資源簡介

第 01 講 集合
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：元素與集合 ................................................................................................................................................4
知識點 2：集合間的基本關系 ....................................................................................................................................5
知識點 3：集合的基本運算 ........................................................................................................................................5
知識點 4：集合的運算性質 ........................................................................................................................................6
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................6
題型一：集合的表示：列舉法、描述法 ...................................................................................................................7
題型二：集合元素的三大特征 ...................................................................................................................................8
題型三：元素與集合間的關系 .................................................................................................................................10
題型四：集合與集合之間的關系 .............................................................................................................................11
題型五：集合的交、并、補運算 .............................................................................................................................13
題型六：集合與排列組合的密切結合 .....................................................................................................................15
題型七：容斥原理 .....................................................................................................................................................17
題型八：集合的創新定義運算 .................................................................................................................................20
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................22
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................24
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................26
易錯點：在解含參數集合問題時忽視空集 .............................................................................................................26
答題模板 .....................................................................................................................................................................26
考點要求 考題統計 考情分析
本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主，
2024年 I卷第 1題，5分
考查內容、頻率、題型、難度均變化不大. 重點是
2023年 I卷第 1題，5分
（1）集合的概念與表示 集合間的基本運算，主要考查集合的交、并、補
2023年 II卷第 2題，5分
（2）集合的基本關系 運算，常與一元二次不等式解法、一元一次不等
2022年 I卷 II卷第 1題，5分
（3）集合的基本運算 式解法、分式不等式解法、指數、對數不等式解
2021年 I卷 II卷第 1題，5分
法結合.同時適當關注集合與充要條件相結合的解
2020年 I卷 II卷第 1題，5分
題方法.
復習目標：
1、了解集合的含義，了解全集、空集的含義.
2、理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.
3、會求兩個集合的并集、交集與補集.
4、能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用 Venn圖表示集合間的基本關系和基本
運算．
知識點 1：元素與集合
1、集合的含義與表示
某些指定對象的部分或全體構成一個集合．構成集合的元素除了常見的數、點等數學對象外，還可以
是其他對象．
2、集合元素的特征
（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素．
（2）互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復出現．
（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關．
3、元素與集合的關系
元素與集合之間的關系包括屬于(記作 a A )和不屬于(記作 a A )兩種．
4、集合的常用表示法
集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法(韋恩圖)．
知識點詮釋：
（1）列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號括起來.
（2）描述法
在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合
中元素所具有的共同特征.
5、常用數集的表示
數集 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N *或 N Z Q R+
【診斷自測】（2024·廣東惠州·一模）設集合M = x Z∣100 < 2x <1000 ，則 M 的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．9 D．無窮多個
【答案】A
【解析】由函數 y = 2 x 在R 上單調遞增，及 26 = 64, 27 = 128, 29 = 512, 210 = 1024，
可得M = 7,8,9 ，則其元素個數為 3，
知識點 2：集合間的基本關系
（1）子集：一般地，對于兩個集合 A、 B ，如果集合 A中任意一個元素都是集合 B 中的元素，我們
就說這兩個集合有包含關系，稱集合 A為集合 B 的子集 ，記作 A B （或 B A），讀作“ A包含于 B ”
（或“ B 包含 A ”）.
（2）真子集：對于兩個集合 A與 B ，若 A B ，且存在 b B ，但 b A，則集合 A是集合 B 的真子
集，記作 A B （或 B A ）.讀作“ A真包含于 B ”或“ B 真包含 A ”.
（3）相等：對于兩個集合 A與 B ，如果 A B ，同時 B A，那么集合 A與 B 相等，記作 A = B．
（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作 ； 是任何集合的子集，是任何非空集合的真
子集.
【診斷自測】（2024·高三·四川成都·階段練習）已知集合 A = 1,2 , B = 2,3 ，則集合
C = z z = x + y , x A, y B 的子集個數為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】C = 3,4,5 ，故其子集的個數為 8，
故選：D.
知識點 3：集合的基本運算
（1）交集：由所有屬于集合 A且屬于集合 B 的元素組成的集合，叫做 A與 B 的交集，記作 A B ，
即 A B = x | x A且x B ．
（2）并集：由所有屬于集合 A或屬于集合 B 的元素組成的集合，叫做 A與 B 的并集，記作 A B ，
即 A B = x | x A或x B ．
（3）補集：對于一個集合 A，由全集U 中不屬于集合 A的所有元素組成的集合稱為集合 A相對于全
集U 的補集，簡稱為集合 A的補集，記作CU A，即CU A = {x | x U ,且x A}．
【診斷自測】（2024·陜西西安·一模）已知全集U = R ，集合M = {x | y = 1 x}， N = { 2 , 0,1, 2, 3}，
則 ( U M ) I N =（ ）．
A．{ 2 , 0,1} B．{2, 3} C．{1, 2, 3} D． 2
【答案】B
【解析】由1 x 0 解得M = ,1 ，
所以 UM = 1,+ ，所以 ( U M ) N = 2, 3 .
故選：B
知識點 4：集合的運算性質
（1） AI A = A， AI = ， A I B = B I A， A B A， A B B ．
（2） A U A = A， A U = A， A U B = B U A， A A B ， B A B ．
（3） A I (CU A) = ， A U (CU A) = U ，CU (CU A) = A ．
（4） A B = A A B = B A B U B U A A U B =
【診斷自測】（2024·江西鷹潭·一模）已知集合 A = x | x2 5x 6 ，集合B = x | x a ，若B R A ，
則a的取值范圍為（ ）
A． 6,+ B． 6,+ C． , 1 D． ,1
【答案】A
【解析】因為 A = x | x2 5x 6 = x | x2 5x 6 0 = x | 1 x 6 ，
R A ={x x < 1或 x > 6}，
因為集合B = x | x a ，B R A ，所以 a > 6 ，
故選：A.
解題方法總結
（1）若有限集 A 中有n個元素，則 A 的子集有2n個，真子集有 2n 1個，非空子集有 2n 1個，非空真
子集有 2n 2 個．
（2）空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集．
（3） A B A I B = A A U B = B CU B CU A ．
（4）CU (A I B) = (CU A) U (CU B) , CU (A U B) = (CU A) I (CU B) ．
題型一：集合的表示：列舉法、描述法
【典例 1-1】（2024· 2廣東江門·一模）已知集合 A = 1,0,1 ，B = m | m 1 A,m 1 A ，則集合 B 中
所有元素之和為（ ）
A．0 B．1 C．－1 D． 2
【答案】C
【解析】根據條件分別令m2 1 = 1,0,1，解得m = 0, ±1, ± 2 ，
又m 1 A ，所以m = 1, ± 2 ，B = 1, 2, 2 ，
所以集合 B 中所有元素之和是 1，
故選：C．
【典例 1-2】已知集合 A = { 3, 2,0,1,2,3,7}, B = {x∣x A, x A}，則B =（ ）
A．{0,1,7} B．{1,7} C．{0,2,3} D．{0,1,2,3,7}
【答案】B
【解析】因為 A = { 3, 2,0,1,2,3,7}，B = {x∣x A, x A}，
所以B = {1,7}.
故選：B.
【方法技巧】
1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然.
2、描述法，注意代表元素.
ì kπ ü
【變式 1-1】（2024·新疆·一模）已知集合 A = ísin k N ,且0 k 4 ，則集合A 的元素個數為（ ）
4
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【解析】當 k = 0 時， sin
kπ
= sin0 = 0，
4
k = 1 sin kπ sin π 2當 時， = = ，
4 4 2
kπ 2π π
當 k = 2 時， sin = sin = sin =1，
4 4 2
kπ
當 k = 3時， sin = sin 3π 2= ，
4 4 2
當 k = 4 時， sin
kπ
= sin 4π = sinπ = 0，
4 4
ì ü
A 0, 2= ,1 故 í ，共三個元素.
2
故選：A.
【變式 1-2】（2024·高三·山東泰安·期中）已知集合 A = 1,2,3 ，B = 3,5 ，則
C = x x = 2a + b, a A,b B 中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由題意， x = 2a + b ，
當a =1,b = 5 x = 7，
當a =1,b = 3 x = 5，
當a = 2,b = 5 x = 9，
當 a = 2,b = 3 x = 7 ，
當a = 3,b = 5 x =11，
當a = 3,b = 3 x = 9，
由集合中元素滿足互異性，所以C = 5,7,9,11 .
故選：B
故選：A．
題型二：集合元素的三大特征
ì 2 2 ü
【典例 2-1】設集合 A = í2,3, a 3a, a + + 7 ，B ={| a 2 |,3}，已知 4 A且 4 B ，則a的取值集合
a
為 .
【答案】{4}
ì
【解析】因為 4 A，即 4 í2,3, a2
2
3a, a + + 7ü ，
a
2 a 2所以a 3a = 4或 + + 7 = 4，a
若a2 3a = 4，則 a = 1或 a = 4 ；
若 a
2
+ + 7 = 4，即 a2a + 3a + 2 = 0，則
a = 1或 a = 2 .
由a2
2
3a 與 a + + 7 互異，得 a 1，a
故 a = 2 或 a = 4 ，
又 4 B ，即 4 {| a 2 |,3}，所以 | a 2 | 4，解得 a 2 且 a 6 ，
綜上所述，a的取值集合為{4}.
故答案為：{4}
【典例 2-2】由a, a, a , a2 構成的集合中，元素個數最多是 .
【答案】2
【解析】當 a = 0 時，a = a = a = a2 = 0，此時元素個數為 1；
2 ìa, a > 0
當 a 0 時， a = a = í ，
a, a < 0
所以一定與a或 a中的一個一致，此時元素個數為 2.
所以由 a, a,| a |, a2 構成的集合中，元素個數最多是 2 個.
故答案為:2.
【方法技巧】
1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。
2、研究兩個或者多個集合的關系時，最重要的技巧是將兩集合的關系轉化為元素間的關系。
b
【變式 2-1】（2024·高三·天津河西·期中）含有 3 ì個實數的集合既可表示成 ía, ,1üa ，又可表示成
a2 ,a + b,0 ，則 a2022 + b2022 = ．
【答案】1
ì b ü 2
【解析】因為 ía, ,1 = a ,a + b,0 ，
a
b
顯然 a 0 ，故 = 0，則b = 0；
a
此時兩集合分別是 a,1,0 , a, a2 ,0 ，
則a2 =1，解得 a = 1或 1.
當 a = 1時，不滿足互異性，故舍去；
當 a = 1時，滿足題意.
所以 a 2022 + b2022 = ( 1)2022 + 02022 = 1
故答案為：1 .
【變式 2-2】（2024·高三·山東濰坊·期中）英語單詞“banana”所含的字母組成的集合中含有 個元
素.
【答案】3
【解析】英語單詞“banana”所含的字母組成的集合為 b,a,n ，共 3 個元素.
故答案為：3.
【變式 2-3】（2024· 2云南大理·模擬預測）已知 x∣ax 4x +1 = 0 = b ，其中a,b R，則b =（ ）
1 1
A 0 B 1 C 1． ． 或 2 ． 2 D．4 4
【答案】B
【解析】由題意知：b為方程ax2 4x +1 = 0的根，
1
當 a = 0 時，b = ；
4
ìab2 4b +1 = 0 1
當 a 0 時，二次方程有兩個相同的根，則有 í ，此時b = .
16 4a = 0 2
故選:B.
題型三：元素與集合間的關系
【典例 3-1】已知集合 A = x x = 4k, k Z ，B = x x = 4m +1,m Z ，C = x x = 4n + 2,n Z ，
D = x x = 4t + 3, t Z ，若 a B ，b C ，則下列說法正確的是（ ）
A． a + b A B． a + b B C． a + b C D． a + b D
【答案】D
【解析】因為 a B ，b C ，
則由題意可設 a = 4m + 1，b = 4n + 2 ，其中m Z,n Z，
則a + b = 4 m + n + 3，且m + n Z ，
故 a + b D ，
故選：D．
3-2 2024· · · x 1,2, x2【典例 】（ 高三 山東青島 開學考試）已知 ，則 x的取值為（ ）
A．1 B．1 或 2 C．0 或 2 D．0 或 1 或 2
【答案】C
【解析】由元素和集合關系可知： x = 1或 x = 2 或 x = x2 ，
解的 x = 0 或1或2，
由集合的性質可知，當 x = 1時， 1,2,1 不滿足互異性，
所以 x的取值為 0或2 .
故選：C.
【方法技巧】
1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數集，尤其是 N 與 N*的區別．
2、當集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數 ．
【變式 3-1】（2024·全國·模擬預測）已知集合 A = x x = 3k +1,k Z ，則下列表示正確的是（ ）.
A． 2 A B． 2023 A
C．3k 2 +1 A D． 35 A
【答案】A
【解析】當 k = 1時， x = 2，所以 2 A，故 A 正確；
當 k = 674時， x = 3 674 + 1 = 2023，所以 2023 A ，故 B 錯誤；
當 k = 1或 k = 0 時，3k2 +1= 3k +1，所以3k 2 +1 A，故 C 錯誤；
當 k = 12時， x = 12 3 + 1 = 35 ，所以 35 A ，故 D 錯誤.
故選：A
【變式 3-2】（2024·貴州貴陽·模擬預測）若集合 A ={x | 2mx 3 > 0,m R}，其中2 A且1 A ，則實
數 m 的取值范圍是（ ）
3 , 3ù é3 , 3 3 , 3 é3 3ùA． ú B． ê ÷ C． ÷ D． ,è 4 2 4 2 è 4 2 ê 4 2ú
【答案】A
ì2m 2 3 > 0 3 3
【解析】由題意可得 í < m
2m 1 3 0
，解得 .
4 2
故選：A.
【變式 3-3】已知 A = x x2 ax +1 0 ，若2 A，且3 A ，則a的取值范圍是（ ）
é5 ,10 5 ,10 ù é5 10 A． ê ÷ B． ú C． ,+ 2 3 2 3 ê2 ÷
D． , 3 ÷ è è
【答案】A
5 10
【解析】由題意得 4 2a + 1 0 且9 3a + 1 > 0 ，解得 a < ．
2 3
故選：A
題型四：集合與集合之間的關系
【典例 4-1】（2024·四川德陽·三模）已知集合 A = x |1< x < 2024 ，B = x | x < a ，若 A B，則實數
a 的取值范圍是（ ）
A． (2024,+ ) B．[2024, + ) C． ( , 2024] D． ( ,2024)
【答案】B
【解析】集合 A = x |1< x < 2024 ，B = x | x < a ，又 A B，則 a 2024 ，
所以實數 a 的取值范圍是[2024, + ) .
故選：B
【典例 4-2】（2024·全國·模擬預測）已知集合 1,0 B 1,0,1,2 ，則滿足條件的集合 B 的個數為
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由 1,0 B可得1 B且 0 B ，根據 B 為 1,0,1,2 的真子集，
可得B = 1,0 或B = 1,0, 1 或B = 1,0,2 ，故滿足條件的集合 B 的個數為 3.
故選：A
【方法技巧】
1、注意子集和真子集的聯系與區別.
2、判斷集合之間關系的兩大技巧：
（1）定義法進行判斷
（2）數形結合法進行判斷
【變式 4-1】（2024·河南駐馬店·一模）已知集合
M ìx x k 1 , k Zü , N ì k 1 ü= í = + = íx x = + , k Z , x0 M ，則 x0 與N2 4 4 2 的關系是（ ）
A． x0 N B． x0 N
C． x0 M 且 x0 N D．不能確定
【答案】A
M ìx | x k 1 2k +1= = + = ,k Zü ì k 1 k + 2 ü【解析】 í ， N = íx | x = + = , k Z2 4 4 4 2 4
，

由 k Z ，可得 2k + 1是奇數， k + 2是整數，
所以M N，因為 x0 M ，所以 x0 N .
故選：A.
【變式 4-2】已知集合M , N I ，若M N = N ，則（ ）
A． I M I N B．M I N C． I M I N D．M I N
【答案】C
【解析】M N = N , N M ，若把 I 看作全集，作出韋恩圖如圖所示：
∴N 的補集包含 M 的補集.
故選：C．
【變式 4-3】（2024·青海西寧·二模）設集合 A = 1,2a +1 , B = 3,a 1,3a 2 ,若 A B,則a =（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．3
【答案】C
【解析】由已知得,若 2a + 1 = 3 ,解得 a = 1，
此時 A = 1,3 ,B = 0,1,3 ，符合題意;
若 2a + 1 = a 1 ,解得a = 2 ,
此時 A = 1, 3 ,B = 8, 3,3 ,不符合題意;
若 2a +1 = 3a 2 ,解得 a = 3 ,此時 A = 1,7 , B = 2,3,7 ,不符合題意,
綜上所述, a = 1 .
故選:C.
題型五：集合的交、并、補運算
【典例 5-1】已知集合 A = x x 2 x 5 0 ，B = x 3 2x 5 ，則 R A I B =（ ）
A． -1,2 B． 1,2 C． 1,2 D． 1,2
【答案】C
【解析】由 x 2 x 5 0，得 2 x 5，則 A = x 2 x 5 ，則 R A = x x < 2 或 x > 5 ，
由 3 2x 5，得 1 x 4 ，則B = x 1 x 4 ，
所以 RA B = x 1 x < 2 .
故選：C．
【典例 5-2】（2024·廣東深圳·二模）對于任意集合M , N ，下列關系正確的是（ ）
A．M U M U N N = M U N B． MUN M I N = MUN M U MUN N
C．M I M U N N = M I N D． MUN (M I N) = MUNM I MUN N
【答案】B
【解析】
對于A ：如圖所知， M UN N 為區域①，所以M M N N = M ，故A 錯誤；
對于B ： M N M N 為區域①和③； M NM 為區域③， M N N 為區域①，則
M N M M N N 也為為區域①和③；兩邊相等，故B 正確；
對于C ： M N N 為區域①， M M N N 為區域①，不等于區域②（區域②為 M N ），故C 錯誤；
對于D ： M N (M N )為區域①和③；而 M NM 為區域③， M N N 為區域①，所以
M N M M N N 為空集，所以D 錯誤；
故選：B .
【方法技巧】
1、注意交集與并集之間的關系
2、全集和補集是不可分離的兩個概念
【變式 5-1】已知集合U = R ， A = y y = 1 x + x 1 ，B = x x x2 < 0 ，則 U AUB =（ ）
A． 0,1 B． 0,1
C． ,0 1,+ D． ,0 1,+
【答案】B
【解析】因為函數 y = 1 x + x 1的定義域為 1 ，
所以函數 y = 1 x + x 1值域為 0 ，
所以 A = 0 ，
不等式 x x2 < 0的解集為 x x < 0 或 x >1 ，
所以B = x x < 0或 x >1 ，
∴ A B = x x 0或 x >1 ，
則 U A B = x 0 < x 1 ．
故選：B．
2
【變式 5-2】（2024·四川德陽·二模）已知集合 A = x∣x x 2 0 ,B = x∣y = lnx ，則 U A B =
（ ）
A． x 0 < x <1 B． x 0 < x < 2
C． x 1< x < 2 D． x x > 2
【答案】B
【解析】因為 A = x∣x2 x 2 0 = x x 2或 x 1 ，
則 U A = x 1< x < 2 ，又B = x∣y = lnx = x x > 0 ，
所以 U A B = x 0 < x < 2 .
故選：B
題型六：集合與排列組合的密切結合
【典例 6-1】（2024·福建廈門·二模）設集合 A = 1,0,1 ，B = x1, x2 , x3 , x4 , x5 xi A, i =1,2,3,4,5 ，
那么集合 B 中滿足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的個數為（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
【答案】D
【解析】由題意知集合 B 中滿足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的個數，
即指 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 中取值為-1 或 1 的個數和為 1 或 2 或 3，
1 2 2 3 3
故滿足條件的元素的個數為C 5 2 + C 5 2 + C 5 2 = 10 + 40 + 80 = 130（個），
故選：D
【典例 6-2】（2024·全國·模擬預測）已知V ABC 的三個頂點的橫縱坐標均在集合 1,2,3,4 內，則這樣
的三角形共有（ ）
A．64 個 B．125 個
C．432 個 D．516 個
【答案】D
【解析】由題意，橫縱坐標均在集合 1,2,3,4 內的點共有 4 4 = 16 個，
3 16 15 14
從這 16 個點中任意選出三個點，共有C16 = = 560 個，3 2 1
3
其中三個點共線的情況有C4 4 2+C
3
4 2+4 = 44個，
所以滿足題目要求的三角形共有560 44 = 516 .
故選：D
【典例 6-3】 card(AI B) = card(B IC) = card(C I A) =1，且 AIBIC = ，則稱 (A,B,C)為 N 的“有
序子集列”．現有N ={1,2,3,4,5,6}，則 N 的“有序子集列”的個數為（ ）
A．540 個 B．1280 個 C．3240 個 D．7680 個
【答案】D
【解析】根據題意，優先確定兩兩交集card(AI B) = card(B IC) = card(C I A) =1中的元素，六個元
素中選擇三個進行排列，然后再排其余的三個元素，其余的三個元素可能再 A,B,C 的某一個里面可能都不
3 3
在，所以其余的三個元素都有 4 種選擇方法，所以 N 的“有序子集列”的個數為A 6 4 = 7680 （個）．
故選：D.
【方法技巧】
利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數的問題，需要運用分析與轉化的思想方法。
【變式 6-1】設集合 A = 1,2,3,4 ,B = 5,6,7 ，則從 A 集合到 B 集合所有不同映射的個數是（ ）
A．81 B．64 C．12 D．以上都不正確
【答案】A
【解析】集合A 中的每一個元素，在集合 B 中都有唯一對應的元素與之對應，
A 中有 4 個元素，每個元素可以有 3 種對應方式，共有34 = 81種不同的對應方式，
即從集合A 到集合 B 的不同映射的個數是 81 .
故選：A
【變式 6-2】已知 A, B 1,2,3,L,2022,2023 ，則由集合 A, B構成的集合 A,B 的個數為（ ）
A．24045 22023 B．24045 22022
C．24046 22023 D．24046 22022
【答案】B
【解析】由于{1,2,3,L,2022,2023}的子集個數為22023，
因此集合{A，B}是從{1,2,3,L,2022,2023}的22023個子集中挑選 2 個子集組成的集合，
22023 22023 1
于是集合{A，B}的個數為C2 4045 2022 ．
22023
= = 2 2
2
故選：B．
【變式 6-3】（2024·高三·四川雅安·開學考試）已知集合U = {x Z∣1 x 5}，非空集合 A U ，且A 中
所有元素之和為奇數，則滿足條件的集合A 共有（ ）
A．12 個 B．14 個 C．16 個 D．18 個
【答案】C
【解析】U ={x Z∣1 x 5}= 1,2,3,4,5 ，
由于A 中所有元素之和為奇數，且非空集合 A U ，
當A 中只有一個元素時，則 A = 1 ,或 A = 3 ,或 A = 5 ，
當A 中有 2 個元素時，則A 中的元素必為一偶一奇，故有2 3 = 6個滿足條件的A ，
當A 中有 3 個元素時，則A 中的元素必為 2 偶一奇或者三個元素均為奇數，故有 4 個滿足條件的A ，
當A 中有 4 個元素時，則A 中的元素必為一偶 3 奇，故有 2 個滿足條件的A ，
當A 中有 5 個元素時，則 A = 1,2,3,4,5 滿足條件，
故共有3 + 6 + 4 + 2 + 1 = 16 ，
故選：C
【變式 6-4】（2024·上海靜安·一模）已知直線ax+by +c = 0的斜率大于零，其系數 a、b、c 是取自集
合{ 2, 1,0,1,2}中的 3 個不同元素，那么這樣的不重合直線的條數是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【解析】因為直線ax+by +c = 0的斜率大于零，
所以 ab < 0 ，
當 c = 0，a 有 2 種選法，b 有 2 種選法，c 有 1 種選法；
因為直線 2x + 2y = 0與直線 x + y = 0重合，
所以這樣的直線有 2 2 1 1 = 3 條；
當 c < 0時，a 有 1 種選法，b 有 2 種選法， c 有 2 種選法；
所以這樣的直線有 2 1 2 = 4條，
當 c > 0時，a 有 2 種選法，b 有 1 種選法， c 有 2 種選法；
所以這樣的直線有 2 1 2 = 4條，
綜上：這樣的不重合直線的條數是 3+8=11 條，
故選：A
題型七：容斥原理
【典例 7-1】（2024·高三·北京·強基計劃）一群學生參加學科夏令營，每名同學參加至少一個學科考
試．已知有 100 名學生參加了數學考試，50 名學生參加了物理考試，48 名學生參加了化學考試，學生總數
是只參加一門考試學生數的 2 倍，也是參加三門考試學生數的 3 倍，則學生總數為（ ）
A．108 名 B．120 名 C．125 名 D．前三個答案都不對
【答案】A
【解析】設只參加了數學、物理、化學考試的學生數分別為 x， y ， z ；
參加了兩門學科考試的同學中參加了數學和物理、物理和化學、化學和數學的學生數分別為c，a，b；
同時參加了三門學科考試的學生數為m，如圖．
ìx + b + c + m =100

y + c + a + m = 50
根據題意，有 í
z + a + b + m = 48
，
x + y + z + a + b + c + m = 2 x + y + z = 3m
前面三個等式相加，可得 x + y + z + 2(a + b + c) + 3m =198．
3 m
由第四個等式可得 x + y + z = m ， a + b + c = ，
2 2
3
因此 m + m + 3m = 198，
2
解得m = 36．因此學生總數為3m = 108 ．
故選：A
【典例 7-2】“四書五經”是中國傳統文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學》《中庸》
《論語》《孟子》．某大學為了解本校學生閱讀“四書”的情況，隨機調查了 200 位學生，其中閱讀過《大學》
的有 60 位，閱讀過《論語》的有 160 位，閱讀過《大學》或《論語》的有 180 位，閱讀過《大學》且閱讀
過《論語》及《中庸》的有 20 位．則該校閱讀過《大學》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學生人數與
該校學生總數比值的估計值是（ ）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【答案】A
【解析】如下圖，閱讀過《大學》且閱讀過《論語》的人數是 160＋60－180＝40，
閱讀過《大學》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學生人數是 40－20＝20，
20
由樣本估計總體，得所求比值為 = 0.1.
200
故選：A
【方法技巧】
容斥問題本身存在包容與排斥的一種計數問題，所以我們在處理這一類問題的時候必須要注意扣除掉
重復的部分，也要保證沒有遺漏，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方
法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數
時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理.
【變式 7-1】（2024·高三·湖北·期末）某校高一年級有 1200 人，現有兩種課外實踐活動供學生選擇，
要求每個同學至少選擇一種參加.統計調查得知，選擇其中一項活動的人數占總數的 60%到 65%，選擇另一
項活動的人數占 50%到 55%，則下列說法正確的是（ ）
A．同時選擇兩項參加的人數可能有 100 人
B．同時選擇兩項參加的人數可能有 180 人
C．同時選擇兩項參加的人數可能有 260 人
D．同時選擇兩項參加的人數可能有 320 人
【答案】B
【解析】根據題意，60% + 50% 1 = 10% ， 65% + 55% 1 = 20% ，
則同時選 A，B 的人數在10% 到 20% 之間，換算成人數為1200 10% =120,1200 20% = 240，即 120
到 240 之間，
因此符合題意的選項只有 B．
故選：B.
【變式 7-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有 45 名同學參加語文、數學、英語興趣小組.已知僅參
加一個興趣小組的同學有 20 人，同時參加語文和數學興趣小組的同學有9人，同時參加數學和英語興趣小
組的同學有15人，同時參加語文和英語興趣小組的同學有11人，則同時參加這三個興趣小組的同學有
人 .
【答案】5
【解析】以集合A 、 B 、C 表示分別參加語文、數學、英語興趣小組的學生，如下圖所示：
設同時參加這三個興趣小組的同學有 x人，由圖可得20+ 9 x + 11 x + 15 x + x = 55 2x = 45，
解得 x = 5 .
故答案為：5 .
【變式 7-3】（2024·江西·模擬預測）2021 年是中國共產黨成立 100 周年，電影頻道推出“經典頻傳：看
電影，學黨史”系列短視頻，傳揚中國共產黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現有《青春之歌》
《建黨偉業》《開國大典》三支短視頻，某大學社團有 50 人，觀看了《青春之歌》的有 21 人，觀看了《建
黨偉業》的有 23 人，觀看了《開國大典》的有 26 人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業》的有 4
人，只觀看了《建黨偉業》和《開國大典》的有 7 人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有 6 人，
三支短視頻全觀看了的有 3 人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數為 .
【答案】3
【解析】把大學社團 50 人形成的集合記為全集 U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業》《開國大典》三
支短視頻的人形成的集合分別記為 A，B，C，依題意，作出韋恩圖，如圖，
觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有 21 人，則只看了《青春之歌》的有 21 4 6 3 = 8 (人)，
因觀看了《建黨偉業》的有 23 人，則只看了《建黨偉業》的有 23 4 7 3 = 9 (人)，
因觀看了《開國大典》的有 26 人，則只看了《開國大典》的有 26 6 7 3 = 10 (人)，
因此，至少看了一支短視頻的有3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 47 (人)，
所以沒有觀看任何一支短視頻的人數為50 47 = 3 .
故答案為：3
題型八：集合的創新定義運算
【典例 8-1】（多選題）（2024·山西·一模）群的概念由法國天才數學家伽羅瓦（1811-1832）在 19 世紀
30 年代開創，群論雖起源于對代數多項式方程的研究，但在量子力學 晶體結構學等其他學科中也有十分
廣泛的應用.設G 是一個非空集合，“ o ”是一個適用于G 中元素的運算，若同時滿足以下四個條件，則稱G
對“ o ”構成一個群：（1）封閉性，即若a,b G，則存在唯一確定的 c G ，使得 c = a o b ；（2）結合律成立，
即對G 中任意元素a,b,c都有 a ob oc = a o boc ；（3）單位元存在，即存在 e G ，對任意 a G ，滿足
aoe =eoa = a，則 e 稱為單位元；（4）逆元存在，即任意 a G ，存在b G ，使得 a o b = b o a = e，則稱a
與b互為逆元，b記作a 1 .一般地， a o b 可簡記作 ab,a o a 可簡記作 a2 , a2 o a可簡記作a3，以此類推.正八邊
形 ABCDEFGH 的中心為O .以 e 表示恒等變換，即不對正八邊形作任何變換；以 r 表示以點O 為中心，將
π
正八邊形逆時針旋轉 的旋轉變換；以m表示以OA所在直線為軸，將正八邊形進行軸對稱變換.定義運算
4
“ o ” p q表示復合變換，即 f o g 表示將正八邊形先進行 g 變換再進行 f 變換的變換.以形如 r m p,q N，并
r0 = m0規定 = e 的變換為元素，可組成集合G ，則G 對運算“ o ”可構成群，稱之為“正八邊形的對稱變換
群”，記作 D8 .則以下關于 D8 及其元素的說法中，正確的有（ ）
A mr2． D ，且mr28 = r2m
B． r3m與 r5m互為逆元
C． D8 中有無窮多個元素
D． D8 中至少存在三個不同的元素，它們的逆元都是其本身
【答案】ABD
【解析】我們有：
1o由于兩次軸對稱等價與不變換，故m2 = e；
由于旋轉45o施行 8 次等價于旋轉360o也就是不變，故 r8 = e；
由于先旋轉再關于OA對稱和先關于OA對稱再旋轉等效，故 rm= mr .
2o D8 一共是 16 個元素，變換后 ABCDEFGH 逆時針排列的有 8 個，順時針排列的有 8 個.
這就說明：mr2 = r2m， A 正確；
r3m r5m = r3r5m2 = r8 = e，B 正確；
D8 一共是 16 個元素，C 錯誤；
2 4 2D 中，m = e, r = r88 = e, mr4 mr4 = m2r8 = e，D 正確.
故選：ABD
【典例 8-2】已知全集U 且集合A 、 B 是非空集合，定義 A B = x | x A B且 x U A B ，已知
A = x 2 < x < 5 ，B = x x 3 ，則 A B = .
【答案】 x x 5
【解析】 A B = x x < 5 ， U A B = x | x 2或 x > 3 ，
因為 A B = x | x A B且 x U A B ，所以 A B = x x 5 .
故答案為： x x 5 .
【方法技巧】
1、集合的創新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數學知識，一般情況下，它所涉及到的知識和
方法并不難，難在轉化.
2、集合的創新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”，
要根據這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解。
【變式 8-1】定義集合運算： Ae B = z | z = xy x + y , x A, y B ，集合 A = 0,1 , B = 2,3 ，則集合
AeB所有元素之和為 ．
【答案】18
【解析】依題意，當 x = 0, y = 2或 y = 3 時， z = 0；當 x =1, y = 2時， z = 6；
當 x =1, y = 3時， z = 12 ，因此集合 Ae B = {0,6,12}，
所以集合 AeB所有元素的和為 0+6+12=18.
故答案為：18
【變式 8-2】如果集合 U 存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集
A1, A2 ,L, Ak k N*,k 2 ，且滿足 A1 U A2 ULU Ak = U ，那么稱子集組 A1, A2 ,L, Ak 構成集合 U 的一個 k 劃
分．若集合 I 中含有 4 個元素，則集合 I 的所有劃分的個數為（ ）
A．7 個 B．9 個 C．10 個 D．14 個
【答案】D
【解析】不妨設 I = 1,2,3,4 ，則：
I 的 2 劃分有 2,3,4 U 1 ， 1,3,4 U 2 ， 1,2,4 U 3 ， 1,2,3 U 4 ， 1,2 U 3,4 ， 1,3 U 2,4 ，
1,4 U 2,3 ；
I 的 3 劃分有 1,2 U 3 U 4 ， 1,3 U 2 U 4 ， 1,4 U 2 U 3 ， 2,3 U 1 U 4 ， 2,4 U 1 U 3 ，
3,4 U 1 U 2 ；
I 的 4 劃分只有 1 U 2 U 3 U 4 .
綜上， I 的劃分共有 7 + 6 + 1 = 14 個，D 正確.
故選：D.
【變式 8-3】（2024·上海嘉定·二模）若規定集合E = 0,1,2,LL,n 的子集 a1,a2 ,a3,L,am 為 E 的第 k
個子集，其中 k = 2a1 + 2a2 + 2a3 +LL+ 2am ，則 E 的第 211 個子集是 ．
【答案】{0,1,4,6,7}
【解析】因27 = 128 < 211,28 = 256 > 211，則 E 的第 211 個子集必包含 7，此時 211 128 = 83；
又因26 = 64 < 83,27 = 128 > 83,則 E 的第 211 個子集必包含 6，此時83 64 = 19 ；
又24 = 16 < 19,25 = 32 > 19,則 E 的第 211 個子集必包含 4，此時19 16 = 3；
又21 = 2 < 3,22 = 4 > 3, 則 E 的第 211 個子集必包含 1；而20 =1.
綜上所述， E 的第 211 個子集是{0,1,4,6,7} .
故答案為：{0,1,4,6,7} .
1．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知集合 A = x∣ 5 < x3 < 5 , B = { 3, 1,0,2,3}，則 AI B =（ ）
A．{ 1,0} B．{2,3} C．{ 3, 1,0} D．{ 1,0,2}
【答案】A
【解析】因為 A = x | 3 5 < x < 3 5 , B = 3, 1,0,2,3 ，且注意到1< 3 5 < 2 ，
從而 AI B = 1,0 .
故選：A.
2．（2024 年高考全國甲卷數學（理）真題）集合 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ，則 A A B = （ ）
A． 1,4,9 B． 3, 4,9 C． 1,2,3 D． 2,3,5
【答案】D
【解析】因為 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ，所以B = 1,4,9,16,25,81 ，
則 AI B = 1,4,9 ， A AI B = 2,3,5
故選：D
3．（2023 年北京高考數學真題）已知集合M = {x∣x + 2 0}, N = {x∣x 1< 0}，則M N = （ ）
A．{x∣ 2 x <1} B．{x∣ 2 < x 1}
C．{x∣x 2} D．{x∣x <1}
【答案】A
【解析】由題意，M = {x∣x + 2 0} = {x | x 2}， N = {x∣x 1< 0} = {x | x <1}，
根據交集的運算可知，M I N ={x | 2 x <1}.
故選：A
4．（2023 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）設集合 A = 0, a ，B = 1,a 2,2a 2 ，若 A B，則a =（ ）．
A．2 B．1 C 2． 3 D． 1
【答案】B
【解析】因為 A B，則有：
若a 2 = 0，解得 a = 2 ，此時 A = 0, 2 ，B = 1,0,2 ，不符合題意；
若 2a 2 = 0 ，解得 a = 1，此時 A = 0, 1 ，B = 1, 1,0 ，符合題意；
綜上所述： a = 1 .
故選：B.
5．（2023 年高考全國甲卷數學（理）真題）設全集U = Z ,集合
M = {x∣x = 3k +1,k Z}, N = {x∣x = 3k + 2, k Z}， U(M N ) = （ ）
A．{x | x = 3k,k Z} B．{x∣x = 3k 1, k Z}
C．{x∣x = 3k 2,k Z} D．
【答案】A
【解析】因為整數集Z = x | x = 3k,k Z U x | x = 3k +1,k Z U x | x = 3k + 2,k Z ，U = Z ，所以，
U M U N = x | x = 3k,k Z ．
故選：A．
2p
6．（2023 *年高考全國乙卷數學（理）真題）已知等差數列 an 的公差為 ，集合 S = cosa n N ，若3 n
S = a,b ，則 ab = （ ）
1
A．－1 B． C．0 D 1．
2 2
【答案】B
2π 2π 2π
【解析】依題意，等差數列{an}中， an = a1 + (n 1) × = n + (a1 )，3 3 3
顯 然 函 數 y = cos[
2π n + (a 2π )]的 周 期 為 3 ， 而 n N*1 ， 即 cos an 最 多 3 個 不 同 取 值 ， 又3 3
{cosan | n N
*}={a,b}，
則在 cos a1, cos a2 , cos a3 中， cos a1 = cos a2 cos a3 或 cos a1 cos a2 = cos a3 ，
于是有 cosq = cos(q
2π
+ )，即有q
2π
+ (q + ) = 2kπ,k Z，解得q = kπ
π
, k Z ，
3 3 3
π
所以 k Z ， ab = cos(kπ ) cos[(kπ
π 4π
) + ] = cos(kπ π ) cos kπ = cos2 kπ cos π 1= .
3 3 3 3 3 2
故選：B
1．在平面直角坐標系中，集合C ={(x, y) | y = x}表示直線 y = x ，從這個角度看，集合
ì ì2x y =1D = í(x, y) |
ü
íx 4y 5 表示什么？集合
C，D 之間有什么關系？
+ =
ì ì2x y =1ü
【解析】集合D = í(x, y) | í 表示直線2x y =1與直線 x + 4y = 5x 4y 5 交點的集合， + =
即D = {(1,1)} . 則 D C .
2．請解決下列問題：
（1）設a,b R, P ={1,a},Q ={ 1, b}，若 P = Q，求 a b的值；
（2）已知集合 A ={x | 0 < x < a}, B ={x |1< x < 2}，若B A，求實數 a 的取值范圍.
【解析】（1）由于 P = Q，所以 a = 1，且 b = 1，\ a b = 0 .
（2）Q A = {x | 0 < x < a}, B = {x |1< x < 2}，且B A，\ a 2
如圖所示.
3．已知全集U = A B ={x N | 0 x 10}, A CU B ={1,3，5,7}，試求集合 B.
【解析】QU = A B ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， A U B ={1,3,5,7}，
\ U B = {1,3,5, 7} .故B = U U B ={0,2,4,6,8,9,10} .
4．學校舉辦運動會時,高一(1)班共有 28 名同學參加比賽,有 15 人參加游泳比賽,有 8 人參加田徑比賽,
有 14 人參加球類比賽,同時參加游泳比賽和田徑比賽的有 3 人,同時參加游泳比賽和球類比賽的有 3 人,沒有
人同時參加三項比賽,同時參加田徑和球類比賽的有多少人 只參加游泳一項比賽的有多少人
【解析】解:如圖.
設同時參加田徑和球類比賽的有 x 人,則 28 = 15 + 8 + 14 3 3 x ,
\ x = 3 ,
即同時參加田徑和球類比賽的有 3 人,
而只參加游泳一項比賽的有15 3 3 = 9 (人).
5 2．已知集合 A = 1,3,a , B = {1,a + 2} ,是否存在實數 a,使得 A B = A 若存在,試求出實數 a 的值;若不
存在,請說明理由.
【解析】解: A B = A B A\{1,a + 2} 1,3, a2 ，
ì
a a + 2 = a
2
ì + 2 = 3
\ 2
a + 2 1
ía 1

或 í ，
2 a
2 1
a 3 2
a 3
\ a = 2 ，
∴存在實數 a = 2 ，使得 A B = A .
易錯點：在解含參數集合問題時忽視空集
易錯分析：由于空集是一個特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對于集合 A B 就有可能忽視了
A = ，導致解題結果錯誤．尤其是在解含參數的集合問題時，更應注意到當參數在某個范圍內取值時，
所給的集合可能是空集的情況．考生由于思維定式的原因，往往會在解題中遺忘了這個集合，導致答案錯
誤或答案不全面．
答題模板
1、模板解決思路
解決集合中的參數問題，常根據所給條件，并結合集合間的關系或集合的運算等知識列出關于參數的
方程（組）或不等式（組），求解即可．
2、模板解決步驟
第一步：將已知集合化成最簡形式．
第二步：通過畫數軸等方式分析條件．
第三步：列出關于參數的方程（組）或不等式（組）．
第四步：解出參數的取值范圍．
【易錯題 1】已知集合 A = 1,1 ，B = x ax =1 ，若 AI B = B ，則 a 的取值集合為（ ）
A． 1 B． 1 C． 1,1 D． 1,0,1
【答案】D
【解析】由 AI B = B ，知B A，因為 A = 1,1 ，B = {x | ax =1}，
若B = ，則方程 ax =1無解，所以 a = 0滿足題意；
若B ，則B = {x | ax =1}
ìx x 1 ü= í = ，
a
1
因為B A，所以 = ±1，則滿足題意 a = ±1；
a
故實數 a 取值的集合為 1,0,1 .
故選：D.
【易錯題 2】已知集合 A = x 1 x 3 ，集合 B = x 1 m x 1+ m .若 B A，則m 的取值范圍是（ ）
A． , 2 B． 1,3 C． 3,1 D． 0,2
【答案】A
【解析】當m < 0時，B = f ，滿足B A；
ì1 m 1
當m 0 時，若B A，只需 í 0 m 2
1
，解得
+ m 3
綜上，m 的取值范圍是 , 2
故選：A.第 01 講 集合
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：元素與集合 .........................................................................................................................4
知識點 2：集合間的基本關系 .............................................................................................................5
知識點 3：集合的基本運算 .................................................................................................................5
知識點 4：集合的運算性質 .................................................................................................................5
解題方法總結 ........................................................................................................................................6
題型一：集合的表示：列舉法、描述法 ............................................................................................6
題型二：集合元素的三大特征 ............................................................................................................7
題型三：元素與集合間的關系 ............................................................................................................7
題型四：集合與集合之間的關系 ........................................................................................................8
題型五：集合的交、并、補運算 ........................................................................................................8
題型六：集合與排列組合的密切結合 ................................................................................................9
題型七：容斥原理 ..............................................................................................................................10
題型八：集合的創新定義運算 ..........................................................................................................11
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................12
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................13
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................14
易錯點：在解含參數集合問題時忽視空集 ......................................................................................14
答題模板 ..............................................................................................................................................15
考點要求 考題統計 考情分析
本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主，
2024年 I卷第 1題，5分
考查內容、頻率、題型、難度均變化不大. 重點是
2023年 I卷第 1題，5分
（1）集合的概念與表示 集合間的基本運算，主要考查集合的交、并、補
2023年 II卷第 2題，5分
（2）集合的基本關系 運算，常與一元二次不等式解法、一元一次不等
2022年 I卷 II卷第 1題，5分
（3）集合的基本運算 式解法、分式不等式解法、指數、對數不等式解
2021年 I卷 II卷第 1題，5分
法結合.同時適當關注集合與充要條件相結合的解
2020年 I卷 II卷第 1題，5分
題方法.
復習目標：
1、了解集合的含義，了解全集、空集的含義.
2、理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.
3、會求兩個集合的并集、交集與補集.
4、能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用 Venn圖表示集合間的基本關系和基本
運算．
知識點 1：元素與集合
1、集合的含義與表示
某些指定對象的部分或全體構成一個集合．構成集合的元素除了常見的數、點等數學對象外，還可以
是其他對象．
2、集合元素的特征
（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素．
（2）互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復出現．
（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關．
3、元素與集合的關系
元素與集合之間的關系包括屬于(記作 a A )和不屬于(記作 a A )兩種．
4、集合的常用表示法
集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法(韋恩圖)．
知識點詮釋：
（1）列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號括起來.
（2）描述法
在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合
中元素所具有的共同特征.
5、常用數集的表示
數集 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N *或 N Z Q R+
x【診斷自測】（2024·廣東惠州·一模）設集合M = x Z∣100 < 2 <1000 ，則 M 的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．9 D．無窮多個
知識點 2：集合間的基本關系
（1）子集：一般地，對于兩個集合 A、 B ，如果集合 A中任意一個元素都是集合 B 中的元素，我們
就說這兩個集合有包含關系，稱集合 A為集合 B 的子集 ，記作 A B （或 B A），讀作“ A包含于 B ”
（或“ B 包含 A ”）.
（2）真子集：對于兩個集合 A與 B ，若 A B ，且存在 b B ，但 b A，則集合 A是集合 B 的真子
集，記作 A B （或 B A ）.讀作“ A真包含于 B ”或“ B 真包含 A ”.
（3）相等：對于兩個集合 A與 B ，如果 A B ，同時 B A，那么集合 A與 B 相等，記作 A = B．
（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作 ； 是任何集合的子集，是任何非空集合的真
子集.
【診斷自測】（2024·高三·四川成都·階段練習）已知集合 A = 1,2 , B = 2,3 ，則集合
C = z z = x + y , x A, y B 的子集個數為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
知識點 3：集合的基本運算
（1）交集：由所有屬于集合 A且屬于集合 B 的元素組成的集合，叫做 A與 B 的交集，記作 A B ，
即 A B = x | x A且x B ．
（2）并集：由所有屬于集合 A或屬于集合 B 的元素組成的集合，叫做 A與 B 的并集，記作 A B ，
即 A B = x | x A或x B ．
（3）補集：對于一個集合 A，由全集U 中不屬于集合 A的所有元素組成的集合稱為集合 A相對于全
集U 的補集，簡稱為集合 A的補集，記作CU A，即CU A = {x | x U ,且x A}．
【診斷自測】（2024·陜西西安·一模）已知全集U = R ，集合M = {x | y = 1 x}， N = { 2 , 0,1, 2, 3}，
則 ( U M ) I N =（ ）．
A．{ 2 , 0,1} B．{2, 3} C．{1, 2, 3} D． 2
知識點 4：集合的運算性質
（1） AI A = A， AI = ， A I B = B I A， A B A， A B B ．
（2） A U A = A， A U = A， A U B = B U A， A A B ， B A B ．
（3） A I (CU A) = ， A U (CU A) = U ，CU (CU A) = A ．
（4） A B = A A B = B A B U B U A A U B =
【診斷自測】（2024·江西鷹潭·一模）已知集合 A = x | x2 5x 6 ，集合B = x | x a ，若B R A ，
則a的取值范圍為（ ）
A． 6,+ B． 6,+ C． , 1 D． ,1
解題方法總結
（1）若有限集 A 中有n個元素，則 A 的子集有2n個，真子集有 2n 1個，非空子集有 2n 1個，非空真
子集有 2n 2 個．
（2）空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集．
（3） A B A I B = A A U B = B CU B CU A ．
（4）CU (A I B) = (CU A) U (CU B) , CU (A U B) = (CU A) I (CU B) ．
題型一：集合的表示：列舉法、描述法
1-1 2024· · A = 1,0,1 B = m | m2【典例 】（ 廣東江門 一模）已知集合 ， 1 A,m 1 A ，則集合 B 中
所有元素之和為（ ）
A．0 B．1 C．－1 D． 2
【典例 1-2】已知集合 A = { 3, 2,0,1,2,3,7}, B = {x∣x A, x A}，則B =（ ）
A．{0,1,7} B．{1,7} C．{0,2,3} D．{0,1,2,3,7}
【方法技巧】
1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然.
2、描述法，注意代表元素.
ì kπ
【變式 1-1】（2024·新疆·一模）已知集合 A = ísin k N ,且0 k 4
ü
，則集合A 的元素個數為（ ）
4
A．3 B．2 C．4 D．5
【變式 1-2】（2024·高三·山東泰安·期中）已知集合 A = 1,2,3 ，B = 3,5 ，則
C = x x = 2a + b, a A,b B 中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
題型二：集合元素的三大特征
ì
【典例 2-1】設集合 A = í2,3, a2 3a, a
2
+ + 7ü ，B ={| a 2 |,3}，已知 4 A且 4 B ，則a的取值集合
a
為 .
【典例 2-2】由a, a, a , a2 構成的集合中，元素個數最多是 .
【方法技巧】
1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。
2、研究兩個或者多個集合的關系時，最重要的技巧是將兩集合的關系轉化為元素間的關系。
b
【變式 2-1 ì ü】（2024·高三·天津河西·期中）含有 3 個實數的集合既可表示成 ía, ,1a ，又可表示成
a2 ,a + b,0 ，則 a2022 + b2022 = ．
【變式 2-2】（2024·高三·山東濰坊·期中）英語單詞“banana”所含的字母組成的集合中含有 個元
素.
2
【變式 2-3】（2024·云南大理·模擬預測）已知 x∣ax 4x +1 = 0 = b ，其中a,b R，則b =（ ）
1 1
A．0 B 1 1． 或 C． D．
4 2 2 4
題型三：元素與集合間的關系
【典例 3-1】已知集合 A = x x = 4k, k Z ，B = x x = 4m +1,m Z ，C = x x = 4n + 2,n Z ，
D = x x = 4t + 3, t Z ，若 a B ，b C ，則下列說法正確的是（ ）
A． a + b A B． a + b B C． a + b C D． a + b D
【典例 3-2】（2024·高三· 2山東青島·開學考試）已知 x 1,2, x ，則 x的取值為（ ）
A．1 B．1 或 2 C．0 或 2 D．0 或 1 或 2
【方法技巧】
1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數集，尤其是 N 與 N*的區別．
2、當集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數 ．
【變式 3-1】（2024·全國·模擬預測）已知集合 A = x x = 3k +1,k Z ，則下列表示正確的是（ ）.
A． 2 A B． 2023 A
C．3k 2 +1 A D． 35 A
【變式 3-2】（2024·貴州貴陽·模擬預測）若集合 A ={x | 2mx 3 > 0,m R}，其中2 A且1 A ，則實
數 m 的取值范圍是（ ）
3 , 3ù é3 , 3 3 , 3 é3 3ùA． B． ÷ C． ÷ D．
è 4 2 ú ê4 2 è 4 2 ê
,
4 2ú
3-3 A = x x2【變式 】已知 ax +1 0 ，若2 A，且3 A ，則a的取值范圍是（ ）
é5
A． ê ,
10 5 ,10 ù é5 10 ÷ B． ú C． ,+ 2 3 2 3 ê2 ÷
D． , 3 ÷ è è
題型四：集合與集合之間的關系
【典例 4-1】（2024·四川德陽·三模）已知集合 A = x |1< x < 2024 ，B = x | x < a ，若 A B，則實數
a 的取值范圍是（ ）
A． (2024,+ ) B．[2024, + ) C． ( , 2024] D． ( ,2024)
【典例 4-2】（2024·全國·模擬預測）已知集合 1,0 B 1,0,1,2 ，則滿足條件的集合 B 的個數為
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【方法技巧】
1、注意子集和真子集的聯系與區別.
2、判斷集合之間關系的兩大技巧：
（1）定義法進行判斷
（2）數形結合法進行判斷
【變式 4-1】（2024·河南駐馬店·一模）已知集合
M ì k 1 ü= íx x = + , k Z , N
ìx x k 1 ü= í = + , k Z , x0 M ，則 x0 與N 的關系是（ ）
2 4 4 2
A． x0 N B． x0 N
C． x0 M 且 x0 N D．不能確定
【變式 4-2】已知集合M , N I ，若M N = N ，則（ ）
A． I M I N B．M I N C． I M I N D．M I N
【變式 4-3】（2024·青海西寧·二模）設集合 A = 1,2a +1 , B = 3,a 1,3a 2 ,若 A B,則a =（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．3
題型五：集合的交、并、補運算
【典例 5-1】已知集合 A = x x 2 x 5 0 ，B = x 3 2x 5 ，則 R A I B =（ ）
A． -1,2 B． 1,2 C． 1,2 D． 1,2
【典例 5-2】（2024·廣東深圳·二模）對于任意集合M , N ，下列關系正確的是（ ）
A．M U M U N N = M U N B． MUN M I N = MUN M U MUN N
C．M I M U N N = M I N D． MUN (M I N) = MUNM I MUN N
【方法技巧】
1、注意交集與并集之間的關系
2、全集和補集是不可分離的兩個概念
【變式 5-1】已知集合U = R ， A = y y = 1 x + x 1 B = x x x2， < 0 ，則 U AUB =（ ）
A． 0,1 B． 0,1
C． ,0 1,+ D． ,0 1,+
【變式 5-2】（2024·四川德陽·二模）已知集合 A = x∣x2 x 2 0 ,B = x∣y = lnx ，則 U A B =
（ ）
A． x 0 < x <1 B． x 0 < x < 2
C． x 1< x < 2 D． x x > 2
題型六：集合與排列組合的密切結合
【典例 6-1】（2024·福建廈門·二模）設集合 A = 1,0,1 ，B = x1, x2 , x3 , x4 , x5 xi A, i =1,2,3,4,5 ，
那么集合 B 中滿足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的個數為（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
【典例 6-2】（2024·全國·模擬預測）已知V ABC 的三個頂點的橫縱坐標均在集合 1,2,3,4 內，則這樣
的三角形共有（ ）
A．64 個 B．125 個
C．432 個 D．516 個
【典例 6-3】 card(AI B) = card(B IC) = card(C I A) =1，且 AIBIC = ，則稱 (A,B,C)為 N 的“有
序子集列”．現有N ={1,2,3,4,5,6}，則 N 的“有序子集列”的個數為（ ）
A．540 個 B．1280 個 C．3240 個 D．7680 個
【方法技巧】
利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數的問題，需要運用分析與轉化的思想方法。
【變式 6-1】設集合 A = 1,2,3,4 ,B = 5,6,7 ，則從 A 集合到 B 集合所有不同映射的個數是（ ）
A．81 B．64 C．12 D．以上都不正確
【變式 6-2】已知 A, B 1,2,3,L,2022,2023 ，則由集合 A, B構成的集合 A,B 的個數為（ ）
A．24045 22023 B．24045 22022
C．24046 22023 D．24046 22022
【變式 6-3】（2024·高三·四川雅安·開學考試）已知集合U = {x Z∣1 x 5}，非空集合 A U ，且A 中
所有元素之和為奇數，則滿足條件的集合A 共有（ ）
A．12 個 B．14 個 C．16 個 D．18 個
【變式 6-4】（2024·上海靜安·一模）已知直線ax+by +c = 0的斜率大于零，其系數 a、b、c 是取自集
合{ 2, 1,0,1,2}中的 3 個不同元素，那么這樣的不重合直線的條數是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
題型七：容斥原理
【典例 7-1】（2024·高三·北京·強基計劃）一群學生參加學科夏令營，每名同學參加至少一個學科考
試．已知有 100 名學生參加了數學考試，50 名學生參加了物理考試，48 名學生參加了化學考試，學生總數
是只參加一門考試學生數的 2 倍，也是參加三門考試學生數的 3 倍，則學生總數為（ ）
A．108 名 B．120 名 C．125 名 D．前三個答案都不對
【典例 7-2】“四書五經”是中國傳統文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學》《中庸》
《論語》《孟子》．某大學為了解本校學生閱讀“四書”的情況，隨機調查了 200 位學生，其中閱讀過《大學》
的有 60 位，閱讀過《論語》的有 160 位，閱讀過《大學》或《論語》的有 180 位，閱讀過《大學》且閱讀
過《論語》及《中庸》的有 20 位．則該校閱讀過《大學》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學生人數與
該校學生總數比值的估計值是（ ）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【方法技巧】
容斥問題本身存在包容與排斥的一種計數問題，所以我們在處理這一類問題的時候必須要注意扣除掉
重復的部分，也要保證沒有遺漏，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方
法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數
時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理.
【變式 7-1】（2024·高三·湖北·期末）某校高一年級有 1200 人，現有兩種課外實踐活動供學生選擇，
要求每個同學至少選擇一種參加.統計調查得知，選擇其中一項活動的人數占總數的 60%到 65%，選擇另一
項活動的人數占 50%到 55%，則下列說法正確的是（ ）
A．同時選擇兩項參加的人數可能有 100 人
B．同時選擇兩項參加的人數可能有 180 人
C．同時選擇兩項參加的人數可能有 260 人
D．同時選擇兩項參加的人數可能有 320 人
【變式 7-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有 45 名同學參加語文、數學、英語興趣小組.已知僅參
加一個興趣小組的同學有 20 人，同時參加語文和數學興趣小組的同學有9人，同時參加數學和英語興趣小
組的同學有15人，同時參加語文和英語興趣小組的同學有11人，則同時參加這三個興趣小組的同學有
人 .
【變式 7-3】（2024·江西·模擬預測）2021 年是中國共產黨成立 100 周年，電影頻道推出“經典頻傳：看
電影，學黨史”系列短視頻，傳揚中國共產黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現有《青春之歌》
《建黨偉業》《開國大典》三支短視頻，某大學社團有 50 人，觀看了《青春之歌》的有 21 人，觀看了《建
黨偉業》的有 23 人，觀看了《開國大典》的有 26 人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業》的有 4
人，只觀看了《建黨偉業》和《開國大典》的有 7 人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有 6 人，
三支短視頻全觀看了的有 3 人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數為 .
題型八：集合的創新定義運算
【典例 8-1】（多選題）（2024·山西·一模）群的概念由法國天才數學家伽羅瓦（1811-1832）在 19 世紀
30 年代開創，群論雖起源于對代數多項式方程的研究，但在量子力學 晶體結構學等其他學科中也有十分
廣泛的應用.設G 是一個非空集合，“ o ”是一個適用于G 中元素的運算，若同時滿足以下四個條件，則稱G
對“ o ”構成一個群：（1）封閉性，即若a,b G，則存在唯一確定的 c G ，使得 c = a o b ；（2）結合律成立，
即對G 中任意元素a,b,c都有 a ob oc = a o boc ；（3）單位元存在，即存在 e G ，對任意 a G ，滿足
aoe =eoa = a，則 e 稱為單位元；（4）逆元存在，即任意 a G ，存在b G ，使得 a o b = b o a = e，則稱a
與b互為逆元，b記作a 1 .一般地， a o b 可簡記作 ab,a o a 可簡記作 a2 , a2 o a可簡記作a3，以此類推.正八邊
形 ABCDEFGH 的中心為O .以 e 表示恒等變換，即不對正八邊形作任何變換；以 r 表示以點O 為中心，將
π
正八邊形逆時針旋轉 的旋轉變換；以m表示以OA所在直線為軸，將正八邊形進行軸對稱變換.定義運算
4
“ o ”表示復合變換，即 f o g p q表示將正八邊形先進行 g 變換再進行 f 變換的變換.以形如 r m p,q N，并
規定 r0 = m0 = e 的變換為元素，可組成集合G ，則G 對運算“ o ”可構成群，稱之為“正八邊形的對稱變換
群”，記作 D8 .則以下關于 D8 及其元素的說法中，正確的有（ ）
A．mr2 D8，且mr2 = r2m
B． r3m與 r5m互為逆元
C． D8 中有無窮多個元素
D． D8 中至少存在三個不同的元素，它們的逆元都是其本身
【典例 8-2】已知全集U 且集合A 、 B 是非空集合，定義 A B = x | x A B且 x U A B ，已知
A = x 2 < x < 5 ，B = x x 3 ，則 A B = .
【方法技巧】
1、集合的創新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數學知識，一般情況下，它所涉及到的知識和
方法并不難，難在轉化.
2、集合的創新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”，
要根據這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解。
【變式 8-1】定義集合運算： Ae B = z | z = xy x + y , x A, y B ，集合 A = 0,1 , B = 2,3 ，則集合
AeB所有元素之和為 ．
【變式 8-2】如果集合 U 存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集
A , A ,L, A k N*1 2 k ,k 2 ，且滿足 A1 U A2 ULU Ak = U ，那么稱子集組 A1, A2 ,L, Ak 構成集合 U 的一個 k 劃
分．若集合 I 中含有 4 個元素，則集合 I 的所有劃分的個數為（ ）
A．7 個 B．9 個 C．10 個 D．14 個
【變式 8-3】（2024·上海嘉定·二模）若規定集合E = 0,1,2,LL,n 的子集 a1,a2 ,a3,L,am 為 E 的第 k
個子集，其中 k = 2a1 + 2a2 + 2a3 +LL+ 2am ，則 E 的第 211 個子集是 ．
1．（2024 3年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知集合 A = x∣ 5 < x < 5 , B = { 3, 1,0,2,3}，則 AI B =（ ）
A．{ 1,0} B．{2,3} C．{ 3, 1,0} D．{ 1,0,2}
2．（2024 年高考全國甲卷數學（理）真題）集合 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ，則 A A B = （ ）
A． 1,4,9 B． 3, 4,9 C． 1,2,3 D． 2,3,5
3．（2023 年北京高考數學真題）已知集合M = {x∣x + 2 0}, N = {x∣x 1< 0}，則M N = （ ）
A．{x∣ 2 x <1} B．{x∣ 2 < x 1}
C．{x∣x 2} D．{x∣x <1}
4．（2023 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）設集合 A = 0, a ，B = 1,a 2,2a 2 ，若 A B，則a =（ ）．
A．2 B．1 C 2． 3 D． 1
5．（2023 年高考全國甲卷數學（理）真題）設全集U = Z ,集合
M = {x∣x = 3k +1,k Z}, N = {x∣x = 3k + 2, k Z}， U(M N ) = （ ）
A．{x | x = 3k,k Z} B．{x∣x = 3k 1, k Z}
C．{x∣x = 3k 2,k Z} D．
6．（2023 年高考全國乙卷數學（理）真題）已知等差數列 a 2pn 的公差為 ，集合 S = cosan n N* ，若3
S = a,b ，則 ab = （ ）
1
A．－1 B． C．0 D 1．
2 2
1．在平面直角坐標系中，集合C ={(x, y) | y = x}表示直線 y = x ，從這個角度看，集合
ì ì2x y =1D = í(x, y) |
ü
íx 4y 5 表示什么？集合
C，D 之間有什么關系？
+ =
2．請解決下列問題：
（1）設a,b R, P ={1,a},Q ={ 1, b}，若 P = Q，求 a b的值；
（2）已知集合 A ={x | 0 < x < a}, B ={x |1< x < 2}，若B A，求實數 a 的取值范圍.
2．已知全集U = A B ={x N | 0 x 10}, A CU B ={1,3，5,7}，試求集合 B.
4．學校舉辦運動會時,高一(1)班共有 28 名同學參加比賽,有 15 人參加游泳比賽,有 8 人參加田徑比賽,
有 14 人參加球類比賽,同時參加游泳比賽和田徑比賽的有 3 人,同時參加游泳比賽和球類比賽的有 3 人,沒有
人同時參加三項比賽,同時參加田徑和球類比賽的有多少人 只參加游泳一項比賽的有多少人
5 2．已知集合 A = 1,3,a , B = {1,a + 2} ,是否存在實數 a,使得 A B = A 若存在,試求出實數 a 的值;若不
存在,請說明理由.
易錯點：在解含參數集合問題時忽視空集
易錯分析：由于空集是一個特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對于集合 A B 就有可能忽視了
A = ，導致解題結果錯誤．尤其是在解含參數的集合問題時，更應注意到當參數在某個范圍內取值時，
所給的集合可能是空集的情況．考生由于思維定式的原因，往往會在解題中遺忘了這個集合，導致答案錯
誤或答案不全面．
答題模板
1、模板解決思路
解決集合中的參數問題，常根據所給條件，并結合集合間的關系或集合的運算等知識列出關于參數的
方程（組）或不等式（組），求解即可．
2、模板解決步驟
第一步：將已知集合化成最簡形式．
第二步：通過畫數軸等方式分析條件．
第三步：列出關于參數的方程（組）或不等式（組）．
第四步：解出參數的取值范圍．
【易錯題 1】已知集合 A = 1,1 ，B = x ax =1 ，若 AI B = B ，則 a 的取值集合為（ ）
A． 1 B． 1 C． 1,1 D． 1,0,1
【易錯題 2】已知集合 A = x 1 x 3 ，集合 B = x 1 m x 1+ m .若 B A，則m 的取值范圍是（ ）
A． , 2 B． 1,3 C． 3,1 D． 0,2

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