資源簡介

第 02 講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 .........................................................................................................................2
02 知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 1：四個(gè)公理.............................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 2：直線與直線的位置關(guān)系.....................................................................................................5
知識(shí)點(diǎn) 3：直線與平面的位置關(guān)系.....................................................................................................6
知識(shí)點(diǎn) 4：平面與平面的位置關(guān)系.....................................................................................................7
知識(shí)點(diǎn) 5：等角定理.............................................................................................................................7
題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”............................................................8
題型二：截面問題..............................................................................................................................12
題型三：異面直線的判定..................................................................................................................20
題型四：異面直線所成的角..............................................................................................................23
題型五：平面的基本性質(zhì)..................................................................................................................29
題型六：等角定理..............................................................................................................................31
04 真題練習(xí)·命題洞見........................................................................................................................34
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................37
06 易錯(cuò)分析·答題模板........................................................................................................................39
易錯(cuò)點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系判斷錯(cuò)誤..........................................................................39
答題模板：異面直線所成的角..........................................................................................................41
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
本節(jié)內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)，重點(diǎn)關(guān)注異
（1）基本事實(shí)的應(yīng)用 2023 年上海卷第 15 題，5 分 面直線的判定和成角問題、空間點(diǎn)線面的位置
（2）空間位置關(guān)系的判 2022 年上海卷第 15 題，5 分 關(guān)系問題．對(duì)于空間幾何體的點(diǎn)、線、面 的
斷 2022 年 I 卷第 9 題，5 分 位置關(guān)系，除了題目難度逐步提升，還增加了
（3）異面直線所成的角 2021 年乙卷（文）第 10 題，5 分 截面問題，對(duì)考生的空間想象能力要求有所提
升，需要考生有更強(qiáng)大的邏輯推理能力．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）借助長方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位
置關(guān)系的定義．
（2）了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問題．
知識(shí)點(diǎn) 1：四個(gè)公理
公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法
公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)
推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)
（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)
推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；
推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；
公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)
（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)
公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
【診斷自測】在長方體 ABCD - A1B1C1D1中，直線 A1C 與平面 AB1D1的交點(diǎn)為M ， A1C1與 B1D1交于點(diǎn)O，則
下列結(jié)論正確的是（ ）
A．A ，M ，O三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．A ，M ，O三點(diǎn)共線
C．D，D1，O，M 四點(diǎn)共面 D．A ，B1， B ，M 四點(diǎn)共面
【答案】B
【解析】如下圖所示：
根據(jù)題意，連接 A1C1, AC ，則 A1C1 / / AC ，
所以 A1,C1,C, A四點(diǎn)共面，所以 A1C 面 ACC1A1 ，
又M A1C ，所以M 面 ACC1A1 ，
又M 面 AB1D，所以點(diǎn)M 在面 ACC1A1 與面 AB1D1的交線上面，
同理可得點(diǎn)O在面 ACC1A1 與面 AB1D1的交線上面，
所以A ，M ，O三點(diǎn)共線，
故 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤，B 選項(xiàng)正確；
由異面直線判定定理可知 C 選項(xiàng)中OM , DD1為異面直線，
故 C 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由異面直線判定定理可知 D 選項(xiàng)中 AM , BB1為異面直線，
故 D 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
知識(shí)點(diǎn) 2：直線與直線的位置關(guān)系
位置關(guān)系 相交（共面） 平行（共面） 異面
圖形
符號(hào) a I b = P a∥b a Ia = A,b a , A b
公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 1 0 0
特征 兩條相交直線確定一個(gè)平面 兩條平行直線確定一個(gè)平 兩條異面直線不同在如
面 何一個(gè)平面內(nèi)
【診斷自測】兩條直線 a,b 分別和異面直線 c,d 都相交，則直線 a,b 的位置關(guān)系是（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線
【答案】D
【解析】已知直線 c與 d 是異面直線，直線 a與直線b 分別與兩條直線 c與直線 d 相交于點(diǎn) A, B,C, D ，
根據(jù)題意可得當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn) B 重合時(shí)，兩條直線相交，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn) B 不重合時(shí)，兩條直線異面，
所以直線 a,b 的位置關(guān)系是異面或相交.
故選:D．
知識(shí)點(diǎn) 3：直線與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 包含（面內(nèi)線） 相交（面外線） 平行（面外線）
圖形
符號(hào) l a l Ia = P l ∥a
公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 無數(shù)個(gè) 1 0
【診斷自測】四棱錐P - ABCD 如圖所示，則直線 PC（ ）
A．與直線 AD 平行 B．與直線 AD 相交
C．與直線 BD 平行 D．與直線 BD 是異面直線
【答案】D
【解析】根據(jù)異面直線的定義，不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線，可以判斷直線 PC 與直
線 AD、直線 BD 是異面直線.
故選：D.
知識(shí)點(diǎn) 4：平面與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 平行 相交（但不垂直） 垂直
圖形
符號(hào) a ∥ b a I b = l a ^ b ，a I b = l
公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 0 無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都 無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在
在唯一的一條直線上 唯一的一條直線上
【診斷自測】下列說法正確的是（ ）
A．若直線 l, m, n兩兩相交，則直線 l, m, n共面
B．若直線 l, m與平面a 所成的角相等，則直線 l, m互相平行
C．若平面a 上有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面 b 的距離相等，則平面a 與平面 b 平行
D．若不共面的 4 個(gè)點(diǎn)到平面a 的距離相等，則這樣的平面a 有且只有 7 個(gè)
【答案】D
【解析】對(duì)于 A 中，當(dāng)直線 l,m, n交于同一點(diǎn)時(shí)，則直線 l,m, n可能不共面，所以 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B 中，當(dāng)直線 l, m傾斜方向不同時(shí)，直線 l, m與平面a 所成的角也可能相等，所以 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C 中，當(dāng)這 3 個(gè)點(diǎn)不在平面 b 的同側(cè)時(shí)，平面a 與平面 b 相交，所以 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D 中，根據(jù)題意，顯然這 4 個(gè)點(diǎn)不可能在平面a 的同側(cè)，
當(dāng)這 4 個(gè)點(diǎn)在平面a 兩側(cè) 1，3 分布時(shí)，這樣的平面a 有 4 個(gè)，
當(dāng)這 4 個(gè)點(diǎn)在平面a 兩側(cè) 2，2 分布時(shí)，這樣的平面a 有 3 個(gè)，
所以這樣的平面a 有且只有 7 個(gè)，所以 D 正確.
故選：D．
知識(shí)點(diǎn) 5：等角定理
空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
【診斷自測】已知空間中兩個(gè)角a ， b ，且角a 與角 b 的兩邊分別平行，若a = 70°，則 b = ．
【答案】70°或110°
【解析】根據(jù)等角定理知：a = b 或a + b =180°，
若a = 70°，則 b = 70°或110° .
故答案為：70°或110°
題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”
【典例 1-1】如圖，在正四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1中，M，N，P，Q 分別為棱 AB，BC， B1C1 ， A1B1 上的
點(diǎn)．已知 AB = 6， A1B1 = 3，B1Q = B1P =1，BM = BN = 4，正四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1的高為 6．
證明：直線 MQ，BB1，NP 相交于同一點(diǎn)．
【解析】證明：在正四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1中，因?yàn)锽1Q = B1P =1，BM = BN = 4，B1Q∥BM ，
B1P∥BN ，
所以四邊形B1QMB ，B1PNB均為梯形，則直線 MQ 與BB1必相交，NP 與BB1必相交．
延長 MQ，BB1，NP，設(shè) MQ 的延長線與BB1的延長線交于點(diǎn) E，NP 的延長線與BB1的延長線交于點(diǎn) F．
在正四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1中， AB / / A1B1 ， BC // B1C1，
EB1 QB1 1 FB1 PB1 1則 = = ， = = ，
EB MB 4 FB NB 4
得EB1 = FB1，所以點(diǎn) E，F(xiàn) 重合，
即直線 MQ，BB1，NP 相交于同一點(diǎn)．
【典例 1-2】空間四邊形 ABCD中，點(diǎn)M , N , P,Q分別在 AB,BC,CD,DA上，且
AM CN CP AQ
= = = = k
MB NB PD QD ．求證：
M , N , P,Q四點(diǎn)共面．
AM CN CP AQ
【解析】∵ = = = = kMB NB PD QD ，
所以QM / /BD ， NP / /BD ，得到QM / /PN ，
所以M , N , P,Q四點(diǎn)共面.
【方法技巧】
共面、共線、共點(diǎn)問題的證明
（1）證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)．
（2）證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．
（3）證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．
【變式 1-1】在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^ BC, ACB
π
= ，側(cè)棱長為 3，側(cè)面積為
6 9 + 3 3
.
(1)求三棱錐B - A1B1C 的體積;
(2)若點(diǎn) D、E 分別在三棱柱的棱CC1, BB1上，且CD > BE ，線段 A1E, A1D, DE 的延長線與平面 ABC 交于
F ,G, H 三點(diǎn)，證明：F ,G, H 共線.
【解析】（1）由題意知 2AB = AC, BC = 3AB，
所以該三棱柱的側(cè)面積為 2AB + 3AB + AB BB1 = 9 + 3 3 = 3+ 3 3AB AB =1, BC = 3，
又 AB ^ BC，直三棱柱 ABC - A1B1C1中BB1 ^ AB，
且BC I BB1 = B, BC、BB1 平面BC1，
所以 AB ^平面BC1，
又 AB / / A1B1 ，所以 A1B1 ^平面BC1，
1 1
故三棱錐B - A1B1C 的體積為VB- A B C = VA -B = A B BC BB
3
= ；
1 1 1 1BC 3 1 1 2 1 2
（2）由基本事實(shí)的推論知兩條相交直線共面，所以 A1, F ,G, E, D 平面 A1FG ，
又H ED, ED 平面 A1FG ，所以 H 平面 A1FG ，
而 H 平面 ABC ，平面 ABC I平面 A1FG = FG ，
所以H FG ，即F ,G, H 共線.
【變式 1-2】已知在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E、F 分別為D1C1、C1B1的中點(diǎn)， AC I BD = P，
A1C1 I EF = Q ．求證：
(1)D，B，F(xiàn)，E 四點(diǎn)共面；
(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 點(diǎn)，則 P、Q、R 三點(diǎn)共線；
(3)DE、BF、CC1三線交于一點(diǎn)．
【解析】（1）證明：因?yàn)?EF 是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1．
在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以 EF ∥ BD ．
所以 EF、BD 確定一個(gè)平面，即 D、B、F、E 四點(diǎn)共面．
（2）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，設(shè)平面 AA1C1C 為a 、平面 BDEF 為 b ．
因?yàn)镼 A1C1，所以Q a ．又Q EF ，所以Q b ．所以 Q 是a 與 b 的公共點(diǎn)．
同理，P 也是a 與 b 的公共點(diǎn)．所以a b = PQ ．
又 A1C b = R，所以R A1C ，R a ，且R b ．則R PQ ，
故 P、Q、R 三點(diǎn)共線．
（3）因?yàn)?EF ∥ BD 且EF < BD ，所以 DE 與 BF 相交，
設(shè)交點(diǎn)為 M，則由M DE ，DE 平面D1DCC1 ，得M 平面D1DCC1 ，
同理，點(diǎn)M 平面B1BCC1．又平面D1DCC1 平面B1BCC1 = CC1，
所以M CC1 ．所以 DE、BF、CC1三線交于一點(diǎn) M．
【變式 1-3】如圖，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中，E 、F 分別是 B1C1 和C1D1的中點(diǎn)．
(1)證明：E 、F 、D、 B 四點(diǎn)共面；
(2)對(duì)角線 A1C 與平面BDC1 交于點(diǎn)O， AC, BD 交于點(diǎn)M ，求證：點(diǎn)C1,O,M 共線；
(3)證明： BE 、DF 、CC1三線共點(diǎn)．
【解析】（1）連接EF , BD, B1D1
Q在長方體 ABCD - A1B1C1D1中
\B1D1 / /BD
Q E 、F 分別是 B1C1 和C1D1的中點(diǎn)
\EF / /B1D1
\EF / /BD
\ E 、F 、D、 B 四點(diǎn)共面
（2）Q AA1 / /CC1
\ A, A1,C,C1 確定一個(gè)平面 AA1C1C
O A1C, A1C 面 AA1C1C
\O 面 AA1C1C
Q對(duì)角線 A1C 與平面BDC1 交于點(diǎn)O
\O 面BDC1
O在面 AA1C1C 與面BDC1 的交線上
Q AC BD=M
\M 面 AA1C1C 且M 面BDC1
\面 AA1C1C 面BDC1 =C1M
\O C1M
即點(diǎn)C1,O,M 共線.
（3）延長DF , BE交于G
QDG 面DCG
\G DG
\G 面DCG
QBE 面BCG
\G BE
\G 面BCG
Q面DCG 面BCG = CC1
\G CC1
\ BE 、DF 、CC1三線共點(diǎn).
題型二：截面問題
【典例 2-1】（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測）正方體 ABCD - A1B1C1D1外接球的體積為 4 3π，E 、F 、G 分
別為棱 AA1、A1B1、A1D1的中點(diǎn)，則平面EFG 截球的截面面積為（ ）
5π 4π 2π π
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】A
【解析】
設(shè)正方體 ABCD - A1B1C1D1外接球的半徑為 R ，棱長為 a，
因?yàn)檎襟w ABCD - A1B1C1D1外接球的體積為 4 3π，
4
所以 πR3 = 4 3π ，則
3 R = 3
，
2 2由3a = 2 3 ，得 a = 2，
設(shè)球心O到平面EFG 的距離為 h，平面EFG 截球的截面圓的半徑為 r ，
設(shè) A1到平面EFG 的距離為h ,
因?yàn)镋 、F 、G 分別為棱 AA1、A1B1、A1D1的中點(diǎn)，
所以VEFG是邊長為 2 的正三角形,
由V = V
1 1
A1 -EFG E- AFG ,得 S ×h = S × A E ,3 VEFG 3 VA1FG 1
1 1 3
則 2 2 h 1 1= 1 1 1 ,
3 2 2 3 2
1
解得 h 3= ,又OA1 = AC = 3 ,3 2
1
所以 A1到平面EFG 的距離為 h = OA3 1
，
h OA 1 OA R 1 R 2 3則 = 1 - 1 = - = ，3 3 3
2
2 2 2 2 2 3 r 5= R - h = 3 - ÷÷ = ，
è 3 3
所以平面EFG 截球的截面面積為， πr 2
5
= π .
3
故選：A.
【典例 2-2】（2024·四川瀘州·三模）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 2，P 為DD1的中點(diǎn)，過 A，
B，P 三點(diǎn)作平面a ，則該正方體的外接球被平面a 截得的截面圓的面積為（ ）
16π 14π
A 13π． 5 B． C．3π D．5 5
【答案】D
【解析】正方體 ABCD - A1B1C1D1的外接球球心是BD1的中點(diǎn)O，而BD1 Ia = B ，
則點(diǎn)O到平面a 的距離 h等于點(diǎn)D1到平面a 的距離的一半，又平面a 過線段DD1的中點(diǎn) P，
因此點(diǎn)D1與點(diǎn)D到平面a 的距離相等，由 AB ^平面 ADD1A1， AB a ，得a ^平面 ADD1A1，
在平面 ADD1A1內(nèi)過D作 DE ^ AP 于E ，而a I 平面 ADD1A1 = AP，于是DE ^ a ，
1 1 AD × DP 1 1
又 AP = 22 +12 = 5 ，從而 h = DE = =2 2 AP ，又球
O的半徑R = BD1 = 3 ，5 2
2 2 2 1 14
則正方體的外接球被平面a 截得的截面圓半徑 r ，有 r = R - h = 3- = ，
5 5
2 14π
所以正方體的外接球被平面a 截得的截面圓的面積 S = πr = .
5
故選：D
【方法技巧】
（1）作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們
的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．
（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí) 3 作交線；
②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．
【變式 2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點(diǎn)E 是線段BB1上靠近B1的三等分
點(diǎn)，點(diǎn) F 是線段D1C1上靠近D1的三等分點(diǎn)，則平面 AEF 截正方體 ABCD - A1B1C1D1形成的截面圖形為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】C
【解析】如圖，設(shè) AB = 6，分別延長 AE、A1B1 交于點(diǎn)G ，此時(shí)B1G = 3，
連接 FG 交 B1C1 于H ，連接EH ，
設(shè)平面 AEF 與平面DCC1D1 的交線為 l，則F l ，
因?yàn)槠矫?ABB1A1 / / 平面DCC1D1 ，平面 AEF 平面 ABB1A1 = AE ，平面 AEF 平面DCC1D1 = l ，
所以 l / / AE ，設(shè) l I D1D = I ，則FI / / AE ，
FD I ABE ID = 4此時(shí)△ 1 ∽△ ，故 1 ，連接3 AI，
所以五邊形 AIFHE 為所求截面圖形，
故選：C．
【變式 2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E 為棱 BC 的中點(diǎn)，
用過點(diǎn) A1，E，C1的平面截正方體，則截面周長為（ ）
A．3 2 + 2 5 B．9 C． 2 2 + 2 5 D．3 2 + 2 3
【答案】A
【解析】
如圖，取 AB 的中點(diǎn) G，連接 GE， A1G ， AC ．
1
因?yàn)?E 為 BC 的中點(diǎn)，所以GE //AC ，GE = AC ，
2
又 AA1 //CC1 ， AA1 = CC1，
所以四邊形 ACC1A1 為平行四邊形，
所以 AC //A1C1， AC = A1C1，
所以 A1C1 //GE ， A1C1 = 2GE ，
所以用過點(diǎn) A1，E，C1的平面截正方體，所得截面為梯形 A1C1EG ，
其周長為 2 2 + 5 + 2 + 5 = 3 2 + 2 5 ．
故選：A．
【變式 2-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）設(shè)正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 1，與直線 A1C 垂直的平面a 截
該正方體所得的截面多邊形為M ，則M 的面積的最大值為（ ）
3
A． 3
3
B． 3 C 3． D．
8 4 32
【答案】B
【解析】連結(jié) A1B ，因?yàn)锽C ^平面 ABB1A1， AB1 平面 ABB1A1，所以BC ^ AB1
且 AB1 ^ A1B ，BC, A1B 平面 A1BC ，所以 AB1 ^平面 A1BC ， A1C 平面 A1BC ，
所以 AB1 ^ A1C ，同理B1D1 ^ A1C ，且 AB1 I B1D1 = B1， AB1，B1D1 平面 AB1D1，
所以 A1C ^平面 AB1D1；
所以平面a 為平面 AB1D1或與其平行的平面，M 只能為三角形或六邊形.
當(dāng)M 3為三角形時(shí)，其面積的最大值為 ( 2)2 3= ；
4 2
當(dāng)M 為六邊形時(shí)，此時(shí)的情況如圖所示，
設(shè)KD = x ，則 AK =1- x, KL = 2 1- x , KM = 2x，
依次可以表示出六邊形的邊長，如圖所示：六邊形可由兩個(gè)等腰梯形構(gòu)成，
其中 LP ∥ KO∥ MN , KO = 2 6 6，兩個(gè)等腰梯形的高分別為 1- x ， x，
2 2
S 1 6 1 6則 LKMNOP = 2x + 2 × 1- x + 2 1- x + 2 × x ，六邊形 2 2 2 2
3 2
= -2x2 + 2x +1) = - 3 x 1 3 3- ÷ +2 è 2 4
x 1 3當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)，六邊形面積最大，即截面是正六邊形時(shí)截面面積最大，最大值為 3 .
2 4
【變式 2-4】已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為1，E 為C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn) 為棱CC1上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，
若平面BEF 截該正方體所得的截面為五邊形，則線段CF 的取值范圍是（ ）
1 ,1 1 ,1 é1 , 2 0, 1A ù． ÷ B．3 è 2 ÷
C．
ê2 3 ÷
D．
è è 2ú
【答案】B
【解析】在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，平面BEF I平面CDD1C1 = EF ，
因?yàn)锽 平面 ABB1A1，B 平面BEF ，平面CDD1C1 / /平面 ABB1A1，
則平面BEF 與平面 ABB1A1的交線過點(diǎn) B ，且與直線EF 平行，與直線 A1B1 相交，
設(shè)交點(diǎn)為G ，如圖所示，
又因?yàn)镈D1 ^平面 ABCD， AA1 ^ 平面 ABCD，
即 C1EF , BGB1分別為EF ，GB 與平面 ABCD所成的角，
C F
因?yàn)镋F / /GB 1，則 C1EF = BGB1 ，且有 = tan C1EF = tan BGB
B B
= 1
C E 1 B G ，當(dāng)F 與C 重合時(shí)，平面1 1
1
BEF 截該正方體所得的截面為四邊形，此時(shí)GA1 = GB1 = ，即G 為棱 A1B1 中點(diǎn)M ；2
當(dāng)點(diǎn)F 由點(diǎn)C 向點(diǎn)C1移動(dòng)過程中， C1EF 逐漸減小，點(diǎn)G 由點(diǎn)B1向點(diǎn) A1方向移動(dòng)；
當(dāng)點(diǎn)G 為線段MA1 上任意一點(diǎn)時(shí)，平面BEF 只與該正方體的 4 個(gè)表而有交線，即可用成四邊形；
當(dāng)點(diǎn)G 在線段MA1 延長線上時(shí)，直線BG 必與棱 AA1交于除點(diǎn) A1外的點(diǎn)，
又點(diǎn)F 與C1不重合，此時(shí)，平面BEF 與該正方體的 5 個(gè)表面有交線，截面為五邊形，
如圖所示．
因此．當(dāng)F 為棱CC1上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)G 只能在線段MA1 （除點(diǎn)M 外）上，即
1 C F BB1 ×C1E 1 1< GB1 <1，可得 1 = =

0,
1
÷，則CF =1-C

2 BG 2BG 2 1
F ,1÷，
1 1 è è 2
1
所以線段CF 的取值范圍是 ,12 ÷，è
1
所以若平面BEF 截該正方體的截面為五邊形，線段CF 的取值范圍是 ,12 ÷ .è
故選：B．
【變式 2-5】已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 4，M 為棱DC 的中點(diǎn)， N 為側(cè)面BC1的中心，過點(diǎn)M
的平面a 垂直于DN ，則平面a 截正方體 AC1所得的截面周長為（ ）
A． 4 5 + 2 B． 2 5 + 8 2 C． 6 2 D．8 + 2 5
【答案】A
【解析】如圖所示，取BC,CC1的中點(diǎn)E, F ，分別連接 NE, NF , DE, DF , AD1, D1M , AM ，
在正方形 ABCD中，因?yàn)镸 , E 分別為DC, BC 的中點(diǎn)，可得VADM∽VDCE ，
所以 DAM = CDE， AMD = CED，
因?yàn)?ADM = 90o，所以 AMD + CDE = 90o ，所以 DPM = 90o，即 AM ^ DE ，
又因?yàn)?E , N 分別為BC, BC1的中點(diǎn)，所以 NE / /CC1，
因?yàn)镃C1 ^ 平面 ABCD， AM 平面 ABCD，所以CC1 ^ AM ，所以 AM ^ NE ，
又因?yàn)镈E I NE = E 且DE, NE 平面DNE ，所以 AM ^ 平面DNE ，
因?yàn)镈N 平面DNE ，所以 AM ^ DN ，同理可證：D1M ^ DN ，
又因?yàn)?AM I D1M = M 且 AM , D1M 平面 AD1M ，所以DN ^ 平面 AD1M ，
即平面a 截正方體 ABCD - A1B1C1D1的截面為△AD1M ，
由正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 4，
在直角VADD 中，可得 AD = AD2 + DD21 1 1 = 4
2 + 42 = 4 2 ，
在直角△ADM 中，可得 AM = AD2 + DM 2 = 42 + 22 = 2 5 ，
在直角VDD1M 中，可得D1M = DD
2
1 + DM
2 = 42 + 22 = 2 5 ，
所以截面的周長為 4 2 + 2 5 + 2 5 = 4( 5 + 2) .
故選：A.
【變式 2-6】（2024·四川宜賓·三模）已知 E，F(xiàn) 分別是棱長為 2 的正四面體 ABCD的對(duì)棱 AD, BC 的中
點(diǎn).過EF 的平面a 與正四面體 ABCD相截，得到一個(gè)截面多邊形 ，則下列說法正確的是（ ）
A．截面多邊形 不可能是平行四邊形 B．截面多邊形 的周長是定值
C．截面多邊形 的周長的最小值是 2 + 6 D．截面多邊形 的面積的取值范圍是 é 1, 2 ù
【答案】D
【解析】對(duì)于 A，當(dāng)平面a 過 AD或BC 時(shí)，截面為三角形.
易知正四面體關(guān)于平面 ADF 對(duì)稱，將平面a 從平面 ADF 開始旋轉(zhuǎn)與 AB 交于點(diǎn)G 時(shí)，
由對(duì)稱性可知，此時(shí)平面a 與CD交于點(diǎn)H ，且 AG = DH ，
此時(shí)截面為四邊形EGFH ，且注意到當(dāng)G, H 分別為 AB,CD 的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)滿足 AG = DH ，
且GF / / AC, AC / /EH ,GF = EH
1
= AC ，即此時(shí)截面四邊形EGFH 是平行四邊形，故 A 錯(cuò)誤；
2
2
對(duì)于 BC，設(shè) AG = m 0 m 2 1 3，由余弦定理得GE = m2 +1- m = m - ÷ + ，
è 2 4
2
GF 3 3= 2 - m 2 +1- 2 - m = m -

÷ + ，
è 2 4
1 3 3 3
由兩點(diǎn)間距離公式知，GE + GF 表示動(dòng)點(diǎn) m,0 到定點(diǎn) , 和 ,- 的距離之和，
è 2 2
÷÷ ÷÷
è 2 2
2 2
1 3 3 3
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值 - ÷ + + ÷÷ = 2，è 2 2 è 2 2
由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)m = 0或m = 2 時(shí)，GE + GF 取得最大值1+ 3，
所以截面多邊形 周長的取值范圍是 é 4,2 + 2 3ù ，故 BC 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，記GH 與EF 的交點(diǎn)為O，由對(duì)稱性 EFG = EFH ，F(xiàn)G = FH ，
EF GH S 1所以 ^ ， EGFH = EF ×GH ，2
因?yàn)?AF = AB2 - BF 2 = 3 ，
2
所以EF = AF 2 - AE2 = 2 ，所以 SEGFH = GH ，2
uuur r uuur r uuur r
記 AB = a, AC = b, AD = c，
uuur uuur uuur uuuur r r
則GH
m r r m r m
= GA + AD + DH = - a + c + b - c = - ar m+ b + m r 1- ÷c ，2 2 2 2 è 2
r r r r r r r
因?yàn)?a ×b = a ×c = b ×c = 2 2cos
π
= 2, ar b cr= = = 2，
3
uuur 22 2 2 r r r
所以GH m r m m r= a2 + b 2 + 1- c 2 m r ÷ - a ×b
m
- m 1-

÷ a
r cr m 1 m r× + - ÷b ×c4 4 è 2 2 è 2 è 2
2
= m2 + m2 + 4 1
m
- ÷ - m
2 - 2m 1
m
- ÷ + 2m
1 m -

÷
è 2 è 2 è 2
= 2 m -1 2 + 2 ，
uuur2
由二次函數(shù)性質(zhì)可知， 2 GH 4，即 2 GH 2，
所以1 SEGFH 2 ，故 D 正確；
故選：D.
題型三：異面直線的判定
【典例 3-1】如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線 AD是異面
直線的是（ ）
A． FG B．EH C．EF D．BC
【答案】C
【解析】由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線 AD是異面直線的是EF ，
其中 AD//BC //EH //FG ，所以 AD與BC 共面、 AD與EH 共面、 AD與 FG 共面．
故選：C
【典例 3-2】（2024·福建福州·三模）在底面半徑為 1 的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面
ABCD，其中母線 AB=2，E 是弧 BC 的中點(diǎn)，F(xiàn) 是 AB 的中點(diǎn)，則（ ）
A．AE=CF，AC 與 EF 是共面直線
B． AE CF ，AC 與 EF 是共面直線
C．AE=CF，AC 與 EF 是異面直線
D． AE CF ，AC 與 EF 是異面直線
【答案】D
【解析】如圖，在底面半徑為 1 的圓柱OO1中，母線 AB=2 ，BC=2，E 是B C 的中點(diǎn)，則BE=AE= 2 ，
因?yàn)镕 是 AB 的中點(diǎn)，又 AB = 2 ，則 BF = 1，
2
AE= AB2 +BE2 = 4+ 2 = 6 ，CF= BC 2 +BF 2 = 4+1= 5 ，
\ AE CF ，
在VABC 中，O是BC 的中點(diǎn)，F(xiàn) 是 AB 的中點(diǎn)，\OF //AC ，
\ AC 與OF 是共面直線，
若 AC 與 EF 是共面直線，則O,F ,A,C,E 在同一平面，顯然矛盾，故 AC 與 EF 是異面直線
故選：D．
【方法技巧】
判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：
（1）直接法：平面外一點(diǎn) A 與平面內(nèi)一點(diǎn) B 的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過 B 點(diǎn)的直線是異面直線．
（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．
【變式 3-1】將下面的平面圖形（每個(gè)點(diǎn)都是正三角形的頂點(diǎn)或邊的中點(diǎn)）沿虛線折成一個(gè)四面體后，直
線 MN 與 PQ 是異面直線的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】A
【解析】①對(duì)應(yīng)圖 1，Q是平面 PMN 外一點(diǎn)，M 在平面 PMN 內(nèi)，且M 不在直線PN 上，因此QM 與PN 是
異面直線，①正確；
②對(duì)應(yīng)圖 2，Q,N 重合，MN 與 PQ是相交直線，②錯(cuò)；
③對(duì)應(yīng)圖 3，由于由中位線定理得MN ， PQ都與棱 AB 平等，從而MN //PQ ，③錯(cuò)；
④與圖 1 類似得MN 與 PQ是異面直線，④正確．
故選：A．
【變式 3-2】已知正方體 ABCD - A1B1C1D1，點(diǎn) P 在直線 AD1上，Q為線段 BD 的中點(diǎn)，則下列說法不正確
的是（ ）
A．存在點(diǎn) P ，使得PQ ^ AC1； B．存在點(diǎn) P ，使得PQ / / A1B ；
C．直線 PQ始終與直線 CC1異面； D．直線 PQ始終與直線BC1異面.
【答案】C
【解析】在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，可得 A1C1 ^ B1D1，
又由BB1 ^ 平面 A1B1C1D1，且 A1C1 平面 A1B1C1D1，所以 A1C1 ^ BB1，
因?yàn)锽1D1 BB1 = B1，且B1D1, BB1 平面BDD1B1，所以 A1C1 ^ 平面BDD1B1，
由點(diǎn) P 在直線 AD1 上，Q為線段BD的中點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn) P 和D1重合時(shí)，可得PQ 平面BDD1B1，所以PQ ^ A1C1，所以 A 正確；
連接 A1D，如圖所示，
當(dāng)點(diǎn) P 為線段 AD1 的中點(diǎn)時(shí)， PQ為VA1BD 的中位線，即PQ / / A1B ，所以 B 正確；
因?yàn)镃C1 平面 ACC1A1 ，當(dāng)點(diǎn) P 和點(diǎn)A 重合時(shí)，PQ 平面 ACC1A1 ，
則直線 PQ和CC1在同一平面內(nèi)，所以 C 錯(cuò)誤；
由BC1 平面 ABC1D1 ，PQ 平面 ABC1D1 = P，且 P BC1 ，
所以直線 PQ始終與直線BC1不相交，且不平行，所以 PQ與BC1是異面直線，所以 D 正確.
故選：C.
題型四：異面直線所成的角
【典例 4-1】（2024·新疆喀什·三模）已知底面邊長為 2 的正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的體積為 16，則直
線 AC 與 A1B 所成角的余弦值為（ ）
A 2 5 B 5 C 10 3 10． ． ． D．
5 5 10 10
【答案】C
【解析】如圖，連接 AD1,CD1，則 A1B / /D1C ，取 AC 的中點(diǎn)O，連接OD1 ，則OD1 ^ AC，
所以 ACD1（或其補(bǔ)角）為直線 AC 與 A1B 所成的角，
16
又正四棱柱的體積為 16，則該棱柱的高為CC1 = = 4，2 2
又 AC = 2 2, AD 2 21 = CD1 = 4 + 2 = 2 5 ，
1 AC
所以 cos ACD 2 2 10 1 = = = ，CD1 2 5 10
10
即直線 AC 與 A1B 所成角的余弦值為 .
10
故選：C
【典例 4-2】已知兩條異面直線 a，b 所成角為70°，若過空間內(nèi)一定點(diǎn)的直線 l 和 a，b 所成角均為60°，
則這樣的直線 l 有（ ）
A．2 條 B．3 條 C．4 條 D．5 條
【答案】C
【解析】如圖：
通過平移過點(diǎn) P 作 a∥BD，b∥CE，由題意， BPE = 70o , EPD =110o ,
o
而 BPE 的角平分線與 a 和 b 70的所成角為 = 35o，
2
o
EPD a b 110的角平分線與 和 的所成角為 = 55o ，
2
因?yàn)?0° > 35o ,60o > 55o ，所以直線 l 和 a，b 所成角均為60°的直線有 4 條，
其中直線 l 在平面 BPE 的射影為 BPE 的角平分線時(shí)存在 2 條直線滿足條件，
當(dāng)直線 l 在平面 EPD 的射影為 EPD 的角平分線時(shí)存在 2 條滿足條件，故共 4 條.
故選：C.
【方法技巧】
（1）點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正
方體為模型．
（2）求異面直線所成的角的三個(gè)步驟
一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．
二證：證明作出的角是異面直線所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【變式 4-1】（2024·高三·河南鶴壁·期中）如圖，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 = 4， AB = 2 ，則直
線 A1B 與直線B1C 所成角的正切值為 ．
51 1
【答案】 / 51
7 7
【解析】在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，連接BC1交B1C 于 O 點(diǎn)，取 A1C1的中點(diǎn) F，連接 OF，
顯然O是BC1的中點(diǎn)，則OF / / A1B ， B1OF 是 A1B 與B1C 所成的角或其補(bǔ)角，
在VOB
1 1
1F 中，B1F = 3 ，OB1 = B C = 4
2 + 22 = 5 OF 1 1= A B = 42 + 22， = 5 ，
2 1 2 2 1 2
( 5)2 + ( 5)2 - ( 3)2 7 1- cos2 B OFcos B1OF = =
51
， tan B 11OF = = ，2 5 5 10 cos B1OF 7
51
所以直線 A1B 與直線B1C 所成角的正切值為 .
7
51
故答案為：
7
【變式 4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在三棱錐 P - ABC 中， AC = 3 ， BC = 1， PA = PB = PC = AB = 2 ，
M 為 AC 的中點(diǎn)，則異面直線 BM 與 PA 所成角的余弦值是 ．
5 7
【答案】
28
【解析】取PC 的中點(diǎn)D，連接MD, BD ，如圖所示：
因?yàn)镸 為 AC 的中點(diǎn)，D為PC 的中點(diǎn)，
1
則根據(jù)三角形的中位線定理可得DM ∥PA，且DM = PA =1 .
2
所以 DMB 為異面直線 BM 與 PA 所成的角或其補(bǔ)角．
因?yàn)樵赩ABC 中， AC = 3 ， BC = 1， AB = 2 ，
所以 AB2 = BC 2 + AC 2 ，則 AC ^ BC .
AM MC 1 AC 3 7又 = = = ，所以BM = BC 2 + MC 2 = ．
2 2 2
又在△PBC 中， BC = 1， PB = PC = 2 ,
2 2 2
所以由余弦定理可得： cos 2 +1 - 2 1 DCB = = .
2 2 1 4
又因?yàn)樵赩BDC 中，DC = BC =1，
2 1 3
所以由余弦定理可得：BD =1+1- 2 1 1 = .
4 2
7 3
DM 2 + BM 2 - BD2 1+ -4 2 5 7
則在VBMD 中，由余弦定理可得， cos DMB = = =2 DM BM 28 ，
2 7 1
2
所以異面直線 BM 與 PA 5 7所成角的余弦值為 ．
28
5 7
故答案為： .
28
【變式 4-3】如圖，已知四棱錐M - ABCD，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形，側(cè)棱長相等且為 4，E 為
CD 的中點(diǎn)，則異面直線 CM 與 AE 所成的角的余弦值為（ ）
A 3 B 9 5 C 5 D 3 5． ． ． ．
5 40 15 20
【答案】D
1
【解析】取MD 的中點(diǎn)F ，連接EF , AF ，由 E 為 CD 的中點(diǎn)，得EF / /MC ，EF = MC = 2，
2
則 AEF 是異面直線 CM 與 AE 所成的角或其補(bǔ)角，
正方形 ABCD中， AE = AD2 + DE2 = 5 ，在△MAD中，MD = MA = 4，
1 AD 2 2 1
cos ADF 1= 2 = ， AF = 2 + 2 - 2 2 2 = 6 ，
MD 4 4
2 2 2
于是 cos AEF AE + EF - AF 5 + 4 - 6 3 5 = = = ，
2AE × EF 2 5 2 20
所以異面直線 CM 與 AE 3 5所成的角的余弦值為 .
20
故選：D
【變式 4-4】（2024·高三·江蘇南京·期中）已知矩形 ABCD中， AB =1, BC = 2, E 是邊BC 的中
點(diǎn)． AE 和BD交于點(diǎn)M ，將VABE 沿 AE 折起，在翻折過程中當(dāng) AB 與MD 垂直時(shí)，異面直線BA和CD所
成角的余弦值為（ ）
1 1 5 2A． B． 4 C． D．6 12 3
【答案】D
【解析】如圖 1，在矩形 ABCD中， AB =1, BC = 2, E 是邊BC 的中點(diǎn)，
2 BE AB
故BE = ，故 = ，
2 AB AD
又 BAD = ABE = 90o，故VABE :VDAB ，所以 BAE = ADB，
則 BAE + ABD = ADB + ABD = 90o ，故 AE ^ MD．
如圖 2，將VABE 沿 AE 折起，點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B ，在翻折過程中，當(dāng) AB 與MD 垂直時(shí)，
因?yàn)?AE AB = A, AE, AB 平面 ABE ，所以MD ^ 平面 AB E ，
因?yàn)镸D 平面 AECD，所以平面 AB E ^ 平面 AECD，
因?yàn)?B M ^ AE, B M 平面 AB E ，平面 AB E I平面 AECD = AE ，
所以B M ^ 平面 AECD，
連接B B，因?yàn)?AB//CD ，
所以 B AB 或其補(bǔ)角即為異面直線 B A和CD所成角，
1 AB BE 1因?yàn)?× = AE × BM 3，所以
2 2 BM =
，
3
3 6
故 B M = ，則BB = BM 2 + B M 2 = ，又 AB = AB =1，
3 3
2
故 cos B AB AB
2 + B A2 - B B2 1+1- 2 2
= = 3 = ，即所求角的余弦值為 ，
2AB × AB 2 3 3
故選：D．
【變式 4-5】四面體V - ABC 中，VA =VB = 2 2 ，VC = 3，CA = CB = 4，求CA 與VB 所成角的余弦值的取
值范圍 ．
15 2 19 2
【答案】 - , ÷÷
è 32 36
【解析】如圖，取 P ，Q分別為VC ， AB 的中點(diǎn)．
2 2
cos VCB 3 + 4 -8 17 PB 9 16 2 3 = = ， = + - 4 17 39 = ，
2 3 4 24 4 2 24 2
VVAC @VVBC 39，所以PA = PB = ，
2
在V ABP 中，PQ < PA 39= ，當(dāng)A ， B 重合時(shí)取等．
2
過 B 作BH ^ VC 于H ，設(shè)HP = x ，則VB2 -VH 2 = BC 2 - HC 2 ,即BC 2 - BV 2 = HC 2 - HV 2，即8 = 6x，得
x 4= ．
3
所以PQ > x ．當(dāng)A ， B ，V ，C 共面時(shí)取等．
取BC 中點(diǎn)M ，則PM / /BV ，QM / / AC ，所以所求的角即為 PMQ ，
于是
PM 2 + MQ2 - PQ2cos PMQ 2 + 4 - PQ
2 6 - PQ2
= = =
2PM × MQ 4 2 4 2
4 39 16 PQ2 39PQ < < 15 2 19 2由 < < 知 ，于是9 4 - < cos PMQ <
．
3 2 32 36
15 2 19 2
故答案為： - ,32 36 ÷÷è
題型五：平面的基本性質(zhì)
【典例 5-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）在空間中，下列命題是真命題的是（ ）
A．三條直線最多可確定 1 個(gè)平面 B．三條直線最多可確定 2 個(gè)平面
C．三條直線最多可確定 3 個(gè)平面 D．三條直線最多可確定 4 個(gè)平面
【答案】C
【解析】在空間中，三條直線最多可確定3個(gè)平面，
例如：三棱錐 S - ABC 中的三個(gè)側(cè)面.
故選：C
【典例 5-2】（2024·陜西榆林·二模）下列說法中正確的是（ ）
A．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行
B．垂直于同一平面的兩個(gè)平面垂直
C．一塊蛋糕 3 刀可以切成 6 塊
D．一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到一平面的距離相等，則這條直線在平面內(nèi)
【答案】C
【解析】對(duì) A，平行于同一直線的兩個(gè)平面可以平行也可以相交，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，垂直同一個(gè)平面的兩個(gè)平面不一定互相垂直，也可以相交、平行，故 B 錯(cuò)誤.
對(duì) C，作蛋糕截面如圖所示，
一個(gè)蛋糕切 3 刀可以切成6 塊，故 C 正確；
對(duì) D，一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到一平面的距離相等，則這條直線在平面內(nèi)或該直線與平面平行或直線與平面
相交，故 D 錯(cuò)誤.
故選： C.
【方法技巧】
平面具有三大基本性質(zhì)：一、任意三點(diǎn)不共線則確定一個(gè)唯一平面；二、任意兩條平行直線確定一個(gè)
唯一平面；三、過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面。這些性質(zhì)揭示了平面作為二維空間的基本
構(gòu)成單元，其存在與確定的唯一性。
【變式 5-1】（2024·寧夏銀川·三模） A, B是兩個(gè)不同的點(diǎn)，a , b 為兩個(gè)不同的平面，下列推理錯(cuò)誤的是
（ ）
A． A l, A a , B l, B a l a
B． A a , A b , B a , B b a b = AB
C． l a , A l A a
D． A l, l a A a
【答案】C
【解析】A，直線上兩個(gè)不同點(diǎn)在某個(gè)平面內(nèi)，則直線在該平面內(nèi)，故正確；
B，兩個(gè)不同點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)不同平面內(nèi)，則兩點(diǎn)所在直線為兩平面的交線，故正確；
C， l a 有兩種情況， l與a 相交或 l / /a ，其中 l與a 相交，且交點(diǎn)為 A 點(diǎn)，則 C 錯(cuò)誤；
D，直線在面內(nèi)，則直線上的點(diǎn)都在面內(nèi)，故結(jié)論正確；
故選：C.
【變式 5-2】空間中有 8 個(gè)點(diǎn)，其中任何 4 個(gè)點(diǎn)不共面，過每 3 個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，可以作的平面?zhèn)€數(shù)為
（ ）
A．42 B．56 C．64 D．81
【答案】B
【解析】根據(jù)題意知“三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面”，且所確定的平面與點(diǎn)的順序無關(guān)，
3
3 A8
所以共可確定的平面?zhèn)€數(shù)是C8 = 3 = 56個(gè).A3
故選：B
【變式 5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓柱O1O2 中，AD，BC 分別是上、下底面的兩條直徑，且
AD//BC, AB = BC = 4，若M 是弧 BC 的中點(diǎn)， N 是線段 AB 的中點(diǎn)，則（ ）
A． AM = CN , A,C, M , N 四點(diǎn)不共面 B． AM CN , A,C, M , N 四點(diǎn)共面
C． AM ^ BD,△ACM 為直角三角形 D． AM CN ,△ACM 為直角三角形
【答案】D
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M BC ，而BC 平面 ACN ，結(jié)合圓柱結(jié)構(gòu)，所以M 平面 ACN ，故 A,C, M , N 四點(diǎn)不
共面；
圓柱O1O2 中，AD，BC 分別是上、下底面的兩條直徑，且 AD//BC, AB = BC = 4，
2 1
若M 是弧 BC 的中點(diǎn)， N 是線段 AB 的中點(diǎn)，故BM = BC = 2 2, BN = AB = 2 ，
2 2
所以 AM = AB2 + BM 2 = 2 6,CN = CB2 + BN 2 = 2 5 ，故 AM CN ；
連接 AO2 ，則依題有 AO2 為 AM 在平面 ABCD內(nèi)的射影，在平面 ABCD內(nèi)顯然BD與 AO2 不垂直，故 AM
與BD不垂直；
MC = MB = 2 2, AC = 4 2, AM 2 + MC 2 = AC 2 ，則△ACM 為直角三角形，
故選：D ．
題型六：等角定理
【典例 6-1】（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E 是棱CC1的中點(diǎn)，記平面
AD1E與平面 ABCD的交線為 l1，平面 AD1E與平面 ABB1A1的交線為 l2，若直線 AB 分別與 l1 l2 所成的角為
a b ，則 tana = ， tan a + b = .
1
【答案】 /0.5 4/ 1
2 3
1
3
【解析】在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E 是棱CC1的中點(diǎn)，
延長D1E 與DC 延長線交于點(diǎn)F ，連接 AF ，則直線 AF 即為直線 l1，a = BAF ，
由CE / /DD1，得CF = DC ，又 AB / /CD ，于是 tana = tan AFD
1
= ，
2
由平面CDD1C1 / /平面 ABB1A1，平面 AD1E 平面 ABB1A1 = l2 ，平面 AD1E 平面CDD1C1 = D1E ，
則D1E / /l2，又C1D1 / / AB，因此 b = C1D1E ， tan b
1
= ，
2
1 1
tan(a b ) tana + tan b
+ 4
所以 + = = 2 2 = .
1- tana tan b 1 1 1- 3
2 2
1 4
故答案為： ；
2 3
【典例 6-2】設(shè) A 與 B 的兩邊分別平行，若 A = 60o ，則 B = .
【答案】60o或120o
【解析】根據(jù)等角定理：一個(gè)角的兩邊平行于另外一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
所求角為60o或120o .
故答案為：60o或120o .
【方法技巧】
空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
【變式 6-1】已知空間中兩個(gè)角 AOB， A1O1B1 ，且OA / /O1A1，OB / /O1B1，若 AOB = 60o，則
A1O1B1 = .
【答案】60o或120o
【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)角 AOB， A1O1B1 ，且OA / /O1A1，OB / /O1B1，
則 AOB， A1O1B1 的兩邊分別平行，
所以 AOB， A1O1B1 相等或互補(bǔ)，
又 AOB = 60o，所以 A1O1B1 = 60o或120o
故答案為：60o或120o
【變式 6-2】過正方體 ABCD - A1B1C1D1的頂點(diǎn) A1在空間作直線 l，使 l與平面 BB1D1D和直線BC1所成的角都
等于 45°，則這樣的直線 l共有 條．
【答案】2
【解析】在正方體中， AC 與平面 BB1D1D垂直，再根據(jù)等角定理，問題可以轉(zhuǎn)化為過點(diǎn) A 與 AC 、 AD1 都
成 45°的直線有幾條．
考慮到 AC ， AD1 夾角為60°，所以同一平面的角平分線與 AC ， AD1 的夾角大小為30°，
因?yàn)?45° > 30°，從而存在兩條直線滿足條件．而 AC ， AD1 的外角為 120 度，所以不存在外角平分線滿足
條件．
綜上，滿足條件的直線共 2 條．
故答案為：2.
【變式 6-3】如圖，已知直線 a，b 為異面直線， A, B,C 為直線 a上三點(diǎn)，D， E ， F 為直線b 上三點(diǎn)， A ，
B ，C ，D ，E 分別為 AD，DB， BE ， EC ，CF 的中點(diǎn).若 A B C = 120°，則 C D E = .
2p
【答案】120° /
3
【解析】因?yàn)?A ，B 分別是 AD，DB的中點(diǎn)，
所以 A B / /a，
同理C D / /a，B C / /b，D E / /b ，
所以 A B / /C D ，B C / /D E ．
又 A B C 的兩邊和 C D E 的兩邊的方向都相同，
所以 A B C = C D E ，
所以 C D E =120° .
故答案為：120° .
1．（2021 年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，P 為 B1D1的中點(diǎn)，則直線 PB與
AD1 所成的角為（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】D
【解析】
如圖，連接BC1, PC1, PB ，因?yàn)?AD1 ∥ BC1，
所以 PBC1或其補(bǔ)角為直線 PB與 AD1 所成的角，
因?yàn)锽B1 ^ 平面 A1B1C1D1，所以BB1 ^ PC1，又PC1 ^ B1D1，BB1 B1D1 = B1 ，
所以PC1 ^ 平面 P B B1 ，所以PC1 ^ PB ，
1
設(shè)正方體棱長為 2，則BC1 = 2 2, PC1 = D B = 2 ，2 1 1
sin PC 1 PBC 11 = =BC 2 ，所以 PBC
p
1 = .
1 6
故選：D
2．（2012 年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（重慶卷））設(shè)四面體的六條棱的長分別為 1，1，1，
1， 2 和 a ，且長為 a 的棱與長為 2 的棱異面，則 a 的取值范圍是（ ）
A． (0, 2) B． (0, 3)
C． (1, 2) D． (1, 3)
【答案】A
【解析】設(shè)四面體的底面是 BCD ， BC = a ，BD = CD =1，頂點(diǎn)為A ， AD = 2
在三角形 BCD 中，因?yàn)閮蛇呏痛笥诘谌吙傻茫? < a < 2 ，①
取 BC 中點(diǎn)E ，QE 是中點(diǎn)，直角三角形 ACE 全等于直角DCE ，
a
所以在三角形 AED 中， AE = ED = 1- ( )2 ，
2
Q兩邊之和大于第三邊
\ 2 < 2 1 a- ( )2 ，得0 < a < 2 ，（負(fù)值 0 值舍）②
2
由①②得0 < a < 2 ．
故答案為 (0, 2)．
3．（2010 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）數(shù)學(xué)）過正方體 ABCD- A1B1C1D1的頂點(diǎn) A 作直線 l，
使 l與棱 AB，AD， AA1所成的角都相等，這樣的直線 l可以作（ ）
A．1 條 B．2 條 C．3 條 D．4 條
【答案】D
【解析】如圖：
由于平面 AA1D1D ，平面 ABCD，平面 ABB1A1上不存在滿足條件的直線 l，只需考慮正方體內(nèi)部和正方體外
部滿足條件的直線 l的條數(shù).第一類：在正方體內(nèi)部,由三余弦定理知 l在平面 ABCD內(nèi)的射影為 BAD 的角
平分線,在平面 AA1D1D 內(nèi)的射影為 A1AD的角平分線，則 l在正方體內(nèi)部的情況為體對(duì)角線 AC1；第二類：
在圖形外部與每條棱的外角度數(shù)和另 2 條棱夾角度數(shù)相等，有3條.所以共有 4 條滿足條件的直線,故選 D.
4．（2007 年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（上海卷））已知a b 是兩個(gè)相交平面，空間兩條直線
l1 l2 在a 上的射影是直線 S1, S2 , l1 l2 在 b 上的射影是直線 t1 t2 .用 S1與S2， t1 與 t2 的位置關(guān)系，寫出一個(gè)總能
確定 l1與 l2 是異面直線的充分條件： .
【答案】
S1∥S2，并且 t1 與 t2 相交
【解析】當(dāng) l1 l2 異面時(shí)， l1 l2 在a 上的射影是直線 S1 S2，可能平行或相交：
l1 l2 過 b 上的射影是直線 t1 t2，可能平行或相交：
但當(dāng)直線 S1∥S2與直線 t1∥t2 ，同時(shí)成立時(shí)，則 l1∥l2 ：
而當(dāng)直線 S1與S2 直線 l1與 l2 ，均相交時(shí)，則 l1與 l2 可能相交；
故能確定 l1與 l2 是異面直線的充分條件是 S1∥S2，并且 t1 與 t2 相交
（或 t1∥t2 ，并且 S1與S2相交）.
故答案為： S1∥S2，并且 t1 與 t2 相交.
5．（2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國卷Ⅰ））已知三棱柱 ABC - A1B1C1的側(cè)棱與底
面邊長都相等，若 A1在底面 ABC 上的射影為 BC 的中點(diǎn)，則異面直線 AB 與CC1所成的角的余弦值為（ ）
3 5 7 3A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】D
【解析】設(shè) BC 的中點(diǎn)為D，由題意可知 A1D ^平面 ABC ，
連接 A1D、 AD、 A1B ，在三棱柱 ABC - A1B1C1中CC1 //AA1，
所以q = A1AB 即為異面直線 AB 與CC1所成的角；
設(shè)三棱柱 ABC - A1B1C
3
1的側(cè)棱與底面邊長為1， 則 AD = ，
2
分別在 RtVA1AD和 RtVA1DB
2 2 1 2 2 2
中，由勾股定理，可知 A1D = A1A - AD = ， A1B = BD + A1D = ， 2 2
1
在△A AB 1+1-1 中，由余弦定理，得 cosq 2 3= = ；
2 4
3
所以異面直線 AB 與CC1所成的角的余弦值為 ． 4
故選：D．
1．（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B．一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面
C．圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面
D．梯形可確定一個(gè)平面
【答案】BD
【解析】平面上不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故 A 錯(cuò)誤；
一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，故 B 正確；
如果圓上兩點(diǎn)和圓心共線，不能確定一個(gè)平面，故 C 錯(cuò)誤；
梯形上下底是兩平行直線，可以確定一個(gè)平面，故 D 正確；
故選：BD.
2．如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么在 AB，CD，EF，GH 這四條線段中，哪些
線段所在直線是異面直線？
【解析】
還原正方體如圖，由經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不進(jìn)過該點(diǎn)的直線是異面直線可得，
AB，CD，EF，GH 這四條線段所在直線是異面直線為：
直線 EF 和直線 HG，直線 AB 和直線 HG，直線 AB 和直線 CD.
3．已知△ABC 在平面 α 外，其三邊所在的直線滿足 AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：
P，Q，R 三點(diǎn)共線.
【解析】證明：法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面 α.
又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.
∴由基本事實(shí) 3 可知：點(diǎn) P 在平面 ABC 與平面 α 的交線上，同理可證 Q，R 也在平面 ABC 與平面 α 的交線
上.
∴P，Q，R 三點(diǎn)共線.
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直線 AP 與直線 AR 確定平面 APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面 APR∩平面 α＝PR.
∵B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC 平面 APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面 APR，又 Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R 三點(diǎn)共線.
4．如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條直線確定一個(gè)平面，一共可以確定幾個(gè)平面？如果三條直
線相交于一點(diǎn)，它們最多可以確定幾個(gè)平面？
【解析】①三條直線兩兩平行，這三條直線象三棱柱的三條側(cè)棱，其中每兩條直線可以確定一個(gè)平面,則
可以確定 3 個(gè)平面；
②三條直線兩兩相交每兩條確定一個(gè)平面，當(dāng)這三條直線在同一個(gè)平面時(shí)則可以確定 1 個(gè)平面；當(dāng)這三條
直線不在同一個(gè)平面時(shí)，則可以確定 3 個(gè)平面；
這三條直線能夠確定一個(gè)平面或三個(gè)平面,最多可以確定 3 個(gè)平面.
5．正方體各面所在平面將空間分成幾部分？
【解析】
如圖，圖中畫出了正方體最上層把空間分成 9 個(gè)部分，
同理中層、下層也分別把空間分成 9 個(gè)部分，
因此共將空間分成 27 個(gè)部分.
易錯(cuò)點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系判斷錯(cuò)誤
易錯(cuò)分析： 在空間幾何中，點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系判斷錯(cuò)誤常源于對(duì)基本概念的模糊理解或忽視。
【易錯(cuò)題 1】若直線 a，b ， c滿足 a∥b， a， c異面，則b 與 c（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線
【答案】C
【解析】在正方體 AC1中，
A． AB∥DC ， AB 和DD1是異面直線，DC DD1 = D，
故直線 a，b ， c滿足 a∥b， a， c異面，則b 與 c可能相交，不一定是異面直線，故 A 錯(cuò)誤；
B． AB∥DC ， AB 和 B1C1 是異面直線，DC 和 B1C1 是異面直線，
故直線 a，b ， c滿足 a∥b， a， c異面，則b 與 c可能是異面直線，故 B 錯(cuò)誤；
C．直線 a，b ， c滿足 a∥b， a， c異面，則由平行公理得b 與 c不可能是平行直線，故 C 正確；
D． AB∥DC ， AB 和DD1是異面直線，DC DD1 = D，
故直線 a，b ， c滿足 a∥b， a， c異面，則b 與 c可能相交，故 D 錯(cuò)誤．
故選：C．
【易錯(cuò)題 2】在空間四邊形 ABCD的邊 AB 、BC 、CD、 DA 上分別取點(diǎn) E、F、G、H，若EF 與HG相交
于一點(diǎn) M，則 M（ ）
A．一定在直線 AC 上；
B．一定在直線BD上；
C．可能在直線 AC 上，也可能在直線BD上；
D．不在直線 AC 上，也不在直線BD上．
【答案】A
【解析】由于 ABCD是空間四邊形，故 AB ，BC 確定平面 ABC ，CD， DA 確定平面 ACD．
QE AB，F(xiàn) BC ，G CD ，H DA
\ EF 面 ABC ，GH 面 ACD，
QEF I GH = M ，
\M 面 ABC ，M 面 ACD
Q面 ABC I面 ACD = AC
\M AC
故選：A．
答題模板：異面直線所成的角
1、模板解決思路
根據(jù)異面直線所成角的定義，我們可以通過平移的方式，將兩條原本不在同一平面內(nèi)的異面直線轉(zhuǎn)化
為在同一平面內(nèi)相交的直線。接下來，我們需要證明這兩條相交直線所形成的角，實(shí)際上就是原本那兩條
異面直線所成的角。一旦證明了這一點(diǎn)，我們就可以利用解三角形等數(shù)學(xué)方法，來求解這個(gè)角的具體大小。
2、模板解決步驟
第一步：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．
第二步：證明作出的角是異面直線所成的角．
第三步：解三角形，求出所作的角．
【典型例題 1】如圖所示，圓錐的底面直徑 AB = 4，高OC = 2 2 ，D為底面圓周上的一點(diǎn)，且
AOD =120°，則直線 AD與BC 所成角的大小為 ．
【答案】60°
【解析】如圖，延長DO交底面圓于點(diǎn)E ，連接 BE ，CE ，
由 AB ，DE 均為圓的直徑知 AD P BE ，且 AD = BE ，
所以 CBE 即為異面直線 AD與BC 所成的角（或其補(bǔ)角）．
在△AOD中， AD = 2OAsin 60° = 2 3 ，
在RtVBOC 中，BC = OB2 + OC 2 = 2 3 ，
所以CB = CE = BE = 2 3 ，所以△CBE 為正三角形，
所以 CBE = 60°，即直線 AD與BC 所成的角為60° .
故答案為：60° .
【典型例題 2】如圖，直線PD ^平面 ABCD，ABCD 為正方形，PD = AD ，則直線 PA 與BD所成角的大
小為 ．
【答案】60°
【解析】令 PD = AD = 1，取PD, AD, AB中點(diǎn)分別為E, F , M ，
連結(jié)EF , EM , FM ，則EF P PA, FM P BD，
\ EFM 就是直線 PA 與BD所成角或其補(bǔ)角.
1 1
又因?yàn)樵凇鱁FM 中，EF = PA = AD2 + PD2 1= 1+1 2= ，
2 2 2 2
FM 1= BD 1 1 2= AD2 + AB2 = 1+1 =
2 2 2 2
1 2 5
連結(jié)DM ，得DM = AD2 + AM 2 = 1+ 2 ÷
= ，
è 2
2 2
EM 1 5 6= ED2 + DM 2 = 2 ÷
+ 2 ÷
= ，
è ÷è 2
1 1 6
2 2 2 + -
則 cos EFM
EF + FM - EM 1
= = 2 2 4 = -
2EF FM 2 ，
2 2 2
2 2
\ EFM =120°
∴直線 PA 與BD所成角為60° .
故答案為：60° .第 02 講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 .........................................................................................................................2
02 知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 1：四個(gè)公理.............................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 2：直線與直線的位置關(guān)系.....................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 3：直線與平面的位置關(guān)系.....................................................................................................5
知識(shí)點(diǎn) 4：平面與平面的位置關(guān)系.....................................................................................................6
知識(shí)點(diǎn) 5：等角定理.............................................................................................................................6
題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”............................................................7
題型二：截面問題................................................................................................................................9
題型三：異面直線的判定..................................................................................................................10
題型四：異面直線所成的角..............................................................................................................11
題型五：平面的基本性質(zhì)..................................................................................................................13
題型六：等角定理..............................................................................................................................14
04 真題練習(xí)·命題洞見........................................................................................................................15
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................16
06 易錯(cuò)分析·答題模板........................................................................................................................17
易錯(cuò)點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系判斷錯(cuò)誤..........................................................................17
答題模板：異面直線所成的角..........................................................................................................18
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
本節(jié)內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)，重點(diǎn)關(guān)注異
（1）基本事實(shí)的應(yīng)用 2023 年上海卷第 15 題，5 分 面直線的判定和成角問題、空間點(diǎn)線面的位置
（2）空間位置關(guān)系的判 2022 年上海卷第 15 題，5 分 關(guān)系問題．對(duì)于空間幾何體的點(diǎn)、線、面 的
斷 2022 年 I 卷第 9 題，5 分 位置關(guān)系，除了題目難度逐步提升，還增加了
（3）異面直線所成的角 2021 年乙卷（文）第 10 題，5 分 截面問題，對(duì)考生的空間想象能力要求有所提
升，需要考生有更強(qiáng)大的邏輯推理能力．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）借助長方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位
置關(guān)系的定義．
（2）了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問題．
知識(shí)點(diǎn) 1：四個(gè)公理
公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法
公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)
推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)
（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)
推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；
推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；
公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)
（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)
公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
【診斷自測】在長方體 ABCD - A1B1C1D1中，直線 A1C 與平面 AB1D1的交點(diǎn)為M ， A1C1與 B1D1交于點(diǎn)O，則
下列結(jié)論正確的是（ ）
A．A ，M ，O三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．A ，M ，O三點(diǎn)共線
C．D，D1，O，M 四點(diǎn)共面 D．A ，B1， B ，M 四點(diǎn)共面
知識(shí)點(diǎn) 2：直線與直線的位置關(guān)系
位置關(guān)系 相交（共面） 平行（共面） 異面
圖形
符號(hào) a I b = P a∥b a Ia = A,b a , A b
公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 1 0 0
特征 兩條相交直線確定一個(gè)平面 兩條平行直線確定一個(gè)平 兩條異面直線不同在如
面 何一個(gè)平面內(nèi)
【診斷自測】兩條直線 a,b 分別和異面直線 c,d 都相交，則直線 a,b 的位置關(guān)系是（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線
知識(shí)點(diǎn) 3：直線與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 包含（面內(nèi)線） 相交（面外線） 平行（面外線）
圖形
符號(hào) l a l Ia = P l ∥a
公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 無數(shù)個(gè) 1 0
【診斷自測】四棱錐P - ABCD 如圖所示，則直線 PC（ ）
A．與直線 AD 平行 B．與直線 AD 相交
C．與直線 BD 平行 D．與直線 BD 是異面直線
知識(shí)點(diǎn) 4：平面與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 平行 相交（但不垂直） 垂直
圖形
符號(hào) a ∥ b a I b = l a ^ b ，a I b = l
公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 0 無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都 無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在
在唯一的一條直線上 唯一的一條直線上
【診斷自測】下列說法正確的是（ ）
A．若直線 l, m, n兩兩相交，則直線 l, m, n共面
B．若直線 l, m與平面a 所成的角相等，則直線 l, m互相平行
C．若平面a 上有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面 b 的距離相等，則平面a 與平面 b 平行
D．若不共面的 4 個(gè)點(diǎn)到平面a 的距離相等，則這樣的平面a 有且只有 7 個(gè)
知識(shí)點(diǎn) 5：等角定理
空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
【診斷自測】已知空間中兩個(gè)角a ， b ，且角a 與角 b 的兩邊分別平行，若a = 70°，則 b = ．
題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”
【典例 1-1】如圖，在正四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1中，M，N，P，Q 分別為棱 AB，BC， B1C1 ， A1B1 上的
點(diǎn)．已知 AB = 6， A1B1 = 3，B1Q = B1P =1，BM = BN = 4，正四棱臺(tái) ABCD - A1B1C1D1的高為 6．
證明：直線 MQ，BB1，NP 相交于同一點(diǎn)．
【典例 1-2】空間四邊形 ABCD中，點(diǎn)M , N , P,Q分別在 AB,BC,CD,DA上，且
AM CN CP AQ
= = = = k ．求證：M , N , P,QMB NB PD QD 四點(diǎn)共面．
【方法技巧】
共面、共線、共點(diǎn)問題的證明
（1）證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)．
（2）證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．
（3）證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．
【變式 1-1】在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^ BC, ACB
π
= ，側(cè)棱長為 3，側(cè)面積為
6 9 + 3 3
.
(1)求三棱錐B - A1B1C 的體積;
(2)若點(diǎn) D、E 分別在三棱柱的棱CC1, BB1上，且CD > BE ，線段 A1E, A1D, DE 的延長線與平面 ABC 交于
F ,G, H 三點(diǎn)，證明：F ,G, H 共線.
【變式 1-2】已知在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E、F 分別為D1C1、C1B1的中點(diǎn)， AC I BD = P，
A1C1 I EF = Q ．求證：
(1)D，B，F(xiàn)，E 四點(diǎn)共面；
(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 點(diǎn)，則 P、Q、R 三點(diǎn)共線；
(3)DE、BF、CC1三線交于一點(diǎn)．
【變式 1-3】如圖，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中，E 、F 分別是 B1C1 和C1D1的中點(diǎn)．
(1)證明：E 、F 、D、 B 四點(diǎn)共面；
(2)對(duì)角線 A1C 與平面BDC1 交于點(diǎn)O， AC, BD 交于點(diǎn)M ，求證：點(diǎn)C1,O,M 共線；
(3)證明： BE 、DF 、CC1三線共點(diǎn)．
題型二：截面問題
【典例 2-1】（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測）正方體 ABCD - A1B1C1D1外接球的體積為 4 3π，E 、F 、G 分
別為棱 AA1、A1B1、A1D1的中點(diǎn)，則平面EFG 截球的截面面積為（ ）
5π 4π 2π π
A． B． C． D．
3 3 3 3
【典例 2-2】（2024·四川瀘州·三模）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 2，P 為DD1的中點(diǎn)，過 A，
B，P 三點(diǎn)作平面a ，則該正方體的外接球被平面a 截得的截面圓的面積為（ ）
16π 14π
A 13π． 5 B． C．3π D．5 5
【方法技巧】
（1）作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們
的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．
（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí) 3 作交線；
②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．
【變式 2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點(diǎn)E 是線段BB1上靠近B1的三等分
點(diǎn)，點(diǎn) F 是線段D1C1上靠近D1的三等分點(diǎn)，則平面 AEF 截正方體 ABCD - A1B1C1D1形成的截面圖形為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【變式 2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E 為棱 BC 的中點(diǎn)，
用過點(diǎn) A1，E，C1的平面截正方體，則截面周長為（ ）
A．3 2 + 2 5 B．9 C． 2 2 + 2 5 D．3 2 + 2 3
【變式 2-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）設(shè)正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 1，與直線 A1C 垂直的平面a 截
該正方體所得的截面多邊形為M ，則M 的面積的最大值為（ ）
3
A． 3
3
B． 3 C 3． D．
8 4 32
【變式 2-4】已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為1，E 為C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn) 為棱CC1上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，
若平面BEF 截該正方體所得的截面為五邊形，則線段CF 的取值范圍是（ ）
1
A ,1 B
1 1 2
． ÷ ． ,1
é 1 ù
÷ C． , ÷ D． 0,
è 3 è 2 ê 2 3 è 2ú
【變式 2-5】已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 4，M 為棱DC 的中點(diǎn)， N 為側(cè)面BC1的中心，過點(diǎn)M
的平面a 垂直于DN ，則平面a 截正方體 AC1所得的截面周長為（ ）
A． 4 5 + 2 B． 2 5 + 8 2 C． 6 2 D．8 + 2 5
【變式 2-6】（2024·四川宜賓·三模）已知 E，F(xiàn) 分別是棱長為 2 的正四面體 ABCD的對(duì)棱 AD, BC 的中
點(diǎn).過EF 的平面a 與正四面體 ABCD相截，得到一個(gè)截面多邊形 ，則下列說法正確的是（ ）
A．截面多邊形 不可能是平行四邊形 B．截面多邊形 的周長是定值
C．截面多邊形 的周長的最小值是 2 + 6 D．截面多邊形 的面積的取值范圍是 é1, 2 ù
題型三：異面直線的判定
【典例 3-1】如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線 AD是異面
直線的是（ ）
A． FG B．EH C．EF D．BC
【典例 3-2】（2024·福建福州·三模）在底面半徑為 1 的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面
ABCD，其中母線 AB=2，E 是弧 BC 的中點(diǎn)，F(xiàn) 是 AB 的中點(diǎn)，則（ ）
A．AE=CF，AC 與 EF 是共面直線
B． AE CF ，AC 與 EF 是共面直線
C．AE=CF，AC 與 EF 是異面直線
D． AE CF ，AC 與 EF 是異面直線
【方法技巧】
判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：
（1）直接法：平面外一點(diǎn) A 與平面內(nèi)一點(diǎn) B 的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過 B 點(diǎn)的直線是異面直線．
（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．
【變式 3-1】將下面的平面圖形（每個(gè)點(diǎn)都是正三角形的頂點(diǎn)或邊的中點(diǎn)）沿虛線折成一個(gè)四面體后，直
線 MN 與 PQ 是異面直線的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【變式 3-2】已知正方體 ABCD - A1B1C1D1，點(diǎn) P 在直線 AD1上，Q為線段 BD 的中點(diǎn)，則下列說法不正確
的是（ ）
A．存在點(diǎn) P ，使得PQ ^ AC1； B．存在點(diǎn) P ，使得PQ / / A1B ；
C．直線 PQ始終與直線 CC1異面； D．直線 PQ始終與直線BC1異面.
題型四：異面直線所成的角
【典例 4-1】（2024·新疆喀什·三模）已知底面邊長為 2 的正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的體積為 16，則直
線 AC 與 A1B 所成角的余弦值為（ ）
A 2 5 B 5 C 10 3 10． ． ． D．
5 5 10 10
【典例 4-2】已知兩條異面直線 a，b 所成角為70°，若過空間內(nèi)一定點(diǎn)的直線 l 和 a，b 所成角均為60°，
則這樣的直線 l 有（ ）
A．2 條 B．3 條 C．4 條 D．5 條
【方法技巧】
（1）點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正
方體為模型．
（2）求異面直線所成的角的三個(gè)步驟
一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．
二證：證明作出的角是異面直線所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【變式 4-1】（2024·高三·河南鶴壁·期中）如圖，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 = 4， AB = 2 ，則直
線 A1B 與直線B1C 所成角的正切值為 ．
【變式 4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在三棱錐 P - ABC 中， AC = 3 ， BC = 1， PA = PB = PC = AB = 2 ，
M 為 AC 的中點(diǎn)，則異面直線 BM 與 PA 所成角的余弦值是 ．
【變式 4-3】如圖，已知四棱錐M - ABCD，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形，側(cè)棱長相等且為 4，E 為
CD 的中點(diǎn)，則異面直線 CM 與 AE 所成的角的余弦值為（ ）
A 3 9 5 5 3 5． B． C． D．
5 40 15 20
【變式 4-4】（2024·高三·江蘇南京·期中）已知矩形 ABCD中， AB =1, BC = 2, E 是邊BC 的中
點(diǎn)． AE 和BD交于點(diǎn)M ，將VABE 沿 AE 折起，在翻折過程中當(dāng) AB 與MD 垂直時(shí)，異面直線BA和CD所
成角的余弦值為（ ）
1 1 5 2A． B． 4 C． D．6 12 3
【變式 4-5】四面體V - ABC 中，VA =VB = 2 2 ，VC = 3，CA = CB = 4，求CA 與VB 所成角的余弦值的取
值范圍 ．
題型五：平面的基本性質(zhì)
【典例 5-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）在空間中，下列命題是真命題的是（ ）
A．三條直線最多可確定 1 個(gè)平面 B．三條直線最多可確定 2 個(gè)平面
C．三條直線最多可確定 3 個(gè)平面 D．三條直線最多可確定 4 個(gè)平面
【典例 5-2】（2024·陜西榆林·二模）下列說法中正確的是（ ）
A．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行
B．垂直于同一平面的兩個(gè)平面垂直
C．一塊蛋糕 3 刀可以切成 6 塊
D．一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到一平面的距離相等，則這條直線在平面內(nèi)
【方法技巧】
平面具有三大基本性質(zhì)：一、任意三點(diǎn)不共線則確定一個(gè)唯一平面；二、任意兩條平行直線確定一個(gè)
唯一平面；三、過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面。這些性質(zhì)揭示了平面作為二維空間的基本
構(gòu)成單元，其存在與確定的唯一性。
【變式 5-1】（2024·寧夏銀川·三模） A, B是兩個(gè)不同的點(diǎn)，a , b 為兩個(gè)不同的平面，下列推理錯(cuò)誤的是
（ ）
A． A l, A a , B l, B a l a
B． A a , A b , B a , B b a b = AB
C． l a , A l A a
D． A l, l a A a
【變式 5-2】空間中有 8 個(gè)點(diǎn)，其中任何 4 個(gè)點(diǎn)不共面，過每 3 個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，可以作的平面?zhèn)€數(shù)為
（ ）
A．42 B．56 C．64 D．81
【變式 5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓柱O1O2 中，AD，BC 分別是上、下底面的兩條直徑，且
AD//BC, AB = BC = 4，若M 是弧 BC 的中點(diǎn)， N 是線段 AB 的中點(diǎn)，則（ ）
A． AM = CN , A,C, M , N 四點(diǎn)不共面 B． AM CN , A,C, M , N 四點(diǎn)共面
C． AM ^ BD,△ACM 為直角三角形 D． AM CN ,△ACM 為直角三角形
題型六：等角定理
【典例 6-1】（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E 是棱CC1的中點(diǎn)，記平面
AD1E與平面 ABCD的交線為 l1，平面 AD1E與平面 ABB1A1的交線為 l2，若直線 AB 分別與 l1 l2 所成的角為
a b ，則 tana = ， tan a + b = .
【典例 6-2】設(shè) A 與 B 的兩邊分別平行，若 A = 60o ，則 B = .
【方法技巧】
空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
【變式 6-1】已知空間中兩個(gè)角 AOB， A1O1B1 ，且OA / /O1A1，OB / /O1B o1，若 AOB = 60 ，則
A1O1B1 = .
【變式 6-2】過正方體 ABCD - A1B1C1D1的頂點(diǎn) A1在空間作直線 l，使 l與平面 BB1D1D和直線BC1所成的角都
等于 45°，則這樣的直線 l共有 條．
【變式 6-3】如圖，已知直線 a，b 為異面直線， A, B,C 為直線 a上三點(diǎn)，D， E ， F 為直線b 上三點(diǎn)， A ，
B ，C ，D ，E 分別為 AD，DB， BE ， EC ，CF 的中點(diǎn).若 A B C = 120°，則 C D E = .
1．（2021 年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，P 為 B1D1的中點(diǎn)，則直線 PB與
AD1 所成的角為（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6
2．（2012 年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（重慶卷））設(shè)四面體的六條棱的長分別為 1，1，1，
1， 2 和 a ，且長為 a 的棱與長為 2 的棱異面，則 a 的取值范圍是（ ）
A． (0, 2) B． (0, 3)
C． (1, 2) D． (1, 3)
3．（2010 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）數(shù)學(xué)）過正方體 ABCD- A1B1C1D1的頂點(diǎn) A 作直線 l，
使 l與棱 AB，AD， AA1所成的角都相等，這樣的直線 l可以作（ ）
A．1 條 B．2 條 C．3 條 D．4 條
4．（2007 年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（上海卷））已知a b 是兩個(gè)相交平面，空間兩條直線
l1 l2 在a 上的射影是直線 S1, S2 , l1 l2 在 b 上的射影是直線 t1 t2 .用 S1與S2， t1 與 t2 的位置關(guān)系，寫出一個(gè)總能
確定 l1與 l2 是異面直線的充分條件： .
5．（2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國卷Ⅰ））已知三棱柱 ABC - A1B1C1的側(cè)棱與底
面邊長都相等，若 A1在底面 ABC 上的射影為 BC 的中點(diǎn)，則異面直線 AB 與CC1所成的角的余弦值為（ ）
A 3 B 5
3
． ． C 7． D．
4 4 4 4
1．（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B．一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面
C．圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面
D．梯形可確定一個(gè)平面
2．如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么在 AB，CD，EF，GH 這四條線段中，哪些
線段所在直線是異面直線？
3．已知△ABC 在平面 α 外，其三邊所在的直線滿足 AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：
P，Q，R 三點(diǎn)共線.
4．如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條直線確定一個(gè)平面，一共可以確定幾個(gè)平面？如果三條直
線相交于一點(diǎn)，它們最多可以確定幾個(gè)平面？
5．正方體各面所在平面將空間分成幾部分？
易錯(cuò)點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系判斷錯(cuò)誤
易錯(cuò)分析： 在空間幾何中，點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系判斷錯(cuò)誤常源于對(duì)基本概念的模糊理解或忽視。
【易錯(cuò)題 1】若直線 a，b ， c滿足 a∥b， a， c異面，則b 與 c（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線
【易錯(cuò)題 2】在空間四邊形 ABCD的邊 AB 、BC 、CD、 DA 上分別取點(diǎn) E、F、G、H，若EF 與HG相交
于一點(diǎn) M，則 M（ ）
A．一定在直線 AC 上；
B．一定在直線BD上；
C．可能在直線 AC 上，也可能在直線BD上；
D．不在直線 AC 上，也不在直線BD上．
答題模板：異面直線所成的角
1、模板解決思路
根據(jù)異面直線所成角的定義，我們可以通過平移的方式，將兩條原本不在同一平面內(nèi)的異面直線轉(zhuǎn)化
為在同一平面內(nèi)相交的直線。接下來，我們需要證明這兩條相交直線所形成的角，實(shí)際上就是原本那兩條
異面直線所成的角。一旦證明了這一點(diǎn)，我們就可以利用解三角形等數(shù)學(xué)方法，來求解這個(gè)角的具體大小。
2、模板解決步驟
第一步：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．
第二步：證明作出的角是異面直線所成的角．
第三步：解三角形，求出所作的角．
【典型例題 1】如圖所示，圓錐的底面直徑 AB = 4，高OC = 2 2 ，D為底面圓周上的一點(diǎn)，且
AOD =120°，則直線 AD與BC 所成角的大小為 ．
【典型例題 2】如圖，直線PD ^平面 ABCD，ABCD 為正方形，PD = AD ，則直線 PA 與BD所成角的大
小為 ．

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