資源簡介

第 03 講 等式與不等式的性質
目錄
01 考情透視·目標導航 .........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點 1：比較大小基本方法 ....................................................................................................................................4
知識點 2：不等式的性質 ............................................................................................................................................4
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................5
題型一：不等式性質的應用 .......................................................................................................................................6
題型二：比較數（式）的大小與比較法證明不等式 ...............................................................................................6
題型三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍 ...............................................................................................7
題型四：不等式的綜合問題 .......................................................................................................................................8
題型五：糖水不等式 ...................................................................................................................................................9
04 真題練習·命題洞見 .......................................................................................................................10
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................10
06 易錯分析·答題模板 .......................................................................................................................11
易錯點：多次使用同向相加性質，擴大了取值范圍 .............................................................................................11
答題模板：利用不等式的性質求代數式的范圍 .....................................................................................................11
考點要求 考題統計 考情分析
高考對不等式的性質的考查相對較少，考查
（1）掌握等式性質．
內容、頻率、題型難度均變化不大，單獨考查的
（2）會比較兩個數的大
題目雖然不多，但不等式的性質幾乎可以滲透到
?。?2022 年 II 卷第 12 題，5 分
高考的每一個考點，是進行不等式變形、證明以
（ 3 ）理解不等式的性
及解不等式的依據，所以它不僅是數學中的不 可
質，并能簡單應用．
或缺的工具，也是高考考查的一個重點內容．
復習目標：
1、理解用作差法、作商法比較兩個實數的大小.
2、理解等式與不等式的性質，掌握不等式性質的簡單應用.
知識點 1：比較大小基本方法
方法
關系 做差法 做商法
與 0 比較 與 1 比較
a b a b 0 a
1(a，b 0) a或 1(a，b 0)
b b
a b a b 0 a
1(b 0)
b
a b a b 0 a
1(a，b 0) a 或 1(a，b 0)
b b
【診斷自測】（2024·北京豐臺·二模）若 a,b R ，且 a b，則（ ）
1 1
A． 2 2
a 2
B．
+ 1 b2 + 1 a b ab
2 2 a a + bC．a ab b D． b2
知識點 2：不等式的性質
（1）基本性質
性質 性質內容
對稱性 a b b a；a b b a
傳遞性 a b，b c a c；a b，b c a c
可加性 a b a + c b c
可乘性 a b，c 0 ac bc；a b，c 0 ac bc
同向 a c，c d a + c b + d
可加性
同向同正 a b 0，c d 0 ac bd
可乘性
可乘方性 a b 0，n N* a n b n
【診斷自測】（2024·陜西·模擬預測）已知 1 a 5, 3 b 1，則以下錯誤的是（ ）
A． 15 ab 5 B． 4 a + b 6
5 a
C． 2 a b 8 D． 5
3 b
解題方法總結
1、應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，解題時要做到言必有據，特別提醒的是在
解決有關不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率．
2、比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單
調性．
比較法又分為作差比較法和作商比較法．
作差法比較大小的步驟是：
（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與 0 的大小；（4）下結論．
作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個正數的大?。┑牟襟E是：
（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與 1 的大??；（4）下結論．
其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于 0 或 1 比較大
小．
作差法是比較兩數（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數（式）均為正數，且是冪或者因式
乘積的形式，也可考慮使用作商法．
題型一：不等式性質的應用
【典例 1-1】（2024·北京海淀·二模）設a,b R,ab 0，且 a b，則（ ）
b a b a
A． B． + 2
a b a b
C．sin a b a b D．3a 2b
【典例 1-2】（多選題）（2024·高三·湖南常德·期末）已知a b 0，則下列不等式一定成立的
是（ ）
a b
A B 2ab a
2 + b2
． ．
a +1 b +1 a + b 2
C．a +b+ ln ab 2 1 1D．
1 + ln a 1 + ln b
【方法技巧】
1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．
2、充分利用基本初等函數單調性進行判斷．
3、小題可以利用特殊值排除法．
【變式 1-1】（2024·北京房山·一模）已知 a,b,c R ，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若 a b，則 a + c b + c B．若a b 0，則 a0.4 b0.4
1 a+c 1 b+c b b + cC．若 a b，則 ÷

2
D．若a b 0,c 0，則
è è 2 ÷ a a + c
1 1
【變式 1-2】（2024·北京西城·一模）設 a t ,b t + ,c t 2 + t ，其中 1 t 0 ，則（ ）t t
A．b a c B． cC．b題型二：比較數（式）的大小與比較法證明不等式
【典例 2-1】已知 a 0且 a 1， P = log 3 2a (a +1) ，Q = log a (a +1) ，則P與Q的大小關系為 ．
【典例 2-2】（2024·高三·河南·開學考試）已知：a b c 0, A ab + bc, B ac + b2 ,C a2 + b2 ，
則 A、B、C 大小關系是 ．
【方法技巧】
比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單調
性．比較法又分為作差比較法和作商比較法．
2 2
【變式 2-1 a b】已知 a,b為正實數．求證： + a + b .
b a
【變式 2-2】（1）比較 aabb 與baa b (a 0,b 0)的大??；
（2）已知 a 2，比較 log(a 1) a與 log a (a + 1)大小
【變式 2-3】希羅平均數（Heronianmean）是兩個非負實數的一種平均，若 a ，b是兩個非負實數，則
a + ab + b a + b
它們的希羅平均數H .記 A ，G ab ，則 A,G , H 從小到大的關系為 .（用“≤”連接）
3 2
題型三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍
【典例 3-1】已知1 a b 2 ，3 a + b 4，則 ab 的最大值為（ ）
15
A B 9． ． C．3 D．4
4 2
c
【典例 3-2】已知 VABC 的三邊長分別為 a ，b，c，且滿足b + c 3a ，則 的取值范圍為（
a ）
A． 1,+ B． 1,3 C． 0,2 D． 0,3
【方法技巧】
在約束條件下求多變量函數式的范圍時，不能離開變量之間的約束關系而獨立分析每個變量的范圍，
否則會導致范圍變大，而只可以建立已知與未知的關系．
【變式 3-1】（多選題）已知1 a 6 ， 2 b 4，則（ ）
a

1 , 3 a 1A． ÷ B． ,3

b è 2 2 b ÷è 4
C．a 3b 11,0 D．a 3b 6, 5
【變式 3-2】（多選題）已知實數 x，y 滿足 3 x + 2y 2, 1 2x y 4,則（ ）
A． x 的取值范圍為 ( 1,2) B． y的取值范圍為 ( 2 ,1)
C． x + y 的取值范圍為 ( 3,3) D． x y的取值范圍為 ( 1,3)
【變式 3-3】已知實數 a，b 滿足 2a2 + 3ab 2b2 1，且1 2 3b a 2 ，則3a + b的取值范圍是（ ）
A． 5, 2 U 2, 5 B． 2, 5 C． 5,0 U 0, 5 D． 5, 2
題型四：不等式的綜合問題
【典例 4-1】記max x1, x2, x3 表示 x1 , x2 , x3 這 3 個數中最大的數．已知 a ，b，c都是正實數，
M max ìa, 1 2b í + ,
c ü
，則 M 的最小值為（a c b ）
A． 3 B． 2 C．3 3 D．3 2
【典例 4-2】（2024·江蘇南通·模擬預測）設實數 a ，b，c滿足，a2 +b2 c 1則 a + b + c 的最小值
為（ ）
A 2
1 2
． 1 B． C．2
D． 1
2 2
【方法技巧】
綜合利用等式與不等式的性質
【變式 4-1】（多選題）若實數 x，y 滿足 4x2 + 6xy + 9y2 3，則（ ）
A． 4 x + 3 y 2 3 B． 4x + 3y 1
C． 4x2 6xy + 9y2 8 D． 4x2 6xy + 9 y 2 1
4 1 5 1
【變式 4-2】（多選題）已知 a 0，b 0，且滿足 a + ，b + ．則a2 +b2的取值可以為（a b b a ）
A．10 B．11 C．12 D．20
題型五：糖水不等式
【典例 5-1】（多選題）生活經驗告訴我們： a 克糖水中有b克糖（ a 0，b 0，且 a b），若再添加
m b b + m克糖（m 0）后，糖水會更甜.于是得出一個不等式： ，趣稱之為“糖水不等式”.根據“榶水不
a a + m
等式”判斷下列命題一定正確的是（ ）
b b + m
A．若a b 0，m 0 ，則
a a + m
B． log3 2 log15 10
a b c
C．若 a ，b，c為 VABC 三條邊長，則 +
1+ a 1+ b 1+ c
a b c
D．若 a ，b，c為 VABC 三條邊長，則1 + + 2
b + c a + c a + b
b
【典例 5-2】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）若 a 克不飽和糖水中含有b克糖，則糖的質量分數為 ，
a
這個質量分數決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽
b + m b
象出不等式 (a b 0，m 0 )數學中常稱其為糖水不等式.依據糖水不等式可得出 log3 2 a + m a
log1510 (用“ ”或“ ”填空)；并寫出上述結論所對應的一個糖水不等式 .
【方法技巧】
b + m b a + m a糖水不等式：若 a b 0 ，m 0 ，則 ，或者 ．
a + m a b + m b
【變式 5-1】（1）已知bg 糖水中含有 ag 糖（b a 0 ），若再添加mg m 0 糖完全溶解在其中，則
a a + m
糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）.根據這個事實，則 .（填“>，<，=，≥，≤”之
b b + m
一）.
M 20192019 20192016（2） ， N ，則 M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
20232023 20232020
【變式 5-2】（2024·高三·安徽亳州·期中）已知b克糖水中含有 a 克糖 (b a 0)，再添加m克糖
(m 0)（假設全部溶解），糖水變甜了.
(1)請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；
A B C
(2)在銳角 VABC 中，根據（1）中的結論，證明： + + 2 .
B + C C + A A + B
1．（多選題）（2022 年新高考全國 II 卷數學真題）若 x，y 滿足 x2 + y 2 xy 1，則（ ）
A． x + y 1 B． x + y 2
C． x2 + y 2 2 D． x2 + y2 1
2．（2019 年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅱ））若 a>b，則（ ）
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
3．（2012 年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（北京卷））已知{an}為等比數列，下面結論中正確
的是
A． a1 + a3 2a B 2 2 22 ． a1 + a3 2a2
C．若 a1 a3，則 a1 a2 D．若 a3 a1，則 a4 a2
1．下列命題為真命題的是（ ）
A．若 a>b>0，則 ac2>bc2 B．若 a>b，則 a2>b2
2 2 1 1C．若 aa b
2．比較下列各組中兩個代數式的大小：
（1） x2 + 5x + 6與2x2 +5x +9；
（2） (x 3)2 與 (x 2)(x 4)；
（3）當 x 1時， x2與 x 2 x + 1；
（4） x2 + y 2 +1與2(x + y 1) .
3．火車站有某公司待運的甲種貨物1530t ，乙種貨物1150t ，現計劃用 A，B 兩種型號的貨廂共 50 節運送
這批貨物，已知 35t 甲種貨物和 15 t 乙種貨物可裝滿一節 A 型貨廂，25t 甲種貨物和 35 t 乙種貨物可裝滿一
節 B 型貨廂，據此安排 A，B 兩種貨廂的節數，共有幾種方案？若每節 A 型貨廂的運費是 0.5 萬元，每節
B 型貨用的運費是 0.8 萬元，哪種方案的運費較少？
4．一個大于 50 小于 60 的兩位數，其個位數字比十位數字大 2，試用不等式表示上述關系，并求出這個兩
位數（用 a 和 b 分別表示這個兩位數的十位數字和個位數字）.
5．已知 2 a 3， 2 b 1，求 2a + b 的取值范圍.
易錯點：多次使用同向相加性質，擴大了取值范圍
易錯分析： 在多次運用不等式性質時，其取等的條件可能不同，造成多次累積誤差，結果擴大了取值
范圍．為了避免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用不等式性質時取等的條件是否相同；②盡量多使用等
式．
答題模板：利用不等式的性質求代數式的范圍
1、模板解決思路
解決本模板問題一般先用整體法建立所求代數式與已知代數式的等量關系，再通過不等式的性質求得.
2、模板解決步驟
第一步：把所求代數式 s用條件的代數式 p ， t 表示出來，即 s mp + nt ．
第二步：列方程組，求出 m，n 的值.
第三步：分別求出mp 和 nt 的取值范圍．
第四步：求出 s mp + nt 的取值范圍．
【易錯題 1】已知 1 x + y 1，1 x y 3，則3x 2y的取值范圍是（ ）
A．2 3x 2y 8 B．3 3x 2y 8 C．2 3x 2y 7 D．5 3x 2y 10
π a b 4π π【易錯題 2】已知 + ， π a b ，求 2a b 的取值范圍為 .
3 3第 03 講 等式與不等式的性質
目錄
01 考情透視·目標導航 .........................................................................................................................2
02 知識導圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點 1：比較大小基本方法 ....................................................................................................................................4
知識點 2：不等式的性質 ............................................................................................................................................4
解題方法總結 ...............................................................................................................................................................5
題型一：不等式性質的應用 .......................................................................................................................................6
題型二：比較數（式）的大小與比較法證明不等式 ...............................................................................................8
題型三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍 .............................................................................................10
題型四：不等式的綜合問題 .....................................................................................................................................12
題型五：糖水不等式 .................................................................................................................................................14
04 真題練習·命題洞見 .......................................................................................................................17
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................18
06 易錯分析·答題模板 .......................................................................................................................20
易錯點：多次使用同向相加性質，擴大了取值范圍 .............................................................................................20
答題模板：利用不等式的性質求代數式的范圍 .....................................................................................................20
考點要求 考題統計 考情分析
高考對不等式的性質的考查相對較少，考查
（1）掌握等式性質．
內容、頻率、題型難度均變化不大，單獨考查的
（2）會比較兩個數的大
題目雖然不多，但不等式的性質幾乎可以滲透到
?。?2022 年 II 卷第 12 題，5 分
高考的每一個考點，是進行不等式變形、證明以
（ 3 ）理解不等式的性
及解不等式的依據，所以它不僅是數學中的不 可
質，并能簡單應用．
或缺的工具，也是高考考查的一個重點內容．
復習目標：
1、理解用作差法、作商法比較兩個實數的大小.
2、理解等式與不等式的性質，掌握不等式性質的簡單應用.
知識點 1：比較大小基本方法
方法
關系 做差法 做商法
與 0 比較 與 1 比較
a b a b 0 a
1(a，b 0) a或 1(a，b 0)
b b
a b a b 0 a
1(b 0)
b
a b a b 0 a
1(a，b 0) a或 1(a，b 0)
b b
【診斷自測】（2024·北京豐臺·二模）若 a,b R ，且 a b，則（ ）
1 1
A． 2 B． a2b ab2a +1 b2 +1
C． a2
a + b
ab b2 D． a b
2
【答案】D
a 1,b 1 1 1 1 1 1【解析】由于 a b，取 ， 2 2 = ， a2b ab2 1，無法得到 ， a2b ab2 ，a +1 b +1 2 a2 +1 b2 +1
故 AB 錯誤，
取 a 0,b 2 ,則 a2 0,ab 0,b2 4 ，無法得到 a2 ab b2 ，C 錯誤，
a + b
由于 a b，則 2a b + a 2b，所以 a b ，
2
故選：D
知識點 2：不等式的性質
（1）基本性質
性質 性質內容
對稱性 a b b a；a b b a
傳遞性 a b，b c a c；a b，b c a c
可加性 a b a + c b c
可乘性 a b，c 0 ac bc；a b，c 0 ac bc
同向 a c，c d a + c b + d
可加性
同向同正 a b 0，c d 0 ac bd
可乘性
可乘方性 a b 0，n N * an bn
【診斷自測】（2024·陜西·模擬預測）已知 1 a 5, 3 b 1，則以下錯誤的是（ ）
A． 15 ab 5 B． 4 a + b 6
5 a
C． 2 a b 8 D． 5
3 b
【答案】D
【解析】因為 1 a 5, 3 b 1，所以 1 b 3，
ì 1 a 5 ì 1 a 5 ì 1 a 5
對于 A， í 15 ab 3， í ab 0 , í 1 ab 5 ,
3 b 0 b 0 0 b 1
綜上可得 15 ab 5，故 A 正確；
對于 B， 3 1 4 a + b 1+ 5 6，故 B 正確；
對于 C， 1 1 2 a b 3 + 5 8，故 C 正確；
對于 D，當 a 4,b
1 a
時， 8，故 D 錯誤；
2 b
故選：D.
解題方法總結
1、應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，解題時要做到言必有據，特別提醒的是在
解決有關不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率．
2、比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單
調性．
比較法又分為作差比較法和作商比較法．
作差法比較大小的步驟是：
（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與 0 的大??；（4）下結論．
作商比較大小（一般用來比較兩個正數的大?。┑牟襟E是：
（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與 1 的大?。唬?）下結論．
其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于 0 或 1 比較大
小．
作差法是比較兩數（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數（式）均為正數，且是冪或者因式
乘積的形式，也可考慮使用作商法．
題型一：不等式性質的應用
【典例 1-1】（2024·北京海淀·二模）設 a,b R, ab 0，且 a b，則（ ）
b a b a
A． B． + 2
a b a b
C． sin a b a b D．3a 2b
【答案】C
b 1 a
【解析】對于 A，取 a 2,b 1，則 2，故 A 錯誤，
a 2 b
b a
對于 B， a 1,b 1，則 + 2a b ，故 B 錯誤，
對于 C，由于 y sin x x x 0 , y =cos x 1 0，故 y sin x x在 0, + 單調遞減，故 sin x x 0，因此
sin x x, x 0, + ，
由于 a b，所以 a b 0，故 sin a b a b ，C 正確，
對于 D, a 3,b 4 3a
1
,則 2b
1
= ，故 D 錯誤，
27 16
故選：C
【典例 1-2】（多選題）（2024·高三·湖南常德·期末）已知a b 0，則下列不等式一定成立的
是（ ）
a b
A B 2ab a
2 + b2
． ．
a +1 b +1 a + b 2
C． a + b + ln ab 2 1 1D．
1+ ln a 1+ lnb
【答案】AB
1 1 1 1 0 a +1 b +1 a b【解析】∵a b 0，∴ + + 即 ，∴ ，A 正確；
a b a b a +1 b +1
2ab 2ab ab a + b由基本不等式知： a b 2 ，當且僅當 a b時等號成立+ 2 ab
又 a2 + b2 2ab，∴ 2 a2 + b2 a + b 2
a2
2
+b2 a +b a + b a2 + b2∴ 即 ,當且僅當 a b時等號成立；
2 4 2 2
2 2
已知 a b 0 , 2ab a + b故 ，B 正確;
a + b 2
令 a 1,b
1 1 1 1
， a + b + ln ab 1+ + ln 2，C 錯誤；
e e e e
1
令b ，1+ ln b 1+ ln
1
0，分母為零無意義，D 錯誤．
e e
故選：AB．
【方法技巧】
1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．
2、充分利用基本初等函數單調性進行判斷．
3、小題可以利用特殊值排除法．
【變式 1-1】（2024·北京房山·一模）已知 a,b,c R ，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若 a b，則 a + c b + c B．若a b 0，則 a0.4 b0.4
C a b 1
a+c 1 b+c b b + c
．若 ，則 ÷ ÷ D．若 a b 0,c 0，則
è 2 è 2 a a + c
【答案】D
【解析】對于 A，因為 a b，所以 a + c b + c，故 A 結論正確；
對于 B，當a b 0時，因為冪函數 y x0.4 在 0, + 上單調遞增，所以 a0.4 b0.4 ，故 B 結論正確；
對于 C，因為 a b，所以 a + c b + c，
x a+c b+c
y 1 1 1 而函數 ÷ 為減函數，所以2 ÷
÷ ，故 C 結論正確；
è è 2 è 2
b b + c b a + c a b + c c b a
對于 D， a a + c a a + c a a + c ，
因為 a b 0,c 0，所以 c b a 0, a a + c 0，
b b + c c b a b b + c
所以 0a a c a a c ，所以 ，故 D 結論錯誤.+ + a a + c
故選：D.
1 1
【變式 1-2】（2024·北京西城·一模）設 a t ,b t + ,c t 2 + t ，其中 1 t 0 ，則（ ）
t t
A．b a c B． cC．b【答案】C
1
【解析】由 1 t 0 ，故 , 1 1 ，故 a t 0，
t t
1
由對勾函數性質可得b t + 1+1 2 ，
t
c t 2 + t 0 ，且 c t × 2 + t t 2 + 2t t +1 2 1 1，
綜上所述，有b故選：C.
題型二：比較數（式）的大小與比較法證明不等式
2-1 a 0 a 1 P = log (a3【典例 】已知 且 ， a +1)
2
，Q = loga (a +1)，則 P 與Q的大小關系為 ．
【答案】P Q
a3
【解析】P Q loga a3 +1 log 2 +1a a +1 loga 2 ．a +1
3
a 1 3 2 a +1 a
3 +1
當 時， a +1 a +1，所以 2 1，則 log 0；a +1 a a2 +1
3
0 a 1 3 a +1 a
3 +1
當 時，0 a +1 a2 +1，所以0 2 1，則 loga +1 a 2
0．
a +1
綜上可知，當 a 0且a 1時，P Q 0，即P Q．
【典例 2-2】（2024·高三·河南·開學考試）已知：a b c 0, A ab + bc, B ac + b2 ,C a2 + b2 ，
則 A、B、C 大小關系是 ．
【答案】C A B
【解析】由 a b c 0，得 a2 ab,b2 bc ，因此C a2 + b2 ab + bc A，
顯然 A B (ab + bc) (ac + b2 ) (a b)(b c) 0，則A B，
所以 A、B、C 大小關系是C A B .
故答案為：C A B
【方法技巧】
比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單調
性．比較法又分為作差比較法和作商比較法．
2 2
【變式 2-1】已知 a,b a b為正實數．求證： + a + b .
b a
a2 b2 3 a b a + b
3 a2b ab2 a2 (a b) b2 (a b) (a b)2 (a + b)
【解析】證明：因為 + + ，
b a ab ab ab
2
又因為 a 0,b 0 (a b) (a + b)，所以 0，當且僅當 a b時等號成立，
ab
a2 b2
所以 + a + b .
b a
【變式 2-2】（1）比較 aabb與baab(a 0,b 0)的大??；
（2）已知 a 2，比較 log(a 1) a與 loga (a +1)大小
【解析】（1）因為 a 0,b 0，
aabb a
a b
所以 a b

b a ÷
，
è b
aabb a a b
所以①當 a b 0 時，
ba
1，
ab è b ÷
所以 aabb baab ，
a
②當a b 0時， 1, a b 0 ，
b
a a b
即 ÷ 1，
è b
所以 aabb baab ，
a
③當b a 0時，0 1, a b 0，
b
a a b
即 ÷ 1，
è b
所以 aabb baab ，
綜上所述：當 a 0,b 0， aabb baab .
（2） log(a 1) a loga (a +1)
lg a lg a +1

lg a 1 lg a
lg2 a lg a +1 lg a 1
，
lg a lg a 1
因為 a 2，所以 lg a +1 0, lg a 1 0, lg a 0 ，
所以 lg a lg a 1 0，
2
lg a 1 + lg a +1 由 lg a +1 lg a 1 ÷
è 2
lg a2 1 2 2 2
÷
lg a
2
2 ÷ ÷
lg a ，
è è 2
所以 lg2 a lg a +1 lg a 1 0，
lg2 a lg a +1 lg a 1
所以 0，
lg a lg a 1
即 log(a 1) a loga (a +1) 0，
故 log(a 1) a loga (a +1) .
【變式 2-3】希羅平均數（Heronianmean）是兩個非負實數的一種平均，若 a，b 是兩個非負實數，則
a + ab + b A a + b它們的希羅平均數 H .記 ，G ab ，則 A,G, H 從小到大的關系為 .（用“≤”連接）
3 2
【答案】G H A
【解析】由基本不等式可知，G A，當且僅當 a b時等號成立；
2a b因為 H G a + ab + b ab a 2 ab + b 0，
3 3 3
當且僅當 a b ，即 a b時等號成立，所以H G ；
2
因為 H A a + ab + b a + b a + 2 ab b
a b
0，
3 2 6 6
當且僅當 a b ，即 a b時等號成立，所以H A；
綜上所述，G H A，當且僅當 a b時等號成立.
故答案為：G H A
題型三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍
【典例 3-1】已知1 a b 2，3 a + b 4，則 ab 的最大值為（ ）
15
A 9． B． C．3 D．4
4 2
【答案】A
【解析】 4ab (a + b)2 (a b)2 ，
由不等式的性質9 (a + b)2 16 ，1 (a b)2 4，所以 4 (a b)2 1
5 15
所以5 (a + b)2 (a b)2 15，所以 ab ，
4 4
ì 5
ì a + b
2 16 a
當且僅當 í 時，且已知 a + b 0, a b 0
2
，解得 í ，
a b
2 1 b 3
2
15
即ab的最大值為 .
4
故選：A.
c
【典例 3-2】已知VABC 的三邊長分別為 a，b ， c，且滿足b + c 3a，則 的取值范圍為（ ）a
A． 1, + B． 1,3 C． 0,2 D． 0,3
【答案】C
ìa b + c 3a

【解析】由已知及三角形三邊關系得 í a + b c ，

a + c b
ì1 b c + 3a a ì 1 b c + 3

所以 í 1
b c 2c
+ a a，則 í ，兩式相加得0 4，
a a 1 c b 1 a
1 c b

+ a a a a
0 c所以 2 .
a
故選：C
【方法技巧】
在約束條件下求多變量函數式的范圍時，不能離開變量之間的約束關系而獨立分析每個變量的范圍，
否則會導致范圍變大，而只可以建立已知與未知的關系．
【變式 3-1】（多選題）已知1 a 6， 2 b 4，則（ ）
a 1 3 a 1
A．

, ÷ B． ,3

b è 2 2 b ÷ è 4
C． a 3b 11,0 D． a 3b 6, 5
【答案】BC
【解析】依題意1 a 6， 2 b 4，
1 1 1 1 a
所以 ，所以 3，所以 A 選項錯誤，B 選項正確.
4 b 2 4 b
所以 12 3b 6 ，所以 11 a 2b 0，所以 C 選項正確，D 選項錯誤.
故選：BC
【變式 3-2】（多選題）已知實數 x，y 滿足 3 x + 2y 2, 1 2x y 4,則（ ）
A． x 的取值范圍為 ( 1,2) B． y 的取值范圍為 ( 2,1)
C． x + y 的取值范圍為 ( 3,3) D． x y的取值范圍為 ( 1,3)
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性質直接求解.因為 1 2x y 4，所以 2 4x 2y 8 .因為 3 x + 2y 2 ，所以
5 5x 10，則 1 x 2，故 A 正確；
因為 3 x + 2y 2 ，所以 6 2x + 4y 4 .因為 1 2x y 4，所以 4 2x + y 1，所以 10 5y 5，
所以 2 y 1，故 B 正確；
9 3 6 1 1 4
因為 3 x + 2y 2， 1 2x y 4，所以 （x + 2y） , （2x y） ，則 2 x + y 2，故 C
5 5 5 5 5 5
錯誤；
因為 3 x + 2y 2， 1 2x y 4
2 1 x 2y 3 3 3 12，所以 （ + ） ， （2x y） ，則 1 x y 3，故
5 5 5 5 5 5
D 正確.
故選：ABD.
【變式 3-3】已知實數 a，b 滿足 2a2 + 3ab 2b2 1，且1 23b a 2，則3a +b的取值范圍是（ ）
A． 5, 2 U 2, 5 B． 2, 5 C． 5,0 U 0, 5 D． 5, 2
【答案】A
2 2
【解析】由題意得： 2a + 3ab 2b 2a b a + 2b 1，記m 2a b， n a + 2b ，則mn 1．
3b a n m ∴ 0 n m 1 ∴ 4 m + n 2 n m 2又1 2 2 2， ， + 4mn 5，
∴ 3a + b m + n 5, 2 U 2, 5 ．
故選：A
題型四：不等式的綜合問題
【典例 4-1】記max x1, x2 , x3 表示 x1, x2 , x3這 3 個數中最大的數．已知 a，b ， c都是正實數，
M max ìa, 1 2b c í + ,
ü
，則M 的最小值為（ ）
a c b
A． 3 B． 2 C．3 3 D．3 2
【答案】A
M max ìa, 1 2b+ , c ü c M 1 2 1 2b【解析】因為 í ，所以 a M ， ，所以 + + M ，
a c b b M M a c
3 M c所以 ，即M 3 ，當且僅當 a 3 時取等號，所以M 的最小值為 3．
M b
故選：A
【典例 4-2】（2024·江蘇南通·模擬預測）設實數 a，b ， c滿足， a2 + b2 c 1則 a + b + c 的最小值
為（ ）
A 2
1
． 1 B C 2． ．2
D． 1
2 2
【答案】B
【解析】由 a2 + b2 c 1可得：
a + b + c a 1+ b + a2 + b2 (a + )2 + (b 1)2 1 1+ ，
2 2 2 2
當 a b
1
時取等號，
2
所以 a b
1
+ + c 的最小值為 .
2
故選：B
【方法技巧】
綜合利用等式與不等式的性質
【變式 4-1】（多選題）若實數 x，y 滿足 4x2 + 6xy + 9y2 3，則（ ）
A． 4x + 3y 2 3 B． 4x + 3y 1
C． 4x2 6xy + 9y2 8 D． 4x2 6xy + 9y2 1
【答案】AD
2
【解析】對于 AB，因為 4x + 6xy 9y2
1 (4x 3y)2 27 1+ + + y2 3 2，所以 (4x + 3y) 3，當且僅當 y 0 時
4 4 4
取等號，
所以 (4x + 3y)2 12，所以 2 3 4x + 3y 2 3，所以 A 正確，B 錯誤，
對于 C，因為 2(2x + 3y)2 0，所以 2(4x2 +12xy + 9y2 ) 0，當且僅當 2x 3y 時取等號，
所以8x2 + 24xy +18y2 0，所以12x2 +18xy + 27 y2 4x2 6xy + 9y2 ，
所以3(4x2 + 6xy + 9y2 ) 4x2 6xy + 9y2 ，
所以 4x2 6xy + 9y2 9，當且僅當 2x 3y 時取等號，所以 C 錯誤，
對于 D，因為 2(2x 3y)2 0，所以 2(4x2 12xy + 9y2 ) 0，當且僅當 2x 3y時取等號，
所以8x2 24xy +18y2 0，所以12x2 18xy + 27y2 4x2 + 6xy + 9y2 ，
2
4x2 6xy 9y2 4x + 6xy + 9y
2
所以 + 1，當且僅當 2x 3y時取等號，所以 D 正確，
3
故選：AD
4 1
【變式 4-2】（多選題）已知 a 0，b 0，且滿足 a + ，b
5 1
+ ．則 a 2 + b2 的取值可以為（
b a ）a b
A．10 B．11 C．12 D．20
【答案】CD
【解析】因為 a
4 1 5 1
+ ，b + ，
a b b a
a2 a b所以 4 + b2， 5 + ，
b a
故 a2 b2 4 a 5 b a b+ + + + 9 + 2 × 11，
b a b a
a2 a b a b當 4 + 2，b 5 + 且 ，而 a b時 a2 b2，即等號不能同時成立，
b a b a
所以 a2 + b2 11，故 AB 錯誤，CD 正確.
故選：CD.
題型五：糖水不等式
【典例 5-1】（多選題）生活經驗告訴我們： a克糖水中有b 克糖（ a 0，b 0，且 a b），若再添加
m b b + m克糖（m 0）后，糖水會更甜.于是得出一個不等式： ，趣稱之為“糖水不等式”.根據“榶水不
a a + m
等式”判斷下列命題一定正確的是（ ）
b b + m
A．若a b 0，m 0，則
a a + m
B． log3 2 log15 10
C．若 a，b ， c為VABC
a b c
三條邊長，則 +
1+ a 1+ b 1+ c
a b c VABC 1 a b cD．若 ， ， 為 三條邊長，則 + + 2
b + c a + c a + b
【答案】BCD
m 0 b b + m【解析】A.由糖水不等式得：a b 0， 時， a a m ，故 A 錯誤.+
log 2 lg 2 lg 2 + lg5 lg10B. 3 log 10lg3 lg3+ lg5 lg15 15 ，故 B 正確.
a b a b a + b c
C. + + ，故 C 正確.
1+ a 1+ b 1+ a + b 1+ a + b 1+ a + b 1+ c
a b c a b c
D. + + + + 1，
b + c a + c a + b a + b + c a + b + c a + b + c
a b c 2a 2b 2c
+ + + + 2，故 D 正確.
b + c a + c a + b a + b + c a + b + c a + b + c
故選：BCD
b
【典例 5-2】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）若 a克不飽和糖水中含有b 克糖，則糖的質量分數為 ，
a
這個質量分數決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m 克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽
b + m b
象出不等式 (a b 0，m 0 )數學中常稱其為糖水不等式.依據糖水不等式可得出 log3 2 a + m a
log1510 (用“ ”或“ ”填空)；并寫出上述結論所對應的一個糖水不等式 .
ln 2 + ln5 ln 2【答案】
ln3 + ln5 ln3
【解析】空 1：因為0 log3 2 1，所以可得：
log 2 log5 2 log5 2 +1 log5 2 log5 103 log 10log5 3 log5 3 +1 log5 3 log5 15
15 ；
ln 2 ln10 ln 2 + ln 5 ln 2 + ln5 ln 2
空 2：由空 1 可得： log3 2 log15 10 ，即 .ln 3 ln15 ln 3 + ln 5 ln3 + ln5 ln3
ln 2 + ln5 ln 2故答案為： ；
ln3 + ln5 ln3
【方法技巧】
糖水不等式：若 a b 0 ，m 0 b + m b a + m a，則 ，或者 ．
a + m a b + m b
【變式 5-1】（1）已知bg 糖水中含有 ag糖（b a 0），若再添加mg m 0 糖完全溶解在其中，則糖
a a + m
水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）.根據這個事實，則 .（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
b b + m
M 20192019 N 20192016（2） ， ，則 M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
20232023 20232020
【答案】
a a + m a(b + m) b(a + m) (a b)m
【解析】（1）∵ b b + m b(b + m) b(b ，+ m)
又∵ 0 a b，m 0，
a a + m (a b)m a a + m
∴ 0b b + m b(b + m) ，即 ；b b + m
M 20192016 + 3 N 20192016（2）因為 ， ，
20232020 + 3 20232020
故M N .
故答案為： ； .
【變式 5-2】（2024·高三·安徽亳州·期中）已知b 克糖水中含有 a克糖 (b a 0)，再添加m 克糖
(m 0) （假設全部溶解），糖水變甜了.
(1)請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；
A B C
(2)在銳角VABC 中，根據（1）中的結論，證明： + + 2 .
B + C C + A A + B
a a + m
【解析】（1）若b a 0, m 0 ，則 .
b b + m
a a + m a b + m b a + m m a b
證明： b b + m b b + m b b m .+
m a b
因為b a，所以 a b 0，又b 0,m 0，故 0b b + m ，
a a + m
因此 .
b b + m
（2）在銳角三角形中 A B + C, A 0
A A + A 2A
，由（1）得 ，
B + C A + B + C A + B + C
B B + B 2B
同理 ，
C + A A + B + C A + B + C
C C + C 2C
.
A + B A + B + C A + B + C
A B C
以上式子相加得 + + 2 .
B + C C + A A + B
1．（多選題）（2022 年新高考全國 II 卷數學真題）若 x，y 滿足 x2 + y2 xy 1，則（ ）
A． x + y 1 B． x + y 2
C． x2 + y2 2 D． x2 + y2 1
【答案】BC
2 2 2 2
【解析】因為 ab a + b a + b a,b R x2 + y2 xy 1 x y 2 1 3xy 3 x + y ÷

（ ），由 可變形為， + ，
è 2 2 è 2 ÷
解得 2 x + y 2，當且僅當 x y 1時， x + y 2，當且僅當 x y 1時， x + y 2 ，所以 A 錯誤，
B 正確；
2 2
由 x2 + y2 xy 1可變形為 x2 + y2 1 x + y xy ，解得 x2 + y2 2 ，當且僅當 x y ±1時取等號，所2
以 C 正確；
2
x2 + y2 xy 1 x y 3 y 3因為 變形可得 ÷ + y
2 1，設 x cosq , y sinq ，所以
è 2 4 2 2
x cosq 1+ sinq , y 2 sinq x2 + y2，因此 cos2 q
5
+ sin2 q 2+ sinq cosq 1 1+ sin 2q 1 cos 2q 1+
3 3 3 3 3 3 3
4 2
+ sin 2q π é2 ù 3 3 ÷ ê , 2ú，所以當 x , y 時滿足等式，但是 x
2 + y2 1不成立，所以 D 錯誤．
3 3 è 6 3 3 3
故選：BC．
2．（2019 年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅱ））若 a>b，則（ ）
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取 a 2,b 1，滿足 a b， ln(a b) 0 ，知 A 錯，排除 A；因為9 3a 3b 3，知 B 錯，排除 B；
取a 1,b 2，滿足 a b，1 a b 2，知 D 錯，排除 D，因為冪函數 y x3是增函數， a b，所以
a3 b3，故選 C．
3．（2012 年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（北京卷））已知{an}為等比數列，下面結論中正確
的是
A． a1 + a3 2a2 B a
2 2
． 1 + a3 2a
2
2
C．若 a1 a3，則 a1 a2 D．若 a3 a1，則 a4 a2
【答案】B
【解析】設{an}的首項為 a1，公比為 q，當 a1<0，q<0 時，可知 a1<0，a3<0，a2>0，所以 A 不正確；
當 q＝－1 時，C 選項錯誤；當 q<0 時，a3>a1 a3qB 選項正確．
1．下列命題為真命題的是（ ）
A．若 a>b>0，則 ac2>bc2 B．若 a>b，則 a2>b2
1 1
C．若 aa b
【答案】D
【解析】對于 A，當 c=0 時，ac2=bc2，所以 A 不是真命題；
對于 B，當 a=0，b=-2 時，a>b，但 a2對于 C，當 a=-4，b=-1 時，aab>b2，所以 C 不是真命題；
1 1
對于 D，若 aa b
故選:D．
2．比較下列各組中兩個代數式的大?。?br/>（1） x2 + 5x + 6與 2x2 + 5x + 9；
（2） (x 3)2 與 (x 2)(x 4) ；
（3）當 x 1時， x2 與 x2 x +1；
（4） x2 + y2 +1與 2(x + y 1) .
2 2 2
【解析】（1）因為 x + 5x + 6 2x + 5x + 9 x 3 0 ，所以 x2 + 5x + 6 2x2 + 5x + 9 .
（2 2 2 2）因為 (x 3) (x 2)(x 4) x 6x + 9 x 6x + 8 1 0，所以 (x 3)2 (x 2)(x 4) .
3 x2 x2（ ）因為 x +1 x 1 0，所以當 x 1時， x2 x2 x +1.
（4）因為 x2 + y2 +1 2(x + y 1) x2 + y2 +1 2x 2y + 2 (x 1)2 + (y 1)2 +1 0，所以
x2 + y2 +1 2(x + y 1) .
3．火車站有某公司待運的甲種貨物1530t ，乙種貨物1150t ，現計劃用 A，B 兩種型號的貨廂共 50 節運送
這批貨物，已知 35t 甲種貨物和 15 t 乙種貨物可裝滿一節 A 型貨廂，25t 甲種貨物和 35 t 乙種貨物可裝滿一
節 B 型貨廂，據此安排 A，B 兩種貨廂的節數，共有幾種方案？若每節 A 型貨廂的運費是 0.5 萬元，每節
B 型貨用的運費是 0.8 萬元，哪種方案的運費較少？
【解析】設安排 A 型貨廂 x 節，B 型貨廂 y 節，總運費為 z
ì35x + 25y…1530

所以 í15x + 35y…1150 ，所以 28 x 30

x + y 50
ìx 28 ìx 29 ìx 30
又因為 x N* ，所以 í
y 22
或 í .
y 21
或
í y 20
所以共有三種方案，方案一安排 A 型貨廂 28 節，B 型貨廂 22 節；
方案二安排 A 型貨廂 29 節，B 型貨廂 21 節；
方案三安排 A 型貨廂 30 節，B 型貨廂 20 節.
ìx 30
當 í 時，總運費 z 0.5 30 + 0.8 20 31y 20 （萬元）此時運費較少.
4．一個大于 50 小于 60 的兩位數，其個位數字比十位數字大 2，試用不等式表示上述關系，并求出這個兩
位數（用 a 和 b 分別表示這個兩位數的十位數字和個位數字）.
ì50 10a + b 60

b a 2 4 4 a 5 3【解析】由題意知 í0 a 9 ，解得 . 11 11
0 b 9
又 a N *,\a 5
\b 7，∴所求的兩位數為 57.
5．已知 2 a 3， 2 b 1，求 2a + b 的取值范圍.
【解析】由不等式的性質直接求解即可因為 2 a 3，所以 4 2a 6 ，
因為 2 b 1，所以 4 + ( 2) 2a + b 6 + ( 1)，
即 2 2a + b 5，
所以 2a + b 的取值范圍為 (2,5) .
易錯點：多次使用同向相加性質，擴大了取值范圍
易錯分析： 在多次運用不等式性質時，其取等的條件可能不同，造成多次累積誤差，結果擴大了取值
范圍．為了避免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用不等式性質時取等的條件是否相同；②盡量多使用等
式．
答題模板：利用不等式的性質求代數式的范圍
1、模板解決思路
解決本模板問題一般先用整體法建立所求代數式與已知代數式的等量關系，再通過不等式的性質求得.
2、模板解決步驟
第一步：把所求代數式 s 用條件的代數式 p ， t 表示出來，即 s mp + nt ．
第二步：列方程組，求出 m，n 的值.
第三步：分別求出mp 和 nt 的取值范圍．
第四步：求出 s mp + nt 的取值范圍．
【易錯題 1】已知 1 x + y 1，1 x y 3，則3x 2 y 的取值范圍是（ ）
A． 2 3x 2y 8 B．3 3x 2y 8 C． 2 3x 2y 7 D．5 3x 2y 10
【答案】A
【解析】設3x 2y m x + y n x y m n x + m + n y，
ì 1
ìm n 3 m 2 1 5
所以 í ，解得 í ，即可得3x 2y x + y + x y ，
m + n 2 n 5 2 2
2
因為 1 x + y 1，1 x y 3，
1 5
所以 2 3x 2y x + y + x y 8，
2 2
故選：A．
4π π
【易錯題 2】已知 π a + b ， π a b ，求 2a b 的取值范圍為 .
3 3
π
【答案】 π,
è 6 ÷
【解析】設 2a b x a + b + y a b x + y a + x y b , x, y R ，
ì 1
ìx + y 2 x 2
則 í
x y 1
，解得 í ，
y 3
2
所以 2a b
1
a + b 3+ a b ，
2 2
4π π
因為 π a + b ， π a b ，
3 3
π 1 a 2π 3π 3 π所以 + b ， a b ，
2 2 3 2 2 2
π
所以 π 2a b ．
6
π
則 2a b 的取值范圍為 π, 6 ÷ ．è

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