資源簡(jiǎn)介

第 03 講 復(fù)數(shù)
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 .........................................................................................................................2
02 知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 1：復(fù)數(shù)的概念.........................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 2：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.................................................................................................................4
解題方法總結(jié)........................................................................................................................................6
題型一：復(fù)數(shù)的概念............................................................................................................................6
題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算............................................................................................................................7
題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義....................................................................................................................8
題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)........................................................................................................9
題型五：復(fù)數(shù)的模................................................................................................................................9
題型六：復(fù)數(shù)的三角形式..................................................................................................................10
題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題......................................................................................................11
題型八：復(fù)數(shù)方程..............................................................................................................................12
04 真題練習(xí)·命題洞見(jiàn)........................................................................................................................13
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................14
06 易錯(cuò)分析·答題模板........................................................................................................................15
易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用有誤..................................................................................................15
答題模板：復(fù)數(shù)式的計(jì)算..................................................................................................................15
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
2024 年 I 卷第 2 題，5 分
2024 年 II 卷第 1 題，5 分 高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查相對(duì)穩(wěn)定，每年必考題
（1）復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 2023 年 I 卷第 2 題，5 分 型，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不
（2）復(fù)數(shù)的幾何意義 2023 年 II 卷第 1 題，5 分 大．復(fù)數(shù)的運(yùn)算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何
（3）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 2022 年 I 卷 II 卷第 2 題，5 分 意義是常考點(diǎn)，難度較低，預(yù)測(cè)高考在此處仍以
2021 年 II 卷第 1 題，5 分 簡(jiǎn)單題為主．
2021 年 I 卷第 2 題，5 分
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)．
（2）理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義．
（3）掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義．
知識(shí)點(diǎn) 1：復(fù)數(shù)的概念
（1） i 叫虛數(shù)單位，滿(mǎn)足 i2 = -1，當(dāng) k Z 時(shí)， i 4 k = 1, i 4 k +1 = i, i 4 k + 2 = -1, i 4 k + 3 = -i ．
（2）形如 a + bi(a, b R) 的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作 a +bi C．
①?gòu)?fù)數(shù) z = a + bi(a, b R) 與復(fù)平面上的點(diǎn) Z (a , b) 一一對(duì)應(yīng)， a 叫 z 的實(shí)部，b 叫 z 的虛部；
b = 0 z R, Z 點(diǎn)組成實(shí)軸；b 0, z 叫虛數(shù)；b 0且a=0，z 叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括
原點(diǎn)）．兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．
ìa = c
②兩個(gè)復(fù)數(shù) a + bi, c + di(a,b, c, d R) 相等 íb d （兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)） =
uuur uuur
③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù) a + bi(a, b R) 的模，也就是向量O Z 的模，即有向線段O Z 的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式
為 | z |=| a +bi |= a2 +b2 ，顯然， | z |=| a -bi |= a2 +b2 ,z × z = a2 +b2 ．
z 1+ i2024· · = 1【診斷自測(cè)】（ 湖南衡陽(yáng) 模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù) ，則 z 的虛部為（ ）3- i
A． -2i B． 2i C． 2 D．-2
知識(shí)點(diǎn) 2：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
1、復(fù)數(shù)運(yùn)算
（1） (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d ) i
（2） (a + bi) × (c + di) = (ac - bd ) + (ad + bc)i
ì(a + bi) × (a - bi) = z× z = a2 + b2 =| z |2
2 2
í(注意z =| z | )

z + z = 2a
2
其中 | z |= a +b2 ，叫 z 的模； z = a - bi 是 z = a + bi的共軛復(fù)數(shù) (a, b R) ．
3 a + bi (a + bi) × (c - di) (ac + bd ) + (bc - ad )i（ ） = = (c2 + d 2 0) ．
c + di (c + di) × (c - di) c2 + d 2
實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．
注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
uuuur uuuur uuur
以復(fù)數(shù) z1 , z2 分別對(duì)應(yīng)的向量OZ1,OZ2 為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ 2 ，對(duì)角線 OZ 表示的向量 O Z 就是
uuuuur
復(fù)數(shù) z1 + z2 所對(duì)應(yīng)的向量． z1 - z2 對(duì)應(yīng)的向量是Z2Z1 ．
2、復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù) z = a + bi(a, b R) 對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn) z(a,b) ；
uuur
（2）復(fù)數(shù) z = a + bi(a, b R) 對(duì)應(yīng)平面向量O Z ；
（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．
（4）復(fù)數(shù) z = a + bi(a, b R) 的模 | z |表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) z(a,b) 到原點(diǎn)的距離．
3、復(fù)數(shù)的三角形式
（1）復(fù)數(shù)的三角表示式
一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù) z = a + bi都可以表示成 r(cosq + i sinq ) 形式，其中 r 是復(fù)數(shù) z 的模；q是以 x 軸
uuur
的非負(fù)半軸為始邊，向量 O Z 所在射線（射線 OZ ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù) z = a + bi的輻
角． r(cosq + i sinq ) 叫做復(fù)數(shù) z = a + bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．
（2）輻角的主值
任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差2p 的整數(shù)倍．規(guī)定在 0 q < 2p 范圍內(nèi)的
輻角q的值為輻角的主值．通常記作 argz，即 0 arg z < 2p ．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角
形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．
（3）三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等
兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．
（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算
①兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即
r1 (cos q1 + i sin q1 ) × r2 (cos q 2 + i sin q 2 ) = r1r2 cos(q1 + q 2 ) + i sin(q1 + q 2 ) ．
②復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的幾何意義
uuuur uuuur uuuur
復(fù)數(shù) z , z 對(duì)應(yīng)的向量為OZ1,OZ2 ，把向量OZ1 2 1 繞點(diǎn) O 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角q 2 （如果q 2 < 0 ，就要把
uuuur
OZ uuur uuur1 繞點(diǎn) O 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 q2 ），再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的 r2倍，得到向量 O Z ， O Z 表示的復(fù)數(shù)就是
積 z1 z 2 ．
（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算
兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)
r1(cosq + i sinq ) r的輻角所得的差，即 1 1 = 1 cos(q1 -q2 ) + i sin(q1 -q ) ．r2 (cosq2 + i sinq 22 ) r2
1+ i
【診斷自測(cè)】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）若 z = 為純虛數(shù)， a R ，則 z +1 =（
a i ）+
A． 2 B． 3 C．2 D．3
解題方法總結(jié)
復(fù)數(shù) z 的方程在復(fù)平面上表示的圖形
(1) a z b 表示以原點(diǎn) O 為圓心，以 a 和 b 為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；
(2) | z－(a＋bi) |＝r r > 0 表示以 (a,b)為圓心，r 為半徑的圓．
題型一：復(fù)數(shù)的概念
【典例 1-1】（2024·新疆·三模）復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z + 2i = z ，則 z 的虛部為（ ）
A．- i B． i C． -1 D．1
2
【典例 1-2】（2024·湖北武漢· - i + i模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù) z = 3 ,則 z 的虛部是（ ）-1- i
A．1 B． -1 C． i D．- i
【方法技巧】
無(wú)論是復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運(yùn)算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部?jī)刹糠郑栽诮鉀Q復(fù)
數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí)要將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都認(rèn)識(shí)清楚．
【變式 1-1】（2024·重慶·三模）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 2z - iz =1，則 z 的虛部為（ ）
1 1
A． B．- C．3 D．-3
3 3
【變式 1-2】（2024· 2024福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若 z × 2 + i = 3 - i ，則 z 的虛部為（ ）
7 2 2
A． -1 B． C．- D．- i
5 5 5
【變式 1-3】若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z = z + 2i
z
，且 為純虛數(shù)，則 z = .
2 - z
題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【典例 2-1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z - 2z = 2 - 3i，則 z =（ ）
A．-2- i B． 2 - i C．-2+ i D． 2 + i
【典例 2-2】設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 1- i 1+ 2i =（ ）
A．3+3i B．-1+3i C．3+ i D．-1+ i
【方法技巧】
設(shè) z1 = a + bi, z2 = c + di(a , b, c, d R ) ，則
（1） z1 ± z2 = a ± c + (b ± d )i
（2） z1 × z2 = ac - bd + (ad + bc)i
（3 z ac + bd bc - ad） 1 = 2 2 + i(z 0)z2 c + d c
2 + d 2 2
z - i
【變式 2-1】（2024·青海海南·一模）已知 z = 3+ 2i ，則 2 =(1 i) （ ）-
A．3 - 3i B．3+ 3i
3 3 i 3 3C． - D． + i
2 2 2 2
【變式 2-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）下列有關(guān)復(fù)數(shù) z1 ， z2 的等式中錯(cuò)誤的是（ ）
A． z1 + z2 = z1 + z2 B． z1 + z2 = z1 + z2
C． z1 × z2 = z1 × z2 D． z1 × z2 = z1 z2
【變式 2-3】已知復(fù)數(shù) z1 ， z2 的模長(zhǎng)為 1，且 z1 + z2 = z1z2 ，則 z1 + z2 的值是（ ）
A．1 B． -1 C． i D．- i
題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義
z
3-1 2024· · z = 2i2024【典例 】（ 山西呂梁 三模）已知復(fù)數(shù) 滿(mǎn)足 (1 i)i ，則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（- ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例 3-2】若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 2 + 3i z = i2024 + 8i2025 ，則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【方法技巧】
復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是復(fù)平面上的點(diǎn)，其實(shí)部、虛部分別是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這是
研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點(diǎn)．
3+ i
【變式 3-1】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù) z1 = 的實(shí)部為 a, z2 = i 2 + i 的虛部為b ，則1- i
z = a + b +1 i 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式 3-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z + 2z = 3 + i（i 為虛數(shù)單位)，則 z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3+ i
【變式 3-3】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù) z1 = 的實(shí)部為 a, z2 = i 2 + i 的虛部為b ，則1- i
z = a + b +1 i 的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
r π
【變式 3-4】（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3- 3i對(duì)應(yīng)的向量 a 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) ，3
r
所得向量在 a 上的投影向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是（ ）
A． 2 3 3i B 3 - 3i 3- 3i- ．3- 2 3i C． D．
2 2
題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)
2
【典例 4-1】（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知 a R ，且 ai + =1，則a = ．
1+ i
【典例 4-2】已知復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)是 z ，若 2i × z = z × z + i2024，則 z = .
【方法技巧】
復(fù)數(shù)相等： a + bi = c + di a = c且b = d (a ，b ，c ，d R )
共軛復(fù)數(shù)： a + bi = c + di a = c且b = -d (a ，b ，c ，d R) ．
2
【變式 4-1】（2024·山東聊城·二模）已知 a R ，且 ai + =1，則a = ．
a + i
【變式 4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)） i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z + z = 8 + 4i，復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)為 z ，則 z 的虛
部為 ．
【變式 4-3】已知 a,b R ，且滿(mǎn)足 (1+ 2i)(a + bi) = 3 - i （其中 i為虛數(shù)單位），則 a2 + b2 = ．
【變式 4-4】已知 a，b R ， 1- i 2 + bi = a，則 a + b = .
題型五：復(fù)數(shù)的模
【典例 5-1 2】已知復(fù)數(shù) z1 = a(a - 3i), z2 = -a + (a + 2)i, (a Z)，且 z1 + z2 = 2 10 ，則a = .
【典例 5-2】（2024·江西南昌·三模）已知復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z + 2 = iz，則 | z |= .
【方法技巧】
| z |= a2 +b2
8 + 6i
【變式 5-1】復(fù)數(shù) (3 - 4i)3 的模為 .
【變式 5-2】已知 z1 = 3，z2 = 4，z1 + z2 = 5，則 | z1 - z2 |= ．
【變式 5-3】（2024·福建廈門(mén)·三模）復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z + z = 2， zz = 4 ，則 | z - z |= .
1 1 1
【變式 5-4】已知復(fù)數(shù)數(shù)列 zn 滿(mǎn)足 zn = n + ni ，則 2 + 2 + ×××+ 2 = .z1 z2 z2023
題型六：復(fù)數(shù)的三角形式
【典例 6-1】一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù) z = a + bi （ a，b R ）都可以表示成 r cosq + i sinq 形式，其中 r 是
復(fù)數(shù) z 的模，q 是以 x 軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ 所在射線（射線OZ ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)
z = a + bi 的輻角， r cosq + i sinq 叫做復(fù)數(shù) z = a + bi 的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分
開(kāi)來(lái)， a + bi（ a，b R ）叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)“代數(shù)形式”. 已知 z1 = cosq1 + i sinq1 ，
z2 = cosq
π π
2 + i sinq2， cos p +q
3
1 +q2 =

，其中q1 0,

÷ ，q
0, 2 ÷，則 z1z2 = ．(結(jié)果表示代數(shù)5 è 2 è 2
形式)
π π
【典例 6-2】計(jì)算10(cos + i sin ) (-2 3 + 2i) ( 2 - 2i)3 3 的結(jié)果是 .
【方法技巧】
一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù) z = a + bi都可以表示成 r(cosq + i sinq ) 形式，其中 r 是復(fù)數(shù) z 的模；q是以 x 軸
uuur
的非負(fù)半軸為始邊，向量O Z 所在射線（射線OZ ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù) z = a + bi的輻
角． r(cosq + i sinq ) 叫做復(fù)數(shù) z = a + bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．
【變式 6-1】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知 eiq = cosq + isinq ，則在下列表達(dá)式中表示sinq 的是（ ）
eiq - e-iq eiq + e-iqA． B．
2i 2i
e-iq - eiq eiq -iqC D + e． ．-
2i 2i
【變式 6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復(fù)數(shù) z = a + bi(a,b R,i是虛數(shù)單位 )在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z ，設(shè)
r = OZ ,q 是以 x 軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z 所在的射線為終邊的角，則 z = a + bi = r cosq + isinq ，把
r cosq + isinq 叫做復(fù)數(shù) a + bi的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，
[r cosq + isinq ]n = r n cosnq + isinnq n N* ，例如：
3
1 3 2π 2π 3 4
- + i ÷÷ = cos + isin
4 π π
2 2 3 3 ÷
= cos2π + isin2π =1， (1+ i) = 2
è
cos + isin
4 4 ÷÷
= 4 cosπ + isinπ = -4，
è è è
復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足： z3 =1+ i ，則 z 可能取值為（ ）
2 A． cos
π π 3π
+ isin ÷ B． 2 cos + isin
3π
è 12 12 4 4 ÷è
C 6 2
cos 5π + isin 5π D 6 2
cos17π isin 17π+ ． ．
è 4 4 ÷ 12 12 ÷ è
【變式 6-3】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式 (cos x + i ×sin x)n = cos(nx) + i ×sin(nx) （其中 i 為虛數(shù)單位）
π π
2

是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù) cos + i ×sin ÷ 在復(fù)平面內(nèi)所
è 3 3
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式 6-4】（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）任意一個(gè)復(fù)數(shù) z = a + bi 都可以表示成三角形式，即
a + bi = r cosq + i sinq ．棣莫弗定理是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667－1754 年）創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個(gè)復(fù)
數(shù) z1 = r1 cosq1 + i sinq1 ， z2 = r1 cosq2 + i sinq2 ，則 z1z2 = r1r2 é cos q1 +q2 + i sin q1 +q2 ù ，已知復(fù)數(shù)
z 1 3= + i，則 z2023 + z2 + z =（ ）
2 2
A 1 1 3． 2 B． + i C
1 3
． - i D．1
2 2 2 2
題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題
【典例 7-1】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù) z1 ， z2 滿(mǎn)足 | z1 - 3i |= 2， | z2 - 4 |=1，則 | z1 - z2 |的最大值是
（ ）
A．6 - 2 B．6 + 2 C．7 D．8
【典例 7-2】（2024·山東煙臺(tái)·三模）若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z = z - 2 - 2i ，則 z 的最小值為（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【方法技巧】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化
11π
【變式 7-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知復(fù)數(shù) z0 = 6 cos + isin
11π
÷，復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z - z0 = 1，則 z
è 6 6
的最大值為（ ）
A．7 B．6 C． 4 3 D．6 3
【變式 7-2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z =1，則 z - 2i 的取值范圍為（ ）
A． 0,2 B． 1,3 C． 2,4 D． 1,9
【變式 7-3】（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù) z = cosq + i sinq ，則 z - 2 + 2i 的最大值是（ ）
A． 2 2 -1 B． 2 2 +1 C． 2 +1 D． 2 2 + 3
【變式 7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知復(fù)數(shù) z1 ， z2 滿(mǎn)足 z1 + 3 - i + z1 - 3 + i = 2 5 ， z2 = 2 + 2 3i （其
中 i 是虛數(shù)單位），則 z1 - z2 的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． 5 D．3
【變式 7-5】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z - i = z -1 ，則 z +1 的最小值為（ ）
A 2 1． B．1 C． 2 D．
2 2
【變式 7-6】已知復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 | z -1 | + | z +1 |= 4，則 | z |的取值范圍為（ ）
A．[0,1] B．[2,3] C．[1, 3] D．[ 3, 2]
【變式 7-7】（2024·安徽安慶·一模）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足條件|z|＝1，那么 z + 3 + i 取最大值時(shí)的復(fù)數(shù) z 為（ ）
A 3． + 12 i B
3 1 3 1
． - + 2 i C． - i D
3 1
．- - i
2 2 2 2 2 2
題型八：復(fù)數(shù)方程
【典例 8-1】（2024· 2湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù) i - 2是關(guān)于 x 的方程 x + px + q = 0 p, q R 的一個(gè)根，
則 pi + q = （ ）
A．25 B．5 C． 41 D．41
【典例 8-2】（2024·江蘇·一模）已知 2 + i 是關(guān)于 x 的方程 x2 + ax + 5 = 0的根，則實(shí)數(shù)a = （ ）
A． 2 - i B．-4 C．2 D．4
【方法技巧】
復(fù)數(shù)方程是包含復(fù)數(shù)的方程，其中復(fù)數(shù)具有實(shí)部和虛部。解復(fù)數(shù)方程時(shí)，通常將利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式
及三角形式進(jìn)行求解。
【變式 8-1】（2024·上海嘉定·三模）已知復(fù)數(shù) x 滿(mǎn)足方程 x2 = -3，那么 x = .
【變式 8-2】已知 2i - 3是關(guān)于 x 的方程 x2 + px + q = 0的一個(gè)根，其中 p， q R ，則 p＋q＝ ．
【變式 8-3】若1+ 2i 是關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)方程 x2 + bx + c = 0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則 c = .
【變式 8-4】3+ 4i的平方根為
【變式 8-5】（2024·高三·上海浦東新·開(kāi)學(xué)考試）若實(shí)系數(shù)方程 x2 + ax + b = 0 的一個(gè)根是 i，則 a + b = ．
1．（2024 年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè) z = 2i，則 z × z = （ ）
A．-2 B． 2 C．- 2 D．2
z
2．（2024 年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）若 =1+ i，則 z =（
z 1 ）-
A．-1- i B．-1+ i C．1- i D．1+ i
3．（2024 年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若 z = 5 + i ，則 i z + z =（ ）
A．10i B． 2i C．10 D． 2
z
4．（2024 年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知 = -1- i ，則 z =（ ）．
i
A．-1- i B．-1+ i C．1- i D．1+ i
5．（2024 年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知 z = -1- i ，則 z = （ ）
A．0 B．1 C． 2 D．2
1．利用公式 a2 + b2 = (a + bi)(a - bi)，把下列各式分解成一次因式的積；
（1） x2 + 4 ；
（2） a4 - b4 .
2．若 z = x + yi(x, y R)，則復(fù)平面內(nèi)滿(mǎn)足 | z - (2 + i) |= 3的點(diǎn) 2 的集合是什么圖形？
3．已知－3＋2i 是關(guān)于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0 的一個(gè)根，求實(shí)數(shù) p、q 的值．
4．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：
（1） x2 + 4x + 5 = 0；
（2） 2x2 - 3x + 4 = 0 .
易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用有誤
2
(1) a + bi = a2 + 2abi - b2 a,b R (a + b)2 = a2 2易錯(cuò)分析： 區(qū)分 與 + 2ab + b a,b R
(2)區(qū)分 a + bi a - bi = a2 + b2 a,b R 與 (a + b) a - b = a2 - b2 a,b R
【易錯(cuò)題 1】設(shè)有下面四個(gè)命題
p 11：若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 R ，則 z R ；z
p2：若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z2 R ，則 z R ；
p3 ：若復(fù)數(shù) z1, z2 滿(mǎn)足 z1z2 R，則 z1 = z2 ；
p4：若復(fù)數(shù) z R，則 z R .
其中的真命題為
A． p1, p3 B． p1, p4
C． p2 , p3 D． p2 , p4
4 + 3i
【易錯(cuò)題 2】已知 = a + bi（ a,b R ， i為虛數(shù)單位），則 a + b =（
2 i ）-
A． -1 B．3 C．1 D．2
答題模板：復(fù)數(shù)式的計(jì)算
1、模板解決思路
復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是知道 i2 = -1．復(fù)數(shù)的乘法類(lèi)似多項(xiàng)式（或單項(xiàng)式）乘法，復(fù)數(shù)的除
法類(lèi)似分母有理化．
2、模板解決步驟
第一步：如果是除法運(yùn)算，利用分母有理化，將復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)．
第二步：按照多項(xiàng)式乘法，將復(fù)數(shù)乘法化簡(jiǎn)．
第三步：把 i2 = -1代入，進(jìn)一步化簡(jiǎn)，求得最終結(jié)果．
z + b
【經(jīng)典例題 1】已知 a，b 為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù) z = a + 2i，若 = 2ai ，則 | a | - b =（ ）
z
A．-2 B． -1 C．1 D．2
【經(jīng)典例題 2】計(jì)算 1+ i 2- i = （其中 i為虛數(shù)單位）．第 03 講 復(fù)數(shù)
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 .........................................................................................................................2
02 知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 1：復(fù)數(shù)的概念.........................................................................................................................4
知識(shí)點(diǎn) 2：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.................................................................................................................4
解題方法總結(jié)........................................................................................................................................6
題型一：復(fù)數(shù)的概念............................................................................................................................6
題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算............................................................................................................................8
題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義..................................................................................................................10
題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)......................................................................................................12
題型五：復(fù)數(shù)的模..............................................................................................................................13
題型六：復(fù)數(shù)的三角形式..................................................................................................................15
題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題......................................................................................................18
題型八：復(fù)數(shù)方程..............................................................................................................................23
04 真題練習(xí)·命題洞見(jiàn)........................................................................................................................25
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................26
06 易錯(cuò)分析·答題模板........................................................................................................................27
易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用有誤..................................................................................................27
答題模板：復(fù)數(shù)式的計(jì)算..................................................................................................................28
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
2024 年 I 卷第 2 題，5 分
2024 年 II 卷第 1 題，5 分 高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查相對(duì)穩(wěn)定，每年必考題
（1）復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 2023 年 I 卷第 2 題，5 分 型，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不
（2）復(fù)數(shù)的幾何意義 2023 年 II 卷第 1 題，5 分 大．復(fù)數(shù)的運(yùn)算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何
（3）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 2022 年 I 卷 II 卷第 2 題，5 分 意義是常考點(diǎn)，難度較低，預(yù)測(cè)高考在此處仍以
2021 年 II 卷第 1 題，5 分 簡(jiǎn)單題為主．
2021 年 I 卷第 2 題，5 分
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)．
（2）理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義．
（3）掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義．
知識(shí)點(diǎn) 1：復(fù)數(shù)的概念
（1） i 叫虛數(shù)單位，滿(mǎn)足 i2 = -1，當(dāng) k Z 時(shí)， i 4 k = 1, i 4 k +1 = i, i 4 k + 2 = -1, i 4 k + 3 = -i ．
（2）形如 a + bi(a, b R) 的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作 a +bi C．
①?gòu)?fù)數(shù) z = a + bi(a, b R) 與復(fù)平面上的點(diǎn) Z (a , b) 一一對(duì)應(yīng)， a 叫 z 的實(shí)部，b 叫 z 的虛部；
b = 0 z R, Z 點(diǎn)組成實(shí)軸；b 0, z 叫虛數(shù)；b 0且a=0，z 叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括
原點(diǎn)）．兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．
ìa = c
②兩個(gè)復(fù)數(shù) a + bi, c + di(a,b, c, d R) 相等 í （兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）
b = d
uuur uuur
③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù) a + bi(a, b R) 的模，也就是向量O Z 的模，即有向線段O Z 的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式
為 | z |=| a +bi |= a2 +b2 ，顯然， | z |=| a -bi |= a2 +b2 ,z × z = a2 +b2 ．
1+ i 1
【診斷自測(cè)】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù) z = ，則 z 的虛部為（3 i ）-
A． -2i B． 2i C． 2 D．-2
【答案】D
1 3-i 3-i 1-i 3-1- 4i
【解析】 = = = =1- 2iz 1 ，+i 1+i 1-i 2
1
所以 z 的虛部為-2 .
故選：D.
知識(shí)點(diǎn) 2：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
1、復(fù)數(shù)運(yùn)算
（1） (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d ) i
（2） (a + bi) × (c + di) = (ac - bd ) + (ad + bc)i
ì(a + bi) × (a - bi) = z× z = a2 + b2 =| z |2

í(注意z2 =| z |2 )

z + z = 2a
| z |= a2 2其中 +b ，叫 z 的模； z = a - bi 是 z = a + bi的共軛復(fù)數(shù) (a, b R) ．
3 a + bi (a + bi) × (c - di) (ac + bd ) + (bc - ad )i（ ） = = (c2 + d 2 0) ．
c + di (c + di) × (c - di) c2 + d 2
實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．
注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
uuuur uuuur
OZ ,OZ uuur以復(fù)數(shù) z1 , z2 分別對(duì)應(yīng)的向量 1 2 為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ 2 ，對(duì)角線 OZ 表示的向量 O Z 就是
uuuuur
復(fù)數(shù) z1 + z 所對(duì)應(yīng)的向量． z - z 對(duì)應(yīng)的向量是Z Z2 1 2 2 1 ．
2、復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù) z = a + bi(a, b R) 對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn) z(a,b) ；
uuur
（2）復(fù)數(shù) z = a + bi(a, b R) 對(duì)應(yīng)平面向量O Z ；
（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．
（4）復(fù)數(shù) z = a + bi(a, b R) 的模 | z |表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) z(a,b) 到原點(diǎn)的距離．
3、復(fù)數(shù)的三角形式
（1）復(fù)數(shù)的三角表示式
一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù) z = a + bi都可以表示成 r(cosq + i sinq ) 形式，其中 r 是復(fù)數(shù) z 的模；q是以 x 軸
uuur
的非負(fù)半軸為始邊，向量 O Z 所在射線（射線 OZ ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù) z = a + bi的輻
角． r(cosq + i sinq ) 叫做復(fù)數(shù) z = a + bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．
（2）輻角的主值
任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差2p 的整數(shù)倍．規(guī)定在 0 q < 2p 范圍內(nèi)的
輻角q的值為輻角的主值．通常記作 argz，即 0 arg z < 2p ．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角
形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．
（3）三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等
兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．
（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算
①兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即
r1 (cos q1 + i sin q1 ) × r2 (cos q 2 + i sin q 2 ) = r1r2 cos(q1 + q 2 ) + i sin(q1 + q 2 ) ．
②復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的幾何意義
uuuur uuuur uuuur
復(fù)數(shù) z1 , z OZ ,OZ OZ2 對(duì)應(yīng)的向量為 1 2 ，把向量 1 繞點(diǎn) O 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角q 2 （如果q 2 < 0 ，就要把
uuuur
OZ uuur uuur1 繞點(diǎn) O 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 q2 ），再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的 r2倍，得到向量 O Z ， O Z 表示的復(fù)數(shù)就是
積 z1 z 2 ．
（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算
兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)
r (cosq + i sinq ) r
的輻角所得的差，即 1 1 1 = 1 cos(q
r (cosq + i sinq ) r 1
-q2 ) + i sin(q1 -q2 ) ．
2 2 2 2
1+ i
【診斷自測(cè)】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）若 z = 為純虛數(shù)， a R ，則 z +1 =（ ）a + i
A． 2 B． 3 C．2 D．3
【答案】A
1+ i 1+ i a - i a +1+ a -1 i
【解析】 z = = =a + i a - i a + i a2 1 ，+
ì a +1
2 = 0
因?yàn)?z
a +1
為純虛數(shù)，所以 í ，所以 a = -1a 1 ， z = -i ， -
a2
0
+1
所以 z +1 = 1- i = 2 .
故選：A.
解題方法總結(jié)
復(fù)數(shù) z 的方程在復(fù)平面上表示的圖形
(1) a z b 表示以原點(diǎn) O 為圓心，以 a 和 b 為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；
(2) | z－(a＋bi) |＝r r > 0 表示以 (a,b)為圓心，r 為半徑的圓．
題型一：復(fù)數(shù)的概念
【典例 1-1】（2024·新疆·三模）復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z + 2i = z ，則 z 的虛部為（ ）
A．- i B． i C． -1 D．1
【答案】C
【解析】設(shè) z = a + bi 且 a,b R ，則 z + 2i=a + bi + 2i = a + b + 2 i ，
因?yàn)?z + 2i = z ，所以 a2 + b + 2 2 = a2 + b2 ,解得：b = -1，則 z 的虛部為 -1 .
故選：C
1-2 2024· · z - i
2 + i
【典例 】（ 湖北武漢 模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù) = 3 ,則 z 的虛部是（ ）-1- i
A．1 B． -1 C． i D．- i
【答案】A
z 1+ i 1+ i 1+ i 【解析】 = = - = -i1 ,則 ,虛部是1.- + i 1- i 1+ i z = i
故選:A.
【方法技巧】
無(wú)論是復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運(yùn)算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部?jī)刹糠郑栽诮鉀Q復(fù)
數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí)要將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都認(rèn)識(shí)清楚．
【變式 1-1】（2024·重慶·三模）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 2z - iz =1，則 z 的虛部為（ ）
1 1
A． B．- C．3 D．-3
3 3
【答案】A
【解析】設(shè)復(fù)數(shù) z = a + bi(a,b R)，
因?yàn)閺?fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 2z - iz =1，可得 2a + 2bi - i a - bi =1，
即 2a - b + 2b - a i =1，則 2a - b =1 2b 1， - a = 0，解得b = ，
3
1
所以復(fù)數(shù) z 的虛部為 .
3
故選：A.
【變式 1-2】（2024· 2024福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若 z × 2 + i = 3 - i ，則 z 的虛部為（ ）
7 2 2
A． -1 B． C．- D．- i
5 5 5
【答案】C
3- i2024 2 2 2 - i 4 2
【解析】 z = = = = - i2 ，+ i 2 + i 2 + i 2 - i 5 5
z 2所以 的虛部是- .
5
故選：C
z
【變式 1-3】若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z = z + 2i ，且 為純虛數(shù)，則 z = .
2 - z
【答案】1- i / -i +1
z z ai(a R a 0) 2ai -2a + 2a + 2 i【解析】因?yàn)?為純虛數(shù)，設(shè) = ，且 ，則 z = , z + 2i = ，
2 - z 2 - z 1+ ai 1+ ai
2ai -2a + 2a + 2 i
因?yàn)?z = z + 2i ，所以 = ，所以 2 a = (-2a)2 + (2a + 2)2 ，
1+ ai 1+ ai
-2i
解得 a = -1，所以 z = =1- i .
1- i
故答案為：1- i .
題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【典例 2-1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z - 2z = 2 - 3i，則 z =（ ）
A．-2- i B． 2 - i C．-2+ i D． 2 + i
【答案】A
【解析】令復(fù)數(shù) z = a + bi,a R,b R ，則 z - 2z = a + bi - 2 a - bi = -a + 3bi = 2 - 3i，
ì-a = 2 ìa = -2
根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件有 í3b ，解得 ，所以 z = -2 - i ． = -3
í
b = -1
故選：A
【典例 2-2】設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 1- i 1+ 2i =（ ）
A．3+3i B．-1+3i C．3+ i D．-1+ i
【答案】C
【解析】由 (1- i)(1+ 2i) = 1+ 2i - i - 2i2 = 3 + i .
故選: C．
【方法技巧】
設(shè) z1 = a + bi, z2 = c + di(a , b, c, d R ) ，則
（1） z1 ± z2 = a ± c + (b ± d )i
（2） z1 × z2 = ac - bd + (ad + bc)i
3 z1 ac + bd bc - ad（ ） = 2 2 + 2 i(z 0)z2 c + d c + d
2 2
z - i
【變式 2-1】（2024·青海海南·一模）已知 z = 3+ 2i ，則 2 =(1 i) （- ）
A．3 - 3i B．3+ 3i
3 3
C． - i
3 3
D． + i
2 2 2 2
【答案】D
【解析】因?yàn)?z = 3+ 2i ，所以 z = 3- 2i ，
z - i 3 1- i 3 1- i 3 1- i i 3 3
則 2 = 2 = = = + i ，(1- i) (1- i) -2i 2 2 2
故選：D.
【變式 2-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）下列有關(guān)復(fù)數(shù) z1 ， z2 的等式中錯(cuò)誤的是（ ）
A． z1 + z2 = z1 + z2 B． z1 + z2 = z1 + z2
C． z1 × z2 = z1 × z2 D． z1 × z2 = z1 z2
【答案】A
【解析】設(shè) z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i(x1, x2 , y1, y2 R) ，
對(duì)于 A，令 z1 =1, z2 = -2 ， z1 + z2 =1 3 = z1 + z2 ，A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B， z1 + z2 = (x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i = (x1 + x2 ) - (y1 + y2 )i
= (x1 - y1i) + (x2 - y2i) = z1 + z2 ，B 正確；
對(duì)于 C， z1 × z2 = (x1 + y1i)(x2 + y2i) = (x1x2 - y1y2 ) + (x1 y2 + x2 y1)i，
則 z1 × z2 = (x1x2 - y1 y2 ) - (x1y2 + x2 y1)i， z1 × z2 = (x1 - y1i)(x2 - y2i) = (x1x2 - y1 y2 ) - (x1y2 + x2 y1)i ，
因此 z1 × z2 = z1 × z2 ，C 正確；
對(duì)于 D， | z1 × z2 |= (x1x2 - y1 y
2
2 ) + (x1y2 + x y )
2 = (x2 + y22 1 1 1 )(x
2
2 + y
2
2 ) =| z1 || z2 |，D 正確.
故選：A
【變式 2-3】已知復(fù)數(shù) z1 ， z2 的模長(zhǎng)為 1，且 z1 + z2 = z1z2 ，則 z1 + z2 的值是（ ）
A．1 B． -1 C． i D．- i
【答案】A
【解析】設(shè) z1 = a + bi a,b R ， z2 = c + di c,d R ，
則 z1 = a - bi ， z2 = c - di，
所以 z1 z1 = a + bi a - bi = a2 + b2 =1，
z2 z2 = c + di c - di = c2 + d 2 =1，
因?yàn)?z1 = a
2 + b2 =1， z = c2 + d 2 =1，所以 a22 + b
2 =1， c2 + d 2 = 1，
1 1
因?yàn)?z z
z z
1 + 2 = z1z2 ，所以 + =1z z ，所以
2 + 1 =1，
2 1 z2 z2 z1 z1
即 z1 + z2 =1，所以 a - bi+c - di = a + c - b + d i=1，
所以 a + c =1，b + d = 0，
所以 z1 + z2 = a + bi+c + di = a + c + b + d i=1 .
故選：A .
題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義
z
【典例 3-1】（2024· 2024山西呂梁·三模）已知復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 = 2i(1 i)i ，則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（- ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
z 2024
【解析】由復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 = 2i = 2(1 i)i ，可得
z = 2i × 1- i = 2 + 2i，則
- z = 2 - 2i，
則復(fù)數(shù) z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 2, -2 位于第四象限.
故選：D.
3-2 z 2 + 3i z = i2024【典例 】若復(fù)數(shù) 滿(mǎn)足 + 8i2025 ，則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
2024 2025
【解析】因?yàn)? 2 + 3i z = i + 8i ，
i2024 + 8i2025 1+ 8i 1+ 8iz 2 - 3i 所以 = = = = 2 + i2 + 3i 2 + 3i 2 + 3i 2 - 3i ，
所以 z = 2 - i，所以復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 2,-1 ，位于第四象限．
故選：D．
【方法技巧】
復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是復(fù)平面上的點(diǎn)，其實(shí)部、虛部分別是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這是
研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點(diǎn)．
3+ i
【變式 3-1】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù) z1 = 的實(shí)部為 a, z2 = i 2 + i 的虛部為b ，則1- i
z = a + b +1 i 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
z 3+ i 3+ i 1+ i【解析】 1 = = × =1+ 2i, z = i 2 + i = -1+ 2i，所以 a =1,b = 2，所以 z =1+ 3i ，1- i 1- i 1+ i 2
其在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 1,3 ，位于第一象限．
故選：A．
【變式 3-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z + 2z = 3 + i（i 為虛數(shù)單位)，則 z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】設(shè) z = a + bi,(a,b R) ，則 z = a - bi ，
則 a + bi + 2 a - bi = 3+ i ，即3a - bi = 3+ i，所以3a = 3， -b = -1，
解得 a =1，b = -1，故 z =1- i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 1,-1 在第四象限．
故選：D．
3+ i
【變式 3-3】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù) z1 = 的實(shí)部為 a, z2 = i 2 + i 的虛部為b ，則1- i
z = a + b +1 i 的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
3 + i 3 + i 1+ iz 【解析】由復(fù)數(shù) 1 = = =1+ 2i, z2 = i × (2 + i) = -1+ 2i1 i 1 i 1 i ，可得
a =1,b = 2，
- - +
所以 z =1+ 3i ，所以 z =1- 3i 在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 1, -3 ，位于第四象限．
故選：D．
r π
【變式 3-4】（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3- 3i對(duì)應(yīng)的向量 a 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) ，3
r
所得向量在 a 上的投影向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是（ ）
A． 2 3 - 3i B．3- 2 3i C 3 - 3i． D 3- 3i．
2 2
【答案】D
r π
【解析】因?yàn)榘褟?fù)數(shù)3- 3i對(duì)應(yīng)的向量 a = (3, - 3) 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) ，3
所以旋轉(zhuǎn)后的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
(3 - 3i)[cos( π π- ) + i sin(- )] = (3 - 3i)(1 3 i) 3 3 3 i 3 3- = - - i + i2 = -2 3i，
3 3 2 2 2 2 2 2
r
所以旋轉(zhuǎn)后的向量b = 0, -2 3 ，
ar
r
又因?yàn)?×b = 6， a
r
= 32 + (- 3)2 = 2 3 ，
r rr r a r×b a 1 r 3 3 3 3
所以向量b 在 a上的投影向量是 ar
×
ar
= a = , -2 2 2 ÷÷ ，即對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是 - i .è 2 2
故選：D .
題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)
2
【典例 4-1】（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知 a R ，且 ai + =1，則a = ．
1+ i
【答案】1
2 2 1- i
【解析】由題意可得： ai =1- =1- = i1 ，所以 a =1 .+ i 1+ i 1- i
故答案為：1.
【典例 4-2】已知復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)是 z ，若 2i × z = z × z + i2024，則 z = .
【答案】- i
【解析】設(shè) z = a + bi,a,b R，則 z = a - bi ，
2024 4 506因?yàn)?i = i =1，所以 2i a + bi = a + bi a - bi +1，
整理得-2b + 2ai = a2 + b2 +1，
ìa2 + b2 +1 = -2b
所以 í ，解得 a = 0,b = -1，所以 z = -i .
2a = 0
故答案為：- i
【方法技巧】
復(fù)數(shù)相等： a + bi = c + di a = c且b = d (a ，b ，c ，d R )
共軛復(fù)數(shù)： a + bi = c + di a = c且b = -d (a ，b ，c ，d R) ．
2
【變式 4-1】（2024·山東聊城·二模）已知 a R ，且 ai + =1，則a = ．
a + i
【答案】1
2 2 a - i 2a - 2i 2a 2
【解析】 ai + = ai + = ai + = + a -a + i a + i a - i a2 +1 a2 +1 è a2 ÷
i =1
1 ，+
ì 2a
a2
=1
+1
所以 í ，解得a =12 . a - 2 = 0 a +1
故答案為：1
【變式 4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)） i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z + z = 8 + 4i，復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)為 z ，則 z 的虛
部為 ．
【答案】-4
【解析】解法一：
設(shè)復(fù)數(shù) z = x + yi x, y R ，則 x + yi + x2 + y2 = 8 + 4i ，
ìx + x2 + y2 = 8
由復(fù)數(shù)相等，得 í ，解得 x = 3，即復(fù)數(shù) z = 3+ 4i ，
y = 4
所以 z = 3- 4i ，所以 z 的虛部為-4．
解法二：
由 z + z = 8 + 4i，得 z = 8 - z + 4i．因?yàn)?z 是實(shí)數(shù)，所以8 - z 也是實(shí)數(shù)，
則有 z = 8 - z - 4i，所以 z 的虛部為-4．
故答案為：-4
【變式 4-3】已知 a,b R ，且滿(mǎn)足 (1+ 2i)(a + bi) = 3 - i （其中 i為虛數(shù)單位），則 a2 + b2 = ．
【答案】2
【解析】由題意 (1+ 2i)(a + bi) = 3 - i ，可得 (a - 2b) + (2a + b)i = 3- i，
ì 1
ìa - 2b = 3 a = 5
所以 í2a b 1，解得+ = - í ，所以 a
2
7 + b
2 = 2 .
b = -
5
故答案為：2
【變式 4-4】已知 a，b R ， 1- i 2 + bi = a，則 a + b = .
【答案】6
【解析】 1- i 2 + bi = 2 + b + b - 2 i = a ，故 2 + b = a ，b - 2 = 0，得b = 2 ， a = 4，所以 a + b = 6 .
故答案為：6.
題型五：復(fù)數(shù)的模
【典例 5-1 2】已知復(fù)數(shù) z1 = a(a - 3i), z2 = -a + (a + 2)i, (a Z)，且 z1 + z2 = 2 10 ，則a = .
【答案】 -1或 3
z = a(a - 3i) = a2【解析】復(fù)數(shù) 1 - 3ai, z = -a + (a
2
2 + 2)i, (a Z)，
z + z = a2可得 - a + (a2 - 3a + 2)i, (a Z) ，則 z + z = (a2 - a)2 + (a21 2 1 2 - 3a + 2)
2 = 2 10, (a Z)
整理得， (a -1)2 (a2 - 2a + 2) = 20，即 (a -1)2[(a -1)2 +1] = 20
因?yàn)?a Z，所以 (a -1)2 Z,(a -1)2 +1 Z且 (a -1)2 > 0, (a -1)2 +1 > 0，
又因 20 = 4 5 = 22 (22 +1)，故 (a -1)2 = 4，解得， a = 3或 a = -1 .
故答案為：-1或 3.
【典例 5-2】（2024·江西南昌·三模）已知復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z + 2 = iz，則 | z |= .
【答案】 2
a + 2 = -b
【解析】令 z = a + bi ，則有 a + bi+2=i a + bi ì，即 a+2 + bi= - b + ai，\í
b a
，
=
解得 a = b = -1，即 z = -1- i ，\| z |= 2 .
故答案為： 2 .
【方法技巧】
| z |= a2 +b2
8 + 6i
【變式 5-1】復(fù)數(shù) (3 - 4i)3 的模為 .
2
【答案】 / 0.08
25
8 + 6i -8i2 + 6i 2i 2i -48 -14i 48 14
【解析】 3 = 3 = = = = - - i(3 - 4i) (3 - 4i) (3 - 4i)2 -7 - 24i 252 252 252
8 + 6i 2 72 + 242 2
故
(3 - 4i)3
= = ．
252 25
2
故答案為： ．
25
【變式 5-2】已知 z1 = 3，z2 = 4，z1 + z2 = 5，則 | z1 - z2 |= ．
【答案】5
【解析】假設(shè) z1 = a + bi a，b R ，z2 = m + ni m,n R ，
則 z1 + z2 = a + m + b + n i， z1 - z2 = a - m + b - n i，
∵ z1 = 3，z2 = 4，z1 + z2 = 5，
∴ a2 + b2 = 9 ①，m2 + n2 =16 ②， (a + m)2 + (b + n)2 = 25③，
∴③-①-②得 2(am + bn) = 0，
∴ | z1 - z2 |
2 = (a - m)2 + (b - n)2 = a2 + b2 + m2 + n2 - 2(am + bn) = 25，
∴ | z1 - z2 |= 5，
故答案為：5
【變式 5-3】（2024·福建廈門(mén)·三模）復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z + z = 2， zz = 4 ，則 | z - z |= .
【答案】 2 3
【解析】設(shè) z = a + bi a,b R ，則 z = a - bi ，
由 z + z = 2， zz = 4 ，
ì2a = 2 ì a =1
得 ía2 b2 4，解得 ， + =
í
b = ± 3
所以 z - z = 2bi = 2 3 ，
故答案為： 2 3 .
1 1 1
【變式 5-4】已知復(fù)數(shù)數(shù)列 zn 滿(mǎn)足 zn = n + ni ，則 2 + 2 + ×××+ 2 = .z1 z2 z2023
2023
【答案】
2024
【解析】因?yàn)?zn = n + ni ，則 z
2
n = n + ni 2 = n2 - n + 2n ni，
2
所以 z2
2 2
n = n2 - n + 2n n = n2 + n = n2 + n = n n +1
1 1 1 1 1
所以 2 = = = -zn z2 n n +1 n n +1
，
n
1 1 1
所以 2 + 2 + ×××+z1 z
2
2 z2023
= 1
1
-
1 1 1 1 1 2023
÷ + - ÷ + ××× +

-
=1- = .
è 2 è 2 3 è 2023 2024 ÷ 2024 2024
2023
故答案為：
2024
題型六：復(fù)數(shù)的三角形式
【典例 6-1】一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù) z = a + bi （ a，b R ）都可以表示成 r cosq + i sinq 形式，其中 r 是
復(fù)數(shù) z 的模，q 是以 x 軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ 所在射線（射線OZ ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)
z = a + bi 的輻角， r cosq + i sinq 叫做復(fù)數(shù) z = a + bi 的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分
開(kāi)來(lái)， a + bi（ a，b R ）叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)“代數(shù)形式”. 已知 z1 = cosq1 + i sinq1 ，
z2 = cosq2 + i sinq cos p q q
3 π
2， + 1 + 2 = q
0, ，其中 1 ÷ ，q2 0,
π
÷，則 z1z2 = ．(結(jié)果表示代數(shù)5 è 2 è 2
形式)
3 4
【答案】 - + i
5 5
cos π q q cos q q 3【解析】因?yàn)?+ 1 + 2 = - 1 + 2 = ，5
所以 cos q q 31 + 2 = - < 0，5
又q

1 0,
π q 0, π π ÷ ， 2 ÷，所以q1 +q2 , π ÷，
è 2 è 2 è 2
2
所以 sin q1 +q1 = 1- cos2 q1 +q1
3 4
= 1- -
= .
è 5 ÷ 5
所以 z1z2 = cosq1 + i sinq1 cosq2 + i sinq2 ，
= cosq1 cosq2 - sinq1 sinq2 + cosq1 sinq2 + sinq1 cosq2 i，
= cos q1 +q + i sin q +q
3 4
2 1 2 = - + i .5 5
3 4
故答案為： - + i .
5 5
π
【典例 6-2】計(jì)算10(cos + i sin
π) (-2 3 + 2i) ( 2 - 2i) 的結(jié)果是 .3 3
5 2 5 2
【答案】 - i
8 8
【解析】 -2 3 + 2i = -4(
3 1
- i) = -4(cos( π- ) + i sin( π- ))，
2 2 6 6
π π
同理可得 2 - 2i = 2(cos(- ) + i sin(- ))4 4 ，
\ 10 (cos(π π π) isin(π π π)) 5 ( 2 2 i) 5 2 5 2原式 = + + + + + = - - + = - i ．
-4 2 3 6 4 3 6 4 4 2 2 8 8
5 2 5 2
故答案為： - i
8 8
【方法技巧】
一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù) z = a + bi都可以表示成 r(cosq + i sinq ) 形式，其中 r 是復(fù)數(shù) z 的模；q是以 x 軸
uuur
的非負(fù)半軸為始邊，向量O Z 所在射線（射線OZ ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù) z = a + bi的輻
角． r(cosq + i sinq ) 叫做復(fù)數(shù) z = a + bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．
【變式 6-1】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知 eiq = cosq + isinq ，則在下列表達(dá)式中表示sinq 的是（ ）
eiq - e-iq eiq + e-iqA． B．
2i 2i
-iq
C e - e
iq eiq + e-iq
． D．-
2i 2i
【答案】A
【解析】因 eiq = cosq + isinq ，則e-iq = cos(-q ) + i sin(-q ) = cosq - i sinq ，
eiqA - e
-iq cosq + i sinq - (cosq - i sinq ) 2sinq × i
對(duì)于 ， = = = sinq ，故 A 項(xiàng)正確；
2i 2i 2i
B e
iq + e-iq cosq + i sinq + (cosq - i sinq ) 2cosq
對(duì)于 ， = = = -cosq × i，故 B 項(xiàng)錯(cuò)誤；
2i 2i 2i
e-iq - eiq eiqC - e
-iq cosq + i sinq - (cosq - i sinq ) 2sinq × i
對(duì)于 ， = - = - = - = -sinq ，故 C 項(xiàng)錯(cuò)誤；
2i 2i 2i 2i
eiq + e-iq
對(duì)于 D，由 B 項(xiàng)知，- = cosq × i ，故 D 項(xiàng)錯(cuò)誤.
2i
故選：A.
【變式 6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復(fù)數(shù) z = a + bi(a,b R,i是虛數(shù)單位 )在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z ，設(shè)
r = OZ ,q 是以 x 軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z 所在的射線為終邊的角，則 z = a + bi = r cosq + isinq ，把
r cosq + isinq 叫做復(fù)數(shù) a + bi的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，
[r cosq + isinq ]n = r n cosnq + isinnq n N* ，例如：
3
1 3 3 4
- + i = 2π ÷÷ cos + isin
2π
÷ = cos2π + isin2π =1 (1

， + i)4 = 2 cos
π
+ isin π ÷÷ = 4 cosπ + isinπ = -4，
è 2 2 è 3 3 è è 4 4
復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足： z3 =1+ i ，則 z 可能取值為（ ）

A． 2 cos
π π 3π 3π
+ isin ÷ B． 2

cos + isin

è 12 12 4 4 ÷è
6 2 cos 5π isin 5π 6 2 cos17π isin 17π C． + D． +
è 4 4 ÷ ÷ è 12 12
【答案】D
【解析】設(shè) z = r cosq + i sinq ，
則 z3 =1+ i= 2

cos
π
+ i sin π = r3÷ cos3q + i sin 3q ，
è 4 4
所以 r = 6 2 ，3q = 2kπ
π ,k 2kπ π+ Z，即q = + ,k Z，
4 3 12
所以 z
é 2kπ π 2kπ π ù
= 6 2 êcos

+

÷ + i sin

3 12
+ ÷
è è 3 12 ú
, k Z

17π 6 2 cos17π故 k = 2時(shí)，q = ，故 z 可取 + isin
17π
12 12 12 ÷
，
è
故選：D
【變式 6-3】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式 (cos x + i ×sin x)n = cos(nx) + i ×sin(nx) （其中 i 為虛數(shù)單位）
1667-1754 cos π i sin π
2

是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（ ）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù) + × ÷ 在復(fù)平面內(nèi)所
è 3 3
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
2

【解析】 cos
π
+ i ×sin π ÷ = cos
2π
+ i ×sin 2π 1 3= - + i，
è 3 3 3 3 2 2
1 , 3

在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 - 2 2 ÷÷
，在第二象限.
è
故選：B.
【變式 6-4】（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）任意一個(gè)復(fù)數(shù) z = a + bi 都可以表示成三角形式，即
a + bi = r cosq + i sinq ．棣莫弗定理是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667－1754 年）創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個(gè)復(fù)
數(shù) z1 = r1 cosq1 + i sinq1 ， z2 = r1 cosq2 + i sinq2 ，則 z1z2 = r1r2 é cos q1 +q2 + i sin q1 +q2 ù ，已知復(fù)數(shù)
z 1 3= + i，則 z2023 + z2 + z =（ ）
2 2
A 1 B 1 3 1 3． 2 ． + i C． - i D．12 2 2 2
【答案】B
1 3 π π
【解析】由題意可得 z = + i = cos + isin ，
2 2 3 3
z2023 cos 2023π 2023π故 = + isin = cos(674π
π
+ ) + isin(674π π+ ) cos π= + isin π ，
3 3 3 3 3 3
z2023 z2 z cos π所以 + + = + isin
π
+ cos 2π + isin 2π + cos π - isin π
3 3 3 3 3 3
1 3
= + i .
2 2
故選：B
題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題
【典例 7-1】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù) z1 ， z2 滿(mǎn)足 | z1 - 3i |= 2， | z2 - 4 |=1，則 | z1 - z2 |的最大值是
（ ）
A．6 - 2 B．6 + 2 C．7 D．8
【答案】D
【解析】設(shè) z1 = a + bi ， a,b R ， z2 = x + yi ， x, y R ，
因?yàn)?| z1 - 3i |= 2， | z2 - 4 |=1，
2
所以 a2 + b - 3 = 4， x - 4 2 + y2 =1，
所以點(diǎn)Z1 a,b 的軌跡為以 0,3 為圓心， 2為半徑的圓，
點(diǎn)Z2 x, y 的軌跡為以 4,0 為圓心，1為半徑的圓，
又 | z1 - z2 |表示點(diǎn)Z1 a,b 與Z2 x, y 的距離，
| z 2 2所以 1 - z2 |的最大值是 0 - 4 + 3 - 0 + 3 = 8，
故選：D.
【典例 7-2】（2024·山東煙臺(tái)·三模）若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z = z - 2 - 2i ，則 z 的最小值為（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】B
【解析】若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z = z - 2 - 2i ，則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù) z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集是線段OA的垂直平分線，
其中O 0,0 , A 2,2 ，
z 1 OA 1= 22 + 22所以 的最小值為 = 2 .
2 2
故選：B.
【方法技巧】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化
z = 6 11π 11π 【變式 7-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知復(fù)數(shù) 0 cos + isin ÷，復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z - z0 = 1，則 z
è 6 6
的最大值為（ ）
A．7 B．6 C． 4 3 D．6 3
【答案】A
【解析】 z0 = 6

cos
11π
+ isin 11π ÷ = 3 3 - 3i，
è 6 6
又 z - z0 = 1，
即在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以 3 3, -3 為圓心，1 為半徑的圓，
又點(diǎn) 3 3, -3 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為 (3 3)2 + (-3)2 = 6，
所以 z 的最大值為6 +1 = 7 .
故選：A.
【變式 7-2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z =1，則 z - 2i 的取值范圍為（ ）
A． 0,2 B． 1,3 C． 2,4 D． 1,9
【答案】B
【解析】 z =1表示 z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是單位圓上的點(diǎn)，
z - 2i 的幾何意義表示單位圓上的點(diǎn)和 0,2 之間的距離，
z - 2i 的取值范圍轉(zhuǎn)化為點(diǎn) 0,2 到圓心的距離加上半徑可得最大值，減去半徑可得最小值，
所以最大距離為 2 +1 = 3，最小距離為 2 -1 =1，
所以 z - 2i 的取值范圍為 1,3 .
故選：B
【變式 7-3】（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù) z = cosq + i sinq ，則 z - 2 + 2i 的最大值是（ ）
A． 2 2 -1 B． 2 2 +1 C． 2 +1 D． 2 2 + 3
【答案】B
【解析】由題意可知 z = cosq + i sinq 在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P cosq ,sinq 為以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)，
而 z1 = 2 - 2i 在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不妨設(shè)為 A 2, -2 ，
所以 z - 2 + 2i = PA ，
易知 PA PO +1 = 2 2 +1 .
故選：B
【變式 7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知復(fù)數(shù) z1 ， z2 滿(mǎn)足 z1 + 3 - i + z1 - 3 + i = 2 5 ， z2 = 2 + 2 3i （其
中 i 是虛數(shù)單位），則 z1 - z2 的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． 5 D．3
【答案】D
【解析】設(shè)復(fù)數(shù) z1, z2 = 2 + 2 3i, - 3 + i, 3 - i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為
Z1 x, y , Z2 2,2 3 , F1 - 3,1 , F2 3, -1 ，
由題意可知： Z1F1 + Z1F2 = 2 5 > 4 = F1F2 ，
可知點(diǎn)Z1 的軌跡表示為焦點(diǎn)分別為F1 - 3,1 , F2 3, -1 的橢圓，
則長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 a = 5 ，半焦距 c = 2，短半軸長(zhǎng)為b = a2 - c2 =1，
3
且該橢圓的長(zhǎng)軸所在直線為 y = - x ，短軸所在直線為 y = 3x．
3
因?yàn)辄c(diǎn)Z2 在 y = 3x上，且 OZ2 = 4，
若使得 z1 - z2 最小，則需 Z1Z2 取得最小值，
即點(diǎn)Z1 為第一象限內(nèi)的短軸端點(diǎn)，此時(shí) z1 - z2 = OZ2 -1 = 3．
故選：D.
【變式 7-5】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z - i = z -1 ，則 z +1 的最小值為（ ）
A 2． B．1 C D 1． 2 ．
2 2
【答案】A
【解析】設(shè)復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P a,b ，
則 z - i 可表示為復(fù)平面上點(diǎn)P a,b 到 A 0,1 的距離，
z -1 可表示為復(fù)平面上點(diǎn)P a,b 到B 1,0 的距離，
由題意可知：點(diǎn) P 在線段 AB 的中垂線上，如下圖：
1 , 1 線段 AB 的中點(diǎn)為 ÷，直線 AB 的斜率 k2 2 AB
= -1，
è
y 1 x 1則 P 的軌跡方程為 - = - ，整理可得 x - y = 0，
2 2
由 z +1 可表示為點(diǎn)P a,b 到C -1,0 的距離d ，
-1- 0
d 2min = = .1+1 2
故選：A.
【變式 7-6】已知復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 | z -1 | + | z +1 |= 4，則 | z |的取值范圍為（ ）
A．[0,1] B．[2,3] C．[1, 3] D．[ 3, 2]
【答案】D
【解析】復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 | z -1 | + | z +1 |= 4，
則復(fù)數(shù) z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以 (-1,0),(1,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a = 4的橢圓，
x2 y2
則橢圓短半軸長(zhǎng)為b = 22 -12 = 3 ，橢圓方程為 + =1，4 3
| z |表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
當(dāng)點(diǎn)位于橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)時(shí)， | z |取值大值 2；
當(dāng)點(diǎn)位于橢圓短軸上的頂點(diǎn)時(shí)， | z |取值小值 3；
故 | z |的取值范圍為[ 3, 2]，
故選：D
【變式 7-7】（2024·安徽安慶·一模）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足條件|z|＝1，那么 z + 3 + i 取最大值時(shí)的復(fù)數(shù) z 為（ ）
A 3 + 1 i B 3 + 1 i C 3 1 3 1． 2 ． - 2 ． - i D．- - i2 2 2 2 2 2
【答案】A
【解析】復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足條件 | z |= 1，它是復(fù)平面上的單位圓，那么 | z + 3 + i |表示單位圓上的點(diǎn)到Q(- 3,-1)的
距離，
要使此距離取最大值的復(fù)數(shù) z ，就是 (- 3,-1)和 (0,0)連線和單位圓在第一象限的交點(diǎn)M ．
Q點(diǎn) (- 3,-1)到原點(diǎn)距離是 2．單位圓半徑是 1，又 MOx = 30o 3，所以M ( , 1)．
2 2
3 1
故對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 + i．
2 2
故選：A
題型八：復(fù)數(shù)方程
【典例 8-1】（2024·湖南衡陽(yáng)· 2模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù) i - 2是關(guān)于 x 的方程 x + px + q = 0 p, q R 的一個(gè)根，
則 pi + q = （ ）
A．25 B．5 C． 41 D．41
【答案】C
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù) i - 2是關(guān)于 x 的方程 x2 + px + q = 0的一個(gè)根，
所以 i - 2 2 + p i - 2 + q = 0，所以 pi + q = 4i + 2 p - 3，
所以 p = 4, q = 2 p - 3，所以 p = 4, q = 5，
則 pi + q = 4i + 5 = 41 ，
故選：C.
【典例 8-2】（2024·江蘇·一模）已知 2 + i 是關(guān)于 x 的方程 x2 + ax + 5 = 0的根，則實(shí)數(shù)a = （ ）
A． 2 - i B．-4 C．2 D．4
【答案】B
【解析】依題意知方程的根互為共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理可求得結(jié)果.因?yàn)?2 + i 是關(guān)于 x 的方程
x2 + ax + 5 = 0的根，則另一根為 2 - i
由韋達(dá)定理得 2 + i + 2 - i = -a ，所以 a = -4
故選：B
【方法技巧】
復(fù)數(shù)方程是包含復(fù)數(shù)的方程，其中復(fù)數(shù)具有實(shí)部和虛部。解復(fù)數(shù)方程時(shí)，通常將利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式
及三角形式進(jìn)行求解。
【變式 8-1】（2024·上海嘉定·三模）已知復(fù)數(shù) x 滿(mǎn)足方程 x2 = -3，那么 x = .
【答案】± 3i
【解析】因?yàn)?x2 = -3，則 x = ± 3i .
故答案為：± 3i .
【變式 8-2】已知 2i - 3是關(guān)于 x 的方程 x2 + px + q = 0的一個(gè)根，其中 p， q R ，則 p＋q＝ ．
【答案】19
【解析】因?yàn)?2i - 3是關(guān)于 x 的方程 x2 + px + q = 0的一個(gè)根，
所以-2i - 3是方程 x2 + px + q = 0的另一個(gè)根，
ì(2i - 3) + (-2i - 3) = - p ì p = 6
所以 í
(2i - 3)(-2i - 3) = q
，解得 í ，
q =13
所以 p + q = 19，
故答案為：19
【變式 8-3】若1+ 2i 是關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)方程 x2 + bx + c = 0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則 c = .
【答案】3
【解析】∵實(shí)系數(shù)一元二次方程 x2 + bx + c = 0的一個(gè)虛根為1+ 2i ，
∴其共軛復(fù)數(shù)1 - 2i 也是方程的根.
ì
1+ 2i + 1- 2i = -b
由根與系數(shù)的關(guān)系知， í ，
1+ 2i 1- 2i = c
∴ b = -2， c = 3 .
故答案為：3
【變式 8-4】3+ 4i的平方根為
【答案】 ±(2 + i)
【解析】設(shè)所求復(fù)數(shù)為 z = a + bi ，由題意有 (a + bi)2 = 3 + 4i ，即 a2 - b2 + 2abi = 3+ 4i，
ìa2 - b2 = 3 ìa = 2 ìa = -2
則 í ，解得2ab 4 í
或 í z = 2 + i z = -2 - i
= b =1 b = -1
，即 或 ，
即3+ 4i的平方根為 ±(2 + i)，
故答案為 ±(2 + i) .
【變式 8-5】（2024·高三·上海浦東新·開(kāi)學(xué)考試）若實(shí)系數(shù)方程 x2 + ax + b = 0 的一個(gè)根是 i，則 a + b = ．
【答案】1
【解析】因?yàn)殛P(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)方程 x2 + ax + b = 0 的一個(gè)根是 i，所以另一個(gè)根為- i，
根據(jù)韋達(dá)定理可得 i+ -i = -a ，所以 a = 0 .
又 i × -i = b ，所以b =1，所以 a + b =1
故答案為：1.
1．（2024 年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè) z = 2i，則 z × z = （ ）
A．-2 B． 2 C．- 2 D．2
【答案】D
【解析】依題意得， z = - 2i，故 zz = -2i2 = 2 .
故選：D
z
2．（2024 年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）若 =1+ i，則 z =（
z 1 ）-
A．-1- i B．-1+ i C．1- i D．1+ i
【答案】C
z z -1+1 1 1 1 i 1【解析】因?yàn)?= = + = + ，所以 z =1+ =1- i .
z -1 z -1 z -1 i
故選：C.
3．（2024 年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若 z = 5 + i ，則 i z + z =（ ）
A．10i B． 2i C．10 D． 2
【答案】A
【解析】由 z = 5 + i z = 5 - i,z + z =10，則 i z + z =10i .
故選：A
z
4．（2024 年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知 = -1- i ，則 z =（ ）．
i
A．-1- i B．-1+ i C．1- i D．1+ i
【答案】C
【解析】由題意得 z = i -1- i =1- i .
故選：C.
5．（2024 年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知 z = -1- i ，則 z = （ ）
A．0 B．1 C． 2 D．2
【答案】C
z = -1- i z = -1 2 + -1 2【解析】若 ，則 = 2 .
故選：C.
1．利用公式 a2 + b2 = (a + bi)(a - bi)，把下列各式分解成一次因式的積；
（1） x2 + 4 ；
（2） a4 - b4 .
【解析】（1） x2 + 4 = x2 - (-4) = x2 - (2i)2 = (x + 2i)(x - 2i) ；
（2） a4 - b4 = (a2 - b2 )(a2 + b2 ) = (a + b)(a - b)(a + bi)(a - bi) .
2．若 z = x + yi(x, y R)，則復(fù)平面內(nèi)滿(mǎn)足 | z - (2 + i) |= 3的點(diǎn) 2 的集合是什么圖形？
【解析】解法 1：由復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，復(fù)平面內(nèi)滿(mǎn)足 | z - (2 + i) |= 3的點(diǎn) Z 的集合是以（2，1）為圓心，
以 3 為半徑的圓.
解法 2：Q z = x + yi,\| z - (2 + i) |=| x + yi - 2 - i |=| (x - 2) + (y -1)i |= 3 .
\ (x - 2)2 + (y -1)2 = 3
即 (x - 2)2 + (y -1)2 = 32 ，
故復(fù)平面內(nèi)滿(mǎn)足 | z - (2 + i) |= 3的點(diǎn) 2 的集合是以 (2,1)為圓心，以 3 為半徑的圓.
3．已知－3＋2i 是關(guān)于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0 的一個(gè)根，求實(shí)數(shù) p、q 的值．
【解析】∵－3＋2i 方程 2x2＋px＋q＝0 的一個(gè)根，
∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0
即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
10－3p＋q＝0， p＝12
∴{ {2 p－24 0 解得＝ q＝26.
4．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：
（1） x2 + 4x + 5 = 0；
（2） 2x2 - 3x + 4 = 0 .
【解析】（1）QD = 42 - 4 1 5 = -4 < 0 ,
∴ -4 ± -(-4)i方程 x2 + 4x + 5 = 0的根為 x = ，即 x = -2 ± i .
2 1
（2）Q A = (-3)2 - 4 2 4 = -23 < 0，
∴ 2 3± -(-23)i2x 3x 4 0 x 3± 23i方程 - + = 的根為 = ，即 x = .
2 2 4
易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用有誤
a + bi 2易錯(cuò)分析： (1)區(qū)分 = a2 + 2abi - b2 a,b R 與 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a,b R
(2) 2 2區(qū)分 a + bi a - bi = a + b a,b R 與 (a + b) a - b = a2 - b2 a,b R
【易錯(cuò)題 1】設(shè)有下面四個(gè)命題
p 11：若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 R ，則 z R ；z
p2：若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 z2 R ，則 z R ；
p3 ：若復(fù)數(shù) z1, z2 滿(mǎn)足 z1z2 R，則 z1 = z2 ；
p4：若復(fù)數(shù) z R，則 z R .
其中的真命題為
A． p1, p3 B． p1, p4
C． p2 , p3 D． p2 , p4
【答案】B
z = a + bi(a,b R) 1 1 a - bi【解析】令 ，則由 = = 2 2 R b = 0z a bi a b 得 ，所以
z R ，故 p
+ + 1
正確；
當(dāng) z = i時(shí)，因?yàn)?z2 = i2 = -1 R，而 z = i R 知，故 p2不正確；
當(dāng) z1 = z2 = i時(shí)，滿(mǎn)足 z1 × z2 = -1 R，但 z1 z2 ，故 p3不正確；
對(duì)于 p4，因?yàn)閷?shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故 p4正確，故選 B.
4 + 3i
【易錯(cuò)題 2】已知 = a + bi（ a,b R ， i為虛數(shù)單位），則 a + b =（ ）2 - i
A． -1 B．3 C．1 D．2
【答案】B
4 + 3i 4 + 3i 2 + i
【解析】由 = =1+ 2i = a + bi2 - i 2 - i 2 + i ，
可得 a =1，b = 2 ，
因此 a + b = 3．
故選：B．
答題模板：復(fù)數(shù)式的計(jì)算
1、模板解決思路
復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是知道 i2 = -1．復(fù)數(shù)的乘法類(lèi)似多項(xiàng)式（或單項(xiàng)式）乘法，復(fù)數(shù)的除
法類(lèi)似分母有理化．
2、模板解決步驟
第一步：如果是除法運(yùn)算，利用分母有理化，將復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)．
第二步：按照多項(xiàng)式乘法，將復(fù)數(shù)乘法化簡(jiǎn)．
第三步：把 i2 = -1代入，進(jìn)一步化簡(jiǎn)，求得最終結(jié)果．
z + b
【經(jīng)典例題 1】已知 a，b 為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù) z = a + 2i，若 = 2ai ，則 | a | - b =（ ）
z
A．-2 B． -1 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因?yàn)?z = a + 2i，所以 z = a - 2i ，
z + b a + b + 2i
則 = = 2ai ，即 a + b + 2i = 2ai(a - 2i) = 4a + 2a2i，
z a - 2i
ì4a = a + b ìb = 3a
從而 í 2 ，即 í 2 ，解得 | a |=1,| b |= 3 | a | - | b |= -2.
2a
，故
= 2 a =1
故選：A.
【經(jīng)典例題 2】計(jì)算 1+ i 2- i = （其中 i為虛數(shù)單位）．
【答案】3+ i / i + 3
【解析】 1+ i 2 - i = 2 - i + 2i - i2 = 3 + i .
故答案為：3+ i

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