資源簡介

第 02 講 平面向量的數量積及其應用
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：平面向量的數量積 .............................................................................................................4
知識點 2：數量積的運算律 .................................................................................................................5
知識點 3：數量積的性質 .....................................................................................................................5
知識點 4：數量積的坐標運算 .............................................................................................................6
解題方法總結 ........................................................................................................................................7
題型一：平面向量的數量積運算 ........................................................................................................7
題型二：平面向量的夾角問題 ..........................................................................................................10
題型三：平面向量的模長 ..................................................................................................................13
題型四：平面向量的投影、投影向量 ..............................................................................................15
題型五：平面向量的垂直問題 ..........................................................................................................19
題型六：建立坐標系解決向量問題 ..................................................................................................20
題型七：平面向量的實際應用 ..........................................................................................................26
題型八：向量回路恒等式 ..................................................................................................................31
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................32
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................34
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................38
易錯點：對向量數量積的定義理解不深刻導致出錯 ......................................................................38
答題模板：利用定義法計算平面圖形的數量積 ..............................................................................38
考點要求 考題統計 考情分析
平面向量數量積的運算、化簡、證明及數量
積的應用問題，如證明垂直、距離等是每年必考
2024 年 I 卷第 3 題，5 分 的內容，單獨命題時，一般以選擇、填空形式出
2024 年 II 卷第 3 題，5 分 現．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函
（1）平面向量的數量積
2023 年 I 卷第 3 題，5 分 數、平面幾何等相結合考查，而此時向量作為工
（2）平面向量數量積的
2023 年 II 卷第 13 題，5 分 具出現．向量的應用是跨學科知識的一個交匯
幾何意義
2023 年甲卷（理）第 4 題，5 分 點，務必引起重視．
2022 年 II 卷第 4 題，5 分 預測命題時考查平面向量數量積的幾何意義
及坐標運算，同時與三角函數及解析幾何相結合
的解答題也是熱點．
復習目標：
（1）理解平面向量數量積的含義及其幾何意義
（2）了解平面向量的數量積與投影向量的關系．
（3）掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算
（4）會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題
知識點 1：平面向量的數量積
（1）平面向量數量積的定義
r r r r r r r r
已知兩個非零向量 a 與 b ，我們把數量 | a || b | cosq 叫做 a 與b r的數量積（或內積），記作 a ×b ，即 ar ×b
r
= | ar || b | cosq ，規定：零向量與任一向量的數量積為 0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量數量積的幾何意義
r r r①向量的投影： | a | cosq 叫做向量 a 在 b 方向上的投影數量，當q 為銳角時，它是正數；當q 為鈍角
時，它是負數；當q 為直角時，它是 0．
r r r r r r r r r
② a ×b 的幾何意義：數量積 a ×b 等于 a 的長度 | a | 與b 在 a 方向上射影 | b | cosq 的乘積．
r r r r uuur uuur r uuur③ r設 a ， b 是兩個非零向量，它們的夾角是q ,e 與 b 是方向相同的單位向量， AB = a,CD = b ，過 AB
uuur uuuur r
的起點 A 和終點 B ，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為 A1, B1 ，得到 A1B1 ，我們稱上述變換為向量 a
r uuuur r r r r
向向量b 投影， A1B1 叫做向量 a 在向量b 上的投影向量．記為 | a | cosqe ．
uuur uuur
【診斷自測】（2024·安徽安慶·三模）已知線段 AB 是圓O的一條長為 4 的弦，則 AO × AB =（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【解析】取 AB 中點C ，連接OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur易知OC ^ AB，所以 AO × AB = AC + CO × AB = 2 4 1+ 0 = 8 .
故選：C．
知識點 2：數量積的運算律
r r r
已知向量 a 、b 、 c 和實數l ，則：
r r r r
① a ×b = b × a ；
r r r r r r
② (la) × b = l(a ×b) = a × (lb)；
r r r r r r r
③ (a + b) × c = a × c + b × c ．
uuur uuur uuur uuur
【診斷自測】（2024·四川雅安·模擬預測）在VABC 中， AB = 4 ， AC = 3， 且 AB ^ AC ， 則 AB × BC =
（ ）
A．16 B． 16 C． 20 D． 20
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【解析】因為 AB ^ AC ，所以 AB × AC = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
AB × BC = AB × AC AB = AB × AC AB = 0 42 = 16 .
故選：B
知識點 3：數量積的性質
r r r r r r
設 a 、b 都是非零向量， e 是與b 方向相同的單位向量，q 是 a 與 e 的夾角，則
r r r r r r r r r
① e × a = a × e =| a | cosq ．② a ^ b a ×b = 0．
r r r r r r r r r r r r
③當 a 與b 同向時， a ×b =| a || b |；當 a 與b 反向時， a ×b = | a || b |．
r r r
特別地， a × a =| a |2
r r r
或 | a |= a × a ．
r r r r r r r r
④ cosq a ×b= r r (| a || b | 0) ．⑤ | a ×b |≤| a || b |．
| a || b |
r π π
【診斷自測】（2024·西藏·模擬預測）已知向量 a = cos a + ÷ ,sin a + ÷÷，
è è 3 è 3
r
b cos a 5π ,sin a 5π
r r
= + ÷ + ÷÷．若 2a + b ^6 6
r r
a + xb ，則實數 x 的值是（ ）
è è è
1
A 2 B C 1． ． ． 2 D．22
【答案】A
r r r r
a = b =1 a ×b = cos a π+ cos a 5π+ + sin a 5π+ sin a π+ 【解析】由題意得 ， 3 ÷ 6 ÷ ÷ ÷
．
è è è 6 è 3
π 5π r r r r= cos a + a ÷ = cos
π ÷ = 0，因為 2a + b ^ a + xb ，
è 3 6 2

è
r r
所以 2a + b r r r 2 r 2× a + xb = 0，所以 2 a + x b = 0 ，所以 2 + x = 0，解得 x = 2．
故選：A．
知識點 4：數量積的坐標運算
r r r r
已知非零向量 a = (x1 ，y1) ，b = (x2 ，y2 ) ，q 為向量 a 、 b 的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
r r r r
模 | a |= a × a | a |= x2 + y2
r r r r r r
數量積 a ×b =| a || b | cosq a ×b = x1x2 + y1 y2
r r
a ×b x1x2 + y1 y2
夾角 cosq = r r cosq = 2 2 2 2
| a || b | x1 + y1 × x2 + y2
r r
a ^ b 的充要 r r
a ×b = 0 x1x2 + y1 y2 = 0
條件
r r
a∥b 的充要 r r r r
a = lb（b 0） x1 y2 x2 y1 = 0
條件
r r
r r
r r
| a ×b | | a || b |（當
| a ×b |與
r r
| x1x2 + y1 y2 |≤
r r 且僅當 a∥b 時等號成 2 2 2 2
| a || b | x1 + y1 × x2 + y的關系 2
立）
r r r
【診斷自測】已知平面向量 a = 1, 3 ,b 3,1 ar= ，且 ^ b r la ，則實數l 的值為（ ）
A 2 3 B 3 C 1 3． ． ．
3 2 2
D．
3
【答案】B
r 2 r r
【解析】由已知得 a = 12 + 3 = 2 ， a ×b =1 3 + 3 1 = 2 3 ，
r
ar b lar r r又 ^ ，所以 a × b lar 0 r r = r，即 a ×b la2 = 0，
所以 2 3 4l = 0 3，解得l = .
2
故選：B.
解題方法總結
r r
（1）b 在 a 上的投影是一個數量，它可以為正，可以為負，也可以等于 0．
r r r r r r r
（2 r r r r r）數量積的運算要注意 a = 0 時， a ×b = 0 ，但 a ×b = 0 時不能得到 a = 0 或 b = 0 ，因為 a ^ b 時，
ar
r
也有 ×b = 0 ．
r r
3 | ar | ar ar cosq a ×b r
r r r
（ ）根據平面向量數量積的性質： = × ， = r r ， a ^ b a ×b = 0等，所以平面向量| a || b |
數量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題．
（4）若 a、 b 、 c 是實數，則 ab = ac b = c （ a 0）；但對于向量，就沒有這樣的性質，即若向量
r ra b cr r
r r
、 、 滿足 a ×b = ar r r r× c （ a 0），則不一定有 b = c ，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時
乘以一個向量．
r r r
（5）數量積運算不適合結合律，即 (ar r r×b) × c a × (b cr) r r r× ，這是由于 (a ×b) × c 表示一個與 c 共線的向量，
r r r
ar (b cr) r r r r r r r× × 表示一個與 a 共線的向量，而 a 與 c 不一定共線，因此 (a ×b) × c 與 a × (b × c) 不一定相等．
題型一：平面向量的數量積運算
r r r r r
【典例 1-1】設平面向量 a = (1,3) ， | b | 2 | ar= ，且 b |= 10 ，則 2a + b · r ra b =（ ）
A．1 B．14 C． 14 D． 10
【答案】B
r r r
【解析】因為 a = (1,3) ，所以 a = 10,又 | b |= 2，
r
| ar b |2 ar2 2ar
r r
b r
r
則 = × + b 2 =14 2a ×b =10,
r r
所以 a ×b = 2，
2ar r則 + b · r ra r r r r b = 2a2 a ×b b 2
= 20 2 4 =14，
故選：B.
uuur uuur
【典例 1-2】在RtVABC 中， C = 90°， AB = 4 ， AC = 2，O為VABC 的外心，則 AO × BC =（ ）
A．5 B．2 C． 4 D． 6
【答案】D
【解析】在RtVABC 中， AB = 4 ， AC = 2，\BC = 42 22 = 2 3 ， B = 30°
uuuv uuuv
\ AO, BC =150°
又O為VABC 的外心，\O 是 AB 的中點，\ AO = 2
uuur uuur uuur uuur
\ AO × BC = AO BC 1× ×cos150° = 2 2 3 ÷ = 6
è 2
故選：D
【方法技巧】
（1）求平面向量的數量積是較為常規的題型，最重要的方法是緊扣數量積的定義找到解題思路．
（2）平面向量數量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數特征，因而平面向量
數量積是中學數學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛．
r r r
【變式 1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量 ar | a
r 2 b | 3 ar π，b 滿足 = ， = ，且 與b 的夾角為 ，6
r r r則 a + b × 2ar b =（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解析】`
r r r r π
由 | a = 2，b |= 3 ，且 a與b 的夾角為 ，6
所以 r ra + b × r r r 2 r r r22a b = 2a + a ×b b
r 2 r r
2 a a b cos π
r 2
= + × b
6
2
= 2 22 + 2 3 3 3 = 8 .2
故選：B.
r r r
【變式 1-2】已知 a
r
= 6 b = 3 ar
r r
， ，向量 在b 方向上投影向量是 4e，則 a ×b 為（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【答案】A
ar
r r r r
【解析】 在b 方向上投影向量為 a cosq ×e = 4e ，
r r r
\ a cos r rq = 4，\ a ×b = a b cosq = 4 3 =12 .
故選：A
【變式 1-3】（2024·安徽蕪湖·模擬預測）已知邊長為 1 的正方形 ABCD，點 E，F 分別是 BC，CD 的中
uuur uuur
點，則 AE × EF = （ ）
3 1 3 1
A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】D
uuur uuur uuur uuur
【解析】邊長為 1 的正方形 ABCD， AB × AD = 0 ， AB = AD =1，
uuur uuur uuur uuur
AE AB BE AB 1
uuur uuur 1 uuurAD EF BD 1= + = + ， = =
2 2 2
uuur uuur
AD AB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2
所以 AE × EF = AB
1 AD 1 1 1 1 1+ ÷ ×

AD AB

÷ = AD AB = .
è 2 è 2 2 4 2 4
故選：D.
【變式 1-4】（2024·陜西安康·模擬預測）菱形 ABCD的邊長為 2, DAB = 60o，以D為圓心作圓且與
uuur uuur
AQuu×urAEAB 相切于E,Q是eD與CD 的交點，則 =AE .
【答案】1+ 3 / 3 +1
uuur uuur
【解析】由題可知 DE = 3 ， AE =1則 DQ = 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AD × AE = AD AE cos 60° =1, DQ × AE = DQ AE cos 0° = 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故 AQ × AE = (AD + DQ) × AE = AD × AE + DQ × AE =1+ 3，
uuur uuur
AQ
故 uu
×urAE =1+ 3
AE .
故答案為：1+ 3
uuur uuur
【變式 1-5】（2024·浙江寧波·模擬預測）已知VABC
1
是邊長為 1 的正三角形， AN = NC, P 是BN 上一
3
uuur uuur 2 uuur uuur uuur
點且 AP = mAB + AC ，則 AP × AB = （ ）9
A 2
1
． 9 B C
2
． ．
9 3
D．1
【答案】A
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur
【解析】Q AN = NC ，\ AN = AC ，且 AP = mAB + AC = mAB
8
+ AN ，
3 4 9 9
而 P, B, N
8 1
三點共線，\m + =1，即m = ，
9 9
uuur 1 uuurAP AB 2
uuur
\ = + AC ，
9 9
uuur uuur 1 uuur 2 uuur uuur 1 2 o 2
所以 AP × AB = AB + AC × AB = + cos 60 = .
è 9 9 ÷ 9 9 9
故選：A.
題型二：平面向量的夾角問題
r r r r r
【典例 2-1】（2024· r陜西安康·模擬預測）已知單位向量 a,b 滿足 a 3b = 3，則 cos a,b = .
1
【答案】
6
r r r
【解析】因為 a 3b = 3 r，且 | a |=| b |=1，
r r
所以 | a 3b |2 = 9，
ar
r r
所以 2 6ar ×b + 9b 2 = 9，
r
即 a
r 1
×b = .
6
r r r r r r
又 a ×b = a × b cos a
r,b , ar = b =1，
r
所以 cos a
r,b 1= .
6
1
故答案為： .
6
r r r
【典例 2-2】（2024·陜西·二模）已知 a = 1,
3
2 ÷÷
,b = 1, 3 r，則向量 a,b 的夾角的余弦值為 .
è
5 7
【答案】
14
r r 1 3+
ar
r
【解析】設向量 ,b 夾角為q ，則 cosq
a ×br 2 5 7= r = =a b 7 14
.
2
2
5 7
故答案為： .
14
【方法技巧】
r
ar
r r r ar ×b x x + y y
求夾角，用數量積，由 ×b =| a | × | b | cosq 得 cosq = r r = 1 2 1 2 ，進而求得| a | × | b | x 2 + y 2 2 21 1 x2 + y2
r r
向量 a,b 的夾角．
r r r r r r r r
【變式 2-1】（2024·江西宜春·三模）已知 a ，b 均為非零向量，若 | 2a b |=| b |= 2 | a |，則 a 與b 的夾角
為 ．
π
【答案】
3
r r r r r r r r r r r r r r
【解析】由 | 2a b |=| b |，可得 | 2a b |2 =| b |2，即 4 | a |2 4a ×b+ | b |2 =| b |2，解得 a ×b =| a |2 ，
r r r r r r ra ×b | a |2 1
因為 | b |= 2 | a |，所以 cos a,b = r r = r = ，
| a || b | 2 | a |2 2
r r r r
又因為0 a,b π ，所以 a,b
π
= ．
3
π
故答案為： .
3
r r r r
【變式 2-2】已知 a = 2,1 ,b = k, 2 ,k R,a 與b 的夾角為q ．若q 為鈍角，則 k 的取值范圍是 ．
【答案】 k <1且 k 4
r r
cosq a ×br 2k 2【解析】由 = ar
=
b 2 ，且q× 為鈍角，所以 2k 2 < 0，解得 k <1，5 × k + 4
r r r r
當 a / /b時，則 2 2 k = 0，解得 k = 4 ，此時 a與b 夾角為 π，不成立，
\k <1且 k 4．
故答案為： k <1且 k 4．
ur uur π ur uur ur uur
【變式 2-3】（2024·高三·天津寧河·期末）已知單位向量 e1 與 e2 的夾角為 ，則向量 e1 + 2e3 2
與 2e1 3e2
的夾角為 ．
2p
【答案】 /120°
3
ur uur
e e π【解析】因為單位向量 1 與 2 的夾角為 ，3
ur uur ur uur
e e e e cos π 1 1 1 1所以 1 × 2 = 1 × 2 = = ，3 2 2
ur uur ur uur ur2 ur uur uur2所以 e1 + 2e2 × 2e1 3e2 = 2e1 + e1 ×e2 6e2 = 2 1 6 7+ = ，2 2
ur uur
ur uur
e1 + 2e2 2
ur2 ur uur uur2
= e1 + 4e1 ×e2 + 4e2 =1 4
1
+ + 4 = 7，故 e
2 1
+ 2e2 = 7 ，
ur uur 2 ur2 ur uur uur2 ur uur 2e1 3e 12 = 4e1 12e1 ×e2 + 9e2 = 4 12 + 9 = 7，故 2e1 3e2 = 7 ，2
ur uur ur uur
ur uur ur uur e1 + 2e2 × 2e1 3e2
7

所以 cos e1 + 2e2 , 2e1 3e2 = ur uur ur uur
1
= 2 = ，
e1 + 2e 22 × 2e1 3e2 7 7
ur uur ur uur
又 e1 + 2e2 , 2e1 3e2 0, π ，
uv uur ur uur
e 2e 2e 2π所以向量 1 + 2 與 1 3e2 的夾角為 .3
2π
故答案為：
3
r r r r r
【變式 2-4】（2024·四川綿陽·模擬預測）平面向量 a與b 相互垂直，已知a = (6, 8) ， | b |= 5，且b 與
r
向量 (1,0)的夾角是鈍角，則b = .
【答案】 ( 4, 3)
r r r r
【解析】設b = (x, y),Qar ^ b r，\a ×b = 0，\6x 8y = 0，①， | b |= x2 + y2 = 5，②，
r
因為b 與向量 (1,0)夾角為鈍角，\ x < 0 ，③，
ìx = 4 r
由①②③解得 íy 3，\b = ( 4, 3) . =
故答案為： ( 4, 3) .
r r r r r r
【變式 2-5】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知非零向量 a,b滿足 2 a
r
= b ，且 a
r r
^ a b ，則 a，b的夾角
大小為 ．
π
【答案】
3
r r r r r
【解析】因為 a ^ a b ，設向量 a 與b 的夾角為 6，
r r r r r
所以 a × (a b)
r r r r
= a2 a ×b = a 2 a × b cosq = 0，
r
又因為 2 a
r
= b ，
1
所以 a
r 2 2 ar r × a cosq = 0，所以 cosq = .
2
0 π因為 q < π，所以q = .
3
r r π
所以向量 a，b的夾角大小為 .3
π
故答案為： .
3
r r r ra c a
r b 1 cr r
r r r
【變式 2-6】（2024·上海·模擬預測）已知向量 ，b ， 滿足 = = ， = 2 ，且 a + b + c = 0 ，
cos ar cr
r
,b cr則 = ．
4
【答案】 /0.8
5
ar
r r r r 2 r r【解析】由題 +b = -c ，故 a + b cr 2 cr= = 2 r r r即 a2 + b 2 + 2ag b = c 2 ，
r r
1 1 r r+ + 2agb = 2， agb = 0；
r r r r r 2 r 2 r 2 r r2 r r ra + c = b ，故 a + c = b = b 即 a2 + c + 2agc = b 2，
r r r r
1+ 2 + 2agc =1， agc = 1；
r
b cr r
r r 2 r r r r r r
+ = -a ，故 b + c = a 2 = a2即b 2 2+ c + 2b gc = ar2 ，
r r r r
1+ 2 + 2b gc =1， b gc = 1，
ar r
r r r
c · b cr ar·b ar b ·cr cr所以 = + + 2 = 2cr2 = 4，
ar r r r 2 r r r r
r r r r 2 r r r且 c = a c = a2 + c 2 2a·c = 5 ， b c = b c = b 2 + c 2 2b·cr = 5 ，
r r
r
r r r r a c r· b c
所以 cos a c,b
4 4
c = r r r r = = .
a c b c 5 5 5
4
故答案為： .
5
題型三：平面向量的模長
r r r r r r r
【典例 3-1】（2024·重慶·模擬預測）已知向量 a，b 滿足 a =1，b = 3，a b = 2, 6 ，則 3ar + b =
【答案】3 2
r r r r r r 2 r 2 r2 r r 2 r r
【解析】 a =1，b = 3，a b = 2, 6 可得 a b = a + b 2a ×b=22 + 6 =10 a ×b=0，
r r 2 r2 r r
故 3ar + b = 9a + b + 6a ×b= 9 + 9 = 3 2 ，
故答案為：3 2
r r r r r
【典例 3-2】（2024· r r r浙江溫州·二模）平面向量 a,b 滿足 a = 2,1 ， a P b ， a ×b = 10 ，則 b = ．
【答案】 2
r r
【解析】設向量b = x, y r x y，由 a P b 可得 = ，
2 1
r
又 ar ×b = 10 ，則 2x + y = 10 ，
x 2 10 10
r 2 10 10
解得 = ， y = ，則b =
5 5
,
5 5 ÷÷
，
è
r 2 2 2 10 10
所以 b = ÷÷ + ÷÷ = 2 .
è 5 è 5
故答案為： 2
【方法技巧】
r r
求模長，用平方， | a |= a2 ．
r r r r
【變式 3-1】（2024·安徽池州·模擬預測）已知向量 a = 4, 2 ，b = 2,l ，且 a與b 共線，則
r
3ar + 2b = .
【答案】 4 5
r r
【解析】因為 a與b 共線，
所以 4l - -2 -2 = 0 l =1，
r
所以b = 2,1 ，
r r
所以3a + 2b=3 4,-2 + 2 -2,1 = 8,-4 ，
3ar
r
所以 + 2b = 82 + -4 2 = 4 5 ，
故答案為： 4 5 .
r r r r r r r
【變式 3-2】（2024·江蘇連云港·模擬預測）若向量m ， n滿足 m =1， n = 2，且 m n ^ m，則
mr r n =（ ）
A．1 B． 3 C． 7 D．2
【答案】B
【解析】因為 mr nr mr (mr nr) mr ^ ，所以 × = 0，
1 r r
所以 | mr |2 | mr || nr | cosq = 0，所以 cosq = ，其中q 是m, n的夾角，
2
所以 mr r n = (mr nr)2 = 1 1+ 4 2 2 1 = 3 .
2
故選：B.
r r π r r r
【變式 3-3】（2024·高三·上海奉賢·期中）已知平面向量 a ，b 的夾角為 ，若 a =1, 2a b = 10 ，則4
r
b 的值為 .
【答案】3 2
r r r r r r r r
【解析】由 2a b = 10 兩邊平方得 r r 2 2 2 π 22a b =10 ， 4a 4a ×b + b = 4 4 1 b ×cos + b =10，4
r 2 r r r r
b 2 2 × b 6 = 0, b 3 2 b + 2 = 0，解得 b = 3 2
故答案為：3 2
題型四：平面向量的投影、投影向量
【典例 4-1】（2024·福建泉州·模擬預測）在平面直角坐標系 xOy 中，點 P 在直線 x + 2y +1 = 0上.若向
r uuur r
量 a = 1,2 ，則OP 在 a 上的投影向量為（ ）
1 , 2 1 2 A． ÷ B．5 5
, ÷
è è 5 5
5 , 2 5

C． D5 5 ÷÷ ．
1, 2
è
【答案】A
uuur
【解析】由題可設P 2t 1, t ，則OP = 2t 1, t ，
uuur r r
所以OPga = 2t 1, t g 1,2 = 1，又 a = 12 + 22 = 5 ，
uuur r
故OP 在 a 上的投影向量為
uuur r r uuur r r uuur ruuur uuur
cos OP,a a OPga a OPga
r 1 r
= 1 2OP r

OP uuur r r = r 2 a = a = , ÷，
a OP a a a 5 è 5 5
故選：A.
【典例 4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形 ABCD中， AD / /BC 且BC = 2AD, AB ^ AD, AC 與BD
uuur uuur
交于點O，則向量BO在向量BA上的投影向量為（ ）
1 uuur 1 uuur 2 uuur 3 uuur
A． BA B． BA C． BA D． BA
2 3 3 4
【答案】C
【解析】在直角梯形 ABCD中， AD / /BC 且BC = 2AD, AB ^ AD，過O作OE ^ AB于E ，
BE BO BC BE BE 2 2
則OE / / AD / /BC ，故 = = = 2 ，從而 = = =EA OD AD BA BE + EA 2 +1 3 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因此BO × BA =| BO || BA | cos OBE =| BE || BA |
2
= | BA |2 ，
3
uuur uuur
uuur uuur BO × BA uuuruuur BA 2
uuur
所以向量BO在向量BA上的投影向量為 = BA .| BA |2 3
故選：C
【方法技巧】
ar
r r uuur uuur r uuur
設 ， b r r是兩個非零向量，它們的夾角是q ,e 與 b 是方向相同的單位向量， AB = a,CD = b ，過 AB 的
uuur uuuur r
起點 A 和終點 B ，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為 A1, B1 ，得到 A1B1 ，我們稱上述變換為向量 a 向
r uuuur r
向量b 投影， A1B1 叫做向量 a
r r r
在向量b 上的投影向量．記為 | a | cosqe ．
r r r r r r r
【變式 4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知向量 a,b滿足 a = 2,b = 3,0 , a b = 10 ，則向量 a
r
在向量b 方向上的投影向量為（ ）
1 1 1 A． ,0÷ B． ,0
è 6 3 ÷
C． ,02 ÷
D． 1,0
è è
【答案】C
r ra 2, b 3 ar
r
【解析】因為 = = ， b = 10 ，
r r 2 r r r r r r
所以 a b = a2 r
3
2a ×b b 2 22 2ar+ = ×b + 32 =10，得 a ×b = ，
2
r r 3r r a ×b r r
所以向量 a 在向量b 方向上的投影向量為 r 2 ×b
2 b 1= = 3,0 = 1 ,0
9 6 2 ÷
.
b è
故選：C
r r r r
【變式 4-2】（2024·廣東深圳·模擬預測）已知向量 a = 3, 4 ，b = 2,0 ，則 a 在b 上的投影向量為
（　　）
3
A． ,0

÷ B． 3,0 C． 2,0 D． 6,0
è 2
【答案】B
r r
r r
r
【解析】因為 a = 3, 4 ，b = 2,0 ，所以 a ×b = 6 ， b = 2，
r r r r
r r a ×b b 6 b 3
所以 a 在b 上的投影向量為 r × r = = 2,0 = 3,0 b b 2 2 2 .
故選：B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【變式 4-3】在三角形 ABC 中，若 AB × AC = 0, BC = 2BO，則向量 AO 在向量 AB 上的投影向量
為 .
1 uuur
【答案】 AB
2
uuur uuur
【解析】因為BC = 2BO ，所以O為線段BC的中點，
uuur uuur uuur uuur
因為 AB × AC = 0，所以 AB ^ AC ，所以 BAC = 90° ,
所以OA = OB = OC ，
所以VAOB為等腰三角形，
uuur uuur
所以向量 AO 在向量 AB 上的投影向量為
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AO × AB AB AO × AB cos BAO AB
uuur × uuur = uuur × uuur
AB AB AB AB
1 uuur
uuur uuur AB
AO × AB × 2uuur
AO uuurAB 1 uuur ,
= uuur × uuur = AB
AB AB 2
1 uuur
故答案為： AB .
2
r r 5π r r r r r r
【變式 4-4】已知向量 a 與b 的夾角為 ， a = 3 b ，設b a在 a 上的投影向量為la ，則l =（ ）6
3 1
A 1
3
． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】A
r r r rr r r r b a ×a a r
【解析】b a在 a 上的投影向量為la ， 即 r × r = la，
a a
r r r 2
l b ×a a則有 = r 2 ，
a
r r 5π r r
又向量 a 與b 的夾角為 ， a = 3 b ，6
r 2 r 2
3 b 3 3 b
所以 è 2
÷
l 3= r 2 =
.
3 b 2
故選：A.
2 2
【變式 4-5 x y】已知雙曲線C : 2 2 = 1(a > 0,b > 0)的左a b 右焦點分別為 B，C，以 BC 為直徑的圓與漸近線
uuur uuur
交與點 A，連接 AB 與另一條漸近線交與點 E，O為原點，OE //AC ，且 AC = 2 .若BA在BC 上的投影向量
3 uuur uuur uuur
為 BC ，則 （ ）
4 AO × BC =
A． 4 B． 2 3 C． - 2 D． 3
【答案】A
【解析】以 BC 為直徑的圓與漸近線交與點 A，AB 與另一條漸近線交與點 E，
則 BAC = 90°，由OE //AC ，所以OE ^ AB， EOB = AOC = ACB，
又OA = OC ，則 OAC = AOC = ACB，即VAOC 是等邊三角形，
uuur
AC = 2 ，則 BC = 4 ，
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur BA cos B
由BA在BC 上的投影向量 BA cos B
BC 3
× uuur = BC uuur 3=
BC 4 ，即 BC 4
，
uuur uuur uuur uuur 3 uuur 2
所以BA × BC = BA BC cos B = BC =12，
4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由圖得， AO × BC = (BO BA) × BC = BO × BC BA × BC = 8 12 = 4 .
故選：A.
題型五：平面向量的垂直問題
r r
【典例 5-1】（2024·西藏林芝· r模擬預測）已知向量 a = (x,3),b = (2, x r r+ 5)，若 a ^ (a b)，則 x =（ ）
A．2 或 3 B． 2或 3 C．1 或 6 D． 1或 6
【答案】D
r r r
【解析】由題意，向量 a = (x,3),b = (2, x 5) ar+ ，可得 b = (x 2, 2 x)，
r r r
因為 a ^ (a b)，則 x(x 2) +3( 2 x) = 0，即 x2 5x 6 = 0，解得 x= 1或 6．
故選：D
r r r r
【典例 5-2】（2024· r甘肅張掖·模擬預測）已知向量 a,b 滿足 a = b = 1 r，且 a ^ b ，若
r rla b ar r+ ^ + mb ，則（ ）
A．l + m = 0 B．l + m = 1
C．lm = 1 D．lm = 0
【答案】A
r r r r
【解析】根據題意， a ^ b ，所以 a ×b = 0，
r r r r又 lar r+ b ^ a + mb r，所以 la + b × ar + mb = 0，
r 2 r r r2 r r
即la + 1+ lm a ×b + mb = 0 ，因為 a = b = 1，
所以l + m = 0 .
故選：A.
【方法技巧】
ar
r r
^ b ar ×b = 0 x1x2 + y1 y2 = 0
r r r r
【變式 5-1】（2024· · a r r遼寧 模擬預測）若 ，b 是夾角為60° 的兩個單位向量，la + b 與 2a b 垂直，則
l =（ ）
A．0 B．2 C． 1 D． 2
【答案】A
r r
【解析】 a ，b 是夾角為60° 的兩個單位向量，
r r r ra = b =1 a b 1 1 1則 ， × = cos 60° = ，
2
r r r r
因為la + b 與 2a b 垂直，
則 r r rla + b × 2ar b r r= 2lar2 + 2 l ar ×b b 2 = 0，
即 2l 1+ 2 l 1 = 0，解得l = 0 .
2
故選：A.
ur uur r ur uur
【變式 5-2】（2024·浙江紹興·二模）已知 e1 ， e2 是單位向量，且它們的夾角是60°，若 a = 2e1 + e2 ，
r ur uur r r
b = le1 e2 ，且 a ^ b，則l =（ ）
2 4
A． B． C．1 D． 2
5 5
【答案】B
r r r r ur uur ur uur ur2 ur uur uur2 l 2
【解析】由 a ^ b得， a ×b = (2e1 + e2 ) × (le1 e2 ) = 2le1 + l 2 e1 ×e2 e2 = 0 ，即 2l + 1 = 0 ，解得2
l= 4 ，
5
故選：B．
r r r r r
【變式 5-3】（2024·重慶· r模擬預測）已知 | a |=1,| b |= 2 r r，且 a與b 不共線，若向量a + kb 與a kb 互相
垂直，則實數 k 的值為（ ）
1 1
A． B 1． C．±2 D．±22 2
【答案】C
r r
【解析】因為向量ar kb ar+ 與 kb 互相垂直，
ar r所以 + kb × r rar kb = 0，即 ar2 k 2b 2 = 0 ，
即12
1
k 2 22 = 0，解得 k = ± .2
故選：C
題型六：建立坐標系解決向量問題
【典例 6-1】（2024·全國·模擬預測）已知在菱形 ABCD 中， AB = BD = 6，若點 M 在線段 AD 上運動，
uuur uuuur
則BC × BM 的取值范圍為 ．
【答案】 18,18 ．
【解析】 AB = BC = BD ，
記 AC, BD 的交點為O，以O為原點， AC, BD 所在直線分別為 x，y 軸建立如圖 1 所示的平面直角坐標系，
uuur
則B 0,3 ，C 3 3,0 ，BC = 3 3, 3 ， A 3 3,0 ，D 0, 3 ，
uuuur uuur
故 AM = l AD = 3 3l, 3l ， 0≤l ≤1，
則M 3 3 3 3l, 3l ，
uuuur
故BM = uuur3 3 3 3l, 3l 3 ，又BC = 3 3, 3
uuur uuuur
則BC × BM = 36l 18 18,18 ．
uuur uuur uuur
【典例 6-2】如圖，已知正方形 ABCD的邊長為3，且 2BC = 3BE + AB，連接 BE 交CD 于F ，則
uuur uuurCA + 2BF × 1 uuur uuur CA 4BF ÷ =
è 3
【答案】 69
【解析】以 B 為坐標原點，BC為 x 軸正方向，BA為 y 軸正方向，建立直角坐標系，則C 3,0 ， A 0,3 ，
uuur uuur
設E x, y ，可得 AE = x, y 3 , EC = 3 x, y ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因為 2BC = 3BE + AB，則BE + AB = 2 BE BC ，可得 AE = 2EC ，
ìx = 2 3 x ìx = 2
即 í ，解得 í 2,1
y 3 = 2y y 1
，即E 的坐標為 ，
=
uuur uuur
設F 3, m ，則BE = 2,1 ，BF = 3,m ，
uuur uuur 3
由BE / /BF 可得 2m = 3，解得m = ，2
uuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur
則BF = 3, ÷，CA = 3,3 ，可得CA + 2BF = 3,6 ,
1 CA 4BF = 13, 5
è 2 3
uuur uuur 1 uuur uuur所以 CA + 2BF × CA 4BF ÷ = 3 13 + 6 5 = 69．
è 3
故答案為： 69 .
【方法技巧】
y a 3 y y
( , yC 2 2 a) D (0, a) C(a,a)C (bcosθ，bsinθ) D (0,b) C(a,a)
θ
x xA xB (a, 0) x A B (a, 0) A B (a, 0) A B(a, 0)
邊長為 a的等邊三角形 已知夾角的任意三角形 正方形 矩形
y y
y y
D(bcosθ，bsinθ) C(a+bcosθ，bsinθ) (0，asinθ)
D C(a-acosθ，asinθ) D(bcosθ,bsinθ) C(a-bcosθ,bsinθ) A(rcosθ,rsinθ)
x
O
θ x x x
A B(a, 0) A B(a, 0) A B(a, 0)
平行四邊形 直角梯形 等腰梯形 圓
【變式 6-1】（2024·高三·河南濮陽·開學考試）大約在公元 222 年，趙爽為《周髀算經》一書作注時介
紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學繪制的趙爽弦圖，其中四邊形 ABCD, EFGH 均為正方形，
uuur uuur
AD = AE = 2，則FB × AH = .
【答案】16
【解析】以D為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，因為 AD = AE = 2，
所以F 2,0 , B 2,2 , A 0,2 , H 4,2 ，
uuur uuur uuur uuur
所以FB = 4,2 , AH = 4,0 ，所以FB × AH =16 .
故答案為：16 .
uuur uuur
AB AD 1【變式 6-2】（2024·天津·二模）已知菱形 ABCD邊長為 1，且 × = , E 為線段 AD 的中點，若
2
uuur uuur 5 uuur
F 在線段CE上，且BF = lBA + BC ，則l = ，點G 為線段 AC 上的動點，過點G 作BC的平行線交
6
uuuur uuuur uuur
邊 AB 于點M ，過點M 做BC的垂線交邊BC于點 N ，則 MG + MN × MF 的最小值為 .
1 31
【答案】
3 80
【解析】如圖所示，以A 為原點建立平面直角坐標系，則有 A 0,0 、B 1,0 ，
uuur uuur
AB 1由 × AD = ，則 DAB =120°，
2

則D
1
,
3 1 3 1 3
÷÷ ，則E , ÷ ，C , ÷，
è 2 2 4 4 ÷ 2 2 ÷è è
uuur uuur 1 3 uuur uuur 5 uuur
則BA = 1,0 ，BC = ,2 2 ÷÷，由BF = lBA + BC ，è 6
uuur
BF 5 5 3
7 5 3
即 = l , ，則F12 12 ÷÷
l + , ÷÷，
è è 12 12
uuur 1 3 uuur
則CF
5 3
= l + , ÷÷ ，EF = l + ,12 12 6 6 ÷÷
，
è è
1 3 5 3
又F 在線段CE上，故有 l + ÷ l + ÷ 12 ÷
= 0，
è 6 è 6 ÷è 12
1 uuur 3 5 3 1 5 3
解得l = ，即BF = ， ，F , ；
3 è 4 12
÷÷ 4 12 ÷÷ è
uuur uuur
設 AG = m AC ，m 0,1 ，
1 3
則G m, m ÷÷ ，由GM / /BC ，則M m,0 ，
è 2 2
由MN ^ BC ， DAB =120°，則 ABC = 60°，則 NMB = 30°，
3 3 1 3
則MN = BM 3= 1 m ，故 N + m, 1 m 2 2 4 4 4 ÷÷
，
è
uuuur
MG 1 m, 3
uuuur 3 3 3 uuur
則 = m ÷÷，MN = m, 1 m MF
1 5 3
=
2 2 4 4 4 ÷÷
，
è
m, ÷÷，
è è 4 12
uuuur uuuur uuur é ù則 MG + MN MF 1 m 3 3× = + m 1 ÷ m 3 3÷ + ê m + 1 m 5 3
è 2 4 4 è 4
ú
2 4 12
3 5 m 1
3
= m + m
3 5 3
+
è 4 4 ÷ ÷
÷
è 4 ÷è 4 4 12
5 m 2 17= m 3 5 5+ + m +
4 16 16 16 16
5
= m 2 3 1 m +
4 4 2
5 m 3
2
31=
4 ÷
+ ，
è 10 80
3 uuuur uuuur uuur 31則當m = 時， MG + MN × MF 有最小值 .10 80
1 31
故答案為： ； .
3 80
【變式 6-3】窗，古時亦稱為牖，它伴隨著建筑的起源而出現，在中國建筑文化中是一種獨具文化意
蘊和審美魅力的重要建筑構件．如圖是某古代建筑群的窗戶設計圖，窗戶的輪廓 ABCD 是邊長為 50cm 的
正方形，它是由四個全等的直角三角形和一個邊長為 10cm 的小正方形 EFGH 拼接而成，則
tan HAB = ．
13
【答案】
9
【解析】根據正方形的對稱性，設其中心為坐標原點，如圖建立平面直角坐標系，
設OG與 x p軸正方向的夾角為q,q (0, )，
2
則G 5 2 cosq ,5 2 sinq , H (5 2 cos( p pq + ),5 2 sin(q + ))，即2 2
H ( 5 2 sin q,5 2 cos q),C(25,25), A( 25, 25), D( 25,25)，
uuur uuur所以CG = 5 2 cosq 25,5 2 sinq 25 ,CH = 5 2 sinq 25,5 2 cosq 25 ，
uuur uuur
因為G, H ,C 三點共線，所以CG P CH ，即 5 2 cosq 25 5 2 cosq 25 = 5 2 sinq 25 5 2 sinq 25 ，
2 7 2
解得 cos q = ,sin q = 1 cos2 q = ，
10 10
uuur uuur
所以G(1,7), H ( 7,1), F (7, 1)，所以 AH = (18,26), AB = (50,0) ，
uuur uuur
cos HAB uAuuHr × AB 18 50 9 10所以 = uuur = =AH AB 2 2 50 ，又 HAB為銳角，所以× 50 18 + 26
sin HAB 1 cos2 HAB 13 10= = ，所以
50
tan HAB sin HAB 13 == = ；
cos HAB 9
13
故答案為：
9
uuur uuur uuur
【變式 6-4】如圖，正八邊形 ABCDEFGH 中，若 AE = l AC + m AF l，m R ，則l + m 的值為 ．
【答案】 2
【解析】
如圖，以 HD、BF 所在的直線分別為 x、y軸建立平面直角坐標系，正八邊形的中心O即為坐標原點，設
o
AC 交 y M 360軸與 點， AOB = COB = AOH = EOD = = 45o ，
è 8 ÷
ABC =180o 45o =135o ，所以 BAC = 22.5o ，
HAC = HAB CAB = 135o 22.5o = 112.5o，所以 HAC + AHO = 180o ，
即 AC ^ y 軸，VAOM、VMOC 為等腰直角三角形，
設OD = 2，則OD = OF = OE = OA = OC = 2 ，F 0,2 ，
所以 AM = OM = MC = 2 ，所以 A 2, 2 ，C 2, 2 ，C 與E 關于 x 軸對稱，
所以 E 2, 2 ，
uuur
AE = uuur uuur2 2,2 2 ， AF = 2,2 + 2 ， AC = 2 2,0 ，
uuur uuur uuur
由 AE = l AC + m AF 得 2 2,2 2 = l 2 2,0 + m 2,2 + 2 ，
ì2 2 = 2 2l + 2m ì l = 2 2
即 í ，解得 í ， 2 2 = m 2 + 2 m = 2 2 2
所以l + m = 2 2 2 + 2 2 = 2 .
故答案為： 2 .
題型七：平面向量的實際應用
r r r
【典例 7-1】（2024·高三· r廣東汕頭·期末）設 a表示向東走了 10 km，b 表示向南走了 5 km，則a + 2b
所表示的意義為（ ）
A．向東南走了10 2 km B．向西南走了10 2 km
C．向東南走了5 6 km D．向西南走了5 6 km
【答案】A
r r
【解析】a + 2b 可以表示向東走了 10 km，再向南走了 10km，由勾股定理可知，
ar
r
+ 2b 所表示的意義為向東南走了10 2 km.
故選：A.
【典例 7-2】（2024·浙江溫州·二模）物理學中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發生了
ur ur ur ur
一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：W = F × S （其中W 是功，F 是力， S 是位移）
uur uur
一物體在力F1 = 2,4 和F2 = 5,3 的作用下，由點 A(1,0)移動到點B 2,4 ，在這個過程中這兩個力的合力
對物體所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． 5 D． 25
【答案】A
uur uur uur uur uuur
【解析】因為F1 = 2,4 ，F2 = 5,3 ，所以F1 + F2 = ( 3,7)，又 A(1,0)，B 2,4 ，所以 AB = (1, 4)，故
uur uur uuur
W = (F1 + F2 ) × AB = 3 + 7 4 = 25 .
故選：A.
【方法技巧】
用向量方法解決實際問題的步驟
【變式 7-1】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬 250 3m，河水的速度為向正東3km/h．一艘小貨船
準備從河南岸碼頭 P 處出發，航行到河對岸 Q（ PQ與河的方向垂直）的正西方向并且與 Q 相距 250m 的碼
頭 M 處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為5km/h，則當小貨船的航程最短時，小
貨船航行速度的大小為（ ）
A．3 3km/h B．6km/h C．7km/h D．3 6km/h
【答案】C
【解析】由題意，當小貨船的航程最短時，航線路線為線段PM ，設小貨船航行速度為v，水流的速度為
v1，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為 v2，作出示意圖如下：
PQ = 250 3m ，QM = 250m，在Rt PQ 250 3△PQM 中，有 tan PMQ = = = 3，
QM 250
r r
所以 PMQ
p p
= ， MPQ = ， v1, v
p p 2p
2 = + = ，
3 6 2 6 3
r r r
所以 v = v2 v1，
r r r
所以 v = v2 v1 2 r 2 r 2 r r 2p= v2 + v1 2v 2 21 × v2 = 5 + 3 2 5 3cos = 7，3
所以小貨船航行速度的大小為7km/h ，
故選：C.
【變式 7-2】（2024·廣東梅州·二模）如圖，兩根繩子把物體 M 吊在水平桿子 AB 上.已知物體 M 的重力
大小為 20 牛，且 AOM =150°，在下列角度中，當角q 取哪個值時，繩OB承受的拉力最小.（ ）
A． 45° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
uuur uuur
【解析】作出示意圖，設與物體M 平衡的力對應的向量為ON ，則 | ON |= 20，
uuur uuur uuur uuur
以ON 為對角線作平行四邊形OPNQ，則ON = OP + OQ ， | OQ |是繩OB承受的拉力大小，
由 AOM =150°，得 AON = 30°，所以 ONQ = AON = 30° ，
ON OQ 20 OQ
△ ONQ 中，由正弦定理得 = =sin OQN sin ONQ ，即 sin(180° q ) sin 30° ，
uuur
| OQ | OQ 20sin 30° 10可得 = = =sin(180° q ) sinq ，
uuur
結合0° < q <180°，可知當q = 90°時， | OQ |達到最小值 10.
綜上所述，當角q = 90°時，繩OB承受的拉力最小.
故選：C
【變式 7-3】在水流速度10km/h 的自西向東的河中，如果要使船以10 3km/h的速度從河的南岸垂直到
達北岸，則船出發時行駛速度的方向和大小為（　　）
A．北偏西30°，20km/h
B．北偏西60°，10 2km/h
C．北偏東30°，10 2km/h
D．北偏東60°，20km/h
【答案】A
【解析】
uuur
如圖，船從點 O 出發，沿OC 方向行駛才能使船垂直到達對岸，
uuur uuur uuur uuur
依題意，OA ^ OB， | OA |=10,| OB |=10 3 ，
uuur
uuur uuur uuur |OB | 3
則 |OC |= |OA |2 + |OB |2 = 20，則cos BOC = uuur = ，|OC | 2
因為 BOC 為銳角，故 BOC = 30°，
故船以20km/h 的速度，以北偏西30°的方向行駛，才能垂直到達對岸.
故選:A.
【變式 7-4】在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況（如圖所示）．假設行李包所受
uur uur uur uur uur uur
的重力為G ，所受的兩個拉力分別為F1 ，F2 ，且 | F1 |=| F2 |，F1 與F2 的夾角為q ，則以下結論不正確的是
（　　）
uur r
A． | F
1
1 |的最小值為 | G |2
B．q 的范圍為[0, π]
π uur 2 rC．當q = 時，
2 | F1 |= | G |
2
2π uur r
D．當q = 時， | F1 |=| G |3
【答案】B
uur uur uur uur r uur uur
【解析】如圖，對于選項 A：當F1 、F2 方向同向時，有 F1 + F2 = G，此時 | F1 |取得最小值，且 | F1 |最小值為
1 r| G |
2 ，
A 正確；
uur uur r
對于選項 B：當q = p 時，有 F1 + F2 = 0 ，行李包不會處于平衡狀態，即q p ，B 錯誤；
uur uur r p
對于選項 C：當行李包處于平衡時， F1 + F2 = G，若q = ，2
uur uur r
則有 (F 2 21 + F2 ) = G ，變形得，
uur2 uur2 r uur r
F + F = G21 2 ，即 | F1 |
2
= | G |，C 正確；
2
q 2p
uur uur r uur r
對于 D 選項：若 = ，則有則有 (F + F )21 2 = G2 ，變形可得則有 | F1 |=| G |，D 正確，3
故選：B．
題型八：向量回路恒等式
【典例 8-1】如圖，在平面四邊形 ABCD中， | AC |= 3， | BD |= 4

，則 (AB+ DC) × (BC+ AD) = ．
【答案】 7

【解析】由題意得， AB+ DC = (AC+ CB) + (DB+ BC) = AC BD ，

BC+ AD = (BA+ AC) + (AB+ BD) = AC+ BD ，
因為 | AC |= 3， | BD |= 4，

從而 (AB+ DC) × (BC+ AD) =| AC |2 | BD |2 = 9 16 = 7 .
故答案為： 7 .
uuur
【典例 8-2】如圖，在平面四邊形 ABCD中，若 AC = 6， uuur uuur uuur uuur uuurAB + DC × AC + BD =11，則 BD = ．
【答案】5
【解析】由題意可得：
uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2AB + DC × AC + BD = AC + CB + DB + BC × AC + BD = AC BD × AC + BD = AC BD ，
uuur uuur uuur2 2
故36 BD =11，則BD = 25，即 BD = 5 .
故答案為：5.
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
向量回路恒等式： AB + CD = AD + CB
uuuv uuuv uuuv uuuv
【變式 8-1】如圖，已知在四邊形 ABCD中， AC = l1, BD = l2 ．則 AB + DC × BC + AD = ．
【答案】 l 21 l
2
2
【解析】
如圖，設E, F ,G, H 分別為 AB, BC,CD, DA的中點．
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
則EG = EB + BC + CG ．又EG = EA + AD + DG，
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
故 2EG = EB + EA + BC + AD + CG + DG = BC + AD．
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
同理， 2HF = AB + DC ．又EG = EF + EH , HF = HE + HG，
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv則 AB + DC × BC + AD = 4EG × HF = 4 EF + EH × HE + HG
uuuv 2 uuuv 2 uuuv uuuv uuuv uuuv= 4 EF + EH + EH × HG + EF × HE = l 21 l 22 .
l 2故答案為 1 l
2
2
r r r r r r r r r r
1．（2024 年北京高考數學真題）設 a ，b 是向量，則“ a + b · a b = 0 ”是“ a = b或a = b ”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
r r r r r r2 2 r r r r2 2
【解析】因為 a + b × a b = a b = 0，可得 a = b ，即 a = b ，
r r r r r r
可知 a + b × a b = 0等價于 a = b ，
r r r r r r r r r
若a = b或a = b，可得 a = b ，即 a + b × ar b = 0，可知必要性成立；
r r r r r r r若 ar b ar b 0 ar+ × = ，即 = b ，無法得出a = b或a = b，
r r r r r r r例如 a = 1,0 ,b r= 0,1 ，滿足 a = b ，但 a b且 a b，可知充分性不成立；
ar r r r r r r r綜上所述，“ + b × a b = 0 ”是“ a b且 a b ”的必要不充分條件.
故選：B.
r r r
2．（2024 年新課標全國Ⅰ r r卷數學真題）已知向量 a = (0,1),b = (2, x)，若b ^ (b 4a)，則 x =（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】D
r
【解析】因為b ^ r r r r rb 4a ，所以b × b 4a = 0，
r2 r r
所以b 4a ×b = 0即 4 + x2 4x = 0，故 x = 2，
故選：D.
r r r r r r r r r
3．（2024 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知向量 a,b滿足 a =1, a + 2b = 2，且 b 2a ^ b，則 b = （ ）
A 1． 2 B
2 3
． C． D．1
2 2
【答案】B
r r r r r r【解析】因為 b 2a ^ b，所以 b 2a ×b = 0 r2 r r，即b = 2a ×b ，
r r r
又因為 a =1, a + 2b = 2，
r r r2 r2
所以1+ 4a ×b + 4b =1+ 6b = 4，
r
從而 b 2= .
2
故選：B.
r r
4．（2024 年高考全國甲卷數學（理）真題）設向量 a = x +1, x ,b = x, 2 ，則（ ）
r r r r
A．“ x = 3”是“ a ^ b ”的必要條件 B．“ x = 3”是“ a / /b ”的必要條件
r r r r
C．“ x = 0 ”是“ a ^ b ”的充分條件 D．“ x = 1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分條件
【答案】C
r r r r
【解析】對 A，當 a ^ b時，則 a ×b = 0 ，
所以 x × (x +1) + 2x = 0，解得 x = 0或 3，即必要性不成立，故 A 錯誤；
r r r r
對 C，當 x = 0時， a = 1,0 ,b = 0,2 ，故 a ×b = 0 ，
r r
所以 a ^ b，即充分性成立，故 C 正確；
r r
對 B，當 a / /b時，則 2(x +1) = x2 ，解得 x =1± 3 ，即必要性不成立，故 B 錯誤；
2 r r對 D，當 x = 1+ 3 時，不滿足 2(x +1) = x ，所以 a / /b不成立，即充分性不立，故 D 錯誤.
故選：C.
r r r r
5．（2023 年北京高考數學真題）已知向量 ar，b 滿足 a
r
+ b = (2,3), ar r b = ( 2,1)，則 | a |2 | b |2 =（ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．1
【答案】B
r r r
【解析】向量 ar,b 滿足 ar + b = (2,3), ar b = ( 2,1)，
r r r r r r
所以 | a |2 | b |2 = (a + b) × (a b) = 2 ( 2) + 3 1 = 1.
故選：B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
1．已知VABC 的外接圓圓心為O，且 2AO = AB + AC ， AO = AB ，則向量BA在向量BC 上的投影向量為
（ ）
1 uuur 3 uuur 1 uuur uuurA． BC B． BC C． BC D 3．4 4 BC4 4
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】設 AB 中點為D，則 2AO = AB + AC = 2AD，即 AO = AD，故BC邊為圓O的直徑，
uuur uuur uuur uuur
則 AO = OB ，又 AO = AB ，則VABO 為正三角形，
uuur 1 uuur
則有 BA = BC ，
2
uuur
uuur uuur uuur BC 1 uuur
向量BA在向量BC 上的投影向量 BA cos60° uuur = BCBC 4 ，
故選：A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur ABuug2．已知非零向量 AB 與 AC 滿足 u
Br C CAuuguBrC uAuBur g uAuCur 1= 且 = 2 ，則VABC 為（ ）| AB | | AC | | AB | | AC |
A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形
【答案】D
uuur uuur uuur uuur
VABC ABuuguBr C CA【解析】 中， = uu
guBrC ，
| AB | | AC |
uuur uuur uuur uuur
\ uuAurBgBCuuur C= uuurAgBCuuur ，
| AB | | BC | | AC | | BC |
uuur uuur uuur uuur
\cos < AB ， BC >= cos < CA， BC >，
\B = C ，VABC 是等腰三角形；
uuur uuur
又 u
AuBur g uAuCur 1= ，
| AB | | AC | 2
1 1 cos A 1\ =
2 ，
\cos A 1= p， A =
2 3
，
∴ VABC 是等邊三角形.
故選：D.
3．已知 O，N，P 在DABC 所在平面內，且 OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0，且
PA PB = PB PC = PC PA，則點 O，N，P 依次是DABC 的
（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心內心
C．外心重心垂心 D．外心重心內心
【答案】C
uuur uuur uuur
【解析】因為 OA = OB = OC ，所以O到定點 A, B,C 的距離相等，所以O為DABC 的外心，由
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuv uuuv
NA + NB + NC = 0，則 NA + NB = NC ，取 AB 的中點E ，則 NA + NB = 2 NE = CN ，所以 2 NE = CN ，所
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuur uuur uuur uuur uuur
以 N 是DABC 的重心；由 PA PB = PB PC = PC PA，得 (PA PC) × PB = 0，即 AC × PB = 0，所以 AC ^ PB，
同理 AB ^ PC ，所以點 P 為DABC 的垂心，故選 C.
考點：向量在幾何中的應用.
uuuv uuuv
4．如圖，在eC 中，是不是只需知道eC 的半徑或弦 AB 的長度，就可以求出 AB × AC 的值？
【解析】只與弦 AB 的長度有關，與半徑無關.理由如下：
設eC 的半徑為 r，AB 的長度為 2a，取 AB 的中點 D，連接 CD，則CD ^ AB .
在Rt△ACD 中， AD = a, AC = r, cos CAD
a
= ，
r
uuur uuur
AB a\ × AC = 2a × r ×cos CAD = 2ar × = 2a2 .
r
r r r r r r
5．已知 a = 4, b = 3, (2a 3b) × (2a + b)
r
= 61 r，求 a與b 的夾角q .
r r r r
【解析】因為 a = 4, b = 3, (2a
r r
3b) × (2a + b) = 61，
4 ar 2 r
r r 2
所以 4a ×b 3 b = 61，
r r r r
即64 4a ×b 27 = 61，所以 a ×b = 6 ，
r r
因此 cosq
a ×b 1
= r r = a b 2 ，
r r
所以 a與b 的夾角q 為120o .
6．如圖，在VABC 中，已知 AB = 2, AC = 5, BAC = 60° ，BC，AC 邊上的兩條中線 AM，BM 相交于點 P，
求 MPN 的余弦值.
【解析】∵M，N 分別是 BC，AC 的中點，
uuuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
\ AM = (AB AC), BN AN AB 1+ = = AC AB .
2 2
uuuur uuur
uuuur uuur
MPN , cos MPN uAuuMur × BuuNQ AM 與BN 的夾角等于 \ = ur .| AM || BN |
uuuur uuur 1 uuur uuur uuur uuurQ AM × BN = (AB + AC) 1× AC AB

2 è 2 ÷
1 uuur uuur uuurAB AC 1 AB 1
uuur2 uuur uuur
= × + AC 1 AB × AC 1 1 1= 2 5 cos 60° 22 + 52 = 3，
4 2 4 2 4 2 4
uuuur 1 uuur2 uuur uuur uuur2| AM |= AB + 2AB AC AC 1× + = 2 1 2 394 4 2 + 2 2 5 + 5 ÷ = ，è 2 2
uuur uuur2 uuur uuur uuur2
| BN | 1= AC AC × AB + AB 1= 52 2 1 5 + 22 21= ，
4 4 2 2
\cos MPN 3 4 91= =
39 21 91 ．

2 2
7．一條河的兩岸平行，河的寬度 d = 500m ，一般船從河岸邊的 A 處出發到河對岸.已知船在靜水中的速度
v1的大小為 v1 =10km / h，水流速度 v2的大小為 v2 = 2km / h .如果要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距
離與合速度的大小的比值必須最小.此時我們分三種情況討論：
（1）當船逆流行駛，與水流成鈍角時；
（2）當船順流行駛，與水流成銳角時；
（3）當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時.
請同學們計算上面三種情況下船行駛的時間，判斷是否當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時所用時間最
短.
【解析】設 v1與 v2的夾角為q ，船行駛的時間為 t, d = 500m = 0.5km .
d 0.5 0.05
（1）當q 為鈍角時， t1 = = = hsin(p q ) v1 10sinq sinq
；
t d 0.5 0.05（2）當q 為銳角時， 2 = = = hsinq v1 10sinq sinq
；
d 0.5
（3）當q 為直角時， t3 = = = 0.05hv1 10
；
當q 為鈍角時，0 < sinq <1, t1 > 0.05h = t3 ，
當q 為銳角時，0 < sinq <1, t2 > 0.05h = t3 .
所以當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時，所用時間最短.
易錯點：對向量數量積的定義理解不深刻導致出錯
易錯分析： （1）解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時，一定要注意向量的夾角與已知角之間
r r r r r r
的關系是互補還是相等．（2）向量 a,b 的數量積 a ×b 與代數中 a ， b 的乘積寫法不同，不能漏掉其中的
“ ”．
uuur uuur
【易錯題 1】在VABC 中， a = 5，b = 8， c = 7，則BC ×CA的值為 .
【答案】-20
【解析】QVABC 中， a = 5，b = 8， c = 7，
2 2 2
\cosC a + b c 25 + 64 49 1= = =
2ab 2 5 8 2
QC (0,p )，\C
p
=
3
uuur uuur
因此， BCgCA = abcos(p C) = 5 8 cos
2p
= 20
3
故答案為： 20
r r r r
【易錯題 2】已知 b = 3, a
r r 1
在b 上的投影向量為 b ，則 a ×b 的值為 .2
9
【答案】
2
r r
【解析】設 a與b 的夾角為q ，
r
Q ar
r
cosq br 1 r 1 1 r 3 r
r r r 3 9
= b ,\ a cosq r = ,\ a cosq = ,\a ×b = a b cosq = 3 =
b 2 b 2 2 2 2 .
9
故答案為：
2
答題模板：利用定義法計算平面圖形的數量積
1、模板解決思路
通過定義法求解本模板問題時，要將待求數量積的向量用已知模和夾角的向量表示出來，再運算求解．
2、模板解決步驟
r r
第一步：根據條件，把向量 a,b 用已知模和夾角的向量表示出來．
r r r r
第二步：將 a,b 的表示式代入 a ×b ，再根據定義法求數量積．
第三步：進一步求解相關問題．
π uuur uuur uuur uuur
【經典例題 1】已知在邊長為 2 的菱形 ABCD中， DAB = ，點E 滿足BE = 3EC ，則 AC × AE = .3
21
【答案】
2
uuur uuur
【解析】如圖，設 AC 與BD交于點O，過點E 作BD的平行線交 AC 于點F .因為BE = 3EC ，
uuur uuur uuur uuur uuur
所以FC
1 OC 1 7= = AC ，所以 AF = AC ，
4 8 8
因為四邊形 ABCD
π
是邊長為 2 的菱形， DAB = ，
3
uuur uuur uuur
所以 AC = 2 3，且EF ^ AC ，所以 AE在 AC 上的投影向量為 AF ，
uuur uuur uuur uuur uuur2
所以 AC AE AC AF
7 AC 21× = × = = .
8 2
21
故答案為：
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【經典例題 2】如圖，在△ABC 中， | AB + AD |=| AB AD |，BC = 2 BD， | AD |= 2，則 AC × AD = ．
【答案】 4 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】由 | AB + AD |=| AB AD | ,可知 | AB + AD |2 =| AB AD |2，
uuur uuur uuur uuur
\ AB × AD = 0 ,則 AB ^ AD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AC × AD = (AB + BC) × AD = AB × AD + BC × AD = BC × AD
uuur uuur uuur
= 2BD × AD = 2 | AD |2 = 4 2
故答案為： 4 2 ．第 02 講 平面向量的數量積及其應用
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：平面向量的數量積 .............................................................................................................4
知識點 2：數量積的運算律 .................................................................................................................4
知識點 3：數量積的性質 .....................................................................................................................5
知識點 4：數量積的坐標運算 .............................................................................................................5
解題方法總結 ........................................................................................................................................6
題型一：平面向量的數量積運算 ........................................................................................................7
題型二：平面向量的夾角問題 ............................................................................................................7
題型三：平面向量的模長 ....................................................................................................................8
題型四：平面向量的投影、投影向量 ................................................................................................9
題型五：平面向量的垂直問題 ..........................................................................................................10
題型六：建立坐標系解決向量問題 ..................................................................................................11
題型七：平面向量的實際應用 ..........................................................................................................13
題型八：向量回路恒等式 ..................................................................................................................15
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................16
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................17
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................18
易錯點：對向量數量積的定義理解不深刻導致出錯 ......................................................................18
答題模板：利用定義法計算平面圖形的數量積 ..............................................................................19
考點要求 考題統計 考情分析
平面向量數量積的運算、化簡、證明及數量
積的應用問題，如證明垂直、距離等是每年必考
2024 年 I 卷第 3 題，5 分 的內容，單獨命題時，一般以選擇、填空形式出
2024 年 II 卷第 3 題，5 分 現．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函
（1）平面向量的數量積
2023 年 I 卷第 3 題，5 分 數、平面幾何等相結合考查，而此時向量作為工
（2）平面向量數量積的
2023 年 II 卷第 13 題，5 分 具出現．向量的應用是跨學科知識的一個交匯
幾何意義
2023 年甲卷（理）第 4 題，5 分 點，務必引起重視．
2022 年 II 卷第 4 題，5 分 預測命題時考查平面向量數量積的幾何意義
及坐標運算，同時與三角函數及解析幾何相結合
的解答題也是熱點．
復習目標：
（1）理解平面向量數量積的含義及其幾何意義
（2）了解平面向量的數量積與投影向量的關系．
（3）掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算
（4）會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題
知識點 1：平面向量的數量積
（1）平面向量數量積的定義
r r r r r
已知兩個非零向量 ar b | ar與 ，我們把數量 || b | cosq 叫做 ar b r r與 的數量積（或內積），記作 a ×b ，即 a ×b
= | ar
r
|| b | cosq ，規定：零向量與任一向量的數量積為 0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量數量積的幾何意義
r r
①向量的投影： | a | cosq r叫做向量 a 在 b 方向上的投影數量，當q 為銳角時，它是正數；當q 為鈍角
時，它是負數；當q 為直角時，它是 0．
r r r r
a b r
r r r r
② × 的幾何意義：數量積 a ×b 等于 a 的長度 | a | 與b 在 a 方向上射影 | b | cosq 的乘積．
r r③ a b r
r uuur r uuur r uuur
設 ， 是兩個非零向量，它們的夾角是q ,e 與b 是方向相同的單位向量， AB = a,CD = b ，過 AB
uuur uuuur r
的起點 A和終點 B ，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為 A1, B1 ，得到 A1B1 ，我們稱上述變換為向量 a
r uuuur r
向向量b A B ar r r投影， 1 1 叫做向量 在向量b 上的投影向量．記為 | a | cosqe ．
uuur uuur
【診斷自測】（2024·安徽安慶·三模）已知線段 AB 是圓O的一條長為 4 的弦，則 AO × AB =（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
知識點 2：數量積的運算律
r r r
已知向量 a 、b 、 c 和實數l ，則：
r r r r
① a ×b = b × a；
r r r r r r
② (la) × b = l(a ×b) = a × (lb)；
r r r r r r r
③ (a + b) × c = a × c + b × c ．
uuur uuur
【診斷自測】（2024·四川雅安·模擬預測）在VABC 中， AB = 4 ， AC = 3， 且 AB ^ AC ， 則
uuur uuur
AB × BC =（ ）
A．16 B． 16 C． 20 D． 20
知識點 3：數量積的性質
r r r
設 a 、b
r r r
都是非零向量， e 是與b 方向相同的單位向量，q 是 a 與 e 的夾角，則
r r r r r r r r r
① e × a = a × e =| a | cosq ．② a ^ b a ×b = 0．
r r r r r r r r r r r r
③當 a 與b 同向時， a ×b =| a || b |；當 a 與b 反向時， a ×b = | a || b |．
r r r r r r
特別地， a × a =| a |2 或 | a |= a × a ．
r r r r r r r r
④ cosq a ×b= r r (| a || b | 0) ．⑤ | a ×b |≤| a || b |．
| a || b |
r π π
【診斷自測】（2024·西藏·模擬預測）已知向量 a = cos a + ÷ ,sin3
a +
3 ÷÷
，
è è è
r 5π 5π r r r rb = cos a + ÷ ,sin a + ÷÷．若 2a + b ^ a + xb ，則實數 x 的值是（6 6 ）è è è
1
A． 2 B． C 1．
2 2
D．2
知識點 4：數量積的坐標運算
r r r r
已知非零向量 a = (x1 ，y1) ，b = (x2 ，y2 ) ，q 為向量 a 、b 的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
r r r r
模 | a |= a × a | a |= x2 + y2
r r r r r r
數量積 a ×b =| a || b | cosq a ×b = x1x2 + y1 y2
r r
cosq a ×b
x1x2 + y1 y2
夾角 = r r cosq = x2 + y2 × x2 + y2| a || b | 1 1 2 2
r r
a ^ b 的充要 r r
a ×b = 0 x1x2 + y1 y2 = 0
條件
r r
a∥b 的充要 r r r r
a = lb（b 0） x1 y2 x2 y1 = 0
條件
r r r r
r r | a ×b | | a || b |（當
| a ×b |與
r r | x1x2 + y1 y2 |≤
r r 且僅當 a∥b 時等號成 x2 + y2 × x2 + y2| a || b | 的關系 1 1 2 2
立）
r r r r r
【診斷自測】已知平面向量 a = 1, 3 ,b = 3,1 ，且 a ^ b la ，則實數l 的值為（ ）
A 2 3． B 3． C 1． 2 D
3
．
3 2 3
解題方法總結
r
（1）b ar在 上的投影是一個數量，它可以為正，可以為負，也可以等于 0．
r r r r r r r r r r r
（2）數量積的運算要注意 a = 0 時， a ×b = 0 ，但 a ×b = 0 時不能得到 a = 0 或 b = 0 ar，因為 ^ b 時，
ar
r
也有 ×b = 0 ．
r rr r r r r
（3）根據平面向量數量積的性質： | a |= ar ar cosq a ×b× ， = r r ， a ^ b a ×b = 0等，所以平面向量| a || b |
數量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題．
（4）若 a、 b 、 c 是實數，則 ab = ac b = c （ a 0）；但對于向量，就沒有這樣的性質，即若向量
r r
ar b cr ar b ar r r
r
c a 0 b = cr、 、 滿足 × = × （ ），則不一定有 ，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時
乘以一個向量．
r r r r
（5）數量積運算不適合結合律，即 (a ×b) r r× c a × (b cr) r r r× ，這是由于 (a ×b) × c 表示一個與 c 共線的向量，
r r r ra × (b cr) ar r r r r r r× 表示一個與 共線的向量，而 a 與 c 不一定共線，因此 (a ×b) × c 與 a × (b × c) 不一定相等．
題型一：平面向量的數量積運算
r r r r r r
【典例 1-1】設平面向量 a = (1,3) ， | b |= 2，且 | a b |= 10 ，則 2ar r+ b · a b =（ ）
A．1 B．14 C． 14 D． 10
uuur uuur
【典例 1-2】在RtVABC 中， C = 90°， AB = 4 ， AC = 2，O為VABC 的外心，則 AO × BC =（ ）
A．5 B．2 C． 4 D． 6
【方法技巧】
（1）求平面向量的數量積是較為常規的題型，最重要的方法是緊扣數量積的定義找到解題思路．
（2）平面向量數量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數特征，因而平面向量
數量積是中學數學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛．
r
ar | ar
r
= 2 b |= 3 ar
r π
【變式 1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量 ，b 滿足 ， ，且 與b 的夾角為 ，6
則 r rar + b r× 2a b =（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
r
ar 6 b 3 r r r1-2 = = a b 4e ar
r
【變式 】已知 ， ，向量 在 方向上投影向量是 ，則 ×b 為（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【變式 1-3】（2024·安徽蕪湖·模擬預測）已知邊長為 1 的正方形 ABCD，點 E，F 分別是 BC，CD 的中
uuur uuur
點，則 AE × EF = （ ）
3 1 3 1
A． B． C． D．
4 4 4 4
【變式 1-4】（2024·陜西安康·模擬預測）菱形 ABCD的邊長為 2, DAB = 60o，以 D為圓心作圓且與
uuur uuur
AQ × AE
AB 相切于E,Q是eD與CD的交點，則 uuur =AE .
uuur 1 uuur
【變式 1-5】（2024·浙江寧波·模擬預測）已知VABC 是邊長為 1 的正三角形， AN = NC, P 是BN 上一
3
uuur uuur 2 uuur uuur uuur
點且 AP = mAB + AC ，則 AP × AB = （ ）9
A 2
1
． 9 B C
2
． ．
9 3
D．1
題型二：平面向量的夾角問題
r r r r
【典例 2-1 r】（2024·陜西安康·模擬預測）已知單位向量 a,b 滿足 a 3b
r
= 3，則 cos a,b = .
r 3 r r
【典例 2-2】（2024· r陜西·二模）已知 a = 1, ÷÷ ,b = 1, 3 ，則向量 a,b 的夾角的余弦值為 .
è 2
【方法技巧】
r r r r r
r
求夾角，用數量積，由 a ×b =| a | × | b | cosq 得 cos a ×b x x + y yq = r r = 1 2 1 2 ，進而求得| a | × | b | x 2 + y 21 1 x
2 + y 22 2
r r
向量 a ,b 的夾角．
r r r r r r r r
【變式 2-1】（2024·江西宜春·三模）已知 a，b 均為非零向量，若 | 2a b |=| b |= 2 | a |，則 a與b 的夾角
為 ．
r r r
【變式 2-2】已知 a = 2,1 ,b r= k, 2 ,k R,a 與b 的夾角為q ．若q 為鈍角，則 k 的取值范圍是 ．
ur uur π ur uur ur uur
【變式 2-3】（2024·高三·天津寧河·期末）已知單位向量 e1 與 e2 的夾角為 ，則向量 e1 + 2e2 與 2e1 3e3 2
的夾角為 ．
r r r r r
【變式 2-4】（2024·四川綿陽·模擬預測）平面向量 a與b 相互垂直，已知a = (6, 8) ， | b |= 5，且b 與
r
向量 (1,0)的夾角是鈍角，則b = .
r r r r r r r r r
【變式 2-5】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知非零向量 a,b滿足 2 a = b ，且 a ^ a b ，則 a，b的夾
角大小為 ．
r r r r r r
【變式 2-6】（2024·上海·模擬預測）已知向量 a，b ， c 滿足 a
r
= b = 1 cr = 2 ar b cr， ，且 + + = 0，
cos ar
r
則 c
r,b r c = ．
題型三：平面向量的模長
r r r r r
【典例 3-1】（2024·重慶· ar模擬預測）已知向量 ，b 滿足 a =1，b = 3
r
，a b = 2, 6 r，則 3a + b =
r r r r r
【典例 3-2】（2024·浙江溫州·二模）平面向量 ar,b 滿足 a = 2,1 ar P b r， ， a ×b = 10 ，則 b = ．
【方法技巧】
r r
求模長，用平方， | a |= a2 ．
r r r r
【變式 3-1】（2024·安徽池州·模擬預測）已知向量 a = 4, 2 ，b = 2,l ，且 a與b 共線，則
r r3a + 2b = .
3-2 r
r r r r r r
【變式 】（2024·江蘇連云港·模擬預測）若向量m ， n滿足 m =1， n = 2，且 m n ^ m，則
mr nr =（ ）
A．1 B． 3 C． 7 D．2
r r π r r r
【變式 3-3】（2024·高三·上海奉賢·期中）已知平面向量 a，b 的夾角為 ，若 a =1, 2a b = 10 ，則4
r
b 的值為 .
題型四：平面向量的投影、投影向量
【典例 4-1】（2024·福建泉州·模擬預測）在平面直角坐標系 xOy 中，點 P 在直線 x + 2y +1 = 0上.若向
r uuur r
量 a = 1,2 ，則OP 在 a上的投影向量為（ ）
1 , 2 1 , 2 A． B．
è 5 5 ÷ è 5 5 ÷
5 2 5
C． , ÷÷ D． 1, 2
è 5 5
【典例 4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形 ABCD中， AD / /BC 且BC = 2AD, AB ^ AD, AC 與BD
uuur uuur
交于點O，則向量BO在向量BA上的投影向量為（ ）
1 uuur 1 uuur uuur uuur
A． BA B． BA
2
C． BA
3
D． BA
2 3 3 4
【方法技巧】
r r r r uuur r uuur r uuur
設 a ， b 是兩個非零向量，它們的夾角是q ,e 與 b 是方向相同的單位向量， AB = a,CD = b ，過 AB 的
uuur uuuur
起點 A和終點 B ，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為 A1, B1 ，得到 A
r
1B1 ，我們稱上述變換為向量 a 向
r uuuur
b A B ar
r
向量 投影， 1 1 叫做向量 在向量b
r
上的投影向量．記為 | a | cosqer ．
r r r r r
【變式 4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知向量 a,b滿足 a = 2,b = 3,0 , ar b = 10 ，則向量
r r
a在向量b 方向上的投影向量為（ ）
1 ,0 1A． ÷ B． ,0
1
÷ C． ,0÷ D． 1,0 è 6 è 3 è 2
r r
【變式 4-2】（2024·廣東深圳·模擬預測）已知向量 a = r r3, 4 ，b = 2,0 ，則 a在b 上的投影向量為
（　　）
3
A． ,0

÷ B． 3,0 C． 2,0 D． 6,0
è 2
uuur uuur uuur uuur uuur
【變式 4-3】在三角形 ABC
uuur
中，若 AB × AC = 0, BC = 2BO，則向量 AO 在向量 AB 上的投影向量
為 .
r r 5π r r r r r r
【變式 4-4】已知向量 a與 b 的夾角為 ， a = 3 b ，設 b a在 a上的投影向量為la ，則 l =（ ）6
3 1 3
A． B． C 1． D．
2 2 2 2
x2 y2
【變式 4-5】已知雙曲線C : 2 2 = 1(a > 0,b > 0)的左 右焦點分別為 B，C，以 BC 為直徑的圓與漸近線a b
uuur uuur
交與點 A，連接 AB 與另一條漸近線交與點 E，O為原點，OE //AC ，且 AC = 2 .若BA在BC 上的投影向量
3 uuur uuur uuur
為 BC ，則
4 AO × BC =
（ ）
A． 4 B． 2 3 C． - 2 D． 3
題型五：平面向量的垂直問題
5-1 2024· · ar
r r
【典例 】（ 西藏林芝 模擬預測）已知向量 = (x,3),b = (2, x 5) r+ ，若 a ^ (ar b)，則 x =（ ）
A．2 或 3 B． 2或 3 C．1 或 6 D． 1或 6
r r r r
【典例 5-2】（2024· r甘肅張掖·模擬預測）已知向量 a,b 滿足 a = b = 1 ar，且 ^ b ，若
r rlar + b ^ ar + mb ，則（ ）
A．l + m = 0 B．l + m = 1
C．lm = 1 D．lm = 0
【方法技巧】
r r r a ^ b ar ×b = 0 x1x2 + y1 y2 = 0
ar
r r r
【變式 5-1】（2024· r r遼寧·模擬預測）若 ，b 是夾角為60° 的兩個單位向量，la + b 與 2a b 垂直，則
l =（ ）
A．0 B．2 C． 1 D． 2
ur uur r ur uur
【變式 5-2】（2024·浙江紹興·二模）已知 e1 ， e2 是單位向量，且它們的夾角是60°，若 a = 2e1 + e2 ，
r ur uur r r
b = le1 e2 ，且 a ^ b，則l =（ ）
2 4
A． B． C．1 D． 2
5 5
r r r r r r
【變式 5-3】（2024·重慶·模擬預測）已知 | a |=1,| b |= 2，且 a與b 不共線，若向量ar + kb r與a kb 互相
垂直，則實數 k 的值為（ ）
1 1
A． B 1． 2 C．± D．±22 2
題型六：建立坐標系解決向量問題
【典例 6-1】（2024·全國·模擬預測）已知在菱形 ABCD 中， AB = BD = 6，若點 M 在線段 AD 上運動，
uuur uuuur
則BC × BM 的取值范圍為 ．
uuur uuur uuur
【典例 6-2】如圖，已知正方形 ABCD的邊長為3，且2BC = 3BE + AB，連接 BE 交CD于 F ，則
uuur uuur 1 uuur uuurCA + 2BF × CA 4BF ÷ =
è 3
【方法技巧】
y a 3 y y
C ( 2 , 2 a)
y
D (0, a) C(a,a)
C (bcosθ，bsinθ) D (0,b) C(a,a)
θ
x
A B (a, 0) x A B (a, 0)
x x
A B (a, 0) A B(a, 0)
邊長為 a的等邊三角形 已知夾角的任意三角形 正方形 矩形
y y
y y
D(bcosθ，bsinθ) C(a+bcosθ，bsinθ) (0，asinθ)
D C(a-acosθ，asinθ) D(bcosθ,bsinθ) C(a-bcosθ,bsinθ) A(rcosθ,rsinθ)
x
O
θ x x
A B(a, 0) A B(a, 0) A
x
B(a, 0)
平行四邊形 直角梯形 等腰梯形 圓
【變式 6-1】（2024·高三·河南濮陽·開學考試）大約在公元 222 年，趙爽為《周髀算經》一書作注時介
紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學繪制的趙爽弦圖，其中四邊形 ABCD, EFGH 均為正方形，
uuur uuur
AD = AE = 2，則FB × AH = .
uuur uuur 1
【變式 6-2】（2024·天津·二模）已知菱形 ABCD邊長為 1，且 AB × AD = , E 為線段 AD 的中點，若
2
uuur uuur uuur
F 在線段CE上，且BF = lBA
5
+ BC ，則l = ，點G 為線段 AC 上的動點，過點G 作BC 的平行線交
6
uuuur uuuur uuur
邊 AB 于點M ，過點M 做BC 的垂線交邊BC 于點 N ，則 MG + MN × MF 的最小值為 .
【變式 6-3】窗，古時亦稱為牖，它伴隨著建筑的起源而出現，在中國建筑文化中是一種獨具文化意
蘊和審美魅力的重要建筑構件．如圖是某古代建筑群的窗戶設計圖，窗戶的輪廓 ABCD 是邊長為 50cm 的
正方形，它是由四個全等的直角三角形和一個邊長為 10cm 的小正方形 EFGH 拼接而成，則
tan HAB = ．
uuur uuur uuur
【變式 6-4】如圖，正八邊形 ABCDEFGH 中，若 AE = l AC + m AF l，m R ，則l + m 的值為 ．
題型七：平面向量的實際應用
r r r
【典例 7-1】（2024·高三·廣東汕頭· r期末）設 a表示向東走了 10 km，b 表示向南走了 5 km，則a + 2b
所表示的意義為（ ）
A．向東南走了10 2 km B．向西南走了10 2 km
C．向東南走了5 6 km D．向西南走了5 6 km
【典例 7-2】（2024·浙江溫州·二模）物理學中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發生了
ur ur ur ur
一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：W = F × S （其中W 是功， F 是力， S 是位移）
uur uur
一物體在力F1 = 2,4 和F2 = 5,3 的作用下，由點 A(1,0)移動到點B 2,4 ，在這個過程中這兩個力的合力
對物體所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． 5 D． 25
【方法技巧】
用向量方法解決實際問題的步驟
【變式 7-1】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬 250 3m，河水的速度為向正東3km/h．一艘小貨船
準備從河南岸碼頭 P 處出發，航行到河對岸 Q（ PQ與河的方向垂直）的正西方向并且與 Q 相距 250m 的碼
頭 M 處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為5km/h，則當小貨船的航程最短時，小
貨船航行速度的大小為（ ）
A．3 3km/h B．6km/h C．7km/h D．3 6km/h
【變式 7-2】（2024·廣東梅州·二模）如圖，兩根繩子把物體 M 吊在水平桿子 AB 上.已知物體 M 的重力
大小為 20 牛，且 AOM =150°，在下列角度中，當角q 取哪個值時，繩OB承受的拉力最小.（ ）
A． 45° B．60° C．90° D．120°
【變式 7-3】在水流速度10km/h 的自西向東的河中，如果要使船以10 3km/h的速度從河的南岸垂直到
達北岸，則船出發時行駛速度的方向和大小為（　　）
A．北偏西30°，20km/h
B．北偏西60°，10 2km/h
C．北偏東30°，10 2km/h
D．北偏東60°，20km/h
【變式 7-4】在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況（如圖所示）．假設行李包所受
uur uur uur uur uur uur
的重力為G ，所受的兩個拉力分別為F1 ，F2 ，且 | F1 |=| F2 |，F1 與F2 的夾角為q ，則以下結論不正確的是
（　　）
uur
| F | 1
r
A． 1 的最小值為 | G |2
B．q 的范圍為[0,π]
q π
uur r
C．當 = 2時， | F |= | G |
2 1 2
q 2π
uur r
D．當 = 時， | F
3 1
|=| G |
題型八：向量回路恒等式

【典例 8-1】如圖，在平面四邊形 ABCD中， | AC |= 3， | BD |= 4，則 (AB+ DC) × (BC+ AD) = ．
uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur
【典例 8-2】如圖，在平面四邊形 ABCD中，若 AC = 6， AB + DC × AC + BD =11，則 BD = ．
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
向量回路恒等式： AB + CD = AD + CB
uuuv uuuv
【變式 8-1】如圖，已知在四邊形 ABCD中， AC = l1, BD = l2 ．則 AB + DC
uuuv uuuv
× BC + AD = ．
r r r r r r r r
1．（2024 年北京高考數學真題）設 a，b 是向量，則“ ar + b · ar b = 0 ”是“ a = b或a = b ”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
r r r r2．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知向量 a = (0,1),b = (2, x)，若b ^ (b 4ar)，則 x =（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
r r r r r r r r r
3．（2024 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知向量 a,b滿足 a =1, a + 2b = 2，且 b 2a ^ b ，則 b = （ ）
A 1 B 2 C 3． 2 ． ． D．12 2
r r
4．（2024 年高考全國甲卷數學（理）真題）設向量 a = x +1, x ,b = x, 2 ，則（ ）
r r r r
A．“ x = 3”是“ a ^ b ”的必要條件 B．“ x = 3”是“ a / /b ”的必要條件
r r r r
C．“ x = 0 ”是“ a ^ b ”的充分條件 D．“ x = 1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分條件
r r r r
5 r r r r．（2023 年北京高考數學真題）已知向量 a，b 滿足 a + b = (2,3), a b = ( 2,1)，則 | a |2 | b |2 =（ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
1．已知VABC 的外接圓圓心為O，且 2AO = AB + AC ， AO AB
uuur
= ，則向量BA在向量BC 上的投影向量
為（ ）
1 uuur uuur uuur uuur
A． BC
1
B 3． BC C． BC D 3．4 4 BC4 4
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
ABgBC CAgBC A
2．已知非零向量 AB 與 AC 滿足 uuur = uuur 且 uu
Bur g uAuCur 1=
| AB | | AC | | AB | | AC | 2
，則VABC 為（ ）
A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形
3．已知 O，N，P 在DABC 所在平面內，且 OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0，且
PA PB = PB PC = PC PA，則點 O，N，P 依次是DABC 的（ ）
（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心內心
C．外心重心垂心 D．外心重心內心
uuuv uuuv
4．如圖，在eC 中，是不是只需知道eC 的半徑或弦 AB 的長度，就可以求出 AB × AC 的值？
r r r r r r
5．已知 a = 4, b = 3, (2a 3b) × (2a
r
+ b) = 61 r，求 a與b 的夾角q .
6．如圖，在VABC 中，已知 AB = 2, AC = 5, BAC = 60° ，BC，AC 邊上的兩條中線 AM，BM 相交于點 P，
求 MPN 的余弦值.
7．一條河的兩岸平行，河的寬度 d = 500m ，一般船從河岸邊的 A 處出發到河對岸.已知船在靜水中的速度
v1的大小為 v1 =10km / h，水流速度 v2的大小為 v2 = 2km / h .如果要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距
離與合速度的大小的比值必須最小.此時我們分三種情況討論：
（1）當船逆流行駛，與水流成鈍角時；
（2）當船順流行駛，與水流成銳角時；
（3）當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時.
請同學們計算上面三種情況下船行駛的時間，判斷是否當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時所用時間最
短.
易錯點：對向量數量積的定義理解不深刻導致出錯
易錯分析： （1）解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時，一定要注意向量的夾角與已知角之間
r r r r r
的關系是互補還是相等．（2）向量 a,b 的數量積 a r×b 與代數中 a ， b 的乘積寫法不同，不能漏掉其中的
“ ”．
uuur uuur
【易錯題 1】在VABC 中， a = 5，b = 8， c = 7，則BC ×CA的值為 .
r r r r r
【易錯題 2】已知 b = 3, a
r 1
在b 上的投影向量為 b ，則 a ×b 的值為 .2
答題模板：利用定義法計算平面圖形的數量積
1、模板解決思路
通過定義法求解本模板問題時，要將待求數量積的向量用已知模和夾角的向量表示出來，再運算求解．
2、模板解決步驟
r r
第一步：根據條件，把向量 a,b 用已知模和夾角的向量表示出來．
r r r r
第二步：將 a,b 的表示式代入 a ×b ，再根據定義法求數量積．
第三步：進一步求解相關問題．
π uuur uuur uuur uuur
【經典例題 1】已知在邊長為 2 的菱形 ABCD中， DAB = ，點E滿足BE = 3EC ，則 AC × AE = .3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【經典例題 2】如圖，在△ABC 中， | AB + AD |=| AB AD |，BC = 2 BD， | AD |= 2，則 AC × AD = ．

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