資源簡介

第 03 講 冪函數與二次函數
目錄
01 考情透視·目標導航 .........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點 1：冪函數 ........................................................................................................................................................4
知識點 2：二次函數 ....................................................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................6
題型一：冪函數的定義及其圖像 ...............................................................................................................................9
題型二：冪函數性質的綜合應用 .............................................................................................................................10
題型三：由冪函數的單調性比較大小 .....................................................................................................................11
題型四：二次函數的解析式 .....................................................................................................................................12
題型五：二次函數的圖象、單調性與最值 .............................................................................................................13
題型六：二次函數定軸動區間和動軸定區間問題 .................................................................................................13
題型七：二次方程實根的分布及條件 .....................................................................................................................14
題型八：二次函數最大值的最小值問題 .................................................................................................................15
04 真題練習·命題洞見 .......................................................................................................................16
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................16
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................17
易錯點：解二次型函數問題時忽視對二次項系數的討論 .....................................................................................17
答題模板：含參二次函數在區間上的最值問題 .....................................................................................................18
考點要求 考題統計 考情分析
從近五年全國卷的考查情況來看，本節
（1）冪函數的定義、圖像與性質 2020 年天津卷第 3 題，5 分 內容很少單獨命題，冪函數要求相對較
（2）二次函數的圖象與性質 2020 年江蘇卷第 7 題，5 分 低, 常與指數函數、對數函數綜合，比較
冪值的大小，多以選擇題、填空題出現.
復習目標：
（1）通過具體實例，了解冪函數及其圖象的變化規律.
（2）掌握二次函數的圖象與性質(單調性、對稱性、頂點、最值等).
知識點 1：冪函數
1、冪函數的定義
一般地， y = xa (a R) ( a 為有理數)的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常數的函數稱
為冪函數.
2、冪函數的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數
① xa 的系數為 1； ② xa 的底數是自變量； ③指數為常數.
(3)冪函數的圖象和性質
3、常見的冪函數圖像及性質：
函數 y = x y = x2 y = x3
1
y = x 2 y = x
-1
圖象
定義域 R R R {x | x 0} {x | x 0}
值域 R {y | y 0} R {y | y 0} {y | y 0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在 (- ，0) 上單調遞 在 (- ，0) 和
在 R 上單 在 R 上單調遞 在[0，+ ) 上單調
單調性 減，在 (0，+ ) 上單 (0，+ ) 上單調遞
調遞增 增 遞增
調遞增 減
公共點 (1，1)
【診斷自測】若冪函數 y = f x 的圖象經過點 2, 2 ，則 f 16 ＝（　　）
A． 2 B
1
．2 C．4 D． 2
知識點 2：二次函數
1、二次函數解析式的三種形式
（1）一般式： f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ；
（2）頂點式： f (x) = a(x - m)2 + n(a 0) ；其中， (m,n) 為拋物線頂點坐標， x = m 為對稱軸方程.
（3）零點式： f (x) = a(x - x1)(x - x2 )(a 0)，其中， x1, x2 是拋物線與 x 軸交點的橫坐標.
2、二次函數的圖像
二次函數 f (x) = ax2 + bx + c(a b 0) 的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為 x = - ，頂點坐標為
2a
b 2(- , 4ac - b ) .
2a 4a
（1）單調性與最值
①當 a > 0 b b時，如圖所示，拋物線開口向上，函數在 (- ,- ]上遞減，在[- ,+ )上遞增，當
2a 2a
2
x b= - 時， f (x) 4ac - b= ；
2a min 4a
b b
②當 a < 0 時，如圖所示，拋物線開口向下，函數在 (- ,- ]上遞增，在[- ,+ )上遞減，當
2a 2a
x b
2
= - 時， f (x) 4ac - bmax =2a 4a
（2）與 x 軸相交的弦長
當D = b2 - 4ac > 0 時，二次函數 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) 的圖像與 x 軸有兩個交點 M1(x1,0)和 M 2 (x2 ,0) ，
| M D1M 2 |=| x
2
1 - x2 |= (x1 + x2 ) - 4x1x2 = .| a |
3、二次函數在閉區間上的最值
閉區間上二次函數最值的取得一定是在區間端點或頂點處.
對二次函數 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ，當 a > 0時， f (x) 在區間[ p,q]上的最大值是 M ，最小值是m ，
x p + q令 0 = ：2
b
（1）若 - p ，則m = f ( p), M = f (q) ；
2a
b b
（2）若 p < - < x0 ，則m = f (- ), M = f (q) ；2a 2a
（3）若 x b b0 - < q ，則m = f (- ), M = f ( p) ；2a 2a
b
（4）若 - q ，則m = f (q), M = f ( p) .
2a
1 3 2 2
【診斷自測】下列四個圖象中，有一個圖象是函數 f x = x - ax + a - 4 x + 8 a 0 的導數的圖象，則3
f -2 的值為（ ）
17 17 8 8
A． B．- C． D．-
3 3 3 3
解題方法總結
1、冪函數 y = xa (a R) 在第一象限內圖象的畫法如下：
①當 a < 0 時，其圖象可類似 y = x-1畫出；
1
②當 0 < a < 1時，其圖象可類似 y = x 2 畫出；
③當 a > 1時，其圖象可類似 y = x2 畫出．
2、實系數一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的實根符號與系數之間的關系
ì
D = b2 - 4ac > 0

（1 x , x
b
）方程有兩個不等正根 1 2 íx1 + x2 = - > 0
a
x x c= > 0
1 2 a
ì
D = b2 - 4ac > 0

b
（2）方程有兩個不等負根 x1, x2 íx1 + x2 = - < 0
a
x c
1
x2 = > 0a
c
（3）方程有一正根和一負根，設兩根為 x1, x2 x 1 x2 = < 0a
3、一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的根的分布問題
一般情況下需要從以下 4 個方面考慮：
b
（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸 x = - 與區間端點的關系；（4）區間端點函數值的正負.
2a
設 x1, x2 為實系數方程 ax
2 + bx + c = 0(a > 0)的兩根，則一元二次 ax2 + bx + c = 0(a > 0)的根的分布與其
限定條件如表所示.
根的分布 圖像 限定條件
ìD > 0

m x x b< 1 < 2 í- > m
2a
f (m) > 0
x1 < m < x2 f (m) < 0
ìD > 0
b
í- < m
2ax1 < x2 < m
f (m) > 0
y
D < 0
O m n x
y
D = 0
x1 = x2 m
或x1 = x2 m
O m n x
y
ìD > 0

在區間 (m,n) 內 bí- < m
2a
沒有實根 f (m) 0
O m n x
y
ìD > 0
b
í- > n
2a
f (n) 0
O m n x
y
ì f (m) 0
m n í f (n) 0
O x
y
ì f (m) > 0
í
f (n) < 0
n
O m x
在區間 (m,n) 內
有且只有一個實根 y
ì f (m) < 0
í
f (n) > 0
m n
O x
y
ìD > 0

在區間 (m,n) 內 m b < - < n
í 2a
有兩個不等實根 f (m) > 0
m n x f (n) > 0O
4、有關二次函數的問題，關鍵是利用圖像.
（1）要熟練掌握二次函數在某區間上的最值或值域的求法，特別是含參數的兩類問題——動軸定區
間和定軸動區間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區間兩個端點和區間中點，一軸指對稱軸.即注意對
對稱軸與區間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：①軸處在區間的左側；②軸處在區間的右側；③
軸穿過區間內部（部分題目還需討論軸與區間中點的位置關系），從而對參數值的范圍進行討論.
（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區間端點函數
值正負.
題型一：冪函數的定義及其圖像
【典例 1-1】（2024·山東日照·二模）已知冪函數圖象過點 2,4 ，則函數的解析式為（ ）
A． y = 2x B． y = x2 C． y = log2x D． y = sinx
p
【典例 1-2】已知冪函數 y = x q （ p, q Z且 p, q互質）的圖象關于 y 軸對稱，如圖所示，則（ ）
p
A．p，q 均為奇數，且 > 0q
p
B．q 為偶數，p 為奇數，且 < 0q
p
C．q 為奇數，p 為偶數，且 > 0q
p
D．q 為奇數，p 為偶數，且 < 0q
【方法技巧】
a
確定冪函數 y = x 的定義域，當a 為分數時，可轉化為根式考慮，是否為偶次根式，或為則被開方式
非負.當a 0時，底數是非零的.
m+1 2
【變式 1-1】已知函數 f x = m -1 x 為冪函數，則 f a - 2a + f 2a - a2 =（ ）
A．0 B． -1 C． a 2 D． a6 - a 4
【變式 1-2】（多選題）（2024 2 3·新疆喀什·一模）若函數 y = m - m -1 x 是冪函數，則實數 m 的值可能是
（ ）
A．m = -2 B．m = 2 C．m = -1 D．m =1
【變式 1-3】給出冪函數：① f x = x；② f (x) = x2 ；③ f x = x3 ；④ f x 1= x ；⑤ f x = ．其中
x
f x + f
f x1 + x2 1 x2 滿足條件 ÷ > x2 > x1 > 0 的函數的個數是（　　）
è 2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
題型二：冪函數性質的綜合應用
2-1 f x = 2m -1 xn 2,8 ① f x = x-3【典例 】已知冪函數 的圖象經過點 ，下面給出的四個結論： ；②
f x ③ f x R 2為奇函數； 在 上單調遞增；④ f a +1 < f 1 ，其中所有正確命題的序號為（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③
1 2
2-2 2 a +a-2【典例 】已知冪函數 f x = a - 3 x 2 在 0, + 上單調遞減，函數 h x = 3x + m ，對任意 x1 1,3 ，
總存在 x2 1,2 使得 f x1 = h x2 ，則m 的取值范圍為 .
【方法技巧】
y = xa緊扣冪函數 的定義、圖像、性質，特別注意它的單調性在不等式中的作用，這里注意a 為奇數
a a
時， x 為奇函數，a 為偶數時， x 為偶函數.
a ì 2, 1, 1 , 1【變式 2-1】已知 í- - - ,1, 2,3
ü
.若冪函數 f (x) = xa 為奇函數，且在 (0, + )上遞減，則a = .
2 2
【變式 2-2】已知函數 f x = x - 2 3 + 3x-2 - 32-x + 2x ln 3 - 4ln 3 +1，則滿足 f x + f 8 - 3x > 2的 x 的取值
范圍是 ．
2
【變式 2-3】已知冪函數 f x = xm -2m-3（其中，m Z）為偶函數，且 f x 在 0, + 上單調遞減，則m
的值為 .
1 2 2
【變式 2-4】已知函數 f x = x3 ，則關于 t 的表達式 f t - 2t + f 2t -1 < 0的解集為 .
1 1
【變式 2-5】滿足 - -(m +1) 3 < (3- 2m) 3 的實數 m 的取值范圍是（ ）.
2 , 3 , 2 1, 3A ． B． -
è 3 2 ÷ ÷ ÷ è 3 è 2
C
2 , 2 3． +

÷ D． (- , -1)

,

3 ÷è è 3 2
題型三：由冪函數的單調性比較大小
2 1 2 1
【典例 3-1】（2024·天津紅橋·二模）若 a = ( )3 ，b = log 1 5 ，
-
c = 3 4 ，則 a，b，c 的大小關系為（ ）3 2
A． a > b > c B．b > c > a C．b > a > c D．a < b < c
2 3 2
3-2 3 5【典例 】設 a 2
5 2 5
= ÷ , b = ÷ ，c = ÷ ，則 a,b,c 大小關系是 .
è 5 è 5 è 5
【方法技巧】
在比較冪值的大小時,必須結合冪值的特點,選擇適當的函數,借助其單調性進行比較．
1 1 a 1
【變式 3-1】（2024 ·河北衡水·三模）已知 loga <1，4 4 ÷
<1， a 4 <1，則實數 a的取值范圍為（ ）è

A． 0,
1
÷ B． 0,1 C 1,+ D 1 ,1 ． ．4 ÷è è 4
【變式 3-2】已知 a = eπ ，b = πe ， c = ( 2)eπ ，則這三個數的大小關系為 ．（用“ <”連接）
1 2
【變式 3-3】已知冪函數 f x 的圖象過點 , ÷÷ , P x1, y1 ,Q x2 , y2 0 < x1 < x2 是函數圖象上的任意不同
è 2 4
兩點，則下列結論中正確的是（ ）
A． x1 f x1 > x2 f x2 B． x1 f x2 < x2 f x1
f x1 f x2 f x1 f x2 C． > D． <
x2 x1 x1 x2
2 m2 +m-3
【變式 3-4】（2024·高三·河北邢臺·期中）已知函數 f x = m - m -1 x 是冪函數，且在 0, + 上
單調遞減，若 a,b R ，且 a < 0 < b, a < b ，則 f a + f b 的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．無法判斷
題型四：二次函數的解析式
【典例 4-1】（2024·高三·海南海口·開學考試）已知二次函數 f x 的圖象經過點 4,3 ，在 x 軸上截得
的線段長為 2，并且對任意 x R ，都有 f 2 - x = f 2 + x ，則 f x ＝ .
【典例 4-2】寫出同時滿足下列條件①②③的一個函數 f (x) = ．
① f (x) 是二次函數；② xf (x +1)
f (x)
是奇函數；③ 在 (0, + )上是減函數．
x
【方法技巧】
求二次函數解析式的三個技巧
(1)已知三個點的坐標，選擇一般式．
(2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等，選擇頂點式．
(3)已知圖象與 x 軸的兩交點的坐標，選擇零點式．
【變式 4-1】已知函數 f x = ax2 + bx + c （a 0）的圖象關于 y 軸對稱，且與直線 y = x 相切，寫出滿足上
述條件的一個函數 f x = ．
【變式 4-2】已知二次函數 f(x)滿足 f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，二次函數的解析式
是 ．
【變式 4-3】已知函數 f (x) = mx2 + (2 - m)x + n(m > 0)，當-1 x 1時，都有 f (x) 1恒成立，則
f 1 ÷ = .
è 3
2
【變式 4-4 x + 4】已知 f x 是二次函數， f -2 = 0，且 2x f x ，則 f 10 = .
2
題型五：二次函數的圖象、單調性與最值
【典例 5-1】已知 f (x) =1- (x - a)(x - b)，并且 m、n 是方程 f (x) = 0 的兩根，則實數 a、b、m、n 的大小關
系可能是（ ）
A．m < a < b < n B． a < m < n < b
C． a < m < b < n D．m < a < n < b
【典例 5-2】（2024 2·高三·江蘇蘇州·期中）滿足{x m x n} = {y y = x , m x n}的實數對m ， n構成
的點 (m, n)共有（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．無數個
【方法技巧】
解決二次函數的圖象、單調性與最值常用的方法是數形結合.
f (x) = x2 - (m - 2)x +1 é 1 1 ù【變式 5-1】（2024·全國·模擬預測）若函數 在 ê- , 上單調，則實數m 的取值 2 2ú
范圍為（ ）
1
A é ,1ù U é． ê ú ê3,
9 ù é1
ú B． ê , 2
ù U é3, 9 ù
2 2 2 ú ê 2 ú
é 1- ,1ù U é3, 9 ù é 1C ù é
9 ù
． ê ú ê ú D． ê- , 2 U 3, 2 2 2 ú ê 2 ú
【變式 5-2】（2024·高三·山東濟寧·期中）函數 f (x) = 2x2 - x - 3 的單調遞增區間為（ ）
, 1A． -
ù
ú B． (
3 1
- , -1) é C é
4 ． ê
, +
2 ÷
D． ,+
è ê4 ÷
【變式 5-3】（2024 2·廣東珠海·模擬預測）已知函數 f x = x + mx - 2x +1在區間 2, + 上是增函數，則
實數m 的取值范圍是 .
ì-2x
2 + 4x, x > 0
【變式 5-4】若函數 f x = í 在區間 a -1,3- 2a2 上有最大值，則實數 a 的取值范圍是 .
2x , x 0
題型六：二次函數定軸動區間和動軸定區間問題
【典例 6-1】已知函數 f (x) = x2 - 2ax(a > 0)．
(1)當 a = 3時，解關于 x 的不等式-5 < f (x) < 7 ；
(2)函數 y = f (x) 在[t, t + 2]上的最大值為 0，最小值是-4，求實數 a 和 t 的值．
【典例 6-2】已知函數 y = x2 + 2ax +1在-1 x 2上的最大值為 4，求 a的值．
【方法技巧】
“動軸定區間 ”、“定軸動區間”型二次函數最值的方法：
（1）根據對稱軸與區間的位置關系進行分類討論；
（2）根據二次函數的單調性，分別討論參數在不同取值下的最值，必要時需要結合區間端點對應的
函數值進行分析；
（3）將分類討論的結果得到最終答案.
2
【變式 6-1】已知函數 f x = x + ax ，其中 a是實數．
(1) f x 在區間 -1,2 上的最大值記為M a ，求M a 的表達式；
(2) f x 在區間 -1,2 上的最小值記為m a ，求m a 的表達式；
(3)若M a - m a = 3，求實數 a的值．
題型七：二次方程實根的分布及條件
【典例 7-1】若關于 x 2的一元二次方程 x + 3a -1 x + a + 8 = 0有兩個不相等的實根 x1, x2 ，且 x1 <1, x2 >1．則
實數 a 的取值范圍為 ．
【典例 7-2 2】方程mx - m -1 x +1 = 0在區間 0,1 內有兩個不同的根，則m的取值范圍為 ．
【方法技巧】
結合二次函數 f (x) = ax2 + bx + c 的圖像分析實根分布，得到其限定條件，列出關于參數的不等式，
從而解不等式求參數的范圍.
【變式 7-1】（2024 2·四川雅安·模擬預測）已知關于 x 的方程 x + bx + c = 0 b,c R 在 -1,1 上有實數根，
且滿足0 3b + c 3，則b的取值范圍是 ．
【變式 7-2】關于 x 的方程 x2 + (m - 3)x + m = 0 滿足下列條件，求m 的取值范圍．
(1)有兩個正根；
(2)一個根大于1，一個根小于1；
(3)一個根在 (-2,0) 內，另一個根在 (0, 4) 內；
(4)一個根小于 2，一個根大于4；
(5)兩個根都在 (0,2)內．
題型八：二次函數最大值的最小值問題
【典例 8-1】已知函數 f (x) = x2 + ax + b 在區間[0, 4]上的最大值為 M，當實數 a，b 變化時，M 最小值
為 ．
【典例 8-2】已知函數 f x = x - ax - b ,a,b R，若對任意的 x0 0,4 ，使得 f x0 M ，求實數M 的
取值范圍是 ．
【方法技巧】
解決二次函數最大值的最小值問題常用方法是分類討論、三點控制、四點控制.
【變式 8-1】二次函數 f x 2為偶函數， f 1 =1，且 f x ≤3x + 2x恒成立．
(1)求 f x 的解析式；
(2) a R ，記函數 h x = f x - 2ax +1 在 0,1 上的最大值為T a ，求T a 的最小值．
【變式 8-2】已知函數 f (x) = (x - 2) | x + a | (a R)，
(1)當a = -1時，①求函數 f (x) 單調遞增區間；②求函數 f (x) é
7 ù
在區間 ê-4, 4ú的值域；
(2)當 x [-3,3]時，記函數 f (x) 的最大值為 g (a) ，求 g (a) 的最小值．
【變式 8-3】（2024·高三·江蘇南通·開學考試）記函數 f x = x2 - ax 在區間 0,1 上的最大值為 g a ，
則 g a 的最小值為（ ）
1
A．3 - 2 2 B． 2 -1 C． D．14
1．（2023 x x-a 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）設函數 f x = 2 在區間 0,1 上單調遞減，則 a的取值范圍是
（ ）
A． - , -2 B． -2,0
C． 0,2 D． 2, +
2．（2023 年天津高考數學真題）設a = 1.010.5,b = 1.010.6 ,c = 0.60.5，則 a,b,c的大小關系為（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． c < a < b
1
3．（2011 年普通高等學校招生全國統一考試文科數學（陜西卷））函數 y = x3 的圖象是
A． B． C． D．
1．畫出函數 y = | x | 的圖象，并判斷函數的奇偶性，討論函數的單調性.
2．在固定壓力差（壓力差為常數）下，當氣體通過圓形管道時，其流量速率 v，（單位： cm3 / s）與管道
半徑 r（單位：cm）的四次方成正比.
（1）寫出氣體流量速率 v，關于管道半徑 r 的函數解析式；
（2）若氣體在半徑為 3cm 的管道中，流量速率為 400cm3 / s ，求該氣體通過半徑為 r 的管道時，其流量速
率 v 的表達式；
（3）已知（2）中的氣體通過的管道半徑為 5cm，計算該氣體的流量速率（精確到1cm3 / s）.
2．試用描點法畫出函數 f (x) = x-2 的圖象，求函數的定義域、值域；討論函數的單調性、奇偶性，并證
明.
4．證明：
f x + f
f (x) ax b f x1 + x2 1 x2 （1）若 = + ，則 ÷ = .
è 2 2
2 g x1 + x
g x + g x
（2）若 g(x) = x + ax + b 2 1 2，則 .
è 2 ÷ 2
易錯點：解二次型函數問題時忽視對二次項系數的討論
易錯分析：在二次函數 y = ax2 + bx + c中，當 a 0 時為二次函數，其圖象為拋物線；當 a = 0,b 0
2
時為一次函數，其圖象為直線．在解決此類問題時，應注意 x 項的系數是否為 0，若不能確定，應該分類
討論．
【易錯題 1】對于任意實數 x，不等式 (a - 2)x2 - 2(a - 2)x - 4 < 0 恒成立，則實數 a 取值范圍（ ）
A． (- , 2) B． (- , 2] C． (-2, 2) D． (-2, 2]
【易錯題 2】已知 x2 + x + 5 ax2 + 2ax + c 2x2 + 5x + 9對任意 x R 恒成立，則 a + c = __________．
答題模板：含參二次函數在區間上的最值問題
1、模板解決思路
解決含參二次函數在區間上的最值問題常用的方法是數形結合與分類討論.
2、模板解決步驟
第一步：通過觀察二次函數的特征，分析二次函數參數的位置；
第二步：通過討論含參二次函數的單調性和已知區間之間的關系進行分類討論；
第三步：根據含參二次函數的圖像與性質可判斷函數在區間上的單調性，并根據二次函數的單調性求
出其最值；
第四步：得出結論．
【典例 1】已知二次函數 f x 同時滿足以下條件：① f 2 + x = f 2 - x ，② f 0 =1，③ f 2 = -3．
(1)求函數 f x 的解析式；
(2)若 h x = f x + m + 4 x， x -1,2 ，求 h x 的最小值j m ．
【典例 2】已知二次函數 f (x) = ax2 + bx + c ，滿足條件 f (0) = 0和 f (x - 2) - f (x) = -4x .
（1）求函數 f (x) 的解析式；
（2）若 A = [m, m +1](m R)，求函數 f (x) 在 A 上的最小值.
【典例 3】已知函數 f (x) = x2 - 2x + a +1．當 x [t, t + 2]時，求函數 f (x) 最大值的表達式 H (t) ；第 03 講 冪函數與二次函數
目錄
01 考情透視·目標導航 .........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點 1：冪函數 ........................................................................................................................................................4
知識點 2：二次函數 ....................................................................................................................................................5
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................7
題型一：冪函數的定義及其圖像 .............................................................................................................................10
題型二：冪函數性質的綜合應用 .............................................................................................................................12
題型三：由冪函數的單調性比較大小 .....................................................................................................................15
題型四：二次函數的解析式 .....................................................................................................................................18
題型五：二次函數的圖象、單調性與最值 .............................................................................................................22
題型六：二次函數定軸動區間和動軸定區間問題 .................................................................................................24
題型七：二次方程實根的分布及條件 .....................................................................................................................27
題型八：二次函數最大值的最小值問題 .................................................................................................................29
04 真題練習·命題洞見 .......................................................................................................................34
05 課本典例·高考素材........................................................................................................................35
06 易錯分析·答題模板........................................................................................................................38
易錯點：解二次型函數問題時忽視對二次項系數的討論 .....................................................................................38
答題模板：含參二次函數在區間上的最值問題 .....................................................................................................38
考點要求 考題統計 考情分析
從近五年全國卷的考查情況來看，本節
（1）冪函數的定義、圖像與性質 2020 年天津卷第 3 題，5 分 內容很少單獨命題，冪函數要求相對較
（2）二次函數的圖象與性質 2020 年江蘇卷第 7 題，5 分 低, 常與指數函數、對數函數綜合，比較
冪值的大小，多以選擇題、填空題出現.
復習目標：
（1）通過具體實例，了解冪函數及其圖象的變化規律.
（2）掌握二次函數的圖象與性質(單調性、對稱性、頂點、最值等).
知識點 1：冪函數
1、冪函數的定義
一般地， y = xa (a R) ( a 為有理數)的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常數的函數稱
為冪函數.
2、冪函數的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數
① xa 的系數為 1； ② xa 的底數是自變量； ③指數為常數.
(3)冪函數的圖象和性質
3、常見的冪函數圖像及性質：
函數 y = x y = x2 y = x3
1
y = x-1y = x 2
圖象
定義域 R R R {x | x 0} {x | x 0}
值域 R {y | y 0} R {y | y 0} {y | y 0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在 (- ，0) 上單調遞 在 (- ，0) 和
在 R 上單 在 R 上單調遞 在[0，+ ) 上單調
單調性 減，在 (0，+ ) 上單 (0，+ ) 上單調遞
調遞增 增 遞增
調遞增 減
公共點 (1，1)
【診斷自測】若冪函數 y = f x 的圖象經過點 2, 2 ，則 f 16 ＝（　　）
A． 2 B．2 C．4 D
1
． 2
【答案】C
【解析】設冪函數 y = f x = xa ，因為 f x 1的圖象經過點 2, 2 ，所以 2a = 2 ，解得a = ，2
1 1
所以 f x = x 2 ，所以 f 16 =162 = 4 .
故選：C
知識點 2：二次函數
1、二次函數解析式的三種形式
（1）一般式： f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ；
（2）頂點式： f (x) = a(x - m)2 + n(a 0) ；其中， (m,n) 為拋物線頂點坐標， x = m 為對稱軸方程.
（3）零點式： f (x) = a(x - x1)(x - x2 )(a 0)，其中， x1, x2 是拋物線與 x 軸交點的橫坐標.
2、二次函數的圖像
二次函數 f (x) = ax2 + bx + c(a b 0) 的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為 x = - ，頂點坐標為
2a
( b 4ac - b
2
- , ) .
2a 4a
（1）單調性與最值
b b
①當 a > 0時，如圖所示，拋物線開口向上，函數在 (- ,- ]上遞減，在[- ,+ )上遞增，當
2a 2a
x b= - f (x) 4ac - b
2
時， = ；
2a min 4a
b b
②當 a < 0 時，如圖所示，拋物線開口向下，函數在 (- ,- ]上遞增，在[- ,+ )上遞減，當
2a 2a
2
x b= - 4ac - b時， f (x)
2a max
=
4a
（2）與 x 軸相交的弦長
當D = b2 - 4ac > 0 時，二次函數 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) 的圖像與 x 軸有兩個交點 M1(x1,0)和 M 2 (x2 ,0) ，
| M1M 2 |=| x1 - x2 |
D
= (x1 + x )
2
2 - 4x1x2 = .| a |
3、二次函數在閉區間上的最值
閉區間上二次函數最值的取得一定是在區間端點或頂點處.
對二次函數 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ，當 a > 0時， f (x) 在區間[ p,q]上的最大值是 M ，最小值是m ，
p + q
令 x0 = ：2
b
（1）若 - p ，則m = f ( p), M = f (q) ；
2a
p b b（2）若 < - < x0 ，則m = f (- ), M = f (q) ；2a 2a
b
（3）若 x0 - < q ，則m = f (
b
- ), M = f ( p) ；
2a 2a
b
（4）若 - q ，則m = f (q), M = f ( p) .
2a
1 3 2 2
【診斷自測】下列四個圖象中，有一個圖象是函數 f x = x - ax + a - 4 x + 8 a 0 的導數的圖象，則3
f -2 的值為（ ）
17 17 8 8
A． B．- C． D．-
3 3 3 3
【答案】D
【解析】函數 f (x)
1
= x3 - ax2 + (a2 - 4)x + 8，求導得 f (x) = x2 - 2ax + a2 - 4 = (x - a)2 - 4 ，
3
于是函數 y = f (x) 的圖象是開口向上，對稱軸為 x = a的拋物線，①②不滿足，
又a 0，即函數 y = f (x) 的圖象對稱軸不是 y 軸，④不滿足，因此符合條件的是③，
函數 y = f (x) 的圖象過原點，且a > 0，顯然 f (0) = 0 ，從而a = 2，
f (x) 1= x3 - 2x2 1 8+ 8，所以 f (-2) = (-2)3 - 2 (-2)2 + 8 = - .
3 3 3
故選：D
解題方法總結
1、冪函數 y = xa (a R) 在第一象限內圖象的畫法如下：
①當 a < 0 時，其圖象可類似 y = x-1畫出；
1
②當 0 < a < 1時，其圖象可類似 y = x 2 畫出；
③當 a > 1時，其圖象可類似 y = x2 畫出．
2、實系數一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的實根符號與系數之間的關系
ì
D = b2 - 4ac > 0

1 x x b（ ）方程有兩個不等正根 x1, x2 í 1 + 2 = - > 0
a
x x c= > 0
1 2 a
ì
D = b2 - 4ac > 0

b
（2）方程有兩個不等負根 x1, x2 íx1 + x2 = - < 0
a

x
c
1x2 = > 0 a
c
（3）方程有一正根和一負根，設兩根為 x1, x2 x 1 x2 = < 0a
3、一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的根的分布問題
一般情況下需要從以下 4 個方面考慮：
b
（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸 x = - 與區間端點的關系；（4）區間端點函數值的正負.
2a
設 x 21, x2 為實系數方程 ax + bx + c = 0(a > 0)的兩根，則一元二次 ax
2 + bx + c = 0(a > 0)的根的分布與其
限定條件如表所示.
根的分布 圖像 限定條件
ìD > 0

m < x b1 < x

2 í- > m
2a
f (m) > 0
x1 < m < x2 f (m) < 0
ìD > 0
b
í- < m
x < x < m
2a
1 2 f (m) > 0
y
D < 0
O m n x
y
在區間 (m,n) 內 D = 0
x1 = x2 m
沒有實根 或x1 = x2 m
O m n x
y
ìD > 0
b
í- < m
2a
f (m) 0
O m n x
y
ìD > 0
b
í- > n
2a
f (n) 0
O m

n x
y
ì f (m) 0
m n í f (n) 0
O x
y
ì f (m) > 0
í
f (n) < 0
O m
n
x
在區間 (m,n) 內
有且只有一個實根 y
ì f (m) < 0
í
f (n) > 0
m n
O x
y
ìD > 0

在區間 (m,n) 內 m
b
< - < n
í 2a
有兩個不等實根 f (m) > 0
m n x f (n) > 0O
4、有關二次函數的問題，關鍵是利用圖像.
（1）要熟練掌握二次函數在某區間上的最值或值域的求法，特別是含參數的兩類問題——動軸定區
間和定軸動區間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區間兩個端點和區間中點，一軸指對稱軸.即注意對
對稱軸與區間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：①軸處在區間的左側；②軸處在區間的右側；③
軸穿過區間內部（部分題目還需討論軸與區間中點的位置關系），從而對參數值的范圍進行討論.
（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區間端點函數
值正負.
題型一：冪函數的定義及其圖像
【典例 1-1】（2024·山東日照·二模）已知冪函數圖象過點 2,4 ，則函數的解析式為（ ）
A． y = 2x B． y = x2 C． y = log2x D． y = sinx
【答案】B
【解析】設冪函數的解析式為 y = xa ，由于函數過點 2,4 ，故 4 = 2a ，解得a = 2，該冪函數的解析式為
y = x2；
故選：B
p
【典例 1-2】已知冪函數 y p, q= x q （ p, q Z且 互質）的圖象關于 y 軸對稱，如圖所示，則（ ）
p
A．p，q 均為奇數，且 > 0q
p
B．q 為偶數，p 為奇數，且 < 0q
p
C．q 為奇數，p 為偶數，且 > 0q
p
D．q 為奇數，p 為偶數，且 < 0q
【答案】D
p
【解析】因為函數 y = x q 的定義域為 (- ,0) U (0, + )，且在 (0, + )上單調遞減，
p
所以 p
因為函數 y = x q 的圖象關于 y 軸對稱，
p
所以函數 y = x q 為偶函數，即 p 為偶數，
又 p、q 互質，所以 q 為奇數，
所以選項 D 正確，
故選：D.
【方法技巧】
a
確定冪函數 y = x 的定義域，當a 為分數時，可轉化為根式考慮，是否為偶次根式，或為則被開方式
非負.當a 0時，底數是非零的.
m+1 2 2
【變式 1-1】已知函數 f x = m -1 x 為冪函數，則 f a - 2a + f 2a - a =（ ）
A．0 B． -1 C． a 2 D． a6 - a 4
【答案】A
【解析】由題意有m -1 =1，可得m = 2, f x = x3 ，其定義域為 R，
且 f -x = -x 3 = -x3 = - f x ，則函數 f x 為奇函數，
所以 f a2 - 2a + f 2a - a2 = 0 .
故選：A.
【變式 1-2】（多選題）（2024·新疆喀什·一模）若函數 y = m2 - m -1 x3是冪函數，則實數 m 的值可能是
（ ）
A．m = -2 B．m = 2 C．m = -1 D．m =1
【答案】BC
【解析】 y = m2 - m -1 x3是冪函數，
則m2 - m -1 = 1，解得m = 2 或m = -1.
故選：BC.
3
【變式 1-3】給出冪函數：① f x = x；② f (x) = x2 ；③ f x = x ；④ f x = x ；⑤ f x 1= ．其中
x
f x + f x
滿足條件 f
x1 + x2
÷ >
1 2 x2 > x1 > 0 的函數的個數是（　　）
è 2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
f x1 + x2
f x1 + f x2
【解析】由題，滿足條件 2 ÷
> x2 > x1 > 0 表示函數圖象在第一象限上凸，結合冪函
è 2
數的圖象特征可知只有④滿足.
故選：A
題型二：冪函數性質的綜合應用
2-1 f x = 2m -1 xn 2,8 ① f x = x-3【典例 】已知冪函數 的圖象經過點 ，下面給出的四個結論： ；②
f x 為奇函數；③ f x 2在 R 上單調遞增；④ f a +1 < f 1 ，其中所有正確命題的序號為（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③
【答案】B
【解析】對于①：由冪函數的定義可知 2m -1 =1，解得m =1，
將點 2,8 代入函數 f x = xn 得 2n = 8，解得n = 3，
f x = x3所以 ，故①錯誤；
對于②：因為定義域為 R，且 f -x = -x 3 = -x3 = - f x ，
所以 f x 為奇函數，故②正確；
對于③：由冪函數的圖象可知， f x 在 R 上單調遞增，故③正確；
對于④：因為 a2 +1 1 2，且 f x 在 R 上單調遞增，所以 f a +1 ≥ f 1 ，故④錯誤，
綜上可知，②③正確，①④錯誤.
故選：B.
1 2
【典例 2-2 a +a-2】已知冪函數 f x = a2 - 3 x 2 在 0, + 上單調遞減，函數 h x = 3x + m ，對任意 x1 1,3 ，
總存在 x2 1,2 使得 f x1 = h x2 ，則m 的取值范圍為 .
é 26ù
【答案】 -8, -
ê 9 ú
1 2
【解析】因為函數 f x = a2 - 3 a +a-2x 2 是冪函數，則 a2 - 3 =1，a = ±2，
Q f x 在 0, + 1 2上單調遞減，則 a + a - 2 < 0，可得a = -2，
2
\ f 1x = x-2 1= é ù2 ，\ f x 在 1,3 上的值域為 ,1 ，x ê9 ú
h x 在 1,2 上的值域為 3+ m,9 + m ，
ì9 + m 1 ìm -8
é 26ù
根據題意有 í 1 í 26 ，\m的范圍為 ê-8, - ú .

3 + m m - 9 9 9
é 8, 26故答案為： ê- -
ù
9 ú
.

【方法技巧】
緊扣冪函數 y = xa 的定義、圖像、性質，特別注意它的單調性在不等式中的作用，這里注意a 為奇數
a a
時， x 為奇函數，a 為偶數時， x 為偶函數.
ì 1 1 ü
【變式 2-1】已知a í-2, -1, - , ,1, 2,3 . a (0, + ) a = .
2 2
若冪函數 f (x) = x 為奇函數，且在 上遞減，則

【答案】 -1
【解析】因為冪函數 f (x) = xa 在 (0, + ) 1上遞減，所以a = -2, -1,- ，
2
又冪函數 f (x) = xa 為奇函數，可知a 為奇數，即a = -1.
故答案為： -1
【變式 2-2 f x = x - 2 3】已知函數 + 3x-2 - 32-x + 2x ln 3 - 4ln 3 +1，則滿足 f x + f 8 - 3x > 2的 x 的取值
范圍是 ．
【答案】 - , 2
3
【解析】由題意得 f x = x - 2 + 3x-2 - 32-x + 2 x - 2 ln 3+1，
3
設 g x = x + 3x - 3- x + 2x ln 3，則 f x = g x - 2 +1， g x 的定義域為 R，
且 g -x = -x3 + 3- x - 3x - 2x ln 3 = -g x ，所以 g x 為奇函數，
y = x3 , y = 3x , y = -3- x , y = 2x ln 3都是增函數，所以 g x 是增函數，
f x 的圖象是由 g x 的圖象先向右平移 2 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度得到的，所以 f x 圖象
的對稱中心為 2,1 ，所以 f x + f 4 - x = 2．
易知 f x 在 R 上單調遞增，因為 f x + f 8 - 3x > 2 = f x + f 4 - x ，
所以 f 8 - 3x > f 4 - x ，所以8 - 3x > 4 - x ，解得 x < 2，
故答案為： - , 2 ．
2
【變式 2-3】已知冪函數 f x = xm -2m-3（其中，m Z）為偶函數，且 f x 在 0, + 上單調遞減，則m
的值為 .
【答案】1
【解析】因為函數冪函數 f x 在 0, + 上單調遞減，
所以m2 - 2m - 3 < 0 ，解得 -1 < m < 3，
又m Z，所以m = 0或 1 或 2，
當m = 0或 2 時， f x = x-3 1= 3 定義域為 x x 0 ，x
且 f -x
1 1
= 3 = - 3 = - f x -x x ，此時函數 f x 為奇函數，不符合題意；
當m =1時， f x = x-4 1= x x 0
x4
定義域為 ，
且 f -x
1 1
= 4 = 4 = f x -x x ，此時函數 f x 為偶函數，符合題意；
綜上所述，m =1.
故答案為：1.
1
【變式 2-4 2 2】已知函數 f x = x3 ，則關于 t 的表達式 f t - 2t + f 2t -1 < 0的解集為 .
1- ,1 【答案】 ÷
è 3
【解析】由題意可知， f x 的定義域為 - , + ，
1 1
所以 f -x = -x 3 = -x 3 = - f x ，
所以函數 f x 是奇函數，
1
由冪函數的性質知，函數 f x = x3 在函數 - , + 上單調遞增，
由 f t 2 - 2t + f 2t 2 -1 < 0，得 f t 2 - 2t < - f 2t 2 -1 ，即 f t 2 - 2t < f 1- 2t 2 ，
所以 t 2 - 2t <1- 2t 2
1
，即3t 2 - 2t -1 < 0，解得- < t <1，
3
2
所以關于 t 的表達式 f t - 2t 1+ f 2t 2 -1 < 0 的解集為 - ,13 ÷ .è
1- ,1 故答案為： ÷ .
è 3
1 1
【變式 2-5】滿足 - -(m +1) 3 < (3- 2m) 3 的實數 m 的取值范圍是（ ）.
2 , 3 A
2
． ÷ B． - , ÷ 1,
3
è 3 2 ÷ è 3 è 2
2 , 2 3C． +

÷ D

3 ．
(- , -1) ,3 2 ÷è è
【答案】D
1
【解析】冪函數 -y = x 3 在 (0, + )為減函數，且函數值為正，
在 (- ,0)為減函數，且函數值為負，
1 1
- -
(m +1) 3 < (3- 2m) 3 等價于，
ì3 - 2m > 0 ìm +1< 0 ì3 - 2m > 0
ím 1 3 2m或 ím 1 3 2m或 + > - + > -
í
m +1< 0
，
2 m 3解得 < < 或m 或m < -1，
3 2
所以不等式的解集為 (- , -1)
2 , 3 ÷ .
è 3 2
故選：D.
題型三：由冪函數的單調性比較大小
1
【典例 3-1】（2024 2·天津紅橋·二模）若 a = ( )3 ，b = log
2 1
-
1 5 ， c = 3 4 ，則 a，b，c 的大小關系為（ ）3 2
A． a > b > c B．b > c > a C．b > a > c D．a < b < c
【答案】C
b log 2 log 1
1 1 1 1 1 1
【解析】 = 1 > 1 =15 2 ， a = (
2)3 = [(2)4 ]12 16= ( )12 ( 3 )12 (1)4 c a (2> = = ，而 = )3 <1，
2 2 3 3 81 81 3 3
所以 a，b，c 的大小關系為b > a > c .
故選：C
2 3 2
5 5 5
【典例 3-2】設 a 3 2 2= ÷ , b = ÷ ，c = ÷ ，則 a,b,c 大小關系是 .
è 5 è 5 è 5
【答案】 a＞c＞b
2
【解析】因為 f x = x 5 在 0, + 單調增，
2 2
3 5 2 5所以 ÷ > ÷ ，即 a > c ，
è 5 è 5
g x 2
x
= 因為 ÷ 在 - , + 單調減，
è 5
3 2
2 5 2 5所以 < ，即 c > b,
è 5 ÷ è 5 ÷
綜上， a＞c＞b .
故答案為： a＞c＞b .
【方法技巧】
在比較冪值的大小時,必須結合冪值的特點,選擇適當的函數,借助其單調性進行比較．
1 a 1
【變式 3-1】（2024·河北衡水·三模）已知 loga <1
1
，
4 4 ÷
<1， a 4 <1，則實數 a的取值范圍為（ ）è
1 1
A． 0, ÷ B． 0,1 C

． 1,+ D． ,1
è 4 ÷ è 4
【答案】A
1 1
【解析】由 loga <1，得 a > 1或0 < a < ，4 4
1
a

由 ÷ <1，得a > 0，
è 4
1
由 a 4 <1，得 0 < a < 1，
1 1 a∴ log <1
1 1
當 a ，4 ÷
<1， a 4è 4 <1
同時成立時，取交集得0 < a < ，
4
故選：A.
【變式 3-2】已知 a = eπ ，b = πe ， c = ( 2)eπ ，則這三個數的大小關系為 ．（用“ <”連接）
【答案】 c < b < a
ln x 1- ln x
【解析】由 ln a = π， ln b = e ln π ，令 f (x) = 且 x [e, + ) ，則 f (x) = 2 0，x x
所以 f (x) 在 x [e, + )
ln e ln π
上遞減，則 > π > e ln π，即 ln a > ln b，
e π
所以b < a ，
由b = πe ， c = [( 2)π ]e ，只需比較 π與 ( 2)π 的大小，
根據 y = ( 2)x 與 y = x ，相交于 (2, 2), (4, 4)兩點，圖象如下，
由2 < π < 4，結合圖知 π > ( 2)π ，故b = πe > c = [( 2)π ]e ，
綜上， c < b < a .
故答案為： c < b < a

【變式 3-3】已知冪函數 f x 1 2的圖象過點 , ÷÷ , P x1, y1 ,Q x2 , y2 0 < x1 < x2 是函數圖象上的任意不同
è 2 4
兩點，則下列結論中正確的是（ ）
A． x1 f x1 > x2 f x2 B． x1 f x2 < x2 f x1
f x1 f x2 f x1 f x2 C． > D． <
x2 x1 x1 x2
【答案】D
a
【解析】設冪函數 f x = x ，
1 2 a 1 2 3
因為 f x 的圖象經過點 , ÷÷，則 ÷ = ，解得a = ，
è 2 4 è 2 4 2
3
所以 f x = x 2 .
3
因為函數 f x = x 2 在定義域 0, + 內單調遞增，
則當0 < x1 < x2 時，0 < f x1 < f x2 ，
f x
x f x < x f x 1 f x2 所以 1 1 2 2 ，且 < ，x2 x1
故選項A,C錯誤；
f x 1
又因為函數 = x 2 單調遞增，
x
f x f x
則當0 < x < x 1 21 2 時， < ，且 x2 f x1 < x1 f x2 ，x1 x2
故選項 D 正確，選項B錯誤.
故選：D.
2
【變式 3-4 2 m +m-3】（2024·高三·河北邢臺·期中）已知函數 f x = m - m -1 x 是冪函數，且在 0, + 上
單調遞減，若 a,b R ，且 a < 0 < b, a < b ，則 f a + f b 的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．無法判斷
【答案】B
【解析】由m2 - m -1 = 1得m = 2 或m = -1，
m = 2 時， f (x) = x3 在R 上是增函數，不合題意，
m = -1時， f (x) = x-3 ，在 (0, + )上是減函數，滿足題意，
所以 f (x) = x-3 ，
a < 0 < b, a < b ，則b > -a > 0 ， f (-a) > f (b) ， f (x) = -x3是奇函數，因此 f (-a) = - f (a)，
所以- f (a) > f (b) ，即 f (a) + f (b) < 0，
故選：B.
題型四：二次函數的解析式
【典例 4-1】（2024·高三·海南海口·開學考試）已知二次函數 f x 的圖象經過點 4,3 ，在 x 軸上截得
的線段長為 2，并且對任意 x R ，都有 f 2 - x = f 2 + x ，則 f x ＝ .
【答案】 x2 - 4x + 3
【解析】因為 f 2 - x = f 2 + x 對 x R 恒成立，
所以 y = f x 的圖象關于 x = 2對稱.
又 y = f x 的圖象在 x 軸上截得的線段長為 2，
所以 f x = 0的兩根為 2 -1 =1或 2 +1 = 3，
所以二次函數 f x 與 x 軸的兩交點坐標為 1,0 和 3,0 ，
因此設 f x = a x -1 x - 3 .
又點 4,3 在 y = f x 的圖象上，
所以3a = 3，則 a =1，故 f x = x -1 x - 3 = x2 - 4x + 3 .
故答案為： x2 - 4x + 3
【典例 4-2】寫出同時滿足下列條件①②③的一個函數 f (x) = ．
① f (x) 是二次函數；② xf (x +1)
f (x)
是奇函數；③ 在 (0, + )上是減函數．
x
【答案】-x2 + 2x
【解析】因為 f (x) 是二次函數，所以令 f (x) = -x2 + 2x， x 0 ，
令 g x = xf (x +1) = x é - x +1
2 + 2 x +1 ù = -x
3 + x，
g -x = - -x 3 - x = -g x ，故滿足條件②；
2
令 h x f (x) -x + 2x= = = -x + 2在 (0, + )上是減函數，滿足條件③，
x x
故答案為：-x2 + 2x
【方法技巧】
求二次函數解析式的三個技巧
(1)已知三個點的坐標，選擇一般式．
(2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等，選擇頂點式．
(3)已知圖象與 x 軸的兩交點的坐標，選擇零點式．
【變式 4-1】已知函數 f x = ax2 + bx + c （a 0）的圖象關于 y 軸對稱，且與直線 y = x 相切，寫出滿足上
述條件的一個函數 f x = ．
2 1
【答案】 x + （答案不唯一）
4
2
【解析】已知 f x = ax + bx + c a 0 ，
∵ f x 的圖象關于 y 軸對稱，
b
∴對稱軸 x = - = 0 ，∴ b = 0，
2a
∴ f x = ax2 + c ，
ìy = ax2 + c
聯立 í ，整理得 ax2 + c = x ，即 ax2 - x + c = 0 ，
y = x
∵ f x 的圖象與直線 y = x 相切，
∴ D =1- 4ac
1
= 0，∴ ac = ，
4
1
當 a =1時， c = .
4
∴滿足條件的二次函數可以為 f x 1= x2 + ．
4
2 1
故答案為： x + .
4
【變式 4-2】已知二次函數 f(x)滿足 f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，二次函數的解析式
是 ．
【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【解析】法一　(利用“一般式”解題)
設 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
ì
4a + 2b + c = -1, ìa = -4,

由題意得 ía - b + c = -1,

解得 íb = 4,
4ac - b2 c = 7.= 8,
4a
∴所求二次函數為 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二　(利用“頂點式”解題)
設 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因為 f（2）＝f(－1)，
x 2 + (-1) 1所以拋物線的對稱軸為 = = m 1，所以 ＝ 2 .2 2
又根據題意，函數有最大值 8，所以 n＝8，
1
所以 y＝f(x)＝ a(x - )2 + 8 .
2
1
因為 f（2）＝－1 2，所以 a(2 - ) + 8 = -1，解得 a＝－4，
2
1
所以 f(x) 2＝-4(x - ) + 8＝－4x2＋4x＋7.
2
法三　(利用“零點式”解題)
由已知 f(x)＋1＝0 的兩根為 x1＝2，x2＝－1，
故可設 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.
4a(-2a -1) - (-a)2
又函數有最大值 8，即 = 8 .
4a
解得 a＝－4 或 a＝0(舍).
故所求函數的解析式為 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
故答案為：f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【變式 4-3】已知函數 f (x) = mx2 + (2 - m)x + n(m > 0)，當-1 x 1時，都有 f (x) 1恒成立，則
f 1 ÷ = .
è 3
7
【答案】-
9
【解析】因為當-1 x 1時，都有 f (x) 1恒成立，
ì f (0) 1 ì n 1
所以 í
f (1)
，即
1 í 2 + n 1
，

ì-1 n 1
所以 í 3 n ，解得n = -1， - -1
所以 f (0) = -1, f (1) =1，
由 f (x) 圖象可知，要滿足題意，則圖象的對稱軸為直線 x=0，
所以 2 - m = 0，解得 m=2，
所以 f (x) = 2x2 -1，
f 1 所以 ÷ =2
1 7
-1 = - .
è 3 9 9
7
故答案為：-
9
2
【變式 4-4】已知 f x 是二次函數， f -2 = 0，且 2x f x x + 4 ，則 f 10 = .
2
【答案】36
【解析】法一：
由 f -2 = 0，可設 f x = x + 2 ax + b = ax2 + 2a + b x + 2b ，
則由 f x ≥ 2x 2得 ax + 2a + b - 2 x + 2b 0，
所以 a 0且 (2a + b - 2)2 8ab，整理后即為 4a2 + b2 4ab + 8a + 4b - 4，
f x x
2 + 4
由 得 2a -1 x2 + 4a + 2b x + 4b - 4 0，
2
若2a -1 = 0則必有 4a + 2b = 0，此時與 (2a + b - 2)2 8ab矛盾，
所以 2a -1 0 2且 (4a + 2b) 4 2a -1 4b - 4 ，
整理后為 4a2 + b2 4ab -8a - 4b + 4，
與 4a2 + b2 4ab + 8a + 4b - 4相加即得 4a2 + b2 4ab，
即 (2a - b)2 0 ，所以2a = b，
所以 f x = x + 2 ax + 2a = a(x + 2)2 ，
又由于在原不等式中令 x = 2可得 4 f 2 4，所以 f 2 = 4 1，由此解得 a = .
4
1 2
所以 f x = (x + 2) , f 10 = 36 .
4
法二：
2x f x x
2 + 4
0 f x - 2x 1 (x - 2)2 ，
2 2
令 g x = f x - 2x，則 g -2 = 4, g 2 = 0 ，設 g x = a x - 2 x - m a 0 .
若m 2，則
'
é1
ê x - 2
2 - g x ùú = -g 2 = a m - 2 0 ， 2
x=2
于是 a m - 2 > 0時，存在 x0 < 2
1 2
使得 x0 - 2 - g x0 < 0，矛盾；2
a m - 2 < 0 1 2時，存在 x0 > 2使得 x0 - 2 - g x2 0 < 0，矛盾；
故m = 2 ，令 x = -2，則16a = g -2 = 4 a 1= .
4
f x g x 2x 1 (x 2)2 2x 1于是 = + = - + = (x + 2)2 ，進而 f 10 = 36 .
4 4
故答案為：36.
題型五：二次函數的圖象、單調性與最值
【典例 5-1】已知 f (x) =1- (x - a)(x - b)，并且 m、n 是方程 f (x) = 0 的兩根，則實數 a、b、m、n 的大小關
系可能是（ ）
A．m < a < b < n B． a < m < n < b
C． a < m < b < n D．m < a < n < b
【答案】A
【解析】設 g(x) = -(x - a)(x - b)，又 f (x) =1- (x - a)(x - b)，
分別畫出這兩個函數的圖象，
其中 f (x) 的圖象可看成是由 g(x)的圖象向上平移 1 個單位得到，如圖，
由圖可知：m < a < b < n．
故選：A．
【典例 5-2】（2024·高三·江蘇蘇州·期中）滿足{x m x n} = {y y = x2 , m x n}的實數對m ， n構成
的點 (m, n)共有（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．無數個
【答案】C
【解析】由{x m x n} = {y y = x2 ,m x n}，又 y = x2 0 ，
則m 0 ，所以 y = x2在[m, n]單調遞增，
故值域為[ f (m), f (n)]，
即m, n 是 x2 = x 的兩根，解得 x1 = 0, x2 =1，
當m = n = 0 時，點 (m, n)為 (0,0)，
當m = n =1時，點 (m, n)為 (1,1) ，
當m = 0, n =1時，點 (m, n)為( 0, 1) .
故選：C
【方法技巧】
解決二次函數的圖象、單調性與最值常用的方法是數形結合.
f (x) = x2 - (m - 2)x 1+1 é- , 1 ù【變式 5-1】（2024·全國·模擬預測）若函數 在 ê ú上單調，則實數m 的取值 2 2
范圍為（ ）
é1A ,1ù U é
9 ù é1
． ê ú ê3, ú B． ê , 2
ù U é 9 ù
2 2 2 ú ê
3,
2 ú
é 1 ù é 9 ù é 1C． ê- ,1ú U ê3, ú D． ê- , 2
ù é 9 ù
2 2 2 ú
U 3,
ê 2 ú
【答案】C
2
【解析】令 g x = x - m - 2 x +1，
ìm - 2 1
,
ì m - 2 1 ìm - 2 1 m - 2 1
, - ,
ì - ,
2 2 2 2 2 2 2 2
則 í 1 或 í 或 或 g 0 g 1
í 1 í- 0 g 1- 0 g 0,
÷ è 2 è 2
÷
÷ ÷ è 2 è 2
9 1
解得3 m 或- ≤m≤12 ，2
即實數 m 得取值范圍為[
1
- ,1]U [3, 9]
2 2 .
故選：C．
【變式 5-2】（2024·高三·山東濟寧·期中）函數 f (x) = 2x2 - x - 3 的單調遞增區間為（ ）
A ． - ,
1 ù
ú B． (- , -1)
é3C． ê ,
1
+ é
4 2 ÷
D． ,+
è ê 4 ÷
【答案】C
【解析】由題意，令 t = 2x2 - x - 3 = 2x - 3 x +1 0，即 x -1 x 3或 ，
2
é3
根據二次函數性質知： t = 2x2 - x - 3在 (- ,-1]上遞減，在 ê ,+ ÷ 上遞增 2
3
又 y = t 在定義域上遞增，故 f x = 2x2 é - x - 3 的單調遞增區間為 ê ,+ ÷ . 2
故選：C
2
【變式 5-3】（2024·廣東珠海·模擬預測）已知函數 f x = x + mx - 2x +1在區間 2, + 上是增函數，則
實數m 的取值范圍是 .
【答案】 -2, +
2 m - 2
【解析】二次函數 f x = x + m - 2 x +1的圖象開口向上，對稱軸為直線 x = - ，
2
因為函數 f x 在區間 2, + m - 2上是增函數，則- 2，解得m -2 .
2
因此，實數m 的取值范圍是 -2, + .
故答案為： -2, + .
ì-2x
2 + 4x, x > 0
【變式 5-4】若函數 f x = í a -1,3- 2a2 在區間 上有最大值，則實數 a 的取值范圍是 .
2x , x 0
【答案】[0,1)
【解析】令 g x = -2x2 + 4x， x > 0，
所以 g(x)在( 0, 1)上單調遞增，在 (1, + )上單調遞減，
又 f (1) = 2 = f (-1)，作出函數 f (x) 的大致圖象，
ì-2x
2 + 4x, x > 0
由于函數 f x = í 2 在區間 a -1,3- 2a 上有最大值，
2x , x 0
ì3- 2a >1
結合圖象，由題意可得 í ，解得0 a <1，
-1 a -1 <1
所以實數 a 的取值范圍是[0,1)，
故答案為：[0,1)
題型六：二次函數定軸動區間和動軸定區間問題
【典例 6-1】已知函數 f (x) = x2 - 2ax(a > 0)．
(1)當 a = 3時，解關于 x 的不等式-5 < f (x) < 7 ；
(2)函數 y = f (x) 在[t, t + 2]上的最大值為 0，最小值是-4，求實數 a 和 t 的值．
【解析】（1）當 a = 3時，不等式-5 < f (x) < 7 ，
即為-5 < x2 - 6x < 7 ，
ìx2 - 6x < 7 ì-1 < x < 7
即 í ，所以 í ，
-5 < x
2 - 6x x <1,或x > 5
所以-1 < x <1或5 < x < 7，
所以原不等式的解集為 (-1,1) (5,7)．
（2） f (0) = f (2a) = 0 ，
由題意 t = 0或 t + 2 = 2a ，這時-a2 -4 解得a 2，
若 t = 0，則 t + 2 a，所以 f t + 2 = f 2 = -4 a = 2；
若 t + 2 = 2a ，即 t = 2a - 2 a ，
所以 f t = -4 = f 2a - 2 ，則a = 2，
綜上， t = 0, a = 2或 t = 2,a = 2 ．
【典例 6-2】已知函數 y = x2 + 2ax +1在-1 x 2上的最大值為 4，求 a的值．
【解析】函數 y = x2 + 2ax +1 = x + a 2 +1- a2 的圖象為對稱軸為 x = -a，開口向上的拋物線，
a 1 1當- 時，即 a - 時，此時 x = 2離對稱軸更遠，
2 2
所以當 x = 2時有最大值，最大值為 4a + 5，
由已知 4a + 5 = 4 a
1
，故 = - ，
4
1
當-a > 時，即 a
1
< - 時，此時 x=- 1離對稱軸更遠，
2 2
所以當 x=- 1時有最大值，最大值為2- 2a，
由已知 2 - 2a = 4，故a = -1，
a 1所以 = - 或a = -1.
4
【方法技巧】
“動軸定區間 ”、“定軸動區間”型二次函數最值的方法：
（1）根據對稱軸與區間的位置關系進行分類討論；
（2）根據二次函數的單調性，分別討論參數在不同取值下的最值，必要時需要結合區間端點對應的
函數值進行分析；
（3）將分類討論的結果得到最終答案.
【變式 6-1】已知函數 f x = x2 + ax ，其中 a是實數．
(1) f x 在區間 -1,2 上的最大值記為M a ，求M a 的表達式；
(2) f x 在區間 -1,2 上的最小值記為m a ，求m a 的表達式；
(3)若M a - m a = 3，求實數 a的值．
2 a
【解析】（1） f x = x2 + ax = (x a+ )2 a- ，對稱軸為 x = - ，
2 4 2
a 1
當- ，即a -1時，M a = f (2) = 4 + 2a ，
2 2
a 1
當- > ，即 a < -1時，M a = f (-1) =1- a ，
2 2
綜上，M a ì
4 + 2a, a -1
= í .
1- a, a < -1
a
（2）當- -1，即a 2時，函數 f x 在區間 -1,2 上單調遞增，m a = f (-1) =1- a ，
2
a
當- 2，即 a -4時，函數 f x 在區間 -1,2 上單調遞減，m a = f (2) = 4 + 2a ，
2
2
當-1
a
< - < 2 a a，即-4 < a < 2時，m a = f (- ) = - ，2 2 4
ì4 + 2a, a -4

m a a
2
綜上， = í- ,-4 < a < 2 .
4
1- a, a 2
（3）當 a -4時，M a =1- a ，m a = 4 + 2a ，
由M a - m a = 3，得1- a - 4 + 2a = 3，解得a = -2（舍）；
2
當-4 < a < -1時，M a =1- a ，m a a= - ，
4
2
由M a - m a = 3 a，得1- a + = 3，即 a2 - 4a -8 = 0，
4
解得 a = 2 - 2 3 或 a = 2 + 2 3（舍）；
2
當-1 a < 2時，M a = 4 + 2a，m a a= - ，
4
2
由M a - m a = 3，得 4 + 2a a+ = 3，即 a2 + 8a + 4 = 0，
4
解得 a = -4 - 2 3 （舍）或 a = -4 + 2 3 ；
當a 2時，M a = 4 + 2a，m a =1- a，
由M a - m a = 3，得 4 + 2a - 1- a = 3，解得 a = 0（舍），
綜上， a = 2 - 2 3 或-4 + 2 3 .
題型七：二次方程實根的分布及條件
7-1 x x2【典例 】若關于 的一元二次方程 + 3a -1 x + a + 8 = 0有兩個不相等的實根 x1, x2 ，且 x1 <1, x2 >1．則
實數 a 的取值范圍為 ．
【答案】 a < -2
【解析】令函數 f (x) = x2 + (3a -1)x + a + 8，依題意， f (x) = 0 的兩個不等實根 x1, x2 滿足 x1 <1, x2 >1，
而函數 f x 圖象開口向上，因此 f (1) < 0，則12 + (3a -1) 1+ a + 8 < 0，解得 a < -2，
所以實數 a 的取值范圍為 a < -2 .
故答案為： a < -2
2
【典例 7-2】方程mx - m -1 x +1 = 0在區間 0,1 內有兩個不同的根，則m的取值范圍為 ．
【答案】m > 3+ 2 2
2
【解析】令 f x = mx - m -1 x +1，圖象恒過點 0,1 ，
Q mx2方程 - m -1 x +1 = 0 在區間 0,1 內有兩個不同的根，
ìm > 0
m -1 ìm > 0 0 < <1
\

í 2m ím >1 ，解得m > 3 + 2 2 .
f 1 > 0
m -1
2 - 4m > 0
Δ > 0
故答案為：m > 3+ 2 2
【方法技巧】
2結合二次函數 f (x) = ax + bx + c 的圖像分析實根分布，得到其限定條件，列出關于參數的不等式，
從而解不等式求參數的范圍.
【變式 7-1】（2024 2·四川雅安·模擬預測）已知關于 x 的方程 x + bx + c = 0 b,c R 在 -1,1 上有實數根，
且滿足0 3b + c 3，則b的取值范圍是 ．
【答案】 0,2
2
【解析】問題等價于 g x = bx + c, h x = -x 在 -1,1 上有公共點．
Q g 3 = 3b + c 0,3 ，
設C(3,0), D(3,3)， g(3) = 3b + c，點 (3, g(3)) 在線段CD 上，
\ y = g x 的圖象是過線段CD 和拋物線 AB 弧上各一點的直線 ( 如圖 )，其中
A -1, -1 , B 1, -1 ,C 3,0 , D 3,3 ．
\bmax = kBD = 2;bmin = kCO = 0 b 0,2 .
故答案為：[0,2]．
【變式 7-2】關于 x 的方程 x2 + (m - 3)x + m = 0 滿足下列條件，求m 的取值范圍．
(1)有兩個正根；
(2)一個根大于1，一個根小于1；
(3)一個根在 (-2,0) 內，另一個根在 (0, 4) 內；
(4)一個根小于 2，一個根大于4；
(5)兩個根都在 (0,2)內．
【解析】（1）令 f (x) = x2 + (m - 3)x + m，設 f (x) = 0 的兩個根為 x1, x2 .
ìx1 + x2 = 3 - m > 0
由題得 íx1x2 = m > 0 ，解得0 < m 1.
2
Δ = 3- m - 4m 0
（2）若方程 x2 + (m - 3)x + m = 0 的一個根大于1，一個根小于1，則 f (1) = 2m - 2 < 0，解得m <1
ì f (-2) =10 - m > 0
（3）若方程 x2 + (m - 3)x + m = 0 一個根在 (-2,0) 內，另一個根在 (0, 4)

內，則 í f (0) = m < 0 ，解得

f (4) = 5m + 4 > 0
4
- < m < 0
5
（4）若方程 x2 + (m - 3)x + m = 0 的一個根小于 2，一個根大于4，
ì f (2) = 3m - 2 < 0
則 í ，解得m
4
< -
f (4) = 5m + 4 < 0 5
ì f 2 = 3m - 2 > 0

f 0 = m > 0
2 2（5）若方程 x + (m - 3)x + m = 0 的兩個根都在 (0,2)內，則 í0 m - 3< - < 2 ，解得 < m 1 2 3

Δ = 3- m
2 - 4m 0
題型八：二次函數最大值的最小值問題
2
【典例 8-1】已知函數 f (x) = x + ax + b 在區間[0, 4]上的最大值為 M，當實數 a，b 變化時，M 最小值
為 ．
【答案】2
2
【解析】 f (x) = x - 4x + (a + 4)x + b = x2 - 4x -[-(a + 4)x - b] ，
上述函數可理解為當橫坐標相同時，函數 g(x) = x2 - 4x， x [0 , 4]與函數 h(x) = -(a + 4)x - b， x [0 , 4]圖
象上點的縱向距離，
則M 即為函數 g(x) = x2 - 4x與函數 h(x) = -(a + 4)x - b圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值，
作出函數 g(x),h(x)圖象，如圖，
由圖象可知，當函數 h(x) 的圖象剛好為 y=- 2 時此時 a = -4,b = 2，M 取得最小值為 2.
故答案為：2
【典例 8-2】已知函數 f x = x - ax - b ,a,b R，若對任意的 x0 0,4 ，使得 f x0 M ，求實數M 的
取值范圍是 ．
1 ù
【答案】 - ,
è 4 ú
【解析】令 x = t, x = t 2 ，則 f x = g t = -at 2 + t - b , t 0,2 ，
ìg 0 M ì b M

取三點控制得 íg 1 M ，進而 í -a +1- b M ，
g 2 M -4a + 2 - b M
ì 3b 3M

化簡得 í -4a + 4 - 4b 4M ，可得8M 3b + -4a + 4 - 4b + -4a + 2 - b ，

-4a + 2 - b M
即8M 3b + -4a + 4 - 4b - -4a + 2 - b = 2 1，解得M ．
4
1
故答案為： - ,
ù
è 4 ú
【方法技巧】
解決二次函數最大值的最小值問題常用方法是分類討論、三點控制、四點控制.
【變式 8-1 2】二次函數 f x 為偶函數， f 1 =1，且 f x ≤3x + 2x恒成立．
(1)求 f x 的解析式；
(2) a R ，記函數 h x = f x - 2ax +1 在 0,1 上的最大值為T a ，求T a 的最小值．
2
【解析】（1）依題設 f x = ax + c ，
由 f 1 =1，得 a + c =1，
f x ≤3x2 + 2x 3- a x2，得 + 2x + a -1≥0恒成立，
ì3- a > 0
∴ í ，
Δ = 4 - 4(a -1)(3 - a) 0
2
得 a - 2 0 ，
所以a = 2，又 a + c =1，
所以c = -1，
∴ f x = 2x2 -1；
（2 2）由題意可得： h x = 2x - 2ax ， x 0,1 ，
若a 0，則 h x = 2x2 - 2ax ，則 h x 在[0,1]上單調遞增，
所以T a = h 1 = 2 - 2a ；
若a > 0 a，當 1，即a 2時， h x 在[0,1]上單調遞增，T a = h 1 = 2a - 2
2
a
<1 a a
2
當 ，只須比較 h ÷ = 與 h 1 = 2 - 2a的大小，2 è 2 2
a2 2
由 - 2 a- 2a > 0 ，得： 2 2 - 2 < a <1，此時T a = ，
2 2
a2
0 < a 2 2 - 2時， ≤ 2 - 2a ，此時T a = 2 - 2a，
2
ì2a - 2, a 2
2
綜上，T a a= í , 2 2 - 2 < a < 2，
2
2 - 2a, a < 2 2 - 2
a 2時，T a ≥ 2，
2 2 - 2 < a < 2時，6 - 4 2 < T a < 2，
a 2 2 - 2時，6 - 4 2 ≤T a ，
綜上可知：T a 的最小值為6 - 4 2 ．
【變式 8-2】已知函數 f (x) = (x - 2) | x + a | (a R)，
(1)當a = -1時，①求函數 f (x) 單調遞增區間；②求函數 f (x) é在區間 ê-4,
7 ù
的值域；
4ú
(2)當 x [-3,3]時，記函數 f (x) 的最大值為 g (a) ，求 g (a) 的最小值．
【解析】（1）當a = -1時，函數 f (x) = (x - 2) | x -1|，
當 x >1時，函數 f (x) = (x - 2)(x -1) = x2 - 3x + 2 ，
é3
此時，函數 f (x) 在 ê ,+

2 ÷上單調遞增，
當 x 1時，函數 f (x) = (x - 2)(1- x) = -x2 + 3x - 2，
此時，函數 f (x) 在 - ,1 上單調遞增，
所以函數 f (x)
é3
單調遞增區間為 - ,1 和 ê ,+ ÷； 2
因為函數 f (x) - ,1 é3單調遞增區間為 和 ê ,+

2 ÷，
3 é3 7 ù
所以函數 f (x) 在區間 -4,1 上單調遞增，在區間 1, 2 ÷上單調遞減，在區間 ê , ú 上單調遞增，è 2 4
ì
所以 f (x)min = min í f (-4), f (
3)ü ， f (x)max = max
ì
í f (1), f (
7)ü
2 4
，

因為 f (-4) = (-4 - 2)(1+ 4) = -30， f (
3) = (3 2)(3 1) 1- - = - ，
2 2 2 4
f (1) = (1- 2)(1-1) = 0 f (7) (7 2)(7 1) 3， = - - = - ，
4 4 4 16
所以函數 f (x)
é 7
在區間 ê-4,
ù
ú的值域為 -30,0 4 ；
ì 2
x - 2 x + a = x + a - 2 x - 2a, x -a（2）由已知可得， f x = í
- x - 2 x + a = -x2 + 2
，
- a x + 2a, x < -a
2 - a 5
當-a 3時，即 a -3時， f (x) = -x2 + (2 - a)x + 2a，對稱軸為 x = ，
2 2
2 - a
當 3時，即 a -4時，函數 f (x) 在區間[-3,3]上單調遞增，
2
所以 g(a) = f (3) = -a - 3，
5 2 - a
當 < 3時，即-4 < a -3時，
2 2
函數 f (x)
é
在區間 ê-3,
2 - a 2 - a ù
÷上單調遞增，在區間2
,3
2 ú 上單調遞減， è
g(a) f (2 - a a
2 + 4a + 4
所以 = ) = ，
2 4
當-a 2時，即 a -2時，若 x [-3,2]， f (x) 0，若 x [2,3]， f (x) > 0 ，
x 2,3 2 x 2 - a因為當 時， f (x) = x + (a - 2)x - 2a，對稱軸為 = 2，
2
所以函數 f (x) 在區間 2,3 上單調遞增，所以 g(a) = f (3) = a + 3，
當2 < -a 2 - a 5< 3，即-3< a < -2時，此時 2 < < ，
2 2
é 2 - af (x) 2 - a 函數 在區間 ê-3, ÷上單調遞增，在區間 ,-a ÷上單調遞減，在區間 -a,3 2 上單調遞增， 2 è
ì 2 ü
所以 g x max ì f 3 , f 2 - a= ü a + 4a + 4í ÷ = max ía + 3,2 è 4
2
若 a + 3 a + 4a + 4 ，即-2 2 a < -2時， g(a) = a + 3，
4
2
a 3 a + 4a + 4
2
若 + < ，即-3 a < -2 2 時， g(a)
a + 4a + 4
= ，
4 4
ìa + 3, a -2 2
2
綜上所述， g(a)
a + 4a + 4= í , -4 < a < -2 2 ，
4
-a - 3,a -4

函數 g(a) = -a - 3在區間 - , -4 上單調遞減，
a2 + 4a + 4
函數 g(a) = 在區間 -4, -2 2 上單調遞減，
4
函數 g(a) = a + 3在區間 é -2 2, + 上單調遞增，
所以 g(a)min = g(-2 2) = -2 2 + 3 = 3 - 2 2 .
2
【變式 8-3】（2024·高三·江蘇南通·開學考試）記函數 f x = x - ax 在區間 0,1 上的最大值為 g a ，
則 g a 的最小值為（ ）
1
A．3 - 2 2 B． 2 -1 C． D．14
【答案】A
【解析】以下只分析函數 f x = x2 - ax 在 x 0,1 上的圖象及性質，分類討論如下：
①當 a 0時，函數 f x = x2 - ax =x2 - ax在區間 0,1 上單調遞增，
即 g a = f 1 =1- a ，此時 g a 單調遞減， g a = g 0min =1；
2 ìx
2 - ax, a < x 1
②當0 < a 1時， f x = x - ax = í ，
ax - x
2 ,0 x < a
g a = max ì f 1 , f a ü ì
2 ü
所以 í ÷ = max í1- a,
a
，
è 2

4
a2
易知當 0 < a 2 2 - 2時，1- a g a =1- a ，
4
a2 2
當 2 2 - 2 < a 1，1- a < g a a= ，
4 4
22 2 - 2此時 g a = g 2 2 - 2 = =1- 2 2 - 2 = 3- 2 2 ；min 4
③ 2當 a > 1時， f x = x - ax =ax - x2 ，
2
ì a ü ì a ü即 g a = max í f 1 , f ÷ = max ía -1, ，
è 2 4
2 2
易知當1< a 2 a時， a -1 g a a= ，
4 4
2
當 2 < a ， a -1 a> g a = a -1，
4
此時 g a 1= g 1 =min ；4
1 1而 > > 3- 2 2 ，綜上可知 g a 的最小值為
4 3- 2 2
.
故選：A
1．（2023 年新課標全國Ⅰ卷數學真題）設函數 f x = 2x x-a 在區間 0,1 上單調遞減，則 a的取值范圍是
（ ）
A． - , -2 B． -2,0
C． 0,2 D． 2, +
【答案】D
【解析】函數 y = 2x R x x-a 在 上單調遞增，而函數 f x = 2 在區間 0,1 上單調遞減，
a a2 a
則有函數 y = x(x - a) = (x - )2 - 在區間 0,1 上單調遞減，因此 1，解得 a 2，
2 4 2
所以 a的取值范圍是 2, + .
故選：D
2．（2023 年天津高考數學真題）設a = 1.010.5,b = 1.010.6 ,c = 0.60.5，則 a,b,c的大小關系為（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． c < a < b
【答案】D
【解析】由 y =1.01x在 R 上遞增，則 a =1.010.5 < b =1.010.6，
由 y = x0.5 在[0, + ) 上遞增，則 a =1.010.5 > c = 0.60.5 .
所以b > a > c .
故選：D
1
3．（2011 年普通高等學校招生全國統一考試文科數學（陜西卷））函數 y = x3 的圖象是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數圖象上的特殊點（1，1），故排除 A，D；
1 1
由特殊點（8，2）， ( , ) ，可排除 C．
8 2
故選 B．
1．畫出函數 y = | x | 的圖象，并判斷函數的奇偶性，討論函數的單調性.
ì x , x 0
【解析】Q y = x = í
-x , x < 0
\ y = x 的圖象如圖所示，
設 f (x) = y = | x |, f (x) 的定義域為 R.
Q f (-x) = | -x | = | x | = f (x) ，
\ y = f (x) = | x |為偶函數.
當 x [0, + )時， y = | x | 為增函數，證明如下：
x - x
設任意的 x1, x2 [0, + )
1 2
，且 x y - y = x - x = x - x =1 < x2，則 1 2 1 2 1 2 x + x .1 2
Q x1, x2 [0, + )，且 x1 x2 ,\ x1 0, x2 0， x1 + x2 > 0, x1 - x2 < 0, \ y1 - y2 < 0即 y1 < y2 .
\ y = | x |在[0, + ) 上為增函數.
當 x (- ,0]時， y = | x | 為減函數，證明如下：
x - x
設任意的 x , x (- ,0]，且 x < x ，則 y1 - y2 = x1 - x2 = -x - -x = 2 11 2 1 2 1 2 -x1 + -x
.
2
Q x1, x2 (- ,0]，且 x1 < x2 ,\ -x1 + -x2 > 0， x2 - x1 > 0.\ y1 - y2 > 0即 y1 > y2 .
\ y = | x |在 (- ,0]上是減函數.
2．在固定壓力差（壓力差為常數）下，當氣體通過圓形管道時，其流量速率 v，（單位： cm3 / s）與管道
半徑 r（單位：cm）的四次方成正比.
（1）寫出氣體流量速率 v，關于管道半徑 r 的函數解析式；
（2）若氣體在半徑為 3cm 的管道中，流量速率為 400cm3 / s ，求該氣體通過半徑為 r 的管道時，其流量速
率 v 的表達式；
（3）已知（2）中的氣體通過的管道半徑為 5cm，計算該氣體的流量速率（精確到1cm3 / s）.
【解析】（1）設比例系數為 k ，氣體的流量速率 v關于管道半徑 r 的函數解析式為 v = kr 4 .
（2）將 r = 3與 v = 400代入 v = kr 4
400
中，有 400 = k 34 .解得 k = ，
81
400 4
所以，氣體通過半徑為 r 的管道時，其流量速率 v 的表達式為 v = r .
81
r = 5 v 400 250000（3）當 時， = 54 = 3086cm3 / s .所以，當氣體 81 通過的管道半徑為 5cm 時，該氣體
81 81
的流量速率約為3086cm3 / s .
3．試用描點法畫出函數 f (x) = x-2 的圖象，求函數的定義域、值域；討論函數的單調性、奇偶性，并證明.
【解析】 f (x)
1
= 2 . x
列表：
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
f (x) 1 1 1 1… 1 1 …
9 4 4 9
描點，連線.圖象如圖所示.
定義域：{x | x 0}，值域：{y | y > 0} . f (x) = x-2 在 (- ,0)上是增函數，在 (0, + )上是減函數.
1 1 x2 - x2 x + x x - x
證明如下：設任意的 x1, x2 (- ,0) ，且 x1 < x2 .則 f x1 - f x = - = 2 1 = 2 1 2 12 .x2 2 2 2 2 21 x2 x1 x2 x1 x2
Q x < x < 0,\ x + x < 0, x2x21 2 1 2 1 2 > 0, x2 - x1 > 0 .
\ f x - f x < 0 ，即 f x < f x ，\ f (x) = x-21 2 1 2 在 (- ,0)上是增函數.
1 1 x2 + x1 x2 - x1
設任意的 x1, x2 (0, + )，且 x1 < x2，則 f x1 - f x2 = x2 - x2 = 2 2 .1 2 x1 x2
Q0 < x1 < x2 ，
\ x2 + x1 > 0, x
2x21 2 > 0, x2 - x1 > 0
\ f x1 - f x2 > 0，即 f x1 > f x2 .
\ f (x) = x-2在 (0, + )上是減函數.
Q f (-x) = (-x)-2 = x-2 = f (x)
\ f (x) = x-2是偶函數.
4．證明：
f x + f x
（1）若 f (x) = ax + b ，則 f
x1 + x2 1 2
2 ÷
= .
è 2
2 x1 + x2 g x1 + g x （2）若 g(x) = x + ax + b 2，則 g ÷ .
è 2 2
f x1 + x2 a x1 + x2 ax + b ax + b
f x
1 = + b = 1 + 2 = 1
+ f x2
【解析】（ ） ÷ ÷ .
è 2 è 2 2 2 2
g x1 + x 1（2） 2 ÷ = x21 + x22 + 2x x a x1 + x+ 2 1 2 ÷ + b,
è 2 4 è 2
g x1 + g x2 1= é x2
1 x + x
1 + ax1 + b + x22 + ax2 + b ù 2 = x1 + x22 + a
1 2
÷ + b .2 2 2 è 2
1 x2 + x2 + 2x x 1- x2 + x2 1= - x - x 2因為 4 1 2 1 2 1 2 0，2 4 1 2
1
即 x2 + x2 1+ 2xx2 x2 21 + x2 ，4 2
1
則 x2 + x2 + 2x x x+ a 1 + x2 b 1 x2 x + x1 2 1 2 ÷ + + x2 + a 1 2 + b .4 è 2 2 1 2 ÷è 2
所以 g
x1 + x2 g x1 + g x 2 .
è 2 ÷ 2
易錯點：解二次型函數問題時忽視對二次項系數的討論
2
易錯分析：在二次函數 y = ax + bx + c中，當 a 0 時為二次函數，其圖象為拋物線；當 a = 0,b 0
2
時為一次函數，其圖象為直線．在解決此類問題時，應注意 x 項的系數是否為 0，若不能確定，應該分類
討論．
【易錯題 1】對于任意實數 x，不等式 (a - 2)x2 - 2(a - 2)x - 4 < 0 恒成立，則實數 a 取值范圍（ ）
A． (- , 2) B． (- , 2] C． (-2, 2) D． (-2, 2]
【答案】D
【解析】
當 a - 2 = 0，即 a = 2時， -4 < 0，恒成立；
ìa - 2 < 0
a - 2 0時， í ，解得 -2 < a < 2，
4(a - 2)
2 +16(a - 2) < 0
\-2 < a 2
故選 D.
【易錯題 2】已知 x2 + x + 5 ax2 + 2ax + c 2x2 + 5x + 9對任意 x R 恒成立，則 a + c = __________．
17
【答案】
2
【解析】
令 x2 + x + 5 = 2x2 + 5x + 9，解得 x = -2 ，故 7 4a - 4a + c 7，即 c = 7，所以 x2 + x + 5 ax2 + 2ax + 7 ，所
ìa -1 > 0, ìa > 1,
以 a -1 x2 + 2a -1 x + 2…0對任意 x R 恒成立，所以 í 2 即 í 解得
D = 2a -1 - 8 a -1 0, 2a - 3
2 0,
a 3= ，
2
2 3 17同理 ax + 2ax + c 2x2 + 5x + 9 對任意 x R 恒成立可得 a 的取值范圍，綜上得 a = ， a + c = .
2 2
答題模板：含參二次函數在區間上的最值問題
1、模板解決思路
解決含參二次函數在區間上的最值問題常用的方法是數形結合與分類討論.
2、模板解決步驟
第一步：通過觀察二次函數的特征，分析二次函數參數的位置；
第二步：通過討論含參二次函數的單調性和已知區間之間的關系進行分類討論；
第三步：根據含參二次函數的圖像與性質可判斷函數在區間上的單調性，并根據二次函數的單調性求
出其最值；
第四步：得出結論．
【典例 1】已知二次函數 f x 同時滿足以下條件：① f 2 + x = f 2 - x ，② f 0 =1，③ f 2 = -3．
(1)求函數 f x 的解析式；
(2)若 h x = f x + m + 4 x， x -1,2 ，求 h x 的最小值j m ．
【解析】（1）由 f 2 + x = f 2 - x 得，對稱軸為 x = 2，
設 f x = a x - 2 2 + b，
ì f 0 = 4a + b =1 ìa =1
∴ í
f 2 b
，得 ，
= = -3 í b = -3
∴ f x = x - 2 2 - 3 = x2 - 4x +1．
（2） h x = f x + m + 4 x = x2 + mx +1， x -1,2 m，對稱軸 x = - ，
2
m
ⅰ當- -1即m 2時， h x 在 -1,2 單調遞增，
2
h x = h -1min = 2 - m，
m
ⅱ -1
m
< - < 2 4 é ù é
m ù
即- < m < 2時， h x 在 ê-1, - ú 單調遞減，在2 2 ê
- , 2 單調遞增，
2 ú
2
∴ h x = h m -
=1 m-
min ，è 2 ÷ 4
m
ⅲ當- 2即m -4時， h x 在 -1,2 單調遞減，
2
h x = h 2min = 5 + 2m，
ì5 + 2m, m -4,
2
綜上： h x = j m = 1 m- , -4 < m < 2,min í
4
2 - m, m 2.
【典例 2】已知二次函數 f (x) = ax2 + bx + c ，滿足條件 f (0) = 0和 f (x - 2) - f (x) = -4x .
（1）求函數 f (x) 的解析式；
（2）若 A = [m, m +1](m R)，求函數 f (x) 在 A 上的最小值.
【解析】解:（1）∵ （f 0）= 0， ∴ c = 0
∴ f (x - 2) - f (x) = -4x
∴ a(x-2)2 +b(x-2)-ax2 -bx=-4x
ì -4a = -4
∴ -4ax + 4a - 2b = -4x ， ∴ í4a 2b 0，解得： a =1，b = 2 ， - =
∴ f (x) = x2 + 2x
（2） f (x) 的對稱軸是 x=- 1，
當m -1 2， fmin(x) = f (m) = m +2m
當m < -1< m +1即-2 < m < -1時， fmin(x) = f (-1) =-1
當m +1 -1即m -2時， fmin(x) = f (m+1) = m
2 +4m+3
ì m2 + 2m, m -1
∴ fmin (x)

í -1, -2 < m < -1
m2 + 4m + 3, m -2
【典例 3】已知函數 f (x) = x2 - 2x + a +1．當 x [t, t + 2]時，求函數 f (x) 最大值的表達式 H (t) ；
【解析】 f (x) = (x -1)2 + a ， x [t, t + 2]
①當 1- t t + 2 -1 即 t 0時， fmax (x) = f (t) = (t -1)
2 + a ，
②當 1- t < t + 2 -1 即 t > 0 2時， fmax (x) = f (t + 2) = (t +1) + a ，
ì(t -1)2 + a, t 0
\H (t) = í
(t +1)
2 + a, t > 0

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