資源簡介

第 04 講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 .........................................................................................................................2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點(diǎn) 1：指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算 ........................................................................................................................................4
知識點(diǎn) 2：指數(shù)函數(shù) ....................................................................................................................................................5
解題方法總結(jié) ...............................................................................................................................................................6
題型一：指數(shù)冪的運(yùn)算 ...............................................................................................................................................6
題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 ...............................................................................................................................8
題型三：指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題 .................................................................................................................................12
題型四：比較指數(shù)式的大小 .....................................................................................................................................14
題型五：解指數(shù)方程或不等式 .................................................................................................................................16
題型六：指數(shù)函數(shù)的最值與值域問題 .....................................................................................................................18
題型七：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題 .........................................................................................................................20
題型八：指數(shù)函數(shù)的綜合問題 .................................................................................................................................24
04 真題練習(xí)·命題洞見 .......................................................................................................................29
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................30
06 易錯(cuò)分析·答題模板 .......................................................................................................................33
答題模板 1：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問題 ..............................................................................................................33
答題模板 2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題 ..............................................................................................................34
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
從近五年的高考情況來看，指數(shù)運(yùn)算
2023 年新高考 I 卷第 4 題，5 分 與指數(shù)函數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)基
2023 年乙卷第 4 題，5 分 本點(diǎn)，常與冪函數(shù)、二次函數(shù) 、對數(shù)函
（1）指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
2022 年甲卷第 12 題，5 分 數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較
（2）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
2020 年新高考 II 卷第 11 題，5 和函數(shù)方程問題.在利用指數(shù)函數(shù)的圖像與
分 性質(zhì)應(yīng)用上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算
素養(yǎng).
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).
（2）通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會(huì)畫指數(shù)函數(shù)的圖象.
（3）理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用．
知識點(diǎn) 1：指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算
(1)根式的定義：
一般地，如果 xn = a ，那么 x 叫做 a的 n次方根，其中 (n > 1， n N * ) ，記為 n a ， n稱為根指數(shù)， a
稱為根底數(shù)．
(2)根式的性質(zhì)：
當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的 n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的 n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).
當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的 n次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).
(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算 an (a 0) 中的一個(gè)參數(shù)， a為底數(shù)， n為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，
冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.
(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類
①正整數(shù)指數(shù)冪 647
n個(gè)48
an a a a L a (n N*)；②零指數(shù)冪
0
= × × × × a = 1 (a 0)；
1
③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 a-n = (a 0 ， n N*)；④ 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0 ， 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
an
(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)
① aman = am+n (a > 0，m ， n Q)；② (am )n = am n (a > 0 ，m ， n Q)；
m
③ (ab)m = ambm (a > 0 ，b > 0 ，m Q) ；④ n am = a n (a > 0，m ， n Q)．
【診斷自測】化簡下列各式：
2
é 1
-2.5
ù 3
（1） ê 0.0645 ú
3
÷ - 3 3 - π0
=
êè ú 8
a3b2 3 ab2
（2） 1 1
4
1 1- （ a > 0,b > 0 =
a 4b2 ÷ a 3b3
è
1 1
（3 設(shè) -x 2 + x 2 = 3，則 x + x
-1的值為
a
【答案】 0 / ab-1 7
b
2
é 1 -2.5 ù 3
【解析】（1） ê 3 0.0645 ÷ ú - 3 3 - π0
ê è ú 8
3 1 2 14 (-2.5) 5 3 3 3
=
3
÷ - ÷ -1
è10 è 2
2 -1 3
= ÷ - -1
è 5 2
5 3
= - -1 = 0 .
2 2
1 2 1
a3b2 3 ab2 (a3b2a3b3 )2 5 2 4 7- -
= = a 3 3b3 3 -1 a4 1 1 = ab =（2） 1 1 1 1- 2 - b ；3 3
a 4b2 ÷ a 3b3 ab a b
è
1 1
（3）因?yàn)?-x 2 + x 2 = 3，
1 1
2
-
\ x + x-1 = x 2 + x 2 ÷ - 2 = 32 - 2 = 7 .
è
a
故答案為：（1）0；（2） ；（3）7
b
知識點(diǎn) 2：指數(shù)函數(shù)
y = a x
0 < a <1 a >1
圖 y y
象 a (1,a)
1 (1,a) 1
a
O 1 x O 1 x
性 ①定義域 R ，值域 (0，+ )
質(zhì) ② a0 =1，即時(shí) x = 0 ， y =1，圖象都經(jīng)過 (0，1) 點(diǎn)
③ a x = a ，即 x =1時(shí)， y 等于底數(shù) a
④在定義域上是單調(diào)減函數(shù) 在定義域上是單調(diào)增函數(shù)
⑤ x < 0時(shí) ， a x >1； x > 0 時(shí) ， x < 0時(shí)， 0 < a x <1； x > 0 時(shí)， a x >1
0 < a x <1
⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
【診斷自測】若指數(shù)函數(shù) f (x) = a x (a > 0且 a 1)在[-1,1]上的最大值為 2，則a = .
【答案】 2 1或 2
【解析】若 a > 1，則 f (x) 在[-1,1]上為增函數(shù)，所以 f (x)max = f (1) = a = 2 ，即 a = 2 .
1
若 0 < a < 1，則 f (x) 在[-1,1] -1上為減函數(shù)，所以 f (x)min = f (-1) = a = 2 ，即 a = .2
綜上 a = 2或 a
1
= .
2
1
故答案為： 2或 2 .
解題方法總結(jié)
1、指數(shù)函數(shù)常用技巧
(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“ a >1”和“ 0 < a <1”兩種情形討論．
(2)當(dāng) 0 < a <1時(shí)， x + ， y y 0 ； a 的值越小，圖象越靠近 軸，遞減的速度越快．
當(dāng) a >1時(shí) x + ， y 0 ； a 的值越大，圖象越靠近 y 軸，遞增速度越快．
1
(3) x指數(shù)函數(shù) y = a x 與 y = ( ) 的圖象關(guān)于 y 軸對稱．
a
題型一：指數(shù)冪的運(yùn)算
x 1
1-1 = a a 0 a x
2
【典例 】已知 2 （ 且 ），則 4 = ．（結(jié)果用 a表示）x + x +1 2 x + x2 +1
a2
【答案】
1- 2a
x 2 1 1
【解析】由 2 = a 且 a 0 x 0
x + x +1 1
知 ，于是 = ，即 x + = -1，
x + x +1 x a x a
x4 + x2 +1 2x2 1 1 x 1 1 1
2 2
從而 = + + = + - = -1 -1 1- 2a + a 1 1- 2a= - = ，
x2 x2 x ÷ ÷è è a a2 a2
1 2 2
由于 a x a，因此 = ．
2 x4 + x2 +1 1- 2a
a2
故答案為： .
1- 2a
4 0.5
2
1-2 1 -2 10 3【典例 】（ ） 0 5 9 ÷
+ 0.1 + 2 ÷ -100π ；
è è 27
1 1
2
（2）已知 x + y =11， xy = 9，求 x + y 2 的值.
x2 + y2
1 2
【解析】（1）原式 49=
2 3
÷ +10
2 64+ ÷ -100
7 16 37
= +100 + -100 = .
è 9 è 27 3 9 9
（2）因?yàn)?x + y =11， xy = 9，
1 1
所以 2 2
2
x 2 + y 2 = x + y + 2 xy = 17 ， x + y = x + y - 2xy =103，
1 1
x 2所以 + y
2 17
2 = .x + y2 103
【方法技巧】
（1）靈活運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，根式形式需要化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式去求解.
（2）運(yùn)算的最終結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有負(fù)指數(shù)又有分母．
【變式 1-1】（多選題）已知 a + a-1 = 3，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． a2 + a-2 = 7 B． a3 + a-3 =18
1 1 1
C． -a 2 + a 2 = ± 5 D． a a + = 2 5a a
【答案】ABD
【解析】由 a2 + a-2 = (a + a-1)2 - 2 = 32 - 2 = 7，所以 A 正確；
由 a3 + a-3 = (a + a-1)(a2 -1+ a-2 ) = 3 (7 -1) =18，所以 B 正確；
1 1
由 -(a 2 + a 2 )2 = a + a-1 + 2 = 3 + 2 = 5，
1 1 1 1
因?yàn)?- -a 2 > 0 ， a 2 > 0，所以 a 2 + a 2 = 5 ，所以 C 錯(cuò)誤；
3 3 1 1
- -
由 a a
1
+ = a 2 + a 2 = (a 2 + a 2 )(a -1+ a-1) = 5 (3 -1) = 2 5 ，所以 D 正確．
a a
故選：ABD．
1
【變式 1-2】已知函數(shù) f x = x x R .4 + 2
(1)求證 f x + f 1- x 為定值；
(2)若數(shù)列 an
n
的通項(xiàng)公式為 an = f ÷（m為正整數(shù)， n = 1， 2，L，m），求數(shù)列 an 的前m項(xiàng)和 Sm ；
è m
1
【解析】（1）證明：由于函數(shù) f x = x x R ，4 + 2
x x
f 1 x 1 4 4 4
x
則 - = 41-x
= = =
+ 2 4x 41-x + 2 4 + 2 × 4x 2 4x + 2 ，
x x
所以 f x + f 1 x
1 4 2 + 4 1
- = x + = =4 + 2 2 4x + 2 2 4x + 2 2 .
1
（2）由（1）可知， f x + f 1- x = ，
2
f k + f 1 k- 1則 ÷ ÷ = ，其中 k 為正整數(shù)，1 k m -1，
è m è m 2
f k f m - k 1+ = a = f n 即 ÷ ÷ ，且 n ÷，
è m è m 2 è m
所以 ak + a
1
m-k = ，其中 k 為正整數(shù)，1 k m -1，2
且 a = f
m
m ÷ = f 1
1
= ，
è m 6
Sm = a1 + a2 +L+ am-1 + am ，①
變化前m -1項(xiàng)順序后，可得： Sm = am-1 + am-2 +L+ a1 + am ，②
1 1 1 1
①+ ②得： 2Sm = m -1 + = m - ，2 3 2 6
S 1 m 1 3m -1因此 m = - = .4 12 12
題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
【典例 2-1】已知 a > 0且 a 1，則函數(shù) y = log x +1 y (1 xa 與 = ) +1在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是a
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】結(jié)合 y = loga x +1 與 y = (
1 )x +1可知，兩函數(shù)單調(diào)性一定相反，排除選項(xiàng) A；
a
因?yàn)?y = loga x +1
1 x
恒過定點(diǎn) 0,0 ， y = ( ) +1恒過定點(diǎn) 0,2 ，排除選項(xiàng) B，D．
a
故選：C．
|x|
【典例 2-2】（2024 1 ·黑龍江·二模）已知函數(shù) y = a ÷ + b的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且無限接近直線 y = 2，但
è 2
又不與該直線相交，則 ab =（ ）
A．-1 B．-2 C．-4 D．-9
【答案】C
y f (x) a(1 x 1【解析】因?yàn)楹瘮?shù) = = ) + b2 圖象過原點(diǎn)，所以
a( )0 + b = 0
2 ，
得 a + b = 0，又該函數(shù)圖象無限接近直線 y = 2，且不與該直線相交，
所以b = 2 ，則 a = -2 ，
所以 ab = -4 .
故選：C
【方法技巧】
對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱等
變換得到，當(dāng) a >1時(shí)，指數(shù)函數(shù) y = a x x的圖像呈上升趨勢；當(dāng)0 < a <1時(shí)，指數(shù)函數(shù) y = a 的圖像呈下
降趨勢.
【變式 2-1】已知 x1, x
x
2 是方程 2 + x =10，log2x + x =10的兩個(gè)根，則 x1 + x2 = .
【答案】10
x
【解析】由題可知， x1, x2 也是 y = 2 , y = log2 x與 y = -x +10圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
在同一坐標(biāo)系中，作圖如下：
數(shù)形結(jié)合可知， x1, x2 為 A, B兩點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)；
x
根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知， y = 2 , y = log x關(guān)于 y = x2 對稱；
又 y = -x +10與 y = x 垂直，故 y = -x +10與 y = x 的交點(diǎn)H 為線段 AB 的中點(diǎn)，
ì y = x ìx = 5
聯(lián)立 í ，可得 í ，即H 5,5 x，故 1 + x2 = 5，解得 x + x =10y x 10 y 5 . = - + = 2 1 2
故答案為：10 .
x+a
【變式 2-2】（2024·高三·山西·期末）已知函數(shù) f (x)
1
= ÷ + b 的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng) x 趨向于
è 2
正無窮大時(shí)， f (x) 的圖象無限接近于直線 y = 2，但又不與該直線相交，則a = .
【答案】-1
【解析】當(dāng) x 趨向于正無窮大時(shí)， f (x) 的圖象無限接近于直線 y = 2，
但又不與該直線相交，可知b = -2或b = 2 ，
1
a

又圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則b = 2 不滿足條件，所以 f (0) = - 2 = 0，
è 2 ÷
所以 a = -1 .
故答案為：-1
【變式 2-3 x+1】直線 y = 3a與函數(shù) y = a -1 (a > 0且 a 1)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 a的取值范圍是 .
1
【答案】 (0, )
3
【解析】 a > 1時(shí)，作出函數(shù) y = a x+1 -1 的圖象，如圖，此時(shí)在 x -1時(shí)，0 y <1，而3a > 3 >1，因此
y = 3a與函數(shù) y = a x+1 -1 的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
0 < a < 1 y = a x+1 -1 x -1 0 y <1 y = 3a y = a x+1時(shí)，作出函數(shù) 的圖象，如圖，此時(shí)在 時(shí)， ，因此 與函數(shù) -1
1
的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則0 < 3a <1，解得0 < a < ．
3
1
綜上所述， a (0, )．
3
(0, 1故答案為： )．
3
x
【變式 2-4 1 】設(shè)方程 + x - 5 = 0的解為x ，x ，方程 log 1 x + x - 5 = 0 ÷ 1 2 的解為 x ， x2 3 4
，則
è 2
x1 + x2 + x3 + x4 = ．
【答案】10
x x
1 1
【解析】由方程 + x - 5 = 0得 = 5 - x ，由方程 log 1 x + x - 5 = 0 得 log 1 x = 5 - x ÷ ÷ ，
è 2 è 2 2 2
x
在同一坐標(biāo)系下做出函數(shù) f x = 1 、 g x = log 1 x， y = x 的圖象，
è 2 ÷ 2
不妨設(shè) x1 < x3 < x2 < x4 ，如下圖，
x
1
因?yàn)楹瘮?shù) f x = 與 g x = log x
1
÷ 1 的圖象關(guān)于 y = x 對稱，即點(diǎn) x1, 與點(diǎn) x , log x 、點(diǎn)
è 2 2 è 2
x ÷ 1 4 1 4 ÷ è 2
1
x2 , log 1 x2 ÷與點(diǎn) x3 , 2x3 ÷
都關(guān)于 y = x 對稱，
è 2 è
ì 5
ìy = x x = 2 5 , 5 x1 + x4 5 , x2 + x 5由 íy 5 x解得 í 5 ，即兩直線的交點(diǎn)為 ÷，則
= 3 = ，
= - y = è 2 2 2 2 2 2
2
則 x1 + x2 + x3 + x4 =10 .
故答案為：10 .
題型三：指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題
【典例 3-1】（2024·高三·河北·期末）已知函數(shù) y = a x-2 + 3(a > 0，且 a 1)的圖象恒過定點(diǎn)A ，若點(diǎn)A 在
直線mx + ny = 2上，其中m > 0, n > 0
2 1
，則 + 的最小值為 .
m 3n
8 + 4 3
【答案】
3
【解析】對于函數(shù) y = a x-2 + 3(a > 0，且 a 1)，令 x - 2 = 0，則 y = 4 ，
則函數(shù) y = a x-2 + 3(a > 0且 a 1)的圖象恒過定點(diǎn) A 2,4 ，
則 2m + 4n = 2,\m + 2n =1，且m > 0, n > 0 ，
2 1 2 1 2 4n m 8 4 8 + 4 3
故 + = +
m + 2n = 2 + + + + 2 = ，
m 3n è m 3n ÷ 3 m 3n 3 3 3
ì4n m
=
當(dāng)且僅當(dāng) í m 3n
2 3 1
，即m = ,n = 時(shí)等號成立，
m + 2n =1
2 3 + 2 2 3 + 2
2 1
+ 8 + 4 3即 的最小值為 ，
m 3n 3
; 8 + 4 3故答案為
3
【典例 3-2】函數(shù) f x = a x+1 + 2（ a > 0且 a 1）的圖象恒過定點(diǎn) m, n ，則m + n等于 .
【答案】2
【解析】由 x +1 = 0，即 x=-1，得 y = 3，所以m = -1,n = 3，
所以m + n = -1+ 3 = 2，
故答案為：2.
【方法技巧】
y = a x+m + n 恒過定點(diǎn) (-m, n +1) ．
【變式 3-1】已知函數(shù) y = 2a x-2 - 3（ a > 0且 a 1）的圖象恒過定點(diǎn) P ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 .
【答案】 2,-1
【解析】令 x - 2 = 0，得 x = 2，則 y = 2a0 - 3 = -1 .
所以函數(shù) y = 2a x-2 - 3（ a > 0且 a 1）的圖象恒過定點(diǎn)P 2, -1 .
故答案為： 2,-1 .
【變式 3-2】（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù) y = a x-1(a > 0 且 a 1)的圖象過定點(diǎn) A，且點(diǎn) A 在直線
mx + 2ny = 8 m > 0, n > 0 8 3上，則 - 的最小值是 .
mn 2m
9
【答案】
16
【解析】函數(shù) y = a x-1(a > 0 且 a 1)的圖象過定點(diǎn) A 1,1 ，
則m + 2n = 8，所以 2n = 8 - m ，
ìm > 0
由 í ，得0 < m < 82n 8 m 0 ， = - >
8 3 16 3 32 - 3 8 - m 3m + 8
則 - = - = =mn 2m m 8 - m 2m 2m 8 - m -2m2 +16m
令 t = 3m + 8, t 8,32 ，則m t -8= ，
3
8 3 t 9t
- = =
則 mn 2m t -8 2 16 t -8 -2t 2 + 80t - 512-2 ÷ +
è 3 3
9 9 9
= =
80 2t 512- + 80 512
16 ，
t ÷ - 2 2t ×è t
ìm 8=
2t 512
3
當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 t =16，即 í 8 時(shí)，取等號，t n =
3
8 3 9
所以 - 的最小值是 .
mn 2m 16
9
故答案為： .
16
【變式 3-3】函數(shù) y = a2x-1 - 2(a > 0且a 1)，無論 a取何值，函數(shù)圖像恒過一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為 .
1
【答案】 ,-1

è 2 ÷
Qa0 1, x 1
1
【解析】 = \ = , y = a0 - 2 =1- 2 = -1,

則定點(diǎn)坐標(biāo)為 ,-1÷ .2 è 2
1 ,-1 故答案為: 2 ÷
.
è
題型四：比較指數(shù)式的大小
1
【典例 4-1】（2024·云南·二模）若a = 2p -2 ,b = 6-1,c = 23 ，則（ ）
A．b > a > c B． c > a > b C． a > b > c D． a > c > b
【答案】D
1
【解析】因?yàn)?a = 2p -2 > 21 = 2， c = 23 < 2，
所以 a > c -1
1 1
，因?yàn)閎 = 6 = <1，
6 c = 23 > 2
0 =1，
所以c > b ，所以 a > c > b .
故選：D.
【典例 4-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）若 a,b R ，則“ a > b ”是“3a - 3b > 2b - 2a ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
x x
【解析】構(gòu)造函數(shù) f x = 3 + 2 ，則 f x 在R 上單調(diào)遞增，
所以3a - 3b > 2b - 2a 3a + 2a > 3b + 2b f a > f b a > b ．
故選：C．
【方法技巧】
比較大小問題，常利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值法．
1 2
-
【變式 4-1】（2024 2·遼寧·一模）設(shè) a = ，b = 2 - e3，c =1- e 3 則（ ）
3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < c < a D． a < c < b
【答案】B
【解析】對于函數(shù) f (x) = ex - x -1， f (x) = ex -1，
令 f (x) < 0 x < 0, f (x) > 0 x > 0，
所以函數(shù) f (x) 在 (- ,0)上單調(diào)遞減，在 (0, + )上單調(diào)遞增，
所以 f (x)min = f (0) = 0，則 f (x) 0，即 ex x +1 .
1 2
-
所以 b = 2 - e3
1
2 - ( +1) 2= ， c = 1- e 3 1- (
2 1) 2- + = .
3 3 3 3
1 2 22 1 -e3 1 1 1 2
1
由 e2 < 8，得 ，所以 < 1 ，則 + e 3 = 1+ 2 > 2 2 = 1 > e3e3 < 83 = 2 ，
e3 e3 e3 e3
2 1
所以 -1- e 3 < 2 - e3 ，即 c < b .
所以 c < b < a .
故選：B
【變式 4-2】已知9a = 8，m =10a - 9 ， n = 8a - 7，則（ ）
A．m > 0 > n B．m > n > 0 C． n > m > 0 D． n > 0 > m
【答案】D
【解析】9a = 8，解得 a = log9 8，
令10t - 9 = 0，解得： t = lg9，
令8t - 7 = 0，解得： t = log8 7，
' 1 ln x 1 1+ - ln x
令 f x = log x+1 x x

>1 ，則 é ùf x ln x= ê ú = x x +1 ，
ê ln x +1 2 ú ln x +1
x 1 1 1 1因?yàn)?>1，所以 > > 0， ln x +1 > ln x > 0 ，則有 ln x +1 - ln x > 0，
x x +1 x x +1
即 f x > 0恒成立，所以 f x 在 1,+ 上單調(diào)遞增，
則有 log8 7 < log9 8 < lg9，
所以 n = 8a - 7 = 8log9 8 - 7 > 8log8 7 - 7 = 0，
m =10a - 9 =10log9 8 - 9 <10lg9 - 9 = 0，
所以 n > 0 > m .
故選：D
3
4-3 2024 a = 0.9,b = sin ,c = e-0.19【變式 】（ ·陜西·模擬預(yù)測）設(shè) ，則（ ）
4
A． a < b < c B．b < a < c C． c【答案】D
【解析】先變形 a = 0.81,c = e0.81-1，令 x = 0.81，
下面比較當(dāng)0 < x < 1時(shí)， x 與 ex-1的大小.
①令 f (x) = e2x-2 - x(0 < x <1)，則 f (x) = 2e2x-2 -1，令 f (x) = 0，
3
得 x =1 ln 2 1 ln e 3- < - = ，當(dāng) x ,14 ÷時(shí)，
f (x) > 0, f (x)單調(diào)遞增，
2 2 4 è
所以 f (0.81) < f (1) = 0，所以 e-0.38 < 0.81，即 e-0.19 < 0.9，所以 c < a .
c e-0.19 1 1 1
5
1 3 π 2
② = = > 5
e0.19 e0.2
，所以 c > 0.2 ÷ = ，b = sin < sin = ，è e e 4 4 2
5
b5
2 2
< 1 2所以 ÷÷ = ，則 c
5 > > > b5 ，所以c > b .
è 2 8 e 8
綜上，b故選：D.
題型五：解指數(shù)方程或不等式
【典例 5-1】（多選題）甲、乙兩人解關(guān)于 x 的方程2x + b ×2- x + c = 0，甲寫錯(cuò)了常數(shù) b，得到的根為 x = -2
或 x = log
17
2 ，乙寫錯(cuò)了常數(shù) c，得到的根為 x = 0或 x =1，則下列是原方程的根的是（4 ）
A． x=-1 B． x =1 C． x = 0 D． x = 2
【答案】AD
【解析】令 t = 2x ，
b
則方程可化為： t + + c = 0，即 t 2t + ct + b = 0
，
1 17
則甲寫錯(cuò)了常數(shù) b，得到的根為 t = 或 t = ，
4 4
17 1 9
由兩根之和得： c = - + ÷ = -
è 4 4 2
乙寫錯(cuò)了常數(shù) c，得到的根為 t = 20 =1或 t = 2，
由兩根之積得：b = 2 ，
2 9
所以方程為 t - t + 2 = 0，
2
1
解得： t = 或 t = 4
2
2x 1即 = 或 2x2 = 4
，
解得： x=-1或 x = 2 .
故選：AD
【典例 5-2】（2024·河北邯鄲·一模）不等式10x - 6x - 3x 1的解集為 .
【答案】 1, +
1 x 6 xx x x 3
x
10 - 6 - 3 1 + + 【解析】由 ，可得 ÷ ÷ ÷ 1 .
è10 è10 è10
1 x 6 x 3 xf x = + + 令 10 ÷ 10 ÷ ÷ ，è è è10
x x x
因?yàn)?y = 1 , y = 6 , y = 3 ÷ ÷ ÷ 均為R 上單調(diào)遞減函數(shù)
è10 è10 è10
則 f x 在R 上單調(diào)遞減，且 f 1 =1，
\ f x f 1 ，
\ x 1
故不等式10x - 6x - 3x 1的解集為 1, + .
故答案為： 1, + .
【方法技巧】
利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對于形如 a f ( x) = b， a f ( x) > b， a f ( x) < b 的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化，再利用
指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對數(shù)”的方法求解.形如 a2x + Ba x + C = 0或 a2x + Ba x + C…0( 0) 的形式，可借
助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.
【變式 5-1】不等式9x - 4 3x+1 + 27 0的解集為 ．
【答案】[1,2]
【解析】不等式9x
2
- 4 3x+1 + 27 0，可化為 3x -12 3x + 27 0，
即 3x - 3 3x - 9 0 ，
解得3 3x 9，
所以1 x 2，
所以不等式9x - 4 3x+1 + 27 0的解集為[1,2]．
故答案為：[1,2]．
1
- +1
x
【變式 5-2】若x 、x 為方程 a x 1 1 2 = ÷ a >1 的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則 x1 + x2 = ．
è a
【答案】-1
1
- +1 1
a > 1 x 1 x -1 1【解析】因?yàn)?，且 a = ÷ = a x ，所以， x = -1，即x x
2 + x -1 = 0，
è a
D =1+ 4 = 5 > 0，
由題意可知，x 、x 為方程 x21 2 + x -1 = 0的兩根，由韋達(dá)定理可得 x1 + x2 = -1 .
故答案為：-1.
9x1 + 9x2
【變式 5-3】已知 x 和 x 是方程9x x+21 2 - 3 + 3 = 0的兩根，則 = .x1 + x2
【答案】 75
x 2【解析】方程可化為 3 - 9 ×3x + 3 = 0，由韋達(dá)定理得3x1 + 3x2 = 9，3x1 ×3x2 = 3，
所以3x1 +x2 = 3，得 x1 + x2 =1.
2
又9x1 + 9x2 = 3x1 + 3x2 - 2 ×3x1 ×3x2 = 81- 6 = 75，
9x1 + 9x2
所以 = 75 .
x1 + x2
故答案為： 75
題型六：指數(shù)函數(shù)的最值與值域問題
3
【典例 6-1】（2024 x - x·高三·云南楚雄·期末）已知奇函數(shù) f x = a + b ×a 在 -1,1 上的最大值為 ，則
2
a = ．
1
【答案】2 或 2
【解析】因?yàn)?f x 是奇函數(shù)，所以 f -x + f x = b +1 a x + a- x = 0，
解得b = -1，即 f x = a x - a- x ．
a > 1 f x = a x - a- x當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 -1,1 上單調(diào)遞增，則 f 1 3= a - a-1 = ，解得 a = 2．
2
3 1
當(dāng) 0 < a < 1 x - x -1時(shí)，函數(shù) f x = a - a 在 -1,1 上單調(diào)遞減，則 f -1 = a - a = ，解得 a = ．
2 2
2 1故答案為： 或 2
x - x
【典例 6-2】（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù) f x = 2 + p -1 ×2 是定義域?yàn)?R 的偶函數(shù).
(1)求 p 的值；
(2)若 g x = f 2x - 2k × 2x - 2- x 在 1, + 上最小值為-4，求 k 的值.
【解析】（1）函數(shù) f (x) = 2x + ( p -1) × 2- x是定義域?yàn)镽 的偶函數(shù)，
可得 f (-x) = f (x)，即為 2- x + ( p -1) × 2x = 2x + ( p -1) × 2- x ，
化為 (2x - 2- x )( p - 2) = 0，
由 x R ，可得 p - 2 = 0，即 p = 2 ；
（2） g(x) = f (2x) - 2k × (2x - 2- x ) = 4x + 4- x - 2k(2x - 2- x )，
設(shè) t = 2x - 2- x ，由 x 1， t = 2x - 2- x 遞增，可得 t
3
，
2
設(shè) h(t) = t2 - 2kt + 2，對稱軸為 t = k ，
3
當(dāng) k 時(shí)， h(t) 3在[ , + ) 3 9遞增，可得 h(t)的最小值為 h( ) = - 3k + 2 = -42 2 4 ，2
k 11 3解得 = >4 2 ，舍去；
k 3當(dāng) > 時(shí)， h(t)在 t = k 處取得最小值，且為 2 - k 2 = -4 ，
2
解得 k = 6(- 6 舍去），
綜上可得， k = 6 ；
【方法技巧】
指數(shù)函數(shù)的最值與值域問題通常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決.
ìa x , x 1, 5
【變式 6-1】已知函數(shù) f x = í a > 0，且 a 1，若函數(shù) f x 在[0，2]上的最大值比最小值大 ，
-x + a, x >1, 2
則 a的值為 .
1 7
【答案】 2 或 2
【解析】①當(dāng) 0 < a < 1時(shí)，函數(shù) f x 在[0，1]上是減函數(shù)，在（1，2]上也是減函數(shù).
f 0 = a0∵ =1 > -1- a ，∴函數(shù)的最大值為 f 0 =1，而 f 2 = -2 + a < a = f 1 ，∴函數(shù) f x 的最小值為
f 2 = -2 + a，
∴-2 + a
5 1
+ =1，解得 a = 0,1 ，符合題意.
2 2
②當(dāng) a > 1時(shí)，函數(shù) f x 在[0，1]上是增函數(shù)，在（1，2]上是減函數(shù).
∵ f 1 = a > -1+ a，
0
∴函數(shù) f x 的最大值為 f 1 = a ，而 f 2 = -2 + a， f 0 = a =1，
當(dāng) a 1,3 5時(shí)，-2 + a <1，此時(shí)函數(shù) f x 的最小值為 f 2 = -2 + a，因此有-2 + a + = a，無解；
2
當(dāng) a 3, + 5 7時(shí)，-2 + a >1，此時(shí)函數(shù) f x 的最小值為 f 0 =1，因此有1+ = a ，解得 a = 3,+ ，
2 2
符合題意.
1 7
綜上所述，實(shí)數(shù) a的值為 2 或 .2
1 7
故答案為： 2 或 .2
6-2 f x = ax2【變式 】已知函數(shù) - 2x + b a 0 在 x =1處取得最小值 0 .
(1)求 a，b 的值；
f x é1 ù
(2) g x = x，求函數(shù) y = g 2 -1 ， x ê , 2x 2 ú 的最小值與最大值及取得最小值與最大值時(shí)對應(yīng)的
x 值.

【解析】（1）因?yàn)?f x = ax2 - 2x + b a 0 在 x =1處取得最小值 0，
1
即 =1， f 1 = a + b - 2 = 0，解得 a =1，b =1；
a
2 1 f x = x -1 2 fg x x 1（ ）由（ ）知 ，則 = = x + - 2，
x x
所以 g 2x -1 1= 2x -1+ - 2，2x -1
é1 ù
令 t = 2x -1，∵ x ê , 2ú ，則 t é 2 -1,3ù 2
，
則 g t 1= t + - 2， t é 2 -1,3ùt ，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得 g t 在 é 2 -1,1ù 上單調(diào)遞減，在 1,3 上單調(diào)遞增，
所以 g t = g 1min = 0，此時(shí) t =1即 2x -1 = 1，解得 x =1；
又 g 2 -1 2 1= -1+ - 2 = 2 2 - 2 ， g 3 = 3 1+ - 2 4= > g 2 -1 ，2 -1 3 3
當(dāng) t = 3時(shí)，即 2x -1 = 3，解得 x = 2，
x
所以當(dāng) x = 2時(shí)， g 2 -1 4= ，當(dāng) x =1 x時(shí)， g 2 -1 = 0
max 3 min
題型七：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
【典例 7-1】已知函數(shù) f (x) = -x2 + 3x + 5, g(x) = 2x + a ，若"x1 [0,2],$x2 [2,3]，使得 f x1 < g x2 ，則
實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 .
3
【答案】 a > -
4
2
3 29
【解析】當(dāng) x [0, 2]時(shí)， f (x) = -x2 + 3x + 5 = - x - ÷ + ，
è 2 4
3 29
∴當(dāng) x
3
= 時(shí)， f (x) = f

2 max ÷
= ，
è 2 4
當(dāng) x [2,3]時(shí)， g(x) = 2x + a為增函數(shù)，
所以 x = 3時(shí)， g(x)取得最大值 g(3) = 8 + a，
∵對"x1 [0,2],$x2 [2,3]，使得 f x1 < g x2 ，
∴ f (x)max < g(x)max ，
29 8 a 3∴ < + ，解得 a > - .
4 4
3
故答案為： a > - .
4
3
【典例 7-2】（2024 x - x·高三·河北衡水·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = a - k ×a (a > 0)是奇函數(shù)，且 f 1 = .2
(1)求 a, k 的值；
(2)若"x 1,2 ，不等式 f 2x + mf x 0恒成立，求m的取值范圍.
【解析】（1）Q f x = a x - k ×a- x 是奇函數(shù) f 0 = 0 k =1，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng) k =1時(shí)， f x = a x - a- x , f -x = a- x - a x = - f x , f x 是奇函數(shù)符合題意，
又 f 1 3 1= = a - a = 2 1或 a = - （舍），
2 a 2
\ f x = 2x - 2- x ；
（2）Q f 2x + mf x 0 22x - 2-2x + m 2x - 2- x 0，
即m 2x - 2- x 2- x + 2x 2- x - 2x ，
x - x x - x
又 x 1,2 , 2 - 2 > 0，故m - 2 + 2 恒成立，
令 t = 2x ，因?yàn)?x 1,2 1，故 t 2,4 ，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得 g t = - t + ÷在 t 2,4 上單調(diào)遞減，
è t
g(x) g 2 5 5\ max = = - ,\m - , m
5
\ éê- ,+

2 2 ÷
.
2
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：
（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，通常借助函數(shù)單調(diào)性求解；
（2）分離參數(shù)法：首先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的
圖象，再利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決．
x x
【變式 7-1】（2024·高三·山東棗莊·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = m ×9 - 3 ，若存在非零實(shí)數(shù) x0 ，使得
f -x0 = f x0 成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
1
【答案】 0, ÷
è 2
【解析】因?yàn)榇嬖诜橇銓?shí)數(shù) x0 ，使得 f -x0 = f x0 成立，
所以m ×9- x - 3- x = m ×9x - 3x x 0 有解，
- x
化簡m 9 - 9x = 3- x - 3x x 0 有解，即m 1= x - x x 0 有解.3 +3
因?yàn)?x + 3- x 2 3x ×3- x = 2，當(dāng)且僅當(dāng)3x = 3- x ，即 x = 0時(shí)取等號，
1 1
因?yàn)?x 0，所以3x +3- x > 2 ，0 <
3x + 3- x
< ，
2
1
所以0 < m < .
2

故答案為： 0,
1
è 2 ÷
2
【變式 7-2】（2024·高三·陜西商洛·期中）已知函數(shù) f x = ax - 2ax + b a > 0 在區(qū)間 0,3 上有最小值
2 和最大值 10．
(1)求 a，b 的值；
f x
(2) x x設(shè) g x = ，若不等式 g 2 + k ×2 0在 x -1,0 上恒成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍．
x
【解析】（1） f x = ax2 - 2ax + b的對稱軸為 x =1，因?yàn)?a > 0，
所以在區(qū)間 0,3 上最小值為 f 1 ，最大值為 f 3 ，
ìa - 2a + b = 2, ìa = 2
故 í 解得 í ．
9a - 6a + b =10, b = 4
g x 2x 42 1 = + - 4 x x x x 4（ ）由（ ）可得 ，所以 g 2 + k ×2 0可化為 k ×2 -2 ×2 - x + 4，x 2
2
k 2 4 1 1
1
化為 - - × x ÷ + 4 × t =x ．令 x 則 k -4t
2 + 4t - 2 ，
è 2 2 2
因?yàn)?x -1,0 t 1,2 h t = -4t 2，故 ，記 + 4t - 2，
故 h t = h 1 = -2max ，所以實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 -2, + ．
【變式 7-3】已知定義在 R 上的函數(shù) f (x) 滿足：對任意 x, y R 都有 f (x + y) = f (x) + f (y)，且當(dāng) x > 0時(shí)，
f (x) > 0 ， f (k ×2x ) + f (4x+1 -8x - 2x ) > 0對任意 x [-1,2]恒成立，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 .
【答案】 k >1
【解析】對任意 x, y R 都有 f (x + y) = f (x) + f (y)，令 x = y = 0 ，得 f (0) = f (0) + f (0)，即 f (0) = 0，
"x1, x2 R, x1 < x2 ，則 x2 - x1 > 0，有 f (x2 - x1) > 0，
f (x2 ) = f [(x2 - x1) + x1] = f (x2 - x1) + f (x1) > f (x1) ，因此函數(shù) f (x) 在R 上單調(diào)遞增，
由 f (k ×2x ) + f (4x+1 -8x - 2x ) > 0，得 f (k ×2x + 4x+1 -8x - 2x ) > f (0)，
于是 k ×2x + 4x+1 -8x - 2x > 0，整理得 k > 22x - 4 × 2x +1，
1
依題意， k > 22x - 4 × 2x +1對任意 x -1,2 恒成立，令2x = t ， t [ , 4]，2
函數(shù) g(t) = t 2 - 4t +1，當(dāng) t = 4時(shí)， g t = g 4 =16 -16 +1 =1max ，從而 k >1，
所以實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 k >1 .
故答案為： k >1
3
【變式 7-4 x - x】已知函數(shù) f x = a + 1- m a a > 0,且a 1 是奇函數(shù)，且過點(diǎn) 1， ÷．
è 2
(1)求實(shí)數(shù) m 和 a 的值；
(2)設(shè) g x = log é22xt + 2
-2x - tf x ù t > 0, t 1 ，是否存在正實(shí)數(shù) t，使關(guān)于 x 的不等式 g x 0對
x 2, log2 5 恒成立，若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）因?yàn)?f x 是定義域?yàn)?R 的奇函數(shù)，∴ f 0 = 0，∴m = 2 ，檢驗(yàn)符合
.∴ f x = a x - a- x ．
又因?yàn)?f x 過點(diǎn) 1, 3 f 1 a a-1 3- = - =2 ÷，∴ ，∴ a = 2è 2
（2）由（1）得 f x = 2x - 2- x ， g x = log é22x + 2-2x - t 2x - 2- xt ù t > 0, t 1
因?yàn)?x 2, log2 5 x - x k é
15
，令 k = 2 - 2 ，函數(shù)單調(diào)遞增，∴ ê ,
24ù
ú， 4 5
22x + 2-2x
2
= 2x - 2- x + 2 = k 2 + 2，
記 h k = k 2 - tk + 2，∵函數(shù) g x 0在 2, log2 5 上恒成立，
2 é15 24ù
∴（ⅰ）若0 < t <1時(shí)，函數(shù) h k = k - tk + 2在 k ê , ú上為增函數(shù)， 4 5
所以 g k = logt h k 為減函數(shù)，
則需函數(shù) h k k 2 15= - tk + 2 1 1 é，即 t k + 在 k ê ,
24ù
ú恒成立．k 4 5
1 15 25
設(shè) g k = k + ，設(shè) k1 < k2 ，k 4 4
g k1 - g k2 = k
1
1 + - k
1
2 - = k k
1 1
- - - ，
k 1 2 1 k2 è k k
÷
2 1
= k1 - k2 1
1
- = k
k k -1
- k 1 2 ，
è k1k
÷ 1 2 ÷
2 è k1k2
15 25
由 k1 < k2 可知， k1 - k2 < 0， k1k2 -1 > 0 ， k1k2 > 0，4 4
所以 g k1 - g k2 < 0，則 g k1 < g k2 ，
所以函數(shù) g k é15 24ù在區(qū)間 ê , 單調(diào)遞增， 4 5 ú
g k 15= k 1+ 241所以 的最小值為 g
k 4 ÷
= ，
è 60
241
得 t ，故0 < t <1符合題意；
60
ⅱ t > 1 0 < h k = k 2（ ）若 時(shí)，則需 - tk + 2 1，
1 15 24
即 t k + 且 t k
2
< + 在 k
é ù
k k ê
, 恒成立，
4 5 ú
1 é15 , 24ù 2 é15 24k + ù在區(qū)間 單調(diào)遞增，同理 k + 在區(qū)間 , 也是單調(diào)遞增，
k ê 4 5 ú k ê 4 5 ú
k 1 24 5 601所以 + 的最大值為 + = ， k
2 15 8 257
+ 的最小值為 + = 。
k 5 24 120 k 4 15 60
601 257
得 t 且t < ，故舍去
120 60
綜上所述：故存在正數(shù) t 0,1 ，使函數(shù) g x 0在 2, log2 5 上恒成立.
題型八：指數(shù)函數(shù)的綜合問題
ì-x2 - 6x - 5, x < 0,

8-1 f x = í 1 x 2【典例 】已知函數(shù) 若關(guān)于 x 的方程 é f x ù + 2a -1 f x + a2 - a = 0有 5 個(gè)不
÷ -1 , x 0,

è 2
同的實(shí)數(shù)根，則 a的取值范圍為 .
【答案】 -1,1
【解析】由題意得 é f x + a -1 ù é f x + a ù = 0 ，即 f x =1- a 或 f x = -a，
f x 的圖象如圖所示，
2
關(guān)于 x 的方程 é f x ù + 2a -1 f x + a2 - a = 0有 5 個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
ì-5 < -a < 0 ì0 -a <1
則 í -1 < a 1
0 1- a 1
或 í1 1 a 4，解得 ，< - <
故答案為： -1,1
2x + b 2
【典例 8-2】若函數(shù) f (x) = x (a,b R)是定義在R 上的奇函數(shù)，且 f mx + f (1- mx) > f (0)對任意2 + a
x R 恒成立，則m的取值范圍為 ．
【答案】[0, 4)
2x + b
【解析】因?yàn)楹瘮?shù) f (x) = x (a,b R)是定義在R 上的奇函數(shù)，2 + a
0 x
所以 f (0) 2 + b 0 b = -1 2 -1= 0 = ，解得 ，所以 f (x) =2 + a 2x
，
+ a
f (-x) + f (x) = 0 2
- x -1 2x -1
又因?yàn)?，所以 - x + = 0 ，2 + a 2x + a
即1+ a ×2x = 2x + a 對任意 x R 恒成立，所以 a =1，
x
所以 f (x) 2 -1= x =1
2
- x ,易得到 f (x) 在R 上單調(diào)遞增，2 +1 2 +1
由 f mx2 + f (1- mx) > f (0)，得 f mx2 + f (1- mx) > 0，
即 f mx2 > - f (1- mx)，
因?yàn)?f (x) 是定義在R 上的奇函數(shù)，所以 f mx2 > f (mx -1)，
因?yàn)?f (x) 在R 上單調(diào)遞增，所以mx2 > mx -1，
即mx2 - mx +1 > 0對任意 x R 恒成立，
若m = 0，則0 × x2 - 0 × x +1 > 0，此時(shí)對任意 x R 恒成立；
ìm > 0
若m 0 ，則 í 0 < m < 4
Δ
，解得 ，
= m2 - 4m < 0
綜上：m的取值范圍為[0, 4)．
故答案為：[0, 4) .
【方法技巧】
指數(shù)函數(shù)常與其他函數(shù)形成復(fù)合函數(shù)問題，解題時(shí)要清楚復(fù)合的層次，外層是指數(shù)函數(shù)還是內(nèi)層是指
數(shù)函數(shù)，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等問題，則要按復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律求解．
x - x 1- e2
【變式 8-1】已知函數(shù) f x = e - e ，則不等式 f f x > 的解集為 .
e
5 -1
【答案】 ln ,+ 2 ÷÷è
x - x
【解析】由于 f x = e - e ，顯然在定義域上 f x 為增函數(shù)，
f f x 1- e
2 1
由 > = - e = f -1 ， f x > -1，
e e
則ex
5 -1
-e- x > -1， e2x + ex -1 > 0且 ex > 0，可得 ex > ，
2
x ln 5 -1
5 -1
所以 > ，故不等式的解集為 ln ,+ ÷÷ .2 è 2
5 -1
故答案為： ln ,+ 2 ÷÷
.
è
【變式 8-2】（2024 x+1 -x·高三·湖北·期中）已知 f x = a - 2a 是定義域?yàn)镽 的奇函數(shù).
(1) g x = a2x -2x函數(shù) + a - 2 f x ， x 0,2 ，求 g x 的最小值.
(2)是否存在l > 0，使得 f 2x l f x 對 x -2, -1 恒成立，若存在，求l 的取值范圍；若不存在，說明
理由.
【解析】（1）由 f x 為R 上的奇函數(shù)，知 f 0 = a - 2 = 0，得 a = 2；
f x = 2x+1 -x x -x代入函數(shù)得： - 2 × 2 = 2 2 - 2 ，
由于 f -x = 2 2- x - 2x = - f x ，故 a = 2時(shí)， f x 為奇函數(shù)，滿足條件，
2 2
g x = 2 2 x + 2 -2 x - 2 2 x +1 - 2 × 2 - x = 2 x + 2 - x - 4 2 x - 2 - x
x - x 2= 2 - 2 - 4 2 x - 2- x + 2 ，
令 t = 2x - 2- x ，易知 t = 2x - 2- x 在 x 0,2 上單調(diào)遞增，
故當(dāng) x = 0時(shí)， t 取得最小值， tmin = 1-1 = 0 ，
當(dāng) x = 2時(shí)， t t 4
1 15
取得最大值， max = - = .∴ t
é
ê0,
15ù
4 4 ， 4 ú
則上式轉(zhuǎn)化為 h t = t 2 - 4t + 2 = t - 2 2 - 2，
∴ t = 2時(shí)， g x = -2min ，此時(shí) x = log2 1+ 2 ；
2 f x = 2 2x - 2- x f 2x = 2 22x - 2-2x（ ） ， ，
2 22x - 2-2x 2l 2x - 2- x代入不等式得 ，
x -x
即得： 2 2 + 2 2x - 2-x 2l 2x - 2-x ，
∵ x -2, -1 時(shí)， 2x - 2- x < 0，
∴l(xiāng) 2 x + 2- x ，
又Q2x
1 1
é ùê , 4 2ú
，

\ 2x 1當(dāng) = ，即 x=- 1時(shí)，
2 2
x + 2- x 取得最小值，
2 x + 2- x而 5= 2 ，min
∴ 0 < l
5
.
2
【變式 8-3】我們知道，函數(shù) y = f x 的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) y = f x 為
奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù) y = f x 的圖象關(guān)于點(diǎn) P a,b 成中心對稱圖形的充要條件是函
數(shù) y = f x + a - b為奇函數(shù)．根據(jù)這一結(jié)論，解決下列問題．
已知函數(shù) f x 2= ．
1+ 21-x
(1)證明：函數(shù) f x 的圖象關(guān)于點(diǎn) 1,1 對稱；
(2)若 f a2 + f 2a -1 > 2，求實(shí)數(shù) a的取值范圍．
2
【解析】（1）由題意 f x = 1-x ，令 g x = f x
2
+1 -1 = - x -1，1+ 2 1+ 2
顯然函數(shù) g x 的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對稱，
g x g x 2 2 2
x+1 2
且 + - =
è1+ 2- x
-1÷ + x -1÷ = x + x - 2 = 0， è1+ 2 2 +1 1+ 2
2
所以函數(shù) g x = - x -1是奇函數(shù)，1+ 2
所以函數(shù) f x 的圖象關(guān)于點(diǎn) 1,1 對稱.
（2 2）由題意 f a + f 2a -1 > 2 g a2 -1 = f a2 -1 >1- f 2a -1 = -g 2a - 2 = g 2 - 2a ，
而由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知 g x 2= - x -1單調(diào)遞增，1+ 2
2
所以 g a -1 > g 2 - 2a 當(dāng)且僅當(dāng) a2 -1 > 2 - 2a ，即a2 + 2a - 3 > 0，
解得 a < -3或 a > 1，所以實(shí)數(shù) a的取值范圍為 - , -3 1,+ .
f (x) 1 a -1【變式 8-4】（2024·河南平頂山·模擬預(yù)測）已知函數(shù) = - (a > 0且 a 1）為定義在 R 上的奇
a x +1
函數(shù)
(1)利用單調(diào)性的定義證明：函數(shù) f (x) 在 R 上單調(diào)遞增；
(2)若關(guān)于 x 的不等式 f (mx2 -1) + f (2 - mx) > 0恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；
(3)若函數(shù) g(x) = kf (x) - 3x 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍．
a -1
【解析】（1）證明：由函數(shù) f x 為奇函數(shù)，有 f 0 =1- = 0，解得 a = 3，
2
2 x 2 3x +1 - 2
當(dāng) a = 3時(shí)， f x =1 2- ， f -x =1- 1 =1
2 3 1 2- x = - = -1+ =
3x +1 +1 3 +1 3
x +1 3x +1 - f -x ，符合
3x
函數(shù) f x 為奇函數(shù)，可知 a = 3符合題意．
x x f x f x 1 2 2 設(shè) 2 > 1 ，有 2 - 1 = - x ÷ - 1-è 3 2 +1 è 3x1 +1÷
2 2 2 3x2 - 3x1
= - =
3x ，1 +1 3x2 +1 3x1 +1 3x2 +1
由 x2 > x ，有3x21 > 3x1 ，有 f x2 > f x1 ，故函數(shù) f x 在R 上單調(diào)遞增；
（2）由 f mx2 -1 + f 2 - mx > 0 f mx2 -1 > - f 2 - mx
f mx2 -1 > f mx - 2
mx2 -1 > mx - 2 mx2 - mx +1 > 0．
（1）當(dāng)m = 0時(shí)，不等式為1 > 0恒成立，符合題意；
（2）當(dāng)m > 0時(shí)，有Δ = m2 - 4m < 0 ，解得0 < m < 4，
由上知實(shí)數(shù)m的取值范圍為 0,4 ；
g x = k 2 x（3）由 1- x ÷ - 3 ，方程 g x = 0 2x可化為3 + 1- k 3x + k = 0，è 3 +1
2
若函數(shù) g x 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于方程 x + 1- k x + k = 0有兩個(gè)不相等的正根，
ìx1 + x2 = k -1 > 0 k >1
故有 íx
ì
1x2 = k > 0 ，即 ík 2 - 6k +1 > 0 解得 k > 3+ 2 2 ． 2
Δ = 1- k - 4k > 0
故實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 3+ 2 2,+ ．
【變式 8-5】已知函數(shù) y = f (x) 的表達(dá)式為 f (x) = 9x - 2a ×3x + 3 .
(1)若 a =1, x [0,1]，求函數(shù) y = f (x) 的值域；
(2)當(dāng) x [-1,1]時(shí)，求函數(shù) y = f (x) 的最小值 h(a) ；
(3)對于（2）中的函數(shù) h(a) ，是否存在實(shí)數(shù)m, n，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：（i） n > m > 3；（ii）當(dāng) h(a) 的
定義域?yàn)閇m, n] 2，其值域?yàn)?é m ,n
2 ù ；若存在，求出m, n的值；若不存在，請說明理由.
x x x 2【解析】（1）當(dāng) a =1時(shí)，由 y = 9 - 2 3 + 3，得 y = 3 -1 + 2，
因?yàn)?x 0,1 x，所以3 1,3 ， y 2,6 ，
所以函數(shù) y = f (x) 的值域?yàn)?2,6 .
（2）令3x x 1,1 t é1 ù= t ，因?yàn)? - ，故 ê ,3ú ，函數(shù) f x 可轉(zhuǎn)化為 3
g t = t 2 - 2at + 3 = t - a 2 + 3 - a2 ，
a 1①當(dāng) < 時(shí)， h a = g 1 28 2a ÷ = - ；3 è 3 9 3
1 2
②當(dāng) a 3時(shí)， h a = g a = 3 - a ；
3
③當(dāng) a > 3時(shí)， h a = g 3 =12 - 6a ．
ì28 2a 1
- ,a <
9 3 3
h a = 2 1綜上所述， í3 - a , a 3 .
3
12 - 6a,a > 3

（3）假設(shè)滿足題意的m，n存在，
因?yàn)?n > m > 3， h a =12 - 6a ，
所以 y = h a 在上 3, + 是嚴(yán)格減函數(shù)，
所以 y = h a 在 m, n 上的值域?yàn)?é h n , h m ù ，
ì
2 2 h n = m
2 ì12 - 6n = m2
又 y = h a 在 m, n 上的值域?yàn)?é m ,n ù ，所以 íh m = n2 ，即 í 2 ， 12 - 6m = n
兩式相減，得6 m - n = m2 - n2 = m + n m - n ，
因?yàn)?n > m > 3，所以m + n = 6，
而由 n > m > 3，可得m + n > 6，與m + n = 6矛盾．
所以，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，n．
2
1．（2023 年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知函數(shù) f x = e-( x-1) ．記
2 a = f ÷ ,b = f
3 ,c f 6 =2 2 ÷ ÷
，則（ ）
è è è 2
A．b > c > a B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
【答案】A
【解析】令 g(x) = -(x -1)2，則 g(x)開口向下，對稱軸為 x =1，
6 3 1 6 + 3 4因?yàn)?- - 2 2
2
1-
2 ÷÷
= - ，而
2 2 ( 6 + 3) - 4 = 9 + 6 2 -16 = 6 2 - 7 > 0，è
6 3 6 + 3 4
所以 -1-
2
1-
2 ÷
6 3
÷ = - > 0，即2 2 -1 >1-è 2 2
6
由二次函數(shù)性質(zhì)知 g( ) 3< g( )，
2 2
6 1 1 2
6 + 2 4
因?yàn)?- - -
2 2 ÷÷
= - ，而 ( 6 + 2)2 - 422 2 = 8 + 4 3 -16 = 4 3 -8 = 4( 3 - 2) < 0
，
è
6 1 1 2 6 2即 - < - ，所以 g( ) > g( )，
2 2 2 2
2 6 3
綜上， g( ) < g( ) < g( )，
2 2 2
又 y = ex 為增函數(shù)，故 a < c < b，即b > c > a .
故選：A.
x
2．（2023 年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知 f (x) xe= ax 是偶函數(shù)，則a = （ ）e -1
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
xex x - x x éex - e a-1 xf x = xe -x e
ù
【解析】因?yàn)?ax 為偶函數(shù)，則e -1 f x - f -x =
，
eax
- = = 0
-1 e-ax -1 eax -1
又因?yàn)?x 不恒為 0，可得 ex - e a-1 x = 0，即 ex = e a-1 x ，
則 x = a -1 x，即1 = a -1，解得 a = 2 .
故選：D.
3．（2023 年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)a = 1.010.5,b = 1.010.6 ,c = 0.60.5，則 a,b,c的大小關(guān)系為（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． c < a < b
【答案】D
【解析】由 y =1.01x在 R 上遞增，則 a =1.010.5 < b =1.010.6，
由 y = x0.5 在[0, + ) 上遞增，則 a =1.010.5 > c = 0.60.5 .
所以b > a > c .
故選：D
n
1．（1）當(dāng) n= 1，2，3，10，100，1000，10000，100000 …… 1 1+ ， 時(shí)，用計(jì)算工具計(jì)算 ÷ n N * 的值；
è n
n n
（2 ）當(dāng) n 越來越大時(shí)， 1
1 1+ ÷ 的底數(shù)越來越小，而指數(shù)越來越大，那么 1+n ÷
是否也會(huì)越來越大？有
è è n
沒有最大值？
1 1 2 3 31 1+ 【解析】（ ） ÷ = 2; 1
1 9 1 4
+ ÷ = = 2.25;

1 2 4
1+ ÷ = ÷ 2.3704；
è è è 3 è 3
1 10 100 1+ =1.110 25937; 1 1+ =1.01100 2.7048；
è 10 ÷ ÷ è 100
1000

1
1
+ 100÷ =1.001 2.7169；
è 1000
1 10000
1+

÷ =1.0001
10000 2.7181；
è 10000
1 100000
1+
=1.00001100000 2.7183 .
è 100000 ÷
1 n
（2）由（1）知，當(dāng) n 越來越大時(shí)， 1+ ÷÷ 的值也會(huì)越來越大，但沒有最大值.
è n
1 1
2．從盛有1L純酒精的容器中倒出 L ，然后用水填滿；再倒出 L ，又用水填滿……
3 3
（1）連續(xù)進(jìn)行 5 次，容器中的純酒精還剩下多少？
（2）連續(xù)進(jìn)行 n 次，容器中的純酒精還剩下多少？
2 2
【解析】（1）倒出 1 次后還剩 L，加滿水后濃度為
3 3
.
2 2 2 2
2 2

倒出 次后還剩 = ÷ (L)
2
，加滿水后濃度為 .
3 3 è 3 è 3 ÷
3 2
2
2 2
3 3
2
倒出 次后逐剩 ÷ = (L)，加滿水后濃度為 .
è 3 3 è 3 ÷ 3 ÷ è
3 4 4
4 2 2 2 2 倒出 次后還剩 ÷ = ÷ (L)，加滿水后濃度為 ÷ .
è 3 3 è 3 è 3
4 5
倒出 5 2 2 2 32次后還剩 ÷ = ÷ = (L) .
è 3 3 è 3 243
n
（2 2 ）由（1）知，連續(xù)進(jìn)行了 n 次，容器中的純酒精還剩下 ÷ L .
è 3
3m-2n
3．（1）已知10m = 2,10n = 3，求10 2 的值；
a3x2 2x + a
-3x
（ ）已知 a = 3，求
a x - x
的值.
+ a
3m 3 3 2 2
【解析】（1）原式=10 2 10n = 10m 2 3 = 22 3 = ；3
a x + a- x a2x - a xa- x + a-2x2 （ ）原式=
a x + a- x
= a2x -1+ a-2x
= 3 1 1 7- + = .
3 3
|x|
4 f x 1= a ．已知函數(shù) ÷ + b的圖象過原點(diǎn)，且無限接近直線 y = 2但又不與該直線相交.
è 2
（1）求該函數(shù)的解析式，并畫出圖象；
（2）判斷該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.
【解析】（1）由題意知， a + b = 0,b = 2 ，\a = -2，
|x|
\ f x = -2 1 ÷ + 2，
è 2
ì x
-2
1
+ 2, x 0
è 2
÷
∴ f x =

í
1 - x
，圖象如圖：

-2

÷ + 2, x < 0
è 2
1 |x|
（2）∵ f (x) = -2 ÷ + 2，
è 2
- x x
∴ f ( 1 1-x) = -2 + 2 = -2 ÷ ÷ + 2 = f (x) ，
è 2 è 2
\ f (x)為偶函數(shù)，
ì x
-2 1 2 ÷
+ 2, x 0
f x = è 又 í - x ，
-2 1 2 ÷
+ 2, x < 0
è
∴ f (x) 在 (- ,0]上為減函數(shù)，在[0, + ) 上為增函數(shù)．
x
5．已知 f(x)=ax，g(x)= 1 ÷ (a>0，且 a≠1).
è a
（1）討論函數(shù) f(x)和 g(x)的單調(diào)性；
（2）如果 f(x)【解析】（1）當(dāng) a>1 時(shí)，f (x)=ax 是 R 上的增函數(shù)，
x
由于 0< 1a <1，所以 g(x)=
1
÷ 是 R 上的減函數(shù)；
è a
當(dāng) 01 x
由于 a >1 g(x)=
1
，所以 ÷ 是 R 上的增函數(shù)；
è a
1 x
（2） f (x) < g(x) a x < a x 2 <1 a x 0 a ÷ <1 = a ，è
當(dāng) a>1 時(shí)，x<0；當(dāng) 00.
∴當(dāng) a>1 時(shí)，x 的取值范圍是 (- ,0)；
當(dāng) 06．按從小到大的順序，可將 2 3 ,3 2 ,p 5 , 2p 重新排列為 （可用計(jì)算工具）.
【答案】 2 3 < 3 2 < 2p < p 5
【解析】利用計(jì)算器算出每個(gè)指數(shù)冪的值，即可進(jìn)行比較.利用計(jì)算器
2 3 = 3.32,3 2 = 4.73,p 5 =12.93,2p = 8.82，
所以 2 3 < 3 2 < 2p < p 5 .
故答案為： 2 3 < 3 2 < 2p < p 5
答題模板 1：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問題
1、模板解決思路
求解復(fù)合函數(shù)的值域問題，關(guān)鍵要確定函數(shù)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成.
2、模板解決步驟
第一步：求函數(shù)的定義域，然后將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)函數(shù)．
第二步：由自變量的范圍求內(nèi)層函數(shù)的值域．
第三步：由內(nèi)層函數(shù)的值域求外層函數(shù)的值域．
1
x x- 2
【典例 1 f x = 1+ a ×3 + 9 0, + 】若函數(shù) 的值域?yàn)?，則 a 的取值范圍是 .
ù
【答案】 - ,
2 3
-
3 úè
1
【解析】若 a 0，則 x x-1+ a ×3 + 9 2 >1，不滿足題意；
x 1- 1 1 3a 2 3a2
若 a<0，則1+ a ×3x + 9 2 =1+ a ×3x + 32x = x 3 + ÷ - +1，3 3 è 2 4
3a2
- +1 0 a 2 3當(dāng) ，即 - 時(shí)， f x 的值域?yàn)?0, + ，滿足題意.
4 3
2 3 ù
故答案為： - ,- ú .
è 3
y (12 = )x
2 +2x+3
【典例 】函數(shù) 的值域是 .
4
【答案】 (0,
1 ]
16
1
【解析】依題意， x2 + 2x + 3 = (x +1)2 + 2 2 x，當(dāng)且僅當(dāng) x=-1時(shí)取等號，而函數(shù) y = ( ) 在 R 上單調(diào)
4
遞減，
1 x2 +2x+3 1 2 1
因此0 < ( ) ( ) = ，
4 4 16
2
y 1= ( )x +2x+3 1所以函數(shù) 的值域是 (0, ] .
4 16
故答案為： (0,
1 ]
16
答題模板 2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題
1、模板解決思路
判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則是“同增異減”.
2、模板解決步驟
第一步：求函數(shù)的定義域．
第二步：將函數(shù)分解成內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)．
第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性．
第四步：根據(jù)“同增異減”的原則確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．
【典例 3】函數(shù) f x = 2ax2 -2x-1在區(qū)間 1, + 上單調(diào)遞減，則 a 的取值范圍是 ．
【答案】 a 0
2
【解析】函數(shù) f x = 2ax -2x-1 由 y = 2t 和 t x = ax2 - 2x -1復(fù)合而成，
2
由于 y = 2t 是單調(diào)遞增，函數(shù) f x = 2ax -2x-1 在區(qū)間 1, + 上單調(diào)遞減，
2
所以 t x = ax - 2x -1在區(qū)間 1, + 上單調(diào)遞減.
當(dāng) a > 0時(shí)，不符合題意；
當(dāng) a = 0時(shí)， t x = -2x -1單調(diào)遞減，滿足題意；
1
當(dāng) a<0時(shí)， t x = ax2 - 2x -1開口向下，對稱軸為 x = ，
a
1
故需要滿足 1，顯然成立，滿足題意，
a
綜上： a 0 .
故答案為： a 0 .
2
1 - x +4x+5
【典例 4】函數(shù) f x = ÷ 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
è 2
【答案】 - , 2
- x21 +4x+5
【解析】函數(shù) f x = 2 ÷
的定義域?yàn)镽 ，
è
又二次函數(shù) t = -x2 + 4x + 5，開口向下，對稱軸為 x = 2，
所以 t = -x2 + 4x + 5在 - , 2 上單調(diào)遞增，在 2, + 上單調(diào)遞減，
t
y = 1 又 ÷ 在定義域上單調(diào)遞減，
è 2
- x21 +4x+5
所以 f x = ÷ 的單調(diào)遞增區(qū)間為 - , 2 .
è 2
故答案為： - , 2 第 04 講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 .........................................................................................................................2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航 .........................................................................................................................3
03 考點(diǎn)突破·題型探究 .........................................................................................................................4
知識點(diǎn) 1：指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算 ........................................................................................................................................4
知識點(diǎn) 2：指數(shù)函數(shù) ....................................................................................................................................................5
解題方法總結(jié) ...............................................................................................................................................................5
題型一：指數(shù)冪的運(yùn)算 ...............................................................................................................................................6
題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 ...............................................................................................................................6
題型三：指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題 ...................................................................................................................................8
題型四：比較指數(shù)式的大小 .......................................................................................................................................8
題型五：解指數(shù)方程或不等式 ...................................................................................................................................9
題型六：指數(shù)函數(shù)的最值與值域問題 .......................................................................................................................9
題型七：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題 .........................................................................................................................10
題型八：指數(shù)函數(shù)的綜合問題 .................................................................................................................................12
04 真題練習(xí)·命題洞見 .......................................................................................................................13
05 課本典例·高考素材 .......................................................................................................................14
06 易錯(cuò)分析·答題模板 .......................................................................................................................15
答題模板 1：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問題 ..............................................................................................................15
答題模板 2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題 ..............................................................................................................16
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
從近五年的高考情況來看，指數(shù)運(yùn)算
2023 年新高考 I 卷第 4 題，5 分 與指數(shù)函數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)基
2023 年乙卷第 4 題，5 分 本點(diǎn)，常與冪函數(shù)、二次函數(shù) 、對數(shù)函
（1）指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
2022 年甲卷第 12 題，5 分 數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較
（2）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
2020 年新高考 II 卷第 11 題，5 和函數(shù)方程問題.在利用指數(shù)函數(shù)的圖像與
分 性質(zhì)應(yīng)用上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算
素養(yǎng).
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).
（2）通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會(huì)畫指數(shù)函數(shù)的圖象.
（3）理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用．
知識點(diǎn) 1：指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算
(1)根式的定義：
一般地，如果 xn = a ，那么 x 叫做 a的 n次方根，其中 (n > 1， n N * ) ，記為 n a ， n稱為根指數(shù)， a
稱為根底數(shù)．
(2)根式的性質(zhì)：
當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的 n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的 n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).
當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的 n次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).
(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算 an (a 0) 中的一個(gè)參數(shù)， a為底數(shù)， n為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，
冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.
(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類
n個(gè)
①正整數(shù)指數(shù)冪 64748 0an = a ×a a L a (n ；②零指數(shù)冪 ；× × × N*) a = 1 (a 0)
1
③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 a-n = (a 0 ， n N*)；④ 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0 ， 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
an
(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)
① aman = am+n (a > 0，m ， n Q)；② (am )n = am n (a > 0 ，m ， n Q)；
③ (ab)m = ambm
m
(a > 0 ，b > 0 ，m Q) ；④ n am = a n (a > 0，m ， n Q)．
【診斷自測】化簡下列各式：
2
é 1 -2.5
1
ù 3
（ ） ê 0.0645 ÷ ú 3
3
- 3 - π0 =
êè ú 8
a3b2 3 ab2
（2） 1 1
4
1 1- （ a > 0,b > 0 =
a 4b2 ÷ a 3b3
è
1 1
（3 設(shè) -x 2 + x 2 = 3，則 x + x
-1的值為
知識點(diǎn) 2：指數(shù)函數(shù)
y = a x
0 < a <1 a >1
圖 y y
象 a (1,a)
1 (1,a) 1
a
O 1 x O 1 x
性 ①定義域 R ，值域 (0，+ )
質(zhì) ② a0 =1，即時(shí) x = 0 ， y =1，圖象都經(jīng)過 (0，1) 點(diǎn)
③ a x = a ，即 x =1時(shí)， y 等于底數(shù) a
④在定義域上是單調(diào)減函數(shù) 在定義域上是單調(diào)增函數(shù)
⑤ x < 0時(shí) ， a x >1； x > 0 時(shí) ， x < 0時(shí)， 0 < a x <1； x > 0 時(shí)， a x >1
0 < a x <1
⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)
【診斷自測】若指數(shù)函數(shù) f (x) = a x (a > 0且 a 1)在[-1,1]上的最大值為 2，則a = .
解題方法總結(jié)
1、指數(shù)函數(shù)常用技巧
(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“ a >1”和“ 0 < a <1”兩種情形討論．
(2)當(dāng) 0 < a <1時(shí)， x + ， y 0 ； a 的值越小，圖象越靠近 y 軸，遞減的速度越快．
當(dāng) a >1時(shí) x + ， y 0 ； a 的值越大，圖象越靠近 y 軸，遞增速度越快．
(3)指數(shù)函數(shù) y = a x 與 y = (
1)x 的圖象關(guān)于 y 軸對稱．
a
題型一：指數(shù)冪的運(yùn)算
x 1 2
【典例 1-1】已知 2 = a （ a 0 a
x
且 ），則 4 2 = ．（結(jié)果用 a表示）x + x +1 2 x + x +1
0.5 2
3
【典例 1-2】（1） 5
4 + 0.1 -2 + 2 10 ÷ ÷ -100π0 ；
è 9 è 27
1 1
2 2
（2）已知 x + y =11， xy = 9，求 x + y 的值.
x2 + y2
【方法技巧】
（1）靈活運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，根式形式需要化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式去求解.
（2）運(yùn)算的最終結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有負(fù)指數(shù)又有分母．
【變式 1-1】（多選題）已知 a + a-1 = 3，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． a2 + a-2 = 7 B． a3 + a-3 =18
1 1 1
C． -a 2 + a 2 = ± 5 D． a a + = 2 5a a
【變式 1-2】已知函數(shù) f x 1= x x R .4 + 2
(1)求證 f x + f 1- x 為定值；
(2)若數(shù)列 an
n
的通項(xiàng)公式為 an = f

÷（m為正整數(shù)， n = 1， 2，L，m），求數(shù)列 an 的前m項(xiàng)和 Sm m ；è
題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
1
【典例 2-1】已知 a > 0且 a 1 x，則函數(shù) y = loga x +1 與 y = ( ) +1在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是a
（ ）
A． B．
C． D．
|x|
【典例 2-2 2024 1 】（ ·黑龍江·二模）已知函數(shù) y = a ÷ + b的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且無限接近直線 y = 2，但
è 2
又不與該直線相交，則 ab =（ ）
A．-1 B．-2 C．-4 D．-9
【方法技巧】
對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱等
x
變換得到，當(dāng) a >1時(shí)，指數(shù)函數(shù) y = a 的圖像呈上升趨勢；當(dāng)0 < a <1時(shí)，指數(shù)函數(shù) y = a x 的圖像呈下
降趨勢.
x
【變式 2-1】已知 x1, x2 是方程 2 + x =10，log2x + x =10的兩個(gè)根，則 x1 + x2 = .
1
x+a

【變式 2-2】（2024·高三·山西·期末）已知函數(shù) f (x) = ÷ + b 的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng) x 趨向于
è 2
正無窮大時(shí)， f (x) 的圖象無限接近于直線 y = 2，但又不與該直線相交，則a = .
【變式 2-3】直線 y = 3a y = a x+1與函數(shù) -1 (a > 0且 a 1)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 a的取值范圍是 .
1
x

【變式 2-4】設(shè)方程 ÷ + x - 5 = 0的解為x ，x ，方程
log 1 x + x - 5 = 0
1 2 的解為 x2 3
， x4，則
è 2
x1 + x2 + x3 + x4 = ．
題型三：指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題
【典例 3-1】（2024·高三·河北·期末）已知函數(shù) y = a x-2 + 3(a > 0，且 a 1)的圖象恒過定點(diǎn)A ，若點(diǎn)A 在
直線mx + ny = 2上，其中m > 0, n > 0
2 1
，則 + 的最小值為 .
m 3n
3-2 f x = a x+1【典例 】函數(shù) + 2（ a > 0且 a 1）的圖象恒過定點(diǎn) m, n ，則m + n等于 .
【方法技巧】
y = a x+m + n 恒過定點(diǎn) (-m, n +1) ．
【變式 3-1】已知函數(shù) y = 2a x-2 - 3（ a > 0且 a 1）的圖象恒過定點(diǎn) P ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 .
【變式 3-2】（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù) y = a x-1(a > 0 且 a 1)的圖象過定點(diǎn) A，且點(diǎn) A 在直線
mx + 2ny = 8 m > 0, n > 0 8 3上，則 - 的最小值是 .
mn 2m
【變式 3-3】函數(shù) y = a2x-1 - 2(a > 0且a 1)，無論 a取何值，函數(shù)圖像恒過一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為 .
題型四：比較指數(shù)式的大小
1
【典例 4-1】（2024·云南·二模）若a = 2p -2 ,b = 6-1,c = 23 ，則（ ）
A．b > a > c B． c > a > b C． a > b > c D． a > c > b
【典例 4-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）若 a,b R ，則“ a > b ”是“3a - 3b > 2b - 2a ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【方法技巧】
比較大小問題，常利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值法．
1 2
-
【變式 4-1】（2024 2·遼寧·一模）設(shè) a = ，b = 2 - e3，c =1- e 3 則（ ）
3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < c < a D． a < c < b
【變式 4-2】已知9a = 8，m =10a - 9 ， n = 8a - 7，則（ ）
A．m > 0 > n B．m > n > 0 C． n > m > 0 D． n > 0 > m
3
4-3 2024 a = 0.9,b = sin ,c = e-0.19【變式 】（ ·陜西·模擬預(yù)測）設(shè) ，則（ ）
4
A． a < b < c B．b < a < c C． c題型五：解指數(shù)方程或不等式
【典例 5-1】（多選題）甲、乙兩人解關(guān)于 x 的方程2x + b ×2- x + c = 0，甲寫錯(cuò)了常數(shù) b，得到的根為 x = -2
17
或 x = log2 ，乙寫錯(cuò)了常數(shù) c，得到的根為 x = 0或 x =1，則下列是原方程的根的是（4 ）
A． x=-1 B． x =1 C． x = 0 D． x = 2
【典例 5-2】（2024·河北邯鄲·一模）不等式10x - 6x - 3x 1的解集為 .
【方法技巧】
利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對于形如 a f ( x) = b， a f ( x) > b， a f ( x) < b 的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化，再利用
指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對數(shù)”的方法求解.形如 a2x + Ba x + C = 0或 a2x + Ba x + C…0( 0) 的形式，可借
助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.
【變式 5-1】不等式9x - 4 3x+1 + 27 0的解集為 ．
1
- +1
【變式 5-2 x】若x x 1 1、x2為方程 a = a >1 的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則 x1 + x2 = ．
è a ÷
9x1 + 9x2
【變式 5-3】已知 x 和 x 是方程9x - 3x+21 2 + 3 = 0的兩根，則 = .x1 + x2
題型六：指數(shù)函數(shù)的最值與值域問題
【典例 6-1】（2024·高三·云南楚雄·期末）已知奇函數(shù) f x = a x + b ×a- x 在 -1,1 3上的最大值為 ，則
2
a = ．
6-2 2024 f x = 2x【典例 】（ ·高三·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù) + p -1 ×2- x 是定義域?yàn)?R 的偶函數(shù).
(1)求 p 的值；
(2)若 g x = f 2x - 2k × 2x - 2- x 在 1, + 上最小值為-4，求 k 的值.
【方法技巧】
指數(shù)函數(shù)的最值與值域問題通常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決.
ìa
x , x 1,
f x = a 0 f x 5【變式 6-1】已知函數(shù) í > ，且 a 1，若函數(shù) 在[0，2]上的最大值比最小值大 ，
-x + a, x >1, 2
則 a的值為 .
【變式 6-2 2】已知函數(shù) f x = ax - 2x + b a 0 在 x =1處取得最小值 0 .
(1)求 a，b 的值；
1
(2) g fx x = x，求函數(shù) y = g 2 -1 x é ù， ê , 2ú 的最小值與最大值及取得最小值與最大值時(shí)對應(yīng)的 x 值.x 2
題型七：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
【典例 7-1】已知函數(shù) f (x) = -x2 + 3x + 5, g(x) = 2x + a ，若"x1 [0,2],$x2 [2,3]，使得 f x1 < g x2 ，則
實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 .
【典例 7-2】（2024 x·高三·河北衡水·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = a - k ×a- x (a > 0) 3是奇函數(shù)，且 f 1 = .2
(1)求 a, k 的值；
(2)若"x 1,2 ，不等式 f 2x + mf x 0恒成立，求m的取值范圍.
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：
（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，通常借助函數(shù)單調(diào)性求解；
（2）分離參數(shù)法：首先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的
圖象，再利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決．
【變式 7-1 x x】（2024·高三·山東棗莊·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = m ×9 - 3 ，若存在非零實(shí)數(shù) x0 ，使得
f -x0 = f x0 成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【變式 7-2】（2024 2·高三·陜西商洛·期中）已知函數(shù) f x = ax - 2ax + b a > 0 在區(qū)間 0,3 上有最小值
2 和最大值 10．
(1)求 a，b 的值；
f x(2)設(shè) g x = x x，若不等式 g 2 + k ×2 0在 x -1,0 上恒成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍．
x
【變式 7-3】已知定義在 R 上的函數(shù) f (x) 滿足：對任意 x, y R 都有 f (x + y) = f (x) + f (y)，且當(dāng) x > 0時(shí)，
f (x) > 0 ， f (k ×2x ) + f (4x+1 -8x - 2x ) > 0對任意 x [-1,2]恒成立，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 .
7-4 f x = a x + 1- m a- x 3 【變式 】已知函數(shù) a > 0,且a 1 是奇函數(shù)，且過點(diǎn) 1， ÷．
è 2
(1)求實(shí)數(shù) m 和 a 的值；
(2)設(shè) g x = logt é2
2x + 2-2x - tf x ù t > 0, t 1 ，是否存在正實(shí)數(shù) t，使關(guān)于 x 的不等式 g x 0對
x 2, log2 5 恒成立，若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理由．
題型八：指數(shù)函數(shù)的綜合問題
ì-x2 - 6x - 5, x < 0,
2
【典例 8-1 x】已知函數(shù) f x = í 1 若關(guān)于 x 的方程 é f x ù + 2a -1 f x + a2 - a = 0有 5 個(gè)不
÷ -1 , x 0,
è 2
同的實(shí)數(shù)根，則 a的取值范圍為 .
x
【典例 8-2】若函數(shù) f (x) 2 + b= (a,b R)是定義在R 上的奇函數(shù)，且 f mx2 + f (1- mx) > f (0)x 對任意2 + a
x R 恒成立，則m的取值范圍為 ．
【方法技巧】
指數(shù)函數(shù)常與其他函數(shù)形成復(fù)合函數(shù)問題，解題時(shí)要清楚復(fù)合的層次，外層是指數(shù)函數(shù)還是內(nèi)層是指
數(shù)函數(shù)，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等問題，則要按復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律求解．
x - x 1- e2
【變式 8-1】已知函數(shù) f x = e - e ，則不等式 f f x > 的解集為 .
e
【變式 8-2】（2024 x+1 -x·高三·湖北·期中）已知 f x = a - 2a 是定義域?yàn)镽 的奇函數(shù).
(1)函數(shù) g x = a2x + a-2x - 2 f x ， x 0,2 ，求 g x 的最小值.
(2)是否存在l > 0，使得 f 2x l f x 對 x -2, -1 恒成立，若存在，求l 的取值范圍；若不存在，說明
理由.
【變式 8-3】我們知道，函數(shù) y = f x 的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) y = f x 為
奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù) y = f x 的圖象關(guān)于點(diǎn) P a,b 成中心對稱圖形的充要條件是函
數(shù) y = f x + a - b為奇函數(shù)．根據(jù)這一結(jié)論，解決下列問題．
已知函數(shù) f x 2=
1+ 21-x
．
(1)證明：函數(shù) f x 的圖象關(guān)于點(diǎn) 1,1 對稱；
(2) f a2若 + f 2a -1 > 2，求實(shí)數(shù) a的取值范圍．
【變式 8-4】（2024·河南平頂山·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f (x)
a -1
=1- x (a > 0且 a 1）為定義在 R 上的奇a +1
函數(shù)
(1)利用單調(diào)性的定義證明：函數(shù) f (x) 在 R 上單調(diào)遞增；
(2)若關(guān)于 x 的不等式 f (mx2 -1) + f (2 - mx) > 0恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；
(3)若函數(shù) g(x) = kf (x) - 3x 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍．
【變式 8-5】已知函數(shù) y = f (x) 的表達(dá)式為 f (x) = 9x - 2a ×3x + 3 .
(1)若 a =1, x [0,1]，求函數(shù) y = f (x) 的值域；
(2)當(dāng) x [-1,1]時(shí)，求函數(shù) y = f (x) 的最小值 h(a) ；
(3)對于（2）中的函數(shù) h(a) ，是否存在實(shí)數(shù)m, n，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：（i） n > m > 3；（ii）當(dāng) h(a) 的
定義域?yàn)閇m, n] 2，其值域?yàn)?é m ,n
2 ù ；若存在，求出m, n的值；若不存在，請說明理由.
2
1．（2023 年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知函數(shù) f x = e-( x-1) ．記
2 a = f ÷ ,b = f
3
÷ ,c = f
6
÷，則（ ）
è 2 è 2 2
è
A．b > c > a B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
2 2023 f (x) xe
x
．（ 年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知 = ax 是偶函數(shù)，則a = （ ）e -1
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．（2023 年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)a = 1.010.5,b = 1.010.6 ,c = 0.60.5，則 a,b,c的大小關(guān)系為（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． c < a < b
n
1．（1）當(dāng) n= 1，2，3，10，100，1000，10000，100000，…… 1 時(shí)，用計(jì)算工具計(jì)算 * 1+ ÷ n N 的值；
è n
n n
2 n 1 1+ 1 （ ）當(dāng) 越來越大時(shí)， ÷ 的底數(shù)越來越小，而指數(shù)越來越大，那么 1+ ÷ 是否也會(huì)越來越大？有
è n è n
沒有最大值？
1 1
2．從盛有1L純酒精的容器中倒出 L ，然后用水填滿；再倒出 L ，又用水填滿……
3 3
（1）連續(xù)進(jìn)行 5 次，容器中的純酒精還剩下多少？
（2）連續(xù)進(jìn)行 n 次，容器中的純酒精還剩下多少？
3m-2n
3．（1）已知10m = 2,10n = 3，求10 2 的值；
a3x + a-3x
（2）已知 a2x = 3，求
a x + a- x
的值.
|x|
4．已知函數(shù) f x a 1= ÷ + b的圖象過原點(diǎn)，且無限接近直線 y = 2但又不與該直線相交.
è 2
（1）求該函數(shù)的解析式，并畫出圖象；
（2）判斷該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.
x
5．已知 f(x)=ax，g(x)= 1 ÷ (a>0，且 a≠1).
è a
（1）討論函數(shù) f(x)和 g(x)的單調(diào)性；
（2）如果 f(x)6．按從小到大的順序，可將 2 3 ,3 2 ,p 5 , 2p 重新排列為 （可用計(jì)算工具）.
答題模板 1：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問題
1、模板解決思路
求解復(fù)合函數(shù)的值域問題，關(guān)鍵要確定函數(shù)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成.
2、模板解決步驟
第一步：求函數(shù)的定義域，然后將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)函數(shù)．
第二步：由自變量的范圍求內(nèi)層函數(shù)的值域．
第三步：由內(nèi)層函數(shù)的值域求外層函數(shù)的值域．
x 1-
f x = 1+ a ×3x + 9 2 0, +
【典例 1】若函數(shù) 的值域?yàn)?，則 a 的取值范圍是 .
1 2
2 y = ( )x +2x+3【典例 】函數(shù) 的值域是 .
4
答題模板 2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題
1、模板解決思路
判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則是“同增異減”.
2、模板解決步驟
第一步：求函數(shù)的定義域．
第二步：將函數(shù)分解成內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)．
第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性．
第四步：根據(jù)“同增異減”的原則確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．
2
【典例 3】函數(shù) f x = 2ax -2x-1在區(qū)間 1, + 上單調(diào)遞減，則 a 的取值范圍是 ．
- x2 +4x+5
【典例 4】函數(shù) f x 1= ÷ 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
è 2

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