An A1 = 0 .
證明如下：
uuuur uuuur uuuur uuuuuur uuuur
A1A2 + A2 A3 + A3 A4 +L+ An-1An + An A1
uuuur uuuur uuuuuur uuuur
= A1A3 + A3 A4 +L+ An-1An + An A1
uuuur uuuuuur uuuur
= A1A4 +L+ An-1An + An A1
L
uuuur uuuur uuuur uuuur r
= A1An + An A1 = A1An - A1An = 0
2．飛機(jī)從甲地沿北偏西 15°的方向飛行 1400km 到達(dá)乙地，再從乙地沿南偏東 75°的方向飛行 1400km 到達(dá)
丙地，畫出飛機(jī)飛行的位移示意圖，并說明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多遠(yuǎn)？
【解析】如圖，丙地在甲地的北偏東 45°方向，距甲地 1400km.
設(shè)甲地為A ，乙地為 B ，丙地為C ，作出示意圖，
則 AB = BC =1400km， NAB = SBA =15° ， SBC = 75°，
\ ABC = SBC - SBA = 60° ，
∴ ABC 是等邊三角形，
\ BAC = 60° ， AC =1400km ，
\ NAC = BAC - BAN = 45°，
即丙地在甲地北偏東 45° ，丙地距甲地1400km .
uuur uuur uuur
3．如圖，在任意四邊形 ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是 AD，BC 中點(diǎn)．求證： AB + DC = 2EF ．
【解析】因?yàn)?E，F(xiàn) 分別是 AD，BC 中點(diǎn)，
uuur uuur uuur uuur
所以， AE = ED，BF = FC .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因?yàn)?AB = AE + EF + FB，DC = DE + EF + FC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以， AB + DC = AE + EF + FB + DE + EF + FC = AE + DE +
uuur uuur
FB + FC uuur uuur+ 2EF = 2EF .
uuuv 1 uuuv
4．在 ABC 中， AD = AB, DE / /BC ，且與邊 AC 相交于點(diǎn) E， ABC 的中線 AM 與 DE 相交于點(diǎn) N.設(shè)
4
uuuv v uuuv v v v uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
AB = a, AC = b，用 a，b 分別表示向量 AE, BC, DE, DB, EC, DN , AN .
uuur 1 r uuur r r uuur 1 r r【解析】如圖 AE = b, BC = b - a, DE = b - a ，4 4
uuur r uuur r uuur r r
DB 3= a, EC 3= b, DN 1= b - a4 4 8
uuur uuuur r r
AN 1= AM 1= a + b .4 8
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
5．已知 O 為四邊形 ABCD 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量OA,OB,OC,OD滿足等式OA + OC = OB + OD .
（1）作出滿足條件的四邊形 ABCD.
（2）四邊形 ABCD 有什么特點(diǎn)？請證明你的猜想.
【解析】（1）作圖，
通過作圖可以發(fā)現(xiàn)四邊形 ABCD 為平行四邊形.
（2）四邊形 ABCD 為平行四邊形，證明如下：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因?yàn)镺A + OC = OB + OD ，所以O(shè)A - OB = OD - OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因?yàn)镺A - OB = BA,OD - OC = CD .
uuur uuur
所以BA = CD，即 AB / / CD ，因此四邊形 ABCD 為平行四邊形.
uuuv uuuv uuuv uuuv
6．如圖，O 是平行四邊形 ABCD 外一點(diǎn)，用OA,OB,OC 表示OD .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】OD = OA + AD = OA + BC = OA + OC - OB = OA - OB + OC .
易錯點(diǎn)：忽視平面向量基本定理的使用條件
易錯分析： 平面內(nèi)所有向量的一組基底必須是兩個不共線的向量，且不能含有零向量.
ur uur
【易錯題 1】如果 e1,e2 表示平面內(nèi)所有向量的一個基底，那么下列四組向量，不能作為一個基底的是
（ ）
uur ur uur ur uur uur ur
A． e2 ， e1 - 2e2 B． e1 + 2e2 ， e2 + 2e1
ur uur uur ur ur uur ur uur
C． e1 - 3e2 ，6e2 - 2e1 D． e1 - e2 ， e1 - 3e2
【答案】C
ur uur ur uur
【解析】根據(jù)平面基底的定義知，向量 e1 ， e2 為不共線非零向量，即不存在實(shí)數(shù)l ，使得 e1 = le2 ，
uur ur uur uur ur uur
對于 A 中，向量 e2 和 e1 - 2e2 ，假設(shè)存在實(shí)數(shù)l ，使得 e2 = l e1 - 2e2 ，顯然l 無解，可以作為一個基底；
ur uur uur ur ur uur uur ur ì1 = 2l
對于 B 中，向量 e1 + 2e2 和 e2 + 2e1 ，假設(shè)存在實(shí)數(shù)l ，使得 e1 + 2e2 = l e2 + 2e1 ，可得 í 無解，所以
2 = l
ur uur uur ur
e1 + 2e2 和 e2 + 2e1 可以作為基底；
ur uur uur ur ur uur uur ur ì1 = -2l
對于 C 中，向量 e1 - 3e2 和6e2 - 2e1 ，假設(shè)存在實(shí)數(shù)l ，使得 e1 - 3e2 = l 6e2 - 2e1 ，可得 í ，解得
-3 = 6l
l 1
ur uur uur ur
= - ，所以 e1 - 3e2 和6e - 2e2 2 1
不可以作為基底；
ur uur ur uur ur uur ur uur ì1 = l
對于 D 中，向量 e1 - e2 和 e1 - 3e2 ，假設(shè)存在實(shí)數(shù)l ，使得 e1 - e2 = l e1 - 3e2 ，可得 í 1 3l 無解，所以 - = -
ur uur ur uur
e1 - e2 和 e1 - 3e2 可以作為基底．
故選:C．
uuur r uuur r
【易錯題 2】在△ABC 中，D 是邊 BC 的中點(diǎn)，E 是邊 AC 上一點(diǎn)，且 AE = 2EC ，記 AB=a ， AC = b ，
uuur r r
DE = xa + yb，則 x - y = （ ）
1
A -
1 2
B C - D 2． ． ． ．
3 3 3 3
【答案】C
【解析】由 D 是邊 BC 的中點(diǎn)， AE = 2EC ，
uuur uuur uur uur uuur uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur r r
則DE = DB + BE
1
= CB + BC + CE 1 BC CE 1 (AC AB) ( 1 1 1 1 1= + = - + - AC) = - AB + AC = - a + b ，
2 2 2 3 2 6 2 6
uuur r r 1 1 2
DE = xa + yb，則 x = - ， y = ，所以 x - y = - .2 6 3
故選：C
答題模板：用基底表示向量
1、模板解決思路
當(dāng)待求向量的兩個端點(diǎn)都能夠確定位置時，一般在平面圖形中借助三角形法則或平行四邊形法則將向
量不斷向基底轉(zhuǎn)化．當(dāng)待求向量某個端點(diǎn)的位置不能確定時，一般通過向量共線定理和平面向量基本定理
解決．
2、模板解決步驟
第一步：找一個向量所在的三角形或平行四邊形，用三角形的另外兩條邊或平行四邊形的鄰邊對應(yīng)的
r r
向量 a,b 表示待求向量．
第二步：根據(jù)題中給出的線段的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
r r
第三步：將不是基底的向量作為待求向量按照第一步、第二步的方法不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化為 a,b ，直到關(guān)系
r r
式中只用 a,b 表示.
uuur uuur uuur uuur uuur
【典型例題 1】在VABC 中， 2BD = BC ，3AE = AD ，則BE =（ ）
2 uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur
A． BA - BC B． BA + BC
3 2 3 6
1 uuur uuur uuur uuur
C． BA
1
+ BC 2 1D． BA + BC
2 4 3 4
【答案】B
uuur 1 uuur uuur 1 uuur
【解析】由題意知 AE = AD ，BD = BC ，
3 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur1 1 uuur uuur uuur 1 BC uuur 2 uuur 1 uuur所以BE = BA + AE = BA + AD = BA + BD - BA = BA + - BA÷ = BA + BC .3 3 3 è 2 3 6
故選：B.
uuur
【典型例題 2】在VABC 中，點(diǎn)E 是 AB 上靠近A 的三等分點(diǎn)，F(xiàn) 是CE上靠近C 的三等分點(diǎn)，則 AF =
（ ）
1 uuur 1 uuur uuurAB AC 2 AB 1
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
A． + B． + AC C． AB
2 AC 2 AB 2+ D． + AC
9 3 9 3 9 3 9 3
【答案】C
【解析】由點(diǎn)E 是 AB 上靠近A 的三等分點(diǎn)，F(xiàn) 是CE上靠近C 的三等分點(diǎn)，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur得 AF = AC + CF = AC + CE = AC + AE - AC3 3
2 uuur 1 1 uuur 1 uuur 2 uuur
= AC + AB = AB + AC .
3 3 3 9 3
故選：C.

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