資源簡介

第 01 講 數(shù)列的基本知識與概念
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 .........................................................................................................................2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點 1：數(shù)列的概念.........................................................................................................................4
知識點 2：數(shù)列的分類.........................................................................................................................4
知識點 3：數(shù)列的兩種常用的表示方法.............................................................................................5
解題方法總結(jié)........................................................................................................................................5
題型一：數(shù)列的周期性........................................................................................................................5
題型二：數(shù)列的單調(diào)性........................................................................................................................6
題型三：數(shù)列的最大（小）項............................................................................................................8
題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題................................................................................................................9
題型五：數(shù)列的恒成立問題..............................................................................................................10
題型六：遞推數(shù)列問題......................................................................................................................11
04 真題練習(xí)·命題洞見........................................................................................................................13
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................14
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................15
易錯點：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)......................................................................................................15
答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用..............................................................................................15
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
2023 年北京卷第 10 題，4 分
（1）數(shù)列的概念 高考對數(shù)列概念的考查相對較少，考查內(nèi)
2022 年乙卷（理）第 4 題，5 分
（2）數(shù)列的分類 容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是數(shù)列
2021 年北京卷第 10 題，4 分
（3）數(shù)列的性質(zhì) 與函數(shù)結(jié)合考查單調(diào)性、周期性、最值性.
2020 年浙江卷第 11 題，4 分
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).
（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．
知識點 1：數(shù)列的概念
（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．
（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集 N *（或它的有限子集 {1，2， ，n}）
為定義域的函數(shù) an f (n)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．
【診斷自測】下列說法中，正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列2,4,6,8可表示為集合 2,4,6,8
B．?dāng)?shù)列1,2,3,4 與數(shù)列 4,3,2,1是相同的數(shù)列
C．?dāng)?shù)列 n2 + n 的第 k 項為 k 2 + k
D．?dāng)?shù)列0,1,2,3,4,L可記為 n
知識點 2：數(shù)列的分類
（1）按照項數(shù)分：有限和無限
ì遞增數(shù)列：an+1 an

遞減數(shù)列：a2 n+1
an
（ ）按單調(diào)性來分： í
常數(shù)列：an+1 an C(常數(shù))
擺動數(shù)列
1
【診斷自測】已知函數(shù) f (x) x + ，設(shè) an f (n) n N+ ，則下列說法中錯誤的是（x ）
A． an 是無窮數(shù)列 B． an 是遞增數(shù)列
C． an 不是常數(shù)列 D． an 中有最大項
知識點 3：數(shù)列的兩種常用的表示方法
（1）通項公式：如果數(shù)列{an}的第 n項與序號 n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫
做這個數(shù)列的通項公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
（2）遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第 1 項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與
它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．
【診斷自測】 n N* ，數(shù)列 1， 3，7， 15，31，× × × 的一個通項公式為（ ）
A． an 2n 1 cos nπ B． a n nπn 1 2 sin 2
C a 2n． n 1 D． an 1
n 1 2n
解題方法總結(jié)
ìS ，n 1
（1 1）若數(shù)列{an}的前 n項和為 Sn ，通項公式為 an ，則 an í
Sn Sn 1 ，n 2 ，n N
*
注意：根據(jù) Sn 求 an 時，不要忽視對 n 1的驗證．
ìa a ìa a
（2）在數(shù)列{an}中，若 a
n n 1 n n 1
n 最大，則 í ，若 an 最小，則a í
.
n an+1 an an+1
題型一：數(shù)列的周期性
ì
2an , a
1
n <
【典例 1-1】在數(shù)列 a 2 4n 中， an+1 í ，若 a1 ，則 a 1 （ ） 2a 5
2020
n
1,an 2
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
【典例 1-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列 an 中， an > 0, a1 1, a2 2 ，若對
"n N*, a2 2 2n + an+1 + an+2 10 ，則 a2024 （ ）
A． 2 B．1 C． 3 D． 5
【方法技巧】
解決數(shù)列周期性問題的方法
先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．
【變式 1-1】（2024·陜西榆林·三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進(jìn)行循環(huán)報數(shù)游戲，從甲開始依次進(jìn)行，當(dāng)
甲報出 1，乙報出 2 后，之后每個人報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報數(shù)的乘積的個位數(shù)字，則第 2024 個被報
出的數(shù)應(yīng)該為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式 1-2】（2024· *山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列 an 中， a1 2，a2 1，an+1 an an 1 n 2，n N ，則
a2024 （ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
a
【變式 1-3】（2024·遼寧· n *模擬預(yù)測）數(shù)列 an 中， a1 4， a2 3， an+1 n N , n 2a ，則 a1000 的值為n 1
（ ）
1 3 4
A． B． C．3 D．
4 4 3
【變式 1-4】（2024·全國· 5 3模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x x + 2x + 3x，數(shù)列 an 的首項為 1，且滿足
an+3 an n N* ．若 f a2023 + f a2024 + a2025 0，則數(shù)列 an 的前 2023 項和為（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
題型二：數(shù)列的單調(diào)性
【典例 2-1】（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列{an}，定義 dn an+1 an （ n 1,2,3,L），則“{an}為遞增
數(shù)列”是“{dn}為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
【典例 2-2】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足 an n a a R ，則“ a 1 ”是 an 是遞增數(shù)列的
（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【方法技巧】
解決數(shù)列的單調(diào)性問題的 3 種方法
作差比較法 根據(jù) an＋1－an 的符號判斷數(shù)列 an 是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列
an+1
作商比較法 根據(jù) (aa n
>0或an <0) 與 1 的大小關(guān)系進(jìn)行判斷
n
數(shù)形結(jié)合法 結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷
【變式 2-1】（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列 an 2的通項公式為 an n + bn，若數(shù)列 an 是單調(diào)遞增數(shù)列，
則實數(shù) b 的取值范圍為（ ）.
A． 3, + B． 2, + C． 2, + D． 3, +
【變式 2-2】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列{an}中，其前 n 項和為 Sn ，則“ S1 + S3 < 2S2 ”是“{an}為
遞減數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
2
【變式 2-3】數(shù)列 an 中前 n項和 Sn 滿足 Sn ln + 2n +1 l R ，若 an 是遞增數(shù)列，則l 的取值范圍為
（ ）
0, 1A． + B． ,+
1
÷ C． , + ÷ D． 1, +
è 2 è 2
2
【變式 2-4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 的通項公式為 a en +mnn ，則“ m 21”是
“"n N*, an a10 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
ì 3 a n 3,n < 7
【變式 2-5】已知數(shù)列 an 滿足： a í *n n 6 ，（ n N ， a > 0），數(shù)列 an 是遞增數(shù)列，則實
a , n 7
數(shù) a的可能取值為（ ）
15 16
A．2 B． C． D．4
7 7
【變式 2-6】（2024·浙江寧波·二模）已知數(shù)列 an 滿足 an ln2 n ，對任意 n 1, 2,3 都有 an > an+1，且對
任意 n n n 7,n N 都有 an < an+1，則實數(shù)l 的取值范圍是（ ）
é 1 1ù 1 1 1 1 1 1ù
A． ê , ú B． , ÷ C． , D． , 14 8 è14 7 è15 7 ÷ è15 8ú
【變式 2-7】（2024·江西·二模）已知數(shù)列 a 2 n *n 的首項 a1為常數(shù)且a1 ， a + 2a 4 n N ，若數(shù)列3 n+1 n
an 是遞增數(shù)列，則 a1的取值范圍為（ ）
2 , 2 2 , 2 U 2 4 A． B．3 3 ÷ ÷
, ÷
è è 3 3 è 3 3

C． 0,
2 2 2 4
÷ D．3
0,
3 ÷
U , ÷
è è è 3 3
題型三：數(shù)列的最大（小）項
4 n+2
【典例 3-1】已知 an n × ( ) ，則數(shù)列 an 的偶數(shù)項中最大項為（5 ）
A． a10 B．a(chǎn)8 C． a6 D．a(chǎn)4
6 *
【典例 3-2】（2024·上海·模擬預(yù)測）數(shù)列 an n N 的最小項的值為 .4n 29
【方法技巧】
求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法
（1）將數(shù)列視為函數(shù) f (x) 當(dāng) x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù) f（x）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，
或利用求函數(shù)最值的方法，求出 f (x) 的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（小）項．
ìan a
（ 2 n 1） 通 過 通 項 公 式 an 研 究 數(shù) 列 的 單 調(diào) 性 ， 利 用 í ，(n 2)確 定 最 大 項 ， 利 用
an an+1
ìan an 1
í ，(n 2)確定最小項．
an an+1
a
（3）比較法：若有 an＋1 an f (n +1) f (n) > 0或 a > 0 時
n+1 > 1，則 a ＞a ，則數(shù)列 a n a n＋1 n
n 是遞增
n
a
數(shù)列，所以數(shù)列 an 的最小項為 a1 f (1) ；若有 a n+1n＋1 an f (n +1) f (n) < 0 或 an > 0 時 < 1，則an
a a a n 1 < an ，則數(shù)列 n＋ 是遞減數(shù)列，所以數(shù)列 n 的最大項為 a1 f (1) ．
【變式 3-1】（2024·北京西城·一模）在數(shù)列 an 中，a1 2, a2 3 . *數(shù)列 bn 滿足bn an+1 an n N .若
bn 是公差為 1 的等差數(shù)列，則 bn 的通項公式為bn ， an 的最小值為 .
【變式 3-2】（2024·廣東梅州·二模）已知數(shù)列 an 的通項公式 an 1
n 3n +1
（ n N*n ），則2
n
ak a1 × a2 × × × an 的最小值為 ．
k 1
n
【變式 3-3】數(shù)列 an 的通項 an n2 5 ，則數(shù)列 an 中的最大項的值為 .+
3-4 a 1 x n ax n 2,3,4, × × × b n+1【變式 】設(shè) n 是 的展開式中 項的系數(shù)（ ），若 n n + 7 a ，則bn 的最大值n+2
是 .
a sin nπ 16n + n N* 【變式 3-5】已知 6 2 + sin nπ ，則數(shù)列 an 的最小值為 .
6
【變式 3-6】在數(shù)列 an 中， a1 4， an an 1 + 2(2 n 100)，則數(shù)列 an 的最大項的值是 ．
題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題
【典例 4-1】（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（Tower of Hanoi），是一個源于印度古老傳說的益智玩具. 如圖
所示，有三根相鄰的標(biāo)號分別為 A、B、C 的柱子， A 柱子從下到上按金字塔狀疊放著 n個不同大小的圓
盤，要把所有盤子一個一個移動到柱子 B 上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子
的上方，請問至少需要移動多少次？記至少移動次數(shù)為H n ，例如：H (1) 1， H (2) 3，則下列說法正
確的是（ ）
A． H (3) 5 B． H (n) 為等差數(shù)列
C． H (n) +1 為等比數(shù)列 D．H 7 <100
【典例 4-2】（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于
解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量
總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前 10 項依次是 0，2，4，8，12，
18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第 30 項為（ ）
A．366 B．422 C．450 D．600
【方法技巧】
特殊值法、列舉法找規(guī)律
【變式 4-1】（2024·陜西西安·三模）定義 a1 1,1 ， a2 1,2 ， a3 2,1 ， a4 1,3 ， a5 2,2 ，
a6 3,1 ， × × × n N* ，則 a2017 （ ）
A． 1,63 B． 63,1 C． 64,1 D． 1,64
【變式 4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之
（得弦）．”意即“勾” a、“股”b 與“弦” c之間的關(guān)系為 a2 + b2 c2 （其中 a b ）．當(dāng) a,b,c N* 時，有如下勾
股弦數(shù)組序列： (3, 4,5), (5,12,13), (7, 24,25)， (9, 40,41),L，則在這個序列中，第 10 個勾股弦數(shù)組中的“弦”
等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【變式 4-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦 曼德爾布羅特在 20 世紀(jì) 70 年
代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照
圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第 5 行的黑心圈的個數(shù)是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【變式 4-4】（2024·云南保山·二模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝 126l 年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如
圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的
一種幾何排列，若去除所有為 1 的項，其余各項依次構(gòu)成數(shù)列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則
此數(shù)列的第 56 項為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
題型五：數(shù)列的恒成立問題
【典例 5-1】已知數(shù)列 a n + 2 a
1 1 1
n 的前 n 項和 S n n N* 且 a1 1，若 + +L+ < mn m, n N*3 a1 a 2 an
恒成立，則m 的最小值為 ．
ì 1 ü 2 ì Sn ü 1
【典例 5-2】記 Sn ,Tn 分別為數(shù)列 an ,í 前 n 項和，已知 a1 ,í 是公差為 的等差數(shù)列．若Tn < m
an 3 an 3
恒成立，則m 的最小值為 ．
【方法技巧】
分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題．
【變式 5-1】已知數(shù)列 an 的前 n項和為 Sn ，且滿足 Sn 2an 2，若 Sn + n 1 lan 對于任意的正整數(shù) n恒
成立，則實數(shù)l 的取值范圍為 ．
【變式 5-2】（2024·高三·重慶·期中）已知數(shù)列{ an }滿足 a1 2，an+1 3an + 2，若對任意正整數(shù) n 1都有
k(an +1) 2n 3恒成立，則 k 的取值范圍是 .
【變式 5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足 an+1 + an 2n 1，若 an+1 > an 對 n N* 恒成立，則 a1
的取值范圍為 .
題型六：遞推數(shù)列問題
2
【典例 6-1】（2024·天津·二模）在數(shù)列 an 中，若 a1a2 × × × a 3n 2nn （ n N* ），則a3的值為（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
ìa 1,n為奇數(shù) 10
【典例 6-2】（2024· n重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足： a1 1, an+1 í n ，則 a2 ,n k （ ） 為偶數(shù) k 1
A．511 B．677 C．1021 D．2037
【方法技巧】
列舉法
1 1 1
【變式 6-1】（2024·貴州遵義·一模）數(shù)列 an 滿足 a1 ，對任意正整數(shù) p，q 都有 apaq ( + )a2 p q p+q ，則
a6
a （ ）8
16 32
A．4 B． C．6 D．
3 3
【變式 6-2】（2024·廣東汕頭·三模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，
后人稱為“三角垛”.已知一個三角垛，最頂層有 1 個小球，第二層有 3 個，第三層有 6 個，第四層有 10 個，
則第 30 層小球的個數(shù)為（ ）
A．464 B．465 C．466 D．467
【變式 6-3】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二
是第 1 代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第 2 代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為 1，
則第 n 代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)與面積的和分別為（ ）
A． 2n 1；n B． 2n 1； n +1
C． 2n+1 1；n D． 2n+1 1； n +1
【變式 6-4】某劇場有 30 排座位，第一排有 20 個座位，從第二排起，后一排都比前一排多 2 個座位．
(1)寫出前五排座位數(shù)．
(2)第 n排與第 n +1排座位數(shù)有何關(guān)系？
(3)第 n排座位數(shù) an 與第 n +1排座位數(shù) an+1能用等式表示嗎？
【變式 6-5】觀察下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，回答
(1)寫出圖中點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列 an 的一個遞推公式；并根據(jù)這個遞推公式，求出數(shù)列 an 的通項公式；
ì
S 1
ü 3
(2)若 n 是數(shù)列 í 的前 n項和，證明： Sn < .
an 4
.
1 3
1．（2023 年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知數(shù)列 an 滿足 an+1 a 6 + 6(n 1,2,3,L)，則（ ）4 n
A．當(dāng) a1 3時， an 為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M ≤0，使得 an > M 恒成立
B．當(dāng) a1 5時， an 為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M 6 ，使得 an < M 恒成立
C．當(dāng) a1 7時， an 為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M > 6，使得 an > M 恒成立
D．當(dāng) a1 9時， an 為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M > 0，使得 an < M 恒成立
2．（2022 年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列 an 滿足a1 1,a
1
n+1 an a
2
n n N* ，則（ ）3
A．2 100a
5 5
< 100 < B． < 100a100 < 3
7 7
C．3 < 100a100 < D． < 100a100 < 42 2 2 2
3．（2022 年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我
國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列 bn ：
1
b 1 1+ b
1 b 1+
2 1+ 3 1
1 a ， a +
1 ， a1 + 1 ，…
*
，依此類推，其中ak N (k 1,2,L)．則（ ）
1 1 a a +2 2 a3
A．b1 < b5 B．b3 < b8 C．b6 < b2 D．b4 < b7
4．（2022 年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列 an 各項均為正數(shù)，其前 n 項和 Sn 滿足
an × Sn 9(n 1,2,L)．給出下列四個結(jié)論：
① an 的第 2 項小于 3； ② an 為等比數(shù)列；
③ an 為遞減數(shù)列； ④ a
1
n 中存在小于 的項．100
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
1．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列 an 的前 5 項：
（1 a n 1） 1 1， an an 1 + 2 (n 2)；
2
（2） a1 3， an an 1 +1(n 2) .3
1
2．已知數(shù)列 an 滿足 a1 2， an 2 (n 2)a ，寫出它的前 5 項，并猜想它的通項公式.n 1
3．寫出下列數(shù)列的前10項，并繪出它們的圖像：
（1）素數(shù)按從小到大的順序排列成的數(shù)列；
（2）歐拉函數(shù)j n (n N )的函數(shù)值按自變量從小到大的順序排列成的數(shù)列.
4．已知數(shù)列 an 的第 1 項是 1，第 2 項是 2，以后各項由 an an 1 + an 2 n > 2 給出.
（1）寫出這個數(shù)列的前 5 項；
b a2 a n+1（ ）利用數(shù)列 n ，通過公式 n 構(gòu)造一個新的數(shù)列 bn ，試寫出數(shù)列 ba n 的前 5 項.n
5．假設(shè)某銀行的活期存款年利率為0.35% 某人存 10 萬元后，既不加進(jìn)存款也不取款，每年到期利息連同
本金自動轉(zhuǎn)存，如果不考慮利息稅及利率的變化，用 an 表示第 n年到期時的存款余額，求 a1、 a2、a3及
an .
x
6．已知函數(shù) f x 2 1 x x R ，設(shè)數(shù)列 an 的通項公式為 a2 n
f (n)(n N*) .
1
（1）求證 an .2
（2） an 是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？
易錯點：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)
易錯分析：解題時容易找不到數(shù)列中的每項之間的相似地方，總結(jié)不出來一般規(guī)律。
1 1 3 2 5
【易錯題 1】已知數(shù)列{an}的前 5 項依次為 , , , , ，則 an 的一個通項公式為 an ．3 2 5 3 7
8 15 24
【易錯題 2】數(shù)列 1， ， ， ，…的一個通項公式是 ．
5 7 9
答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用
1、模板解決思路
判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法，一般采用作差法比較數(shù)列中相鄰兩項的大小； 當(dāng)數(shù)列各項符號相同時，
也可用作商法比較； 還可以利用數(shù)列通項公式所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性．
2、模板解決步驟
第一步：根據(jù)條件求出數(shù)列的通項公式．
a
第二步：作差 an+1 an （或作商 n+1 ），并化簡．a(chǎn)n
a
第三步：討論 an+1 an 與0 （或 n+1 與 1）的大小，得出數(shù)列的單調(diào)性．a(chǎn)n
【典型例題 1】設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ，則“ an 是遞增數(shù)列”是“ Sn 是遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2
【典型例題 2】已知數(shù)列 an 的通項公式為 an kn n 2，若 an 為遞增數(shù)列，則 k 的取值范圍為（ ）
1, 1 1A． + B． 0, + C． , + ÷ D． ,+
è 2 è 3 ÷ 第 01 講 數(shù)列的基本知識與概念
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 .........................................................................................................................2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點 1：數(shù)列的概念.........................................................................................................................4
知識點 2：數(shù)列的分類.........................................................................................................................4
知識點 3：數(shù)列的兩種常用的表示方法.............................................................................................5
解題方法總結(jié)........................................................................................................................................6
題型一：數(shù)列的周期性........................................................................................................................6
題型二：數(shù)列的單調(diào)性........................................................................................................................8
題型三：數(shù)列的最大（小）項..........................................................................................................13
題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題..............................................................................................................17
題型五：數(shù)列的恒成立問題..............................................................................................................20
題型六：遞推數(shù)列問題......................................................................................................................23
04 真題練習(xí)·命題洞見........................................................................................................................27
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................35
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................37
易錯點：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)......................................................................................................37
答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用..............................................................................................38
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
2023 年北京卷第 10 題，4 分
（1）數(shù)列的概念 高考對數(shù)列概念的考查相對較少，考查內(nèi)
2022 年乙卷（理）第 4 題，5 分
（2）數(shù)列的分類 容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是數(shù)列
2021 年北京卷第 10 題，4 分
（3）數(shù)列的性質(zhì) 與函數(shù)結(jié)合考查單調(diào)性、周期性、最值性.
2020 年浙江卷第 11 題，4 分
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).
（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．
知識點 1：數(shù)列的概念
（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．
（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集 N *（或它的有限子集 {1，2， ，n}）
為定義域的函數(shù) an f (n)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．
【診斷自測】下列說法中，正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列2,4,6,8可表示為集合 2,4,6,8
B．?dāng)?shù)列1,2,3,4 與數(shù)列 4,3,2,1是相同的數(shù)列
C．?dāng)?shù)列 n2 + n 的第 k 項為 k 2 + k
D．?dāng)?shù)列0,1,2,3,4,L可記為 n
【答案】C
【解析】對于 A，由數(shù)列的定義易知 A 錯誤；
對于 B，兩個數(shù)列排列次序不同，是不同的數(shù)列，故 B 錯誤；
對于 C 2，數(shù)列 n + n 的第 k 項為 k 2 + k ，故 C 正確；
對于 D，因為0 N ，所以 n N ，這與數(shù)列的定義不相符，故 D 錯誤.
故選：C.
知識點 2：數(shù)列的分類
（1）按照項數(shù)分：有限和無限
ì遞增數(shù)列：an+1 an

遞減數(shù)列：an+1 an
（2）按單調(diào)性來分： í
常數(shù)列：an+1 an C(常數(shù))
擺動數(shù)列
【診斷自測】已知函數(shù) f (x) x
1
+ ，設(shè) an f (n) n N+ ，則下列說法中錯誤的是（x ）
A． an 是無窮數(shù)列 B． an 是遞增數(shù)列
C． an 不是常數(shù)列 D． an 中有最大項
【答案】D
【解析】對于 A ， an 顯然是無窮數(shù)列，故 A 正確；
a a n 1 1 1 1對于 B，因為 n+1 - n + + - n - 1- > 0，即 an+1 > an ，即 an 1 n n(n 1) n 是遞增數(shù)列，故 B 正確；+ +
對于 C，因為 a1 2 a 2
1 5
， 2 + ， a1 a2 ，故 an 不是常數(shù)列，故 C 正確；2 2
對于 D，由 B 知， a 1n 是遞增數(shù)列，當(dāng) n趨近于無窮大時， an n + 也趨近于無窮大，所以 an 中無最大n
項，故 D 錯誤.
故選：D
知識點 3：數(shù)列的兩種常用的表示方法
（1）通項公式：如果數(shù)列{an}的第 n項與序號 n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫
做這個數(shù)列的通項公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
（2）遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第 1 項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與
它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．
【診斷自測】 n N* ，數(shù)列 1，-3，7，-15，31，× × × 的一個通項公式為（ ）
A． a 2n -1 cos nπ a 1 2n sin nπn B． n - 2
C． an 2
n -1 D． an -1
n 1- 2n
【答案】D
【解析】對于選項 A：因為 a1 2 -1 cos π -1 1，故 A 錯誤；
對于選項 B：因為 a2 1- 22 sinπ 0 -3，故 B 錯誤；
對于選項 C：因為 a2 2
2 -1 3 -3，故 C 錯誤；
對于選項 D：檢驗可知對 n 1,2,3,4,5均成立，故 D 正確；
故選：D.
解題方法總結(jié)
ìS ，n 1
（1）若數(shù)列{an}
1
的前 n項和為 Sn ，通項公式為 an ，則 an í
S - S ，n 2 ，n N * n n-1
注意：根據(jù) Sn 求 an 時，不要忽視對 n 1的驗證．
ìan an-1 ìan a2 {a } a n-1（ ）在數(shù)列 n 中，若 n 最大，則 í ，若 a 最小，則 .
an a
n í
n+1 an an+1
題型一：數(shù)列的周期性
ì 1
2an , an <
【典例 1-1】在數(shù)列 an 中， an+1
2 4
í ，若 a1 ，則 a （ ）
2a 1,a 1- 5
2020
n n 2
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】C
ì2a , a 1 <
a
n n 2 4
【解析】因為 n+1 í 且 a1 ，
2a -1,a 1 5
n n 2
4 3 3 1
所以 a2 2a1 -1 2 -1 ， a3 2a2 -1 2 -1 ，5 5 5 5
a4 2a
2 a 2a 4 4 33 ， 5 4 ， a6 2a5 -1 2 -1 ，LL，5 5 5 5
a a a a 2所以 n 是以 4為周期的周期數(shù)列，所以 2020 4 504+4 4 .5
故選：C
【典例 1-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列 an 中， an > 0, a1 1, a2 2 ，若對
"n N*, a2 2 2n + an+1 + an+2 10 ，則 a2024 （ ）
A． 2 B．1 C． 3 D． 5
【答案】A
2 2
【解析】由 an+1 + an+2 + a
2 10 a2n+3 與 n + a
2
n+1 + a
2 10 a2 2n+2 相減得： n+3 - an 0，
即 (an+3 - an )(an+3 + an ) 0，又 an > 0，故 an+3 an ，所以 a2024 a2021 L a2 2 .
故選：A.
【方法技巧】
解決數(shù)列周期性問題的方法
先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．
【變式 1-1】（2024·陜西榆林·三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進(jìn)行循環(huán)報數(shù)游戲，從甲開始依次進(jìn)行，當(dāng)
甲報出 1，乙報出 2 后，之后每個人報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報數(shù)的乘積的個位數(shù)字，則第 2024 個被報
出的數(shù)應(yīng)該為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】報出的數(shù)字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6L，除了首項以外是個周期為 6 的周期數(shù)列.
去掉首項后的新數(shù)列第一項為 2，
因為 2023 337 6 +1，所以原數(shù)列第 2024 個被報出的數(shù)應(yīng)該為 2.
故選：A.
*
【變式 1-2】（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列 an 中， a1 2，a2 1，an+1 an - an-1 n 2，n N ，則
a2024 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由 a1 2,a2 1,an+1 an - an-1 n 2,n N* ，得
a3 a2 - a1 -1，
a4 a3 - a2 -2，
a5 a4 - a3 -1，
a6 a5 - a4 1，
a7 a6 - a5 2，
a8 a7 - a6 1，
LL
則{an}是以 6 為周期的周期數(shù)列，
所以 a2024 a337 6+2 a2 1 .
故選：C
a
【變式 1-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）數(shù)列 an 中， a 4 a 3 a n n N*1 ， 2 ， n+1 , n 2 aa ，則 1000 的值為n-1
（ ）
1 3 4
A． B． C．3 D．
4 4 3
【答案】A
an *
【解析】因為 a1 4， a2 3， an+1 n N , n 2a ，n-1
a a2 3 a 1令 n 2，可得 3 ；令n 3，可得 a4 3 a 4 a 4 ；1 2
a 1 a 4
令 n 4 4 5，可得 a5 a 3 ；令 n 5，可得
a6
3 a 3
；
4
a a
令 n 6 6 7，可得 a7 4；令 n 7，可得 a8 3a a ；5 6
可知數(shù)列 an 是以 6 為周期的周期數(shù)列，
所以 a
1
1000 a166 6+4 a4 .4
故選：A.
5 3
【變式 1-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x x + 2x + 3x，數(shù)列 an 的首項為 1，且滿足
an+3 an n N* ．若 f a2023 + f a2024 + a2025 0，則數(shù)列 an 的前 2023 項和為（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【答案】B
5
【解析】因為函數(shù) f x x + 2x3 + 3x，則 f (x) 5x4 + 6x2 + 3 > 0，
所以函數(shù) f x x5 + 2x3 + 3x在R 上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)．
Qa *n+3 an n N ，\a1 a2023 1,a2 a2024 ,a3 a2025 ，
\ f a1 + f a2 + a3 f a2023 + f a2024 + a2025 0，
\ f a1 - f a2 + a3 f -a2 - a3 ，\a1 -a2 - a3，即 a1 + a2 + a3 0 ，
\數(shù)列 an 的前 2023 項和為674 a1 + a2 + a3 + a2023 0 + a1 1．
故選：B．
題型二：數(shù)列的單調(diào)性
【典例 2-1】（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列{an}，定義 dn an+1 - an （ n 1,2,3,L），則“{an}為遞增
數(shù)列”是“{dn}為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
【答案】D
【解析】{an}為遞增數(shù)列時，有 dn an+1 - an > 0，不能得到{dn}為遞增數(shù)列，充分性不成立；
{dn}為遞增數(shù)列時，不一定有 dn > 0，即不能得到{an}為遞增數(shù)列，必要性不成立.
所以“{an}為遞增數(shù)列”是“{dn}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
【典例 2-2】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足 an n - a a R ，則“ a 1 ”是 an 是遞增數(shù)列的
（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】當(dāng) a 1時 an n - a 0，則 an n - a n - a ，
所以 an+1 - an n +1- a - n - a 1 > 0，即 an+1 > an ，所以 an 是遞增數(shù)列，故充分性成立；
ì1
5 a n 5
,n 1
當(dāng) a

4時 n - í ，則 a1 < a2 < a 4
所以當(dāng)數(shù)列 an 是遞增數(shù)列， a可以大于1，所以必要性不成立，
所以“ a 1 ”是 an 是遞增數(shù)列的充分不必要條件.
故選：B
【方法技巧】
解決數(shù)列的單調(diào)性問題的 3 種方法
作差比較法 根據(jù) an＋1－an 的符號判斷數(shù)列 an 是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列
a
根據(jù) n+1作商比較法 (an >0或an <0) 與 1 的大小關(guān)系進(jìn)行判斷an
數(shù)形結(jié)合法 結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷
【變式 2-1】（2024· 2天津南開·二模）設(shè)數(shù)列 an 的通項公式為 an n + bn，若數(shù)列 an 是單調(diào)遞增數(shù)列，
則實數(shù) b 的取值范圍為（ ）.
A． -3, + B． -2, + C． -2, + D． -3, +
【答案】A
2
【解析】由題意可得 an+1 - an > 0恒成立，即 n +1 + b n +1 - n2 - bn 2n +1+ b > 0 ，
即b > -2n -1，又 n 1，-2n -1 -3，故b -3, + .
故選：A.
【變式 2-2】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列{an}中，其前 n 項和為 Sn ，則“ S1 + S3 < 2S2 ”是“{an}為
遞減數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不
必要條件
【答案】C
【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d ，
由 S1 + S3 < 2S2 ，可得 a1 + a1 + a2 + a3 < 2 a1 + a2 ，
所以 a3 - a2 < 0，即 d < 0 ，
所以{an}為遞減數(shù)列，
所以“ S1 + S3 < 2S2 ”是“{an}為遞減數(shù)列”的充分條件，
若{an}為遞減數(shù)列，則 a1 > a2 > a3，
所以 S1 + S3 - 2S2 a1 + a1 + a2 + a3 - 2 a1 + a2 a3 - a2 < 0，
所以 S1 + S3 < 2S2 ，
所以“ S1 + S3 < 2S2 ”是“{an}為遞減數(shù)列”的必要條件，
所以“ S1 + S3 < 2S2 ”是“{an}為遞減數(shù)列”的充分必要條件，
故選：C.
2
【變式 2-3】數(shù)列 an 中前 n項和 Sn 滿足 Sn ln + 2n +1 l R ，若 an 是遞增數(shù)列，則l 的取值范圍為
（ ）
0, + 1 ,+ 1 A． B． ÷ C． - , + ÷ D． -1, +
è 2 è 2
【答案】B
【解析】因為 Sn ln
2 + 2n +1 l R ，
則 Sn+1 l n +1
2 + 2 n +1 +1 l R ，
兩式相減得 an+1 Sn+1 - Sn l(2n +1) + 2，
因為數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，
所以當(dāng) n 2時， an+1 - an [l(2n +1) + 2]-[2l(n -1) + l + 2] 2l > 0，解得l > 0 .
當(dāng) n 1時， a1 S1 l + 3, a2 3l + 2，
所以 a2 - a1 (3l + 2) - (l + 3) 2l -1 > 0 l
1
，解得 > .
2
l 1綜上 > .
2
故選：B.
2
【變式 2-4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 的通項公式為 an en +mn，則“ m -21”是
“"n N*, an a10 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
m
【解析】二次函數(shù) y x2 + mx 圖象的開口向上，對稱軸是直線 x - ，
2
且 y ex 在定義域R 內(nèi)單調(diào)遞增，
m
當(dāng) x < - 時， y x2 + mx 2單調(diào)遞減， y ex +mx單調(diào)遞減；2
x m當(dāng) > - 時， y x2 + mx 單調(diào)遞增， y ex
2 +mx單調(diào)遞增；
2
2
因為 a en +mn中的自變量 nn 為正整數(shù)，且"n N
*, an a10，
19 m 21
則 - ，解得-21 m -19 ，
2 2 2
顯然 -21, -19 是 -21, + 的真子集，
“ m -21” “"n N*所以 是 , an a10 ”的必要不充分條件.
故選：B.
ì 3- a n - 3,n < 7
【變式 2-5】已知數(shù)列 an 滿足： an í n-6 ，（ n N* ， a > 0），數(shù)列 an 是遞增數(shù)列，則實
a , n 7
數(shù) a的可能取值為（ ）
15 16
A．2 B． C． D．4
7 7
【答案】C
ì 3- a n - 3,n < 7【解析】因為 an f n í n-6 ， n N*，且 an 為遞增數(shù)列，
a , n 7
ì3- a > 0 ì3- a > 0

所以 ía >1 ，即 ía >1
15
，解得 < a < 3，
a > a
7
7 6 6 3- a - 3 < a
16
結(jié)合選項可知 符合題意，
7
故選：C.
【變式 2-6】（2024·浙江寧波·二模）已知數(shù)列 a a ln2n 滿足 n - n ，對任意 n 1, 2,3 都有 an > an+1，且對
任意 n n n 7,n N 都有 an < an+1，則實數(shù)l 的取值范圍是（ ）
é 1 , 1ù 1 , 1 1 1 1 1ùA． ê ú B． ÷ C． , ÷ D． , 14 8 è14 7 è15 7 è15 8ú
【答案】C
【解析】因為對任意 n 1, 2,3 都有 an > an+1，
所以數(shù)列 an 在 1,3 上是遞減數(shù)列，
因為對任意 n n n 7,n N 都有 an < an+1，
所以數(shù)列 an 在 7, + 上是遞增數(shù)列，
ì
l > 0

1 7 1 1
所以 í > ，解得 < l < ，
2l 2 15 7
1 15
< 2l 2
1 1l 所以實數(shù) 的取值范圍是 , .
è15 7 ÷
故選：C.
【變式 2-7】（2024·江西·二模）已知數(shù)列 an
2
的首項 a1為常數(shù)且a1 ， an+1 + 2a
n
n 4 n N* ，若數(shù)列3
an 是遞增數(shù)列，則 a1的取值范圍為（ ）
2 2 2 2 2
A． - , ÷ B． - , ÷ U ,
4
÷
è 3 3 è 3 3 è 3 3
0, 2 0, 2 U 2 4 C． ÷ D．3 ÷
,
3 3 3 ÷è è è
【答案】B
n
【解析】因為 an+1 + 2an 4 ，
a 1- 4n+1 1 n 所以 n+1 -2 an - 46 ÷
，
è 6
2 2
由于a1 ，即 a1 - 03 ，3
ì 4n ü 2
可得數(shù)列 ían - 6 是首項為
a1 - ，公比為-2的等比數(shù)列， 3
1 n
則 an 4 + a
2
- 1 ÷ -2
n-1
，因為數(shù)列 a6 3 n 是遞增數(shù)列，可得 an+1 > a ，è n
1 4n+1 (a 2) ( 2)n 1 2即 + 1 - × - > 4
n + (a1 - ) × (-2)
n-1
6 3 6 3 對任意的正整數(shù)
n都成立．
n 2 1 2 1當(dāng) 為偶數(shù)時， a1 > - 2n
ì n ü
3 3 恒成立，由于數(shù)列
í - 23 3 單調(diào)遞減，
2 1 2n 2 4 2 2可得 - - -3 3 3 3 3 ，則
a1 > - 3 ；
n 2 1 n ì2 1 n ü當(dāng) 為奇數(shù)時， a1 < + 2 í + 2 3 3 恒成立，由于數(shù)列 3 3 單調(diào)遞增，
2 1 2n 2 2 4
4
可得 + + ，則 a1 <3 3 3 3 3 ；3
2 2 2 4
綜上可得 a1的取值范圍是 - , U , ．
è 3 3 ÷ ÷ è 3 3
故選：B ．
題型三：數(shù)列的最大（小）項
4 n+2
【典例 3-1】已知 an n × ( ) ，則數(shù)列 an 的偶數(shù)項中最大項為（5 ）
A． a10 B．a(chǎn)8 C． a6 D．a(chǎn)4
【答案】D
(n +1)(4)n+3
【解析】數(shù)列 a a 4 n +1n 中， an n × (
4)n+2，則 n+1 54 ，5 an n × ( )n+2 5 n
5
4 n +1
令 >1，解得 n < 4，則當(dāng) n < 4時， an+1 > an ，即 a5 n 4
> a3 > a2 > a1，
同理當(dāng) n > 4時， an+1 < an ，即 a5 > a6 > a7 > a8 >L，而當(dāng) n 4時， a5 a4 ，
所以數(shù)列 an 的偶數(shù)項中最大項為a4 .
故選：D
6
【典例 3-2】（2024·上海· *模擬預(yù)測）數(shù)列 an n N 的最小項的值為 .4n - 29
【答案】-6
6 29
【解析】令 an < 0，得 n < ，4n - 29 4
令 a
6
n > 0 n
29
，得 > ，
4n - 29 4
所以當(dāng) n 7 時， an < 0，當(dāng)n 8時， an > 0，
y 6而函數(shù) 在 1,7 上單調(diào)遞減，
4x - 29
所以當(dāng) n 7時， an 取得最小值-6，
6 *
即數(shù)列 an n N 的最小項的值為-6 .4n - 29
故答案為：-6 .
【方法技巧】
求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法
（1）將數(shù)列視為函數(shù) f (x) 當(dāng) x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù) f（x）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，
或利用求函數(shù)最值的方法，求出 f (x) 的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（小）項．
ìa a
（ 2 n n-1） 通 過 通 項 公 式 an 研 究 數(shù) 列 的 單 調(diào) 性 ， 利 用 í ，(n 2)確 定 最 大 項 ， 利 用
an an+1
ìan an-1
í ，(n 2)確定最小項．
an an+1
a
（3）比較法：若有 an＋1 - an f (n +1) - f (n) > 0或 an > 0 時
n+1 > 1，則 an＋1＞a ，則數(shù)列 an n 是遞增an
a
數(shù)列，所以數(shù)列 an 的最小項為 a1 f (1) ；若有 an＋1 - an f (n +1) - f (n) < 0 或 an > 0 時 n+1 < 1，則an
a an an n＋1 < an ，則數(shù)列 是遞減數(shù)列，所以數(shù)列 的最大項為 a1 f (1) ．
【變式 3-1】（2024·北京西城·一模）在數(shù)列 an a *中， 1 2, a2 -3 .數(shù)列 bn 滿足bn an+1 - an n N .若
bn 是公差為 1 的等差數(shù)列，則 bn 的通項公式為bn ， an 的最小值為 .
【答案】 n - 6 -13
【解析】由題意b1 a2 - a1 -5，又等差數(shù)列 bn 的公差為 1，所以bn -5 + n -1 ×1 n - 6；
故 an+1 - an n - 6，所以當(dāng) n 6 時， an+1 - an 0，當(dāng) n > 6時， an+1 - an > 0，
所以 a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 a7 < a8 < a9 < ×××，顯然 an 的最小值是 a6 .
又 an+1 - an n - 6，所以 a6 a1 + a2 - a1 + a3 - a2 + a4 - a3 + a5 - a4 + a6 - a5
2 + -5 + -4 + -3 + -2 + -1 -13，即 an 的最小值是-13 .
故答案為： n - 6，-13
n 3n +1
【變式 3-2】（2024·廣東梅州·二模）已知數(shù)列 an 的通項公式 an -1 *2n （ n N ），則
n
ak a1 × a2 × × × an 的最小值為 ．
k 1
7
【答案】- / -3.5
2
n a 3n +1 n a 3n +1【解析】由于當(dāng) 為奇數(shù)時， n - n ，當(dāng) 為偶數(shù)時， n n ，2 2
n
要求 ak a1 × a2 × × × an 的最小值，只需要考慮出現(xiàn)奇數(shù)個奇數(shù)項時即可，
k 1
3 n +1 +1
a n+1 3n + 4
又 n+1 2
a 3n +1
<1 a < a ，
n 2 3n +1 n+1 n
2n
且當(dāng) n 4 a
3 4 +1
時， 4 4 <1，因此n 4時， an < a4 <1，2
n
n 7 7當(dāng) 2， ak a1a2 -2 - ，
k 1 4 2
n
a a a a a a 7 5 13 1 455 7當(dāng)n 5， k 1 2 3 4 5 -2 - - ÷ ÷ - > - ，
k 1 4 è 4 16 è 2 256 2
7
綜上，最小值為- .
2
7
故答案為：-
2
a a n【變式 3-3】數(shù)列 n 的通項 n 2 ，則數(shù)列 an 中的最大項的值為 .n + 5
2
【答案】 9
a n
n +1 n +1
【解析】因為 n n2 5 ，則
an+1
+ n +1 2 + 5 n2 + 2n + 6 ，
n +1
2
a n2
3 2
n+1 + 2n + 6
n +1 × n + 5 n + n + 5n + 5
則 ，
a n 2 3 2n n × n + 2n + 6 n + 2n + 6n
n2 + 5
an+1
令 >1，即 n3a + n
2 + 5n + 5 > n3 + 2n2 + 6n，因為 n N*，
n
解得 n 1，所以 a2 > a1，
an+1
令 <1，解得 n 2,n N*a ，n
所以 a1 < a2 ,a2 > a3 > a4 > a5 >L，
2 2
故數(shù)列 an 中的最大項為 a2，其值為 a2 .22 + 5 9
2
故答案為： 9 .
【變式 3-4】設(shè) an 是 n a1- x 的展開式中 x 項的系數(shù)（ n 2,3,4, × × × n+1），若bn n + 7 a ，則bn 的最大值n+2
是 .
2
【答案】 33
a C2a C2 ,\b n+1 n+1 n 1
【解析】 n n n (n + 7)an+2 (n + 7)C
2
n+2 (n + 7)(n + 2) n 14 ，+ + 9
n
因為 y n
14
+ 在 0, 14 是減函數(shù)，在 14,+ 是增函數(shù)，且 n 2,3,4,L，n
n 3 y 3 14 23 14 15 23 15 時， + ，所以 n 4時 ymin 4 + ， > ，3 3 4 2 3 2
y 15
a 1 2
所以 min
n+1
，所以bn (n + 7)a 的最小值是 152 + 9 33
.
n+2 2
2
故答案為： 33
a sin nπ 16+ n N*
【變式 3-5】已知 n 6 2 sin nπ+ ，則數(shù)列 an 的最小值為 .
6
19
【答案】
3
Qan 2 + sin
nπ 16
+ - 2
【解析】 6 2 + sin nπ ，
6
t 2 nπ 16令 + sin > 0,\an t + - 2 ，6 t
由對勾函數(shù)的性質(zhì)得：
當(dāng) t 0,4 時遞減， t 4,+ 時遞增，
當(dāng) t 3, n 12k + 3 k N 時， an 有最小值，
16 19
最小值為3+ - 2 .
3 3
19
故答案為：
3
【變式 3-6】在數(shù)列 an 中， a1 4， an an-1 + 2(2 n 100)，則數(shù)列 an 的最大項的值是 ．
【答案】4
【解析】根據(jù) a1 4以及 an an-1 + 2(2 n 100)，可知 an > 0，
2
所以 an an-1 + 2 ① a
2
，則 n+1 an + 2 ②，
由② - ① 2 2得 an+1 - an an - an-1，即 an+1 + an an+1 - an an - an-1 (2 n 100)，
因為 an > 0，所以 an+1 - an 與 an - an-1 同號，
又因為 a2 a1 + 2 6 ，且 a2 - a1 6 - 4 < 0 ，
所以 an - an-1 < 0，所以數(shù)列 an 為單調(diào)遞減數(shù)列，
所以因此數(shù)列 an 的最大項是 a1，其值是 4．
故答案為：4.
題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題
【典例 4-1】（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（Tower of Hanoi），是一個源于印度古老傳說的益智玩具. 如圖
所示，有三根相鄰的標(biāo)號分別為 A、B、C 的柱子， A 柱子從下到上按金字塔狀疊放著 n個不同大小的圓
盤，要把所有盤子一個一個移動到柱子 B 上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子
的上方，請問至少需要移動多少次？記至少移動次數(shù)為H n ，例如：H (1) 1， H (2) 3，則下列說法正
確的是（ ）
A． H (3) 5 B． H (n) 為等差數(shù)列
C． H (n) +1 為等比數(shù)列 D．H 7 <100
【答案】C
【解析】由題意知若有 1 個圓盤，則需移動一次：
若有 2 個圓盤，則移動情況為： A C, A B,C B，需移動 3 次；
若有 3 個圓盤，則移動情況如下：
A B, A C, B C, A B,C A,C B, A B，共 7 次，故 H (3) 7 ，A 錯誤；
由此可知若有 n 個圓盤，設(shè)至少移動 an 次，則 an 2an-1 +1 ,
所以 an +1 2 an-1 +1 ，而 a1 +1 1+1 2 0，故 an +1 為等比數(shù)列，
a 2n -1 H n 2n故 n 即 -1，該式不是 n 的一次函數(shù)，
則 H (n) 不為等差數(shù)列，B 錯誤；
H n +1 +1
又H n 2n -1 n，則H n +1 2 ， 2 ，則 H (n) +1H n 1 為等比數(shù)列，C 正確，+
H 7 27 -1 127 >100，D 錯誤，
故選：C
【典例 4-2】（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于
解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量
總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前 10 項依次是 0，2，4，8，12，
18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第 30 項為（ ）
A．366 B．422 C．450 D．600
【答案】C
【解析】由題意，大衍數(shù)列的偶數(shù)項為 2,8,18,32,50,L，
2
可得該數(shù)列 an 的偶數(shù)項的通項公式為 a2n 2n ，
所以此數(shù)列 an 的第 30 項為 a30 2 152 450 .
故選：C.
【方法技巧】
特殊值法、列舉法找規(guī)律
【變式 4-1】（2024·陜西西安·三模）定義 a1 1,1 ， a2 1,2 ， a3 2,1 ， a4 1,3 ， a5 2,2 ，
a *6 3,1 ， × × × n N ，則 a2017 （ ）
A． 1,63 B． 63,1 C． 64,1 D． 1,64
【答案】D
【解析】依題意，把 a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,L排列成如下數(shù)陣：
(1,1)
(1,2), (2,1)
(1,3), (2, 2), (3,1)
(1,4), (2,3), (3, 2), (4,1)
LL,LL,LL,LL,LL
第 n 行有 n 個數(shù)對，各個數(shù)對的兩數(shù)和為 n +1，每個數(shù)對的第一個數(shù)從左起依次為 1，2，3，…，n，
n(n +1) n(n +1) 63(63+1)
則前 n 行共有 個數(shù)對，顯然數(shù)列{ }單調(diào)遞增，而 2016，
2 2 2
所以 a2017 是第 64 行第一個數(shù)對，即 1,64 .
故選：D
【變式 4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之
（得弦）．”意即“勾” a、“股”b 與“弦” c之間的關(guān)系為 a2 + b2 c2 （其中 a b ）．當(dāng) a,b,c N* 時，有如下勾
股弦數(shù)組序列： (3, 4,5), (5,12,13), (7, 24,25)， (9, 40,41),L，則在這個序列中，第 10 個勾股弦數(shù)組中的“弦”
等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【答案】C
a2 + b2 c2 a2 2【解析】因為 ，所以 c - b2 c + b c - b ．
在給定的勾股弦數(shù)組序列中， c - b 1，所以 a2 c + b．
*
易得勾股弦數(shù)組序列中“勾”的通項公式為 an 2n +1 n N ，
所以 a2n 2n +1
2 4n2 + 4n +1 2n2 + 2n + 2n2 + 2n +1),n N* ，
故“ 2弦”的通項公式為 cn 2n + 2n +1 n N* ．
所以第 10 個勾股弦數(shù)組中的“弦”等于 2 102 + 2 10 +1 221．
故選：C．
【變式 4-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦 曼德爾布羅特在 20 世紀(jì) 70 年
代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照
圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第 5 行的黑心圈的個數(shù)是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【答案】C
【解析】設(shè)題圖②中第 n行白心圈的個數(shù)為 an ，黑心圈的個數(shù)為bn ，
依題意可得 a + b 3n-1n n ，且有 a1 1,b1 0 ，
所以 an + bn 是以 a1 +b1 =1為首項，3 為公比的等比數(shù)列，
\a + b 3n-1n n ①；
又 an+1 2an + bn ，bn+1 2bn + an ，
故有 an+1 - bn+1 an - bn ，
∴ an - bn 為常數(shù)數(shù)列，且 a1 - b1 1，所以 an - bn 是以 a1 - b1 1為首項，1 為公比的等比數(shù)列，
\an - bn 1②；
由①②相加減得：
a 3
n-1 +1 3n-1 -1
\ n ，bn ；2 2
4
b 3 -1所以 5 40．2
故選：C．
【變式 4-4】（2024·云南保山·二模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝 126l 年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如
圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的
一種幾何排列，若去除所有為 1 的項，其余各項依次構(gòu)成數(shù)列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則
此數(shù)列的第 56 項為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】由題意可知：若去除所有的為 1 的項，則剩下的每一行的個數(shù)為 1，2，3，4，...，
n n +1
可以看成構(gòu)成一個首項為 1，公差為 1 的等差數(shù)列，則Tn ，2
可得當(dāng) n 10 ，所有項的個數(shù)和為 55，第 56 項為 12，
故選：B.
題型五：數(shù)列的恒成立問題
n + 2 a 1 1 1
【典例 5-1 a n S 】已知數(shù)列 的前 項和 nn n n N* 且 a1 1，若 + +L+ < m m, n N*3 a1 a2 a n
恒成立，則m 的最小值為 ．
【答案】2
n + 2 a
【解析】由 Sn
n n N* ， a1 1，3
n + 2 a n +1 a
則當(dāng) n 2 時， a S - S n - n-1n n n-1 ，3 3
整理得 n -1 an
a n +1
n +1 a nn-1 ，即 an-1 n -1
，
n n +1
∴ an a
a a a a 3 4 n n +1
1
2 3 × n-1 n 1 L ，
a1 a2 an-2 an-1 1 2 n - 2 n -1 2
顯然對于 n 1也成立，
n n +1 1 2∴ an 的通項公式 a ，所以 2
1 1-
n a n n +1 n n +1÷ ，2 n è
1 1 L 1 2 é 1 1 1 1 1 ù 1∴ + + + ê 1- ÷ + - ÷ +L -

÷ 2 1-

÷ < 2a1 a2 an è 2 è 2 3 è n +1 n +1
ú
è n +1
1 1 1 *
又因為 + +L+ < m m, n Na1 a a
恒成立，
2 n
所以m 2，
所以m 的最小值為 2 .
故答案為： 2 .
ì 1 ü 2 ì S ü 1
【典例 5-2】記 Sn ,Tn 分別為數(shù)列 an ,í 前 n 項和，已知 a1 ,a 3 í
n 是公差為 的等差數(shù)列．若Ta 3 n
< m
n n
恒成立，則m 的最小值為 ．
【答案】3
2 S ì S ü
【解析】∵ a1 ，∴ S1 a1 1，∴
1 1 ∵ í n
1
a ，又 是公差為 的等差數(shù)列，3 1 an 3
Sn 1 1 n n + 2∴ + -1 S n + 2a 3 3 ，所以 n a3 n ，n
n +1
即當(dāng) n 2時， Sn-1 a3 n-1 ，
n + 2
∴ a S S an n +1 a - n-1n n n-1 - ，3 3
n -1 a an +1 a n n +1整理得： n n-1 ，即 a ，n-1 n -1
a a
∴ a a × 2 × 3 L
an-1 a× n 2 3 4 n n +1
n n +1
n 1 ，a1 a2 an-2 an-1 3 1 2 n - 2 n -1 3
n n +1 1 3 1 1
顯然對于 n 1也成立，∴ a ， 3 - ,n 3 an n n +1 è n n +1÷
1 1 1
+ + + 3é 1 1 1 1 1 1 - ù∴ ê ÷ + - ÷ +L - ÷ú 3
1 1- < 3
a ．1 a2 an è 2 è 2 3 è n n +1 è n +1
÷

所以m 3，即m 的最小值為3．
故答案為：3.
【方法技巧】
分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題．
【變式 5-1】已知數(shù)列 an 的前 n項和為 Sn ，且滿足 Sn 2an - 2，若 Sn + n -1 lan 對于任意的正整數(shù) n恒
成立，則實數(shù)l 的取值范圍為 ．
é33
【答案】 ê ,+ 16 ÷
【解析】根據(jù) Sn 2an - 2，當(dāng) n 1時， a1 2 ;
當(dāng) n 2時， Sn-1 2an-1 - 2，兩式相減可得 an 2an - 2an-1，
a
\ n 2,\ a 2 1- 2
n
a 數(shù)列 n 是首項為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，\an 2
n , S n+1 ，n 2 - 2
n-1 1- 2
則 Sn + n -1 lan 可變?yōu)?2n+1 - 3 + n l ×2n ，
l 2 n - 3 b n - 3 b b n - 2 n - 3 4 - n即 + n ，令 n n ，則 n+1 - n n+1 - n n+1 ,\b5 - b4 0，2 2 2 2 2
b < b < b < b
n - 3 1 33
且 1 2 3 4 b5 > b6 > b7 >L，\ 2 +è 2n ÷
2 + ，
max 16 16
33 é33\l ，即實數(shù)l 的取值范圍是 ,+ .
16 ÷ ê16
é33 ,+ 故答案為： ê16 ÷
.

【變式 5-2】（2024·高三·重慶·期中）已知數(shù)列{ an }滿足 a1 2，an+1 3an + 2，若對任意正整數(shù) n 1都有
k(an +1) 2n - 3恒成立，則 k 的取值范圍是 .
é1
【答案】 ê ,+

9 ÷
【解析】由 an+1 3an + 2可得 an+1 +1 3(an +1)，又因為 a1 2，所以 a1 +1 3，
即數(shù)列 an +1 是一個以 3 為首項，3 為公比的等比數(shù)列，
a +1 3 3n-1所以 n 3
n
，
對任意正整數(shù) n 1都有 k(a +1) 2n - 3，則 k ×3n
2n - 3
n 2n - 3，即 k ，3n
b 2n - 3 2 n +1 - 3 b b 2n - 3 8 - 4n設(shè) n n ，則 n+1 - n n+1 - n n+1 ，3 3 3 3
當(dāng) n 2時，bn+1 - bn 0 ，當(dāng) n > 2時，bn+1 - bn < 0，
即b1 b2 b3 b4 > b5 > b6 >L > bn (n > 4) b b
1
，所以 n 2 b3 max ，9
1
所以 k
9
é1
故答案為： ê ,+

÷ .
9
【變式 5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 a *n 滿足 an+1 + an 2n -1，若 an+1 > an 對 n N 恒成立，則 a1
的取值范圍為 .
1 , 1- 【答案】 ÷
è 2 2
【解析】法一：
由 an+1 + an 2n -1，得 an+2 + an+1 2n +1，兩式相減得 an+2 - an 2，
則數(shù)列 a2n+1 ， a2n 都是以 2 為公差的單調(diào)遞增數(shù)列.
ìa > a
要使 an+1 > an 對 n N*
2 1
恒成立，只需 í ，
a3 > a2
ì1- a > a
而a2 1- a a
1 1 1 1
1， 3 2 + a1，則 í - < a <
2 + a 1 a
，解得 .
1 > - 1 2
1 2
法二：
由 an+1 + an 2n -1，得 an+2 + an+1 2n +1，兩式相減得 an+2 - an 2，
又a2 1- a1，則 a2n 1- a1 + 2 n -1 2n - a1 -1， a2n+1 a1 + 2 n +1-1 2n + a1 ，
ìa
a 2n+2
> a2n+1
要使 n+1 > an 對 n N* 恒成立，即 í
a
，
2n+1 > a2n
ì2n + 2 - a1 -1 > 2n + a1 1
即 í ，解得- < a
1
<
2n + a1 > 2n
.
- a1 -1 2
1 2
1 1
故答案為： - ,2 2 ÷
.
è
題型六：遞推數(shù)列問題
2
【典例 6-1】（2024·天津·二模）在數(shù)列 an 中，若 a1a2 × × × a n -2n *n 3 （ n N ），則a3的值為（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】D
1-2 1
【解析】當(dāng) n 1時， a1 3 ，3
當(dāng) n 2時， a1a2 3
4-4 1，所以 a2 3，
當(dāng)n 3 9-6時， a1a2a3 3 27，所以 a3 27 .
故選：D.
ìa -1,n為奇數(shù) 10
【典例 6-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 an 滿足： a1 1, a nn+1 í n ，則 a2 ,n k （ ） 為偶數(shù) k 1
A．511 B．677 C．1021 D．2037
【答案】B
10
【解析】 ak a1 + a2 +L+ a10 a1 + a1 -1+ a3 + a3 -1+L+ a9 + a9 -1
k 1
2 a1 + a3 + a5 + a7 + a9 - 5 2 1+ 22 + 24 + 26 + 28 - 5
2 4 +16 + 64 + 256 - 3 677 .
故選：B.
【方法技巧】
列舉法
1 1
【變式 6-1】（2024·貴州遵義·一模）數(shù)列 an 滿足 a
1
1 ，對任意正整數(shù) p，q 都有 a2 p
aq ( + )ap q p+q ，則
a6
a （ ）8
16 32
A．4 B． C．6 D．
3 3
【答案】B
1 1 *
【解析】由 apaq ( + )ap+q ，得 ( p + q)a pa × qa b nap q p+q p q ，令 n n
(n N ) ，
依題意，對任意正整數(shù) p，q 都有bp+q bpbq ，令 p 1, q n(n N*)，
則"n N*，bn+1 b1b
1 1
n ，而b1 a1 ，即bn+1 b ，2 2 n
因此數(shù)列 b 1 1 1 1 1n 是以 2 為首項， 2 為公比的等比數(shù)列，bn n ，即 na ， a 2 n 2n n n ×2n ，
a6 8 2
8 16
所以 6 .a8 6 2 3
故選：B
【變式 6-2】（2024·廣東汕頭·三模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，
后人稱為“三角垛”.已知一個三角垛，最頂層有 1 個小球，第二層有 3 個，第三層有 6 個，第四層有 10 個，
則第 30 層小球的個數(shù)為（ ）
A．464 B．465 C．466 D．467
【答案】B
【解析】設(shè)三角垛第 n層小球的個數(shù)為 an .
由題意可知， a1 1， a2 3 a1 + 2， a3 6 a2 + 3， a4 10 a3 + 4，
所以，當(dāng) n 2時，有 an an-1 + n .
所以，
a1 1，
a2 3 a1 + 2，
a3 6 a2 + 3，
a4 10 a3 + 4，
L
an an-1 + n，
兩邊同時相加可得， a1 + a2 + a3 + a4 +L+ an a1 + a2 + a3 +L+ an-1 +1+ 2 + 3 + 4 +L+ n，
n n +1
所以， an 1+ 2 + 3 + 4 L n

+ + .
2
1 2
當(dāng) n 1時， a1 1，滿足題意.2
n n +1
所以， an .2
a 30 31所以， 30 465 .2
故選：B.
【變式 6-3】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二
是第 1 代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第 2 代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為 1，
則第 n 代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)與面積的和分別為（ ）
A． 2n -1；n B． 2n -1； n +1
C． 2n+1 -1；n D． 2n+1 -1； n +1
【答案】D
【解析】第一代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為1+ 2 3，面積和為 2，
第二代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為1+ 2 + 22 7，面積和為 3，
第三代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為1+ 2 + 22 + 23 15，面積和為 4，
…
第 n 代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為1+ 2 + ...+ 2n 2n+1 -1，面積和為 n +1，
故選：D
【變式 6-4】某劇場有 30 排座位，第一排有 20 個座位，從第二排起，后一排都比前一排多 2 個座位．
(1)寫出前五排座位數(shù)．
(2)第 n排與第 n +1排座位數(shù)有何關(guān)系？
(3)第 n排座位數(shù) an 與第 n +1排座位數(shù) an+1能用等式表示嗎？
【解析】（1）由題意可知，后一排都比前一排多 2 個座位，
所以前五排座位分別為：20，22，24，26，28；
（2）由題意可知，后一排都比前一排多 2 個座位，
故第 n排與第 n +1排座位數(shù)的關(guān)系為：第 n +1排比第 n排多兩個座位；
（3）由（2）可知，能用等式表示第 n排座位數(shù) an 與第 n +1排座位數(shù) an+1的關(guān)系，
即 an+1＝an＋2 .
【變式 6-5】觀察下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，回答
(1)寫出圖中點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列 an 的一個遞推公式；并根據(jù)這個遞推公式，求出數(shù)列 an 的通項公式；
ì ü
(2)若 S
1 3
n 是數(shù)列 í 的前 n項和，證明： Sa n
< .
n 4
【解析】（1）由題可得 a1 3， a2 8， a3 15， a4 24 ，可得 a2 - a1 5，a3 - a2 7， a4 - a3 9，…，
所以數(shù)列 an 的遞推公式為 an - an-1 2n +1， a1 3， n N*；
\an an - an-1 + an-1 - an-2 + an-2 - an-3 + + a2 - a1 + a1
2n +1+ 2n -1+ 2n - 3 +K+ 5 + 3 n2 + 2n，
所以數(shù)列 an 的通項公式為 an n2 + 2n， n N* .
1 1 1

1 1
- （2）由（1）知， an n n + 2 2 è n n + 2 ÷
，

S 1 1 K 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\ n + + + 1- + - + - +K+ - + -

a ÷1 a2 an 2 è 3 2 4 3 5 n -1 n +1 n n + 2
1 1 1 1 1 3 1 + - - - 1 1
2 2 n +1 n + 2 ÷ 4 2
+ ÷，
è è n +1 n + 2
1 1 1
∵n N* ，\ +2 n +1 n + 2 ÷
> 0，
è
3
所以 Sn < .4
1 3
1．（2023 年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知數(shù)列 an 滿足 an+1 an - 6 + 6(n 1,2,3,L)，則（ ）4
A．當(dāng) a1 3時， an 為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M ≤0，使得 an > M 恒成立
B．當(dāng) a1 5時， an 為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M 6 ，使得 an < M 恒成立
C．當(dāng) a1 7時， an 為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M > 6，使得 an > M 恒成立
D．當(dāng) a1 9時， an 為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M > 0，使得 an < M 恒成立
【答案】B
1 3 1 3
【解析】法 1：因為 an+1 an - 6 + 6，故 a4 n+1 - 6 an - 6 ，4
對于 A ，若 a1 3，可用數(shù)學(xué)歸納法證明： an - 6 -3即 an 3，
證明：當(dāng) n 1時， a1 - 6 -3 -3，此時不等關(guān)系 an 3成立；
設(shè)當(dāng) n k 時， ak - 6 -3成立，
1
則 ak +1 - 6 a
3 27
k - 6 -54,-

÷，故 ak +1 - 6 -3成立，4 è 4
由數(shù)學(xué)歸納法可得 an 3成立.
而 an+1 - a
1 1
n an - 6
3 - an - 6 a - 6
é 2 ù
4 n ê
an - 6 -1ú ， 4
1 an - 6
2 -1 9 5 -1 > 0， an - 6 < 0 ，故 a4 4 4 n+1
- an < 0，故 an+1 < an ，
故 an 為減數(shù)列，注意 ak +1 - 6 -3 < 0
a 6 1- a - 6 3 1 9故 n+1 n a
2
4 n
- 6 a
4 n
- 6 an - 6 ，結(jié)合 a4 n+1
- 6 < 0，
9 n n
所以6 - an+1 6 - a 6 a
9
n ，故 - n+1 3 ÷ ，故 a
9
n+1 6 - 3

4 4 ÷
，
è è 4
n
9
若存在常數(shù)M ≤0，使得 an > M 恒成立，則6 - 3 4 ÷
> M ，
è
6 - M n
>
9
故 ÷ ，故 n < log
6 - M
9 ，故 an > M3 恒成立僅對部分
n成立，
3 è 4 4
故 A 不成立.
對于 B，若 a1 = 5,可用數(shù)學(xué)歸納法證明：-1 an - 6 < 0即5 an < 6 ，
證明：當(dāng) n 1時，-1 a1 - 6 -1 0，此時不等關(guān)系5 an < 6 成立；
設(shè)當(dāng) n k 時，5 ak < 6 成立，
則 a
1
- 6 a - 6 3 1 k +1 4 k - ,04 ÷，故-1 ak +1 - 6 < 0成立即è
由數(shù)學(xué)歸納法可得5 ak +1 < 6成立.
而 a
1
- a a - 6 3n+1 n n - an - 6 an - 6
é1
ê an - 6
2 -1ùú ，4 4
1 a - 6 2n -1< 0， an - 6 < 0 ，故 a4 n+1
- an > 0，故 an+1 > an ，故 an 為增數(shù)列，
若M 6，則 an < 6恒成立，故 B 正確.
對于 C，當(dāng) a1 7時， 可用數(shù)學(xué)歸納法證明：0 < an - 6 1即6 < an 7，
證明：當(dāng) n 1時，0 < a1 - 6 1，此時不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng) n k 時，6 < ak 7成立，
則 a
1
k +1 - 6 ak - 6
3 0,
1 ù
ú，故0 < ak +1 - 6 1成立即6 < a4 4 k +1
7
è
由數(shù)學(xué)歸納法可得6 < an 7成立.
a é1 2 ù而 n+1 - an an - 6 ê an - 6 -1ú < 0，故 an+1 < an ，故 an 為減數(shù)列， 4
n
又 a
1 2 1
n+1 - 6 an - 6 an - 6 an - 6 ，結(jié)合 an+1 - 6 > 0 a 1 可得：4 4 n+1 - 6 a1 - 6 ÷ ，所以è 4
n
a 6 + 1 n+1 ÷ ，
è 4
a 6 1
n

若 n+1 + ÷ ，若存在常數(shù)M > 6，使得 an > M 恒成立，
è 4
M 6 1
n
則 - ÷ 恒成立，故
n log 1 M - 6 ， n的個數(shù)有限，矛盾，故 C 錯誤.
è 4 4
對于 D，當(dāng) a1 9時， 可用數(shù)學(xué)歸納法證明： an - 6 3即 an 9，
證明：當(dāng) n 1時， a1 - 6 3 3，此時不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng) n k 時， ak 9成立，
a 6 1 a 27則 k +1 - k - 6
3 > 3，故 ak +1 9成立4 4
由數(shù)學(xué)歸納法可得 an 9成立.
而 an+1 - an an - 6
é1 a - 6 2 -1ùê n ú > 0 ，故 an+1 > an ，故 a4 n 為增數(shù)列，
a - 6 1 9 a - 6 a - 6 2 > a - 6 a - 6 > 0 a 6 a 6 9
n-1 9 n-1
又 n+1 n n ，結(jié)合 可得： - > -

4 4 n n n+1 1 4 ÷
3 4 ÷
，所以
è è
n-1
a 6 + 3 9 n+1 ÷ ，
è 4
n-1
若存在常數(shù)M > 0，使得 an < M 恒成立，則M 6 3
9
> + ÷ ，
è 4
M 6 3 9
n-1
M - 6
故 > + ，故 n < log 9 +1
è 4 ÷ 4 è 3
÷ ，這與 n 的個數(shù)有限矛盾，故 D 錯誤.

故選：B.
a a 1 12 - a - 6 3 + 6 - a a3 9 2法 ：因為 n+1 n n n n - an + 26an - 48，4 4 2
f x 1 x3 9令 - x2 + 26x - 48 3 2，則 f x x - 9x + 26 ，
4 2 4
令 f x > 0 2 3 2 3，得0 < x < 6 - 或 x > 6 + ；
3 3
令 f x < 0，得6 2 3 2 3- < x < 6 + ；
3 3
2 3 2 3 2 3 2 3
所以 f x 在 - ,6 - ÷÷和 6 + , + ÷÷上單調(diào)遞增，在 6 - ,6 + ÷÷ 上單調(diào)遞減，
è 3 è 3 è 3 3
令 f x 0 1 x3 9 2，則 - x + 26x - 48 0 1，即 x - 4 x - 6 x -8 0 ，解得 x 4或 x 6或 x 8，
4 2 4
注意到 4 6 2 3 2 3< - < 5，7 < 6 + < 8，
3 3
所以結(jié)合 f x 的單調(diào)性可知在 - , 4 和 6,8 上 f x < 0 ，在 4,6 和 8,+ 上 f x > 0，
a 1 a - 6 3 1對于 A，因為 n+1 n + 6，則 an+1 - 6 an - 6
3
，
4 4
1 3
當(dāng) n 1時， a1 3， a2 - 6 a1 - 6 < -3，則a2 < 3，4
假設(shè)當(dāng) n k 時， ak < 3，
1 1
n k 1 a - 6 a - 6 3 < 3 - 6 3當(dāng) + 時， k +1 k < -3，則 a4 4 k +1
< 3，
綜上： an 3，即 an - , 4 ，
因為在 - , 4 上 f x < 0 ，所以 an+1 < an ，則 an 為遞減數(shù)列，
a 1 3 1 9因為 n+1 - an +1 an - 6 + 6 - a +1 a3n n - a2n + 26a - 47，4 4 2 n
令 h x 1 x3 9 - x2 + 26x - 47 x 3 h x 3 2，則 x - 9x + 26，
4 2 4
-9
h x x - 3 6因為 開口向上，對稱軸為 2 ，
4
所以 h x 在 - ,3 3 2上單調(diào)遞減，故 h x h 3 3 - 9 3 + 26 > 0，
4
所以 h x 在 - ,3 1 3 9 2上單調(diào)遞增，故 h x h 3 3 - 3 + 26 3 - 47 < 0，
4 2
故 an+1 - an +1< 0，即 an+1 < an -1，
假設(shè)存在常數(shù)M ≤0，使得 an > M 恒成立，
取m1 - M + 4，其中M -1< M M ，且 M Z，
因為 an 1 < an -1，所以 a2 < a1 -1, a3 < a2 -1,L,a- M +4 < a+ - M +3 -1，
上式相加得， a- M +4 < a1 - - M + 3 3+ M - 3 M ，
則 am a M +4 < M ，與 an > M1 恒成立矛盾，故 A 錯誤；
對于 B，因為 a1 5，
當(dāng) n 1時， a1 5 < 6， a
1 1
2 a1 - 6
3 + 6 5 - 6 3 + 6 < 6，
4 4
假設(shè)當(dāng) n k 時， ak < 6，
3
當(dāng) n k +1時，因為 ak < 6，所以 ak - 6 < 0，則 ak - 6 < 0 ，
所以 a
1
k +1 a - 6
3
k + 6 < 6，4
1 3 1
又當(dāng) n 1時， a2 - 5 a1 - 6 +1 5 - 6
3 +1 > 0，即 a2 > 5，4 4
假設(shè)當(dāng) n k 時， ak 5，
當(dāng) n k +1時，因為 ak 5，所以 ak - 6 -1，則 ak - 6
3 -1，
所以 a
1
k +1 ak - 6
3 + 6 5，
4
綜上：5 an < 6 ，
因為在 4,6 上 f x > 0，所以 an+1 > an ，所以 an 為遞增數(shù)列，
此時，取M 6，滿足題意，故 B 正確；
a 1 a 3對于 C，因為 n+1 n - 6 + 6，則 an+1 - 6
1
an - 6
3
，
4 4
a 1
3 4
注意到當(dāng) 1 7時， a2 7 - 6
3 1+ 6 + 6 a 1 1 + 6 - 6 1， 3 ÷ + 6

4 4 4 ÷
+ 6，
è 4 è 4
3
1 é 1 4 ù 1 13a4

ê ÷ + 6 - 6

4 4 ú
+ 6 + 6
êè ú è 4
÷

1
1 3
k -1
2
猜想當(dāng) n 2時， a ÷ + 6，k
è 4
1 4
1 3n -1
當(dāng) n 2與n 3時， a2 + 6與 a
1 2
3
+ 6滿足 a 1 4 ÷è 4 n 4 ÷
+ 6，
è
1 3k -12
假設(shè)當(dāng) n k 時， a 1 ，k + 6
è 4 ÷
é 1
3
3k -1 ù 1 3k+1 -12 2
當(dāng) n k +1 1時，所以 a a - 6 3 1+ 6 ê 1 ú 1 k +1 k + 6 - 6 + 6 4 4 ê 4 ÷ ú 4 ÷ + 6，è è

1 n
綜上： a 1
3 -1
2
n ÷ + 6 n 2 ，
è 4
1 n 13 -1 3n -12 2
易知3n -1 > 0，則0 1< ÷ <1，故 a
1
n ÷ + 6 6,7 n 2 ，è 4 è 4
所以 an 6,7 ，
因為在 6,8 上 f x < 0 ，所以 an+1 < an ，則 an 為遞減數(shù)列，
假設(shè)存在常數(shù)M > 6，使得 an > M 恒成立，
é ù *
記m0 log3 ê2log 1 M - 6 +1ú ，取m m0 +1，其中m0 -1< m0 m0 ,m0 N ，
4
則3
m > 3m0 2log 1 M - 6 +1，
4
1 1 m 1 2 3
m 1-1 3m -1
故 3 -1 > log M - 6 1 22 1 ，所以 ÷ < M - 6，即 ÷ + 6 < M ，4 è 4 è 4
所以 am < M ，故 an > M 不恒成立，故 C 錯誤；
對于 D，因為 a1 9，
1
當(dāng) n 1時， a2 - 6 a
3 27
1 - 6 > 3，則 a2 > 9，4 4
假設(shè)當(dāng) n k 時， ak 3，
1
當(dāng) n k +1時， ak +1 - 6 ak - 6
3 1 9 - 6 3 > 3，則 ak +1 > 9，4 4
綜上： an 9，
因為在 8,+ 上 f x > 0，所以 an+1 > an ，所以 an 為遞增數(shù)列，
因為 a
1
n+1 - an -1 an - 6
3 + 6 1 9- an -1 a
3
n - a
2
n + 26an - 49，4 4 2
令 g x 1 x3 9 - x2 + 26x - 49 x 9 ，則 g x 3 x2 - 9x + 26 ，
4 2 4
-9
g x x -因為 開口向上，對稱軸為 2 3
6
，
4
3 2
所以 g x 在 9, + 上單調(diào)遞增，故 g x g 9 9 - 9 9 + 26 > 0 ，
4
所以 g x g 9 1 9 93 - 92 + 26 9 - 49 > 0，
4 2
故 an+1 - an -1 > 0，即 an+1 > an +1，
假設(shè)存在常數(shù)M > 0，使得 an < M 恒成立，
取m2 M +1，其中M -1< M M ，且 M Z，
因為 an+1 > an +1，所以 a2 > a1 +1, a3 > a2 +1,L, a M +1 > a M +1，
上式相加得， a M +1 > a1 + M > 9 + M -1 > M ，
則 am a2 M +1 > M ，與 an < M 恒成立矛盾，故 D 錯誤.
故選：B.
1
2．（2022 2 *年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列 an 滿足a1 1,an+1 an - an n N ，則（ ）3
2 100a 5 5 7 7A． < 100 < B． < 100a < 3 C．3 < 100a < D． < 100a2 2 100 100 2 2 100
< 4
【答案】B
【解析】∵ a1 1
2
，易得 a2 0,1 ，依次類推可得 an 0,1 3
1 1 3 1 1
由題意， a +n+1 an 1- a3 n ÷
，即
è a a
，
n+1 n 3- an an 3- an
1 1 1 1
∴ - >an+1 an 3- a 3
，
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
即 - > ， - > ， - >a a 3 a a 3 a a 3 ，…，
- > , (n 2)
2 1 3 2 4 3 an a
，
n-1 3
1 1
累加可得 -1 > n -1
1 1
，即 > (n + 2), (n 2)an 3 a 3
，
n
a 3 1∴ n < , n 2 ，即 a100 < ，100a
100
100 < < 3 ,n + 2 34 34
1 1 1 1 1 1 1- <
又 a a 3
+ ÷ , (n 2)
n+1 n 3- an 3 - 3 è n +1 ，
n + 2
1 1 1
- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ +a a 3 2 ÷，
- < 1+
a a 3 3 ÷，
- < 1+ ÷ ，…， - < 1+ ÷ , (n 3)，
2 1 è 3 2 è a4 a3 3 è 4 an an-1 3 è n
1
累加可得 -1
1
< n -1 1+ 1 1+ +L 1+ , (n 3)
an 3 3

è 2 3 n ÷
，

1 1 33 1 1 1 1∴ - < + + +L+
< 33 1 1 1+ 4 + 96 < 39
a100 3 è 2 3 100
÷ 3 2 6 ÷ ， è
1
即 < 40a ，∴ a
1 5
100 > ，即100a100 > ；
100 40 2
5
綜上： < 100a100 < 3．2
故選：B．
3．（2022 年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我
國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列 bn ：
1
b 1 1 + b 1
1 b 1+
2 +
3 1 *
1 a ， a
a +
+ 1 ， 1 1 ，…，依此類推，其中ak N (k 1,2,L)．則（ ）1 1 a a2 2 + a3
A．b1 < b5 B．b3 < b8 C．b6 < b2 D．b4 < b7
【答案】D
【解析】[方法一]:常規(guī)解法
*
因為ak N k 1,2,L ，
a a 1
1 1
>
所以 1 < 1 + a ，a
1
1 a + ，得到b1 > b2 ，
2 1 a2
a 1 11 + > a1 +
同理 a2 a 1+ ，可得b2 < b3，b1 > b32 a3
1 1 , a 1 1> + < a +
a 1 1 1 1 1
又因為 2 a2 + a2 + a2 + ，
a 1+ a33 a
1
3 +a4 a4
故b2 < b4 ，b3 > b4 ；
以此類推，可得b1 > b3 > b5 > b7 > … ，b7 > b8 ，故 A 錯誤；
b3 > b7 > b8，故 B 錯誤；
1 1
>
a a 12 2 + 1 ，得b2 < b6 ，故 C 錯誤；a3 +… a6
a 1 11 + > a1 +
a 12 + 1 a
1
2 +… 1 ，得b4 < b7 ，故 D 正確.a3 + a6 +a4 a7
[方法二]：特值法
a 1, b 2,b 3 b 5 ,b 8 b 13 ,b 21 34不妨設(shè) n 則 1 2 ， 3 4 ， 5 6 ，b7 , b
55
8 ，2 3 5 8 13 21 34
b4 < b7 故 D 正確.
4．（2022 年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列 an 各項均為正數(shù)，其前 n 項和 Sn 滿足
an × Sn 9(n 1,2,L)．給出下列四個結(jié)論：
① an 的第 2 項小于 3； ② an 為等比數(shù)列；
③ a 1n 為遞減數(shù)列； ④ an 中存在小于 的項．100
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【答案】①③④
【解析】由題意可知，"n N*， an > 0，
當(dāng) n 1 2時， a1 9，可得 a1 3；
9 9 9 9
當(dāng) n 2時，由 Sn 可得 Sn-1 a -an a
，兩式作差可得 n
n-1 an a
，
n-1
9 9
所以， - a
9
- a 3 2
an-1 a
n ，則
n a
2 ，整理可得 a2 + 3a2 - 9 0，
2
因為 a2 > 0，解得 a
3 5 - 3
2 < 3，①對；2
2
假設(shè)數(shù)列 a 2 9 81n 為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則 a2 a1a3，即 ÷ ，
è S2 S1S3
S 2 S S a2 1+ q 2 2 2所以， 2 1 3，可得 1 a1 1+ q + q ，解得 q 0，不合乎題意，
故數(shù)列 an 不是等比數(shù)列，②錯；
9 9 9 a - a
當(dāng) n 2時， an -
n-1 n > 0，可得 an < an-1，所以，數(shù)列 an 為遞減數(shù)列，③對；an an-1 anan-1
1 1
假設(shè)對任意的 n N* ， an ，則 S 100000 1000，100 100000 100
a 9 9 1所以， 100000 ，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.
故答案為：①③④.
1．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列 an 的前 5 項：
n-1
（1） a1 1， an an-1 + 2 (n 2)；
a 3 a 2（2） 1 ， n an-1 +1(n 2) .3
1 a 1 a a + 2n-1【解析】（ ）因為 1 ， n n-1 (n 2)，
1
所以 a2 a1 + 2 1+ 2 3，
a 23 a2 + 2 3 + 4 7 ，
a a + 234 3 7 + 8 15，
a a 45 4 + 2 15 +16 31，
故數(shù)列的前 5 項分別為 1，3，7，15，31.
2
（2）因為 a1 3， an a +1(n 2)3 n-1
2 2
所以 a2 a1 +1 3+1 3，3 3
a 2 a 1 23 2 + 3+1 3，3 3
a 24 a +1
2
3+1 3，
3 3 3
a 2 a 1 25 4 + 3+1 3，3 3
故數(shù)列的前 5 項分別為 3，3，3，3，3.
2．已知數(shù)列 an
1
滿足 a1 2， an 2 - (n 2)a ，寫出它的前 5 項，并猜想它的通項公式.n-1
1 1 3 1 2 4 1 3 5
【解析】 a1 2， a2 2 - 2 - ， a3 2 - 2 - ， a4 2 - 2 - a1 2 2 a2 3 3 a3 4 4
a 15 2 - 2
4 6
-
a .4 5 5
猜想 a
n +1
n .n
3．寫出下列數(shù)列的前10項，并繪出它們的圖像：
（1）素數(shù)按從小到大的順序排列成的數(shù)列；
（2）歐拉函數(shù)j n (n N )的函數(shù)值按自變量從小到大的順序排列成的數(shù)列.
【解析】（1）素數(shù)從小到大依次是： 2、3、5、 7、11、13、17 、19、 23、 29，
繪出圖像如圖所示：
（2）j 1 1，j 2 1，j 3 2，j 4 2，j 5 4，
j 6 2 ，j 7 6 ，j 8 4，j 9 6，j 10 4，
依次為1、1、 2、 2、 4、 2、6、 4、6、 4，
繪出圖像如圖所示：
4．已知數(shù)列 an 的第 1 項是 1，第 2 項是 2，以后各項由 an an-1 + an-2 n > 2 給出.
（1）寫出這個數(shù)列的前 5 項；
an+1
（2）利用數(shù)列 an ，通過公式bn a 構(gòu)造一個新的數(shù)列 bn ，試寫出數(shù)列 bn 的前 5 項.n
【解析】（1）由 a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2，
得 a3＝a2+a1＝2+1＝3，
a4＝a3+a2＝2+3＝5，
a5＝a4+a3＝3+5＝8；
a
2 b 2
2
（ ）依題意有： 1 a1 1
2，
a3 3b2 a 2 ，2
a4 5b3 a 3 ，3
a
b 5
8
4 a 5 ，4
a a + a 5 + 8 13
b 6 5 45 a ．5 a5 8 8
5．假設(shè)某銀行的活期存款年利率為0.35% 某人存 10 萬元后，既不加進(jìn)存款也不取款，每年到期利息連同
本金自動轉(zhuǎn)存，如果不考慮利息稅及利率的變化，用 an 表示第 n年到期時的存款余額，求 a1、 a2、a3及
an .
【解析】 a1 =10 1+0.35% =10.035， a2 =10 1+0.35% 2 10.070 ，
a3 =10 1+0.35% 3 10.105， an =10 1+0.35% n .
x
6 2 -1．已知函數(shù) f x x x R ，設(shè)數(shù)列 an 的通項公式為 an f (n)(n N*) .2
1
（1）求證 an .2
（2） an 是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？
n 1 1 1 1 1
【解析】（1 2 -1 1 n）由題意得 an 1- ，因為 n為正整數(shù)，所以 2 2,0 < n ,1-n n n ，所以 a2 2 2 2 2 2 n
；
2
（2） an 是遞增數(shù)列，
2n -1 1 1
證明：因為 an n 1- n ，所以 an+1 1- n+1 ，2 | 2 2
a 1 1 1所以 n+1 - an n - n+1 = n+1 > 0，所以 an 是遞增數(shù)列.2 2 2
易錯點：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)
易錯分析：解題時容易找不到數(shù)列中的每項之間的相似地方，總結(jié)不出來一般規(guī)律。
1 1 3 2 5
【易錯題 1】已知數(shù)列{an}的前 5 項依次為 , , , , ，則 an 的一個通項公式為 an ．3 2 5 3 7
n
【答案】
n + 2
【解析】根據(jù)題意，數(shù)列 a 1 1 3 2 5 1 2 3 4 5n 的前 5 項依次為 , , , , ，即 , , , , ，3 2 5 3 7 3 4 5 6 7
則 a nn 的一個通項公式為 an ，n + 2
n
故答案為：
n + 2
8 15 24
【易錯題 2】數(shù)列 -1， ，- ， ，…的一個通項公式是 ．
5 7 9
n n + 2
a 1 n 【答案】 n - （n 為正整數(shù)）2n +1
3
【解析】把 1 寫成 的形式，觀察分母發(fā)現(xiàn)是以 3 為開始的奇數(shù)列，
3
再觀察分子中各數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：3 1 3,8 2 4,15 3 5,24 4 6L，且各項正負(fù)交替，
8 15 24 1 3 , 2 4 , 3 5 , 4 6則 -1， ，- ， ，…可以寫成：- - ,L
5 7 9 3 5 7 9
n n n + 2
所以數(shù)列的通項公式為 an -1 .2n +1
n n n + 2
故答案為： an -1 （n 為正整數(shù)）.2n +1
答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用
1、模板解決思路
判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法，一般采用作差法比較數(shù)列中相鄰兩項的大小； 當(dāng)數(shù)列各項符號相同時，
也可用作商法比較； 還可以利用數(shù)列通項公式所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性．
2、模板解決步驟
第一步：根據(jù)條件求出數(shù)列的通項公式．
a
第二步：作差 a n+1n+1 - an （或作商 ），并化簡．a(chǎn)n
a
第三步：討論 a - a 與0 （或 n+1n+1 n 與 1）的大小，得出數(shù)列的單調(diào)性．a(chǎn)n
【典型例題 1】設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ，則“ an 是遞增數(shù)列”是“ Sn 是遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】 an 是等比數(shù)列是遞增數(shù)列，則 a1 0,1 q > 0或 a1 > 0,q >1，
S n-1n 是遞增數(shù)列， Sn - Sn-1 an a1q > 0 ,即得 a1 > 0,q > 0 或 a1 < 0, q < 0
“ an 是等比數(shù)列是遞增數(shù)列”是“ Sn 是遞增數(shù)列”既不充分也不必要條件.
故選：D.
2
【典型例題 2】已知數(shù)列 an 的通項公式為 an kn - n - 2，若 an 為遞增數(shù)列，則 k 的取值范圍為（ ）
1, 0, 1 1A． + B． + C． , +

÷ D． ,+ ÷
è 2 è 3
【答案】D
2 *
【解析】 an kn - n - 2，若 an 為遞增數(shù)列，則 an+1 > an n N ，
有 k n +1 2 - n +1 - 2 > kn2 - n - 2 n N* 1 *，解得 k > n N ，則 k 1> 2n +1 è 2n ，+1÷ max
1 1 1 1
n 1時 2n 1÷ 3，所以
k > ,則 k 的取值范圍為 ,+ è + ÷
.
max 3 è 3
故選：D

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