資源簡介

第 03 講 三角函數的圖象與性質
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖 .........................................................................4
知識點 2：正弦、余弦、正切函數的圖象與性質 .............................................................................4
知識點 3： y = Asin(wx + f) 與 y = Acos(wx + f)(A > 0, w > 0) 的圖像與性質 ...........................................6
解題方法總結 ........................................................................................................................................8
題型一：五點作圖法 ............................................................................................................................9
題型二：函數的奇偶性 ......................................................................................................................11
題型三：函數的周期性 ......................................................................................................................12
題型四：函數的單調性 ......................................................................................................................14
題型五：函數的對稱性（對稱軸、對稱中心） ..............................................................................16
題型六：函數的定義域、值域（最值） ..........................................................................................17
題型七：三角函數性質的綜合應用 ..................................................................................................19
題型八：根據條件確定解析式 ..........................................................................................................21
題型九：三角函數圖像變換 ..............................................................................................................24
題型十：三角函數實際應用問題 ......................................................................................................26
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................29
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................30
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................32
易錯點：三角函數圖象變換錯誤 ......................................................................................................32
答題模板：求三角函數解析式 ..........................................................................................................33
考點要求 考題統計 考情分析
（1）正弦函數、余弦函 2024年天津卷第 7題，5分 本節命題趨勢仍是突出以三角函數的圖像、
數和正切函數的圖像性質 2024年北京卷第 6題，5分 周期性、單調性、奇偶性、對稱性、最值等重點
（2）三角函數圖像的平 2024年 II卷第 9題，6分 內容展開，并結合三角公式、化簡求值、平面向
移與變換 2023年甲卷第 12題，5分 量、解三角形等內容綜合考查，因此復習時要注
（3）三角函數實際應用 2023年天津卷第 5題，5分 重三角知識的工具性，以及三角知識的應用意
問題 2023年 I卷第 15題，5分 識．
復習目標：
（1）理解正、余弦函數在區間[0,2p ]內的性質．理解正切函數在區間 p p - ,

÷內的單調性．
è 2 2
（2）了解函數 y = Asin(wx + j)的物理意義，能畫出 y = Asin(wx + j)的圖像，了解參數 A,w,j對函數圖像的
影響．
（3）了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數，會用三角函數解決一些簡單的實際問題．
知識點 1：用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
（1）在正弦函數 y = sin x ， x [0，2p ] 的圖象中，五個關鍵點是：
(0，0) p 3p，( ，1)，(p ，0)，( ，-1)，(2p ，0) ．
2 2
（2）在余弦函數 y = cos x ， x [0，2p ] 的圖象中，五個關鍵點是：
(0，1) (p， ，0)，(p ，-1) (3p， ，0)，(2p ，1) ．
2 2
ur r ur r
【診斷自測】已知向量 p = 3,1 ，向量 q = sinx,cosx ，令 f x = p × q．
x 0 2π
f x
(1)化簡 f x ，并在給出的直角坐標系中用描點法畫出函數 y = f x 在 0,2π 內的圖象；
h x f 2x , x é π π ù(2)求函數 = ê- , ú的值域． 6 3
知識點 2：正弦、余弦、正切函數的圖象與性質
函數 y = sin x y = cos x y = tan x
圖象
定義域 R R {x| x R，x kp
p
+ }
2
值域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2p 2p p
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 [2kp
p
- ，2kp p+ ] [-p + 2kp ，2kp ] (kp p p- ，kp + )
2 2 2 2
p
遞減區間 [2kp + ，2kp
3p
+ ] [2kp ，p + 2kp ] 無
2 2
對稱中心 (kp 0) (kp
p kp
， + ，0) ( ，0)
2 2
x kp p對稱軸方程 = + x = kp 無
2
T T
注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是 ；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是 ；
2 2
T
正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離 ；
4
【診斷自測】（多選題）（2024·湖南衡陽·三模）已知函數 f (x) = A tan(wx +j)

w > 0, j
π
<
2 ÷的部分圖象如è
圖所示，則下列說法正確的是（ ）
π
A．函數 f (x) 的最小正周期為
2
B． sinj 2=
2
f (x) πC．函數 在 , π

2 ÷
上單調遞增
è
D．方程 f (x)
π
= sin 2x + (0 x π)
3π 7π
的解為 ，
è 4 ÷ 8 8
知識點 3： y = Asin(wx + f) 與 y = Acos(wx + f)(A > 0, w > 0) 的圖像與性質
2p
（1）最小正周期：T = ．
w
（2）定義域與值域： y = Asin(wx + f) ， y = Acos(wx + f）的定義域為 R，值域為[-A，A]．
（3）最值
假設 A > 0，w > 0 ．
①對于 y = Asin(wx + f) ，
ì wx f p 當 + = + 2kp (k Z)時，函數取得最大值A; 2
í
p當wx + f = - + 2kp (k Z )時，函數取得最小值 - A;
2
②對于 y = Acos(wx + f），
ì 當wx + f = 2kp (k Z)時，函數取得最大值A;
í
當wx + f = 2kp + p (k Z )時，函數取得最小值 - A;
（4）對稱軸與對稱中心．
假設 A > 0，w > 0 ．
①對于 y = Asin(wx + f) ，
ì p
當wx0 + f = kp + (k Z )，即sin(wx0 + f)
2
í = ±1時，y = sin(wx + f)的對稱軸為x = x0
當wx0 + f = kp (k Z )，即sin(wx0 + f) = 0
時，y = sin(wx + f)的對稱中心為(x0 ,0).
②對于 y = Acos(wx + f），
ì當wx0 + f = kp (k Z )，即cos(wx0 + f) = ±1

時，y = cos(wx + f)的對稱軸為x = x 0
í p
當wx0 + f = kp + (k Z )，即cos(wx + f)
2
0
= 0時，y = cos(wx + f)的對稱中心為(x0 ,0).
正、余弦曲線的對稱軸是相應函數取最大（小）值的位置．正、余弦的對稱中心是相應函數與 x 軸交
點的位置．
（5）單調性．
假設 A > 0，w > 0 ．
①對于 y = Asin(wx + f) ，
ìwx f p p + [- + 2kp , + 2kp ](k Z ) 增區間； 2 2
í
wx p+ f [ + 2kp , 3p + 2kp ](k Z ) 減區間.
2 2
②對于 y = Acos(wx + f），
ìwx + f [-p + 2kp , 2kp ](k Z ) 增區間；
í
wx + f [2kp , 2kp + p ](k Z ) 減區間.
（6）平移與伸縮
p
由函數 y = sin x 的圖像變換為函數 y = 2sin(2x + ) + 3的圖像的步驟；
3
p p
方法一： (x x + 2x + ) ．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們
2 3
“想欺負”（相一期一幅）三角函數圖像，使之變形．
p 1
向左平移 個單位 p 所有點的橫坐標變為原來的
y = sin x的圖像 3 y = sin(x + )的圖像 2
3 縱坐標不變
y = sin(2x p p+ )的圖像 所 有 點的 縱坐 標變 為原 來 的2倍 y = 2sin(2x + )的圖像
3 橫坐標不變 3
向 上平 移 3個單 位 y = 2sin(2x p+ ) + 3
3
方法二： (x x p+ 2x p+ ) ．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．
2 3
1
所有點的橫坐標變為原來的 p向左平移 個單位
y = sin x的圖像 2 y = sin 2x的圖像 6
縱坐標不變
y = sin 2(x p+ ) = sin(2x p+ )的圖像 所 有 點的 縱坐 標變 為原 來 的2倍
6 2 橫坐標不變
y = 2sin(2x p+ )的圖像 向 上平 移 3各單 位 y = 2sin(2x p+ ) + 3
3 3
注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負”），但先伸縮后平移（先周期
后相位）在題目中也經常出現，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量 x 而言的，
即圖像變換要看“變量 x ”發生多大變化，而不是“角 wx + f ”變化多少．
【診斷自測】（多選題）（2024·山東菏澤·模擬預測）已知函數 g(x) = sin(wx +j)(0 < w < 4,0 < j < π)為偶函
1 1
數，將 g(x)圖象上的所有點向左平移 個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標變為原來的 2 ，得到函數6
f (x) 的圖象，若 f (x) (0, 3的圖象過點 )，則（ ）
2
A．函數 f (x) 的最小正周期為 1
1
B．函數 f (x) 圖象的一條對稱軸為 x =
12
C．函數 f (x)
4
在 (1, )上單調遞減
3
D．函數 f (x) 在 (0, π)上恰有 5 個零點
解題方法總結
1、關于三角函數對稱的幾個重要結論；
p
（1）函數 y = sin x 的對稱軸為 x = kp + (k Z ) ，對稱中心為 (kp .0)(k Z ) ；
2
p
（2）函數 y = cos x 的對稱軸為 x = kp (k Z )，對稱中心為 (kp + ,0)(k Z )；
2
kp
（3）函數 y = tan x 函數無對稱軸，對稱中心為 ( ,0)(k Z ) ；
2
p
（4）求函數 y = Asin(wx + f) + b(w 0) 的對稱軸的方法；令 wx + f = + kp (k Z ) ，得
2
p
+ kp -f
x kp -f= 2 (k Z ) ；對稱中心的求取方法；令 wx + f = kp (k Z ) ，得 x = ，即對稱中心為
w w
(kp -f，b)．
w
p
+ kp -f
（5）求函數 y = Acos(wx + f) + b(w 0) 的對稱軸的方法；令 wx + f = kp (k Z ) 得 x = 2 ，即
w
p
+ kp -f
對稱中心為 ( 2 ,b)(k Z )
w
2、與三角函數的奇偶性相關的結論
(1)若 y = Asin(wx +j) j kp p為偶函數，則 = + (k Z)；若為奇函數，則j = kp (k Z) .
2
(2)若 y = Acos(wx +j) p為偶函數，則j = kp (k Z)；若為奇函數，則j = kp + (k Z) .
2
(3)若 y = A tan(wx +j) 為奇函數，則j = kp (k Z) .
題型一：五點作圖法
π
【典例 1-1】已知函數 f x = 2sin 2x - ÷， x R .
è 4
(1)在用“五點法”作函數 y = f x 在區間 0, π 上的圖象時，列表如下：
2x π π 7π- -
4 4 4
x 0 π
f x
將上述表格填寫完整，并在坐標系中畫出函數的圖象；
é π π ù
(2)求函數 f x 在區間 ê- , ú上的最值以及對應的 x 的值. 4 4
【典例 1-2】某同學用“五點法”畫函數 f x = Asin wx +j ， w > 0, j π< 2 ÷在某一個周期內的圖象時，列表è
并填入了部分數據，如下表：
π 5π
x
3 6
wx + j π π 3π0 2π
2 2
Asin wx +j 0 5 -5 0
(1)請將上表數據補充完整，并直接寫出函數 f x 的解析式；
π
(2)當 x é ùê- ,0ú時，求不等式 f x 0的解集． 2
【方法技巧】
（1）在正弦函數 y = sin x ， x [0，2p ] 的圖象中，五個關鍵點是：
(0，0) p 3p，( ，1)，(p ，0)，( ，-1)，(2p ，0) ．
2 2
（2）在余弦函數 y = cos x ， x [0，2p ] 的圖象中，五個關鍵點是：
(0 1) (p 3p， ， ，0)，(p ，-1)，( ，0)，(2p ，1) ．
2 2
π
【變式 1-1】（2024·云南曲靖·模擬預測）已知函數 f x = sin 2x - 6 ÷ .è
(1)完善下面的表格并作出函數 f x 在 0,π 上的圖象：
π π 11π2x - -
6 6 0 π 6
5π
x
6
f x 1
(2)將函數 f x π 1的圖象向右平 個單位后再向上平移 1 個單位得到 g x 的圖象，解不等式 g x .
3 2
【變式 1-2】設函數 f x = 2sin π x
π
+
6 3 ÷
.
è
(1)列表并畫出 y = f x ， x -2,10 的圖象；
(2)求函數 g x = f 1+ x + f 4 - x 在區間 0,6 上的值域.
題型二：函數的奇偶性
【典例 2-1】若將函數 y = sin 2x + cos 2x 的圖象向右平移j(j > 0) 個單位長度后得到函數 f (x) 的圖象，且
f x 為奇函數，則j 的最小值是（ ）
π 3π π
A． B． C π． D．
2 8 4 8
π
【典例 2-2】（2024·重慶·模擬預測）將函數 f x = sin 2x - ÷的圖象向右平移j j > 0 個單位后，所得圖
è 3
象關于坐標原點對稱，則j 的值可以為（ ）
2π π π π
A． B． C． D．
3 3 6 4
【方法技巧】
由 y = sin x 是奇函數和 y = cos x 是偶函數可拓展得到關于三角函數奇偶性的重要結論：
（1）若 y = Asin(x + f) 為奇函數，則f = kp (k Z )；
p
（2）若 y = Asin(x + f) 為偶函數，則f = kp + (k Z ) ；
2
p
（3）若 y = Acos(x + f) 為奇函數，則f = kp + (k Z ) ；
2
（4）若 y = Acos(x + f) 為偶函數，則f = kp (k Z )；
kp
若 y = A tan(x + f) 為奇函數，則f = (k Z ) ，該函數不可能為偶函數．
2
π
【變式 2-1】（2024·青海西寧·二模）將函數 y = 3sin 3x +j 的圖象向右平移 個單位長度，得到的函數圖
9
象關于 y 軸對稱，則 j 的最小值為（ ）
π 7π 11π 5π
A． B． C． D．
6 18 18 6
【變式 2-2】（2024·四川成都·一模）已知函數 f x x R 滿足： f x = 2 - f -x ，函數
3
g x = f x 2x+ ，若 g a = 2，則 g -a = （ ）
cosx + 2
A．-2 B．0 C．1 D．4
2 2
【變式 2-3】已知 f x = ln x +1 - x + x2 tan x 1+ x ，則 f lg 2 + f lg ÷ = （2 ）-1 è 2 ÷
A．-1 B．0 C．1 D．2
題型三：函數的周期性
【典例 3-1】（2024·江西·南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）將函數 f (x) = cos2x的圖象向右平移
j 0 π < j <

2 ÷ 個單位長度后得到函數
g(x)的圖象，若對滿足 f x1 - g x2 = 2的 x1, x2 ，總有 x1 - x 2 的最小è
π
值等于 ，則j=（ ）
6
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
【典例 3-2】函數 f (x) =| sin x | + | cos x |的最小正周期為（ ）
3π π π
A． π B． C． D．
2 2 4
【方法技巧】
關于三角函數周期的幾個重要結論：
2p p
（1）函數 y = Asin(wx + f) + b, y = Acos(wx + f) + b, y = A tan(wx + f) + b 的周期分別為T = ，T = ．
w w
（2）函數 y = Asin(wx + f) , y = Acos(wx + f) ， y = A tan(wx + f) 的周期均為T p=
w
（3）函數 y = Asin(wx + f) + b (b 0), y = Acos(wx + f) + b (b 0) 2p的周期均T = ．
w
f n 2sin nπ π= + 3-1 +1 n N*【變式 】已知函數 ÷ ，則 f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2025 =（　?。?br/>è 2 4
A．2025 B． 2025 + 2
C． 2026 + 2 D． 2026 2
【變式 3-2】已知函數 f ( x ) = cos w x (sin w x + 3 cos w x ) (w > 0) ，如果存在實數 x 0 ，使得對任意的實數 x ，
都有 f (x0 ) f (x) f (x0 + 2016p ) 成立，則w 的最小值為
1 1 1 1
A． B． C． D．
4032p 2016p 4032 2016
【變式 3-3】設函數 f (x) = Acos(wx + j) （ A，w ，j 是常數， A > 0 ，w > 0 ）．若 f (x) 在區間
é π , π ù 上
ê 4 2 ú
π 2π
具有單調性，且 f ÷ = f

= - f
π ，則 f (x) 的最小正周期為_______．
è 2 è 3 ÷ ÷ è 4
【變式 3-4】（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數 f x = sin wx +j ，如圖 A, B是直線 y 1= 與曲線
2
y π 13π= f x 的兩個交點， AB = , f ÷ = -1
5π
，則 f
6 24 6 ÷
=（ ）
è è
A．0 B 1 C 3． 2 ． D
3
． -
2 2
【變式 3-5】（2024·遼寧·二模）A，B，C 是直線 y = m與函數 f (x) = 2sin(wx +j) （w > 0，0 < j < π ）的圖
π π
象的三個交點，如圖所示．其中，點 A(0, 2)，B，C 兩點的橫坐標分別為 x1, x2 ，若 x2 - x1 = ，則 f ( ) =4 2
（ ）
A．- 2 B．-1 C． 2 D．2
題型四：函數的單調性
2π é 2π π ù
【典例 4-1】（2024·全國·二模）已知函數 f x = cos - 2x ÷， x ê- , ，則函數 f x 的單調遞減區è 3 3 3 ú
間為 .
2
【典例 4-2】（2024·高三·山東青島·期末）函數 f x = cos x + sin x cos x 的單調減區間為 ．
【方法技巧】
三角函數的單調性，需將函數 y = Asin(wx + f) 看成由一次函數和正弦函數組成的復合函數，利用復合
函數單調區間的單調方法轉化為解一元一次不等式．
如函數 y = Asin(wx + f)(A > 0, w > 0) 的單調區間的確定基本思想是吧 wx + f 看做是一個整體，
如由 2kp p wx f 2kx p- + + (k Z ) 解出 x 的范圍，所得區間即為增區間；
2 2
由 2kp p+ wx 3p+ f 2kx + (k Z ) 解出 x 的范圍，所得區間即為減區間．
2 2
若函數 y = Asin(wx + f) 中 A > 0, w > 0 ，可用誘導公式將函數變為 y = -Asin(-wx -f) ，則
y = Asin(-wx -f) 的增區間為原函數的減區間，減區間為原函數的的增區間．
對于函數 y = Acos(wx + f), y = A tan(wx + f) 的單調性的討論與以上類似處理即可．
【變式 4-1】函數 f x = sin2x + 2cosx在 0, π 上的單調遞減區間為 .
π
【變式 4-2】（2024·湖北·二模）將函數 y = sin x +
1
6 ÷
的圖象上每一點的橫坐標變為原來的
è 2
（縱坐標不
5π
變），再向右平移 個單位長度，所得圖象對應的函數（
12 ）
é π- ,0ù π 7πA é ù．在區間 ê ú 上單調遞減 B．在區間 ê ,10 12 ú 上單調遞增 2
é π π ù é π π ù
C．在區間 ê- , 6 3 ú
上單測遞減 D．在區間 - , 上單調遞增
ê 6 3 ú
【變式 4-3】（2024·湖南長沙·二模）已知函數 f x = tan wx +j w 0,0 j π > < <

÷的最小正周期為 2π，直
è 2
π
線 x = f x f x 3 是 圖象的一條對稱軸，則 的單調遞減區間為（ ）

A． 2kπ
π
- , 2kπ 5π+ ù
è 6 6 ú
k Z
2kπ 5πB． - , 2kπ
2π
- ùú k Z è 3 3
4π
C． 2kπ - , 2kπ
π
- ùú k Z è 3 3
π 2π ù
D． 2kπ - , 2kπ +
è 3 3 ú
k Z
【變式 4-4】已知函數 f x = Acos wx +j A > 0,w > 0,|j |
p
< ÷，若函數 f x
p
2 的圖象向左平移 個單位è 6
長度后得到的函數的部分圖象如圖所示，則不等式 f x -1的解集為（ ）
7p p
A é ù． ê- + kp , + kp ú k Z 12 4
p
B é． ê- + 2kp ,
7p
+ 2kp ù k Z
3 12 ú
p 5p
C é． ê- + kp , + kp
ù
ú k Z 4 12
D é
p
． ê- + kp ,
p
+ kp ùú k Z 3 12
【變式 4-5】 y = cos w x + j 的部分圖像如圖所示，則其單調遞減區間為（ ）
A
1
． + 2k,
7 1 7
+ 2k ÷ , k Z B

． + k, + k ÷ ,k Z
è12 12 è12 12
1 7 1 7C． + 2kπ, + 2kπ

÷ , k Z D． + kπ, + kπ
, k Z
è12 12 12 12 ÷ è
題型五：函數的對稱性（對稱軸、對稱中心）
【典例 5-1】（2024·上海松江·?？寄M預測）已知函數 y = f x 的對稱中心為 0,1 ，若函數 y =1+ sin x的
6
圖象與函數 y = f x 的圖象共有 6 個交點，分別為 x1, y1 ， x2, y2 ，…， x 6 , y 6 ，則 xi + yi =
i=1
__________.
【典例 5-2】寫出函數 f x cos x= 的一個對稱中心： .
1- sin x
【方法技巧】
關于三角函數對稱的幾個重要結論；
p
（1）函數 y = sin x 的對稱軸為 x = kp + (k Z ) ，對稱中心為 (kp .0)(k Z ) ；
2
p
（2）函數 y = cos x 的對稱軸為 x = kp (k Z )，對稱中心為 (kp + ,0)(k Z )；
2
kp
（3）函數 y = tan x 函數無對稱軸，對稱中心為 ( ,0)(k Z ) ；
2
p
（4）求函數 y = Asin(wx + f) + b(w 0) 的對稱軸的方法；令 wx + f = + kp (k Z ) ，得
2
p
+ kp -f
x = 2 (k Z ) ；對稱中心的求取方法；令 wx + f = kp (k Z ) ，得
w
x kp -f= ，即對稱中心為 (kp -f，b)．
w w
p
+ kp -f
（5）求函數 y = Acos(wx + f) + b(w 0) 的對稱軸的方法；令 wx + f = kp (k Z ) 得 x = 2 ，即
w
p
+ kp -f
對稱中心為 ( 2 ,b)(k Z )
w
【變式 5-1】（2024·高三·河南·期末）將函數 f (x) = cos 2x + 3 sin 2x圖象向右平移j (j > 0)個單位，得到的圖
象關于直線 x
π
= 對稱，則j 的最小值為 .
3
【變式 5-2】（2024·河南開封·模擬預測）已知函數 f (x) = 2cos(3x j)
4π
+ 的圖象關于點 ,03 ÷
對稱，那么 j
è
的最小值為 ．
【變式 5-3】（2024·高三·吉林通化·期中）已知三角函數 f x = sin wx +j w > 0,j 0, π ÷ 的圖象關于
è è 2
÷

j,0 π對稱，且其相鄰對稱軸之間的距離為 ，則j = ．
2
π
【變式 5-4】（2024·四川成都·模擬預測）函數 f (x) = a sin x + cos x 的圖象關于直線 x = - 對稱，則a =
6
題型六：函數的定義域、值域（最值）
【典例 6-1】實數 x, y滿足 x 2 - xy + y 2 = 1，則 x + 2y的范圍是___________.
1- sin x
【典例 6-2】求 y = 的值域.
2 - cos x
【方法技巧】
求三角函數的最值，通常要利用正、余弦函數的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處
理．
（1） y = asin x + b，設 t = sin x ，化為一次函數 y = at + b在[-1,1]上的最值求解．
b
（2） y = asin x + bcos x + c ，引入輔助角f(tanf = )，化為 y = a2 + b2 sin(x + f) + c，求解方法同類
a
型（1）
（3） y = asin2 x + bsin x + c ，設 t = sin x ，化為二次函數 y = at2 + bt + c 在閉區間 t [-1,1]上的最值求
解，也可以是 y = a cos2 x + bsin x + c或 y = a cos 2x + bsin x + c型．
（4） y = asin xcos x + b(sin x ± cos x) + c ，設 t = sin x ± cos x，則 t2 = 1± 2sin xcos x ，故
t2 -1 t2sin xcos x = ± ，故原函數化為二次函數 y = a × ( -1± ) + bt + c 在閉區間[- 2, 2]上的最值求解．
2 2
（5） y asin x + b asin x + b= 與 y = ，根據正弦函數的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式
csin x + d ccos x + d
法求最值，更可用數形結合法求最值．這里需要注意的是化為關于 sin x 或 cos x的函數求解釋務必注意
sin x 或 cos x的范圍．
（6）導數法
（7）權方和不等式
【變式 6-1】設a>0，則 f x = 2a sinx + cosx - sinx × cosx - 2a 2 的最小值為__________.
【變式 6-2】（2024·上海崇明·二模）已知實數 x1, x2 , y1, y2 滿足： x21 + y21 =1, x2 22 + y2 =1, x1 y2 - y1x2 =1，則
x1 + y1 - 2 + x2 + y2 - 2 的最大值是 ．
1
【變式 6-3】已知函數 f (x) = sin2xcos x，該函數的最大值為__________．
2
é π 7π ù
【變式 6-4 2】函數 y = 3- sinx - 2cos x, x ê , ú 的值域為 . 6 6
π π
6-5 y = 1+ 2sinx 1+ 2cosx é- , ù【變式 】函數 在區間 ê ú 上的最大值與最小值之和是 . 4 6
【變式 6-6】（2024·江蘇蘇州·高三統考開學考試）設角a 、 b 均為銳角，則 s in a + s in b + co s a + b 的
范圍是______________．
r r r r
【變式 6-7】已知向量 a = (sin x,cos x),b = (sin x, 3 sin x) ，函數 f (x) = a ×b .
π
(1)求 f ；
è12 ÷
π
f (x) π g(x) é ù(2)若把 的圖象向右平移 個單位長度可得 的圖象，求 g(x)在 ê0, ú 上的值域.6 8
【變式 6-8】函數 f (x)
sin x cos x
= 的值域為_____________．
1+ sin x + cos x
題型七：三角函數性質的綜合應用

【典例 7-1】（多選題）（2024·貴州六盤水·三模）已知函數 f x = sin wx +j w 0, |j |
π
> < ÷，若函數 f (x)
è 2
π π
圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為 ， x = - 為函數 y = f (x) 圖象的一條對稱軸，則（　?。?br/>2 6
A．w = 2
j πB． = -
6
π
C．點 ,0

÷是函數 f (x) 圖象的對稱中心
è 3
π
D．將函數 f (x) 的圖象向左平移 個單位長度后所得函數的圖象關于 y 軸對稱
3
【典例 7-2】（多選題）（2024·安徽·三模）已知函數 f x = sin x - 3 cos x ，則（ ）
A． f x 是偶函數 B． f x 的最小正周期是 π
C． f x π的值域為 é - 3,2ù D． f x

在 -π,-

2 ÷上單調遞增è
【方法技巧】
三角函數的性質（如奇偶性、周期性、單調性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性．
因為對稱性 奇偶性（若函數圖像關于坐標原點對稱，則函數 f (x) 為奇函數；若函數圖像關于 y 軸
T
對稱，則函數 f (x) 為偶函數）；對稱性 周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是 ；相鄰的對稱中心之
2
T T
間的距離為 ；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為 ）；對稱性 單調性（在相鄰的對稱軸之間，函
2 4
數 f (x) 單調，特殊的，若 f (x) = Asin(wx), A > 0, w > 0 ，函數 f (x) 在[q1,q2 ]上單調，且 0 [q1,q2 ]，設
T
q = max q1 ,q2 ，則 q 深刻體現了三角函數的單調性與周期性、對稱性之間的緊密聯系）4
【變式 7-1】（多選題）（2024·廣東廣州·三模）已知函數 f x = 2 cosx + sinx cosx -1，則（ ）
A． f x f 5π ÷ B． f 1 > f 2
è 8
π
C f + x
π 2024 kπ
． ÷ + f

- x

÷ = 0 D． f ÷ = 3
è 8 è 8 k =1 è 6
【變式 7-2】（多選題）（2024·黑龍江佳木斯·三模）關于函數 f x = cos x + sin 2x 1- ，則下列說法正確是
2
（ ）
é π π ù
A． π是函數 f x 的一個周期 B．在 ê , ú上單調遞減 4 2
3π
C．函數圖像關于直線 x = 對稱 D．當 x -10π,10π 時，函數 f x 有 40 個零點
4
π
【變式 7-3】函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j <

2 ÷的部分圖象如圖所示．è
(1)求函數 f x 的解析式；
(2)將函數 f x π 1的圖象先向右平移 個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的 2 （縱坐標不變），得4
到函數 g x é π π的圖象，求 g x 在 x ê- ,
ù
ú 上的最大值和最小值； 12 6
é π π ù
(3)若關于 x 的方程 g x - m = 0在 x ê- , ú 上有兩個不等實根，求實數m的取值范圍． 12 6
【變式 7-4 2】（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數 f x = 2 3 sin x cos x - 2cos x +1．
x é π , 2π(1) - ù若 ê ú，求 f x 12 3 的值域；
(2)若關于 x 的方程 f x - a = 0有三個連續的實數根x1，x2， x3，且 x1 < x2 < x3， x3 + 2x1 = 3x2 ，求 a
的值．
【變式 7-5】（2024· 2廣東廣州·模擬預測）已知函數 f x = 2sinxcosx - 2 3sin x + 3 .
é π ù
(1)若 x ê0, ú 時，m < f x 恒成立，求實數m的取值范圍； 4
(2) f x 1 π將函數 的圖象的橫坐標縮小為原來的 2 ，縱坐標不變，再將其向右平移 個單位，得到函數6
g x 的圖象.若 x 0, t ，函數 g x 有且僅有 4 個零點，求實數 t 的取值范圍.
題型八：根據條件確定解析式
π
【典例 8-1】（2024·陜西渭南·模擬預測）函數 f x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < ÷ 的圖象如圖所示
è 2
A 5 - ,-2
, B 1÷ , 2

÷ .將 f x 的圖象向右平移 2 個單位長度，得到函數 g x 的圖象，則 g x 的解析式為
è 3 è 3
（ ）
g x = 2sin π x π- A．
è 2 3 ÷
g x 2sin π x πB． = +2 3 ÷è
C g x = -2sin π x π- ． 2 3 ÷è
D． g x = -2sin π x π+ 2 3 ÷è
π
【典例 8-2】（2024·四川攀枝花·二模）函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分圖象如圖所示，
è 2
π
則將 y = f (x) 的圖象向右平移 個單位長度后，得到的函數圖象解析式為（
6 ）
A． y = sin
2x π- 2π ÷ B． y = cos 2x C． y = sin 2x D． y = sin 2x +
è 6 3 ÷ è
【方法技巧】
根據函數必關于 y 軸對稱，在三角函數中聯想到 y = cos wx 的模型，從圖象、對稱軸、對稱中心、最
值點或單調性來求解．
【變式 8-1】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）函數 f x = 2sin wx +j (w > 0,-π < j < π)的部分圖像如圖所示，
把函數 f x π的圖像向右平移 得到 g x ，則 g x 的解析式為（ ）
12
A．-2cos2x B． 2cos2x
2sin 2x π- C． ÷ D． 2sin

2x
π
+
6 6 ÷è è
【變式 8-2】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖所示的曲線為函數
f x = Acos wx p-j A > 0,w > 0, j <
3
2 ÷ 的部分圖象，將
y = f x 圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的
è 2
p
倍，再將所得曲線向左平移 個單位長度，得到函數 y = g x 的圖像，則 g x 的解析式為（ ）
8
A． g x = 2cos 9x p- ÷ B． g x = 2cos
2x p -

è 2 8 ÷ è 8
C． g x = 2sin2x D． g x = 2cos2x
【變式 8-3】（2024·高三·北京東城·開學考試）函數 f (x) = Asin(wx +j ) A > 0,w > 0,|j |
π
<
2 ÷ 的部分圖象如è
圖所示，則函數 y = f (x)
π
的解析式為 ，若將 y = f (x) 的圖象向右平移 個單位后，得到新函數解析式
6
為 .
【變式 8-4】已知函數 f x = 2cos wx +j （w > 0 j π， < ）的部分圖象如圖所示，將函數 f x 圖象上所
2
π
有的點向左平移 個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的 2 倍（縱坐標不變），所得函
12
數圖象的解析式為 ．
【變式 8-5】（2024·河北保定·一模）函數 f x = Asin wx +j ，（ A > 0 ，w > 0，0 < j < π ）的部分圖象如
圖中實線所示，圖中圓 C 與 f x 的圖象交于 M，N 兩點，且 M 在 y 軸上，則下說法正確的是（ ）
A．函數 f x 10的最小正周期是 π
9
B．函數 f x 7π , π在 - - ÷ 上單調遞減
è 12 3
π
C π．函數 f x 的圖象向左平移 個單位后關于直線 x = 4 對稱12
5π
D 3π π ．若圓 C 的半徑為 ，則函數 f x 的解析式為 f x = sin 2x +
12 6 3 ֏
題型九：三角函數圖像變換
π π
【典例 9-1】（2024·高三·廣東湛江·期末）已知函數 f x = 2 2 cos + x ÷cos - x ÷，要得到函數
è 4 è 4
g(x) = sin 2x - 2cos2 x +1的圖象，只需將 f (x) 的圖象（ ）
π 3π
A．向左平移 個單位長度 B．向左平移 個單位長度
8 4
3π 3π
C．向右平移 個單位長度 D．向右平移 個單位長度
4 8
π
【 典 例 9-2 】（ 2024· 全國 · 模擬預測）為了得到函數 f x = sin 2x + ÷的圖象，只需將函數
è 3
g x = cos 2x
π
-
3 ÷
的圖象（ ）
è
π π
A．向左平移 個單位長度 B．向右平移 個單位長度
12 12
π π
C．向左平移 個單位長度 D．向右平移 個單位長度
3 3
【方法技巧】
由函數 y = sin x 的圖像變換為函數 y = Asin(wx + f) + b(A, w > 0) 的圖像．
方法： (x x + f wx + f) 先相位變換，后周期變換，再振幅變換．
F
F F > 0 向左平移 個單位（F > 0）y = sin x 向左平移 個單位（ ）的圖像 y = sin(x + f) 的圖像 v
向左平移 F 個單位（F < 0） F
向左平移 個單位（F < 0）
v
y sin(wx f) 所有點的縱坐標變為原來的A倍= + 的圖像
橫坐標不變
y = Asin(wx + f) 向上平移b個單位（b > 0）的圖像 y = Asin(wx + f) + b
向下平移 b 個單位（b < 0）
9-1 y = sin 2x
π
- 【變式 】為了得到函數 ÷的圖象，只需把函數 y = sin

x
π
-
3 ÷的圖象上所有的點的（3 ）è è
A．橫坐標伸長到原來的 2 倍，縱坐標不變
B 1．橫坐標縮短到原來的 2 倍，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的 2 倍，橫坐標不變
D 1．縱坐標縮短到原來的 2 倍，橫坐標不變
3π
【變式 9-2】（2024· 2全國·模擬預測）已知函數 f x = 2sinwx coswx + 2sin wx -1 w > 0 ，直線 x = 和
8
x 7π= 為函數 y = f x 圖象的兩條相鄰對稱軸，為了得到函數 g x = - 2 cos 2wx 2p 8 - ÷的圖象，則將函數è 3
y = f x 的圖象至少（ ）
13π 13p
A．向左平移 個單位長度 B．向左平移 個單位長度
24 48
13π 13p
C．向左平移 個單位長度 D．向左平移 個單位長度
12 36
π
【變式 9-3】將函數 y = sin 2x + ÷ 的圖象平移后所得的圖象對應的函數為 y = cos 2x，則進行的平移是
è 3
（ ）
π π π
A．向左平移 個單位 B．向右平移 個單位 C．向右平移 個單位 D．向左平移
12 6 12
π
個單位
6
C : y sin π 2x ,C : y cos 5π 【變式 9-4】（2024·安徽合肥·模擬預測）已知曲線 1 = + ÷ 2 = -2
- 3x
6 ÷
，則下面結論
è è
正確的是（ ）
3 π
A．把 C1上各點的橫坐標伸長到原來的 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 個單位長2 6
度，得到曲線 C2
3 π
B．把 C1上各點的橫坐標伸長到原來的 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移18 個單位長2
度，得到曲線 C2
π
C 2．把 C1上各點的橫坐標縮短到原來的 3 ，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移 個單位長度18
C2
D 2
π
．把 C1上各點的橫坐標縮短到原來的 3 ，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 個單位長度，6
得到曲線 C2
題型十：三角函數實際應用問題
【典例 10-1】已知大屏幕下端 B 離地面 3.5 米，大屏幕高 3 米，若某位觀眾眼睛離地面 1.5 米，則這位觀
眾在距離大屏幕所在的平面多遠，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值）
米．
【典例 10-2】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里
慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為 120m，轉盤直徑為 110m，設
置 48 個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近位置進倉，轉一周大約需要
30min．某游客坐上摩天輪的座艙 10min 后距離地面高度約為（ ）
55 3
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． + 65 m
è 2
÷÷

【方法技巧】
（1）研究 y = Asin(wx + j) 的性質時可將wx + j 視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題．
（2）方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數．
（3）三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題抽象轉
化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題．
【變式 10-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉動．設筒車上的某個盛水筒W 到水面
的距離為d （單位：米）（在水面下，則d 為負數）．若以盛水筒W 剛浮出水面時開始計算時間，d 與時間
π
t （單位：分鐘）之間的關系為 d = 4sin 2t - ÷ + 2．某時刻 t0 （單位：分鐘）時，盛水筒W 在過點O（O
è 6
π
為筒車的軸心）的豎直直線的左側，且到水面的距離為 5 米，則再經過 分鐘后，盛水筒W （
6 ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好開始入水 D．恰好開始出水
【變式 10-2】摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從
高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置有 48 個座艙，
開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30min .
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動 tmin 后距離地面的高度為Hm，求在轉動一周的過程中，H 關
于 t 的函數解析式；
(2)求游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度；
(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差 h （單
位：m）關于 t 的函數解析式，并求高度差的最大值（精確到 0.1）.
（參考公式與數據： sinq + sinj = 2sin
q +j cos q -j ； cosq cosj
q +j q -j
- = -2sin sin ；
2 2 2 2
sin π 0.065 .）
48
【變式 10-3】某興趣小組對小球在堅直平面內的勻速圓周運動進行研究，將圓形軌道裝置放在如圖 1 所示
的平面直角坐標系中，此裝置的圓心O距離地面高度為 2m，半徑為 3m ，裝置上有一小球 P （視為質點），
P 的初始位置在圓形軌道的最高處，開啟裝置后小球 P 按逆時針勻速旋轉，轉一周需要6min ．小球 P 距離
地面的高度 H （單位：m）與時間 t （單位：min ）的關系滿足 H = rsin wt +j + h(r > 0,w > 0,0 j < 2π)．
(1)寫出H 關于 t 的函數解析式，并求裝置啟動1min 后小球 P 距離地面的高度；
(2)如圖 2，小球Q（視為質點）在半徑為1m的另一圓形軌道裝置上，兩圓形軌道為同心圓，Q的初始
π
位置在圓形軌道的最右側，開啟裝置后小球Q以角速度為 rad / min 順時針勻速旋轉．兩裝置同時啟動，
3
求P,Q 兩球高度差的最大值．
【變式 10-4】（2024·廣東珠?！つM預測）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座
艙里慢慢的往上轉，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖 1）．某摩天輪的最高點距離地面的高度為 90 米，
最低點距離地面 10 米，摩天輪上均勻設置了 36 個座艙（如圖 2）．開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉動，
游客在座艙離地面最近時的位置進入座艙，摩天輪轉完一周后在相同的位置離開座艙．摩天輪轉一周需要
30 分鐘，當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．
(1)經過 t 分鐘后游客甲距離地面的高度為 H 米，已知 H 關于 t 的函數關系式滿足
H t = Asin wt +j + B （其中 A > 0 ，w > 0），求摩天輪轉動一周的解析式 H t ；
(2)游客甲坐上摩天輪后多長時間，首次距離地面的高度恰好為 30 米？
f x π= sin3 wx + 1．（2024 年天津高考數學真題）已知函數 ÷ w > 0 的最小正周期為 π．則 f x 在
è 3
é π π
ê- ,
ù
12 6 ú 的最小值是（ ）
3 3
A 3． - B．- C．0 D．
2 2 2
2．（2024 年北京高考數學真題）設函數 f x = sinwx w > 0 .已知 f x1 = -1， f x2 =1，且 x1 - x2
π
的最小值為 ，則w =（
2 ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）當 x [0, 2p ]時，曲線 y = sin x 與 y = 2sin 3x
p
-

6 ÷的交點個數為è
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2023 年天津高考數學真題）已知函數 y = f x 的圖象關于直線 x = 2對稱，且 f x 的一個周期為
4，則 f x 的解析式可以是（ ）
A． sin
p
x
p
÷ B． cos

x

è 2 ÷ è 2
sin p x C． ÷ D． cos
p x
4 4 ÷è è
5．（多選題）（2024 年新課標全國Ⅱ卷數學真題）對于函數 f (x) = sin 2x 和 g(x) = sin(2x
π
- )，下列說
4
法中正確的有（ ）
A． f (x) 與 g(x)有相同的零點 B． f (x) 與 g(x)有相同的最大值
C． f (x) 與 g(x)有相同的最小正周期D． f (x) 與 g(x)的圖象有相同的對稱軸
1．已知周期函數 y = f (x) 的圖象如圖所示，
（1）求函數的周期；
（2）畫出函數 y = f (x +1)的圖象；
（3）寫出函數 y = f (x) 的解析式.
2．在直角坐標系中，已知eO 是以原點 O 為圓心，半徑長為 2 的圓，角 x（rad）的終邊與eO 的交點
為 B，求點 B 的縱坐標 y 關于 x 的函數解析式，并畫出其圖象
1 p
3．已知函數 f (x) = sin 2x - ÷ , x R，2 è 3
（1）求 f (x) 的最小正周期；
p p
（2）求 f (x) é ù在區間 ê- ,4 4 ú上的最大值和最小值
.

4．已知函數 y = f (x) 是定義在 R 上周期為 2 的奇函數，若 f (0.5) =1，求 f (1), f (3.5)的值.
5．容易知道，正弦函數 y = sin x 是奇函數，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心，
除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，那么對稱中心的坐標是什么？另外，正弦曲線是軸對
稱圖形嗎？如果是，那么對稱軸的方程是什么？你能用已經學過的正弦函數性質解釋上述現象嗎？對余弦
函數和正切函數，討論上述同樣的問題
6．設函數 f x = sin x + cos x(x R) .
2
（1）求函數 y é p= ùê f x + ÷ 的最小正周期； è 2 ú
2 y = f (x) f x
p
- é
p ù
（ ）求函數 4 ÷ 在 ê
0, ú上的最大值.è 2
易錯點：三角函數圖象變換錯誤
易錯分析： 函數 y = Asin wx +j + k A > 0,w > 0 中，參數 A,w,j,k 的變化引起圖象的變換： A
的變化引起圖象中振幅的變換；w 的變化引起橫向伸縮變換；j 的變化引起左右平移變換； k 的變化引起
上下平移變換．圖象平移遵循的規律為：“左加右減，上加下減”．
【易錯題 1】要得到函數 f x sin 2x 2= -

÷， x R 的圖象，只需將函數 g x = sin 2x， x R 的圖象（3 ）è
π
A．橫坐標向左平移 個單位長度，縱坐標不變
3
π
B．橫坐標向右平移 個單位長度，縱坐標不變
3
1
C．橫坐標向右平移 個單位長度，縱坐標不變
3
1
D．橫坐標向左平移 個單位長度，縱坐標不變
3

【易錯題 2】已知曲線C1 : y = sin 2x
p
+ ÷，C2 : y = cos x ，若想要由C2 得到C1，下列說法正確的是（4 ）è
p
A．把曲線C2 上各點的橫坐標伸長到原來的 2倍（縱坐標不變），再向左平移 個單位8
B．把曲線C
p
2 上各點的橫坐標伸長到原來的 2倍（縱坐標不變），再向右平移 個單位4
p
C 1．把曲線C2 上各點的橫坐標縮短為原來的 2 （縱坐標不變），再向左平移 個單位4
1 pD．把曲線C2 上各點的橫坐標縮短為原來的 2 （縱坐標不變），再向右平移 個單位8
答題模板：求三角函數解析式
1、模板解決思路
求三角函數解析式就是求其中參數 A,w,j ， k 的值，根據各參數的幾何意義，結合所給的圖象，然
后求出各參數的值即可，一般先求 A， k ，然后求w ，最后求j ．
2、模板解決步驟
第一步：求 A， k ，借助函數圖象的最高點、最低點來確定參數 A， k 的值．
第二步：求w ，根據周期公式確定參數w 的值．
第三步：通過代入法求j ．
第四步：確定函數解析式．
【典型例題 1】已知函數 f x = Acos wx +j π（ A > 0 ，w > 0， j < 2 ）的部分圖象如圖所示，則 f x 的
解析式為（ ）
A． f x = cos 2x
π
+ ÷ B． f x = 2cos
π
3
2x + ÷
è è 6
C． f x π π= 2cos 4x -

÷ D． f x = 2cos

3
4x -
6 ÷è è
【典型例題 2】若函數 f x = Asin wx +j 的部分圖象如圖所示，則 f x 的解析式可能是（ ）
A y = 2sin
p p
． x + ÷ B6 ．
y = 2sin x - ÷
è è 6
p p
C y = 2sin x + D ． 3 ÷ ．
y = 2sin x - ÷
è è 3 第 03 講 三角函數的圖象與性質
目錄
01 考情透視·目標導航..........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航..........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究..........................................................................................................................4
知識點 1：用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖 .........................................................................4
知識點 2：正弦、余弦、正切函數的圖象與性質 .............................................................................5
知識點 3： y = Asin(wx + f) 與 y = Acos(wx + f)(A > 0, w > 0) 的圖像與性質 ...........................................7
解題方法總結 ........................................................................................................................................9
題型一：五點作圖法 ..........................................................................................................................10
題型二：函數的奇偶性 ......................................................................................................................15
題型三：函數的周期性 ......................................................................................................................17
題型四：函數的單調性 ......................................................................................................................21
題型五：函數的對稱性（對稱軸、對稱中心） ..............................................................................26
題型六：函數的定義域、值域（最值） ..........................................................................................29
題型七：三角函數性質的綜合應用 ..................................................................................................34
題型八：根據條件確定解析式 ..........................................................................................................41
題型九：三角函數圖像變換 ..............................................................................................................48
題型十：三角函數實際應用問題 ......................................................................................................51
04 真題練習·命題洞見........................................................................................................................58
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................60
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................63
易錯點：三角函數圖象變換錯誤 ......................................................................................................63
答題模板：求三角函數解析式 ..........................................................................................................64
考點要求 考題統計 考情分析
（1）正弦函數、余弦函 2024年天津卷第 7題，5分 本節命題趨勢仍是突出以三角函數的圖像、
數和正切函數的圖像性質 2024年北京卷第 6題，5分 周期性、單調性、奇偶性、對稱性、最值等重點
（2）三角函數圖像的平 2024年 II卷第 9題，6分 內容展開，并結合三角公式、化簡求值、平面向
移與變換 2023年甲卷第 12題，5分 量、解三角形等內容綜合考查，因此復習時要注
（3）三角函數實際應用 2023年天津卷第 5題，5分 重三角知識的工具性，以及三角知識的應用意
問題 2023年 I卷第 15題，5分 識．
復習目標：
（1）理解正、余弦函數在區間[0,2p ]內的性質．理解正切函數在區間 p p - ,

÷內的單調性．
è 2 2
（2）了解函數 y = Asin(wx + j)的物理意義，能畫出 y = Asin(wx + j)的圖像，了解參數 A,w,j對函數圖像的
影響．
（3）了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數，會用三角函數解決一些簡單的實際問題．
知識點 1：用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
（1）在正弦函數 y = sin x ， x [0，2p ] 的圖象中，五個關鍵點是：
(0，0) p，( ，1)，(p ，0)，(3p ，-1)，(2p ，0) ．
2 2
（2）在余弦函數 y = cos x ， x [0，2p ] 的圖象中，五個關鍵點是：
(0，1) p，( ，0)，(p ，-1)，(3p ，0)，(2p ，1) ．
2 2
ur r ur r【診斷自測】已知向量 p = 3,1 ，向量 q = sinx,cosx ，令 f x = p × q．
x 0 2π
f x
(1)化簡 f x ，并在給出的直角坐標系中用描點法畫出函數 y = f x 在 0,2π 內的圖象；
(2)求函數 h x = f 2x , x é π - , π ùê ú的值域． 6 3
ur r
【解析】（1） f x = p ×q = 3,1 × sinx, cosx = 3 sin x + cos x = 2sin π x + ÷，
è 6
π 5π 4π
x 0 11π6 2π3 6 3
f x 1 2 0 -2 0 1
圖像如下圖：
h x f 2x 2sin 2x π x é π , π= = + - ù π é π 5π ù（2） 6 ÷，è ê ，
2x + - ,
6 3 ú 6 ê 6 6 ú
，

h x = 2sin π - ÷ = -1， h x 2sin
π
= = 2 -1,2min è 6 max
，故函數值域為 .
2
知識點 2：正弦、余弦、正切函數的圖象與性質
函數 y = sin x y = cos x y = tan x
圖象
{x| x R x kp p定義域 R R ， + }
2
值域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2p 2p p
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 [2kp
p
- ，2kp p+ ] [-p + 2kp ，2kp ] (kp p p- ，kp + )
2 2 2 2
[2kp p 3p遞減區間 + ，2kp + ] [2kp ，p + 2kp ] 無
2 2
對稱中心 (kp ，0) (kp
p
+ ，0) (kp ，0)
2 2
x kp p對稱軸方程 = + x = kp 無
2
T T
注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是 ；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是 ；
2 2
T
正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離 ；
4
【診斷自測】（多選題）（2024·湖南衡陽·三模）已知函數 f (x) = A tan(wx +j)
w > 0, j π< 2 ÷的部分圖象如è
圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．函數 f (x)
π
的最小正周期為
2
B． sinj 2=
2
f (x) π , π C．函數 在 ÷上單調遞增
è 2
D．方程 f (x) = sin
2x π+ ÷ (0 x π)
3π 7π
的解為 ，
è 4 8 8
【答案】ABD
7π 5π π
【解析】對于 A，由圖可知，函數 f (x) 的最小正周期為T = 2 - =8 8 ÷ 2 ，故 A 正確；è
w π π= = = 2
對于 B，由 T π ，所以 f (x) = A tan(2x +j )，
2
7π 7π
因為 f ÷ = A tan +j ÷ = 0
7π
，則 +j = kπ k Z ，則j = kπ 7π- k Z ，
è 8 è 4 4 4
|j | π π因為 < ，則j = sinj 22 4 ，所以 = ，故 B 正確；2
對于 C， f (x) = A tan
π π 5π π 9π
2x + ÷ ，由 < x < π ，得 < 2x + < ，
è 4 2 4 4 4
π 3π 5π f 5π A tan 3π而 2x + = ，即 x = 時， =

4 2 8 8 ÷ 2 ÷
沒有意義，故 C 錯誤；
è è
π π
對于 D， f (0) = A tan = A =1，則 f (x) = tan 2x + ÷，4 è 4
方程 f (x)
π π π
= sin 2x + tan 4 ÷，得
2x + ÷ = sin 2x +4 4 ÷
，
è è è
sin 2x
π
+
4 ÷è - sin 2x π+ = 0 sin 2x π+ é π ù即 ÷ ，即 ÷ 1- cos 2x + = 0，
cos 2x π+ è 4 è 4
ê
è 4
÷
ú

è 4 ÷

所以 sin 2x
π
+
π
÷ = 0

或 cos 2x + ÷ =1
π π 9π
4 ，因為
0 x π ， 2x + ，
è 4 è 4 4 4
2x π π 2x π 2π x 3π 7π所以 + = 或 + = ，解得 = 或 ，故 D 正確.
4 4 8 8
故選：ABD.
知識點 3： y = Asin(wx + f) 與 y = Acos(wx + f)(A > 0, w > 0) 的圖像與性質
T 2p（1）最小正周期： = ．
w
（2）定義域與值域： y = Asin(wx + f) ， y = Acos(wx + f）的定義域為 R，值域為[-A，A]．
（3）最值
假設 A > 0，w > 0 ．
①對于 y = Asin(wx + f) ，
ì p
當wx + f = + 2kp (k Z)時，函數取得最大值A; 2
í
當wx p+ f = - + 2kp (k Z )時，函數取得最小值 - A;
2
②對于 y = Acos(wx + f），
ì 當wx + f = 2kp (k Z)時，函數取得最大值A;
í
當wx + f = 2kp + p (k Z )時，函數取得最小值 - A;
（4）對稱軸與對稱中心．
假設 A > 0，w > 0 ．
①對于 y = Asin(wx + f) ，
ì p
當wx0 + f = kp + (k Z )，即sin(wx0 + f)
2
í = ±1時，y = sin(wx + f)的對稱軸為x = x0
當wx0 + f = kp (k Z )，即sin(wx 0
+ f) = 0
時，y = sin(wx + f)的對稱中心為(x0 ,0).
②對于 y = Acos(wx + f），
ì當wx0 + f = kp (k Z )，即cos(wx0 + f) = ±1

時，y = cos(wx + f)的對稱軸為x = x 0
í p
當wx0 + f = kp + (k Z )，即cos(wx0 + f)
2
= 0時，y = cos(wx + f)的對稱中心為(x0 ,0).
正、余弦曲線的對稱軸是相應函數取最大（?。┲档奈恢茫?、余弦的對稱中心是相應函數與 x 軸交
點的位置．
（5）單調性．
假設 A > 0，w > 0 ．
①對于 y = Asin(wx + f) ，
ì p
wx + f [- + 2kp ,
p
+ 2kp ](k Z ) 增區間；
2 2
í
wx f [p 3p+ + 2kp , + 2kp ](k Z ) 減區間.
2 2
②對于 y = Acos(wx + f），
ìwx + f [-p + 2kp , 2kp ](k Z ) 增區間；
í
wx + f [2kp , 2kp + p ](k Z ) 減區間.
（6）平移與伸縮
由函數 y = sin x 的圖像變換為函數 y = 2sin(2x p+ ) + 3的圖像的步驟；
3
方法一： (x p p x + 2x + ) ．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們
2 3
“想欺負”（相一期一幅）三角函數圖像，使之變形．
p 1
向左平移 個單位 p 所有點的橫坐標變為原來的
y = sin x的圖像 3 y = sin(x + )的圖像 2
3 縱坐標不變
y p p= sin(2x + )的圖像 所 有 點的 縱坐 標變 為原 來 的2倍 y = 2sin(2x + )的圖像
3 橫坐標不變 3
向 上平 移 3個單 位 y = 2sin(2x p+ ) + 3
3
(x x p p方法二： + 2x + ) ．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．
2 3
1
所有點的橫坐標變為原來的 p向左平移 個單位
y = sin x的圖像 2 y = sin 2x的圖像 6
縱坐標不變
y = sin 2(x p+ ) = sin(2x p+ )的圖像 所 有 點的 縱坐 標變 為原 來 的2倍
6 2 橫坐標不變
y = 2sin(2x p+ )的圖像 向 上平 移 3各單 位 y = 2sin(2x p+ ) + 3
3 3
注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負”），但先伸縮后平移（先周期
后相位）在題目中也經常出現，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量 x 而言的，
即圖像變換要看“變量 x ”發生多大變化，而不是“角 wx + f ”變化多少．
【診斷自測】（多選題）（2024·山東菏澤·模擬預測）已知函數 g(x) = sin(wx +j)(0 < w < 4,0 < j < π)為偶函
數，將 g(x)
1 1
圖象上的所有點向左平移 個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標變為原來的 2 ，得到函數6
f (x) 的圖象，若 f (x)
3
的圖象過點 (0, )，則（ ）
2
A．函數 f (x) 的最小正周期為 1
B．函數 f (x)
1
圖象的一條對稱軸為 x =
12
f (x) (1, 4C．函數 在 )上單調遞減
3
D．函數 f (x) 在 (0, π)上恰有 5 個零點
【答案】AC
【解析】由函數 g(x)
π π
為偶函數，得j = + kπ,k Z，而0 < j < π ，則j = ，
2 2
因此 f (x) = sin(2wx
w π) cos(2wx w+ + = + ) w 3， ，
6 2 6 f (0) = cos =6 2
w 2 w π π
由0 < w < 4，得0 < < ，于是 = ，解得w = π ，則 f (x) = sin(2πx + )，
6 3 6 6 6
f (x) T 2π對于 A，函數 的最小正周期為 = = 1，A 正確；
2π
1
對于 B， f ( ) = cos
π 1
= ±1，函數 f (x) x
1
圖象關于 = 不對稱，B 錯誤；
12 3 2 12
1 x 4 13π 2πx π 17π y = cos x (13π ,17π對于 C，當 < < 時， < + < ，而余弦函數 在 ) 上單調遞減，
3 6 6 6 6 6
4
因此函數 f (x) 在 (1, )上單調遞減，C 正確；
3
對于 D，由 f (x) = 0 2πx
π kπ π , k Z k 1，得 + = + ，解得 x = + ,k Z，
6 2 2 6
k 1
由0 < + < π,k Z，解得 k {0,1,2,3,4,5}，因此函數 f (x) 在 (0, π)上恰有 6 個零點，D 錯誤.
2 6
故選：AC
解題方法總結
1、關于三角函數對稱的幾個重要結論；
p
（1）函數 y = sin x 的對稱軸為 x = kp + (k Z ) ，對稱中心為 (kp .0)(k Z ) ；
2
p
（2）函數 y = cos x 的對稱軸為 x = kp (k Z )，對稱中心為 (kp + ,0)(k Z )；
2
kp
（3）函數 y = tan x 函數無對稱軸，對稱中心為 ( ,0)(k Z ) ；
2
p
（4）求函數 y = Asin(wx + f) + b(w 0) 的對稱軸的方法；令 wx + f = + kp (k Z ) ，得
2
p
+ kp -f
x 2 (k kp -f= Z ) ；對稱中心的求取方法；令 wx + f = kp (k Z ) ，得 x = ，即對稱中心為
w w
(kp -f，b)．
w
p
+ kp -f
（5）求函數 y = Acos(wx + f) + b(w 0) 的對稱軸的方法；令 wx + f = kp (k Z ) 得 x = 2 ，即
w
p
+ kp -f
對稱中心為 ( 2 ,b)(k Z )
w
2、與三角函數的奇偶性相關的結論
p
(1)若 y = Asin(wx +j) 為偶函數，則j = kp + (k Z)；若為奇函數，則j = kp (k Z) .
2
(2)若 y = Acos(wx +j) 為偶函數，則j = kp (k Z) p；若為奇函數，則j = kp + (k Z) .
2
(3)若 y = A tan(wx +j) 為奇函數，則j = kp (k Z) .
題型一：五點作圖法
π
【典例 1-1】已知函數 f x = 2sin 2x - 4 ÷， x R .è
(1)在用“五點法”作函數 y = f x 在區間 0, π 上的圖象時，列表如下：
2x π 7π- π-
4 4 4
x 0 π
f x
將上述表格填寫完整，并在坐標系中畫出函數的圖象；
(2)求函數 f x é π在區間 ê- ,
π ù
ú上的最值以及對應的 x 的值. 4 4
【解析】（1）在用“五點法”作函數 y = f x 在區間 0,π 上的圖象時，列表如下：
2x π π π π 3π 7π- - 0
4 4 2 2 4
π 3π 5π 7π
x 0 π8 8 8 8
f x - 2 0 2 0 -2 - 2
描點，連線，可得圖象如下：
x é π , π ù 2x π é 3π π ù（2）因為 ê- ú，可得 - ê- ， ， 4 4 4 4 4 ú
2x π π- = x π故當 時，即 = 時， f x 24 取最大值4 4 2 = 2 ，2
2x π π π當 - = - 時，即 x = - 時， f x 取最小值 2 -1 = -2 .
4 2 8
【典例 1-2】某同學用“五點法”畫函數 f x = Asin wx +j ， w > 0, j π< 2 ÷在某一個周期內的圖象時，列表è
并填入了部分數據，如下表：
π 5π
x
3 6
wx + j π π 3π0 2π
2 2
Asin wx +j 0 5 -5 0
(1)請將上表數據補充完整，并直接寫出函數 f x 的解析式；
(2)當 x
π
éê- ,0
ù
ú時，求不等式 f x 0的解集． 2
T 5π π π
【解析】（1）由表可知 A = 5, = - = ，
2 6 3 2
T 2π所以 = = πw ，所以
w = 2，
2 π π又 + j
π
= ，所以j = - ，
3 2 6
所以 f x = 5sin 2x
π
-
6 ÷，è
表格如下：
π π 7π 5π 13π
x
12 3 12 6 12
wx + j π π 3π0 2π
2 2
Asin wx +j 0 5 0 -5 0
π
f x 0 sin 2x - （2） ，即 ÷ 0，
è 6
π
所以 2kπ 2x - π + 2kπ
π kπ x 7π，解得 + + kπ ， k Z，
6 12 12
π
又因 x é- ,0ù
π 5π é π 5π ù
ê 2 ú
，所以- x - ，即不等式 f x 0的解集為 ê- , -2 12 2 12 ú
．

【方法技巧】
（1）在正弦函數 y = sin x ， x [0，2p ] 的圖象中，五個關鍵點是：
(0，0) (p， ，1)，(p ，0) (3p， ，-1)，(2p ，0) ．
2 2
（2）在余弦函數 y = cos x ， x [0，2p ] 的圖象中，五個關鍵點是：
(0，1) p，( ，0)，(p ，-1) 3p，( ，0)，(2p ，1) ．
2 2
π
【變式 1-1】（2024·云南曲靖·模擬預測）已知函數 f x = sin 2x - ÷ .
è 6
(1)完善下面的表格并作出函數 f x 在 0,π 上的圖象：
2x π π
11π
- -
6 6 0 π 6
5π
x
6
f x 1
(2)將函數 f x π 1的圖象向右平 個單位后再向上平移 1 個單位得到 g x 的圖象，解不等式 g x .
3 2
【解析】（1）表格如下：
2x π π
π π 11π- -
6 6 0 2 3π 6
2
x π0 π 7π 5π π
12 3 12 6

f x 1 0 1 0 1
- -1 -
2 2
函數 f x 在 0,π 上的圖象如下：
π
（2）將函數 f x 的圖象向右平 個單位后再向上平移 1 個單位得到 g x 的圖象，
3
g x sin é2 x π π ù 1 sin 2x 5π 則 = ê - 3 ÷ -è 6 ú
+ = - ÷，
è 6
g x 1所以 ，即 sin 2x
5π 1
- ，
2 è 6 ÷ 2
則 2kπ+
π
2x 5π- 2kπ 5π+ , k Z，
6 6 6
π 5π
得 kπ+ x kπ + , k Z，
2 6
ì π 5π ü
所以不等式 g x 1 的解集為 x kπ+ x kπ + , k Z .
2 í 2 6
π
【變式 1-2】設函數 f x = 2sin x
π
+
6 3 ÷
.
è
(1)列表并畫出 y = f x ， x -2,10 的圖象；
(2)求函數 g x = f 1+ x + f 4 - x 在區間 0,6 上的值域.
【解析】（1）
列表：
π x π π 3π+ 0 π 2π
6 3 2 2
x -2 1 4 7 10
y 0 2 0 -2 0
作圖：
（2）由已知 g x = f 1+ x + f 4 - x = 2sin π π π x + ÷ + 2sin

π - x

÷
è 6 2 è 6
2cos π= x + 2sin π x π= 2 2 sin x
π
+ ，
6 6 ֏ 6 4
π π x π 5π由已知 + ，
4 6 4 4
∴ 2- sin π π
2
x + ÷ 1，
è 6 4
∴ -2≤ g x ≤ 2 2 ，
∴函數 g x = f 1+ x + f 4 - x 在區間 0,6 上的值域是 é-2,2 2ù .
題型二：函數的奇偶性
【典例 2-1】若將函數 y = sin 2x + cos 2x 的圖象向右平移j(j > 0) 個單位長度后得到函數 f (x) 的圖象，且
f x 為奇函數，則j 的最小值是（ ）
π 3π π
A π． B． C． D．
2 8 4 8
【答案】D
【解析】因為 y = sin 2x + cos 2x = 2 sin
2x π+ 4 ÷，è
f x = 2 sin é則 2 x -j π+ ù
ê 4 ú
，

因為 f x 為奇函數，所以 f x = - f -x ，
2 sin é所以 ê2 x -j
π
+ ùú = - 2 sin
é
ê2 -x -j
π
+ ù
4
，
4 ú
即 sin
π π
2x - 2j + ÷ = -sin -2x - 2j +

÷ = sin
2x π + 2j -

4 ÷
，
è è 4 è 4
π
所以 2j - = kπ,k Z，j(j > 0) ，
4
1
所以j = kπ
1
+ π,k Z，
2 8
π
所以j 最小值為 8 ，
故選：D
π
【典例 2-2】（2024·重慶·模擬預測）將函數 f x = sin 2x - ÷的圖象向右平移j j > 0 個單位后，所得圖
è 3
象關于坐標原點對稱，則j 的值可以為（ ）
2π π π π
A． B． C． D．
3 3 6 4
【答案】B
【解析】因為 f x 向右平移j 個單位后解析式為 y=sin 2x π- 2j - ÷，
è 3
又圖象關于原點對稱，
2j π\ + = kπ，k Z π kπ，\j = - + ,k Z，Qj > 0，\k =1時，j
π
= ，
3 6 2 3
故選：B.
【方法技巧】
由 y = sin x 是奇函數和 y = cos x 是偶函數可拓展得到關于三角函數奇偶性的重要結論：
（1）若 y = Asin(x + f) 為奇函數，則f = kp (k Z )；
（2）若 y = Asin(x + f) 為偶函數，則f = kp p+ (k Z ) ；
2
p
（3）若 y = Acos(x + f) 為奇函數，則f = kp + (k Z ) ；
2
（4）若 y = Acos(x + f) 為偶函數，則f = kp (k Z )；
kp
若 y = A tan(x + f) 為奇函數，則f = (k Z ) ，該函數不可能為偶函數．
2
π
【變式 2-1】（2024·青海西寧·二模）將函數 y = 3sin 3x +j 的圖象向右平移 個單位長度，得到的函數圖
9
象關于 y 軸對稱，則 j 的最小值為（ ）
π 7π 11π 5π
A． B． C． D．
6 18 18 6
【答案】A
π
【解析】函數 y = 3sin 3x +j 的圖象向右平移 個單位長度得
9
y 3sin é= 3 x π ù- +j = 3sin π ê 9 ÷ ú
3x - +j ÷，
è è 3
又 y = 3sin

3x
π
- +j π π÷的圖象關于 y 軸對稱，所以- +j = + kπ k Z 3 ，è 3 2
j 5π kπ k Z k 1 j π解得 = + ，當 = - 時， 取得最小值 ．
6 6
故選：A．
【變式 2-2】（2024·四川成都·一模）已知函數 f x x R 滿足： f x = 2 - f -x ，函數
2x3g x = f x + ，若 g a = 2，則 g -a = （ ）
cosx + 2
A．-2 B．0 C．1 D．4
【答案】B
【解析】依題意 f x = 2 - f -x , f x + f -x = 2 ，
3
g x g x f x 2x f 2x
3
所以 + - = + + -x - = 2
cosx + 2 cosx + 2
所以 g a + g -a = 2, g -a = 2 - g a = 2 - 2 = 0 .
故選：B
2
【變式 2-3】已知 f x = ln x2 +1 - x + x2 tan x 1+ x ，則 f lg 2 + f lg ÷÷ = （2 1 2 ）- è
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
2 2 1
【解析】 f x = ln x +1 - x + x tanx + 2x ，則-1
f x + f -x = ln x2 +1 - x + x2 tan x 1+ x + ln x2 1 1+ + x - x2 tan x +2 -1 2- x -1
ln1 1 1 1 2
x 1- 2x
= + x + - x = x + x = x = -1 .2 -1 2 -1 2 -1 1- 2 2 -1
故 f lg 2 + f lg
2
÷÷ = f lg 2 + f - lg 2 = -1 .
è 2
故選：A
題型三：函數的周期性
【典例 3-1】（2024·江西·南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）將函數 f (x) = cos2x的圖象向右平移
j π 0 < j < 2 ÷ 個單位長度后得到函數
g(x)的圖象，若對滿足 f x1 - g x2 = 2的 x1, x2 ，總有 x1 - x 2 的最小è
π
值等于 ，則j=（ ）
6
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
【答案】C
【解析】函數 f (x) = cos2x的周期為 π，

將函數的圖象向右平移j 0 < j
π
< ÷個單位長度后得到函數 g(x)的圖象，
è 2
可得 g(x) = cos(2x - 2j )，
由 f x1 - g x2 = 2
π
可知，兩個函數的最大值與最小值的差為 2，且 x1 - x2 =min ，6
π
不妨設 x1 =0，則 x2 = ± ，即 g(x)
π
在 x2 = ± 時取得最小值，6 6
由于 cos
π π
2 - 2j ÷ = -1，此時j = - -kπ,k
é π
Z ，不合題意； cos ê2 - ÷ - 2j
ù
= -1
6 ，此時è 3 ú è 6
j 2= - π - kπ,k Z，
3
當k =-1時，j π= 滿足題意.
3
故選：C.
【典例 3-2】函數 f (x) =| sin x | + | cos x |的最小正周期為（ ）
3π π π
A． π B． C． D．
2 2 4
【答案】C
f (x) | sin x | | cos x | (| sin x | | cos x |)2 1-cos4x【解析】 = + = + = 1+ sin 2x = 1+ ，
2
2π π
所以 f (x)的最小正周期T = = ．
4 2
故選：C．
【方法技巧】
關于三角函數周期的幾個重要結論：
2p p
（1）函數 y = Asin(wx + f) + b, y = Acos(wx + f) + b, y = A tan(wx + f) + b 的周期分別為T = ，T = ．
w w
（2）函數 y = Asin(wx + f) , y = Acos(wx + f) ， y = A tan(wx + f) 的周期均為T p=
w
（3）函數 y = Asin(wx 2p+ f) + b (b 0), y = Acos(wx + f) + b (b 0)的周期均T = ．
w
3-1 f n 2sin nπ π= + +1 n N*【變式 】已知函數 ÷ ，則 f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2025 =（　　）
è 2 4
A．2025 B． 2025 + 2
C． 2026 + 2 D． 2026 2
【答案】B
nπ π
【解析】由 f n = 2sin + ÷ +12 4 n N
*
è
mπ π
得 f 4k + m = 2sin 2kπ + + ÷ +1 = 2sin
mπ π+ +1, k，m N
*
，
è 2 4 è 2 4 ÷


f 1 π π+ f 2 + f 3 + f 4 = 2sin + + 2sin 2π π 2sin 3π π 2sin 4π π+ + + + + 所以 2 4 ÷ 2 4 ÷ 2 4 ÷ 2 4 ÷ + 4 = 4，è è è è
f 1 f 2 f 3 L f 2025 4 2024 2sin 2025π π所以 + + + + = + +

÷ +1 = 2025 + 24 è 2 4
故選：B.
【變式 3-2】已知函數 f ( x ) = cos w x (sin w x + 3 cos w x ) (w > 0) ，如果存在實數 x 0 ，使得對任意的實數 x ，
都有 f (x0 ) f (x) f (x0 + 2016p ) 成立，則w 的最小值為
1 1 1 1
A． B． C． D．
4032p 2016p 4032 2016
【答案】C
【解析】 p 3因為 f ( x ) = cos w x (sin w x + 3 cos w x ) (w > 0) = sin 2w x +

÷ + ，設 f x 的最小正周期為
è 3 2
T T 1 1，則 2016p ,\w ，所以w 的最小值為 ，故選 C.2 4032 4032
【變式 3-3 π π】設函數 f (x) = Acos(wx + j) （ A，w ，j 是常數， A > 0 ，w > 0 ）．若 f (x) 在區間
é ù
ê , 4 2 ú
上

π 2π π
具有單調性，且 f = f = - f 2 ÷ 3 ÷ ÷
，則 f (x) 的最小正周期為_______．
è è è 4
5p 5
【答案】 / p
6 6
【解析】 f (x) π π π π π π π在區間 éê ,
ù 上具有單調性，區間 é , ùú ê ú 的長度為 - = ， 4 2 4 2 2 4 4
é π 2π ù 2π π π π區間 ê , 的長度為 - = < ， 2 3 ú 3 2 6 4
f π f 2π由于 = ÷ ÷ = - f
π
2 3 ÷
，
è è è 4
π 2π π π+ ÷ 3π
所以 f x 的一條對稱軸為 +2 3 7π ，其相鄰一個對稱中心為 4 2 ，即 ，x ,0÷ ,0= = ÷
2 12 2 ÷ è 8
è
T 7π 3π 5π 5π
所以 = - = ,T = .
4 12 8 24 6
5π
故答案為：
6
1
【變式 3-4】（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數 f x = sin wx +j ，如圖 A, B是直線 y = 與曲線
2
y π= f x AB = , f 13π 5π 的兩個交點， ÷ = -1，則 f6 24 6 ÷ =（ ）è è
A 0 B 1 C 3 D 3． ． 2 ． ． -2 2
【答案】C
A x , 1 , B x , 1 AB π x x π【解析】設 1 ÷ 2 ÷ ，由 = 可得
è 2 è 2 6 2
- 1 = ，6
由 sin x
1 π
= 可知， x = + 2kπ 或 x
5π
= + 2kπ， k Z，由圖可知，
2 6 6
0 wx j 5 π 2π 2π當w > 時， 2 + - wx1 +j = π - = ，即w x2 - x1 = ，\w = 4 ；6 6 3 3
當w < 0 時，wx1 +j - wx
5 π 2π 2π
2 +j = π - = ，即w x1 - x2 = ，\w = -4；6 6 3 3
綜上：w = ±4 ；
因為同一圖象對應的解析式是一樣的，所以此時不妨設ω = 4，則 f x = sin 4x +j ，
f 13π 13π 因為 24 ÷
= sin +j ÷ = -1，
è è 6
13π
則 +j = 2kπ
3π
+ , k 2π Z，解得j = - + 2kπ,k Z，
6 2 3
2π 2
所以 f (x) = sin 4x - + 2kπ ÷ = sin3
4x - π
3 ÷
，
è è
f 5π sin 10π 2 2π 2π 3\ ÷ = - π
= sin 2π + = sin = ．
è 6 è 3 3 ÷ ÷ è 3 3 2
故選：C.
【變式 3-5】（2024·遼寧·二模）A，B，C 是直線 y = m與函數 f (x) = 2sin(wx +j) （w > 0，0 < j < π ）的圖
π π
象的三個交點，如圖所示．其中，點 A(0, 2)，B，C 兩點的橫坐標分別為 x1, x2 ，若 x2 - x1 = ，則 f ( ) =4 2
（ ）
A．- 2 B．-1 C． 2 D．2
【答案】A
【解析】由 f (0) = 2sinj = 2 ，可得 sinj 2= ，
2
因為0 < j < π ，且點 A 在 f x 3π圖像的下降部分，所以j = ，
4
故 f (x) = 2sin(wx
3π
+ )，
4
因為 A(0, 2)，所以 A, B,C 是直線 y = 2 與 f x 的圖像的三個連續的交點；
x = 0 wx 3π 3π由A 點橫坐標 A ，即 A + = ，解得wx
3π 9π
1 + = ，wx
3π 11π
+ = ，
4 4 4 4 2 4 4
3π 2π π
解得 x1 = ， x2 = ，所以 x2 - x1 = ．2w w 2w
x x π π π 3π因為 2 - 1 = ，所以 = ，所以w = 2，所以 f (x) = 2sin(2x + )，4 2w 4 4
f (π) 2sin(π 3π則 = + ) = -2sin
3π
= - 2 ．
2 4 4
故選：A．
題型四：函數的單調性
2π
【典例 4-1】（2024·全國·二模）已知函數 f x = cos - 2x
2π
÷， x
é
ê- ,
π ù
ú ，則函數 f x 的單調遞減區è 3 3 3
間為 .
é 2π π ù
【答案】 ê- ,- 3 6 ú
2π
【解析】由題意知， f (x) = cos( - 2x) = cos(2x
2π
- )
3 3 ，
由 2kπ 2x
2π
- 2kπ π, k Z π+ ，得 kπ+ x kπ
5π
+ ,k Z ，
3 3 6
令 k 1
2π x π π 5π= - ，得- - ，令 k = 0，則 x ，
3 6 3 6
即函數 f (x)
2π π
的單調遞減區間為 [- ,- ]3 6 .
2π
故答案為： [- ,
π
- ]
3 6
【典例 4-2】（2024· 2高三·山東青島·期末）函數 f x = cos x + sin x cos x 的單調減區間為 ．
é π 5π ù
【答案】 êkπ + , kπ + ,k Z； 8 8 ú
【解析】因為 f x = cos2 x + sin x cos x 1+ cos 2x 1 2= + sin 2x = sin π 1
2 2 2
2x + ÷ + ，
è 4 2
π +2kπ 2x π 3π則函數的單調減區間為: + +2kπ, k Z，
2 4 2
π 5π
解得： +kπ x +kπ,k Z .
8 8
é π 5π ù
故答案為： êkπ + , kπ + ,k Z . 8 8 ú
【方法技巧】
三角函數的單調性，需將函數 y = Asin(wx + f) 看成由一次函數和正弦函數組成的復合函數，利用復合
函數單調區間的單調方法轉化為解一元一次不等式．
如函數 y = Asin(wx + f)(A > 0, w > 0) 的單調區間的確定基本思想是吧 wx + f 看做是一個整體，
如由 2kp p wx f 2kx p- + + (k Z ) 解出 x 的范圍，所得區間即為增區間；
2 2
由 2kp p+ wx + f 2kx 3p+ (k Z ) 解出 x 的范圍，所得區間即為減區間．
2 2
若函數 y = Asin(wx + f) 中 A > 0, w > 0 ，可用誘導公式將函數變為 y = -Asin(-wx -f) ，則
y = Asin(-wx -f) 的增區間為原函數的減區間，減區間為原函數的的增區間．
對于函數 y = Acos(wx + f), y = A tan(wx + f) 的單調性的討論與以上類似處理即可．
【變式 4-1】函數 f x = sin2x + 2cosx在 0, π 上的單調遞減區間為 .
π 5π
【答案】 , ÷
è 6 6
【解析】由題意知， f x = 2cos2x - 2sinx = 2 1- 2sin2x - 2sinx < 0 .
即 2sin2x + sinx -1> 0 ， 2sin x -1 sin x +1 > 0，因為 sin x > 0，所以 sin x 1> ，2
所以在 0, π π x 5π中， < < ，
6 6
所以 f x = sin2x + 2cosx在 0, π π 5π 上的單調遞減區間為 ,6 6 ÷ .è
π , 5π 故答案為： 6 6 ÷è
【變式 4-2】（2024·湖北·二模）將函數 y = sin
x π +
1
÷的圖象上每一點的橫坐標變為原來的 2 （縱坐標不è 6
5π
變），再向右平移 個單位長度，所得圖象對應的函數（ ）
12
é π ù é π 7πA ù．在區間 ê- ,0ú 上單調遞減 B．在區間 ê ,10 12 ú 上單調遞增 2
é π π ù é π π ù
C．在區間 ê- , ú 上單測遞減 D．在區間 - , 上單調遞增 6 3 ê 6 3 ú
【答案】B
【解析】函數 y
π
= sin x + 1 π 6 ÷
的圖象上每一點的橫坐標變為原來的 得 y = sin 2x + ÷ ，
è 2 è 6
5π é 5π π ù 2π
再向右平移 個單位長度得 y = sin 2 x - + = sin 2x - ，
12 ê ÷ ú ÷ è 12 6 è 3
y 2π即 = sin

2x -

3 ÷
，
è
π 2π
由 2kπ - 2x - 2kπ
π ékπ π 7π+ ， k Z得增區間為 + ,kπ + ù
2 3 2 ê 12 12 ú
， k Z．

é π , 7π ù é π , 7π ù é π , 7π ù當 k = 0時，一個增區間為 ê 12 12 ú，而 ê10 12 ú ê12 12 ú ，所以 B 正確.
故選：B

【變式 4-3】（2024·湖南長沙·二模）已知函數 f x = tan wx +j w > 0,0 j
π
< < ÷的最小正周期為 2π，直
è 2
x π線 = 是 f x 3 圖象的一條對稱軸，則 f x 的單調遞減區間為（ ）
2kπ πA． - , 2kπ
5π
+ ùú k Z è 6 6
5π 2π ù
B． 2kπ - , 2kπ -
è 3 3 ú
k Z
2kπ 4π- , 2kπ π- ùC． k Z
è 3 3 ú
π
D． 2kπ - , 2kπ
2π
+ ù
è 3 3 ú
k Z
【答案】B
【解析】由于 f x = tan wx +j w > 0,0
π
< j < ÷的圖象是將 y = tan wx +j 的圖象在 x 軸下方部分
è 2
翻折到 x 軸上方，
π
且 y = tan wx +j w > 0,0 < j < ÷僅有單調遞增區間，
è 2
故 f x = tan wx +j 和 y = tan wx +j 的最小正周期相同，均為 2π，
π 2π, w 1
1
則 = \ = ，即 f x = tan x +j

÷ ，w 2 è 2
π 1 π 1
又直線 x = 3 是
f x 圖象的一條對稱軸，則 × +j = kπ,k Z，
2 3 2
j 1即 = kπ
π
- ,k Z π ，結合 0 < j
π
< ，得j =
2 6 2
，
3
1 π π 1 π 5π 2π
故 f x = tan x + ÷ ，令 kπ - < x + kπ,k Z，則 2kπ - < x 2kπ - , k Z，
è 2 3 2 2 3 3 3
即 f x 5π的單調遞減區間為 2kπ - , 2kπ
2π
- ùú k Z ，è 3 3
故選：B
【變式 4-4】已知函數 f x = Acos wx +j A > 0,w
p
> 0,|j |< ÷，若函數 f x
p
2 的圖象向左平移 個單位è 6
長度后得到的函數的部分圖象如圖所示，則不等式 f x -1的解集為（ ）
7p p
A é． ê- + kp , + kp
ù k Z
12 4 ú
é p 7pB ù． ê- + 2kp , + 2kp ú k Z 3 12
é p kp , 5pC． - + + kp ù k Z
ê 4 12 ú
é p pD ù． ê- + kp , + kp k Z 3 12 ú
【答案】C
p
【解析】設函數 f x 的圖象向左平移 單位長度后得到的函數圖象對應的函數為 g x ，由圖可知
6
A 2 p p= ，函數 g x 的圖象的最小正周期為 4 +6 12 ÷ = p ，è
所以w
2p
= = 2，
p
所以 g x = 2 co s 2 x + j ，
g π- 2 cos 2p= - +j 2p由 12 ÷ ，得 ÷
=1，- +j = 2kp ， k Z，
è è 12 12
p p
所以j = + 2kp ， k Z，取k=0，得j = ，
6 6
所以 g x = 2cos 2x
p
+ é÷，所以 f (x) = 2 cos ê2
x p- p ù ÷ + ú = 2 cos

2x
p
- ÷，
è 6 è 6 6 è 6
p
所以由 f x -1，得 2 cos
2x - ÷ -1，即 cos
p 1
6
2x -
6 ÷
-
2 ，è è
2p p 2p p 5p
所以- + 2kp 2x - + 2kp ， k Z，即- + kp x + kp ， k Z，
3 6 3 4 12
é p 5p ù
所以不等式 f x -1的解集為 ê- + kp , + kp4 12 ú （ k Z），
故選：C
【變式 4-5】 y = cos w x + j 的部分圖像如圖所示，則其單調遞減區間為（ ）
1A． + 2k,
7 2k 1 7+
12 12 ÷
, k Z B． + k, + k ÷ ,k Z
è è12 12
1C． + 2kπ,
7
+ 2kπ ÷ , k
1 7
Z
12 12 D．
+ kπ, + kπ
12 12 ÷
, k Z
è è
【答案】B
T 1 1 1
【解析】由圖可得 = - - ÷ =2 3 6 2 ，即T=1，è
1 1 1 1- +
結合圖象可得到在區間 - ,6 3 ÷中， A 為最高點，對應的橫坐標為 6 3 1è = ，2 12
y 1 T 7軸右側第一個最低點為 B ，對應的橫坐標為 + = ，
3 4 12
1 k, 7 故函數的單調遞減區間為 + + k ,k Z
è12 12 ÷
故選：B
題型五：函數的對稱性（對稱軸、對稱中心）
【典例 5-1】（2024·上海松江·?？寄M預測）已知函數 y = f x 的對稱中心為 0,1 ，若函數 y =1+ sin x的
6
圖象與函數 y = f x 的圖象共有 6 個交點，分別為 x x , y1, y1 ， x2, y2 ，…， 6 6 ，則 xi + yi =
i=1
__________.
【答案】6
【解析】顯然函數 y =1+ sin x的圖象關于點 0,1 成中心對稱，
依題意，函數 y =1+ sin x的圖象與函數 y = f x 的圖象的交點關于點 0,1 成中心對稱，
6 6 6
于是 xi = 0, yi = 6，所以 xi + yi = 6 .
i=1 i=1 i=1
故答案為：6
【典例 5-2】寫出函數 f x cos x= 的一個對稱中心： .
1- sin x
π
【答案】 ,0÷
è 2
cos2 x - sin2 x cos x + sin x
【解析】 f (x)
cos x
= = 2 2 = 2 2
1- sin x sin x x
2
- cos ÷ cos
x x
- sin
è 2 2 2 2
1+ tan x tan x + tan π
= 2 = 2 4 = tan x π+ ÷，
1- tan x 1- tan x tan π è 2 4
2 2 4
x π k π x π p令 + = 1 或 + = + k2π k1,k2 Z ，2 4 2 4 2
π
則 x = - + 2k
π
1π 或 x = + 2k2π k1, k2 Z ，2 2
令 k2 = 0 x
π π
，則 =

，所以函數 f (x) 的一個對稱中心是 ,02 ÷
.
è 2
π
故答案： ,0

÷ (答案不唯一，橫坐標符合 x = 2kπ
π
± ( k Z ) )
è 2
即可
2
【方法技巧】
關于三角函數對稱的幾個重要結論；
p
（1）函數 y = sin x 的對稱軸為 x = kp + (k Z ) ，對稱中心為 (kp .0)(k Z ) ；
2
p
（2）函數 y = cos x 的對稱軸為 x = kp (k Z )，對稱中心為 (kp + ,0)(k Z )；
2
（3）函數 y = tan x kp函數無對稱軸，對稱中心為 ( ,0)(k Z ) ；
2
p
（4）求函數 y = Asin(wx + f) + b(w 0) 的對稱軸的方法；令 wx + f = + kp (k Z ) ，得
2
p
+ kp -f
x = 2 (k Z ) ；對稱中心的求取方法；令 wx + f = kp (k Z ) ，得
w
x kp -f (kp -f= ，即對稱中心為 ，b)．
w w
p
+ kp -f
（5）求函數 y = Acos(wx + f) + b(w 0) 的對稱軸的方法；令 wx + f = kp (k Z ) 得 x = 2 ，即
w
p
+ kp -f
對稱中心為 ( 2 ,b)(k Z )
w
【變式 5-1】（2024·高三·河南·期末）將函數 f (x) = cos 2x + 3 sin 2x圖象向右平移j (j > 0)個單位，得到的圖
π
象關于直線 x = 對稱，則j 的最小值為 .
3
π
【答案】
6
【解析】 f (x) = cos 2x + 3 sin 2x = 2(1 cos 2x 3+ sin 2x) = 2cos(2x π- )，
2 2 3
f (x) π的圖象向右平移j (j > 0)個單位，得到函數 g(x) = 2cos(2x - 2j - )的圖象，
3
由題意 g(x)
π
的圖象關于直線 x = 對稱，
3
π π π kπ
所以 2 - 2j - = kπ(k Z) ，所以j = - (k Z)，
3 3 6 2
π
又j > 0，則當 k = 0時，jmin = .6
π
故答案為： .
6
4π
【變式 5-2】（2024·河南開封·模擬預測）已知函數 f (x) = 2cos(3x +j) 的圖象關于點 ,0

÷對稱，那么 j
è 3
的最小值為 ．
π
【答案】
2
【解析】Q f x = 2cos 3x 4π+j 的圖象關于點 ,0
4π π
÷對稱，\3 +j = kπ + ,k Z ，即
è 3 3 2
j kπ 7π π= - ,k Z ，令 k = 4，可得 j 的最小值為 ．
2 2
π
故答案為：
2
π
【變式 5-3】（2024·高三·吉林通化·

期中）已知三角函數 f x = sin wx +j w > 0,j 0, ÷ 的圖象關于
è è 2
÷

j,0 π對稱，且其相鄰對稱軸之間的距離為 ，則j = ．
2
π
【答案】
3
π π
【解析】函數 f x = sin wx +j w > 0,j 0, ÷÷的圖象相鄰對稱軸之間的距離為 ，
è è 2 2
T π
則有 = ，得T = π
2π
= ，所以w = 2，則 f x = sin 2x +j ，
2 2 w
又函數圖象關于 j,0 對稱，則 f j = sin 3j π= 0 ，且j 0, π ÷ ，所以j = ．
è 2 3
π
故答案為： .
3
π
【變式 5-4】（2024·四川成都·模擬預測）函數 f (x) = a sin x + cos x 的圖象關于直線 x = - 對稱，則a =
6
3
【答案】-
3
【解析】Q f (x) = a sin x + cos x = a 2 +1 sin x + j ，
顯然函數的最小正周期T = 2π，
又 x
π
= - 為對稱軸，
6
設 f x π在 x = - 右側附近的一個對稱中心為 m,0 ，
6
é π ù
故 4 êm -
- π ÷ú = 2π ，解得m = ，故 f x
π
的一個對稱中心為 ,0

，
è 6
÷
3 è 3
f π\ 3 ÷ = a
1
+ = 0 a 3，解得 = - .
è 3 2 2 3
3
故答案為：-
3
題型六：函數的定義域、值域（最值）
【典例 6-1】實數 x, y滿足 x 2 - xy + y 2 = 1，則 x + 2y的范圍是___________.
é 2 21 2 21ù
【答案】 ê- , ú
3 3
ì y
2 2 x - = cosq
【解析】 x 2 2
y 3 2- xy + y = 1 x - ÷ + y ÷ = 1 .故令 í ，q 0 , 2 π .
è 2 2 ÷è 3
y = sinq 2
x + 2y 5 2 21
é 2 21 2 21ù
則原式 = cos θ + si n θ = si n θ + φ ，故 x + 2y ê- , ú .
3 3 ê 3 3 ú
é 2 21 , 2 21
ù
故答案為： ê- ú .
3 3
1- sin x
【典例 6-2】求 y = 的值域.
2 - cos x
y 1- sin x【解析】由 = 可得 y(2 - cos x) =1- sin x，
2 - cos x
即 sin x - y cos x =1- 2y ，
由三角函數輔助角公式可得 1+ y2 sin(x -j) =1- 2y，
\sin(x -j) 1- 2y= j
1+ y2 （ 為輔助角），
1- 2y 4
則 1，解得0 y ，
1+ y2 3
1- sin x é 4ù
故函數 y = 的值域為 0, .
2 - cos x ê 3ú
【方法技巧】
求三角函數的最值，通常要利用正、余弦函數的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處
理．
（1） y = asin x + b，設 t = sin x ，化為一次函數 y = at + b在[-1,1]上的最值求解．
b
（2） y = asin x + bcos x + c ，引入輔助角f(tanf = )，化為 y = a2 + b2 sin(x + f) + c，求解方法同類
a
型（1）
（3） y = asin2 x + bsin x + c ，設 t = sin x ，化為二次函數 y = at2 + bt + c 在閉區間 t [-1,1]上的最值求
解，也可以是 y = a cos2 x + bsin x + c或 y = a cos 2x + bsin x + c型．
（4） y = asin xcos x + b(sin x ± cos x) + c ，設 t = sin x ± cos x，則 t2 = 1± 2sin xcos x ，故
2 2
sin xcos x t -1 t -1= ± ，故原函數化為二次函數 y = a × (± ) + bt + c 在閉區間[- 2, 2]上的最值求解．
2 2
y asin x + b y asin x + b（5） = 與 = ，根據正弦函數的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式
csin x + d ccos x + d
法求最值，更可用數形結合法求最值．這里需要注意的是化為關于 sin x 或 cos x的函數求解釋務必注意
sin x 或 cos x的范圍．
（6）導數法
（7）權方和不等式
【變式 6-1】設a>0，則 f x = 2a sinx + cosx - sinx × cosx - 2a 2 的最小值為__________.
2 1
【答案】-2a -2 2a -
2
【解析】設 t =sinx+cosx，由 t = sin x + cos x = 2 sin(x π+ )，得 t é ù
4
- 2 , 2 ，
2
又由 sinx +cosx 2 =1+ 2sinx ×cosx，得 sin x ×cos x t -1= ，
2
2
f x = 2at t -1 2a2 1所以 - - = - t 1- 2a 2 + ，
2 2 2
g t 1令 = - t - 2a 2 1+ (a > 0)， t é - 2 , 2 ù ，2 2
sin(x π當 t = - 2 時， + ) = -1
5
時，即當 x = 2kp + p ,k Z時，
4 4
-2a2 1原函數取到最小值 -2 2a - .
2
故答案為：-2a2 -2 2a
1
- .
2
【變式 6-2】（2024·上海崇明·二模）已知實數 x1, x2 , y1, y2 滿足： x21 + y21 =1, x22 + y22 =1, x1 y2 - y1x2 =1，則
x1 + y1 - 2 + x2 + y2 - 2 的最大值是 ．
【答案】6
【解析】因為 x2 21 + y1 =1, x
2
2 + y
2
2 =1,
故令 x1, y1 = cosa ,sina ， x2 , y2 = cos b ,sin b ，且a , b 0,2π ，
因為 x1 y2 - y1x2 =1，
cosa sin b sina cos b sin b a 1 b a π所以 - = - = - = ，
2
所以 x1 + y1 - 2 + x2 + y2 - 2 = 4 - x1 + y1 + x2 + y2 = 4 - cosa + sina + cos b + sin b
= 4 - cosa + sina + cos
a π+ sin a π ÷ + + ÷÷ = 4 - 2cosa 4 - -2 = 6，僅當a = π時等號成立.
è è 2 è 2
1
【變式 6-3】已知函數 f (x) = sin2xcos x，該函數的最大值為__________．
2
2 3
【答案】
9
【解析】由題意，函數 f x = sin xcos2 x = sin x 1-sin2 x =sin x -sin3 x，
令 sin x = t且 t - 1,1 ，則 y = g (t) = t - t 3 ，
2
從而 g t =1- 3t = 1- 3t 1+ 3t ， 令 g t = 0 3 3，解得 t1 = - 或 t2 = ，3 3
1 t 3 g t < 0 3 3當- < < - 時， ；當- < t < 時， g t > 0 ；
3 3 3
3
當 < t <1時， g t < 0 ，
3
3 3 3
所以 g t 在 (-1, 3- )上單調遞減；在 - , ÷÷ 上單調遞增；在 ,13 3 3 ÷÷
上單調遞減．
3 è è
因為 g -1 = 0 3 2 3 f x 2 3， g ( ) = ，所以 的最大值為 .
3 9 9
2 3
故答案為： .
9
y 3 sinx 2cos2x, x é π 7π【變式 6-4】函數 = - - ê ,
ù
的值域為 .
6 6 ú
é7 ,2ù【答案】 ê 8 ú
x é π 7π ù 1【解析】由正弦函數的性質可知，當 ê , ú , - sin x 1， 6 6 2
y = 3 - sin x 1 7- 2cos2 x = 2sin2 x - sin x +1 = 2(sin x - )2 +4 8
sin x 1 y 7 1 é
7 ù
當 = 時， = ；當 sinx =1, 或- 時， y = 2，故值域為 , 2 .
4 min 8 2 max ê 8 ú
é7 ,2ù故答案為： ê 8 ú
【變式 6-5】函數 y = 1+ 2sinx 1 π π+ 2cosx é ù在區間 ê- ,4 6 ú 上的最大值與最小值之和是 .
【答案】1+ 2 3
【解析】由函數 y = 1+ 2sinx 1+ 2cosx = 4sinxcosx + 2 sinx + cosx +1，
2
令 sinx + cosx = t 2 t -1，則 t =1+ 2sinxcosx ，即 2sinxcosx = ，
2
2
所以 y = 4 t -1× + 2t +1 = 2t 2 + 2t -1，
2
π π π π 5π π
又因為 t = 2sin x + ÷，且- x ，可得0 x + < ，
è 4 4 6 4 12 2
則0 t 1 3 1+ 3 + = ，
2 2 2
2 t é 1又由 y = 2t + 2t -1在 ê- ,+

÷是增函數，
2
1+ 3 4 + 2 3
當 t = 0時， ymin = -1；當 t = 時， ymax = 2 × +1+ 3 -1 = 2 + 2 3 ，2 4
所以 ymin + ymax =1+ 2 3 .
故答案為：1+ 2 3
【變式 6-6】（2024·江蘇蘇州·高三統考開學考試）設角a 、 b 均為銳角，則 s in a + s in b + co s a + b 的
范圍是______________．
3 ù
【答案】 1,
è 2 ú
【解析】因為角a 、 b 均為銳角，所以 sina , cosa ,sin b , cos b 的范圍均為 0,1 ，
所以 sin a + b = sin a cos b + cos a sin b < sin a + sin b ，
所以 sin a + sin b + cos a + b > sin a + b + cos a + b = 2 sin a + b
π
+
4 ֏
0 a π因為 < < ,0 b
π π π 3π
< < , 2 2 4 4 4
π 2
所以 2 sin a + b + 4 ÷
> 2 = 1，
è 2
sin a + sin b + cos a + b = sin a + sin b + cos a cos b - sin a sin b
= 1 - sin b sin a + cosa cos b + sin b 1 - sin b 2 + cos2 b + sin b
= 2 1-sin b +sin b ，
當且僅當 1 - sin b cos a = sin a co s b 時取等，
令 1 - sin b = t ， t 0,1 ， sin b = 1 - t 2 ，
2
所以= 2 1-sin b +sin b = 2t 1 t 2 2 3 3+ - = - t - ÷÷ + .
è 2 2 2
3
則 s in a + s in b + co s a + b
ù
的范圍是： 1, .
è 2 ú

故答案為： 1,
3 ù
è 2 ú
r r r r
【變式 6-7】已知向量 a = (sin x,cos x),b = (sin x, 3 sin x) ，函數 f (x) = a ×b .
π
(1)求 f ；
è12 ÷
π é π ù
(2)若把 f (x) 的圖象向右平移 個單位長度可得 g(x)的圖象，求 g(x)在 ê0, 上的值域.6 8 ú
r r
2 = 1- cos 2x 3 = sin 2x π- 1【解析】（1）由題意，得 f (x) = a ×b = sin x + 3 sin x cos x + sin 2x
2 2 ÷
+ ，
è 6 2
∴ f
p p p 1 1 1
÷ = sin 2 -

12 12 6 ÷
+ = sin 0 + = .
è è 2 2 2
é p p ù 1 p 1
（2）由題意，得 g(x) = sin ê2(x - ) - ú + = sin 2x - ÷ + = -cos 2x
1
+ ，
6 6 2 è 2 2 2
é p ù é p ù é ù é ù é ù
∵ x ê0, ú ，∴ 2x ê0, ú，∴ cos 2x
2 ,1 2 1 1- 2 ê ú，-cos 2x ê-1, - ú，\ g x ê- , ú ，
8 4 2 2 2 2
é
g(x) é0, π ù 1 1- 2
ù
∴ 在 ê ú上的值域為 - , . 8
ê 2 2 ú
sin x cos x
【變式 6-8】函數 f (x) = 的值域為_____________．
1+ sin x + cos x
é- 2 -1 , 1 U 1, 2 -1
ù
【答案】 ê - -
2 ÷
÷
è 2
ú

【解析】令 t = sin x + cos x = 2 sin
x p +

÷， t [- 2 , -1) U (-1, 2 ]4 ，è
t 2 -1
則 t 2 =1+ 2sin x cos x ，即 sin x cos x = ，
2
t 2 -1
所以 f (t) = 2 t -1= ，
1+ t 2
é- 2 -1 2 -1ù
又因為 t [- 2 , -1) U (-1, 2 ] ，所以 f t ê ,-12 ÷÷ U -1, ú ， è 2
é- 2 -1 2 -1ù
即函數 f (x)
sin x cos x
= 的值域為 ê ,-1÷÷ U -1, ．1+ sin x + cos x 2 è 2
ú

é- 2 -1 2 -1ù
故答案為： ê ,-1÷÷ U -1, ú .
2 è 2
題型七：三角函數性質的綜合應用

【典例 7-1】（多選題）（2024·貴州六盤水·三模）已知函數 f x = sin wx +j w > 0, |j |
π
< ÷，若函數 f (x)
è 2
π x π圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為 ， = - 為函數 y = f (x) 圖象的一條對稱軸，則（　?。?br/>2 6
A．w = 2
j πB． = -
6
π ,0 C．點 ÷是函數 f (x) 圖象的對稱中心
è 3
π
D．將函數 f (x) 的圖象向左平移 個單位長度后所得函數的圖象關于 y 軸對稱
3
【答案】ABD
π
【解析】因為函數 f (x) 圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為 ，所以T = π ，w = 2，
2
π
因為直線 x = - 為函數 y = f (x) 圖象的一條對稱軸，
6
π
所以- 2 +j
π
= + kπ ， k Z 5π，則j = + kπ， k Z，
6 2 6
j π π因為 < ，所以j = - ，故 AB 正確；
2 6
π π π
所以 f (x) = sin(2x - 6 ) ，因為 f ( ) = sin =1，故 C 錯誤；3 2
π
將函數 f (x) 的圖象向左平移 個單位長度后所得函數為
3
y = sin éê2(x
π
+ ) π- ùú = sin(2x
π
+ ) = cos 2x，圖象關于 y 軸對稱，故 D 正確.
3 6 2
故選：ABD.
【典例 7-2】（多選題）（2024·安徽·三模）已知函數 f x = sin x - 3 cos x ，則（ ）
A． f x 是偶函數 B． f x 的最小正周期是 π
C． f x π 的值域為 é ù - 3,2 D． f x 在 -π,- 2 ÷上單調遞增è
【答案】AC
【解析】對于 A，由于 f x 的定義域為R ，且
f -x = sin -x - 3 cos -x = -sin x - 3 cos x = sin x - 3 cos x = f x ，
故 f x 是偶函數，A 正確；
對于 B，由于 f 0 = sin 0 - 3 cos 0 = - 3 ， f π = sin π - 3 cos π = 3 ，故 f 0 f π ，這說明 π
不是 f x 的周期，B 錯誤；
2
對于 C，由于 f x = sin x - 3 cos x sin x + 3 cos x = sin x + 3 cos x
2 2sin x + 3 cos x + 3 sin x - cos x
= sin2 x + 3cos2 x + 2 3 sin x cos x + 3sin2 x + cos2 x - 2 3 sin x cos x
= 4sin2 x + 4cos2 x = 4 = 2，
且 f x = sin x - 3 cos x - 3 cos x - 3 ，故- 3 f x 2 .
5π é 5π ù
而對- 3 u 2，有 f 0 = - 3 u ， f ÷ = 2 u ，故由零點存在定理知一定存在 x ê0,è 6 6 ú使得
f x = u .
所以 f x 的值域為 é ù - 3,2 ，C 正確；
5π 2π π 5π 2π π
對于 D，由于-π < - < - < - ， f -

÷ = 2 > 3 = f

-

÷，故 f x 在 -π,- ÷上并不是單6 3 2 è 6 è 3 è 2
調遞增的，D 錯誤.
故選：AC.
【方法技巧】
三角函數的性質（如奇偶性、周期性、單調性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性．
因為對稱性 奇偶性（若函數圖像關于坐標原點對稱，則函數 f (x) 為奇函數；若函數圖像關于 y 軸
T
對稱，則函數 f (x) 為偶函數）；對稱性 周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是 ；相鄰的對稱中心之
2
T T
間的距離為 ；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為 ）；對稱性 單調性（在相鄰的對稱軸之間，函
2 4
數 f (x) 單調，特殊的，若 f (x) = Asin(wx), A > 0, w > 0 ，函數 f (x) 在[q1,q2 ]上單調，且 0 [q1,q2 ]，設
T
q = max q1 ,q2 ，則 q 深刻體現了三角函數的單調性與周期性、對稱性之間的緊密聯系）4
【變式 7-1】（多選題）（2024·廣東廣州·三模）已知函數 f x = 2 cosx + sinx cosx -1，則（ ）
A． f x f 5π 8 ÷ B． f 1 > f 2 è
2024
C． f
π π
+ x

÷ + f

- x

÷ = 0 D． f kπ ÷ = 3
è 8 è 8 k =1 è 6
【答案】ABD
【解析】 f x = 2 cos x + sin x cos x -1 = sin 2x + cos 2x = 2 sin 2x
π
+ ÷ ，
è 4
f 5π 2 sin 5π π對于 A，由 ÷ = +

= 2 sin
3π 2 f x 5π= - ，所以 f ，故 A 正確；
è 8 è 4 4 ÷ 2 8 ÷è
π x 5π
π é π 3π ù é π 5πB ù對于 ，當 時， 2x + ê , ú，由正弦函數可知， f x 在 ê ,8 8 ú上單調遞減，8 8 4 2 2
f x x 5π f 2 5π= f - 2 5π 5π又 的對稱軸為 = ，所以 ÷，由 > - 2 >1
π
> ，則
8 è 4 8 4 8
f 1 5π> f - 2

4 ÷
= f 2 ，故 B 正確；
è
π π kπ
對于 C，令 2x + = kπ ， k Z ，所以 f x 的對稱中心為 - + ,0 ， k Z，
4 è 8 2 ÷
f π + x + f π π若 ÷ - x ÷ = 0

8 8 成立，則則
f x 關于點 ,08 ÷對稱，è è è
π kπ π 1
令- + = ，解得 k = Z，故 C 錯誤；
8 2 8 2
f x π f π 2 sin 7π 2 sin π 5π 2 sin 5π f 2π 2 sin 11π對于 D，因為 的周期為 ， 6 ÷ = = - = ， = ，è 12 12 ÷ 12 ÷è è 6 12
f 3π ÷ = - 2 sin
π f 4π 2 sin 5π f 5π 2 sin 11π 6π π， ÷ = - ， ÷ = - ， f

6 4 6 ÷
= 2 sin ，
è è 12 è 6 12 è 6 4
\ f π + f 2π f 3π+ + f 4π f 5π+ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + f
6π
÷ = 0，
è 6 è 6 è 6 è 6 è 6 è 6
2024
f kπ 337 é f π 2π 3π 4π 5π 6π ù π= + f + f + f + f + f + f 2π 所以
è 6 ÷ ê 6 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
+ f ÷
k =1 è è 6 è 6 è 6 è 6 è 6
ú
è 6 è 6
= 3 .故 D 正確.
故選：ABD.
1
【變式 7-2】（多選題）（2024·黑龍江佳木斯·三模）關于函數 f x = cos x + sin 2x - ，則下列說法正確是
2
（ ）
é π π ù
A． π是函數 f x 的一個周期 B．在 ê , 上單調遞減 4 2 ú
3π
C．函數圖像關于直線 x = 對稱 D．當 x -10π,10π 時，函數 f x 有 40 個零點
4
【答案】ABD
1
【解析】對于 A， f (x + π) =| cos(x + π) | + | sin 2(x + π) | - =| cos x | + | sin 2x |
1
- = f (x) ，故 π是函數
2 2
f (x) 的一個周期，故 A 正確；
π π 1
對于 B， 當 x [ , ]時， f (x) = cos x + sin 2x - ，
4 2 2
則 f (x) = -sin x + 2cos 2x ，
2
因為-sin x [-1,- ]， 2cos 2x [-2,0]，
2
所以 f (x) = -sin x + 2cos 2x < 0
π π
在 x [ , ]恒成立，
4 2
f (x) [π , π即函數 在 ]上單調遞減，故 B 正確；
4 2
對于 C，因為 f ( x
3π
- + ) =| cos(-x 3π+ ) | + | sin 2( x 3π) | 1 1- + - =| sin x | + | sin 2x | - f (x) ，故 C 錯誤；
2 2 2 2 2
對于 D，因為 f (-x) =| cos(-x) | + | sin(-2x) |
1
- =| cos x | + | sin 2x | 1- = f (x)，
2 2
所以函數 f (x) 為偶函數，
又因為 f (-x + π) =| cos(-x + π) | + | sin 2(-x + π) |
1
- =| cos x | + | sin 2x | 1- = f (x)，
2 2
π
所以函數 f (x) 關于 x = 2 對稱，
所以 f (x) = f (x + π)，
故函數 f (x) 的最小正周期為T = π .
ì
cos x + sin 2x
1 , kπ x π- + kπ
又因為 f (x) =
2 2
í ,k Z
cos x sin 2x 1 π- - - ,kπ+ < x π + kπ
2 2
π π
由 B 選項知，函數 f (x) 在[ , ]上單調遞減，
4 2
由對稱性，則函數 f (x) [
π , 3π在 ]上單調遞增，
2 4
f (0) f (π) 1 f (π 1且 = = ， ) = - ，
2 2 2
當 x [0,
π]時， f (x) = cos x + sin 2x
1
- > 0恒成立，
4 2
x [3π由對稱性， ，π]， f (x) = -cos x
1
- sin 2x - > 0恒成立.
4 2
故函數 f (x) 在一個周期T = π 內有兩個零點，
則函數 f (x) 在[-10π,10π]內共 40 個零點，故 D 正確.
故選：ABD.
【變式 7-3】函數 f x = Asin wx π+j A > 0,w > 0, j <

2 ÷的部分圖象如圖所示．è
(1)求函數 f x 的解析式；
π
(2) 1將函數 f x 的圖象先向右平移 個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的 2 （縱坐標不變），得4
é π π ù
到函數 g x 的圖象，求 g x 在 x ê- , ú 上的最大值和最小值； 12 6
é π π ù
(3)若關于 x 的方程 g x - m = 0在 x ê- , ú 上有兩個不等實根，求實數m的取值范圍． 12 6
【解析】（1）由函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j π< 2 ÷的部分圖象可知 A = 2，è
11 1 3 2π f πQ π - π = T ，\T = π，w = = 2

，又 = 2，
12 6 4 T è 6 ÷
\2 π +j π= + 2kπ,k π Z ，解得j = + 2kπ,k Z j
π
，由 < 可得j
π
= ，
6 2 6 2 6
\ f x = 2sin 2x
π
+ ÷；
è 6
π π π π
（2）將 f x 向右平移 個單位，得到 y = 2sin 2 x - + = 2sin 2x - ，
4 ÷ ÷ ÷è è 4 6 è 3
1 π
再將所有點的橫坐標縮短為原來的 ，得到 g x = 2sin 4x -

2 3 ÷
，
è
π π
t = 4x π- x é- , ù é
2π π ù
令 ，由 ê ú ，可得 t - , ，3 12 6 ê 3 3 ú
y 2sint é 2π , π ù é π , π因為函數 = 在 ê- -
ù
ú 上單調遞減，在 ê- ú 上單調遞增， 3 2 2 3
又 2sin
π
-
π
÷ = -2， 2sin = 3 ， 2sin
2π
-

2 3 3 ÷
= - 3，
è è
可得 g x = 3 ， g x = -2max min ；
é π π ù
（3）因為關于 x 的方程 g x - m = 0在 x ê- , ú 上有兩個不等實根， 12 6
即 y = m y
π π
與 = g(x)
é ù
的圖象在 x ê- , 12 6 ú
有兩個交點.
由圖象可知符合題意的m的取值范圍為-2 < m - 3 .
【變式 7-4】（2024· 2吉林長春·模擬預測）已知函數 f x = 2 3 sin x cos x - 2cos x +1．
x é π 2π(1)若
ù
ê- , ú，求 f x 12 3 的值域；
(2)若關于 x 的方程 f x - a = 0有三個連續的實數根x1，x2， x3，且 x1 < x2 < x3， x3 + 2x1 = 3x2 ，求 a
的值．
π
【解析】（1） f x = 2 3 sin x cos x - 2cos2 x +1 = 3 sin 2x - cos 2x = 2sin 2x - 6 ÷è
x é π , 2π - ù z 2x π π 7π因 ê ú，令 = - ，則- z ， 12 3 6 3 6
因 y = sin z [
π
在 - ,
π] π 7π上單調遞增，在[ , ]
3 2 2 6
上單調遞減，
π 3 7π 1 3
而 sin(- ) = - ,sin = - ，故- sin 2x
π
- 1．
3 2 6 2 2 ֏ 6
則- 3 f x 2，\ f x 的值域為 é- 3,2ù ．
（2）如圖，因 f x = 2sin 2x π -

÷的最小正周期為 π6 ，è
當 a = ±2 時，易得 x2 = x1 + π, x3 = x1 + 2π，不滿足 x3 + 2x1 = 3x2 ，故舍去，
當-2 < a < 2時，依題意： x3 = x1 + π，代入 x3 + 2x1 = 3x
π
2 得： x2 = x1 + ．3
2x π π kπ π由 - = kπ + ， k Z，可得 x = + ， k Z．
6 2 2 3
x1 + x2 kπ π k Z π kπ π由 = + ， ，代入 x2 = x1 + ，解得 x1 = + ， k Z．2 2 3 3 2 6
\a = 2sin é kπ π π ù ê2 + ÷ - ú = 2sin kπ
π
+ ÷， k Z，
è 2 6 6 è 6
當 k = 2n,n Z時， 2sin

kπ
π
+ ÷ = 2sin

2nπ
π
+ ÷ =1， n Z；
è 6 è 6
π 7π
當 k = 2n +1,n Z時， 2sin kπ + 6 ÷
= 2sin 2nπ + ÷ = -1， n Z，
è è 6
故 a 的值為 ±1．
【變式 7-5】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數 f x = 2sinxcosx - 2 3sin2x + 3 .
é π ù
(1)若 x ê0, ú 時，m < f x 恒成立，求實數m的取值范圍； 4
(2)將函數 f x 1 π的圖象的橫坐標縮小為原來的 2 ，縱坐標不變，再將其向右平移 個單位，得到函數6
g x 的圖象.若 x 0, t ，函數 g x 有且僅有 4 個零點，求實數 t 的取值范圍.
【解析】（1）因為 f x = 2sinxcosx - 2 3sin2x + 3 = sin2x + 3cos2x = 2sin 2x π +

÷，
è 3
x é當 ê0,
π ù π é π 5π ù
ú 時，可得 2x + 4 3 ê
, ，
3 6 ú
2x π 5π 5π當 + = x π，即 = 4 時，
f x 取得最小值 2sin =1，
3 6 6
x π因為
é ù
ê0, ú 時，m < f x 恒成立，所以m <1， 4
即實數m的取值范圍為 - ,1 .
π π
（2）由 f x = 2sin 2x + 1 圖象的橫坐標縮小為原來的 ，可得： y = 2sin 4x + ，
è 3 ÷ 2 ÷ è 3
π y 2sin é4 x π π ù π 再將其向右平移 ，可得： = - + = 2sin 4x - ，
6 ê ÷ ú ÷ è 6 3 è 3
即函數 g x = 2sin 4x
π
- ，
è 3 ÷
因為 x 0, t ，所以 4x π- é π πê- , 4t -
ù
ú ，在給定區間的正弦函數的零點是 x = 0, π,2π,3π ，3 3 3
π
再由函數 g x 有且僅有 4 個零點，則滿足3π 4t - < 4π，
3
5π t 13π
5π 13π
解得 <
é
，所以實數 t 的取值范圍 , .
6 12 ê ÷ 6 12
題型八：根據條件確定解析式
π
【典例 8-1】（2024·陜西渭南·模擬預測）函數 f x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < 2 ÷ 的圖象如圖所示è
A 5- ,-2 , B 1 ÷ , 2÷ .將 f x 的圖象向右平移 2 個單位長度，得到函數 g x 的圖象，則 g x 的解析式為
è 3 è 3
（ ）
g x 2sin π πA． = x -

÷
è 2 3
B． g x π π= 2sin x +

2 3 ֏
C． g x π π= -2sin x -

2 3 ֏
D． g x = -2sin π x π +

è 2 3 ÷
【答案】D
【解析】由題意可知 f x T 1 5 的周期T 滿足 = - - ÷ = 2，得T = 4，2 3 è 3
2π
即 = 4，得w
π
= ，
w 2
所以 f x = 2sin π x +j 2 ÷，è
1
因為點B , 2

÷是 f x 圖象的一個點，
è 3
f 1 所以 ÷ = 2sin
π π
+j

÷ = 2

， sin +j =1，
è 3 6 ÷ è è 6
π j π π則 + = + 2kπ,k Z
π
，又 0 < j < j =
6 2 2
，所以 ，
3
f x sin π π所以 = x +

÷，
è 2 3
將 f x 的圖象向右平移 2 個單位長度，
得到函數 g x = 2sin épê x
π π π
- 2 + ùú = -2sin

x +

.
2 3 è 2 3 ÷
故選：D.
π
【典例 8-2】（2024·四川攀枝花·二模）函數 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < 2 ÷的部分圖象如圖所示，è
則將 y = f (x)
π
的圖象向右平移 個單位長度后，得到的函數圖象解析式為（ ）
6
π 2π
A． y = sin 2x - ÷ B． y = cos 2x C． y = sin 2x D． y = sin 2x + ÷
è 6 è 3
【答案】A
【解析】由圖可得 A =1，又 A
3 11π π 3
> 0 ，故 A =1， T = - = π，故T = π ，
4 12 6 4
則 w
2π 2π
= = = 2，又w > 0，故w = 2，
T π
f π = sin π π π 6 ÷
2 +j ÷ =1，即 +j = + 2kπ， k Z，
è è 6 3 2
j π π π故 = + 2kπ， k Z，又 j < ，故j = ，
6 2 6
f x π則 = sin 2x +
π
÷，將 y = f (x) 的圖象向右平移 個單位長度后，
è 6 6
é π π ù π
可得 y = sin ê2 x -

÷ + = sin

2x -

6 ÷
，
è 6
ú
è 6
故選：A.
【方法技巧】
根據函數必關于 y 軸對稱，在三角函數中聯想到 y = cos wx 的模型，從圖象、對稱軸、對稱中心、最
值點或單調性來求解．
【變式 8-1】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）函數 f x = 2sin wx +j (w > 0,-π < j < π)的部分圖像如圖所示，
把函數 f x π的圖像向右平移 得到 g x ，則 g x 的解析式為（ ）
12
A．-2cos2x B． 2cos2x

C． 2sin 2x
π π
- ÷ D． 2sin 2x +

6 ÷è è 6
【答案】A
5π π 3 3 2π
【解析】根據圖像可知 - - ÷ = π = T ，可得T = = π ，即w = 2；12 è 3 4 4 w
f 5π 5π又 ÷ = 2sin 2 +j
5π π
12 12 ÷
= 2 ，可得 2 +j = + 2kπ,k Z，
è è 12 2
j π解得 = - + 2kπ,k Z，由-π < j < π
π
可知j = -
3 3
；
即可得 f x π= 2sin 2x - ÷，
è 3
把函數 f x π 的圖像向右平移 得到 g x = 2sin 2
x π π - ÷ - ÷ = 2sin

2x
π
- ÷ = -2cos 2x；12 è è 12 3 è 2
即 g x = -2cos 2x .
故選：A
【變式 8-2】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖所示的曲線為函數
f x = Acos wx -j A > 0,w > 0, j
p
< 3
2 ÷ 的部分圖象，將
y = f x 圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的
è 2
p
倍，再將所得曲線向左平移 個單位長度，得到函數 y = g x 的圖像，則 g x 的解析式為（ ）
8
A． g x 2cos 9x p= - ÷ B． g x = 2cos

2x
p
-
è 2 8 8 ÷ è
C． g x = 2sin2x D． g x = 2cos2x
【答案】D
π 2π
+
【解析】由圖象可知 A = 2, 6 3 5π= ，
2 12
則 f x 5π 的一個最低點為 ,-2÷，
è 12
f x 的最小正周期為T 2π 2π= ，則w = = 3，
3 T
f 5π 2cos 3 5π ÷ = -j

÷ = -2
5π
，即 -j = π + 2kπ k Z ，
è 12 è 12 4
π
所以j = - 2kπ k Z ，
4
π π
又因為 j ＜ ，所以j =
2 4
，
π
所以 f x = 2cos 3x - 4 ÷，è
將 y = f x 3圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的 倍，
2
得 y = 2cos
π
2x - ÷的圖象，
è 4
p
再將所得曲線向左平移 個單位長度，
8
得 y = 2cos
é2 x π π ùê + ÷ - ú = 2cos 2x，
è 8 4
故 g x = 2cos2x ，
故選：D.
π
【變式 8-3】（2024·高三·北京東城·開學考試）函數 f (x) = Asin(wx +j ) A > 0,w > 0,|j |<

2 ÷ 的部分圖象如è
圖所示，則函數 y = f (x)
π
的解析式為 ，若將 y = f (x) 的圖象向右平移 個單位后，得到新函數解析式
6
為 .
【答案】 f (x) sin
π π= 2x + ÷ y = sin 2x -

÷
è 6 è 6
【解析】根據圖象知 A =1,
3 T 11π π 3π T 2π= - = ，\ = = π,\w = 2，
4 12 6 4 w
π
將點 (
π ,1) 代入 f (x) = sin(2x +j)

，得 sin 2 +j =1，
6 ֏ 6
π π
\ +j = + 2kπ,k Z π π，又 |j |< 2 ，則j = ，3 2 6
\ f (x) sin 2x π= +

÷，
è 6
將 y = f (x)
π é π π ù π
的圖象向右平移 個單位后，得到新函數解析式為 y = sin
6 ê
2 x - 6 ÷
+ ú = sin 2x - ÷．
è 6 è 6
f (x) sin 2x π π故答案為： = +

÷， y = sin

2x -

6 ÷．è 6 è
【變式 8-4】已知函數 f x = 2cos wx +j （w > 0 j π， < ）的部分圖象如圖所示，將函數 f x 圖象上所
2
π
有的點向左平移 個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的 2 倍（縱坐標不變），所得函
12
數圖象的解析式為 ．
【答案】 y = 2cosx
【解析】由題知，函數 f x = 2cos wx +j 0 j π（w > ， < ）的部分圖象如圖所示，
2
1 T π π π所以 = - = ，即T = π
4 3 12 4
所以w = 2，
所以 f x = 2cos 2x +j ，
π
因為圖象經過點 , 2 ，
è12 ÷
π
所以 f ÷ = 2cos
π +j ÷ = 2
è12
，
è 6
π
所以 +j = 0 + 2kπ,k Z，
6
因為 j
π
< ，
2
所以j
π
= - ，
6
π
所以 f x = 2cos 2x - 6 ÷，è
π
將函數 f x 圖象上所有的點向左平移 個單位長度，
12
y 2cos = 2 x π π 得 +

÷ - ÷ = 2cos 2x ，
è è 12 6
再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的 2 倍（縱坐標不變），
得 y = 2cos x ，
所以所得函數圖象的解析式為 y = 2cosx，
故答案為： y = 2cosx
【變式 8-5】（2024·河北保定·一模）函數 f x = Asin wx +j ，（ A > 0 ，w > 0，0 < j < π ）的部分圖象如
圖中實線所示，圖中圓 C 與 f x 的圖象交于 M，N 兩點，且 M 在 y 軸上，則下說法正確的是（ ）
A．函數 f x 10的最小正周期是 π
9
7π π
B．函數 f x 在 - ,- 上單調遞減
è 12 3 ÷
π
C π．函數 f x 的圖象向左平移 個單位后關于直線 x =
12 4
對稱
5π
D 3π π ．若圓 C 的半徑為 ，則函數 f x 的解析式為 f x = sin 2x +12 6 ÷è 3
【答案】D
π
【解析】由函數 f x 圖象，可得點C 的橫坐標為 ，
3
π π
所以函數 f x 的最小正周期為T = 2[ - (- )] = π ，所以 A 不正確；
3 6
又由w
2π
= = 2，且 f (
π
- ) = 0，即 sin[2 (
π
- ) +j] = sin( π- +j) = 0，
T 6 6 3
根據五點作圖法且0 < j < π
π j 0 π，可得- + = ，解得j = ，
3 3
7π
因為 x (- ,
π π 5π π
- )，可得 2x + (- ,- ) ，
12 3 3 6 3
7π π
結合三角函數的性質，可得函數 f x 在 (- ,- )是先減后增的函數，所以 B 錯誤；
12 3
將函數 f x π的圖象向左平移 個單位后，得到 g x = Asin(2x π+ ) = Acos 2x ，
12 2
kπ
可得對稱軸的方程為 2x = kπ, k Z，即 x = ,k Z，
2
x π所以 = 4 不是函數
g x 的對稱軸，所以 C 錯誤；
當 x = 0時，可得 f 0 = Asin π 3= A，即OM 3= A ,
3 2 2
5π
CM 2 = OM 2 + OC 2 (5π)2 ( 3 π若圓的半徑為 ，則滿足 ，即 212 = A) + ( )
2 ，
12 2 3
A 3π解得 = ，所以 f x 3π的解析式為 f x = sin π
6 6
2x + ÷，所以 D 正確.
è 3
故選：D.
題型九：三角函數圖像變換
π π
【典例 9-1】（2024·高三·廣東湛江·期末）已知函數 f x = 2 2 cos + x ÷cos4 - x ÷，要得到函數è è 4
g(x) = sin 2x - 2cos2 x +1的圖象，只需將 f (x) 的圖象（ ）
π 3π
A．向左平移 個單位長度 B．向左平移 個單位長度
8 4
3π 3π
C．向右平移 個單位長度 D．向右平移 個單位長度
4 8
【答案】D
【解析】 f x π π π π π= 2 2 cos + x ÷cos - x ÷ = 2 2 cos + x ÷sin + x ÷ = 2 sin + 2x ÷ = 2 cos 2x，
è 4 è 4 è 4 è 4 è 2
g x = sin 2x - 2cos2 x +1 = sin 2x - cos 2x = 2 sin 2x
π 3π
- ÷ = 2 cos

4
2x - ÷，
è è 4
故將 f (x)
3p
的圖象向右平移 個單位長度可得 y = 2 cos 2
x 3π 3π-
8 8 ÷
= 2 cos 2x - ÷，即為 g(x)的圖
è è 4
象.
故選：D
π
【 典 例 9-2 】（ 2024· 全國 · 模擬預測）為了得到函數 f x = sin 2x + ÷的圖象，只需將函數
è 3
g x = cos 2x
π
- ÷ 的圖象（3 ）è
π π
A．向左平移 個單位長度 B．向右平移 個單位長度
12 12
π π
C．向左平移 個單位長度 D．向右平移 個單位長度
3 3
【答案】A
【解析】因為 f x sin 2x π π π π é π ù= +

3 ÷
= sin 2x - + = cos 2x -6 2 ÷ 6 ÷
= cos ê2 x - ÷ ，è è è è 12 ú
π é π ù π
所以只需將函數 g x = cos 2x - ÷ = cos 2 x - ÷ 的圖象向左平移 個單位長度.
è 3 ê è 6 ú 12
故選：A
【方法技巧】
由函數 y = sin x 的圖像變換為函數 y = Asin(wx + f) + b(A, w > 0) 的圖像．
方法： (x x + f wx + f) 先相位變換，后周期變換，再振幅變換．
F
向左平移 個單位（F > 0）
y = sin x 向左平移F個單位（F > 0）的圖像 y = sin(x + f) 的圖像 v
向左平移 F 個單位（F < 0） F
向左平移 個單位（F < 0）
v
y sin(wx f) 所有點的縱坐標變為原來的A倍= + 的圖像
橫坐標不變
y = Asin(wx + f) 向上平移b個單位（b > 0）的圖像 y = Asin(wx + f) + b
向下平移 b 個單位（b < 0）
π π
【變式 9-1】為了得到函數 y = sin 2x - 3 ÷的圖象，只需把函數 y = sin x - ÷的圖象上所有的點的（ ）è è 3
A．橫坐標伸長到原來的 2 倍，縱坐標不變
B 1．橫坐標縮短到原來的 2 倍，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的 2 倍，橫坐標不變
D 1．縱坐標縮短到原來的 2 倍，橫坐標不變
【答案】B

【解析】因為把函數 y = sin x
π
- 1÷的圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的 2 倍，縱坐標不變，就能è 3
得到函數 y = sin

2x
π
-
3 ÷的圖象.è
故選：B
【變式 9-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = 2sinwx coswx + 2sin2 wx -1 w > 0 3π，直線 x = 和
8
x 7π= 為函數 y = f x g x 2 cos 2wx 2p 8 圖象的兩條相鄰對稱軸，為了得到函數 = - - ÷的圖象，則將函數è 3
y = f x 的圖象至少（ ）
13π 13p
A．向左平移 個單位長度 B．向左平移 個單位長度
24 48
13π 13p
C．向左平移 個單位長度 D．向左平移 個單位長度
12 36
【答案】A
π
【解析】由題可得 f x = f x = sin 2wx - cos 2wx = 2 sin 2wx - ÷，
è 4
x 3π由直線 = x
7π
和 = 8 為函數
y = f x 圖象的兩條相鄰對稱軸可得，
8
函數 y = f x 7π 3π 的最小正周期T = 2 - ÷ = π，得w =1，
è 8 8
所以 f x = 2 sin 2x π- 4 ÷，è
g x 2 cos 2x 2π 2 cos 2x π 2 sin 2x 5π則 = - - ÷ = + = +

，
è 3 è 3 ÷ ÷ è 6
y 5π π 13π故將函數 = f x 的圖象至少向左平移 - -12 ÷ = 個單位長度可得到 g x 的圖象.è 8 24
故選：A．
【變式 9-3】將函數 y = sin
2x π+ ÷ 的圖象平移后所得的圖象對應的函數為 y = cos 2x，則進行的平移是
è 3
（ ）
π π π
A．向左平移 個單位 B．向右平移 個單位 C．向右平移 個單位 D．向左平移
12 6 12
π
個單位
6
【答案】A
【解析】對于 A： y = sin
2x π+ π ÷ 向左平移 個單位可得到
è 3 12
y = sin é2 x π π ù πê + ÷ + = sin
2x + ú ÷ = cos 2x ，符合；
è 12 3 è 2
對于 B： y = sin
2x π é π π ù +
π
÷ 向右平移 個單位可得到 y = sin ê2 x - ÷ + ú = sin 2x cos 2x，不符合；è 3 6 è 6 3
y = sin 2x π+ π é π π ùC
π
對于 ： ÷ 向右平移 個單位可得到 y = sin ê2 x - ÷ + ú = sin 2x + ÷ cos 2x ，不符è 3 12 è 12 3 è 6
合；
y = sin 2x π+ π y sin é2 x π π ù sin 2x 2π對于 D： ÷ 向左平移 個單位可得到 = ê + ÷ + ú = +

÷ cos 2x ，不符
è 3 6 è 6 3 è 3
合；
故選：A.
π 5π
【變式 9-4】（2024·安徽合肥·模擬預測）已知曲線C1 : y = sin + 2x ÷ ,C2 : y = -cos2
- 3x
6 ÷
，則下面結論
è è
正確的是（ ）
3 π
A．把 C1上各點的橫坐標伸長到原來的 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 個單位長2 6
度，得到曲線 C2
3 π
B．把 C1上各點的橫坐標伸長到原來的 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移18 個單位長2
度，得到曲線 C2
2 πC．把 C1上各點的橫坐標縮短到原來的 3 ，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移 個單位長度18
C2
π
D．把 C 21上各點的橫坐標縮短到原來的 3 ，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 個單位長度，6
得到曲線 C2
【答案】C
π
【解析】曲線C1 : y = sin + 2x ÷ = cos2x，
è 2
2
把C1 : y = cos2x上各點的橫坐標縮短到原來的 3 ，縱坐標不變，可得 y = cos3x的圖象；
π π 5π
再把得到的曲線向左平移 個單位長度，可以得到曲線C2 : y = cos + 3x ÷ = -cos - 3x

的圖象.
18 ÷è 6 è 6
故選：C.
題型十：三角函數實際應用問題
【典例 10-1】已知大屏幕下端 B 離地面 3.5 米，大屏幕高 3 米，若某位觀眾眼睛離地面 1.5 米，則這位觀
眾在距離大屏幕所在的平面多遠，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值）
米．
【答案】 10
【解析】如圖所示：
由題意知： AB = 3，BD = 3.5 -1.5 = 2，設CD = t ，
2
則 tan BCD = ， tan ACD
5
= ，
t t
3
tan ACB tan ACD - tan DCB t 3t 3所以 = = = = ，
1+ tan ACD × tan DCB 10 t 21+ +102 t
10
+
t t
10
由于 t + 2 10
10
，當且僅當 t = ，即 t = 10 時取等號，t t
所以 tan
3 3 10
ACB = ，因為 ACB (0,
π)，
2 10 20 2
所以當CD = 10 時，可以獲得觀看的最佳視野.
故答案為： 10
【典例 10-2】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里
慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為 120m，轉盤直徑為 110m，設
置 48 個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近位置進倉，轉一周大約需要
30min．某游客坐上摩天輪的座艙 10min 后距離地面高度約為（ ）
55 3
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． + 652 ÷÷
m
è
【答案】A
【解析】設座艙距離地面的最近的位置為點 P ，以軸心O為原點，與地面平行的直線為 x 軸建立平面
直角坐標系，如圖所示，
設函數 f x = Asin(wx +j) + b(A > 0,w π> 0, j )表示游客離底面的高度，
2
因為摩天輪的最高點距離地面為120m，直徑為110m，且轉一周大約需要30min ，
周期T = 30， A + b =120, -A + b =10
2π π
，所以 A = 55,b = 65,w = = ，
T 15
即 f x = 55sin( π x +j) + 65，
15
π
當 t = 0min 時，游客在點P(0,-55)，其中以OP 為終邊的角為- ，
2
所以 f x = 55sin( π x π- ) + 65，
15 2
當 t =10時，可得 f 10 = 55sin(2π π- ) + 65 = 55sin π + 65 = 92.5m
3 2 6
所以，摩天輪的座艙 t =10后距離地面高度約為92.5m .
故選：A.
【方法技巧】
（1）研究 y = Asin(wx + j) 的性質時可將wx + j 視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題．
（2）方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數．
（3）三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題抽象轉
化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題．
【變式 10-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉動．設筒車上的某個盛水筒W 到水面
的距離為d （單位：米）（在水面下，則d 為負數）．若以盛水筒W 剛浮出水面時開始計算時間，d 與時間
t （單位：分鐘）之間的關系為 d = 4sin 2t
π
- ÷ + 2．某時刻 t0 （單位：分鐘）時，盛水筒W 在過點O（O
è 6
π
為筒車的軸心）的豎直直線的左側，且到水面的距離為 5 米，則再經過 分鐘后，盛水筒W （
6 ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好開始入水 D．恰好開始出水
【答案】B
5 4sin 2t π 【解析】由題意， = 0 - ÷ + 2，
è 6

可得 sin 2t
π 3
0 -

÷ = ， cos 2t
π 7 7
0 - ÷ = - 或 （舍去）．è 6 4 è 6 4 4
sin é2 t π π ù sin é 2t π π ù 3 1
7 3 3- 21
所以 ê 0 + - =6 ÷ 6 ú ê 0
- ÷ + = + -
è
ú
è 6 3 4 2
4 ÷÷
= ，
è 2 8
π
d 4 3 - 21 2 7 - 21所以再經過 分鐘，可得 = + = > 0，所以盛水筒在水面上．6 8 2
在判斷 d > 0時，可以采用放縮法更為直接，過程如下：
21 < 25 - 21 21> -5 - > -2.5 7 - 21 > 3.5 - 2.5 =1 d >1，
2 2
d > 0 ,故盛水筒在水面上．
故選：B．
【變式 10-2】摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從
高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置有 48 個座艙，
開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30min .
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動 tmin 后距離地面的高度為Hm，求在轉動一周的過程中，H 關
于 t 的函數解析式；
(2)求游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度；
(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差 h （單
位：m）關于 t 的函數解析式，并求高度差的最大值（精確到 0.1）.
q +j q -j q +j q -j
（參考公式與數據： sinq + sinj = 2sin cos ； cosq - cosj = -2sin sin ；
2 2 2 2
sin π 0.065 .）
48
【解析】（1）如圖，設座艙距離地面最近的位置為點 P ，以軸心O為原點，與地面平行的直線為 x 軸
建立直角坐標系.
設 t = 0min 時，游客甲位于點P 0, -55 ，
π
以OP
π
為終邊的角為- ；根據摩天輪轉一周大約需要30min ，可知座艙轉動的角速度約為 rad / min ，
2 15
由題意可得H = 55sin
π
t
π
- + 65 0 t 30
è15 2 ÷
，

（2）當 t = 5時，
H π π= 55sin 5 -

÷ + 65 = 37.5 .
è15 2
所以，游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度約為37.5m .
2π π
（3）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點A ， B 表示，則 AOB = = ，
48 24
π
經過 tmin 后甲距離地面的高度為H1 = 55sin t
π
- ÷ + 65，
è15 2
π
點 B 相對于點A 始終落后 rad ，
24
此時乙距離地面的高度為H2 = 55sin
π t 13π- + 65
è15 24 ÷
則甲、乙距離地面的高度差
h = H1 - H2 = 55 sin
π
t
π π 13π
-
15 2 ÷
- sin t - ÷
è è15 24
55 sin π= t
π 13π π-
15 2 ÷
+ sin - t
è è 24 15 ÷
sinq sinj 2sin q +j cos q -j利用 + = ，
2 2
可得 h =110 sin
π sin π t
π
- ，0 t 30 .
48 ֏15 48
π
當 t
π π 3π π
- = （或 ），即 t 7.8（或 22.8）時， h 的最大值為110sin ÷ 7.2 .15 48 2 2 è 48
所以，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.

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